力对点之矩和轴之矩资料讲解
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理论力学-2-力矩的概念和力系的等效与简化
力F对x、y、z轴之矩为： Mx (F) = 0
M y (F) = 0
4 M z (F) = − Fd 5
法2：根据力对轴定义 ：
4 M z ( F ) = M z ( Fx ) = − Fd 5
2.1 力对点之矩与力对轴之矩
♣ 分布荷载专题
分布在较大范围内，不能看作集中力的荷载称分布荷 分布在较大范围内，不能看作集中力的荷载称分布荷 若分布荷载可以简化为沿物体中心线分布的平行力， 载。若分布荷载可以简化为沿物体中心线分布的平行力， 则称此力系为平行分布线荷载 简称线荷载 平行分布线荷载， 线荷载。 则称此力系为平行分布线荷载，简称线荷载。
2.1 力对点之矩与力对轴之矩
已知： 三角形分布载荷的q、 已知 ： 三角形分布载荷的 、 梁长l， 合力、 梁长 ， 求 ： 合力 、 合力作用 线位置。 线位置。 l x 1 FR = ∫ qdx = ql 解：合力 0 l 2 设合力作用线距离A点距离为 点距离为d 设合力作用线距离 点距离为 y
B
问题: 如何用数学 问题 工具描述非共点力
F
A B
F
系对刚体的作用效
D
A
F
应?
第2章 力矩的概念和力系的等效与简化 章
2.1 力对点之矩与力对轴之矩
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2.1 力对点之矩与力对轴之矩
♣ 力对点之矩 ♣ 力对轴之矩 ♣ 合力矩定理 ♣ 分布荷载专题
2.1 力对点之矩与力对轴之矩
力对点之矩：力使物体绕某一点转动效应的度量 绕某一点转动效应的度量。 ♣ 力对点之矩：力使物体绕某一点转动效应的度量。
2l
3
l
3
q2
q1
l
第2章 力矩的概念和力系的等效与简化 章
力对点之矩与力对轴之矩
力对轴的矩力对轴的矩是力使刚体绕该轴转动效果的度量是一个代数量其绝对值等于该力在垂直于该轴的平面上的投影对于这个平面与该轴的交点的矩方法一
力对点之矩与力对轴之矩
力对点的矩 对于平面力系，用代数量表示力对点的矩足
以概括它的全部要素。但是在空间情况下，由三个要素 ，这三个因素可以用力矩矢MO(F)来描述。
F x F si,n F y 0 , F z F cos
力作用点D的坐标为
x l, y l a , z 0
（2）代入式（4-12），得
M x ( F ) y z z F y F ( l a ) F ( c) o 0 F s ( l a ) c
M y ( F ) z x F x z F 0 ( l ) F ( c) o F s cl o
力矩矢的大小，即 M O ( F ) 矢量的方位与力矩作用面的法线方向相同；
矢量的指向按右手螺旋法则来确定
|MO( F ) |= F.d =2S∆OAB
z
B
MO （ F ）
F
根据矢量的叉乘，我们可以知道： rOA×F= |rOA||F|sinθ=Fd，其方向与力矩失 一致。
A
Or d
y
x
MO( F ) = rOA×F
M z ( F ) x y y F x 0 F ( l a ) F s () i F n ( l a ) si
力对点的矩与力对通过该点的轴的矩的关系
[MO(F)]x Mx(F) [MO(F)]y My (F) [MO(F)]z Mz (F)
MO(F) MO
[Mx
(F)]2
Mz(F)xF yyF x
Mx yFz zFy
My zFx xFz
手柄ABCE在平面Axy内，在D处作用一个力F，如图4-7所 示，它在垂直于y轴的平面内，偏离铅直线的角度为，如果 CD=a，杆BC平行于x轴，杆CE平行于y轴，AB和BC的长度
力对点之矩与力对轴之矩
力对点的矩 对于平面力系，用代数量表示力对点的矩足
以概括它的全部要素。但是在空间情况下，由三个要素 ，这三个因素可以用力矩矢MO(F)来描述。
F x F si,n F y 0 , F z F cos
力作用点D的坐标为
x l, y l a , z 0
（2）代入式（4-12），得
M x ( F ) y z z F y F ( l a ) F ( c) o 0 F s ( l a ) c
M y ( F ) z x F x z F 0 ( l ) F ( c) o F s cl o
力矩矢的大小，即 M O ( F ) 矢量的方位与力矩作用面的法线方向相同；
矢量的指向按右手螺旋法则来确定
|MO( F ) |= F.d =2S∆OAB
z
B
MO （ F ）
F
根据矢量的叉乘，我们可以知道： rOA×F= |rOA||F|sinθ=Fd，其方向与力矩失 一致。
A
Or d
y
x
MO( F ) = rOA×F
M z ( F ) x y y F x 0 F ( l a ) F s () i F n ( l a ) si
力对点的矩与力对通过该点的轴的矩的关系
[MO(F)]x Mx(F) [MO(F)]y My (F) [MO(F)]z Mz (F)
MO(F) MO
[Mx
(F)]2
Mz(F)xF yyF x
Mx yFz zFy
My zFx xFz
手柄ABCE在平面Axy内，在D处作用一个力F，如图4-7所 示，它在垂直于y轴的平面内，偏离铅直线的角度为，如果 CD=a，杆BC平行于x轴，杆CE平行于y轴，AB和BC的长度
力对点之矩和力对轴之矩的关系
力对点之矩和力对轴之矩的关系在力学的世界里，有两个非常重要的概念，那就是力对点之矩和力对轴之矩。
