浅谈数学教学中的反证法
浅谈数学中的反证法
浅谈数学中的反证法一、反证法的定义关于反证法，牛顿说：“反证法是数学家最精当的武器之一。
”这就充分肯定了反证法在数学应用中的积极作用和不可动摇的重要地位.古希腊数学家欧道克斯正是依据了反证法发现了无理数（√2的非有理性证性明就是一例）.罗巴切夫斯基（Ｌｏｂａｔｃｈｅｖｓｋｙ）也是依据了反证法发现非欧几何学，从某种意义上说，也是总结了用反证法证明平行公理失败的教训，从而得到启示的结果.就是说把有理数域扩充到实数以及非欧几何的诞生都是逆向思维——特别是反证法的伟大功绩．鉴于此，近年来的教育工作中，对学生的逆向思维原则的培养得以增强，各大中小学教育中更加注重培养学生思维的多向性、创造性与灵活性．二、反证法的步骤在中学数学题目的求解证明过程中，当直接证明一个命题感到困难时，我们经常采用反证法的思想.由此，我们总结出用反证法证明命题的四个步骤: ①审题一定要将命题的前提，命题的结论弄清楚.②提出假设根据假设的条件以及原命题，对原命题提出否定.③逻辑证明从假设出发，根据数学中现有的公理、定义、公式、定理以及，命题等条件，在逻辑推理的正确引导下得出逻辑矛盾.④肯定结论对原命题的正确性进行肯定.三、反证法的逻辑应用反证法指的是从反面的角度，对问题进行思考的一种证明方法，也是间接证明中的一种类型.换言之，就是对题设肯定，却对结论否定，在这个过程中将矛盾到过来进行推理.四、中学数学中反证法的应用1)否定性命题的证明例题1：三个正整数a,b,c成等比数列，但不成等差数列，求证√a,√b,√c不成等差数列解：假设√a,√b,√c成等差数列，则√a+√c=2√b,两边同时平方得a+c+2√ac=4b.又a,b,c成等比数列，所以b2=ac,即b=√ac，所以a+c+2√ac=4√ac,所以a+c-2√ac=0,即（(√a−√c)2=0,所以√a=√c,从而a=b=c,所以a,b,c可以成等差数列，这与已知中“a,b,c不成等差数列”矛盾.原假设错误，故√a,√b,√c不成等差数列.2)限定式命题的证明3)无穷性命题的证明例题3：求证：质数序列2，3，5，7，11，13，17，19......是无限的证：假设质数序列是有限的，序列的最后一个也就是最大质数为P，全部序列为2，3，5，7，11，13，17，19......P再构造一个整数N=2×3×5×7×11×…×P+1显然N不能被2整除，N不能被3整除，……N不能被P整除，即N不能被2，3，5，7，11，13，17，19......P中的任何一个整除，所以N是个质数，而且是个大于P的质数，与最大质数为P矛盾，即质数序列2，3，5，7，11，13，17，19......是无限的.4)逆命题的证明5)某些存在性命题的证明6)全称肯定性命题的证明7)一些不等量命题的证明8)基本命题的证明五、总结。
小学数学：反证法
反证法1.反证法的概念。
反证法是间接证明的一种基本方法，当我们需要证明一个判断为真时，先假设这个判断为假，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原判断应为真，这样的证明方法叫做反证法。
反证法是演绎推理的一种，依据的是排中律，就是说两个互相矛盾的判断不可能同假，其中必有一真。
2.反证法的重要意义。
如前所述，课程标准提出了培养学生推理能力和逻辑思维能力的要求。
反证法是从另一个角度利用推理进行证明的思想方法，无疑也是培养学生推理能力的重要的思想方法。
因此，它的重要性也是不言而喻的。
另外，反证法虽然有一定难度，但是它对于培养学生思维的灵活性和解决问题的能力也有益处。
3.反证法的具体应用。
反证法作为一种思想方法，不仅在数学中有很多应用，在日常生活和其他学科中也有应用。
数学史上有比较经典的利用反证法证明的问题，如证明是无理数，证明素数有无限多个等。
在小学数学中，反证法的应用不多，在抽屉原理等问题中有一些应用。
4.反证法的教学。
反证法在小学数学教学中应用较少，教师在教学时应注意以下几点。
第一，掌握它的基本原理和步骤是必要的。
反证法采用的论证方式是演绎推理中的假言推理形式，依据的是排中律。
它的证明步骤大致如下：(1)假设待证的结论为假、反论题为真；(2)从反论题出发，经过正确的逻辑推理，得出与已知条件或者定义、定理、公理、事实等矛盾；(3)根据排中律得出原结论成立。
第二，对反证法涉及的一些概念和词语应正确理解。
在描述一对概念间的关系时，应注意怎样描述才是矛盾的。
如是与不是、等于与不等于、大于与不大于、至少有一个与一个也没有等是相互矛盾的关系。
有时候要注意容易出现错误的地方，如大于5与小于5、正数与负数等不是相互矛盾的关系，是一种对立关系。
也就是说，两个矛盾的种概念外延之和等于属概念的外延，两个对立的概念的外延之和小于属概念的外延。
大于与小于中间有等于、正数和负数中间有0。
大于5与不大于（小于等于）5、正数与非正数（0和负数）是矛盾关系。
反证法在初中数学解题中的应用探讨
反证法在初中数学解题中的应用探讨初中数学作为学生学习的一门重要学科，是培养学生逻辑思维能力和解决实际问题的能力的重要途径。
在初中数学中，反证法是一种常见的证明方法，也是解决数学问题的有效手段之一。
本文将探讨反证法在初中数学解题中的应用及其重要性，帮助学生更好地理解和掌握这一证明方法。
一、反证法的基本概念我们先来了解一下反证法的基本概念。
反证法是一种证明方法，通过假设所要证明的结论不成立，推导出与已知事实矛盾的结论，从而证明原命题的方法。
简而言之，就是假设反面，然后推导出矛盾，从而推翻原假设，从而达到证明的目的。
要证明“根号2是无理数”，可以采用反证法。
假设根号2是有理数，即可以表示为一个分数a/b，其中a、b为整数，并且a、b没有公因数。
那么，根号2=a/b可得2=(a/b)²,进一步可得2b²=a²。
这时候可以得出，a²是2的倍数，那么a也是2的倍数，设a=2m,那么可以得出2b²=(2m)²,得b²=2m².可见b²也是2的倍数，那么b也是2的倍数。
而这与a、b没有公因数的前提相矛盾，所以得出根号2是无理数。
可以看出，通过反证法，我们成功地证明了根号2是无理数的结论。
二、反证法在初中数学中的应用在初中数学中，反证法常常在几何问题、不等式问题以及集合问题中得到应用。
下面我们将通过具体的数学问题来探讨反证法在初中数学中的应用。
1. 几何问题在初中数学的几何学习中，有些问题需要证明一些形状或者性质的关系，可以运用反证法。
证明平行线性质、三角形全等性质以及圆的性质等。
一般来说，通过假设反面，推导出矛盾来证明原命题的正确性。
举个例子，要证明“平行线上的等角是相等的”，可以采用反证法。
可以假设在平行线上存在两个等角，但是这两个角却不相等。
通过推导出这种假设的矛盾，可以证明原命题的正确性。
2. 不等式问题在初中数学的不等式学习中，有些问题需要证明不等式的大小关系，可以运用反证法。
谈数学中的反证法
教法研究新课程NEWCURRICULUMC在数学的诸多方法中，反证法是一种重要的证明方法，尤其在数学证明中，它是一种间接的证据，被称为“一个最先进的武器”的数学家.反证法经常被用来证明存在性、否定性、唯一性等一些不易直接下手的命题.用反证法证明命题成立的基本步骤可以简单地概括为“否定—推理—反驳—肯定”四个步骤.一个数学问题的解决方案，如果你觉得不足或没有启动的“条件”，不妨考虑反证法的使用.反证法的应用范围很广，比如代数、数论、几何、组合等方面的应用.一、反证法的概念及类型反谓反证法，就是在要证明“若A 则B ”时，可以先将结论B 予以否定，记作B ⎺，然后从A 与B ⎺出发，经正确的逻辑推理而得到矛盾，从而原命题得证.反证法大致可分为以下两种类型：归谬法：论题结论的反面只有一种情况，只要把这种情况推翻就达到了目的.穷举法：论题结论的反面不止一种情况，要一一驳倒，最后才能肯定原命题结论正确.二、反证法常用于以下几种命题的证明1.存在性命题例1：证明A ，B ，C ，D ，E 五数之和等于5，则其中必有一个不小于1.分析：这个问题似乎很简单，但直接的证明是不容易的.因此，应用反证法，它可以很容易地证明.证明：假设A ，B ，C ，D ，E 都小于1，那么A+B+C+D+E <1×5=5所以5个数都小于1不成立，故必有一个数不小于1，即原命题是正确的.2.否定性命题例2：设平面上有六个圆，每个圆的圆心都在其余各圆的外部.试证明：平面上任一点都不会同时在这六个圆的内部.分析：直接证明某点在哪些圆的内部，在哪些圆的外部，有些困难，故最好用反证法来证明.证明：假设平面内有一点M 同时在这六个圆的内部，为了方便，我们把绕M 的六个圆心从某个开始按顺时针方向分别记为A ，B ，C ，D ，E ，F ，连结MA ，MB ，MC ，MD ，ME ，MF .考虑△AMB ，M 在☉A 内，B 在☉A 外，所以有AB>AM ，同理，AB>BM ，即在△AMB 中，AB 大于其他两边.由“大边对大角”知，∠AMB>∠ABM.同理，∠AMB>∠BAM.所以，3∠AMB >∠ABM +∠AMB+∠BAM =180°，所以∠AMB >60°.同理∠BMC 、∠CMD 、∠DME 、∠EMF 、∠FMA 均大于60°.所以∠AMB+∠BMC+∠CMD+∠DME+∠EMF+∠FMA>360°.但是，很显然，这个角围成了一个周角，它们的和不可能大于360°，出现矛盾.故而假设不正确，所以原命题成立.3.唯一性命题例3：求证方程x =sin x +a （a 为常数）的解唯一.分析：直接解或证明是非常困难的，作为唯一的命题往往采用反证法证明.证明：首先易知该方程有解，设该方程的解不唯一，即至少有两个解x 1，x 2（x 1不等于x 2）于是x 1=sin x 1+a ，x 2=sin x 2+a ，两式相减再化积得x 1-x 2=2cos x 1+x 22·sin x 1-x 22，因为sin x 1-x22<x 1-x 22所以x 1-x 2=2cos x 1+x22·sin x 1-x 22<2cos x 1+x22·x 1-x 22即x 1-x 2<cos x 1+x22·x 1-x 2因为x 1-x 2>0，所以cos x 1+x22>1是不可能的.所以原方程的解是唯一的.从上面的例子中，我们可以看到，最大的优势是反证法———超过一个或几个条件，从相反的结论来看，与一些已知的条件下，原出口的冲突，从而达到负的假设、肯定原命题的目的.从上面，我们应该充分利用反证法，必须正确把握灵活运用“反设”“归谬”这两个反证步骤.反设是反证法的第一步，能否正确否定结论，对论证的正确性有着直接的影响.反证法是很巧妙的，它的应用是很广泛的，但究竟怎样的命题证明才适于用反证法，却很难回答，这是一个经验问题.谈数学中的反证法何昊（江苏省南京市第十三中学锁金分校）摘要：系统地介绍了理论基础，对反证法的逻辑形式，唯一的负命题，命题，肯定命题三用反证法适用的命题类型进行了详细讨论。
