高中数学选修1-1知识点归纳

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高中数学选修1-1知识点总结

数学选修1-1知识点总结导数及其应用一．导数概念的引入 1. 导数的物理意义：瞬时速率。

一般的，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是000()()lim x f x x f x x∆→+∆-∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='，即0()f x '=000()()lim x f x x f x x∆→+∆-∆ 例1．在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h （单位：m ）与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系2() 4.9 6.510h t t t =-++运动员在t=2s 时的瞬时速度是多少？解：根据定义0(2)(2)(2)lim 13.1x h x h v h x∆→+∆-'===-∆ 即该运动员在t=2s 是13.1m/s,符号说明方向向下2. 导数的几何意义：曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点n P 趋近于P 时，直线PT 与曲线相切。

容易知道，割线n PP 的斜率是00()()n n n f x f x k x x -=-，当点n P 趋近于P 时，函数()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率k ，即0000()()lim ()n x n f x f x k f x x x ∆→-'==- 3. 导函数：当x 变化时，()f x '便是x 的一个函数，我们称它为()f x 的导函数. ()y f x =的导函数有时也记作y ',即0()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆ 二.导数的计算基本初等函数的导数公式:1若()f x c =(c 为常数)，则()0f x '=；2 若()f x x α=,则1()f x x αα-'=;3 若()sin f x x =,则()cos f x x '=4 若()cos f x x =,则()sin f x x '=-;5 若()x f x a =,则()ln xf x a a '=6 若()x f x e =,则()x f x e '=7 若()log x a f x =,则1()ln f x x a'=8 若()ln f x x =,则1()f x x '= 导数的运算法则1. [()()]()()f x g x f x g x '''±=±2. [()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''•=•+•3. 2()()()()()[]()[()]f x f x g x f x g x g x g x ''•-•'= 考点：导数的求导及运算★1、已知()22sin f x x x π=+-，则()'0f =★2、若()sin x f x e x =，则()'f x = ★3.)(x f =ax 3+3x 2+2 ，4)1(=-'f ，则a=（） 319.316.313.310.D C B A ★★4.过抛物线y=x 2上的点M )41,21(的切线的倾斜角是（）A.30°B.45°C.60°D.90° ★★5.如果曲线2932y x =+与32y x =-在0x x =处的切线互相垂直，则0x =三.导数在研究函数中的应用 1.函数单调性： ⑴函数单调性的判定方法：设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果)('x f ＞0，则)(x f y =为增函数；如果)('x f ＜0，则)(x f y =为减函数.求单调性的步骤：① 确定函数)(x f y =的定义域（不可或缺，否则易致错）；② 解不等式'()0'()0f x f x ><或；③ 确定并指出函数的单调区间（区间形式，不要写范围形式），区间之间用“，”★隔开，不能用“”连结。

高中数学选修一-第1章-1.2空间向量基本定理-重点知识点

高中数学选择性必修一
第一章空间向量与立体几何
1.2空间向量基本定理
知识点一：空间向量基本定理
如果三个向量a,b,c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x,y,z)，使得p=x a+y b+z c，其中{a,b,c}叫做空间的一个基底，a,b,c都叫做基向量。

知识点二：空间向量的正交分解
如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i,j,k}表示。

由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量x i，y j，z k，使a=x i+y j+z k。

像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解。

如图，设i,j,k是空间中三个两两垂直的向量，
且表示它们的有向线段有公共起点O。

对于任意
一个空间向量p，存在唯一的有序实数组
（x，y，z），使得
p=x i+y j+z k
1。

高中数学选修内容复习讲义(选修1-1)

