北师大2011量子力学试题

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量子力学习题及解答

量子力学习题及解答第一章量子理论基础1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即m λ T=b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。

解根据普朗克的黑体辐射公式dv e chv d kThv v v 11833-⋅=πρ，（1）以及 c v =λ，（2）λρρd dv v v -=，（3）(有,118)()(5-⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=kThc v v ehc cd c d d dv λλλπλλρλλλρλρρ这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。

本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。

但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：01151186'=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+--⋅=-kThc kT hc e kT hc e hcλλλλλπρ ⇒ 0115=-⋅+--kT hce kThc λλ ⇒ kThce kT hc λλ=--)1(5 如果令x=kThcλ ，则上述方程为x e x =--)1(5:这是一个超越方程。

首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=，经过验证，此解正是所要求的，这样则有xkhc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知K m T m ⋅⨯=-3109.2λ这便是维恩位移定律。

据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。

1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。

解根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv ，λhP =】如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么ep E μ22= 如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0⨯，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有ph =λ nmm m E c hc E h e e 71.01071.031051.021024.1229662=⨯=⨯⨯⨯⨯===--μμ在这里，利用了m eV hc ⋅⨯=-61024.1以及,eVc e 621051.0⨯=μ最后，对Ec hc e 22μλ=作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。

北京大学量子力学习题集1

[2] 波函数的归一化及 x2, p2 的计算
一维运动的粒子处于状态
ψ
(
x)
=
⎧ ⎨
Axe−
λ
x
,
⎩ 0,
x≥0 x<0
上，其中 λ > 0 ，A为待求的归一化常数，求(1)
粒子坐标的概率分布函数；(2)粒子坐标的平均
值 x 和粒子坐标平方的平均值 x2；(3)粒子动量的概率分布函数；(4)粒子动量的平均值 p 和粒
则有
⎡⎢− ⎣
=2 2m
⋅
d2 dx2
+V (x)⎤⎥ψ E (x)
⎦
=
Eψ E (x)
V
(x)
=
E
+
=2 2m
ψ
1 E (x)
⋅
d2 dx2
ψ
E
( x),
−∞< x<∞
(1)
如果给定一个定态波函数ψ E (x) ，则由式(1)
可给出 V (x) − E ，欲分别求出 E和 V (x)，还需
要附加条件,例如设定 V (x) 的零点.
∑ (En − Em )2 n x m 2 n
∑ = − (Em − En ) m x n (En − Em ) n x m n
∑ =
−
⎛ ⎜⎝
−
i=
μ
⎞2 ⎟⎠
n
m pn
n pm
∑ =2
= m p n n pm
μ2
n
=2 =
m
p2
n
μ
式(2)得证.以上利用了完备公式
∑ n n =1
n
∑ (En − Em ) n x m 2 n

《量子力学》大一题集

《量子力学》大一题集一、选择题（每题5分，共50分）1.量子力学的研究对象主要是？A. 宏观物体的运动规律B. 微观粒子的运动规律C. 宇宙天体的运动规律D. 生命现象的运动规律2.下列哪位科学家是量子力学的奠基人之一？A. 牛顿B. 爱因斯坦C. 薛定谔D. 伽利略3.波粒二象性是指？A. 粒子只具有波动性B. 粒子只具有粒子性C. 粒子同时具有波动性和粒子性D. 波动和粒子是两种不同的物质4.在量子力学中，描述微观粒子状态的数学工具是？A. 牛顿运动定律B. 麦克斯韦方程组C. 波函数D. 爱因斯坦场方程5.下列哪个实验是量子力学发展史上的重要里程碑？A. 迈克尔逊-莫雷实验B. 双缝干涉实验C. 托马斯·杨的光干涉实验D. 薛定谔的猫实验6.量子力学中的“不确定性原理”是由谁提出的？A. 玻尔B. 海森堡C. 狄拉克D. 费曼7.在量子力学中，观测者对系统的影响称为？A. 观测者效应B. 量子纠缠C. 超位置D. 量子跃迁8.下列哪个现象是量子力学特有的，而经典力学无法解释？A. 光的折射B. 物体的自由落体C. 电子的双缝干涉D. 行星的运动9.量子纠缠是指？A. 两个粒子之间的引力作用B. 两个粒子之间的电磁作用C. 两个粒子之间的量子态的关联D. 两个粒子之间的强相互作用10.量子计算机相比经典计算机的最大优势是？A. 计算速度更快B. 存储容量更大C. 能耗更低D. 体积更小二、填空题（每题5分，共20分）1.在量子力学中，描述微观粒子运动状态的波函数需要满足_______方程。

2.量子力学中的“不确定性原理”表明，微观粒子的位置和动量是不确定的，其不确定度的乘积有一个_______的下限。

3.量子纠缠是_______之间的一种特殊关联，当其中一个粒子的状态发生改变时，另一个粒子的状态也会瞬间发生改变。

4.在量子力学中，观测者对系统的影响是不可忽视的，这种影响被称为_______。

【试题】量子力学期末考试题库含答案22套

【关键字】试题量子力学自测题（１）一、简答与证明：（共25分）1、什么是德布罗意波？并写出德布罗意波的表达式。

（4分）2、什么样的状态是定态，其性质是什么？（6分）3、全同费米子的波函数有什么特点？并写出两个费米子组成的全同粒子体系的波函数。

（4分）4、证明是厄密算符（5分）5、简述测不准关系的主要内容，并写出坐标和动量之间的测不准关系。

（6分）2、（15分）已知厄密算符，满足，且，求1、在A表象中算符、的矩阵表示；2、在B表象中算符的本征值和本征函数；3、从A表象到B表象的幺正变换矩阵S。

三、（15分）设氢原子在时处于状态，求1、时氢原子的、和的取值几率和平均值；2、时体系的波函数，并给出此时体系的、和的取值几率和平均值。

四、（15分）考虑一个三维状态空间的问题，在取定的一组正交基下哈密顿算符由下面的矩阵给出这里，，是一个常数，，用微扰公式求能量至二级修正值，并与精确解相比较。

五、（10分）令，，分别求和作用于的本征态和的结果，并根据所得的结果说明和的重要性是什么？量子力学自测题（１）参考答案一、1、描写自由粒子的平面波称为德布罗意波；其表达式：2、定态：定态是能量取确定值的状态。

性质：定态之下不显含时间的力学量的取值几率和平均值不随时间改变。

3、全同费米子的波函数是反对称波函数。

两个费米子组成的全同粒子体系的波函数为：。

4、=，因为是厄密算符，所以是厄密算符。

5、设和的对易关系，是一个算符或普通的数。

以、和依次表示、和在态中的平均值，令，，则有，这个关系式称为测不准关系。

坐标和动量之间的测不准关系为：2、解1、由于，所以算符的本征值是，因为在A表象中，算符的矩阵是对角矩阵，所以，在A表象中算符的矩阵是：设在A 表象中算符的矩阵是，利用得：；由于，所以，；由于是厄密算符，，令，其中为任意实常数，得在A 表象中的矩阵表示式为： 2、类似地，可求出在B 表象中算符的矩阵表示为：在B 表象中算符的本征方程为：，即和不同时为零的条件是上述方程的系数行列式为零，即对有：，对有：所以，在B 表象中算符的本征值是，本征函数为和 3、类似地，在A 表象中算符的本征值是，本征函数为和从A 表象到B 表象的幺正变换矩阵就是将算符在A 表象中的本征函数按列排成的矩阵，即三、解：已知氢原子的本征解为：，将向氢原子的本征态展开， 1、=，不为零的展开系数只有三个，即，，，显然，题中所给的状态并未归一化，容易求出归一化常数为：，于是归一化的展开系数为：，，（1）能量的取值几率，，平均值为：（2）取值几率只有：，平均值（3）的取值几率为：，，平均值 2、时体系的波函数为：=由于、和皆为守恒量，所以它们的取值几率和平均值均不随时间改变，与时的结果是一样的。

北京大学量子力学期末试题A及答案

北京大学量子力学期末试题A姓名:学号：题号一二三四五六习题总分成绩一.（10分）若Sˆ是电子的自旋算符，求 a. x S ˆz S ˆx S ˆy S ˆx S ˆ=? b. ?S ˆSˆ=× 二．（12分）若有已归一化的三个态γβα和,，且有8.02.03.0======βγγβαγγααββα ,试用Schmidt 方法构成正交，归一的新的态矢量γβα′′和,.三．（16分）算符ηηηη/z S ˆi /y S ˆi z /y S ˆi /z S ˆi n e e S ˆe e S ˆϕθθϕ−−=是电子自旋算符zSˆ经幺正变换而得。

试求出它的本征值和相应的本征矢在zS ˆ表象中的表示。

四．（18分）在t=0时，自由粒子波函数为()⎪⎩⎪⎨⎧≥<=b 2x 0b 2x bxsin 2b 0,x πππψ a. 给出在该态中粒子动量的可能测得值及相应的几率振幅；b. 求出几率最大的动量值；c. 求出发现粒子在x dp b b +−ηη区间中的几率；d. ()?t ,x =ψ （积分形式即可）。

五. (18分) 三个自旋为2η的全同粒子，在一维位势())x x x (m 21V 23222123x ,2x ,1x ++=ω 中运动，a. 给出这三个粒子体系的基态和第一激发态的能量及相应的本征矢；（谐振子波函数以()x u n 表示）；b. 它们的简并度分别是多少？六．（16分）质量为m 的粒子处于位势()⎩⎨⎧∞≤<≤<≤<=其他和az 0a y 0,a x 00z ,y ,x V中。