浅谈数学中的反证法
浅谈数学中的反证法摘要反证法是数学中一个从反面的角度思考问题的证明方法，属于“间接证明法”一类。
基本步骤即：对题目中给出的已知条件予以肯定而否定需证明的结论，从而利用否定后的结论和原命题中的已知条件进行正确的推理导出矛盾，从而以此来肯定原命题结论的正确性。
本文的主要内容是先对反证法的定义、逻辑依据、证明步骤、证明过程中如何正确否定命题结论及常见的矛盾形式等作一简单阐述。
接着将反证法所适用的命题形式大致分为八种一一作详细的论述，这八种命题是：基本命题、限定式命题、存在性命题、无穷性命题、唯一性命题、否定性命题、肯定性命题、一些不等式命题，最后在本文结束前列举两个关于反证法在生活中的实际应用。
关键词：反证法；证明；假设；矛盾；结论AbstractThe reductio ad absurdum method of proof of mathematics from the opposite point of view think, belong to a class of "indirect proof of the Law. Basic steps: given the known conditions in the title be sure to negate the need to prove the conclusion, which deny the conclusions and the known conditions in the original proposition for correct reasoning export contradiction, so in order to affirm the original proposition conclusions are correct. The main content of this article is the first on the definition of reductio ad absurdum, the rationale supporting the steps to prove the process of how to properly deny the proposition conclusions and contradictions form a simple set. Then the reductio ad absurdum of the applicable form of the proposition is broadly divided into eight kinds of eleven for a detailed discussion of the eight propositions: the basic proposition, limit the type proposition, the existence of propositions, endless proposition, the only proposition, negative proposition, certainly sexual proposition, some inequalities proposition, the last before the end of this article cited two of reductio ad absurdum in the real-life applications.keywords：Reductio ad absurdum;Prove;Hypothesis;Contradiction;Conclusion1.研究反证法的必要性我们在解决数学问题时，一般总是习惯从正面入手，利用常规的思维方式来进行思考，以便找到解决问题的方法，这被称之为正向思维。
浅谈中学数学中的反证法
浅谈中学数学中的反证法摘要：反证法在数学中是一种非常重要的间接证明方法，它被称为“数学家最精良的武器之一”，又称为归谬法、背理法。
反证法亦称“逆证”。
其不仅是一种论证方法，对提升学生创新性思维能力与概念思维能力具有积极作用，从某种角度可以说，反证法还是一种思维方式，其还能拓展学生的解题思路，从而使学生形成良好的数学思维。
反证法在中学数学中有着广泛的应用，如今学生在运用反证法解题中，基础一般的学生会受到思维能力的限制，如果能恰当的使用反证法，在一些有难度的题目上也许能够得到解决。
所以本文首先会叙述反证法的产生，具体阐述反证法的定义，即反证法的概念、分类、科学性，介绍逆证在中学数学中的实际运用并论述了逆证应用的具体需要注意的一些问题。
关键词：反证法；中学数学；应用；On the Proof by Contradiction in Middle SchoolMathematicsAbstract：Proof by contradiction is a very important indirect proof method in mathematics, it is called "one of the most sophisticated weapons of mathematicians", also known as reduction to absurdity, unreasonable method. Proof by contradiction is not only an argumentation method, but also a way of thinking. It plays an extremely important role in cultivating and improving students' logical thinking ability and creative thinking ability. It can also expand students' thinking of solving problems, so that students can form good mathematical thinking. Anyway, the method has been widely used in middle school mathematics. Nowadays, when students solve problems with the method of proof by contradiction, the students with general foundation are limited by their thinking ability. If the method of proof by contradiction can be used properly, they may be able to solve some difficult problems. Therefore, this paper will first describe the source of proof by contradiction, specifically elaborate the definition of proof by contradiction, that is, the concept, classification and logical basis of proof by contradiction, introduce the application of proof by contradiction in middle school mathematics and explain the problems to be noticed in the application of proof by contradiction.Keywords：proof by contradiction; Middle school mathematics; Application;目录目录浅谈中学数学中的反证法 (1)1 引言 (1)2 反证法的产生 (1)2.1古希腊的反证法 (1)2.2 中国古代数学中的反证法 (2)3 反证法的定义与步骤 (2)3.1 反证法的定义 (2)3.2反证法的解题步骤 (2)4 反证法的分类与科学性 (4)4.1反证法的分类 (4)4.1.1归谬法例题 (4)4.1.2穷举法例题 (4)4.2反证法的科学性 (5)4.2.1反证法的理论依据 (5)4.2.2反证法的可信性 (5)4.3为什么要使用反证法 (6)5 反证法在中学数学中的应用 (6)5.1基本命题，即学科中的起始性命题 (6)5.2命题采取否定形式 (7)5.3有关个数的命题 (9)5.4结论涉及无限集或数目不确定的命题 (10)5.5不等式类型 (11)5.6几何类型题 (12)6 使用反证法解题过程中要注意的问题 (13)6.1反设要正确 (13)6.2 要明确推理特点 (13)6.3能灵活运用 (13)6.4 反证法与举反例不等同 (14)6.5熟悉矛盾的种类 (14)7 总结 (14)参考文献 (14)致谢 (15)浅谈中学数学中的反证法1 引言反证法是间接论证的方法之一，亦称“逆证”、矛盾证法;。
浅谈反证法的教学
一、反证法的概念：反证法作为一种论证方式，是数学上的一种常用方法。
反证法是先对命题进行假设，在原来的命题题目的条件下，根据题目的要求，假设命题结论不成立。
然后对于推理出的结果，进行分析是否存在矛盾。
存在矛盾则能得出结论的假设不成立，最终可以证明原命题.二、反证法的思维过程：“否定→推理→否定”，是对反证法的简单概括。
对于结论先开始否定，接着经过精确的推理得出逻辑矛盾，最终形成一个新的否定。
