2016年秋人教版九年级上册数学竞赛试卷(含答案)

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九年级数学(上)竞赛试题及答案

九年级数学（上）竞赛试题一. 选择题(每小题3分,共36分)1．一元二次方程的解是A ．B ．1203x x ==，C ．1210,3x x == D ． 2．顺次连结任意四边形各边中点所得到的四边形一定是 A ．平行四边形 B ．菱形 C ．矩形D ．正方形3. 若一个几何体的主视图、左视图、俯视图分别是三角形、三角形、圆，则这个几何体可能是A ．球B ．圆柱C ．圆锥D ．棱锥4. 在同一时刻，身高1.6m 的小强，在太阳光线下影长是1.2m ，旗杆的影长是15m ，则旗杆高为 A 、22m B 、20m C 、18m D 、16m5. 下列说法不正确的是A ．对角线互相垂直的矩形是正方形B ．对角线相等的菱形是正方形C ．有一个角是直角的平行四边形是正方形D ．一组邻边相等的矩形是正方形 6. 直角三角形的两条直角边分别是6和8，则这三角形斜边上的高是 A ．4.8 B ．5 C ．3 D ．107. 若点（3,4）是反比例函数221m m y x+-=图像上一点，则此函数图像必经过点A ．(3,-4)B ．(2,-6)C ．(4,-3)D ．（2，6）8. 二次三项式243x x -+配方的结果是（）A ．2(2)7x -+B ．2(2)1x -- C ．2(2)7x ++ D ．2(2)1x +- 9．如图，在矩形ABCD 中，AB=2，BC=3．若点E 是边CD 的中点，连接AE ，过点B 作BF ⊥AE 交AE 于点F ，则BF 的长为（）第9题图A ．3√102B ．3√105 C ．√105 D ．3√5510. 函数xky =的图象经过（1，-1），则函数2-=kx y 的图象是11．如图，矩形ABCD ，R 是CD 的中点，点M 在BC 边上运动，E 、F 分别是AM 、MR 的中点，则EF 的长随着M 点的运动 A ．变短 B ．变长 C ．不变 D ．无法确定12．如图，点A 在双曲线6y x=上，且OA ＝4，过A 作AC ⊥x 轴，垂足为C ，OA 的垂直平分线交OC 于B ，则△ABC 的周长为A ．47B ．5C ．27D ．22二：填空题.(每小题3分,共12分)13.如图，△ABC 中，∠C=090，AD 平分∠BAC ，BC=10，BD=6，则点D 到AB 的距离是。

2016年全国初三数学联合竞赛试题参考答案

第一试(A)
一、选择题：（本题满分 42 分，每小题 7 分） 1．用 [ x] 表示不超过 x 的最大整数，把 x [ x] 称为 x 的小数部分.已知 t
1 ，a 是 t 的小数部分， 2 3
（）
b 是 t 的小数部分，则
A.
1 1 2b a
B.
1 ． 2
3 ． 2
C. 1 ．
当 a b 2a 1为整数时，因为 1 2a 1 1 ，所以 2a 1 0 ，故a 4．题目和解答与（A）卷第 4 题相同. 5．题目和解答与（A）卷第 5 题相同. 6. 题目和解答与（A）卷第 6 题相同. 二、填空题：（本题满分 28 分，每小题 7 分） 1．已知△ ABC 的最大边 BC 上的高线 AD 和中线 AM 恰好把 BAC 三等分，AD 3 ，则 AM ＝
2．三种图书的单价分别为 10 元、15 元和 20 元，某学校计划恰好用 500 元购买上述图书 30 本，那么不同的购书方案共有（） A．9 种． B．10 种． C．11 种． D．12 种．【答】C. 设购买三种图书的数量分别为 a, b, c ，则 a b c 30 ，10a 15b 20c 500 ，易得 b 20 2a ，
之和为 A．6858．【答】B.
3
（ B．．9260．
2
D．9262．
注意到 (2k 1) (2k 1) 2(12k 1) ，由 2(12k 1) 2016 得 | k | 10 . 取 k ＝0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，即得所有的不超过 2016 的“和谐数” ，它们的和为
AB AM 5x . BM 5 x2

2016年学区九年级数学竞赛试卷

2016年九年级数学竞赛试卷第4页共6页2016年学区九年级数学竞赛试卷题号一二三总分 11 12 13 14 得分评卷人一、选择题（本大题满分30分，每小题6分）1．小李乘自行车上学，冲过横涂在马路的一条20cm 宽的尚未干的白色石灰浆条沿直路前进．如果自行车轮胎直径为60cm ，在短时间以后，自行车的一个轮胎在马路上留下痕迹是（）A ．间隔为60cm 宽的白点B ．间隔为（60π-20）cm 宽的白点C ．间隔为（120π-20）cm 宽的白点D ．20cm 宽的白线 2．已知x +1x ＝3，21x +x 2＝a ，x 3+31x＝b ，则a 3-b 2=（） A ．19 B ．94 C ．0D ．无法计算3．△ABC 的三边长为a ，b ，c ，满足条件2b ＝1a +1c，则b 边所对的角B 的大小是（） A ．锐角B ．直角C ．钝角D ．锐角、直角、钝角都有可能 4．满足x 2-4y 2=2011的整数对（x ，y ）的组数是（） A ．0 B ．1C ．2D ．35．有1997盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制着，现按其顺序编号为l ，2，…，1997，然后将编号为2的倍数的灯线拉一下；再将编号为3的倍数的灯线拉一下；最后将编号为5的倍数的灯线拉一下，3次拉完后亮着的灯数为（） A ．1464盏 B ．533盏C ．999盏D ．998盏二、填空题（本大题满分30分，每小题6分）1.实数x 、y 满足x 2－2x －4y ＝5，记t ＝x －2y ，则t 的取值范围为___________________． 2.x 是整数，并且x+1整除x 3-2010，x 的最大值是___________________．3.如图，菱形ABCD 边长为a ，点O 在对角线AC 上一点，且OA=a ，OB=OC=OD=1,则a 等于___________________．4.如图，在△ABC 中，CD 是高，CE 为∠ACB 的平分线，若AC=14,BC=20，CD=12，则CE 的长等于___________________．第3题图2016年九年级数学竞赛试卷第4页共6页5.如图，正方形ABCD 的边长为1，E 是CD 边外的一点，满足：CE ∥BD ，BE BD =，则CE = ．三、解答题（本大题满分60分，每小题15分）11.试确定，对于怎样的正整数a ，方程2254(3)290x a x a -++-=有正整数解？并求出方程的所有正整数解．12.某市出租车的起步费定为5元（可行驶2千米），往后每多行1千米的车费增加2元（不足1千米按1千米计算），某星期天小聪同学从甲地到乙地乘出租车共付车费35元；如果从甲地到乙地先步行800米，然后乘出租车也需付车费35元。

人教版九年级数学上册2016年全国初中数学联合竞赛试题及详解

人教版九年级数学2016年全国初中数学联合竞赛试题第一试(3月20日上午8:30 - 9:30)一、选择题（本题满分42分，每小题7分） (本题共有6个小题，每题均给出了代号为A ,B ,C ,D 的四个答案，其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内. 每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.)1.用x 表示不超过x 的最大整数，把xx 称为x 的小数部分.已知123t ，a 是t 的小数部分，b 是t 的小数部分，则112b a （）.A 12.B 32.C 1.D 32.三种图书的单价分别为10元、15元和20元，某学校计划恰好用500元购买上述图书30本，那么不同的购书方案有（）.A 9种.B 10种.C 11种.D 12种3(A). 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”.如：333321(1),2631,2和26均为“和谐数”.那么，不超过2016的正整数中，所有的“和谐数”之和为（）.A 6858.B 6860.C 9260.D 92623(B ）.已知二次函数21(0)y ax bx a 的图象的顶点在第二象限，且过点(1,0).当a b 为整数时，ab（）.A 0.B 14.C 34.D 24.已知O 的半径OD 垂直于弦AB ,交AB 于点C ，连接AO 并延长交O 于点E ,若8,AB 2CD ,则BCE的面积为（）.A 12.B 15.C 16.D 185.如图，在四边形ABCD 中，090BAC BDC ，5AB AC ,1CD ,对角线的交点为M ，则DM( ) .A 32.B 53.C 22.D 126.设实数,,x y z 满足1,x y z 则23M xy yz xz 的最大值为 ( )。

人教版九年级上学期数学竞赛试题

人教版九年级上学期数学竞赛试题（考试时间90分钟，共120分）一．选择题（本题12小题，每小题3分，共36分.）1．（3分）在，，，，中最简二次根式的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．（3分）下列计算结果正确的是（）A．+=B．3﹣=3 C．×=D．=53．（3分）观察下列图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．（3分）如图，在正方形ABCD中有一点E，把△ABE绕点B旋转到△CBF，连接EF，则△EBF的形状是（）A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形5．（3分）如果关于x的方程（m﹣3）﹣x+3=0是关于x的一元二次方程，那么m的值为（）A．±3B．3C．﹣3 D．都不对6．（3分）下列方程中，有实数根的是（）A．x2+4=0 B．x2+x+3=0 C．D．5x2+1=2x7．（3分）用配方法将y=x2﹣6x+11化成y=a（x﹣h）2+k的形式为（）A．y=（x+3）2+2 B．y=（x﹣3）2﹣2C．y=（x﹣6）2﹣2 D．y=（x﹣3）2+28．（3分）某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张留念，全班共送1035张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（）A .x（x+1）=1035 B．x（x﹣1）=1035×2C．x（x﹣1）=1035 D. 2x（x+1）=10359．（3分）如图，⊙O的半径为2，弦AB=，点C在弦AB上，AC=AB，则OC的长为（）A．B．C．D．10．（3分）已知⊙01和⊙O2的半径分别为2和5，且圆心距O1O2=7，则这两圆的位置关系是（）A．外切B．内切C．相交D．相离11．（3分）如图，5个圆的圆心在同一条直线上，且互相相切，若大圆直径是12，4个小圆大小相等，则这5个圆的周长的和为（）A．48πB．24πC．12πD．6π12．（3分）PA、PB分别切⊙O于A、B两点，C为⊙O上一动点（点C不与A、B重合），∠APB=50°，则∠ACB=（）A．100°B．115°C．65°或115°D．65°二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）13．计算：4﹣= _________ ．14．点A（3，n）关于原点对称的点的坐标为（﹣3，2），那么n= ____ ．15．方程x（x﹣1）=x的根是_________ ．16．已知一元二次方程（m+2）x2+7mx+m2﹣4=0有一个根为0，则m= ____ ．17．如图，PA、PB、DE分别切⊙O于点A、B、C，DE交PA、PB于点D、E，已知PA长8cm．则△PDE的周长为_________ ；若∠P=40°，则∠DOE= _________ ．18．如图，一块含有30°角的直角三角形ABC，在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到A′B′C′的位置．若BC的长为15cm，那么顶点A从开始到结束所经过的路径长为_________ ．三、解答题（本题共7个小题，满分60分）19．（5分）计算：．20．（10分）解下列方程．（1）x2+4x﹣5=0；（2）x（2x+3）=4x+6．21．（5分）△ABC三个顶点A，B，C在平面直角坐标系中位置如图所示．将△ABC绕C点顺时针旋转90°，画出旋转后的△A2B2C2，并写出A2的坐标．22．（10分）已知AB与⊙O相切于点C，OA=OB，OA、OB与⊙O分别交于点D、E．（1）如图①，若⊙O的直径为8，AB=10，求OA的长（结果保留根号）；（2）如图②，连接CD、CE，若四边形ODCE为菱形，求的值．23．（8分）如图，已知CD是△ABC中AB边上的高，以CD为直径的⊙O 分别交CA，CB于点E，F，点G是AD的中点．求证：GE是⊙O的切线．24．（12分）菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的单价对外批发销售，由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销．李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的单价对外批发销售．（1）求平均每次下调的百分率；（2）小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：方案一：打九折销售；方案二：不打折，每吨优惠现金200元．试问小华选择哪种方案更优惠，请说明理由．25．（10分）一位同学拿了两块45°三角尺△MNK，△ACB做了一个探究活动：将△MNK的直角顶点M放在△ABC的斜边AB的中点处，设AC=BC=4．（1）如图1，两三角尺的重叠部分为△ACM，则重叠部分的面积为_________ ，周长为_________ ．（2）将图1中的△MNK绕顶点M逆时针旋转45°，得到图2，此时重叠部分的面积为_________ ，周长为_________ ．（3）如果将△MNK绕M旋转到不同于图1和图2的图形，如图3，请你猜想此时重叠部分的面积为_________ ．（4）在图3情况下，若AD=1，求出重叠部分图形的周长．参考答案一．选择题（本题12小题，每小题3分，共计36分.）1 . B2 .C 3. C 4 . D 5. C 6. C7. D 8 . C 9. D 10 A 11. B 12 .C二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）13．0 ．14．﹣2 ．15．x1=0，x2=2 ．16． 2 ．17．70°．18．20πcm．三、解答题（本题共7个小题，满分60分）19.(5分)解：原式=﹣+2=4﹣+2=4+．20．（10分）解下列方程．（1）x2+4x﹣5=0；解：分解因式得：（x+5）（x﹣1）=0，x+5=0，x﹣1=0，x1=﹣5，x2=1；（2）x（2x+3）=4x+6．移项得：x（2x+3）﹣2（2x+3）=0，（2x+3）（x﹣2）=0，2x+3=0，x﹣2=0，x1=﹣，x2=2．21．（5分）解：△A2B2C2如图所示；点A2（8，3）．22．（10分）解：（1）如图①，连接OC，则OC=4，∵AB与⊙O相切于点C，∴OC⊥AB，∴在△OAB中，由AO=OB，AB=10，得AC=AB=5．在Rt△AOC中，由勾股定理得OA===；（2）如图②，连接OC，则OC=OD，∵四边形ODCE为菱形，∴OD=CD，∴△ODC为等边三角形，有∠AOC=60°．由（1）知，∠OCA=90°，∴∠A=30°，∴OC=OA，∴=．23．（8分）证明：（证法一）连接OE，DE，∵CD是⊙O的直径，∴∠AED=∠CED=90°，∵G是AD的中点，∴EG=AD=DG，∴∠1=∠2；∵OE=OD，∴∠3=∠4，∴∠1+∠3=∠2+∠4，∴∠OEG=∠ODG=90°，故GE是⊙O的切线；（证法二）连接OE，OG，∵AG=GD，CO=OD，∴OG∥AC，∴∠1=∠2，∠3=∠4．∵OC=OE，∴∠2=∠4，∴∠1=∠3．又∵OE=OD，OG=OG，∴△OEG≌△ODG，∴∠OEG=∠ODG=90°，∴GE是⊙O的切线．24．（12分）解：（1）设平均每次下调的百分率为x．由题意，得5（1﹣x）2=3.2．解这个方程，得x1=0.2，x2=1.8．因为降价的百分率不可能大于1，所以x2=1.8不符合题意，符合题目要求的是x1=0.2=20答：平均每次下调的百分率是20%．（2）小华选择方案一购买更优惠．理由：方案一所需费用为：3.2×0.9×5000=14400（元），方案二所需费用为：3.2×5000﹣200×5=15000（元）．∵14400＜15000，∴小华选择方案一购买更优惠．25．解：（1）∵AC=BC=4，∠ACB=90°，∴AB===4，∵M是AB的中点，∴AM=2，∵∠ACM=45°，∴AM=MC，∴重叠部分的面积是=4，∴周长为：AM+MC+AC=2+2+4=4+4；故答案为：4，4+4；（2）∵叠部分是正方形，∴边长为×4=2，面积为×4×4=4，周长为2×4=8．故答案为：4，8．（3）过点M分别作AC、BC的垂线MH、ME，垂足为H、E，∵M是△ABC斜边AB的中点，AC=BC=4，∴MH=BC，ME=AC，∴MH=ME，又∵∠NMK=∠HME=90°，∴∠NMH+∠HMK=90°，∠EMG+∠HMK=90°，∴∠HMD=∠EMG，在△MHD和△MEG中，，∴△MHD≌△MEG（ASA），∴阴影部分的面积等于正方形CEMH的面积，∵正方形CEMH的面积是ME•MH=×4××4=4；∴阴影部分的面积是4；故答案为：4．（4）如图所示：过点M作ME⊥BC于点E，MH⊥AC于点H，word格式-可编辑-感谢下载支持∴四边形MECH是矩形，∴MH=CE，∵∠A=45°，∴∠AMH=45°，∴AH=MH，∴AH=CE，在Rt△DHM和Rt△GEM中，，∴Rt△DHM≌Rt△GEM．∴GE=DH，∴AH﹣DH=CE﹣GE，∴CG=AD，∵AD=1，∴DH=1．∴DM==∴四边形DMGC的周长为：CE+CD+DM+ME=AD+CD+2DM=4+2．。

