平行线中的“折线”问题的教与练
(完整版)平行线及其判定与性质练习题
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平行线及其判定1、基础知识(1)在同一平面内,______的两条直线叫做平行线.若直线a与直线b 平行,则记作______.(2)在同一平面内,两条直线的位置关系只有______、______.(3)平行公理是:.(4)平行公理的推论是如果两条直线都与______,那么这两条直线也______.即三条直线a、b、c,若a∥b,b∥c,则______.(5)两条直线平行的条件(除平行线定义和平行公理推论外):①两条直线被第三条直线所截,如果______,那么这两条直线平行,这个判定方法1可简述为:______,两直线平行.②两条直线被第三条直线所截,如果__ _,那么,这个判定方法2可简述为: ______,______.③两条直线被第三条直线所截,如果_ _____那么______,这个判定方法3可简述为:2、已知:如图,请分别依据所给出的条件,判定相应的哪两条直线平行?并写出推理的根据.(1)如果∠2=∠3,那么_____.(_______,_______)(2)如果∠2=∠5,那么________。
(______,________)(3)如果∠2+∠1=180°,那么_____。
(________,______)(4)如果∠5=∠3,那么_______。
(_______,________)(5)如果∠4+∠6=180°,那么______.(_______,_____)(6)如果∠6=∠3,那么________。
(________,_________)3、已知:如图,请分别根据已知条件进行推理,得出结论,并在括号内注明理由.(1)∵∠B=∠3(已知),∴______∥______。
(______,______)(2)∵∠1=∠D(已知),∴______∥______.(______,______)(3)∵∠2=∠A(已知),∴______∥______.(______,______)(4)∵∠B+∠BCE=180°(已知),∴______∥______。
23.1.2平行线分线段成比例
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23.1.2平行线分线段成比例(难点练)一、单选题1.(2019·山东菏泽市·)如图,四边形ABCD 中,6BC =,AB BC ^,BC CD ^,E 为AD 的中点,F 为线段BE 上的点,且12FE BE =,则点F 到边CD 的距离是( )A .3B .103C .4D .1432.(2020·陕西九年级)如图,在矩形ABCD 中,∠CBN 的正弦值等于13,BN 与CD 交于点N ,∠BND 的平分线NM 与AD 交于点M ,若CD =7,DM =2AM ,则AD 的长为( )A .B .C .8D .9二、填空题3.(2020·浙江温州·九年级期中)如图,在矩形ABCD 中,6AB =,8AD =.连接BD ,DBC Ð的角平分线BE 交DC 于点E ,现把BCE V 绕点B 逆时针旋转,记旋转后的BCE V 为BC E ¢¢△.当射线BE ¢和射线BC ¢都与线段AD 相交时,设交点分别为F ,G .若BFD △为等腰三角形,则线段DG 长为______.4.(2021·黑龙江)如图,在平面直角坐标系中,直线1y x =+与x 轴交于点A 与y 轴交于点B ,点O 为坐标原点,C 1为AB 中点,过C 1作C 1A 1⊥OA 于点A 1,连接OC 1,△OA 1C 1面积记为S 1;C 2为AC 1中点,过C 2作C 2A 2⊥OA 于点A 2,连接OC 2,△OA 2C 2面积记为S 2;C 3为AC 2中点,过C 3作C 3A 3⊥OA 于点A 3,连接OC 3,△OA 3C 3面积记为S 3……以此类推,面积为S 2021为_____________.5.(2020·天津和平·九年级)如图,在正方形ABCD 中,点E 是对角线BD 上一点,连接AE ,将DE 绕D 点逆时针方向旋转90°到DF ,连接BF ,交DC 于点G ,若DG =3,CG =2,则线段AE 的长为__.6.(2020·安徽淮南·)如图,在ABC V 中,ABC Ð和ACB Ð的平分线相交于点O ,过点O 作EF BC ∥交AB 于点E ,交AC 于点F ,OD AC ^交AC 于点D ,连接AO .给出以下四个结论:①若80BAC Ð=°,120BOC Ð=°;②EO FOAE AF=;③AO 平分BAC Ð;④若8AE AF +=,3OD =,则12AEF S =△.其中正确的有________.(把所有正确结论的序号都选上)7.(2020·浙江温州·九年级期末)图1是我校闻澜阁前楼梯原设计稿的侧面图,//AD BC ,90C Ð=°,楼梯AB 的坡比为1:为了增加楼梯的舒适度,将其改造成如图2,测量得218BD AB m ==,M 为BD 的中点,过点M 分别作//BC MN 交ABD Ð的角平分线于点N ,//MP BN 交AD 于点P ,其中BN 和MP 为楼梯,MN 为平地,则平地MN 的长度为_________8.(2020·哈尔滨市第四十九中学校九年级学业考试)如图,在ABC D 中,90BAC Ð=°,AB AC =,D 是BC 上一点,E 是BA 延长线上一点,且点E 在线段DC 的垂直平分线上,连接CE ,若:3:1BD DC =,3AE =,则CD =_______.三、解答题9.(2020·吉林九年级)如图,在▱ABCD 中,∠ABD=90°,AD= 5,BD=3,点P 从点A 出发,沿折线AB- B C 以每秒个单位长度的速度向终点C 运动(点P 不与点A 、B 、C 重合).在点P 运动的过程中,过点P 作AB 所在直线的垂线.交边AD 或边CD 于点Q ,以PQ 为一边作矩形PQMN ,且QM=2.MN 与BD 在PQ 的同侧,设点P 的运动时间为t(秒),(1)当t= 5时,求线段CP 的长;(2)求线段PQ 的长(用含t 的代数式表示);(3)当点M 落在BD 上时,求t 的值;(4)当矩形PQMN 与▱ABCD 重叠部分圆形为五边形时,直接写出t 的取值范围.10.(2020·浙江)如图1,已知正方形ABCD ,AB =4,以顶点B 为直角顶点的等腰Rt △BEF 绕点B 旋转,BE =BF ,连结AE ,CF .(1)求证:△ABE≌△CBF.的值.(2)如图2,连结DE,当DE=BE时,求S△BCF(3)如图3,当Rt△BEF旋转到正方形ABCD外部,且线段AE与线段CF存在交点G时,若M是CD的中点,P是线段DG上的一个动点,当满足MP PG的值最小时,求MP的值.11.(2021·吉林延边·九年级)[感知]如图①,在▱ABCD中,点E为CD的中点,连接BE并延长交AD的延长线于点F.求证:点E是BF的中点,点D是AF的中点;[应用]如图②,在四边形ABCD中,AD//BC,∠BAD=90°,AB=4,AD=3,点E是CD的中点,BE⊥CD,BE、AD的延长线相交于点F,则AF= .[拓展]如图③,在△ABC中,点D是AC的中点,点E是AB上一点,1=2BEEA,BD,CE相交于点F,则EFFC= .12.(2020·上饶市广信区第七中学九年级月考)已知△ABC是等腰三角形,AB=AC.(1)特殊情形:如图1,当DE∥BC时,有DB EC.(填“>”,“<”或“=”)(2)发现探究:若将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转α(0°<α<180°)到图2位置,则(1)中的结论还成立吗?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由.(3)拓展运用:如图3,P是等腰直角三角形ABC内一点,∠ACB=90°,且PB=1,PC=2,PA=3,求∠BPC的度数.13.(2019·辽宁九年级月考)如图1,E是正方形ABCD边AB上的一点,连接BD、DE,将∠BDE 绕点D逆时针旋转90º,旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G.(1)探究线段BE、BF和DB之间的数量关系,写出结论并给出证明;(2)当四边形ABCD为菱形,∠ADC=60º,点E是菱形ABCD边AB所在直线上的一点,连接BD、DE,将∠BDE绕点D逆时针旋转120º,旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G.①如图2,点E在线段AB上时,请探究线段BE、BF和BD之间的数量关系,写出结论并给出证明;②如图3,点E在线段AB的延长线上时,DE交射线BC于点M.若BE=1,AB=2,直接写出线段GM的长度.14.(2020·山西)请阅读下列材料,并完成相应的任务.梅涅劳斯(Menelaus)是公元一世纪时的希腊数学家兼天文学家,著有几何学和三角学方面的许多书籍.梅涅劳斯发现,三角形各边(或其延长线)被一条不过任何一个顶点也不与任何一条边平行的直线所截,这条直线可能与三角形的两条边相交(一定还会与一条边的延长线相交),也可能与三条边都不相交(与三条边的延长线都相交).他进行了深入研究并证明了著名的梅涅劳斯定理(简称梅氏定理):设D ,E ,F 依次是△ABC 的三边AB ,BC ,CA 或其延长线上的点,且这三点共线,则满足1AD BE CFDB EC FA××=.这个定理的证明步骤如下:情况①:如图1,直线DE 交△ABC 的边AB 于点D ,交边AC 于点F ,交边BC 的延长线与点E .过点C 作CM ∥DE 交AB 于点M ,则BE BDEC DM =,AD AF DM FC=(依据),∴BE AD EC DM ×=BD AFDM FC×,∴BE •AD •FC =BD •AF •EC ,即1AD BE CF DB EC FA××=.情况②:如图2,直线DE 分别交△ABC 的边BA ,BC ,CA 的延长线于点D ,E ,F .…(1)情况①中的依据指: ;(2)请你根据情况①的证明思路完成情况②的证明;(3)如图3,D ,F 分别是△ABC 的边AB ,AC 上的点,且AD :DB =CF :FA =2:3,连接DF 并延长,交BC 的延长线于点E ,那么BE :CE = .15.(2020·安徽蚌埠市·九年级)如图(1),已知:在菱形ABCD 中,点,E F 分别在边,BC CD 上,,,BE DF AE AF =分别交BD 于点,C H(1)求证:BG DH =;(2)连接FE ,如图(2),当EF BG =时,①求证:AH DF AF AD=;②若菱形ABCD的边长为2,求CF的长.16.(2020·安徽安庆·九年级)如图(1),已知正方形ABCD中,点E、F分别在边BC、CD上,BE=DF,AE、AF分别交BD于点G、H.(1)求证:BG=DH;(2)连接FE,如图(2),当EF=BG时.①求证:AD•AH=AF•DF;②直接写出HFAH的比值.17.(2020·吉林九年级)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8cm,BC=6cm.D为边BC上一点,且BD=2CD,过点D作DE//AC交AB于点E,过点E作EF//BC交AC于点F.动点P、Q分别从点A、B同时出发,均以2cm/s的速度匀速运动.点P沿折线AF﹣FE﹣ED向终点D运动,点Q沿BA向终点A运动.过点P作PM⊥AC交AB于点M,以PM与QM为边作▱PMQN.设点P的运动时间为t(s),矩形CDEF与▱PMQN重叠部分图形的面积为S(cm2)(1)DE的长为 ;(2)连结PQ,当PQ//BC时,求t的值;(3)在点Q从点B运动到点E的过程中,当四边形CDEF与▱PMQN重叠部分图形是三角形时,求S 与t之间的函数关系式;(4)设PN与边DE的交点为G,连结FG,当点E在FG的垂直平分线上时,直接写出t的值.18.(2020·海南九年级)如图,四边形ABCD是边长为10的菱形,BE⊥AD于点E,AE=6,且BE 交对角线AC于F,连接DF,点P是DC上一点,BP交AC于M.(1)求证:△ABF≌△ADF;(2)如图1,若P为CD中点,求CMMF的值;(3)如图2,若S△BFM =S△CPM,求PC,并直接判断BP与CD是否垂直(不必说明理由).19.(2020·江苏省天一中学)(1)①发现:如图1,G是V ABC的重心,连结BG,CG,并分别延长BG,CG,交AC,BA于D,E连结DE,则DE与BC的位置关系是;②证明:如图2,AF是△ABC的中线,P是AF上任一点,连结BP,CP,并分别延长交AC,BA于D,E,连结DE,①中的结论还成立吗?如果成立,请证明你的结论,如果不成立,请说明理由.(2)应用:用无刻度直尺根据要求作图:如图3,M是□ABCD边CD上一定点,(ⅰ)在AB边上作一点N,使AN=CM,(ⅱ)如图4中,BA的延长线上作一点Q,使AQ=CM.20.(2021·河南)数学课上,李老师出示了如下框中的题目.在等边三角形ABC中,点E在AB上,点D在CB的=,如图,试确定线段AE与延长线上,且ED ECDB的大小关系,并说明理由.小敏与同桌小聪讨论后,进行了如下解答:(1)特殊情况,探索结论当点E为AB的中点时,如图1,确定线段AE与的DB大小关系.请你直接写出结论:AE_____DB(填“>”,“<”或“=”).(2)特例启发,解答题目解:如图2,题目中,AE 与DB 的大小关系是:AE ____DB (填“>”“<”或“=”).理由如下:(请你完成以下解答过程)(3)拓展结论,设计新题在等边三角形ABC 中,点E 在直线AB 上,点D 在直线BC 上,且ED EC =.若ABC V 的边长为1,2AE =,求CD 的长(请你直接写出结果).。
平行线间的“拐点”问题
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平行线间的“拐点”问题福建省仙游县第二中学(351200) 陈国权[摘 要]平行线间的“拐点”问题,可以分为“猪脚”模型、“铅笔头”模型、“锯齿”模型、“臭脚”模型等,文章结合几则典例,探讨平行线间的“拐点”问题的求解方法,以提高学生灵活运用几何定理的能力,发展学生的核心素养。
[关键词]平行线;拐点;模型[中图分类号]G633.6[文献标识码]A[文章编号] 1674-6058(2023)23-0022-03平行线间的“拐点”问题,可以分为以下几个类型:“猪脚”模型、“铅笔头”模型、“锯齿”模型、“臭脚”模型,下面笔者结合几则典例,逐一分析探讨。
类型一、平行线间的“猪脚”模型如图1乙所示,这个几何图形因为与猪脚相像,我们形象地称之为“猪脚”模型。
“猪脚”模型中蕴含着角之间的特殊关系,即∠AEC=∠A+∠C。
如何证明呢?因为在两条平行线间是折线相连,不是直线连接,所以不能直接应用平行线的性质解答,它们之间需要一个“桥梁”将两者联系起来,常用的联系方式就是在“拐点”处作平行线,如图2所示,作EG∥AB。
因为AB∥CD,所以EG∥AB∥CD,根据“两直线平行,内错角相等”得∠A=∠AEG,∠C=∠CEG,因为∠AEC=∠AEG+∠CEG,所以∠AEC=∠A+∠C(等量代换)。
甲乙图1 图2实际上对于“猪脚”模型,还可以进一步扩展,如图3所示,AB∥CD,在AB与CD之间有P1、P2、P3三点,顺次连接B、P1、P2、P3、D。
如图4所示,分别过P1、P2、P3作直线AB的平行线P1E,P2F,P3G,∵AB∥CD,∴AB∥P1E∥P2F∥P3G。
由平行线的性质可得 ∠1=∠B①,∠2+∠3=180°②,∠4+∠5=180°③,∠6=∠D④,①+②+③+④得,∠BP1P2+∠P1P2P3+∠P2P3D=180°+180°+∠B+∠D=360°+∠B+∠D。
七年级下册数学第五章第3节《平行线的性质》提高训练题 (25)(含答案解析)
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【解析】
由平行线的性质可得∠A=∠3,由∠1=∠2可得AC∥DE,进而可得∠3=∠E,进一步即可得出结论.
