浅谈反证法的教学
八年级数学上册《反证法》教案、教学设计
3.评价与反馈：教师对学生的练习成果进行评价，给予鼓励和指导，帮助学生找到不足，提高解题能力。
（五）总结归纳
1.知识点回顾：教师引导学生回顾本节课所学内容，总结反证法的定义、证明步骤和应用场景。
2.学生发言：鼓励学生谈谈自己对反证法的认识，以及在解题过程中的体会和收获。
（二）讲授新知
1.反证法定义：教师给出反证法的定义，明确反证法的基本思想，即假设结论不成立，通过推理得出矛盾，从而证明原结论成立。
2.证明步骤：详细讲解反证法的证明步骤，包括假设结论不成立、推出矛盾、否定假设、得出结论等。
3.例题讲解：以勾股定理的证明为例，展示反证法的具体运用，让学生理解反证法的证明过程。
2.例题分析：通过典型例题的讲解，让学生体会反证法的应用，培养他们分析问题和解决问题的能力。
3.小组讨论：组织学生进行小组讨论，共同探讨反证法的证明过程，提高学生的合作学习能力。
4.课后作业：布置适量、具有挑战性的课后作业，巩固学生对反证法的理解和运用。
（三）情感态度与价值观
1.激发兴趣：以有趣的数学问题引入反证法，让学生感受到数学的趣味性和挑战性。
3.实践性：注重作业的实践性，鼓励学生将所学知识运用到实际问题中，提高解决问题的能力。
4.合作性：鼓励学生进行小组合作，培养学生的团队精神和合作学习能力。
5.家长参与：充分发挥家长的作用，促进家校共育，提高学生的学习兴趣和效果。
3.教师总结：强调反证法在解决数学问题中的重要作用，鼓励学生在今后的学习中，灵活运用反证法，提高自己的逻辑思维能力和解决问题的方法。
4.布置作业：布置与课堂练习相关的课后作业，巩固学生对反证法的掌握，为下一节课的学习打下基础。
浅谈数学教学中的反证法
浅谈数学教学中的反证法摘要】在中学数学教学中，引导学生正确运用反证法是数学教师课堂教学实践的重要任务，本文着重探讨反证法的应用方法，以期对我们的数学教学实践有所帮助。
关键词：反证法，思维流程，教学实践一、反证法是一种重要的数学证明方法所谓证明，就是用已知的数学事实或其真实性显而易见的数学公理去解释、说明、断定要证命题的真实性1。
因此，引导学生学会利用反证法证明数学命题是一项重要的教学内容。
二、反证法在数学中的应用（一）反证法的特点及应用反证法对数学命题的证明方法着重于采取逆向思维，由题设通过推理最终否定结论。
我们假设原命題为a→b ，是推导而出的结果，c通常为条件、公理以及定理等，也可以使临时假设的条件，我们可表示为→（c∧）a→b，逻辑依据：“矛盾律”和“排中律”是反证法的最核心最根本的逻辑依据。
反证法的逻辑思维流程是：假若“结论不能够得以成立”，那么结论已不成立就会出现人所共知的问题，这个问题主要是通过与已知的设定条件相悖，或者与公理等相悖，或与我们做出的临时设定条件相悖，或与自身矛盾等方式显示出来。
种类：我们使用反证法的核心点在于归谬，一般在运用中有简单归谬法和穷举归谬法两种形式。
模式：设定需要证明的命题为“若X则Y”，X是题设，Y是我们得出的结论，X，Y亦均为数学判断，如此，反证法证明命题通常分三步。
反设：首先设定与求证结果相悖的内容。
反设—假设待证结论不成立,亦即肯定待证结论的反面,并将其作为增加条件,添加到给定的题设中去2。
归谬：我们将反设作为条件，基于此采取系统的无任何错误的推理，暴露矛盾，这是反证法的关键环节。
结论：推导出反设不能够成立，从而说明原命题正确。
（二）反证法在中学数学中的应用领域反证法是从证明反论题虚假来证明原命题真实的一种证题方法,是一种重要的间接证法3。
反证法普遍应用于平面几何、代数、三角、立体和解析几何等数学的许多部分内容之中。
反证法的理论依据是形式逻辑中的两个基本规律—矛盾律和排中律4。
《反证法》 教学设计
《反证法》教学设计一、教学目标1、知识与技能目标学生能够理解反证法的概念，掌握反证法的证明步骤，能够运用反证法证明一些简单的命题。
2、过程与方法目标通过对反证法的学习，培养学生的逻辑思维能力、推理能力和分析问题、解决问题的能力。
3、情感态度与价值观目标让学生感受数学的严谨性，激发学生对数学的兴趣，培养学生勇于探索和创新的精神。
二、教学重难点1、教学重点反证法的概念和证明步骤，以及如何正确地提出反设和推出矛盾。
2、教学难点理解反证法的逻辑原理，如何在证明过程中寻找矛盾，以及反证法的应用。
三、教学方法讲授法、讨论法、练习法四、教学过程1、导入通过一个有趣的推理故事引入反证法的概念。
例如：有一天，一个小偷被警察抓住了。
警察问小偷：“你偷东西了吗？”小偷说：“我没偷。
”警察说：“那好，假设你没偷，但是我们在现场发现了你的脚印和指纹，这怎么解释？”小偷无言以对。
这个故事中，警察就是运用了一种特殊的推理方法——反证法。
2、讲解反证法的概念反证法是一种间接证明的方法，先假设命题的结论不成立，然后通过推理，得出矛盾，从而证明原命题成立。
3、反证法的证明步骤（1）提出反设：假设命题的结论不成立。
（2）推出矛盾：从反设出发，通过推理，得出与已知条件、定理、公理等相矛盾的结果。
（3）得出结论：由于推出了矛盾，所以反设不成立，从而原命题的结论成立。
以“在一个三角形中，最多只能有一个直角”为例进行讲解。
假设在一个三角形中有两个直角，设∠A ＝∠B ＝ 90°，则∠A ＋∠B ＋∠C ＝ 90°＋ 90°＋∠C ＞ 180°，这与三角形内角和为 180°相矛盾，所以假设不成立，即在一个三角形中，最多只能有一个直角。
4、反证法的应用（1）证明“根号 2 是无理数”假设根号 2 是有理数，设根号 2 ＝ p ／ q（p、q 为互质的正整数），则 2 ＝ p^2 ／ q^2，即 p^2 ＝ 2q^2。
反证法教案：如何有效引导学生运用反证法进行证明？
反证法教案：如何有效引导学生运用反证法进行证明？引言反证法是一种重要的证明方法，常用于数学、哲学、逻辑学等领域。
其核心思想是通过否定所要证明的命题，从而推导出矛盾的结论，进而证明所要证明的命题成立。
反证法虽然看起来简单，但是实际上运用起来还是有很多需要注意的地方。
本文将从反证法的定义、特点以及应用等方面深入探讨如何有效引导学生运用反证法进行证明。
一、反证法的定义和特点反证法（reductio ad absurdum），又称为归谬法或证伪法，是一种利用矛盾的方法对命题进行证明的方法。
它的基本原理是：假设所要证明的命题不成立，然后通过推导出矛盾的结论来说明假设错误，从而证明所要证明的命题是正确的。
反证法的特点如下：1.反证法常常被用于证明命题的必要性。
2.反证法的证明方式具有矛盾性，能够避免结论的任意性。
3.反证法的证明方式多用于存在性、全部性以及唯一性的证明中。
二、反证法的实例以下为反证法在数学中的实例：例1：证明根号2是无理数。
假设根号2是有理数，即根号2=a/b，其中a、b是整数，且a、b的最大公约数为1。
将根号2化简得到2=b^2/a^2，两边同乘a^2得到2a^2 = b^2。
因为2是质数，所以2必然是b^2的因子，从而可以知道b也是2的因子。
因为a、b的最大公约数为1，所以a不是2的因子，从而可以知道a^2不是2的因子。
因此，2a^2不可能是b^2的因子，这与2a^2=b^2相矛盾。
因此，假设不成立，根号2是无理数。
例2：证明二次剩余定理。
