5-4第五章 数列

课后课时作业[A 组·基础达标练]1．S n ＝12＋12＋38＋…＋n2n 等于( ) A.2n －n 2n B.2n ＋1－n －22n C.2n －n ＋12n ＋1D.2n ＋1－n ＋22n答案 B解析 由S n ＝12＋222＋323＋…＋n2n ，① 得12S n ＝122＋223＋…＋n －12n ＋n2＋，②①－②得，12S n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n 2n ＋1 ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12－n 2n ＋1，∴S n ＝2n ＋1－n －22n. 2．已知{a n }为等差数列，其公差为－2，且a 7是a 3与a 9的等比中项，S n 为{a n }的前n 项和，n ∈N *，则S 10的值为( )A ．－110B ．－90C ．90D ．110 答案 D解析 由题意得a 27＝a 3·a 9，又公差d ＝－2，∴(a 3－8)2＝a 3(a 3－12)，∴a 3＝16.∴S 10＝10(a 1＋a 10)2＝10(a 3＋a 8)2＝5(a 3＋a 3＋5d )＝5×(16＋16－10)＝110，故选D.3．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前100项和为( ) A.100101 B.99101 C.99100 D.101100答案 A解析 由S 5＝5a 3及S 5＝15得a 3＝3，∴d ＝a 5－a 35－3＝1，a 1＝1，∴a n ＝n ，1a n a n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前100项和T 100＝1－12＋12－13＋…＋1100－1101＝1－1101＝100101，故选A.4．已知数列{a n }满足a n ＋1＝12＋a n －a 2n ，且a 1＝12，则该数列的前2016项的和等于( )A ．1509B ．3018C ．1512D ．2016答案 C解析 因为a 1＝12， 又a n ＋1＝12＋a n －a 2n ，所以a 2＝1，从而a 3＝12，a 4＝1，即得a n ＝⎩⎨⎧12，n ＝2k －1(k ∈N *)，1，n ＝2k (k ∈N *)，故数列的前2016项的和等于 S 2016＝1008×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＝1512. 5．[2015·日照一模]已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－6n ，则{|a n |}的前n 项和T n ＝( )A ．6n －n 2B ．n 2－6n ＋18C.⎩⎪⎨⎪⎧6n －n 2(1≤n ≤3)n 2－6n ＋18(n >3) D.⎩⎪⎨⎪⎧6n －n 2(1≤n ≤3)n 2－6n (n >3) 答案 C解析 由S n ＝n 2－6n 可得，当n ≥2时， a n ＝S n －S n －1＝n 2－6n －(n －1)2＋6(n －1)＝2n －7. 当n ＝1时，S 1＝－5＝a 1，也满足上式， 所以a n ＝2n －7，n ∈N *.∴n ≤3时，a n <0；n >3时，a n >0，∴T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6n －n 2(1≤n ≤3)，n 2－6n ＋18(n >3).6．已知函数f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n 2(n 为奇数)，－n 2(n 为偶数)，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100等于( )A ．－100B ．100C ．－1020D ．1020答案 B解析 当n 为奇数时，a n ＝n 2－(n ＋1)2＝－(2n ＋1)． 当n 为偶数时，a n ＝－n 2＋(n ＋1)2＝2n ＋1.∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝－3＋5－7＋9－…－199＋201 ＝(－3＋5)＋(－7＋9)＋…＋(－199＋201) ＝2×50＝100.7．[2013·重庆高考]已知{a n }是等差数列，a 1＝1，公差d ≠0，S n为其前n 项和，若a 1，a 2，a 5成等比数列，则S 8＝________.答案 64解析 由a 1、a 2、a 5成等比数列，得(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋4d )，即(1＋d )2＝1＋4d ，解得d ＝2(d ＝0舍去)，S 8＝1＋152×8＝64.8．[2013·辽宁高考]已知等比数列{a n }是递增数列，S n 是{a n }的前n 项和．若a 1，a 3是方程x 2－5x ＋4＝0的两个根，则S 6＝________.答案 63解析 a 1，a 3是方程x 2－5x ＋4＝0的两个根且{a n }是递增数列，故a 3＝4，a 1＝1，故公比q ＝2，S 6＝a 1(1－q 6)1－q＝63.9．数列32，94，258，6516，…，n ·2n ＋12n 的前n 项和为________． 答案 n (n ＋1)2－12n ＋1解析 由于a n ＝n ·2n ＋12n ＝n ＋12n ，∴前n 项和S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋121＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋123＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋12n ＝(1＋2＋3＋…＋n )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋123＋…＋12n ＝(n ＋1)n 2＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12＝n (n ＋1)2－12n ＋1.10．