反证法84571
反证法
在证明一个命题时,先假设命题不成立， 在证明一个命题时 先假设命题不成立， 先假设命题不成立 从这样的假设出发,经过推理得出和已知条件矛 从这样的假设出发 经过推理得出和已知条件矛 盾，或者与定义、公理、定理等矛盾， 或者与定义、公理、定理等矛盾， 矛盾 从而得出假设命题不成立是错误的， 从而得出假设命题不成立是错误的， 假设命题不成立是错误的 即所求证的命题正确.这种证明方法叫做反证法. 即所求证的命题正确 这种证明方法叫做反证法 这种证明方法叫做反证法
复习回顾
综合法
利用已知条件和某些数学定义、定理、 利用已知条件和某些数学定义、定理、 公理等，经过一系列的推理论证， 公理等，经过一系列的推理论证，最后推导 出所要证明的结论或所要解决的问题的结果。 出所要证明的结论或所要解决的问题的结果。 条件
P Q1 条件 定义 定理 公理 数学推理 Q1 Q2 Q2 逆 所以 结论成立
所以 结论成立
复习回顾
一般地，从要证明的结论出发， 一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求 使它成立的充分条件，直至最后， 使它成立的充分条件，直至最后，把要证 明的结论归结为判定一个明显成立的条件 已知条件、定理、定义、公理等）。 （已知条件、定理、定义、公理等）。 这种证明的方法叫做分析法 分析法. 这种证明的方法叫做分析法
1.用反证法证明（填空）： 用反证法证明（填空）： 证明 在三角形的内角中，至少有一个角不小于60° 在三角形的内角中，至少有一个角不小于 °
Ｂ 已知：如图， Ａ，∠Ｂ，∠ ＡＢＣ的内角 已知 如图， ∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ是△ＡＢＣ的内角 如图 求证： Ａ，∠Ｂ，∠ 中至少有一个角不小于60 求证： ∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ中至少有一个角不小于 0.
新课讲解
路边苦李
高二数学知识点重点解析：数学解题方法之反证法
高二数学知识点重点解析：数学解题方法之反证法【】查字典数学网高中频道的编辑就为您预备了高二数学知识点重点解析：数学解题方法之反证法与前面所讲的方法不同，反证法是属于间接证明法一类，是从反面的角度摸索问题的证明方法，即：确信题设而否定结论，从而导出矛盾推理而得。
法国数学家阿达玛(Hadamard)对反证法的实质作过概括：若确信定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾。
具体地讲，反证法确实是从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知条件，进行正确的逻辑推理，使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者差不多证明为正确的命题等相矛，矛盾的缘故是假设不成立，因此确信了命题的结论，从而使命题获得了证明。
反证法所依据的是逻辑思维规律中的矛盾律和排中律。
在同一思维过程中，两个互相矛盾的判定不能同时都为真，至少有一个是假的，这确实是逻辑思维中的矛盾律两个互相矛盾的判定不能同时都假，简单地说A或者非A，这确实是逻辑思维中的排中律。
反证法在其证明过程中，得到矛盾的判定，依照矛盾律，这些矛盾的判定不能同时为真，必有一假，而已知条件、已知公理、定理、法则或者差不多证明为正确的命题差不多上确实，因此否定的结论必为假。
再依照排中律，结论与否定的结论这一对立的互相否定的判定不能同时为假，必有一真，因此我们得到原结论必为真。
因此反证法是以逻辑思维的差不多规律和理论为依据的，反证法是可信的。
反证法的证题模式能够简要的概括我为否定推理否定。
即从否定结论开始，通过正确无误的推理导致逻辑矛盾，达到新的否定，能够认为反证法的差不多思想确实是否定之否定。
应用反证法证明的要紧三步是：否定结论推导出矛盾结论成立。
实施的具体步骤是：第一步，反设：作出与求证结论相反的假设;第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾;第三步，结论：说明反设不成立，从而确信原命题成立。
在应用反证法证题时，一定要用到反设进行推理，否则就不是反证法。
反证法[下学期]--华师大版
![反证法[下学期]--华师大版](https://img.taocdn.com/s3/m/85ac799d284ac850ad0242a2.png)
归纳: 宜用反证法证明的题型
（1）以否定性判断作为结论的命题； （2）某些定理的逆命题； （3）以“至多”、“至少”或“不多于”等形式 陈述的命题；
（4）关于“唯一性”结论的命题； （5）解决整除性问题； （6）一些不等量命题的证明； （7）有些基本定理或某一知识体系的初始阶段； （8）涉及各种“无限”结论的命题等等。
分析：对反证法思想的理解和基本步骤的掌握是解决本题的关键. 证明：(用反证法证明)
假设EF与AB不平行，作EG∥AB 交BC于G(如图所示)，则
∵E为AD的中点，∴CG＝BG即 G是BC的中点
∵一条线段只有一个中点，∴F 不是BC的中点，这与已知条件矛盾
因此假设EF与AB不平行是错误 的，∴EF∥AB
注意:用反证法证题时,应注意的事项 :
（1）周密考察原命题结论的否定事项，防止 否定不当或有所遗漏；
（2）推理过程必须完整，否则不能说明命题 的真伪性；
（3）在推理过程中，要充分使用已知条件， 否则推不出矛盾，或者不能断定推出的结果是 错误的。
； https:///gushiyaowen/ 今日股市 ；
沥海镇中 周国忠
一、什么是反证法
所谓反证法，就是从要证明的结论的否定面 出发，以有关的定义、公理、定理为依据，结合 原命题的条件进行推理，直到得出矛盾，从而断 定原命题结论否定面不能成立，也就断定了原命 题成立，这种证题方法就叫反证法。
二、反证法的步骤