解:∵AD∥BE(已知),
∴∠A=∠3(两直线平行,同位角相等),
又∵∠1=∠2(已知),
∴AC∥DE(内错角相等,两直线平行),
∴∠3=∠E(两直线平行,内错角相等),
∴∠A=∠E(等量代换).
七年级下册数学第五章第3节《平行线的性质》提高训练题 (25)
一、单选题
1.如图,将三角板的直角顶点放在直尺的一边上,若∠1=25°,则∠2的度数为()
A.55°B.60°C.65°D.75°
2.如图,已知CB∥DF,则下列结论成立的是()
A.∠1=∠2B.∠2=∠3C.∠1=∠3D.∠1+∠2=180º
2.B
【解析】
根据两条直线平行,同位角相等,即可判断.
解:∵CB∥DF,
∴∠2=∠3(两条直线平行,同位角相等).
故选:B.
本题考查了平行线的性质,解决本题的关键是掌握平行线的性质.
3.C
【解析】
根据两条直线平行,同位角相等得∠1的同位角是40°,再根据平角的定义和垂直定义即可求得∠2.
解:∵a∥b,
26.如图 ∥ , ____________
27.如图,若a//b,则图中x的度数是______________度.
28.一副直角三角尺按如图1所示方式叠放,现将含45°角的三角尺ADE固定不动,将含30°角的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动,当两块三角尺至少有一组边互相平行,则∠BAD(0°<∠BAD<90°)所有符合条件的度数为_____.
∵FG⊥AB,CD⊥AB(已知).
∴∠GFB=90°,∠CDB=90°(垂直的定义).
初中数学中折叠问题
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初中数学中的折叠问题一、矩形中的折叠1.将一张长方形纸片按如图的方式折叠,其中BC,BD为折痕,折叠后 BG和 BH在同一条直线上,∠ CBD=度.2.如下图,一张矩形纸片沿BC折叠,极点 A 落在点 A′处,再过点 A′折叠使折痕DE∥BC,若 AB=4,AC=3,则△ ADE的面积是.3.如图,矩形纸片 ABCD 中, AB=4 ,AD=3 ,折叠纸片使 AD 边与对角线 BD 重合,得折痕DG,求 AG 的长.D CA'根据对称的性质得到相等的对应边和对应角,再在直角三角形中根据勾股定理列方程求解即可 A G B 4.把矩形纸片 ABCD 沿 BE 折叠,使得 BA 边与 BC 重合,然后再沿着 BF 折叠,使得折痕BE 也与 BC 边重合,展开后如下图,则∠ DFB 等于()注意折叠前后角的对应关系5.如图,沿矩形 ABCD的对角线 BD折叠,点 C落在点 E 的位置,已知 BC=8cm,AB=6cm,求折叠后重合部分的面积.EF DA3重合部分是以折痕为底边的等腰三角形21BC6.将一张矩形纸条ABCD按如下图折叠,若折叠角∠的形状三角形.对折前后图形的位置变化,但形状、大小不变,注意一般情况下要画出对折前后的图形,便于寻找对折前后图形之间的关系,注意以折痕为底边的等腰△ GEF FEC=64°,则∠ 1=度;△ EFGD‘C‘A1G F D5432B E C7.如图,将矩形纸片ABCD 按如下的次序进行折叠:对折,展平,得折痕EF(如图①);延 CG 折叠,使点 B 落在 EF 上的点 B ′处,(如图②);展平,得折痕 GC(如图③);沿 GH 折叠,使点 C 落在 DH 上的点 C′处,(如图④);沿 GC′折叠(如图⑤);展平,得折痕 GC′,GH(如图⑥).(1)求图②中∠ BCB ′的大小;(2)图⑥中的△ GCC′是正三角形吗?请说明原因.理清在每一个折叠过程中的变与不变8.如图,正方形纸片ABCD的边长为 8,将其沿 EF折叠,则图中①②③④四个三角形的周长之和为折叠前后对应边相等9.如图,将边长为 4 的正方形 ABCD沿着折痕 EF 折叠,使点 B落在边 AD的中点 G处,求四边形 BCFE的面积注意折叠过程中的变与不变,图形的形状和大小不变,对应边与对应角相等10.如图,将一个边长为 1 的正方形纸片ABCD 折叠,使点 B 落在边 AD 上不与A、D重合.MN 为折痕,折叠后 B ’C’与 DN 交于 P.(1)连结 BB ’,那么 BB ’与 MN 的长度相等吗?为什么?(2)设 BM=y, AB ’=x,求 y 与 x 的函数关系式;(3)猜想当 B 点落在什么位置上时,折叠起来的梯形MNC ’B’面积最小?并考证你的猜想.二、纸片中的折叠11.如图,有一条直的宽纸带,按图折叠,则∠α的度数等于()CD30° BF E a21A题考察的是平行线的性质,同位角相等,及对称的性质,折叠的角与其对应角相等,和平角为 180度的性质,注意△ EAB 是以折痕 AB 为底的等腰三角形12.如图,将一宽为2cm 的纸条,沿 BC,使∠ CAB=45 °,则后重合部分的面积为在折叠问题中,一般要注意折叠前后图形之间的联系,将图形补充完整,对于矩形(纸片)折叠,折叠后会形成“平行线 +角平分线”的基本结构,即重叠部分是一个以折痕为底边的等腰三角形ABC13.将宽 2cm的长方形纸条成如下图的形状,那么折痕PQ的长是注意掌握折叠前后图形的对应关系.在矩形(纸片)折叠问题中,会出现“平行线 +角平分线”的基本结构图形,即有以折痕为底边的等腰三角形 APQ14.如图 a 是长方形纸带,∠ DEF=20°,将纸带沿EF 折叠成图 b,再沿 BF 折叠成图 c,则图 c 中的∠ CFE 的度数是()AE D A E E DACFB FC B G B G FC 图c图 a 图 bD本题考察图形的翻折变换,解题过程中应注意折叠是一种对称变换,它属于轴对称,根据轴对称的性质,折叠前后图形的形状和大小不变.由题意知∠ DEF= ∠EFB=20°图 b∠GFC=140°,图 c 中的∠ CFE=∠GFC-∠ EFG 15.将一张长为70 cm 的长方形纸片ABCD ,沿对称轴 EF 折叠成如图的形状,若折叠后,AB 与 CD 间的距离为 60cm,则原纸片的宽AB 是()DCFG60cmEA FDBE C B A16.一根 30cm、宽 3cm 的长方形纸条,将其按照图示的过程折叠(阴影部分表示纸条的反面),为了雅观,希望折叠达成后纸条两头高出点P 的长度相等,则最初折叠时,求MA 的长三、三角形中的折叠17.如图,把 Rt△ABC(∠ C=90°),使 A, B两点重合,得到折痕 ED,再沿 BE折叠, C点恰巧与 D点重合,则 CE:AE=18.在△ ABC中,已知 AB=2a,∠ A=30°, CD是 AB边的中线,若将△ ABC沿 CD对折起来,1折叠后两个小△ ACD与△ BCD重叠部分的面积恰巧等于折叠前△ABC的面积的4.(1)中间线 CD等于 a 时,重叠部分的面积等于;(2)有如下结论(不在“ CD等于 a”的限制条件下):① AC边的长能够等于a;②折叠前的3 2△ABC的面积能够等于 2 a ;③折叠后,以A、B为端点的线段AB与中线CD平行且相等.其中,结论正确(把你认为正确结论的代号都填上,若认为都不正确填“无”).C CB'12A E 3 D BAD BB'注意“角平分线 +等腰三角形”的基本构图,折叠前后图形之间的对照,找出相等的对应角和对应边19.在△ ABC 中,已知∠ A=80°,∠ C=30°,现把△ CDE 沿 DE 进行不同的折叠得△DE,对折叠后产生的夹角进行探究:(1)如图( 1)把△ CDE 沿 DE 折叠在四边形 ADEB 内,则求∠ 1+∠2 的和;(2)如图( 2)把△ CDE 沿 DE 折叠覆盖∠ A ,则求∠ 1+∠2 的和;(3)如图( 3)把△ CDE 沿 DE 斜向上折叠,探究∠ 1、∠ 2、∠ C 的关系.(1)根据折叠前后的图象全等可知,∠ 1=180° -2∠CDE,∠2=180°-2∠CED,再根据三角形内角和定理比 A 可求出答案;(2)连结 DG,将∠ ADG+ ∠AGD 作为一个整体,根据D 1C'三角形内角和定理来求;(3)将∠ 2 看作 180° -2∠CED,∠ 1 看作 2∠C2CDE-180°,再根据三角形内角和定理来求. E 图 (1)C'C' AA12D1G D2 C′B由于等腰三角形是轴对称图形,所以在折叠三角形时经常会出现等腰三角形20.察看与发现:将三角形纸片ABC(AB >AC )沿过点 A 的直线折叠,使得 AC 落在 AB 边上,折痕为 AD ,展开纸片(如图①);在第一次折叠的基础上第二次折叠该三角形纸片,使点 A 和点 D 重合,折痕为EF,展平纸片后得到△ AEF (如图②).小明认为△ AEF 是等腰三角形,你同意吗?请说明原因.实践与运用:(1)将矩形纸片 ABCD 沿过点 B 的直线折叠,使点 A 落在 BC 边上的点 F 处,折痕为 BE(如图③);再沿过点E 的直线折叠,使点D 落在BE 上的点D’处,折痕为EG(如图④);再展平纸片(如图⑤).求图⑤中∠α的大小.由于角平分线所在的直线是角的对称轴,所以在三角形中的折叠往常都与角平分线相关。
平行线中的折线角问题
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平行线中的折线角问题
如果有两条平行线,则它们之间的任何一条线段或者折线都将与这两条平行线形成对应角,并且这些对应角非常有规律,具有如下性质:
1. 对应角相等
如果有一条线段或者折线与两条平行线相交,它将形成两对对应角,这些对应角的度数相等。
2. 内角与外角的和为180度
如果有一条线段或者折线穿过两条平行线,则它将形成一对内角和一对外角。
两个内角的度数之和等于180度,两个外角之和也是如此。
3. 同位角相等
如果两条平行线被一条横线切割,则对于同一个内部角或者同一个外部角,它们所对应的角相等,这些角被称为同位角。
4. 对顶角相等
如果两条平行线被一条横线切割,并且在其中一条直线上还有一条线段或者折线垂直于横线,则这两条线段或者折线所形成的对顶角相等。
七年级下册数学同步练习题库:平行线的性质(简答题:较难)