九年级数学竞赛试题及答案

九年数学竞赛试题一、选择题(每小题7分，共42分)1.在直角坐标系中，若一点的纵、横坐标都是整数，则称该点为整点.设k 为整数，当直线y=x-2与y=kx+k的交点为整点时，k的值可以取( )(A)4个(B)5个(C)6个(D)7个2.如图，AB是⊙O的直径，C为AB上的一个动点(C点不与A、B重合)，CD⊥AB，AD、CD分别交⊙O于E、F，则与AB·AC相等的一定是( )(A)AE·AD(B)AE·ED(C)CF·CD(D)CF·FD3.在△ABC与△A′B′C′中，已知AB＜A′B′，BC＜B′C′，CA＜C′A′.下列结论：(1)△ABC的边AB上的高小于△A′B′C′的边A′B′上的高；(2)△ABC的面积小于△A′B′C′的面积；(3)△ABC的外接圆半径小于△A′B′C′的外接圆半径；(4)△ABC的内切圆半径小于△A′B′C′的内切圆半径.其中，正确结论的个数为( )(A)0 (B)1 (C)2 (D) 44.设，那么S与2的大小关系是( )(A)S=2 (B)S＜2(C)S＞2 (D)S与2之间的大小与x的取值有关5.折叠圆心为O、半径为10cm的圆纸片，使圆周上的某一点A与圆心O重合.对圆周上的每一点，都这样折叠纸片，从而都有一条折痕.那么，所有折痕所在直线上点的全体为( )(A)以O为圆心、半径为10cm的圆周(B)以O为圆心、半径为5cm的圆周(C)以O为圆心、半径为5cm的圆内部分 (D)以O为圆心，半径为5cm的圆周及圆外部分6.已知x，y，z都是实数，且x2+y2+z2=1，则m=xy+yz+zx( )(A)只有最大值 (B)只有最小值(C)既有最大值又有最小值 (D)既无最大值又无最小值二、填空题(每小题7分，共56分)7.如图是一个树形图的生长过程，依据图中所示的生长规律，第15行的实心圆点的个数等于______.8.如图3，在△ABC中，AD是BC边上的中线，M是AD的中点，CM的延长线交AB于N，则AN:AB的值为______.9.如图，取一张长方形纸片，它的长AB=10cm，宽BC=5cm，然后以虚线CE(E点在AD上)为折痕，使D点落在AB边上.则AE=_____cm，∠DCE=______°.10.如图4，BC是⊙O的直径，AC切⊙O于点C，AB交⊙O于点D，若AD:DB=2:3，AC=10，sinB的值为_____11.直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=5cm，AC=4cm，则∠A的平分线AD的长为______cm.12.如图，⊙C通过原点，并与坐标轴分别交于A，D两点.已知∠OBA=30°，点D的坐标为(0,2)，则点A，C的坐标分别为A( , )；C( , ).13.若关于x的方程rx2-(2r+7)x+(r+7)=0的根是正整数，则整数r的值可以是______.14.将2,3,4,5,…,n(n为大于4的整数)分成两组，使得每组中任意两数之和都不是完全平方数.那么，整数n可以取得的最大值是______.三、解答题(每题13分，共52分)15.九年(1)班尚剩班费m(m为小于400的整数)元，拟为每位同学买1本相册.某批发兼零售文具店规定：购相册50本起可按批发价出售，少于50本则按零售价出售，批发价比零售价每本便宜2元，班长若为每位同学买1本，刚好用完m元；但若多买12本给任课教师，可按批发价结算，也恰好只要m元.问该班有多少名同学？每本相册的零售价是多少元？16.已知关于x的方程x2+4x+3k-1=0的两个实根的平方和不小于这两个根的积；反比例函数的图像的两个分支在各自的象限内，点的纵坐标y随点的横坐标x的增大而减小.求满足上述条件的k的整数值.17.某中学预计用1500元购买甲商品x个，乙商品y个，不料甲商品每个涨价1.5元，乙商品每个涨价1元，尽管购买甲商品的个数比预定减少10个，总金额多用29元.又若甲商品每个只涨价1元，并且购买甲商品的数量只比预定数少5个，那么买甲、乙两商品支付的总金额是1563.5元.(1)求x、y的关系式；(2)若预计购买甲商品的个数的2倍与预计购买乙商品的个数的和大于205，但小于210，求x，y的值.18.如图，在△ABC中，BC=6，AC=4，∠C=45°，P为BC上的动点，过P作PD∥AB交AC于点D，连结AP，△ABP、△APD、△CDP的面积分别记为S1，S2，S3，设BP=x.(1)试用x的代数式分别表示S1，S2，S3；(2)当P点位于BC上某处使得△APD的面积最大时，你能得出S1、S2、S3之间或S1、S2、S3两两之间的哪些数量关系(要求写出不少于3条)？九年数学竞赛试题答案一、选择题1.A2.A3.A4.D5.D6.C二、填空题7.377 8.1:39.，30 10.11.12.(,0)，(,1) 13.0，1或7 14.2815.设该班共有x名同学，相册零售价每本y元.由题设，得xy=(x+12)(y-2)，①且整数x满足38＜x＜50.②由①得12y-2x-24=0，y=+2，xy=+2x.③由③及xy=m为整数，知整数x必为6的倍数，再由②，x只可能为42或48.此时相应的y为9或10.但m＜400，∴x=42，y=9.答：(略).16.由题意，方程x2+4x+3k-1=0①有实数根，故△=42-4(3k-1)≥0，解之，得k≤.②设x1，x2为①的根，由根与系数关系知x1+x2=-4，x1·x2=3k-1，因≥x1x2，故(x1+x2)2-3x1x2≥0，即(-4)2-3(3k-1)≥0，∴k≤.③又由当x＞0或x＜0时，分别随x值增大而减小，知1+5k＞0，即k＞-.④综合②③④，得-＜k≤.∴满足题中条件的k可取整数值为0, 1.17.(1)设预计购买甲、乙商品的单价分别为a元和b元，则原计划是：ax+by=1500，①由甲商品单价上涨1.5元，乙商品单价上涨1元，并且甲商品减少10个情形，得：(a+1.5)(x-10)+(b+1)y=1529.②再由甲商品单价上涨1元，而数量比预计数少5个，乙商品单价上涨仍是1元的情形得：(a+1)(x-5)+(b+1)y=1563.5.③由①，②，③得：④-⑤×2并化简，得x+2y=186.(2)依题意有：205＜2x+y＜210及x+2y=186.得54＜y＜.由于y是整数，得y=55，从而得x=76.答：略.18.(1)由题意知：BP=x，0＜x＜6，且有，故AD=·BP=x=x.过P作PM⊥AC交AC于M点，过A作AN⊥BC交BC于N点，则PM=PC·sinC=(BC-PB)sin45°=(6-x)，S2=S△APD=AD·PM=·x·(6-x)=2x-x2；又AN=AC·sinC=4·sin45°=4，故S1=S△ABP=BP·AN=2x；S3=S△CDP=CD·PM=(AC-AD)·PM=(4-x)·(6-x)=(6-x)2.(2)因为S2=2x-x2=3-(x-3)2，所以当x=3时，S2取最大值S2=3，此时S1=6，S3=3，因此，S1，S2，S3之间的数量关系有S1=S2+S3，S2=S3，S1=2S2，S1=2S3.(以上4个关系只要写出3个即可)。

2016年秋人教版九年级上册数学竞赛试卷(含答案)

2016年秋人教版九年级（上册) 数学竞赛试卷（含答案）（考试时间：120分钟，满分：120分）一、相信你的选择（每小题4分，共28分）1、已知点（-4，y 1），（2，y 2）都在直线b x y +-=21上，则y 1, y 2大小关系是( )（A ）y 1 >y 2 （B ）y 1 =y 2 （C ）y 1 <y 2 （D ）不能比较2、下图是甲、乙、丙三人玩跷跷板的示意图(支点在中点处)，则甲的体重的取值范围在数轴上表示正确的（） A ． 210B ． 20C ． 18D ． 2204.已知y x ,是实数，096432=+-++y y x ，则xy 的值是（）A ．4B ．－4C ．94D ．－945、已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为（ A 、12 B 、7＋7 C 、12或7＋7 D 、以上都不对6、已知点A 为某封闭图形边界上一定点，动点P 从点A 出发，沿其边界顺时针匀速运动一周．设点P 运动的时间为x ，线段AP 的长为y ．表示y 与x 的函数关系的图象大致如图5所示，则该封闭图形可能是图3图77、如图7，∠ACB =90°，D 为AB 的中点，连接DC 并延长到E ，使CE =31CD ，过点B 作BF ∥DE ，与AE 的延长线交于点F ．若AB =6，则BF 的长为A ．6B ． 7C ． 8D ． 10二、试试你的身手（每小题5分，共35分） 8．化简：(x ＋1x －2)÷x －13x －6=)2)(1(12+-++=x x x y 有意义的自变量x 的取值范围是10.如下图，将半径为3的圆形纸片，按下列顺序折叠．若⌒AB 和⌒BC 都经过圆心O ，则阴影部分的面积是（结果保留π）．11.....,11,...11,11,1,...2014321123121321=++++-=-=-=-=-a a a a a a a a a a a a a a a n n n 则其中、、一列数12.一次函数b kx y +=，当41≤≤x 时，6y 3≤≤则kb的值是 13．如图10，所有正三角形的一边都与x 轴平行，一顶点在y 轴正半轴上，顶点依次用A 1，A 2， A 3，A 4…表示，坐标原点O 到边A 1A 2，A 4 A 5， A 7A 8…的距离依次是1，2，3，…，从内到外，正三角形的边长依次为2，4，6，…，则A 23的坐标是．14、若直线y ＝m （m 为常数）与函数y ＝⎩⎨⎧x 22(x ≤2)，4x(x ＞2)的图象恒有三个不同的交点，则常数m 的取值范围是．三、挑战你的技能（共57分）15、（10分）已知代数式：A =23+x ，B =25624322+-+-÷+-x x x x x ．（1）试证明：若A 、B 均有意义，则它们的值互为相反数;（2）若代数式A 、B 中的x 是满足不等式3（x －3）<6－2x 的正整数解，求A －B 的值． 16.（10分）如图，正方形ABCD 中，点E 在对角线AC 上，连接EB 、ED .（1）求证：△BCE ≌△DCE ；（2）延长BE 交AD 于点F ，若∠DEB ＝140º，求∠AFE 的度数.17.（10分）如图所示，A 、B 两个旅游点从2011年至2015年“清明小长假”期间的旅游人数变化情况分别用实线和虚线表示，请解答以下问题：（1）B 旅游点的旅游人数相对上一年，增长最快的是哪一年？（2）求A 、B 两个旅游点从2011年到2015年旅游人数的平均数和方差，并从平均数和方差的角度，用一句话对这两个旅游点的情况进行评价；（3）A 旅游点现在的门票价格为每人80元，为保护旅游点环境和游客的安全，A 旅游点的最佳接待人数为4万人. A 旅游点决定提高门票价格来控制游客数量. 已知游客数量y （万人）与门票价格x （元）之间满足函数关系y ＝5－x100. 若要使A 旅游点的游客人数不超过4万人，则门票价格至少应提高多少元？18.（13分）如图13-1，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC =2，以点B 为圆心，以1为半径作圆．设点P 为⊙B 上一点，线段CP 绕着点C 顺时针旋转90°，得到线段CD ，连接DA ，ＰD ，PB ，（1）求证：AD =BP ；（2）若DP 与⊙B 相切，则∠CPB 的度数为_________°；（3）如图13-2，当B ，P ，D 三点在同一直线上时，求BD 的长；BCBCBCP2011 2012 2013 2014 2015 年（第17题图）19、（14分）已知：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋6（a ≠0）的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），点A 、点B 的横坐标是方程x 2－4x －12＝0的两个根．（1）求出该二次函数的表达式及顶点坐标；（2）如图，连接AC 、BC ，点P 是线段OB 上一个动点（点P 不与点O 、B 重合），过点P 作PQ ∥AC 交BC 于点Q ，当△CPQ 的面积最大时，求点P 的坐标．九年级（上)数学竞赛参考答案一、相信你的选择（每小题4分，共28分）三、试试你的身手（每小题5分，共35分）题号 8 9 1011 12 1314答案3x-3X>-2且x ≠132或-7（8，-8） 0<m<2四、挑战你的技能（共57分）15、（1）证明：B====A 、B 互为相反数（2）解不等式得x<3，∵x 为正整数，且x ≠2， ∴x=1题号 1 2 3 4 5 6 7 答案ABBBCACyxO CABQP备用图ABCABCD P图13-2ABCD P图13-1则A-B===216、（1）证明：∵正方形ABCD 中，E 为对角线AC 上一点， ∴BC=DC ，∠BCE=∠DCE=45°，在△BCE 和△DCE 中∴△BCE ≌△DCE （SAS ）；（2）解：由全等可知，∠BEC=∠DEC=∠DEB=×140°=70°， ∵在△BCE 中，∠CBE=180°﹣70°﹣45°=65°，∴在正方形ABCD 中，AD ∥BC ，有∠AFE=∠CBE=65°．17、（1）B 旅游点的旅游人数相对上一年，增长最快的是2014年（2） — x A ＝3（万人）， — x B＝3（万人），S A 2＝2，S B 2＝25从2011至2015年清明小长假期间，A 、B 两个旅游点平均每年的旅游人数均为3万人，但A 旅游点较B 旅游点的旅游人数波动更大一些．（3）由y ＝5－x100≤4，得x ≥100，x －80≥20，A 旅游点门票至少要提高20元 18、（1）证明：∵∠ACB=90°, ∠DCP=90°，∴∠ACD=∠BCP ∵AC=BC,CD=CP ， ∴△ACD ≌△BCP （SAS ） ∴AD=BP （2）∠CPB=45°或135°（3）∵△CDP 为等腰直角三角形， ∴∠CDP=∠CPD=45°，则∠CPB=135°。

九年级上学期数学竞赛试题(含答案)

