巧选例题辨析概率统计中几个容易混淆的概念

合集下载

概率统计问题易错归类剖析

一
—
Ｅ（亭）＝：＝０ × Ｐ（一０）＋
ｌ× Ｐ（一１）＋２ × Ｐ（一２）一＿＝２Ｉ
所，以
０
Ｅ（５＋１）一５Ｅ（）ｑ－１— ５× ＿三一十ｌ一３。
～）
警示：不放同地抽取，在理解随机变量取值的意义下，先选后排，且注意次品选定后正品是相同元素与次品排位的 “… 一埘嘘 ”火系，排定次品就唯一确定了正品，利用这种刘应关系就可以避免重复计数。
分钟，种情况。乙完成此题所用时间为６、Ｂｃ上任取一点Ｍ所以，一共有３× ３＝＝＝９（个）基本事件。其中甲用７分钟，乙用６分
１
钟，此事发生，除此无。所以Ｐ（Ａ）一÷ 。
相同点：每个基本事件出现的可能性相同。
求解方法：古典概型的概率Ｐ（Ａ）一
垒基本茎事件套的总数；～几ｕ何。概型的概率
题所用的时间约５～７分钟，乙解答此题所用的时间约６～８分钟。现甲、乙各解此题，求乙比甲先解答完的概率。
ＣＡＭ＜３０。的概率。
ｒ
错解：ＣＡＭ可以选择
的可能性为０。～４５。，记事件
图ｌ
错因：时间在无特殊条件要求下是连续Ａ为 “ （：ＡＭ＜３。… ，则Ｐ（Ａ）一一。

巧选例题辨析概率统计中几个容易混淆的概念

（曰）＿．Ｐ（Ａ）０８，ＢＩ一＝．１ｏ８。
果下面举例说明
频率与概率
定义１：在相同条件下重复ｎ次实验．件Ａ发生的次数ｍ与实验总次数事ｎ的比值称为频率定义２大量重复进行同一试验时．：事件Ａ发生的频率总是接近某一常数Ｐ并．在它附近摆动．这个常数Ｐ叫做事件Ａ的概率。两者之间的关系：率来源于频率，概它是大量独立重复试验时频率的稳定值。因此。率是概率的先导．概率是频而频率的抽象和发展频率在一定程度上可以反映随机事件发生的可能性的大
混淆的概念．在选择例题的时候要有针对性地选择一些学生比较容易理解又比
较简单的事件．这样学生在遇到一些比较复杂的事件时．能更好地区分才例２：盒子里装有ｍ只白球．只黑｜ｊ｝球．有放回的摸球试验．表示 “ 一做Ａ第次摸到黑球 ” 曰表示 “ 二次摸到白．第球 ” 则Ａ和是相互独立但不是互不相：容的。例３５：２张扑克牌平均分给甲、乙、丙、４个人，表示甲得３张，表示丁曰乙得两张：则与曰互不相容但不相
种治疗某种疾病的新药．在５００

《概率统计》易错题归类剖析

例抽样。分层抽样是高考考查的一个热点, 概型的定义,验证基本事件的有限性及等可
因为在实际生活中有差异的抽样比其他两类抽样应用空间大 ,应引起考生的重视。
能性。正解:掷两枚骰子可能出现的情况:
正解:显然总体差异明显,并且按比例抽样 ,所以是分层抽样。
同型号的产品,产品数量之比依次为 2∶3∶
5∶1,现用分层抽样方法抽出一个容量为 n
的样本,样本中 A 型号有 16 件,那么此样本
容量n 的值是
。
错解 :样本容量 16×2+32 +5+1≈3。
结果(1,2),(2,1),所以 P(A)=326=118。
总体中逐个抽取;系统抽样法常常用于总体
个数较多时;分层抽样常常用于总体由差异
明显的几部分组成,主要特征是分层并按比
能数值为{2,3,4,…,12},故 P(A)=111。失分原因与防范措施:对于公式 P (A )
例 1 某校高三年级有男生 400 人,女
生300人,为了解该年级学生的健康情况,从
男生中任意抽取20人,从女生中任意抽取15
人进行调查。这种抽样方法是
。
错解 :简单随机抽样法。
失分原因与防范措施:简单随机抽样常
常用于总体个数较少时,它的主要特征是从

2012考研数学易混淆概念分析——概率论与数理统计(三)

12012钻石卡考研数学易混淆概念分析——概率论与数理统计（三）万学海文随着复习的展开，同学们遇到的问题也随之增多，如果不能及时将这些问题解决，势必会影响我们整个复习的进度，阻碍我们复习的进行。

