《2.2.1综合法与分析法》课件1-优质公开课-人教B版选修1-2精品

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2.2.1综合法与分析法PPT课件

1. 通过这些基本证明方法的学习，使学生在以后的学习和生活中，能自觉、有意识地运用这些方法进行数学证明，养成言之有理、论证有据的习惯.
2. 培养学生观察、分析、归纳、总结的能力.
2021
5
教学重难点
重点
结合已经学过的数学案例，了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法；了解综合法、分析法的思考过程、特点.
32
证明：
因为（ s i n 2 θ + c o s 2 θ ）2 - 2 s i n θ c o s θ = 1 , 所以将 (1)(2)代入，可得
4 sin 2α - 2 sin 2β = 1 . 另一方面要证
1 - ta n 2α = 1 - ta n 2β ， 1 + ta n 2α 2 (1 + ta n 2β ) 即证
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26
只需证 21<25.
因为21<25成立，所以成立.
3+ 7<2 5，
反思
在本例中，如果我们从“21<25”出发，逐步倒推回去，就可以用综合法证出结论.但由于我们很难想到从“21<25”入手，所以用综合法比较困难.
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27
请对综合法与分析法进行比较，说出它们各自的特点.回顾以往的数学学习，说说你对这两种证明方法的新认识.
B1
E1
C
E
A F
B
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39
D1
C1
A1
在
直
四
棱
柱
A
B
C
D
-
A
1B
1C
1
D
中
1
，

《2.2.1 综合法与分析法》PPT课件(安徽省市级优课)

课前自主学案
综合法和分析法
综合法
分析法
利用_已__知__条__件_和某从要证明的_结__论_出__发__，
些数学____定、义____、逐步寻求使它成立的
_定__理_等，公经理过一系 _充_分__条__件__，直至最后，
定列的________，最把要证明的结论归结为义后推推理导论出证所要证明判定一个明显成立的条
分别为a ，b ，c，且Ａ，Ｂ，Ｃ成等差数列，a ， b ，
c成等比数列，求证:△ＡＢＣ为等语言就是2B=A+C；
a,b,c成等比数列，转化为符号语言就是b2 =ac. A,B,C为△ABC的内角，这是一个隐含条件，明确表示出来是A+B+C=π. 此时，如果能把角和边统一起来，那么就可以进一步寻找角和边之间的关系，进而判断三角形的形状，余弦定理正好满足要求.于是，可以用余弦定理为工具进行证明.
【思维总结】本题证明中，前半部分用的是分析法，后半部分用的是综合法，两种方法综合使用，使问题较容易解决．
综合法和分析法
综合法
分析法
利用_已__知__条__件_和某从要证明的_结__论_出__发__，
些数学____定、义____、逐步寻求使它成立的
_定__理_等，公经理过一系 _充_分__条__件__，直至最后，
综合法和分析法综合法分析法利用和某些数学等经过一系后推导出所要证明的结论成立这种证明方法叫做综合从要证明的逐步寻求使它成立的直至最后把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件已知条件等这种证明方法叫做分析法已知条件定义公理定理推理论证结论出发充分条件定理定义公理课前自主学案课前自主学案综合法分析法已知条件定义公理定理所要证明的结论问题探究1

《综合法与分析法》课件1_(北师大版选修2-2)

例：有下列各式： 1 1> , 2 1 1 1+ + > 1, 2 3 1 1 1 1 1 1 3 1+ + + + + + > , 2 3 4 5 6 7 2 1 1 1 1 1 1 1 1+ + + + + + + + > 2 2 3 4 5 6 7 15 你能得到怎样的一般不等式，并加以证明。
证法1:∵ a、b、c 为不相等正数，且abc = 1，
bc + ca ca + ab ab + bc = + + 2 2 2
>
abc +
2
a bc +
2
ab c =
2
a + b + c.
1 1 1 ∴ a + b + c < + + 成立. a b c
例.已知a、b、c 为不相等正数，且abc = 1， 1 1 1 证求：a + b + c < + + . a b c
证法2:∵a、b、c为不相等正数，且abc = 1，
1 1 1 ∴ a+ b+ c = + + bc ca ab 1 1 1 1 1 1 + + + b c + c a + a b = 1 + 1 +1. < 2 2 2 a b c
1 1 1 ∴ a + b + c < + + 成立. a b c
综合法与分析法 (习题课）

