圆与扇形(经典题汇总)

圆与扇形

公式与割补

内容提要

本讲主要讲解与圆和扇形有关的概念，及周长、面积公式等．下面我们来说说这方面的基础知识． 圆是我们在生活中经常见到的图形，它也是最完美的平面图形：有无数条通过圆心的对称轴，绕圆心旋转任何角度还保持原状．而且，所有的平面图形在周长相同的情况下，圆的面积是最大的．

我们知道，圆的周长和直径的比值是一个固定不变的数，这正是圆周率，用π表示．另外，一般把直径记作d ，半径记作r ，如图1所示．

如图3，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫扇形．它是圆的一部分，所以关于扇形的各种计算可以应用圆里面的结论．

扇形的圆心角为n °时，它的弧长和面积应该分别是圆周长和圆面积的360

n

．

我们先来熟悉一下这些公式． 练习：

n °

r 图3

图1

1.半径是2的圆的面积和周长分别是多少？

2.直径是5的圆的面积和周长分别是多少？

3.周长是10π的圆的面积是多少？

4.面积是9π的圆的周长是多少？

例题

一、基本公式运用

例题1.已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则这个扇形的面积和周长各是多少？（圆周率按3.14计算）

例题2.已知扇形面积为18.84平方厘米，圆心角为60°，则这个扇形的半径和周长各是多少？（圆周率按3.14计算）

60°

随堂练习：

1.已知一个扇形的弧长为0.785厘米，圆心角为45，这个扇形的半径和周长各是多少？

2.扇形的面积是31.4平方厘米,它所在圆的面积是157平方厘米,这个扇形的圆心角是多少？

例题3.如图，直角三角形ABC 的面积是45，分别以B ，C 为圆心，3为半径画圆．已知图中阴影部分的面积是35.58．请问：角A 是多少度？（π取3.14）

二、 圆中方，方中圆

例题4.如图，左下图和右下图中的正方形边长都是2，那么大圆、小圆的面积分别为________、________．

随堂练习：

1. 已知外面大圆的半径是4，里面小圆的面积是多少？（答案用π表示）

二、割补法

例题5. 求下列各图中阴影部分的面积（图中长度单位为厘米，圆周率按3.14计算）： （1）

（2）

2

求下图中阴影部分的面积（图中长度单位为厘米，圆周率按3.14计算）： （1） （2）

例题6.求下列各图中阴影部分的面积（图中长度单位为厘米，圆周率按3.14计算）： （1） （2）

例题7.已知图中正方形的边长为2，分别以其四个顶点为圆心的直角扇形恰好交于正方形中心，那么图中阴影部分的面积为________．（答案用 表示）

例题8.根据图中所给数值，求下面图形的外周长和总面积分别是多少？（π取3.14）

4

7

2

1.根据下图中给出的数值，求这个图形的外周长和面积．（π取3.14）

例题9.求图中阴影部分的面积．（圆周率 取3.14）

思考题

图中的4个圆的圆心是正方形的4个顶点，它们的公共点是该正方形的中心．如果每个圆的半径都是1厘米，那么阴影部分的总面积是多少平方厘米？

作业：

1.半径为4厘米的圆的周长是________厘米，面积是________平方厘米；

2.半径为4厘米，圆心角为90︒的扇形周长是________厘米，面积是________平方厘米．（π取

3.14）

3.家里来客人了，淘气到超市买了4瓶啤酒，售货员阿姨将4瓶啤酒捆扎在一起

（如下图所示），捆4圈至少要用绳子________厘米．（π取3.14，接头处忽略

不计）

4.求下列各图中阴影部分的面积（图中长度单位为厘米，圆周率按3.14计算）：

（1）

（2）

5.下列图形中的正方形的边长为2，则下图中各个阴影部分面积的大小分别为______

、______．（π取

3.14）

6.用一块面积为36π平方厘米的圆形铝板下料，从中裁出了7个同样大小

的圆铝板．问：所余下的边角料的总面积是多少平方厘米？

1 1

圆与扇形

旋转与重叠

知识总结：

学习如何利用割补法和包含排除的思想计算图形中特定部分的面积；学会分析几何图形的运动过程，并由此得出点的轨迹和图形扫过的区域．

例题：

一、 重叠问题

例题1.下图中甲区域比乙区域的面积大57平方厘米，且半圆的半径是10厘米，那么其中直角三角形的另一条直角边的长度是多少？（圆周率π取3.14）

例题2.下图中有一个等腰直角三角形ABC ，一个以AB 为直径的半圆，和一个以BC 为半径的扇形．已知10AB BC ==厘米．图中阴影部分的面积为多少平方厘米？（π取3.14）

随堂练习

1. 如图17-13，以AB 为直径做半圆，三角形ABC 是直角三角形，阴影部分①比阴影部分②的面积小28

平方厘米，AB 长40厘米．求BC 的长度．（π取3.14．）

A

B

例题3.如图，直角三角形的两条直角边分别为3和5，分别以三条边做了3个半圆（直角顶点在以斜边为直径的半圆上），那么阴影部分的面积为______．

例题4.图1是一个直径是3厘米的半圆，AB 是直径．如图2所示，让A 点不动，把整个半圆逆时针转60°，此时B 点移动到C 点．请问：图中阴影部分的面积是多少平方厘米？（π取3.14）

二、 动态扫面积问题

例题5.如图，正方形ABCD 边长为1厘米，依次以A 、B 、C 、D 为圆心，以AD 、BE 、CF 、DG 为半径画出四个直角扇形，那么阴影部分的面积为________平方厘米．（π取3.14）

图

1

B

图2