(1) 从命题的结论的否定面出发； (2) 根据正确的逻辑推理，推出矛盾（与已知矛 盾；与已知定义、公理、定理等矛盾；出现与临 时假设矛盾；在证明过程中出现自相矛盾等等） 则否定假设； (3)肯定原命题的结论是正确的。简记：否定结 论――推出矛盾――否定结论――肯定结论，其 中推出矛盾是关键。
反证法
60 求证:在一个三角形中，有一个或多个内角小于或等于60° ． 求证:在一个三角形中，有一个或多个内角小于或等于60° 至少有一个内角小于或等于60 60° 至少有一个内角小于或等于60°
已知： 已知： △ABC． 中至少有一个内角小于或等于60 60° 求证： 求证： △ABC中至少有一个内角小于或等于60°． 中没有一个内角小于或等于60° 中没有一个内角小于或等于 证明： 假设△ 证明： 假设△ABC中没有一个内角小于或等于 ° ，
b A，
a
●
A
●
因为两点确定一条直线，即经过点A 因为两点确定一条直线，即经过点A和A’的 两点确定一条直线 的 直线有且只有一条， 直线有且只有一条，这与已知两条直线矛 假设不成立。 盾,假设不成立。 所以两条直线相交只有一个交点。 所以两条直线相交只有一个交点。 两条直线相交只有一个交点
无法显示图像。计算机可能没有足够的内存以打开该图像，也可能是该图像已损坏。请重新启动计算机，然后重新打开该文件。如果仍然显示红色 “x”，则可能需要删除该图像，然后重新将其插入。 无法显示图像。计算机可能没有足够的内存以打开该 图像，也可能是该图像已损坏。请重新启动计算机， 然后重新打开该文件。如果仍然显示红色 “x”，则可能 需要删除该图像，然后重新将其插入。
a与b相交 a与b不垂直
大于或等于２ 小于2 （5）a小于2。 a大于或等于２ （6） a≥0
a＜0
至少有2 （7）至少有2个 没有两个 （8）最多有一个
一个也没有
b”的第一步是 的第一步是： 2、用反证法证明“若a2≠ b2,则a ≠ b 的第一步是： 用反证法证明“
假设a=b 假设a=b
3、用反证法证明“如果一个三角形没有两个相等的角， 用反证法证明“如果一个三角形没有两个相等的角， 那么这个三角形不是等腰三角形”的第一步： 那么这个三角形不是等腰三角形”的第一步：
反证法
这与已知条件矛盾， 这与已知条件矛盾，即假设不成立 所以， 不被P平分 所以，弦AB、CD不被 平分。 、 不被 平分。
例 1
用反证法证明： 用反证法证明：圆的两条不是直径 的相交弦不能互相平分。 的相交弦不能互相平分。
A O D
已知：如图， 已知：如图，在⊙O中，弦AB、 中 、 CD交于点 ，且AB、CD不是直径 交于点P， 不是直径. 交于点 、 不是直径 求证： 不被P平分 求证：弦AB、CD不被 平分 、 不被 平分.
演练反馈
2、平面内有四个点，没有三点共线， 平面内有四个点，没有三点共线， 证明：以任意三个点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形 证明： 证明：假设以任意三个点为顶点的三角形都是锐角三角形。记四个 点为A、B、C、D。考虑点D在 ∆ABC之内或之外两种情况。 (1)如果点D在 A D C B
∆ABC 之内，根据假设，
例 1
用反证法证明： 用反证法证明：圆的两条不是直径 的相交弦不能互相平分。 的相交弦不能互相平分。
A O P C B D
已知：如图， 已知：如图，在⊙O中，弦AB、 中 、 CD交于点 ，且AB、CD不是直径 交于点P， 不是直径. 交于点 、 不是直径 求证： 不被P平分 求证：弦AB、CD不被C、AC, 、 、 、
∴ 假设 不能成立，所求证的结论成立. 不能成立，所求证的结论成立.
反证法的一般步骤： 反证法的一般步骤：
(1)假设命题的结论不成立 即假 假设命题的结论不成立,即假 假设命题的结论不成立 设结论的反面成立； 设结论的反面成立； (2)从这个假设出发 (2)从这个假设出发，经过推理 从这个假设出发， 论证，得出矛盾； 论证，得出矛盾； (3) 由矛盾判定假设不正确， 由矛盾判定假设不正确， 从而肯定命题的结论正确。 从而肯定命题的结论正确。
浅谈反证法的原理及应用（最新整理）
浅谈反证法的原理及应⽤（最新整理）摘要反证法是⼀种重要的证明⽅法,它不仅对数学科学体系⾃⾝的完善有促进作⽤,⽽且对⼈的思维能⼒的培养和提⾼也有极其重要的作⽤.如果能恰当的使⽤反证法,就能达到化繁为简,化难为易,化不能为可能的⽬的.反证法的逻辑思维强,数学语⾔准确性⾼,对培养学⽣严谨的逻辑思维能⼒,阅读能⼒,树⽴正确的数学观具有重要的意义.本论⽂主要研究的内容有反证法的由来;具体阐述了反证法的定义,即反证法的概念、分类和作⽤;反证法具有⼴泛应⽤的科学根据;并且着重介绍了反证法的应⽤,包括反证法在初等数学和⾼等数学的应⽤,并提出应⽤反证法应注意的问题;针对各种问题提出⼀些具体的教学建议,从⽽为改进反证法教学提供参考.关键词:反证法,否定,⽭盾,应⽤Principle and application of the reduction to absurdityABSTRACT:Reduction to absurdity is an important method, it not only to improve its own system of mathematical science have stimulative effect, but also has an extremely important role in cultivating and improving the people's thinking ability. If you use apagoge properly, can be simplified, the difficult easy, words can not be as likely to. The logical thinking of reduction to absurdity, the language of mathematics of high accuracy, to