Mathematica 小结

3，基于模式匹配的替换规则 与 表达式变换
Replace[expr,rules,levelspec] 应用规则到 expr 中由 levelspec 指定的部分。
ReplaceAll（expr\.rules）应用一个规则或规则列表尽可能转换一个表达式 expr 的每个子部分。
ReplaceRepeated(expr\\.rules)重复执行替换直至 expr 不再改变。
Names["Matrix*"]给出所有以Matrix开头的符号列表。NameQ检测是否为使用过的符号。
4, 符号清除：Clear清除符号定义，但不清除符号的Attributes等信息，
ClearAll同时清除Attributes等信息。Remove将从内存中完全移除符号。例：Remove["Global`*"]。
如 MatchQ[3.14,_Real]=True ； Cases[{3,3.14,17,4+5I},_Integer]={3,17}；
重复模式Repeated（..或...） 如 a_ ... 用省略号代表0个或多个 a_组成的表达式序列模式。
2，模式的匹配
head 匹配 如 MatchQ[3.14,_Real]=True
递归范例
求表的长度 length[{}]:=0 ; length[lis_]:= length[Rest[lis]]+1 ;
压缩编码 runEncodeT[{}]:=0;
runEncodeT[{x_}]:={{x,1}}
runEncodeT[{x_,res__}]:=runEndodeT[{res}/.{{y_,k_},s___}->If[x==y,{{x,k+1},s},{{x,1},{y,k},s}]]
压缩编码 runEncodez[lis_]:=Map[{#,1}& ,lis]//{x___,{y_ ,i_},{y_ ,j_},z___}:->{x,{y,i+j},z}
六，Recursion 递归算法编程
mathematica 天然就能识别利用递推法定义的function.
学会 thinking recursively，培养递推的思想方法非常重要。
1,模式(Patterns)：带有“_”的表达式表示它是一个模式。
如 name_ , name__ ，name___ , name_h,(h指的某种表达式开头)，x:_^_ (对复合模式命名为x), __ , ___ 都是模式。
一个空格代表任意一个表达式；两个空格代表任意一个或多个表达式；三个空格代表一个，多个，或零个表达式。
Precision 包含整数位与小数位，而Accuracy 只包含小数位，有时候会取负数。
$MachinePrecision 为计算机64位字长存储的数据的精度，其中1位是符号位，11位为指数位，53位为尾数位，
其精度约为53lg2=16
3，准确数（Exact Numbers） 和 近似数（approximate numbers）.
从而实现向量化的编程方式，与循环相比，能大大节约时间。
2，函数操作符（High-order Function 高阶函数）
Map（一个算子作用到多个对象，输出列表），Through(多个算子作用到一个对象)，Scan（类似Map，但不输出）
Apply（应用,替换头部），Thread(按列作串，广义Transpose)，MapThread(按列作串，算子和对象分开写)
2，提取列表元素：Part(结合All,;;),Extract；Take,Drop；First,Last；Rest,Most。
3，修改列表：Insert，Delete；Prepend，Append；PrependTo, AppendTo（添加并修改，执行较慢）；
Riffle （洗牌）。
x_ y_. y 的默认值为 1
x_^y_. y 的默认值为 1
例：lin[a_. + b_. x_, x_] := p[a, b]； 模式 a_. + b_. x_与任何x的线性函数匹配。
四，Procedural programming
顺序结构: 程序的自然结构
一般定义函数使用延迟赋值，每次调用延迟改写规则重新计算右边。
2，上值和下值: 标号circle[r]提供了对象命名途径, UpValue提供了实现一些面向对象编程功能
的一种途径 circle/: Area[circle[r_]]=Pi*r^2。
此外，UpValue 也是声明数据类型的一种有效方法。 如声明 NumberQ[u]^=True。则u可与 a_/;NumberQ 匹配。
4，列表排序：Sort，Ordering；Max,Min；Permutations；Reverse,RotateLeft,RotateRight。
5，列表检测和搜索：Count，Position；Cases，Select；MemberQ，FreeQ。
6，列表维度转换：Partition，Split；Tuples,Outter；Flatten,Transpose；
3，表达式的输入方式：标准格式f[x,y],前缀格式f@x，中缀格式x～ｆ～ｙ，后缀格式ｘ//f。
符号定义：
1，直接赋值和延迟赋值: Set（=） 和 SetDelayed（:=）有着重要的差别。
Set定义改写规则时，其右边被立刻计算一次并输出，然后将计算后的表达式加入到改写规则序列。
SetDelayed定义改写规则时，其右边具有Hold属性保留不被计算没有输出，然后将原来的表达式加入到改写规则序列。
三，Functional programming
1,函数可重载，可设置属性SetAttributes。
常见的属性有 Flat，Orderless, Protected, OneIdentify, Listable.
