运筹学ch16

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第2节 基本概念
定义1 解
x0 R

叫做在R内“非劣”，如果
R


( x0 )
定义2 解 x 0 R

叫做在R内最优，如果
R
Байду номын сангаас


( x0 )
推论：若
x 0 是最优解，则必为非劣解。反之不然。
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第2节 基本概念
证 因为由定义 2， x 0 是最优， R
图16-4
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第2节 基本概念
例6 设
f 1 ( x ) 3 x1 2 x 2
f 2 ( x ) x1 2 x 2
2 x1 3 x 2 1 8 0 R : 2 x1 x 2 1 0 0 x 0, x 0 2 1
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图16-1
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第2节 基本概念
假定有m个目标
f 1 ( x ), , f m ( x )
同时要考查，并要求都越大越好。在不考虑其他目标时，记第i个目标的 最优值为
fi
(o )
m ax f i ( x )
x R
相应的最优解记为
x
(i )
i 1,2, , m
其中R是解的约束集合：
示 F 即至少有一个分量，“＞”才成立，即一定大于。相应的 ( x 0 ) 在目标函数空间中称为非劣点或有效点。有的还进一步引入弱非劣解，即当
x 0 是弱非劣解，若不存在 x R ，有
F ( x ) F ( x0 )
以后用“≥”表 F ( x ) F ( x ) ，但 0
F ( x ) F ( x0 )
f1
(0)
f 1 ( x 1) m ax f 1 ( x )
x R
第二个目标的最优解是
f2
(0)
x
(2)
1 ，这时
x R
f 2 ( x 1) m ax f 2 ( x )
x 1
*
因为 x (1) x ( 2 ) 1 ，故取
作为这多目标问题的最优解。
下面用变量空间和目标函数空间分别来描述各种解的情况，见图16-2。 * x 1 图中α和β两个解彼此无法比较，但都劣于
m ax f 1 ( x )
x R
R x | f i f i ( x ) f i , i 2, , m , x R
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3.2 线性加权和法
若有m个目标
fi ( x ) ，分别给以权系数
i ( i 1,2, , m )
然后作新的目标函数(也称效用函数)。
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第3节 化多为少的方法


要求若干目标同时都实现最优往往是很难的。经常是有 所失才能有所得，那么问题的失得在何时最好。各种不 同的思路可引出各种合理处理得失的方法。 一类比较简单直观的方法是将多目标问题转化为较容易 求解的单目标或双目标问题。根据转化方法不一，形成 多种方法。


2. 数学规划法
设有m个目标 f 1 ( x ), f 2 ( x ), , f m ( x ) 要考查，其中方案变量x∈R(约束集合)，若以某目标为主要目标，如 f 1 ( x ) 要求实现最优(最大)，而对其他目标只满足一定规格要求即可，如 f i = f i f i ( x ) f i ( i 2, , m ) 其中当 f i 或 就变成单边限制，这样问题便可化成求下述非线性规划问题：
f 2 ( x ) 4 x1 3 x 2
R同例6，求V—— 解: 易求得
(2)
m ax F ( x )
x R
(2)
x
(1)
(0, 6 ), x
(3, 4 )
这时多目标问题无最优解，但有非劣解，在联结点 x (1) (0, 6) 到
x (3, 4 )
之间的线段上的点(见图16-6(a))都是非劣解，而连接点 A’、B’(见图16-6(b))的直线上的点都是非劣点。
E
n
，即
x ( x1 , x 2 , , x n ) E ,
T n
R E ,
n
F (x) E
m
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第2节 基本概念
实际上当
x0
是最优解时，即表示 x ，有 R
F ( x ) F ( x0 )
当 x 0 是非劣解时，即不存在 x R ，有
F ( x ) F ( x0 )
x R
或 V—— m ax F ( x )
g ( x ) 0
表示在约束集合 R 内求多目标问题的最优(亦称求向量最优)；其中
F (x)
f 1 ( x ), ,
f m ( x )
T
若各目标值都要求越小越好，就用下式表示。 V—— m in F ( x )
x R
下面考查使目标值越大越好，为了简易起见，本节一般只考虑n维欧氏空间


