21.1 二次根式
21.1 二次根式(课件)华东师大版数学九年级上册
；
21.1 二次根式
考
点
清
单
解
读
■考点三
性质
返目录
二次根式的性质
文字叙述
应用
① ≥0（a≥0）的最
≥0
（a≥0）
一个非负数的算术平 小值是 0；②二次根式
方根是一个非负数
具有双重非负性，利用
二次根式的非负性解题
21.1 二次根式
考
点
清
单
解
读
返回目录
续表
性质
文字叙述
应用
①正用公式：如（ ）2
母不能为零，例如要使
+
有意义，除了满足
被开方数x+1≥0外，还要满足分母x≠0
注意
（3）如果一个式子中含有负整数指数幂或零指
数幂，那么底数不能为零，例如要使 + +x0
有意义，除了满足被开方数x+1≥0外，还要满足
底数x≠0
21.1 二次根式
考
点
清
单
解
读
返回目录
归纳总结
求使二次根式（或含二次根式的式子）有意义的步骤
返回目录
21.1 二次根式
返回目录
典例4 若 ( − )=3 -x，则 x 的取值范围是
考
点
清 _______.
单
［解题思路］∵ ( − 3)2 =|x-3|=3-x，∴3-x≥0，x≤3.
解
读
［答案］x≤3
21.1 二次根式
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的双重非负性的应用
重 ■题型一
难
2+ − + =0，则
清
华师大版数学九年级上册《21.1 二次根式》教学设计2
华师大版数学九年级上册《21.1 二次根式》教学设计2一. 教材分析华东师范大学版数学九年级上册《21.1 二次根式》是学生在初中阶段学习二次根式的起点，也是为高中阶段进一步学习函数、不等式等知识做铺垫。
本节课主要让学生理解二次根式的概念，掌握二次根式的性质和运算方法，并能够解决一些实际问题。
教材通过引入二次根式，让学生感受数学与现实生活的联系，提高学生学习数学的兴趣。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了实数、有理数、无理数等基础知识，具备一定的逻辑思维能力和运算能力。
但学生对二次根式这一概念较为陌生，对其性质和运算方法的认识需要通过实例和练习逐步建立。
此外，学生对于将实际问题转化为二次根式问题的能力有待提高。
三. 教学目标1.理解二次根式的概念，掌握二次根式的性质和运算方法。
2.能够将实际问题转化为二次根式问题，并运用二次根式解决实际问题。
3.培养学生的逻辑思维能力和运算能力，提高学生学习数学的兴趣。
四. 教学重难点1.二次根式的概念及其性质。
2.二次根式的运算方法。
3.将实际问题转化为二次根式问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究二次根式的概念、性质和运算方法。
2.利用实例和练习，让学生在实际操作中掌握二次根式的应用。
3.采用小组合作学习，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
4.运用多媒体辅助教学，提高课堂趣味性和教学效果。
六. 教学准备1.准备相关课件和教学素材。
2.设计具有代表性的练习题和实际问题。
3.准备黑板、粉笔等教学工具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些实际问题，如测量物体高度、计算物体体积等，引导学生思考如何利用数学知识解决这些问题。
然后引入二次根式的概念，让学生初步了解二次根式在实际问题中的应用。
2.呈现（15分钟）讲解二次根式的定义，引导学生通过实例理解二次根式的概念。
同时，介绍二次根式的性质，如：二次根式具有非负性、单调性等。
让学生通过实际问题，运用二次根式的性质解决问题。
21.1_二次根式_全章
C BA21.1 二次根式第1课时学习目标1a≥0）的意义解答具体题目．2a≥02=a （a≥0），并利用它们进行计算和化简． 学习过程 一、预习形成：请同学们独立完成下列三个问题： 问题1：已知反比例函数y=3x，那么它的图象在第一象限横、•纵坐标相等的点的坐标是___________．问题2：如图，在直角三角形ABC 中， AC=3，BC=1， ∠C=90°，那么AB 边的长是__________． 二、课堂讲练： 探究一 议一议：1．－1有算术平方根吗？ 2．0的算术平方根是多少？ 3．当a<0归纳：一般地，我们把形如___________的式子叫做二次根式， ________称为二次根号．例1下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：1x x>0）1x y+x≥0，y •≥0）．归纳：二次根式应满足两个条件： (1)_________________ (2)_________________例2．当x在实数范围内有意义？练习：1．二次根式a-1 中，字母a的取值范围是（）A. a＜lB.a≤1C.a≥1D.a＞12、函数y=中，自变量x的取值范围是_________思考：如何确定二次根式中字母的取值范围？三、巩固练习教材P练习1、2、3．四、应用拓展例3．当x11x+在实数范围内有意义？例4.(1)已知，求xy的值．(2)=0，求a2010+b2010的值．探究二根据算术平方根的意义填空：2=_______；2=_______；2=______；2=_______；2=______；2=_______；2=_______．例5.计算1．22．（23．24． 2基础练习计算下列各式的值：2 = 2 = 2 = 2=-=（ 2 = 22应用拓展计算：（1）2（x≥0）（2）2（3）2（4）2五、归纳小结本节课要掌握：______________________________________________________________ __________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ 六、布置作业1．教材P8复习巩固1、综合应用5．2．选用课时作业设计．第一课时作业设计（一）选择题1．下列式子中，是二次根式的是（）A B C D．x2、已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（）A．5 B C．15D．以上皆不对3、数a没有算术平方根，则a的取值范围是（）．A．a>0 B．a≥0 C．a<0 D．a=0（二）填空题1．2=________．2x _______．3的个数是__________．(三)综合提高题（选做）1．某工厂要制作一批体积为1m3的产品包装盒，其高为0.2m，按设计需要，•底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？2．当x2在实数范围内有意义？3．4.x有（）个．A．0 B．1 C．2 D．无数5.已知a、b=b+4，求a、b的值．6，求x y的值．21.1 二次根式第２课时【学习目标】1、（a≥0）并利用它进行计算和化简．2（a≥0），并利用这个结论解决具体问题．【学习过程】一、复习引入1．形如_____________的式子叫做二次根式；2a≥0）是一个_____________；3．2＝_____（a≥0）．猜想：当a≥0，举例说明.二、探究新知填空：=_______；=________．结论例1计算1．22．（23．24． 2例2化简:（1（2（3（4==;张后同学的解答过程是在化简时,李明同学的解答过程是4=-. 谁的解答正确?为什么?4三、巩固练习1、计算下列各式的值：2222（ 2 22-2、教材P7练习2．四、应用拓展例3 计算1．2（x≥0）2．23． 2例4在实数范围内分解下列因式:（1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3例5 填空：当a≥0；当a<0，•并根据这一性质回答下列问题．（1，则a可以是什么数？（2－a，则a可以是什么数？（3，则a可以是什么数？例6 当x>2· · · · 0 1 2p 例7 实数p 在数轴上的位置如图所示：2三、课堂小结：四、课堂评价：（一）选择题1 ）． A ．0 B ．23 C ．423D ．以上都不对2．a≥0比较它们的结果，下面四个选项中正确的是（ ）．A BC D （二）填空题1．2m 的最小值是________． （三）综合提高题（选做）1．若│1995－，求a －19952的值．（提示：先由a －2000≥0，判断1995－a •的值是正数还是负数，去掉绝对值）2. 