cultivate students' rigorouslogical thinking ability, reading ability, is of great significance to establish a correct conception of mathematics.The origin of the main content of the paper is the reduction to absurdity;expounds the definition of absurdity, and concept, apagoge classification; the reduction to absurdity has wide application of scientific basis; and introducesthe application of reduction to absurdity, including the application of reduction to absurdity in elementary mathematics and higher mathematics, and proposed should note that the application of reduction to absurdity problems;to solve these problems and puts forward some specific suggestions for teaching, so as to provide reference for the improvement of the teaching of reduction to absurdity.Keywords: reduction to absurdity, negation, contradiction, application⽬录⼀、引⾔ (1)⼆、反证法的由来 (1)三、反证法的概念及分类 (1)（⼀）反证法的定义 (1)（⼆）反证法的分类 (2)1．归谬法 (2)2．穷举法 (2)（三）反证法的作⽤ (2)四、反证法的科学依据 (3)（⼀）反证法的理论依据 (3)（⼆）反证法的步骤 (3)（三）反证法的可信性 (4)五、反证法的应⽤ (4)（⼀）反证法在初等数学中的应⽤ (4)（⼆）反证法在⾼等数学中的应⽤ (6)1．在数学分析中的应⽤ (6)2．在⾼等代数中的应⽤ (8)（三）应⽤反证法应注意的问题 (9)1．反设要正确 (9)2．明确推理特点 (9)3．善于灵活运⽤ (10)4．了解⽭盾种类 (10)六、反证法的教学价值及建议 (10)（⼀）反证法的教学价值 (10)1．训练逆向思维 (10)2．促进数学思维的形成 (10)3．培养思维严密性 (11)4．渗透数学史 (11)（⼆）反证法的教学建议 (11)1．多次反复,螺旋上升 (11)2．精⼼研究,训练反设 (12)3．渗透数学思想⽅法,训练严密 (12)七、结束语 (12)⼋、参考⽂献 (13)必为假.再根据“排中律”,“原结论”与“否定的原结论”这⼀对⽴的互相否定的判断不能同时为假,必有⼀个是真,⽽“否定的原结论”为假,于是我们得到“原结论”必为真.综上,我们可以看出反证法是以逻辑思维的基本规律和理论为依据,通过逻辑推理,得出令⼈信服的正确结论.反证法也是唯物辩证法中“否定之否定”原理在数学中的具体应⽤.五、反证法的应⽤本部分主要总结反证法在初等数学和⾼等数学的应⽤.（⼀）反证法在初等数学中的应⽤之前我们主要介绍了⼀些反证法的概念,对于反证法的定义、历史及逻辑基础有了⼀定的了解,反证法这种间接证明⽅法理论上可以⽤于证明任何题⽬,但是它像直接证明⼀样总有局限性,这部分我们主要介绍常⽤反证法的⼏类命题.否定性命题:结论以“没有”、“不是”、“不能”等形式出现的命题,直接证法不容易⼊⼿,反证法可以发挥它的作⽤.例1.求证:在⼀个三⾓形中,不能有两个⾓是钝⾓.证明:已知、、是三⾓形的三个内⾓.A ∠B ∠C ∠ABC 求证:中不能有两个钝⾓.C B A ∠∠∠、、证明:假如中有两个钝⾓,C B A ∠∠∠、、则有,这与“三⾓形和为”产⽣⽭盾,所以,⼀>∠+∠+∠180C B A ?180个三⾓形不可能有两个钝⾓.关于唯⼀性、存在性、⾄多⾄少命题:例2.已知,求证关于的⽅程有且只有⼀个根.0≠a x b ax =证明:假设⽅程（）⾄少存在两个根,0=+b ax 0≠a 不妨设其中的两根分别为,且,则,21x x 、21x x ≠b ax b ax ==21， ,21ax ax =∴,021=-∴ax ax ,()021=-∴x x a ,0,2121≠-≠x x x x 与已知⽭盾,0=∴a 0≠a 故假设不成⽴,结论成⽴.⽭盾,证明也就结束了.3．善于灵活运⽤虽然数学证明题⼀般都可采⽤反证法,但并不是说,所有证明题都应该使⽤反证法来证明,就多数题⽬来说,⽤直接证法就可以证出,不能⼀味往反证法上⾯靠,要灵活运⽤反证法,毕竟我们平时训练的题⽬多是运⽤的直接证法.对待⽤反证法证题的策略思想是:⾸先试⽤直接证法,若⼀时不能成功,即可使⽤反证法.4．了解⽭盾种类反证法推理过程中出现的⽭盾种类是多种多样的,推理导出的结果可能与题设或部分题设⽭盾,可能与已知真命题（定义或公理、或定理、或性质）相⽭盾,可能与临时假设⽭盾或推出⼀对相互⽭盾的结果等.六、反证法的教学价值及建议关于反证法的教学,从早期就要向学⽣渗透这种思想,凡事不⼀定⾮常谨慎,只要学⽣能够明⽩、认可其中的原理即可.（⼀）反证法的教学价值1．训练逆向思维为了解决⼀个⾯临的数学问题,通常总是先从正⾯⼊⼿进⾏思考,即根据问题中的已知条件,搜索运⽤已掌握的数学知识去推理运算逐步由已知导出未知.若从正⾯⼊⼿繁琐或难度较⼤,不妨考虑问题的相反⽅⾯,往往会绝处逢⽣,开拓解题思路.这种逆向思维,在数学解题中有4种形式:正逆运算转化、条件,结论转化、互为反函数间的转化、以反证法解题,反证法的教学能摆脱学⽣的思维定势、简化运算过程,明晰解题思路,提⾼解题速度,促进创新思维.2．