用向量方法证明

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证明点在直线上的方法

证明点在直线上的方法在几何学中，证明一个点是否在直线上是非常常见的问题。

这个问题在初中数学中就已经开始涉及，而在高中数学中更是必须掌握的基本技能之一。

本文将介绍几种证明点在直线上的方法。

方法一：使用向量向量是几何学中非常重要的概念，它可以用来表示线段、直线、平面等几何图形。

在证明点在直线上时，我们可以使用向量的方法。

具体步骤如下：1. 将直线表示为向量的形式，即将直线上的两个点表示为向量的差。

2. 将点表示为向量的形式，即将点表示为一个向量。

3. 判断点是否在直线上，只需要判断点的向量是否与直线的向量共线即可。

如果共线，则点在直线上；如果不共线，则点不在直线上。

方法二：使用坐标坐标是几何学中另一个非常重要的概念，它可以用来表示点、直线、平面等几何图形。

在证明点在直线上时，我们可以使用坐标的方法。

具体步骤如下：1. 将直线表示为解析式，即将直线的方程化为一般式或斜截式。

2. 将点的坐标代入直线的方程中，如果等式成立，则点在直线上；如果不成立，则点不在直线上。

方法三：使用相似三角形相似三角形是几何学中非常重要的概念，它可以用来求解各种几何问题。

在证明点在直线上时，我们可以使用相似三角形的方法。

具体步骤如下：1. 连接点与直线上的两个点，形成两个三角形。

2. 判断两个三角形是否相似，如果相似，则点在直线上；如果不相似，则点不在直线上。

方法四：使用向量积向量积是几何学中非常重要的概念，它可以用来求解各种几何问题。

在证明点在直线上时，我们可以使用向量积的方法。

具体步骤如下：1. 将直线表示为向量的形式，即将直线上的两个点表示为向量的差。

2. 将点表示为向量的形式，即将点表示为一个向量。

3. 求出点向量与直线向量的向量积，如果向量积为零，则点在直线上；如果向量积不为零，则点不在直线上。

以上四种方法都可以用来证明点在直线上，具体使用哪种方法取决于具体的问题。

在实际应用中，我们可以根据问题的特点选择最合适的方法，以便更快地求解问题。

向量证明四点共面的方法

向量证明四点共面的方法要证明四点共面，可以使用向量的方法来证明。

假设四个点为A、B、C、D，其位置矢量分别为a、b、c、d。

首先，计算向量AB、AC和AD：AB = B - AAC = C - AAD = D - A接下来，计算向量AC和AD的叉积：n = AC × AD如果n的模长为0，即|n| = 0，则说明向量AC和AD共线，从而四点A、C、D共面。

因为共线的向量的叉积等于0。

如果n的模长不为0，即|n| ≠ 0，则说明向量AC和AD不共线，四点A、C、D不共面。

所以，通过计算向量的叉积可以判断四点是否共面。

另一种使用向量证明四点共面的方法是通过判断四个向量AB、AC、AD所张成的平行六面体的体积是否为0。

首先，计算向量AB、AC和AD，如上所述。

然后，计算向量AC和AD的叉积：n = AC × AD接下来，计算平行六面体的体积V，其中三个边向量为AB、AC和AD：V = |AB · n|其中，·表示内积运算，|AB · n| 表示向量AB与n的内积的模长。

若平行六面体的体积V等于0，则说明四点A、B、C、D共面。

因为共面的四点所张成的平行六面体的体积为0。

反之，若V不等于0，则四点A、B、C、D不共面。

另一种判断四点共面的方法是使用行列式的性质。

将四个向量AB、AC、AD组成一个矩阵：M = [AB AC AD]如果矩阵M的行列式为0，即det(M) = 0，则说明四点A、B、C、D共面，因为行列式为0表示矩阵的列向量线性相关，即存在一组非零系数使得它们的线性组合为零向量。

通过以上两种向量的方法，我们可以判断四点是否共面。

这些方法利用了向量的性质和行列式的特性，能够简便地证明四点共面的问题。

空间向量中证明线线平行的公式

空间向量中证明线线平行的公式
在空间向量中，我们经常需要判断两条线是否平行。

判断两条
线是否平行的一种方法是使用向量的方法。

下面我们将介绍如何使
用向量来证明两条线是否平行的公式。

假设有两条线，分别用参数方程表示为:
L1: r1 = a + λv.
L2: r2 = b + μw.
其中a和b是两条线上的已知点，v和w是两条线的方向向量，λ和μ是参数。