所以当我们遇到问题时一定要在第一时间内将其解决掉。

万学海文的数学钻石卡考研辅导专家们下面主要为2012年的考生们讲解一下概率论和数理统计中多维随机变量及其分布的常见易混淆知识点。

1．由二维随机变量(,)X Y 的联合分布可以确定关于X ，关于Y 的边缘分布，但是反之如果知道两个边缘分布能否确定(,)X Y 的联合分布呢？答：不一定．但如果两个随机变量独立，则可以确定，因为如果随机变量,X Y 相互独立，只需把两个随机变量的分布函数相乘即得(,)X Y 的联合分布函数，即(,)()()X Y F x y F x F y =．如果两个随机变量,X Y 不独立，要得联合分布函数是没有直接的方法的，只能先求得联合分布律或联合概率密度函数．如果(,)X Y 是二维离散型随机变量，则{,}{}{|}i j i j i P X x Y y P X x P Y y X x ====⋅==；如果(,)X Y 是二维连续型随机变量，则|(,)()(|)X X Y f x y f x f x y =⋅．2.假设随机变量1X 和2X 相互独立且服从同一离散型分布101(1,2)111424iX i -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦，则{}121P X X ==成立吗？2答：错误．“两个随机变量同分布”与“两个随机变量相等”是两个完全不同的概念，两个随机变量同分布并不意味它们相等，只说明它们取相同值的概率相等．不能想当然的觉得既然它们是服从同分布的，则其相等的概率一定等于1．事实上，由于它们独立，则其联合分布律为：ip 故{}{}{}{}121212120,01,12,2P X X P X X P X X P X X ====+==+== 1113164168=++=33.设随机变量X Y 和都服从正态分布，则X Y +一定服从正态分布？答：不是．我们举一个反例：假设随机变量X 服从标准正态分布，则易见随机变量Y X =-也服从标准正态分布．事实上，随机变量Y X =-的分布函数为：{}{}{}()F y P Y y P X y P X y =≤=-≤=≥-2222()x x yyedx edx y Φ+∞+----∞===是标准正态分布的分布函数．这样，随机变量X Y X =-和都服从正态分布，然而0X Y +≡不服从正态分布．但是，当X Y 和都服从正态分布且相互独立时，X Y +一定服从正态分布．推广：设随机变量12,,,n X X X 相互独立，且2(,)ii iX N μσ，则22111,nn ni ii i i i i i i c X N c c μσ===⎛⎫ ⎪⎝⎭∑∑∑.4.若X 是离散型随机变量，其概率分布为：{}(1,2,,)k k P X a p k n ===，Y 是连续型随机变量，并且与X 相互独立，则X Y +也一定是连续型随机变量．答：已知离散型随机变量X 的概率分布为：{}(1,2,,)k k P X a p k n ===，设连续型随机变量Y 的概率密度与分布函数为4()()f y F y 与，以()G z 表示随机变量Z X Y =+的分布函数，则由全概率公式和独立性，有{}{}{}11(),,nnk k k k k G z P X Y z P X a X Y z P X a Y z a ===+≤==+≤==≤-∑∑{}{}11()n nk k k k k k P X a P Y z a p F z a ====≤-=-∑∑所以11()()()()n nk k k k k k g z G z p F z a p f z a ==''==-=-∑∑，因此随机变量Z X Y =+有概率密度()g z ，从而是连续型随机变量．说明：本题证明了一个结论：若X 是离散型随机变量，Y 是连续型随机变量，并且相互独立，则可以根据全概率公式与独立性求得Z X Y =+的分布函数与密度函数，得出它也是连续型随机变量．注意：其中离散型随机变量X 的取值必须是有限个，如果X 取可列个值，则该结论未必成立． 5.二维正态分布的边缘分布是一维正态分布，则这两个正态分布的非零线性组合亦服从正态分布．答：正确．由二维正态分布得到的两个边缘分布服从一维正态分布，这两个正态分布不需要满足独立，其非零线性组合亦服从正5态分布，这是二维正态分布比较特殊的地方．而一般情况下，两个正态分布需要满足独立的条件，其非零线性组合才服从正态分布．补充说明：二维正态分布的边缘分布服从一维正态分布，由这两个正态分布线性函数构成的新的正态分布放一起，构成新的二维正态分布．例如：221212(,)~(,;,;)X Y N u u σσρ，则211~(,)X N u σ，222~(,)Y N u σ，若Z X Y =+，W X Y =-（这两都是,X Y 的线性组合的形式），则(,)Z W 服从二维正态分布．。

巧选例题辨析概率统计中几个容易混淆的概念

巧选例题辨析概率统计中几个容易混淆的概念作者：蔡鸣晶来源：《职业教育研究》2012年第07期摘要：对概率统计中几个容易混淆的概念：频率与概率、互不相容事件与相互独立事件、互不相容事件与相互对立事件、多个事件两两独立与相互独立、条件概率与乘积概率等举例辨析。

在概率统计教学过程中，选取既具有实用背景又能阐明基本概念、能够提高学生兴趣的例题，能够加强学生对知识理解的准确性和完善性，提高学生的学习效果和职业能力。

关键词：例题；概率统计；概念辨析；频率；概率；职业素质中图分类号：G712 文献标识码：A 文章编号：1672-5727（2012）07-0095-02概率统计是研究随机现象的统计规律性的数学学科，是高等学校理、工、管理类专业一门重要的基础理论课，也是高等职业院校一门重要的职业素质课程。

它的思想方法与学生以往接触过的任何一门学科均有所不同。

在概率统计中存在许多容易混淆的概念，如不能认真区分，仔细加以甄别，就难以正确理解这些重要概念，在应用时就容易出现各种各样的错误。

学生在学习这门课的过程中普遍感到概念难以理解，思维难以展开。

因此，教师在教学过程中对那些容易使学生混淆的内容一定要提出来特别强调，消除学生对这些内容理解的困难。

对于这些内容如果能精心选择适当的例子加以解释说明，会得到事半功倍的效果。

下面举例说明。

频率与概率定义1：在相同条件下重复n次实验，事件A发生的次数m与实验总次数n的比值称为频率。

定义2：大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率总是接近某一常数p，并在它附近摆动，这个常数p叫做事件A的概率。

两者之间的关系：概率来源于频率，它是大量独立重复试验时频率的稳定值。

因此，频率是概率的先导，而概率是频率的抽象和发展。

频率在一定程度上可以反映随机事件发生的可能性的大小，但频率本身是随机的，在实验前不能确定，无法从根本上刻画事件发生可能性的大小。

概率是随机事件发生的可能性大小的数量反映，是事件在大量重复实验中频率逐渐稳定后的值，即可以用大量重复实验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同。