好啦，不要被这些术语吓到。
我们今天就用轻松的语气，把这两个概念讲得简单易懂。
希望你听完后，能对它们有个清晰的了解，甚至还能哼着小曲去向别人讲解呢！1. 力对点之矩——啥意思？首先，我们来聊聊“力对点之矩”。
假设你在玩跷跷板，这个跷跷板的一边你坐着，另一边小伙伴坐着。
现在，你们在跷跷板上施加了一定的力。
这个力在跷跷板上的效果，就可以用“力对点之矩”来表示。
简单来说，力对点之矩就是力在某一点周围产生的旋转效果。
你可以把它想象成是力使得某个点周围像个旋转的开关一样，力对这个点的旋转效应就是力对点之矩。
2. 力对轴之矩——不难懂的！接下来，我们来看看“力对轴之矩”。
还是拿跷跷板的例子。
假设跷跷板上有个固定的支点，这个支点就是一个“轴”。
当你和小伙伴在跷跷板上施加力的时候，实际上是对这个支点施加了力的效果。
力对轴之矩就是描述力对这个支点（轴）产生的旋转效应。
如果支点在跷跷板的一端，你施加的力就会绕这个支点旋转，这样产生的旋转效果就是力对轴之矩。
3. 关系和应用——它们是怎样联系的？好啦，接下来我们来聊聊这两者之间的关系。
其实，力对点之矩和力对轴之矩是有紧密联系的。
让我们用一个日常的例子来说明一下：假设你在家里修理门把手，你把门把手看作一个力的作用点，而门的转轴就是你的“轴”。
在这种情况下，你施加的力会绕门的转轴产生旋转效果，这个旋转效果就可以用力对轴之矩来表示。
现在，你把力的作用点从门把手的中心转移到门把手的一端。
虽然力的大小没有变化，但由于作用点的不同，产生的旋转效果也不同了。
这时候，你就可以看到，力对点之矩和力对轴之矩之间的关系变得更加复杂。
实际上，它们之间的关系是：力对点之矩可以用来计算力对轴之矩，只要你知道力的作用点到轴的距离就行了。
为了更具体一点，我们可以用公式来表达这个关系：力对点之矩等于力对轴之矩加上力作用点到轴的距离乘以力的大小。
工程力学第3章(力偶系)
工程力学
Engineering Mechanics
中南大学土木建筑学院力学系
Department of Mechanics of School of Civil Engineering and Architecture of Central South University
第三章 力偶系 §3-1 力对点之矩矢
力偶臂d 力偶臂 1=200mm， ，
，力偶臂d ， F2 = F2' = 120N，力偶臂 2=300mm ， F3 = F3' = 80 N，
M 1 = 100 × 0.2 = 20
N.m N.m
M 2 = 120 × 0.3 = 36
M 3 = 80 × 0.18 = 14.4 N.m
M Rx M Ry = ∑ M y = M 1 = 20 N.m
二、力对轴之矩的 解析表达式
M x ( F ) = M x ( Fy ) + M x ( Fz ) = -zFy + yFz M y ( F ) = M y ( Fz ) + M y ( Fx ) = -xFz + zFx M z ( F ) = M z ( Fx ) + M z ( Fy ) = -yFx + xFy
M R = M1 + M 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + M n = ∑ M
M R = M1 + M 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + M n = ∑ M
合力偶矩矢的大小 M R = ( ∑ M x ) 2 + ( ∑ M y )2 + ( ∑ M z )2 合力偶矩矢的方向
R
∑M cos( M ，i ) =
cos( M R，j ) = MR
Engineering Mechanics
中南大学土木建筑学院力学系
Department of Mechanics of School of Civil Engineering and Architecture of Central South University
第三章 力偶系 §3-1 力对点之矩矢
力偶臂d 力偶臂 1=200mm， ，
，力偶臂d ， F2 = F2' = 120N，力偶臂 2=300mm ， F3 = F3' = 80 N，
M 1 = 100 × 0.2 = 20
N.m N.m
M 2 = 120 × 0.3 = 36
M 3 = 80 × 0.18 = 14.4 N.m
M Rx M Ry = ∑ M y = M 1 = 20 N.m
二、力对轴之矩的 解析表达式
M x ( F ) = M x ( Fy ) + M x ( Fz ) = -zFy + yFz M y ( F ) = M y ( Fz ) + M y ( Fx ) = -xFz + zFx M z ( F ) = M z ( Fx ) + M z ( Fy ) = -yFx + xFy
M R = M1 + M 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + M n = ∑ M
M R = M1 + M 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + M n = ∑ M
合力偶矩矢的大小 M R = ( ∑ M x ) 2 + ( ∑ M y )2 + ( ∑ M z )2 合力偶矩矢的方向
R
∑M cos( M ，i ) =
cos( M R，j ) = MR
力对点之矩的概念.