【测控指导】高中数学人教B版选修1-2课件：2.2.1 综合法与分析法

-4-
2.2.1 综合法与分析法 1 2
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HISHISHULI
HONGNANJUJIAO
D典例透析 S随堂演练
IANLITOUXI
UITANGLIANXI
【做一做1-2】若a>0,b>0,且满足ab≥1+a+b,则a+b的最小值应为 .
解析 :因为 a>0,b>0,且 1+a+b≤ab≤ 即 (a+b)2≥4(a+b)+4, 所以 [(a+b)-2]2≥ 8. 所以 a+b≥2 2 + 2. 答案: 2 2 + 2
)
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【做一做2-2】已知a>b>c>0,则下列不等式成立的是(
)
A. C.
1 �� -�� 1 �� -��
答案:C
-8-
2.2.1 综合法与分析法
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证明与推理之间的联系和区别有哪些? 剖析:(1)联系:证明过程其实就是推理的过程,就是把论据作为推理的前提,应用正确的推理形式,推出论题的过程.一个论证可以只含一个推理,也可以包含一系列的推理.所以证明就是推理,是一种特殊形式的推理. (2)区别:①从结论上看,推理包含前提和结论两部分,前提是已知的,结论是根据前提推出来的;而证明是由论题、论据、论证三部分组成的.论题相当于推理的结论,是已知的,论据相当于推理的前提. ②从作用上看,推理只解决形式问题,对于前提和结论的真实性是保证不了的.而证明却要求论据必须是真实的,论题经过证明后其真实性是确信无疑的.

课件10：2.2.1　综合法与分析法

只需证
a2＋a12≥ 22a＋1a，
只需证 a2＋a12≥12a2＋a12＋2，
即证 a2＋a12≥2，即a－1a2≥0，显然成立，所以原不等式成立．
题型三综合法与分析法的综合应用例 3 △ABC 的三个内角 A，B，C 成等差数列，其角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，求证(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1. [证明] 法一：(分析法)要证(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1 成立，即证a＋1 b＋b＋1 c＝a＋3b＋c成立，即a＋a＋b＋b c＋a＋b＋b＋c c＝3，化简，得a＋c b＋b＋a c＝1，
课堂小结
1．分析法解题方向较为明确，有利于寻找解题思路；综合法条理清晰，宜于表述，因此，在实际解题时，通常以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表述过程． 2．综合法和分析法是证明数学问题的基本方法．在解决问题时既能单独运用也可以交替运用．
当堂检测
1．直接证明中最基本的两种证明方法是( )
方法归纳
分析法证明数学问题的方法
跟踪训练若 a>0，证明 a2＋a12－ 2≥a＋1a－2. 证明：要证 a2＋a12－ 2≥a＋1a－2，
只需证 a2＋a12＋2≥a＋1a＋ 2.
只需证
a2＋a12＋22≥a＋1a＋
22，
即证 a2＋a12＋4＋4 a2＋a12≥a2＋a12＋2＋2＋2 2a＋1a，
方法归纳
综合法证明问题的步骤
跟踪训练已知 a、b、c 是不全相等的正数，求证：
a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)＋c(a2＋b2)>6abc.
证明：因为 a、b、c 是正数，所以 b2＋c2≥2bc，