对概率教学中几类易混淆概念的认识

和县教学成果评选材料类型教学论文论题对概率教学中几类易混淆概念的认识单位和县第二中学姓名张后志时间 2014年3月28日对概率教学中几类易混淆概念的认识摘要：随着概率统计内容引入中小学数学课程，学生在学习过程中出现了一系列由于对概念定义混淆导致的错误，影响了学生学习的认知心理，增加了概率教学的难度．在概率教学中，要注意区分概念定义之间的差别，了解概率概念的认知特征，这样才能引导学生正确解题，把握随机性思维的规律．关键词：概率概念；数学教学；混淆概率知识和现实生活有着很密切的关系，在经济、管理、决策、保险、销售等方面都有着广泛的应用，新数学课程标准及教材侧重培养学生的实际应用能力，理所当然的加入了概率知识，然而学生在分析问题和解决问题时常常容易因为概念不清出现一些似是而非的错误，或是面对概率问题束手无策、无从下手，使概率教学的难度加大．以下就几类易混淆概念问题例证解析，以阐发“概念不清，寸步难行”的教学要义．1 频率和概率的区别事件A发生的频率是指相同条件下，进行n次试验，事件A发生的次数(或称频数) nA与n的比值．直观的想法是用频率来表示A在一次试验中发生的可能性的大小，但实际上频率值是有波动的．需要通过操作实验活动，亲手体验、感受频率的稳定性以及频率与概率的关系，观察频率的变化，从而建立这样的信念或影响，当实验次数越来越大时，这个比值(频率)越来越稳定于一个固定值，并以此来预测事件出现的可能性的大小，即概率．概率是准确的表示A在一次试验中发生的可能性的大小．学习概率概念的一个误区是大部分学生用频率理解概率．事实上，频率随着试验的发生而发生的其统计值是不断变化的，而概率是随机事件发生可能性大小的度量，是随机事件自身的一个属性，是先于试验而客观存在的．概率的统计定义是利用频率来刻画的，但频率并不是概率，当试验次数增多时，该随机事件发生的频率总是稳定于某一个数值附近，而且偏离的幅度很小．频率本身也是个随机变量，由贝努里大数定律知频率与概率具有强相合性，频率的稳定值反映了该事件发生的可能性大小，所以是借助于频率的稳定性去刻画概率．义务教育数学课程标准中设计了“做一做”活动“一定能摸到红球吗”，使学生体会事件发生的可能性是有大小的．活动是通过分组进行的，然后汇集班里所有的统计数据，把总的频率(比值)与概率进行比较．为什么要这么做?其实这里有两个概念需要明确，汇集所有数据，是基于概率的统计定义，即当试验的次数越来越大时频率将稳定于概率；而计算比值这是概率的古典定义，事件所包含的基本事件数与总的基本事件的比值即为(古典)概率，学生对概率的统计定义与古典定义是不知道的，重复试验次数让学生观察频率逐渐稳定于一个固定的值，从而让学生知道事件发生可能性的大小是可以用频率的稳定值来表征的，建立统计意义的概率概念对学生准确理解和把握概率的实质是具有重要意义的．2 排列和组合定义的混淆由于种种原因，现行学校数学的概率内容教学，还停留在对古典概率问题的计算技能训练上和一些概率概念的死记硬背上，这种现象必需改变．学过概率的学生在现实生活中遇到随机现象问题，仍不会应用已学过的概率知识，仍然保持着他们在学习以前对随机现象问题的迟钝和误解．在处理概率问题时，经常会遇到排列和组合方面的思考，不少同学往往难以选择．例如：甲、乙两足球队激战90min 后踢成平局，加时赛30min 后仍成平局，先决定派5名队员，每人射一点球决定胜负，设甲、乙两队每个队员的点球命中率均为0.5．(1)不考虑乙队，求甲队仅有3名队员，点球命中，且其中恰有2名队员连续命中的概率；(2)求甲乙两队各射完5个点球后，再次出现平局的概率．这是一道与排列、组合相结合的概率题．在(1)中，要考虑甲队5名队员中有3名队员命中，有且仅有2名队员连续命中的情形共有多少种，这是一个排列问题，甲队3名队员射中，恰有2名队员连续命中的情形有23A 种，故所求概率为P 1＝23A 35.02)5.01(-＝163．在(2)中，两队射完5个点球后仍是平局有6中可能(0：0、1：1、…5：5)，每一情形中都涉及到组合问题，比如说3：3时，5名队员中哪3名队员命中要进行选择．两组射完5个点球后再次出现平局共有6种可能，所求的概率为[]250052)5.01(5.0-=C P +[]++- 24115)5.01(5.0C []25663)5.01(5.020555=-C 对排列和组合定义混淆，导致了对概率学习的畏难情绪和障碍，也影响对概率概念的实质理解．事实上，统计与概率强调的内容方面是以统计的全过程为主线，而不是以排列组合为主线．由于学生缺少体验，数学课程标准要求通过体验经历和生活事例，例如，后抽签比先抽签吃亏吗?抛100次硬币一定出现50次正面吗?“三局两胜”制公平吗?“五局三胜”，“七局四胜”呢?教师在概率教学中应以生活经验帮助了解、区别和纠正学生对概率已有的错误经验和直觉，树立辨证的和正确的随机观念．3 不可能事件与必然事件的误区有人认为“不可能事件与概率为0的事件等价，必然事件与概率为1的事件等价，随机事件的概率大于0而小于1”，这是具有科学性错误的，违背了概率概念的实质．事实上，随机事件A 的概率是0≤P(A)≤1，这是概率所具备的基本规范，高中数学教材也给出这个性质．事实上，概率为1的事件不一定是必然事件，0概率事件也不一定是不可能事件，但必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0．例如：向平面内投一质点，该质点落在平面内任一点都是等可能的，分别求落在平面内点A 的概率和落在平面内除点A 处以外的概率．这是求随机事件概率问题，是一个典型的几何概型问题，但前者的概率为0，后者的概率为1．发生上述情形的原因在于概率有一个测度，有测度为O 的不可数集存在，并且对于连续函数来说，在一点处的积分为零．在古典概型中，概率为零的事件一定是不可能事件；在几何概型中，概率为零的事件未必是一个不可能事件．由对立事件知，概率为1的事件未必是必然事件．4 “独立”和“互斥”的混同独立是概率特征的涵义，即对任意两个事件A 、B ，若P(AB)二P(A)P(B)成立，则称事件A 、B 是相互独立的．由此可知必然事件以及不可能事件与任何事件都是相互独立的．而互斥是事件的众多关系中较为特殊的一种集合关系．若事件A 、B 不可能同时发生，也就是说AB 是一个不可能事件，则称事件A 与B 互斥，有时也称互不相容，即A 的出现必然导致B 的不出现或B 的出现必然导致A 的不出现．例如：设0<P(A)<1，0<P(B)<1，由户P(A ︱B)+P(A ︱B )=1，则( )．选择支为：(A)事件A 与B 相互独立；(B)事件A 与B 互斥；(C)事件A 与B 互不相关；(D)事件A 与B 相互对立．首先题目要求事件之间的关系，所以可排除(C)，因为不相关则只用于表述随机变量之间的关系．其次由上述分析可知由概率得不出互斥的结论，所以(B)也显然不对．而独立性则是由概率得到的，因此,由P(A ︱B)+P(A ︱B )=1 得P(A ︱B)=1-P(A ︱B )=P(A ︱B )，又P(A)=P(AB+A B )=P(AB)+P(A B )=P(B)P(A ︱B)+P(B )P(A ︱B)=(P(B)+P(B ))P(A ︱B),即有P(AB)=P(A)P(B)从而由独立的定义立即可得A 与B 是相互独立的，故(A)是正确的．再如：某家庭电话在家中有人时，打进的电话响第一声被接的概率为0.1；响第二声被接的概率为0.3；响第三声被接的概率为0.4；响第四声被接的概率为0.1，那么电话在前四声被接的概率是多少?很多学生认为，电话在前四声内被接的概率是P=0.1×0.3×0.4×0.1＝0.0012．出现错误的原因是将互斥事件看成相互独立事件，电话在响第i 声被接和在响第j 声被接(i ≠j ，且i 、j ∈｛1，2，3，4｝)是互斥事件．因此正确解法是P ＝0.1+0.3+0.4+0.1=0.9．由此可知，利用概念定义准确把握内涵中种差概念的区别，在解相关题目中可以收到意想不到的效果．5 “有放回”和“不放回”条件混用有放回和不放回也是概率中的常见问题，有些题目中没有直接说明是有放回还是无放回，需要学生自己进行判定．这与有关(涉及到)试验的机会、等可能性概念，也是学习概率概念常常混淆的．例如：一个人有n 把钥匙，其中只有一把可以打开房门，随机逐个试验钥匙，试验后放回，求“房门恰在第k 次被打开”的概率，常见的错误有： (1)P(A)=nk n k n k n n n n n n n 1)1(1)2()1(23121=--⨯----⨯⨯--⨯--⨯- ; (2)P(A)=n A A k nk n 111=-- 错解(1)的主要原因在于将“有放回”与“无放回”混淆，这两种问题的主要不同点是：“有放回”的抽取每次被抽元素个数总是相同的，而“不放回”的抽取时每次被抽元素个数不相同；“有放回”抽取时每次抽取都是独立事件，概率不互相影响，“无放回”抽取每次抽取是互相影响的；错解(2)的主要原因在于“有放回”的抽取问题中，事件“一次抽取k 个元素”与“逐次抽取k 个元素”的概率是不相同的，而“不放回”的抽取问题中，以上两个事件的概率是相同的．正确解法为： P(A)=k k nn n n n n n n n 1)1(1111--=⨯-⨯⨯-⨯- 利用概念定义准确把握外延的不同，在解题时注意被取对象的全体，就可以避免错误．根据最近发展区理论，教学应该基于学生的最近发展区，而着眼于学生的潜在发展水平．因为大多数学生都接受用频率解释概率，所以教师应重视对概率统计定义的教学．此外，概率概念的教学要基于学生的认知发展水平，并且还要促进学生的认知能力的提高．在概率教学中，只有充分了解概率概念的认知特征，运用生活实践、活动体验等方式，这样才能帮助学生把握概率本质和概念定义之间的区别与联系，引导学生正确地分析问题和解决问题，把握随机性思维的规律．参考文献[1] 中华人民共和国教育部．全日制义务教育数学课程标准(实验稿) 北京师范大学出版社，2001．[2] 全日制普通高级中学教案系列丛书编委会．高中数学教案：第2册下(A)人民教育出版社，延边教育出版社 2001[3] 罗建宇．对“概率”概念教学的一处释疑数学通讯，2004，(5)．[4] 盛骤．概率论与数理统计高等教育出版社，2001．。