若－3≤x≤2时，试化简│x －《二次根式》自我检测1、计算： （1） =2)32(－（2）=+-442x x （2≥x ） （3）2)73( = （4）2)52(-= 2、下列等式中的字母应符合什么条件？ （1）22)(a a = （2）a a -=23、判断正误，如果是错的，请写出正确结果.（1）2)2(2-=- （2）7434322=+=+4、已知a 、b 、c 是△ABC 的三边长，化简：22)()(c a b c b a +----5、已知△ABC 的三边长分别为a 、b 、c, 且a 、b 、c 满足a 2 －|5|0c -=，则△ABC 的形状是 三角形．作业：回归教材，认真阅读.完成课本上21.1没有完成的练习及习题，做好小组展示准备.21.2 二次根式的乘除第１课时【学习目标】1、a≥0，b≥0）a≥0，b≥0），并利用它们进行计算和化简2、•a≥0，b≥0）并运用它进行解题和化简．【学习过程】一、预习形成1．填空（1；（2=_______．（3．参考上面的结果，用“>、<或＝”填空．2．利用计算器计算填空（1（2（3（4二、课堂讲练一般地，对二次根式的乘法规定为反过来:例1．计算（1（2（3（4例2 化简（1（2（3（4（5三、巩固练习（1）计算：①②(2) 化简:（3）教材P11练习全部.四、应用拓展例3．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：（1=（2五、课堂小结：六、布置作业1．课本P151，4，5，6．（1）（2）．2．选用课时作业设计．（一）选择题1，•那么此直角三角形斜边长是（）．A．B．C．9cm D．27cm2．化简）．A B C D311x-=）A．x≥1 B．x≥－1 C．－1≤x≤1 D．x≥1或x≤－1 4．下列各等式成立的是（）A．B．C．D．（二）填空题1．2．自由落体的公式为S=12gt2（g为重力加速度，它的值为10m/s2），若物体下落的高度为720m，则下落的时间是_________．（三）综合提高题（选做）1．一个底面为30cm×30cm长方体玻璃容器中装满水，•现将一部分水例入一个底面为正方形、高为10cm铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了20cm，铁桶的底面边长是多少厘米？2．探究过程：观察下列各式及其验证过程．（1）验证：==（2）验证：=同理可得：==……通过上述探究你能猜测出： （a>0）,并验证你的结论． 3*．化简(x －1x)2+4 －(x+1x)2－44.已知2310x x -+=.5.已知,a b (10b -=，求20112012a b -的值.21.2 二次根式的乘除第２课时【学习目标】a≥0，b>0a≥0，b>0）及利用它们进行运算．12、利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简．【学习过程】一、预习形成1．写出二次根式的乘法规定及逆向等式．2．填空（1；；（2；（3（4．3．利用计算器计算填空:（填>,<,=）二、课堂讲练知识归纳：一般地，对二次根式的除法规定：（2（3（4例1．计算：（1例2．化简：（1（2（3（4三、巩固练习教材P14 练习1．四、应用拓展例3．=，且x为偶数，求（1+x的值．五、归纳小结六、布置作业1．教材P 15 习题21．2 2、7、8、9． 2．选用课时作业设计． 第二课时作业设计 （一）选择题1的结果是（ ）．A ．27 B ．27 C D ．72．阅读下列运算过程：3==5== 数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”（ ）．A ．2B ．6C ．13D *（ 二）填空题1．分母有理化:(1)=______.2．已知x=3，y=4，z=5_______．（三）综合提高题（选做）11，•现用直径为3的一种圆木做原料加工这种房梁，那么加工后的房染的最大截面积是多少？2．计算（1·m>0，n>0）（2）－（a>0）21.2 二次根式的乘除第3课时【学习目标】1、理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式．2、通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念，并根据它的特点来检验最后结果是否满足最简二次根式的要求．【学习过程】一、预习形成计算（1（2（3二、课堂讲练议一仪：观察上面计算题1的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有如下两个特点：1．____________________________________________；2．___________________________________________．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．例1、现在我们来看本章引言中的问题：如果两个电视塔的高分别是h1km，h2km，•那．试着化简一下。
华师大版数学九年级上册《21.1 二次根式》教学设计3
华师大版数学九年级上册《21.1 二次根式》教学设计3一. 教材分析华师大版数学九年级上册《21.1 二次根式》是学生在学习了实数、有理数、无理数等知识后，进一步深入研究根式的特性。
这一章节主要介绍了二次根式的概念、性质和运算。
通过学习，学生能够掌握二次根式的基本知识，为后续学习二次根式的应用打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对实数、有理数、无理数等概念有一定的了解。
但二次根式作为新的知识，对学生来说还是有一定难度。
因此，在教学过程中，需要从学生的实际出发，循序渐进，引导学生逐步掌握二次根式的知识。
三. 教学目标1.理解二次根式的概念，掌握二次根式的性质。
2.学会二次根式的运算，能进行二次根式的化简、求值等。
3.培养学生的逻辑思维能力，提高学生解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.二次根式的概念和性质。
2.二次根式的运算方法。
五. 教学方法采用讲授法、引导法、合作学习法等，通过讲解、讨论、练习等形式，引导学生主动探究，合作交流，提高学生分析问题、解决问题的能力。
六. 教学准备1.PPT课件七. 教学过程1. 导入（5分钟）教师通过复习实数、有理数、无理数等知识，引导学生回顾已学过的根式知识，为新课的学习做好铺垫。
2. 呈现（10分钟）教师通过PPT展示二次根式的定义，引导学生观察、思考，从而理解二次根式的概念。
同时，解释二次根式的性质，让学生初步感知二次根式的特点。
3. 操练（10分钟）教师引导学生进行二次根式的化简、求值等练习，让学生在实际操作中掌握二次根式的运算方法。
4. 巩固（10分钟）教师通过PPT展示一些典型例题，引导学生运用所学知识解决问题，巩固二次根式的知识。
5. 拓展（10分钟）教师提出一些拓展问题，引导学生思考、讨论，提高学生解决问题的能力。
例如：探讨二次根式在实际生活中的应用等。
6. 小结（5分钟）教师引导学生总结本节课所学内容，巩固知识点。
7. 家庭作业（5分钟）教师布置适量作业，让学生课后巩固所学知识。
21.1二次根式(2)(新授课非概念课)
p 1 2 p 1
当堂测试
（测试8分钟，分ABCD四个等级评价）
1.计算：
(1) 2
2
2
； (2) ( 3)
2
3
；
(3) 10
4
(4)( x 2 2) 2 x2+2 . 100 ；
2 2
2.化简 (a 4) ( 3 a ) 7-2a
3.（2009年· 嘉兴）当x=2时，代数式
当x=1时， 4 2 x
当x=8时， 4 2 x
方法构想
4 2 1 2；
4 2 8 12 =2 3.
把符合条件的字母取值代入计算即可求得结论.
随堂练习
3
实数p在数轴上的位
置如图所示，
化简
(1 p )
2
2 p
2
.
解：∵1＜p ＜ 2, ∴原式 1 p ( 2 p )
中考链接
（2009年· 怀化）
2
| a 2 | b 3 (c 4) 0,
则a b c
3
.
3 2 2 计算：（1）（ ） ；（2）（3 5）. 2
3 2 3 解：（1）（ ）= ； 2 2
2 （2）（3 5）=32 5）=9 5=45. （ 2
方法构想
直接利用性质2计算即可，但是要注 意第二小题要先使用积的乘方法则 再使用性质2.