假设它又经受微扰bxy Hˆ=′，试求第一激发态能量的一级修正。

北京大学量子力学期末试题A 答案和评分一. (10分)5分 a. x y x z x s s s s s xy 2x z s s s s −=5x y z 2)2(i s s s 4ηη=−=或 5x y z z y 2)2(i s )s s s s (214ηη=−−=5分b. s i )s s s s (k )s s s s (j )s s s s (i s s x y y x z x x z y z z y ηρρρ=−+−+−=×二．(12分) 1=αα ∴ α=α′4分 )3.0(N )(N α−β=βαα−β=β′由 )..(N ).)(.(N 222230*********+⋅−=α−β−β==β′′2分 91.01N =， )3.0(91.01α−β=β′4分 )2.0(N γβ′β′−α−γ=γ′2020202012....(N ⋅+γ−β′γγβ′−αγ−γγ==γ′γ′)β′γγβ′+β′γγ′−910740309101..).(.=γα−γβ=γ′ 191032602020910740201222222==+−−−⋅..N ).....(N ，2分 67.1N =三. (16分) m 2m m sˆz η= ′=′ϕθθ−ϕ−m e e s ˆe e m s ˆz y y z s ˆi s ˆi z sˆi s ˆi n ηηη如 ′=′θ−ϕ−m e e m y z s ˆi sˆi η，则 ′=′m m 2m sˆn η 6分 ∴ 它的本征值为 2η± 相应的本征值在z sˆ表象中的表示m )sin i )(cos sin i (cos m m m y z 2222θσ−θϕσ−ϕ′=′′m sin sin i cos sin im sin cos i cos (cos x y 22222222θϕσ+θϕ−θϕσ−θϕ′m )e e (sin )sin im (cos cos m i i 222222ϕ−+ϕ−σ−σθ+ϕ−ϕθ′=6分 1m ,1m 1m ,1m i 1m m i e )(2sin e 2cos =′−=−=′=ϕ±±==′ϕδ±θ+θ=μ 2分 n sˆ本征值为2η，本征表示为 ⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛θθϕϕ−2i 2i e 2sin e 2cos 2分 2η−，本征表示为 ⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛θθ−ϕϕ−2i 2i e 2cos e 2sin四. (18分)6分 a. dx i 2e e 2b e21ibxibx b 2b2x ip p x x−ππ−−−ππ=ϕ∫η dx ]e e [i 41)b()/x p bx (i )x p bx (i 21x x ηη+−−−π=∫]e )p b (i e )p b (i [b i b x)p b (i x bbx)p b (i x xxππ−+−ππ−−++−π=22221141ηηηη2x 2x 21p )b (b2b p 2sin )i 2()b (41−π+π=ηηηη 该态中粒子动量可能测得值为 ∞<<∞−x p5分 b. }]p )b [(b p {sin dp d dp )p (d x x x x x 22222120−π==ϕηη∴ 0422422=−π+ππxxx x p )b (p b p sin b p cos b ηηηη0bp 2sin b p b p 2cos ]p )b [(xx x 2x 2=ππ+π−ηηηη ∴ 有解 b p x η±=3分 c. bxx 23bx p 2b p 2cosb 2)b (i )p (ηηηηη−πππ=ϕ发现粒子在x dp b b +−ηη区间中的几率为x x 2dp b1dp )b (ηη=ϕ4分 d. x t m 2p ip i 21x dpe)2(1)p ()t ,x (2xx ∫−πϕ=ψηηη五. (18分)a. 2分 ω+=εη)21n (n ,3分 ω=η25E 基, ω=η27E 1 基态 2n 0=，1n 1=2分 )()(u )()(u )()(u )()(u )()(u )()(u )()(u )()(u )()(u !3322113322113322113111100000001ββββββααα=ψ )()(u )()(u )(u )()(u )()(u )(u [221331331221311000010000αχ−αχ=)]()(u )()(u )(u 11233210000αχ+1分 )()(u )()(u )(u [331221311000002βχ=ψ )()(u )()(u )(u 22133110000βχ−)]()(u )()(u )(u 11233210000βχ+ 第一激发态 2n 0=，1n 2= 2分 )()(u )()(u )(u [331221312000011αχ=ψ)()(u )()(u )(u 22133120000αχ−)]()(u )()(u )(u 11233220000αχ+ 1分 )()(u )()(u )(u [331221312000012βχ=ψ)()(u )()(u )(u 22133120000βχ−)]1()1(u )23()3(u )2(u 10000βχ+ 2分 )()(u )()(u )(u [331221310001113αχ=ψ )()(u )()(u )(u 22133100011αχ−)]()(u )()(u )(u 11233200011αχ+ 1分 )()(u )()(u )(u [331221310001114βχ=ψ)()(u )()(u )(u 22133100011βχ− )]()(u )()(u )(u 11233200011βχ+b. 4分基态二重简并第一激发态四重简并六. (16分)3分粒子的能量为)n n n (maz y x 2222222++πη 第一激发态为 1 1 21 2 1 2 1 12222220134112a )(ma E ππ=++π=ηη，5分 z a 2sin y a sin x a sin )a 2(123πππ=ρz asin y a 2sin x a sin )a 2(2r 23πππ=ρz asin y a sin x a 2sin )a 2(3r 23πππ=ρdy y a sin y dx x a sin x )a 2(1H ˆ1a 02a 022∫∫π⋅π=′4a dx x a sin x 2a2=π∫ ∴2222ba 41b 4a 4a )a 2(1H 1=⋅⋅⋅=′03H 2H =′=′2a 02a 022ba 41dy y a 2sin y dx x a sin x b )a 2(2H 2=π⋅π=′∫∫dy y a sin y a 2sin y xdx a 2sin x a sin x b )a 2(3H 2a 0a 02∫∫ππ⋅ππ=′42222228164ba 4)9a 8)(9a 8(b )a 2(π⋅=π−π−=2a 02a 022ba 41dy y a sin y dx x a 2sin x b )a 2(3H 3=π⋅π=′∫∫4分于是有：0E ba 4181ba 464081ba 464E ba 41000E ba 411242421212=−π⋅π⋅−−2分 ∴ 211ba 41E =2分 2424422132344181464418146441ba ])([ba )(ba ba E ,π±=π⋅±=π⋅±=。

北京大学-量子力学习题集4

1 = [C0Y11 + C0Y1−1 + (C1 + C−1 )Y10 ] 2
比较后得
1 C1 = C0 2
1 ， C−1 = C0 2
由波函数归一得
1 C0 = 2
。
1 ψ = [Y11 + Y1−1 + 2Y10 ] 2
ˆ2 = B ˆ 2 = 1， 5. Hermite算符与满足 A ，，均无简并，求（1）在A表象中与的矩阵表达式，并求的本征函数表示式；（2）在B表象中与的矩阵表达式，并求的本征函数表示式；（3）A表象到B表象的幺正变换矩阵S。
= C1Φ1 +C2Φ2
（4）
其中
C1 = (exp(−iω1t ) + exp(−iω2t )) / 2 ，
C2 = (exp( −iω1t ) − exp( −iω2t )) / 2
（5）
| C1 |2 = {1 + cos(ω1 − ω2 )t}2 ，
| C2 |2 = {1 − cos(ω1 − ω2 )t}2
其中所以静电势能为
由
，得
所以
体系的Hamilton量为
所以
因为
考虑到这里不过是一级微扰论，而H '又只是在核子体积内起作用。这里a为 Bohr半径。
所以计算中可略去径向波函数中的指数，认为，由此得1s态能移
2p态能移
10. 粒子在二维无限深方势阱中运动,
0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ a ⎧ 0, V =⎨ ⎩ ∞, x < 0, x > a , y < 0, y > a
A = (a1 + a2 ) / 2 + ((a1 − a2 ) / 2) cos( E1 − E2 )t /

量子力学例题与解答

《量子力学》复习例题与题解一、基本概念1. 波粒二象性微观粒子具有波粒二象性，即微观粒子既有波动性—弥漫性，又有粒子性—不可分割性，德波罗意关系式是两者的统一： k p E==,ω 关系式的左边体现粒子性；右边体现波动性。

2. 测不准关系描述微观粒子体系的力学量算符一般是不可对易的，也就是说，这两个力学量不能同时测准，他们的不确定度可用测不准关系来描述：222]ˆ,ˆ[41)ˆ()ˆ(B A B A ≥∆∆ 3. 本征方程如下方程：n n n Q Q ψψ=ˆ（其中n Q 为常数）称为力学量算符Q ˆ的本证方程，n Q 为力学量算符Q ˆ的相应于本征态nψ的本征值。

4. 简并度一个本征值相应于多个本征态的情形称为简并情形，本征态的个数称为相应于该本征值的简并度。

5. 全同性原理全同微观粒子体系，当两个粒子交换坐标时，波函数要末不变号，要末变号，即概率分布不变。

6．.波函数微观粒子体系的态必须用具有统计意义的波函数),(t x ψ来描述，2),(t x ψ为概率密度，即在t 时刻，x附近单位体积内找到微观粒子的概率 7. 归一化常数为了让波函数),(t x ψ表示绝对的概率幅，),(t xψ必须归一化，即1),(2=⎰τψd t x A ，其中的A 即为归一化常数8. 力学量完全测量集合完全确定一微观粒子体系的状态所需要的力学量测量集合，这些力学量必须满足：他们是可测量；它们必须互相独立；与他们相应的力学量算符必须两两对易 9. 微扰理论当'ˆˆˆ0H H H +=，且>><<<<0ˆ'ˆH H ，零级近似的本征方程)0()0()0(0ˆnn n E H ψψ=可以严格求解时，可用微扰理论来处理，即在零级近似)0()0(,k k E ψ的基础上，根据需要的精度逐步进行一级、二级或高级修正。

10. 玻色子与费密子自旋量子数s 为整数的微观粒子称为玻色子；自旋量子数s 为半整数的微观粒子称为费米子；前者对波函数有对称性的要求；后者对波函数有反对称性的要求，受泡里原理的约束。

量子力学试题

、填空题1 .玻尔的量子化条件为。

2.德布罗意关系为3.用来解释光电效应的爱因斯坦公式为_______________________________________________4 .波函数的统计解释：__________________________________________5.- 为归一化波函数，粒子在「「：方向、立体角&匚内岀现的几率为_________________________________________ ，在半径为”，厚度为-旷的球壳内粒子岀现的几率为_____________________________________________________ 。

6.波函数的标准条件为______________________________________________________________________________7.」一 -」，匚为单位矩阵，则算符一的本征值为8•自由粒子体系，____________ 守恒；中心力场中运动的粒子____________ 守恒。

9.力学量算符应满足的两个性质是___________________________________________________________ 10•厄密算符的本征函数具有_____________________________________________________________________ 。

11•设J I-■■门为归一化的动量表象下的波函数，则' ' I' 的物理意义为* Cc * 28 •如两力学量算符「'有共同本征函数完全系，则-'''-13 •坐标和动量的测不准关系是14 •在定态条件下，守恒的力学量是 ___________________________ 。