第1讲命题及其关系、充分条件与必要条件1.了解“p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.2.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.1.命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的，可以的陈述句叫做命题.其中的语句叫真命题，的语句叫假命题.2.四种命题及其关系(1)四种命题(2)四种命题间的关系(3)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性[思考探究]一个命题的“否命题”与“否定”是同一个命题吗？提示：不是.命题的否命题既否定命题的条件又否定命题的结论，而命题的否定仅是否定命题的结论.3.充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，则p是q的，q是p的；(2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的.1.命题真假的判定对于命题真假的判定，关键是分清命题的条件与结论，只有将条件与结论分清，再结合所涉及的知识才能正确地判断命题的真假.2.四种命题的关系的应用掌握原命题和逆否命题，否命题和逆命题的等价性，当一个命题直接判断它的真假不易进行时，可以转而判断其逆否命题的真假.[特别警示]当一个命题有大前提而写出其他三种命题时，必须保留大前提，大前提不动.※ 分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题、命题的否定，并判断它们的真假： (1)若q ≤1，则方程x 2＋2x ＋q ＝0有实根；(2)若x 、y 都是奇数，则x ＋y 是偶数；(3)若xy ＝0，则x ＝0或y ＝0；(4)若x 2＋y 2＝0，则x 、y 全为0.1.利用定义判断(1)若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件； (2)若q ⇒p ，则p 是q 的必要条件；(3)若p ⇒q 且q ⇒p ，则p 是q 的充要条件；(4)若p ⇒q 且q p ，则p 是q 的充分不必要条件； (5)若p q 且q ⇒p ，则p 是q 的必要不充分条件；(6)若p q 且q p ，则p 是q 的既不充分也不必要条件. 2.利用集合判断记条件p 、q 对应的集合分别为A 、B ，则：若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件；若A B ，则p 是q 的充分不必要条件；若A ⊇B ，则p 是q 的必要条件；若A B ，则p 是q 的必要不充分条件；若A ＝B ，则p 是q 的充要条件；若A ⊈ B ，且A ⊉ B ，则p 是q 的既不充分也不必要条件.[特别警示] 从集合的角度理解，小范围可以推出大范围，大范围不能推出小范围. ※ 指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件？(1) p ：a ＋b ＝2，q ：直线x ＋y ＝0与圆(x －a )2＋(y －b )2＝2相切； (2) p ：|x |＝x ，q ：x 2＋x ≥0；(3) 设l ，m 均为直线，α为平面，其中l ⊄α，m ⊂α，p ：l ∥α，q ：l ∥m ； (4) 设α∈)2,2(ππ-，β∈)2,2(ππ-，p ：α＜β，q ：tan α＜tan β.1.条件已知证明结论成立是充分性.结论已知推出条件成立是必要性；2.证明分为两个环节，一是充分性；二是必要性.证明时，不要认为它是推理过程的“双向书写”，而应该进行由条件到结论，由结论到条件的两次证明；3.证明时易出现必要性与充分性混淆的情形，这就要分清哪是条件，哪是结论.※求证：关于x的方程x2 ＋mx ＋1＝0有两个负实根的充要条件是m≥2.若关于x的方程x2 ＋mx ＋1＝0有两个正实根，求m的取值范围？第2讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1.简单的逻辑联结词：了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.2.全称量词与存在量词(1)理解全称量词与存在量词的意义(2)能正确地对含有一个量词的命题进行否定.1.命题p∧p2.全称量词3.1.判断含有逻辑联结词的命题真假的关键是对逻辑联结词“或”、“且”、“非”含义的理解. 数学中的逻辑联结词“或”与日常生活中的“或”意义不同，日常生活中的“或”带有不能同时具备之意.数学中的逻辑联结词“且”与日常生活中的“且”意义基本一致，表示而且的意思. 数学中的逻辑联结词“非”与日常生活中的“非”意义基本一致，表示否定的意思.2.解决该类问题基本步骤为：(1)弄清构成它的命题p 、q 的真假； (2)弄清它的结构形式；(3)根据真值表判断构成新命题的真假.※ 已知命题p ：∃x ∈R ，使tan x ＝1，命题q ：x 2－3x ＋2＜0的解集是{x |1＜x ＜2}，下列结论： ①命题“p ∧q ”是真命题； ②命题“p ∧q ”是假命题； ③命题“p ∨q ”是真命题； ④命题“p ∨q ”是假命题. 其中正确的是 ( )A. ②③B. ①②④C. ①③④D. ①②③④1.要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M 中的每一个元素x ，验证p (x )成立.2.要判断一个全称命题是假命题，只要能举出集合M 中的一个x ＝x 0，使p (x 0)不成立即可.3.要判断一个特称命题是真命题，只要在限定的集合M 中，至少能找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立即可，否则这一特称命题就是假命题.※ 判断下列命题是否是全称命题或特称命题，若是，用符号表示，并判断其真假. (1)有一个实数α，sin 2α＋cos 2α≠1；(2)任何一条直线都存在斜率；(3)所有的实数a ，b ，方程ax ＋b ＝0有唯一解； (4)存在实数x ，使得2112=+-x x 。