解：取工件为研究对象，平面力偶系。
M 0
解出：
FAl M1 M 2 M 3 0
FA
M1
M2 l
M3
FA 200 N
FB FA 200
例2 已知：a、m，杆重不计。 求：铰A、C的反力。
解： AB为二力构件。 对BC构件，由力偶平衡有：
M 0, m NC d 0
MO (F) MO (Ft ) MO (Fr ) MO (Ft ) Fr cosa 78.93N.m
§3-3 力偶矩矢
1．力偶与力偶矩
*大小相等，方向相反， 作用线平行的两个力称 为力偶。
*力偶只能使物体转动。因 此，力偶与一个力不等效， 它既不能合成一个力也不 能与一个力平衡。
例1 如图所示，圆柱直齿轮受啮合力
的 作 用 。 设 F=1400N。 压 力 角 a=20o
齿轮的节圆(啮合圆), 半径 r =60mm ， 试计算力对轴的力矩。
解：解法1 按力矩定义求解。
解法2 用合理之矩定理求解。
MO (F) F h Fr cosa
1400 60 cos 20 78.93 N m
（1）平面力偶系的合成： 力偶矩的代数求和。
M
M i
（2）空间力偶系的合成： 力偶矩矢的矢量求和。
M平衡条件
（1）力偶系的合成与平衡
M
M i
0
Mx 0 M y 0 Mz 0
（2）平面力偶系的平衡
Mi 0
例1 工件上作用有三个力偶如图所示。已知：力偶矩分别为 M1=M2=10N·m，M3=20N·m，固定螺柱和的距离l=200mm。求 两光滑螺柱所受的水平力。
M 0
解出：
FAl M1 M 2 M 3 0
FA
M1
M2 l
M3
FA 200 N
FB FA 200
例2 已知：a、m，杆重不计。 求：铰A、C的反力。
解： AB为二力构件。 对BC构件，由力偶平衡有：
M 0, m NC d 0
MO (F) MO (Ft ) MO (Fr ) MO (Ft ) Fr cosa 78.93N.m
§3-3 力偶矩矢
1．力偶与力偶矩
*大小相等，方向相反， 作用线平行的两个力称 为力偶。
*力偶只能使物体转动。因 此，力偶与一个力不等效， 它既不能合成一个力也不 能与一个力平衡。
例1 如图所示，圆柱直齿轮受啮合力
的 作 用 。 设 F=1400N。 压 力 角 a=20o
齿轮的节圆(啮合圆), 半径 r =60mm ， 试计算力对轴的力矩。
解：解法1 按力矩定义求解。
解法2 用合理之矩定理求解。
MO (F) F h Fr cosa
1400 60 cos 20 78.93 N m
（1）平面力偶系的合成： 力偶矩的代数求和。
M
M i
（2）空间力偶系的合成： 力偶矩矢的矢量求和。
M平衡条件
（1）力偶系的合成与平衡
M
M i
0
Mx 0 M y 0 Mz 0
（2）平面力偶系的平衡
Mi 0
例1 工件上作用有三个力偶如图所示。已知：力偶矩分别为 M1=M2=10N·m，M3=20N·m，固定螺柱和的距离l=200mm。求 两光滑螺柱所受的水平力。
力矩 力偶系
M （ F） rAO F x O
i
j y
k z
Fx Fy Fz ( yFz zFy )i ( zFx xFz ) j ( xFy yFx ) k
结论：力矩矢在坐标轴上的投影 M 0 (F ) x M x (F ) M 0 (F ) y M y (F ) M 0 (F ) z M z (F )
§ 3-2 力偶及其性质 力偶系的合成与平衡 一、力偶( F , F)
由大小相等,方向相反而不共线 的两个平行力组成的力系。
F d
B A
F= - F
F´
力偶只能使物体发生转动， 不引起移动。
二、力偶矩
F
1、平面力系：
d
A
B
m = ±Fd
正负号的规定： 力偶使物体逆时针转为 + 力偶使物体顺时针转为– 2、空间力系：力偶矩是一个矢量
m
F´
M
A F
M rBA F
rBA
F´
B
三、力偶的性质
1、力偶不能与一个力等效，因此力偶没有合力，也不能
用一个力来平衡。力偶只能与力偶等效,也只能与力 偶平衡。
2、力偶中两力对空间任一点的矩的矢量和（代数和） 等于该力偶矩 ,而与矩心的选择无关。
m mo(F) +mo(F´) = rB0×F + rA0× F´ = rBA×F
d
a
Fxy b
z
结论:
F
B
(a) 当力的作用线与轴平行或相交，
A
即力与轴位于同一平面时力对轴
之矩等于零；
o
(b) 当力沿其作用线移动时力 矩不变。
3.2.1力对点之矩
第三章
§3-2-2 §3-3 §3-4 §3-5
力系的简化
§3-2-1 力对点之矩
力对轴之矩 力偶及其性质 力偶系的合成与平衡 力的平移定理
一、力对点之矩
1、力对点的矩的概念
作用于刚体的力F对空 间任意一点O的力矩定义 间任意一点 的力矩定义 为:
M O(F ) = r × F
式中O点称为矩心， 为矩心 引向力F的作用点 的矢径， 式中 点称为矩心，r为矩心 引向力 的作用点 的矢径， 点称为矩心 为矩心O引向力 的作用点A的矢径 力对点之矩定义为： 力对点之矩定义为： 矩心到该力作用点的矢径与力矢的矢量积。 矩心到该力作用点的矢径与力矢的矢量积。