促进数学思维的形成数学思想⽅法是科学思维的⽅法和技术,是数学的精髓,它为揭⽰数学本质,提供了有⼒的思想武器.数学思想⽅法是动态思辩的,重在培养创造性、开拓性⼈才.新⼀轮课程教学改⾰强调创造性、⽣成性,得以形成数学⽂化、数学思维,如何去做是我们关注的.中国初等数学教育明显的好于西⽅,但到⼤学阶段的学⽣却缺少创造性,很难有所成就 ,更不必说获诺贝尔奖,这种情况早就应引起我们反思.我们的数学教学偏重于解题训练,题海战术,⽽启发性思维、理解、悟得思想⽅法的不多.因⽽形成学⽣成绩的两极分化,讨厌数学,甚⾄数学尖⼦⽣也远离数学,回想起数学来就⼼⽣畏惧.加强思想⽅法教学是数学的本质要求,是当下世界经济竞争的需要,也是提⾼全民族整体素质的重要举措,是社会发展的需要,更是提⾼数学质量的基本保证.⽽通过反证法的训练是培养数学思想⽅法的很好途径.欧⼏⾥得很喜欢运⽤的归谬法,它是数学家最有⼒的⼀件武器,⽐起象棋开局时牺牲⼀⼦以取得全局的让⼦法,它还要⾼明.象棋奕者不外牺牲⼀卒或顶多⼀⼦,数学家索性把全局拱⼿让给对⽅,这种先弃后取、欲擒故纵的策略实在是数学证明中极为有效的⼀种⽅法.3．培养思维严密性训练逻辑思维能⼒,反证法是典型的间接证法,也是通过证明原命题的等价命题从⽽证明原命题.在证明过程中的每⼀环节都要全⾯、不遗漏.⽐如否定原题结论反设后有⼏种情况,必须进⾏分类讨论⼀⼀加以否定.反证法与直接证法是密切联系的,⼆者相结合往往相辅相成,相得益彰.就全局⽽⾔是反证法,但从局部看,在作反设后的推理过程⽤的是直接证法.有时在基本直接证法的推理中,⼜会穿插⼀段反证法,以确定某些所需论据,反设时,必须注意弄清原题结论的反⾯,周密地列出与原题结论相悖的所有不同情况,再否定,不能有所遗漏.4．渗透数学史提⾼辩证思维的能⼒,反证法是⼀种重要的证明⽅法,⽆论在初等数学还是⾼等数学中,都有⼴泛的应⽤,数学中⼀些基本性质,重要定理甚⾄某些著名的数学难题,往往⽤反证法证得.举世闻名的费尔马⼤定理,这个多年前的数学难题被攻克,就是反证法的的功绩,欧⼏⾥得曾⽤它证明素数有⽆穷多个.因此反证法对训练学⽣辨证思维,提⾼哲学修养很有价值.（⼆）反证法的教学建议由于反证法的逻辑依据是逻辑学和集合论,⽐较复杂,所以书上没有给出其概念,从⼩学、初中、到⾼中都会⽤到,代数、⼏何都有使⽤,为此教学⼯作如下设想.1．多次反复,螺旋上升反证法的知识本⾝很难,学⽣多次学习都感到似懂⾮懂,下次见到⼜是⽣⾯孔,因此,不能期待⼀次完成,⼀蹴⽽就,要通过看书、⽰范例题、探索解题、回顾推敲、揭⽰内涵、思悟提⾼等慢慢地掌握 .2．精⼼研究,训练反设在反证法证明中准确了解掌握命题结构,列出其否定式是⼗分重要的.3．渗透数学思想⽅法,训练严密先由教师引导,将思想隐于分析过程中,再师⽣共同概括提炼,加以量化.然后由学⽣探索分析问题思想,以达到提⾼、升华.最后,⼒求使学⽣学会运⽤反证法思想武器指导思维活动,在⾼层次感受其威⼒.七、结束语反证法的应⽤是相当⼴泛的,在数学各个分⽀中都有体现,对于数学的创造发展也是极重要的⼯具之⼀.尽管其应⽤不如直接证法普遍,但它在数学命题的证明中能起到直接证法所起不到的作⽤,不少数学命题的证明当使⽤直接证法⽐较⿇烦或⽐较困难甚⾄不可能时,如能恰当地使⽤反证法,就可以化繁为简,化难为易,化不能为可能.当然,反证法不是万能的,⼀般地是在否定论题结论,得到⽭盾论题后,显得⽐原论题更具体、更简明时适⽤反证法.反证法作为⼀种重要的间接论证⽅法,与直接证法的着眼点和理论依据等⽅⾯都不尽相同,构成反证法的智⼒动作与辩证思维密切相关,尤其是按照相反论点的结论进⾏推理的分析思维形式和综合法的逻辑过程,对于训练学⽣的思维能⼒是⾮常重要的.⼋、参考⽂献[1] 中国⼈民⼤学哲学系逻辑教研室.逻辑学[M].北京:中国⼈民⼤学出版社,1996,317.[2] Thompson,D.R.1996.Leanring and teaehing indireet Proof. MathematicsTeacher,89:474⼀482[3] 邹⼤海.刘徽的⽆限思想及其解释[J].⾃然科学史研究,1995,14(1):12-21[4]张⽲瑞《⾼等代数》（第五版）[M].⾼等教育出版社[5]刘⽟琏《数学分析》（第五版）[M].⾼等教育出版社[6] 伊夫斯H.数学史概论[M].欧阳绛译.太原:⼭西经济出版社,1986,285.[7] 周春荔.数学观与⽅法论[M].北京:⾸都师范⼤学出版社,1996.。
反证法
反证法
以下几种形式的命题常用反证法证明：
1、某些命题的结论是否定形式，如不是、不能、 不存在等；
2、某些命题的结论以至多、至少、唯一等形式
出现；
3、某些命题的结论的反面非常明显或结论的反 面容易证明；
4、某些命题的直接证法较困难，有些命题，虽 然其表面似乎不是以上形式，但本质上仍属以 上形பைடு நூலகம்，或很容易化归位以上形式的命题均可 用反证法证明。
已知:如右图,在圆O中,弦AB与CD交于点P,且 AB,CD不是直径.
O
求证:弦AB与CD不能被P点平分.
A C
P
D B
证明:假设弦AB与CD能被P点平分,由于P点一定不 是圆心O,连结OP,根据垂径定理推论,有 OP⊥AB,OP ⊥CD. 即过P点有两条直线AB,CD与OP都垂直,这与 垂线性质矛盾. ∴弦AB与CD不能被P点平分.
反证法的一般步骤如下:
(1)假设命题结论不成立,即假设结论的反面成立. (2)从这个假设出发,经过推理论证,得出矛盾. (3)由矛盾判定假设不成立,从而肯定命题结论正确.
例1:若a,b,c均为实数,且a=x2 -
π π π 2 2 2y + 2 ,b=y - 2z+ ,c=z - 2x+ 6. 3
3. 与已知公理或定理矛盾(如例2)
例2:用反证法证明:如果a>b>0,那么
证明:假设 a 不大于 b ,则 a < b 或 a = b ∵a>0,b>0,
a
>
b
∴ a< b
a a < a b且 a b< b b
a=b.
a<b,
a = b
这些与条件a>b矛盾,∴原假设不成立,即 a> b 成立.