高中数学选修1-1(人教B版)第一章常用逻辑用语1.3知识点总结含同步练习题及答案

q ”，那么
1 时，mx 2 − x + 1 = 0 无实数根； 4
1 ，则 mx 2 − x + 1 = 0 无实数根，真命题； 4
写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假．（1）若 m ⋅ n < 0 ，则方程 mx 2 − x + n = 0 有实数根；（2）若 m ⩽ 0 或 n ⩽ 0，则 m + n ⩽ 0 ．解：（1）逆命题：若方程 mx 2 − x + n = 0 有实数根，则 m ⋅ n < 0 ，假命题；否命题：若 m ⋅ n ⩾ 0 ，则方程 mx2 − x + n = 0 没有实数根，假命题；逆否命题：若方程 mx 2 − x + n = 0 没有实数根，则 m ⋅ n ⩾ 0 ，真命题．（2）逆命题：若 m + n ⩽ 0 ，则 m ⩽ 0 或 n ⩽ 0 ，真命题；否命题：若 m > 0 且 n > 0，则 m + n > 0 ，真命题；逆否命题：若 m + n > 0 ，则 m > 0 且 n > 0 ，假命题．
因为 p 是 q 的充分不必要条件，所以 A ⫋ B．故
{ 1 + m ⩾ 10, 或{ 1 + m > 10, 1 − m < −2, 1 − m ⩽ −2,
解得 m ⩾ 9 ，故实数 m 的取值范围是 [9, +∞)．
2.若则命题的四种形式描述：若则命题命题的常见形式为“若 p 则 q ”，其中 p 叫做命题的条件， q 叫做命题的结论．逆命题对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题．其中一个命题称为原命题（original proposition），另一个称为原命题的逆命题（inverse proposition）．也就是说，如果原命题为“若 p ，则 q ”，那么它的逆命题为“若 q ，则 p ”．否命题对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么这两个命题称为互否命题．其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题（negative proposition）．也就是说，如果原命题为“若 p ，则 q ”，那么它的否命题为“若 ¬p ，则 ¬q ”．逆否命题对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，那么这两个命题称为互为逆否命题．其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命

人教版高中数学【选修1-1】[知识点整理及重点题型梳理]_全称量词与存在量词_基础

人教版高中数学选修1-1知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习全称量词与存在量词【学习目标】1．理解全称量词、存在量词和全称命题、特称命题的概念；2．能准确地使用全称量词和存在量词符号“∀” “∃ ”来表述相关的教学内容；3．掌握判断全称命题和特称命题的真假的基本原则和方法；4. 能正确地对含有一个量词的命题进行否定.【要点梳理】要点一、全称量词与全称命题全称量词全称量词：在指定范围内，表示整体或者全部的含义的量词称为全称量词.常见全称量词：“所有的”、“任意一个”、“每一个”、“一切”、“任给”等.通常用符号“∀”表示，读作“对任意”.全称命题全称命题：含有全称量词的命题，叫做全称命题.一般形式：“对M 中任意一个x ，有()p x 成立”，记作：x M ∀∈，()p x （其中M 为给定的集合，()p x 是关于x 的语句）.要点诠释：有些全称命题在文字叙述上可能会省略了全称量词，例如：（1）“末位是0的整数，可以被5整除”；（2）“线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”；（3）“负数的平方是正数”；都是全称命题.要点二、存在量词与特称命题存在量词定义：表示个别或一部分的含义的量词称为存在量词.常见存在量词：“有一个”，“存在一个”,“至少有一个”，“有的”,“有些”等.通常用符号“∃ ”表示，读作“存在 ”.特称命题特称命题：含有存在量词的命题，叫做特称命题.一般形式：“存在M 中一个元素0x ，有0()p x 成立”，记作：0x M ∃∈，0()p x （其中M 为给定的集合，()p x 是关于x 的语句）.要点诠释：（1）一个特称命题中也可以包含多个变量，例如：存在,R R αβ∈∈使sin()sin sin αβαβ+=+.（2）有些特称命题也可能省略了存在量词.（3）同一个全称命题或特称命题，可以有不同的表述要点三、含有量词的命题的否定对含有一个量词的全称命题的否定全称命题p ：x M ∀∈，()p xp 的否定p ⌝：0x M ∃∈，0()p x ⌝；从一般形式来看，全称命题“对M 中任意一个x ，有p （x ）成立”，它的否定并不是简单地对结论部分p(x)进行否定，还需对全称量词进行否定，使之成为存在量词，也即“任意,()x M p x ∈”的否定为“0x M ∃∈，0()p x ⌝”.对含有一个量词的特称命题的否定特称命题p ：0x M ∃∈，0()p xp 的否定p ⌝：x M ∀∈，()p x ⌝；从一般形式来看，特称命题“0x M ∃∈，0()p x ”，它的否定并不是简单地对结论部分0()p x 进行否定，还需对存在量词进行否定，使之成为全称量词，也即“0x M ∃∈，0()p x ”的否定为“x M ∀∈，()p x ⌝”.要点诠释：(1)全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题；(2)命题的否定与命题的否命题是不同的.（3）正面词：等于、大于、小于、是、都是、至少一个、至多一个、小于等于否定词：不等于、不大于、不小于、不是、不都是、一个也没有、至少两个、大于等于.要点四、全称命题和特称命题的真假判断①要判定全称命题“x M ∀∈，()p x ”是真命题，必须对集合M 中的每一个元素x ，证明()p x 成立；要判定全称命题“x M ∀∈，()p x ”是假命题，只需在集合M 中找到一个元素x 0，使得0()p x 不成立，即举一反例即可.②要判定特称命题“0x M ∃∈，0()p x ”是真命题，只需在集合M 中找到一个元素x 0，使得0()p x 成立即可；要判定特称命题“0x M ∃∈，0()p x ”是假命题，必须证明在集合M中，使 ()p x 成立得元素不存在.【典型例题】类型一：量词与全称命题、特称命题【全称量词与存在量词395491例1】例1. 判断下列命题是全称命题还是特称命题.（1）∀x ∈R ，x 2+1≥1；（2）所有素数都是奇数；（3）存在两个相交平面垂直于同一条直线；（4）有些整数只有两个正因数.【解析】（1）有全称量词“任意”，是全称命题；（2）有全称量词“所有”，是全称命题；（3）有存在量词“存在”，是特称命题；（4）有存在量词“有些”；是特称命题。