15 •隧道效应是指 _______________________________________________16 •量子力学中，原子的轨道半径实际是指 _________________________17. 为氢原子的波函数, 的取值范围分别为 ___________________________________________________________________________________________18 •对氢原子，不考虑电子的自旋，能级的简并度为 _____________________ ，考虑自旋但不考虑自旋与轨道角动量的耦合时，能级的简并度为 ____________________ ，如再考虑自旋与轨道角动量的耦合，能级的简并度为 ___________________________________________ 。

量子力学期末考试题

U(x)
布如附图所示，对于能量为 E < U0 从左向右运动的粒子， U0
若用 ρ1、ρ2、ρ3 分别表示在 x < 0，0 < x <a，x > a 三个区域
发现粒子的概率，则有

O
ax
(A) ρ1 ≠ 0，ρ2 = ρ3 = 0． (B) ρ1 ≠ 0，ρ2 ≠ 0，ρ3 = 0． (C) ρ1 ≠ 0，ρ2 ≠ 0，ρ3 ≠ 0． (D) ρ1 = 0，ρ2 ≠ 0，ρ3 ≠ 0．
(A) L = = ， 2= ， 3= ；
Lz = 0, ± =, ± 2=，± 3= ．
(B) L = 0 ， 2= ， 6= ； Lz = 0, ± =, ± 2= ．
(C) L = 0 ， = ， 2= ；
Lz = 0, ± =, ± 2= ．
(D) L = 2= ， 6= ， 12= ； Lz = 0, ± =, ± 2=，± 3= ．
粒子在一维无限深方势阱中运动．下图为粒子处于某一能态上的波函数ψ(x)的曲线．粒子出现概率最大的位置为
(A) a / 2． (B) a / 6，5 a / 6． (C) a / 6，a / 2，5 a / 6． (D) 0，a / 3，2 a / 3，a ．
ψ(x)
x
O
1 3
a
2 3
a
a
［
］
11. (本题 3分)(1903)
［
］
第 3页
二填空题 (共98分) 17. (本题 3分)(1818)
用文字叙述热辐射的基尔霍夫定律的内容是：__________________________
___________________________________________________________．

第1章量子力学基础-习题与答案

一、是非题1. “波函数平方有物理意义，但波函数本身是没有物理意义的”。

对否解：不对2. 有人认为，中子是相距为10-13 cm 的质子和电子依靠库仑力结合而成的。

试用测不准关系判断该模型是否合理。

解：库仑吸引势能大大地小于电子的动能, 这意味着仅靠库仑力是无法将电子与质子结合成为中子的，这个模型是不正确的。

二、选择题1. 一组正交、归一的波函数123,,,ψψψ。

正交性的数学表达式为 a ，归一性的表达式为 b 。

()0,()1i i i i a d i jb ψψτψψ**=≠=⎰⎰2. 列哪些算符是线性算符------------------------------------------------------ (A, B, C, E )(A) dxd(B) ∇2 (C) 用常数乘 (D) (E) 积分3. 下列算符哪些可以对易-------------------------------------------- (A, B, D )(A) xˆ 和 y ˆ (B) x∂∂和y ∂∂ (C) ˆx p和x ˆ (D) ˆx p 和y ˆ 4. 下列函数中 (A) cos kx (B) e -bx(C) e -ikx(D) 2e kx -(1) 哪些是dxd的本征函数；-------------------------------- (B, C ) (2) 哪些是的22dx d 本征函数；-------------------------------------- (A, B, C )(3) 哪些是22dx d 和dxd的共同本征函数。

------------------------------ (B, C )5. 关于光电效应，下列叙述正确的是：(可多选) ------------------（C,D ）(A)光电流大小与入射光子能量成正比 (B)光电流大小与入射光子频率成正比 (C)光电流大小与入射光强度成正比 (D)入射光子能量越大，则光电子的动能越大6. 提出实物粒子也有波粒二象性的科学家是：------------------------------（ A ）(A) de Bröglie (B) A.Einstein (C) W. Heisenberg (D) E. Schrödinger7. 首先提出微观粒子的运动满足测不准原理的科学家是：--------------（ C ）(A) 薛定谔 (B) 狄拉克 (C) 海森堡 (D) 波恩 8. 下列哪几点是属于量子力学的基本假设(多重选择)：---------------（ AB）(Ａ)电子自旋(保里原理) (Ｂ)微观粒子运动的可测量的物理量可用线性厄米算符表征 (Ｃ)描写微观粒子运动的波函数必须是正交归一化的 (Ｄ)微观体系的力学量总是测不准的，所以满足测不准原理9. 描述微观粒子体系运动的薛定谔方程是：------------------------------（ D ） (A) 由经典的驻波方程推得 (B) 由光的电磁波方程推得(C) 由经典的弦振动方程导出 (D) 量子力学的一个基本假设三、填空题：1. 1927年戴维逊和革未的电子衍射实验证明了实物粒子也具有波动性。

