4-3 角动量 角动量守恒定律

二 刚体定轴转动的角动量定理 和角动量守恒定律
1 刚体定轴转动 的角动量

ri
mi
z
2 Li mi ri 2 2 L mi ri ( mi ri )
i
O
vi
L J
i
2 刚体定轴转动的角动量定理
J d d( J ) dL M J dt dt dt
dL M dt
作用于质点的合外力对参考点 O 的力矩， 等于质点对该点 O 的角动量随时间的变化率.
Mdt dL —质点角动量定理的微分形式
Mdt : 在dt内力矩 M 的元冲量矩

t2
t1
M dt L2 L1

t2
t1
M dt L2 L1
2 2 2
P147 4-26
一质量为m',半径分别为R的转台,以角速度ωa 转动,摩
擦略去不计. (1)有一质量为m的蜘蛛垂直落在转台边
缘上,此时,转台的角速度ωb? (2)若蜘蛛随后慢慢地爬
向转台中心,当它离转台中心的距离为r时,转台的角速 度ωc? 设蜘蛛下落前距离转台很近. 解 (1) 蜘蛛垂直落在转台边缘上时, 系统角动量守恒
力矩的瞬时效应：
转动定律．
力矩的时间累积效应：
冲量矩、角动量、角动量定理．
第四章
4-1 4-2
刚体的转动
刚体的定轴转动 力矩 转动定律 转动惯量
4-3
4-4
角动量 角动量守恒定律
力矩作功 刚体定轴转动的动能定理
一 质点的角动量定理和角动量守恒定律
1 质点的角动量 质量为 m 的质点以 在空间运动，某 速度 v ，质 时对 O 的位矢为 r 点对参考点O的角动量
M h N B l
C
l/2
A
l l 1 1 2 2 mvM J 2mu ml ml 2 2 12 2
mvMl 2 6m(2 gh) 解得 2 2 ml 12 ml 2 (m 6m)l
演员N以u起跳，达到的高度：
12
u l 3m 2 h ( ) h 2g 8g m一光滑水平面上，有一轻弹簧（劲度系数 k ），一端固定，一端连接一质量m'的滑块，最初滑块 静止时，弹簧自然长度l0，今有一质量为m的子弹以速 度v0沿水平方向垂直于弹簧轴线射向滑块且留在其中， 滑块在水平面内滑动，当弹簧被拉伸至长度为l时，求 滑块速度的大小和方向 ．
非刚体的定轴转动
J 变，若 M 0 ，L J 不变 , 变 .
许多现象都可 以用角动量守恒来 说明.
花样滑冰 跳水运动员跳水
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自然界中存在多种守恒定律 动量守恒定律 能量守恒定律 角动量守恒定律 电荷守恒定律 质量守恒定律 宇称守恒定律等
例3 质量很小长度为l 的均匀细杆，可 绕过其中心 O并与纸面垂直的轴在竖直平面 内转动．当细杆静止于水平位置时，有一只 小虫以速率 v0 垂直落在距点O为 l/4 处，并背 离点O 向细杆的端点A 爬行．设小虫与细杆 的质量均为m．问：欲使细杆以恒定的角速 度转动，小虫应以多大速率向细杆端点爬行?
l
v

v0
l0
解：子弹射入滑块的瞬间， 系统动量守恒.
v0 子弹与滑块一起运动的过程 中，机械能守恒． 1 1 1 2 2 (m + m)V1 (m + m)V k ( l l0 )2 2 2 2 角动量守恒
l l0
v

mv0 = (m + m)V1
(m + m)V1l0 (m + m)Vl sin
例：质点以 作半径为r 的圆周运动，相对圆心
L
p
L rmv mr J L J
2
o
r
m
2 质点的角动量定理
Lrp
M r F 定义为力对固定点O的力矩
dL d dp dr (r p) r p dt dt dt dt dr dp v p 0 v F dt dt dL dp r rF M dt dt
O
l/4
解 虫与杆的 碰撞前后，系统角 动量守恒
l 1 l 2 2 mv0 m l m( ) 4 12 4
12 v 0 7 l
小虫在爬行中:
M mgr cos
dJ dL d( J ) M dt dt dt
d 1 dr 2 2 mgr cos ( ml mr ) 2mr dt 12 dt 考虑到 t
2 3
由题设条件积分上式