像法国数学家阿达玛（Hadamard）对反证法的实质做过概括那样：“若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”.否定结论→推导出矛盾→结论成立，是其中的三个主要步骤.在审视好条件与结论后实施的三步走的策略：第一步，反设：做出与求证结论相反的假设;第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾;第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立.只有用“反设”进行推理，从而证明问题时，才能称为反证法。
在反证法的证题过程中。
只要驳倒一种情况就能证明命题的方法，属于反证法的一种，叫作“归谬法”.如果存在多种情况，需要一一驳倒，最终才能证明结论的方法，属于反证法的另一种，称为“穷举法”.反证法是一种常用的证明方法.在证明解决中很多数学题问题的过程中，它给我们的解题指明了一个方向，让一些解题思路遇阻或遇到比较麻烦的问题时，另辟蹊径，寻求一个简单的解决方法.排中律和矛盾律属于反证法的逻辑依据.在数学教学中，反证法的使用，有助于培养学生思维严密性。
并且能够培养学生的反向思维，发散思维.三、反证法的逻辑原理证明用符号如下五、反证法在教学中的作用（一）培养学生逻辑思维的严密性在学生平时解题过程中，往往对于题目的信息了解得不够全面。
经常有以偏概全，顧此失彼，解题思路不清晰的问题时常出现。
可能前面刚记住的数据下一秒就记错了，就像做证明题，对于题目的条件关系弄不清楚，不能将条件有条理的记录出来。
对于题中的知识点不清楚，记得错乱。
浅谈“反证法”在高中数学的应用
浅谈“反证法”在高中数学的应用反证法，又称归谬法，是一种通过否定或质疑对方的论点，从而证明自己观点正确性的方法。
这种证明方法在高中数学中有着广泛的应用，下面我们就来谈谈反证法在高中数学中的应用。
反证法的原理是：如果一个命题的结论是错误的，那么这个命题的前提也必须是错误的。
这个原理基于逻辑推理的矛盾性，即如果一个命题的前提和结论之间存在矛盾，那么这个命题就是错误的。
根据这个假设，推导出与原命题的结论相矛盾的结论；说明这个矛盾的结论与原命题的结论是矛盾的，从而证明原命题的结论是正确的。
下面我们通过一个实例来说明反证法在高中数学中的应用：例题：求证：在任意三角形ABC中，至少有一个内角小于或等于60度。
证明：假设在三角形ABC中，所有内角都大于60度，即每个内角都大于60度。
根据三角形内角和定理，三角形内角和为180度，因此三角形ABC的内角和大于180度。
但是，这与三角形内角和定理相矛盾，因为三角形的内角和不可能大于180度。
因此，我们的假设是错误的，至少有一个内角小于或等于60度。
通过这个例子，我们可以看到反证法的应用范围很广，可以用来证明各种类型的命题，包括数量关系、不等式、函数性质等等。
虽然反证法在高中数学中有着广泛的应用，但是并不是所有的命题都可以使用反证法来证明。
一般来说，反证法适用于那些结论是“至多”、“至少”等形式的命题，因为这些命题的结论可以被否定。
如果命题的结论是“等于”、“不等于”等形式，那么就不适合使用反证法。
反证法是一种非常重要的数学证明方法，在高中数学中有着广泛的应用。
通过掌握反证法的原理和步骤，我们可以更好地理解和掌握数学中的各种知识点，提高自己的数学素养。
使用反证法也可以培养我们的逻辑思维能力，让我们更加严谨、准确地思考问题。
因此，我们应该认真学习反证法，并将其应用到实际生活中去。
在中学数学的学习过程中，我们经常会遇到一些看似简单但实际上需要巧妙思维才能解决的问题。
这时候，反证法就像是一把利剑，能帮助我们破解难题。
探析数学教学中的反证法
、
反 证 法的 简 述
首先 反面假 设要正确。在数学的解题 中， 对于一些证 明题 在运用反证法进行解决时 ， 首先 ， 要能够正确的将结论否定 ， 这
是 正确 解 答 问题 的前 提 。对 于一 道 证 明 题 ， 学 生 要 认 真 的解 读 题 ， 然后好好的分析题 嗣的条件 ， 寻找突破 口， 找到简单有效 她铆题力法。 对于…－ 些特殊的命题 ， 可 以选择反证法 ， 在反证法 有敬运 ｝ １ ｊ 前， 必须要 认真的做 出正确 的否定假设 ， 这是学生提 高解 题 速 度和 准确 惟 的 前 提 。试想 ， 如 果 在 运用 反 证 法 前 ， 没 能 够做 出准确 的假 ， 那么后 的证 明过程再详 细 、 在 准确也是 徒劳无益的。圜虼， 学生要懋准确的进行证 明 ， 必须要做 出正确 的 被 没。 其次 推理过程要 明确。反证法的有效运用 ， 就是要否定给 出的结论 然而推 出否定结 论的矛 盾， 从而导 出原命 题结论 的 正确 性 。 此， 学 生在 反 证法 的运 用过 程 中 ， 要 明确 自己 的推 理 过程 ， 不 能 根 据 定 结 论粗 略 的进 行 证 明 ， 这 会破 坏证 明过 程 的严 谨 性 和逻 辑 性 。 确 的前 提假 设 是 条 件 ， 因此， 正确 的推 理 过 程 就是 主 心 骨 ，教 师 要 引 导学 生 们 进 行 有 效地 推理 和证 明。 不仅仅要懂得推理运用 的知识 ，还要懂得推理的思路 和方法。 试想 ， 有了正确 的假没， 然后在推理 的过程中再做 出清晰、 明确 的证 明过程 ， ） ＝ ｉ ｝ ； 么证明就会 显得有逻辑、 严谨 性高 ， 也会提升学 生们 的证 明 能力 以及 后 ｊ 胡 反证 法 的有效 运 用 。 最后 ， 要灵滔 的运用 。 反证法相比较直接证 明会显得简单、 有效 ， ｆ Ｉ 是学生在数学的证 明题 中 ， 不能盲 目地 总是运用反证 法， 很多题 目是不适合运用 的 ， 运 用也可能使 得证 明显得复杂 、 难解 。因此 ． 对于 一些证明题 目的解答 ， 学生在选取解题方法时 要灵 活多变 ， 不能一味地总是使 Ｆ Ｈ 反证法 ， 要灵活变通 ， 具体问 题具体分析。学生们在 日常的习题练 习中 ， 要不断 的思考和分
浅谈反证法在中学数学中的应用
目录一反证法的概念二反证法的逻辑依据、种类及步骤（1）反证法逻辑依据（2）反证法种类（3）反证法步骤三中学数学中宜用反证法的适用范围（1）否定性命题（2）限定式命题（3）无穷性命题（4）逆命题（5）某些存在性命题（6）全称肯定性命题（7）一些不等量命题的证明（8）基本命题四运用反证法应该注意的问题（1）必须正确否定结论（2）必须明确推理特点（3）了解矛盾种类浅谈反证法在中学数学中的应用论文摘要本文重点阐明反证法的概念，逻辑依据“矛盾律”和“排中律”，反证法的种类包括归谬法简单归谬法和穷举归谬法，反证法证明的一般步骤（反设、归谬、结论），证题的实践告诉我们：下面几种命题一般用反证法来证比较方便，否定性命题、限定式命题、无穷性命题、逆命题、某些存在性命题、全称肯定性命题、一些不等量命题的证明、基本命题。
运用反证法应该注意的问题，必须正确否定结论、必须明确推理特点、了解矛盾种类。
关键词:反证法证明假设矛盾结论有个很著名的“道旁苦李”的故事：从前有个名叫王戎的小孩，一天，他和小朋友发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘，尝了之后才知是苦的，独有王戎没动，王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的。
”这个故事中王戎用了一种特殊的方法，从反面论述了李子为什么不甜，不好吃。
这种间接的证法就是我们下面所要讨论的反证法。
一 反证法的概念反证法是从反面的角度思考问题的证明方法，属于“间接证明”的一类，即肯定题设而否定结论，从而导出矛盾，推理而得。
反证法是数学中常用的间接证明方法之一。
反证法的逻辑基础是形式逻辑基本规律中的排中律。
通常反证法是从待证命题的结论的反面入手进行正确推理,推出矛盾,从而得出原结论的反面不真,由此肯定原结论为真。
中学代数中,一些起始性命题﹑否定性命题﹑唯一性命题﹑必然性命题﹑结论以“至多……”或“至少……”的形式出现的命题﹑“无限性”的命题﹑一些不等式的证明等用反证法来证明可收到较好的效果。
反证法在初中数学解题中的运用分析
反证法在初中数学解题中的运用分析引言数学是一门逻辑性极强的学科，而反证法则是数学中一种非常重要的证明方法。
在初中数学中，教师们经常通过教学案例向学生讲解反证法的运用，帮助学生理解和掌握这种证明方法。
本文旨在分析反证法在初中数学解题中的具体运用，帮助学生更好地理解这一方法，并在解题过程中灵活地运用反证法，提高解题能力。
一、反证法的基本思想反证法是通过否定所要论证的结论，找出符合已知条件但却与所要证的结论相矛盾的设想，从而推导出一个矛盾结论，达到证明所要论证结论的目的。
其基本思想可以概括为：采用否定所要证明的结论的态度，找出该结论的必要条件，然后推导出一个与已知条件矛盾的论断。
在初中数学中，反证法的运用通常可以通过以下基本步骤实现：1. 需假设所要证明的结论为假，即采用否定的态度对待所要证的结论。
2. 根据所题设的条件，找出所要证的结论的必要条件。
3. 然后，构造一个与已知条件矛盾的新条件。
4. 通过推导、分析，得出矛盾结论，从而得出所要证的结论为真的结论。
1. 几何题中的反证法在初中数学中，几何题是反证法应用的典型场景。
有关平行线的性质证明题，可以通过采用反证法来证明。
当需要证明两条直线平行时，可以先假设它们不平行，然后通过构造一组与已知条件矛盾的附加条件，来推导出矛盾结论，从而证明所要证的结论为真。
在数论问题中，反证法同样有着重要的应用。
需要证明某个数是奇数时，可以采用反证法。
假设该数是偶数，然后推导出一个与已知条件矛盾的结论，从而证明该数为奇数。
四、如何灵活运用反证法1. 灵活使用反证法在解题过程中，需要根据题目的具体条件和要求来判断是否采用反证法。
有些问题适合采用反证法进行证明，而有些问题可能需要采用其他方法。
在解题中，应当根据题意和已知条件合理选择证明方法，以达到简化解题过程和加深理解的目的。
2. 注意证明逻辑的连贯性在使用反证法进行证明时，需要注意证明的逻辑连贯性。
从假设开始，一直到推导出矛盾结论，整个推理过程应当有条不紊，逻辑严密，确保每一步推理都是正确的，这样才能顺利地完成证明。
浅谈反证法在中学数学中的应用