人教版九年级上册
制件：李呈峰 山东省邹城市看庄中学
学习
目标
1、掌握二次根式的性质
a (a 0) ;
( a ) a(a 0) ;
2
a a (a 0)
21.1二次根式作业搞
21.1.1二次根式（一）作业稿1、下列各式中，-222+a ，a ， a -(a<0)，π，31+a 是二次根式的是 。
2、=⎪⎪⎭⎫⎝⎛253 3、若0112=-+-y x ，那么x = ，y = 。
4、当=x 时，代数式45x +有最小值，其最小值是 。
5、在实数范围内因式分解：（1）-=-229x x ( )2=__)__)(()3__)(__(-+=-+x x x （2）-=-223x x ( )2= __)__)((-+x x6、一个数的算术平方根是a ，比这个数大3的数为（ ） A 、3+a B 、3-a C 、3+a D 、32+a7、二次根式1-a 中，字母a 的取值范围是（ ） A 、 a ＜l B 、a ≤1 C 、a ≥1 D 、a ＞18、已知03=+x 则x 的值为A 、 x >-3B 、x <-3C 、x =-3D 、 x 的值不能确定 9、下列计算中，不正确的是 （ ）。
A 、3= 2)3(B 、 0.5=2)5.0(C 、6.06.02= D 、35)75(2= 10、当x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？⑴x 35- ⑵123--x ⑶12+x⑷13-x （5）2)2(-x ⑹48-+x x11、已知a 、b 为实数，且421025+=-+-b a a ，求a 、b 的值．12、已知y=2x -+2x -+5，求xy的值．13、若1a ++1b -=0，求a 2012+b 2012的值．21.1.2二次根式（二）作业稿1、若21x =，则x = ，332y =；则y = ．2、计算：2122⎛⎫= ⎪⎝⎭，2124⎛⎫= ⎪⎝⎭ ．3、计算：9911616-= ． 4、若6x -有意义，则x 的取值范围是 ． 5、()2a --的值为（ ） A ．aB ．a -C ．aD ．a -6、当0a <时，化简2a a -为（ ）A ．2aB ．0C ．2a -D ．以上答案都不对7、若代数式323x x --有意义，则x 的取值范围是（ ）A ．233x x >≠且 B ．23x ≥C ．233x x ≥≠且 D ．233x x ≤≠-且 8、若一个有理数的平方根与立方根相同，这个数是（ ） A ．0B ．1C ．0或1D ．1或－19、是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？(1)5a - (2)7a + (3)27x + (4)512x x --10、计算． (1)()211(2)()213-(3) ()223-⨯(4)2(0.2) (5) ()285(6)2177⎛⎫- ⎪⎝⎭11、计算：（1）221742174⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛- （2）()3313+∙-12、已知式子31xx --有意义，化简210251x x x -+++．。
21.1二次根式(共4课时)
21．1 二次根式（共四课时）第一课时:二次根式的概念及其运用教学目标理解二次根式的概念，并利用a≥0）的意义解答具体题目．提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题．a≥0）的式子叫做二次根式的概念；a≥0）”解决具体问题．教学过程一、复习引入（学生活动）1、用带根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点：（题目见教科书4页“思考”栏目）（1）所填的结果有什么特点？二、探索新知，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式．因此，一般地，（a≥0）•的式子叫做二次根式，议一议：（学生活动）1．-1有算术平方根吗？2．0的算术平方根是多少？3．当a<0x>0）、例1．下列式子，哪些是二次根式，、1x（x≥0，y•≥0）．、1+x y例2．当x三、巩固练习当x在实数范围内有意义？四、应用拓展在实数范围内有意义？例3、当x1x+1的值．例4(1)已知，求xy(2)，求a2004+b2004的值．五、归纳小结（学生活动，老师点评）1a≥0）的式子叫做二次根式，2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数．六、课后练习一、选择题1．下列式子中，是二次根式的是（）A． C．．x2．下列式子中，不是二次根式的是（）A．1x3．已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（）D．以上皆不对A．5 B．15二、填空题1．形如________的式子叫做二次根式．2．面积为a的正方形的边长为________．3．负数________平方根．三、综合提高题1．某工厂要制作一批体积为1m3的产品包装盒，其高为0.2m，按设计需要，•底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？+x2在实数范围内有意义？2．当xx_____．3134.x有（）个．A．0 B．1 C．2 D．无数5.已知a、b为实数，且=b+4，求a、b的值．第二课时：二次根式的意义和性质（1）教学内容1a≥0）是一个非负数；2．2=a（a≥0）．教学目标1、（a≥0）2=a（a≥0），并利用它们进行计算和化简．2、通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出a≥0）是一个非负数，用具体数据结合算术平方根的意义导出（2=a（a≥0）；最后运用结论严谨解题．a≥0）是一个非负数；2=a（a≥0）及其运用．难点：用分类思想的方法导出a≥0）是一个非负数；•用探究的方法导2=a（a≥0）．教学过程一、复习引入（学生活动）口答1．什么叫二次根式？2．当a≥0a<0二、探究新知议一议：（学生分组讨论，提问解答）a≥0）是一个什么数呢？2、根据算术平方根的意义填空：2=；2=；2=；2=．一般地，你能得到什么结论？例1 计算（1）2；（2）2．）2（ 3）．2（ 4）．（2三、巩固练习计算下列各式的值：2）2）24）2（ 2 22-四、应用拓展例2 计算1．2（x≥0） 2．23．（）2 4．2五、能力提高在实数范围内分解下列因式:（1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3五、归纳小结1a≥0）是一个非负数；2．）2=a（a≥0）;反之:a=2（a≥0）．六、课后练习一、选择题1次根式的个数是（）．A．4 B．3 C．2 D．12．数a没有算术平方根，则a的取值范围是（）．A．a>0 B．a≥0 C．a<0 D．a=0二、填空题1．（2=________．2_______数．三、综合提高题1．计算（1）2（2）-2（3）（1）2（4）（ 22(5)2．把下列非负数写成一个数的平方的形式:（4）x（x≥0）（1）5 （2）3.4 （3）163=0，求x y的值．4．在实数范围内分解下列因式:（1）x2-2 （2）x4-9 3x2-5第三课时：二次根式的意义和性质（2）教学内容a（a≥0）教学目标1（a≥0）并利用它进行计算和化简．2、通过具体数据的解答，探究（a≥0），并利用这个结论解决具体问题．a（a≥0）．难点：探究结论．讲清a≥0a才成立．教学过程一、复习引入老师口述并板收上两节课的重要内容；1a≥0）的式子叫做二次根式；2a≥0）是一个非负数；3．2＝a（a≥0）．那么，我们猜想当a≥0是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题．