九年级上学期数学竞赛试题（含答案）题号一二三四五总分21 22 23 24 25 26 27 得分一、选择题：（每小题3分，共36分）将唯一正确答案的代号字母填在下面的表格内题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案1.下列图形中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是 A. 等边三角形 B.等腰三角形 C.平行四边形 D.线段2.如图，A 、B 是数轴上的两点，在线段AB 上任取一点C ，则点C 到表示－1的点的距离小于或等于．．．．．2的概率是A ．21B ．32C ．43D ．543. 如图，△ABC 中，点D 在线段BC 上，且△ABC ∽△DBA ，则下列结论一定正确的是A ．AB 2=BC ·BD B ．AB 2=AC ·BD C ．AB ·AD =BD ·BCD ．AB ·AD =AD ·CD4. 如图⊙O 中，半径OD⊥弦AB 于点C ，连结AO 并延长交⊙O 于点E ，连结EC ，若AB=8，CD=2，则EC 的长度为 A ．52 B ． 8 C ． 102 D ． 132 5.对于代数式246x x -+的值的情况，小明作了如下探究的结DCBA第3题图第7题图第9题图论，其中错误的是A. 只有当2x =时，246x x -+的值为2B.x 取大于2的实数时，246x x -+的值随x 的增大而增大，没有最大值C. 246x x -+的值随x 的变化而变化，但是有最小值D. 可以找到一个实数x ，使246x x -+的值为06.方程22(6)x m x m -++＝0有两个相等的实数根，且满足12x x +＝12x x ，则m 的值是A ．－2或3B ．3C ．－2D ．－3或27．如图，AB 是⊙O 的直径，C 、D 是⊙O 上的点，∠CDB=30°，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于E ，则∠E 为 A ．25° B ．30° C ．35° D ．45°8.在函数21a y x +=（a 为常数）的图象上有三点1(4,)y -， 2(1,)y -，3(3,)y ，则函数值的大小关系是A ．231y y y << B. 321y y y << C. 123y y y << D. 213y y y << 9. 冬至时是一年中太阳相对于地球位置最低的时刻，只要此时能采到阳光，一年四季就均能受到阳光照射.此时竖一根a 米长的竹杆，其影长为b 米，某单位计划想建m 米高的南北两幢宿舍楼(如图所示).当两幢楼相距多少米时，后楼的采光一年四季不受影响？ A.a bm 米 B.bam米 C.m ab 米 D. abm 米10. 如图，小明想用图中所示的扇形纸片围成一个圆锥，已知扇形的半径为5cm ，弧长是6πcm ，那么围成的圆锥的高度是 A ．3㎝B ．4㎝C ．5 ㎝D ．6㎝11.如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，将△ABC 沿直线MN 翻折后，顶点C 恰好落在AB 边上的点D 处，已知MN ∥AB ，MC＝6， NC ＝MABN 的面积是 A ．B ．． D ．12．已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象开口向上，与 x 轴的交点坐标是（1,0），对称轴x=-1.下列结论中，错误的是A ．abc ＜0B ．b=2aC ．a+b+c=0D ．20=+b a 二、填空题：（每小题3分，共24分）将正确答案直接填在题中横线上.13.已知三角形的两边长是方程x 2－5x ＋6=0的两个根，则该三角形的周长ｌ的取值范围是 .14.已知二次函数y ＝（k －3）x 2+2x+1的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是 . 15.已知A 是反比例函数xky =的图象上的一点，AB ⊥x 轴于点B ，且△ABO 的面积是3，则k 的值是 .16.如果圆锥的底面周长是20πcm ，侧面展开后所得的扇形的圆心角为120°，则圆锥的母线长是 .17. 小明每天骑自行车上学时都要经过一个十字路口，该十字路口有红、黄、绿三色（第11题图）NMD ACB交通信号灯，他在路口遇到红灯的概率为31，遇到黄灯的概率为91，那么他遇到绿灯的概率为 .18.已知正六边形的边心距为3，则它的周长是 . 19. 如图，PA 、PB 切⊙O 于A 、B ，50P ∠=，点C 是⊙O 上异于A 、B 的任意一点，则ACB ∠＝ . 20.如图，在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 在坐标原点，边OA 在x 轴上，OC 在y 轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC 关于点O 位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC 面积的14，那么点B′的坐标是 .三、开动脑筋，你一定能做对！（本大题共3小题，共22分）21.（本小题满分7分）近年来随着全国楼市的降温，商品房的价格开始呈现下降趋势，2012年某楼盘平均售价为5000元/平方米，2014年该楼盘平均售价为4050元/平方米.（1）如果该楼盘2013年和2014年楼价平均下降率相同，求该楼价的平均下降率；（2）按照（1）中楼价的下降速度，请你预测该楼盘2015年楼价平均是多少元/平方米？第20题图第9题图FEDC BA22.（本小题满分8分）如图，在平行四边形ABCD 中，E 是AB 延长线上的一点，DE 交BC 于点F.已知23BE AB =，3BEFS=，求△CDF 的面积.23. （本小题满分7分）甲、乙两个袋中均装有三张除所标数值外完全相同的卡片，甲袋中的三张卡片上所标的数值分别为－7、－1、3，乙袋中的三张卡片上所标的数值分别为－2、1、6．先从甲袋中随机取出一张卡片，用x 表示取出的卡片上标的数值，再从乙袋中随机取出一张卡片，用y 表示取出的卡片上标的数值，把x 、y 分别作为点A 的横坐标、纵坐标．（1）用适当的方法写出点(,)A x y 的所有情况；（2）求点A 落在第三象限的概率．四、认真思考，你一定能成功！（本大题共2小题，共18分）24. （本小题满分10分）如图，AB 是⊙O 直径，D 为⊙O 上一点，AT 平分∠BAD 交⊙O 于点T ，过T 作AD 的垂线交AD 的延长线于点C ．（1）求证：CT 为⊙O 的切线；（2）若⊙O 半径为2，3CT =，求AD 的长．25. （本小题满分8分）已知：如图，反比例函数xky =的图象与一次函数y ＝x ＋b 的图象交于点A(1，4)、点B(－4，n). (1)求△OAB 的面积；(2)根据图象，直接写出不等式kx b x<+的解集.第24题图五、相信自己，加油呀！（本大题共2小题，共20分）26. （本小题满分10分）某商店经营一种成本为每千克40美元的水产品，根据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对这种水产品的销售情况，销售单价定为多少元时，获得的利润最大？最大利润是多少？27.（本小题满分10分）如图，抛物线2y x bx c =+-与x 轴交(1,0)A -、(3,0)B两点，直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．（1）求抛物线及直线AC的函数表达式；（2）若P点是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于F 点，求线段PF长度的最大值.第27题图九年级数学试题参考答案及评分建议一、选择题:（每小题3分，共36分）13．6＜ｌ＜10； 14.k ≤4且k ≠3；15.k=±6；16.30cm ； 17. 95； 18.12；19. 65°或115°； 20.（3，2）或（－3，－2）. 三、解答题:（共60分）21. （本小题满分7分）解：（1）设楼价下降率为x ，………………………1分根据题意25000(1)4050x -=.…………………………………………………3分解得1 1.9x =（舍去），20.1x =，故楼价下降率为10%.………………………5分（2）预测2015年楼价平均是4050(110%)3645⨯-=（元/平方米）.……7分22. （本小题满分8分）解：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴CD ＝AB ，且CD ∥AB ，∴△CDF ∽△BEF.………………………………………3分又∵23BE AB =，∴23BE DC =，∴2()BEF F S BE S CD =△△CD ，即232()3F S =△CD .………6分解得274CDFS =.…………………………………………………………………8分23. （本题共7分）解：（1）如图A 的坐标：（－7，－2）；（－7，1）；（－7，6）；（－1，－2）；（－1，1）；（－1，6）；（3，－2）；（3，1）；（3，6）；……………………………………………………………………4分（2）由树状图可知，所有可能的情况共有9种，点A 落在第三象限的情况有2种，所以P （点A 落在第三象限）＝29．………………………7分 24. （本小题满分10分）解：（1）证明：连接OT ， ∵OA=OT，∴∠OAT=∠OTA .又∵AT 平分∠BAD， ∴∠DAT=∠OAT，∴∠DAT=∠OTA .∴OT∥AC .……………………………………………………2分又∵CT⊥AC，∴CT⊥OT，∴CT 为⊙O 的切线；……………4分（2）解：过O 作OE⊥AD 于E ，则E 为AD 中点，又∵CT⊥AC，∴OE∥CT，∴四边形OTCE 为矩形.…………7分 ∵CT=，∴OE=，又∵OA=2，∴在Rt△OAE 中，∴AD=2AE=2．………………………… 10分25. （本小题满分8分）解：(1)把A 点(1，4)分别代入反比例函数xky =，一次函数y ＝x ＋b ，得k ＝1×4，1＋b ＝4，解得k ＝4，b ＝3，∴反比例函数的解析式是xy 4=.………………2分一次函数解析式是y ＝x ＋3.……………………………………………………………4分如图当x ＝－4时，y ＝－1，B(－4，－1)，当y ＝0时，x ＋3＝0，x ＝－3，C(－3，0)S △AOB ＝S △AOC ＋S △BOC ＝21513214321=⨯⨯+⨯⨯.………………………………………6分 (2)∵B(－4，－1)，A(1，4)，∴根据图象可知：当x ＞1或－4＜x ＜0时，反比例函数值小于一次函数值.……………………………………………………………………8分26. 解：(本题满分10分)设定价上涨x 元时获得的利润最大,最大利润是y ．……1分根据题意得y=（500-10x ）(50+x)-(500-10x)×40. …………………………………6分化简得y=-10(x-20)2+9000. ……………………………………………………………8分 x=20时，y 有最大值9000. ……………………………………………………………9分答：定价定为70元时获得的利润最大，最大利润是9000元．……………………10分27. （本小题满分10分）（1）将A 、B 两点坐标代入抛物线的解析式，得 10,930b c b c --=⎧⎨+-=⎩，解得2,3b c =-⎧⎨=⎩∴抛物线解析式为223y x x =--.………………2分将点C 的横坐标代入抛物线解析式，得3y =-，即(2,3)C-，设直线AC为y kx m=+，将点A和点C坐标代入，得0,23k mk m-+=⎧⎨+=-⎩，解得1,1km=-⎧⎨=-⎩，即直线AC解析式为1y x=--.……………………4分（2）如图，不妨设点2(,23)P x x x--，因为点F在直线AC上，因此则点(,1)F x x--.………………………………6分所以有21(23)PF x x x=-----22x x=-++.…8分∴当122bxa=-=时，PF最大值＝244ac ba-＝94.………………………………10分（备注：在解答题中，考生若用其它解法，应参照本评分标准给分）。

九年级数学竞赛初赛试卷【含答案】

九年级数学竞赛初赛试卷【含答案】专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1. 若一个正方形的边长为a，则它的对角线长为（）。

A. a/2B. a√2C. 2aD. a²2. 下列哪个数是无理数？（）A. √9B. √16C. √3D. √13. 若函数f(x) = 2x + 3，则f(-1)的值为（）。

A. 1B. 2C. 3D. 54. 下列哪个图形不是正多边形？（）A. 等边三角形B. 等腰梯形C. 正方形D. 正五边形5. 若一个圆的半径为r，则它的周长为（）。

A. 2rB. 2πrC. πr²D. r²/2二、判断题（每题1分，共5分）1. 两个负数相乘的结果一定是正数。

（）2. 任何数乘以0都等于0。

（）3. 对角线相等的四边形一定是矩形。

（）4. 一元二次方程ax² + bx + c = 0（a≠0）的解可以用公式x = [-b ± √(b² 4ac)] / 2a求得。

（）5. 任何数都有倒数。

（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 若一个三角形的两个内角分别为30°和60°，则第三个内角的度数为______°。

2. 若2x 5 = 0，则x的值为______。

3. 若一个圆的直径为10cm，则它的面积为______cm²。

4. 若一个等差数列的首项为3，公差为2，则第5项的值为______。

5. 若sinθ = 1/2，且θ是锐角，则θ的度数为______°。

四、简答题（每题2分，共10分）1. 请简述勾股定理的内容。

2. 请简述一元一次方程的求解方法。

3. 请简述等差数列的定义及通项公式。

4. 请简述平行四边形的性质。

5. 请简述圆的周长和面积的计算公式。

五、应用题（每题2分，共10分）1. 已知一个长方形的长是宽的2倍，且长方形的周长是24cm，求长方形的长和宽。

(2021年整理)2016年全国初中数学联赛(初三组)初赛试卷含答案

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F第2题图EDBAC第2题图2016年全国初中数学联赛(初三组)初赛试卷（考试时间:2016年3月4日下午3：00—5：00）班级:: 姓名：成绩:考生注意:1、本试卷共五道大题，全卷满分140分；2、用圆珠笔、签字笔或钢笔作答;3、解题书写不要超出装订线;4、不能使用计算器。

一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1、已知实数a 、b 满足31|2||3|=+-+-+-a a b a ，则b a +等于（）A 、1-B 、2C 、3D 、52、如图，点D 、E 分别在ABC ∆的边AB 、AC 上,BE 、CD 相交于点F ,设四边形EADF 、BDF ∆、BCF ∆、CEF ∆的面积分别为1S 、2S 、3S 、4S ，则31S S 与42S S 的大小关系为( ）A 、4231S S S SB 、4231S S S S =C 、4231S S S SD 、不能确定3、对于任意实数a ，b ,c ，d ,有序实数对（a ,b ）与（c ，d )之间的运算“*"定义为： ()*b a ，()=d c ，()bc ad bd ac +-，。

人教版初三数学竞赛及答案

初中数学竞赛一、填空题(1~5题每小题6分，6~10题每小题8分，共70分）1. 在2002当中嵌入一个数码组成五位数2002，若这五位数能被7整除，则嵌入的数码“”是________________。

【解析】 2或9 设“”中数字为a ，那么五位数2002的数值为210000100220002100a a ⨯+⨯+=+⨯，因为2002除以7的余数为3，所以，要使得五位数2002能被7整除，那么100a ⨯除以7的余数必须为4，而0，100，200，300，，900中，被7除余数为4的只有200和900，即2a =或者9，所以，嵌入的数码“”是2或92. 若实数a 满足32a a a <<，则不等式1x a ax +>-解为_____________。

【解析】 11ax a-<+ 已知32a a a <<，即232(1)0(1)0a a a a a a a a ⎧-=-<⎪⎨-=-<⎪⎩ （1）如果0a >，上不等式组等价于201010a a a ⎧>⎪-<⎨⎪-<⎩即，0111a a a >⎧⎪>⎨⎪-<<⎩，这是一个矛盾不等式组，所以这种情况应舍去。

（2）如果0a <，上不等式组等价于201010a a a ⎧<⎪->⎨⎪->⎩，即0111a a a a <⎧⎪<⎨⎪<->⎩或者，解得1a <-，此时，不等式1x a ax +>-等价于(1)1a x a +>-，因为1a <-，即10a +<，那么(1)1a x a +>-等价于11a x a -<+，所以，原不等式的解为11ax a-<+。

3. 如图，一张矩形纸片沿BC 折叠，顶点A 落在点'A 处，第二次过'A 再折叠，使折痕DE BC 若2AB =.3AC =,则梯形BDEC 的面积为______________。

九年级(上)竞赛数学试卷(解析版)

九年级（上）竞赛数学试卷一、选择题（每小题3分,共15分）1．用配方法解一元二次方程x2﹣4x=5时,此方程可变形为（）A．（x+2）2=1 B．（x﹣2）2=1 C．（x+2）2=9 D．（x﹣2）2=92．如图,菱形ABCD的两条对角线相交于O,若AC=6,BD=4,则菱形ABCD的周长是（）A．24 B．16 C．4D．23．已知：如图,在矩形ABCD中,E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,DA的中点．若AB=2,AD=4,则图中阴影部分的面积为（）A．3 B．4 C．6 D．84．三角形的两边长分别为2和6,第三边是方程x2﹣10x+21=0的解,则第三边的长为（）A．7 B．3 C．7或3 D．无法确定5．如图,把矩形ABCD沿EF翻折,点B恰好落在AD边的B′处,若AE=2,DE=6,∠EFB=60°,则矩形ABCD的面积是（）A．12 B．24 C．12D．16二、填空题（每小题3分,共15分）6．若一元二次方程ax2﹣bx﹣2016=0有一根为x=﹣1,则a+b=．7．若关于x的一元二次方程mx2+3x﹣4=0有实数根,则m．8．菱形两条对角线长度比为1：,则菱形较小的内角的度数为度．9．已知菱形ABCD的边长为6,∠A=60°,如果点P是菱形内一点,且PB=PD=2,那么AP的长为．10．如图：矩形ABCD的对角线AC=10,BC=8,则图中五个小矩形的周长之和为．三、解答题（共10分）11．（10分）关于x的方程mx2+（m+2）x+=0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围．（2）是否存在实数m,使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在,求出m的值；若不存在,说明理由．九年级（上）竞赛数学试卷一、选择题（每小题3分,共15分）1．用配方法解一元二次方程x2﹣4x=5时,此方程可变形为（）A．（x+2）2=1 B．（x﹣2）2=1 C．（x+2）2=9 D．（x﹣2）2=9【分析】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时,最好使方程的二次项的系数为1,一次项的系数是2的倍数．【解答】解：∵x2﹣4x=5,∴x2﹣4x+4=5+4,∴（x﹣2）2=9．故选D．【点评】此题考查了配方法解一元二次方程,解题时要注意解题步骤的准确应用．2．如图,菱形ABCD的两条对角线相交于O,若AC=6,BD=4,则菱形ABCD的周长是（）A．24 B．16 C．4D．2【分析】由菱形ABCD的两条对角线相交于O,AC=6,BD=4,即可得AC⊥BD,求得OA与OB的长,然后利用勾股定理,求得AB的长,继而求得答案．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形,AC=6,BD=4,∴AC⊥BD,OA=AC=3,OB=BD=2,AB=BC=CD=AD,∴在Rt△AOB中,AB==,∴菱形的周长是：4AB=4．故选：C．【点评】此题考查了菱形的性质与勾股定理．此题难度不大,注意掌握数形结合思想的应用．3．已知：如图,在矩形ABCD中,E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,DA的中点．若AB=2,AD=4,则图中阴影部分的面积为（）A．3 B．4 C．6 D．8【分析】阴影部分的面积等于矩形面积减去四个直角三角形的面积．【解答】解：矩形的面积=2×4=8；S△AEF=×1×2=1；∴阴影部分的面积=8﹣1×4=4．故选B．【点评】本题另外的解法是：利用菱形的面积公式计算．4．三角形的两边长分别为2和6,第三边是方程x2﹣10x+21=0的解,则第三边的长为（）A．7 B．3 C．7或3 D．无法确定【分析】将已知的方程x2﹣10x+21=0左边分解因式,利用两数相乘积为0,两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程,求出一次方程的解得到原方程的解为3或7,利用三角形的两边之和大于第三边进行判断,得到满足题意的第三边的长．【解答】解：x2﹣10x+21=0,因式分解得：（x﹣3）（x﹣7）=0,解得：x1=3,x2=7,∵三角形的第三边是x2﹣10x+21=0的解,∴三角形的第三边为3或7,当三角形第三边为3时,2+3＜6,不能构成三角形,舍去；当三角形第三边为7时,三角形三边分别为2,6,7,能构成三角形,则第三边的长为7．故选A【点评】此题考查了利用因式分解法求一元二次方程的解,以及三角形的边角关系,利用因式分解法解方程时,首先将方程右边化为0,左边分解因式,然后利用两数相乘积为0,两因式中至少有一个为0转化两个一次方程来求解．5．如图,把矩形ABCD沿EF翻折,点B恰好落在AD边的B′处,若AE=2,DE=6,∠EFB=60°,则矩形ABCD的面积是（）A．12 B．24 C．12D．16【分析】根据平行线的性质和折叠的性质易证得△EFB′是等边三角形,继而可得△A′B′E 中,B′E=2A′E,则可求得B′E的长,然后由勾股定理求得A′B′的长,继而求得答案．【解答】解：在矩形ABCD中,∵AD∥BC,∴∠DEF=∠EFB=60°,∵把矩形ABCD沿EF翻折点B恰好落在AD边的B′处,∴∠EFB=∠EFB′=60°,∠B=∠A′B′F=90°,∠A=∠A′=90°,AE=A′E=2,AB=A′B′,在△EFB′中,∵∠DEF=∠EFB=∠EB′F=60°∴△EFB′是等边三角形,Rt△A′EB′中,∵∠A′B′E=90°﹣60°=30°,∴B′E=2A′E,而A′E=2,∴B′E=4,∴A′B′=2,即AB=2,∵AE=2,DE=6,∴AD=AE+DE=2+6=8,∴矩形ABCD的面积=AB•AD=2×8=16．故答案为：16．【点评】此题考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理以及等边三角形的判定与性质．此题难度适中,注意掌握折叠前后图形的对应关系,注意掌握数形结合思想的应用．二、填空题（每小题3分,共15分）6．若一元二次方程ax2﹣bx﹣2016=0有一根为x=﹣1,则a+b=2016．【分析】由方程有一根为﹣1,将x=﹣1代入方程,整理后即可得到a+b的值．【解答】解：把x=﹣1代入一元二次方程ax2﹣bx﹣2016=0得：a+b﹣2016=0,即a+b=2016．故答案是：2016．【点评】此题考查了一元二次方程的解的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解,关键是把方程的解代入方程．7．若关于x的一元二次方程mx2+3x﹣4=0有实数根,则m≥且m≠0．【分析】根据一元二次方程的定义和△的意义得到m≠0且△≥0,即32﹣4×m×（﹣4）≥0,求出两个不等式的公共部分即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程mx2+3x﹣4=0有实数根,∴m≠0且△≥0,即32﹣4×m×（﹣4）≥0,解得m≥﹣,∴m的取值范围为m≥﹣且m≠0．故答案为：≥﹣且m≠0．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0,方程有两个不相等的实数根；当△=0,方程有两个相等的实数根；当△＜0,方程没有实数根．8．菱形两条对角线长度比为1：,则菱形较小的内角的度数为60度．【分析】根据已知可得到菱形的较小的内角的一半的度数,从而就不难求得较小内角的度数．【解答】解：因菱形的对角线互相垂直平分,且每一条对角线平分一组对角,可得菱形较小的内角的一半的正切值为1：,则菱形较小的内角的一半为30°,则菱形较小的内角的度数为60°．【点评】此题主要考查菱形的对角线的性质和直角三角形的函数值．9．已知菱形ABCD的边长为6,∠A=60°,如果点P是菱形内一点,且PB=PD=2,那么AP的长为或．【分析】根据题意得,应分P与A在BD的同侧与异侧两种情况进行讨论．【解答】解：当P与A在BD的异侧时：连接AP交BD于M,∵AD=AB,DP=BP,∴AP⊥BD（到线段两端距离相等的点在垂直平分线上）,在直角△ABM中,∠BAM=30°,∴AM=AB•cos30°=3,BM=AB•sin30°=3,∴PM==,∴AP=AM+PM=4；当P与A在BD的同侧时：连接AP并延长AP交BD于点MAP=AM﹣PM=2；当P与M重合时,PD=PB=3,与PB=PD=2矛盾,舍去．AP的长为4或2．故答案为4或2．【点评】本题注意到应分两种情况讨论,并且注意两种情况都存在关系AP⊥BD,这是解决本题的关键．10．如图：矩形ABCD的对角线AC=10,BC=8,则图中五个小矩形的周长之和为28．【分析】运用平移个观点,五个小矩形的上边之和等于AD,下边之和等于BC,同理,它们的左边之和等于AB,右边之和等于CD,可知五个小矩形的周长之和为矩形ABCD的周长．【解答】解：由勾股定理,得AB==6,将五个小矩形的所有上边平移至AD,所有下边平移至BC,所有左边平移至AB,所有右边平移至CD,∴五个小矩形的周长之和=2（AB+BC）=2×（6+8）=28．故答案为：28．【点评】本题考查了平移的性质的运用．关键是运用平移的观点,将小矩形的四边平移,与大矩形的周长进行比较．三、解答题（共10分）11．（10分）关于x的方程mx2+（m+2）x+=0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围．（2）是否存在实数m,使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在,求出m的值；若不存在,说明理由．【分析】（1）由二次项系数非零及根的判别式△＞0,即可得出关于m的一元一次不等式组,解之即可得出m的取值范围；（2）假设存在,设方程的两根分别为x1、x2,根据根与系数的关系结合+=0,即可得出关于m的方程,解之即可得出m的值,再根据（1）的结论即可得出不存在实数m,使方程的两个实数根的倒数和等于0．【解答】解：（1）∵关于x的方程mx2+（m+2）x+=0有两个不相等的实数根,∴,解得：m＞﹣1且m≠0．（2）假设存在,设方程的两根分别为x1、x2,则x1+x2=﹣,x1x2=．∵+==﹣=0,∴m=﹣2．∵m＞﹣1且m≠0,∴m=﹣2不符合题意,舍去．∴假设不成立,即不存在实数m,使方程的两个实数根的倒数和等于0．【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系,解题的关键是：（1）根据二次项系数非零结合根的判别式△＞0,找出关于m的一元一次不等式组；（2）根据根与系数的关系结合+=0,列出关于m的方程．。