假设存在一个整数a，使得a^2≡p(mod q)，其中p、q都是不同的质数。
由于p是质数，所以p只有模q之下的剩余是可能的，即当p模q的剩余为k时，存在对应的整数r，使得p=k+qr。
将p替换得到a^2≡k+qr (mod q)。
因为q是质数，所以q的模意义下有域的性质，从而有a^2-k≡qr(mod q)。
因为gcd(q, r)=1，所以q模意义下有逆元，可以得到a^2-k≡q^(-1)qr(mod q)，从而得到q|a^2-k。
浅谈平面几何反证法的教学
浅谈平面几何反证法的教学反证法是一种不常见但很重要的证明方法。
苏科版九年级数学教材中开始介绍反证法这一种间接的证明方法。
搞好平面几何反证法教学，对进一步发展学生的逻辑思维能力有较大的帮助对于高中立体几何学习和大学数学的学习都有重要的作用。
一、举例反证法的应用初中学生初次接触反证法，对如何判定哪些题目可用反证法往往感到困难。
在教学中把适用反证法的题目大致归纳为三类：1.题目所涉及的知识范围较小，所能用到的定义、公理定理较少例1：如图，已知a∥b,b∥c。
求证：a∥b。
证明：假设a与b不平行，则a与b相交，不妨设a与b的交点为P，那么，过直线c外的一点P有两条直线a和b与直线c平行，这与平行公理矛盾。
故假设错误。
因此a∥b。
2.题目的结论以否定的形式出现例2：如图，已知AB和CD是圆的非直径的两条弦。
求证:AB和CD不能互相平分。
证明: 假设AB、CD互相平分于P，连接OP，有垂径定理，可得：OP⊥AB、OP⊥CD。
那么，过OP上一点P可作两条OP的垂线，这与“过已知直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线”的定理相矛盾，所以假设错误。
故AB、CD不互相平分。
3.题目的条件较少，但题目的结论的反面假设多于条件例3：已知四边形ABCD中，AB+CD=AD+BC。
求证：四边形ABCD外切于一个圆。
证明：显然可作一个与AB、BC、AD三边都相切的⊙O，假定CD与⊙O不相切，则有两种情况。
（1）若CD与⊙O相离,则过C可作CD′相切于圆O且交AD于D′，则有：AB+CD′=BC+AD′,又题设AB+CD=BC+AD，所以CD-CD′=AD-AD′=DD′，这与在△DD′C中CD-CD′<DD′相矛盾。
（2）若CD与⊙O相交，则过点C作CD′相切于⊙O且交AD延长线于D′，则有：AB+CD′=BC+AD′，又题设：AB+CD=BC+AD，所以CD′-CD=AD′-AD=DD′，这与在△DD′C 中CD′-CD<DD′相矛盾。
反证法优秀教学设计
反证法优秀教学设计反证法是一种常用的证明方法，通过构造与原命题相矛盾的假设，再推导出矛盾的结论，以此证明原命题的正确性。
在数学和逻辑学中广泛应用，具有严密性和简洁性的特点。
针对反证法的教学设计，本文将从以下几个方面进行讨论。
一、教学目标设定1.理解反证法的基本概念和原理；2.掌握反证法的基本步骤和应用技巧；3.发展学生的逻辑思维能力和问题解决能力。
二、教学内容安排1.反证法的基本概念和原理的讲解：通过具体例子和实际问题引入，介绍反证法的基本概念和原理，帮助学生理解反证法的应用场景和作用。
2.反证法的步骤和技巧的讲解：详细介绍反证法的步骤，包括假设与前提、推导逻辑和结论矛盾。
并通过多种例题演示不同应用场景下的技巧和方法。
3.反证法的经典案例探究：选择一些经典的数学问题或逻辑问题，引导学生运用反证法进行解答。
例如费马大定理、无理数的证明等，通过课堂讨论和思考，共同探究其证明过程和思路。
4.反证法与证明方法的比较：将反证法与其他常见的证明方法进行对比，如直接证明法、归纳法等。
分析其优缺点和适用范围，帮助学生全面理解反证法的价值和特点。
5.综合应用实践：设计一些拓展性问题，要求学生采用反证法解决。
例如解决生活中的实际问题或数学问题，让学生能够将反证法应用到实际场景中。
三、教学方法选择1.讲授法：通过讲解反证法的基本原理和步骤，帮助学生理解其概念和使用方法。
2.案例分析法：通过分析经典问题的解答过程，让学生学会运用反证法进行问题求解。
3.合作探究法：组织学生小组讨论，共同探究反证法的应用，培养学生的合作能力和批判性思维能力。
4.情景模拟法：设计一些情景模拟的问题，引导学生通过自主思考和讨论，灵活运用反证法解决问题。
四、教学评估与反馈1.课堂反馈：课堂上通过问题解答、小组讨论和提问等方式，及时了解学生对反证法的掌握程度，解决学生的疑问。
2.作业评估：通过布置相应的作业，检验学生对反证法的理解和运用能力，及时发现问题，指导学生完善思维和解题方法。
反证法探究与实践：数学教师必备的教学策略
反证法探究与实践：数学教师必备的教学策略数学作为一门基础性的学科，是许多学生最头疼的一科。
不少学生认为学习数学需要天赋，而他们自己缺乏这种“天赋”，因此对数学的学习产生了极大的困难。
针对这种情况，数学教师需要采用一些有效的教学策略来帮助学生突破难关。
其中，反证法是一种非常重要的策略。
一、反证法的定义与应用反证法，顾名思义，就是通过反过来证明某个命题的方法。
也就是说，我们假设某个命题不成立，然后推导出一些矛盾的结论，从而证明这个命题是成立的。
在数学中，反证法常常用于证明某些重要的定理。
比如，欧几里得几何中的“勾股定理”就可以通过反证法来证明。
其他著名的定理，如费马大定理、四色定理等，也都是通过反证法得到证明的。
应用反证法时，我们需要先确定一个命题，然后假设它不成立。
接着，我们可以通过一些推理手段，得到一个矛盾的结论，从而证明该命题是成立的。
这个过程可能会比较复杂，但是一般来说，如果我们的思路清晰，并且坚持使用反证法，最终结果一定会是正确的。
二、反证法在数学教学中的应用在数学教学中，反证法是一种非常常用的策略。
它可以帮助学生培养逻辑思维能力，增强学生的数学素养。
下面就针对不同的数学学科，介绍一些反证法的应用案例。
1.数学分析数学分析是大学数学中的一门重要学科，也是非常难学的一门学科。
在数学分析中，反证法常常用于证明某些极限存在或不存在，或者用于证明一些函数的性质。
比如，当我们想要证明某个函数在某个点处连续时，可以采用反证法。
假设该函数在该点处不连续，然后通过推导得到某些矛盾的结论，最终证明该函数在该点处是连续的。
2.高等代数高等代数是数学中的一门重要学科，它研究的是抽象代数结构。
在高等代数中，反证法常常用于证明精确性和唯一性。
比如，在矩阵论中，我们要证明某个矩阵的特征值都是实数时，可以采用反证法。
假设该矩阵有一个非实特征值，然后得出某些矛盾的结论，最终证明该矩阵的特征值都是实数。
3.计算机科学在计算机科学中，反证法常常用于证明算法的正确性。
浅谈反证法
浅谈反证法第一篇：浅谈反证法浅谈反证法摘要：在数学的诸多证明方法中,有一种被称为“数学家最精良的武器之一”的间接证明方法,这就是反证法。
它与一般证明方法不同，反证法又可分为归谬反证法和穷举反证法两种。
只要抓住要领，反证法就能使一些不易直接证明的问题变得简单、易证，它在数学证题中确有奇效。
本文阐述反证法的概念、步骤，依据及分类。
反证法如何正确的作出反设及导出矛盾，及何时宜用反证法，反证法在中学中最常用的证明的题型展示，反证法的综合思路分析。