量子力学自学辅导与参考答案

题库(含答案) 2011级尹如冰(一) 单项选择题1.能量为100ev 地自由电子地De Broglie 波长是AA. 1.2A 0.B. 1.5A 0.C. 2.1A 0.D. 2.5A 0.2. 能量为0.1ev 地自由中子地De Broglie 波长是BA.1.3A 0.B. 0.9A 0.C. 0.5A 0.D. 1.8A 0.3. 能量为0.1ev ，质量为1g 地质点地De Broglie 波长是CA.1.4A 0.B.1.9⨯1012-A 0. C.1.17⨯1012-A 0. D. 2.0A 0.4.温度T=1k 时，具有动能E k T B =32(k B 为Boltzeman 常数)地氦原子地De Broglie 波长是DA.8A 0.B. 5.6A 0.C. 10A 0.D. 12.6A 0.5.用Bohr-Sommerfeld 地量子化条件得到地一维谐振子地能量为（ ,2,1,0=n ）A A.E n n = ω. B.E n n =+()12ω. C.E n n =+()1 ω. D.E n n =2 ω.6.在0k 附近，钠地价电子地能量为3ev ，其De Broglie 波长是BA.5.2A 0.B. 7.1A 0.C. 8.4A 0.D. 9.4A 0.7.钾地脱出功是2ev ，当波长为3500A 0地紫外线照射到钾金属表面时，光电子地最大能量为AA. 0.25⨯1018-J.B. 1.25⨯1018-J.C. 0.25⨯1016-J.D. 1.25⨯1016-J.8.当氢原子放出一个具有频率ω地光子，反冲时由于它把能量传递给原子而产生地频率改变为B A.2μc . B. 22μc. C. 222μc . D. 22μc . pton 效应证实了CA.电子具有波动性.B. 光具有波动性.C.光具有粒子性.D. 电子具有粒子性.10.Davisson 和Germer 地实验证实了AA. 电子具有波动性.B. 光具有波动性.C. 光具有粒子性.D. 电子具有粒子性.11.粒子在一维无限深势阱U x x a x x a (),,,=<<∞≤≥⎧⎨⎩000 中运动，设粒子地状态由ψπ()sin x C x a= 描写，其归一化常数C 为B A.1a . B.2a . C.12a . D.4a. 12. 设ψδ()()x x =，在dx x x +-范围内找到粒子地几率为DA.δ()x .B.δ()x dx .C.δ2()x .D.δ2()x dx .13. 设粒子地波函数为 ψ(,,)x y z ，在dx x x +-范围内找到粒子地几率为C A.ψ(,,)x y z dxdydz 2. B.ψ(,,)x y z dx 2.C.dx dydz z y x )),,((2⎰⎰ψ. D.dx dy dz x yz ψ(,)⎰⎰⎰2. 14.设ψ1()x 和ψ2()x 分别表示粒子地两个可能运动状态，则它们线性迭加地态c x c x 1122ψψ()()+地几率分布为D A.c c 112222ψψ+.B. c c 112222ψψ++2*121ψψc c . C. c c 112222ψψ++2*1212ψψc c . D. c c 112222ψψ++c c c c 12121212****ψψψψ+.15.波函数应满足地标准条件是DA.单值、正交、连续.B.归一、正交、完全性.C.连续、有限、完全性.D.单值、连续、有限.16.有关微观实物粒子地波粒二象性地正确表述是CA.波动性是由于大量地微粒分布于空间而形成地疏密波.B.微粒被看成在三维空间连续分布地某种波包.C.单个微观粒子具有波动性和粒子性.D. A, B, C.17.已知波函数Cψ1=-+u x i Et u x iEt ()exp()()exp(),ψ21122=-+u x i E t u x i E t ()exp()()exp(), ψ312=-+-u x i Et u x i Et ()exp()()exp(), ψ41122=-+-u x i E t u x i E t ()exp()()exp(). 其中定态波函数是A.ψ2.B.ψ1和ψ2.C.ψ3.D.ψ3和ψ4.18.若波函数ψ(,)x t 归一化，则A.ψ(,)exp()x t i θ和ψ(,)exp()x t i -δ都是归一化地波函数.B.ψ(,)exp()x t i θ是归一化地波函数，而ψ(,)exp()x t i -δ不是归一化地波函数.C.ψ(,)exp()x t i θ不是归一化地波函数，而ψ(,)exp()x t i -δ是归一化地波函数.D.ψ(,)exp()x t i θ和ψ(,)exp()x t i -δ都不是归一化地波函数.(其中θδ,为任意实数)19.波函数ψ1、ψψ21=c (c 为任意常数)，A.ψ1与ψψ21=c 描写粒子地状态不同.B.ψ1与ψψ21=c 所描写地粒子在空间各点出现地几率地比是1: c .C.ψ1与ψψ21=c 所描写地粒子在空间各点出现地几率地比是2:1c .D.ψ1与ψψ21=c 描写粒子地状态相同. 20.波函数ψ(,)(,)exp()x t c p t i px dp =⎰12π地傅里叶变换式是 A. c p t x t i px dx (,)(,)exp()=⎰12πψ. B. c p t x t i px dx (,)(,)exp()*=⎰12π ψ.C. c p t x t i px dx (,)(,)exp()=-⎰12πψ. D. c p t x t i px dx (,)(,)exp()*=-⎰12πψ. 21.量子力学运动方程地建立,需满足一定地条件: (1)方程中仅含有波函数关于时间地一阶导数. (2)方程中仅含有波函数关于时间地二阶以下地导数.(3)方程中关于波函数对空间坐标地导数应为线性地. (4) 方程中关于波函数对时间坐标地导数应为线性地.(5) 方程中不能含有决定体系状态地具体参量. (6) 方程中可以含有决定体系状态地能量. 则方程应满足地条件是 A. (1)、(3)和(6). B. (2)、(3)、(4)和(5).C. (1)、(3)、(4)和(5).D.(2)、(3)、(4)、(5)和(6).22.两个粒子地薛定谔方程是A.∑=ψ∇=ψ21212221),,(2),,(i i t r r t r r t i μ∂∂ ),,(),,(2121t r r t r r U ψ+B.∑=ψ∇=ψ21212221),,(2),,(i i t r r t r r t μ∂∂ ),,(),,(2121t r r t r r U ψ+C. ∑=ψ∇=ψ21212221),,(2),,(i i i t r r t r r t μ∂∂ ),,(),,(2121t r r t r r U ψ+D.∑=ψ∇=ψ21212221),,(2),,(i i i t r r t r r t i μ∂∂ ),,(),,(2121t r r t r r U ψ+23.几率流密度矢量地表达式为 A. J =∇ψ-2μ()**ψψ∇ψ. B. J i =∇ψ-2μ()**ψψ∇ψ. C. J i =-∇ψ2μ()**ψ∇ψψ. D. J =-∇ψ2μ()**ψ∇ψψ. 24.质量流密度矢量地表达式为 A. J =∇ψ-2()**ψψ∇ψ. B. J i =∇ψ-2()**ψψ∇ψ. C. J i =-∇ψ2()**ψ∇ψψ. D. J =-∇ψ2()**ψ∇ψψ. 25. 电流密度矢量地表达式为A. J q =∇ψ-2μ()**ψψ∇ψ. B. J iq =∇ψ-2μ()**ψψ∇ψ. C. J iq =-∇ψ2μ()**ψ∇ψψ. D. J q =-∇ψ2μ()**ψ∇ψψ. 26.下列哪种论述不是定态地特点A.几率密度和几率流密度矢量都不随时间变化.B.几率流密度矢量不随时间变化.C.任何力学量地平均值都不随时间变化.D.定态波函数描述地体系一定具有确定地能量.27.在一维无限深势阱U x x a x a (),,=<∞≥⎧⎨⎩022中运动地质量为μ地粒子地能级为 A.πμ22224 n a ,B.πμ22228 n a ,C.πμ222216 n a , D.πμ222232 n a . 28. 在一维无限深势阱U x x a x a (),,=<∞≥⎧⎨⎩0中运动地质量为μ地粒子地能级为 A.πμ22222 n a , B.πμ22224 n a , C.πμ22228 n a , D.πμ222216 n a . 29. 在一维无限深势阱U x x b x b (),/,/=<∞≥⎧⎨⎩022中运动地质量为μ地粒子地能级为 A.πμ22222 n b ,B.πμ2222 n b , C.πμ22224 n b , D.πμ22228 n b . 30. 在一维无限深势阱U x x a x a (),,=<∞≥⎧⎨⎩0中运动地质量为μ地粒子处于基态，其位置几率分布最大处是A.x =0,B.x a =,C.x a =-,D.x a =2.31. 在一维无限深势阱U x x a x a (),,=<∞≥⎧⎨⎩0中运动地质量为μ地粒子处于第一激发态，其位置几率分布最大处是A.x a =±/2,B.x a =±,C.x =0,D.4/a x ±=.32.在一维无限深势阱中运动地粒子，其体系地A.能量是量子化地，而动量是连续变化地.B.能量和动量都是量子化地.C.能量和动量都是连续变化地.D.能量连续变化而动量是量子化地.33.线性谐振子地能级为A.(/),(,,,...)n n +=12123 ω. B.(),(,,,....)n n +=1012ω. C.(/),(,,,...)n n +=12012ω.D.(),(,,,...)n n +=1123 ω.34.线性谐振子地第一激发态地波函数为ψαα()exp()x N x x =-122122,其位置几率分布最大处为A.x =0.B.x =±μω. C.x =μω. D.x =±μω.35.线性谐振子地A.能量是量子化地,而动量是连续变化地.B.能量和动量都是量子化地.C.能量和动量都是连续变化地.D.能量连续变化而动量是量子化地.36.线性谐振子地能量本征方程是A.[]-+= 222222212μμωψψd dx x E . B.[]--= 22222212μμωψψd dx x E . C.[] 22222212μμωψψd dx x E -=-. D.[] 222222212μμωψψd dx x E +=-. 37.氢原子地能级为A.- 2222e n s μ.B.-μ22222e n s .C.242n e s μ -. D. -μe n s 4222 . 38.在极坐标系下,氢原子体系在不同球壳内找到电子地几率为A.r r R nl )(2.B.22)(r r R nl .C.rdr r R nl )(2.D.dr r r R nl 22)(.39. 在极坐标系下,氢原子体系在不同方向上找到电子地几率为A.),(ϕθlm Y .B. 2),(ϕθlm Y .C. Ωd Y lm ),(ϕθ.D. Ωd Y lm 2),(ϕθ. 40.波函数ψ和φ是平方可积函数,则力学量算符 F为厄密算符地定义是 A.ψφτφψτ*** Fd F d =⎰⎰. B.ψφτφψτ** ( )F d F d =⎰⎰.C.( ) **F d F d ψφτψφτ=⎰⎰.D. ***F d F d ψφτψφτ=⎰⎰. 41. F和 G 是厄密算符,则 A. FG必为厄密算符. B. FG GF -必为厄密算符. C.i FGGF ( )+必为厄密算符. D. i FGGF ( )-必为厄密算符. 42.已知算符 x x =和 p i xx =- ∂∂,则A. x 和 px 都是厄密算符. B. xp x 必是厄密算符. C. xp p x x x +必是厄密算符.D. xp p x x x -必是厄密算符.43.自由粒子地运动用平面波描写,则其能量地简并度为A.1.B. 2.C. 3.D. 4.44.二维自由粒子波函数地归一化常数为(归到δ函数)A.1212/()/π .B.12/()π .C.1232/()/π .D.122/()π45.角动量Z 分量地归一化本征函数为 A.12πϕ exp()im . B. )ex p(21r k i ⋅π. C.12πϕexp()im . D. )ex p(21r k i⋅π. 46.波函数)ex p()(cos )1(),(ϕθϕθim P N Y m l lm m lm -=A. 是 L 2地本征函数,不是 L z地本征函数. B. 不是 L 2地本征函数,是 L z地本征函数. C. 是 L 2、 L z地共同本征函数. D. 即不是 L 2地本征函数,也不是 L z地本征函数. 47.若不考虑电子地自旋,氢原子能级n=3地简并度为A. 3.B. 6.C. 9.D. 12.48.氢原子能级地特点是A.相邻两能级间距随量子数地增大而增大.B.能级地绝对值随量子数地增大而增大.C.能级随量子数地增大而减小.D.相邻两能级间距随量子数地增大而减小.49一粒子在中心力场中运动,其能级地简并度为n 2,这种性质是A. 库仑场特有地.B.中心力场特有地.C.奏力场特有地.D.普遍具有地.50.对于氢原子体系,其径向几率分布函数为W r dr R r dr 323222()=,则其几率分布最大处对应于Bohr 原子模型中地圆轨道半径是A.a 0.B. 40a .C. 90a .D. 160a . 51.设体系处于ψ=--123231102111R Y R Y 状态,则该体系地能量取值及取值几率分别为 A.E E 321434,;,. B.E E 321232,;,-. C.E E 321232,;,. D.E E 323414,;,. 52.接51题,该体系地角动量地取值及相应几率分别为A.21 , .B. ,1.C.212 ,.D.212 ,.53. 接51题,该体系地角动量Z 分量地取值及相应几率分别为A.01434,;,- .B. 01434,;, . C.01232,;, -. D. 01232,;,-- .54. 接51题,该体系地角动量Z 分量地平均值为A.14 . B. -14 . C. 34 . D. -34. 55. 接51题,该体系地能量地平均值为A.-μe s 4218 .B.-3128842μe s .C.-2925642μe s .D.-177242μe s. 56.体系处于ψ=C kx cos 状态,则体系地动量取值为A. k k ,-.B. k .C. - k .D. 12k . 57.接上题,体系地动量取值几率分别为A. 1,0.B. 1/2,1/2.C. 1/4,3/4/ .D. 1/3,2/3.58.接56题, 体系地动量平均值为A.0.B. k .C. - k .D. 12k . 59.一振子处于ψψψ=+c c 1133态中,则该振子能量取值分别为A.3252 ωω,.B. 1252ωω,. C. 3272 ωω,. D. 1252ωω,. 60.接上题,该振子地能量取值E E 13,地几率分别为 A.2321,c c . B.232121c c c +,232123c c c +. C.23211c c c +,23213c c c +. D. 31,c c . 61.接59题,该振子地能量平均值为 A. ω 232123215321c c c c ++. B. 5 ω. C.92ω. D. ω 232123217321c c c c ++. 62.对易关系[ ,()]pf x x 等于(f x ()为x 地任意函数) A.i f x '().B.i f x ().C.-i f x '(). D.-i f x ().63. 对易关系[ ,exp()]piy y 等于 A.)exp(iy . B. i iy exp().C.- exp()iy .D.-i iy exp().64.对易关系[, ]x px 等于 A.i . B. -i . C. . D. - .65. 对易关系[, ]L yx 等于 A.i z. B. z . C.-i z . D.- z . 66. 对易关系[, ]L zy 等于 A.-i x. B. i x . C. x . D.- x . 67. 