九年级(上)数学竞赛试题含答案

九年级数学一、选择题（每小题5分，共30分）1．已知21+=m ，21-=n ，则代数式mn n m 322-+的值为（）A .9B .±3C .3D . 52．某校安排三辆车，组织九年级学生团员去敬老院参加学雷锋活动，其中小王与小菲都可以从这三辆车中任选一辆搭乘，则小王与小菲同车的概率为（）A ．13B ．19C ．12D ．23 3．如图，在平面直角坐标系中，⊙P 的圆心是（2，a ）(a ＞2)，半径为2，函数y=x 的图象被⊙P 的弦AB的长为a 的值是（） A．B．2+C．D．24．已知函数()()()()22113513x x y x x ⎧--⎪=⎨--⎪⎩≤＞，则使y=k 成立的x 值恰好有三个，则k 的值为（）A ．0B ．1C ．2D ．35．方程1)1(32=-++x x x 的所有整数解的个数是（）个（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）56．如图，在平面直角坐标系xOy 中，等腰梯形ABCD 的顶点坐标分别为A （1，1），B （2，－1），C （－2，－1），D （－1，1）．y 轴上一点P （0，2）绕点A 旋转180°得点P 1，点P 1绕点B 旋转180°得点P 2，点P 2绕点C 旋转180°得点P 3，点P 3绕点D 旋转180°得点P 4，……，重复操作依次得到点P 1，P 2，…，则点P 2010的坐标是（）．（A ）（2010，2）（B ）（2010，2-）（C ）（2012，2-）（D ）（0，2）二、填空题（每小题5分，共30分） 7．当x 分别等于20051，20041，20031，20021，20011，20001，2000，2001，2002，2003，2004，2005时，计算代数式221x x +的值，将所得的结果相加，其和等于．8．已知a ＝5－1，则2a 3＋7a 2－2a －12 的值等于．9．△ABC 的三边长a 、b 、c 满足8=+c b ，52122+-=a a bc ，则△ABC 的周长等于．10．如图，点A B ，为直线y x =上的两点，过A B ，两点分别作y 轴的平行线交双曲线1y x=（x ＞0）于C D ，两点. 若2BD AC =，则224OC OD - 的值为 .11．如图，直径AB 为6阴影部分的面积是．12．如图，一次函数的图象过点P （2，3），交x 轴的正半轴与A ，交y 轴的正半轴与B ，则△AOB 面积的最小值是．三、解答题（每小题15分，共60分）13、在实数范围内，只存在一个正数是关于x 的方程k x x kx x +=-++3132的解，求实数k 的取值范围．（第10题）（第11题）DB14．阅读下面的情境对话，然后解答问题（1）根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华提出的命题：“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题还是假命题？（2）在Rt ∆ABC 中， ∠ACB ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a ，且b ＞a ，若Rt ∆AB C 是奇异三角形，求a ：b ：c ；（3）如图，AB 是⊙O 的直径，C 是上一点（不与点A 、B 重合），D 是半圆 ⌒ABD 的中点，CD 在直径AB 的两侧，若在⊙O 内存在点E 使得AE ＝AD ，CB ＝CE ．○1求证：∆ACE 是奇异三角形； ○2当∆ACE 是直角三角形时，求∠AOC 的度数．15.如图，对称轴为直线72x =的抛物线经过点A （6，0）和B （0，4）．（1）求抛物线解析式及顶点坐标；（2）设点E （x ，y ）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF 是以OA 为对角线的平行四边形．求平行四边形OEAF 的面积S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；①当平行四边形OEAF 的面积为24时，请判断平行四边形OEAF 是否为菱形？②是否存在点E ，使平行四边形OEAF 为正方形？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．16.设k 为正整数，证明：（1）、如果k 是两个连续正整数的乘积，那么256k +也是两个连续正整数的乘积；（2）、如果256k +是两个连续正整数的乘积，那么k 也是两个连续正整数的乘积．参考答案一、选择题1.C 2．A 3．B 4．D 5. C 6. B6.解：由已知可以得到，点1P ，2P 的坐标分别为（2，0），（2，2-）．记222 )P a b （，，其中222,2a b ==-．根据对称关系，依次可以求得：322(42)P a b --，－－，422(2)P a b ++，4，522(2)P a b ---，，622(4)P a b +，．令662(,)P a b ，同样可以求得，点10P 的坐标为（624,a b +），即10P （2242,a b ⨯+），由于2010=4⨯502+2，所以点2010P 的坐标为（2010，2-）．二、填空题7．6 8.0 9．12 10．6. 11．6π 12．1212．解：设一次函数解析式为y kx b =+，则32k b =+，得32b k =-，令0y =得bx k=-，则OA ＝b k-．令0x =得y b =，则OA ＝b ．2221()21(32)2141292124]212.AOB b S b kk kk k k∆=⨯-⨯-=⨯--+=⨯-=⨯+≥ 所以，三角形AOB 面积的最小值为12．三、解答题13、原方程可化为0)3(322=+--k x x ，①（1）当△＝0时，833-=k ，4321==x x 满足条件；（2）若1=x 是方程①的根，得0)3(13122=+-⨯-⨯k ，4-=k ．此时方程①的另一个根为21，故原方程也只有一根21=x ；（3）当方程①有异号实根时，02321<+-=k x x ，得3->k ，此时原方程也只有一个正实数根；（4）当方程①有一个根为0时，3-=k ，另一个根为23=x ，此时原方程也只有一个正实根。

初三数学竞赛试题(含答案)

初三数学竞赛试题(含答案) 初三数学竞赛试题一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1.要使方程组 $3x+2y=a$，$2x+3y=2$ 的解是一对异号的数，则 $a$ 的取值范围是（）。

A) $4\sqrt{3}<a<3$B) $a<4\sqrt{3}$C) $a>3$D) $a>3$ 或 $a<4\sqrt{3}$2.一块含有 $30^\circ$ 角的直角三角形（如图），它的斜边 $AB=8$ cm，里面空心 $\triangle DEF$ 的各边与 $\triangle ABC$ 的对应边平行，且各对应边的距离都是 $1$ cm，那么$\triangle DEF$ 的周长是（）。

A) $5$ cmB) $6$ cmC) $(6-3)$ cmD) $(3+3)$ cm3.将长为 $15$ cm 的木棒截成长度为整数的三段，使它们构成一个三角形的三边，则不同的截法有（）。

A) $5$ 种B) $6$ 种C) $7$ 种D) $8$ 种4.作抛物线 $A$ 关于 $x$ 轴对称的抛物线 $B$，再将抛物线 $B$ 向左平移 $2$ 个单位，向上平移 $1$ 个单位，得到的抛物线 $C$ 的函数解析式是 $y=2(x+1)^2-1$，则抛物线$A$ 所对应的函数表达式是（）。

A) $y=-2(x+3)^2-2$B) $y=-2(x+3)^2+2$C) $y=-2(x-1)^2-2$D) $y=-2(x+3)^2+2$5.书架上有两套同样的教材，每套分上、下两册，在这四册教材中随机抽取两册，恰好组成一套教材的概率是（）。

A) $\frac{2}{11}$B) $\frac{3}{32}$C) $\frac{3}{26}$D) $\frac{3}{26}$6.如图，一枚棋子放在七边形 $ABCDEFG$ 的顶点处，现顺时针方向移动这枚棋子 $10$ 次，移动规则是：第 $k$ 次依次移动 $k$ 个顶点。

九年级(上)竞赛数学试卷(word版含答案解析)