q=
γ x (1× d x )
dx
=γx
kN/m /
A
• • • • •
可见荷载集度与水的 深度成正比， 深度成正比，按此绘出的 荷载图为图示的三角形。 荷载图为图示的三角形。 坝面所受的静水压力的 合力Q的大小为 合力 的大小为
Q=
∫
h 0
qdx =
∫
h 0
1 γx d x = γh 2
A
2
kN
必须指明矩心，力对点之矩才有意义。 必须指明矩心，力对点之矩才有意义。
• 2、力沿作用线移动，不会改变该力对任一点的力矩。 力沿作用线移动，不会改变该力对任一点的力矩。 • 3、当力的作用线通过矩心时，此力对于该矩心的力矩等 当力的作用线通过矩心时， 于零。 于零。
• 4、力对点之矩的单位； 力对点之矩的单位； • N·m 或 kN·m
点之矩。 例1、试计算图中力F对A点之矩。 试计算图中力 对 点之矩 已知F， 、 、 已知 ，a、b、a。 解：（1）由定义求MA(F ) 由定义求 先确定力臂h 而找力臂 较为麻烦。 先确定力臂h。而找力臂d 较为麻烦。
§3-2-2 §3-3 §3-4 §3-5
力系的简化
§3-2-1 力对点之矩
力对轴之矩 力偶及其性质 力偶系的合成与平衡 力的平移定理
一、力对点之矩
1、力对点的矩的概念
作用于刚体的力F对空 间任意一点O的力矩定义 间任意一点 的力矩定义 为:
M O(F ) = r × F
式中O点称为矩心， 为矩心 引向力F的作用点 的矢径， 式中 点称为矩心，r为矩心 引向力 的作用点 的矢径， 点称为矩心 为矩心O引向力 的作用点A的矢径 力对点之矩定义为： 力对点之矩定义为： 矩心到该力作用点的矢径与力矢的矢量积。 矩心到该力作用点的矢径与力矢的矢量积。
q=
γ x (1× d x )
dx
=γx
kN/m /
A
• • • • •
可见荷载集度与水的 深度成正比， 深度成正比，按此绘出的 荷载图为图示的三角形。 荷载图为图示的三角形。 坝面所受的静水压力的 合力Q的大小为 合力 的大小为
Q=
∫
h 0
qdx =
∫
h 0
1 γx d x = γh 2
A
2
kN
必须指明矩心，力对点之矩才有意义。 必须指明矩心，力对点之矩才有意义。
• 2、力沿作用线移动，不会改变该力对任一点的力矩。 力沿作用线移动，不会改变该力对任一点的力矩。 • 3、当力的作用线通过矩心时，此力对于该矩心的力矩等 当力的作用线通过矩心时， 于零。 于零。
• 4、力对点之矩的单位； 力对点之矩的单位； • N·m 或 kN·m
点之矩。 例1、试计算图中力F对A点之矩。 试计算图中力 对 点之矩 已知F， 、 、 已知 ，a、b、a。 解：（1）由定义求MA(F ) 由定义求 先确定力臂h 而找力臂 较为麻烦。 先确定力臂h。而找力臂d 较为麻烦。
力对点的矩与力对轴的矩
x
rOA投影（A点坐标）：x、y、z rOA = x i +y j +z k
F 投影：Fx、Fy、Fz F =Fx i +Fy j +Fz k
i jk MO( F ) = rOA×F x y z
Fx Fy Fz
i jk MO( F ) = rOA×F x y z
Fx Fy Fz
yFz zFy i zFx xFz j xFy yFx k
力对某轴之矩，等于力在垂直于该轴的平 面上的分力对该轴与此平面交点的矩。
§2.5 力对轴之矩
一、力对轴之矩的概念
z
F
Fz
O
xy d
Fxy
Mz ( F ) =Fxy.d ★:注意
①力对轴之矩是代数量,正负由右手 螺旋法则确定;
②力作用线与轴平行或相交(即力 与轴共面)时,力对该轴矩为零;
③力沿其作用线移动时,它对轴之 矩不变。
对于平面汇交力系，各力对力系平面内任一点的矩矢量共 线，因此可看作代数量。
此时合力之矩等于各分力之矩的代数和。
MO( FR ) =Σ MO( Fi )
a O
b Fh
F
α
Fv
例：求力 F 对 O 的矩。
解：将力 F 沿水平垂直方向分解 则 MO( F ) =Σ MO( Fi ) = MO( Fv ) + MO( Fh )
{ F1、F2、F3、F4 }
O
F3
F5
F2
F4
F1
{ F1、F2、F4、F5 }
空间力系中，各力作用线与矩心所确定的力矩平面不再重合
空间力系中，力对矩心的矩取决于三方面（要素）
①力矩的大小（F.d） ②力矩平面在空间中的方位（法线方位） ③力矩平面内，力使物体绕矩心的转向
力对轴的矩与力对点的矩
cos 3 ， cos 5
5.92
5.92
（2）计算力F 在各坐标轴上的投影
Fx
F
cos
500
N
1 5.92
84.5
N
Fy
F
cos
500
N
3 5.92
253.4
N
Fz
F cos
500
N
5 5.92
422.3
N
图3-6（b）
（3）计算力 F在各坐标轴的矩
力 F 作用点A的坐标是
x 15 cm，y 12 cm，z 0
设有一力 F ，其作用点A的坐标为 (x ，y ，z)，如图3-5所示。 为求力 F 对z轴的矩，可将力 向x，y，z三个坐标轴上投影，