要证明L1和L2平行，我们可以使用以下方法：
1. 首先，我们可以计算两条线的方向向量v和w。

2. 然后，我们可以计算v和w的向量积（叉乘）v × w。

3. 最后，我们可以判断v × w是否为零向量。

如果v × w为零向量，那么根据向量积的性质，我们可以得出结论，两条线平行。

证明过程如下：
v × w = 0。

⇒ |v × w| = 0。

⇒ |v| |w| sinθ = 0。

其中θ为v和w之间的夹角。

根据向量积的性质，v × w = 0 当且仅当v与w共线或其中一个为零向量。

因此，如果v × w = 0，则L1和L2平行。

通过这种方法，我们可以使用向量来证明两条线是否平行的公式。

这种方法简单直观，适用于空间向量中线线平行的判断。

希望这篇文章能对你有所帮助。

立体几何中的向量方法——证明平行及垂直

立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直1．直线的方向向量与平面的法向量的确定(1)直线的方向向量：在直线上任取一非零向量作为它的方向向量．(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a ，b 是平面α两不共线向量，n 为平面α的法向量，则求法向量的方程组为⎩⎨⎧n ·a ＝0，n ·b ＝0.2．用向量证明空间中的平行关系(1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1∥l 2(或l 1与l 2重合)⇔v 1∥v 2.(2)设直线l 的方向向量为v ，与平面α共面的两个不共线向量v 1和v 2，则l ∥α或l ⊂α⇔存在两个实数x ，y ，使v ＝x v 1＋y v 2.(3)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ∥α或l ⊂α⇔v ⊥u .(4)设平面α和β的法向量分别为u 1，u 2，则α∥β⇔u 1 ∥u 2.3．用向量证明空间中的垂直关系(1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1⊥l 2⇔v 1⊥v 2⇔v 1·v 2＝0.(2)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ⊥α⇔v ∥u .(3)设平面α和β的法向量分别为u 1和u 2，则α⊥β⇔u 1⊥u 2⇔u 1·u 2＝0.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)直线的方向向量是唯一确定的．( )(2)平面的单位法向量是唯一确定的．( )(3)若两平面的法向量平行，则两平面平行．( )(4)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行．( )(5)若a ∥b ，则a 所在直线与b 所在直线平行．( )(6)若空间向量a 平行于平面α，则a 所在直线与平面α平行．( )1．下列各组向量中不平行的是( )A ．a ＝(1,2，－2)，b ＝(－2，－4,4)B ．c ＝(1,0,0)，d ＝(－3,0,0)C ．e ＝(2,3,0)，f ＝(0,0,0)D ．g ＝(－2,3,5)，h ＝(16,24,40)2．已知平面α有一点M (1，－1,2)，平面α的一个法向量为n ＝(6，－3,6)，则下列点P 中，在平面α的是( )A ．P (2,3,3)B ．P (－2,0,1)C ．P (－4,4,0)D ．P (3，－3,4)3．已知AB →＝(1,5，－2)，BC →＝(3,1，z )，若AB →⊥BC →，BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则实数x ，y ，z 分别为______________．4．若A (0,2，198)，B (1，－1，58)，C (－2,1，58)是平面α的三点，设平面α的法向量n ＝(x ，y ，z )，则x ∶y ∶z ＝________.题型一证明平行问题例1 (2013·改编)如图，在四面体A －BCD 中，AD ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，AD ＝2，BD ＝22，M 是AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在线段AC 上，且AQ ＝3QC .证明：PQ ∥平面BCD .如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点P，Q分别在棱DD1，BB1上移动，且DP＝BQ＝λ(0<λ<2)．(1)当λ＝1时，证明：直线BC1∥平面EFPQ；(2)是否存在λ，使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．题型二证明垂直问题例2如图所示，正三棱柱(底面为正三角形的直三棱柱)ABC—A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．求证：AB1⊥平面A1BD.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC ＝2，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，PB＝4PM，PB与平面ABCD成30°角．(1)求证：CM∥平面PAD；(2)求证：平面PAB⊥平面PAD.题型三解决探索性问题例3 如图，棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都等于2，∠ABC和∠A1AC均为60°，平面AA1C1C⊥平面ABCD.(1)求证：BD⊥AA1；(2)求二面角D－A1A－C的余弦值；(3)在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面DA1C1，若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由．如图所示，四棱锥S—ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P为侧棱SD上的点．(1)求证：AC⊥SD.(2)若SD⊥平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SE∶EC的值；若不存在，试说明理由．利用向量法解决立体几何问题典例：如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．(1)证明：PB∥平面AEC；(2)设二面角D－AE－C为60°，AP＝1，AD＝3，求三棱锥E－ACD的体积．A 组专项基础训练1．若直线l 的方向向量为a ＝(1,0,2)，平面α的法向量为n ＝(－2,0，－4)，则( )A ．l ∥αB ．l ⊥αC ．l ⊂αD ．l 与α相交2．若AB →＝λCD →＋μCE →，则直线AB 与平面CDE 的位置关系是( )A ．相交B ．平行C ．在平面D ．平行或在平面3．已知A (4,1,3)，B (2，－5,1)，C (3,7，－5)，则平行四边形ABCD 的顶点D 的坐标是( )A ．(2,4，－1)B ．(2,3,1)C ．(－3,1,5)D ．(5,13，－3)4．已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,5，λ)，若a ，b ，c 三向量共面，则实数λ等于( )A.627B.637C.607D.6575．如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AA 1＝3，AD ＝22，P 为C 1D 1的中点，M 为BC 的中点．则AM 与PM 所成的角为( )A ．60°B ．45°C ．90°D ．以上都不正确6．已知平面α的三点A (0,0,1)，B (0,1,0)，C (1,0,0)，平面β的一个法向量n ＝(－1，－1，－1)，则不重合的两个平面α与β的位置关系是________．7．设点C (2a ＋1，a ＋1,2)在点P (2,0,0)、A (1，－3,2)、B (8，－1，4)确定的平面上，则a ＝________.8．如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M 、N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝2a 3，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是________． 9．如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝12PD .证明：平面PQC ⊥平面DCQ .10．如图，在底面是矩形的四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，E ，F 分别是PC ，PD 的中点，PA ＝AB ＝1，BC ＝2.(1)求证：EF ∥平面PAB ；(2)求证：平面PAD ⊥平面PDC .B 组专项能力提升11．如图，正方形ABCD 与矩形ACEF 所在平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝1，M 在EF 上，且AM ∥平面BDE ，则M 点的坐标为( )A ．(1,1,1)B ．(23，23，1)C ．(22，22，1) D ．(24，24，1) 12．设u ＝(－2,2，t )，v ＝(6，－4,4)分别是平面α，β的法向量，若α⊥β，则t 等于( )A ．3B ．4C ．5D ．613．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 为正方形A 1B 1C 1D 1四边上的动点，O 为底面正方形ABCD 的中心，M ，N 分别为AB ，BC 的中点，点Q 为平面ABCD 一点，线段D 1Q 与OP 互相平分，则满足MQ →＝λMN →的实数λ有________个．14．如图所示，已知直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，且AB ＝AA 1，D 、E 、F 分别为B 1A 、C 1C 、BC的中点．求证：(1)DE ∥平面ABC ；(2)B 1F ⊥平面AEF .15．在四棱锥P—ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E、F分别是AB、PB的中点．(1)求证：EF⊥CD；(2)在平面PAD求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论．。

用向量方法证明平行与垂直

用向量方法证明平行与垂直要证明两个向量是平行的，我们需要证明它们的方向相同或相反。

而要证明两个向量是垂直的，我们需要证明它们的内积为零。

首先，我们考虑平行向量的证明。

设有两个向量u和v，我们可以将它们表示为：u = (u1, u2, ..., un)v = (v1, v2, ..., vn)其中n代表向量的维度。

如果u和v是平行的，那么它们的方向相同或相反，可以用以下方式进行证明：1.方向相同：我们可以证明向量u和v的比例关系。

即对于任意的i，我们有：ui/vi = u1/v1 = u2/v2 = ... = un/vn如果我们找到一个非零常数k，使得：ui = k * vi，则u和v是平行的。

2.方向相反：我们可以找到一个常数k，使得：ui = -k * vi，则u和v的方向相反，它们也是平行的。

下面我们来看一个具体的例子。

例1：证明(1,2,3)和(2,4,6)是平行的。

解：我们可以计算向量的比例：(1/2)=(2/4)=(3/6)=1/2这意味着我们可以找到一个非零常数k=1/2，使得：(1,2,3)=(1/2)*(2,4,6)因此，向量(1,2,3)和(2,4,6)是平行的。

接下来，我们考虑垂直向量的证明。

设有向量u和v，我们可以将它们表示为：u = (u1, u2, ..., un)v = (v1, v2, ..., vn)如果u和v垂直，那么它们的内积为零，可以用以下方式进行证明：u·v=0我们可以将内积展开为标量乘积的形式：u · v = u1 * v1 + u2 * v2 + ... + un * vn = 0这意味着对于任意的i，我们有：ui * vi = -u1 * v1 - u2 * v2 - ... - un * vn如果我们能找到满足上述等式的向量u和v，则u和v是垂直的。

下面我们来看一个具体的例子。

例2：证明(1,2,3)和(-1,2,-1)是垂直的。

用向量的方法证明

用向量的方法证明
向量方法一般用于证明几何性质，其中最常用的方法是向量共线和向量垂直证明。

1. 向量共线证明：
若要证明两个向量共线，可以采用以下方法：
- 方法一：两个向量的比例相等。

如果有两个向量a和b，可以将它们写成向量的形式，并计算它们的比值。

如果这个比值对于所有的两个向量都相等，那么它们就是共线的。

- 方法二：两个向量的夹角为0度或180度。

可以通过计算两个向量的点积来判断它们的夹角。

如果点积等于0，则两个向量垂直；如果点积为两个向量的模乘积，则两个向量共线。

2. 向量垂直证明：
若要证明两个向量垂直，可以采用以下方法：
- 方法一：两个向量的点积为0。

如果有两个向量a和b，可以计算它们的点积。

如果点积等于0，则这两个向量垂直。

- 方法二：两个向量的斜率互为相反数。

如果有两个向量a和b，可以根据向量的斜率来判断它们是否互为相反数。

如果斜率之积为-1，则这两个向量垂直。

总结起来，向量方法可以通过计算向量之间的比例、点积和斜率等来判断向量之间的几何性质，如共线和垂直。

用向量法证明正弦定理

用向量法证明正弦定理正弦定理又称为正弦法则，是指在任意三角形中，三条边的长度之间的关系可以用正弦函数表示。

具体地，如果在三角形 ABC 中，a、b、c 分别表示三条边的长度，A、B、C 分别表示三个角，则其正弦定理可以表述为：$$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$$下面我们使用向量法来证明正弦定理。