九年级（上）竞赛数学试卷一、选择题（本大题共10小题,每小题3分,共30分）1．下列方程中,一元二次方程是（）A．x2+=0 B．ax2+bx=0C．（x﹣1）（x+2）=1 D．3x2﹣2xy﹣5y2=02．用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0时,原方程应变形为（）A．（x+1）2=6 B．（x﹣1）2=6 C．（x+2）2=9 D．（x﹣2）2=93．抛物线y=2x2﹣3的顶点在（）A．第一象限B．第二象限C．x轴上D．y轴上4．一元二次方x2﹣3x+3=0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个相等的实数根D．没有实数根5．二次函数y=﹣x2+2x的图象可能是（）A．B．C．D．6．二次函数y=2x2+mx+8的图象如图所示,则m的值是（）A．﹣8 B．8 C．±8 D．67．某超市一月份的营业额为200万元,三月份的营业额为288万元,如果每月比上月增长的百分数相同,则平均每月的增长（）A．10% B．15% C．20% D．25%8．抛物线y=x2向左平移3个单位,再向下平移2个单位后,所得的抛物线表达式是（）A．y=（x+3）2﹣2 B．y=（x﹣3）2+2 C．y=（x﹣3）2﹣2 D．y=（x+3）2+29．已知a、b满足（a2﹣b2）（a2﹣b2+4）+4=0,则代数式a2﹣b2的值为（）A．﹣2 B．4 C．﹣2或4 D．210．如图是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分给出下列命题:①a+b+c=0；②b＞2a；③3a+c=0；④a﹣b＜m（ma+b）（m≠﹣1的实数）；其中正确的命题是（）A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④二、填空题（每小题3分,共24分）11．当m=时,关于x的方程（m﹣3）﹣x=5是一元二次方程．12．抛物线y=ax2经过点（3,5）,则a=．13．已知（x2+y2+1）（x2+y2﹣3）=5,则x2+y2的值等于．14．一个长100m宽60m的游泳池扩建成一个周长为600m的大型水上游乐场,把游泳池的长增加xm,那么x等于多少时,水上游乐场的面积为20000m2？列出方程,能否求出x的值:（能或不能）．15．把一元二次方程（x﹣3）2=4化为一般形式为:,二次项为,一次项系数为,常数项为．16．如果抛物线y=x2﹣8x+c的顶点在x轴上,则c=．17．如图,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A（1,0）,B（3,0）两点,与y轴交于点C（0,3）,则二次函数的图象的顶点坐标是．18．如图,函数y=﹣（x﹣h）2+k的图象,则其解析式为．三、解答题（本大题共66分）19．解下列方程（1）x2﹣5x+1=0（2）（x+3）2=5（x+3）（3）（x﹣2）2﹣4=0．20．已知关于x的一元二次方程（2m﹣1）x2+3mx+5=0有一根是x=﹣1,求m的值．21．已知开口向上的抛物线y=ax2﹣2x+|a|﹣4经过点（0,﹣3）．（1）确定此抛物线的解析式；（2）当x取何值时,y有最小值,并求出这个最小值．22．如图,利用一面墙（墙的长度不超过45m）,用80m长的篱笆围一个矩形场地,怎样围才能使矩形场地的面积为750m2？23．某水果批发商场经销一种高档水果,如果每千克盈利10元,每天可售出500千克．经市场调查发现,在进货价不变的情况下,若每千克涨价1元,日销售量将减少20千克．（1）现该商场要保证每天盈利6 000元,同时又要顾客得到实惠,那么每千克应涨价多少元？（2）若该商场单纯从经济角度看,每千克这种水果涨价多少元,能使商场获利最多？24．在实数范围内定义一种新运算“△”,其规则为:a△b=a2﹣b2,根据这个规则:（1）求4△3的值；（2）求（x+2）△5=0中x的值．25．行驶中的汽车,在刹车后由于惯性的作用,还要向前方滑行一段距离才能停止,这段距离称为“刹车距离”,为了测定某种型号的汽车的刹车性能（车速不超过140km/h）,对这种汽车进行测试,测得数据如下表:0102030405060刹车时车速/km•h﹣1刹车距离/m00.3 1.0 2.1 3.6 5.57.8（1）以车速为x轴,以刹车距离为y轴,建立平面直角坐标系,根据上表对应值作出函数的大致图象；（2）观察图象估计函数的类型,并确定一个满足这些数据的函数解析式；（3）该型号汽车在国道发生了一次交通事故,现场测得刹车距离为46.5m,推测刹车时的车速是多少？请问事故发生时,汽车是超速行驶还是正常行驶？九年级（上）竞赛数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题,每小题3分,共30分）1．下列方程中,一元二次方程是（）A．x2+=0 B．ax2+bx=0C．（x﹣1）（x+2）=1 D．3x2﹣2xy﹣5y2=0【考点】A1:一元二次方程的定义．【分析】根据一元二次方程的定义:未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证,满足这四个条件者为正确答案．【解答】解:A、是分式方程,故A错误；B、a=0时是一元一次方程,故B错误；C、是元二次方程,故C正确；D、是二元二次方程,故D错误；故选:C．2．用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0时,原方程应变形为（）A．（x+1）2=6 B．（x﹣1）2=6 C．（x+2）2=9 D．（x﹣2）2=9【考点】A6:解一元二次方程﹣配方法．【分析】方程常数项移到右边,两边加上1变形即可得到结果．【解答】解:方程移项得:x2﹣2x=5,配方得:x2﹣2x+1=6,即（x﹣1）2=6．故选:B3．抛物线y=2x2﹣3的顶点在（）A．第一象限B．第二象限C．x轴上D．y轴上【考点】H3:二次函数的性质．【分析】已知抛物线解析式为顶点式,根据顶点坐标的特点,直接写出顶点坐标,再判断顶点位置．【解答】解:由y=2x2﹣3得:抛物线的顶点坐标为（0,﹣3）,∴抛物线y=2x2﹣3的顶点在y轴上,故选D．4．一元二次方x2﹣3x+3=0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个相等的实数根D．没有实数根【考点】AA:根的判别式．【分析】求出一元二次方程根的判别式；根据根的判别式即可判断根的情况．【解答】解:∵△=b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×3=﹣3＜0,∴方程没有实数根,故选:D．5．二次函数y=﹣x2+2x的图象可能是（）A．B．C．D．【考点】H2:二次函数的图象．【分析】利用排除法解决:首先由a=﹣1＜0,可以判定抛物线开口向下,去掉A、C；再进一步由对称轴x=﹣=1,可知B正确,D错误；由此解决问题．【解答】解:∵y=﹣x2+2x,a＜0,∴抛物线开口向下,A、C不正确,又∵对称轴x=﹣=1,而D的对称轴是x=0,∴只有B符合要求．故选:B．6．二次函数y=2x2+mx+8的图象如图所示,则m的值是（）A．﹣8 B．8 C．±8 D．6【考点】HA:抛物线与x轴的交点．【分析】根据抛物线与x轴只有一个交点,△=0,列式求出m的值,再根据对称轴在y轴的左边求出m的取值范围,从而得解．【解答】解:由图可知,抛物线与x轴只有一个交点,所以,△=m2﹣4×2×8=0,解得m=±8,∵对称轴为直线x=﹣＜0,∴m＞0,∴m的值为8．故选B．7．某超市一月份的营业额为200万元,三月份的营业额为288万元,如果每月比上月增长的百分数相同,则平均每月的增长（）A．10% B．15% C．20% D．25%【考点】AD:一元二次方程的应用．【分析】设平均每月的增长率为x,原数为200万元,后来数为288万元,增长了两个月,根据公式“原数×（1+增长百分率）2=后来数”得出方程,解出即可．【解答】解:设平均每月的增长率为x,根据题意得:200（1+x）2=288,（1+x）2=1.44,x1=0.2=20%,x2=﹣2.2（舍去）,答:平均每月的增长率为20%．故选C．8．抛物线y=x2向左平移3个单位,再向下平移2个单位后,所得的抛物线表达式是（）A．y=（x+3）2﹣2 B．y=（x﹣3）2+2 C．y=（x﹣3）2﹣2 D．y=（x+3）2+2【考点】H6:二次函数图象与几何变换．【分析】变化规律:左加右减,上加下减．【解答】解:按照“左加右减,上加下减”的规律,y=x2向左平移3个单位,再向下平移2个单位得y=（x+3）2﹣2．故选A．9．已知a、b满足（a2﹣b2）（a2﹣b2+4）+4=0,则代数式a2﹣b2的值为（）A．﹣2 B．4 C．﹣2或4 D．2【考点】A9:换元法解一元二次方程．【分析】设x=a2+b2,方程化为关于x的一元二次方程,求出方程的解即可得到a2+b2的值．【解答】解:设x=a2﹣b2,方程化为x2+4x+4=0,∴（x+2）2=0,解得:x=﹣2,∴a2﹣b2=﹣2,故选:A．10．如图是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分给出下列命题:①a+b+c=0；②b＞2a；③3a+c=0；④a﹣b＜m（ma+b）（m≠﹣1的实数）；其中正确的命题是（）A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④【考点】H4:二次函数图象与系数的关系．【分析】根据抛物线经过（1,0）,确定a+b+c的符号；根据对称轴方程确定b与2a的关系；由①②的结论判断③；根据a＞0,（m+1）2＞0,确定a（m+1）2＞0,经过整理即可得出a﹣b＜m（ma+b）．【解答】解:∵x=1时,y=0,∴a+b+c=0,①正确；∵﹣=﹣1,∴b=2a,②错误；由a+b+c=0和b=2a得,3a+c=0,③正确；∵m≠﹣1,∴（m+1）2＞0,∵a＞0,∴a（m+1）2＞0,∴am2+2am+a＞0,∵b=2a,∴a﹣b=﹣a∴am2+bm＞a﹣b,∴a﹣b＜m（am+b）,④正确,故选:D．二、填空题（每小题3分,共24分）11．当m=﹣3时,关于x的方程（m﹣3）﹣x=5是一元二次方程．【考点】A1:一元二次方程的定义．【分析】根据一元二次方程的定义进行解答．【解答】解:依题意得:m2﹣7=2,且m﹣3≠0,解得m=﹣3,故答案是:﹣3．12．抛物线y=ax2经过点（3,5）,则a=．【考点】H5:二次函数图象上点的坐标特征．【分析】此题考查了待定系数法,把点代入即可求得．【解答】解:把点（3,5）代入y=ax2中,得:9a=5,解得a=．13．已知（x2+y2+1）（x2+y2﹣3）=5,则x2+y2的值等于4．【考点】A9:换元法解一元二次方程；A8:解一元二次方程﹣因式分解法．【分析】首先把x2+y2当作一个整体,设x2+y2=k,方程即可变形为关于k的一元二次方程,解方程即可求得k即x2+y2的值．【解答】解:设x2+y2=k∴（k+1）（k﹣3）=5∴k2﹣2k﹣3=5,即k2﹣2k﹣8=0∴k=4,或k=﹣2又∵x2+y2的值一定是非负数∴x2+y2的值是4．故答案为:4．14．一个长100m宽60m的游泳池扩建成一个周长为600m的大型水上游乐场,把游泳池的长增加xm,那么x等于多少时,水上游乐场的面积为20000m2？列出方程（x+100）=20000,能否求出x的值:能（能或不能）．【考点】AC:由实际问题抽象出一元二次方程．【分析】如果把游泳池的长增加xm,那么游乐场的长和宽分别为和,然后矩形根据面积公式可列出方程．【解答】解:由于游泳池的长增加xm,那么游乐场的长和宽分别为和,即（x+100）=20000,解得x=100．故填空答案:（x+100）=20000,能．15．把一元二次方程（x﹣3）2=4化为一般形式为:x2﹣6x+5=0,二次项为x2,一次项系数为﹣6,常数项为5．【考点】A2:一元二次方程的一般形式．【分析】一元二次方程的一般形式是:ax2+bx+c=0（a,b,c是常数且a≠0）,在一般形式中ax2叫二次项,bx叫一次项,c是常数项．其中a,b,c分别叫二次项系数,一次项系数,常数项．【解答】解:把一元二次方程（x﹣3）2=4化为一般形式为:x2﹣6x+5=0,二次项为x2,一次项系数为﹣6,常数项为5．16．如果抛物线y=x2﹣8x+c的顶点在x轴上,则c=16．【考点】H3:二次函数的性质．【分析】顶点在x轴上,所以顶点的纵坐标是0．据此作答．【解答】解:根据题意,得=0,解得c=16．故答案为:16．17．如图,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A（1,0）,B（3,0）两点,与y轴交于点C（0,3）,则二次函数的图象的顶点坐标是（2,﹣1）．【考点】H8:待定系数法求二次函数解析式；H3:二次函数的性质．【分析】已知抛物线与x轴有两个交点时,可选择设其解析式为交点式来求解．【解答】解:设解析式为:y=a（x﹣x1）（x﹣x2）（a≠0）,即y=a（x﹣1）（x﹣3）把点C（0,3）,代入得a=1．则y=（x﹣1）（x﹣3）=x2﹣4x+3．所以图象的顶点坐标是（2,﹣1）．18．如图,函数y=﹣（x﹣h）2+k的图象,则其解析式为y=﹣（x+1）2+5．【考点】H8:待定系数法求二次函数解析式．【分析】根据图象得出顶点的坐标,即可求得解析式．【解答】解:由图象可知抛物线的顶点坐标为（﹣1,5）所以函数的解析式为y=﹣（x+1）2+5．故答案为y=﹣（x+1）2+5．三、解答题（本大题共66分）19．解下列方程（1）x2﹣5x+1=0（2）（x+3）2=5（x+3）（3）（x﹣2）2﹣4=0．【考点】A8:解一元二次方程﹣因式分解法；A5:解一元二次方程﹣直接开平方法；A7:解一元二次方程﹣公式法．【分析】（1）利用求根公式法解方程；（2）先移项得到（x+3）2﹣5（x+3）=0,然后利用因式分解法解方程；（3）利用因式分解法解方程．【解答】解:（1）△=52﹣4×1=21,x=所以x1=,x2=；（2）（x+3）2﹣5（x+3）=0,（x+3）（x+3﹣5）=0,x+3=0或x+3﹣5=0,所以x1=﹣3,x2=2；（3）（x﹣2+2）（x﹣2﹣2）=0,x﹣2+2=0或x﹣2﹣2=0,所以x1=0,x2=4．20．已知关于x的一元二次方程（2m﹣1）x2+3mx+5=0有一根是x=﹣1,求m的值．【考点】A3:一元二次方程的解；A1:一元二次方程的定义．【分析】把方程的根代入方程,可以求出字母系数m值．【解答】解:把x=﹣1代入方程有:2m﹣1﹣3m+5=0,∴m=4．即m的值是4．21．已知开口向上的抛物线y=ax2﹣2x+|a|﹣4经过点（0,﹣3）．（1）确定此抛物线的解析式；（2）当x取何值时,y有最小值,并求出这个最小值．【考点】H8:待定系数法求二次函数解析式；H7:二次函数的最值．【分析】（1）把已知点的坐标代入抛物线解析式求出a的值,确定出解析式即可；（2）利用二次函数性质求出y的最小值,以及此时x的值即可．【解答】解:（1）把（0,﹣3）代入抛物线解析式得:9a+6+|a|﹣4=0,当a＞0时,方程化简得:10a=﹣2,解得:a=﹣0.2；当a＜0时,方程化简得:8a=﹣2,解得:a=﹣0.25,则抛物线解析式为y=﹣0.2x2﹣2x﹣3.8或y=﹣0.25x2﹣2x﹣3.75；（2）抛物线解析式为y=﹣0.2x2﹣2x﹣3.8,当x=5时,y取得最小值,最小值为﹣18.8；抛物线解析式为y=﹣0.25x2﹣2x﹣3.75,当x=4时,y取得最小值,最小值为15.75．22．如图,利用一面墙（墙的长度不超过45m）,用80m长的篱笆围一个矩形场地,怎样围才能使矩形场地的面积为750m2？【考点】AD:一元二次方程的应用．【分析】根据题意可以设平行于墙的一边长为xm,从而可以列出相应的方程,从而可以解答本题．【解答】解:平行于墙的一边长为xm,则x（）=750,解得x1=30,x2=50,∵墙的长度不超过45m,∴x=50不符合题意,舍去,∴x=30,∴=25,即矩形的平行于墙的一边长为30m,垂直于墙的一边长为25m时,矩形场地的面积为750m2．23．某水果批发商场经销一种高档水果,如果每千克盈利10元,每天可售出500千克．经市场调查发现,在进货价不变的情况下,若每千克涨价1元,日销售量将减少20千克．（1）现该商场要保证每天盈利6 000元,同时又要顾客得到实惠,那么每千克应涨价多少元？（2）若该商场单纯从经济角度看,每千克这种水果涨价多少元,能使商场获利最多？【考点】HE:二次函数的应用；H7:二次函数的最值．【分析】本题的关键是根据题意列出一元二次方程,再求其最值．【解答】解:（1）设每千克应涨价x元,则（10+x）=6 000解得x=5或x=10,为了使顾客得到实惠,所以x=5．（2）设涨价z元时总利润为y,则y=（10+z）=﹣20z2+300z+5 000=﹣20（z2﹣15z）+5000=﹣20（z2﹣15z+﹣）+5000=﹣20（z﹣7.5）2+6125当z=7.5时,y取得最大值,最大值为6 125．答:（1）要保证每天盈利6000元,同时又使顾客得到实惠,那么每千克应涨价5元；（2）若该商场单纯从经济角度看,每千克这种水果涨价7.5元,能使商场获利最多．24．在实数范围内定义一种新运算“△”,其规则为:a△b=a2﹣b2,根据这个规则:（1）求4△3的值；（2）求（x+2）△5=0中x的值．【考点】2C:实数的运算．【分析】（1）根据题意可得代数式42﹣32,再计算即可；（2）根据题意可得方程:（x+2）2﹣25=0,再利用直接开平方法解方程即可．【解答】解:（1）4△3=42﹣32=16﹣9=7；（2）由题意得:（x+2）2﹣25=0,（x+2）2=25,x+2=±5,x+2=5或x+2=﹣5,解得:x1=3,x2=﹣7．25．行驶中的汽车,在刹车后由于惯性的作用,还要向前方滑行一段距离才能停止,这段距离称为“刹车距离”,为了测定某种型号的汽车的刹车性能（车速不超过140km/h）,对这种汽车进行测试,测得数据如下表:0102030405060刹车时车速/km•h﹣1刹车距离/m00.3 1.0 2.1 3.6 5.57.8（1）以车速为x轴,以刹车距离为y轴,建立平面直角坐标系,根据上表对应值作出函数的大致图象；（2）观察图象估计函数的类型,并确定一个满足这些数据的函数解析式；（3）该型号汽车在国道发生了一次交通事故,现场测得刹车距离为46.5m,推测刹车时的车速是多少？请问事故发生时,汽车是超速行驶还是正常行驶？【考点】HE:二次函数的应用．【分析】（1）依题意描点连线即可．（2）设抛物线为y=ax2+bx+c,再根据表格中所给数据可得方程,解出a,b,c即可．（3）当y=46.5时,代入函数关系式解出x的值,根据题意进行取舍即可．【解答】解:（1）如图所示:（2）根据图象可估计为抛物线．∴设y=ax2+bx+c．把表内前三对数代入函数,可得,解得:,∴y=0.002x2+0.01x．经检验,其他各数均满足函数（或均在函数图象上）；（3）当y=46.5时,46.5=0.002x2+0.01x．整理可得x2+5x﹣23250=0．解之得x1=150,x2=﹣155（不合题意,舍去）．所以可以推测刹车时的速度为150千米/时．∵150＞140,∴汽车发生事故时超速行驶．。