分别记为 Fx ，Fy ，Fz ，而 F 为力 F 在 坐标面内的分力。
根据力对轴之矩的定义，
F 对于z轴的矩等于 对于O点的矩，即 M z (F ) MO (F )
力对轴的矩均为零。
（2）当力沿其作用线移动时，力对轴的矩不变。这是因为此时F 及d
均未改变。
合力矩定理 空间力系的合力对某一轴的矩，等于各分 力对同一轴之矩的代数和。
设有空间一般力系（ F1 ，F2 ， ，Fn ） ，其合力为FR ，则合力矩定理为
n
M z (FR ) M z (F1) M z (F2 ) M z (Fn ) M z (Fi ) i 1
根据平面力系的知识及合力矩定理，有 MO (F ) xFy yFx 于是
M z (F ) xFy yFx
如图3-5
同理，可计算力 F 对x轴及对y轴的矩。因此，力 F对x，y，z轴的矩
分别为
M
x
(F
理论力学课件 力矩、主矩、力的作用量、力偶
力对轴之矩正负由右手法则确定，从轴正向看，逆时针为正，顺时针为负。
FxFyr三、平面上力对点的矩平面上力对点的矩为代数量。
()()kF r F M xy xy O v v vv ⋅×=例1-9 已知α，AO =h ，OC =r ，求水平力F 对C 点的矩。
()ααcos sin Fh Fr r F h F F M y x C −=+−=vxFyF 解F v分解力αcos F F x =αsin F F y =板式的、均匀的，且沿翁。
绘出不倒翁的重心大体在什么范围才能保证不倒翁真正不倒？门轴略内倾。
这种柜子可以自动关门，定性说明其原因。
思考题1、如图所示的楔形块A、B自重不计，接触处光滑，则A、B的平衡情况是怎样的？不平衡2、根据力的可传性,可以将力F沿其作用线移至那里?A，B二、力偶的特征量0v v v v =′+=F F F V F r F r r OB OA v v v v v ×=×−=)()(F r F r OB OA v v v v −×+×=力偶的主矢为对任意点主矩恒等于矢量积，而与矩心的位置无关。
F r v v ×主矩与矩心无关,力偶只能使刚体转动主矢为零.力偶不能使刚体移动力偶对任意点O 的主矩为F r F r M OB OA O v v v v v ′×+×=力偶矩矢量是自由矢量（大小、方向）4.01+×−×=F F F m。
理论力学 第3章
• 作业： • 习题 3-6，3-12
§ 3-5 空间任意力系的平衡方程
1. 空间任意力系的平衡方程 空间任意力系平衡的必要和充分条件：
该力系的主矢r 和对于r 任一点的主矩都为零 FR 0, MO 0
Fx 0 Fy 0 Fz 0
Mx 0 My 0 Mz 0
所有各力在三个坐标轴中每一个轴上的投影的 代数和等于零，以及这些力对于每一个坐标轴的 矩的代数和也等于零。
解析法表示:
M M xi M y j M zk
Mx 0 My 0 Mz 0
——空间力偶系的平衡方程
例3-5 已知：在工件四个面上同时钻5个孔，每个 孔所受切削力偶矩均为80N·m.
求：工件所受合力偶矩在 x, y轴, z上的投影.
解：
把力偶用力偶矩 矢表示，平行移到 点A .
Mx Mix M3 M4 cos45 M5 cos45 193.1N m
力螺旋 由一力和一力偶组成的力系，其中
的力垂直于力偶的作用面
（1）FR 0, M O 0, FR // M O
中心轴过简化中心的力螺旋
钻头钻孔时施加的力螺旋
r r rr （2）FR 0, MO 0,既FR不, M平O行也不垂直，成任意夹
角
力螺旋中心轴距简化中心为 d M O sin
FR
F1 F2 3.54kN FA 8.66kN
§ 3-2 力对点的矩和力对轴的矩
1. 力对点的矩以矢量表示——力矩矢
力对点之矩 在平面力系中——代数量 在空间力系中——矢量
MO (F) Fh 2ΔOAB
r MO
r (F
)
rr
r F
三要素：
（1）大小:力 F与力臂的乘积
空间力系—力对点的矩和力对轴的矩(理论力学)
力矩矢和力对轴的矩
一、力对点的矩以矢量表示 力矩矢
z
B MO(F)
力矩大小: F×h
力矩矢MO(F)三要素
力矩转向 由矢径r绕向F 力矩作用面方位
A(x,y,z)
O
r
y
h
x
方位与力矩作用面的法线相同，按右手螺旋法则确定。
二、力矩矢计算
力对点的矩矢等于矩心到该力作用点的矢径与该力的矢量积。
z
MO(F)= r×F
例2 构件在A点受到作用力F =1000N作用，方向如图所示。图中A点在Oxy平面内。试求： 力F对坐标轴的矩。
解：将力F分解为Fx、Fy、Fz
Fx F cos45 sin 60 612N Fy F cos45 cos60 353N Fz F sin 45 707N
M x (F ) M x (Fx ) M x (Fy ) M x (Fz ) 0 0 707 0.06 42.42N m
单位矢量i、j、k前面的三个系数，分别表示力矩矢MO(F)在三个坐标轴上的投影，即