反证法
证明质数有无穷多个，欧几里得的证明就是反证法。
依据
反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”。在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不 能同时都为真，至少有一个是假的，这就是逻辑思维中的“矛盾律”；两个互相矛盾的判断不能同时都假，简单 地说“A或者非A”，这就是逻辑思维中的“排中律”。
范例
证明：素数有无数个。 这个古老的命题最初是由古希腊数学家欧几里德（Euclid Alexandra，生活在亚历山大城，约前330～约前 275，是古希腊最享有盛名的数学家）在他的不朽著作《几何原本》里给出的一个反证法： 假设命题不真，则只有有限多个素数，设所有的素数是 此时，令,那么所有的显然都不是N的因子，那么有两个可能：或者N有另外的素数真因子，或者N本身就是一 个素数，但是显然有N>.无论是哪种情况，都将和假设矛盾。这个矛盾就完成了我们的证明，所以确实有无数个 素数！ 证明：是无理数。 假设命题不真，则为有理数，设，即最简分数的形式。 则， 所以为偶数，则为偶数，可表示为 则
感谢观看
反证法中的重要环节是确定反论题的虚假，常常要使用归谬法。反证法是一种有效的解释方法，特别是在进 行正面的直接论证或反驳比较困难时，用反证法会收到更好的效果。
ห้องสมุดไป่ตู้
定义
反证法常称作Reductio ad absurdum，是拉丁语中的“转化为不可能”，源自希腊语中的“ἡ εις το αδυνατον παγωγη”，阿基米德经常使用它。
（2）结论的反面常常不止一种情形，则需反设后，分别就各种情况归谬，做到无一遗漏。
反证法 课件
反证法的定义及证题的关键
思考1：反证法的实质是什么？ [提示]反证法的实质就是否定结论，推出矛盾，从而证明原结论是正确
的． 思考2：有人说反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推
理，这种说法对吗？为什么？ [提示]反证法是间接证明中的一种方法，其证明过程是逻辑非常严密的
演绎推理．
于0，即：
4aa－21－24－－4a42＜a＋0，3＜0， 2a2＋4×2a＜0，
－32＜a＜12， ⇒a＞13或a＜－1，
－2＜a＜0.
⇒－32＜a＜－1，
这与已知a≥－1矛盾，所以假设不成立，故三个方程中至少有一个方程
有实数解．
母题探究：1.(变条件)将本题改为：已知下列三个方程x2＋4ax－4a＋3＝ 0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0至少有一个方程有实数根，如何求实 数a的取值范围？
[规律方法] 巧用反证法证明唯一性命题 1当证明结论有以“有且只有”“当且仅当”“唯一存在”“只有一 个”等形式出现的命题时，由于反设结论易于推出矛盾，故常用反证法证 明 2用反证法证题时，如果欲证明命题的反面情况只有一种，那么只要将 这种情况驳倒了就可以；若结论的反面情况有多种，则必须将所有的反面情 况一一驳倒，才能推断结论成立 3证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一 性.
用反证法证明唯一性命题
求证方程2x＝3有且只有一个根. 【导学号：31062153】
[证明] ∵2x＝3，∴x＝log23，这说明方程2x＝3有根．下面用反证法证 明方程2x＝3的根是唯一的：
假设方程2x＝3至少有两个根b1，b2(b1≠b2)， 则2b1＝3,2b2＝3，
两式相除得2b1－b2＝1. 若b1－b2>0，则2 b1－b2>1，这与2 b1－b2＝1相矛盾． 若b1－b2<0，则2 b1－b2<1，这也与2 b1－b2＝1相矛盾． ∴b1－b2＝0，则b1＝b2. ∴假设不成立，从而原命题得证．
反证法
王戎的推理方法是:
假设李子不苦,
则因树在“道”边,李子早就被别
人采摘而没有了,
这与“多子”产生矛盾.
所以假设不成立,李为苦李.
在你的日常生活中也有类似 的例子吗?请举一个例子.
练一练
1、“a＜b”的反面应是（
D
）
（A）a≠＞b（B）a ＞b （C）a=b（D）a=b或a＞b 2、用反证法证明命题“三角形中最多有一个是直 假设三角形中有两个或三个角是直角 角”时，应假设______________________ 3、用反证法证明“若a2≠ b2,则a ≠ b” 的第一步是 假设a=b 。 4、用反证法证明“如果一个三角形没有两个相等的角， 那么这个三角形不是等腰三角形”的第一步是 假设这个三角形是等腰三角形 ______________________
１８０度
三角形的内角和等于１８０° 这于＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿矛盾
不成立 所以假设命题＿＿＿＿＿＿， 所以，所求证的结论成立．
填一填
2、用反证法证明“两直线平行，同旁内角互补”。 在下面证明过程中填空。
已知：如图
求证：∠1+∠2=180º。
l1∥ l 2， l1 、 l 2
被 l 3 所截。
填一填
1、用反证法证明：在三角形的内角中，至少有一个
角大于或等于６０°
已知：如图， ∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ是△ＡＢＣ的内角 求证： ∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ中至少有一个角大于 或等于６０度. Ａ
证明 假设所求证的结论不成立，即
则 ∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ ＜
Ｂ
反证法
证明；(存在性）a≠0，方程ax=b至少有一 个根x=b/a。 （以下为唯一性） ：假设方程ax + b = 0(a ≠ 0)至少存在两个根，
不妨设其中的两根分别为x1，x2且x1 ≠ x2
则ax1 = b，ax2 = b ∴ax1 = ax2 ∴ax1 - ax2 = 0
∴a（x1 - x2） =0 ∵x1 ≠ x2，x1 - x2 ≠ 0 ∴ a = 0 与已知a ≠ 0矛盾, 故假设不成立，结论成立。 2018/4/28
反思与收获
你能谈谈举反例与反证法 的联系和区别吗？
同学们，学了这节课， 你们有何体会？ ---德国数学家希尔伯特说， 禁止数学家使用反证法， 就象禁止拳击家使用拳头。
2018/4/28
当堂达标，用反证法证明：
如果a>b>0，那么a > b 证：假设 a > b不成立，则 a ≤ b
若 a = b，则a = b, 与已知a > b矛盾,
思考2：
A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A、 B都撒谎。则C必定是在撒谎，为什么？
2018/4/28
思考1：
将9个球分别染成红色或白色。那么无论怎样 染，至少有5个球是同色的。你能证明这个结 论吗？
探究：
假设有某种染法使红色球和 白色球的个数都不超过4，
则球的总数不应超过8， 这与球的总数是9相矛盾
假设待证命题不成立，或是命题的 反面成立。
以假设为条件，结合已知条件推理， 得出与已知条件或是正确命题相矛盾 的结论
这与“......”相矛盾
四、结论成立 所以假设不成立，所求证的命题成立
探究2 常见典型题目类型总结：
例1 已知a≠0，证明x的方程ax=b有且只有 一个根。
反证法
Ca C
发现知识：
这种证明方法与前面的证明方法不同，它是首先假设结论的 反面成立，然后经过正确的逻辑推理得出矛盾，由此说明假设不 成立，从而得到原结论成立。象这样的证明方法叫做反证法。
三、应用新知
尝试解决问题
例１在△ABC中，AB≠AC,求证：∠B ≠ ∠ C
证 等角对等边 ）
假设李子不苦,
即李子是甜的。
则因树在“道”边,李子早就被别人
采摘, 这与“多子”产生矛盾. 所以假设不成立,李为苦李.
