考研数学容易混淆的概念辨析归纳
数学考研常见易错点分析
数学考研常见易错点分析数学考研是许多研究生考生必须面对的一项重要考试科目。
对于不少考生来说，数学一直以来都是一个难以逾越的“坎”。
尤其是在复杂的题目和繁琐的计算中，常常会出现一些易错的点。
本文将对数学考研中常见的易错点进行深入分析，帮助考生们更好地应对考试。
一、几何题型中的易错点几何题型是考研数学中的重点。
在几何题型中，往往会出现角度、比例、相似、全等等概念的应用。
考生们在解题时常常容易陷入以下几个易错点中：1. 混淆角度和弧度制在解几何题时，角度通常有度数和弧度两种表示方法。
很多考生在计算角度时会忽略角度制和弧度制之间的转换关系，导致结果错误。
因此，考生们在解题的过程中一定要牢记角度制和弧度制的互相转换关系。
2. 比例中的错位比例题是几何中常见的题型之一。
考生在解比例题时往往会因为书写不清晰或计算失误导致比例中的数字错位。
解决这个问题的方法是将比例中的数字对应书写在同一行或同一列，并使用括号将比例关系明确地表达出来。
3. 相似与全等的混淆在一些几何题中，相似和全等是常见的概念。
相似是指两个图形的形状相似，但大小不同；而全等则是指两个图形的形状和大小完全相同。
考生在解题时往往会将相似和全等概念混淆，导致解题错误。
因此，在解几何题时，考生要仔细辨析题目中给出的条件，并准确运用相似和全等的性质进行分析。
二、函数与极限中的易错点函数与极限是数学考研中的难点，也是容易出错的地方。
在函数与极限中，以下几个易错点是考生们需要特别注意的：1. 函数的定义域和值域在解函数题时，考生往往会忽略函数的定义域和值域的限制条件，导致计算出的结果超出范围。
因此，考生要在解题前明确函数的定义域和值域，并将计算结果限制在合理的范围内。
2. 无穷大与无穷小的处理在极限计算中，考生往往会忽略无穷大与无穷小的定义和性质，从而得到错误的极限结果。
正确处理无穷大与无穷小的方法是运用极限的性质和极限运算法则，将问题转化为确定的极限形式，从而求得准确的结果。
数学考研常见易错考点总结
数学考研常见易错考点总结数学考研一直以来都是考生们比较头疼的科目之一。
由于考试时间紧张和知识点众多，很容易在一些常见的易错考点上出错。
本文将针对数学考研中常见的易错考点进行总结，希望能够帮助考生们更好地备考。
一、高等数学部分的易错考点1.极限与连续在极限的计算中，考生们容易混淆不同形式的不定式，例如0/0形式、无穷/无穷形式等。
在计算时，要注意运用洛必达法则等方法进行转换。
此外，对连续性的理解也是一个易错点，考生们需要明确什么样的函数在某点处是连续的。
2.一元函数微分学在求导的过程中，常见的易错考点有求导法则的混淆、复合函数的求导以及隐函数求导等。
考生们在做题时要熟练掌握各种求导法则，并能够灵活运用。
3.一元函数积分学在积分的计算中，考生们容易遗漏常数项、忽略常用积分公式的应用，导致计算结果错误。
另外，对不定积分与定积分的区别与联系要有清晰的认识。
二、线性代数部分的易错考点1.矩阵与行列式在矩阵的运算中，考生们容易混淆逆矩阵与伴随矩阵的概念，导致计算错误。
此外，矩阵的转置、加法、乘法等运算也是容易出错的地方。
在行列式的计算中，考生们要注意对行列式按行展开或按列展开的技巧。
2.特征值与特征向量在求解特征值与特征向量的过程中，常见的易错考点有求解特征根的代数方法混淆、特征向量的求解错误等。
考生们要熟练掌握特征方程的求解方法，以及特征向量的计算过程。
三、概率论与数理统计部分的易错考点1.概率的计算在概率的计算中，考生们常常对条件概率的计算逻辑不清晰，导致结果错误。
此外，对于独立事件、互不相容事件的判断也是一个容易出错的地方。
2.随机变量与分布在随机变量的计算中，考生们容易将离散型随机变量与连续型随机变量的概率计算方法混淆，导致得出错误的结果。
此外，对于常见的概率分布，考生们要熟悉其密度函数、分布函数以及特征函数等。
综上所述，数学考研中的易错考点主要集中在高等数学、线性代数以及概率论与数理统计三个部分。
高数考研常见易错点解析
高数考研常见易错点解析一、导数与微分在高数考研中，导数与微分是一个非常重要的概念，也是一项经常出现易错的知识点。
导数的定义是函数在某一点处的变化速率，而微分是函数的近似线性变化。
在解析导数和微分的问题时，学生常常会出错。
在解析导数方面，考生容易忽略条件的限制或边界的情况。
例如，在极限存在的条件下，切勿将变量限制在开区间内，而不是闭区间。
另外，对定义函数比直接使用基本公式更容易出错。
在微分方面，考生常常忽视使用近似公式时的条件。
例如，在使用一阶微分近似公式时，要记住只有当函数在近似点附近光滑时，才能使用近似公式。
二、极限与连续极限和连续是微积分中非常重要的概念，也是考研中常见的易错点。
在解析极限和连续的问题时，学生容易犯以下错误。
在极限方面，学生常常忽略了特殊极限的性质。
例如，在计算∞ 的极限时，必须严格考虑无穷大量之间的大小关系，而不能简单地进行代换。
此外，特殊极限的定理在使用时也要注意条件的限制。
在连续方面，学生常常忽略了间断点的存在，或者对间断点进行不当分类。
例如，对于有理函数，学生容易将跳跃间断点和可移动间断点搞混，从而导致计算错误。
三、积分与定积分积分和定积分是微积分的核心概念，也是考研中常见的易错点。
在解决积分和定积分问题时，学生容易犯以下错误。
在积分方面，学生可能忽视积分区间的问题。
例如，在切分积分区间时，需要根据函数的性质来选择合适的切分点，并注意边界情况。
此外，对于特殊函数，如周期函数，学生也容易将积分区间选取错误，导致结果偏离预期。
在定积分方面，学生常常忽略了函数的连续性要求。
例如，在计算定义上的定积分时，需要判断函数在积分区间上的连续性，以确定是否可以使用定积分的性质进行计算。
四、级数与收敛性级数与收敛性是高数考研中常见的易错点，也是对于数列和无穷级数的理解问题。
在解决级数与收敛性问题时，学生容易犯以下错误。
在级数方面，学生可能忽视级数的收敛条件。
例如，在求解级数的收敛性时，需要考虑级数的通项是否趋于零，并使用比较判别法或根值判别法等方法进行判断。
考研数学常见易混知识点整理
考研数学常见易混知识点整理数学作为考研的一科重要科目，其中不乏一些常见但容易混淆的知识点。
为了帮助考生更好地掌握这些知识点，本文将对常见易混知识点进行整理和梳理，以便考生在备考过程中更加有针对性地进行复习和巩固。
一、集合与映射1. 集合的基本概念集合是由对象组成的合集，常用大写字母表示。
子集、真子集、空集等概念需要考生熟悉并能够准确运用。
2. 笛卡尔积笛卡尔积是指两个集合的所有可能有序对组成的集合，可以用来表示多个集合之间的关系。
考生需要理解并能够灵活运用。
3. 映射的概念映射是指一个集合中的每个元素到另一个集合中的唯一元素的对应关系。
函数是一种特殊的映射，是一种有序对的集合。
考生需要注意理解映射的定义及其具体应用。
二、数列与数学归纳法1. 数列的定义和性质数列是按一定顺序排列的数的集合，是数学中研究顺序的一个重要概念。
常见的数列有等差数列和等比数列，考生需要熟悉其定义和基本性质。
2. 数列的通项公式与递推关系式数列的通项公式是指可以用一个公式来表示数列的每一项，递推关系式则是指通过前一项与后一项之间的关系来求解数列。