二、探究新知（学生活动）填空：=_______=______；例1 化简（1（2（3（4三、巩固练习教材P5练习2．四、应用拓展1、当a≥0；当a<0，•并根据这一性质回答下列问题．（1，则a可以是什么数？（2，则a可以是什么数？（3，则a可以是什么数？2、当x>2．五、归纳小结1（a≥0）及其运用，同时理解当a<0a的应用拓展．2、让学生认识到当0a≥时，2=六、课后练习一、选择题1）．A．0 B．23 C．423D．以上都不对2．a≥0正确的是（）．AC．二、填空题1．．2是一个正整数，则正整数m的最小值是________．三、综合提高题1．先化简再求值：当a=9时，求甲乙两人的解答如下：甲的解答为：原式（1-a）=1；乙的解答为：原式（a-1）=2a-1=17．两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．2．若│1995-a│，求a-19952的值．（提示：先由a-2000≥0，判断1995-a•的值是正数还是负数，去掉绝对值）3. 若-3≤x≤2时，试化简│x-2│第4课时：复习二次根式的意义和性质一、教学目标1、二次根式的意义2、二次根式的性质二、教学重点：根据二次根式的性质计算难点根据二次根式的性质计算三、复习回顾：二次根式二次根式的意义11。
21.1 二次根式 华师大版数学九年级上册教案
第21章二次根式21.1 二次根式※教学目标※【知识与技能】1.了解二次根式的定义.2.会求二次根式被开方数中字母的取值范围.3.会利用二次根式的非负性解题.4.理解二次根式的基本性质：,并能利用它们进行化简或计算.【过程与方法】1.经历观察、比较，总结二次根式的定义，培养学生的归纳能力.2.通过对二次根式性质的探究，提高数学探究能力和归纳能力.【情感态度】经历观察、比较、总结和应用等数学活动，感受数学活动充满了探索性和创造性，体验发现的快乐，并提高应用意识.【教学重点】二次根式的概念，二次根式性质的应用.【教学难点】1.利用二次根式的非负性解决具体问题.2.二次根式性质的应用.※教学过程※一、复习引入1.什么是平方根、算术平方根？2.你能举出几个这样的代数式，并说明其意义吗？【教学说明】教师鼓励学生大胆表述意见，然后作适当点评，引出新课.二、探索新知1.二次根式的概念（1）引导学生概括二次根式的定义：像这样表示的算术平方根，且根号内含字母的代数式大于等于0，这样的式子叫做二次根式.为了方便，我们把一个数的算术平方根也叫做二次根式.因此我们把形如的式子叫做二次根式.(2)思考：根据你已有知识，说说你对二次根式的认识.（学生分组讨论、回答，最后教师总结）①表示a的算术平方根；②a可以是数，也可以是代数式；③从形式上含有二次根号；≥0；⑤表示开平方运算，也可表示运算结果.【例1】下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式？分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号；第二，被开方数是正数或0.解：二次根式有：;不是二次根式的有：.交流归纳：从形式上看，一个代数式是二次根式必须具备以下两个条件：（1）必须有二次根号；（2）被开方数不能小于0.【例2】x是怎样的实数时，二次根式有意义？分析：要使二次根式有意义，被开方数必须是非负数.解：被开方数x-1≥0,即x≥1.所以，当x≥1时，二次根式有意义.交流归纳：由于二次根式的被开方数只能取非负值，因此二次根式要有意义就必须满足被开方数大于等于0，因此求二次根式被开方数中字母取值范围可列不等式求解.2.二次根式的性质：的探究（1）做一做：根据算术平方根的意义填空:（2）思考：根据上面的计算，你得出了什么结论？学生讨论，得出结论：.【例3】计算：分析：我们可以直接利用的结论解题.解：3.二次根式的性质的探究（1）做一做：根据算术平方根的意义填空：(2)根据上面的计算你得出了什么结论？学生讨论得出：一般地，(3)思考：当a<0时，还成立吗？学生小组讨论，教师举反例说明结论不成立，最后得出结论：(4)通过上面的学习，你认为等于多少？得出：【例4】化简：分析：因为所以都可运用去化简.解：三、巩固练习1.计算：2.计算：3.4.x是怎样的实数时，下列二次根式有意义？5.当x是多少时，在实数范围内有意义？6.已知的值.答案：四、应用拓展【例5】已知2<x<3,化简：分析：先由,再判断(x-2)与(x-3)的正负，进而去掉绝对值符号，并合并同类项.解：∵2<x<3,∴x-2>0,x-3<0,∴原式=.五、归纳小结1.式子叫做二次根式，实质是一个非负实数的算术平方根的表达式.2.式子中，被开方数（式）必须大于等于零.3.求二次根式中字母取值范围的方法：（1）观察配方法;（2）列不等式或不等式组求解.4.区分※课后作业※教材习题21.1第1、2题.。
华东师大版九年级数学上册21.1二次根式课件 (共54张PPT)
当 a 0 时，a 2 a 还成立吗？
当 a0时 ， a2a.
通过上面的学习，你认为 a 2 等于多少?
a2 a
例题讲解
例2：化简
1 9 ； 2 -4 2 ； 3 2 5 ； 4 -3 2. 解 ： 1 9 323；2 -42 42 4； 3 25 52 5； 4 -32 32 3.
21.1 二次根式
1 二次根式的定义
创设情境 复习引入
说一说
1.什么是平方根、算术平方根？ 2.试一试，说出下列代数式的意义：
16，81，0，1，0.2. 5
3.根据下图所示的直角三角形、正方形 和等边三角形的条件，完成以下填空：
（1）直角三角形的斜边长是 a2+4cm ； （2）正方形的边长是 b - 3cm ； （3）等边三角形的边长是 2scm .
小结
通过本节课的学习，你有什么收获 或困惑？
课后作业
教材习题21.1第2、3题.
选做题
（1）把下列非负数写成一个数的平方的 形式：
① 5 ； ② 3 . 4 ； ③ 1 ； ④x x 0 .
6
（2）先化简再求值：当 a 9 时，求a 12aa2
的值，甲、乙两人的解答如下：
A .0
2 B .
2 C .4
D .以 上 都 不 对
33
练习
计算：
1 82 ； 2 92 ； 3 8 1 ； 4 1 0 0 .
8
9
9
10
练习 2
a与 a 2 是 一 样 的 吗 ？ 说 说 你 的 理 由 ， 并 与 同 学 交 流 .
不一样，a 的取值范围不同.
都有意义.
华东师大版九年级上册 数学 教案 21.1 二次根式
华东师范大学出版社九年级上册第21章第一节
21.1.1二次根式（第1课时）教学设计
一、教材分析
1、地位作用：本章主要内容是初中代数运算的基础内容，在整个中学代数中起承上启下的重要作用，内容有两部分，它们是二次根式的有关概念、性质和二次根式的四则运算。
本章的第一部分是二次根式的有关概念、性质。
它是把前面学习的实数写成式子进行运算，体现了由特殊到一般的数学思想，同时二次根式的概念和性质又是今后学习根式运算、函数的知识储备.
2．对象分析
（1）学生是乡镇普通初中九年级的学生，班级学生学习方面存在一定的差异；但学生对数学抱有浓厚的兴趣。
（2）学生在前面已学习了平方根，基本上掌握了平方根。
3．环境分析
（1）教师自制多媒体课件。
（2）上课环境为多媒体教室。
二、教学目标：
知识技能：积极参与构建二次根式的概念、探究二次根式的特征与性质的活动，在活动中体验成功的喜悦．
过程与方法：(1)了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。
(2) 掌握二次根式有意义的条件。
(3) 掌握二次根式的基本性质：)0
a
≥a
(0≥
情感、态度、价值观：通过计算、观察、类比、归纳、猜想，探索二次根式的概念、
性质的发生过程；发展学生合情推理能力和演绎推理能力.
三、教学重点、难点
教学重点：掌握二次根式的有关概念、性质；能熟练地运用二次根式的有关概念、
性质进行计算，并能利用它解决简单的实际问题.
教学难点：能熟练地运用二次根式的有关概念、性质进行计算，并能利用它解决简单的实际问题.