浅谈反证法在中学数学中的应用反证法是一种间接法，证明定理的一种方法，先提出和定理中的结论相反的假定，然后从这个假定中得出和已知条件相矛盾的结果来，这样就否定了原来的假定而肯定了定理，也叫归谬法. 反证法是一种间接证法，它不直接证明论题“若A则B”（即A→B）为真，而是从反面去证明它的否定命题“既A且B”为假，从而肯定“若A则B”为真的证明方法.1.2 反证法的来源1.2.1 古希腊的反证法反证法,无论是逻辑上的还是数学上的，它的概念都是一致的.即是反证法是证明的一种方法.西方数学在毕达哥拉斯学派的影响下，认为万物皆数.但随着这个表征数学史第一次危机“根号2”的问题的出现，使得希腊人重新审视了自己的数学，这最终导致希腊人放弃了以数为基础的几何.1.2.2 中国古代数学的反证法在我们中国的传统数学中，本身对于演绎的证明一般就不太重视，而且中国传统逻辑学的不完备，尽管我们中国的先辈们认识到了一些逻辑规律，并且在魏晋时期就已经大兴辩难之风，但是他们大多使用的都是类似于反驳，在他为《九章算术》作注释时也多次采用了归谬论证法，墨子也使用归谬法.但是应该指出，明确的反证法的用法却是凤毛麟角，在这一点上与西方存在着差别极大，而在中国数学中，即便是刘徽这位我国古代在理论与逻辑方面都很擅长的数学大师，也只是用到了反驳(如：举反例).1.2.3 反证法的其他来源① 墨子的“归谬法”例如：“学之益也,说在诽者.”通过证明“学习无益”是假，而得到“学习有益”的命题是真.这是一个非常有意思的反证法的特例.而将其归为归谬论证欠妥切，归谬是反驳的一种方法，显然在这里是证明一个命题为真.② 刘徽的“证伪法”在我们的数学中，我们都只将证明与反驳对应为直接证明、归谬法(如反例法)与间接证明(如反证法).从这意义来说,刘徽他并没有使用过反证法，他仅仅只是在使用归谬法，只是在推翻一些假命题，即在证伪.1.3 反证法的一般步骤学习反证法应把握它的一般步骤:反设：假定所要证的结论不成立，而设结论的反面（否定命题）成立；归谬：将“反设”作条件，由此出发经过正确的推理，导出矛盾——与已知条件、已知的公理、定义、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾.结论：因为推理正确，产生矛盾的原因在于“反设”的谬误.既然结论的反面不成立，从而肯定了结论成立.具体方法：命题r=在C下，若A则B反证：若A则￢B，证明￢B与A的矛盾例1求证 A(原论题)证明 (1)设非A真(非A为反论题)(2)如果非A，则B(B为由非A推出的论断)(3)非B(已知)(4)所以，并非非A(根据充分条件假言推理的否定后件式)(5)所以，A(非非A=A).例2如果a是大于1的整数，而所有不大于a的素数都不能整除a，则a是素数.证明假设a是合数，记a=bc (b、c∈Z，且b， c＞1)，由于a不能被大于1且不大于a的素数整除，所以b＞a，c＞a，从而bc＞a，这与假设a=bc矛盾，故a是素数.2. 反证法的适用范围究竟什么样的命题可以用反证法来证呢？当然没有绝对的标准，但证题的实践告诉我们：下面几种命题一般用反证法来证比较方便.2.1否定性命题即结论以“没有……”“不是……”“不能……”等形式出现的命题，直接证法一般不易入手，而反证法有希望成功.例3 求证：在一个三角形中，不能有两个角是钝角.已知：∠A，∠B，∠C是三角形ABC的三个内角.求证：∠A，∠B，∠C中不能有两个钝角.证明假如∠A，∠B，∠C中有两个钝角，不妨设∠A＞900,且∠B＞900，则∠A+∠B+∠C＞1800.这与“三角形内角和为1800”这一定理相矛盾. 故∠A，∠B均大于900不成立.所以一个三角形不可能有两个钝角.2.2限定式命题即结论中含有“至多”、“至少”、“不多于”或“最多”等词语的命题.例4 求证：素数有无穷多个.证明假设素数只有n个： P1、P2……Pn，取整数N=P1?P2……Pn+1，显然N不能被这几个数中的任何一个整除.因此，或者N本身就是素数（显然N不等于“P1、P2、……Pn中任何一个），或者N含有除这n个素数以外的素数r，这些都与素数只有n个的假定相矛盾，故素数个数不可能是有限的.2.3某些存在性命题例5 设x，y∈(0,1)，求证:对于a, b∈R ,必存在满足条件的x，y，使|xy - ax - by|≥31成立.证明假设对于一切x，y∈〔0 , 1〕使|xy - ax- by| ＜31恒成立，令x = 0， y = 1 ，则|b|＜31令x = 1 ， y = 0，得| a| ＜31令x = y = 1,得| 1 - a - b| ＜31.但| 1 -a - b| ≥1 - | a| - | b| ＞1 -31-31=31产生矛盾，故欲证结论正确.2.4一些不等量命题的证明如：不等式，反证法是证明它的一种重要方法，但当结论反面有无穷多种情况时，一般不宜用反证法.2.5基本命题例6. 求证：两条相交直线只有一个交点.已知：如图，直线a、b相交于点P，求证：a、b只有一个交点.证明假定a，b相交不只有一个交点P，那么a, b至少有两个交点P、Q.于是直线a是由P、Q两点确定的直线，直线b也是由P、Q两点确定的直线，即由P、Q两点确定了两条直线a，b.与已知公理“两点只确定一条直线”相矛盾，则a，b不可能有两个交点，于是两条相交直线只有一个交点.2.6整除性问题例7. 设a、b都是整数，a2+b2 能被3整除，求证：a和b都能被3整除.证明假设a、b不都能被3整除.分三种情况讨论：（1）a、b都不能被3整除，因a不能被3整除，故a2不能被3整除，同理，b2不能被3整除，所以a2+b2也不能被3整除，矛盾.（2）a能被3整除，b不能被3整除，可得a2能被3整除，b2不能被3整除，故a2+b2也不被3整除，矛盾.（3）同理可证第三种情况.由（1）（2）（3）得，原命题成立.参考文献[1]赵雄辉.证明的方法[M].湖南：湖南人民出版社.2001：85-92.[2]龙朝阳.反证法的理论基础与适用范围[J].安顺师专学报.1999（2）：40-46.[3]陈国祥.适合用反证法证明的几类问题[J].中学数学教学参考.1994（7）：22-23.[4]颜长安.反证法初探[J].数学通讯. 2001（13）：22-24.[5]高珑珑.反证法例说[J].中学数学月刊. 1997（4）：33-35.[6]徐加生.例谈正难则反的解题策略[J]. 数学教学研究.1999（4）：12-13.。
反证法探究与实践：数学教师必备的教学策略
反证法探究与实践：数学教师必备的教学策略数学作为一门基础性的学科，是许多学生最头疼的一科。
不少学生认为学习数学需要天赋，而他们自己缺乏这种“天赋”，因此对数学的学习产生了极大的困难。
针对这种情况，数学教师需要采用一些有效的教学策略来帮助学生突破难关。
其中，反证法是一种非常重要的策略。
一、反证法的定义与应用反证法，顾名思义，就是通过反过来证明某个命题的方法。
也就是说，我们假设某个命题不成立，然后推导出一些矛盾的结论，从而证明这个命题是成立的。
在数学中，反证法常常用于证明某些重要的定理。
比如，欧几里得几何中的“勾股定理”就可以通过反证法来证明。
其他著名的定理，如费马大定理、四色定理等，也都是通过反证法得到证明的。
应用反证法时，我们需要先确定一个命题，然后假设它不成立。
接着，我们可以通过一些推理手段，得到一个矛盾的结论，从而证明该命题是成立的。
这个过程可能会比较复杂，但是一般来说，如果我们的思路清晰，并且坚持使用反证法，最终结果一定会是正确的。
二、反证法在数学教学中的应用在数学教学中，反证法是一种非常常用的策略。
它可以帮助学生培养逻辑思维能力，增强学生的数学素养。
下面就针对不同的数学学科，介绍一些反证法的应用案例。
1.数学分析数学分析是大学数学中的一门重要学科，也是非常难学的一门学科。
在数学分析中，反证法常常用于证明某些极限存在或不存在，或者用于证明一些函数的性质。
比如，当我们想要证明某个函数在某个点处连续时，可以采用反证法。
假设该函数在该点处不连续，然后通过推导得到某些矛盾的结论，最终证明该函数在该点处是连续的。
2.高等代数高等代数是数学中的一门重要学科，它研究的是抽象代数结构。
在高等代数中，反证法常常用于证明精确性和唯一性。
比如，在矩阵论中，我们要证明某个矩阵的特征值都是实数时，可以采用反证法。
假设该矩阵有一个非实特征值，然后得出某些矛盾的结论，最终证明该矩阵的特征值都是实数。
3.计算机科学在计算机科学中，反证法常常用于证明算法的正确性。
浅谈中学数学中的反证法
浅谈中学数学中的反证法数学作为高考的重要学科，一直以来备受学生和老师的关注。
因此寻求数学中解题方法，提高数学解题能力和数学成绩，成为探讨的对象。
在解题过程中如果能够找到适当的解题方法，就可以使问题简单化，更容易获取答案，而反证法正是数学解题方法的一种，它在数学领域中起着重要的作用。
下面从反证法的来源，反证法的定义，解题思路，适用范围和注意事项做一些简单的论述。
一、反证法的来源对反证法的认知，我们可以先由一个小故事引出：在古希腊时期，有三个哲学家，他们经常在一起争论一些事情。
有一天他们又聚在一起，并且进行了激烈的争论，加上天气的炎热，感到非常疲劳，于是在花园里的一棵大树下躺下休息，过了一会这三个哲学家就睡着了。
这时一个爱开玩笑的人用炭涂黑了他们的前额，三人醒过来后，彼此相看而笑，每人都在取笑其他两个人，而没想到自己脸上也被抹黑。
隔了一会其中有一个人突然不笑了，因为他发觉自己的脸上也被涂黑了。
那他到底是怎样觉察到的呢？实际上，发现自己脸上被涂黑者，并非从正面直接看到，而是据他观察另外两人的表情之后，并进行分析、思考，从反面得出自己脸也被涂黑了。
小故事虽然简单，但却是数学上的重大发现，即反证的方法。
当从正面不容易解决问题时，就可以考虑运用反证法。
二、反证法的定义及理解一般的，由证明pq转向证明-qr…t，t与假设矛盾，或与某个真命题矛盾，从而判定-q为假，推出q为真的方法，叫做反证法。
也即是说反证法是一种从反面思考问题的证明方法，属于“间接证明”的一类，即肯定题设而否定结论，运用演绎推理，导出矛盾，从而肯定结论的正确性。
三、反证法的解题思路及步骤设要证的命题为“若A则B”，其中A是题设，B是结论，A、B本身也都是数学判断，那么用反证法证明命题一般分下面三个步骤：1.反设：作出与要证结论相反的假设；2.归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理，导出矛盾；3.结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。
谈反证法.
