通径分析

通径分析

1 简介

通径分析（path analysis）可用于分析多个自变量与因变量之间的线性关系，是回归分析的拓展，可以处理较为复杂的变量关系。如当自变量数目比较多，且自变量间相互关系比较复杂（如：有些自变量间的关系是相关关系，有些自变量间则可能是因果关系）或者某些自变量是通过其他的自变量间接地对应变量产生影响，这时可以采用通径分析。

2 基本概念

2.1 通径模型（path model）：

通径模型是由一组线性方程组成的，反映自变量、中间变量、潜变量和应变量之间相互关系的模型，是以多元线性回归方程为基础的模型。

2.2 通径图(path graph)：

通径图（如图1）可以直观的表现各个变量之间的相互关系。通径图中的单箭头线称为直接通径（如A到D），简称通径（path），表示因果关系，方向由原因指向结果。双箭头线称为相关线(correlation line)，表示变量间互为因果，是平行关系（如A与B）。

A B C

D

е

图1 通径图

其中е为误差项。

2.3 外生变量和内生变量：

通径分析中只受到模型之外的其他因素影响的变量称为外生变量，如图1中的A、B、C、е，通径图中没有箭头指向它们。外生变量之间如果有相关关系，则用双箭头线表示。

通径分析中受到模型中某些变量影响的变量称为内生变量，如图1中的D，通径图中有朝内的箭头指向它们。

2.4 通径系数（path coefficient）：

通径系数是是用来表示相关变量因果关系的统计量，是标准化的偏回归系数，也称作通径权重。通径系数一般用最小二乘法法(OLS)或极大似然估计法(MLE) 来估计｡

2.4.1 通径系数的数学表达式

如果我们估计的线性回归方程为：

= + + （1）

或

= + + +e（e为残差）（2）

由于和带有量纲，我们不能通过、来比较对的影响大小。如果要比较和对的影响，需要消除量纲的影响，需要将、及e标准化。

由= + + +e可得：

= + + (3)

公式（2）与公式（3）相减得：

- = - ）+ （- ）+e （4）

公式（4）可变换为下式：

= · + · + ·e（5）

公式（5）中、、、分别表示、及e的标准差。和分别为自变量、的标准化偏回归系数。为除了自变量以外的其他因素对应变量的影响大小。如果我们以、、和分别表示、和e到的通径系数，那么:

= , = , =

当我们估计的线性回归方程有多个自变量，且自变量间两两相关时，各自变量及残差到应变量的通径系数的数学表达式同上。

2.4.2 通径系数的性质：

（1）通径系数具有偏回归系数的性质。它是变量标准化后的偏回归系数，能够表示变量间的因果关系，故仍具有偏回归系数的性质。

（2）通径系数具有相关系数的性质。它是一个不带单位的相对数，因而又具有相关系

数的性质，是具有方向性的相关系数，能表示原因与结果（自变量与依变量）之间的关系，它是介于回归系数和相关系数之间的一种统计量，可用于各种性状间的相关分析。

（3）通径系数是一个不带单位的相对数。可以用它来估计自变量对应变量直接影响效应的大小，比较其相对重要性。

（4）利用通径系数分析，可以帮助我们建立“最优”多元回归方程。

2.5 决定系数（Determination coefficient）

通径系数的平方称为决定系数，表示自变量或误差能够解释应变量总变异的程度。

3 通径分析的显著性检验

通径分析的显著性检验包括以下四项：

（1）回归方程显著性检验：采用F检验法；

（2）通径系数显著性检验：采用F检验法或t检验法；

（3）通径系数差异显著性检验：采用F检验法或t检验法；

（4）两次通径分析相应通径系数显著性检验：采用F检验法或t检验法。

一般情况下，第（3）种检验和第（4）种检验在一般的多元线性回归分析中无法实现，因为不同偏回归系数带有不同量纲，但是在通径分析中，这两种检验可以实现。