考生需要掌握如何根据数列的特点求解其通项公式和递推关系式。
3. 数学归纳法数学归纳法是数学中一种常见的证明方法。
通过证明当某个命题在某个特定条件下成立时，它在下一个更一般的条件下也成立，从而得出该命题在所有情况下成立的结论。
考生需要熟悉数学归纳法的基本原理和应用方法。
三、极限与连续1. 函数极限的概念函数极限是指当自变量趋于某个特定值时，函数的取值是否趋于某个确定的值。
考生需要理解函数极限的基本定义和相关性质。
2. 数列极限与函数极限的关系数列极限是函数极限的一种特殊情形，数列极限也可以通过数学归纳法来证明。
考生需要掌握数列极限和函数极限之间的等价关系。
3. 函数的连续性连续性是指函数在某个区间上的无间断性质。
考生需要掌握函数连续性的定义和相关定理，能够灵活运用。
四、导数与微分1. 导数的定义和性质导数是描述函数变化率的重要工具，它表示函数在某一点的瞬时变化率。
考研数学容易混淆的概念辨析归纳
高等数学部分易混淆概念第一章：函数与极限一、数列极限大小的判断例1：判断命题是否正确．若()n n x y n N <>，且序列,n n x y 的极限存在，lim ,lim ,n n n n x A y B A B →∞→∞==<则解答：不正确．在题设下只能保证A B ≤，不能保证A B <．例如：11,1n n x y n n ==+，,n n x y n <∀，而lim lim 0n n n n x y →∞→∞==．例2．选择题设n n n x z y ≤≤，且lim()0,lim n n n n n y x z →∞→∞-=则（ ）A ．存在且等于零 B. 存在但不一定等于零 C ．不一定存在 D. 一定不存在 答：选项C 正确分析：若lim lim 0n n n n x y a →∞→∞==≠，由夹逼定理可得lim 0n n z a →∞=≠，故不选A 与D.取11(1),(1),(1)n n n n n n x y z n n=--=-+=-，则n n n x z y ≤≤，且lim()0n n n y x →∞-=，但lim n n z →∞不存在，所以B 选项不正确，因此选C ．例3．设,n n x a y ≤≤且lim()0,{}{}n n n n n y x x y →∞-=则与（ ）A ．都收敛于a B. 都收敛，但不一定收敛于a C ．可能收敛，也可能发散 D. 都发散 答：选项A 正确．分析：由于,n n x a y ≤≤，得0n n n a x y x ≤-≤-，又由lim()0n n n y x →∞-=及夹逼定理得lim()0n n a x →∞-=因此，lim n n x a →∞=，再利用lim()0n n n y x →∞-=得lim n n y a →∞=．所以选项A ．二、无界与无穷大无界：设函数()f x 的定义域为D ，如果存在正数M ，使得()f x Mx X D ≤∀∈⊂则称函数()f x 在X 上有界，如果这样的M 不存在，就成函数()f x 在X 上无界；也就是说如果对于任何正数M ，总存在1x X ∈，使1()f x M >，那么函数()f x 在X上无界．无穷大：设函数()f x 在0x 的某一去心邻域内有定义（或x 大于某一正数时有定义）．如果对于任意给定的正数M （不论它多么大），总存在正数δ（或正数X ），只要x 适合不等式00x x δ<-<（或x X >），对应的函数值()f x 总满足不等式()f x M >则称函数()f x 为当0x x →（或x →∞）时的无穷大． 例4：下列叙述正确的是： ② ① 如果()f x 在0x 某邻域内无界，则0lim ()x x f x →=∞② 如果0lim ()x x f x →=∞，则()f x 在0x 某邻域内无界解析：举反例说明．设11()sin f x x x=，令11,,22n n x y n n πππ==+，当n →+∞时，0,0n n x y →→，而lim ()lim (2)2n n n f x n ππ→+∞→+∞=+=+∞lim ()0n n f y →+∞=故()f x 在0x =邻域无界，但0x →时()f x 不是无穷大量，则①不正确．由定义，无穷大必无界，故②正确．结论：无穷大必无界，而无界未必无穷大．三、函数极限不存在≠极限是无穷大当0x x →（或x →∞）时的无穷大的函数()f x ，按函数极限定义来说，极限是不存在的，但是为了便于叙述函数的性态，我们也说“函数的极限是无穷大”．但极限不存在并不代表其极限是无穷大．例5：函数10()0010x x f x x x x -<⎧⎪==⎨⎪+>⎩，当0x →时()f x 的极限不存在．四、如果0lim()0x xf x →=不能退出01lim()x x f x →=∞ 例6：()0x x f x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数，则0lim ()0x x f x →=，但由于1()f x 在0x =的任一邻域的无理点均没有定义，故无法讨论1()f x 在0x =的极限． 结论：如果0lim ()0x x f x →=，且()f x 在0x 的某一去心邻域内满足()0f x ≠，则1lim()x x f x →=∞．反之，()f x 为无穷大，则1()f x 为无穷小。
考研数学复习中应该注意哪些易混淆的知识点
考研数学复习中应该注意哪些易混淆的知识点考研数学作为考研科目中的“重头戏”，其复习过程充满了挑战。
在众多的知识点中，有一些容易混淆的部分常常让考生感到困惑和头疼。
下面我们就来详细梳理一下在考研数学复习中应该特别注意的那些易混淆的知识点。
一、函数极限与数列极限函数极限和数列极限是极限部分的两个重要概念。
很多同学在初次接触时，容易将它们的定义和性质搞混。
函数极限是指当自变量趋近于某个值或无穷大时，函数值的趋近情况。
而数列极限则是指数列中的项无限趋近于某个确定的值。
它们的区别在于：函数极限中自变量的变化是连续的，而数列极限中自变量的变化是离散的。
在计算上，一些定理和方法在函数极限和数列极限中的应用也有所不同。
比如，对于函数极限，可以使用洛必达法则；而对于数列极限，一般不能直接使用洛必达法则。
二、一元函数导数与多元函数偏导数导数和偏导数都是反映函数变化率的概念，但在一元函数和多元函数中的表现有所不同。
一元函数的导数表示函数在某一点处的变化率，是一个数值。
而多元函数的偏导数则是在其他自变量固定的情况下，对某一个自变量的变化率。
在计算偏导数时，要注意将其他自变量视为常数。
而且，一元函数的导数存在，函数不一定连续；但对于多元函数，偏导数存在且连续，函数才一定可微。
三、不定积分与定积分不定积分和定积分是积分学中的重要概念，也是容易混淆的地方。
不定积分是求被积函数的原函数，结果是一个函数族；而定积分则是一个数值，表示函数在某个区间上与坐标轴围成的面积。
在计算方法上，不定积分需要运用各种积分公式和方法来求解；而定积分的计算除了使用基本的积分方法外，还常常需要利用定积分的性质，如区间可加性等。
此外，不定积分的结果可以加上任意常数 C，而定积分的结果是一个确定的数值。