反证法中有归谬法和穷举法两种情况推翻，就可以肯定原命题结论成立，这种反证法叫做归谬法；
如果原命题的结论的否定不止一种情况，那么就必须把这几种情况一一否定，才能肯定原命题结论成立，这种反证法叫做穷举法。
例２．已知 ＝2，求证：p＋q≤2。
当 ≠ 时，不妨设 < ，则
n＝ ( －1)＋ ＜ ( －1)＋ ＝ ( +1)
≤ ( -1)≤ ( -1)＋ ＝n，这与假设矛盾。
当 = 时， ＝n － ( －1)＝n－ ( -1)＝ 。
∴满足条件的p、q是惟一的。
3、于证明结论是“至少…”，或“至多…”的命题，宜用反证法。
例6．已知 ，且x+y>2，求证： 与 中至少有一个小于2。
∴ 不可约。
2、于证明结论是“惟一”或“必然”的命题，宜用反证法．
例5．已知：对任意给定的正整数n，存在整数p、q，0≤q＜p，使得n＝ p(p－1)＋q，求证：满足条件的数对p、q是惟一的。
证明：假设存在两对整数 、 与 、 （ ≠ 或 ≠ ）都满足条件，使n＝ ( －1)＋ = ( -1)＋ .
已知：直线AB，点A 平面α，点B α，直线a α且不过点B。
求证：直线AB和a是异面直线。
证明：
[提出假设]假设直线AB和a不是异面直线。
[推出矛盾]则它们同在经过点B和直线a的平面内，因为B a，经过点B与直线a只能有一个平面α，直线AB与a都在平面α内，∴A∈α，这与A α矛盾。
[肯定结论]∴直线AB和a是异面直线。
1、于结论是否定形式的命题，宜用反证法。
例4．证明对于任意自然数n，分数 不可约。
证明：假设 可约，则21n+4与14n+3有最大公约数d(d>1)，
浅谈中学数学中的反证法
浅谈中学数学中的反证法数学与计算机科学学院数学与应用数学[摘要]反证法一种间接的数学证明方法,也是一种重要的数学思想.他首先假设某命题不成立,然后推理出明显矛盾的结果,从而下结论说原假设不成立,原命题得证.证明的一般步骤为反设、归谬、结论.虽然在中学数学的课本中所占篇目较少,但应用广泛,能锻炼学生的逆向思维.论文中将阐述反证法的概念、证明步骤、思维方式以及适用题型.深刻理解反证法的实质,切实掌握它的解题要领,能提高逻辑思维能力和解决实际问题的能力.[关键词]反证法命题中学数学高考高等数学有个著名的"道旁苦李"的故事：传说,王戎从小就非常聪明.有一天,他和小伙伴们出去游玩,发现路边有几株李树,树上结满了李子,而且看上去一个个都熟透了.小伙伴们一哄而上,摘了尝了之后才发现李子是苦的.只有王戎没动,王戎说："如果李子不苦的话,早就被路人摘光了,而这树上却结满了李子,所以李子一定是苦的."这个故事中王戎从反面论述了李子为什么不甜,不好吃.这种间接的证法就是我们下面所要讨论的反证法.1 反证法的由来反证法是数学中的一种证明方法,它是与直接证法相对的间接证法的一种.法国数学家J·阿达玛在其所著《初等数学教程》〔平面几何卷〕中作了最准确、最简明扼要的描述："反证法在于表明,若肯定定理的假设而否定其结论,就会导致矛盾".反证法作为一种最重要的数学证明方法,在数学命题的证明中被广泛应用.欧几里得证明"素数有无穷多"的结论,欧多克斯证明"两个正多边形的面积比等于其对应线段比的平方"的结论, "最优化原理"的证明,伽利略推翻"不同重量的物体从高空下落的速度与其重量成正比"的断言,"上帝并非全能"的证明,都用了反证法.2 反证法的概念反证法是一种反面的角度思考问题的证明方法,是数学中常用的间接证明方法之一,属于"间接证明"的一类.即肯定题设而否定结论,从而导出矛盾,推理而得. 法国数学家阿达玛对反证法的实质作过概括："若肯定定理的假设而否定其结论,就会导致矛盾".具体来说就是,假设命题的结论不成立,在已知条件和"否定命题结论"的新条件下,通过逻辑推理,得出与公理﹑定理、题设、临时假定相矛盾的结论矛盾或自相矛盾,从而断定命题结论的反面不成立,即证明了命题的结论一定是正确的,当命题由已知不易直接证明时,改证它的逆命题的证明方法叫反证法.3 反证法的逻辑依据反证法所依据的是逻辑思维规律中的"矛盾律"和"排中律".在同一思维过程中,两个互相矛盾的判断不能同时为真,其中至少有一个是假的,这就是逻辑思维中的"矛盾律".两个互相矛盾的判断不能同时都假,简单地说"A或者非A",这就是逻辑思维中的"排中律".反证法在其证明过程中,得到矛盾的判断,根据"矛盾律",这些矛盾的判断不能同时为真,必有一假,而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的,所以"否定的结论"必为假.再根据"排中律",结论与"否定的结论"这一对立的互相否定的判断不能同时为假,必有一真,所以我们得到原结论必为真.因此反证法是以逻辑思维的基本规律和理论为依据的,反证法是可信的.4 反证法的一般步骤4.1反设假设命题所要证明的结论不成立,而设结论的反面成立.反设是反证法的第一步,也是重要的一步.反设是否准确、全面,将会影响后续的推导.在反设时,主要要学会这两步：1、分清题设和结论.2、对结论4.2归谬：由命题的反设和命题的条件出发,引用论据进行推理,推导出与已知条件﹑公理﹑定理﹑定义﹑反设及明显的事实矛盾或自相矛盾.4.3结论：由所得的矛盾,判断产生矛盾的原因在于反设是假,从而说明反设的结论不成立,则原命题的结论成立.4.3.1由反设或已知所推出的结果与已知条件相矛盾例1：已知：0a b c ++>,0ab bc ca ++>,0abc >. 求证：0a >,0b >,0c >.证明:<1>反设: 假设a ,b ,c 不都是正数.<2>归谬: 由0abc >可知,这三个数中必有两个为负数,一个为正数. 不妨设：0a >,0b >,0c >.则由0a b c ++>,可得()c a b >-+. 又0a b +>,()()()c a b a b a b ∴+<-++. ()()()ab c a b a b a b ab ++<-+++.即22ab bc ca a ab b ++<---. 20a >,0ab >,20b >.2222()0a ab b a ab b ∴---=-++<.0ab bc ca ∴++<.这与已知0ab bc ca ++>矛盾.<3>结论：所以假设不成立,因此0a >,0b >,0c >.成立． 4.3.2由反设或已知推出的结果与已学公理相矛盾例2:在同一平面内,若1l ,2l 是垂直于直线l 的两条不同的直线,则直线若1l ,2l 不相交. 证明:〔1〕反设:假设1l ,2l 相交〔2>归谬:因为1l ,2l 相交,所以从直线l 外一点〔1l ,2l 交点〕引两条直线1l ,2l 与 l 垂 直,又由平面几何知识可知,从直线l 外一点不可能引两条不同直线1l ,2l 与l 垂直, 这显然与公理相矛盾.<3>结论:假设不成立.因此若直线1l 与直线2l 同时垂直于直线l ,则1l ,2l 不相交. 4.3.3由反设或已知推出的结果与已学定理相矛盾例3：已知:如图1,设点A 、B 、C 在同一直线上,求证：过A 、B 、C 三点不能作圆. 证明：〔1〕反设：假设过A 、B 、C 三点能作圆.〔2〕归谬:设此圆圆心为O ,则A 、B 、C 三点中连任意两点的线段是圆O 的弦, 由垂径定理：O 既在AB 的中垂线OM 上,又在BC 的中垂线ON 上,从而 过点O 有两条直线OM 与ON 均与AC 垂直.与定理"过一点有且只有一条直线与已知直线垂直"相矛盾. 〔3〕结论:假设不成立.故过同一直线上A 、B 、C 三点不能作圆.图14.3.4由反设或已知所推出的结果与反设相矛盾 例4：求证2是无理数.证明：<1>反设：假设2是有理数,不妨设2qp=<p ,q 为互质的正整数> <2>归谬:由反设有2222p q q p =⇒=,故2必是q 的因数. 设2q m =<m 为正整数>,则2224p m =,所以222p m =. 故2又是p 的因数.因此p , q 有公因数2. 这与p , q 为互质的正整数相矛盾.〔3〕结论:假设2是有理数不成立,故2是无理数. 4.3.5由反设或已知所推出的结果与明显的事实相矛盾例5：2().f x x px q =++求证：(1)f ,(2)f ,(3)f 中至少有一个不小于12.证明：〔1〕反设：假设(1)f ,(2)f ,(3)f 都小于12.〔2〕归谬：由题意(1)1f p q =++,(2)42f p q =++,(3)93f p q =++. 所以(1)2(2)(3)2f f f -+=.则 1112(1)2(2)(3)(1)2(2)(3)22222f f f f f f =-+≤++<+⨯+=. 显然矛盾.〔3〕结论：假设不成立,故(1)f ,(2)f ,(3)f 中至少有一个不小于12.4.3.6由反设或已知所推出的结果自相矛盾例6：已知a ,b ,()0,1c ∈．求证：()1a b -,()1b c -,()1c a -不能同时大于14. 证明：〔1〕反设：假设三个式子同时大于14,即()114a b ->,()114b c ->,()114c a ->.〔2〕归谬：三式相乘得()31(1)(1)14(1)a b b c c a --->因为01a <<,所以0(1)114a a <-<<. 同理,0(1)114b b <-<<,0(1)114c c <-<<. 所以()31(1)(1)14(2)a b b c c a ---<显然〔1〕与〔2〕矛盾.