对易关系[, ]L zz 等于 A.i x . B. i y . C. i . D. 0.68. 对易关系[, ]x py 等于 A. . B. 0. C. i . D. - .69. 对易关系[ , ]pp y z 等于 A.0. B. i x. C. i p x . D. p x . 70. 对易关系[ , ]L L x z等于 A.i L y . B. -i L y . C. L y . D. - L y. 71. 对易关系[ , ]L L z y等于 A.i L x . B. -i L x . C. L x . D. - L x. 72. 对易关系[ , ]L L x2等于 A. L x . B. i L x . C. i L L z y( )+. D. 0. 73. 对易关系[ , ]L L z2等于 A. L z . B. i L z . C. i L L x y( )+. D. 0. 74. 对易关系[, ]L px y 等于 A.i L z . B. -i L z. C. i p z . D. -i p z . 75. 对易关系[ , ]p L z x等于 A.-i p y . B. i p y . C.-i L y . D. i L y. 76. 对易关系[ , ]L p zy 等于 A.-i p x . B. i p x . C. -i Lx . D. i L x . 77.对易式[ , ]Lx y 等于 A.0. B. -i z . C. i z . D. 1. 78. 对易式[ , ]FF m n 等于(m,n 为任意正整数) A. F m n +. B. F m n -. C. 0. D. F . 79.对易式[ , ]FG 等于 A. FG . B. GF . C. FG GF -. D. FG GF +. 80. .对易式[ ,]Fc 等于(c 为任意常数) A.cF . B. 0. C. c . D. F ˆ. 81.算符 F和 G 地对易关系为[ , ] F G ik =,则 F 、 G 地测不准关系是 A.( )( )∆∆F G k 2224≥. B. ( )( )∆∆F G k 2224≥. C. ( )( )∆∆F G k 2224≥. D. ( )( )∆∆F G k 2224≥. 82.已知[ , ]x p i x = ,则 x 和 p x 地测不准关系是 A.( )( )∆∆x p x 222≥ . B. ( )( )∆∆x p 2224≥ . C. ( )( )∆∆x p x 222≥ . D. ( )( )∆∆x p x 2224≥ . 83. 算符 L x 和 L y 地对易关系为[ , ] L L i L x y z = ,则 L x 、 L y 地测不准关系是A.( )( ) ∆∆L L L x y z 22224≥ . B.( )( ) ∆∆L L L x y 22224≥ . C.( )( ) ∆∆F G L z 22224≥ . D.( )( ) ∆∆F G L 22224≥ . 84.电子在库仑场中运动地能量本征方程是A.[]-∇+= 2222μψψze rE s . B. []-∇+= 22222μψψze rE s . C.[]-∇-= 2222μψψze rE s . D.[]-∇-= 22222μψψze rE s . 85.类氢原子体系地能量是量子化地,其能量表达式为A.-μz e n s 22222. B. -μ224222z e n s . C.-μze n s 2222 . D. -μz e n s 24222 . 86. 在一维无限深势阱U x x a x x a (),,,=<<∞≤≥⎧⎨⎩000中运动地质量μ为地粒子,其状态为 ψππ=42a a x a x sin cos ,则在此态中体系能量地可测值为 A.22222229,2aa μπμπ , B. πμπμ2222222 a a , , C.323222222πμπμ a a ,, D.524222222πμπμ a a, . 87.接上题,能量可测值E 1、E 3出现地几率分别为A.1/4,3/4.B. 3/4,1/4.C.1/2, 1/2.D. 0,1.88.接86题,能量地平均值为A.52222πμ a ,B.2222πμ a ,C.72222πμ a ,D.5222πμ a . 89.若一算符 F地逆算符存在,则[ , ]F F -1等于 A. 1. B. 0. C. -1. D. 2. 90.如果力学量算符 F和 G 满足对易关系[ , ]F G =0, 则 A. F和 G 一定存在共同本征函数,且在任何态中它们所代表地力学量可同时具有确定值. B. F和 G 一定存在共同本征函数,且在它们地本征态中它们所代表地力学量可同时具有确定值.C. F和 G 不一定存在共同本征函数,且在任何态中它们所代表地力学量不可能同时具有确定值.D. F和 G 不一定存在共同本征函数,但总有那样态存在使得它们所代表地力学量可同时具有确定值.91.一维自由粒子地能量本征值A. 可取一切实数值.B.只能取不为负地一切实数.C.可取一切实数,但不能等于零.D.只能取不为正地实数.92.对易关系式[ , ()]pp f x x x 2等于 A.-i pf x x '()2. B. i p f x x '()2 . C.-i pf x x ()2. D. i p f x x ()2. 93.定义算符y x L i L L ˆˆˆ±=±, 则[ , ]L L +-等于 A.z L ˆ . B.2 L z . C.-2 L z. D.z L ˆ -. 94.接上题, 则[ , ]L L z+等于 A. L +. B. L z . C. -+ L . D. - L z . 95. 接93题, 则[ , ]L L z-等于 A. L -. B. L z . C. -- L . D. - L z . 96.氢原子地能量本征函数ψθϕθϕnlm nl lm r R r Y (,,)()(,)=A.只是体系能量算符、角动量平方算符地本征函数,不是角动量Z 分量算符地本征函数.B.只是体系能量算符、角动量Z 分量算符地本征函数,不是角动量平方算符地本征函数.C.只是体系能量算符地本征函数,不是角动量平方算符、角动量Z 分量算符地本征函数.D.是体系能量算符、角动量平方算符、角动量Z 分量算符地共同本征函数.97.体系处于ψ=+c Y c Y 111210态中,则ψA.是体系角动量平方算符、角动量Z 分量算符地共同本征函数.B.是体系角动量平方算符地本征函数,不是角动量Z 分量算符地本征函数.C.不是体系角动量平方算符地本征函数,是角动量Z 分量算符地本征函数.D.即不是体系角动量平方算符地本征函数,也不是角动量Z 分量算符地本征函数.98.对易关系式[ , ]FGH 等于 A.[ , ] [ , ]FH G F G H +. B. [ , ] F H G C. [ , ]FG H . D. [ , ] [ , ]F H G F G H -. 99.动量为p '地自由粒子地波函数在坐标表象中地表示是)'ex p(21)('x p i x Pπψ=,它在动量表象中地表示是A.δ(')p p -.B.δ(')p p +.C.δ()p .D.δ(')p .100.力学量算符 x对应于本征值为x '地本征函数在坐标表象中地表示是 A.δ(')x x -. B.δ(')x x +. C.δ()x . D.δ(')x .101.一粒子在一维无限深势阱中运动地状态为)(22)(22)(21x x x ψψψ-=,其中ψ1()x 、ψ2()x 是其能量本征函数,则ψ()x 在能量表象中地表示是A.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 02/22/2.B.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛- 02/22/2.C.222200//⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪.D.222200//-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪. 102.线性谐振子地能量本征函数ψ1()x 在能量表象中地表示是A.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 001.B. ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 010.C. 1000⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪.D. 0100⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪. 103. 线性谐振子地能量本征函数)()(10x b x a ψψψ+=在能量表象中地表示是A.⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++ 0//2222b a b b a a . B. ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++0//02222b a b b a a . C. ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 0b a . D. 00a b ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪. 104.在( , L L z 2)地共同表象中,波函数φ=⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪22101,在该态中 L z 地平均值为 A. . B. - . C. 2 . D. 0.105.算符 Q 只有分立地本征值{}Q n ,对应地本征函数是{()}u x n ,则算符 (,)F x i x∂∂在 Q 表象中地矩阵元地表示是A.F u x F x i xu x dx mn n m =⎰*()(,)() ∂∂. B.F u x F x i xu x dx mn m n =⎰*()(,)() ∂∂. C.F u x F x i xu x dx mn n m =⎰()(,)()* ∂∂. D.F u x F x i xu x dx mn m n =⎰()(,)()* ∂∂. 106.力学量算符在自身表象中地矩阵表示是A. 以本征值为对角元素地对角方阵.B. 一个上三角方阵.C.一个下三角方阵.D.一个主对角线上地元素等于零地方阵.107.力学量算符xˆ在动量表象中地微分形式是 A.-i p x ∂∂. B.i p x∂∂. C.-i p x 2∂∂. D.i p x 2∂∂. 108.线性谐振子地哈密顿算符在动量表象中地微分形式是A.p p 22222212μμω∂∂+ .B.p p2222212μμω∂∂-. C.22222212p p ∂∂μωμ -. D.--p p 2222212μμω∂∂. 109.在 Q表象中F =⎛⎝ ⎫⎭⎪0110,其本征值是 A. ±1. B. 0. C. ±i . D. 1±i .110.接上题, F 地归一化本征态分别为A.22112211⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪,.B. 1111⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪,.C. 12111211⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪,.D.22102201⎛⎝ ⎫⎭⎪⎛⎝ ⎫⎭⎪,. 111.幺正矩阵地定义式为A.S S +-=.B.S S +=*.C.S S =-.D.S S *=-.112.幺正变换A.不改变算符地本征值,但可改变其本征矢.B.不改变算符地本征值,也不改变其本征矢.C.改变算符地本征值,但不改变其本征矢.D.即改变算符地本征值,也改变其本征矢.113.算符 ()( )/a x i p =+μωμω212 ,则对易关系式[ , ]a a +等于 A. [ , ]aa +=0. B. [ , ]a a +=1. C. [ , ]aa +=-1. D. [ , ]a a i +=. 114.非简并定态微扰理论中第n 个能级地表达式是(考虑二级近似)A.E H H E E n nn mn n m m ()()()''0200++-∑.B. E H H E E nnn mn n m m ()()()'''0200++-∑. C.E H H E E nnn mn m n m ()()()'''0200++-∑. D.E H H E E n nn mn m nm ()()()''0200++-∑.115. 非简并定态微扰理论中第n 个能级地一级修正项为A.H mn '.B.H nn '.C.-H nn '.D.H nm '.116. 非简并定态微扰理论中第n 个能级地二级修正项为A.H E E mn n m m '()()200-∑.B. ''()()H E E mn n m m 200-∑.C. ''()()H E E mn m n m 200-∑. D. H E E mn m n m '()()200-∑.117. 非简并定态微扰理论中第n 个波函数一级修正项为A.H E E mn n mm m '()()()000-∑ψ. B. ''()()()H E E mn nm m m 000-∑ψ. C. ''()()()H E E mn mn m m 000-∑ψ. D. H E E mn m n m m '()()()000-∑ψ. 118.沿x 方向加一均匀外电场 ε,带电为q 且质量为μ地线性谐振子地哈密顿为 A. H d dx x q x =-++ 22222212μμωε. B. H d dx x q x =-++ 2222212μμωε. C. H d dx x q x =-+- 2222212μμωε. D. H d dx x q x =-+- 22222212μμωε. 119.非简并定态微扰理论地适用条件是A.H E E mk k m '()()001-<<.B. H E E mk k m'()()001+<<. C. H mk '<<1. D. E E k m ()()001-<<.120.转动惯量为I ，电偶极矩为 D 地空间转子处于均匀电场 ε中,则该体系地哈密顿为A.ε ⋅+=D I L H 2ˆˆ2.B. ε ⋅+-=D IL H 2ˆˆ2. C. ε ⋅-=D I L H 2ˆˆ2. D. ε ⋅--=D IL H 2ˆˆ2. 121.非简并定态微扰理论中,波函数地一级近似公式为A.ψψψn n nm nm m m H E E =+-∑()()()()''0000. B.ψψψn n mn n mm m H E E =+-∑()()()()''0000. C.ψψψn n mn m nm m H E E =+-∑()()()()''0000. D.ψψψn n nm mn m m H E E =+-∑()()()()''0000. 122.氢原子地一级斯塔克效应中,对于n =2地能级由原来地一个能级分裂为A. 五个子能级.B. 四个子能级.C. 三个子能级.D. 两个子能级.123.一体系在微扰作用下,由初态Φk 跃迁到终态Φm 地几率为A.202' )'ex p(' 1⎰t mk mk dt t i H ω . B. 20' )'ex p('⎰t mk mk dt t i H ω. C.202')' ex p(1⎰tmk mk dt t i Hω . D. 20 ' )'ex p(⎰t mk mk dt t i Hω.124.用变分法求量子体系地基态能量地关键是A. 写出体系地哈密顿.B. 选取合理地尝试波函数.C. 计算体系地哈密顿地平均值.D. 体系哈密顿地平均值对变分参数求变分.125.Stern-Gerlach 实验证实了A. 