Listable 是非常重要的属性，可使得函数能够自动Map到表中的各个函数。
Atoms 表达式没有Part,其FullForm 就是它本身。
Nonatomic 表达式有Part，其Part 0是其head。
Atoms 只有三种: Symbols,numbers,strings. 诸如分数，复数都是 Atoms。
常用的表操作函数可对Nonatomic 表达式使用： Length, Part ,Append, Insert, Prepend。
值集DownValues和UpValues可以对改写规则库中的规则匹配顺序重新定义排序。
3，符号信息：Information(简写为？)以及Definitions。如？x*模糊查找以x开头的符号的信息。
？Global`*能够像Matlab的Workspace那样给出当前内存中用户定义的所有的变量。
分支结构: If,Which,Switch
循环结构：While,For,Do,FixedPoint,Nest(函数多层嵌套)，Fold(二元多层嵌套)
转向结构（常见于循环与分支结构中）：Break，Continue，Return，（Goto[标志]，Label[标志]）
五，Rule-Based Progrห้องสมุดไป่ตู้mming
判据匹配 如 MatchQ[{1,2,3},_?ListQ]=True
head 与判据双重匹配 如 MatchQ[{1,2,3},_List?(Length[#]>2&)]=True
添加条件匹配 如 MatchQ[x^2,_^y_/;EvenQ[y]]
或匹配 如 MatchQ[3.14,_Real|_Complex]=True
使用局部变量值 Block[{局部变量值设定，常见为系统参数如$RescursionLimit},表达式序列]
使用局部常数 With[{局部常数设定，常见为将一些已定义变量声明为常数},表达式序列]
4，函数默认参数值
有两种默认参数方法：自定义默认参数和使用系统默认参数。
a b c d/. x_ y_->x+y 输出 a+b c d
a b c d//.x_ y_->x+y 输出 a+b+c+d
排序 maximaR[x_List]:=x//.{a___ ,b_ ,c___ ,d_ ,e___}/;d<=b :>{a,b,c,e}
例：j[x_, y_: 1, z_: 2] := jp[x, y, z]；自定义默认参数。
一些 Mathematica 常用函数的变量具有系统设定的默认值，
此时不能明确给出 x_:v 中的默认值，而是可用 x_. 来使用其系统设定的默认值。
x_+y_. y 的默认值为 0
表达式的结构：头部（head）+元素（Elements）
FullForm给出表达式在Kernel中的完整存储形式。TreeForm给出完整形式的树形图。
Head[a+b+c]=Plus FullForm[a+b+c]=Plus[a,b,c]
2，表达式类型：Atoms 表达式 和 Nonatomic 表达式
Mathematica Programming
一，mathematica structure
由内核（Kernel），前端（FrontEnd），以及各种程序包（Packages）组成。
程序包主要分三类：标准程序包（standard）,专业程序包（Math-Source）,用户程序包（User）.
机器精度(MachinePrecision)和扩展精度（Extended-Precision）.