四、级数的收敛与发散级数的收敛与发散是级数部分的核心概念。
对于正项级数，有比较判别法、比值判别法、根值判别法等多种判别方法。
而对于任意项级数，需要考虑绝对收敛和条件收敛的情况。
数学考研易错知识点整理
数学考研易错知识点整理数学考研对于很多考生来说是一个非常具有难度的科目，其中包含了许多易错的知识点。
本文将对数学考研易错知识点进行整理和总结，供考生参考。
一、导数与微分1. 连续与可导的关系在某一点连续的函数不一定可导，但可导的函数一定连续。
考生在理解这一点时，要明确连续性和可导性是两个不同的概念。
2. 右导数和左导数函数在某一点的右导数和左导数不相等时，该点的导数不存在。
考生要注意这种情况下导数的存在性。
3. 高阶导数的计算高阶导数的计算需要掌握一定的计算技巧和公式，如求导法则、链式法则等。
考生在做题时要注意将这些技巧灵活运用。
二、积分与定积分1. 可积性与连续的关系在一个区间上连续的函数不一定可积，但可积的函数一定是连续的。
考生要理解可积性和连续性的区别，并能够判断函数是否可积。
2. 积分与原函数积分是求导的逆过程，因此可以通过积分还原函数。
考生需要熟练掌握常见函数的积分表达式和求解积分的方法。
3. 牛顿-莱布尼茨公式牛顿-莱布尼茨公式是计算定积分的一个重要工具，它建立了导数和积分之间的关系。
考生要掌握该公式的正确应用，避免在计算定积分时出现错误。
三、级数与收敛性1. 常用级数的和考生需要熟悉常用级数的和，如等比级数、调和级数等。
同时还要掌握求解级数收敛性的方法，如比较判别法、比值判别法等。
2. 幂级数的收敛半径幂级数的收敛半径是一个重要的概念，它决定了幂级数的收敛性。
考生要熟悉计算幂级数的收敛半径的方法，并能够判断幂级数在某个区间上的收敛性。
3. 绝对收敛与条件收敛考生要理解绝对收敛和条件收敛的概念，以及它们之间的关系。
在计算级数时要注意绝对收敛与条件收敛的不同性质。
四、矩阵与行列式1. 矩阵的基本运算矩阵的基本运算包括加法、减法和乘法，考生要熟练掌握这些运算法则。
同时还要注意矩阵的运算律，避免在计算过程中出现错误。
2. 线性方程组的解线性方程组的解可以通过求解增广矩阵的行最简形得到，考生需要熟悉求解线性方程组的方法，并能够正确地写出方程组的解。
考研数学复习中的易错知识点总结
考研数学复习中的易错知识点总结作为考研复习的重要科目之一，数学占据了很大的分量。
然而，在数学考试中，总会有一些易错点，让考生们无法轻松应对。
针对这个问题，本文总结了考研数学复习中的易错知识点，希望对各位考生有所帮助。
一. 数列与数学归纳法数列是考研数学中经常出现的概念，很多考生在这方面容易犯错。
首先，需要掌握常用数列的通项公式，比如等差数列和等比数列的通项公式。
其次，需要正确理解数列的概念和性质，比如递推公式、首项、公比等。
同时，在处理数列问题时，数学归纳法也是一个重要的工具。
但是，很多考生对于数学归纳法的理解还不够深入，容易在使用时犯错。
因此，要注意加强对数学归纳法的掌握，理解数学归纳法的基本思想和应用方法。
二. 函数和导数函数和导数是考研数学中比较基础的概念，但是在具体运用时也容易出现一些错误。
首先，需要掌握常用函数的基本性质和图像，比如基本初等函数（常数函数、一次函数、指数函数、对数函数、幂函数）等。
其次，在求导数时，需要灵活应用求导法则，比如常数倍法则、和差法则、乘积法则、商法则、反函数求导法则等。
同时，在运用导数解决实际问题时，需要仔细分析问题，确定函数的意义和变化规律，然后再进行求导。
三. 矩阵和行列式矩阵和行列式是考研数学中比较重要的内容，但是也是考生容易犯错的部分。
首先，需要掌握矩阵和行列式的基本定义和性质，比如矩阵的加减乘运算、行列式的展开定理等。
其次，在解决实际问题时，需要对应用矩阵和行列式的基本思想和方法有较深的理解和应用能力。
四. 概率与统计概率与统计是现代数学中的重要分支，在考研中也占据了比较重要的地位。
但是，与其他各科一样，许多考生在这方面也容易犯错。
首先，需要掌握概率与统计的基本概念和方法，比如概率分布、随机变量、概率密度函数等。
其次，在具体应用时，需要通过实际问题进行练习和思考，加深对概率与统计概念和方法的理解和掌握。
通过上述对考研数学易错知识点的总结，希望对考生们有所帮助。
考研数学复习中的易混易错知识点
考研数学复习中的易混易错知识点在考研数学的复习过程中，难免会遇到一些易混易错的知识点。
这些知识点可能容易让人误解或混淆，给题目的解答带来困扰。
本文将针对考研数学复习中的易混易错知识点展开讨论，并提供相关解决方法。
在复习过程中，希望考生能够认真对待这些容易出错的知识点，提高解题的准确性和效率。
一、导数与微分导数与微分是数学中的两个重要概念，但很多人对它们的区别不够清晰，容易混淆。
导数是函数在某一点处变化率的极限，表示为f'(x)，可以理解为函数曲线上某一点的切线斜率。
而微分是函数在某一点附近的局部线性逼近，表示为df(x)。
导数是一个数值，而微分是一个微小的增量。
在求导数时，我们通过极限的方法计算导数值；而在求微分时，我们通过函数局部的线性逼近计算微分值。
解决方法：在复习过程中，要着重理解导数和微分的概念及其计算方法，并能够准确运用。
应当注意导数是一个数值，而微分是一个微小的增量。
二、极限和连续性极限和连续性是数学分析中的重要概念，也是考研数学中的重点内容。
但有时候考生容易混淆它们的定义和性质。
极限是函数在某一点处的趋势，也可以理解为函数在某一点处的取值。
如果一个函数f(x)在x=a处的左极限等于右极限，并且与该点的函数值相等，那么它在x=a处存在极限。
连续性是指函数在定义域上的任意一点处都存在极限。
当函数的极限存在且与函数的取值相等时，该函数在该点处是连续的。
解决方法：掌握极限和连续性的定义和性质，特别是左右极限和函数的取值的关系。
要通过大量的例题来加深对这两个概念的理解。
三、排列与组合在概率与数理统计中，排列与组合是非常重要的知识点。
虽然它们的计算方法有所区别，但很多考生在复习过程中容易混淆它们。
排列是指从一组不同元素中选取若干元素按照一定的顺序进行排列的方法数。
例如，从A、B、C三个元素中选取两个元素进行排列，可以得到AB和BA两种排列方式。
组合则是指从一组不同元素中选取若干元素按照一定的顺序进行组合的方法数。
考研数学常见易错点梳理
考研数学常见易错点梳理考研数学是众多考生必考的一门科目，也是许多考生觉得困难的科目之一。
在备考过程中，了解和梳理常见的易错点，可以帮助考生避免错误，提高复习效率。
本文将梳理考研数学中常见的易错点，并提供相关的解决方法和技巧。
1. 概率论和数理统计中的易错点概率论和数理统计是考研数学中的重点内容，也是考生易错的部分。
以下是一些常见的易错点：1.1. 独立事件与互斥事件的区分独立事件是指两个或多个事件之间的发生与否互不影响，而互斥事件是指两个或多个事件之间的发生是互相排斥的。
考生在解题时经常会将独立事件和互斥事件混淆，导致答案错误。
解决方法是好好理解两个概念的含义，进行适当的概率计算。
1.2. 条件概率的计算条件概率是指在已知事件B发生的前提下，事件A发生的概率。
考生在计算条件概率时，往往会出错。
