第五章,,第一节 Lesbesgue积分的定义及性质

∫
E
( x)dx ≤ ∫ | f ( x) |dx ≤ ∫ ( x)dx + ε , 故有∫ (| f ( x) | ( x))dx ≤ ε 2 2
E E E
由于φ(x)为简单函数，故存在M，使得|φ(x)|<M
令δ =
e
ε
2M
，则当 e E ，且 me < δ 时，
ε
2 e e e
| ∫ f dx |≤ ∫ | f | dx = ∫ (| f | φ ) dx + ∫ φ dx <
+M
ε
2M
=ε
Lesbesgue积分 Lesbesgue积分
Riemann积分
yi yi-1
xi-1 xi
分割值域
(L)∫ f ( x ) dx = lim
分割定义域
n
[ a ,b ]
δ →0
∑
i =1
ξ i mE
i
( R ) ∫ f ( x ) dx = lim
a
b
||T || → 0
∑ f (ξ )x
i =1 i
n
i
⒊非负可测函数可积的等价描述
设f(x)为E上几乎处处有限的 非负可测函数, mE<+∞， 在[0, +∞)上作分划:
0 = y0 < y1 < y2 < L < yk < yk +1 < L → +∞
yk+! yk
其中 y k +1 y k < δ , 令k = {x : y k ≤ f ( x ) < y k +1} k = 0,1,2,3, L E
∫α
E
f ( x)dx = α ∫ f ( x)dx
E
(5)设f(x)是 (5)设f(x)是E上的可测函数，∫E | f ( x) |dx = 0 ， 证明 f ( x ) = 0 a.e.于E a.e.于
令 证明： E n = E
[ | f |≥
1 n
用到了积分的可加性
]
则En为可测集, 且 E [ | f | > 0 ]
n =1 n→∞ ∞
对每个n，有 n mEn ≤ ∫E | f ( x) |dx ≤ ∫E | f ( x) |dx < +∞
n
所 以 lim m E n = 0
n→ ∞
从而 mE [| f | = +∞ ] = m ( ∩ E n ) = m ( lim E n ) = lim mE n = 0
E [ f n <σ ]
f n ( x)dx
≥ σ mE[ f n ≥ σ ] ≥ 0
又 lim ∫
n →∞ E
f n ( x)dx = 0，所以 lim mE[ f n ≥ σ ] = 0
n →∞
⑶一般可测函数的积分
设f(x)为E上的可测函数，定义
( L) ∫ f ( x)dx = ( L) ∫ f + ( x)dx ( L) ∫ f ( x)dx
E E E
（要求 ( L) ∫E f + ( x)dx, ( L) ∫E f ( x)dx 不同时为 为f(x)在E上的Lebesgue积分（有积分）
E En
= ∪ En
n =1
∞
从0 = ∫ | f ( x) |dx = ∫ | f ( x) |dx + ∫
可得 mE
n
E En
| f ( x) |dx ≥ ∫ | f ( x) |dx ≥ 1 mEn n
En
[ | f |> 0 ]
= 0 ，从而
mE
[ | f |≠ 0 ]
= mE
≤ Σ mE
例：对Dirichlet函数
∑
n
i =1
c i mE
i
D ( x) =
E
{
1 x∈[ 0 ,1] ∩ Q 0 x∈[ 0 ,1 ] Q
有( L) ∫ D( x)dx = 1 0 + 0 1 = 0
0
1
⑵非负可测函数的积分
设f(x)为E上非负可测函数，定义
( L ) ∫ f ( x)dx = sup{( L ) ∫ ( x )dx : ( x )为E上的简单函数
n =1
∞
n
= 0
即f(x)=0 a.e.于E。
( 0 [ 1/n
(6) 若f可积，则f几乎处处有限. 可积，则f几乎处处有限.