[2016·贵州七校联考]已知{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，S n 是数列{a n }的前n 项和，a 1＝b 1＝1，且b 3S 3＝36，b 2S 2＝8.(1)求a n 和b n ；(2)若a n <a n ＋1，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和T n .解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧q 2(3＋3d )＝36，q (2＋d )＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2，q ＝2或⎩⎨⎧d ＝－23，q ＝6，∴⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝2n －1，b n ＝2n －1或⎩⎨⎧a n ＝13(5－2n )，b n ＝6n －1.(2)a n <a n ＋1，由(1)知a n ＝2n －1， ∴1a n a n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1) ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1， ∴T n ＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝n2n ＋1. 11．已知等差数列{a n }前三项的和为－3，前三项的积为8. (1)求等差数列{a n }的通项公式；(2)若a 2，a 3，a 1成等比数列，求数列{|a n |}的前n 项和． 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a 2＝a 1＋d ，a 3＝a 1＋2d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝－3，a 1(a 1＋d )(a 1＋2d )＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4，d ＝3.所以由等差数列通项公式可得a n ＝2－3(n －1)＝－3n ＋5或a n ＝－4＋3(n －1)＝3n －7.故a n ＝－3n ＋5或a n ＝3n －7.(2)当a n ＝－3n ＋5时，a 2，a 3，a 1分别为－1，－4,2，不成等比数列；当a n ＝3n －7时，a 2，a 3，a 1分别为－1,2，－4，成等比数列，满足条件．故|a n |＝|3n －7|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3n ＋7，n ＝1，2，3n －7，n ≥3.记数列{|a n |}的前n 项和为S n .当n ＝1时，S 1＝|a 1|＝4；当n ＝2时，S 2＝|a 1|＋|a 2|＝5； 当n ≥3时，S n ＝S 2＋|a 3|＋|a 4|＋…＋|a n |＝5＋(3×3－7)＋(3×4－7)＋…＋(3n －7)＝5＋(n －2)[2＋(3n －7)]2＝32n 2－112n ＋10. 当n ＝2时，满足此式，综上，S n ＝⎩⎨⎧4，n ＝1，32n 2－112n ＋10，n >1.12．设数列{a n }的各项都为正数，其前n 项和为S n ，已知对任意n ∈N *，S n 是a 2n 和a n 的等差中项．(1)证明数列{a n }为等差数列，并求数列{a n }的通项公式； (2)证明1S 1＋1S 2＋…＋1S n<2.证明 (1)由已知得2S n ＝a 2n ＋a n ，且a n >0，当n ＝1时，2a 1＝a 21＋a 1，解得a 1＝1(a 1＝0舍去)；当n ≥2时，有2S n －1＝a 2n －1＋a n －1.于是2S n －2S n －1＝a 2n －a 2n －1＋a n －a n －1， 即2a n ＝a 2n －a 2n －1＋a n －a n －1. 于是a 2n －a 2n －1＝a n ＋a n －1，即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1)＝a n ＋a n －1.因为a n ＋a n －1>0，所以a n －a n －1＝1(n ≥2)．故数列{a n }是首项为1，公差为1的等差数列，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝n (n ∈N *)．(2)由(1)知，a n ＝n ，所以S n ＝n (n ＋1)2，则1S n＝2n (n ＋1)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，所以1S 1＋1S 2＋…＋1S n＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1<2. [B 组·能力提升练]1．已知幂函数f (x )＝x α的图象过点(4,2)，令a n ＝f (n ＋1)＋f (n )，n∈N *，记数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为S n ，则S n ＝10时，n 的值是( )A ．10B ．120C ．130D ．140答案 B解析 ∵幂函数f (x )＝x α过点(4,2)， ∴4α＝2，∴α＝12，f (x )＝x 12，∴a n ＝f (n ＋1)＋f (n )＝n ＋1＋n ， ∴1a n ＝1n ＋1＋n＝n ＋1－n .