假设向量 $\vec{a}$、$\vec{b}$、$\vec{c}$ 分别表示三条边的方向和长度，则三角形的三个顶点可以用向量表示为：$$\vec{A}=\vec{0}$$$$\vec{B}=\vec{a}$$$$\vec{C}=\vec{a}+\vec{b}$$根据三角形余弦定理可得：$$\cosA=\frac{\vec{b}\cdot\vec{c}}{|\vec{b}|\cdot|\vec{c}|}=\frac {(\vec{a}+\vec{b})\cdot\vec{a}}{|\vec{a}+\vec{b}|\cdot|\vec {a}|}=\frac{\vec{a}\cdot\vec{a}+\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{ a}+\vec{b}|\cdot|\vec{a}|}$$移项得：$$\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot\cos A-|\vec{a}|^2$$同理，可以得到：$$\vec{b}\cdot\vec{c}=|\vec{b}|\cdot|\vec{c}|\cdot\cos B-|\vec{b}|^2$$$$\vec{c}\cdot\vec{a}=|\vec{c}|\cdot|\vec{a}|\cdot\cos C-|\vec{a}+\vec{b}|^2$$将三个式子分别代入正弦定理中：$$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$$得到：$$\frac{|\vec{a}|}{\sin A}=\frac{|\vec{b}|}{\sinB}=\frac{|\vec{c}|}{\sin C}$$由于 $\vec{a}$、$\vec{b}$、$\vec{c}$ 可以任意选取方向，因此可以将它们都转化为长度相等的单位向量。

立体几何中的向量方法——证明平行及垂直

立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直1．直线的方向向量与平面的法向量确实定(1)直线的方向向量：在直线上任取一非零向量作为它的方向向量．(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a ，b 是平面α两不共线向量，n 为平面α的法向量，则求法向量的方程组为⎩⎨⎧n ·a ＝0，n ·b ＝0.2．用向量证明空间中的平行关系(1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1∥l 2(或l 1与l 2重合)⇔v 1∥v 2.(2)设直线l 的方向向量为v ，与平面α共面的两个不共线向量v 1和v 2，则l ∥α或l ⊂α⇔存在两个实数*，y ，使v ＝*v 1＋y v 2.(3)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ∥α或l ⊂α⇔v ⊥u .(4)设平面α和β的法向量分别为u 1，u 2，则α∥β⇔u 1∥u 2.3．用向量证明空间中的垂直关系(1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1⊥l 2⇔v 1⊥v 2⇔v 1·v 2＝0.(2)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ⊥α⇔v ∥u .(3)设平面α和β的法向量分别为u 1和u 2，则α⊥β⇔u 1⊥u 2⇔u 1·u 2＝0.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打"√〞或"×〞)(1)直线的方向向量是唯一确定的．()(2)平面的单位法向量是唯一确定的．()(3)假设两平面的法向量平行，则两平面平行．()(4)假设两直线的方向向量不平行，则两直线不平行．()(5)假设a ∥b ，则a 所在直线与b 所在直线平行．()(6)假设空间向量a 平行于平面α，则a 所在直线与平面α平行．()1．以下各组向量中不平行的是()A ．a ＝(1,2，－2)，b ＝(－2，－4,4)B ．c ＝(1,0,0)，d ＝(－3,0,0)C ．e ＝(2,3,0)，f ＝(0,0,0)D ．g ＝(－2,3,5)，h ＝(16,24,40)2．平面α有一点M (1，－1,2)，平面α的一个法向量为n ＝(6，－3,6)，则以下点P 中，在平面α的是()A ．P (2,3,3)B ．P (－2,0,1)C ．P (－4,4,0)D ．P (3，－3,4)3．AB →＝(1,5，－2)，BC →＝(3,1，z )，假设AB →⊥BC →，BP →＝(*－1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则实数*，y ，z 分别为______________．4．假设A (0,2，198)，B (1，－1，58)，C (－2,1，58)是平面α的三点，设平面α的法向量n ＝(*，y ，z )，则*∶y ∶z ＝________.题型一证明平行问题例1(2013·改编)如图，在四面体A －BCD 中，AD ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，AD ＝2，BD ＝22，M 是AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在线段AC 上，且AQ ＝3QC .证明：PQ ∥平面BCD .如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M ，N 分别是棱AB ，AD ，A 1B 1，A 1D 1的中点，点P ，Q 分别在棱DD 1，BB 1上移动，且DP ＝BQ ＝λ(0<λ<2)．(1)当λ＝1时，证明：直线BC 1∥平面EFPQ ；(2)是否存在λ，使平面EFPQ 与平面PQMN 所成的二面角为直二面角？假设存在，求出λ的值；假设不存在，说明理由．题型二证明垂直问题例2 如下图，正三棱柱(底面为正三角形的直三棱柱)ABC —A 1B 1C 1的所有棱长都为2，D 为CC 1的中点．求证：AB 1⊥平面A 1BD .如下图，在四棱锥P －ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，PC ＝2，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠C ＝90°，AB ＝4，CD ＝1，点M 在PB 上，PB ＝4PM ，PB 与平面ABCD 成30°角．(1)求证：CM ∥平面PAD ；(2)求证：平面PAB ⊥平面PAD .题型三解决探索性问题例3 如图，棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都等于2，∠ABC和∠A1AC均为60°，平面AA1C1C⊥平面ABCD.(1)求证：BD⊥AA1；(2)求二面角D－A1A－C的余弦值；(3)在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面DA1C1，假设存在，求出点P的位置，假设不存在，请说明理由．如下图，四棱锥S—ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P为侧棱SD上的点．(1)求证：AC⊥SD.(2)假设SD⊥平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC.假设存在，求SE∶EC的值；假设不存在，试说明理由．利用向量法解决立体几何问题典例：如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．(1)证明：PB∥平面AEC；(2)设二面角D－AE－C为60°，AP＝1，AD＝3，求三棱锥E－ACD的体积．A组专项根底训练1．假设直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为n＝(－2,0，－4)，则()A．l∥αB．l⊥αC．l⊂αD．l与α相交2．假设AB→＝λCD→＋μCE→，则直线AB与平面CDE的位置关系是()A．相交B．平行C．在平面D．平行或在平面3．A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C(3,7，－5)，则平行四边形ABCD的顶点D的坐标是() A．(2,4，－1) B．(2,3,1)C．(－3,1,5) D．(5,13，－3)4．a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，假设a，b，c三向量共面，则实数λ等于()A.627B.637C.607D.6575．如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AA 1＝3，AD ＝22，P 为C 1D 1的中点，M 为BC 的中点．则AM 与PM 所成的角为()A ．60°B ．45°C ．90°D ．以上都不正确6．平面α的三点A (0,0,1)，B (0,1,0)，C (1,0,0)，平面β的一个法向量n ＝(－1，－1，－1)，则不重合的两个平面α与β的位置关系是________．7．设点C (2a ＋1，a ＋1,2)在点P (2,0,0)、A (1，－3,2)、B (8，－1，4)确定的平面上，则a ＝________.8．如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M 、N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝2a 3，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是________． 9．如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB＝12PD .证明：平面PQC ⊥平面DCQ . 10．如图，在底面是矩形的四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，E ，F 分别是PC ，PD 的中点，PA ＝AB ＝1，BC ＝2.(1)求证：EF ∥平面PAB ；(2)求证：平面PAD ⊥平面PDC .B 组专项能力提升11．如图，正方形ABCD 与矩形ACEF 所在平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝1，M 在EF 上，且AM ∥平面BDE ，则M 点的坐标为()A ．(1,1,1)B ．(23，23，1) C ．(22，22，1) D ．(24，24，1)12．设u ＝(－2,2，t )，v ＝(6，－4,4)分别是平面α，β的法向量，假设α⊥β，则t 等于()A ．3B ．4C ．5D ．613．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 为正方形A 1B 1C 1D 1四边上的动点，O 为底面正方形ABCD 的中心，M ，N 分别为AB ，BC 的中点，点Q 为平面ABCD 一点，线段D 1Q 与OP 互相平分，则满足MQ →＝λMN→的实数λ有________个．14．如下图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，且AB ＝AA 1，D 、E 、F 分别为B 1A 、C 1C 、BC 的中点．求证：(1)DE ∥平面ABC ；(2)B 1F ⊥平面AEF .15．在四棱锥P —ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD ＝DC ，E 、F 分别是AB 、PB 的中点．(1)求证：EF ⊥CD ；(2)在平面PAD 求一点G ，使GF ⊥平面PCB ，并证明你的结论．。