[MO(F)]x= yFz-zFy [MO(F)]y= zFx-xFz [MO(F)]z= xFy-yFy
由于力矩矢量MO(F)的大小和方向都与矩心O的位置有关，故力矩矢的始端必须在矩心， 不可挪动，这种矢量称为定位矢量。
M x (F ) yFz zFy
M
y
(F )
zFx
xFz
M z (F ) xFy yFx
其中，（x , y , z ）为力 F 作用点的坐标，Fx、Fy、Fz 为力 F 在
x 、y、z 轴上的投影。
四、力对点之矩与力对通过该点的轴的矩的关系
例2 构件在A点受到作用力F =1000N作用，方向如图所示。图中A点在Oxy平面内。试求： 力F对坐标轴的矩。
一、力对点的矩以矢量表示 力矩矢
z
B MO(F)
力矩大小: F×h
力矩矢MO(F)三要素
力矩转向 由矢径r绕向F 力矩作用面方位
A(x,y,z)
O
r
y
h
x
方位与力矩作用面的法线相同，按右手螺旋法则确定。
二、力矩矢计算
力对点的矩矢等于矩心到该力作用点的矢径与该力的矢量积。
z
MO(F)= r×F
例2 构件在A点受到作用力F =1000N作用，方向如图所示。图中A点在Oxy平面内。试求： 力F对坐标轴的矩。
解：将力F分解为Fx、Fy、Fz
Fx F cos45 sin 60 612N Fy F cos45 cos60 353N Fz F sin 45 707N
M x (F ) M x (Fx ) M x (Fy ) M x (Fz ) 0 0 707 0.06 42.42N m
单位矢量i、j、k前面的三个系数，分别表示力矩矢MO(F)在三个坐标轴上的投影，即
[MO(F)]x= yFz-zFy [MO(F)]y= zFx-xFz [MO(F)]z= xFy-yFy
由于力矩矢量MO(F)的大小和方向都与矩心O的位置有关，故力矩矢的始端必须在矩心， 不可挪动，这种矢量称为定位矢量。
M x (F ) yFz zFy
M
y
(F )
zFx
xFz
M z (F ) xFy yFx
其中，（x , y , z ）为力 F 作用点的坐标，Fx、Fy、Fz 为力 F 在
x 、y、z 轴上的投影。
四、力对点之矩与力对通过该点的轴的矩的关系
例2 构件在A点受到作用力F =1000N作用，方向如图所示。图中A点在Oxy平面内。试求： 力F对坐标轴的矩。
力对点之矩与力对轴之矩
z
F
O Fxy
Fz
g jy
x
sin g 2 3
cos g 3 3
sin j cos j 2 2
空间力系的合力矩定理: 力对轴之矩的解析表达式
Mz(FR )= SMz(F )
z Fz
Mx(F)=Mx(Fx)+Mx(Fy)+ Mx(Fz) =0 - zFy+yFz = yFz-zFy
A F Fy
Mx(F)=yFz-zFy
rz O Fx
x xy
My(F)=zFx-xFz Mz(F)=xFy-yFx y r=xi+yj+zk F=Fxi+Fyj+Fzk
z
x= −360cos30°
y= 360cos30°
z= 360sin30°
Fx= Fy= 0
x
Fz= −F
D
F
A
C 30°
B y
i jk
MO(F)=r×F = x y z = -360Fi -360Fcos30°j
Fx Fy Fz
例(P71例3-1)在边长为a的正六面体的对角线上作用一力F。 试求此力对轴x、y、z之矩。
MO(F)= r×F 力矩矢MO(F)是定位矢量。
二、力对轴之矩 实例：手推门
z
F A
z
F Fz O P d A Fxy
Hale Waihona Puke 力对轴之矩：力使刚体绕某轴转动效应的度量，它是一个代数
量，如将力沿该轴与垂直于该轴的平面分解，则其大小等于力
在垂直于轴的平面内的分力的大小与力臂(轴与其垂直平面的
交点到分力作用线的距离)的乘积。
第二节 力对点之矩与力对轴之矩
第三章 空间力系
'
1、FR=0，M0≠0；一个力偶； 2、FR≠0，M0=0；一个力； 3、FR=0，M0=0，（平衡）； 4、FR≠0，M0≠0； (1). M0FR； 00’=a=M /FR”； 0
讨论:
FR”
FR FR’
M0
0 0’ = (1)
a
FR
FR= FR’= FR” ， 一个力
FR M0
(2)
(2). M0‖FR； 右手力螺旋； (3). M0，FR； 右手力螺旋。
D x
A
y
FBD FBE FBC
0 sin75 1.366P 2 0 2cos 45
FBA= –1.564P。
柱AB受压。
例3－5：三叉杆件上作用已知力偶M1=5N· m，为平衡杆 件在杆上作用约束力偶M2、M3，求：约束力偶值。
解:这空间力偶系，因力偶在0yz平面，MX0，
z
My=0, M1+M3 sin300=0,
M0
(3)
等效条件 任意搬动 (水平、 垂直)
FR
FR
M M‖ M
‖
二、平衡
FR 0 , M 0 0 , FR Fix i Fiy j Fiz k
Fix=0 ， Fiy =0， Fiz =0，
M 0 M ix i M iy j M iz k
右手法 则为正