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平行线的性质(简答题:较难)1、阅读:如图1所示,因为CE∥AB,所以∠1=∠A,∠2=∠B,所以∠ACD=∠1+∠2=∠A+∠B,这是一个有用的事实.请用这个结论在如图2所示的四边形ABCD内过点D引一条和边AB平行的直线,求∠A+∠B+∠C+∠ADC的度数.2、如图所示,把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后,ED与BC的交点为G,D,C分别落在D′,C′的位置上,若∠EFG=55°,求∠1与∠2的度数.3、平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系.(1)如图1,若AB∥CD,点P在AB、CD外部,则有∠B=∠BOD,又因∠BOD是△POD的外角,故∠BOD=∠BPD+∠D.得∠BPD=∠B﹣∠D.将点P移到AB、CD内部,如图2,以上结论是否成立?若成立,说明理由;若不成立,则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系?请证明你的结论;(2)在如图2中,将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q,如图3,则∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之间有何数量关系?(不需证明);(3)根据(2)的结论求如图4中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.4、如图所示,已知∠1+∠2=180°,∠B=∠3,求证:∠ACB=∠AED.5、如图,若AB∥CD,在下列三种情况下探究∠APC与∠PAB,∠PCD的数量关系.(1)图①中,∠APC+∠PAB+∠PCD=;(2)图②中,;(3)图③中,写出∠APC与∠PAB,∠PCD的三者数量关系,并说明理由6、如图,已知AB∥CD,C在D的右侧,BE平分∠ABC,DE平分∠ADC,BE、DE所在直线交于点E.∠ADC =70°.(1)求∠EDC的度数;(2)若∠ABC =n°,求∠BED的度数(用含n的代数式表示);(3)将线段BC沿DC方向平移,使得点B在点A的右侧,其他条件不变,画出图形并判断∠BED的度数是否改变,若改变,求出它的度数(用含n的式子表示),不改变,请说明理由.7、(本题12分)如图1,CE平分∠ACD,AE平分∠BAC,∠EAC+∠ACE=90°(1)请判断AB与CD的位置关系并说明理由;(2)如图2,当∠E=90°保持不变,移动直角顶点E,使∠MCE=∠ECD,当直角顶点E点移动时,问∠BAE与∠MCD否存在确定的数量关系?并说明理由;;(3)如图3,P为线段AC上一定点,点Q为直线CD上一动点,①当点Q在射线CD上运动时(点C除外)∠CPQ+∠CQP与∠BAC有何数量关系?猜想结论并说明理由.②当点Q在射线CD的反向延长线上运动时(点C除外)∠CPQ+∠CQP与∠BAC有何数量关系?直接写出猜想结论,不需说明理由.8、课上教师呈现一个问题甲、乙、丙三位同学用不同的方法添加辅助线解决问题,如下图:甲同学辅助线的做法和分析思路如下:(1)请你根据乙同学所画的图形,描述辅助线的做法,并写出相应的分析思路.辅助线:___________________;分析思路:(2)请你根据丙同学所画的图形,求∠EFG的度数.9、如图所示,在△ABC中,AB =AC,E为AB上一点,F为AC延长线上一点,且BE=CF,EF交BC于D,求证:DE=DF.10、如图1,已知MN∥PQ,B在MN上,C在PQ上,A在B的左侧,D在C的右侧,DE平分∠ADC,BE平分∠ABC,直线DE、BE交于点E,∠CBN=100°.(1)若∠ADQ=130°,求∠BED的度数;(2)将线段AD沿DC方向平移,使得点D在点C的左侧,其他条件不变,若∠ADQ=n°,求∠BED的度数(用含n的代数式表示).11、(1)问题发现如图①,直线AB∥CD,E是AB与AD之间的一点,连接BE,CE,可以发现∠B+∠C=∠BEC.请把下面的证明过程补充完整:证明:过点E作EF∥AB,∵AB∥DC(已知),EF∥AB(辅助线的作法),∴EF∥DC∴∠C= .∵EF∥AB,∴∠B= ,∴∠B+∠C= .即∠B+∠C=∠BEC.(2)拓展探究如果点E运动到图②所示的位置,其他条件不变,求证:∠B+∠C=360°﹣∠BEC.(3)解决问题如图③,AB∥DC,∠C=120°,∠AEC=80°,则∠A=.(直接写出结论,不用写计算过程)12、如图,四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AB=AC=AD,∠DAC=∠ABC.(1)求证:BD平分∠ABC;(2)若∠DAC=45°,OA=1,求OC的长.13、如图是小明设计的智力拼图玩具,现在小明遇到了下面两个问题,请你帮助解决.(1)如图⑴,∠D=,∠ACD=.为保证AB∥DE,∠A应等于多少度?(2)如图⑵,若GP∥HQ,则∠G,∠F, ∠H之间有什么样的关系?14、(8分)如图1,直线AB∥CD,直线l与直线AB、CD相交于点E、F,点P是射线EA上的一个动点(不包括端点E),将△EPF沿PF折叠,使顶点E落在点Q处.⑴若∠PEF=48°,点Q恰好落在其中的一条平行线上,请直接写出∠EFP的度数.⑵若∠PEF=75°,∠CFQ=∠PFC,求∠EFP的度数.15、如图,△ABC中,点O是边AC上一个动点,过O作直线MN∥BC.设MN交∠ACB的平分线于点E,交∠ACB的外角平分线于点F.(1)求证:OE=OF;(2)若CE=8,CF=6,求OC的长;(3)当点O在边AC上运动到什么位置时,四边形AECF是矩形?并说明理由.16、(1)如图1,若AB∥CD,则∠B+∠D=∠E,你能说明理由吗?(2)反之,若∠B+∠D=∠E,直线AB与CD有什么位置关系?(3)若将点E移至图2的位置,此时∠B,∠D,∠E之间有什么关系?(4)若将点E移至图3的位置,此时∠B,∠D,∠E之间的关系又如何?(5)在图4中,AB∥CD,∠E+∠G与∠B+∠F+∠D之间有何关系?17、如图所示,已知∠1+∠2=180°,∠B=∠3,求证:∠ACB=∠AED.18、如图1,已知:AB∥CD,点E,F分别在AB,CD上,且OE⊥OF.(1)求证:∠1+∠2=90°;(2)如图2,分别在OE,CD上取点G,H,使FO平分∠CFG,EO平分∠AEH,求证:FG∥EH.19、(1)如图①,直线AB∥CD,E是AB与AD之间的一点,连接BE,CE,可以发现∠B+∠C=∠BEC.证明过程如下:证明:过点E作EF∥AB,∵AB∥DC,EF∥AB(辅助线的作法),∴EF∥DC∴∠C=∠CEF.∵EF∥AB,∴∠B=∠BEF∴∠B+∠C=∠CEF+∠BEF即∠B+∠C=∠BEC.(2)如果点E运动到图②所示的位置,其他条件不变,∠B,∠C,∠BEC又有什么关系?并证明你的结论;(3)如图③,AB∥DC,∠C=120°,∠AEC=80°,则∠A=.(写出结论,不用写计算过程)。
第3讲 平行线辅助线(学生版)
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第3讲平行线辅助线一、知识回顾:在解决平行线的问题时,当无法直接得到角的关系或两条线之间的位置关系时,通常借助辅助线来帮助解答,如何作辅助线需根据已知条件确定,辅助线的添加既可以产生新的条件,又能将题目中原有的条件联系在一起.一、加截线(连接两点或延长线段)1.如图,已知AB∥CD,∠ABF=∠DCE.∠BFE与∠FEC有何关系?并说明理由.(第1题)【解析】:∠BFE=∠FEC.理由一:连接BC,如图①.∵AB∥CD,∴∠ABC=∠BCD(两直线平行,内错角相等).又∵∠ABF=∠DCE,∴∠ABC-∠ABF=∠BCD-∠DCE,即∠FBC=∠ECB.∴BF∥CE(内错角相等,两直线平行).∴∠BFE=∠FEC(两直线平行,内错角相等).(第1题)理由二:延长AB,CE相交于点G,如图②.∵AB∥CD,∴AG∥CD.∴∠DCE=∠G(两直线平行,内错角相等).又∵∠ABF=∠DCE,∴∠ABF=∠G.∴BF∥CG(同位角相等,两直线平行).∴∠BFE=∠FEC(两直线平行,内错角相等).二、过“拐点”作平行线a.“”形图2.如图,AB∥CD,P为AB,CD之间的一点,已知∠1=32°,∠2=25°,求∠BPC的度数.(第2题)【解析】:方法一:过点P作射线PN∥AB,如图①.∵AB∥CD,∴PN∥CD.∴∠4=∠2=25°.∵PN∥AB,∴∠3=∠1=32°.∴∠BPC=∠3+∠4=57°.(第2题)方法二:过点P作射线PM∥AB,如图②.∵AB∥CD,∴PM∥CD.∴∠4=180°-∠2=180°-25°=155°.∵AB∥PM,∴∠3=180°-∠1=180°-32°=148°.∴∠BPC=360°-∠3-∠4=360°-148°-155°=57°. 方法三:连接BC,略。
中考数学总复习训练 平行线的判定与性质(含解析)(2021-2022学年)
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平行线的判定与性质1.如图,AB∥CD,AC⊥BC,图中与∠CAB互余的角有个.2.如图,平行直线AB、CD与相交直线EF、GH相交,图中的同旁内角共有()A.4对B.8对C.12对ﻩ D.16对3.如图,已知∠B=25°,∠BCD=45°,∠CDE=30°,∠E=10°求证:AB∥EF.4.如图,在△ABC中,CE⊥AB于E,DF⊥AB于F,AC∥ED,CE是∠ACB的平分线,试比较∠EDF与∠BDF的大小,并说明理由.5.探究:(1)如图a,若AB∥CD,则∠B+∠D=∠E,你能说明为什么吗?(2)反之,若∠B+∠D=∠E,直线AB与CD有什么位置关系?请证明;ﻬ(3)若将点E移至图b所示位置,此时∠B、∠D、∠E之间有什么关系?请证明;(4)若将E点移至图c所示位置,情况又如何?(5)在图d中,AB∥CD,∠E+∠G与∠B+∠F+∠D又有何关系?(6)在图e中,若AB∥CD,又得到什么结论?6.如图所示,已知AB∥CD,EF交AB于M交CD于F,MN⊥EF于M,MN交CD于N,若∠BME=110°,则∠MND=.7.如图,若直线a,b分别与直线c,d相交,且∠1+∠3=90°,∠2﹣∠3=90°,∠4=115°,那么∠3=.8.如图,已知AB∥CD,∠1=100°,∠2=120°,则∠α=度.9.已知两个角的两边分别平行,其中一个角为40°,那么另一角是度.ﻬ10.如图,下列条件中,不能判断直线l1∥l2的是( )A.∠1=∠3ﻩ B.∠2=∠3ﻩ C.∠4=∠5D.∠2+∠4=180°11.已知线段AB=10cm,点A,B到直线l的距离分别为6cm,4cm.符合条件的直线l有( )A.1条ﻩB.2条 C.3条D.4条12.已知:如图所示,直线a,b都与直线c相交,给出下列条件:①∠1=∠2;②∠3=∠6;③∠4+∠7=180°;④∠5+∠8=180°.其中能判定a∥b的是()A.①③ﻩB.②④C.①③④ﻩD.①②③④13.如图所示,AB∥EF∥DC,EG∥DB,则图中与∠1相等的角(∠1除外)共有()A.6个ﻩB.5个 C.4个ﻩD.2个14.如图所示,已知∠1+∠2=180°,∠3=∠B,试判断∠AED与∠C的大小关系,并对结论进行说理.15.如图,已知∠1十∠2=180°,∠A=∠C,AD平分∠BDF.求证:BC平分∠DBE.16.在同一平面内有2002条直线a1,a2,…,a2002,如果a1⊥a2,a2∥a3,a3⊥a4,a4∥a5,…,那么a1与a2002的位置关系是.17.若平面上4条直线两两相交且无三线共点,则共有同旁内角对.18.如图,已知l1∥l2,AB⊥l1,∠ABC=130°,则∠α= .19.如图,直线AB∥CD,∠EFA=30°,∠FGH=90°,∠HMN=30°,∠CNP=50°,则∠GHM的大小是.20.如图,D、G是△ABC中AB边上的任意两点,DE∥BC,GH∥DC,则图中相等的角共有( )A.4对ﻩ B.5对ﻩC.6对 D.7对21.如图,若AB∥CD,则( )A.∠1=∠2+∠3B.∠1=∠3﹣∠2C.∠1+∠2+∠3=180°ﻩD.∠l﹣∠2+∠3=180°22.