∴S n ＝(2－1)＋(3－2)＋…＋(n ＋1－n ) ＝n ＋1－1. 又S n ＝10， ∴n ＋1－1＝10， ∴n ＝120.故选B.2．[2016·云南一检]在数列{a n }中，a n >0，a 1＝12，如果a n ＋1是1与2a n a n ＋1＋14－a 2n的等比中项，那么a 1＋a 222＋a 332＋a 442＋…＋a 1001002的值是( ) A.10099 B.101100 C.100101 D.99100答案 C解析由题意可得，a 2n ＋1＝2a n a n ＋1＋14－a 2n⇒(2a n ＋1＋a n a n ＋1＋1)(2a n ＋1－a n a n ＋1－1)＝0⇒a n ＋1＝12－a n ⇒a n ＋1－1＝a n －12－a n ⇒1a n ＋1－1＝1a n －1－1，∴1a n －1＝112－1－(n －1)＝－n －1⇒a n ＝n n ＋1⇒a n n 2＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，∴a 1＋a 222＋…＋a 1001002＝1－12＋12－13＋…＋1100－1101＝100101.3．[2015·南昌零模]等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知f (x )＝2x －12x ＋1，且f (a 2－2)＝sin 2014π3，f (a 2014－2)＝cos 2015π6，则S 2015＝________.答案 4030解析 因为f (x )＝2x －12x ＋1，f (－x )＝2－x －12－x ＋1＝1－2x2x ＋1，所以f (x )＋f (－x )＝0，即f (－x )＝－f (x )．而f (x )＝2x －12x ＋1＝1－22x ＋1，所以f (x )是R 上的增函数．又f (a 2－2)＝sin 2014π3＝sin(671π＋π3)＝－sin π3＝－32， f (a 2014－2)＝cos 2015π6＝cos(336π－π6)＝cos π6＝32， 所以f (a 2－2)＝－f (a 2014－2)＝f (2－a 2014)， 所以a 2－2＝2－a 2014，所以a 2＋a 2014＝4.所以S 2015＝2015(a 1＋a 2015)2＝2015(a 2＋a 2014)2＝2015×42＝4030. 4．[2016·宝鸡月考]已知数列{a n }满足a 1＝5，a 2＝5，a n ＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2)．(1)求证：{a n ＋1＋2a n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式；(3)设3n b n ＝n (3n －a n )，求|b 1|＋|b 2|＋…＋|b n |.解 (1)证明：∵a n ＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2)， ∴a n ＋1＋2a n ＝3a n ＋6a n －1＝3(a n ＋2a n －1)(n ≥2)． ∵a 1＝5，a 2＝5， ∴a 2＋2a 1＝15， ∴a n ＋2a n －1≠0(n ≥2)， ∴a n ＋1＋2a n a n ＋2a n －1＝3(n ≥2)， ∴数列{a n ＋1＋2a n }是以15为首项，3为公比的等比数列． (2)由(1)得a n ＋1＋2a n ＝15×3n －1＝5×3n ， 则a n ＋1＝－2a n ＋5×3n ， ∴a n ＋1－3n ＋1＝－2(a n －3n )． 又∵a 1－3＝2，∴a n －3n ≠0，∴{a n －3n }是以2为首项，－2为公比的等比数列． ∴a n －3n ＝2×(－2)n －1，即a n ＝2×(－2)n －1＋3n ＝3n －(－2)n . (3)由(2)及3n b n ＝n (3n －a n )可得，3n b n ＝－n (a n －3n )＝－n [2×(－2)n －1]＝n (－2)n ，∴b n ＝n ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23n ，∴|b n |＝n ⎝ ⎛⎭⎪⎫23n . ∴T n ＝|b 1|＋|b 2|＋…＋|b n |＝23＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋…＋n ⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ，①①×23，得23T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫233＋…＋(n －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ＋n ⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ＋1，② ①－②，得13T n ＝23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －n ⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ＋1 ＝2－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ＋1－n ⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ＋1＝2－(n ＋3)⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ＋1，∴T n ＝6－2(n ＋3)⎝ ⎛⎭⎪⎫23n .。