运用向量法证明几个数学公式

运用向量法证明几个数学公式为了确保完整解答您的问题，我将介绍几个重要的数学公式，并利用向量法进行证明。

1.向量的模长和方向余弦一个向量的模长是指从原点到向量终点的距离，记作，→a。

而方向余弦可以用来表示向量在坐标轴上的投影比例。

假设一个向量→a有坐标(a1,a2,a3)，则其模长为：→a，=√(a1²+a2²+a3²)而方向余弦aa可以表示为：cos⁡aa = aa / ，→a这个公式可以通过用向量→a与坐标轴上的单位向量aa进行点积的方式进行证明。

点积的值为：a·a = ，→a，，→a， cos⁡a，其中a为两个向量之间的夹角。

通过观察上述方程，可以得到：a·a = a1a1 + a2a2 + a3a3 = ，→a，，→a，cos⁡a因此，我们可以将a取为单位向量aa，应用到上述方程中，得到：a·aa = ，→a， cos⁡aaa·aa=a1aa+a2aa+a3aa这个结果与方向余弦aa的定义相似，因此我们可以得出结论：cos⁡aa = aa / ，→a2.向量的内积和外积向量的内积也称为点积或数量积。

假设有两个向量→a和→a，其内积可以表示为：a·a = ，→a，，→a， cos⁡a其中a为两个向量之间的夹角。

这个公式可以通过向量的坐标表示进行证明。

假设向量→a和→a有坐标(a1,a2,a3)和(a1,a2,a3)，则内积可以表示为：a·a=a1a1+a2a2+a3a3而向量的外积也称为叉积或向量积。

其结果是一个新的向量，该向量垂直于原来两个向量的平面，并且模长等于原向量与夹角的正弦值的乘积。

记作→a=→a×→a。

其计算方式如下：→a=(a2a3-a3a2,a3a1-a1a3,a1a2-a2a1)可以通过向量的坐标表示进行证明。

假设向量→a和→a有坐标(a1,a2,a3)和(a1,a2,a3)，则外积可以表示为：→a=(a2a3-a3a2,a3a1-a1a3,a1a2-a2a1)3.向量的投影向量的投影表示一个向量在另一个向量上的分解比例。

用向量方法证明几何问题

则BC=AC-AB
∴(AC-AB)²=（AC）²+(AB)²- 2AB· AC=(BC)² ∵a⊥b,所以AB· AC=0 ∴b²＋a²=c² 即∣AB∣²＋∣AC∣²＝∣BC∣²
向量的基本概念
（用向量方法证明数量关系或平行问题）例题1 ：
已知：四边形ABCD是平行四边形，点E、F在对角线BD 所在的直线上,BE=DF
求证：四边形AECF是平行四边形。
证：∵四边形AECF是平行四边形 ∴AB=DC;AB∥DC ∵BE=FD;且在一条直线上 ∴AE=AB+BE=FD+DC=FC
几何法
AH=HD=BF=FC ∴EH=AE+AH=CG+CF=FG 同理得EH=HG=EF=FG 即四边形EFGH是菱形
向量法
用向量法证明几何问题的步骤：
（1）化几何语言为向量语言
（2）用向量方法证明（3）还原为几何题技巧：找三角形关键：将有关线段转换为向量
练习1 已知：三角形ABC中，D为AB的中点，E为AC
A D E B O C
∴BO=OD;AO=OC 又∵BE=DF
F
向量法
证:∵四边形ABCD是平行四边形
且AE∥FC ∴四边形AECF是平行四边形
∴EO=EF
∴四边形AECF是平行四边形
几何法
例题2：
已知：在矩形ABCD中，E、F、G与H是AB、BC、 CD和DA的中点。求证：四边形EFGH是菱形。证：∵ABCD是矩形 ∴AB＝CD；BC＝DA ∵E、F、G与H是AB、 BC、 CD和DA的中点 ∴AE=CG=EB=GD; AH=HD=BF=FC ∴EH=HG=EF=FG (勾股定理) 即四边形EFGH是菱形证：∵ABCD是矩形 ∴AB＝CD；BC＝DA ∵E、F、G与H是AB、 BC、 CD和DA的中点 ∴AE=CG=EB=GD;