电子具有波动性.B.光具有波动性.C. 原子地能级是分立地.D. 电子具有自旋. 126. S 为自旋角动量算符,则[ , ]S S y x等于 A.2i . B. i . C. 0 .D. -i S z . 127. σ为Pauli 算符,则[ , ]σσx z 等于 A.-i y σ. B. i y σ. C.2i y σ. D.-2i y σ. 128.单电子地自旋角动量平方算符 S2地本征值为 A.142 . B.342 . C.322 . D.122 . 129.单电子地Pauli 算符平方地本征值为A. 0.B. 1.C. 2.D. 3.130.Pauli 算符地三个分量之积等于A. 0.B. 1.C. i .D. 2i . 131.电子自旋角动量地x 分量算符在 S z 表象中矩阵表示为 A. S x =⎛⎝ ⎫⎭⎪ 21001. B. S i i x =-⎛⎝ ⎫⎭⎪ 200. C. S x=⎛⎝ ⎫⎭⎪ 20110. D. S x =-⎛⎝ ⎫⎭⎪ 21001. 132. 电子自旋角动量地y 分量算符在 S z 表象中矩阵表示为 A. S y =⎛⎝ ⎫⎭⎪ 21001. B. S i y =-⎛⎝ ⎫⎭⎪ 20110. C. S i i i y =-⎛⎝ ⎫⎭⎪ 200. D. S i i y =⎛⎝ ⎫⎭⎪ 200. 133. 电子自旋角动量地z 分量算符在 S z表象中矩阵表示为A. S z =⎛⎝ ⎫⎭⎪ 21001.B. S z =-⎛⎝ ⎫⎭⎪ 20110. C. S z=-⎛⎝ ⎫⎭⎪ 21001. D. S i z =-⎛⎝ ⎫⎭⎪ 21001. 134. , J J 12是角动量算符, J J J =+12,则[ , ] J J 212等于 A. J 1. B. - J 1. C. 1 . D. 0 . 135.接上题, [ , ] J J z 12等于A. i J J x y ( )11+.B.i J z 1.C. J z 1.D. 0. 136.接134题, ]ˆ,ˆ[12z J J 等于A. i J J x y ( )11+.B.i J z 1.C. J z 1.D. 0. 137.一电子处于自旋态χχχ=+-a s b s z z 1212//()()中,则s z 地可测值分别为A.0, .B. 0,- .C.22,. D. 22,-. 138.接上题,测得s z 为 22,-地几率分别是 A.a b ,. B. a b 22,. C.a b 2222/,/. D. a a b b a b 222222/(),/()++.139.接137题, s z 地平均值为 A. 0. B.)(222b a - . C. )22/()(2222b a b a +- . D. . 140.在s z 表象中,χ=⎛⎝ ⎫⎭⎪3212//,则在该态中s z 地可测值分别为 A. ,-. B. /,2. C. /,/22-. D. ,/-2.141.接上题,测量s z 地值为 /,/22-地几率分别为A.3212/,/.B.1/2,1/2.C.3/4,1/4.D.1/4, 3/4.142.接140题,s z 地平均值为A. /2.B. /4.C.- /4.D.- /2.143.下列有关全同粒子体系论述正确地是A.氢原子中地电子与金属中地电子组成地体系是全同粒子体系.B.氢原子中地电子、质子、中子组成地体系是全同粒子体系.C.光子和电子组成地体系是全同粒子体系.D.α粒子和电子组成地体系是全同粒子体系.144.全同粒子体系中,其哈密顿具有交换对称性,其体系地波函数A.是对称地.B.是反对称地.C.具有确定地对称性.D.不具有对称性.145.分别处于p 态和d 态地两个电子,它们地总角动量地量子数地取值是A. 0,1,2,3,4.B.1,2,3,4.C. 0,1,2,3.D.1,2,3.(二) 填空题pton 效应证实了 .2.Bohr 提出轨道量子化条件地数学表达式是 .3.Sommerfeld 提出地广义量子化条件是 .4.一质量为μ地粒子地运动速度远小于光速，其动能为E k ，其德布罗意波长为 .5.黑体辐射和光电效应揭示了 .6.1924年,法国物理学家De Broglie 提出了微观实物粒子具有 .7.自由粒子地De Broglie 波函数为 .8.用150伏特电压加速地电子，其De Broglie 波地波长是 .9.玻恩对波函数地统计解释是 . 10.一粒子用波函数Φ(,) r t 描写,则在某个区域dV 内找到粒子地几率为 .11.描写粒子同一状态地波函数有个 .12.态迭加原理地内容是 .13.一粒子由波函数ψ(,)(,)exp()x t c p t i px dp =-∞∞⎰12π 描写，则c p t (,)= .14.在粒子双狭缝衍射实验中，用ψ1和ψ2分别描述通过缝1和缝2地粒子地状态,则粒子在屏上一点P 出现地几率密度为 .15.一维自由粒子地薛定谔方程是 .16.N 个粒子体系地薛定谔方程是 .17.几率连续性方程是由导出地.18.几率连续性方程地数学表达式为 .19.几率流密度矢量地定义式是 . 20.空间V 地边界曲面是S ，w 和 J 分别是粒子地几率密度和几率流密度矢量，则⎰⎰⋅-=∂∂V S S d J dV t w 地物理意义是 .21.量子力学中地质量守恒定律是 .22.量子力学中地电荷守恒定律是 .23.波函数应满足地三个标准条件是 .24.定态波函数地定义式是 . 25.粒子在势场U r () 中运动，则粒子地哈密顿算符为 .26.束缚态地定义是 .27.线性谐振子地零点能为 .28.线性谐振子地两相邻能级间距为 .29.当体系处于力学量算符 F地本征态时,力学量F 有确定值，这个值就是相应该态地 .30.表示力学量地算符都是 .31.厄密算符地本征值必为 .32.ψψτp p r r d '*()()⎰= . 33.角动量平方算符地本征值为 .34.角动量平方算符地本征值地简并度为 .35.氢原子能级n =5地简并度为 .36.氢原子地能级对角量子数l 简并，这是场所特有地.37.一般来说，碱金属原子地价电子地能级地简并度是 .38.氢原子基态地电离能为 .39.氢原子体系n =2地能量是 .40.处于ψθϕ200(,,)r 态地氢原子,其电子地角向几率分布是 .41.厄密算符本征函数地正交归一性地数学表达式是 .42.厄密算符属于不同本征值地本征函数 .43.力学量算符 F 地本征函数系为{()}φn x ，则本征函数系{()}φnx 地完全性是 .44.当体系处于ψφ()()x c x nn n =∑态时，其中{()}φn x 为 F地本征函数系，在ψ()x 态中测量力学量F 为其本征值λn 地几率是 .45.一力学量算符 F既有分立谱又有连续谱，则 F 在任意态ψ()x 地平均值为 .46.如果两个力学量算符有组成完全系地共同本征函数，则这两个算符 .47.完全确定三维空间地自由粒子状态需要三个力学量，它们是 .48.测不准关系反映了微观粒子地 .49.若对易关系[ , ] AB ic =成立，则 , A B 地不确定关系是 .50.如果两个力学量算符对易，则在中它们可同时具有确定值.51.电子处于),(23),(211110ϕθϕθ--Y Y 态中，则电子角动量地z 分量地平均值为 .52.角动量平方算符与角动量x 分量算符地对易关系等于 .53. 角动量x 分量算符与动量地z 分量算符地对易关系等于 .54. 角动量y 分量算符与坐标地z 分量算符地对易关系等于 .55.=]ˆ,ˆ[y p y. 56.粒子地状态由kx x cos )(=ψ描写，则粒子动量地平均值是 .57.一维自由粒子地动量本征函数是 .58.角动量平方算符地本征值方程为 . 59.若不考虑电子地自旋，描写氢原子状态所需要地力学量地完全集合是 .60.氢原子能量是考虑了得到地.61.量子力学中，称为表象.62.动量算符在坐标表象地表达式是 .63.角动量算符在坐标表象中地表示是 .64.角动量y 分量地算符在坐标表象中地表示是 .65.角动量z 分量地算符在坐标表象中地表示是 .66.波函数),(t x ψ在动量表象中地表示是 .67.在动量表象中，具有确定动量p '地粒子，其动量算符地本征方程是 .68.已知 Q 具有分立地本征值{}Q n ，其相应本征函数为{()}u x n，则任意归一化波函数ψ(,)x t 可写为ψ(,)()()x t a t u x n n n=∑，则ψ(,)x t 在Q 表象中地表示是 .69.量子力学中 Q 地本征函数为{()}u x n(n=1,2,3,...)有无限多, 称为Hilbert 空间.70.接68题，力学量算符 (,)F x i x∂∂在Q 表象中地矩阵元地数学表达式为 .71.量子力学中，表示力学量算符地矩阵是矩阵.72.接68题,力学量算符 (,)Q x i x∂∂在自身表象中地表示是 .73.力学量算符在自身表象中地矩阵是矩阵.74.力学量算符 (,)F x i x ∂∂在坐标表象中地矩阵元为 .75.幺正矩阵满足地条件是 .76.幺正变换不改变力学量算符地 .77.幺正变换不改变矩阵F 地 .78.力学量算符 x在动量表象中地微分形式是 .79.坐标表象中地薛定谔方程是),()](2[),(22t r r U t r t i ψ+∇-=ψμ∂∂，它在动量表象中地表示是 .80.线性谐振子地哈密顿算符在动量表象中地微分形式是 .81.非简并定态微扰理论中，能量二级近似值为 .82.非简并定态微扰理论中，波函数地一级近似表示为 .83.非简并定态微扰理论地适用条件是 .84.Stark 效应是 . 85.氢原子处于弱电场 ε中，其体系地微扰哈密顿是 .86.在微扰作用下，t 时刻由Φk 态到Φm 态地跃迁几率是 .87.1925年，Ulenbeck 和Goudsmit 提出每个电子具有自旋角动量 S ，它在空间任何方向地投影只能取两个数值，即是 .88.Stern-Gerlach 实验证实了 .89.Pauli 算符 , σσx z 地反对易关系式是 .90.自旋角动量算符地定义式为 .91.自旋角动量算符 S x 在zS 表象中地矩阵表示是 . 92.自旋角动量算符 S y在z S 表象中地矩阵表示是 . 93.自旋角动量算符 S z 属于本征值- 2地本征函数在S z 表象中地矩阵表示是 .94.Pauli 算符 , σσx z 地积算符在z σ表象中地矩阵表示是 .95.全同性原理地内容是 .96.全同粒子体系地哈密顿具有对称性.97.全同粒子体系地波函数具有确定对称性，这种对称性不随改变.98.如果全同粒子体系地波函数是反对称地，则组成该体系地全同粒子一定是 .99.Pauli 原理地内容是 .100.自旋算符无经典对应力学量，这纯属于 .（三）判断题（说明必要地理由）1.量子力学是18世纪20年代诞生地科学.2.量子力学地建立始于人们对光地波粒二象性地认识.3.量子地概念是由爱因斯坦提出地.4.光量子地概念首先由普朗克引入.5.按照光地电磁理论，光地强度与频率有关.6.黑体必须是表面很黑地物体.7.普朗克常数起重要作用地现象可称为量子现象.8.按玻尔理论，谐振子不存在零点能.9.玻尔理论认为微观粒子是质点.10.微观实物粒子地波粒二象性由玻尔首先提出.11.自由粒子地能级是简并地.12.任意态地几率流密度都与时间无关.13.波函数归一化后就完全确定.14.波函数通常不可能是纯实数或纯虚数.15.波函数就是描写系统状态地态函数.16.波函数不是物理量.17.由波函数可以确定微观粒子地轨道.18.量子力学中自由粒子地概念比经典力学宽广地多.19.量子力学中地物理量都是分立地.20.无限深势阱越宽就越接近经典规律.21.量子力学中用算符表示微观粒子地力学量.22.量子力学仅讨论在经典物理中存在地力学量.23.量子力学中地算符都是幺正算符.24.角量子数为零地态称为s 态.25.角量子数为1地态称为p 态.26.当氢原子体系地能量大于零时，其电子地状态是束缚态.27.辏力场就是库仑场.28.库仑场一定是辏力场.29.辏力场一定是库仑场.30.约化质量又称为折合质量.31.无论是属于相同本征值还是不同本征值地本征函数都必定相互正交.32.若Aˆ与B ˆ对易，且B ˆ与C ˆ对易，则A ˆ与C ˆ对易. 33.力学量地平均值一定是实数.34.若两个算符不对易，则它们不可能同时有确定值.35.正是由于微观粒子地波粒二象性才导致了测不准关系.36.测不准关系只适用于不对易地物理量.37.量子力学中力学量算符地对易关系没有传递性.38.量子力学地矩阵力学首先由薛定谔建立.39.对应一个本征值有几个本征函数就是几重简并.40.归一化包括真实归一和归到δ函数.41.泡利首次提出电子具有自旋地假设.42.自旋角动量算符与轨道角动量算符地引入方式不同，因而不能满足同一个对易关系.43.塞曼效应与电子地自旋有关.44.电子是玻色子，光子是费米子.45.全同粒子体系波函数地对称性将随时间发生改变.46.泡利不相容原理仅适用于玻色子系统.47.两电子地自旋反平行态为三重态.48.对单电子来说，三个泡利矩阵相乘地结果为单位矩阵.49.电子地波函数是三行一列地矩阵.50.泡利矩阵地表示不因表象地改变而改变.(四)名词解释1.量子现象2.光地波粒二象性3.德布罗意公式4.光子5.脱出功6.黑体7.微观实物粒子地波粒二象性8.Bohr 地原子量子论9.态迭加原理10.波函数地标准条件11.定态12.束缚态13.几率波14.归一化波函数15.几率流密度矢量16.线性谐振子地零点能17.厄密算符18.简并度19.力学量地完全集合20.箱归一化21.函数地正交性22.角动量算符23.力学量算符地本征函数地正交归一性24.氢原子地赖曼线系25.表象26.希耳伯特空间 27.幺正变换 28.狄喇克符号 29.占有数表象30.粒子地湮灭算符和产生算符 31.厄密矩阵及其特点 32.能量表象（五）证明题1.证明在定态中，几率流密度矢量与时间无关.2.证明厄密算符地本征值为实数.3.证明坐标算符 x和动量算符 p x 为厄密算符. 4.证明对于非简并情况，厄密算符属于不同本征值地本征函数相互正交.5.已知力学量算符 F 地本征函数系{()}φnx 具有完全性，有一归一化地波函数ψφ()()x c x n n n=∑,证明c n n21=∑.6.已知 ()()F x x n n nφλφ=，则算符 F 在归一化波函数ψ()x 中地平均值为F x F x dx =⎰ψψ*() ()，证明F x F x dx c n n n==⎰∑ψψλ*() ()2，其中 c x x dx n n =⎰φψ*()().7.证明[ ,()]'()pf x i f x x =- ，其中f x ()为x 地任一函数. 8.证明如果两个算符有完全地共同本征函数系，则这两个算符必对易.9.证明氢原子中电子运动所产生地电流密度在球坐标中地分量是J J er e ==θ0，J e m r e nlm ϕμθψ=-sin 2.10.证明在Y lm (,)θϕ态中， p x 和 p y 地平均值等于零. 11.一维体系地哈密顿算符 ()Hp U x =+22μ具有分立谱，证明该体系地动量在能量本征态中地平均值等于零.12.证明对易关系[ , ]L L z20=. 13.在 Lz地本征态下，证明L L x y==0. 14.证明力学量算符地矩阵是厄密矩阵.15.仿上题，并由此证明力学量算符在自身表象中地矩阵表示是对角阵,对角线上地元素依次按其本征值排列.16.粒子作一维运动,其能量本征方程为[()]()()-+= 2222μψψd dx U x x E x n n n ，试证p i E E x mn n m mn =-μ().17.证明动量算符地属于本征值为'p 地本征函数在动量表象中地表示是)'(p p -δ.18.已知力学量算符 Q 地本征方程为 ()()Qu x Q u x n n n =，试证明力学量平均值公式F x t F x i x x t dx =⎰ψψ*(,) (,)(,) ∂∂在 Q 表象中地矩阵表示是∑=n m n mn m t a F t a F ,*)()(，其中⎰=dx x u Fx u F n m mn)(ˆ)(*，⎰ψ=dx t x x u t a nn),()()(*。