如图:已知AB∥CD∥EF,EH⊥CD于H,则∠BAC+∠ACE+∠CEH等于()A.180°B.270°ﻩ C.360°ﻩ D.450°23.如图,AB∥EF,∠C=90°,则α、β和γ的关系是( )A.β=α+γB.α+β+γ=180°C.α+β﹣γ=90°D.β+γ﹣α=180°24.如图,已知AB∥CD,P为HD上任意一点,过P点的直线交HF于O点,试问:∠HOP、∠AGF、∠HPO有怎样的关系?用式子表示并证明.25.如图,AB∥ED,α=∠A+∠E,β=∠B+∠C+∠D.证明:β=2α26.平面上有7条不同的直线,如果其中任何三条直线都不共点.(1)请画出满足上述条件的一个图形,并数出图形中各直线之间的交点个数;(2)请再画出各直线之间的交点个数不同的图形(至少两个);(3)你能否画出各直线之间的交点个数为n的图形,其中n分别为6,21,15?(4)请尽可能多地画出各直线之间的交点个数不同的图形,从中你能发现什么规律?27.如图,直线CB∥OA,∠C=∠BAO=120°,E、F在CB上,且满足∠FOB=∠AOB,OE平分∠COF.(1)求∠EOB的度数;(2)若平行移动AB,那么∠OBC:∠OFC的值是否随之发生变化?若变化,找出变化规律或求出变化范围;若不变,求出这个比值;(3)在平行移动AB的过程中,是否存在某种情况,使∠OEC=∠OBA?若存在,求出其度数;若不存在,说明理由.平行线的判定与性质参考答案与试题解析1.如图,AB∥CD,AC⊥BC,图中与∠CAB互余的角有 3 个.【考点】平行线的性质;余角和补角.【分析】本题考查互余的概念,和为90度的两个角互为余角,结合图形和平行线的性质作答.【解答】解:AB∥CD,AC⊥BC,则图中与∠CAB互余的角有3个,∠CBA,∠BCD,和∠CBA的对顶角.【点评】此题属于基础题,较简单,主要记住互为余角的两个角的和为90度.2.如图,平行直线AB、CD与相交直线EF、GH相交,图中的同旁内角共有( )A.4对ﻩ B.8对 C.12对D.16对【考点】同位角、内错角、同旁内角.【专题】几何图形问题.【分析】每一个“三线八角"基本图形都有两对同旁内角,从对原图形进行分解入手可知同旁内角共有对数.【解答】解:直线AB、CD被EF所截有2对同旁内角;直线AB、CD被GH所截有2对同旁内角;直线CD、EF被GH所截有2对同旁内角;直线CD、GH被EF所截有2对同旁内角;直线GH、EF被CD所截有2对同旁内角;直线AB、EF被GH所截有2对同旁内角;ﻬ直线AB、GH被EF所截有2对同旁内角;直线EF、GH被AB所截有2对同旁内角.共有16对同旁内角.故选D.【点评】本题考查了同旁内角的定义.注意在截线的同旁找同旁内角.要结合图形,熟记同旁内角的位置特点.两条直线被第三条直线所截所形成的八个角中,有两对同旁内角.3.如图,已知∠B=25°,∠BCD=45°,∠CDE=30°,∠E=10°求证:AB∥EF.【考点】平行线的判定与性质.【专题】证明题.【分析】解本例的困难在于图形中没有“三线八角”,考虑创造条件,在图中添置“三线八角"或作出与AB或CD平行的直线,利用平行线的性质和判定求证.【解答】解:过C点作CG∥AB,过点D作DH∥AB,则CG∥DH,∵∠B=25°,∴∠BCG=25°,∵∠BCD=45°,∴∠GCD=20°,∵CG∥HD,∴∠CDH=20°,∵∠CDE=30°,∴∠HDE=10°∴∠HDE=∠E=10°,∴DH∥EF,∴DH∥AB,∴AB∥EF.【点评】此题考查平行线的判定和性质,辅助线是常见的作法,证明过程注意选用有用的条件作为证明的依据.4.如图,在△ABC中,CE⊥AB于E,DF⊥AB于F,AC∥ED,CE是∠ACB的平分线,试比较∠EDF与∠BDF的大小,并说明理由.【考点】平行线的性质;垂线.【分析】先运用垂直于同一条直线的两直线平行,得出∠BDF=∠BCE,∠FDE=∠DEC,再根据平行线的性质得出∠DEC=∠ACE,然后利用角平分线等量代换即可得出两角的关系.【解答】解:∠EDF=∠BDF.∵CE⊥AB于E,DF⊥AB于F∴DF∥CE (垂直于同一条直线的两直线平行),∴∠BDF=∠BCE (两直线平行,同位角相等),∠FDE=∠DEC(两直线平行,内错角相等)又∵AC∥ED,∴∠DEC=∠ACE(两直线平行,内错角相等),∵CE是∠ACB的角平分线,∴∠ACE=∠ECB(角平分线的定义),∴∠EDF=∠BDF(等量代换).【点评】本题主要运用了平行线的性质和垂线的性质,解答本题的关键是熟练掌握平行线的性质:两直线平行内错角、同位角相等.ﻬ5.探究:(1)如图a,若AB∥CD,则∠B+∠D=∠E,你能说明为什么吗?(2)反之,若∠B+∠D=∠E,直线AB与CD有什么位置关系?请证明;(3)若将点E移至图b所示位置,此时∠B、∠D、∠E之间有什么关系?请证明;(4)若将E点移至图c所示位置,情况又如何?(5)在图d中,AB∥CD,∠E+∠G与∠B+∠F+∠D又有何关系?(6)在图e中,若AB∥CD,又得到什么结论?【考点】平行线的判定与性质.【分析】已知AB∥CD,连接AB、CD的折线内折或外折,或改变E点位置、或增加折线的条数,通过适当地改变其中的一个条件,就能得出新的结论,给我们创造性的思考留下了极大的空间,解题的关键是过E点作AB(或CD)的平行线,把复杂的图形化归为基本图形.【解答】解:(1)过E作EF∥AB,则∠B=∠BEF,∵AB∥CD,∴EF∥CD,∴∠D=∠DEF,∴∠BED=∠BEF+∠DEF=∠B+∠D.(2)若∠B+∠D=∠E,由EF∥AB,∴∠B=∠BEF,∵∠E=∠BEF+∠DEF=∠B+∠D,∴∠D=∠DEF,∴EF∥CD,∴AB∥CD;(3)若将点E移至图b所示位置,过E作EF∥AB,∴∠BEF+∠B=180°,∵EF∥CD,∴∠D+∠DEF=180°,∠E+∠B+∠D=360°;(4)∵AB∥CD,∴∠B=∠BFD,∵∠D+∠E=∠BFD,∴∠D+∠E=∠B;(5)∵AB∥CD,∴∠E+∠G=∠B+∠F+∠D;(6)由以上可知:∠E1+∠E2+…+∠E n=∠B+∠F1+∠F2+…+∠Fn﹣1+∠D;【点评】本题考查了平行线的性质与判定,属于基础题,关键是过E点作AB(或CD)的平行线,把复杂的图形化归为基本图形.6.如图所示,已知AB∥CD,EF交AB于M交CD于F,MN⊥EF于M,MN交CD于N,若∠BME=110°,则∠MND=20° .【考点】平行线的性质.【分析】根据对顶角相等求出∠AMF,再求出∠AMN,然后根据两直线平行,内错角相等求解即可.【解答】解:∵∠BME=110°,∴∠AMF=∠BME=110°,∵MN⊥EF于M,∴∠NMF=90°,∴∠AMN=∠AMF﹣∠NMF=110°﹣90°=20°,∵AB∥CD,∴∠MND=∠AMN=20°.故答案为:20°.【点评】本题考查了平行线的性质,对顶角相等的性质,以及垂直的定义,是基础题,熟记性质并准确识图是解题的关键.7.如图,若直线a,b分别与直线c,d相交,且∠1+∠3=90°,∠2﹣∠3=90°,∠4=115°,那么∠3= 65°.【考点】平行线的判定与性质.【专题】计算题.【分析】由∠1+∠3=90°,∠2﹣∠3=90°,可得∠1+∠2=180°,则可得出a∥b,根据同旁内角互补即可得出答案.【解答】解:∵∠1+∠3=90°,∠2﹣∠3=90°,∴∠1+∠2=180°,∴∠1的对顶角+∠2=180°,∴a∥b,∴∠3+∠4的对顶角=180°,∵∠4=115°,∴∠3=180°﹣∠4=65°,故答案为:65°.【点评】本题考查了平行线的判定与性质,属于基础题,关键是正确理解与运用平行线的判定与性质.8.如图,已知AB∥CD,∠1=100°,∠2=120°,则∠α=40度.ﻬ【考点】平行线的性质.【专题】计算题.【分析】过点F作EF∥AB,由平行线的性质可先求出∠3与∠4,再利用平角的定义即可求出∠α.【解答】解:如图,过点F作EF∥AB,∴∠1+∠3=180°.∵∠1=100°,∴∠3=80°.∵AB∥CD,∴CD∥EF,∴∠4+∠2=180°,∵∠2=120°,∴∠4=60°.∴∠α=180°﹣∠3﹣∠4=40°.故应填40.【点评】本题的难点在于用辅助线构造平行线;关键点在于利用平行线的性质进行角的转化.9.已知两个角的两边分别平行,其中一个角为40°,那么另一角是 40或140 度.【考点】平行线的性质.【分析】两个角的两边分别平行,则两个角可能是同位角,也可能是同旁内角,所以应分情况讨论.【解答】解:当两个角是同位角时,则另一个角也等于40°;若两个角是同旁内角时,则另一个角是140°.故应填:40或140.【点评】会利用平行线性质求解角的大小,能够分析讨论一些简单的问题.ﻬ10.如图,下列条件中,不能判断直线l1∥l2的是()A.∠1=∠3B.∠2=∠3ﻩ C.∠4=∠5D.∠2+∠4=180°【考点】平行线的判定.【分析】根据平行线的判定定理:同位角相等,两直线平行;内错角相等,两直线平行;同旁内角互补,两直线平行分别进行分析即可.【解答】解:A、根据内错角相等,两直线平行可判断直线l1∥l2,故此选项不合题意;B、∠2=∠3,不能判断直线l1∥l2,故此选项符合题意;C、根据同位角相等,两直线平行可判断直线l1∥l2,故此选项不合题意;D、根据同旁内角互补,两直线平行可判断直线l1∥l2,故此选项不合题意;故选:B.【点评】此题主要考查了平行线的判定,关键是掌握平行线的判定定理.11.已知线段AB=10cm,点A,B到直线l的距离分别为6cm,4cm.符合条件的直线l有( )A.1条 B.2条ﻩ C.3条D.4条【考点】点到直线的距离.【分析】根据从直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离.画出图形进行判断.【解答】解:在线段AB的两旁可分别画一条满足条件的直线;作线段AB的垂线,将线段AB分成6cm,4cm两部分,所以符合条件的直线l有3条,故选C.【点评】此题主要考查了从直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离的定义.12.已知:如图所示,直线a,b都与直线c相交,给出下列条件:①∠1=∠2;②∠3=∠6;③∠4+∠7=180°;④∠5+∠8=180°.其中能判定a∥b的是( )A.①③ﻩB.②④ﻩC.①③④ D.①②③④【考点】平行线的判定;对顶角、邻补角.【分析】在复杂的图形中具有相等关系或互补关系的两角首先要判断它们是否是同位角、内错角或同旁内角,被判断平行的两直线是否由“三线八角”而产生的被截直线.【解答】解:①∵∠1=∠2,∴a∥b(同位角相等,两直线平行).②∵∠3=∠6,∴a∥b(内错角相等,两直线平行).③∵∠4+∠7=180°,∵∠4=∠6(对顶角相等),∴∠6+∠7=180°,∴a∥b(同旁内角互补,两直线平行).④同理得,a∥b(同旁内角互补,两直线平行).故选D.【点评】正确识别“三线八角"中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键,不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系,只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补,才能推出两被截直线平行.13.