(二)向量方法证明空间线面垂直关系

学习目标 1.能用向量法判断一些简单线线、线面、面面垂直关系.2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.3.能用向量方法证明空间线面垂直关系的有关定理.知识点一向量法判断线线垂直思考若直线l 1的方向向量为μ1＝(1，3，2)，直线l 2的方向向量为μ2＝(1，－1，1)，那么两直线是否垂直？用向量法判断两条直线垂直的一般方法是什么？答案 l 1与l 2垂直，因为μ1·μ2＝1－3＋2＝0，所以μ1⊥μ2，又μ1，μ2是两直线的方向向量，所以l 1与l 2垂直.判断两条直线是否垂直的方法：(1)在两直线上分别取两点A 、B 与C 、D ，计算向量AB →与CD →的坐标，若AB →·CD →＝0，则两直线垂直，否则不垂直.(2)判断两直线的方向向量的数量积是否为零，若数量积为零，则两直线垂直，否则不垂直. 梳理设直线l 的方向向量为a ＝(a 1，a 2，a 3)，直线m 的方向向量为b ＝(b 1，b 2，b 3)，则l ⊥m ⇔a·b ＝0⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0. 知识点二向量法判断线面垂直思考若直线l 的方向向量为μ1＝⎝⎛⎭⎫2，43，1，平面α的法向量为μ2＝⎝⎛⎭⎫3，2，32，则直线l 与平面α的位置关系是怎样的？如何用向量法判断直线与平面的位置关系？答案垂直，因为μ1＝23μ2，所以μ1∥μ2，即直线的方向向量与平面的法向量平行，所以直线l 与平面α垂直.判断直线与平面的位置关系的方法：(1)直线l 的方向向量与平面α的法向量共线⇒l ⊥α.(2)直线的方向向量与平面的法向量垂直⇒直线与平面平行或直线在平面内. (3)直线l 的方向向量与平面α内的两相交直线的方向向量垂直⇒l ⊥α.梳理设直线l 的方向向量a ＝(a 1，b 1，c 1)，平面α的法向量μ＝(a 2，b 2，c 2)，则l ⊥α⇔a ∥μ⇔a ＝k μ(k ∈R ).知识点三向量法判断面面垂直思考平面α，β的法向量分别为μ1＝(x 1，y 1，z 1)，μ2＝(x 2，y 2，z 2)，用向量坐标法表示两平面α，β垂直的关系式是什么？答案 x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2＝0.梳理若平面α的法向量为μ＝(a 1，b 1，c 1)，平面β的法向量为ν＝(a 2，b 2，c 2)，则α⊥β⇔μ⊥ν⇔μ·ν＝0⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0.类型一证明线线垂直例1 已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各棱长都为1，M 是底面上BC 边的中点，N 是侧棱CC 1上的点，且CN ＝14CC 1.求证：AB 1⊥MN .证明设AB 中点为O ，作OO 1∥AA 1.以O 为坐标原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，OO 1为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.由已知得A ⎝⎛⎭⎫－12，0，0，B ⎝⎛⎭⎫12，0，0，C ⎝⎛⎭⎫0，32，0，N ⎝⎛⎭⎫0，32，14，B 1⎝⎛⎭⎫12，0，1， ∵M 为BC 中点， ∴M ⎝⎛⎭⎫14，34，0.∴MN →＝⎝⎛⎭⎫－14，34，14，AB 1→＝(1，0，1)，∴MN →·AB 1→＝－14＋0＋14＝0.∴MN →⊥AB 1→， ∴AB 1⊥MN .反思与感悟证明两直线垂直的基本步骤：建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直.跟踪训练1 如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，AA 1＝4，求证：AC ⊥BC 1.证明 ∵直三棱柱ABC －A 1B 1C 1底面三边长AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5， ∴AC 、BC 、C 1C 两两垂直.如图，以C 为坐标原点，CA 、CB 、CC 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.则C (0，0，0)，A (3，0，0)，C 1(0，0，4)，B (0，4，0)， ∵AC →＝(－3，0，0)，BC 1→＝(0，－4，4)， ∴AC →·BC 1→＝0.∴AC ⊥BC 1. 类型二证明线面垂直例2 如图所示，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都为2，D 为CC 1的中点.求证：AB 1⊥平面A 1BD .证明如图所示，取BC 的中点O ，连接AO .因为△ABC 为正三角形，所以AO ⊥BC .因为在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，平面ABC ⊥平面BCC 1B 1，所以AO ⊥平面BCC 1B 1.取B 1C 1的中点O 1，以O 为原点，以OB →，OO 1→，OA →分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则B (1，0，0)，D (－1，1，0)，A 1(0，2，3)，A (0，0，3)，B 1(1，2，0). 所以AB 1→＝(1，2，－3)，BA 1→＝(－1，2，3)，BD →＝(－2，1，0). 因为AB 1→·BA 1→＝1×(－1)＋2×2＋(－3)×3＝0. AB 1→·BD →＝1×(－2)＋2×1＋(－3)×0＝0.所以AB 1→⊥BA 1→，AB 1→⊥BD →，即AB 1⊥BA 1，AB 1⊥BD . 又因为BA 1∩BD ＝B ，所以AB 1⊥平面A 1BD . 反思与感悟用坐标法证明线面垂直的方法及步骤方法一：(1)建立空间直角坐标系. (2)将直线的方向向量用坐标表示.(3)找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量. (4)分别计算两组向量的数量积，得到数量积为0. 方法二：(1)建立空间直角坐标系. (2)将直线的方向向量用坐标表示. (3)求出平面的法向量.(4)判断直线的方向向量与平面的法向量平行.跟踪训练2 如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝1，AA 1＝2，点P 为DD 1的中点.求证：直线PB 1⊥平面P AC .证明如图建系，C (1，0，0)，A (0，1，0)，P (0，0，1)，B 1(1，1，2)，PC →＝(1，0，－1)，P A →＝(0，1，－1)，PB 1→＝(1，1，1)，B 1C →＝(0，－1，－2)，B 1A →＝(－1，0，－2).PB 1→·PC →＝(1，1，1)·(1，0，－1)＝0，所以PB 1→⊥PC →，即PB 1⊥PC .又PB 1→·P A →＝(1，1，1)·(0，1，－1)＝0，所以PB 1→⊥P A →，即PB 1⊥P A .又P A ∩PC ＝P ，所以PB 1⊥平面P AC . 类型三证明面面垂直例3 在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，E 为BB 1的中点，求证：平面AEC 1⊥平面AA 1C 1C .证明由题意知直线AB ，BC ，B 1B 两两垂直，以点B 为原点，分别以BA ，BC ，BB 1所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (2，0，0)，A 1(2，0，1)，C (0，2，0)，C 1(0，2，1)，E (0，0，12)，故AA 1→＝(0，0，1)，AC →＝(－2，2，0)，AC 1→＝(－2，2，1)，AE →＝(－2，0，12).设平面AA 1C 1C 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AA 1→＝0，n 1·AC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧z ＝0，－2x ＋2y ＝0.令x ＝1，得y ＝1，故n 1＝(1，1，0). 设平面AEC 1的法向量为n 2＝(a ，b ，c )，则⎩⎪⎨⎪⎧ n 2·AC 1→＝0，n 2·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋2b ＋c ＝0，－2a ＋12c ＝0. 令c ＝4，得a ＝1，b ＝－1，故n 2＝(1，－1，4). 因为n 1·n 2＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0，所以n 1⊥n 2.所以平面AEC 1⊥平面AA 1C 1C . 反思与感悟证明面面垂直的两种方法(1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明. (2)向量法：证明两个平面的法向量互相垂直.跟踪训练3 在四面体ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，BC ＝CD ，∠BCD ＝90°，∠ADB ＝30°，E 、F 分别是AC 、AD 的中点，求证：平面BEF ⊥平面ABC .证明以B 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设A (0，0，a )，则易得B (0，0，0)，C ⎝⎛⎭⎫32a ，32a ，0，D (0，3a ，0)，E ⎝⎛⎭⎫34a ，34a ，a 2，F (0，32a ，a 2)，故AB →＝(0，0，－a )，BC →＝⎝⎛⎭⎫32a ，32a ，0.设平面ABC 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AB →＝0，n 1·BC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－az 1＝0，x 1＋y 1＝0，取x 1＝1，∴n 1＝(1，－1，0)为平面ABC 的一个法向量. 设n 2＝(x 2，y 2，z 2)为平面BEF 的一个法向量，同理可得n 2＝(1，1，－3).∵n 1·n 2＝(1，－1，0)·(1，1，－3)＝0，∴平面BEF⊥平面ABC.1.下列命题中，正确命题的个数为()①若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则n1∥n2⇔α∥β；②若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔n1·n2＝0；③若n是平面α的法向量，a与平面α平行，则n·a＝0；④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面不垂直.A.1B.2C.3D.4答案 C解析①中平面α，β可能平行，也可能重合，结合平面法向量的概念，易知②③④正确.2.