〔3〕结论：所以假设不成立,故原命题成立．5 中学数学中用反证法的常见类型反证法曾经是在平面几何中出现过,并且对数学的其它各部分内容,如代数、三角、立体几何、解析几何中都可应用到.则,究竟什么样的命题可以用反证法来证呢？另外我们在解题时,题目未指明用什么方法,我们会思考是选择直接证法还是间接证法好呢？甚至有些命题必须用反证法才能证明,到底怎样的题目适合用反证法呢？当然没有特定的标准,但我们在实践当中,可以总结出有以下几种命题适合用反证法来证明.5.1基本命题即学科中的起始性命题,此类命题能够应用的已知条件及定理、公式、法则较少,或由已知条件所能推出的结论很少,因此用直接证明较难入手,此时用反证法更容易奏效.如：平面几何在按照公理化方法建立起它的科学体系时,最初只是提出少量的定义、公理.因此,起始阶段的一些性质和定理很难直接推证,它们多数宜用反证法来证明.例7：求证：两条直线如果有公共点,最多只有一个公共点. 证明：假设直线a 与b 有两个公共点A ,B .则A ,B 都属于a ,A ,B 也都属于b , 因为两点决定一条直线,所以直线a ,b 重合. 所以假设不成立,则原命题正确.5.2否定性命题结论以"没有......","不......","不能......","不存在......"等形式出现的问题,直接证明有困难,一般用反证法来证明.例8：求证：在一个三角形中,不能有两个角是钝角.即已知：A ∠,B ∠,C ∠是三角 形ABC 的三个内角.求证：A ∠,B ∠,C ∠中不能有两个钝角. 证明：假设A ∠,B ∠,C ∠中中有两个钝角.不妨设90A ∠>,且90B ∠>,则180A B C ∠+∠+∠>.这与定理"三角形内角和为180"定理矛盾. 所以假设不成立.因此一个三角形不可能有两个钝角.5.3限定式命题即结论中含有"至多"、"至少"、或"最多"等词语的命题例9：已知函数()f x 是单调函数,则方程()0f x =最多只有一个实根. 证明：假设方程至少有两个根1x ,2x 且12x x ≠, 则有()()12f x f x =12()x x ≠.这与函数单调的定义矛盾,所以假设不成立.故原命题成立.5.4无穷性命题即命题的结论是无限的又无法一一列出,而命题结论的反面却是有限的、肯定的,这时适合用反证法. 例10：求证：素数有无穷多个.证明：假设素数只有n 个,为12,......n P P P ,取整数12......1n N P P P =⨯⨯⨯+, 显然N 不能被这几个数中的任何一个整除.因此,或者N 本身就是素数〔显然N 不等于"12,......n P P P 中任何一个"〕,或 者N 含有除这n 个素数以外的素数r ,这些都与素数只有n 个的假定相矛盾. 故素数个数不可能是有限的,即为无限的.5.5逆命题某些命题的逆命题,用反证法证明时可利用原命题的结论,从而带来方便. 例11：原命题：若四边形有一个内切圆,则对边之和必相等.已知原命题成立,试证 明其逆命题也成立.证明：逆命题为：若四边形对边之和相等,则它必有一个内切圆. 如图2,若(1)AB CD AD BC+=+,设四边形ABCD 不能有一个内切圆, 则可作⊙O 与其三边AD 、DC 、AB 相切,而BC 与⊙O 相离或相交,过C 作⊙O 的切线交AB 或延 长线于点E ,由原命题：(2)AE CD AD CE+=+当BC 与⊙O 相离时,()()12-得AB AE BC CE -=-. 则BC CE BE =+,这与"三角形两边之和大于第三边"相矛盾；图2 当BC 与⊙O 相交时,()()21-得AE AB CE BC -=-,则BC CE BE =+,同样推出矛盾.则BC 与⊙O 不能相交或离,则BC 与⊙O 必相切,故逆命题成立.5.6唯一性命题即结论含有"只有......","有且只有......"等形式的词语的命题.以否定唯一性为条件,得出反面结论、再用枚举法逐一否定各个反面结论,从而肯定结论.例12：已知0a ≠,求证：关于x 的方程ax b =有且只有一个根. 证明：假设方程0(0)ax b a +=≠至少存在两个根. 不妨设其中的两根分别为1x ,2x 且12x x ≠. 则1ax b =,2ax b =.则12ax ax =. 则12()0a x x -=因为12x x ≠,则120x x -≠. 则0a =与已知矛盾.所以假设不成立,故原结论成立.5.7肯定性命题即结论含有"必然......","必是......"等形式的词语的命题,将原来的肯定命题转化为否定命题,再利用该否定命题找出矛盾,从而证明原命题成立.例13:已知a,b,c 均为正整数,且满足222a b c +=,a 为质数,求证：b 与c 两数必为一 奇一偶.证明：假设b 和c 同为奇数或同为偶数,由222a b c +=,得()2()c b c b a +-=, 由假设c b +和c b -同为偶数,则2a 必为偶数,故a 也为偶数. 因为a 是质数,所以2a =,即有()()4c b c b +-=,所以22c b c b +=⎧⎨-=⎩或 41c b c b +=⎧⎨-=⎩与b ,c 均为正整数矛盾,所以假设不成立.故b 与c 必为一奇一偶.5.8某些存在性命题即结论含有"存在......"等形式的词语的命题,当满足结论的结果难以找出时,可用反证法去证明对于"任意......."都会使结论的反面成立,从而得到矛盾,所以原命题得证.成立.所以假设不成立,故原结论正确.5.9全称肯定性命题即结论含有"任意......","对一切.......","全......."等形式的词语.这类命题难以证明时,可用反证法证明"存在......"使结论不成立,从而得到矛盾,所以原命题得证.例15：求证：大于1的任何整数一定有质因数. 证明：假设存在一个大于1的整数n 没有质因数,即n 大于1且不是质数〔因为质数本身是质因数〕,则n 必为合数. 则n 必有一个不等于n 的真因数1n ,故n 大于1n , 这里1n 也必不是质数,否则n 有质因数；同理可得,1n 也有一个真因数2n ,使1n 大于2n ,2n 也必不是质数. 依次类推,可得n 大于1n ,2n ,3n ......这表明,在n 与1之间有无限多个不同的整数这与一个确定的整数n 与1之间只能有有限个不同的整数矛盾. 故原命题成立.5.10不等性命题即要证明的结论中含有不等号,有时候直接证明难有思路,可用反证法,找到矛盾,从而原命题得证.6 用反证法解高考题反证法是中学数学的一种重要的证明方法,也是高考数学要求掌握的一种证明方法.它适用于直接证明比较繁琐甚至非常困难的题目,在各省的高考题中,有些题从正面做比较复杂或难以想到,有时候换种思路,从反面来思考寻找矛盾会简单很多.纵观历年高考题,你会发现反证法在平面解析几何、数列、空间几何等都有广泛的应用,只要平时多留心,多思考,就会发现发证法不失为解题的一种好方法.例17：〔20####〕如图3,已知两个正方行ABCD 和DCEF 不在同一平面内,M 、 N 分别为AB ,DF 的中点.用反证法证明：直线ME 与BN 是两条异面直线.证明：假设直线ME 与BN 共面,则AB ⊂平面MBEN ,且平面MBEN 与平面DCEF 交于EN . 由已知,两正方形不共面,故AB ⊄平面DCEF . 又AB CD ,所以AB 平面DCEF .又因为MBEN ⋂平面平面DCEF=NE .所以AB EN . 又AB CD EF ,所以EN EF ,这与EN EF E ⋂=矛 盾,故假设不成立.所以ME 与BN 不共面,它们是异面直线. 图3例18：〔20####〕点()00,P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上,0cos x a β=,0sin y b β=,02πβ<<,直线2l 与直线1l ：00221x y x y a b +=垂直,O 为坐标原点, 直线OP 的倾斜角为α,直线2l 的倾斜角为γ.证明: 点P 是椭圆22221x y a b+=与直线1l 的唯一交点.证明：将0cos x a β=,0sin y b β=代入椭圆方程中,()()2222cos sin 1a b a b ββ+=,则点P 在椭圆上.同理点P 也在直线1l 上.假设直线1l 与椭圆的交点不止一个,还有另一个人交点()111,P x y . 由点1P 在椭圆上,有2211111122221(1)x y x y x y a b a b+=+=.又有1P 在直线1l 上,有0011221x y x y a b +=,即110221(2)x y x y a b +=.由〔1〕与〔2〕式可得点()111,P x y 、()00,P x y 均在直线l ：11221x y x y a b +=上, 又因为这两点都在直线1l 上,则直线1l ：00221x y x y a b +=与直线 1122:1x y l x y a b +=是同一条直线. 所以10x x =,10y y =,所以点P 与点1P 是同一点,与假设矛盾. 故假设不成立,所以原命题成立. 例19：〔20####〕设12a ,,n a a 是各项均不为零的等差数列〔4n ≥〕,且公差0d ≠,若将此数列删去某一项得到的数列〔按原来的顺序〕是等比数列.