如图所示,AB∥EF∥DC,EG∥DB,则图中与∠1相等的角(∠1除外)共有()A.6个ﻩB.5个C.4个 D.2个【考点】平行线的性质.ﻬ【分析】由AB∥EF得∠FEG=∠1,由EG∥DB可得∠DBG=∠1;设BD与EF相交于点P,由AB∥EF得到∠FPB=∠DBG=∠1,∠DPE=∠DBG=∠1,又AB∥DC可以得到∠CDB=∠DBG=∠1,由此得到共有5个.【解答】解:∵AB∥EF,∴∠FEG=∠1,∵EG∥DB,∴∠DBG=∠1,设BD与EF相交于点P,∵AB∥EF,∴∠FPB=∠DBG=∠1,∠DPE=∠DBG=∠1,∵AB∥DC,∴∠CDB=∠DBG=∠1.∴共有5个.故选B.【点评】本题主要利用了由平行得到的内错角相等以及同位角相等,注意不要漏解.14.如图所示,已知∠1+∠2=180°,∠3=∠B,试判断∠AED与∠C的大小关系,并对结论进行说理.【考点】平行线的性质.【专题】探究型.【分析】由图中题意可先猜测∠AED=∠C,那么需证明DE∥BC.题中说∠1+∠2=180°,而∠1+∠4=180°所以∠2=∠4,那么可得到BD∥EF,题中有∠3=∠B,所以应根据平行得到∠3与∠ADE之间的关系为相等.就得到了∠B与∠ADE之间的关系为相等,那么DE∥BC.【解答】证明:∵∠1+∠4=180°(邻补角定义)∠1+∠2=180°(已知)∴∠2=∠4(同角的补角相等)∴EF∥AB(内错角相等,两直线平行)∴∠3=∠ADE(两直线平行,内错角相等)又∵∠B=∠3(已知),∴∠ADE=∠B(等量代换),∴DE∥BC(同位角相等,两直线平行)∴∠AED=∠C(两直线平行,同位角相等).【点评】本题是先从结论出发得到需证明的条件,又从所给条件入手,得到需证明的条件.属于典型的从两头往中间证明.15.如图,已知∠1十∠2=180°,∠A=∠C,AD平分∠BDF.求证:BC平分∠DBE.【考点】平行线的判定与性质.【专题】证明题.【分析】由已知易得∠1=∠BDC,则AE∥CF,所以∠EBC=∠BCD,又∠BAD=∠BCD,故∠EBC=∠BAD,可得AD∥BC,再用角平分线的定义和平行线的性质求证即可.【解答】证明:∵∠1十∠2=180°,∠1+∠EBD=180°,∴∠2=∠EBD,∴AE∥CF,∴∠FDB=∠DBE,∠BAD=∠ADF,又∵∠BAD=∠BCD,∴∠BCD=∠ADF,∴AD∥BC,∴∠DBC=∠BDA=∠FDB=∠DBE,∴BC平分∠DBE.ﻬ【点评】此题考查了平行线的判定和性质,综合利用了角平分线的定义,要充分利用已知条件.16.在同一平面内有2002条直线a1,a2,…,a2002,如果a1⊥a2,a2∥a3,a3⊥a4,a4∥a5,…,那么a1与a2002的位置关系是垂直.【考点】垂线;平行线.【专题】压轴题;规律型.【分析】a1与后面的直线按垂直、垂直、平行、平行每4条直线一循环.根据此规律可求a1与a2002的位置关系是垂直.【解答】解:∵a1与后面的直线按垂直、垂直、平行、平行每4条直线一循环.∴(2002﹣1)÷4=500余1,故答案为:垂直.【点评】本题难点在规律的探索,要认真观察即可得出规律.17.若平面上4条直线两两相交且无三线共点,则共有同旁内角24对.【考点】同位角、内错角、同旁内角.【专题】几何图形问题.【分析】一条直线与另3条直线相交(不交于一点),有3个交点.每2个交点决定一条线段,共有3条线段.4条直线两两相交且无三线共点,共有3×4=12条线段.每条线段两侧各有一对同旁内角,可知同旁内角的总对数.【解答】解:∵平面上4条直线两两相交且无三线共点,∴共有3×4=12条线段.又∵每条线段两侧各有一对同旁内角,∴共有同旁内角12×2=24对.故答案为:24.【点评】本题考查了同旁内角的定义.注意在截线的同旁找同旁内角.要结合图形,熟记同旁内角的位置特点.两条直线被第三条直线所截所形成的八个角中,有两对同旁内角.ﻬ18.如图,已知l1∥l2,AB⊥l1,∠ABC=130°,则∠α=40°.【考点】平行线的性质.【专题】计算题.【分析】过点B作EF∥l1∥l2,再根据平行线的性质不难求得∠α的度数.【解答】解:过点B作EF∥l1∥l2∵EF∥l1∥l2,AB⊥l1∴∠ABF=90°∵∠ABC=130°∴∠FBC=40°∵EF∥l1∥l2∴∠FBC=∠α=40°故答案为:40°【点评】此题主要考查平行线的性质定理:定理1:两条平行线被第三条直线所截,同位角相等.简单说成:两直线平行,同位角相等.定理2:两条平行线被地三条直线所截,同旁内角互补.简单说成:两直线平行,同旁内角互补.定理3:两条平行线被第三条直线所截,内错角相等. 简单说成:两直线平行,内错角相等.19.如图,直线AB∥CD,∠EFA=30°,∠FGH=90°,∠HMN=30°,∠CNP=50°,则∠GHM的大小是40°.【考点】平行线的性质;三角形的外角性质;多边形内角与外角.【专题】计算题.【分析】作辅助线:延长PM、EG交于点K;PM延长线交AB于点L.利用平行线性质进行求解.【解答】解:辅助线延长PM、EG交于点K,PM延长线交AB于点L.如图:∵AB∥CD,∴∠ALM=∠LND=50°;∴∠MKG=∠BFG+∠ALM=80°.∵∠HMN=30°,∴∠HMK=150°;∵∠FGH=90°,∴∠GHM=360°﹣∠HMK﹣∠MKG﹣∠MGH=360°﹣150°﹣80°﹣90°=40°.【点评】考查了平行线的性质的应用.本题综合性较强.20.如图,D、G是△ABC中AB边上的任意两点,DE∥BC,GH∥DC,则图中相等的角共有( )A.4对B.5对 C.6对D.7对【考点】平行线的性质.【分析】可利用平行线内错角相等,同位角相等的性质得出图中相等的角.【解答】解:由DE∥BC,可得∠ADE=∠ABC,∠AED=∠ACB,∠EDC=∠DCB,由GH∥DC,可得∠BDC=∠BGH,∠HGD=∠ADC,∠DCB=∠GHB,∵∠EDC=∠DCB,∠DCB=∠GHB,∴∠EDC=∠BHG,∴题中共有7对相等的角.故选D.【点评】本题主要考查平行线的性质,即同位角相等,内错角相等,所以熟练掌握平行线的性质.21.如图,若AB∥CD,则( )A.∠1=∠2+∠3 B.∠1=∠3﹣∠2C.∠1+∠2+∠3=180°ﻩD.∠l﹣∠2+∠3=180°【考点】平行线的性质.【分析】先根据平行线的性质由AB∥CD得到∠3=∠4,再根据三角形外角性质得∠1=∠2+∠4,等量代换后得到∠1=∠2+∠3.【解答】解:延长BA交EC于F,如图,∵AB∥CD,∴∠3=∠4,∵∠1=∠2+∠4,∴∠1=∠2+∠3.故选A.【点评】本题考查了平行线性质:两直线平行,同位角相等;两直线平行,同旁内角互补;两直线平行,内错角相等.也考查了三角形外角性质.22.如图:已知AB∥CD∥EF,EH⊥CD于H,则∠BAC+∠ACE+∠CEH等于()A.180°ﻩB.270°C.360°D.450°【考点】平行线的性质.【专题】计算题.【分析】根据平行线的性质可以求得:∠BAC与∠ACD,∠DCE与∠CEF的度数的和,再减去∠HEF的度数即可.【解答】解:∵AB∥CD,∴∠BAC+∠ACD=180°,同理∠DCE+∠CEF=180°,∴∠BAC+∠ACE+∠CEF=360°;又∵EH⊥CD于H,∴∠HEF=90°,∴∠BAC+∠ACE+∠CEH=∠BAC+∠ACE+∠CEF﹣∠HEF=360°﹣90°=270°.故选B.【点评】本题主要考查了平行线的性质:两直线平行同旁内角互补.23.如图,AB∥EF,∠C=90°,则α、β和γ的关系是( )A.β=α+γﻩB.α+β+γ=180° C.α+β﹣γ=90°ﻩ D.β+γ﹣α=180°【考点】平行线的性质.【分析】此题可以构造辅助线,利用三角形的外角的性质以及平行线的性质建立角之间的关系.【解答】解:延长DC交AB与G,延长CD交EF于H.在直角△BGC中,∠1=90°﹣α;△EHD中,∠2=β﹣γ,∵AB∥EF,∴∠1=∠2,∴90°﹣α=β﹣γ,即α+β﹣γ=90°.故选:C.【点评】本题考查的是平行线的性质,根据题意作出辅助线是解答此题的关键.24.如图,已知AB∥CD,P为HD上任意一点,过P点的直线交HF于O点,试问:∠HOP、∠AGF、∠HPO有怎样的关系?用式子表示并证明.【考点】平行线的性质;三角形的外角性质.【分析】可过点O作OM∥CD,利用内错角相等,再通过转化即可得出结论.【解答】解:∠HOP=∠AGF﹣∠HPO,过点O作OM∥CD,如图,则∠AGF=∠HOM,∠HPO=∠POM,∠HOP=∠HOM﹣∠POM,∴∠HOP=∠AGF﹣∠HPO.【点评】本题主要考查平行线的性质,能够熟练运用平行线的性质求解角之间的关系问题.25.如图,AB∥ED,α=∠A+∠E,β=∠B+∠C+∠D.证明:β=2α【考点】平行线的判定与性质;多边形内角与外角.【专题】证明题.【分析】此题的关键是过点C作AB的平行线,再利用平行线的性质和判定,得出∠A+∠E=180°,∠B+∠C+∠D=360°,即可证明.【解答】证法1:∵AB∥ED,∴α=∠A+∠E=180°(两直线平行,同旁内角互补)过C作CF∥AB(如图1)∵AB∥ED,∴CF∥ED(平行于同一条直线的两条直线平行)∵CF∥AB,∴∠B=∠1,(两直线平行,内错角相等)又∵CF∥ED,∴∠2=∠D,(两直线平行,内错角相等)∴β=∠B+∠C+∠D=∠1+∠BCD+∠2=360°(周角定义)∴β=2α(等量代换)证法2:∵AB∥ED,∴α=∠A+∠E=180°(两直线平行,同旁内角互补)过C作CF∥AB(如图2)∵AB∥ED,∴CF∥ED(平行于同一条直线的两条直线平行)∵CF∥AB,∴∠B+∠1=180°,(两直线平行,同旁内角互补)又∵CF∥ED,∴∠2+∠D=180°,(两直线平行,同旁内角互补)∴β=∠B+∠C+∠D=∠B+∠1+∠2+∠D=180°+180°=360°,∴β=2α(等量代换)【点评】此题考查平行线的判定和性质,辅助线的作法很关键,也是常见作法,需掌握.26.平面上有7条不同的直线,如果其中任何三条直线都不共点.(1)请画出满足上述条件的一个图形,并数出图形中各直线之间的交点个数;(2)请再画出各直线之间的交点个数不同的图形(至少两个);(3)你能否画出各直线之间的交点个数为n的图形,其中n分别为6,21,15?(4)请尽可能多地画出各直线之间的交点个数不同的图形,从中你能发现什么规律?【考点】平行线;相交线.【专题】规律型.【分析】从平行线的角度考虑,先考虑六条直线都平行,再考虑五条、四条,三条,二条直线平行,都不平行作出草图即可看出.ﻬ从画出的图形中归纳规律即可得到答案.【解答】解:(1)如图1所示;交点共有6个,(2)如图2,3.(3)当n=6时,必须有6条直线平行,都与一条直线相交.如图4,当n=21时,必须使7条直线中的每2条直线都相交(即无任何两条直线平行)如图5,当n=15时,如图6,(4)当我们给出较多答案时,从较多的图形中,可以总结出以下规律:①当7条直线都相互平行时,交点个数是0,这是交点最少,②当7条直线每两条均相交时,交点个数为21,这是交点最多.ﻬ【点评】此题主要考查了平行线与相交线,关键是根据一定的规律画出图形,再再根据图形归纳规律.27.