高中概率与统计易错点剖析

1.现状分析 1.1已有的研究。关于初中学困生成因及转化问题的研究有两个范具有例代表性：“青蒲县数学教学改革实践”和泰安师专基于“洋市初中现象”进行的“初中数学差生转化实验”，他们通过深入细致地分析个案，认为造成学生数学学习困难的原因很多，注意稳定性差是其中的一个重要原因。但对注意稳定性差的原因和转化措施的研究深入不够，尤其是对注意力涣散型高中数学学困生的研究目前还很少涉及。要研究并转化注意力涣散型高中数学学困生，首先要对注意力涣散的内涵，怎样的学生属于注意力涣散型学生进行界定。目前学术界对此说法较多，我认为：心理活动不能充分地指向并集中于应当指向的对象上的一种心理状态，这类学生称为涣散型学生。这种说法较为准确。 1.2涣散现象及分析。在教学活动中，教师经常会发现有的学生左顾右盼，或貌似注意听讲，实则面无表情地端坐，或做小动作，等等，常用的课堂管理行为很难收到好的效果。下面从影响无意注意和影响有意注意的因素两方面对这种涣散现象进行分析。 1.2.1刺激物的特点。刺激物的变化及刺激物的新异性都能引起无意注意，数学本身抽象度高，特别是数学课堂上的学习内容大多是由逻辑推理、演绎、计算等构成的，因此更容易使学生的注意力发生转移。 1.2.2学生的主观状态。主观的需要、兴趣、暂时性期待等心理状态可以诱发无意注意［2］。其中兴趣应该是一种最直接的主观状态。目前大部分学生不喜欢数学，他们对数学学习的兴趣度不高，甚至惧怕数学，这可能是导致学生注意力涣散的一个主要原因。以上是影响学生无意注意的因素。 1.2.3活动是否有明确的目的。对活动目的越明确，完成学
1.2.4间接的兴趣。指学习者对于某种事物没有兴趣，而对于这种事物在未来的结果感兴趣。例如，学生对数学本身不感兴趣，但认识到数学在电子信息技术、经济领域等中的重要作用而努力学习。我们所教授的数学强调其内在联系，而在很大程度上忽视了数学与外部的联系。当然正在推行的新课改实验教材在某种程度上比以前的教材要好得多。学生对数学作用的认识仍然是抽象的而非具体的，难以体会到在实际生活或者未来生活中的重要性。