北京大学量子力学习题集2

+
p2c2
− mc2
=
mc2
⎛⎜1 + ⎝
p2 m2c2
⎞1/ 2 ⎟ ⎠
− mc2
考虑了 T
与 p 关系的相对论修正至
1阶
c2
T
≈
mc2
⎛ ⎜1
+
⎝
p2 2m2c2
−
p4 8m4c4
⎞ ⎟ ⎠
−
mc2
= p2 − p4 2m 8m3c2
而相对论修正项 − p4 可看作微扰.
8m3c2
由微扰论，基态能量的移动为
+
pz
z
)
⎤ ⎥⎦
c为归一化常数.
[17] 在无限长圆筒中运动粒子的能量设粒子在无限长的圆筒中运动，筒半径为 a , 求粒子能量.
解柱坐标下的Schrodinger方程
⎡ ⎢ ⎣
−
2
2m
⎛ ⎜ ⎝
∂2
∂ρ 2
+
1
ρ
⋅∂
∂ρ
⎞ ⎟
+
⎠
L2z
2mρ 2
−
2
2m
⋅
∂2 ∂z 2
⎤⎥ψ
⎦
=
Eψ
用分离变量法求解方程
可见这里 y = a′ = 4 2 / me2 = 4a0 (a0是Bohr半径) ,表示电子基态最大概率之所在.
(V) 能量完备集为
En, px , pz
= − me4 32 2n2
+
1 2m
(
px2
+
py2 )
波函数为
ψ n, px , py
(r)
=

量子力学基础简答题(经典)(完整资料).doc

【最新整理，下载后即可编辑】量子力学基础简答题1、简述波函数的统计解释；2、对“轨道”和“电子云”的概念，量子力学的解释是什么？3、力学量Gˆ在自身表象中的矩阵表示有何特点？ 4、简述能量的测不准关系；5、电子在位置和自旋z S ˆ表象下，波函数⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ψ),,(),,(21z y x z y x ψψ如何归一化？解释各项的几率意义。

6、何为束缚态？7、当体系处于归一化波函数ψ(,) r t 所描述的状态时，简述在ψ(,)r t 状态中测量力学量F 的可能值及其几率的方法。

8、设粒子在位置表象中处于态),(t rψ,采用Dirac 符号时，若将ψ(,)r t 改写为ψ(,)r t 有何不妥？采用Dirac 符号时，位置表象中的波函数应如何表示？9、简述定态微扰理论。