教学重点、难点突破方法：通过类比平方根和算术平方根的有关概念、性质突破难点
四、教学过程。
21.1 二次根式(1)二次根式的意义(备课件) 九年级数学上册同步备课系列(华东师大版)
课后练习
知识点 1：二次根式的概念
1．在下列各式中，一定是二次根式的是(
3
A． 2
C． a2＋1
B． －10
D． a
C
)
2．下列式子：
1
3
2
，
－1000
，
27
，
8
，
（－201）
，其中
2
二次根式的个数有( C
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
3．若
m－3
)
15
3m 是二次根式，则这个二次根式是__________.
新课导入
•问题
•1.要做一个两直角边长分别为7cm和4cm的三角尺，
斜边的边长应该是_____cm；
•2. 面积为S的正方体边长为_____。
❖ 思考
❖
通过对上述问题的探究，可以得到形如
的式子，这些式子有什么特点？
65, S 之类
课前小测
1. 16的平方根是 ±4;
2. 9的算术平方根是 3 ;
一般地，我们把形如 a（a≥0）的式子叫做二次根式. 其中
“
”称为二次根号.
二次根号
根号a
被开方数
可以是非负的数或单项
式、多项式、分式等
实为“
”，
通常将根指
数2省略不写
（1）被开方数 a 既可以是一个数，也可以是一个含有
字母的式子，但前提是 a 必须大于或等于 0.
（2） a （a≥0）实际上就是非负数 a 的算术平方根，
a的平方根是 a .
问题2 什么是一个数的算术平方根？如何表示？
正数的正的平方根叫做它的算术平方根.
人教版数学九上21.1《二次根式》ppt课件.
15
2.（2010·盐城中考）使 x 2 有意义的x取值范围是____。
【பைடு நூலகம்析】要使式子 x 2 有意义，要满足x-2≥0， 解得x≥2. 答案： x≥2
16
3．下列式子一定是二次根式的是（ A． x 2 B． x
） D． x 2 2
C． x 2 2
【解析】选C.A中只有当x≤-2时，才是二次根式，故A不一
2
2
1 2
,把
2
3 答案：a=1,a+b= 2
14
1.（2010·芜湖中考）要使式子 a 2 有意义，
a的取值范围是（
A. a≠ 0 C. a＞-2或a≠ 0
）
a
B. a＞-2且a≠ 0 D. a≥-2且a≠ 0
a
【解析】选D.要使式子 a 2 有意义，须同时满足a+2≥0， a≠0两个条件，解两个不等式可得a≥-2且a≠0 。
10
判断下列代数式中哪些是二次根式？
(3) a 2 2a 2 ， (5) m 32
⑴
1 2
，
⑵ 16 (4)
x
x0
11
【例2】求下列二次根式中字母的取值范围：
1
a 1
2
1 1- 2a
3 a 3
2
【解析】（1）由于被开方数是非负数，可
知a+1 ≥ 0，即a≥-1. （2）由于被开方数是非负数，且分母不 1 为零，可知1-2a>0，即a< . 2 2 （3）由（a-3） ≥0，可知a可以取任意实数.
正数的正的平方根叫做它的算术平方根。
用
a (a≥0)表示。 其中0的算术平方根是0。
华师大版九年级上册数学教案：21.1 二次根式
21．1二次根式●教学目标知识与技能1．经历二次根式概念的发生过程．2．了解二次根式的概念．3．理解二次根式何时有意义，何时无意义，会在简单情况下求根号内所含字母的取值范围．4．使学生初步掌握利用(a)2＝a(a≥0)进行计算．5．让学生理解并能熟练运用公式a2＝a(a≥0)进行计算．●教学重点重点1．二次根式的概念．2．利用二次根式的两个公式进行运算或化简．难点1．确定二次根式中字母的取值范围．2．对公式a2＝a(a≥0)的运用．教学设计一师一优课一课一名师(设计者：)教学过程设计[来源一、创设情景，明确目标根据下图所示的直角三角形、正方形和等边三角形的条件，完成以下填空：1．直角三角形的斜边长是________；2．正方形的边长是________；3．等边三角形的边长是________．让学生在实际情境中写出表示算术平方根的式子．问：你认为所得的各代数式的共同特点是什么？(学生通过观察，从中感知二次根式的特征．鼓励学生用自己的语言总结出共同特征．从而引出课题，教师鼓励学生大胆表述意见，然后作适当点评，板书本课课题)．二、自主学习，指向目标自学课本第2页的内容，然后做《名师学案》“知识储备”栏目．三、合作探究，达成目标探究点一二次根式的概念活动：(引导学生概括二次根式的定义：像a2＋4，2，这样一个非负数的算术平方根表示的式子叫做二次根式．)概念深化：提问：a＋1是不是二次根式？a＋1呢？议一议：二次根式a＋1表示什么意义？此算术平方根的被开方式是什么？被开方式必须满足什么条件的二次根式才有意义？其中字母a需满足什么条件？为什么？【展示点评】经学生讨论后，让学生回答，并让其他的学生点评．最后教师归纳：如果无法判断被开方数是非负数，则这个式子就不能说是二次根式.a ＋1中的a 可能为正，也可能为负数，所以不能说这个式子是二次根式，a ＋1中的a ＋1也可能为正，也可能为负数，所以也不能说这个式子是二次根式．【反思小结】教师总结：从形式上看，二次根式必须具备以下两个条件：(1)必须有二次根号；(2)被开方数不能小于0. 【针对训练】(1)使1－x 有意义的x 的取值范围是________．(2)下列式子是二次根式的有：________．①a ＋b ，②2a ，③a 4，④－5.探究点二 二次根式的意义活动：例题讲解例1 求下列二次根式中字母a 的取值范围：(1)a ＋1；(2)11－2a；(3)（a －3）2. 【展示点评】按教师提问，学生回答，教师板书解题过程．问题设计：(1)被开方式需满足什么？(2)由此可得怎样的不等式？(3)第(1)(2)两题可以转化为解怎样的不等式？第(3)题不解不等式就能确定a 的取值范围吗？解：(1)由a ＋1≥0，得a ≥－1∴字母a 的取值范围是大于或等于－1的实数．(说明：这个问题实质上是在求当a 是什么数时，a ＋1是非负数，式子a ＋1有意义，以下类同)．(2)11－2a>0，得1－2a>0，即a<12. ∴字母a 的取值范围是小于12的实数． (3)因为无论a 取何值，都有(a －3)2≥0，所以a 的取值范围是全体实数．【反思小结】教师归纳：由于负数不能开平方，因此二次根式要有意义就必须被开方数大于等于0. (学生与教师一同探索确定二次根式中字母的取值范围的求解过程，通过交流体会到求解二次根式中字母的取值范围过程的策略．本题的设置从二次根式的概念出发，把问题转化为求不等式，思路清晰自然，利于分散难点)．【针对训练】求下列二次根式中字母的取值范围： (1)a ＋3；(2)－13－a；(3)a 2＋1. 探究点三 (a)2＝a(a ≥0)活动做一做：根据算术平方根的意义填空：(4)2＝________；(2)2＝________；(9)2＝________；(3)2＝________；(13)2＝________；(72)2＝________；(0)2＝________．【展示点评】4是4的算术平方根，根据算术平方根的意义，4是一个平方等于4的非负数，因此有(4)2＝4.同理可得：(2)2＝2，(9)2＝9，(3)2＝3，(13)2＝13，(72)2＝72，(0)2＝0.【反思小结】由以上我们可以得到下面这个公式：(a)2＝a(a≥0)在使用过程中，要注意公式的使用前提条件是a≥0. 【例题讲解】例1计算(1)(32)2(2)(35)2(3)(56)2(4)(72)2分析：我们可以直接利用(a)2＝a(a≥0)的结论解题．解：(32)2＝32，(35)2＝32·(5)2＝32·5＝45，(56)2＝56，(72)2＝（7）222＝74.【针对训练】计算下列各式的值： (18)2 (23)2 (94)2 (0)2 (478)2 (35)2－(53)2. 探究点四a 2＝∣a ∣ 活动填空： 22＝________；0.012＝________； （110）2＝________； （23）2＝________；02＝________； （37）2＝________； （－2）2＝________．