解决方法是注意条件概率的定义，理解条件概率的含义，进行正确的计算。
1.3. 常见的分布函数和密度函数在概率论中，常见的分布函数和密度函数有正态分布、指数分布、均匀分布等。
考生往往会混淆不同分布函数和密度函数之间的概念和特点。
解决方法是仔细阅读教材，理解每个分布函数和密度函数的特点和使用方法。
2. 高等数学中的易错点高等数学作为考研数学的重要组成部分，也是考生常犯错误的领域之一。
以下是一些常见的易错点：2.1. 无穷小量和无穷大量的概念无穷小量是指极限为零的量，无穷大量是指极限为无穷的量。
考生往往会混淆二者的概念和特点。
解决方法是认真学习无穷小量和无穷大量的定义，多做练习题来加深对概念的理解。
2.2. 导数和微分的关系导数是函数在某一点的变化率，微分是函数在某一点的增量。
考生常常将导数和微分混为一谈，导致概念理解不准确。
解决方法是弄清导数和微分的定义和计算方法，进行充分的练习和实践。
2.3. 常见的积分计算方法在高等数学中，常见的积分计算方法有换元积分法、分部积分法和定积分的几何意义等。
考生在运用积分计算方法时，经常会出错。
数学考研易错知识点分析与攻克方法
数学考研易错知识点分析与攻克方法在数学考研中，有一些易错的知识点是考生普遍容易忽视或理解不深入的，这些知识点对于顺利通过考试是非常关键的。
本文将从几个方面对数学考研易错知识点进行分析，并提供相应的攻克方法。
1. 集合论与数理逻辑集合论与数理逻辑是数学考研中的基础知识，但往往容易被忽视。
考生在学习这些知识点时，应注意掌握集合的基本概念、运算规则以及集合关系的性质。
同时，数理逻辑中的命题、命题联结词、命题公式等也是考生容易出错的地方，建议通过大量的练习题来加深理解。
2. 极限与连续性在极限与连续性部分，考生容易混淆不同类型的极限，例如函数极限、数列极限和无穷小量的极限等。
确保理解这些概念的差异以及各种极限的性质和计算方法是解决易错问题的关键。
此外，对于连续性的定义和相关定理的掌握也非常重要。
3. 数列与级数考生通常对于数列与级数的收敛性判断以及收敛级数的求和方法容易出错。
在学习数列与级数时，要熟悉各种常见数列的性质，掌握判断数列收敛的方法，以及掌握级数求和的技巧。
此外，对于级数的收敛域和收敛半径也需要注意。
4. 线性代数在线性代数中，矩阵的运算性质、方程组的求解以及特征值与特征向量的计算是考生经常犯错的地方。
建议通过多做练习题来熟悉矩阵的基本运算规则，并熟练掌握方程组的行变换和求解方法。
对于特征值与特征向量的计算，要理解其几何意义以及与矩阵的关系。
5. 微积分微积分部分是数学考研难点中的难点，也是容易出错的地方。
考生在学习微积分时，要特别注意函数的极值与最值的求解、函数的导数与导数的应用、不定积分与定积分的计算等内容。
此外，掌握微分方程的基本概念和解法也是至关重要的。
攻克上述易错知识点的方法如下：1. 系统学习：针对每个知识点，要进行系统的学习和总结，理清概念，掌握基本性质和定理，建立起知识体系。
2. 多做练习：通过大量的练习题来熟悉各种类型的题目，加深理解和记忆，并提高解题能力。
3. 查漏补缺：发现自己对某个知识点理解不透彻或不熟练的地方，及时查找资料进行补充，弥补知识漏洞。
考研数学常见易错点剖析分析数学中常见的易错点帮助学生避免犯同样的错误
考研数学常见易错点剖析分析数学中常见的易错点帮助学生避免犯同样的错误一、引言数学是考研考试中的重要科目之一，很多学生在备考过程中常常会遇到一些常见易错点。
本文通过对数学考点的剖析分析，旨在帮助考生们避免犯同样的错误，提高解题能力和成绩。
二、概念混淆1. 同余与模运算同余是指两个数除以一个整数所得的余数相等，而模运算是指将一个数除以另一个数所得的余数。
常见错误：将同余与模运算混淆，或在具体计算时运用错误。
解决方法：理解同余和模运算的定义和性质，通过大量例题进行练习，加深对两者的区别和应用。
2. 整除与因数整数a除以整数b，若余数为0，则称a能被b整除，b称为a的因数。
常见错误：将整除与因数概念混淆，或在计算因数时计算错误。
解决方法：明确整除与因数的定义，认真分析题目中的要求，画出各个数之间的关系图示，避免混淆和计算错误。
三、公式运用1. 综合运用在考研数学中，常常需要综合运用各种公式和定理进行推导和计算，但很多学生在解题过程中容易迷失在各种公式之中，而忽略了题目的本质。
常见错误：过度依赖公式，没有从问题本身出发，盲目套用公式。
解决方法：理解公式的含义和推导过程，通过大量练习题目培养灵活运用公式的能力，强化问题分析和解决能力。
2. 打桩法与递推公式打桩法是指为了通过表达式的形式寻找递推关系，常用于求解数列等。
常见错误：误用递推公式，找不到合适的打桩点。
解决方法：充分理解递推公式的定义和求解思路，并灵活运用打桩法找到递推关系，通过计算多个数值验证递推公式还可以进行调整。
四、未解决问题的再次尝试1. 短时间内未取得进展时在考试的限时条件下，遇到一道难题很容易陷入僵局，这时候考生往往会直接放弃，而没有尝试其他的解法或思路。
常见错误：过早放弃，没有发挥出自己的潜力。
解决方法：当遇到难题时，可以尝试其他的解法，或者用不同的思路来解决问题，多角度思考，找到最适合自己的解题方式。
同时，可以通过多做模拟题和真题，提高解题的速度和准确性。
考研数学复习之易混概念总结
考研数学复习之易混概念总结一、几个易混概念：连续，可导，存在原函数，可积，可微，偏导数存在他们之间的关系式怎么样的?存在极限，导函数连续，左连续，右连续，左极限，右极限，左导数，右导数，导函数的左极限，导函数的右极限。
二、二、罗尔定理：设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续(其中a不等于b)，在开区间(a，b)上可导，且f(a)=f(b)，那么至少存在一点ξ∈(a、b)，使得f‘(ξ)=0。
罗尔定理是以法国数学家罗尔的名字命名的。
罗尔定理的三个已知条件的意义，①f(x)在[a，b]上连续表明曲线连同端点在内是无缝隙的曲线;②f(x)在内(a，b)可导表明曲线y=f(x)在每一点处有切线存在;③f(a)=f(b)表明曲线的割线(直线AB)平行于x轴;罗尔定理的结论的直几何意义是：在(a，b)内至少能找到一点ξ，使f’(ξ)=0，表明曲线上至少有一点的切线斜率为0，从而切线平行于割线AB，与x轴平行。
三、.泰勒公式展开的应用专题：相信很多同学看到泰勒公式就哆嗦，因为咋一看很长很恐怖，瞬间大脑空白，身体失重的感觉。
其实在我搞明白一下几点后，原来的症状就没有了。
1.什么情况下要进行泰勒展开;2.以哪一点为中心进行展开;3.把谁展开;4.展开到几阶?四、应用多次中值定理的专题：大部分的考研题，一般要考察你应用多次中值定理，最重要的就是要培养自己对这种题目的敏感度，要很快反映老师出这题考哪几个中值定理，我的敏感性是靠自己多练习综合题培养出来的。
我会经常会去复习，那样我对中值定理的题目早已没有那种刚学高数时的害怕之极。
要想对微分中值定理这块的题目有条理的掌握，看我这个总结定会事半功倍的。
五、对称性，轮换性，奇偶性在积分(重积分，线，面积分)中的综合应用：这几乎每年必考，要么小题中考，要么大题中要用，这是必须掌握的知识，但是往往不是那么容易就靠做3，4个题目就能了解这知识点的应用到底有多广泛。