10、Stern —Gerlach 实验证实了什么？ 11、一个物理体系存在束缚态的条件是什么？ 12、两个对易的力学量是否一定同时确定？为什么？ 13、测不准关系是否与表象有关？14、在简并定态微扰论中，如 ()H 0的某一能级)0(n E ，对应f 个正交归一本征函数i φ（i =1，2，…，f ），为什么一般地i φ不能直接作为()H H H'+=ˆˆˆ0的零级近似波函数？15、在自旋态χ12()s z 中， S x 和 S y的测不准关系( )( )∆∆S S x y 22•是多少？ 16、在定态问题中，不同能量所对应的态的迭加是否为定态Schrodinger 方程的解？同一能量对应的各简并态的迭加是否仍为定态Schrodinger 方程的解？17、两个不对易的算符所表示的力学量是否一定不能同时确定？举例说明。

18说明厄米矩阵的对角元素是实的，关于对角线对称的元素互相共轭。

19何谓选择定则。

20、能否由Schrodinger 方程直接导出自旋？21、叙述量子力学的态迭加原理。

22、厄米算符是如何定义的？23、据[aˆ，+a ˆ]=1，a a N ˆˆˆ+=，n n n N =ˆ，证明：1ˆ-=n n n a 。

量子力学问答题

1. 经典物理学遇到哪些困难？从中得到哪些启示？2. 普朗克为了解释自己提出的经验公式，作了怎样的假定？这一假定的思想与经典思想有何区别？3. 爱因斯坦重新肯定光的粒子性与牛顿的光的微粒说有何区别？4. 普朗克--爱因斯坦关系式有何意义？5. 玻尔量子论的两个重要概念和它的缺陷，玻尔量子理论是否可能揭示出微观粒子运动本质？这什么？6. 在康普顿效应的初步理论中指出，当散射的时候，波长的改变与散射物理性质无关，这个结论是否正确？这个效应与物质的性质有什么关系？7. 徳布罗意提出的实物粒子具有波粒二象性的基本思想是什么？德布罗意关系式与普朗克--爱因斯坦关系式有何区别？8. 德布罗意关系式在有外场时是否成立？怎样理解？9. 微观粒子具有什么特征？有无根据？10. 自由粒子的动能E，若它的速度远小于光速C，则该粒子的德布罗意波长为多少？11. 人们曾经对波的理解有哪两种观点？是否正确？12. 波和粒子的关系究竟如何？电子是粒子还是波？怎样理解？13. 玻恩的统计解释怎样？为什么波函数能描写粒子的一切性质？怎样理解？14. 归一化条件的物理意义是什么？波函数的标准条件是什么？15. 几率波有哪些重要性质？经典波与几率波的根本区别是什么？16. 如何用实验装置来测量粒子的动量？17. 为什么薛定谔方程必须是线性方程？18. 薛定谔方程在量子力学中的地位，如何来建立它？19. 叙述几率流密度矢量的物理意义？20. 什么是定态？处于定态下的粒子具有怎样的特征？21. 在力场中运动的粒子是否可用定态波来描述？22. 薛定谔方程应满足什么条件？23. 自由粒子是什么？24. 人们对物质粒子的波动性早期理解有哪两种较为普遍的观点？为什么这些现象都是片面的，是不正确的？25. 波和粒子的关系究竟如何？怎样理解几率波，为什么说几率波正确地把物质粒子的波动性和原子性统一起来？26. 证明一维运动束缚定态都是不简并的？27. 为什么一维运动束缚定态波函数是实数？28. 什么是束缚态？什么是自由态？什么是基态？束缚态与自由态以能级怎样？29. 什么是能量本征值？什么是能量本征函数？H不变，即能量守恒是否意味着能量一定处于能量本征态中？为什么？30. 何谓透射系数和反射系数，何谓遂道效应，怎样求出透射系数和反射系数？怎样理解反射系数？31. 在什么情况下发生共振透射？怎样理解共振透射？32. 线性谐振子的能谱怎样？与旧量子论有何区别？33. 在几率分布中有波节存在，粒子怎样通过几率为0的点？34. 什么叫算符？量子力学的算符有何性质？35. 量子力学中为什么要引进算符来表示力学量？36. 证明在任何状态下，厄密算符的平均值都是实数，其定理也成立。

量子力学试题含答案

一、填空题：（每题 4 分，共 40 分）1. 微观粒子具有波粒二象性。

2．德布罗意关系是粒子能量E 、动量P 与频率ν、波长λ之间的关系，其表达式为：E=h ν, p=/h λ 。

3．根据波函数的统计解释，dx t x 2),(ψ的物理意义为：粒子在x —dx 范围内的几率。

4．量子力学中力学量用厄米算符表示。

5．坐标的x 分量算符和动量的x 分量算符x p 的对易关系为：[],x p i = 。

6．量子力学关于测量的假设认为：当体系处于波函数ψ(x)所描写的状态时，测量某力学量F 所得的数值，必定是算符Fˆ的本征值。

7．定态波函数的形式为： t E in n ex t x-=)(),(ϕψ。

8．一个力学量A 为守恒量的条件是：A 不显含时间，且与哈密顿算符对易。

9．根据全同性原理，全同粒子体系的波函数具有一定的交换对称性，费米子体系的波函数是_反对称的_____________,玻色子体系的波函数是_对称的_______ _。

10．每个电子具有自旋角动量S ，它在空间任何方向上的投影只能取两个数值为： 2± 。

二、证明题：（每题10分，共20分）1、（10分）利用坐标和动量算符的对易关系，证明轨道角动量算符的对易关系：证明：zy x L i L L ˆ]ˆ,ˆ[ =]ˆˆ,ˆˆ[]ˆ,ˆ[z x y z yx p x p z p z p y L L --=2、（10分）由Schr ödinger 方程证明几率守恒：其中几率密度几率流密度证明：考虑 Schr ödinger 方程及其共轭式：2|),(|),(),(),(t r t r t r t rψ=ψψ=*ω22(,)[()](,)2i r t V r r t t μ∂ψ=-∇+ψ∂0=∙∇+∂∂J tω][2ψ∇ψ-ψ∇ψ=**μi J ]ˆˆ,ˆ[]ˆˆ,ˆ[z x y z x z p x p z p z p x p z py ---=]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[z y x y z z x z p x p z p z p z p x p y p z py +--=]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[z y x z p x p z p z py +=y z z y z x x z p p x z p x p z p p z y p z py ˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[ˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[+++=y z x z p p x z p z py ˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[+=y z y z x z x z p p x z p p z x p z p y p pyz ˆˆ],[ˆ]ˆ,[ˆ],ˆ[]ˆ,ˆ[+++=y x p i x pi y ˆ)(ˆ)( +-=]ˆˆ[x y p y px i -= zL i ˆ =在空间闭区域τ中将上式积分，则有：三、计算题：（共40分）1、（10分）设氢原子处于状态),()(23),()(21),,(11211021ϕθϕθϕθψ--=Y r R Y r R r 求氢原子能量E 、角动量平方L 2、角动量Z 分量L Z 的可能值及这些可能值出现的几率。

11量子试题

，写出⨯是否成立？为什么？（p r描述微观粒子运动方程为什么对时间的导数必须是一阶的？、自旋为1/2的全同粒子，同处于如下势场2011年量子力学试题参考答案及评分标准一、回答问题：（共90分）略二、（15分）单电子波函数及能量为：()sin(),(0);n n xx x a aπϕ=<<2222n n E ma π=, n=1,2,3… (5分) 二粒子体系总波函数应是反对称的：(1,2)(1,2)(1,2)A s A ϕχΦ=或 (1,2)(1,2)(1,2)A A s ϕχΦ= (4分)基态：22011(1)(2)E E E maπ=+=[]000(1,2)(1)(2)(1)(2)(2)(1)ϕαβαβΦ=-，不简并。

（3分）第一激发态： 22112215(1)(2)(1)(2)2E E E E E maπ=+=+=]][][]010110101(1)(2)(1)(2)(2)(1)(1)(2)(1)(2)(2)(1)1(1)(2)(2)(1)(1)(2)(2)(1)2A s s A ααϕχϕϕϕϕββαβαβϕχϕϕϕϕαβαβ⎧⎧⎪⎪=-⎨⎪⎪Φ=+⎨⎪⎪=+⋅+⎪⎩ 四重（3分）三、（共15分）12311(0)22ψφφ=++（7分） 12312311()222i i i E t E t E t t e e eψφφφ---=++ （8分）四、（共15分）（1）因为：100211100210(,)))z r s ψαβ=+ （5分）测量测量能量2E E =的概率 = 3/10 + 3/10 = 6/10 = 3/5 （3分）（2）H 的平均值22212223323111()()1010101052524202e e e H E E a a a=+++=-⋅-⋅⋅=-⋅ （5分）222212n e E a a n eμ=-= z L 的平均值 22333()010********z L =+++= （2分）五、(15分)（1）因ˆ()(),1,2i i i A r ar i ψψ==; AB BA = （2分）所以，()()()i i i i AB r BA r a B r ψψψ==，（5分）则 ˆ()(1,2)iB r i ψ=也分别为A ˆ的属于本征值为1α和2α的本征函数。

北京师范大学考博量子力学真题

北京师范大学考博量子力学真题
2011年北京师范大学考博量子力学真题
1. 一维自由粒子的波函数为222
1
4
x x e
ααϕ
π
-（）=,求粒子
的动量分布几率？
2. 有一个定域的电子受到x 方向磁场B 的作用（不考虑轨道运动）X H ωσ=，设t=0时的自旋
朝上（2
z
S
=
），（A ）.求t 〉0时电子的自旋态？（B.） z
S 的可能测值、几率、
平均值？
3. t=0时氢原子的波函数为100
21021-11
(r,0)=+2+3
ϕϕϕϕ（2）
，忽
略自旋和跃迁，（a ）.求能量H 和2
L 、z
l 的测
值，几率和平均值分别是多少？（b ）.t 时刻波函数
4. 约束在宽为a 的无限深势阱中的质量为m 的粒子，受到微扰'
H =bx 的作用，试求基态能的
一级修正？
5. 角动量自旋、轨道相互作用可以表示为J=L+S ，j
ljm φ是2
J 、2
L 、2
S 、z
J 的共同本征态，现
在一电子处于31222
=ϕφ，，，试计算（a ）z
l 的可能测
值、几率和平均值？（b ）z
S 的可能测值、几率
和平均值？。