L
0
LdL m gR
2
3


0
cos d
12
得 L mR (2 g sin )
32
L mR
2
2g 12 ( sin ) R
例 （0295）在光滑的水平面上，一根长L＝2m的绳子，
一端固定于O点，另一端系一质量m＝0.5kg的
物体．开始时，物体位于位置A，OA间距离d＝0.5 m，
v1 ( R r1 ) v2 ( R r2 ) 2 2 R 1 2 R 1 2 2 v1 - g R + r = 2 v 2 - g R + r 1 2
R r2 v1 2 g R 8.11 103 m / s ( R + r1 )(2 R + r1 r2 ) R r1 3 v2 v1 6.31 10 m / s R r2
7lg 12v0 dr g cost cos( t) 得 dt 2 24v0 7l
此即小虫需具有的爬行速率．
例4 一杂技演员 M 由距水平跷板高为 h 处自由下 落到跷板的一端A,并把跷板另一端的演员N 弹了起来.设 跷板是匀质的,长度为l,质量为 m' ,跷板可绕中部支撑点C 在竖直平面内转动,演员的质量均为m.假定演员M落在跷 板上,与跷板的碰撞是完全非弹性碰撞.问演员N可弹起多 高?
FN的力矩为零，只有重力矩作用.
解 小球受力P 、FN 作用.
M mgRcos
由质点的角动量定理
dL mgR cos dt
dL mgRcos dt
L mRv mR
2
d d mgR cos dt mgR cos d
考虑到 L mRv mR 2 得LdL m gR cosθ dθ


Mdt d( J ) dL
——刚体定轴转动的角动量定理的微分形式
刚体定轴转动的角动量定理

t2
t1
Mdt L2 L1 J2 J1
当转轴给定时，作用在物体上的冲量矩 等于角动量的增量．

t2
t1
Mdt L2 L1 J2 J1
mv1 ( R r1 ) mv2 ( R r2 )
1 2 Mm 1 2 Mm mv1 - G = mv2 - G 2 R + r1 2 R + r2 M g G 2 R
v1 ( R r1 ) v2 ( R r2 ) 2 2 R 1 2 R 1 2 2 v1 - g R + r = 2 v 2 - g R + r 1 2
解 碰撞前 M 落在 A点的速度
M
h
vM (2gh)
12
N B
C
A l/2
l
完全非弹性碰撞：碰撞后的瞬间, M、N和跷
板具有相同的角速度ω.
M、N具有相同的线速度
l u 2
M h N B l
C
l/2
A
M、N和跷板组成的系统，碰撞中角动量守恒
l l 1 1 2 2 mvM J 2mu ml ml 2 2 12 2
mv1 ( R r1 ) mv2 ( R r2 )
1 2 Mm 1 2 Mm mv1 - G = mv2 - G 2 R + r1 2 R + r2
解 设卫星质量为m,近地点和远地点的位置分 别为r1和 r2 ,在近地点和远地点的速度分别为v1和 v2 , 地球质量和半径分别为M和R .
z L
r
x
o
L r p r mv 大小 L rmv sin L 的方向符合右手法则
角动量单位：kg· 2·-1 m s
L
v

m y
v
r
质点对参考点O的角动量
L r p r mv
注意：同一质点相对于不同的点，角动量可以不同. 在说明质点的角动量时，必须指明是对哪个点而言的!
冲量矩
t1
t2
M dt
质点的角动量定理 对同一参考点O，质点所受的冲量矩 等于质点角动量的增量．
3 质点的角动量守恒定律 当
M 0，L
dL M dt
恒矢量
当质点所受对参考点Ｏ的合力矩为 零时，质点对该参考点Ｏ的角动量为一 恒矢量．——质点的角动量守恒定律
例1 一半径为 R 的光滑圆环置于竖直平 面内. 一质量为 m 的小 球穿在圆环上, 并可在 圆环上滑动. 小球开始 时静止于圆环上的点 A (该点在通过环心 O 的 水平面上)，然后从 A 点开始下滑．设小球与圆环间的摩擦力略 去不计．求小球滑到点 B 时对环心 O 的角 动量和角速度．
角动量守恒定律 若 M 0 ，则 L J =常量
(4) 角动量定理以及角动量守恒定律，不仅适 用于刚体的定轴转动，也适用于非刚体的定轴 转动，适用于物体的非定轴转动. t2 角动量定理 Mdt L2 L1 J 22 J11