我们做积分题，尤其多重积分和线面积分，死算也许能算出结果，但是要是能用以上性质，那可真是三下五除二搞定，这方面的感觉相信大家有过，可是或许仅仅是昙花一现，因为你做出来了以为以后就一定会在相似的题目中用，其实不然，因为仅仅靠几道题目很大程度上不能给你留下太深刻的印象，下次轮到的时候或许就是考场上了，你可能顿时苦思冥想，最终还是选择了最傻的办法，浪费了宝贵时间。
考研数学常见易错点总结与纠正
考研数学常见易错点总结与纠正考研数学作为考研考试的一门重要科目，对于很多考生来说都是一个难点。
在备考过程中，考生经常会遇到一些常见的易错点，这些点一旦掌握不好，很容易在考试中出现错误。
因此，本文将对考研数学中的常见易错点进行总结，并给出相应的纠正方法，帮助考生提高数学成绩。
一、集合论中的易错点1. 对集合的定义不清楚集合是集合论中的基础概念，但很多考生对集合的定义不够清晰，容易导致在计算中出现错误。
集合是由一些确定的元素构成的整体，这意味着集合的元素是明确且不重复的。
在解题过程中，要注意严格按照这个定义进行操作。
2. 对子集的判断错误在集合的运算中，经常需要判断一个集合是否是另一个集合的子集。
容易出错的地方在于对子集的判断不准确。
要注意理解子集的定义：如果一个集合的所有元素都是另一个集合的元素，那么这个集合就是另一个集合的子集。
3. 对并、交、差集的操作混淆并集、交集和差集是集合运算中常见的操作，但有时候容易混淆它们的含义和操作步骤。
并集是指将两个集合中的所有元素合并到一起，交集是指两个集合中共有的元素，差集是指一个集合中去除另一个集合中的元素。
对于这些操作，要明确它们的定义和运算规则。
二、概率论中的易错点1. 理解条件概率的定义条件概率是概率论中的一个重要概念，但很多考生对它的理解存在问题。
条件概率是指在已知某些条件下某事件发生的概率。
在计算条件概率时，要仔细分析给出的条件，并根据定义进行计算，不能随意操作。
2. 确定事件的独立性事件的独立性是概率论中的另一个重要概念，但有时候容易判断错误。
两个事件的独立性是指一个事件的发生不受另一个事件的影响。
在解题过程中，要明确每个事件发生的条件，并判断它们是否独立。
3. 对于概率计算步骤的混淆在概率计算中，需要确定事件的样本空间、事件的可能性和事件的概率。
容易出错的地方在于混淆这些步骤，导致结果错误。
要清楚地分析每个步骤的含义和计算方法，并按照顺序进行操作。
数学考研常见易错知识点整理
数学考研常见易错知识点整理数学考研是众多考生所关注的考试科目之一，而在备考过程中，常常会遇到一些容易出错的知识点。
这些知识点既可能是基础知识不扎实导致的，也可能是对题目理解有偏差所致。
本文将对数学考研常见的易错知识点进行整理，帮助考生们更好地备考。
一、解析几何1. 直线与方程直线是解析几何的基本概念之一，考生在题目中常会遇到直线的方程表示形式。
在解直线问题时，考生要熟悉直线的截距式、斜截式、点斜式等不同的表达方式，并能够根据题目要求选择合适的表达形式。
2. 平面与方程平面与方程的关系也是解析几何的重点内容之一。
考生在解平面问题时，需要了解平面的一般式、截距式、法线式等不同的表示形式，并能够根据题目中的条件选择合适的表达方式。
3. 空间解析几何基本定理在解空间解析几何题目时，考生需要熟悉空间直线的位置关系、平面的位置关系，掌握垂直、平行、共面等基本定理，并能够将这些定理应用到题目中，解决问题。
二、概率论与数理统计1. 离散型随机变量的概率分布离散型随机变量是概率论与数理统计的重要内容，考生在解离散型随机变量概率分布问题时，需要掌握概率质量函数的定义、性质以及计算方法，注意区分不同类型的离散型随机变量并选择合适的概率分布。
2. 连续型随机变量的概率密度函数连续型随机变量的概率密度函数也是考生容易出错的知识点之一。
考生需要了解概率密度函数的定义、性质以及计算方法，理解连续型随机变量与概率的关系，掌握常见的连续型随机变量的概率密度函数。
3. 统计量与抽样分布统计量是对总体特征进行估计的随机变量，而抽样分布是统计量的分布。
考生在解统计量与抽样分布的题目时，需要掌握常见统计量的计算方法，了解估计量的性质与选择，理解抽样分布的概念以及重要的抽样分布。
三、高等代数1. 方阵的性质与运算方阵性质与运算是高等代数的基础知识，考生在解方阵题目时，需要了解方阵的基本性质，掌握行列式的计算方法与性质，熟悉方阵的逆矩阵与转置矩阵等运算规则。
考研数学易混淆概念分析之概率论与数理统计
概率论与数理统计的第⼀章“概率论的基本概念”是概率论与数理统计的基础，将这些基本概念掌握牢固是我们学好概率论与数理统计这门课程的重要前提条件，为了帮助同学们加深理解这部分内容，万学海⽂数学考研辅导专家们将同学们在学习过程中容易发⽣混淆的概念总结如下：1.若事件A=B，是否可以认为A,B为同⼀事件？答：不能．⾸先明确事件相等的定义，．如两个灯泡串联, 记A={A灯亮}，B={B灯亮}，则A不发⽣时，⼀定导致B不发⽣，所以，同理当B不发⽣时，⼀定导致A不发⽣，有，故有A=B，但A,B不是同⼀事件．2.⽐较下⾯三个概念：互斥、对⽴、划分．答：（1）互斥：事件A,B互斥是指．注意：互斥的两事件没有公共的样本点；基本事件之间都是互斥的．（2）对⽴：事件A,B对⽴是指且；（3）划分（完备事件组）：事件是⼀个划分是指：(i)两两互不相容，即；(ii).3.和对吗？答：不对．连续型随机变量在⼀点的取值概率为零，但这个事件不是空事件；同理连续型随机变量去掉有限个点，其取值概率仍为1，但去掉有限个点后，显然不是样本空间．但反过来都是成⽴的，即：和．说明：⼀般的，从概率的信息得不出事件关系．但如果是古典概型，则上述结论正确，即古典概率如果，能得出，，能得出，为什么？因为古典概型的样本点是有限个，并且每个样本点发⽣的概率相等，则每个基本事件的概率都⼤于零，从⽽有上述结论．4.两个事件互不相容，是否就是相互独⽴？答：不是．独⽴与互不相容是两个不同的概念，它们没有任何关系．互不相容是指两个事件不可能同时发⽣，即，是⽤事件的关系来定义；⽽独⽴是指两个事件同时发⽣部分的概率等于两个事件分别发⽣概率的乘积，即，是⽤概率来定义．5.三个事件中两两相互独⽴，能否说明三个事件独⽴？答：不能．三个事件中两两相互独⽴，只是三个事件独⽴的⼀个条件，还必须满⾜：，三个事件才独⽴．6.什么事件与任何事件都独⽴？答：只要满⾜即的事件与任何事件都独⽴．若，⼜有，所以，故，即有，故独⽴．若，⼜有，所以，故，⼜，则有，故A,B独⽴．7.全概率公式与贝叶斯公式答：全概率公式：是完备事件组，，则；贝叶斯公式：是完备事件组，，则分析：--原因，A--结果全概率公式⽤于求复杂事件（可以由多个原因导致）的概率，已知：每个原因发⽣的概率，在每个原因发⽣的条件下结果A发⽣的概率；求：结果A发⽣的概率；贝叶斯公式⽤于求条件概率，已知：⼀个原因发⽣的概率，在该原因发⽣条件下结果A发⽣的概率，结果A发⽣的概率 P(A)（可⽤全概率公式求）；求：该原因在结果A发⽣下的概率．8.先验概率和后验概率答：先验概率是指根据以往经验和分析得到的概率，如全概率公式中的，它往往作为“由因求果”问题中的“因”出现。