【高中课件】高中数学人教B版选修12第二章2.1综合法与分析法课件ppt.ppt

【分析法】
从结论出发，寻找结论成立的充分条件
直至最后，把要证明的结论归结为判定一
个明显成立的条件. 要证：
要证：
只要证：
格式只需证：
显然成立

上述各步均可逆

所以结论成立所以结论成立
分析基本不等式：a 明.
+ 2
b

ab (a>0,b>0)的证
证明:要证
x2 2x 2 0
x2 2 2x
证法2是从已经成立的事实出发,经过正确推理,得到要证的结论.
------ 综合法
引例二:求证 3 7 2 5
分析:从待证不等式不易发现证明的出发点,因此我们直接从待证不等式出发,分析其成立的充分条件.
证明:要证明 3 7 2 5 ,
证明的方法
直接证明
综合法分析法
间接证明（反证法）
引例一:证明不等式: x2 2 2x(x R)
证法1:由 x2 2 2x (x 1)2 1 1 0 x2 2 2x 证法2:由 (x 1)2 0 (x 1)2 1 1 0
综合法概念
利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法.
用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示所要证明的结论.
则综合法用框图表示为:
P Q1
Q1 Q2
Q2 Q3
…
Qn Q
特点：由因索果综合法是由一个个推理组成的.
方法二（综合法）证明: a b(a b)2 0
即 a2 2ab b2 0
即 a2 ab b2 ab

2.2.1综合法和分析法PPT课件

()
❖ A．既不充分也不必要条件
❖ B．充要条件
❖ C．充分条件
❖ D．必要条件
❖ [答案] D
❖ [解析] ∵②⇒①，但①不一定推出②.故•18 应选D.
2．若 a，b，c∈R，且 ab＋bc＋ac＝1，则下列不等
式成立的是
()
A．a2＋b2＋c2≥2 B．(a＋b＋c)2≥3 C.1a＋1b＋1c≥2 3 D．abc(a＋b＋c)≤13 ❖ [答案] B
步反推，寻找使当前命题成立的充分条件，
即用分析法证明．
[证明] ∵a>0，b>0，要证
a＋ b
b≥ a
a＋
b成立，
只需证
a＋ b
ba2≥(
a＋
b)2 成立，
即证ab2＋ba2＋2 ab≥a＋b＋2 ab成立．
•5
即证a3a＋bb3≥a＋b.
也就是证(a＋b)(a2－ab＋b2)≥ab(a＋b)成立．
要证a＋1 b＋b＋1 c＝a＋3b＋c，
即证a＋a＋b＋b c＋a＋b＋b＋c c＝3，
也就是a＋c b＋b＋a c＝1，
❖ 只需证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，
❖ 需证c2＋a2＝ac＋b2，
❖ 又△ABC三内角A、B、C成等差数列，故B
＝60°，
•11
❖ 由余弦定理，有 ❖ b2＝c2＋a2－2accos60°，即b2＝c2＋a2－ac， ❖ 故c2＋a2＝ac＋b2得证． ❖ 综合法： ❖ 证明：∵△ABC三内角A、B、C成等差数列， ❖ ∴B＝60°. ❖ 由余弦定理，有b2＝c2＋a2－2cacos60°， ❖ 得c2＋a2＝ac＋b2， ❖ 等式两边同时加上ab＋bc得 ❖ c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，