如图,直线CB∥OA,∠C=∠BAO=120°,E、F在CB上,且满足∠FOB=∠AOB,OE平分∠COF.(1)求∠EOB的度数;(2)若平行移动AB,那么∠OBC:∠OFC的值是否随之发生变化?若变化,找出变化规律或求出变化范围;若不变,求出这个比值;(3)在平行移动AB的过程中,是否存在某种情况,使∠OEC=∠OBA?若存在,求出其度数;若不存在,说明理由.【考点】平行线的性质;三角形内角和定理;角平分线的性质;平移的性质.【专题】几何图形问题.【分析】(1)根据两直线平行,同旁内角互补求出∠AOC,再根据角平分线的定义求出∠EOB=∠AOC,代入数据即可得解;(2)根据两直线平行,内错角相等可得∠OBC=∠BOA,从而得到∠OBC=∠FOB,再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠OFC=2∠OBC,从而得解;(3)设∠AOB=x,根据两直线平行,内错角相等表示出∠CBO=∠AOB=x,再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠OEC,然后利用三角形的内角和等于180°列式表示出∠OBA,然后列出方程求解即可.【解答】解:(1)∵CB∥OA,∴∠AOC=180°﹣∠C=180°﹣120°=60°,∵∠FOB=∠AOB,OE平分∠COF,∴∠EOB=∠AOC=×60°=30°;(2)∠OBC:∠OFC的值不会发生变化,为1:2,ﻬ∵CB∥OA,∴∠OBC=∠BOA,∵∠FOB=∠AOB,∴∠OBC=∠FOB,∴∠OFC=∠OBC+∠FOB=2∠OBC,∴∠OBC:∠OFC=1:2;(3)当平行移动AB至∠OBA=45°时,∠OEC=∠OBA.设∠AOB=x,∵CB∥AO,∴∠CBO=∠AOB=x,∵∠OEC=∠CBO+∠EOB=x+30°,∠OBA=180°﹣∠A﹣∠AOB=180°﹣120°﹣x=60°﹣x,∴x+30°=60°﹣x,∴x=15°,∴∠OEC=∠OBA=60°﹣15°=45°.【点评】本题考查了平行线的性质,平移的性质,角平分线的定义,三角形的内角和定理,图形较为复杂,熟记性质并准确识图是解题的关键.。
第3讲 平行线的性质
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全方位教学辅导教案学科:数学任课教师:授课时间: 2020 年月日(星期)【知识讲解】一、平行线的性质1、性质1:两条平行线被第三条直线所截,同位角相等。
2、性质2:两条平行线被第三条直线所截,内错角相等。
3、性质3:两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补。
提示:(1)只有当两条直线平行时,才会有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补。
(2)平行线的性质和判定是直线的位置关系和角的数量关系之间的相互转换,不同的是性质以平行为条件,即由平行得到角相等或互补;判定是以平行为结论,即由角相等或互补得到两条直线平行。
二、命题1.命题的定义:判断一件事的语句叫做命题2.命题的构成:(1)命题是由题设和结论两部分组成的,题设是已知事项,结论是由已知事项退出的事项。
(2)命题通常可以写成“如果……那么……”的形式,这时“如果”后接的部分是题设,“那么”后接的部分是结论。
例如,命题是“对顶角相等”,可以改写成:如果两个角使对顶角,那么这两个角相等。
题设:两个角是对顶角,结论:这个两个角相等。
3.命题分类:如果题设成立,结论一定成立,这样的命题是真命题;如果题设成立,结论不一定成立,这样的命题是假命题。
提示:(1)命题是用语句的形式对某件事作出肯定或否定的判断,这些判断包含“是”或“不是”,“具有”或“不具有”的特点。
(2)命题是一种判断,这种判断可能正确也可能错误。
(3)在找命题的题设和结论时,要分清命题的“已知事项”和“推出事项”(4)为了准确表达命题的题设和结论,有时需要对命题的语序进行调整或增减,使语句通顺、语意明确,但是不能改变原意。
总结:判断一个语句是不是命题,关键是看他是否对一件事作出了判断,命题的题设和结论不明显时,通常把语句改写成:如果……那么……的形式,“如果”后面接的是题设,“那么”后面接的是结论。
三、定理和证明1.定理:一些命题,它们的正确性是经过推理证实的,这样得到的真命题叫做定理,即所有的定理都是真命题。
数学人教版七年级下册平行线中应注意的分类讨论
![数学人教版七年级下册平行线中应注意的分类讨论](https://img.taocdn.com/s3/m/2e944c25eff9aef8941e06c3.png)
《平行线中应注意的分类讨论》西平县出山初级中学焦华刚教学目标:知识与技能:1.掌握平行线的判定方法与性质,并会运用判定方法与性质解决实际问题;2.经历利用平行线的性质探究两个角之间的关系;3.经历利用平行线的判定与性质探究折线、拐点的问题;4.初步了解推理论证的方法,逐步培养逻辑推理能力,以及渗透并培养学生的分类讨论的思想意识。
过程与方法:经历操作、观察、想象、推理、交流等活动,进一步发展学生的空间观念、推理能力与有条理的表达能力,让学生根据不同位置的图形能够产生分类讨论的意识,进而逐渐提高自身全面考虑问题的习惯。
情感态度与价值观:通过观察和动手操作,体会探索过程,学会推理的数学思想方法,培养主动探索、勇于发现、敢于实践与合作交流的习惯。
学情分析:由于学生对上册《几何图形初步》一章已有初步认识,并且已经学习了《相交线与平行线》的有关知识,根据学生的年龄特点,以及在以往的教学中学生对平行线的性质与判定方法容易混淆在一起,因此,本章学习后及时开展渗透并培养学生分类讨论思想的综合课,目的是学生能够在操作、观察、推理、交流中更加牢固地、系统地掌握平行线的性质与判定方法,能够正确的区分平行线的性质与判定,并且能够熟练应用平行线的性质与判定解决实际问题。
教学重点、难点:重点:利用平行线的性质探究两个角之间的关系.利用平行线的性质与判定探究折线、拐点的问题。
难点:利用平行线的性质探究两个角之间的关系.利用平行线的性质与判定探究折线、拐点的问题。
教学过程:一、创设情境:活动(1)同学们,请你画一画。
在同一平面内不重合的三条直线交点个数可能有几个?四条直线呢?分析与解答:因为三条直线的位置关系不清楚,故应该分类讨论:①若三条直线互相平行,则三条直线没有交点,或说成三条直线有0个交点。
如图a所示。
②若两条直线互相平行,第三条直线与它们相交,则它们有两个交点。
如图b所示③若三条直线相交于同一点时,则它们有1个交点。
如图c所示④若三条直线两两相交,且不交于同一点时,则它们有3个交点。
专题02 《相交线与平行线》解答题、证明题重点题型分类(原卷版)
![专题02 《相交线与平行线》解答题、证明题重点题型分类(原卷版)](https://img.taocdn.com/s3/m/a7d4209e760bf78a6529647d27284b73f3423604.png)
专题02 《相交线与平行线》解答题、证明题重点题型分类专题简介:本份资料专攻《相交线与平行线》中“利用平行线的性质求角”、“利用平行线的判定及性质证明平行”、“利用平行线的判定及性质证明角相等”、“平行线中构造平行线”解答题、证明题重点题型;适用于老师给学生作复习培训时使用或者考前刷题时使用。
考点1:利用平行线的性质求角方法点拨:题目中出现两直线平行的条件时,应立即想到平行线的三个性质,要注意分析图形特征,明确角与角的位置关系从而明确角与角之间的数量关系是相等还是互补。
平行线还通常会和角平分线、垂线等知识结合,求角的度数时需要根据已知条件综合利用角平分线、垂线的定义以及对顶角、领补角互补等性质求解!1.如图,已知:DE//BC,CD是∠ACB的平分线,∠B=80°,∠A=50°,求:∠EDC与∠BDC的度数.2.两个直角三角板如图摆放,其中∠BAC=∠EDF=90°,∠E=45°,∠C=30°,AB与DF交于点M,BC∥EF,求∠BMD的度数.3.如图所示,AB//CD,G为AB上方一点,E、F分别为AB、CD上两点,∠AEG=4∠GEB,∠CFG=2∠GFD,∠GEB和∠GFD的角平分线交于点H,求∠G+∠H的值.4.如图所示,AB//CD,点E为两条平行线外部一点,F为两条平行线内部一点,G、H分别为AB、CD上两点,GB平分∠EGF,HF平分∠EHD,且2∠F与∠E互补,求∠EGF的大小.5.如图,CD∥AB,点O在直线AB上,OE平分∠BOD,OF⊥OE,∠D=110°,求∠DOF的度数.6.小明同学遇到这样一个问题:如图①,已知:AB∥CD,E为AB、CD之间一点,连接BE,ED,得到∠BED.求证:∠BED=∠B+∠D.小亮帮助小明给出了该问的证明.证明:过点E作EF∥AB则有∠BEF=∠B∵AB∥CD∴EF∥CD∴∠FED=∠D∴∠BED=∠BEF+∠FED=∠B+∠D请你参考小亮的思考问题的方法,解决问题:(1)直线l1∥l2,直线EF和直线l1、l2分别交于C、D两点,点A、B分别在直线l1、l2上,猜想:如图②,若点P在线段CD上,∠PAC=15°,∠PBD=40°,求∠APB的度数.(2)拓展:如图③,若点P在直线EF上,连接PA、PB(BD<AC),直接写出∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量关系.考点2:利用平行线的判定及性质证明平行方法点拨:“由角定线”,也就是根据某些角的相等或互补关系来判断两直线平行,解此类题目必须要掌握好平行线的判定方法。
平行线的判定与性质(含答案)-
![平行线的判定与性质(含答案)-](https://img.taocdn.com/s3/m/f801243754270722192e453610661ed9ad515575.png)
22.平行线的判定与性质知识纵横在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线(parallel lines).角是平面几何图形中最活跃的元素,前面我们已学习过特殊角、•数量关系角等角的知识。
当两条直线相交或分别与第三条直线相交,就产生对顶角、同位角、内错角、同旁内角等位置关系角,进一步丰富了角的知识,它们在角的计算与证明中有广泛的应用。
与平行线相关的问题一般都是平行线的判定与性质的综合运用,主要体现在如下两个方面:1.由角定角 已知角的关系−−−→判定两直线平行−−−→性质确定其他角的关系.2.由线定线 已知两直线平行−−−→性质角的关系−−−→判定确定其他两直线平行.例题求解【例1】如图,AB ∥CD,AC ⊥BC,图中与∠CAB 互余的角有_______个.(2003年安徽省中考题)思路点拨 充分运用对顶角、平行线性质等与角相关的知识,借助互余的概念判断。
解:3个 提示:分别为∠BCD,∠ABC,∠EBF. 【例2】如图,平行直线AB 、CD 与相交直线EF 、GH 相交,图中的同旁内角共有( • ).A.4对B.8对C.12对D.16对 (第11届“希望杯”邀请赛试题) 思路点拨 每一个“三线八角”基本图形都有两对同旁内角,从对原图形进行分解入手。