一、复习引入
如图，在△ABC中，AB=c，BC=a， AC=b,如果∠C=90°，a、b、c三边 有何关系？为什么？
解析： 由∠C=90°可知是直
角三角形，根据勾股定理 可知 a2 +b2 ＝c2 .
2.否定性问题
3.唯一性问题
4.至多、至少类问题
5.一些基本命题、基本定理
总之，直接证明比较困难的命题
注意:用反证法证题时,应注意的事项 :
（1）周密考察原命题结论的否定事项，防止 否定不当或有所遗漏；
（2）推理过程必须完整，否则不能说明命题 的真伪性；
（3）在推理过程中，要充分使用已知条件， 否则推不出矛盾，或者不能断定推出的结果是 错误的。
反思中成长——收获反证法
同学们，学了这节课，你 们有何收获？
回顾与归纳
（
已
假 设 结 论 的 反 面 正
得 出 推理论证 矛 盾
知 、 公 理 、 定 理
得出结论
假 设 不 成 立
.
原 命 题 成 立
，
确
等
反设
归谬）
结论
大家议一议！
我来告诉你（经验之谈）
探究4：
浅谈中学数学中的反证法
浅谈中学数学中的反证法摘要：反证法在数学中是一种非常重要的间接证明方法，它被称为“数学家最精良的武器之一”，又称为归谬法、背理法。
反证法亦称“逆证”。
其不仅是一种论证方法，对提升学生创新性思维能力与概念思维能力具有积极作用，从某种角度可以说，反证法还是一种思维方式，其还能拓展学生的解题思路，从而使学生形成良好的数学思维。
反证法在中学数学中有着广泛的应用，如今学生在运用反证法解题中，基础一般的学生会受到思维能力的限制，如果能恰当的使用反证法，在一些有难度的题目上也许能够得到解决。
所以本文首先会叙述反证法的产生，具体阐述反证法的定义，即反证法的概念、分类、科学性，介绍逆证在中学数学中的实际运用并论述了逆证应用的具体需要注意的一些问题。
关键词：反证法；中学数学；应用；On the Proof by Contradiction in Middle SchoolMathematicsAbstract：Proof by contradiction is a very important indirect proof method in mathematics, it is called "one of the most sophisticated weapons of mathematicians", also known as reduction to absurdity, unreasonable method. Proof by contradiction is not only an argumentation method, but also a way of thinking. It plays an extremely important role in cultivating and improving students' logical thinking ability and creative thinking ability. It can also expand students' thinking of solving problems, so that students can form good mathematical thinking. Anyway, the method has been widely used in middle school mathematics. Nowadays, when students solve problems with the method of proof by contradiction, the students with general foundation are limited by their thinking ability. If the method of proof by contradiction can be used properly, they may be able to solve some difficult problems. Therefore, this paper will first describe the source of proof by contradiction, specifically elaborate the definition of proof by contradiction, that is, the concept, classification and logical basis of proof by contradiction, introduce the application of proof by contradiction in middle school mathematics and explain the problems to be noticed in the application of proof by contradiction.Keywords：proof by contradiction; Middle school mathematics; Application;目录目录浅谈中学数学中的反证法 (1)1 引言 (1)2 反证法的产生 (1)2.1古希腊的反证法 (1)2.2 中国古代数学中的反证法 (2)3 反证法的定义与步骤 (2)3.1 反证法的定义 (2)3.2反证法的解题步骤 (2)4 反证法的分类与科学性 (4)4.1反证法的分类 (4)4.1.1归谬法例题 (4)4.1.2穷举法例题 (4)4.2反证法的科学性 (5)4.2.1反证法的理论依据 (5)4.2.2反证法的可信性 (5)4.3为什么要使用反证法 (6)5 反证法在中学数学中的应用 (6)5.1基本命题，即学科中的起始性命题 (6)5.2命题采取否定形式 (7)5.3有关个数的命题 (9)5.4结论涉及无限集或数目不确定的命题 (10)5.5不等式类型 (11)5.6几何类型题 (12)6 使用反证法解题过程中要注意的问题 (13)6.1反设要正确 (13)6.2 要明确推理特点 (13)6.3能灵活运用 (13)6.4 反证法与举反例不等同 (14)6.5熟悉矛盾的种类 (14)7 总结 (14)参考文献 (14)致谢 (15)浅谈中学数学中的反证法1 引言反证法是间接论证的方法之一，亦称“逆证”、矛盾证法;。
初中数学竞赛专题反证法与同一法