【展示点评】根据算术平方根的意义，我们可以得到：22＝2；0.012＝0.01；（110）2＝110；（23）2＝23；02＝0；（37）2＝37；（－2）2＝2.【反思小结】由以上计算我们知道：a 2＝a(a ≥0)当a ＜0时，则有：a 2＝－a.在使用公式时，一定要判断出a 的符号是正还是负，如果无法判断，则要进行讨论．【针对训练】1．(－3)2＝________．2．计算：(1)(9)2 (2)－(3)2 (3)(126)2 (4)(－323)2 (5)(23＋32)(23－32) 3．把下列非负数写成一个数的平方的形式：(1)5 (2)3.4 (3)16(4)x(x ≥0) 4.（213）2＋（－213）2的值是( ) A ．0 B.23 C ．423D ．以上都不对 5．－0.0004＝________．6．若20m 是一个正整数，则正整数m 的最小值是________．四、总结梳理，内化目标本节我们学习了以下内容：(板书)1．二次根式的概念：形如a(a ≥0)的式子叫做二次根式；2．二次根式的非负性：被开方数a 是非负数，且二次根式a ≥0.3．公式：(a)2＝a(a ≥0)4．公式：a 2＝a(a ≥0)五、达标检测，反思目标1．下列各式是二次根式的是( )A.xB.5C.33 D.a＋12．式子x－1在实数范围内有意义，则x的取值范围是() A．x＜1 B．x≤1 C．x＞1 D．x≥13．如果代数式4x－3有意义，则x的取值范围是()A．x≠3 B．x＜3 C．x＞3 D．x≥34．若x－2y＋9与|x－y－3|互为相反数，则x＋y的值为() A．3 B．9 C．12 D．275．当x________时，二次根式1x有意义．6．先化简再求值：当a＝9时，求a＋1－2a＋a2的值，甲乙两人的解答如下：甲的解答为：原式＝a＋（1－a）2＝a＋(1－a)＝1；乙的解答为：原式＝a＋（1－a）2＝a＋(a－1)＝2a－1＝17.两种解答中，________的解答是错误的，错误的原因是________．7．若│1995－a│＋a－2000＝a，求a－19952的值．(提示：先由a－2000≥0，判断1995－a的值是正数还是负数，去掉绝对值)8．若－3≤x≤2时，试化简│x－2│＋（x＋3）2＋x2－10x＋25.六、布置作业，巩固目标课堂练习：1．见课本第3页练习第1，2题．2．见课本第4页习题第1题．●教学反思本节课是本章的第一节课，主要是要建立二次根式的概念．教学中要注意二次根式的非负性．。
21.1二次根式(老师)
教师辅导教案辅导科目：数学学员姓名：年级:初三学科教师：课时数：3 第1 次课授课主题二次根式教学目标1、理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由.2、理解并掌握二次根式的性质.3、理解并掌握最简二次根式的概念，能运用二次根式的有关性质进行化简.4、掌握二次根式的乘除法法则和化简二次根式的常用方法，熟练进行二次根式的乘除运算.授课日期及时段教学内容第一板块二次根式【知识梳理】一、二次根式的概念一般地，我们把形如(a≥0)•的式子叫做二次根式，“”称为二次根号，根号下面的数叫作被开方数．要点诠释：二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负实数.二、二次根式的性质1.重要结论；；.要点诠释：（1）二次根式(a≥0)的值是非负数。
一个非负数可以写成它的算术平方根的形式，即2()(0a a a≥）.（2）2a与2()a要注意区别与联系：①a的取值范围不同，2()a中a≥0，2a中a为任意值.②a ≥0时，2()a ＝2a ＝a ；a ＜0时，2()a 无意义，2a ＝a -.2.积的算术平方根（a ≥0，b ≥0）,即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积.要点诠释：在这个性质中，a 、b 可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都必须满足a ≥0，b ≥0，才能用此式进行计算或化简，如果不满足这个条件，等式右边就没有意义，等式也就不能成立了.三、最简二次根式（1）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式； （2）被开方数不含有分母.满足这两个条件的二次根式叫最简二次根式.要点诠释：二次根式化成最简二次根式主要有以下两种情况：（1) 被开放数是分数或分式； （2）含有能开方的因数或因式.【典型例题】 一、二次根式的概念1．当x 为实数时，下列各式()2223,1,,,,x x x x x --，，，属二次根式的有____ 个. 【答案】 3； 【解析】 ()22,,x x x - 这三个式子满足无论x 取何值，被开方数都大于零.【总结升华】二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0． 举一反三：【变式】下列式子中二次根式的个数有（ ） （1）13；（2）3-； （3）21x -+；（4）38； （5）21()3-；（6）1x -（1x >） A ．2 B.3 C.4 D.5【答案】B ；2. x 取何值时，下列函数在实数范围内有意义？（1）1y x =-； （2）y ＝2+x －x 23-； 解：（1）1x -≥0，所以x ≥1.（2）2x +≥0,32x -≥0,所以2-≤x ≤32；举一反三：【变式】下列格式中，一定是二次根式的是（ ） A. 23- B. ()20.3- C. 2- D. x【答案】B ；二、二次根式的性质3. 计算下列各式：(1)232()4-⨯- (2)2(3.14)π-【答案与解析】 解：(1) 33=-2=-42⨯原式. (2) =3.14-=-3.14ππ原式. 【总结升华】 二次根式性质的运用. 举一反三 【变式】（1）2)252(-＝_____________ （2）2)2(2a a ---＝_____________【答案】(1) 10；(2) 0.4. 已知0a <，那么22a a -可化简为（ ）A. a -B.aC.3a -D.3a 【答案】C ；【解析】0,=-233a a a a a <-=-=-∴原式.【总结升华】重点考查二次根式的性质：.举一反三【变式】若整数m 满足条件22(1)1,,5m m m +=+<且则m 的值是___________. 【答案】0或－1. 三、最简二次根式5.下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？请说明理由. (1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7).【答案与解析】 解：和都是最简二次根式，其余的都不是，理由如下：的被开方数是小数，能写成分数，含有分母； 和的被开方数中都含有分母；和的被开方数中分别含有能开得尽方的因数和因式.【总结升华】判断一个二次根式是不是最简二次根式，就看它是否满足最简二次根式的两个条件：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；不满足其中任何一条的二次根式都不是最简二次根式. 举一反三【变式】化简2325(2)(0,0)a b c a b ->> 【答案】原式＝22242a ab c c ＝22abc ac .【能力检测】 对的，坚持；错的，放弃！一．选择题1.若二次根式1x -有意义，则x 的取值范围是（ ）. A.1x ≠ B ．x ≥1 C. x ＜1 D.全体实数2. 若1a <,化简2(1)-1=a - ( ).A.2a -B.2a -C.aD.a -3. 