概率统计常见误区

概率统计常见误区概率统计是一门研究随机现象规律的数学分支。

概率统计在现代社会和科学领域中扮演着重要的角色，它可以帮助人们更好地理解和分析各种事件的可能性。

然而，在概率统计的研究和应用过程中，存在着一些常见的误区。

本文将从几个角度探讨一些常见的概率统计误区，并给出相应的解决方法。

误区一：将概率统计与个别事件混淆很多人在遇到一次事件之后，往往会急于对该事件的可能性进行判断。

这种行为容易将个别事件的概率与概率统计混淆在一起。

概率统计是研究大量事件的规律，不能仅仅根据个别事件来进行判断。

解决这个误区的方法是要对事件进行长期观察和统计，在大量数据的基础上进行分析。

误区二：忽视基本概率原理基本概率原理是概率统计的基础，它规定了概率的定义和计算方法。

但是，在实际问题中，很多人往往忽视了基本概率原理，导致计算结果与实际情况相差较大。

正确应用基本概率原理是解决这个误区的关键。

误区三：将相关性误解为因果关系在概率统计中，相关性和因果关系是两个不同的概念。

相关性表示两个变量之间的关联程度，而不代表其中一个变量是另一个变量的原因。

然而，很多人在研究相关性时，往往将其误解为因果关系。

解决这个误区的方法是要进行更加深入的研究，包括考虑其他潜在因素和进行实验证明。

误区四：忽略抽样误差在大样本情况下，抽样误差可以忽略不计。

但是在小样本情况下，忽略抽样误差则容易导致概率统计的误差。

抽样误差是由于从总体中选取的样本不具有代表性而引起的误差。

解决这个误区的方法是要扩大样本容量、减小抽样误差，或者使用更加精确的统计方法。

误区五：过分依赖模型和理论模型和理论是概率统计的工具，但是过分依赖模型和理论也容易导致误区。

概率统计研究的问题往往是复杂的，现实情况中很难完全用一个模型或理论来解释。

解决这个误区的方法是要善于使用多种模型和理论，进行比较和综合分析。

以上就是一些常见的概率统计误区以及相应的解决方法。

在概率统计的研究和应用中，避免这些误区是非常重要的。

概率中的六个易混淆问题分析_王生林

第2 期 ○错在哪里○
高中数学教与学
概率中的六个易混淆问题分析
王生林
（甘肃省高台县第一中学，734300）
概率是高中教材的新增内容，它是以实际应用问题为载体，以排列组合和概率的相关知识为工具，以考查对五个概率事件的判断识别及其概率的计算和应用为目的的一类必考题型．但由于其概念具有一定的抽象性和相似形，有些问题看似相同，实则不同，在解题时稍有疏忽就会致错．本文就以概率学习中几个易混淆的问题予以剖析，以期对同学们的学习有所帮助．
任取 k 个球”的概率计算（如正解 2）．
第2 期
高中数学教与学
（2）正解 1 用等可能事件中的概率计
算公式进行计算．记所求为事件为 B，所有的
基本事件数为 8 × 8 × 8，事件 B 包含的取法有
三种方式：（白，白，黑），（白，黑，白），（黑，白，
白），即有 A13 种方式，而每一种方式又有 A15 A15
摸到白球”来处理．实际上第二次、第四次摸
到的球可以是白球，也可以是红球，这两次可
视为必然事件．
正解（1）记“有 3 次摸到红球”为事件
A．
由于摸一次摸到红球的概率是
1 3
，摸到白
球的概率是
2 3
，故
( ) ( ) P（A） = C35 ×
1
3
×
3
2
2
=
40 ．
3
243
（2）记“第一次、第三次、第五次摸到红
球”为事件 B，则
( ) P（B） =