九年级(上册)数学竞赛试题与答案

者相中学2016年秋季九年级（上）数学竞赛试卷（考试时间：120分钟满分120分）班级得分一、选择题（每小题4分，共32分）1．下列车标图案中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．对于二次函数y=（x﹣1）2+2的图象，下列说确的是（）A．开口向下B．对称轴是x=﹣1C．顶点坐标是（1，2）D．与x轴有两个交点3．某商品经过两次连续降价，每件售价由原来的100元降到了64元．设平均每次降价的百分率为x，则下列方程中正确的是（）A．100（1+x）2=64 B．64（1+x）2=100C．64（1﹣x）2=100 D．100（1﹣x）2=644．将抛物线y=x2沿y轴向上平移一个单位后得到的新抛物线的解析式为（）A．y=（x+1）2B．y=（x﹣1）2C．y=x2+1 D．y=x2﹣15．已知抛物线y=x2﹣x﹣2与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2016的值为（）A．2015 B．2016 C．2017 D．20186．半径为R的圆接正六边形的面积是（）A．R2B． R2C． R2D． R27．75°的圆心角所对的弧长是2.5πcm，则此弧所在圆的半径是（）A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm8．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=70°，将△ABC绕点A顺时针旋转70°，B、C旋转后的对应点分别是B′和C′，连接BB′，则∠BB′C′的度数是（）A．35° B．40° C．45° D．50°二、填空题（每小题4分，共20分）9．二次函数y=（x﹣1）2﹣2的顶点与x轴的交点所围成图形的的面积是______．10．如图，⊙O的直径CD=10，AB是⊙O的弦，AB⊥CD于M，且CM=2，则AB的长为______．11．已知二次函数y=x2+bx+c的图象如图所示，则关于x的方程x2+bx+c=0的解为x1=______，x2= .12．如图，两圆圆心相同，大圆的弦AB与小圆相切，AB=8，则图中阴影部分的面积是______．（结果保留π）13．如图，边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG，EF交AD于点H，那么DH的长是______．三、解答题（共6小题，共68分）14．（10分）如图，将四边形ABCD绕原点O旋转180°得四边形A′B′C′D′．（1）画出旋转后的四边形A′B′C′D′；（2）写出A′、B′、C′、D′的坐标；（3）若每个小正方形的边长是1，请直接写出四边形ABCD的面积．15．(10分)如图是二次函数y=a（x+1）2+2的图象的一部分，根据图象回答下列问题．（1）抛物线与x轴的一个交点的坐标是______，则抛物线与x轴的另一个交点B的坐标是______；（2）确定a的值；（3）设抛物线的顶点是P，试求△PAB的面积．16．（10分）如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，⊙O为切圆，E、F为切点．（1）试猜DO与AO的位置关系，并说明理由．（2）若AO=4cm，DO=3cm，求⊙O的面积．17．（12分）兴隆镇某养鸡专业户准备建造如图所示的矩形养鸡场，要求长与宽的比为2：1，在养鸡场，沿前侧墙保留3m宽的走道，其他三侧墙各保留1m宽的走道，当矩形养鸡场长和宽各为多少时，鸡笼区域面积是288m2？18．（12分）如图，点B、C、D都在半径为6的⊙O上，过点C作AC∥BD交OB 的延长线于点A，连接CD，已知∠CDB=∠OBD=30°．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）求弦BD的长；（3）求图中阴影部分的面积．19．（14分）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，B（3，5），抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于点C，D两点，且经过点B．（1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线上是否存在点F，使得△ACF的面积等于5，若存在，求出点F的坐标；若不存在，说明理由；（3）点M（4，k）在抛物线上，连接CM，求出在坐标轴的点P，使得△PCM是以∠PCM为顶角以CM为腰的等腰三角形，请直接写出P点的坐标．者相中学九年级（上）数学竞赛试题试卷参考答案与试题解析一、选择题1．下列车标图案中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【考点】中心对称图形．【分析】根据中心对称图形的概念求解即可．【解答】解：A、不是中心对称图形，本选项错误；B、不是中心对称图形，本选项错误；C、是中心对称图形，本选项正确；D、不是中心对称图形，本选项错误．故选C．2．对于二次函数y=（x﹣1）2+2的图象，下列说确的是（）A．开口向下B．对称轴是x=﹣1C．顶点坐标是（1，2）D．与x轴有两个交点【考点】二次函数的性质．【分析】根据抛物线的性质由a=1得到图象开口向上，根据顶点式得到顶点坐标为（1，2），对称轴为直线x=1，从而可判断抛物线与x轴没有公共点．【解答】解：二次函数y=（x﹣1）2+2的图象开口向上，顶点坐标为（1，2），对称轴为直线x=1，抛物线与x轴没有公共点．故选：C．3．某商品经过两次连续降价，每件售价由原来的100元降到了64元．设平均每次降价的百分率为x，则下列方程中正确的是（）A．100（1+x）2=64 B．64（1+x）2=100 C．64（1﹣x）2=100 D．100（1﹣x）2=64【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【分析】设平均每次降价的百分率为x，则等量关系为：原价×（1﹣x）2=现价，据此列方程．【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，由题意得，100×（1﹣x）2=64故选D．4．将抛物线y=x2沿y轴向上平移一个单位后得到的新抛物线的解析式为（）A．y=（x+1）2B．y=（x﹣1）2C．y=x2+1 D．y=x2﹣1【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】直接根据平移规律作答即可．【解答】解：将抛物线y=x2沿y轴向上平移一个单位后得到的新抛物线的解析式为y=x2+1，故选C．5．已知抛物线y=x2﹣x﹣2与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2016的值为（）A．2015 B．2016 C．2017 D．2018【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】直接利用抛物线上点的坐标性质进而得出m2﹣m=2，即可得出答案．【解答】解：∵抛物线y=x2﹣x﹣2与x轴的一个交点为（m，0），∴m2﹣m﹣2=0，∴m2﹣m=2，∴m2﹣m+2016=2+2016=2018．故选：D．6．半径为R的圆接正六边形的面积是（）A．R2B． R2C． R2D． R2【考点】正多边形和圆．【分析】利用正六边形的特点，它被半径分成六个全等的等边三角形．【解答】解：连接正六边形的中心与各个顶点，得到六个等边三角形，等边三角形的边长是R，因而面积是=，因而正六边形的面积是6×=R2．故选：C．7．75°的圆心角所对的弧长是2.5πcm，则此弧所在圆的半径是（）A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm【考点】弧长的计算．【分析】根据弧长公式L=，将n=75，L=2.5π，代入即可求得半径长．【解答】解：∵75°的圆心角所对的弧长是2.5πcm，由L=，∴2.5π=，解得：r=6，故选：A．8．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=70°，将△ABC绕点A顺时针旋转70°，B、C旋转后的对应点分别是B′和C′，连接BB′，则∠BB′C′的度数是（）A．35° B．40° C．45° D．50°【考点】旋转的性质．【分析】首先在△ABB'中根据等边对等角，以及三角形角和定理求得∠ABB'的度数，然后在直角△BB'C中利用三角形角和定理求解．【解答】解：∵AB=AB'，∴∠ABB'=∠AB'B===55°，在直角△BB'C中，∠BB'C=90°﹣55°=35°．故选A．二、填空题9．二次函数y=（x﹣1）2﹣2的顶点与x轴的交点所围成图形的面积是坐 4 ．10．如图，⊙O的直径CD=10，AB是⊙O的弦，AB⊥CD于M，且CM=2，则AB的长为8 ．【考点】垂径定理；勾股定理．【分析】连接OA，求得OA和OM的长，在直角△OAM中利用勾股定理求得AM的长，然后根据AB=2AM即可求解．【解答】解：连接OA．则OA=OC=CD=5．则OM=OC﹣CM=5﹣3=3．在直角△OAM中，AM===4．∵AB⊥CD于M，∴AB=2AM=8．故答案是：8．11．已知二次函数y=x2+bx+c的图象如图所示，则关于x的方程x2+bx+c=0的解为x1= ﹣1 ，x2= 3 ．【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】抛物线与x轴的交点的横坐标就是x的值．【解答】解：关于x的方程x2+bx+c=0的解为x1=﹣1，x2=3．故答案是：﹣1．12．如图，两圆圆心相同，大圆的弦AB与小圆相切，AB=8，则图中阴影部分的面积是16π．（结果保留π）【考点】切线的性质；勾股定理；垂径定理．【分析】设AB与小圆切于点C，连结OC，OB，利用垂径定理即可求得BC的长，根据圆环（阴影）的面积=π•OB2﹣π•OC2=π（OB2﹣OC2），以及勾股定理即可求解．【解答】解：设AB与小圆切于点C，连结OC，OB．∵AB与小圆切于点C，∴OC⊥AB，∴BC=AC=AB=×8=4．∵圆环（阴影）的面积=π•OB2﹣π•OC2=π（OB2﹣OC2）又∵直角△OBC中，OB2=OC2+BC2∴圆环（阴影）的面积=π•OB2﹣π•OC2=π（OB2﹣OC2）=π•BC2=16π．故答案为：16π．13．如图，边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG，EF交AD于点H，那么DH的长是．【考点】正方形的性质；旋转的性质；解直角三角形．【分析】连接CH，可知△CFH≌△CDH（HL），故可求∠DCH的度数；根据三角函数定义求解．【解答】解：连接CH．∵四边形ABCD，四边形EFCG都是正方形，且正方形ABCD绕点C旋转后得到正方形EFCG，∴∠F=∠D=90°，∴△CFH与△CDH都是直角三角形，在Rt△CFH与Rt△CDH中，∵，∴△CFH≌△CDH（HL）．∴∠DCH=∠DCF=（90°﹣30°）=30°．在Rt△CDH中，CD=3，∴DH=tan∠DCH×CD=．故答案为：．三、解答题14．如图，将四边形ABCD绕原点O旋转180°得四边形A′B′C′D′．（1）画出旋转后的四边形A′B′C′D′；（2）写出A′、B′、C′、D′的坐标；（3）若每个小正方形的边长是1，请直接写出四边形ABCD的面积．【考点】作图-旋转变换．【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C、D关于原点对称的点A′、B′、C′、D′的位置，然后顺次连接即可；（2）根据平面直角坐标系写出各点的坐标即可；（3）利用四边形所在的矩形的面积减去四周四个小直角三角形和一个小正方形的面积，列式计算即可得解．【解答】解：（1）四边形A′B′C′D′如图所示；（2）A′（2，1）、B′（﹣2，2）、C′（﹣1，﹣2）、D′（1，﹣1）；（3）S四边形ABCD=4×4﹣×1×4﹣×1×4﹣×1×2﹣×1×2﹣1×1，=16﹣2﹣2﹣1﹣1﹣1，=16﹣7，=9．15．如图是二次函数y=a（x+1）2+2的图象的一部分，根据图象回答下列问题．（1）抛物线与x轴的一个交点的坐标是（﹣3，0），则抛物线与x轴的另一个交点B的坐标是（1，0）；（2）确定a的值；（3）设抛物线的顶点是P，试求△PAB的面积．【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】（1）由图象可求得A点的坐标，由解析式可求得抛物线的对称轴方程，利用图象的对称性可求得B点坐标；（2）把B点坐标代入抛物线解析式可求得a的值；（3）由抛物线解析式可求得P点坐标，再结合A、B坐标可求得AB的值，则可求得△PAB的面积．【解答】解：（1）由图象可知A点坐标为（﹣3，0），∵y=a（x+1）2+2，∴抛物线对称轴方程为x=﹣1，∵A、B两点关于对称轴对称，∴B的坐标为（1，0），故答案为：（﹣3，0）；（1，0）；（2）将（1，0）代入y=a（x+1）2+2，可得0=4a+2，解得a=﹣；（3）∵y=a（x+1）2+2，∴抛物线的顶点坐标是（﹣1，2），∵A（﹣3，0），B（1，0），∴AB=X B﹣X A=1﹣（﹣3）=4，∴S△PAB=×4×2=4．16．如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，⊙O为切圆，E、F为切点．（1）试猜DO与AO的位置关系，并说明理由．（2）若AO=4cm，DO=3cm，求⊙O的面积．【考点】切线的性质；梯形．【分析】（1）由⊙O是梯形ABCD的切圆，易得DE和DF是⊙O的两条切线，即可得∠ADO+∠DAO=（∠ADC+∠DAB），又由AB∥CD，可得∠ADO+∠DAO=90°，继而证得结论；（2）由AO=4cm，DO=3cm，可求得AD的长，继而求得EO的长，则可求得答案．【解答】解：（1）AO⊥DO．理由：∵⊙O是梯形ABCD的切圆，∴DE和DF是⊙O的两条切线，∴∠ADO=∠CDO=∠ADC．同理可得：∠DAO=∠DAB．∴∠ADO+∠DAO=（∠ADC+∠DAB），∵AB∥CD，∴∠ADC+∠DAB=180°，∴∠ADO+∠DAO=×180°=90°，∵∠AOD=180°﹣（∠ADO+∠DAO）=90°，∴AO⊥DO；（2）∵DO=3cm AO=4cm，∠AOD=90°∴AD==5 cm，在Rt△AOD中，EO⊥AD，∴AD•EO=DO•AO，即5 EO=3×4，解得EO=cm，∴S⊙O=πEO2=π （）2=π．17．兴隆镇某养鸡专业户准备建造如图所示的矩形养鸡场，要求长与宽的比为2：1，在养鸡场，沿前侧墙保留3m宽的走道，其他三侧墙各保留1m宽的走道，当矩形养鸡场长和宽各为多少时，鸡笼区域面积是288m2？【考点】一元二次方程的应用．【分析】等量关系为：（鸡场的长﹣4）（鸡场的宽﹣2）=288，把相关数值代入求得合适的解即可．【解答】解：设鸡场的宽为xm，则长为2xm．（2x﹣4）（x﹣2）=288，（x﹣14）（x+10）=0，解得x=14，或x=﹣10（不合题意，舍去）．∴2x=28．答：鸡场的长为28m，宽为14m．18．如图，点B、C、D都在半径为6的⊙O上，过点C作AC∥BD交OB的延长线于点A，连接CD，已知∠CDB=∠OBD=30°．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）求弦BD的长；（3）求图中阴影部分的面积．【考点】切线的判定；垂径定理的应用；扇形面积的计算．【分析】（1）连接OC，OC交BD于E，由∠CDB=∠OBD可知，CD∥AB，又AC∥BD，四边形ABDC为平行四边形，则∠A=∠D=30°，由圆周角定理可知∠COB=2∠D=60°，由角和定理可求∠OCA=90°，证明切线；（2）利用（1）中的切线的性质和垂径定理以及解直角三角形来求BD的长度；（3）证明△OEB≌△CED，将阴影部分面积问题转化为求扇形OBC的面积．【解答】（1）证明：连接OC，OC交BD于E，∵∠CDB=30°，∴∠COB=2∠CDB=60°，∵∠CDB=∠OBD，∴CD∥AB，又∵AC∥BD，∴四边形ABDC为平行四边形，∴∠A=∠D=30°，∴∠OCA=180°﹣∠A﹣∠COB=90°，即OC⊥AC又∵OC是⊙O的半径，∴AC是⊙O的切线；（2）解：由（1）知，OC⊥AC．∵AC∥BD，∴OC⊥BD，∴BE=DE，∵在直角△BEO中，∠OBD=30°，OB=6，∴BE=OBcos30°=3，∴BD=2BE=6；（3）解：易证△OEB≌△CED，∴S阴影=S扇形BOC∴S阴影==6π．答：阴影部分的面积是6π．19．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，B（3，5），抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于点C，D两点，且经过点B．（1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线上是否存在点F，使得△ACF的面积等于5，若存在，求出点F的坐标；若不存在，说明理由；（3）点M（4，k）在抛物线上，连接CM，求出在坐标轴的点P，使得△PCM是以∠PCM为顶角以CM为腰的等腰三角形，请直接写出P点的坐标．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式；（2）利用△ACF的面积等于5直接建立方程求出F点的纵坐标，代入抛物线解析式解方程即可；（3）先求出CM=3，再分点P在x轴和y轴上，用CM=CP求出点P的坐标．【解答】（1）∵B（3，5），∴OA=3，AB=5，∵AB=AC，∴OC=AC﹣OA=5﹣3=2，即点C的坐标是（﹣2，0），∵点C（﹣2，0）和点B（3，5）在抛物线y=﹣x2+bx+c上∴将其代入得，∴，∴抛物线的表达式是y=﹣x2+x+5，（2）假设抛物线上存在点F使得S△ACF=5，则设点F的坐标是（a，b）∵AC|b|=5，∴×5|b|=5，解得b=±2，将F（a，2）和F（a，﹣2）分别代入y=﹣x2+x+5中得﹣a2+a+5=2，﹣a2+a+5=﹣2解得a1= a2= a3= a4=所以符合条件的点F有四个，它们分别是F1（，2），F2（，2），F3（，﹣2）F4（，﹣2），（3）点M（4，k）在抛物线y=﹣x2+x+5的图象上，∴k=3，∴M（4，3），∵C（﹣2，0），∴CM=3①当点P在x轴上时，设P（p，0），∴CP=|p+2|，∵△PCM是以∠PCM为顶角以CM为腰的等腰三角形．∴CM=CP，∴|p+2|=3，∴p=﹣2±3，∴P1（﹣3﹣2，0）P2（3﹣2，0），②当点P在y轴上时，设P（0，h），∴PC==3，∴h=±，∴P3（0，） P4（0，﹣）．符合条件的P点有四个，它们分别是P1（﹣3﹣2，0）P2（3﹣2，0），P3（0，） P4（0，﹣）．2016年9月19日。