解:选D 提示:原图形可分解出如下8个基本图形.BFDG E C AB FHD GECA【例3】如图,已知∠B=25°,∠BCD=45°,∠CDE=30°,∠E=10°,求证:AB∥EF思路点拨解本例的困难在于图形中没有“三线八角”,考虑创造条件,在图中添置“三线八角”或作出与AB或CD平行的直线。
解:过C点作CG∥AB,过点D作DH∥AB,可证得∠HDE=10°=∠DEF,故HD∥EF,•又HD∥AB,所以AB∥EF.【例4】如图,在△ABC中,CE⊥AB于E,DF⊥AB于F,AC∥ED,CE是∠ACB的平分线.•求证:∠EDF=∠BDF.思路点拨综合运用角平分线、垂直(vertical)的定义、平行线的判定与性质等知识,因图形复杂,故需恰当分解图形.解:提示:由DF∥CE得,∠BDF=∠BCE,∠FDE=∠DEC,由AC∥DE得,∠DEC=∠ECA【例5】探究:(1)如图a,若AB∥CD,则∠B+∠D=∠E,你能说明为什么吗?(2)反之,若∠B+∠D=∠E,直线AB与CD有什么位置关系?请证明;(3)若将点E移至图b所示位置,此时∠B、∠D、∠E之间有什么关系?请证明;(4)若将E点移至图c所示位置,情况又如何?(5)在图d中,AB∥CD,∠E+∠G与∠B+∠F+∠D又有何关系?(6)在图e中,若AB∥CD,又得到什么结论?B F DE CAB FDECAB (a)DE CA B (b)DEC A(c)B D EC A B (d)F DG E C A F 2E nE 2F n-1F 1B(e)DE 1CA思路点拨:已知AB ∥CD,连结AB 、CD 的折线内折或外折;或改变E 点位置、•或增加折线的条数,通过适当地改变其中的一个条件,就能得出新的结论,给我们创造性的思考留下了极大的空间。
七年级(下)数学重难点专题训练:平行线中拐点问题模型汇总(40道经典题)
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七年级下数学重难点专题训练:平行线拐点问题模型汇总模型一:“M”型(猪蹄模型)例:1.(1)如图1,已知AB∥CD,求证:∠BED=∠1+∠2.(2)如图2,已知AB∥CD,写出∠1、∠EGH与∠2、∠BEG之间数量关系,并加以证明.(3)如图3,已知AB∥CD,直接写出∠1、∠3、∠5、与∠2、∠4、∠6之间的关系.【分析】(1)过点E作EF∥AB,依据平行线的性质,即可得到∠3+∠4=∠1+∠2,进而得出∠BED=∠1+∠2;(2)分别过点E、G作EF∥AB,GH∥AB,依据平行线的性质,即可得到∠1+∠5+∠6=∠3+∠4+∠2,进而得到∠1+∠EGH=∠2+∠BEG;(3)分别过平行线间的折点作AB的平行线,依据平行线的性质,即可得到∠1、∠3、∠5与∠2、∠4、∠6之间的关系.【解答】解:(1)证明:如图,过点E作EF∥AB,∵AB∥CD,∴AB∥CD∥EF,∴∠3=∠1,∠4=∠2,∴∠3+∠4=∠1+∠2,即∠BED=∠1+∠2;(2)∠1+∠EGH=∠2+∠BEG,理由如下:如图,分别过点E、G作EF∥AB,GH∥AB,∵AB∥CD,∴AB∥EF∥GH∥CD,∴∠1=∠3,∠4=∠5,∠6=∠2,∴∠1+∠5+∠6=∠3+∠4+∠2,即∠1+∠EGH=∠2+∠BEG;(3)由题可得,向左的角度数之和与向右的角度数之和相等,∴∠1、∠3、∠5与∠2、∠4、∠6之间的关系为:∠1+∠3+∠5=∠2+∠4+∠6.通关训练:2.如图,已知AB∥CD,∠B=30°,∠D=120°.(1)若∠E=60°,则∠F=.(2)请探索∠E与∠F之间满足何数量关系?并说明理由;(3)如图2,已知EP平分∠BEF,FG平分∠EFD,反向延长FG交EP于点P,求∠P 的度数.3.如图,AB∥CD,点A,E,B,C不在同一条直线上.(1)如图1,求证:∠E+∠C﹣∠A=180°(2)如图2.直线F A,CP交于点P,且∠BAF=∠BAE,∠DCP=∠DCE.①试探究∠E与∠P的数量关系:②如图3,延长CE交P A于点Q,若AE∥PC,∠BAQ=α(0°<α<22.5°),则∠PQC的度数为(用含α的式子表示)4.如图,已知AB∥CD,现将直角三角形PMN放入图中,其中∠P=90°,PM交AB于点E,PN交CD于点F.(1)当直角三角形PMN所放位置如图①所示时,∠PFD与∠AEM存在怎样的数量关系?请说明理由.(2)当直角三角形PMN所放位置如图②所示时,请直接写出∠PFD与∠AEM之间存在的数量关系.(3)在(2)的条件下,若MN与CD交于点O,且∠AEM=40°,∠DON=20°,则∠N的度数为.5.已知,AB∥CD.点M在AB上,点N在CD上.(1)如图1中,∠BME、∠E、∠END的数量关系为:;(不需要证明)如图2中,∠BMF、∠F、∠FND的数量关系为:;(不需要证明)(2)如图3中,NE平分∠FND,MB平分∠FME,且2∠E+∠F=180°,求∠FME的度数;(3)如图4中,∠BME=60°,EF平分∠MEN,NP平分∠END,且EQ∥NP,则∠FEQ 的大小是否发生变化,若变化,请说明理由,若不变化,求出∠FEQ的度数.6.请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记,然后解决问题.小明:老师说在解决有关平行线的问题时,如果无法直接得到角的关系,就需要借助辅助线来帮助解答,今天老师介绍了一个“美味”的模型﹣﹣﹣“猪蹄模型”.即已知:如图1,AB∥CD,E为AB、CD之间一点,连接AE,CE得到∠AEC.求证:∠AEC=∠A+∠C.小明笔记上写出的证明过程如下:证明:过点E作EF∥AB,∴∠1=∠A.∵AB∥CD,EF∥AB,∴EF∥CD.∴∠2=∠C.∵∠AEC=∠1+∠2,∴∠AEC=∠A+∠C.请你利用“猪蹄模型”得到的结论或解题方法,完成下面的两个问题.(1)如图2,若AB∥CD,∠E=60°,则∠B+∠C+∠F=.(2)如图3,AB∥CD,BE平分∠ABG,CF平分∠DCG,∠G=∠H+27°,E、B、H 共线,F、C、H共线,则∠H=.7.如图1,已知AB∥CD,BP、DP分别平分∠ABD、∠BDC.(1)∠BPD=°;(2)如图2,将BD改为折线BED,BP、DP分别平分∠ABE、∠EDC,其余条件不变,若∠BED=140°,求∠BPD的度数;(3)如图3,若∠BEF=152°,∠EFD=136°,BP、DP分别平分∠ABE、∠CDF,其余条件不变,那么∠BPD=°.8.已知AB∥CD,点E在AB与CD之间.(1)图1中,试说明:∠BED=∠ABE+∠CDE;(2)图2中,∠ABE的平分线与∠CDE的平分线相交于点F,请利用(1)的结论说明:∠BED=2∠BFD.(3)图3中,∠ABE的平分线与∠CDE的平分线相交于点F,请直接写出∠BED与∠BFD之间的数量关系.9.已知:点E、点G分别在直线AB、直线CD上,点F在两直线外,连接EF、FG (1)如图1,AB∥CD,求证:∠AEF+∠FGC=∠EFG;(2)若直线AB与直线CD不平行,连接EG,且EG同时平分∠BEF和∠FGD如图2,请探索∠AEF、∠FGC、∠EFG之间的数量关系?并说明理由.10.如图,已知AB∥CD.(1)发现问题:若∠ABF=∠ABE,∠CDF=∠CDE,则∠F与∠E的等量关系为.(2)探究问题:若∠ABF=∠ABE,∠CDF=∠CDE.猜想:∠F与∠E的等量关系,并证明你的结论.(3)归纳问题:若∠ABF=∠ABE,∠CDF=∠CDE.直接写出∠F与∠E的等量关系.11.【引入】如图1,已知∠ABC+∠ECB=180°,∠P=∠Q,求证:∠1=∠2.【变式】如图2,AB∥CD,∠1=∠2,求证:∠F=∠M模型二:铅笔模型例:12.模型与应用.【模型】(1)如图①,已知AB∥CD,求证∠1+∠MEN+∠2=360°.【应用】(2)如图②,已知AB∥CD,则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数为.如图③,已知AB∥CD,则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+…+∠n的度数为.(3)如图④,已知AB∥CD,∠AM1M2的角平分线M1O与∠CM n M n﹣1的角平分线M n O 交于点O,若∠M1OM n=m°.在(2)的基础上,求∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+……+∠n ﹣1的度数.(用含m、n的代数式表示)【分析】(1)过点E作EF∥CD,根据平行线的判定得出EF∥AB,根据平行线的性质得出即可;(2)过E作EQ∥CD,过F作FW∥CD,过G作GR∥CD,过H作HY∥CD,根据平行线的判定得出EQ∥FW∥GR∥HY∥AB∥CD,根据平行线的性质得出即可;(3)过点O作SR∥AB,根据平行线的性质得出即可;【解答】(1)证明:过点E作EF∥CD,∵AB∥CD,∴EF∥AB,∴∠1+∠MEF=180°,同理∠2+∠NEF=180°,∴∠1+∠2+∠MEN=360°;【应用】(2)过E作EQ∥CD,过F作FW∥CD,过G作GR∥CD,过H作HY∥CD,∵CD∥AB,∴EQ∥FW∥GR∥HY∥AB∥CD,∴∠1+∠MEQ=180°,∠QEF+∠EFW=180°,∠WFG+∠FGR=180°,∠RGH+∠GHY=180°,∠YHN+∠6=180°,∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=5×180°=900°,同理∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+…+∠n=180°(n﹣1),故答案为:900°,180°(n﹣1);(3)解:过点O作SR∥AB,∵AB∥CD,∴SR∥CD,∴∠AM1O=∠M1OR同理∠C M n O=∠M n OR∴∠A M1O+∠CM n O=∠M1OR+∠M n OR,∴∠A M1O+∠CM n O=∠M1OM n=m°,∵M1O平分∠AM1M2,∴∠AM1M2=2∠A M1O,同理∠CM n M n﹣1=2∠CM n O,∴∠AM1M2+∠CM n M n﹣1=2∠AM1O+2∠CM n O=2∠M1OM n=2m°,又∵∠A M1M2+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+……+∠n﹣1+∠CM n M n﹣1=180°(n﹣1),∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+…+∠n﹣1=(180n﹣180﹣2m)°.通关训练:13.如图1,MA1∥NA2,则∠A1+∠A2=度.如图2,MA1∥NA3,则∠A1+∠A2+∠A3=度.如图3,MA1∥NA4,则∠A1+∠A2+∠A3+∠A4=度.如图4,MA1∥NA5,则∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5=度.从上述结论中你发现了什么规律?如图5,MA1∥NA n,则∠A1+∠A2+∠A3+…+∠A n=度.14.如图,AB∥CD,点F在CE上,∠EAF=∠BAF,若∠AEC=105°,∠DCE=115°,求∠AFC的度数.15.