考研数学易混淆概念分析之概率论与数理统计

概率论与数理统计的第⼀章“概率论的基本概念”是概率论与数理统计的基础，将这些基本概念掌握牢固是我们学好概率论与数理统计这门课程的重要前提条件，为了帮助同学们加深理解这部分内容，万学海⽂数学考研辅导专家们将同学们在学习过程中容易发⽣混淆的概念总结如下：1.若事件A=B，是否可以认为A,B为同⼀事件？答：不能．⾸先明确事件相等的定义，．如两个灯泡串联, 记A={A灯亮}，B={B灯亮}，则A不发⽣时，⼀定导致B不发⽣，所以，同理当B不发⽣时，⼀定导致A不发⽣，有，故有A=B，但A,B不是同⼀事件．2.⽐较下⾯三个概念：互斥、对⽴、划分．答：（1）互斥：事件A,B互斥是指．注意：互斥的两事件没有公共的样本点；基本事件之间都是互斥的．（2）对⽴：事件A,B对⽴是指且；（3）划分（完备事件组）：事件是⼀个划分是指：(i)两两互不相容，即；(ii).3.和对吗？答：不对．连续型随机变量在⼀点的取值概率为零，但这个事件不是空事件；同理连续型随机变量去掉有限个点，其取值概率仍为1，但去掉有限个点后，显然不是样本空间．但反过来都是成⽴的，即：和．说明：⼀般的，从概率的信息得不出事件关系．但如果是古典概型，则上述结论正确，即古典概率如果，能得出，，能得出，为什么？因为古典概型的样本点是有限个，并且每个样本点发⽣的概率相等，则每个基本事件的概率都⼤于零，从⽽有上述结论．4.两个事件互不相容，是否就是相互独⽴？答：不是．独⽴与互不相容是两个不同的概念，它们没有任何关系．互不相容是指两个事件不可能同时发⽣，即，是⽤事件的关系来定义；⽽独⽴是指两个事件同时发⽣部分的概率等于两个事件分别发⽣概率的乘积，即，是⽤概率来定义．5.三个事件中两两相互独⽴，能否说明三个事件独⽴？答：不能．三个事件中两两相互独⽴，只是三个事件独⽴的⼀个条件，还必须满⾜：，三个事件才独⽴．6.什么事件与任何事件都独⽴？答：只要满⾜即的事件与任何事件都独⽴．若，⼜有，所以，故，即有，故独⽴．若，⼜有，所以，故，⼜，则有，故A,B独⽴．7.全概率公式与贝叶斯公式答：全概率公式：是完备事件组，，则；贝叶斯公式：是完备事件组，，则分析：--原因，A--结果全概率公式⽤于求复杂事件（可以由多个原因导致）的概率，已知：每个原因发⽣的概率，在每个原因发⽣的条件下结果A发⽣的概率；求：结果A发⽣的概率；贝叶斯公式⽤于求条件概率，已知：⼀个原因发⽣的概率，在该原因发⽣条件下结果A发⽣的概率，结果A发⽣的概率 P(A)（可⽤全概率公式求）；求：该原因在结果A发⽣下的概率．8.先验概率和后验概率答：先验概率是指根据以往经验和分析得到的概率，如全概率公式中的，它往往作为“由因求果”问题中的“因”出现。

考研概率论与数理统计选择题常考的5个易混淆的概念

考研概率论与数理统计选择题常考的5个易混淆的概念1、乘法公式和条件概率例30：100个学生，60个男生，40个女生，棕色头发30个，棕色头发的男生10个，任取一个学生，是棕色头发的男生的概率？已知取了一个男生，是棕色头发的概率？ )/()()(A B P A P AB P =2、独立和互斥设A ≠ø, B ≠ø，则A 和B 相互独立与A 和B 互斥矛盾。

例31：对于任意二事件A 和B ，（A ）若AB =Φ，则A ，B 一定不独立。

（B ）若AB=Φ，则A ，B 一定独立。

（C ）若AB ≠Φ，则A ，B 一定独立。

（D ）若AB ≠Φ，则A ，B 有可能独立。

3、独立和不相关独立是不相关的充分条件。

(X,Y)为二维正态分布时，独立和不相关互为充分必要条件。

4、X ，Y 分别为正态分布，不能推出（X ，Y ）为二维正态分布；也不能推出 X+Y 为一维正态分布。

例32：已知随机变量X 和Y 分别服从正态分布N （1，32）和N （0，42），且X 与Y 的相关系数21-=XY ρ，设.23Y X Z += （1）求Z 的数学期望E （Z ）和方差D （Z ）；（2）求X 与Z 的相关系数XZ ρ；（3）问X 与Z 是否相互独立？为什么？解：（1）⎪⎭⎫⎝⎛+=23)(y x E z E ()()y E x E 2131+= 31= ()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛++=2,3cov 24191y x y D x D z D ()()y D x D ⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⋅++=212131241 2243615⋅-= 3=（2）()()()()()z D x D z E x E xz E xz -=ρ ()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=23,c o v ,c o v y x x z x ()()y x y x ,cov 21,cov 31+= ()()()y D x D x D xy ρ2131+= 222432121331⋅⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+⋅= 0=y x ,正态()y x ,→/正态y x +→/正态0=⇒xz ρ（3）z 不一定服从正态分布（y x ,未必独立）()z x ,更不一定服从二维正态分布，0=∴xz ρ⇒/独立。

辨析概率论中容易混淆的几个概念

辨析概率论中容易混淆的几个概念一、互不相容和相互独立互不相容：A·B=φ相互独立：P（AB）=P（A）P（B）例1：设盒中有2个黑球，1个白球，现从盒中抽球两次，每次抽取出一球。

设：A=“第一次抽取的是黑球”，B=“第二次抽取的是黑球”问题：（1）若该试验为有放回抽取，事件A与B是否相互独立？是否相容？（2）若该试验为不放回抽取，事件A与B是否相互独立？是否相容？解：（1）事件A与B相互独立，又因为事件A与B可能同时发生，所以事件A与B是相容的。

事实上由于P（A）=23，P（B/A）=P（B）=23，∴P（AB）=P（A）P（B/A）=P（A）P（B）=49，即事件A与B相互独立，然而P（AB）=49，即有AB≠φ，所以事件A与B是相容的。

（2）事件A与B不相互独立，第一次抽取一球后必然改变1/ 5盒中两种颜色的球的组成成分，从而影响了第二次抽球，因为盒中有2个黑球，即使不放回抽样，事件A与B依然可能同时发生，所以事件A与B相容。

事实上，由于P（A）=23，P（B/A）=23，P（B）=12，∴P（AB）=P（A）P（B/A）=49，P（A）P（B）=13。

所以事件A与B不相互独立，此时易知AB≠φ，所以事件A与B是相容的。

两事件相互独立与两事件互不相容虽是两个不同的概念，但它们之间也有关系。

例2：证明：若P（A）0，P（B）0，则有（1）当事件A与B相互独立时，AB≠φ，即A与B相容。

（2）当A·B=φ即事件A与B互不相容时，A与B不独立。

证（1）因事件A与B相互独立，且P（A）0，P（B）0，∴P（AB）=P（A）P（B）0，故AB≠φ，即事件A与B相容。

（2）因A·B=φ，故P（AB）=P（φ）=0，而P（A），P（B）均为正数，故P（A）·P（B）也为正数，于是P（AB）≠P（A）P（B），即A与B不独立。

由上例得到“互不相容”与“相互独立”之间的关系结论：当事件A，B的概率都非零（大于零）时，若A与B 相互独立，则A与B必相容；反之，若A与B互不相容，则A2/ 5与B必不相互独立。