关键词：反证法数学学习正文：一：反证法的概念一般地，假设原命题不成立,经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误,从而证明了原命题成立.二：反证法的证明过程① 反设：假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立;② 归谬：从假设出发，经过正确的推理证明，得出矛盾;③ 结论：由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确三：反证法的适用范围(1)直接证明困难的(2)否定性命题(3)唯一性问题(4)至多、至少型命题四：理论依据从逻辑角度看，命题“若p则q”的否定，是“p且非q”，由此进行推理，如果发生矛盾，那么“p且非q”为假，因此可知“若 p则q”为真。
像这样证明“若p 则q”为真的证明方法，叫做反证法。
五：常用词语原词语等于大于（>）小于（<）是都是否定词语不等于不大于（≤）不小于（≥）不是不都是原词语至多有一个至少有一个至多有n个否定词语至少有两个一个也没有至少有n+1个原词语任意的任意两个所有的能否定词语某个某两个某些不能第二篇：反证法第1课时反证法一、学前准备1、复习回顾两点确定条直线；过直线外一点有且只有条直线与已知直线平行；过一点有且只有条直线与已知直线垂直。
2、看故事并回答：中国古代有一个叫《路边苦李》的故事:王戎7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王戎站在原地不动.有人问王戎为什么？王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李.王戎是怎样知道李子是苦的吗?答：。
浅谈中学数学中的反证法
浅谈中学数学中的反证法数学作为高考的重要学科，一直以来备受学生和老师的关注。
因此寻求数学中解题方法，提高数学解题能力和数学成绩，成为探讨的对象。
在解题过程中如果能够找到适当的解题方法，就可以使问题简单化，更容易获取答案，而反证法正是数学解题方法的一种，它在数学领域中起着重要的作用。
下面从反证法的来源，反证法的定义，解题思路，适用范围和注意事项做一些简单的论述。
一、反证法的来源对反证法的认知，我们可以先由一个小故事引出：在古希腊时期，有三个哲学家，他们经常在一起争论一些事情。
有一天他们又聚在一起，并且进行了激烈的争论，加上天气的炎热，感到非常疲劳，于是在花园里的一棵大树下躺下休息，过了一会这三个哲学家就睡着了。
这时一个爱开玩笑的人用炭涂黑了他们的前额，三人醒过来后，彼此相看而笑，每人都在取笑其他两个人，而没想到自己脸上也被抹黑。
隔了一会其中有一个人突然不笑了，因为他发觉自己的脸上也被涂黑了。
那他到底是怎样觉察到的呢？实际上，发现自己脸上被涂黑者，并非从正面直接看到，而是据他观察另外两人的表情之后，并进行分析、思考，从反面得出自己脸也被涂黑了。
小故事虽然简单，但却是数学上的重大发现，即反证的方法。
当从正面不容易解决问题时，就可以考虑运用反证法。
二、反证法的定义及理解一般的，由证明pq转向证明-qr…t，t与假设矛盾，或与某个真命题矛盾，从而判定-q为假，推出q为真的方法，叫做反证法。
也即是说反证法是一种从反面思考问题的证明方法，属于“间接证明”的一类，即肯定题设而否定结论，运用演绎推理，导出矛盾，从而肯定结论的正确性。
三、反证法的解题思路及步骤设要证的命题为“若A则B”，其中A是题设，B是结论，A、B本身也都是数学判断，那么用反证法证明命题一般分下面三个步骤：1.反设：作出与要证结论相反的假设；2.归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理，导出矛盾；3.结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。
浅谈中学教学的反证法
浅谈中学教学的反证法摘要：反证法是数学中一种重要的证明方法，它以其独特的证明方法和思维方式对培养逻辑思维能力和创造性思维有着重大的意义.本文阐明反证法的定义、逻辑依据、种类、证明的一般步骤、，探索反证法在中学数学中的应用. 关键词：反证法 证明 矛盾一. 引言有个很著名的“道旁苦李”的故事：从前有个名叫王戎的小孩，一天，他和小朋友发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘，尝了之后才知是苦的，独有王戎没动，王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的.”这个故事中王戎用了一种特殊的方法，从反面论述了李子为什么不甜，不好吃.这种间接的证法就是我们下面所要讨论的反证法.反证法不但在初等数学中有着广泛的应用，而且在高等数学中也具有特殊作用.数学中的一些重要结论，从最基本的一些性质、定理，到某些难度较大的世界名题，往往是用反证法证明的.二. 反证法的定义、逻辑依据、形式、步骤定义[1] 假设命题判断的反面成立，在已知条件和“否定命题判断”这个新条件下，通过逻辑推理，得出与公理、定理、题设、临时假设相矛盾的结论或自相矛盾，从而断定命题判断的反面不成立，即证明了命题的结论一定是正确的，这种证明方法叫做反证法.不仿设原命题为p q →，⌝s 是推出的结论，s 一般是条件、某公理定义定理或临时假设，用数学术语可以简单地表示为：()()p q s s p q ⌝→→∧⌝⇔→，即()()p q s s p q ∧⌝→∧⌝⇔→.逻辑依据[2] 反证法的逻辑基础是形式逻辑基本规律中的排中律. 排中律是在同一思维过程中，两个矛盾的思想必有一个是真的. 排中律常用公式A A ∨⌝来表示，即A 真或A ⌝真.其中A 和A ⌝表示两个互相矛盾的概念或判断.排中律是同一律和矛盾律的补充和发挥，进一步指明正确的思维不仅要求确定，不互相矛盾而且应该明确地表示肯定还是否定，不能含糊不清、不能模柃两可.排中律和矛盾律都不允许有逻辑矛盾，违反了排中律，同时也违反了矛盾律，所以两者是互相联系的.它们的区别在于：矛盾律指出两个互相矛盾的判断，不能同真，必有一假；排中律则指出两个矛盾判断，不能同假，必有一真.对于一个给定的思维对象的两个矛盾判断，常表现为对于这个对象的肯定判断和否定判断．例如，对于一个给定的数a，“a是有理数”和“a是无理数”就是两个矛盾的判断，根据排中律，其中必有一个为真．但对于条件命题，常常并非如此简单．请看下面错误的例子：“一组对边平行的四边形是平行四边形．”“一组对边平行的四边形不是平行四边形．”这是对同一对象的肯定判断和否定判断，于是认为必有一个为真．这个结论必然是错误的，因为一组对边平行的四边形既可能是平行四边形，又可能不是平行四边形而是梯形．以上的肯定判断和否定判断都是错误的．但是，这与排中律并不矛盾，因为此例中的肯定判断和否定判断并不是两个矛盾的判断．如果把第一个判断记作A，那么A实际上是：“所有的一组对边平行的四边形都是平行四边形．”，它的矛盾判断（或者说相反的命题）是A⌝：“存在一组对边平行的四边形不是平行四边形．”根据排中律，A和A⌝中必有一个为真．事实上A⌝是真的．从上面的例子及分析得到，必须把握住实质，正确理解和运用排中律．对一个命题，要弄清表示思维对象数量的词（称为量词），是全称量词“所有的”（∀），还是存在量词“有的”（∃）．