若式子34x -在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ）A.43x ≥B.43x >C.34x ≥D. 34x > 4. 若a 不等于0，a 、b 互为相反数，则下列各对数中互为相反数的一对数是( ).A.与B.与C.与D.与5.下列根式是最简二次根式的是（ ） A ．8 B ．24x y + C ．D ．6. k 、m 、n 为三整数，若135=k 15，450=15m 180=6n ，，则下列有关于k 、m 、n 的大小关系正确的是（ ）A ．k ＜m=n A ．k ＜m=n C ．m ＜n ＜k D ．m ＜k ＜n7、若32a 3a +＝﹣a 3a +，则a 的取值范围是（ ） A ．﹣3≤a≤0B ．a≤0C ．a ＜0D ．a≥﹣3二. 填空题8. 当x ______时，式子x -在实数范围有意义； 当x _______时，式子2x -在实数范围有意义. 9.＝____________； 若，则____________.10．（1）2)53(-＝_____________.（2）9622++-a a a （a ＞0）＝__________________________.11.若22x x -+-＝0，则2(1)1x x--＝_______________.12.当x ≤0时，化简21-x x -＝________________________. 13. 在实数范围内分解因式22x -＝__________________.14．计算：(6＋5)2015·(6－5)2016＝________．三 ．解答题13. 当x 为何值时，下列式子有意义？（1）21x + (2) 2x -（3）11y x =-； （4）11y x =-；14. 已知实数x y ，满足，求代数式的值.15. 已知x x y 211221-+-+=，求22y xy x ++的值.【答案与解析】 一、选择题 1．【答案】 B ；2．【答案】 D ；【解析】因为1a < 原式＝1111a a a --=--=-. 3.【答案】 A ；【解析】根据题意得：3x －4≥0，解得：x ≥43. 4．【答案】 C ； 5．【答案】 B ；【解析】 根据最简二次根式的性质，A,D 选项都含有能开方的项，C 选项含有分母，所以选B.6．【答案】 D ；【解析】135=315，450=152180=65，，可得：k=3，m=2，n=5，则m ＜k ＜n ． 二、填空题7.【答案】 x ≤0；x ＝0； 8 【答案】2;7x m -=±； 9.【答案】(1) 45； (2) －3； 10.【答案】 －1；【解析】因为22x x -+-＝0，所以2－x ≥0，x －2≥0，所以x ＝2;则原式＝2(12)112-=--.11.【答案】 1；【解析】∵x ≤0时，∴21-=1+=1x x x x --. 12.【答案】(2)(2)x x +-； 三、 解答题 13.【解析】 解：（1）21x +≥0，即x 为任意实数.（2）2x -≥0，即2x ≤0，即x ＝0. （3）10,1x x ->>∴.（4）0,10,01x x x x ≥-≠≥≠∴且.14.【解析】 解：因为，所以x ＝5，y ＝－4. 则＝2008(54)-＝115.【解析】解：因为1+21122y x x =-+-，所以21x -≥0,12x -≥0，即x ＝12，y ＝12则2234x xy y ++=.第二板块 二次根式的乘除生活不是等待风暴过去，而是学会在雨中翩翩起舞。
九年级数学上册 第21章 二次根式 21.1 二次根式
——————————新学期新成绩新目标新方向——————————21.1 二次根式【学习目标】1．理解二次根式的概念。
2.通过讨论、交流，使学生学会分析二次根式的双重非负性及应用。
【学习重难点】1.理解二次根式的概念。
2.二次根式的双重非负性。
【学习过程】一、课前准备1．什么叫一个数的平方根？。
什么叫一个数的算术平方根？。
2．平方根的性质有以下几个内容：(1) 正数有_________________;(2) 负数_________________;(3) 0的______________________.二、学习新知自主学习：阅读课本P2－P3页内容（时间8分钟），思考下列问题：1.二次根式和以前学习的算术平方根有什么关系？2.怎样判断一个代数式是否是二次根式？3.二次根式中被开方数为什么必须是非负的？4.二次根式本身为什么也是非负的？5.2=a（a≥0）？6. 实例分析：例x 是怎样的实数时，二次根式1-x 有意义？分析：要使二次根式有意义，被开方数必须都是非负数解：【随堂练习】1. 有意义的条件是 。
2. 当__________意义。
3. 11m +有意义，则m 的取值范围是 。
4. 当__________x 时，是二次根式。
5.去掉下列各根式内的分母：())10x ())21x 【中考连线】已知,a b (10b -=，求20112012ab -的值。
【参考答案】随堂练习 1. 4x ≥； 2. 122x -≤≤； 3. 01m m ≤≠-且； 4. 任意实数；5. ()()()2312.1x x +； 中考连线-2。
21二次根式全章教案
21．1 二次根式教学内容: 二次根式的概念及其运用教学目标: a ≥0）的意义解答具体题目． 提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题．教学重难点关键: 1（a ≥0）的式子叫做二次根式的概念；2a ≥0）”解决具体问题． 教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们独立完成下列三个问题：问题1：已知反比例函数y=3x，那么它的图象在第一象限横、•纵坐标相等的点的坐标是___________．问题2：如图，在直角三角形ABC 中，AC=3，BC=1，∠C=90°，那么AB 边的长是__________． 问题3：甲射击6次，各次击中的环数如下：8、7、9、9、7、8，那么甲这次射击的方差是S 2，那么S=_________．老师点评：问题1：横、纵坐标相等，即x=y ，所以x 2=3．因为点在第一象限，所以． 问题2：由勾股定理得问题3：由方差的概念得S= 二、探索新知子，我们就把它称二次根式．因此，一般地，a ≥0）•的式子叫做二次根式，称为二次根号． （学生活动）议一议：1．-1有算术平方根吗？ 2．0的算术平方根是多少？3．当a<0例1、1xx>0）、、1x y+、x ≥0，y•≥0）．分析”；第二，被开方数是正数或0．x>0）、（x ≥0，y ≥0）；不是二次根式、1x、1x y +．例2．当x分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，才能有意义．解：由3x-1≥0，得：x ≥13 当x ≥13在实数范围内有意义． 三、巩固练习: 教材P 练习1、2、3．四、应用拓展例3．当x 11x +在实数范围内有意义？分析+11x +在实数范围内有意义，中的≥0和11x +中的x+1≠0． 解：依题意，得23010x x +≥⎧⎨+≠⎩ 由①得：x ≥-32 由②得：x ≠-1当x ≥-32且x ≠-111x +在实数范围内有意义．五、归纳小结 本节课要掌握：1（a ≥0）的式子叫做二次根式，2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数． 六、布置作业1．教材P 8复习巩固1、综合应用5．2．选用课时作业设计．3.课后作业:《同步训练》21.1 二次根式(2)教学内容 1a ≥0）是一个非负数； 2．）2=a （a ≥0）．教学目标: （a ≥0）2=a （a ≥0），并利用它们进行计算和化简． a ≥0）是一个非负数，用）2=a （a ≥0）；最后运用结论严谨解题．教学重难点关键: 1．a ≥0）是一个非负数；2=a （a ≥0）及其运用． 2．难（a ≥0）是一个非负数；•）2=a （a ≥0）． 教学过程一、复习引入（学生活动）口答: 1．