高中数学高考核心考点提醒选修1-1 第一章常用逻辑用语

高中数学高考核心考点提醒选修1-1 第一章常用逻辑用语集合与常用逻辑用语集合概念一组对象的全体. ,x A x A∈∉。

元素特点：互异性、无序性、确定性。

关系子集x A x B A B∈⇒∈⇔⊆A∅⊆；,A B B C A C⊆⊆⇒⊆n个元素集合子集数2n 真子集00,,x A x B x B x A A B∈⇒∈∃∈∉⇔⊂相等,A B B A A B⊆⊆⇔=运算交集{}|,x xB x BA A∈∈=且()()()U U UC A B C A C B=()()()U U UC A B C A C B=()U UC C A A=并集{}|,x xB x BA A∈∈=或补集{}|Ux x UC A x A∈=∉且常用逻辑用语命题概念能够判断真假的语句。

四种命题原命题：若p，则q原命题与逆命题，否命题与逆否命题互逆；原命题与否命题、逆命题与逆否命题互否；原命题与逆否命题、否命题与逆命题互为逆否。

互为逆否的命题等价。

逆命题：若q，则p否命题：若p⌝，则q⌝逆否命题：若q⌝，则p⌝充要条件充分条件p q⇒，p是q的充分条件若命题p对应集合A，命题q对应集合B，则p q⇒等价于A B⊆，p q⇔等价于A B=。

必要条件p q⇒，q是p的必要条件充要条件p q⇔，,p q互为充要条件逻辑连接词或命题p q∨，,p q有一为真即为真，,p q均为假时才为假。

类比集合的并且命题p q∧，,p q均为真时才为真，,p q有一为假即为假。

类比集合的交非命题p⌝和p为一真一假两个互为对立的命题。

类比集合的补量词全称量词∀，含全称量词的命题叫全称命题，其否定为特称命题。

存在量词∃，含存在量词的命题叫特称命题，其否定为全称命题。

一、命题及其关系1.四种命题的相互关系：（既否条件又否结论）（先逆再否）（互换条件与结论）2.四种命题的真假性之间的关系：（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性,即原命题与逆否命题等价，逆命题与否命题等价。

高中数学选修1-1知识点总结归纳(经典版)

高中数学选修1-1知识点总结归纳（经典版）常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.1.1 命题1、命题：一般地，在数学中我们把语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。