在数学中，为了表达的简便，全称量词常常省略，这时需要正确表达出命题A的矛盾命题A⌝．一般地，如果用X表示思维对象，用)P表示X具有性质P，对命题作否(x定，有下述关系：∃Px≡∀))⌝xx⌝)))(P((((xx⌝xP∀∃x⌝≡))(()))((x(P形式[3]按照否定情形的多寡，反证法一般可分为归谬法和穷举法.若原命题的否定情形只有一种，只需将此否定推翻，即可得出原命题结论的正确性，就称为归谬法；若原命题的否定情形不止一种且又是有限种时，须对此情形逐一驳倒，尔后得出原命题结论的正确性的方法，称为穷举法.步骤[3]反证法是通过证明论题的否定论题不真，从而根据排中律肯定所证论题的真实性的一种间接证法.那么用反证法证明命题一般有三个步骤：（1）作出原命题的非命题（反证法假设）（2）反驳所作非命题（反证法推理）（3）由非命题为假，推断原命题为真（反证法完成）显然，关键在于第二步.三. 反证法的适用范围反证法虽然是在平面几何教材中出现的，但对数学的其它各部分内容，如代数、三角、立体几何、解析几何中都可应用.以下几种命题一般用反证法来证比较方便.1.否定性命题即结论以“没有……”“不是……”“不能……”等形式出现的命题，直接证法一般不易入手，而反证法有希望成功.例求证：在一个三角形中，不能有两个角是钝角.已知：,,∠∠∠是A B C ∆的三个内角.求证：,,ABC∠∠∠中不能有两个钝角.A B C证明：假如,,A B C∠∠∠中有两个钝角，不妨设∠A＞90 ,且∠B＞90 ，则∠A+∠B+∠C＞180 .这与“三角形内角和为180 ”这一定理相矛盾.故∠A，∠B均不大于90 .所以，一个三角形不可能有两个钝角.2.限定式命题即结论中含有“至多”、“至少”、“不多于”或“最多”等词语的命题.例 1有半径等于1的九个圆，证明：至少有两个小圆的公共部分的面积不小于9π. 证明：假设每个小圆的公共部分的面积都小于9π，而九个小圆共有2936C =个公共部分，九个小圆的公共部分面积要小于3649ππ⨯=，又因为大圆面积为5π，则九个小圆应占面积要大于945πππ-=，这是不可能的，故至少有两个小圆的公共部分面积不小于9π. 例2 已知方程4430x ax a +-+=2，22(1)0x a x a +-+=，2220x ax a +-=中至少有一个方程有实数值，求实数a 的取值范围.分析：此题直接分情况用判别式求解就特别麻烦，可用反证法，假设三个方程都无实数根，然后求满足条件a 的集合的补集即可.证明：假设三个方程都无实根，则有：222(4)4(43)(1)48a a a a a a ⎧--+⎪--⎨⎪+⎩2＜0＜04＜0解得 32a -＜＜-1 例3 已知,,m n p 都是,,m n p a b c n p p m m n===+++中，至多有一个数不小于1． 证明：假设,,a b c 中至少有两个数不小于1，不妨设a ≥1,b ≥1,则m n p n p m ≥+≥+，两式相加，得20,0p p ≤≤从而,与p 是正整数矛盾．所以命题成立．说明 “不妨设”是为了简化叙述，表示若有,a b c ≥1≥1,≥1等其他各种情况时，证明过程是同样的．∴所求a 的范围为312a a ≤-≥-或. 3.无穷性命题即涉及各种“无限”结论的命题.例 求证：2是无理数.分析：因为无理数又是无限不循环的，“无限”与“不循环”都很难表示出来.，使得能方.,.,a b N a b ∈且222a a b b=⇒= 从而，a 为偶数，记为2a c =∴224a c =，∴222c b =，则b 也是偶数由,a b 均为偶数与,a b 互质矛盾4.逆命题某些命题的逆命题，用反证法证明时可利用原命题的结论，从而带来方便. 例 命题：若四边形有一个内切圆，则对边之和必相等.逆命题：若四边形对边之和相等，则它必有一个内切圆.逆命题的证明：如图，若AB+CD ＝AD+BC ……①，假设四边形ABCD 不能有一个内切圆则可作⊙O 与其三边AD 、DC 、AB 相切而BC 与⊙O 相离或相交，过C 作⊙O 的切线交AB 或延长线于点E由命题知：AE+CD ＝AD+CE ……②当BC 与⊙O 相离时，①-②得AB-AE ＝BC －CE ⇒BC ＝CE+BE这与三角形两边之和大于第三边相矛盾当BC 与⊙O 相交时，②-①得AE-AB ＝CE －BC ⇒BC ＝CE+BE ，同样推出矛盾 则BC 与⊙O 不能相交或相离，BC 与⊙O 必相切，故四边形必有一个内切圆5.全称肯定性命题即结论以“……总是……”、“……都……”、“……全……”“……唯一……”等出现，这类肯定性命题可以用反证法试证.例1 求证:无论n 是什么自然数，214143n n ++总是既约分数. 证明：假设214143n n ++不是既约分数 令214n ka +=①，143n kb +=②（,,,1k a b N k ∈>），且a b为既约分数 由②×3-①×2得：132132kb ka b a k-=⇒-= 因32b a -为整数，1k 为分数，则132b a k-=不成立 故假设不成立，分数214143n n ++是既约的.例2 求证：方程sin x c x +=有唯一解.证明：设至少有二解12,x x ，则有1122sin sin x c x x c x +=+=①②①-②得：1212121212sin sin 2cos()sin()22x x x x x x x x x x +--=-⇒⋅=-121212|cos ||sin |222x x x x x x +--⇒⋅=③ 另一方面，有12x x ≠，知1212|||sin |22x x x x --<，与③式矛盾 sin x c x ∴+=只有唯一解6.一些不等量命题的证明如：不等式，反证法是证明它的一种重要方法，但当结论反面有无穷多种情况时，一般不宜用反证法.例 1 已知∈a 、b 、c 、d R ，且1ad bc -=，求证：22221a b c d ab cd +++++≠证明：假设22221a b c d ab cd +++++= ①把1ad bc -=代入①式得：22220a b c d ab bc ad cd +++++-+=即2222()()()()0a b b c c d a d ++++++-=∵a b c d ∈、、、R∴ 0a b b c c d a d +=+=+=-=∵a b c d ===，从而0ad bc -=与1ad bc -=矛盾.故假设不成立，原命题成立.例2 设,(0,1)x y ∈,求证:对于,a b R ∈,必存在满足条件的,x y ,使1||3xy ax by --≥成立. 证明：假设对于一切,(0,1)x y ∈使1||3xy ax by --<恒成立 令0,1x y ==,则1||3b <. 令x = 1,y=0,得1||3a < 令1x y ==,得1|1|3a b --< 又∵|1|a b --≥ 1||||a b -->1111333--= 产生矛盾故结论正确7.基本命题即学科中的起始性命题，此类命题由于已知条件及能够应用的定理、公式、法则较少，或由题设条件所能推出的结论很少，因而直接证明入手较难，此时应用反证法较好.例 1已知：如图AB ⊥EF 于M.CD ⊥EF 于N.