考研数学中的常见易错点剖析
考研数学中的常见易错点剖析数学作为考研的一门重要科目，对于很多考生来说都是一个挑战。
在备考过程中，难免会遇到一些常见的易错点。
本文将对考研数学中的常见易错点进行剖析，帮助考生找出薄弱环节并加以克服，从而提高数学考试的得分。
一、概率与统计概率与统计是考研数学中重要的一个分支，也是一些考生容易出错的地方。
以下是概率与统计中常见的易错点：1. 相互独立事件的计算问题：考生容易在计算相互独立事件的概率时出错。
要注意将事件相互独立的条件纳入计算过程，避免忽略关键信息而导致计算错误。
2. 条件概率的计算问题：在计算条件概率时，考生往往容易弄混条件和事件的关系，导致计算结果错误。
在计算过程中，要明确给定条件，并注意理解题意，才能准确计算条件概率。
3. 期望与方差的计算问题：在计算期望与方差时，考生容易出现算式推导错误或者遗漏关键步骤的情况。
要善于利用相关公式，注意计算过程的准确性，避免因为漏算或算错而导致分数损失。
二、高等数学高等数学在考研数学中占据很大的比重，而其中也有一些易错点需要特别注意：1. 极限与连续性的概念理解问题：考生在极限与连续性的概念理解上容易出现混淆或错误。
要充分理解极限的定义和性质，注意与连续性的关联，提前培养逻辑思维能力，以确保正确理解和应用这些概念。
2. 曲线的切线与法线问题：在计算曲线的切线与法线时，考生容易出现计算错误或者对切线与法线的概念理解不准确的问题。
要充分理解切线与曲线的切点关系，掌握切线斜率和法线斜率的求解方法，才能准确计算。
3. 多重积分的计算问题：在计算多重积分时，考生容易出现计算错误或者积分范围设置不准确的问题。
要注意遵循积分的计算规则，善于利用几何图形及坐标系，深入理解积分的概念和意义，确保正确计算。
三、线性代数线性代数是考研数学中的另一个重要分支，以下是线性代数中的常见易错点：1. 矩阵基础知识理解问题：考生在矩阵的基础知识上容易出现理解错误。
要充分理解矩阵的定义、运算法则以及性质，熟悉矩阵的转置、逆、秩等基本概念，才能正确应用于解题中。
考研数学常见易错知识点解析
考研数学常见易错知识点解析数学作为考研的一门重要科目，常常成为许多考生的心头痛。
在备考过程中，我们不仅需要掌握基础知识，还要注意一些常见易错知识点。
本文将针对考研数学中的一些易错知识点进行解析，帮助考生更好地备考。
一、集合论集合论是数学考研中的一个基础知识点，也是考生容易出错的地方之一。
在集合的运算中，容易混淆交集和并集的概念。
交集指的是两个集合中共有的元素构成的新集合，用符号∩表示；而并集指的是两个集合中所有元素组成的新集合，用符号∪表示。
考生要清楚地理解并区分交集和并集的概念，在计算中注意使用正确的符号和操作。
二、函数函数是考研数学中的一个重要知识点，也是容易出错的地方。
考生在函数的定义和性质上容易出现混淆，尤其是定义域和值域的概念。
函数的定义域指的是自变量的取值范围，而值域指的是函数在定义域上所有可能的取值。
考生在计算函数的定义域和值域时，要注意对符号和范围进行正确的分析和判断。
三、极限极限是数学中的一个重要概念，也是考研数学常见的易错知识点之一。
在计算极限的过程中，考生常常遇到无穷小量和无穷大量的概念。
无穷小量指的是当自变量趋于某一值时，函数值趋近于零的量；而无穷大量指的是当自变量趋于某一值时，函数值趋于无穷大的量。
考生在计算极限时，要根据函数的特性和定义，合理地运用无穷小量和无穷大量的概念。
四、微分与积分微分和积分是微积分的重要内容，也是考研数学中容易出错的知识点。
在计算导数和不定积分时，考生常常忽略常数项及其性质。
导数表示函数的变化率，是函数的斜率；而不定积分表示函数的反函数，是导函数的逆运算。
考生在计算微分和积分时，要注意引入常数项，并根据函数的性质进行合理的计算。
五、概率论与统计概率论与统计是考研数学中的一个重要部分，也是考生容易出错的地方。
在计算概率与统计量时，考生常常忽略排列与组合的概念和运算规则。
排列是指从一组元素中取出若干元素进行排列的方式；组合是指从一组元素中取出若干元素进行组合的方式。
考研数学常见易错知识点解析
考研数学常见易错知识点解析一、概率与统计1.条件概率与独立性考研中，条件概率与独立性是经常出现的易错知识点。
对于条件概率题型，考生要清楚地理解事件A在事件B发生的条件下的概率定义，并能正确运用条件概率公式进行计算。
在独立性题型中，考生要能辨别事件A和事件B之间是否相互独立，避免将条件独立与相互独立混淆。
2.随机变量及其分布考生在概率与统计部分易错的另一个知识点是随机变量及其分布。
要注意离散随机变量和连续随机变量的定义和性质，理解概率质量函数和概率密度函数的含义，并正确计算其期望、方差等相关指标。
二、高等代数1.矩阵运算矩阵运算是高等代数中的重要内容，但也是考生易错的知识点。
在求矩阵的逆、行列式的计算和线性方程组的解等题型中，考生需要掌握矩阵运算的基本性质和运算规则，并能正确应用到具体问题中。
2.向量空间与线性变换向量空间和线性变换是高等代数中的重要概念，也是考研中容易出错的知识点。
考生要理解向量空间的定义和性质，掌握向量的线性相关和线性无关的判断方法，以及线性变换的基本性质和运算法则。
三、数学分析1.极限与连续数学分析中常见的易错知识点包括极限和连续。
考生要掌握数列和函数的极限定义和性质，正确判断极限是否存在，以及应用极限运算法则解题。
在连续性知识点中，考生需要理解函数的连续性定义和性质，正确判断函数的连续性，并能应用连续函数的基本性质解决问题。
2.一元函数微分学一元函数微分学是数学分析的基础内容，但也是考生容易出错的知识点。
考生要掌握导数的定义和性质，理解导数与函数图像的关系，并能正确求解函数的极值、最值以及函数图像的特征。
四、线性代数1.向量的基本运算向量的基本运算是线性代数中的常见易错知识点。
考生要掌握向量的加法、数乘以及点积运算的定义和性质，并能正确应用这些运算进行计算和解决问题。
2.矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量是线性代数中的重要内容，也是考生易错的知识点。
考生要理解特征值与特征向量的定义和性质，正确求解特征值和特征向量，以及应用特征值与特征向量解决线性方程组和矩阵运算的问题。