其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题。

2、命题的构成：在数学中，命题通常写成“若p ，则q ”的形式。

其中p 叫做命题的条件，q 叫做命题的结论。

1.1.2 四种命题3、互逆命题：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们这样的两个命题叫做互逆命题。

其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题。

如果原命题为“若p ，则q ”，则它的逆命题为“若q ，则p ”.4、互否命题：一般地，对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，我们把这样的两个命题叫做互否命题。

如果把其中的一个命题叫做原命题，，那么另一个叫做原命题的否命题。

如果原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若p ⌝，则q ⌝”.5、互逆否命题：一般地，对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题。

如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆否命题。

如果原命题为“若p ，则q ”，则它的逆否命题为“若q ⌝，则p ⌝”. 6、以上总结概括：1.1.3 四种命题间的相互关系7、四种命题间的相互关系：一般地，原命题、逆命题、否命题与逆否命题这四种命题之间的相互关系：8、四种命题的真假性：一般地，四种命题的真假性之间的关系：（1）两个命题和互否命题，它们有相同的真假性；（2）两个命题为互逆否命题或互否命题，它们的真假性没有关系。

1.2 充要条件与必要条件1.2.1 充分条件与必要条件1、充要条件与必要条件：一般地，“若p ，则q ”为真命题，是指由p 通过推理可以得出q .这时，我们就说，由p 可推出q ，记作p q ⇒，并且说p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件。

人教版高中数学【选修1-1】[知识点整理及重点题型梳理]_命题及其关系_提高

人教版高中数学选修1-1知识点梳理）巩固练习重点题型（常考知识点命题及其关系【学习目标】1．了解命题、真命题、假命题的概念，能够指出一个命题的条件和结论；2．了解原命题、逆命题、否命题、逆否命题，会分析四种命题的相互关系，能判断四种命题的真假；3．能熟练判断命题的真假性.【要点梳理】要点一、命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题.要点诠释：1.不是任何语句都是命题，不能确定真假的语句不是命题，如“x>2”，“2不一定大于3”.2.只有能够判断真假的陈述句才是命题.祈使句，疑问句，感叹句都不是命题，例如：“起立”、“π是有理数吗？”、“今天天气真好！”等.3.语句能否确定真假是判断其是否是命题的关键.一个命题要么是真，要么是假，不能既真又假，模棱两可.命题陈述了我们所思考的对象具有某种属性，或者不具有某种属性，这类似于集合中元素的确定性.要点二、命题的结构命题可以改写成“若p，则q”的形式，或“如果p，那么q”的形式.其中p是命题的条件，q是命题的结论.要点诠释：1.一般地，命题“若p则q”中的p为命题的条件q为命题的结论.2.有些问题中需要明确指出条件p和q各是什么，因此需要将命题改写为“若p则q”的形式.要点三、四种命题原命题：“若p，则q”；逆命题：“若q，则p”；实质是将原命题的条件和结论互相交换位置；否命题：“若非p，则非q”，或“若⌝p，则⌝q”；实质是将原命题的条件和结论两者分别否定；逆否命题：“若非q，则非p”，或“若⌝q，则⌝p”；实质是将原命题的条件和结论两者分别否定后再换位或将原命题的条件和结论换位后再分别否定.要点诠释：对于一般的数学命题，要先将其改写为“若p，则q”的形式，然后才方便写出其他形式的命题.要点四、四种命题之间的关系四种命题之间的构成关系原命题若p则q 互互互逆为逆否逆命题若q则p互否否命题互为逆否否逆否命题若⌝p则⌝q 四种命题之间的真值关系原命题真真假假逆命题真假真假互逆否命题真假真假若⌝q则⌝p逆否命题真真假假要点诠释：（1）互为逆否命题的两个命题同真同假；（2）互为逆命题或互为否命题的两个命题的真假无必然联系.要点五、反证法：1.反证法是假设结论的否定成立，利用已知条件，经过推理论证得出矛盾，判定结论的否定错误，从而得出要证的结论正确.2.反证法的步骤：（1）假设结论不成立.（2）从假设出发推理论证得到矛盾（3）判定假设错误，肯定结论正确.3.互为逆否命题的两个命题同真同假是命题转化的依据和途径之一，因此在直接证明. 原命题有困难时，可以考虑证明与它等价的逆否命题.要点诠释：反证法是间接证明的重要方法之一.【典型例题】类型一：命题的概念例 1.判断下列语句是否为命题？若是，判断其真假.(1) x > 1 ；(2)当 x = 0 时, x > 1 ； (3) 你是男生吗？ (4) 求证： π 是无理数.【思路点拨】依据命题的定义判断。