《2.2.1 综合法与分析法》课件7-优质公开课-人教B版选修2-2精品

第二章
2.2
第1课时
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教B版 ·数学 · 选修2-2
(2)作 BE⊥PA 于点 E，∴E(2， 3，1)． → → → BE＝(2，－ 3，1)，∴BE· DA＝0. ∴BE⊥DA. 又∵BE⊥PA， ∴BE⊥面 PAD，∴面 PAB⊥面 PAD.
第二章
2.2
[证明] (1)以 C 为原点，CD、CB、CP 所在的直线分别为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系．由∠ PBC ＝ 30° ， PC ＝ 2 ， BC ＝ 2 3 ， AB ＝ 4 ，不难得到 3 3 D(1,0,0)，B(0,2 3，0)，A(4,2 3，0)，P(0,0,2)，M(0， 2 ，2)． 3 1 → → → 设CM＝xDP＋yDA⇒x＝4，y＝4. → → → ∴CM，DP，DA共面． ∵CM⊄平面 PAD，高中新课程 ·学习指导 ·人教B版 ·数学 · 选修2-2
求证：当一个圆与一个正方形的周长相等时，这个圆的面积比正方形的面积大．
[证明]
设圆和正方形的周长为 L，依题意，圆的面积为
L 2 L2 L 2 L2 π(2π) ，正方形的面积为(4) ，因此，本题只需证明 π(2π) >(4 ) . πL2 L2 L 2 L2 为了证明 π(2π) >(4 ) 成立，只需证明 4π2>16， 4 1 1 两边同乘正数L2，得π>4，因此，只需证明 4>π.
第二章
2.2
第1课时
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教B版 ·数学 · 选修2-2
用 P 表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q 表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为： P⇒Q1 → Q1⇒Q2 → Q2⇒Q3 →„→ Qn⇒Q 1．综合法的特点综合法的特点是从“已知”看“未知”，其逐步推理，实际上是寻找使结论成立的必要条件．

《2.2.1 综合法与分析法》课件1-优质公开课-人教B版选修2-2精品

1．从本例中可以看出，已知条件简单而证明的结论比较复杂，这时我们一般采用分析法，在叙述过程中“要证”“只需证”“即要证”这些词语必不可少，否则会出现错误．
2．逆向思考是用分析法证题的主题思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件，正确把握转化方向，使问题顺利获解．
若本例改为“已知 a>0，b>0，求证 a ＋ b ≥ a＋ b” ba
分析法 (1)定义：分析法是从待证结论出发，一步一步寻求结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实的论证方法． (2)分析法的பைடு நூலகம்证过程
B(结论)⇐B1⇐B2…⇐Bn⇐A(已知)
综合法
在△ABC 中，三边 a，b，c 成等比数列．求证： acos2C2 ＋ccos2A2 ≥32b.
课标解读
握综合法、分析法的思维特点．(重点、易混点) 2.会用综合法、分析法解决问
题．(重点、难点)
综合法
【问题导思】阅读下列证明过程，回答问题：已知实数 x，y 满足 x＋y＝1，求证 2x＋2y≥2 2. 证明：因为 x＋y＝1，所以 2x＋2y≥2 2x·2y＝2 2x＋y＝2 2. 故 2x＋2y≥2 2成立．
【防范措施】 (1)分析法证明数学命题时，是从结论出发，寻找使结论成立的充分条件，一定要恰当地用好“要证明”、“只需证明”，“即证”等词语．
(2)综合法的优点是易于表达，条理清晰，形式简捷，故我们一般用分析法寻求解题思想，用综合法书写解题过程．
【正解】 (分析法)：要证明 a∥b，
而 a＝(4cos α，sin α)，b＝(sin β，4cos β)；
已知函数 f(x)＝tan x，x∈(0，π2)，若 x1，x2∈(0，π2)，且 x1≠x2，求证：12[f(x1)＋f(x2)]>f(x1＋2 x2)．