人教版九年级数学上学期竞赛试卷及答案

人教版九年级数学上学期竞赛试卷及答案一、选择题（本题共计 12 小题，每题 3 分，共计36分，） 1. 在国庆节的一次同学聚会上，每人都向其他人赠送了一份小礼品，共互送110份小礼品，则参加聚会的同学有（） A.9人 B.10人 C.11人 D.12人 2. 三角形两边的长分别是12和16，第三边的长是一元二次方程x 2−32x +240=0的一个实数根，则该三角形的面积是( ) A.96 B.96或32√5 C.48 D.32√5 3. 方程(m −2)x 2−√3−mx +14=0有两个实数根，则m 的取值范围( ) A.m >52 B.m ≤52且m ≠2 ;C.m ≥3 D.m ≤3且m ≠2 4. a ，b ，c 为常数，且a ，c 互为相反数，则关于x 的方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)根的情况( ) A.无实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.有一根为5 5. 把抛物线y =−2x 2+4的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是( ) A.y =−2(x −2)2+7 B.y =−2(x −2)2+1 C.y =−2(x +2)2+1 D.y =−2(x +2)2+7 6. 如图，已知二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)图像过点(−1,0)，顶点为 (1,2)，则结论：①abc <0；②x =1时，函数的最大值是2；③a +2b +4c >0；④2a =−b ；⑤2c >3b ．其中正确的结论有( ) A.5个 B.4个 C.3个 D.2个7. 抛物线y =−3x 2−1是由抛物线y =−3(x +1)2+1怎样平移得到的（）A.左移1个单位上移2个单位B.右移1个单位上移2个单位学校：班级：姓名：准考证号：C.左移1个单位下移2个单位D.右移1个单位下移2个单位8. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90∘，AB=2√3，BC=2，以AB的中点O为圆心，OA的长为半径作半圆交AC于点D，则图中阴影部分的面积为( )A.5√34−π2B.5√34+π2C.2√3−πD.4√3−π29. 如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以其边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，如果AB=2，那么此莱洛三角形（即阴影部分）的面积( )A.π+√3B.π−√3C.2π−2√3D.2π−√310. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，若它的一个外角∠DCE=70∘，则∠BOD的度数是( )A.35∘B.70∘C.110∘D.140∘11. 从−2，3，4，5中随机选取一个数作为二次函数y=ax2中a的值，则抛物线开口向下的概率是( )A.1B.12C.14D.3412. 平移小菱形可以得到美丽的“中国结”图案，下面四个图案是小菱形平移后得到的类似“中国结”的图案，按图中规律，第20个图案中，小菱形的个数是( )A.800B.900C.1000D.1100二、填空题（本题共计4 小题，每题3 分，共计12分，）13. 国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．2017年至2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元．设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x，则可列方程为________.14. 已知m是一元二次方程x2−x−2=0的一个根，则2020−m2+m的值为________.15. 明明和亮亮分别解同一道一元二次方程，明明把一次项系数看错了，解得方程的两个根分别为−3和5，亮亮把常数项看错了，解得两根为2和2，则原方程是________.16. 若实数p，q(p≠q)满足p2−5p+6=0，q2−5q+6=0，则1p2+1q2的值为________.三、解答题（本题共计7 小题，共计72分，）17.(10分) 解方程：(1)x2+4x−4=0；(2)3x(2x+1)=4x+2.18.(10分) 已知a，b是关于x的一元二次方程x2−2(m+1)x+m2+5=0的两实数根．(1)若(a−1)(b−1)=39，求m的值；(2)已知等腰△AOB的一边长为7，若a，b恰好是△AOB另外两边的边长，求这个三角形的周长．19.(11分) 某网店专售一品牌牙膏，其成本为22元/支，销售中发现，该商品每天的销售量y（支）与销售单价x（元/支）之间存在如图所示的关系．(1)请求出y与x之间的函数关系式；(2)该品牌牙膏销售单价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少元？(3)在武汉爆发“新型冠状病毒”疫情期间，该网店店主决定从每天获得的利润中抽出100元捐赠给武汉，为了保证捐款后每天剩余的利润不低于350元，市场监督管理局加大了对线上、线下商品销售的执法力度，对商品售价超过成本价的20%的商家进行处罚，请你给该网店店主提供一个合理化的销售单价范围．20.(10分) 嘉嘉同学用配方法推导二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标，她是这样做的：由于a≠0，解析式y=ax2+bx+c变形为y=a(x2+bax)+c，···························································第一步y=a[x2+ba x+(b2a)2−(b2a)2]+c，·······················第二步y=a(x+b2a )2−b24a+c，················································第三步y=a(x+b2a )2+b2−4ac4a．···········································第四步(1)嘉嘉的解法从第________步开始出现错误；事实上，抛物线y=ax2+ bx+c(a≠0)的顶点坐标是________.(2)用配方法求抛物线y=2x2−4x−3的顶点坐标和对称轴．21.(10分) 为了解我校落实新课改精神的情况，现以我校某班的同学参加课外活动的情况为样本，对其参加“球类”、“绘画类”、“舞蹈类”、“音乐类”、“棋类”活动的情况进行调查统计，并绘制了如图所示的统计图．(1)参加音乐类活动的学生人数为________人，参加球类活动的人数的百分比为________；(2)请把图2（条形统计图）补充完整；(3)我校学生某年级共800人，则参加棋类活动的人数约为________；(4)该班参加舞蹈类活动的4位同学中，有1位男生（用E表示）和3位女生（分别用F，G，H表示），现准备从中选取两名同学组成舞伴，请用列表或画树状图的方法求恰好选中一男一女的概率．22.(10分) 如图，在△ABC中，∠C=90∘，以BC为直径的⊙O交AB于点D，E是AC中点．(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若AB=10,BC=6，连接CD，OE，交点为F，求OF的长．x2+c，且在函数值y=−4时，只有一个自23.(11分) 已知二次函数y=14变量x的值与其对应.(1)求c的值；(2)点M, N在该二次函数的图象上，记该二次函数图象的顶点为C，且∠MCN=90∘，求证：MN必过原点O；(3)将该二次函数图象落在直线l：x=t左侧部分沿着x轴翻折，其余部分图象保持不变，得到函数f的图象.问：是否存在实数t，使得函数f的图象位于直线l：x=t两侧的部分在y轴上的正投影没有重合部分？若存在，求t的取值范围；若不存在，说明理由.参考答案与试题解析一、选择题（本题共计12 小题，每题 3 分，共计36分）1.【答案】C【考点】由实际问题抽象出一元二次方程一元二次方程的应用——其他问题【解析】设参加聚会的有x名学生，根据“每人都向其他人赠送了一份小礼品，共互送110份小礼品”，列出关于x的一元二次方程，解之即可．【解答】解：设参加聚会的同学有x人，根据题意得：x(x−1)=110，解得x1=11，x2=−10(舍)，∴参加聚会的同学有11人.故选C.2.【答案】B【考点】解一元二次方程-因式分解法勾股定理等腰三角形的性质三角形的面积【解析】先求出一元二次方程x2−32x+240=0的实数根，再由三角形的三边关系判断出另一边的长度，由勾股定理的逆定理判断出三角形的性状，进而可得出结论．【解答】解：∵一元二次方程x2−32x+240=0,可化为(x−20)(x−12)=0，∴x1=20，x2=12，当x=12时，该三角形为以12为腰，16为底的等腰三角形，高∠=√122−82=4√5，则S=12×16×4√5=32√5；当x=20时，∵122+162=202，∴该三角形为以12和16为直角边，20为斜边的直角三角形．∴S=12×16×12=96．故选B.3.【答案】B【考点】一元二次方程的定义根的判别式二次根式有意义的条件【解析】根据一元二次方程的定义、二次根式有意义的条件和判别式的意义得到{m−2≠0 3−m≥0△=(−√3−m)2−4(m−2)×14≥0，然后解不等式组即可．【解答】解：根据题意，得{m−2≠0，3−m≥0，Δ=(−√3−m)2−4(m−2)×14≥0，解得m≤52且m≠2．故选B.4.【答案】C【考点】根的判别式【解析】直接利用判别式判断正负即可.【解答】解：由题意得：a=−c，则Δ=b2−4ac=b2+4a2.由于a≠0，所以Δ=b2−4ac=b2+4a2>0，所以方程必有两个不相等的实数根.故选C.5.【答案】D【考点】二次函数图象的平移规律【解析】根据抛物线图象平移规律：”左加右减“进行求解即可．【解答】解：根据抛物线图象平移规律：”左加右减，上加下减“可得，y=−2x2+4的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到平移后抛物线的解析式为y=−2(x+2)2+4+3=−2(x+2)2+7.故选D．6.【答案】B【考点】二次函数图象与系数的关系二次函数的最值【解析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系．由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：①对称轴在y轴的右侧，则a，b异号，∴ab<0.由抛物线与y 轴的交点位于y 轴的正半轴，则c >0，∴ abc <0，故①正确；②∵抛物线的开口方向向下，顶点为(1,2)，∴x =1时，函数的最大值是2，故②正确；③当x =12时，y >0，即14a +12b +c >0， ∴a +2b +4c >0，故③正确；④∵抛物线的对称轴为直线x =−b 2a =1，∴2a =−b ，故④正确；⑤∵抛物线过点(−1,0)，∴a −b +c =0.∵ a =−12b ， ∴−12b −b +c =0， ∴2c =3b ，故⑤错误．综上所述，正确的结论有4个故选B ．7.【答案】D【考点】二次函数图象的平移规律【解析】此题暂无解析【解答】解：将抛物线y =−3(x +1)2+1向右移1个单位得到y =−3x 2+1，再向下移2个单位得到y =−3x 2−1.故选D .8.【答案】A【考点】扇形面积的计算解直角三角形求阴影部分的面积【解析】根据题意，作出合适的辅助线，即可求得DE 的长、∠DOB 的度数，然后根据图形可知阴影部分的面积是△ABC的面积减去△AOD的面积和扇形BOD的面积，从而可以解答本题．【解答】解：如图，连接OD，过点D作DE⊥AB于点E.∵在Rt△ABC中，∠ABC=90∘，AB=2√3，BC=2，则AC=4，AC=2BC，∴∠BAC=30∘，∴∠DOB=60∘.∵OD=12AB=√3，∴DE=32，∴阴影部分的面积是：2√3×22−√3×322−60×π×(√3)2360=5√34−π2.故选A.9.【答案】C【考点】扇形面积的计算等边三角形的性质三角形的面积【解析】图中三角形的面积是由三块相同的扇形叠加而成，其面积=三块扇形的面积相加，再减去两个等边三角形的面积，分别求出即可．【解答】解：过A作AD⊥BC于D，∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC=2，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60∘，∵AD⊥BC，∴BD=CD=1，AD=√3BD=√3，∴△ABC的面积为12×BC×AD=12×2×√3=√3，S扇形BAC =60π×22360=23π，∴莱洛三角形的面积S=3×23π−2×√3=2π−2√3.故选C.10.【答案】D【考点】圆内接四边形的性质圆周角定理【解析】由圆内接四边形的外角等于它的内对角知，∠A＝∠DCE＝70∘，由圆周角定理知，∠BOD ＝2∠A＝140∘．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A+∠BCD=180∘，又∠BCD+∠DCE=180∘，∴∠A=∠DCE=70∘，∴∠BOD=2∠A=140∘．故选D.11.【答案】C【考点】二次函数图象与系数的关系概率公式【解析】根据抛物线的开口与系数的关系可知，当a<0时抛物线开口向下，在这一组数中只有−2为负数，所以当a=−2时抛物线开口向下，再根据概率公式解答即可．【解答】解：从−2，3，4，5四个数中，任意取一个数，有四种情况，满足抛物线开口向下的a值可以为−2，.∴该二次函数图象开口向下的概率是14故选C.12.【答案】A【考点】规律型：图形的变化类【解析】仔细观察图形发现第一个图形有2×12=2个小菱形；第二个图形有2×22=8个小菱形；第三个图形有2×32=18个小菱形；由此规律得到通项公式，然后代入n=20即可求得答案．【解答】解：∵第一个图形有2×12=2个小菱形；第二个图形有2×22=8个小菱形；第三个图形有2×32=18个小菱形；⋯以此类推，第n个图形有2n2个小菱形，∴第20个图形有2×202=800个小菱形.故选A.二、填空题（本题共计4 小题，每题 3 分，共计12分）13.【答案】5000(1+x)2=7500【考点】由实际问题抽象出一元二次方程【解析】根据题意可得等量关系：2017年的快递业务量×（1+增长率）2＝2019年的快递业务量，根据等量关系列出方程即可．【解答】解：根据题意，可列方程为5000(1+x)2=7500.故答案为：5000(1+x)2=7500.14.【答案】2018【考点】一元二次方程的解列代数式求值【解析】由方程根的定义把m的值代入可求得m2−m的值，代入可求得值．【解答】解：∵m是一元二次方程x2−x−2=0的一个根，∴m2−m−2=0，∴m2−m=2，∴2020−∠2+∠=2020−(∠2−∠)=2018.故答案为：2018.15.【答案】∠2−4∠−15=0【考点】根与系数的关系【解析】此题暂无解析【解答】解：设方程解析式为：∠2+∠∠+∠=0，由题意及根与系数的关系可得：−3×5=∠，−∠=2+2，故∠=−15，∠=−4，故答案为：∠2−4∠−15=0.16.【答案】1336【考点】解一元二次方程-因式分解法列代数式求值【解析】由题意得到实数∠， ∠是方程∠2−5∠+6=0的两个根，∠+∠=5，∠∠=6，代入1∠2+1∠2=∠2+∠2(∠∠)2=(∠+∠)2−2∠∠(∠∠)2即可. 【解答】解：∵ 实数∠， ∠(∠≠∠)满足∠2−5∠+6=0，∠2−5∠+6=0，∴ 解得∠=2或∠=3，∠=2或∠=3.∵实数∠， ∠不相等，∴ 1∠2+1∠2=122+132=1336. 故答案为：1336. 三、解答题（本题共计 7 小题，共计72分）17.【答案】解：(1)用公式法解：∠=1,∠=4,∠=−4，∴ ∠2−4∠∠=42−4×1×(−4)=32>0，∴ ∠=−∠±√∠2−4∠∠2∠=−4±√322×1=−2±2√2.(2)3∠(2∠+1)=2(2∠+1)，3∠(2∠+1)−2(2∠+1)=0，(3∠−2)(2∠+1)=0，3∠−2=0或2∠+1=0，∴ ∠1=23,∠2=−12. 【考点】解一元二次方程-公式法解一元二次方程-因式分解法【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)用公式法解：∠=1,∠=4,∠=−4，∴ ∠2−4∠∠=42−4×1×(−4)=32>0，∴ ∠=−∠±√∠2−4∠∠2∠=−4±√322×1=−2±2√2.(2)3∠(2∠+1)=2(2∠+1)，3∠(2∠+1)−2(2∠+1)=0，(3∠−2)(2∠+1)=0，3∠−2=0或2∠+1=0，∴ ∠1=23,∠2=−12.18.【答案】解：(1)∵ ∠，∠是关于∠的一元二次方程∠2−2(∠+1)∠+∠2+5=0的两实数根， ∴ ∠+∠=2(∠+1)，∠∠=∠2+5，∴ (∠−1)(∠−1)=∠∠−(∠+∠)+1=∠2+5−2(∠+1)+1=39，解得∠=−5或∠=7，当∠=−5时，原方程无解，故舍去，∴ ∠=7．(2)①当7为底边时，此时方程∠2−2(∠+1)∠+∠2+5=0有两个相等的实数根， ∴ ∠=4(∠+1)2−4(∠2+5)=0，解得∠=2，∴ 方程变为∠2−6∠+9=0，解得∠=∠=3，∵ 3+3<7，∴ 不能构成三角形．②当7为腰时，设∠=7，代入方程得：49−14(∠+1)+∠2+5=0，解得：∠=10或4，当∠=10时，方程变为∠2−22∠+105=0，解得∠=7或15，∴∠=15，∵7+7<15，∴不能组成三角形；当∠=4时，方程变为∠2−10∠+21=0，解得∠=3或7，∴∠=3，∴此时三角形的周长为7+7+3=17．综上所述，三角形的周长为17.【考点】根与系数的关系根的判别式三角形三边关系等腰三角形的判定与性质【解析】无无【解答】解：(1)∵∠，∠是关于∠的一元二次方程∠2−2(∠+1)∠+∠2+5=0的两实数根，∴∠+∠=2(∠+1)，∠∠=∠2+5，∴(∠−1)(∠−1)=∠∠−(∠+∠)+1=∠2+5−2(∠+1)+1=39，解得∠=−5或∠=7，当∠=−5时，原方程无解，故舍去，∴∠=7．(2)①当7为底边时，此时方程∠2−2(∠+1)∠+∠2+5=0有两个相等的实数根，∴∠=4(∠+1)2−4(∠2+5)=0，解得∠=2，∴方程变为∠2−6∠+9=0，解得∠=∠=3，∵3+3<7，∴不能构成三角形．②当7为腰时，设∠=7，代入方程得：49−14(∠+1)+∠2+5=0，解得：∠=10或4，当∠=10时，方程变为∠2−22∠+105=0，解得∠=7或15，∴∠=15，∵7+7<15，∴不能组成三角形；当∠=4时，方程变为∠2−10∠+21=0，解得∠=3或7，∴∠=3，∴此时三角形的周长为7+7+3=17．综上所述，三角形的周长为17.19.【答案】解：(1)根据题意设∠=∠∠+∠(∠≠0)，将(30, 100)，(35, 50)代入得{30∠+∠=100, 35∠+∠=50,解得{∠=−10,∠=400,∴∠与∠之间的关系式为∠=−10∠+400.(2)设每天的利润为∠元，则∠=(∠−22)∠=(∠−22)(−10∠+400)=−10∠2+620∠−8800=−10(∠−31)2+810，∴销售单价定为31元时，每天最大利润为810元．(3)−10∠2+620∠−8800−100=350，解得∠=25或∠=37，结合图象和二次函数的特点得出25≤∠≤37，又∠≤22×(1+20%)，综上可得25≤∠≤26.4，∴按要求网店店主的销售单价范围为大于或等于25元且小于或等于26.4元．【考点】待定系数法求一次函数解析式二次函数的应用一元二次方程的应用一元一次不等式的实际应用【解析】（1）利用待定系数法求解可得；（2）设每天的利润为∠元，根据“总利润＝每支利润×每天销售量”得出函数解析式，配方成顶点式后利用二次函数的性质求解可得；（3）根据题意列出方程−10∠2+620∠−8800−100＝350，解之求出∠的值，再根据二次函数的性质得出25≤∠≤37，结合∠≤22×(1+20%)可得答案．【解答】解：(1)根据题意设∠=∠∠+∠(∠≠0)，将(30, 100)，(35, 50)代入得{30∠+∠=100,35∠+∠=50, 解得{∠=−10,∠=400,∴ ∠与∠之间的关系式为∠=−10∠+400.(2)设每天的利润为∠元，则∠=(∠−22)∠=(∠−22)(−10∠+400)=−10∠2+620∠−8800=−10(∠−31)2+810，∴ 销售单价定为31元时，每天最大利润为810元．(3)−10∠2+620∠−8800−100=350，解得∠=25或∠=37，结合图象和二次函数的特点得出25≤∠≤37，又∠≤22×(1+20%)，综上可得25≤∠≤26.4，∴ 按要求网店店主的销售单价范围为大于或等于25元且小于或等于26.4元． 20.【答案】四,(−∠2∠,4∠∠−∠24∠)(2)∵ ∠=2∠2−4∠−3=2(∠−1)2−5，∴ 抛物线的顶点坐标是(1,−5)，对称轴是直线∠=1.【考点】二次函数的三种形式解一元二次方程-配方法二次函数y=ax^2 、y=a （x-h ）^2+k (a≠0)的图象和性质【解析】(1)运用正确的方法把二次函数的解析式化成顶点式即可解答.(2)运用配方法，把函数的解析式化成顶点式，进一步可得抛物线的顶点坐标和对称轴.【解答】解：(1)∠=∠∠2+∠∠+∠变形为∠=∠(∠2+∠∠∠)+∠，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯第一步∠=∠[∠2+∠∠∠+(∠2∠)2−(∠2∠)2]+∠，⋯⋯第二步∠=∠(∠+∠2∠)2−∠24∠+∠，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯第三步∠=∠(∠+∠2∠)2+4∠∠−∠24∠.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯第四步∴ 嘉嘉的解法从第四步开始出现错误；事实上抛物线∠=∠∠2+∠∠+∠(∠≠0)的顶点坐标是(−∠2∠,4∠∠−∠24∠).故答案为：四；(−∠2∠,4∠∠−∠24∠). (2)∵ ∠=2∠2−4∠−3=2(∠−1)2−5，∴ 抛物线的顶点坐标是(1,−5)，对称轴是直线∠=1. 21.【答案】7,30%(2)补全条形图如下：140(4)画树状图如下：共有12种情况，选中一男一女的有6种，则∠（选中一男一女）=612=12．【考点】扇形统计图条形统计图用样本估计总体列表法与树状图法【解析】（1）先根据绘画类人数及其百分比求得总人数，继而可得答案；（2）根据（1）中所求数据即可补全条形图；（3）总人数乘以棋类活动的百分比可得；（4）利用树状图法列举出所有可能的结果，然后利用概率公式即可求解．【解答】解：(1)本次调查的总人数为10÷25%=40（人），∴参加音乐类活动的学生人数为40×17.5%=7(人)，参加球类活动的人数的百分比为1240×100%=30%，故答案为：7；30%.(2)补全条形图如下：(3)我校学生某年级共800人，则参加棋类活动的人数约为800×740=140. 故答案为：140.(4)画树状图如下：共有12种情况，选中一男一女的有6种，则∠（选中一男一女）=612=12．22.【答案】(1)证明：连接∠∠，∠∠，如图，∵∠∠∠∠=90∘，∠∠为⊙∠直径，∴∠∠∠∠=∠∠∠∠=90∘.∠为∠∠中点，∴∠∠=∠∠=∠∠,∴∠∠∠∠=∠∠∠∠.又∵∠∠∠∠=∠∠∠∠，∴∠∠∠∠+∠∠∠∠=∠∠∠∠+∠∠∠∠=∠∠∠∠=90∘，即∠∠∠∠=90∘，∴∠∠是⊙∠的切线.(2)解：连接∠∠，交∠∠于点∠，如图，∵∠∠∠∠=90∘，∴∠∠为⊙∠的切线.∵∠∠是⊙∠的切线，∴∠∠平分∠∠∠∠,∴∠∠⊥∠∠，∠为∠∠的中点.∵点∠，∠别为∠∠，∠∠的中点，∴∠∠=12∠∠=12×10=5 .在∠∠△∠∠∠中，∠∠∠∠=90∘，∠∠=10，∠∠=6，由勾股定理得：∠∠=8.∵在∠∠△∠∠∠中，∠为∠∠的中点，∴∠∠=12∠∠=12×8=4.在∠∠△∠∠∠中，∠∠=12∠∠=12×6=3，在∠∠△∠∠∠中，∠∠=4，由勾股定理得：∠∠=5.由三角形的面积公式得：∠△∠∠∠=12×∠∠×∠∠=12×∠∠×∠∠,即4×3=5×∠∠,解得：∠∠=2.4 ,在∠∠△∠∠∠中，由勾股定理得：∠∠=√∠∠2−∠∠2=√32−2.42=1.8．【考点】切线的判定勾股定理切线的性质切线长定理【解析】（1）证明：连接∠∠，∠∠，∵∠∠∠∠=90∘，∠∠为⊙∠直径，∴∠∠∠∠=∠∠∠∠=90∘;∠为∠∠中点∴∠∠=∠∠=∠∠,∴∠∠∠∠=∠∠∠∠；又∵∠∠∠∠=∠∠∠∠∴∠∠∠∠+∠∠∠∠=∠∠∠∠+∠∠∠∠=∠∠∠∠=90∘∴∠∠是⊙∠的切线（2）解：连接∠∠，∵∠∠∠∠=90∘∴∠∠为⊙∠的切线，∵∠∠是⊙∠的切线，∴∠∠平分∠∠∠∠,∴∠∠⊥∠∠,∠为∠∠的中点，∵点∠、∠别为∠∠、∠∠的中点，∴∠∠=12∠∠=12×10=5 ,在∠∠△∠∠∠中，∠∠∠∠=90∘，∠∠=10．∠∠=6，由勾股定理得：∠∠=8，∵在∠∠△∠∠∠中，∠为∠∠的中点，∴∠∠=12∠∠=12×8=4,在∠∠△∠∠∠中，∠∠=12∠∠=12×6=3,∠∠−4，由勾股定理得：∠∠=5,由三角形的面积公式得：∠△∠∠∠=12×∠∠×∠∠=12×∠∠×∠∠,即4×3=5×∠∠,解得：∠∠=2.4 ,在∠∠△∠∠∠中，由勾股定理得：∠∠=√∠∠2−∠∠2=√32−2.42=1.8．【解答】(1)证明：连接∠∠，∠∠，如图，∵∠∠∠∠=90∘，∠∠为⊙∠直径，∴∠∠∠∠=∠∠∠∠=90∘.∠为∠∠中点，∴∠∠=∠∠=∠∠,∴∠∠∠∠=∠∠∠∠.又∵∠∠∠∠=∠∠∠∠，∴∠∠∠∠+∠∠∠∠=∠∠∠∠+∠∠∠∠=∠∠∠∠=90∘，即∠∠∠∠=90∘，∴∠∠是⊙∠的切线.(2)解：连接∠∠，交∠∠于点∠，如图，∵∠∠∠∠=90∘，∴∠∠为⊙∠的切线.∵∠∠是⊙∠的切线，∴∠∠平分∠∠∠∠,∴∠∠⊥∠∠，∠为∠∠的中点.∵点∠，∠别为∠∠，∠∠的中点，∴∠∠=12∠∠=12×10=5 .在∠∠△∠∠∠中，∠∠∠∠=90∘，∠∠=10，∠∠=6，由勾股定理得：∠∠=8.∵在∠∠△∠∠∠中，∠为∠∠的中点，∴∠∠=12∠∠=12×8=4.在∠∠△∠∠∠中，∠∠=12∠∠=12×6=3，在∠∠△∠∠∠中，∠∠=4，由勾股定理得：∠∠=5.由三角形的面积公式得：∠△∠∠∠=12×∠∠×∠∠=12×∠∠×∠∠,即4×3=5×∠∠,解得：∠∠=2.4 ,在∠∠△∠∠∠中，由勾股定理得：∠∠=√∠∠2−∠∠2=√32−2.42=1.8．23.【答案】(1)解：把∠=−4代入∠=14∠2+∠中，得∠2+4∠+16=0，∵此时只有一个自变量∠的值与其对应，∴∠=−4×(4∠+16)=0，解得∠=−4.(2)证明：设∠(∠1, ∠1)，∠(∠2, ∠2)，∠(0, −4)，∵∠∠∠∠=90∘，即∠∠⊥∠∠，∴∠∠∠⋅∠∠∠=−1，∴∠1+4∠1⋅∠2+4∠2=−1，消去∠得，∠1∠2=−16，设直线∠∠的方程为∠=∠1−∠2∠1−∠2∠+∠，代入(∠1, ∠1)，∠=14∠2−4，则有14∠12−4=14(∠12−∠22)∠1−∠2∠1+∠，1 4∠12=14∠12+14∠1∠2+∠+4，化简得0=−4+4+∠，即∠=0，∴∠∠的方程∠=∠1−∠2∠1−∠2∠过原点.(3)解：令∠=4，则4=14∠2−4，解得∠=±4√2，当∠>4√2时，画出图象如图：观察图象可知，无重合；当∠<−4√2时，画出图象如图：观察图象可知，无重合.∴∠的取值范围为∠<−4√2或∠>4√2. 【考点】二次函数的图象一次函数的应用函数的概念根的判别式【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)把∠=−4代入∠=14∠2+∠中，得∠2+4∠+16=0，∵此时只有一个自变量∠的值与其对应，∴∠=−4×(4∠+16)=0，解得∠=−4.(2)证明：设∠(∠1, ∠1)，∠(∠2, ∠2)，∠(0, −4)，∵∠∠∠∠=90∘，即∠∠⊥∠∠，∴∠∠∠⋅∠∠∠=−1，∴∠1+4∠1⋅∠2+4∠2=−1，消去∠得，∠1∠2=−16，设直线∠∠的方程为∠=∠1−∠2∠1−∠2∠+∠，代入(∠1, ∠1)，∠=14∠2−4，则有14∠12−4=14(∠12−∠22)∠1−∠2∠1+∠，1 4∠12=14∠12+14∠1∠2+∠+4，化简得0=−4+4+∠，即∠=0，∴∠∠的方程∠=∠1−∠2∠1−∠2∠过原点.(3)解：令∠=4，则4=14∠2−4，解得∠=±4√2，当∠>4√2时，画出图象如图：观察图象可知，无重合；当∠<−4√2时，画出图象如图：观察图象可知，无重合.∴∠的取值范围为∠<−4√2或∠>4√2.。