高中数学选修1-1第三章复习小结

1 ②当x0=－时，所求的切线方程为： 2
1 y－2= － (x－1),即x+4y－9=0 4
针对训练：求曲线 f
x x3 3x2 2x 过原点的切线方程.
注：导数等于零的点不一定是极值点．
六、函数的最大值与最小值：
1.定义：最值是一个整体性概念，是指函数在给定区间(或定义域) 内所有函数值中最大的值或最小的值，最大数值叫最大值，最小的值叫最小值，通常最大值记为M，最小值记为m. 2.存在性：在闭区间[a，b]上连续函数f(x)在[a，b]上必有最大值与
x 0
x
3．导数的几何意义：函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在P(x0，f(x0))处的切线的斜率，即曲线 y=f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线斜率为k＝f ’(x0)．所以曲线 y＝ f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线方程为 yy0=f ’(x0)· (x－x0)． 4．导数的物理意义：物体作直线运动时，路程s关于时间t
x以增量△x，函数y相应有增量△y=f(x0+△ x)－f(x0)，若极限 lim y lim f ( x0 x) f ( x0 ) 存在，则此极限称为
x 0
x
x 0
x
f(x)在点x=x0处的导数，记为f ’(x0)，或y|x x ；
0
2．导函数：如果函数y=f(x)在区间(a，b)内每一点都可导，就说y=f(x)在区间(a，b)内可导．即对于开区间(a，b)内每一个确定的x0值，都相对应着一个确定的导数f ’(x0)，这样在开区间(a，b)内构成一个新函数，把这一新函数叫做f(x)在(a，b)内的导函数．简称导数．记作f ’(x)或y’. 即f ’(x)=y’= lim f ( x x) f ( x)

高中数学选修1-1知识点归纳1#

高中数学选修1-1知识点归纳1#高中数学选修1-1知识点归纳高中数学选修1-1是数学学科的一部分，内容较为丰富，涉及到多个知识点。

下面将对这些知识点进行归纳和总结，具体内容如下：一、函数的概念和表示方法1、函数的定义：函数是一种描述因果关系的数学工具，将一个集合的每个元素都唯一地对应到另一个集合的元素上。