求证：对于一个给定的正整数()4n n ≥,存在一个各项及公差都不为零的等差数列 12,,n b b b ,其中任意三项〔按原来顺序〕都不能组成等比数列．证明：假设对于某个正整数n ,存在一个公差为1d 的n 项等差数列 11111,,,(1)b b d b n d ++-11(,0)b d ≠,其中三项111b m d +,121b m d +,131b m d +成等比数列,这里12301m m m n ≤<<≤-,则有2121111131()()()b m d b m d b m d +=++ 化简得22132112131(2)()m m m b d m m m d +-=-()1由110b d ≠知,31322m m m +-与2213m m m -或同为零,或均不为零.若13220m m m +-=且22130m m m -=,则有2131302m m m m +⎛⎫-= ⎪⎝⎭,即()2130m m -=,得13m m =,从而123m m m ==,矛盾.因此,若13220m m m +-≠且22130m m m -≠,故由〔1〕得2213111322m m m b d m m m -=+-因为1m ,2m ,3m 均为非负整数,所以上式右边为有理数,从而11b d 是一个有理数. 于是,对于任意的正整数4n ≥,只要取11b d 为无理数,则相应的数列12,,n b b b就是满足要求的数列.例如,取11b =,12d =,则n 项数列1,1+21+221+n-12，，，（）满足要求.7 高等数学中的反证法应用举例反证法不仅在中学数学中应用广泛,它也是高等数学中必不可少的一种数学证明方法.一些大学生认为,高等数学比初等数学抽象、不易接受,对许多较复杂的题目更是无从下手,刚开始学习就产生畏惧感,久而久之会越来越不喜欢数学.其实高等数学并没有则可怕,它是将初等数学思想升华,把一些问题想得更加透彻,一些定理的适用范围更广.同样的一道证明题,同样是反证法,可用初等数学知识来想和用高等数学的思想来想,思想层次上是不一样的.下面将用例子来说明反证法在高等数学中的应用.例20：证明2不是有理数.分析：我们知道,有理数恒可表示为既约分数ab〔a ,b 为互质的自然数〕的形式,直 接证明这个命题需要证2不是任何一个既约分数,这不仅涉及既约分数的无限集,也 难以把2与ab联系起来.可如果使用反证法就会简单得多,具体证明可见例4.例21：任一收敛数列的极限都是唯一的.证明：假设一收敛数列{}n x ,其极限不唯一,则至少存在两个数a ,b ,适合n lim x n a →∞=,则根据极限定义,存在自然数1N 与2N ,使得因此,当{}12max ,n N N ≥时,有0n 0b-x a εε<<+.显然矛盾,所以假设不成立,故原命题成立. 这两个例子都是反证法在高等数学中的应用.例20和例4所要证明的命题是一样的,可以看出即使需要证明的命题一样,证明过程一样,但用初等数学的思想和用高等数学的思想是不一样的,从高等数学的角度看问题程度更高,但也是要建立在初等数学的基础之上.例21是反证法中唯一性类型命题,不管是初等数学还是高等数学对于唯一性命题直接证明一般难于表述,用反证法会容易许多.8 小结反证法是数学中一种重要的证明方法,是"数学家最精良的武器之一",在许多方面都有着不可替代的作用.它是从否定命题的结论出发,通过正确的逻辑推理导出矛盾,从而证明了原命题的正确性的一种重要方法.在数学解题中,也常用间接的方法,即有些命题不易用直接的方法去证明,这时可通过证明它的等价命题真,从而断定原命题真的证明方法〕来证题.著名的英国数学家..G H 哈代对于这种证明方法做过一个令人满意的评论.在棋类比赛中,经常采用的一种策略是"弃子取势",即牺牲一些棋子来换取优势.反证法在初等数学和高等数学中都应用广泛,它以独特的证明方法和思维方式对培养学生逻辑思维能力和创造性思维有着重大的意义,能提高学生的数学解题能力.参考文献[1]赵雄辉.证明的方法[M].##：##人民.2001：85-92[2]邓传斌.反证法漫谈.中学数学杂志[M].1996年第2期.[3]陈国祥.适合用反证法证明的几类问题[J].中学数学教学参考.1994〔7〕：22-23.[4]龙##.反证法的理论基础与适用范围[J].##师专学报.1999[5]高珑珑.反证法例说[J].中学数学月刊.1997〔4〕：33-35.[6]徐加生.例谈正难则反的解题策略[J].数学教学研究.1999〔4〕：12-13.[7]李云涛.浅谈反证法[DB/OL][8]华东师范大学数学系.数学分析〔上册〕.：人民教育.1993.9Reduction to absurdity on Mathematics Teaching in high schoolInstitute of mathematics and puter scienceMajor of Mathematics and Applied Mathematics[Abstract]Reduction to absurdity, a kind of indirect proof of mathematics method, also is a kind of important mathematics thought. It starts with the assumption that a proposition is false, and then deduce the apparently contradictory results, and thus conclude that the original assumption does not hold, the original proposition be proved. The general steps of proof is that give negative hypothesis, find the absurdity,make conclusion. Although the table of contents is less in the middle school mathematics textbooks, but it is widely used,can also cultivate students' reverse thinking .This paper will expounds the concept , proof steps, ways of thinking and application types.To profoundly understand the essence of absurdity, to grasp the essentials of solving it, can improve the logical thinking ability and the ability to solve practical problems.[Keywords]Reductio Proposition Middle school mathematics College entrance examinationHigher mathematics。
浅谈中学数学中的反证法
浅谈中学数学中的反证法1. 定义与基本原理反证法，又称归谬法，是数学证明中一种重要且独特的证明方法。
其基本思想是先假设命题的反面（即要证命题的否定）成立，然后通过合理的逻辑推理，推导出与已知事实、定理、公理或逻辑原则相矛盾的结果，从而由于矛盾的存在，证明原假设（即命题的反面）不成立，进而间接证明原命题成立。
2. 逻辑依据与分类逻辑依据反证法的逻辑依据在于反证法的逻辑结构——反设、归谬、存真。
即首先反设命题的反面为真，然后通过逻辑推理导出矛盾，最后根据矛盾律（在同一思维过程中，两个相互矛盾的思想不能同时为真，必有一假），断定反设不成立，从而肯定原命题为真。
分类根据反设后推导出的矛盾点不同，反证法可以分为直接反证法和间接反证法。
直接反证法是通过推导出与已知事实或定理直接相矛盾的结果来证明；间接反证法则是通过假设多个情况并分别推导矛盾，最后排除所有可能，从而证明原命题。
3. 应用步骤1. 反设：根据原命题，假设其反面成立。
2. 归谬：基于假设，通过逻辑推理，推导出与已知事实、定理、公理或逻辑原则相矛盾的结果。
3. 存真：由于矛盾的存在，根据矛盾律，断定原假设（即命题的反面）不成立，从而间接证明原命题成立。
4. 适用范围反证法在数学中广泛应用于证明存在性命题、唯一性命题以及某些难以直接证明的命题。
特别是在处理一些“至少”、“存在”等类型的命题时，反证法往往能化繁为简，提供简洁明了的证明思路。
5. 典型例题解析例：证明根号2是无理数。
反设：假设根号2是有理数，那么它可以表示为两个互质的正整数的比，即存在正整数m,n(m,n互质)使得根号2 = m/n。
归谬：两边平方得2 = m^2/n^2，即m^2 = 2n^2。
由于m,n互质，若n为奇数，则m^2为偶数，进而m也为偶数，设m = 2k（k为正整数），则4k^2 = 2n^2，即n^2 = 2k^2，同样推出n为偶数，这与m,n互质矛盾。
存真：因此，假设不成立，根号2是无理数。
反证法在中学数学中的应用及教学研究
反证法在中学数学中的应用及教学研究
反证法是求证数学问题中常见的一种间接证明方法，广泛应用于中学数学各知识分支中。