概率论常见误区解析

概率论常见误区解析概率论是数学中的一个分支，它研究了随机事件的发生概率及其规律性。

概率论在实际应用中起到了重要的作用，然而很多人在理解和应用概率论时存在一些误区。

本文将对一些概率论常见的误区进行解析，并提供正确的理解和应用方法。

误区一：将概率理解为确定性概率是描述随机事件发生可能性的一种数值，但不同于确定性事物，概率并不表示一种确定性的结论。

很多人在理解概率时常常把它看作一种确定的结果，而忽视了其中的不确定性。

例如，当一个事件发生的概率为0.3时，很多人会错误地认为这个事件会发生3次中的1次。

实际上，概率只表示了事件发生的可能性，具体发生次数还是需要依靠大量的试验和统计来验证。

解析：正确理解概率是一种描述不确定性的工具，而非确定性的结论。

概率论的基本假设是无限重复试验的结果趋于稳定，通过观察和统计大量的试验结果，可以得到事物发生的概率规律。

误区二：在非独立事件中错误地应用乘法原理乘法原理是概率论中一个重要的计算方法，它用于计算多个独立事件同时发生的概率。

然而，很多人在遇到非独立事件时错误地应用了乘法原理，导致结果的错误。

解析：当事件不是独立发生时，不能简单地应用乘法原理。

在非独立事件中，要考虑事件之间的相互影响和关联性。

正确的计算方法应该是根据条件概率公式或者贝叶斯公式进行计算。

误区三：代表性误差导致的概率错觉代表性误差是指人们在判断概率时倾向于以代表性的样本为依据，而忽视了样本的规模和随机性。

例如，某个样本中的某种特征出现的概率很小，但由于代表性误差的影响，人们往往会认为这个特征的概率很高。

解析：正确理解概率需要注意样本的规模和随机性。

只有通过大量的、具有随机性的样本，才能更准确地推断出概率。

人们应该避免过分依赖个别样本或者小规模样本的判断，而应该借助统计学方法对样本进行综合分析。

误区四：过度解读概率的意义概率是一种描述事物发生可能性的工具，但并不代表事件的必然发生或者不发生。

很多人在面对低概率事件时，常常将其解读为“绝对不可能”或者“一定会发生”，而在面对高概率事件时则容易产生过度自信。

概率教学中几类易混淆概念的认识

这是求随机事件概时，经常会遇到排列和组合方面的思考，不少同学往在平面内除点Ａ处以外的概率．往难以选择．率问题，是一个典型的几何概型问题，但前者的概率
，．例如：乙两足球队激战９ｎ甲、０ｍｉ后踢成平局，为０后者的概率为１发生上述情形的原因在于概有测度为０的不可数集存在，并且对加时赛３ｉ后仍成平局，Ｏｎａｒ先决定派５名队员，每人率有一个测度，在一点处的积分为零．在古典概型射一点球决定胜负，甲、设乙两队每个队员的点球命于连续函数来说，
误，响了学生学习的认知心理，影增加了概率教学的难度．在概率教学中，要注意区分概念定义之间的差别，了解概率概念的认知特征，这样才能引导学生正确解题，把握随机性思维的规律．
关键词：概率概念｝数学教学｝混淆
中圈分类号：２．Ｇ４４１
直观的想法是用频率来表示Ａ在一次试验中发生的试验的次数越来越大时频率将稳定于概率Ｉ而计算可能性的大小，但实际上频率值是有波动的．需要通比值，这是概率的古典定义，事件所包含的基本事件古典）概率．学生对过操作实验活动，亲手体验、感受频率的稳定性以及数与总的基本事件的比值即为（频率与概率的关系．观察频率的变化，从而建立这样概率的统计定义与古典定义是不知道的，复试验重的信念或影响，当实验次数越来越大时，这个比值次数让学生观察频率逐渐稳定于一个固定的值，从
２排列和组合定义的混淆
由于种种原因，现行学校数学的概率内容教学，
性大小的度量，是随机事件自身的一个属性，是先于还停留在对古典概率问题的计算技能训练上和一些

概率易混概念辨析举例

概率易混概念辨析举例作者：朱月祥来源：《中学课程辅导高考版·教师版》2014年第01期摘要：概率教学尤其需要加强对概念的辨析和概型的把握。

互斥与独立，至多与至少，串联与并联，有序与无序，有放回与无放回等五组概念，一直是概率学习中容易混淆的。

本文试就这五组容易混淆的概念加以辨析，并举例说明。

关键词：概率易混概念；辨析中图分类号：G427 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2014）01-087-1一、互斥事件与独立事件互斥事件指不可能同时发生的两个事件，而两个事件独立指事件A（B）的发生与否对事件B（A）发生的概率无影响。

互斥事件A，B至少有一个发生的概率计算的加法公式P（A+B）=P（A）+P（B），而相互独立的事件A，B同时发生的概率计算的乘法公式是P （A·B）=P（A）·P（B）。

在解题时，我们应根据其定义准确判断事件间的关系，从而选用相应的公式。

对比较复杂的事件，应设法将其分解成一些彼此互斥的事件的和，以便于计算。

例1 第48届世乒赛2005年4月在上海举行，在男单半决赛中，中国选手马琳与丹麦新秀梅兹相遇。

若每局马琳获胜的概率为2/3，梅兹获胜的概率为1/3，比赛采用七局四胜制，求马琳获胜的概率。

解：马琳获胜有四种情况，即分别以4∶0，4∶1，4∶2，4∶3的总分战胜梅兹，而这四种情况不可能同时发生，因此可将事件“马琳获胜”分解为四个互斥事件“马4∶0胜梅”、“马4∶1胜梅”、“马4∶2胜梅”、“马4∶3胜梅”的和。