2016年全国初中数学联赛(初三组)初赛试卷参考答案及评分细则

2016年全国初中数学联赛初赛试题————第 1 页共 3 页2016年全国初中数学联赛初赛试卷（考试时间：2016年3月13日下午3：00—5：00）一、选择题（本题满分42分，每小题7分） 1、C ． 2、C ． 3、D ． 4、C ． 5、B ． 6、A ．二、填空题（本大题满分28分，每小题7分） 78、18．9、3．10三、（本大题满分20分）11、解：由14(a 2+b 2+c 2)=(a +2b +3c )2，得13a 2+10b 2+5c 2-4ab -6ac -12bc =0， ············································· （5分）配方得(3a -c )2+(2a -b )2+(3b -2c )2=0， ············································· （10分）所以3a -c =0，2a -b =0，3b -2c =0，即c =3a ，b =2a ． ······································································· （15分）代入22223a b c ab ac bc++++得22223a b c ab ac bc ++++=222222827236a a a a a a ++++=3611． ··········································· （20分）解法二：由14(a 2+b 2+c 2)=(a +2b +3c )2，得13a 2+10b 2+5c 2-4ab -6ac -12bc =0， ············································· （5分）5[c 2-2(365a b +)c +(365a b +)2]+13a 2+10b 2-4ab -2(36)5a b +=0，5(c -365a b +)2+565a 2+145b 2-565ab =0，所以5(c -365a b +)2+145(2a -b )2=0， ··············································· （10分）由此得，c -365a b+=0，2a -b =0，解得b =2a ，c =3a ． ···································································· （15分）代入22223a b c ab ac bc++++得22223a b c ab ac bc ++++=222222827236a a a a a a ++++=3611． ··········································· （20分）四、（本大题满分25分）12、解：（1）由已知得，-x 2+2(m +1)x +m +3=0有两个不相同的实数解，所以∆=[2(m +1)]2+4(m +3)= 4m 2+12m +16=(2m +3) 2+3＞0，可知m 是任意实数． ································································· （5分）又因为点A 在x 轴的负半轴上，点B 在x 轴的正半轴上．所以方程，-x 2+2(m +1)x +m +3=0的两根一正一负，所以- (m +3)＜0，解得m ＞-3．所以所求m 的取值范围是m ＞-3． ··············································· （10分）（2）解法一：设点A (a ，0)，B (b ，0)，a ＞0，b ＜0，2016年全国初中数学联赛初赛试题————第 2 页共 3 页则a =-3b ，且a +b =2(m +1)，ab =-(m +3)，解得m =0．函数解析式为y =-x 2+2x +3． ······················································· （15分）所以A (3，0)，B (-1，0)，C (0，3)。

华强学校九年级数学竞赛题16秋含答案

东莞市大岭山华强学校九年级上学期数学竞赛试卷(解析版) 得分: 一,选择题: （本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1、已知31)53(-=a ，21)35(=b ，21)34(-=c ，则a,b,c 三个数的大小关系是B A ．a b c << B. b a c << C. c b a << D. c a b << 2、点P 是直线04=-+y x 上一动点，O 为原点，则|OP|的最小值为( C ) A. 2 B. 2 C. 22 D. 4 3、已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 交于O ，△AOD 的面积为4，△BOC 的面积为9，则梯形ABCD 的面积为（ A ）（A ）25 （B ）24 （C ）22 （D ）26 4、矩形纸片ABCD 中，AB=3cm ，BC=4cm ，现将纸片折叠压平，使A 与C 重合，设折痕为EF ，则重叠部分△AEF 的面积等于（ D ）．（A ）73757375()()()881616B C D 5．设a ＜b ＜0，a 2+b 2=4ab ，则的值为( ) A ． B ． C ．2 D.3 【解答】解：∵a 2+b 2=4ab ， ∴a 2+b 2+2ab=（a+b ）2=6ab ① ∴a 2+b 2﹣2ab=（a ﹣b ）2=2ab ②，得= ∵a ＜b ＜0， ∴ab ＞0，a+b ＜0，a ﹣b ＜0， ∴==3， ∴=．6．甲乙两人同时从同一地点出发，相背而行1小时后他们分别到达各自的终点A 与B ，若仍从原地出发，互换彼此的目的地，则甲在乙到达A 之后35分钟到达B ，甲乙的速度之比为( )A ．3：5B ．4：3C ．4：5D ．3：4解：设甲的速度为v1千米/时，乙的速度为v2千米/时，根据题意知，从出发地点到A的路程为v1千米，到B的路程为v2千米，从而有方程：，化简得，解得=或=﹣（不合题意舍去）．故选D．7．如图，四边形ABCD中∠A=60°，∠B=∠D=90°，AD=8，AB=7，则BC+CD等于( )A．B．5C．4D．3解：如图，延长AB、DC相交于E，在Rt△ADE中，可求得AE2﹣DE2=AD2，且AE=2AD，计算得AE=16，DE=8，于是BE=AE﹣AB=9，在Rt△BEC中，可求得BC2+BE2=CE2，且CE=2BC，∴BC=3，CE=6，于是CD=DE﹣CE=2，BC+CD=5．故选B．8．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∠C的平分线与∠B的外角的平分线交于E点，则∠AEB是( )A．50°B．45°C．40°D．35°解：∵E在∠C的平分线上，∴E点到CB的距离等于E到AC的距离，∵E 在∠B 的外角的平分线上，∴E 点到CB 的距离等于E 到AB 的距离，∴E 点到AC 的距离等于E 到AB 的距离，∴AE 是∠A 的外角的平分线．∵在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，∴∠ABC=60°，，∵EB 是∠B 的外角的平分线，∴∠ABE=60°，∴∠AEB=180°﹣60°﹣75°=45°．故选B ．9．矩形ABCD 中，AB=8，BC=3，点P 在边AB 上，且BP=3AP ，如果圆P 是以点P 为圆心，PD 为半径的圆，那么下列判断正确的是( )A ．点B 、C 均在圆P 外 B ．点B 在圆P 外、点C 在圆P 内C ．点B 在圆P 内、点C 在圆P 外D ．点B 、C 均在圆P 内解：∵AB=8，点P 在边AB 上，且BP=3AP ，∴AP=2，∴r=PD==7，PC===9，∵PB=6＜7，PC=9＞7∴点B 在圆P 内、点C 在圆P 外故选：C ．二.填空题: （本大题共7小题，每小题5分，共35分）7、已知=-=+xx x x 1,41则_±32 ________ 8、方程xx x x 34=-的解为 x=4 10、若βα、是方程0532=--x x 的两个实数根，则ββα3222-+的值= 249．分解因式：x （x ﹣1）﹣y （y ﹣1）=__________．解：x （x ﹣1）﹣y （y ﹣1）=x 2﹣x ﹣y 2+y=（x 2﹣y 2）﹣（x ﹣y ）=（x ﹣y ）（x+y ﹣1）．10．记实数x 1，x 2中的最小值为min{x 1，x 2}，例如min{0，﹣1}=﹣1，当x 取任意实数时，则min{﹣x 2+4，3x}的最大值为__________．解：画出函数y=﹣x2+4和y=3x的图象如图：由图可知：当x=1时，函数有最大值，最大值为3，所以min{﹣x2+4，3x}的最大值为3．故答案为3．15．已知抛物线经过点A（4，0）．设点C（1，﹣3），请在抛物线的对称轴上确定一点D，使得|AD﹣CD|的值最大，则D点的坐标为__________．解：∵抛物线经过点A（4，0），∴×42+4b=0，∴b=﹣2，∴抛物线的解析式为：y=x2﹣2x=（x﹣2）2﹣2，∴抛物线的对称轴为：直线x=2，∵点C（1，﹣3），∴作点C关于x=2的对称点C′（3，﹣3），直线AC′与x=2的交点即为D，因为任意取一点D（AC与对称轴的交点除外）都可以构成一个△ADC．而在三角形中，两边之差小于第三边，即|AD﹣CD|＜AC′．所以最大值就是在D是AC′延长线上的点的时候取到|AD﹣C′D|=AC′．把A，C′两点坐标代入，得到过AC′的直线的解析式即可；设直线AC′的解析式为y=kx+b，∴，解得：，∴直线AC′的解析式为y=3x﹣12，当x=2时，y=﹣6，∴D点的坐标为（2，﹣6）．故答案为：（2，﹣6）．三、解答题（本大题共6小题，共75分）16．若a，b为实数，且a2+3a+1=0，b2+3b+1=0，求的值．解：依题意得：a、b是关于x的方程x2+3x+1=0的两个实数根，则a+b=﹣3，ab=1，所以===7．即=7．17．解方程：．解：设y=，则原方程可化为：y﹣=1；两边同乘以y整理得y2﹣y﹣2=0，解得y1=2，y2=﹣1．当y1=2时，=2，化为；2x2+x﹣1=0，解得x1=﹣1，x2=；当y2=﹣1时，=﹣1，化为；x2﹣x+1=0，∵△＜0，∴此方程无实数根；经检验x1=﹣1，x2=都是原方程的根∴原方程的根是x1=﹣1，x2=．18．甲、乙两车间同生产一种零件，甲车间有1人每天生产6件，其余每人每天生产11件，乙车间有1人每天生产7件，其余的生产10件，已知各车间生产的零件总数相等，且不少于100件不超过200件，求甲、乙车间各多少人？解：设甲车间的人数为x人，乙车间的人数为y人，可得：6+11（x﹣1）=7+10（y﹣1），可得：y=，根据题意可得不等式组：，解得：，因为x，y取整数，所以：x=12，y=13，答：甲、乙车间各12，13人19．（13分）若一个函数的解析式等于另两个函数解析式的和，则这个函数称为另两个函数的“生成函数”．现有关于x 的两个二次函数y 1，y 2，且y 1=a （x ﹣m ）2+4（m ＞0），y 1，y 2的“生成函数”为：y=x 2+4x+14；当x=m 时，y 2=15；二次函数y 2的图象的顶点坐标为（2，k ）．（1）求m 的值；（2）求二次函数y 1，y 2的解析式．解：（1）∵y 1=a （x ﹣m ）2+4（m ＞0），y 1，y 2的“生成函数”为：y=x 2+4x+14；∴y 2=x 2+4x+14﹣a （x ﹣m ）2﹣4=x 2﹣a （x ﹣m ）2+4x+10，∵当x=m 时，y 2=15，∴15=m 2﹣a （m ﹣m ）2+4m+10，解得：m 1=1，m 2=﹣5（不合题意舍去）；（2）由（1）得：y 2=x 2﹣a （x ﹣1）2+4x+10=（1﹣a ）x 2+（2a+4）x ﹣a+10，∵二次函数y 2的图象的顶点坐标为（2，k ）． ∴﹣=2，解得：a=4，∴y 1=4（x ﹣1）2+4，y 2=﹣3x 2+12x+615、如图：抛物线经过A （-3，0）、B （0，4）、C （4，0）三点.（1）求抛物线的解析式.（2）已知AD = AB （D 在线段AC 上），有一动点P 从点A 出发，沿线段AC 以每秒1个单位长度的速度移动；同时另一个动点Q 以某一速度从点B 沿线段BC 移动，经过t 秒的移动，线段PQ 被BD 垂直平分，求t 的值；（3）在（2）的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点M ，使MQ+MC 的值最小？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由。

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