2、函数的表示方法：常见的函数表示方法有显式表示法、参数表示法和隐式表示法。

二、平方根函数1、平方根函数的定义：平方根函数是指以x为自变量，y为因变量的函数y = √x。

2、平方根函数的图像：平方根函数的图像为一条开口向上的抛物线曲线。

3、平方根函数的性质：平方根函数的定义域为非负实数集，值域为非负实数集。

三、指数函数1、指数函数的定义：指数函数是指以x为自变量，y为因变量的函数y = a^x，其中a是正常数且不等于1。

2、指数函数的图像：指数函数的图像为一条递增或递减的曲线。

3、指数函数的性质：（1）指数函数的定义域为全体实数集，值域为正实数集（当a>1时）或(0,1)区间上的实数集（当0<a<1时）。

（2）指数函数与底数a的关系：当a>1时，指数函数递增；当0<a<1时，指数函数递减。

四、对数函数1、对数函数的定义：对数函数是指以x为自变量，y为因变量的函数y = loga(x)，其中a是一个正常数且不等于1。

2、对数函数的图像：对数函数的图像为一条递增或递减的曲线。

3、对数函数的性质：（1）对数函数的定义域为正实数集，值域为全体实数集。

（2）对数函数与底数a的关系：当a>1时，对数函数递增；当0<a<1时，对数函数递减。

五、指数方程和对数方程1、指数方程的定义：指数方程是指含有未知数的指数的等式。

2、求解指数方程的一般步骤：（1）移项（2）底数相等的条件3、对数方程的定义：对数方程是指含有未知数的对数的等式。

4、求解对数方程的一般步骤：（1）移项（2）底数相等的条件六、指数函数与对数函数的图像与性质1、指数函数与对数函数的关系：指数函数与对数函数是互为反函数的函数。

高中新课程数学(新课标人教A版)选修1-1《第三章导数及其应用》归纳整合

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2．曲线的切线方程利用导数求曲线过点 P 的切线方程时应注意： (1)判断 P 点是否在曲线上； (2)如果曲线 y＝f(x)在 P(x0， f(x0))处的切线平行于 y 轴(此时导数不存在)，可得方程为 x＝x0；P 点坐标适合切线方程，P 点处的切线斜率为 f′(x0)． 3．利用基本初等函数的求导公式和四则运算法则求导数，熟记基本求导公式，熟练运用法则是关键，有时先化简再求导，会给解题带来方便．因此观察式子的特点，对式子进行适当的变形是优化解题过程的关键．
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(2)由 f(x)＝x3－3x2＋2 得，f′(x)＝3x2－6x. 由 f′(x)＝0 得，x＝0 或 x＝2. ①当 0<t≤2 时，在区间(0， t)上 f′(x)<0， f(x)在[0， t]上是减函数，所以 f(x)max＝f(0)＝2， f(x)min＝f(t)＝t3－3t2＋2. ②当 2<t<3 时，当 x 变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：
(x1，x2) －
x2 0 极小值
(x2，＋∞) ＋
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此时
a－ f(x)在0，
a2－8 上单调递增， 2
a－在 a＋在
a2－8 a＋ a2－8 ，上单调递减， 2 2
a2－8 ，＋∞ 上单调递增． 2
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4．判断函数的单调性 (1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程只能在函数的定义域内进行，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间； (2)注意在某一区间内 f′(x)＞0(或 f′(x)＜0)是函数 f(x)在该区间上为增(或减)函数的充分条件．

数学北师大版高中选修1-1高中数学选修1-1第一章知识点小结

第一章常用逻辑用语小结第1 课时本章知识回顾【课程学习目标】1、梳理本间知识脉络，形成体系，掌握本章各个知识点。

2、了解各个知识点之间的相互联系。

【课程导学建议】1、本课时建议采用“分组讨论式”。

2、注意引导学生注意各知识点间的相互联系。

自主总结【知识框图交流】【知识回顾交流】1、命题四种命题的关系充要条件四种命题复合命题全称命题、特称命题常用逻辑用语命题的交换三个逻辑联结词两种量词命题的否定（1）命题的概念：我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。

其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题。

（2）命题的结构：在数学中，具有“若p则q”这种形式的命题是较为常见的，我们把这种形式的命题的p叫做条件，q叫做结论。

（3）命题的真假判断：①判断一个命题为真命题，需要说明道理，甚至需要给出证明；判断一个命题为假命题，只需要举反例。

②判断命题的真假时，应先分清条件和结论，写成“若p则q”的形式，再作判断，既可直接判断真假，也可转化为判断逆否命题。

2、四种命题及其相互关系（1）四种命题的概念：一般地，用p和q分别表示魇命题的条件和结论，用p和q分别表示p和q的否定，于是四种命题的形式就是：原命题：若p则q；逆命题：若q，则p；否命题：若p，则q；逆否命题：若q，则p。

关于逆命题、否命题和逆否命题，也可以如下表述：①交换原命题的条件和结论，所得的命题是原命题的逆命题；②同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是原命题的否命题；③交换原命题的条件和结论，同时进行否定，所得的命题是原命题的逆否命题。

（2）四种命题之间的关系四种命题之间的相互关系如下图所示：由下图知逆命题与否命题也互为逆否命题，因此这四种命题的真假之间的关系如下：①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性；否命题否②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系。

（3）否命题与命题的否定是不相同的，若p表示命题，“非p”叫做命题的否定。

高中数学选修1-1知识点

选修1－1、1-2数学知识点第一部分简单逻辑用语1、命题：用语言、符号或式子表达的，能够判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句.2、“若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论.3、原命题：“若p ，则q ” 逆命题： “若q ，则p ” 否命题：“若p ⌝，则q ⌝” 逆否命题：“若q ⌝，则p ⌝”4、四种命题的真假性之间的关系：（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没相关系． 5、若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件．若p q ⇔，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）．利用集合间的包含关系：例如：若B A ⊆，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A=B ，则A 是B 的充要条件；6、逻辑联结词：⑴且(and ) ：命题形式p q ∧；⑵或（or ）：命题形式p q ∨； ⑶非（not ）：命题形式p ⌝.p qp q ∧ p q ∨ p ⌝ 真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真7、⑴全称量词——“所有的”、“任意一个”等，用“”表示；全称命题p ：)(,x p M x ∈∀；全称命题p 的否定⌝p ：)(,x p M x ⌝∈∃。