Mz=(xFy-yFx)
z F
M0 Mz
g
r
Fxy
合力矩定理
合力对点(或轴)之矩等于各分力对同点(或轴)之矩的 矢量和(代数和)。
M0 M1 M2 M3 M i
Mx=M1x+M2x+M3x=Mix， My=Miy， Mz=Miz，
1、FR=0，M0≠0；一个力偶； 2、FR≠0，M0=0；一个力； 3、FR=0，M0=0，（平衡）； 4、FR≠0，M0≠0； (1). M0FR； 00’=a=M /FR”； 0
讨论:
FR”
FR FR’
M0
0 0’ = (1)
a
FR
FR= FR’= FR” ， 一个力
FR M0
(2)
(2). M0‖FR； 右手力螺旋； (3). M0，FR； 右手力螺旋。
D x
A
y
FBD FBE FBC
0 sin75 1.366P 2 0 2cos 45
FBA= –1.564P。
柱AB受压。
例3－5：三叉杆件上作用已知力偶M1=5N· m，为平衡杆 件在杆上作用约束力偶M2、M3，求：约束力偶值。
解:这空间力偶系，因力偶在0yz平面，MX0，
z
My=0, M1+M3 sin300=0,
M0
(3)
等效条件 任意搬动 (水平、 垂直)
FR
FR
M M‖ M
‖
二、平衡
FR 0 , M 0 0 , FR Fix i Fiy j Fiz k
Fix=0 ， Fiy =0， Fiz =0，
M 0 M ix i M iy j M iz k
右手法 则为正
Mz=(xFy-yFx)
z F
M0 Mz
g
r
Fxy
合力矩定理
合力对点(或轴)之矩等于各分力对同点(或轴)之矩的 矢量和(代数和)。
M0 M1 M2 M3 M i
Mx=M1x+M2x+M3x=Mix， My=Miy， Mz=Miz，
3—1、力对点之矩
三、平衡条件的应用：讲书中例题。
3—5、力的平移法则
一、平移法则：
1、问题的提出：力平行移动后，和原来作用不等效，如何才能保持等效呢
2、力平移原理：
（1）在Ａ点作用一力Ｐ
（2）据加减平衡力系原理，在Ｏ点加一对平衡力 使
( 3 )力 组成的力系与原来作用于Ａ点的力p等效。
( 4 )力系 组成两个基本单元，一是力 ，一是p和 组成的力偶，其力偶矩为
因此，作用于Ａ点的力Ｐ可用作用于Ｏ点的力 和力偶矩 来代替。
定理：作用在物体上的力Ｐ，可以平行移到同一物体上的任一点Ｏ，但必须同时附加一个力偶，其力偶矩等于原力Ｐ对于新作用点Ｏ的矩。
反之，一个力和一个力偶可以合成一个力。
一、力偶和力偶矩
力偶：大小相等，方向相反，但不作用在一条直线上的两个相互平行的力叫力偶。
1、力偶矩：为了描力偶对刚体的作用，我们引入了一个物理量——力偶矩。它等于力偶中的一个力与其力偶臂的乘积。即：M= （d——两力间垂直距离）
2、正负规定：逆时针为正，顺时针为负。
3、单位：N.M KN.M
4、力偶的性质：
3—1、力对点之矩
一、力矩
1、什么叫力矩：一力 使物体饶某点O转动，O点叫矩心，力 的作用线到O点的垂直距离d叫力臂，力 的大小与力臂d的乘积叫力 对矩心O点之矩，简称力矩，以M0（ ）表示，数学表达式为：M0( )=
2、力矩的正负：逆时针为正，顺时针为负。
力矩是代数量。
3、力矩的单位：N.m，KN.m
一、合成
设
=
结论：平面力偶系可合成为一个合力偶，其力偶矩等于各分力偶矩的代数和。
讲例题
二、平面力偶系的平衡条件：
平面内所有力偶矩的代数和等于零。
3—5、力的平移法则
一、平移法则：
1、问题的提出：力平行移动后，和原来作用不等效，如何才能保持等效呢
2、力平移原理：
（1）在Ａ点作用一力Ｐ
（2）据加减平衡力系原理，在Ｏ点加一对平衡力 使
( 3 )力 组成的力系与原来作用于Ａ点的力p等效。
( 4 )力系 组成两个基本单元，一是力 ，一是p和 组成的力偶，其力偶矩为
因此，作用于Ａ点的力Ｐ可用作用于Ｏ点的力 和力偶矩 来代替。
定理：作用在物体上的力Ｐ，可以平行移到同一物体上的任一点Ｏ，但必须同时附加一个力偶，其力偶矩等于原力Ｐ对于新作用点Ｏ的矩。
反之，一个力和一个力偶可以合成一个力。
一、力偶和力偶矩
力偶：大小相等，方向相反，但不作用在一条直线上的两个相互平行的力叫力偶。
1、力偶矩：为了描力偶对刚体的作用，我们引入了一个物理量——力偶矩。它等于力偶中的一个力与其力偶臂的乘积。即：M= （d——两力间垂直距离）
2、正负规定：逆时针为正，顺时针为负。
3、单位：N.M KN.M
4、力偶的性质：
3—1、力对点之矩
一、力矩
1、什么叫力矩：一力 使物体饶某点O转动，O点叫矩心，力 的作用线到O点的垂直距离d叫力臂，力 的大小与力臂d的乘积叫力 对矩心O点之矩，简称力矩，以M0（ ）表示，数学表达式为：M0( )=
2、力矩的正负：逆时针为正，顺时针为负。
力矩是代数量。
3、力矩的单位：N.m，KN.m
一、合成
设
=
结论：平面力偶系可合成为一个合力偶，其力偶矩等于各分力偶矩的代数和。
讲例题
二、平面力偶系的平衡条件：
平面内所有力偶矩的代数和等于零。
力对点之矩的概念.
