高三数学一轮复习 导数及其应用巩固与练习
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高三数学一轮复习 导数及其应用巩固与练习
1．设正弦函数y ＝sin x 在x ＝0和x ＝π
2
附近的平均变化率为k 1，k 2，则k 1，k 2的大小
关系为( )
A ．k 1>k 2
B ．k 1 C ．k 1＝k 2 D ．不确定 解析：选A.∵y ＝sin x ，∴y ′＝(sin x )′＝cos x ， k 1＝cos0＝1，k 2＝cos π 2 ＝0，∴k 1>k 2. 2．设y ＝－2e x sin x ，则y ′等于( ) A ．－2e x cos x B ．－2e x sin x C ．2e x sin x D ．－2e x (sin x ＋cos x ) 解析：选D.∵y ＝－2e x sin x ， ∴y ′＝(－2e x )′sin x ＋(－2e x )·(sin x )′ ＝－2e x sin x －2e x cos x ＝－2e x (sin x ＋cos x )． 3．已知m <0，f (x )＝mx 3 ＋27x m ，且f ′(1)≥－18，则实数m 等于( ) A ．－9 B ．－3 C ．3 D ．9 解析：选B.由于f ′(x )＝3mx 2 ＋27m ，故f ′(1)≥－18 3m ＋27 m ≥－18，由m <0得3m ＋27 m ≥－18 3m 2 ＋18m ＋27≤0 3(m ＋3)2 ≤0，故m ＝－3. 4．(2009年高考福建卷)若曲线f (x )＝ax 2 ＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________． 解析：f ′(x )＝2ax ＋1 x ，x ∈(0，＋∞)． ∵f (x )存在垂直于y 轴的切线， ∴f ′(x )＝0有解，即2ax ＋1 x ＝0在(0，＋∞)有解， ∴a ＝－1 2x 2，∴a ∈(－∞，0)． 答案：(－∞，0) 5．如图，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝________. 解析：易得切点P (5,3)， ∴f (5)＝3，k ＝－1， 即f ′(5)＝－1. ∴f (5)＋f ′(5)＝3－1＝2. 答案：2 6．若曲线y ＝x 3－2ax 2 ＋2ax 上任意点处的切线的倾斜角都是锐角，求整数a 的值． 解：∵曲线y ＝x 3－2ax 2 ＋2ax ， ∴该曲线上任意点处切线的斜率k ＝y ′＝3x 2 －4ax ＋2a . 又∵切线的倾斜角都是锐角， ∴k >0恒成立，即3x 2 －4ax ＋2a >0恒成立． ∴Δ＝(－4a )2－4×3×2a ＝16a 2 －24a <0，