巧选例题辨析概率统计中几个容易混淆的概念

巧选例题辨析概率统计中几个容易混淆的概念

摘要：对概率统计中几个容易混淆的概念：频率与概率、互不相容事件与相互独立事件、互不相容事件与相互对立事件、多个事件两两独立与相互独立、条件概率与乘积概率等举例辨析。在概率统计教学过程中，选取既具有实用背景又能阐明基本概念、能够提高学生兴趣的例题，能够加强学生对知识理解的准确性和完善性，提高学生的学习效果和职业能力。

关键词：例题；概率统计；概念辨析；频率；概率；职业素质中图分类号：g712 文献标识码：a 文章编号：1672-5727（2012）07-0095-02

概率统计是研究随机现象的统计规律性的数学学科，是高等学校理、工、管理类专业一门重要的基础理论课，也是高等职业院校一门重要的职业素质课程。它的思想方法与学生以往接触过的任何一门学科均有所不同。在概率统计中存在许多容易混淆的概念，如不能认真区分，仔细加以甄别，就难以正确理解这些重要概念，在应用时就容易出现各种各样的错误。学生在学习这门课的过程中普遍感到概念难以理解，思维难以展开。因此，教师在教学过程中对那些容易使学生混淆的内容一定要提出来特别强调，消除学生对这些内容理解的困难。对于这些内容如果能精心选择适当的例子加以解释说明，会得到事半功倍的效果。下面举例说明。

频率与概率

定义1：在相同条件下重复n次实验，事件a发生的次数m与实验总次数n的比值称为频率。

定义2：大量重复进行同一试验时，事件a发生的频率总是接近某一常数p，并在它附近摆动，这个常数p叫做事件a的概率。

两者之间的关系：概率来源于频率，它是大量独立重复试验时频率的稳定值。因此，频率是概率的先导，而概率是频率的抽象和发展。频率在一定程度上可以反映随机事件发生的可能性的大小，但频率本身是随机的，在实验前不能确定，无法从根本上刻画事件发生可能性的大小。概率是随机事件发生的可能性大小的数量反映，是事件在大量重复实验中频率逐渐稳定后的值，即可以用大量重复实验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同。

在大量重复实验的条件下频率可以近似地作为这个事件的概率。一般地，用频率近似代替概率的例子并不多见，以下这个例子既有很好的实际意义，又能较好地体现频率与概率之间的联系。

例1：新药的效果

一种治疗某种疾病的新药，在500名病人中，有的服了这种药（■），有的没有服这种药（b），5天后，有的痊愈（■），有的未痊愈（ab），各种情况的人数见表1，其中170表示服药后痊愈（ab）的人数，其余类似。试判断这种新药是否有效？

解：比较服药后痊愈与未服药痊愈事件概率，由于试验共500例，

试验次数相当大，故可用频率近似地估计概率：p（b）≈■=0.8，p（b|a）≈■=0.81。因为p（b）与p（b|a）几乎相等，故可认为事件b与a相互独立，表明服药和不服药对治疗效果不大，新药对这种疾病无意义。

评析：本题只给出了数学统计表，且试验次数较大，因此，用频率去估计概率给问题的解决带来了很大的方便。根据本问题提供的条件直接求事件的概率是很困难的。

互不相容事件与相互独立事件

定义3：设a、b为两个事件，若ab=φ，则称a、b互不相容。定义4：如果两个事件a与b满足等式p（ab）=p（a）p（b），则称事件a与b是相互独立的。

两者之间的关系：两事件“互不相容”是指这两个事件不能同时发生，是用事件的运算来描述的。而“相互独立”则是指一个事件发生与否对另一事件发生的概率没有影响，是用事件的概率来描述的。两事件“互不相容”时，这两个事件之间有很强的依赖关系。“两事件相互独立必定互不相容”的认识是错误的。

一般情况下，两件互不相容的事件不一定相互独立，两个相互独立的事件也不一定互不相容。只有满足条件：p（a）p（b）=0时，这两者才能相互推出。

为了让学生更好地区别这两个极易混淆的概念，在选择例题的时候要有针对性地选择一些学生比较容易理解又比较简单的事件，这

样学生在遇到一些比较复杂的事件时，才能更好地区分。

例2：盒子里装有m只白球，k只黑球，做有放回的摸球试验，a 表示“第一次摸到黑球”，b表示“第二次摸到白球”；则a和b是相互独立但不是互不相容的。

例3：52张扑克牌平均分给甲、乙、丙、丁4个人，a表示甲得3张k，b表示乙得两张k；则a与b互不相容但不相互独立。

例4：甲投篮命中率为0.8，乙投篮命中率为0.7，每人投3次，两人恰好都命中2次的概率是多少？解：设“甲恰好投中两次”为事件a，“乙恰好投中两次”为事件b，且a、b相互独立，则两人都恰好投中两次为事件，于是

p（ab）=p（a）p（b）=c23×0.82×0.2×c230.72×0.3≈0.169。评析：常有学生会这样认为：所求事件为a+b，

p（a+b）=p（a）+p（b）=c23×0.82+0.2×c230.72×0.3≈0.825。这样做错误的原因就是把相互独立同时发生的事件当成了互不

相容的事件。

互不相容事件与相互对立事件

定义5：“事件a不发生”称为事件a的对立事件，记为■。

互不相容事件与相互对立事件的联系与区别是：（1）两事件对立，必定互斥，但互斥未必对立；（2）互斥的概念适用于多个事件，但对立概念只适用于两个事件；（3）两个事件互斥只表明这两个事件不能同时发生，即至多只能发生其中一个，但可以都不发生；而两

事件对立则表示它们有且仅有一个发生。

例5：把红、黑、白、蓝4张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁4个人，每个人分得1张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是：a．对立事件；b．不可能事件；c．互斥但不对立事件；d．以上均不对。

正解：事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是不能同时发生的两个事件，这两个事件可能恰有一个发生，也可能两个都不发生，所以应选c。若把“互斥”与“对立”混同就很容易错选a。

这道例题的巧妙之处在于事件本身比较简单，如果有学生仅从字面上理解对立，很容易错选。

多个事件两两独立与相互独立

定义6：n个事件ai（i=1，2，……，n）两两独立是指：

?坌ai，aj（i≠j），p（aiaj）=p（ai）（aj），

定义7：n个事件ai（i=1，2，……，n）相互独立是指：

?坌ai，aj（i≠j），p（aiaj）=p（ai）（aj），

且p（a1，a2，……an）=p（a1）p（a2）……p（an）

两者之间的关系：相互独立可以推出两两独立。反之未必。

以下两个例子很巧妙地说明了相互独立与两两独立之间的关系。例6：设有一个均匀的正四面体，第一、二、三面分别涂上红、黄、蓝一种颜色，第四面涂上红、黄、蓝三种颜色。现以a、b、c 分别记投一次四面体底面出现红、黄、蓝颜色的事件，则p（a）=p