求证：AB CD //证明:假设AB , CD 不平行，即AB 、 CD 交于点P ，则过P 点有AB ⊥EF ，且CD ⊥EF ，与“过直线外一点，有且只有一条直线垂直于已知直线”矛盾 .∴假设错误，则AB CD //.例2 求证：两条相交直线只有一个交点.已知：如图，直线,a b 相交于点P,求证：,a b 只有一个交点.证明：假定,a b 相交不只有一个交点P ，那么,a b 至少有两个交点P 、Q.于是直线a 是由P 、Q 两点确定的直线，直线b 也是由P 、Q 两点确定的直线，即由P 、Q 两点确定了两条直线,a b与已知公理“两点只确定一条直线”相矛盾，则,a b 不可能有两个交点，于是两条相交直线只有一个交点.8.整除性问题例 设,a b 都是整数，22a b + 能被3整除，求证：a 和b 都能被3整除. 证明：假设,a b 不都能被3整除，分三种情况讨论：（1）,a b 都不能被3整除，因a 不能被3整除，故2a 不能被3整除，同理，2b不能被3整除，所以22+也不能被3整除，矛盾.a b（2）a能被3整除，b不能被3整除，可得2a能被3整除，2b不能被3整除，故22+也不能被3整除，矛盾.a b（3）a不能被3整除，b能被3整除，可得2a不能被3整除，2b能能被3整除，故22+也不能被3整除，矛盾.a b综上所述：原命题成立.四. 运用反证法应注意的问题1.必须正确否定结论正确否定结论是运用反证法的首要问题.否定结论是反证法的第一步,应先弄清结论本身的情况,再找出结论的全部相反情况.若有两种或两种以上的情况要用穷举法.如：命题“一个三角形中，至多有一个内角是直角”.“至多有一个”指：“只有一个”或“没有一个”，其反面是“有两个直角”或“三个内角都是直角”，即“至少有两个是直角”.2.必须明确推理特点反证法成功的关键在于推出矛盾，因此在否定结论后，要全力由此出发，并结合条件、公理、定理推出与某一数学事实或已知条件相矛盾的结果，或者推出自相矛盾，致使反证获得成功.3.了解矛盾种类反证法推理过程中出现的矛盾是多种多样的，推理导出的结果可能与题设或部分题设矛盾，可能与已知真命题（定义或公理、或定理、或性质）相矛盾，可能与临时假设矛盾，或推出一对相互矛盾的结果等参考文献：[1]袁梅，王成理.浅议反证法[J].乐山师范学院学报，2006年5月第21卷第5期[2]翁凯庆.数学教育概论[M].四川大学出版社2007年11月[3]王兰卿.反证法的一般步骤与形式[J].大同高专学报，1998年3月第12卷第1期Proof By Contradiction in Mathematics in Middle School Abstract: Proof by contradiction is of important method in mathematics,because of it’s special proof method and thought manner,it has a kind of bring up logical and creative ideation.In this paper, we give the definition ，the logical basis and species of proof by contradiction. we illustrate its procedures and explore its applications of mathematics in the middle school.Key-words: reduction to absurdity proof contradict。
初中反证法的教案
初中反证法的教案一、教学目标：1. 让学生了解反证法的概念和基本步骤。
2. 培养学生运用反证法解决问题的能力。
3. 提高学生逻辑思维能力和创新意识。
二、教学内容：1. 反证法的概念及步骤。
2. 反证法在实际问题中的应用。
三、教学重点与难点：1. 反证法的概念和步骤。
2. 运用反证法解决实际问题。
四、教学方法：1. 讲授法：讲解反证法的概念、步骤及应用。
2. 案例分析法：分析实际问题，引导学生运用反证法解决问题。
3. 小组讨论法：分组讨论，培养学生的合作意识和沟通能力。
4. 实践操作法：让学生动手实践，提高运用反证法解决问题的能力。
五、教学过程：1. 导入：引导学生回顾已学的直接证明方法，引出反证法。
2. 讲解反证法的概念和步骤：（1）反证法的定义：假设结论不成立，通过推理得出矛盾，从而证明结论成立。
（2）反证法的步骤：步骤一：假设结论不成立。
步骤二：从假设出发，推理得出矛盾。
步骤三：由矛盾得出结论成立。
3. 案例分析：分析实际问题，引导学生运用反证法解决问题。
例1：证明：对任意正整数n，n²+1是奇数。
解：假设存在一个正整数n，使得n²+1是偶数。
则n²+1=2k（k为正整数）。
则n²=2k-1。
因为2k是偶数，2k-1是奇数，所以n²是奇数。
但根据假设，n²+1是偶数，与n²是奇数矛盾。
因此，假设不成立，所以对任意正整数n，n²+1是奇数。
4. 小组讨论：分组讨论反证法的应用，分享解题心得。
5. 实践操作：让学生动手实践，运用反证法解决实际问题。
6. 总结与评价：总结反证法的概念、步骤及应用，评价学生的学习效果。
六、课后作业：1. 复习反证法的概念和步骤。
2. 完成课后练习，运用反证法解决问题。
3. 思考反证法在实际生活中的应用。
七、教学反思：本节课通过讲解反证法的概念、步骤及应用，让学生掌握了反证法的基本知识。
在案例分析和实践操作环节，学生能够积极运用反证法解决问题，提高了逻辑思维能力和创新意识。
浅谈中学数学中的反证法
浅谈中学数学中的反证法1. 定义与基本原理反证法，又称归谬法，是数学证明中一种重要且独特的证明方法。
其基本思想是先假设命题的反面（即要证命题的否定）成立，然后通过合理的逻辑推理，推导出与已知事实、定理、公理或逻辑原则相矛盾的结果，从而由于矛盾的存在，证明原假设（即命题的反面）不成立，进而间接证明原命题成立。
2. 逻辑依据与分类逻辑依据反证法的逻辑依据在于反证法的逻辑结构——反设、归谬、存真。
即首先反设命题的反面为真，然后通过逻辑推理导出矛盾，最后根据矛盾律（在同一思维过程中，两个相互矛盾的思想不能同时为真，必有一假），断定反设不成立，从而肯定原命题为真。
分类根据反设后推导出的矛盾点不同，反证法可以分为直接反证法和间接反证法。
直接反证法是通过推导出与已知事实或定理直接相矛盾的结果来证明；间接反证法则是通过假设多个情况并分别推导矛盾，最后排除所有可能，从而证明原命题。
3. 应用步骤1. 反设：根据原命题，假设其反面成立。
2. 归谬：基于假设，通过逻辑推理，推导出与已知事实、定理、公理或逻辑原则相矛盾的结果。
3. 存真：由于矛盾的存在，根据矛盾律，断定原假设（即命题的反面）不成立，从而间接证明原命题成立。
4. 适用范围反证法在数学中广泛应用于证明存在性命题、唯一性命题以及某些难以直接证明的命题。
特别是在处理一些“至少”、“存在”等类型的命题时，反证法往往能化繁为简，提供简洁明了的证明思路。
5. 典型例题解析例：证明根号2是无理数。
反设：假设根号2是有理数，那么它可以表示为两个互质的正整数的比，即存在正整数m,n(m,n互质)使得根号2 = m/n。