第 1 页初中数学竞赛专题反证法与同一法板块一 反证法反证法反证法是一种间接证法．为了证明某个命题的正确性，先发起一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，议决正确的推理，导致矛盾，从而否定假设，抵达肯定原命题正确的目的，这种要领便是反证法．反证法的逻辑根据是“排中律”：敷衍联合思维工具，所作的两种互相对立的鉴别只能一真一假、反证法便是议决证明结论的反面不真而肯定结论为真的一种证明要领．用反证法证明一个命题的正确性的步骤，概略上分为：（1）反设：假设结论的反面成立；（2）归谬：由反设及原命题的条件出发，议决严密的推理，导出矛盾；（3）结论：否定反设，肯定原命题正确．根据反设所涉及到的环境的几多，反证法可分为归谬反证法与穷举反证法．1．若结论的反面只有一种环境，那么，反设简略，只须驳倒这种环境，便可抵达反证的目的．这叫归谬反证法．2．若结论的反面不只一种环境，那么，要将各种环境一一驳倒，才华肯定原命题正确，这叫穷举反证法．【例1】 设()20，是一次函数()0y ax b a =+≠上一点，试证y ax b =+的图象至多只能议决一个有理点（横坐标和纵坐标都是有理数的点）．【解析】 将2x =，0y =代入y ax b =+，得2b a =-，于是()2y a x =-，设()0y ax b a =+≠的图象上有两个不同的有理点()11x y ，、()22x y ，，则1x 、1y 、2x 、2y 都是有理数，且消去a ，变形得1221212x y x y y y -=- 因为12x x ≠，则12y y ≠，所以上式左端是有理数，它不可能即是无理数，故()0y ax b a =+≠的图象至多只能议决一个有理点．【备选】 求证: 平面上恣意两个不同的整点到点(2,3)P 的隔断都不相等．【解析】 假设结论不成立，则平面上两个不同的整点(,)A a b 、(,)B c d （此中a 、b 、c 、d 都是整数）使得AP BP =．由22AP BP =可得2222(2)(3)(2)(3)a b c d -+-=-+-，即22222()22()3a c b d a b c d -+-=+--，从而22222228()12()8()()6()a c b d a c b d a b c d -+-+--=+--，进而可得22222228()()6()8()12()a c b d a b c d a c b d --=+------，因此()()0a c b d --=．⑴ 若0a c -=，则0b d -=，从而a c =，b d =，A 、B 重合．⑵ 同理，若0b d -=，A 、B 重合．习题1. 若0a ≠，则关于x 的方程0ax b +=的解是唯一的．夯实基础知识导航【解析】 因为0a ≠，则b x a=-是0ax b +=的一个解， 假设0ax b +=的解不是唯一的，不妨设1x 、2x 都是0ax b +=的解，这里12x x ≠，则①-②得由于12x x ≠，所以120x x -≠，则0a =，这与0a ≠矛盾．故若0a ≠，则x 的方程0ax b +=的解是唯一的．【点评】证明的第一行是说明解的存在，在这种环境下，结论“解是唯一的”的否定是“至少有两个解”，但本题的反设是“若1x 、2x （12x x ≠）是0ax b +=的解”，本来，这里省去了“只要有两个不同的解，就能导出矛盾，固然不可以有更多的不同的解”的推理．【例2】 平面上有一点P 及ABC △，若PB PC AB AC +>+，求证：点P 在ABC △外部．【解析】 假设点P 不在ABC △外部，则有如下几种可能：⑴ 若点P 在BC 边上（如下左图）．由PB PC BC AB BC +=<+，与已知矛盾，所以点P 不可能在BC 边上．⑵ 若点P 在AC （或AB ）边上（不包括端点）（如下中图），则PB AB AP <+所以PB PC AB AP PC AB AC +<++=+与已知矛盾，所以点P 不可能在AC （或AB ）边上．⑶ 若P 与A 重合，显然PB PC AB AC +=+，与已知矛盾，故点P 不可能是A 点． ⑷ 若点P 在ABC △内（如上页右图），延长BP 交AC 于D ，则①+②得AB AD PD DC BP PD PC +++>++即AB AC PB PC +>+，与已知矛盾，所以点P 不在ABC △内．由以上⑴～⑷知，点P 必在ABC △外．习题2. 如右图，在凸四边形ABCD 中，若AB BD AC CD ++≤，求证：AB AC <．【解析】 设AB AC ≥，则ACB ABC ∠∠≥，因为ABCD 是凸四边形，所以BCD ACB ∠>∠，ABC DBC ∠>∠，则BCD DBC ∠>∠，于是BD CD >，故AB BD AC CD +>+，与已知条件矛盾，因此，AB AC <得证．习题3. 在联合平面内有四条直线a 、b 、c 、d ，若a 与b 相交，c a ⊥，d b ⊥，则c 与d 也相交．【解析】 假设c d ∥，因为a c ⊥，所以a d ⊥，又因为b d ⊥，所以a 、b 平行，这与已知条件a与b 相交矛盾，故c 与d 也相交．【例3】 在四边形ABCD 中，OA OC =，ABC ADC ∠=∠，求证：ABCD 是平行四边形．【解析】 若OB OD =，则显然ABCD 是平行四边形．若OB OD ≠，不妨设OB OD >，则在OB 上取点'B ，使得'OB OD =，连合''AB B C 、，则四边形'AB CD 是平行四边形，则'ADC AB C ABC ∠=∠>∠，矛盾！故ABCD 是平行四边形．习题4. 已知在四边形ABCD 和''''A B C D 中，''AB A B =，''BC B C =，''CD C D =，''DA D A =，且AB CD ∥，''''B C D A ∥．证明：这两个四边形都是平行四边形．【解析】 显然，若AB CD =则结论成立．不然，不妨设AB CD >，BC DA >．如图，在线段BA 上截取BE CD =，连合DE ；则四边形EBCD 是平行四边形，DE BC =．同样，在线段''B C 上截取'''B F A D =，则'''A B FD 是平行四边形，'''D F A B =．那么'''''AB CD AE ED AD BC AD B C A D FC -=>-=-=-=，'''''''D F C D A B C D AB CD >-=-=-，矛盾!即两个四边形均是平行四边形．探索提拔第 3 页【例4】 G 是ABC △的重心，若AB GC AC GB +=+，则AB AC =．【解析】 若AB AC ≠，不妨设AB AC >，议决倍长中线可得CAG BAG ∠>∠，作点C 关于AG 的对称点'C ，则由“8字模型”，''AB GC AC GB +>+，可得AB GC AC GB +>+，矛盾！故AB AC =．【例5】 试证明雷米欧司—斯坦纳定理：内角中分线相等的三角形是等腰三角形．【解析】 如图，若AB AC >，则一方面， ACB ABC ∠>∠，DCB EBC ∠>∠，在DBC △和EBC △中，CD BE =，BC CB =于是BD CE > ……①另一方面，作DBEF □，则BE DF =，又BE CD =∴FDC △为等腰三角形，此中DF DC =∴FCD DFC ∠=∠，而ABE ACD ∠<∠∴EFC ECF ∠>∠，从而EC EF BD >= ……②综合①、②，矛盾．【备选】 设凸五边形ABCDE 的各边相等，而且A B C D E ∠∠∠∠∠≥≥≥≥，求证：此五边形是正五边形．【解析】 假设A E ∠>∠，那么在BAE △和AED △中，由BAE AED ∠>∠可得BE AD >；因此，在ABD △和EBD △中，由BE AD >可得BDE ABD ∠>∠．别的，由BC CD =可得BDC CBD ∠=∠，连合BDE ABD ∠>∠可得CDE CBA ∠>∠，而这与已知条件B D ∠≥∠矛盾．所以A E ∠≤∠，连合已知条件可得A B C D E ∠=∠=∠=∠=∠，得证．本题中，多次使用了“双方对应相等的两个三角形中，夹角越大，则第三边也越大；反之亦然”这一定理．