已知两直线的方向向量为a，b，则下列选项中能使两直线垂直的为()A.a＝(1，0，0)，b＝(－3，0，0)B.a＝(0，1，0)，b＝(1，0，1)C.a＝(0，1，－1)，b＝(0，－1，1)D.a＝(1，0，0)，b＝(－1，0，0)答案 B解析因为a＝(0，1，0)，b＝(1，0，1)，所以a·b＝0×1＋1×0＋0×1＝0，所以a⊥b，故选B.3.若直线l的方向向量为a＝(1，0，2)，平面α的法向量为μ＝(－2，0，－4)，则()A.l∥αB.l⊥αC.l⊂αD.l与α斜交答案 B解析∵a∥μ，∴l⊥α.4.平面α的一个法向量为m＝(1，2，0)，平面β的一个法向量为n＝(2，－1，0)，则平面α与平面β的位置关系是()A.平行B.相交但不垂直C.垂直D.不能确定答案 C解析∵(1，2，0)·(2，－1，0)＝0，∴两法向量垂直，从而两平面垂直.5.已知平面α与平面β垂直，若平面α与平面β的法向量分别为μ＝(－1，0，5)，ν＝(t，5，1)，则t的值为________.答案 5解析∵平面α与平面β垂直，∴平面α的法向量μ与平面β的法向量ν垂直，∴μ·ν＝0，即(－1)×t＋0×5＋5×1＝0，解得t＝5.空间垂直关系的解决策略40分钟课时作业一、选择题1.设直线l1，l2的方向向量分别为a＝(－2，2，1)，b＝(3，－2，m)，若l1⊥l2，则m等于()A.－2B.2C.6D.10答案 D解析因为a⊥b，故a·b＝0，即－2×3＋2×(－2)＋m＝0，解得m＝10.2.若平面α，β的法向量分别为a＝(－1，2，4)，b＝(x，－1，－2)，并且α⊥β，则x的值为( )A.10B.－10C.12D.－12答案 B解析因为α⊥β，则它们的法向量也互相垂直，所以a ·b ＝(－1，2，4)·(x ，－1，－2)＝0，解得x ＝－10.3.已知点A (0，1，0)，B (－1，0，－1)，C (2，1，1)，P (x ，0，z )，若P A ⊥平面ABC ，则点P 的坐标为( )A.(1，0，－2)B.(1，0，2)C.(－1，0，2)D.(2，0，－1) 答案 C解析由题意知AB →＝(－1，－1，－1)，AC →＝(2，0，1)，AP →＝(x ，－1，z )，又P A ⊥平面ABC ，所以有AB →·AP →＝(－1，－1，－1)·(x ，－1，z )＝0，得－x ＋1－z ＝0， ① AC →·AP →＝(2，0，1)·(x ，－1，z )＝0，得2x ＋z ＝0，②联立①②得x ＝－1，z ＝2，故点P 的坐标为(－1，0，2).4.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若E 为A 1C 1的中点，则直线CE 垂直于( ) A.AC B.BD C.A 1D D.A 1A 答案 B解析建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体的棱长为1，则A (0，1，0)，B (1，1，0)，C (1，0，0)，D (0，0，0)，A 1(0，1，1)，C 1(1，0，1)，E ⎝⎛⎭⎫12，12，1，∴CE →＝⎝⎛⎭⎫－12，12，1，AC →＝(1，－1，0)， BD →＝(－1，－1，0)，A 1D →＝(0，－1，－1)，A 1A →＝(0，0，－1)， ∵CE →·BD →＝(－1)×(－12)＋(－1)×12＋0×1＝0，∴CE ⊥BD .5.若平面α，β垂直，则下面可以作为这两个平面的法向量的是( ) A.n 1＝(1，2，1)，n 2＝(－3，1，1) B.n 1＝(1，1，2)，n 2＝(－2，1，1)C.n 1＝(1，1，1)，n 2＝(－1，2，1)D.n 1＝(1，2，1)，n 2＝(0，－2，－2) 答案 A解析 ∵1×(－3)＋2×1＋1×1＝0， ∴n 1·n 2＝0，故选A.6.两平面α，β的法向量分别为μ＝(3，－1，z )，v ＝(－2，－y ，1)，若α⊥β，则y ＋z 的值是( )A.－3B.6C.－6D.－12 答案 B解析 α⊥β⇒μ·v ＝0⇒－6＋y ＋z ＝0，即y ＋z ＝6. 二、填空题7.在三棱锥S －ABC 中，∠SAB ＝∠SAC ＝∠ACB ＝90°，AC ＝2，BC ＝13，SB ＝29，则异面直线SC 与BC 是否垂直________.(填“是”或“否”) 答案是解析如图，以A 为原点，AB ，AS 分别为y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则由AC ＝2，BC ＝13，SB ＝29，得B (0，17，0)，S (0，0，23)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫21317，417，0， SC →＝⎝⎛⎭⎪⎫21317，417，－23，CB →＝⎝⎛⎭⎪⎫－21317，1317，0. 因为SC →·CB →＝0，所以SC ⊥BC .8.已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4，2，0)，AP →＝(－1，2，－1).对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →是平面ABCD 的法向量；④AP →∥BD →.其中正确的是________.(填序号) 答案 ①②③解析 ∵AP →·AB →＝(－1，2，－1)·(2，－1，－4)＝－1×2＋2×(－1)＋(－1)×(－4)＝0，∴AP ⊥AB ，即①正确；∵AP →·AD →＝(－1，2，－1)·(4，2，0)＝(－1)×4＋2×2＋(－1)×0＝0，∴AP ⊥AD ，即②正确；又∵AB ∩AD ＝A ，∴AP ⊥平面ABCD ，即AP →是平面ABCD 的一个法向量，即③正确；∵AP →是平面ABCD 的法向量，∴AP →⊥BD →，即④不正确.9.在空间直角坐标系Oxyz 中，已知点P (2cos x ＋1，2cos 2x ＋2，0)和点Q (cos x ，－1，3)，其中x ∈[0，π].若直线OP 与直线OQ 垂直，则x 的值为________.答案 π2或π3解析由题意得OP →⊥OQ →，∴cos x ·(2cos x ＋1)－(2cos 2x ＋2)＝0.∴2cos 2x －cos x ＝0，∴cos x ＝0或cos x ＝12. 又x ∈[0，π]，∴x ＝π2或x ＝π3. 10.在△ABC 中，A (1，－2，－1)，B (0，－3，1)，C (2，－2，1).若向量n 与平面ABC 垂直，且|n |＝21，则n 的坐标为________________.答案 (－2，4，1)或(2，－4，－1)解析据题意，得AB →＝(－1，－1，2)，AC →＝(1，0，2).设n ＝(x ，y ，z )，∵n 与平面ABC 垂直，∴⎩⎪⎨⎪⎧ n ·AB →＝0，n ·AC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ －x －y ＋2z ＝0，x ＋2z ＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4z ，y ＝－2x . ∵|n |＝21，∴x 2＋y 2＋z 2＝21，解得y ＝4或y ＝－4.当y ＝4时，x ＝－2，z ＝1；当y ＝－4时，x ＝2，z ＝－1.三、解答题11.如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，AD ＝5，∠DAB ＝∠ABC ＝90°，E 是CD 的中点.证明：CD ⊥平面P AE .证明如图，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系.设P A ＝h ，则相关各点的坐标为A (0，0，0)，B (4，0，0)，C (4，3，0)，D (0，5，0)，E (2，4，0)，P (0，0，h ).易知CD →＝(－4，2，0)，AE →＝(2，4，0)，AP →＝(0，0，h ).因为CD →·AE →＝－8＋8＋0＝0，CD →·AP →＝0，所以CD ⊥AE ，CD ⊥AP ，而AP ，AE 是平面P AE 内的两条相交直线，所以CD ⊥平面P AE .12.如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝AB ＝1，AD ＝3，点F 是PB 的中点，点E 在边BC 上移动.求证：无论点E 在BC 边的何处，都有PE ⊥AF .证明建立如图所示空间直角坐标系，则P (0，0，1)，B (0，1，0)，F ⎝⎛⎭⎫0，12，12，D ()3，0，0，设BE ＝x (0≤x ≤3)，则E (x ，1，0)，PE →·AF →＝(x ，1，－1)·⎝⎛⎭⎫0，12，12＝0，所以x ∈[0， 3 ]时都有PE ⊥AF ，即无论点E 在BC 边的何处，都有PE ⊥AF .13.已知正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，E 为棱CC 1上的动点.(1)求证：A 1E ⊥BD ；(2)若平面A 1BD ⊥平面EBD ，试确定E 点的位置.(1)证明以D 为坐标原点，以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系.设正方体棱长为a ，则 A (a ，0，0)，B (a ，a ，0)，C (0，a ，0)，A 1(a ，0，a )，C 1(0，a ，a ).设E (0，a ，e ) (0≤e ≤a )，A 1E →＝(－a ，a ，e －a )，BD →＝(－a ，－a ，0)，A 1E →·BD →＝a 2－a 2＋(e －a )·0＝0，∴A 1E →⊥BD →，即A 1E ⊥BD .(2)解设平面A 1BD ，平面EBD 的法向量分别为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，n 2＝(x 2，y 2，z 2). ∵DB →＝(a ，a ，0)，DA 1→＝(a ，0，a )，DE →＝(0，a ，e )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ ax 1＋ay 1＝0，ax 1＋az 1＝0，⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋ay 2＝0，ay 2＋ez 2＝0. 取x 1＝x 2＝1，得n 1＝(1，－1，－1)，n 2＝(1，－1，a e)，由平面A 1BD ⊥平面EBD 得n 1⊥n 2，∴2－a e＝0，即e ＝a 2.∴当E 为CC 1的中点时，平面A 1BD ⊥平面EBD .。