归谬：两边平方得2 = m^2/n^2，即m^2 = 2n^2。
由于m,n互质，若n为奇数，则m^2为偶数，进而m也为偶数，设m = 2k（k为正整数），则4k^2 = 2n^2，即n^2 = 2k^2，同样推出n为偶数，这与m,n互质矛盾。
存真：因此，假设不成立，根号2是无理数。
九年级数学上册《反证法》教案、教学设计
1.如何引导学生从反设出发，推导出矛盾。
2.培养学生逻辑推理能力和解决问题的策略。
3.在实际操作中，如何灵活运用反证法解决问题。
教学设想：
1.创设情境，激发兴趣：以一个富有挑战性的数学问题作为导入，引发学生的好奇心，激发他们探索反证法的兴趣。
2.理论与实践相结合：在讲解反证法的基本概念和步骤时，结合具体例题，让学生在实践中感受反证法的运用。通过师生互动、生生互动，引导学生共同探讨、总结反证法的要点。
九年级数学上册《反证法》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.让学生掌握反证法的定义及其基本步骤，能够运用反证法证明数学命题。
2.培养学生运用逻辑推理能力，提高学生分析问题和解决问题的能力。
3.通过反证法的学习，使学生掌握反证法在解决数学问题中的应用，并能与其他证明方法进行对比，了解各自的优缺点。
此外，学生在小组合作学习中，可能会出现分工不均、讨论效率低下等问题。针对这些问题，教师应适时给予指导，培养学生良好的团队协作能力和沟通技巧。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重点
1.反证法的定义及其基本步骤的掌握。
2.学会运用反证法证明数学命题。
3.能够将反证法与其他证明方法进行对比，了解各自的优缺点。
（2）从生活中找到一个可以用反证法解决的问题，尝试用所学知识进行解答，并简要说明解题过程。
3.小组作业：
以小组为单位，共同完成一道研究性学习题目。题目要求运用反证法，并结合其他数学知识解决问题。小组成员分工合作，共同探讨、分析问题，撰写解题报告。
作业要求：
1.学生要认真对待每一次作业，按时完成，确保作业质量。
3.分层次教学：针对学生的个体差异，设计不同难度的练习题，使每个学生都能在原有基础上得到提高。对于基础薄弱的学生，给予个别辅导，提高他们的自信心；对于优秀生，提供拓展性题目，培养他们的创新能力。
反证法在中学数学中的应用及教学研究
反证法在中学数学中的应用及教学研究
反证法是求证数学问题中常见的一种间接证明方法，广泛应用于中学数学各知识分支中。
以下是反证法在中学数学中的应用及教学研究：
应用：
1. 反证法在中学数学中主要用于证明某些命题或不等式。
例如，在证明三角形中的一些性质时，常常采用反证法。
2. 在几何学中，反证法也被广泛应用于证明一些关于图形的基本性质。
例如，在证明勾股定理时，常常采用反证法。
3. 在代数中，反证法也被用于证明一些不等式或等式。
例如，在证明一些代数恒等式时，常常采用反证法。
教学研究：
1. 反证法的应用：在中学数学教学中，教师需要引导学生理解反证法的原理和应用。
教师可以通过实例和练习题来帮助学生理解反证法的应用。
2. 反证法的思维方式：反证法是一种间接的证明方法，需要先假设相反的结论，然后推导出矛盾，从而否定假设并证明原命题。
这种思维方式需要教师在教学过程中引导学生逐步掌握。
3. 反证法的技巧：在应用反证法时，需要一些技巧，例如如何假设相反的结论、如何推导出矛盾等。
教师需要在教学过程中引导学生掌握这些技巧。
4. 反证法的意义：反证法是一种重要的数学证明方法，它能够帮助学生训练逻辑思维和创造性思维，提高分析和解决问题的能力。
因此，教师在教学过程中需要强调反证法的意义和作用。
总之，反证法在中学数学中具有广泛的应用和教学研究价值。
通过掌握反证法的原理、技巧和思维方式，学生可以更好地理解和应用数学知识，提高数学素养和能力。
《反证法》 教学设计
《反证法》教学设计一、教学目标1、知识与技能目标学生能够理解反证法的概念，掌握反证法的证明步骤，能运用反证法证明一些简单的命题。
2、过程与方法目标通过对反证法的学习，培养学生的逻辑思维能力和推理能力，提高学生分析问题和解决问题的能力。
3、情感态度与价值观目标让学生感受数学的严谨性和逻辑性，激发学生对数学的兴趣和探索精神，培养学生的创新意识和批判性思维。
二、教学重难点1、教学重点理解反证法的概念，掌握反证法的证明步骤，能运用反证法证明简单命题。
2、教学难点如何正确地提出反设，以及如何通过推理得出矛盾。
三、教学方法讲授法、讨论法、练习法四、教学过程1、导入新课通过一个有趣的故事引入反证法。
故事：有一个人被指控偷了邻居的钱，他宣称自己没有偷。
法官问他：“如果不是你偷的，那钱怎么会在你的口袋里？”这个人无法回答。
提问学生：法官的这种推理方法有什么特点？2、讲解概念（1）给出反证法的定义：先假设命题的结论不成立，然后通过推理得出矛盾，从而证明原命题成立的方法叫做反证法。
（2）强调反证法的关键在于“反设”和“归谬”。
3、示例讲解（1）例 1：证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”。
分析：假设三角形的三个内角都大于 60°，然后推出矛盾。
证明过程：假设三角形的三个内角都大于 60°，则三角形的内角和大于 180°，这与三角形内角和定理矛盾。
所以，原命题成立。
（2）例 2：证明“根号 2 是无理数”。
分析：假设根号 2 是有理数，设根号 2 ＝ m ／ n（m、n 为互质的正整数），然后推出矛盾。
证明过程：假设根号 2 是有理数，设根号 2 ＝ m ／ n（m、n 为互质的正整数），则 2 ＝ m²／ n²，即 m²＝ 2n²。
因为 2n²是偶数，所以m²是偶数，从而 m 是偶数。
设 m ＝ 2k（k 为正整数），则 4k²＝ 2n²，即 2k²＝ n²，所以 n 也是偶数，这与 m、n 互质矛盾。
反证法高效教学案例分享：如何让学生轻松掌握反证法？
反证法高效教学案例分享：如何让学生轻松掌握反证法？反证法是一种十分重要的数学证明方法，也是高中数学必修内容。
但是，很多学生在学习反证法时，都会感到困难重重。
如何教授反证法，让学生轻松掌握呢？下面，我将分享一些反证法的高效教学案例。
1.引入反证法的概念在教学反证法的时候，我们首先要引入反证法的概念。
我们可以通过举例子来讲解反证法的基本思想。
比如，一个简单的例子是：如果说A = B，而A中的某个元素在B中不存在，那么我们可以通过反证法来证明A=B不成立。
我们可以让学生尝试用正面的方法证明一下这个命题的正确性，再通过反证法来证明它的错误性。
这样做有助于让学生更加深入地理解反证法的思想。
2.给出练习题在教学反证法的时候，我们不仅要让学生理解反证法的基本思想，还要让学生掌握通过反证法解决问题的方法。
因此，我们可以给学生一些练习题，让他们自己尝试使用反证法来解决问题。
这些练习题可以从简单到难，让学生逐步掌握反证法的方法。
此外，在布置练习题的时候，我们要给学生足够的时间来思考和解决问题，让他们能够充分消化所学内容。
3.利用生活实例来教授反证法除了举例子来讲课和给出练习题外，我们还可以利用生活实例来教授反证法。