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例3 求证： 3 7 2 5.
证明:因为 3 7 和 2 5 都是正数，所以要证只需证
3 7 2 5
( 3 7)2 (2 5)2
展开得
只需证只需证
10 2 21
21 5
21 25
因为 21 25 成立，所以
3 7 2 5 成立.
例4 求证：当一个圆和一个正方形的周长相等时，圆的面积比正方形的面积大. 证明：设圆和正方形的周长为L，依题意， L 2 L 2 圆的面积为 ( ) , 正方形的面积为 ( ) , 4 2 因此本题只需证明 L 2 L 2 ( ) > ( ) . 2 4
= log19 5 + log19 3 + log19 2 = log19 (5创32 23 )
2 3
= log19 360. 因为 log19 360 < log19 361 = 2, 所以
1 2 3 + + < 2. log5 19 log 3 19 log 2 19
例2 如图，设在四面体PABC中，∠ABC=90°， PA=PB=PC，D是AC的中点.求证PD垂直于 △ABC所在的平面.
2.分析法.(逆推法)(执果索因法)
从证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知，定理，定义，公理等).这种证明的方法叫做分析法. 用Q表示所要证明的结论，则分析法可用框图表示为:
Q P1
P1 P2
P2 P3
…
得到一个明显成立的条件
又因为c2+b2 ≥2bc，b>0
所以b(c2+a2)≥ 2abc.
因此a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc.
1、综合法(顺推法)(由因导果法) 利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法也叫顺推法或由因导果法用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论. 则综合法用框图表示为:
P Q1
Q1 Q2
Q2 Q3
…
Qn Q
综合法是由一个个推理组成的
1 2 3 例1求证： + + < 2. log 5 19 log 3 19 log 2 19
1 证明：因为 log a b = , 所以 log b a 左边 = log19 5 + 2 log19 3 + 3 log 19 2
F 证明:要证AF⊥SC E 只需证:SC⊥平面AEF 只需证:AE⊥SC A C 只需证:AE⊥平面SBC B 只需证:AE⊥BC 只需证:BC⊥平面SAB 因为:SA⊥平面ABC成立只需证:BC⊥SA 所以. AF⊥SC成只需证:SA⊥平面ABC 立
【巩固练习】
1、求证： cos sin cos 2 .
2

与抛物线交于A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) 两点. 求 x1 x2 y1 y2 的值.
ex a f ( x) x 是 R上的偶函数. 5、设 a > 0， a e
(1)求 a 的值；
(2) 证明 f(x) 在(0，＋∞)上是增函数.
谢谢观看！
2.2.1 综合法与分析法
复习
推理
合情推理（或然性推理）
演绎推理（必然性推理）
归纳类比三段论 (特殊到一般）（特殊到特殊）（一般到特殊）
演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程.
合情推理得到的结论是不可靠的，需要证明.数学中证明的方法有哪些呢？
ì ì ï 综合法 ï ï ï ï 直接证明í ï 证明的方法 í 分析法 ï î ï ï ï ï î 间接证明（反证法）
1 概念
直接证明
从原命题的条件或结论出发，根据已知的定义、
公理、定理，直接推得命题成立. 2 直接证明的一般形式：
已知条件ü ï ï ï 已知定义ï ï 揶L ý 已知公理ï ï ï 已知定理ï ï þ 本题结论
在数学证明中，我们经常从已知条件和某些数学定义、定理、公理、性质等出发通过推理导出所要的结论. 例如:已知a>0，b>0，求证 2+c2)+b(c2+a2)≥4abc a( b 证明: 因为b2+c2 ≥2bc，a>0 所以a(b2+c2)≥2abc.
为了证明上式成立，只需证明 L L2 > , 2 4 16
4 两边同时乘以正数 2 , 得 L 1 1 > . 4
因此，只需证明
4>π.
因为上式是成立的，所以 L 2 L 2 ( ) > ( ) . 2 4
这就证明了如果一个圆和一个正方形的周长相等，
那么圆的面积比正方形的面积大.
练习:如图，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，过A作SB的垂线，垂足为E，过E作SC 的垂线，垂足为F，求证S AF⊥SC
4 4
2、已知 tan sin a , tan sin b, 求证：（a b ) 16ab.
2 2 2
3、已知 a , b, c R , a b c 1, 1 1 1 求证：（ 1)( 1)( 1) 8. a b c
4、已知抛物线 y 2 px ( p 0) , 过焦点的弦
证明：连接PD，BD，因为BD是Rt△ABC斜边上的中线，所以DA=DC=DB.又因为PA=PB=PC，而PD是△PAD，△PBD， △PCD的公共边，所以 △PAD≌△PBD ≌ △PCD. 于是， ∠PAD= ∠PBD =∠PCD，而∠PDA= ∠PDC=90°，因此，∠PDB=90°.可见PD⊥AC和PD⊥BD.由此可知PD垂直于△ABC所在的平面.