向量法证明面面垂直方法

向量法证明面面垂直方法
向量法证明面面垂直主要基于两个平面的法向量的定义。

假设有两个平面α和β，要证明它们垂直，可以按照以下步骤进行证明：
1. 选取两个平面的法向量n1和n2。

通常，我们可以使用向量坐标表示法来定义这些法向量。

假设在平面α内选取基底{i1, i2}，则n1可以表示为n1 = (n1x, n1y)。

类似地，在平面β内选取基底{j1, j2}，则n2可以表示为n2 = (n2x, n2y)。

2. 证明两个法向量n1和n2相互垂直。

这可以通过验证它们的点积是否为零来实现。

具体来说，计算n1和n2的点积：(n1x, n1y)和(n2x, n2y)的乘积是否为-1。

如果是，那么n1和n2垂直。

3. 证明第一个平面α垂直于第二个平面β。

这可以通过验证它们的法向量n1和第二个平面的任意一个基向量是否垂直来实现。

假设在平面β内选取基向量k1，那么n1和k1应该垂直，即n1x*k1x + n1y*k1y = 0。

通过以上步骤，我们就可以使用向量法来证明两个平面是否垂直。

这种方法不仅简单易懂，而且还可以推广到证明任意数量的平面是否垂直的情况。

用向量证明余弦定理

余弦定理是一种用于计算三角形边长和夹角的关系的定理。

下面我将用向量的方法来证明余弦定理。

考虑一个三角形ABC，其中边长分别为a，b，c，对应的夹角为A，B，C。

假设向量AB、AC、BC分别表示边AB、AC、BC的方向和长度。

根据向量的定义，可以表示向量AB为向量B - A，向量AC为向量C - A。

利用向量的减法和长度的定义，可以得到以下关系：AB = B - AAC = C - A根据向量的内积定义，可以计算向量的长度平方：|AB|^2 = AB ·AB= (B - A) ·(B - A)= B ·B - 2A ·B + A ·A= b^2 - 2A ·B + a^2同理，可以得到：|AC|^2 = c^2 - 2A ·C + a^2另一方面，根据向量的内积和余弦定义，可以得到：A ·C = |A| |C| cos(B)A ·B = |A| |B| cos(C)代入上述等式，可以得到：b^2 - 2A ·B + a^2 = c^2 - 2A ·C + a^2 + 2|A| |B| cos(C) - 2|A| |C| cos(B)化简上式，可以得到：b^2 = c^2 + a^2 - 2|A| |C| cos(B)这就是余弦定理的向量形式。

通过向量的计算和几何解释，我们得到了三角形边长和夹角之间的关系。

需要注意的是，在证明过程中，我们使用了向量的内积、长度定义和减法等基本性质。

这个证明过程基于向量的运算，展示了余弦定理的一个推导。

用向量方法证明几何问题

用向量方法证明几何问题
数学与应用数学（师范）1班朱珺雯
了解用向量方法解决几何问题的基本步骤
壹
体会向量在解决部分几何问题时的优越性
貳
学会用向量方法简便几何问题的证明
叁
学习目标
向量的基本概念
例题
已知：三角形ABC中，D为AB的中点，E为AC 的中点，求证：DE∥BC, DE= BC
几何法
向量法
化几何语言为向量语言
01
还原为几何题技巧：找三角形关键：将有关线段转换为向量
03
用向量方法证明
02
用向量法证明几何问题的步骤：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1.化几何语言为向量语言 2.用向量方法证明 3.还原为几何题
技巧：找三角形关键：将有关线段转换为向量
已知：四边形ABCD是平行四边形，点E、F在对角线BD所在的直线上,BE=DF 求证：四边形AECF是平行四边形。
A
B
C
D
O
E
F
练习1. 用向量方法证明数量关系或平行问题
化几何语言为向量语言
用向量方法证明
还原为几何题
技巧：找三角形
关键：将有关线段转换为向量
已知：AC为⊙O的一条直径，∠ABC为圆周角.
求证：∠ABC＝90o
练习2.
用向量方法证明垂直问题
1.已知：在矩形ABCD中，E、F、G与H是AB、BC、CD和DA的中点。求证：四边形EFGH是菱形。
作业
A
B
C
D
E
F
G
H
2.已知:梯形ABCD中，AB∥CD，E、F分别为AD和BC的中点求证：EF∥AB∥CD，EF= (AB+CD)

用向量的方法证明三角形的余弦定理

用向量的方法证明三角形的余弦定理
三角形的余弦定理是指在一个任意三角形ABC中，设三角形的三条边分别为a、b、c，三个内角的对应角度分别为A、B、C，则有： c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cos(C)
要证明这个定理，我们可以利用向量的方法。

具体步骤如下：
1. 以A点为原点建立直角坐标系，设向量AB为a，向量AC为b。

2. 由向量的加法可知，向量BC等于向量AC减去向量AB，即向量BC = b - a。

3. 利用向量的模长公式，可得：
|a|^2 = a·a = AB·AB
|b|^2 = b·b = AC·AC
|c|^2 = (b - a)·(b - a) = b·b - 2ab·cos(C) + a·a
4. 将第3步中的式子带入c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cos(C)，可得：
|c|^2 = |a|^2 + |b|^2 - 2|a||b|cos(C)
即：
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cos(C)
这就是三角形的余弦定理，利用向量的方法证明了该定理的正确性。