比如，我们可以让学生想象一下：假如教室里有100个人，而我们要推定一部分人是否戴帽子，该怎么做呢？这时，我们可以引导学生使用反证法来解决问题。
我们可以让学生想象一下：如果所有人都没有戴帽子，那么他们中间一定有相邻的两个人没有戴帽子；如果有人戴帽子，那么他们中间一定有相邻的两个人戴帽子。
这样，我们就可以通过反证法排除一些情况，进而得到正确答案。
4.引导学生独立思考我们在教学反证法的时候，也要给学生足够的自主学习空间。
我们可以将学生分成小组，让他们自己探讨和解决反证法的问题。
通过独立思考，学生不仅可以得到更深入的理解，还能够培养他们独立思考和问题解决能力。
在教学反证法的时候，我们需要重视学生的实际情况，引入生活实例，注重练习等方面的教学方法和手段，让学生轻松掌握反证法的方法和思想。
《反证法》教案范文
《反证法》教案范文教案：《反证法》一、教学目标1.了解反证法的基本概念和基本思想。
2.掌握运用反证法解决问题的方法和步骤。
3.提高学生的逻辑思维和证明能力。
二、教学重点1.反证法的基本思想和基本概念。
2.运用反证法解决问题的方法和步骤。
三、教学难点1.运用反证法解决较为复杂的问题。
2.培养学生的证明能力和逻辑思维。
四、教学准备1.教材：《数学》（普通高中课程标准实验教科书）。
2.学具：黑板、彩色粉笔、投影仪。
五、教学过程1.导入（8分钟）教师可以通过提问，引导学生对“反证法”进行初步了解。
如：“如果一道数学题要求你用证明的方法解决，你会怎么做呢？”“你曾经解决过反证法的问题吗？你是怎么做的呢？”等。
2.正文（60分钟）（1）引入新知识通过教师的介绍，使学生了解“反证法”的基本概念和基本思想。
教师可以通过举例，让学生理解“反证法”的基本思路和过程。
（2）例题讲解教师选择一些例题进行讲解，指导学生掌握运用反证法解决问题的方法和步骤。
例如：已知a、b是有理数，且a/b是无理数，证明a和b不可能是有理数；已知方程x^2=2有理数解，证明与此相矛盾。
（3）学生练习教师布置一些练习题，要求学生运用反证法解决问题。
学生进行自主练习，教师巡回指导，及时解答学生疑问。
例如：1.证明：如果正整数n^2是偶数，则n是偶数。
2.已知n是一个整数，证明15n-7不是一个完全平方数。
（4）示范演练教师选取一些典型的复杂题目，进行示范演练。
可以通过投影仪将题目在黑板上呈现给学生，步骤和思路画在黑板上，让学生参考。
同时要鼓励学生在解题时思考多个角度和方法。
（5）讲解反证法的应用领域教师通过讲解反证法在数学、哲学、物理等领域的应用，培养学生将抽象的概念运用到实际问题中的能力。
3.拓展与巩固（15分钟）教师布置一些拓展题和巩固题，让学生进行练习巩固已学知识。
同时，可以鼓励学生通过查阅相关资料，了解一些反证法的著名定理和问题。
4.总结与归纳（7分钟）教师与学生一起总结本节课的学习内容，回答学生提出的问题。
初中数学初三数学下册《反证法》教案、教学设计
1.通过教师引导，让学生自主探究反证法的原理和步骤，培养学生的学习兴趣和自主学习能力。
2.通过小组讨论、合作学习，让学生在讨论和实践中掌握反证法的应用，提高学生团队协作能力和沟通能力。
3.设计不同难度层次的例题和练习题，让学生在解决问题的过程中，逐步掌握反证法，提高问题解决能力。
（三）情感态度与价值观
1.必做题：
a.请学生运用反证法证明勾股定理。
b.选取课本中一道几何证明题，要求学生使用反证法进行证明。
c.结合本节课的案例，自选一个数学问题，运用反证法求解，并详细说明解题过程。
2.选做题：
a.探索反证法在代数问题中的应用，如求解不等式、方程等，并给出至少两个例题的解答过程。
b.阅读相关数学资料，了解反证法在数学发展史上的重要地位和作用，撰写一篇简短的阅读心得。
1.教学内容：反证法的定义、步骤和注意事项。
2.教学方法：采用讲解、演示、举例等方式，让学生理解并掌握反证法的基本知识。
3.教学过程：
a.教师讲解反证法的定义，解释其基本原理。
b.教师通过具体例题，演示反证法的步骤，强调注意事项。
c.学生跟随教师思路，学习反证法的应用。
（三）学生小组讨论，500字
1.教学活动设计：将学生分成小组，针对几个典型的数学问题，讨论如何运用反证法进行求解。
3.关注学生个体差异，实现因材施教，提高教学质量。
4.激发学生对数学学习的兴趣，树立正确的数学观念，为学生的终身学习奠定基础。
四、教学内容与过程
（一）导入新课，500字
1.教学活动设计：以一个与学生生活息息相关的问题导入新课，如“一个数字谜语：一个三位数，它的百位数是3，十位数是它的一半，个位数是十位数的两倍。这个三位数是什么？”
谈谈反证法在教学中的应用教育论文
谈谈反证法在教学中的应用教育论文一、引言有个很著名的“道旁苦李”的故事：从前有个名叫王戎的小孩，一天，他和小朋友发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘，尝了之后才知是苦的，独有王戎没动，王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的。
”这个故事中王戎用了一种特殊的方法，从反面论述了李子为什么不甜，不好吃。
这种间接的证法就是我们下面所要讨论的反证法。
二、反证法的定义、逻辑依据、种类及模式定义：反证法是从反面的角度思考问题的证明方法，属于“间接证明”的一类，即肯定题设而否定结论，从而导出矛盾，推理而得。
种类：运用反证法的关键在于归谬，因此反证法又称为归谬法。
根据结论B的反面情况不同，分为简单归谬法和穷举归谬法。
模式：设待证的命题为“若A则B”，其中A是题设，B是结论，A、B本身也都是数学判断，那么用反证法证明命题一般有三个步骤：反设：作出与求证结论相反的假设；归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。
三、反证法的适用范围1、否定性命题即结论以“没有……”“不是……”“不能……”等形式出现的命题，直接证法一般不易入手，而反证法有希望成功。
例求证：在一个三角形中，不能有两个角是钝角。
已知：∠A，∠B，∠C是三角形ABC的三个内角。
求证：∠A，∠B，∠C中不能有两个钝角。
证明：假如∠A，∠B，∠C中有两个钝角，不妨设∠A＞900,且∠B＞900，则∠A+∠B+∠C＞1800。
这与“三角形内角和为1800”这一定理相矛盾。
故∠A，∠B均大于900不成立。
所以，一个三角形不可能有两个钝角。
2、限定式命题即结论中含有“至多”、“至少”、“不多于”或“最多”等词语的命题。
例在半径为的圆中，有半径等于1的九个圆，证明：至少有两个小圆的公共部分的面积不小于。
证明：每个小圆的公共部分的面积都小于，而九个小圆共有个公共部分，九个小圆的公共部分面积要小于，又大圆面积为，则九个小圆应占面积要大于，这是不可能的，故至少有两个小圆的公共部分面积不少于。
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一、反证法的概念：
反证法作为一种论证方式，是数学上的一种常用方法。
反证法是先对命题进行假设，在原来的命题题目的条件下，根据题目的要求，假设命题结论不成立。
然后对于推理出的结果，进行分析是否存在矛盾。
存在矛盾则能得出结论的假设不成立，最终可以证明原命题.