证明： 令En = E[| f |≥ n ]
则E 1 E E L 则E1 E22 E33 L , 且 E[| f | = +∞ ] = ∩ E n = lim E n
则f(x)在E上可积当且仅当 ∑
且 (L )∫
E
∞
y
k = 0
k
mE
k
< +∞
f ( x ) dx = lim
δ → 0
∑
∞
k =0
y k mE
kHale Waihona Puke 非负可测函数可积的等价描述的证明
证明：
由于yk mEk ≤ ∫ f ( x)dx ≤ yk +1mEk , k = 0,1,2,L
Ek
故∑ yk mEk ≤ ∑ ∫ f ( x)dx ≤ ∑ yk +1mEk
E E
， ≤ ( x) ≤ f ( x )} 0
为f(x)在E上的Lebesgue积分
若f(x)是E上的可测函数,则f(x)总可表示成一列 简单函数 {n ( x)} 的极限 f ( x) = lim n ( x) ，而且还 n →∞ 可办到 | 1 ( x ) |≤ | 2 ( x ) |≤ L
f (x) = f
+
(x) f
+
(x)
| f ( x ) |= f
(x) + f
(x)
⑶单调性:
若f ( x) ≤ g ( x)，则∫ f ( x)dx ≤ ∫ g ( x)d x
E E
⑷线形: ∫E ( f ( x) + g ( x))dx = ∫E f ( x)dx + ∫E g ( x)d x
证明：当 x ∈ [ 0,1]时，有 Σ χ Ei ( x ) ≥ k
i =1
n
所以 Σ mE i = Σ ∫
i =1
n
n
i =1 [ 0 ,1]
χ E ( x ) dx = ∫
i
[ 0 ,1] i =1
Σ χ Ei ( x ) dx ≥ k，
n
若对每个i，mEi < k ，则 Σ mEi < k n = k，从而得到矛盾， n n
k =0
∞
当δ → 0时，即有∫ f ( x)dx = lim ∑ yk mEk
E
∞
δ →0
k =0
例：若E 例：若E1, E2,…, En是[0,1]中的可测集，[0,1]中每一点 [0,1]中的可测集，[0,1]中每一点 至少属于上述集合中的k (k≤n),则在E 至少属于上述集合中的k个(k≤n),则在E1, E2,…, En中必 有一个点集的测度大于或等于k/n 有一个点集的测度大于或等于k/n
+∞
）
注：当 ( L) ∫E f ( x)dx 有限时，称f(x)在E上 L可积
( 积分的几何意义： L) ∫E f ( x)dx = mG( E; f )
G ( E; f ) = {( x, y ) : x ∈ E ,0 ≤ y < f ( x)}
⒉积分的性质 ⑴零集上的任何函数的积分为0 ⑵ f(x)可积当且仅当|f(x)|可积（f(x)是可测函数）, 且 | ∫E f ( x )dx |≤ ∫E | f ( x ) |dx
k =0 k =0 Ek k =0
∞
∞
∞
从而∑ yk mEk ≤ ∫ f ( x)dx = ∑ ∫ f ( x)dx
k =0 E k =0 Ek
∞
∞
≤ ∑ yk +1mEk = ∑ yk +1 yk）mEk + ∑ yk mEk （
k =0 k =0 k =0
∞
∞
∞
yk+1 yk
≤ δ mE + ∑ yk mEk
证明：由于f(x)可积，故|f(x)|也可积
E E
积分的绝对连续性的证明
∫ | f ( x) | dx = sup{∫ ( x)dx : ( x)为E上简单函数，
故对任意ε，存在E上的简单函数φ(x)
，
且0 ≤ (x) ≤| f (x) |}
使在E上 0 ≤ ( x) ≤| f ( x) |, 且
第五章 积分理论
第一节 Lesbesgue积分的定义及性质 Lesbesgue积分的定义及性质
1.积分的定义 1.积分的定义 ⑴非负简单函数的积分
设 ( x) = ∑ c χ
i =1 i
n
Ei
( x)
是E
= ∪ Ei
i =1
n
( Ei可测且两两不交）
=
上非负简单函数，定义( L ) ∫E ( x ) dx 为 ( x ) 在E上的Lebesgue积分
i =1
n
所以存在i0，使mEi0 ≥ k 。 n
例 设fn(x)为E上非负可测函数列， (x)为
若 lim
n→ ∞
∫f
E
n
( x )dx = 0，则 f n 0 于 E
用到了积分的可加性
证明： σ > 0, 有
∫
E
f n ( x)dx = ∫