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向量法证明点在平面内的方法

向量法证明点在平面内的方法1. 嘿，你看啊！可以通过向量的线性组合来证明呀！就好比在一个房间里，几个不同方向的力共同作用能让一个东西稳稳地待在那里，这就能说明这个东西在这个由这些力构成的平面内啦！比如有个点 P，向量 PA 和向量PB 能表示成其他向量的线性组合，那这不就说明点 P 在这个平面内嘛！2. 哇塞，还可以利用共面向量定理呢！这就像一群小伙伴手牵手围成一圈，他们就是在一个平面上呀！比如说已知三个向量共面，然后点就在这三个向量所确定的平面内呀，很神奇吧！3. 嘿呀，试试证明向量与平面内的某两个向量平行呀！这不就像火车在铁轨上跑，铁轨确定了，火车肯定就在这个平面内跑呀！像有个点对应的向量和平面内两个不共线向量平行，那点就在平面内咯！4. 还有呢，计算向量的数量积为 0 也行呀！就好像拔河的时候，两边力量抵消了，那肯定就在一个平面上呀！比如一个向量垂直于平面内另一个向量，这不就说明在平面内嘛！5. 哎呀呀，看看向量的坐标呀！如果坐标符合平面的表达式，那不就像密码对上了锁，点就在平面内啦！就像给定一个平面方程和点的坐标，代入一验证，对得上就说明在平面内呀！6. 嘿嘿，也可以通过已知条件去构造向量呀！这就好比搭积木，搭好了就能看出来点在不在平面内呢！比如根据一些已知信息构造出相关向量来证明点在平面内。

7. 哇哦，观察向量之间的关系呀！是不是很简单直接？就像观察一群人的关系一样清楚明白！比如发现某些向量之间有特定关系能证明点在平面内。

8. 哈哈，还能利用空间向量基本定理呀！这就如同有了一把万能钥匙，能打开证明点在平面内的大门哟！像找到合适的基底向量和点对应的向量的关系。

9. 总之呀，向量法证明点在平面内的方法有好多呢！我们要善于去发现和运用呀！只要多去尝试，就能轻松搞定啦！结论就是：学会这些方法，让我们在证明点在平面内时如有神助！。

向量垂直方法证明

向量垂直方法证明向量的垂直是指两个向量的夹角为90度。

要证明向量垂直，可以使用两种方法：矢量的数量积为0和使用向量的坐标表示进行计算。

首先，我们来看第一种方法：矢量的数量积为0。

设有两个向量u和v，要证明u⊥v，即u和v垂直，需要证明它们的数量积为0，即u·v=0。

根据数量积的定义，u·v= u ·v ·cosθ，其中θ为u和v的夹角。

如果u⊥v，那么夹角θ=90度，即cosθ=0，所以可以得到u·v= u ·v ·0=0。

因此，矢量的数量积为0是判断两个向量是否垂直的一个有效方法。

接下来，我们来看第二种方法：使用向量的坐标表示进行计算。

设有两个向量u=(u1, u2)和v=(v1, v2)，要证明u⊥v，可以通过计算它们的内积来判断。

内积的公式为u·v=u1·v1+u2·v2。

如果u⊥v，意味着u和v的夹角θ=90度，根据向量夹角余弦公式cosθ=0，可以推导出u1·v1+u2·v2=0。

这表明u1·v1=-u2·v2。

可以将u和v表示为列向量：u1u = u2u3v1v = v2v3可以根据向量的坐标表示计算u和v的数量积，即u·v=u1·v1+u2·v2+u3·v3。

由于u 和v 垂直，所以u·v=0。

综上所述，通过两种方法证明：向量的数量积为0和使用向量的坐标表示进行计算，都可以得出结论，即两个向量是垂直的。

以一个具体的例子来进一步说明。

设有两个向量u=(3, -2, 1)和v=(4, 6, 9)。

首先，使用矢量的数量积方法进行计算：u·v= u ·v ·cosθ=(√(3^2+(-2)^2+1^2))·(√(4^2+6^2+9^2))·cosθ=√14·√117·cosθ。

用向量法证明

用向量法证明用向量法证明步骤1记向量i ，使i垂直于AC于C，△ABC三边AB,BC,CA为向量a,b,c ∴a+b+c=0则i(a+b+c)=i·a+i·b+i·c=a·cos(180-(C-90))+b·0+c·cos(90-A)=-asinC+csinA=0接着得到正弦定理其他步骤2.在锐角△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。

作CH⊥AB垂足为点H CH=a·sinBCH=b·sinA∴a·sinB=b·sinA得到a/sinA=b/sinB同理，在△ABC中，b/sinB=c/sinC步骤3.证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.作直径BD交⊙O于D. 连接DA.因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C.所以c/sinC=c/sinD=BD=2R类似可证其余两个等式.希望对你有所帮助!2设向量AB=a,向量AC=b，向量AM=c 向量BM=d,延长AM到D 使AM=DM，连接BD,CD,则ABCD为平行四边形则向量a+b=2c (a+b)平方=4c平方a平方+2ab+b平方=4c平方(1)向量b-a=2d (b-a)平方=4d平方a平方-2ab+b平方=4d平方(2)(1)+(2) 2a平方+2b平方=4d平方+4c平方c平方=1/2(a+b)-d平方AM^2=1/2(AB^2+AC^2)-BM^23已知EF是梯形ABCD的中位线，且AD//BC，用向量法证明梯形的中位线定理过A做AG‖DC交EF于P点由三角形中位线定理有：向量EP=向量BG又∵AD‖PF‖GC且AG‖DC ∴向量PF=向量AD=向量GC(平行四边形性质)∴向量PF=(向量AD+向量GC)∴向量EP+向量PF=(向量BG+向量AD+向量GC) ∴向量EF=(向量AD+向量BC)∴EF‖AD‖BC且EF=(AD+BC)得证4先假设两条中线AD,BE交与P点连接CP,取AB中点F连接PFPA+PC=2PE=BPPB+PC=2PD=APPA+PB=2PF三式相加2PA+2PB+2PC=BP+AP+2PF3PA+3PB+2PC=2PF6PF+2PC=2PFPC=-2PF所以PC,PF共线，PF就是中线所以ABC的三条中线交于一点P连接OD,OE,OFOA+OB=2OFOC+OB=2ODOC+OC=2OE三式相加OA+OB+OC=OD+OE+OFOD=OP+PDOE=OP+PEOF=OP+PFOA+OB+OC=3OP+PD+PE+PF=3OP+1/2AP+1/2BP+1/2CP 由第一问结论2PA+2PB+2PC=BP+AP+CP2PA+2PB+2PC=01/2AP+1/2BP+1/2CP所以OA+OB+OC=3OP+PD+PE+PF=3OP向量OP=1/3(向量OA+向量OB+OC向量)来源网络搜集整理，仅作为学习参考，请按实际情况需要自行编辑。

向量法证明四点共面的方法

向量法证明四点共面的方法
向量法证明四点共面超简单！咱先说说步骤哈。

首先呢，要是能找到一个向量可以用另外三个向量线性表示，那就说明这四个点共面啦。

具体就是设这四个点为A、B、C、D，然后看向量
$\overrightarrow{AD}$能不能写成
$x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$的形式。

这就好比搭积木，要是一块积木能被另外几块以特定方式组合起来，那它们肯定在一个“平面”上呀！注意事项呢，计算的时候可别马虎，一个数算错了可能就得出错误结论啦。

那这过程安全不？嘿，这可不是那种有危险的事儿呀，只要认真计算，就不会出问题，超安全的。

稳定性嘛，只要方法用对，结果那是妥妥的稳定。

再说说应用场景和优势。

在空间几何问题里，这招可好用啦。

比如在建筑设计中，确定几个关键节点是不是在一个平面上，那可重要了。

它的优势就是简洁明了呀，不用绞尽脑汁去想复杂的几何关系，直接用向量来算就行。

举个实际案例哈。

假设有个四棱锥，咱要判断底面的四个顶点是不是共面。

就可以用向量法呀，通过计算向量之间的关系，很快就能得出结论。

实际应用效果那是杠杠的，能快速准确地解决问题。

向量法证明四点共面就是这么厉害，大家一定要试试呀！。