浅谈数学教学中的反证法

浅谈数学教学中的反证法

摘要】在中学数学教学中，引导学生正确运用反证法是数学教师课堂教学实践

的重要任务，本文着重探讨反证法的应用方法，以期对我们的数学教学实践有所

帮助。

关键词：反证法，思维流程，教学实践

一、反证法是一种重要的数学证明方法

所谓证明，就是用已知的数学事实或其真实性显而易见的数学公理去解释、说明、断定

要证命题的真实性1。因此，引导学生学会利用反证法证明数学命题是一项重要的教学内容。

二、反证法在数学中的应用

（一）反证法的特点及应用

反证法对数学命题的证明方法着重于采取逆向思维，由题设通过推理最终否定结论。我

们假设原命題为a→b ，是推导而出的结果，c通常为条件、公理以及定理等，也可以使临时

假设的条件，我们可表示为→（c∧）a→b，逻辑依据：“矛盾律”和“排中律”是反证法的最核心最根本的逻辑依据。反证法的逻辑思维流程是：假若“结论不能够得以成立”，那么结论已

不成立就会出现人所共知的问题，这个问题主要是通过与已知的设定条件相悖，或者与公理

等相悖，或与我们做出的临时设定条件相悖，或与自身矛盾等方式显示出来。种类：我们使

用反证法的核心点在于归谬，一般在运用中有简单归谬法和穷举归谬法两种形式。模式：设

定需要证明的命题为“若X则Y”，X是题设，Y是我们得出的结论，X，Y亦均为数学判断，如此，反证法证明命题通常分三步。反设：首先设定与求证结果相悖的内容。反设—假设待证

结论不成立,亦即肯定待证结论的反面,并将其作为增加条件,添加到给定的题设中去2。归谬：我们将反设作为条件，基于此采取系统的无任何错误的推理，暴露矛盾，这是反证法的关键

环节。结论：推导出反设不能够成立，从而说明原命题正确。

（二）反证法在中学数学中的应用领域

反证法是从证明反论题虚假来证明原命题真实的一种证题方法,是一种重要的间接证法3。反证法普遍应用于平面几何、代数、三角、立体和解析几何等数学的许多部分内容之中。反

证法的理论依据是形式逻辑中的两个基本规律—矛盾律和排中律4。 1.命题是否定性的通常

是结论以“没有……”，“不是……”等方式表现出的命题，通常情况下我们难以直接证明，但是采用反证法则有较大的成功概率。例求证：在同一个三角形中不存在超过两个钝角的情况。已知条件是∠B，∠M，∠F是△BMF的三个内角，求证：在△BMF中，∠B，∠M，∠F只能有一个钝角。证明：假若∠B，∠M，∠F中有两个钝角，我们可以设∠B＞90o，∠M＞90o，

那么则会出现∠B+∠M+∠F＞180o，该结论与“三角形的内角之和为180o”的定理相悖，所以∠B和∠M都大于90o是不正确的。因此，在同一个三角形中只存在一个唯一的一个钝角。2.命题属限定式的也就是在结论中存有“至少、最多”等设定语的命题。例：已知方程

x2+4mx-4m+3=0, x2+(m-1)x+m2=0，x2+2mx-2m=0中有一个方程有实数根，求实数m的取值

范围。证明：假定这三个方程均无实数根，那么（4m）2-4(-4m+3) ＜0 (m-1)2-4m2＜0

4m2+8m＜0 3.命题属无穷性的也就是有关存在“无限”结论的的命題。例：求证素数的数量是没有极限的多个。证明：假定素数存在的数量是m个：F1、F2……，我们取整

M=F1·F2……FM+1，可以看出所列的数中不存在能够整除M的情况。所以，或者M为素数

（明显的可以观察到M不在F1、F2……FM中），或者说M存在除这m个素数范畴之外的素

数 s，如此一来，这些均与素数存在m个的设定相悖，所以素数是有无穷多的、无限的。 4.

属于存在性命题例设x,y∈(0,1)，求证：对于m，n∈R，必存在能够满足这个条件的x,y，使∣xy-mx-ny∣≥成立。证明:假定对于所有的x,y∈(0,1),使∣xy-mx-ny∣≥永远成立，令x=0,y=1,

则∣n∣＜，令x=1,y=0，得出∣m∣＜，令x=y=1，得∣1-m-n∣＜,但∣1-m-n∣≥1-∣m∣-

∣n∣＞1--=是相矛盾的，因此证明结论是正确的。

（三）反证法的使用需要关注的事项

1.必须要正确地否定结论是用反证法最重要的第一个需要注意的问题就是必须能够正确

地否定结论。例如“三角形的直角内角必定是唯一的”。“唯一一个”的含义是：只有一个，或

者一个也没有；这个命题的反命题是“存在两个直角”、“内角全部是直角”，也就是“直角最少

也有两个”。 2.反证法的推理特点必须要明确反证法的核心就是通过导出矛盾从而对结论进

行否定，在推导的过程中我们无法判定矛盾出现的时间和矛盾的种类，并且也没有对反证法

划定一个标准，有时会出现难以判定的情况，通常情况下我们需要在命题的所涉及到的范畴

内进行思考（例如平面几何问题一般均涉及到有关公理等方面），这是反证法自身存在的典

型特征。 3.洞悉导出矛盾的种类利用反证法推理导出的矛盾种类繁多，通过推理，我们导出

的推理结论有可能与题设或题设中的一部分相悖，也有可能与已知的真命题，即定义、公理

相悖，有时候与已知的定理性质相矛盾，还有一种情况就是与临时假设相矛盾，或者我们使

用反证法推导出两个相互矛盾的结果等等。

三、结语

在数学教学中，引导学生学会使用反证法能够培养学生的逻辑性思维能力，并激发学生

的创造性思维能力，对于提升学生的数学解题能力大有裨益，有利于学生的发展。

参考文献

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[4]颜长安.反证法初探.[J].数学通讯.2001(13):22-24.

居莉琴（1968-），女，甘肃成县，学历，本科，成县教育局干部，职称，中学一级教师。