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考研数学容易混淆的概念辨析归纳————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：高等数学部分易混淆概念第一章：函数与极限一、数列极限大小的判断例１：判断命题是否正确.若()n n x y n N <>，且序列,n n x y 的极限存在，lim ,lim ,n n n n x A y B A B →∞→∞==<则解答：不正确．在题设下只能保证A B ≤，不能保证A B <．例如:11,1n n x y n n ==+，,n n x y n <∀，而lim lim 0n n n n x y →∞→∞==.例２．选择题设n n n x z y ≤≤,且lim()0,lim n n n n n y x z →∞→∞-=则（ ）Ａ．存在且等于零 B ． 存在但不一定等于零Ｃ．不一定存在 D. 一定不存在 答:选项C 正确分析：若lim lim 0n n n n x y a →∞→∞==≠,由夹逼定理可得lim 0n n z a →∞=≠,故不选A 与Ｄ.取11(1),(1),(1)n n n n n n x y z n n=--=-+=-,则n n n x z y ≤≤,且lim()0n n n y x →∞-=,但lim n n z →∞不存在，所以B 选项不正确,因此选C ．例3．设,n n x a y ≤≤且lim()0,{}{}n n n n n y x x y →∞-=则与（ ）Ａ.都收敛于a B ． 都收敛，但不一定收敛于a C ．可能收敛,也可能发散 D. 都发散 答：选项Ａ正确．分析：由于,n n x a y ≤≤,得0n n n a x y x ≤-≤-,又由lim()0n n n y x →∞-=及夹逼定理得lim()0n n a x →∞-=因此，lim n n x a →∞=，再利用lim()0n n n y x →∞-=得lim n n y a →∞=.所以选项A.二、无界与无穷大无界:设函数()f x 的定义域为D ,如果存在正数M ,使得()f x Mx X D ≤∀∈⊂则称函数()f x 在X 上有界,如果这样的M 不存在，就成函数()f x 在X 上无界；也就是说如果对于任何正数M ，总存在1x X ∈,使1()f x M >，那么函数()f x 在X 上无界.无穷大：设函数()f x 在0x 的某一去心邻域内有定义（或x 大于某一正数时有定义）．如果对于任意给定的正数M （不论它多么大)，总存在正数δ（或正数X ）,只要x 适合不等式00x x δ<-<（或x X >)，对应的函数值()f x 总满足不等式()f x M >则称函数()f x 为当0x x →(或x →∞）时的无穷大. 例４:下列叙述正确的是： ② ① 如果()f x 在0x 某邻域内无界,则0lim ()x x f x →=∞② 如果0lim ()x x f x →=∞,则()f x 在0x 某邻域内无界解析：举反例说明．设11()sin f x x x=，令11,,22n n x y n n πππ==+，当n →+∞时，0,0n n x y →→,而lim ()lim (2)2n n n f x n ππ→+∞→+∞=+=+∞lim ()0n n f y →+∞=故()f x 在0x =邻域无界,但0x →时()f x 不是无穷大量，则①不正确.由定义，无穷大必无界，故②正确.结论:无穷大必无界，而无界未必无穷大．三、函数极限不存在≠极限是无穷大当0x x →(或x →∞）时的无穷大的函数()f x ,按函数极限定义来说，极限是不存在的,但是为了便于叙述函数的性态，我们也说“函数的极限是无穷大”．但极限不存在并不代表其极限是无穷大.例5:函数10()0010x x f x x x x -<⎧⎪==⎨⎪+>⎩，当0x →时()f x 的极限不存在．四、如果0lim()0x xf x →=不能退出01lim()x x f x →=∞ 例6:()0x x f x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数，则0lim ()0x x f x →=，但由于1()f x 在0x =的任一邻域的无理点均没有定义,故无法讨论1()f x 在0x =的极限． 结论：如果0lim ()0x x f x →=，且()f x 在0x 的某一去心邻域内满足()0f x ≠,则1lim()x x f x →=∞.反之,()f x 为无穷大,则1()f x 为无穷小。
五、求函数在某点处极限时要注意其左右极限是否相等,求无穷大处极限要注意自变量取正无穷大和负无穷大时极限是否相等。
例7．求极限10lim ,lim xxx x e e →∞→解：lim ,lim 0x x x x e e →+∞→-∞=+∞=，因而x →∞时x e 极限不存在。
1100lim 0,lim x x x x e e →-→===+∞,因而0x →时1xe 极限不存在。
六、使用等价无穷小求极限时要注意：（1)乘除运算中可以使用等价无穷小因子替换，加减运算中由于用等价无穷小替换是有条件的,故统一不用。
这时，一般可以用泰勒公式来求极限。
（2）注意等价无穷小的条件，即在哪一点可以用等价无穷小因子替换例8：求极限2112limx x x x →++--分析一:若将112x x ++--写成(11)(11)x x +-+--,再用等价无穷小替换就会导致错误。
分析二:用泰勒公式22222211()12211(1())22!11()122(1())222!1()4x x x x x x x x x x οοο-++-=+++-+-++-=-+原式2221()144x x x ο-+==-。
例９:求极限sin limx xxπ→解：本题切忌将sin x 用x 等价代换，导致结果为１。
sin sin lim 0x x x πππ→== 七、函数连续性的判断(１)设()f x 在0x x =间断，()g x 在0x x =连续,则()()f x g x ±在0x x =间断。
而2()(),(),()f x g x f x f x ⋅在0x x =可能连续。
例１0.设0()1x f x x ≠⎧=⎨=⎩,()sin g x x =,则()f x 在0x =间断，()g x 在0x =连续，()()()sin 0f x g x f x x ⋅=⋅=在0x =连续。
若设10()1x f x x ≥⎧=⎨-<⎩，()f x 在0x =间断，但2()()1f x f x =≡在0x =均连续。
（2)“()f x 在0x 点连续”是“()f x 在0x 点连续”的充分不必要条件。
分析：由“若0lim ()x x f x a →=，则0lim ()x x f x a →=”可得“如果00lim ()()x x f x f x →=，则0lim ()()x x f x f x →=”,因此，()f x 在0x 点连续,则()f x 在0x 点连续。
再由例1０可得，()f x 在0x 点连续并不能推出()f x 在0x 点连续。
（３）()x ϕ在0x x =连续,()f u 在00()u u x ϕ==连续,则(())f x ϕ在0x x =连续。
其余结论均不一定成立。
第二章 导数与微分一、函数可导性与连续性的关系可导必连续,连续不一定可导。
例11．()f x x =在0x =连读,在0x =处不可导。
二、()f x 与()f x 可导性的关系（1)设0()0f x ≠，()f x 在0x x =连续，则()f x 在0x x =可导是()f x 在0x x =可导的充要条件。
（2）设0()0f x =,则0()0f x '=是()f x 在0x x =可导的充要条件。
三、一元函数可导函数与不可导函数乘积可导性的讨论设()()()F x g x x ϕ=，()x ϕ在x a =连续，但不可导，又()g a '存在，则()0g a =是()F x 在x a =可导的充要条件。