以下是反证法在中学数学中的应用及教学研究：
应用：
1. 反证法在中学数学中主要用于证明某些命题或不等式。
例如，在证明三角形中的一些性质时，常常采用反证法。
2. 在几何学中，反证法也被广泛应用于证明一些关于图形的基本性质。
例如，在证明勾股定理时，常常采用反证法。
3. 在代数中，反证法也被用于证明一些不等式或等式。
例如，在证明一些代数恒等式时，常常采用反证法。
教学研究：
1. 反证法的应用：在中学数学教学中，教师需要引导学生理解反证法的原理和应用。
教师可以通过实例和练习题来帮助学生理解反证法的应用。
2. 反证法的思维方式：反证法是一种间接的证明方法，需要先假设相反的结论，然后推导出矛盾，从而否定假设并证明原命题。
这种思维方式需要教师在教学过程中引导学生逐步掌握。
3. 反证法的技巧：在应用反证法时，需要一些技巧，例如如何假设相反的结论、如何推导出矛盾等。
教师需要在教学过程中引导学生掌握这些技巧。
4. 反证法的意义：反证法是一种重要的数学证明方法，它能够帮助学生训练逻辑思维和创造性思维，提高分析和解决问题的能力。
因此，教师在教学过程中需要强调反证法的意义和作用。
总之，反证法在中学数学中具有广泛的应用和教学研究价值。
通过掌握反证法的原理、技巧和思维方式，学生可以更好地理解和应用数学知识，提高数学素养和能力。
反证法在初中数学解题中的运用分析
反证法在初中数学解题中的运用分析1. 引言1.1 反证法在初中数学解题中的重要性反证法是初中数学解题中一种重要的思维方法，其在数学推理和证明中扮演着至关重要的角色。
通过反证法，我们可以通过假设所要证明的结论为假，从而推导出矛盾，进而证明原命题的正确性。
这种方法在解决复杂问题或证明难题时常常能够起到意想不到的效果，为我们打开了解决问题的新思路。
在初中数学学习中，反证法的重要性不言而喻。
通过反证法，我们可以更好地理解数学定理和公式，并且培养逻辑思维和分析问题的能力。
它帮助我们发现问题的本质，找到解决问题的关键，提高数学学习的效率和深度。
在解决数学问题时，有时直接证明一个命题比较困难，而通过反证法可以简化证明过程，使得解题更加简洁和清晰。
反证法在初中数学解题中的重要性不容忽视。
它不仅能够提高我们的数学解题能力，还可以培养我们的逻辑思维方式，让我们在数学学习中收获更多的成就和乐趣。
熟练掌握反证法对于初中生来说是十分重要的。
1.2 反证法的基本原理反证法是逻辑推理中常用的一种方法，其基本原理是通过否定待证命题的反命题来间接证明原命题的真实性。
这种方法在数学证明中被广泛运用，特别是在初中数学解题中具有重要意义。
反证法的基本原理可以用简单的逻辑推理来解释。
假设我们要证明一个命题P，而假设P是假的，即非P是真的。
我们利用这个假设来推导出某些结论Q，但我们最终发现Q与已知事实或其他命题矛盾，从而得出结论非P也是假的，即P是真的。
这一过程就是利用反证法间接证明原命题的过程。
反证法的基本原理可以帮助我们加深对待证命题的理解，发现存在逻辑矛盾的地方，从而推导出命题的真实性。
在数学解题中，反证法可以帮助我们简化证明过程，节省时间和精力，提高解题效率。
了解和掌握反证法的基本原理对于初中生学习数学和解题是非常重要的。
反证法不仅仅是一种证明方法，更是一种思维方式和逻辑推理的训练，可以帮助学生提升解决问题的能力和思考深度。
2. 正文2.1 反证法在代数方程解题中的运用在解代数方程中，反证法是一种常用且有效的解题方法。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
浅谈数学教学中的反证法
摘要】在中学数学教学中，引导学生正确运用反证法是数学教师课堂教学实践
的重要任务，本文着重探讨反证法的应用方法，以期对我们的数学教学实践有所
帮助。
关键词：反证法，思维流程，教学实践
一、反证法是一种重要的数学证明方法
所谓证明，就是用已知的数学事实或其真实性显而易见的数学公理去解释、说明、断定
要证命题的真实性1。
因此，引导学生学会利用反证法证明数学命题是一项重要的教学内容。
二、反证法在数学中的应用
（一）反证法的特点及应用
反证法对数学命题的证明方法着重于采取逆向思维，由题设通过推理最终否定结论。
我
们假设原命題为a→b ，是推导而出的结果，c通常为条件、公理以及定理等，也可以使临时
假设的条件，我们可表示为→（c∧）a→b，逻辑依据：“矛盾律”和“排中律”是反证法的最核心最根本的逻辑依据。
反证法的逻辑思维流程是：假若“结论不能够得以成立”，那么结论已
不成立就会出现人所共知的问题，这个问题主要是通过与已知的设定条件相悖，或者与公理
等相悖，或与我们做出的临时设定条件相悖，或与自身矛盾等方式显示出来。
种类：我们使
用反证法的核心点在于归谬，一般在运用中有简单归谬法和穷举归谬法两种形式。
模式：设
定需要证明的命题为“若X则Y”，X是题设，Y是我们得出的结论，X，Y亦均为数学判断，如此，反证法证明命题通常分三步。
反设：首先设定与求证结果相悖的内容。
反设—假设待证
结论不成立,亦即肯定待证结论的反面,并将其作为增加条件,添加到给定的题设中去2。
归谬：我们将反设作为条件，基于此采取系统的无任何错误的推理，暴露矛盾，这是反证法的关键
环节。
结论：推导出反设不能够成立，从而说明原命题正确。
（二）反证法在中学数学中的应用领域
反证法是从证明反论题虚假来证明原命题真实的一种证题方法,是一种重要的间接证法3。
反证法普遍应用于平面几何、代数、三角、立体和解析几何等数学的许多部分内容之中。
反
证法的理论依据是形式逻辑中的两个基本规律—矛盾律和排中律4。
1.命题是否定性的通常
是结论以“没有……”，“不是……”等方式表现出的命题，通常情况下我们难以直接证明，但是采用反证法则有较大的成功概率。
例求证：在同一个三角形中不存在超过两个钝角的情况。
已知条件是∠B，∠M，∠F是△BMF的三个内角，求证：在△BMF中，∠B，∠M，∠F只能有一个钝角。
证明：假若∠B，∠M，∠F中有两个钝角，我们可以设∠B＞90o，∠M＞90o，
那么则会出现∠B+∠M+∠F＞180o，该结论与“三角形的内角之和为180o”的定理相悖，所以∠B和∠M都大于90o是不正确的。
因此，在同一个三角形中只存在一个唯一的一个钝角。
2.命题属限定式的也就是在结论中存有“至少、最多”等设定语的命题。
例：已知方程
x2+4mx-4m+3=0, x2+(m-1)x+m2=0，x2+2mx-2m=0中有一个方程有实数根，求实数m的取值
范围。
证明：假定这三个方程均无实数根，那么（4m）2-4(-4m+3) ＜0 (m-1)2-4m2＜0
4m2+8m＜0 3.命题属无穷性的也就是有关存在“无限”结论的的命題。
例：求证素数的数量是没有极限的多个。
证明：假定素数存在的数量是m个：F1、F2……，我们取整
M=F1·F2……FM+1，可以看出所列的数中不存在能够整除M的情况。
所以，或者M为素数
（明显的可以观察到M不在F1、F2……FM中），或者说M存在除这m个素数范畴之外的素
数 s，如此一来，这些均与素数存在m个的设定相悖，所以素数是有无穷多的、无限的。
4.
属于存在性命题例设x,y∈(0,1)，求证：对于m，n∈R，必存在能够满足这个条件的x,y，使∣xy-mx-ny∣≥成立。
证明:假定对于所有的x,y∈(0,1),使∣xy-mx-ny∣≥永远成立，令x=0,y=1,
则∣n∣＜，令x=1,y=0，得出∣m∣＜，令x=y=1，得∣1-m-n∣＜,但∣1-m-n∣≥1-∣m∣-
∣n∣＞1--=是相矛盾的，因此证明结论是正确的。
（三）反证法的使用需要关注的事项
1.必须要正确地否定结论是用反证法最重要的第一个需要注意的问题就是必须能够正确
地否定结论。
例如“三角形的直角内角必定是唯一的”。
“唯一一个”的含义是：只有一个，或
者一个也没有；这个命题的反命题是“存在两个直角”、“内角全部是直角”，也就是“直角最少
也有两个”。
2.反证法的推理特点必须要明确反证法的核心就是通过导出矛盾从而对结论进
行否定，在推导的过程中我们无法判定矛盾出现的时间和矛盾的种类，并且也没有对反证法
划定一个标准，有时会出现难以判定的情况，通常情况下我们需要在命题的所涉及到的范畴
内进行思考（例如平面几何问题一般均涉及到有关公理等方面），这是反证法自身存在的典
型特征。
3.洞悉导出矛盾的种类利用反证法推理导出的矛盾种类繁多，通过推理，我们导出
的推理结论有可能与题设或题设中的一部分相悖，也有可能与已知的真命题，即定义、公理
相悖，有时候与已知的定理性质相矛盾，还有一种情况就是与临时假设相矛盾，或者我们使
用反证法推导出两个相互矛盾的结果等等。
三、结语
在数学教学中，引导学生学会使用反证法能够培养学生的逻辑性思维能力，并激发学生
的创造性思维能力，对于提升学生的数学解题能力大有裨益，有利于学生的发展。
参考文献
[1]赵雄辉.证明的方法[M].湖南:湖南人民出版社.2001:9.
[2]高珑珑.反证法例说[J].中学数学月刊.1997(4):33-35.
[3]龙朝阳.反证法的理论基础与适用范围[J].安顺师专学报.1999.
[4]颜长安.反证法初探.[J].数学通讯.2001(13):22-24.
居莉琴（1968-），女，甘肃成县，学历，本科，成县教育局干部，职称，中学一级教师。