§3-2 力对轴的矩
Mz (F) Mo (Fxy ) Fxy h
力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内），力对 该轴的矩为零。
例1 如图所示，圆柱直齿轮受啮合力
的 作 用 。 设 F=1400N。 压 力 角 a=20o
齿轮的节圆(啮合圆), 半径 r =60mm ， 试计算力对轴的力矩。
解：取工件为研究对象，平面力偶系。
M 0
解出：
FAl M1 M 2 M 3 0
FA
M1
M2 l
M3
FA 200 N
FB FA 200
例2 已知：a、m，杆重不计。 求：铰A、C的反力。
解： AB为二力构件。 对BC构件，由力偶平衡有：
M 0, m NC d 0
M rAB F
M 2BAC
§3-4 力偶的等效条件和性质
如力偶矩矢相等，则两力偶等效。
性质：
(1) 力偶可在自己的作用平面内 任意移动，对刚体的作用不变。
(2) 力偶可以改变F、d的大小，
只要力偶矩不变，对刚体的作用 不变。 (3) 力偶可以从一个平面移至另 一平面，只要力偶矩不变，对 刚体的作用不变。
解：解法1 按力矩定义求解。
解法2 用合理之矩定理求解。
MO (F) F h Fr cosa
1400 60 cos 20 78.93 N m
MO (F) MO (Ft ) MO (Fr ) MO (Ft ) Fr cosa 78.93N.m
§3-3 力偶矩矢
Mo (F) r F Mo (F) OAB Mo(F) 2OAB
2.合力矩定理 平面汇交力系的合力对平面内任一点之矩等于各分力
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Mz(F)a
F co3s0si4n5 6Fa 4
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• 解：
M O ( F ) r A F a i F ( cc o 4 i o c s 5 s s o 4 i j s s n 5 k ) in
a( F sij n c o s4 s i n k ) 5
力F对x、y、z轴之矩为：
Mx(F)0
My(F) aF si3n0a2F
M o M oix M ojy M ok z
Mox yFz zFy Moy zFxxFz
力对点之矩几点 结论
Moz xFyyFx
力对点 之矩是定位矢量;
矢量方向由右手定则确定; 矢量作用在O点,垂直于r 和F所在的平面。
力对轴之矩的定义
定义:力使物体绕某一轴转动效应的度量,称 为力对该轴之矩.
rA
解：
i jk
MO(F)rAFa(ik)
F (ij) 2
a
0a
F F 0
22
Fa(i j k) 2
35.36(i j k)kNm
M x(F)3.35k6N m
• 4 正三棱柱的底面为等腰三角形，已知 OA=OB=a，在平面ABED内沿对角线AE有 一个力F， 图中θ =30°，试求此力对各坐 标轴之矩。
力对点之矩和轴之矩
力对点之矩的矢量运算
F= Fx i + Fy j + Fz k
r=x i + y j + z k Mo Frsin rF
i jk =x y z
Fx Fy Fz
MO(F) z
F
O
r
y
x
= (Fzy-Fyz) i +(Fxz-Fzx) j+(Fyx-Fxy) k
M o rF= (Fzy-Fyz) i +(Fxz-Fzx) j+(Fyx-Fxy) k
Mx yFz zFy
My zFx xFz
Mz xFy yFx
力对轴之矩与力对点之矩的关系
结论:力对点之矩的矢量在某一轴上 的投影,等于这一力对该轴之矩 。
M OFxM x MOFyMy M OFzM z
• 1、试求图示中力F对O点的矩。
• （a） M O ( F ) M O ( F x ) M O ( F y ) M O ( F y ) F si ln
2
z
Mx 0
FzFsin300
My
Fza
1 2
Fa
F
FyFco3s00
3
Mz Fya
y
2
Fa
30 0
or
x
My
Mx yFZzFy 0 zFx xFzaFsin300
1 2
Fa
Mz xFyyFx aFco3s00
3 Fa 2
• 3 图示正方体的边长a =0.5m，其上作用的 力F=100N，求力F对O点的矩及对x轴的力 矩。
力
对ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ轴
FFz
之
矩
实 例
Fx F
Fy
力对点的矩和力对轴的矩
力对轴之矩代数量的正负号
力对轴之矩的计算
方法一 : 将力向垂直于
该轴的平面投影 ,力的投 影与投影至轴的垂直距 离的乘积.
Mz (F) = Fxyd
= 2(OAB)
力对轴之矩的计算
方法二: 将力向三个坐 标轴方向分解,分别求三 个分力对轴之矩，然后 将三个分力对轴之矩 的代数值相加。
• （b）M O (F )Fsinl
• （c）M O ( F ) M O ( F x ) M O ( F y ) F cF o 2 ss l ( l i 1 l n 3 )
• （d） M O ( F ) M O ( F x ) M O ( F y ) M O ( F y ) F sil 1 n 2 l 2 2