分析：若()0g a =，由定义()()()()()()()()()limlim lim ()()()x a x a x a F x F a g x x g a a g x g a F a x g a a x a x a x aϕϕϕϕ→→→---''====--- 反之，若()F a '存在,则必有()0g a =。
用反证法,假设()0g a ≠，则由商的求导法则知()()()F x x g x ϕ=在x a =可导,与假设矛盾。
利用上述结论,我们可以判断函数中带有绝对值函数的可导性。
四、在某点存在左右导数时原函数的性质（１)设()f x 在0x x =处存在左、右导数,若相等则()f x 在0x x =处可导；若不等,则()f x 在0x x =连续。
(2)如果()f x 在(,)a b 内连续,0(,)x a b ∈,且设00lim ()lim (),x x x x f x f x m →+→-''==则()f x 在0x x =处必可导且0()f x m '=。
若没有如果()f x 在(,)a b 内连续的条件,即设00lim ()lim ()x x x x f x f x a →+→-''==，则得不到任何结论。
例11.20()0x x f x xx +>⎧=⎨≤⎩,显然设00lim ()lim ()1x x f x f x →+→-''==，但0lim ()2x f x →+=,0lim ()0x f x →-=，因此极限0lim ()x f x →不存在,从而()f x 在0x =处不连续不可导。
第三章 微分中值定理与导数的应用一、若lim (),(0,lim ()x x f x A A f x →+∞→+∞'=≠∞=∞可以取）, 则若lim ()0x f x A →+∞'=≠,不妨设0A >，则0,()2AX x X f x '∃>≥>时，,再由微分中值定理()()()()(,(,))f x f X f x X x X X x ξξ'=+->∈()()()()lim ()2x Af x f X x X x X f x →+∞⇒≥+->⇒=+∞同理,当0A <时，lim ()x f x →+∞=-∞若lim (),0,()1x f x X x X f x →+∞''=+∞⇒∃>≥>时，,再由微分中值定理()()()()(,(,))f x f X f x X x X X x ξξ'=+->∈()()()()lim ()x f x f X x X x X f x →+∞⇒≥+->⇒=+∞同理可证lim ()x f x →+∞'=-∞时,必有lim ()x f x →+∞=-∞第八章 多元函数微分法及其应用８.1多元函数的基本概念 1. 0ε∀,12,0δδ∃,使得当01x x δ-,02y y δ-且0,0(,)()x y x y ≠时，有(,)f x y A ε-,那么00lim (,)x x y y f x y A →→=成立了吗?成立,与原来的极限差异只是描述动点(,)p x y 与定点000(,)p x y 的接近程度的方法不一样,这里采用的是点的矩形邻域, ,而不是常用的圆邻域,事实上这两种定义是等价的.2. 若上题条件中0,0(,)()x y x y ≠的条件略去,函数(,)f x y 就在0,0()x y 连续吗?为什么?如果0,0(,)()x y x y ≠条件没有,说明0,0()f x y 有定义,并且00(,)x y 包含在该点的任何邻域内，由此对0ε∀,都有(,)f x y Aε-,从而0,0()A f x y =，因此我们得到00lim (,)x x y y f x y A →→=0,0()f x y =,即函数在0,0()x y 点连续. 3. 多元函数的极限计算可以用洛必塔法则吗?为什么? 不可以,因为洛必塔法则的理论基础是柯西中值定理.８.２ 偏导数１. 已知2(,)y f x y e x y +=,求(,)f x y令x y u +=,y e v =那么解出x ,y 得ln ln y vx u v=⎧⎨=-⎩,所以22(,)(,).(,)(ln ).ln f u v x u v y u v u v v ==- 或者2(,)(ln ).ln f u v u v y =-８.3全微分极其应用1.写出多元函数连续,偏导存在,可微之间的关系偏导数x f '， y f '连续⇒Z 可微⇒ (,)Z f x y =连续⇒ (,)f x y 极限存在 偏导数x f ', y f '连续⇒偏导数x f '， y f '存在2. 判断二元函数(,)f x y =0,02230,0(,)()0(,)()xy x y x y x y x y x y ⎧≠⎪+⎨⎪≠⎩在原点处是否可微.对于函数(,)f x y ,先计算两个偏导数:00(,0)(0,0)00(0,0)lim lim 0x x x f x f f x x∆→∆→∆--'===∆∆0(0,)(0,0)00(0,0)limlim 0y x x f y f f y y∆→∆→∆--'===∆∆ 又000522226(,)(0,0)(0,0)(0,0)limlim()()()()x y x x x x y y y y f x y f f x f yx yx y x y →→→→''∆∆--∆-∆∆∆=∆+∆⎡⎤∆+∆⎣⎦令y k x ∆=∆,则上式为2135550022663()limlim 0(1)(1)x x k x k x k xk ∆→∆→∆=∆=+∆+因而(,)f x y 在原点处可微.８.4多元复合函数的求导法则 1. 设()xyz f x y=+,f 可微,求dz . 22222()()()()()()()()()()()xy xy xy x y d xy xyd x y dz f d f x y x y x y x y xy y xy yf dx f dy x y x y x y x y +-+''==++++''=+++++８.５隐函数的求导1. 设(,)x x y z =，(,)y y x z =,(,)z z x y =都是由方程(,,)0F x y z =所确定的具有连续偏导数的函数,证明..1x y zy z x∂∂∂=-∂∂∂. 对于方程(,,)0F x y z =,如果他满足隐函数条件.例如,具有连续偏导数且0x F '≠,则由方程(,,)0F x y z =可以确定函数(,)x x y z =,即x 是y ，z 的函数,而y ,z 是自变量,此时具有偏导数y x F xy F '∂=-∂',z x F x z F '∂=-∂'同理，z y F yz F '∂=-∂'，所以..1x y z y z x ∂∂∂=-∂∂∂.８．6多元函数的极值及其求法1．设(,)f x y 在点000(,)p x y 处具有偏导数,若(,)0x f x y '=，(,)0y f x y '=则函数(,)f x y 在该点取得极值,命题是否正确?不正确,见多元函数极值存在的充分必要条件．２．如果二元连续函数在有界闭区域内有惟一的极小值点，且无极大值,那么该函数是否在该点取得最小值？ 不一定，对于一元函数来说上述结论是成立的,但对于多元函数,情况较为复杂，一般来说结论不能简单的推广。