板块二 联合法 联合法 在相符联合准则的条件下，取代证明原命题而证明它的逆命题成立的一种要领叫做联合法．联合法是间接证法的一种．当要证明某种图形具有某种特性而不易直接证明时，使用此法往往可以征服这个困难．用联合法证明的一般步骤是:(1)不从已知条件入手，而是作出相符结论特性的图形；(2)证明所作的图形相符已知条件；(3)推证出所作图形与已知为联合图形．【例6】 在等腰ABC △中，AB AC =，36A ∠=︒，D 是AC 上的一点，满足AD BC =；求证：（1）ABD CBD ∠=∠；（2）BD BC =．【解析】 由点D 的唯一性，利用联合法可以轻松办理标题．【例7】 在ABC △中，D 是BC 边上一点，40B ∠=︒，30BAD ∠=︒，AB CD =，求C ∠．【解析】 在BC 所在直线上找点'C ，使得'AC AB =，连合'AC则'40C ∠=︒，70ADC ∠=︒，那么'70DAC ∠=︒，由此''DC AC AB DC ===，即C 、'C 知识导航探索提拔特殊挑衅重合．所以40C ∠=︒．习题5. 在ABC △中，D 是BC 边上一点，42B ∠=︒，27BAD ∠=︒，AB CD =，求C ∠．【解析】 说明：答案为42︒；标题可进一步变成“在ABC △中，D 是BC 边上一点，B α∠=，BAD β∠=，32180αβ+=︒，AB CD =，求C ∠”．【备选】 在梯形ABCD 中，AD BC ∥，90B C ∠+∠=︒，E 、F 分别是AD 、BC 的中点， 求证：()12EF BC AD =-． 【解析】 延长BA 、CD 交于点P ，连合PF 交AD 于点'E ，利用线束定理简略证明'E 即为AD 的中点，那么E 、'E 重合，则1122EF PF PE BC AD =-=-，得证．【例8】 在ABC △中，AD 是角中分线，I 是AD 上一点，且1902BIC BAC ∠=︒+∠，则I 为ABC △的内心．【解析】 设'I 为三角形的内心，显然'I 必在AD 上，且1'902BI C BAC ∠=︒+∠．若点I 在'AI 上，易得1902BIC BAC ∠<︒+∠；若点I 在'I D 上，易得1902BIC BAC ∠>︒+∠．所以，点I 与点'I 重合，即I 为三角形的内心．习题6. 如图，I 是ABC △的BAC ∠的角分线上一点，直线MN 过点I ，与AB AC 、边分别交于点M N 、，且ABI NIC ∠=∠，ACI MIB ∠=∠．求证：I 是ABC △的内心．【解析】 1180902BIC MIB NIC BAC ∠=︒-∠-∠==︒+∠，连合上题结论可知，I 是ABC △的内心． 特殊挑衅。
《反证法》
思考？ 思考？
三个人， 撒谎， 撒谎， （1）A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A、B 都撒谎。 在撒谎吗？为什么？ 都撒谎。则C在撒谎吗？为什么？ 分析:假设C没有撒谎, 都撒谎. 分析:假设C没有撒谎, 则A、B都撒谎. 撒谎, 没有撒谎. 由A撒谎, 知B没有撒谎. 这与B撒谎矛盾. 这与B撒谎矛盾. 那么假设C没有撒谎不成立, 那么假设C没有撒谎不成立, 必定是在撒谎. 则C必定是在撒谎.
路边苦李
王戎7岁时，与小 王戎 岁时， 岁时 伙伴们外出游玩， 伙伴们外出游玩，看 看到路边的李树上结 满了果子.小伙伴们 满了果子 小伙伴们 纷纷去摘取果子， 纷纷去摘取果子，只 有王戎站在原地不动. 有王戎站在原地不动 有人问王戎为什么? 有人问王戎为什么
王戎回答说:“树在道边而多子，此必苦李 王戎回答说 树在道边而多子，此必苦李.” 树在道边而多子 小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李. 小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李
求证；一个三角形中，至少有一个内角不 小于60°
证明：假设三角形内角都小于60° 即∠A﹤ 60°， ∠B﹤ 60°， ∠C ﹤ 60° 则∠A+ ∠B+ ∠C ﹤ 180° 与内角和定理矛盾。 假设不成立，结论正确
动手试试
1 练1如果x﹥ 2
x2 + 2x −1 ≠ 0 那么
练2 求证
3
是无理数
C
证明：假设AB,CD互相平分，则四边形ABCD是平 AB,CD ABCD 行四边形。则∠ACB= ∠ ADB， ∠CAD=∠ DBC
P A O
B D
又ABCD为内接四边形 故∠ACB+ ∠ ADB=180°, ∠CAD+∠ DBC=180°由圆的对称性可知 ABCD为矩形，所以AB,CD为直径 与已知矛盾。 所以假设不成立。
反证法
2.2.2 反证法1. 结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点.重点：会用反证法证明问题；了解反证法的思考过程.难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法.预习导引-------温故才能知新为课前预习奠基1、反证法：假设命题结论的反面成立，经过正确的推理,引出矛盾，因此说明假设错误,从而证明原命题成立,这样的的证明方法叫反证法。
2、反证法的思维方法：正难则反3、反证法的基本步骤：（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立；（2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；（3）从矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确4、归缪矛盾主要指如下方面：（1）与已知条件矛盾；（2）与已有公理、定理、定义矛盾；（3）自相矛盾。
5、应用反证法的情形：(1)直接证明困难;(2)需分成很多类进行讨论．（3)结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个”---类命题；（4）结论为“唯一”类命题；预习自测---------评价预习效果为突破难点奠基1．否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是 ( )（A ）有一个解 （B ）有两个解 （C ）至少有三个解 （D ）至少有两个解 2、用反证法证明：如果a ＞b,>.其中假设的内容应是（ ）=<=<=<解析：反证法的假设内容是“q ⌝”.答案：D 3、用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（ ） ( A ) 假设三内角都不大于60度； (B) 假设三内角都大于60度；(C) 假设三内角至多有一个大于60度； (D) 假设三内角至多有两个大于60度。
4、已知33q p +＝2，关于p ＋q 的取值范围的说法正确的是（ ）（A ）一定不大于2 （B ）一定不大于22 （C ）一定不小于22 （D ）一定不小于2 答案： 用反证法可得3应选（B ） 4应选（A ）预习小结---------梳理知识 体悟脉络 为落实要点奠基要点一：利用“自相矛盾”或“与已知条件矛盾”推翻假设。