又由于每局比赛相互独立，所以每个互斥事件发生的概率又可利用独立事件发生的概率公式求得。

二、至多与至少“至多”与“至少”是对事件发生数量上、下限的规定。

如事件A，B，C至少有一个发生指A，B，C中最起码有一个发生，即可发生1个，可能发生2个，也可能三个全发生，它的对立事件是A，B，C全不发生。

而事件A，B，C至多有一个发生则指A，B，C中顶多发生1个，即可能发生1个，也可能全不发生，它的对立事件是A，B，C中恰有2个发生及三个全发生。

概率统计易混淆概念

概率统计易混淆概念概率统计是一门充满趣味和挑战的学科，但其中也存在一些容易让人混淆的概念。

下面就让我们一起来梳理一下这些容易混淆的概念，帮助大家更好地理解和应用概率统计知识。

首先，我们来谈谈“概率”和“频率”。

概率是指某个事件在理论上发生的可能性大小，它是一个固定的数值，通常用 0 到 1 之间的数来表示。

比如说，抛一枚均匀的硬币，正面朝上的概率是 05。

而频率则是指在多次重复试验中，某个事件实际发生的次数与试验总次数的比值。

频率是一个随着试验次数变化而变化的量，但当试验次数足够多时，频率会逐渐趋近于概率。

举个例子，抛 10 次硬币，正面朝上的频率可能是 4/10 ＝ 04，但如果抛 1000 次硬币，正面朝上的频率就可能更接近 05 了。

接下来，“条件概率”和“联合概率”也是容易让人迷糊的一对概念。

条件概率是指在某个条件发生的情况下，另一个事件发生的概率。

比如，已知某人患有某种疾病，再去计算他某项检测结果为阳性的概率，这就是条件概率。

而联合概率则是指两个或多个事件同时发生的概率。

例如，同时掷两个骰子，骰子 A 掷出 3 点且骰子 B 掷出 5 点的概率就是联合概率。

“独立事件”和“互斥事件”也是经常被混淆的概念。

独立事件是指一个事件的发生与否对另一个事件的发生概率没有影响。

比如，今天下雨和明天考试成绩好坏就是两个独立事件。

互斥事件则是指两个事件不能同时发生。

比如，掷骰子得到奇数点和得到偶数点就是互斥事件。

再说说“期望”和“方差”。

期望是随机变量的平均值，它反映了随机变量取值的平均水平。

比如，掷一个骰子，每个点数出现的概率都是1/6，那么掷骰子的期望值就是（1+2+3+4+5+6）×1/6 ＝ 35。

方差则衡量的是随机变量取值的分散程度。

方差越大，说明随机变量的取值越分散；方差越小，说明随机变量的取值越集中。

还有“正态分布”和“二项分布”。

正态分布是一种非常常见的连续型概率分布，它的形状像一个钟形曲线，具有很多优良的性质。

高三数学解题方法谈四对易混概念你分清了吗？

四对易混概念你分清了吗？第一对 “非等可能”与“等可能”混同例1 把一枚硬币先后抛掷两次，结果为“一正一反”的概率是多少？错解：把一枚硬币先后抛掷两次，出现的结果有三种：两正、两反、一正一反．这三个结果出现的机会均等，故结果为“一正一反”的概率是13．剖析：错解把出现“两正”、“两反”、“一正一反”认为是等可能事件，事实上，出现“一正一反”与“两正”或“两反”的可能性是不同的．因为把一枚硬币先后抛掷两次，在“一正一反”这个结果中，先出现“正面向上”还是先出现“反面向上”是不同的．故“一正一反”包含“先正后反”以及“先反后正”这两个结果．故抛掷硬币的结果有四个，出现“一正一反”的概率为2142P ==．第二对 “互斥”与“对立”混同例2 把红、黑、白、蓝4张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁4个人，每个人分得1张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是（）．（A ）对立事件（B ）不可能事件（C ）互斥但不对立事件（D ）以上均不对错解：（A ）．剖析：本题错误的原因在于把“互斥”与“对立”混同，二者的联系与区别主要体现在：①两事件对立必定互斥，但互斥未必对立；②互斥概念适用于多个事件，对立概念适用于两个事件；③两个事件互斥只表明这两个事件不能同时发生，即至多只能发生其中一个，也可以都不发生；而两事件对立则表示它们有且仅有一个发生．事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是不能同时发生的两个事件，这两个事件可能恰有一个发生，也可能两个都不发生，所以应选（C ）．第三对 “互斥”与“独立”混同例3 甲投篮命中率为0.8，乙投篮命中率为0.7，每人投3次，两人恰好都命中2次的概率是多少?错解：设“甲恰好投中两次”为事件A ，“乙恰好投中两次”为事件B ，则两人都恰好投中两次为事件A B +，()()()P A B P A P B +=+，即22233()0.80.20.70.30.825P A B C C +=⨯+⨯=剖析：本题错误的原因是把相互独立且同时发生的事件当成互斥事件来考虑，故将“两人都恰好投中2次”理解为“甲恰好投中两次”与“乙恰好投中两次”的和．互斥事件是指两个事件不可能同时发生；两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生与否没有影响．正解：设“甲恰好投中两次”为事件A ，“乙恰好投中两次”为事件B ，且A B ，相互独立，则两人都恰好投中两次为事件A B ，于是()()()0.169P A B P A P B =⨯≈ 第四对 “条件概率()P B A ”与“积事件的概率()P A B ”混同例4 袋中有6个黄色、4个白色的乒乓球，做不放回抽样，每次任取一球，取2次，求第二次才取到黄色球的概率．错解：记“第一次取到白球”为事件A ，“第二次取到黄球”为事件B ，“第二次才取到黄球”为事件C ，所以62()()93P C P B A ===．剖析：本题错误在于()P A B 与()P B A 的含义没有弄清，()P A B 表示在样本空间S 中，A 与B 同时发生的概率；而()P B A 表示在缩减的样本空间A S 中，作为条件的A 已经发生的条件下事件B 发生的概率．正解：464()()()()10915P C P A B P A P B A ===⨯=．。