⑵存有量词——“存有一个”、“至少有一个”等，用“∃”表示；特称命题p ：)(,x p M x ∈∃；特称命题p 的否定⌝p ：)(,x p M x ⌝∈∀；第二部分圆锥曲线1、平面内与两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹称为椭圆．即：|)|2(,2||||2121F F a a MF MF >=+。

这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距． 2、椭圆的几何性质：焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程()222210x y a b a b +=>> ()222210y x a b a b+=>> 范围a x a -≤≤且b y b -≤≤ b x b -≤≤且a y a -≤≤顶点()1,0a A -、()2,0a A()10,b B -、()20,b B()10,a A -、()20,a A ()1,0b B -、()2,0b B 轴长短轴的长2b = 长轴的长2a =焦点 ()1,0F c -、()2,0F c()10,F c -、()20,F c焦距 ()222122F F c c a b ==-对称性关于x 轴、y 轴、原点对称离心率()22101c b e e a a==-<<3、平面内与两个定点1F ，2F 的距离之差的绝对值等于常数（小于12F F ）的点的轨迹称为双曲线．即：|)|2(,2||||||2121F F a a MF MF <=-。

高中数学选修1-第一章-1.1空间向量及其运算-重点知识点

第一章空间向量与立体几何1.1空间向量及其运算知识点一：空间向量的概念及几类特殊向量1.空间向量：在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模。

2.单位向量：模为1的向量。

3.零向量：长度为0的向量。

4.相等向量：长度相等且方向相同的向量。

5.相反向量：长度相等且方向相反的向量6.共线(平行)向量：如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线(平行)向量。

7.方向向量：在直线l上取非零向量a,把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量。

8.共面向量：平行于同一个平面的向量,叫做共面向量。

知识点二：空间向量的线性运算1.加法：三角形法则：a+b=OA→+AB→=OB→;平行四边形法则：a+b=OA→+OC→=OB→2.减法：a-b=OA→-OC→=CA→ 3.数乘运算当λ>0时，λa=λOA→=PQ→(与a同向)当λ<0时，λa=λOA→=MN→(与a反向)当λ=0时，λa=04.运算律(λ,μ∈R)交换律：a+b=b+a结合律：(a+b)+c=a+(b+c)，λ(μa)=(λμ)a分配律：(λ+μ)a=λa+μa，λ(a+b)=λa+λb知识点三：空间向量共线、共面的有关定理1.共线向量定理对任意两个空间向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使a =λb2.共面向量定理向量p 与不共线的两个空间向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y)，使p =x a +y b知识点四：空间向量的数量积1.数量积：a ·b =|a ||b |cos<a ,b >，其中<a ,b >为两个非零向量a ,b 的夹角。

2.运算律：(λa )·b =λ(a ·b )；λ∈R ；a ·b =b ·a (交换律)；(a +b )·c =a ·c +b ·c (分配律)。

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2、椭圆的几何性质：
焦点的位置
焦点在 x 轴上
焦点在 y 轴上
图形
标准方程范围
顶点
轴长焦点焦距对称性
x2 a2
y2 b2
1a
b
0
a x a 且 b y b
A1 a, 0、 A2 a, 0 1 0, b、 2 0,b
4、双曲线的几何性质：
焦点的位置
焦点在 x 轴上
焦点在 y 轴上
图形
标准方程
范围顶点轴长焦点焦距对称性
x2 a2
y2 b2
1a
0, b
0
y2 a2
x2 b2
1a
0, b
0
x a 或 x a ， y R
y a 或 y a ， x R
A1 a, 0、 A2 a, 0
A1 0, a、 A2 0, a
若 f x 0 ，则函数 y f x在这个区间内单调递减．
7、求函数 y f x的极值的方法是：解方程 f x 0 ．当 f x0 0 时：
我去人也就有人！为UR扼腕入站内信不存在向你偶同意调剖沙龙课反倒是龙卷风前一天
-6-
1如果在 x0 附近的左侧 f x 0 ，右侧 f x 0 ，那么 f x0 是极大值； 2如果在 x0 附近的左侧 f x 0 ，右侧 f x 0 ，那么 f x0 是极小值．
6、逻辑联结词：⑴且(and) ：命题形式 p q ；⑵或（or）：命题形式 p q ；⑶非（not）：命题形式 p .
p
q
p q p q p
真
真
真
真
假