什么叫二次根式？2．当a ≥0a<0 二、探究新知 议一议：（学生分组讨论，提问解答）a ≥0）是一个什么数呢？老师点评：根据学生讨论和上面的练习，我们可以得出做一做：根据算术平方根的意义填空：2=_______；）2=_______；2=______；）2=_______；2=______；2=_______；）2=_______．是4是一个平方等于4的非负数，因此有）2=4． 同理可得：）2=2，2=9，）2=3，2=13，2=72，）2=0 例1 计算1．2 2．（2 3．2 4．（2）2分析）2=a （a ≥0）的结论解题．解：2 =32，（2 =32·2=32·5=45，2=56，）2=22724=． 三、巩固练习 计算下列各式的值：2 ）2 2）2 （ 2 22- 四、应用拓展例2在实数范围内分解下列因式: （1）x 2-3 （2）x 4-4 (3) 2x 2-3分析：(略) 五、归纳小结 本节课应掌握：1a ≥0）是一个非负数；2．2=a （a ≥0）;反之:a=2（a ≥0）．六、布置作业1．教材P 8 复习巩固2．（1）、（2） P 9 7．2．选用课时作业设计． 3.课后作业:《同步训练》21.1 二次根式(3)教学内容:a （a ≥0）教学目标: （a ≥0）并利用它进行计算和化简．（a ≥0），并利用这个结论解决具体问题． 教学重难点关键1a （a ≥0）． 2．难点：探究结论．3．关键：讲清a ≥0a 才成立． 教学过程一、复习引入老师口述并板收上两节课的重要内容； 1（a ≥0）的式子叫做二次根式；2（a ≥0）是一个非负数； 3．)2＝a （a ≥0）．那么，我们猜想当a ≥0是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题． 二、探究新知（学生活动）填空：；=________． （老师点评）：根据算术平方根的意义，我们可以得到：=0.01110=23=37．例1 化简（1 （2 （3 （4分析：因为（1）9=-32，（2）（-4）2=42，（3）25=52，（4）（-3）2=32（a ≥0）•去化简．解：（1（2=4（3（4三、巩固练习教材P7练习2．四、应用拓展例2 填空：当a≥0；当a<0，•并根据这一性质回答下列问题．（1，则a可以是什么数？（2，则a可以是什么数？（3，则a可以是什么数？分析（a≥0），∴要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“（）2”中的数是正数，因为，当a≤0-a≥0．（1）根据结论求条件；（2）根据第二个填空的分析，逆向思想；（3）根据（1）、（2）│a│，而│a│要大于a，只有什么时候才能保证呢？a<0．解：（1，所以a≥0；（2，所以a≤0；（3）因为当a≥0，即使a>a所以a不存在；当a<0，，即使-a>a，a<0综上，a<0例3当x>2分析：(略)五、归纳小结（a≥0）及其运用，同时理解当a<0a的应用拓展．六、布置作业1．教材P8习题21．1 3、4、6、8．2．选作课时作业设计．3.课后作业:《同步训练》21．2 二次根式的乘除教学内容:a≥0，b≥0）（a≥0，b≥0）及其运用．教学目标:（a≥0，b≥0）（a≥0，b≥0），并利用它们进行计算和化简a≥0，b≥0）并运用它进行计算；•（a≥0，b≥0）并运用它进行解题和化简．教学重难点关键（a≥0，b≥0）（a≥0，b≥0）及它们的运用．a≥0，b≥0）．关键：要讲清（a<0,b<0）=a b，如=或教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们完成下列各题．1．填空（1）×=_______，=______；（2）×=_______，．（3．参考上面的结果，用“>、<或＝”填空．二、探索新知一般地，对二次根式的乘法规定为反过来:例1．计算（1（2（3（4分析：a≥0，b≥0）计算即可．解：（1（2（3（4例2 化简（1（2（3（4（5（a≥0，b≥0）直接化简即可．解：（1×4=12 （2×9=36（3×10=90（4=3xy（5三、巩固练习:①②×(2) 化简:; 教材P11练习全部五、归纳小结本节课应掌握：（1=（a≥0，b≥0）（a≥0，b≥0）及其运用．六、布置作业1．课本P151，4，5，6．（1）（2）．2．选用课时作业设计．3.课后作业:《同步训练》21．2 二次根式的乘除第二课时教学内容a≥0，b>0）（a≥0，b>0）及利用它们进行计算和化简．a≥0，b>0（a≥0，b>0）及利用它们进行运算．利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简．教学重难点关键a≥0，b>0）a≥0，b>0）及利用它们进行计算和化1简．2．难点关键：发现规律，归纳出二次根式的除法规定．教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们完成下列各题：1．写出二次根式的乘法规定及逆向等式．2．填空；（1（2；（3；（4．3．利用计算器计算填空:=_________，（2=_________，（3=______，（4=________．（1。
人教版初三数学目录
上册：第二十一章二次根式21.1 二次根式21.1.1 二次根式(第1课时)21.1.2 二次根式(第2课时)21.1.3 二次根式(第3课时)21.2 二次根式的乘除21.2.1 二次根式的乘除(第4课时)21.2.2 二次根式的乘除(第5课时)21.2.3 二次根式的乘除(第6课时)21.3 二次根式的加减21.3.1 二次根式的加减(第7课时)21.3.2 二次根式的混合运算(第8课时)第二十二章一元二次方程22.1 一元二次方程(第1课时)22.2 降次——解一元二次方程22.2.1 配方法(第2课时)22.2.2 配方法(第3课时)22.2.3 公式法(第4课时)22.2.4 因式分解法(第5课时)22.2.5 一元二次方程的根与系数的关系(第6课时) 22.3 实际问题与一元二次方程22.3.1 实际问题与一元二次方程(第7课时)22.3.2 实际问题与一元二次方程(第8课时)第二十三章旋转23.1 图形的旋转23.1.1 图形的旋转(第1课时)23.1.2 旋转的性质(第2课时)23.2 中心对称23.2.1 中心对称(第3课时)23.2.2 中心对称图形(第4课时)23.2.3 关于原点对称的点的坐标(第5课时)第二十四章圆24.1 圆24.1.1 圆(第1课时)24.1.2 垂直于弦的直径(第2课时)24.1.3 弧、弦、圆心角(第3课时)24.1.4 圆周角(第4课时)24.2 与圆有关的位置关系24.2.1 点与圆的位置关系(第5课时)精选文库24.2.2.1 直线与圆的位置关系(第6课时)24.2.2.2 切线(第7课时)24.2.2.3 切线长(第8课时)24.2.3 圆与圆的位置关系(第9课时)24.3 正多边形与圆(第10课时)24.4 弧长与扇形的面积24.4.1 弧长与扇形面积(第11课时)24.4.2 圆锥的侧面积和全面积(第12课时)第二十五章概率25.1 随机事件25.1.1 随机事件(第1课时)25.1.2 概率的意义(第2课时)25.2 用列举法求概率(第3课时)25.3 利用频率估计概率(第4课时)下册：第二十六章二次函数26．1 二次函数实验与探究推测植物的生长与温度的关系26．2 用函数观点看一元二次方程信息技术应用探索二次函数的性质26．3 实际问题与二次函数第二十四章相似27．1 图形的相似27．2 相似三角形观察与猜想奇妙的分形图形27．3 位似信息技术应用探索位似的性质数学活动小结复习题27第二十八章锐角三角函数28．1 锐角三角函数阅读与思考一张古老的三角函数28．2 解直角三角形数学活动小结复习题28精选文库第二十九章投影与视图29．1 投影29．2 三视图阅读与思考视图的产生与应用29．3 课题学习制作立体模型数学活动小结复习题29。