( x 0 ) ，而 ( x 0 )



( x0 ) ，
故 R ( x 0 ) ，所以 x 0 也为非劣解。这推论反之不一定对，即 x 0 是非劣解， 有 R ( x 0 ) 成立。但是由于 R 不一定全在 ( x 0 ) 内，而只能保证
十 决策论
第15章
单目标决策 第16章 多目标决策
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第16章 多目标决策
第1节 第2节 第3节
第4节
第5节 第6节 第7节
引言 基本概念 化多为少的方法 分层序列法 直接求非劣解 多目标线形规划的解法 层次分析法
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第1节 引言

在生产、经济、科学和工程活动中经常需要对多个目标 (指标)的方案、计划、设计进行好坏的判断，例如设计 一个导弹，既要其射程远，又要耗燃料少，还要命中率 高等；又如选择新厂的厂址，除了要考虑运费、造价、 燃料供应费等经济指标外，还要考虑对环境的污染等社 会因素，只有对各种因素的指标进行综合衡量后，才能 作出合理的决策。
f 1 ( x ), f 2 ( x ), , f m ( x )
f2
当m很多时，要比较两方案的优劣时，就往往很难下决断了。于是有人 把这问题用数学规划来处理。先以某指标作为主要指标，如以强度 f 1 为主要指标，并且越大越好。而其他指标只要落在一定规格范围内就可以。 这就把这问题化为求：
m ax f 1 ( x )
f1 y
表示；要求(2)，用速比
f 2 iv
表示；要求(3)，用三个指标：大幅度时力矩 ，力矩变化量 f 5 M
f 3 M ( a 0 ) ；小幅度时力矩 f 4 M ( a1 )
要求 f 1 、 f 2 、 f 5 越小越好； f 3 、 f 4 适中为好。
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3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6
主要目标法 线性加权和法 平方和加权法 理想点法 乘除法 功效系数法——几何平均法
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3.1 主要目标法

1. 优选法

在实际问题中通过分析讨论，抓住其中一两个主要目标，让它 们尽可能地好，而其他指标只要满足一定要求即可，通过若干 次试验以达到最佳。
R x | g ( x ) 0 g ( x ) g 1 ( x ), , g l ( x )
T
当这些 x
(i )
都相同时，就以这共同解作为多目标的共同最优解。
x
(2)
当不相同时，例如 x (1)
就难比优劣，但它们一定都是非劣解。
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第2节 基本概念
用 V—— m ax F ( x )
第2节 基本概念

在单目标优化时，只要比较任意两个解对应的 目标函数值，就能确定谁优谁劣。在多目标情 况，就不能这样比较谁优谁劣了。例如有两个 目标都要求实现最大化的决策问题，若能列出 10个方案，各方案能实现的目标值如图16-1。 可见，对于第一个目标来讲方案①优于②；而 对于第二个目标，方案②优于①。因此无法确 定谁优谁劣；但是它们都比方案③、⑤劣。方 案③、⑤之间又无法相比。在图16-1的10个方 案中，除方案③、④、⑤以外，其他方案都比 它们中的某一个劣。因而称①、②、⑥、⑦、 ⑧、⑨、⑩为劣解，而③、④、⑤之间又无法 比较谁优谁劣，但又不存在一个比它们中任一 个还好的方案，故称此三个方案为非劣解(或称 为有效解)。

R


( x 0 ) ( x 0 ) ，所以不一定是最优解。但在单目标时，由于是全有序，
因此 ~ ( x ) ，所以 x 0 是非劣时，必有 R


( x0 ) ，
即 x 0 自然就是最优解。由此可见在单目标最优化问题时，对最优和非劣可以不区分； 但在多目标最优化问题时，这两个概念必须加以区别。
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第1节 引言
例1 由n种成分
x1 , x 2 , , x n
组成一个橡胶配方，可用
x ( x1 , x 2 , , x n )
T
表示。对于每一个配方要同时考查几个指标，如强度 f 1 ，硬度 伸长率 f 3 ，变形度 f 4 等。 假定有m个指标。它们都与配方方案x有关，它们与x的关系为
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第2节 基本概念
图16-2
图16-3
图16-4
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