二、反证法的思维过程：
“否定→推理→否定”，是对反证法的简单概括。
对于结论先开始否定，接着经过精确的推理得出逻辑矛盾，最终形成一个新的否定。
像法国数学家阿达玛（Hadamard）对反证法的实质做过概括那样：“若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”.
否定结论→推导出矛盾→结论成立，是其中的三个主要步骤.
在审视好条件与结论后实施的三步走的策略：
第一步，反设：做出与求证结论相反的假设;
第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾;
第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立.
只有用“反设”进行推理，从而证明问题时，才能称为反证法。
在反证法的证题过程中。
只要驳倒一种情况就能证明命题的方法，属于反证法的一种，叫作“归谬法”.如果存在多种情况，需要一一驳倒，最终才能证明结论的方法，属于反证法的另一种，称为“穷举法”.
反证法是一种常用的证明方法.在证明解决中很多数学题问题的过程中，它给我们的解题指明了一个方向，让一些解题思路遇阻或遇到比较麻烦的问题时，另辟蹊径，寻求一个简单的解决方法.排中律和矛盾律属于反证法的逻辑依据.在数学教学中，反证法的使用，有助于培养学生思维严密性。
并且能够培养学生的反向思维，发散思维.
三、反证法的逻辑原理证明用符号如下
五、反证法在教学中的作用
（一）培养学生逻辑思维的严密性
在学生平时解题过程中，往往对于题目的信息了解得不够全面。
经常有以偏概全，顧此失彼，解题思路不清晰的问题时常出现。
可能前面刚记住的数据下一秒就记错了，就像做证明题，对于题目的条件关系弄不清楚，不能将条件有条理的记录出来。
对于题中的知识点不清楚，记得错乱。
这主要表现出学生思维不缜密，老师可以用反证法来培养提高学
生思维缜密性。
从反证中体会反证法的意义，从反证法中体会反证的作用，因此，教师在讲解反证法时，全面地把问题解释透彻完整，加深学生的对问题的理解，从而达到培养学生思维缜密性的作用。
1.深刻理解数学中基本概念。
培养学生思维缜密性或严密性先从概念入手，任何一个系统都有他自己的原始概念与基本概念，然后以其进行对事物概念的延伸与发展。
同样数学的学习与教学系统中的各种概念也是从基本概念开始，用定义形式揭露本质其特征。
反证法的使用前提就是要对数学概念的深刻理解，在对概念深刻理解之后，才能在证明问题的过程用反证法来解决问题。
下面通过一个实例来说明。
3.加强数学交流。
老师可以在教学过程中，针对讲的数学知识点，给出一些问题，启迪学生思考，使师生在平等的基础上交流数学思想，学生与学生之间也进行相应的交流。
找出问题的切入点，提高学生的理解力与对数学的悟性。
（二）培养学生反向思维
反向思维是一种创造的手段和创新的方式，主要是让思维在相反的方向发散，从问题的反方向进行推理证明。
而反证法也正是具有从反面证明问题的含义，反证法的使用恰恰能培养学生的反向思维能力。
有很多发明都是人们提出问题后，从反方面进行推导创造出来的。
例如从欧几里得几何第五公式的证明，而得出非欧几何的诞生就是反向思维的很好案例。
（三）培养学生发散思维
发散思维，也可以说是进行广泛想象，通俗来说，对于一件事情从多个方面去思考。
反证法的使用便是一个发散思维的过程。
学生不通过发散思维，便不能抓住问题的要点，又如何解决问题。
发散思维在创造性思维中占据了核心位置，是通过问题的不同方面去思考，把明确的信息和掌握的知识进行不同组合，产生新灵感的过程。
为了能够发散性地思考，需要脱离固化的思维模式，也就是可以多多尝试变例，进行对问题新的角度实践的过程.
1.多与人交流，启迪思维。
看待同一个问题，不同的人注意的点不同，那么他们思考的方式就会产生不相似的效果，就会有不同观点和解决问题的方法.反证法就需要多与人交流，当交流的人增多时，对待问题的观点的种类也会增多，可能不是所有观点是正向的，但总会存在值得听取的观点.在大家的交流切磋当中，他人思路就会启迪自己的想法，提升个人思维能力.
2.多多提问。
在存在问题时就要经常的提问，可以向老师们提问，向同学们提问，并且可以在任何有问题的时候都去提问.反证法的使用，就是提出问题并解决问题的一个过程。
发散思维是在解决问题的过程中，不断提出问题解决问题，对于繁杂的问题，可以对它进行分解，单一的问题就更容易被解决了.
（四）培养学生正难则反思维
从正面思考问题，有时思维会受到阻力或陷入死胡同，人们就想到反过来思考如何呢？简称：正难则反.正难则反是数学解题一种策略.与反证法有同样的解题思路，反证法最开始的使用就是因为在问题的正面思考很难解决时，才会有从问题反方面思考的举动.
有很多题目从正确常规的思路就能够解决，但也有很多题，常规的思路不能够解题，这个时候我们可以考虑从反面来思考，可能这个问题就会变得简单，从而得到解决.
六、结语
综上所述，反证法是一种重要证明方法. 在数学解题中经常使用反证法，牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”。
一般来讲，反证法常用来证明的题型有：命题的结论以“否定形式”“至少”或“至多”“唯一”“无限”形式出现的命题;或者否定结论更明显.
在数学教学中，反证法可以培养学生逆向思维，正难则反打破常规思维，使学生在思考问题时，有置之绝地而后生，柳暗花明又一村之感，从而培养思维缜密性和学生思维的发散性，体会它的功能和特点，从中悟出数学证明的基本方法，感受逻辑证明在数学与日常中的作用，养成言之有理、论证有据的习惯.。