直线AB∥CD,E为直线AB、CD之间的一点,完成以下问题:(1)如图1,若∠B=15°,∠BED=90°,则∠D=;(2)如图2,若∠B=α,∠D=β,求出∠BED的度数(用a、β表示);(3)如图3,若∠B=α,∠C=β,则a、β与∠BEC之间有什么等量关系?请猜想证明.16.问题情境:如图1,AB∥CD,∠P AB=135°,∠PCD=125°.求∠APC度数.小明的思路是:如图2,过P作PE∥AB,通过平行线性质,可求得∠APC的度数.请写出具体求解过程.问题迁移:(1)如图3,AD∥BC,点P在射线OM上运动,当点P在A、B两点之间运动时,∠ADP=∠α,∠BCP=∠β.∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系?请说明理由;(2)在(1)的条件下,如果点P在A、B两点外侧运动时(点P与点A、B、O三点不重合),请你直接写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系.17.如图,BN∥CD,点A是直线BN上一点,P是直线AB与直线CD之间一点,连接AP,PC.(1)求证:∠BAP+∠C=∠P;(2)过点C作CM平分∠PCD,过点C作CE⊥CM交∠NAP的角平分线于点E,过点P作PF∥AE交CM于点F,探索∠CFP和∠APC的数量关系,并说明理由;(3)在(2)的条件下,若2∠AEC﹣∠CPF=240°,Q是直线CD上一点,请直接写出∠PFQ和∠FQD的数量关系.模型三:钩型(臭脚模型和骨折模型)例:18.(1)如图1,AB∥CD,CF平分∠DCE,若∠DCF=30°,∠E=20°,求∠ABE 的度数;(2)如图2,已知AB∥CD,∠EBF=2∠ABF,CF平分∠DCE,若∠F的2倍与∠E的补角的和为190°,求∠ABE的度数;(3)如图3,若P是(2)中的射线BE上一点,G是CD上任一点,PQ平分∠BPG,PQ∥GN,GM平分∠DGP,若∠B=30°,求∠MGN的度数.【分析】根据平行线的判定与性质,三角形的内角和定理,三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质,角平分线的定义解答即可.【解答】解:(1)过E作EM∥AB∵AB∥CD∴CD∥EM∥AB∴∠ABE=∠BEM∠DCE=∠CEM∵CF平分∠DCE∴∠DCE=2∠DCF∵∠DCF=30°∴∠DCE=60°∴∠CEM=60°又∵∠CEB=20°∴∠BEM=∠CEM﹣∠CEB=40°∴∠ABE=40°,(2)过E作EM∥AB,过F作FN∥AB∵∠EBF=2∠ABF∴设∠ABF=x,∠EBF=2x,则∠ABE=3x ∵CF平分∠DCE∴设∠DCF=∠ECF=y,则∠DCE=2y∵AB∥CD∴EM∥AB∥CD∴∠DCE=∠CEM=2y∠BEM=∠ABE=3x∴∠CEB=∠CEM﹣∠BEM=2y﹣3x同理∠CFB=y﹣x∵2∠CFB+(180°﹣∠CEB)=190°∴2(y﹣x)+180°﹣(2y﹣3x)=190°∴x=10°∴∠ABE=3x=30°,(3)过P作PL∥AB∵GM平分∠DGP∴设∠DGM=∠PGM=y,则∠DGP=2y ∵PQ平分∠BPG∴设∠BPQ=∠GPQ=x,则∠BPG=2x∵PQ∥QN∴∠PGN=∠GPQ=x∵AB∥CD∴PL∥AB∥CD∴∠GPL=∠DGP=2y∠BPL=∠ABP=30°∵∠BPL=∠GPL﹣∠BPG∴30°=2y﹣2x∴y﹣x=15°∵∠MGN=∠PGM﹣∠PGN=y﹣x∴∠MGN=15°.通关训练:19.已知AM∥CN,点B为平面内一点,AB⊥BC于B.(1)如图1,直接写出∠A和∠C之间的数量关系;(2)如图2,过点B作BD⊥AM于点D,求证:∠ABD=∠C;(3)如图3,在(2)问的条件下,点E、F在DM上,连接BE、BF、CF,BF平分∠DBC,BE平分∠ABD,若∠FCB+∠NCF=180°,∠BFC=3∠DBE,求∠EBC的度数.20.为增强学生体质,感受中国的传统文化,学校将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入阳光特色大课间.如图是某同学“抖空竹”时的一个瞬间,王聪把它抽象成如图的数学问题:已知AB∥CD,∠EAB=80°,∠ECD=110°,求∠E的度数.21.如图,BE∥CF,∠A=30°,∠C=80°,求∠B的度数.22.(1)(问题)如图1,若AB∥CD,∠AEP=40°,∠PFD=130°.求∠EPF的度数;(2)(问题迁移)如图2,AB∥CD,点P在AB的上方,问∠PEA,∠PFC,∠EPF之间有何数量关系?请说明理由;(3)(联想拓展)如图3所示,在(2)的条件下,已知∠EPF=α,∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G,用含有α的式子表示∠G的度数.23.已知AB∥CD,点E在AB上,点G在CD上,点F在直线AB、CD之间,分别连接EF、FG,∠BEF+∠DGF=2∠EFG.(1)如图1,求∠EFG的度数;(2)如图2,若∠BEF的角平分线与FG的延长线交于点M,求证:∠AEF﹣2∠FME =60°;(3)如图3,已知点P在FG的延长线上,点K在CD上,点N在∠PGC内,分别连接NG,NK.若NK∥EF,∠PGN=2∠NGC,请直接写出∠AEF﹣∠GNK的值.24.同一平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系.(1)如图1,若AB∥CD,点P在AB、CD内部,请写出∠BPD、∠B、∠D之间的数量关系(不必说明理由);(2)如图2,将直线AB绕点B逆时针方向转一定角度交直线CD于点Q,利用(1)中的结论求∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之间有何数量关系?并证明你的结论;(3)如图3,设BF交AC于点M,AE交DF于点N.已知∠AMB=140°,∠ANF=105°,利用(2)中的结论直接写出∠B+∠E+∠F的度数和∠A比∠F大多少度.25.综合探究:已知,AB∥CD,点M、N分别是AB、CD上两点,点G在AB、CD之间,连接MG、NG.(1)如图1,若GM⊥GN,求∠AMG+∠CNG的度数;(2)如图2,若点P是CD下方一点,MG平分∠BMP,ND平分∠GNP,已知∠BMG =40°,求∠MGN+∠MPN的度数.26.已知直线AB∥CD.(1)如图1,请直接写出∠BME、∠E、∠END的数量关系为;(2)如图2,∠ABM=∠MBE,∠CDN=∠NDE,直线MB、ND交于点F,若∠F =10°,求∠E的度数;(3)如图3,∠BME的角平分线所在的直线与∠CNE的角平分线相交于点P,试探究∠P与∠E之间的数量关系,并证明你的结论.27.如图,已知直线AB∥CD.(1)在图1中,点M在直线AB上,点N在直线CD上,∠BME、∠E、∠END的数量关系是;(不需证明)(2)如图2,若GN平分∠CNE,FE平分∠AMG,且∠G+∠E=60°,求∠AMG的度数;(3)如图3,直线BM平分∠ABE,直线DN平分∠CDE相交于点F,求∠F:∠E的值;(4)若∠ABM=∠MBE,∠CDN=∠NDE,则=.(用含有n的代数式表示)28.如图1所示,AB∥CD,E为直线CD下方一点,BF平分∠ABE.(1)求证:∠ABE+∠C﹣∠E=180°.(2)如图2,EG平分∠BEC,过点B作BH∥GE,求∠FBH与∠C之间的数量关系.(3)如图3,CN平分∠ECD,若BF的反向延长线和CN的反向延长线交于点M,且∠E+∠M=130°,请直接写出∠E的度数.29.如图,平面内的直线有相交和平行两种位置关系(1)如图①,已知AB∥CD,求证:∠BPD=∠B+∠D;(提示;可过点P作PO∥AB)(2)如图②,已知AB∥CD,求证:∠B=∠P+∠D.30.如图,AB∥CD,分别探讨下面四个图形中∠APC与∠A,∠C的关系,请你从所得的关系中任意选取一个加以说明.图(1)结论:;图(2)结论:;图(3)结论:;图(4)结论:.你准备证明的是图,请在下面写出证明过程.31.如图1,将两根笔直的细木条MN,EF用图钉固定并平行摆放,将一根橡皮筋拉直后用图钉分别周定在MN,EF上,橡皮筋的两端点分别记为点A,点B.(1)图1中,点P在AB上,若∠1=110°,则∠2=°;(2)P为橡皮筋上一点,用皮筋的弹性拉动橡皮筋,使A,B,P三点不在同一直线,后用图固定点P.①如图2,若点P在两根细木条所在直线之间,且∠1+∠2=90°,试判断线段AP与BP所在直线的位置关系,并说明理由;②如图3,若点P在两根细木条所在直线的同侧,且∠1+∠2=90°,∠1=31°,试求∠APB的度数;(3)如图4,P1,P2两点在两根细木条所在直线之间,拉动橡皮筋并固定,若∠1+∠2=90°,则∠AP1P2+∠BP1P2=°.32.阅读下面材料:小明遇到这样一个问题:如图1,AC∥BD,点E为直线AC上方一点,连接CE、DE,猜想∠C、∠D、∠E的数量关系,并证明.小明发现,可以过点E作MN∥AC来解决问题,如图2,请你完成解答;用学过的知识或参考小明的方法,解决下面的问题:如图3,AB∥CD,P是平面内一点,连接AP、CP,使AP∥BD,∠APC=100°,BM、CM分别平分∠ABD、∠DCP交于点M,求∠M的度数.33.如图,已知直线MB∥ND,A、C分别为MB、ND上的点,E为直线MB、ND外的一点,连接AE、EC.(1)E在直线MB的上方(如图1),求证:∠AEC+∠ECD=∠EAB;(2)若∠MAE与∠NCE两角的角平分线交于F点,请在图2中将图形补充完整,并直接写出∠AEC与∠AFC之间的数量关系;(3)若∠EAB的角平分线的反向延长线与∠NCE的角平分线交于G点(如图3),且∠AGC比∠AEC的倍多50°,求∠AEC的度数.34.已知直线AB∥CD,E为直线AB、CD外的一点,连接AE、EC.(1)E在直线AB的上方(如图1),求证:∠AEC+∠EAB=∠ECD;(2)∠BAF=2∠EAF,∠DCF=2∠ECF(如图2),求证:∠AEC=∠AFC;(3)若E在直线AB、CD之间,在(2)条件下(如图3),且∠AFC比∠AEC的倍少40°,则∠AEC的度数为(不用写出解答过程).35.如图:已知AB∥DE,若∠ABC=60°,∠CDE=140°,求∠BCD的度数.36.如图,已知AB∥CD,点E在直线AB,CD之间.(1)求证:∠AEC=∠BAE+∠ECD;(2)若AH平分∠BAE,将线段CE沿CD平移至FG.①如图2,若∠AEC=90°,HF平分∠DFG,求∠AHF的度数;②如图3,若HF平分∠CFG,试判断∠AHF与∠AEC的数量关系并说明理由.37.如图,平面内有两条直线同AB、CD,且AB∥CD,P为一动点.(1)当点P移动到如图(1)的位置时,这时∠APC与∠A,∠C有怎样的关系?并说明理由;(2)当点P移动到如图(2)的位置时,这时∠APC与∠A,∠C又有怎样的关系?说明你的理由;(3)当点P移动到如图(3)的位置时,直接写出∠APC与∠A,∠C的关系式;(4)当点P移动到如图(4)的位置时,直接写出∠APC与∠A,∠C的关系式.38.如图所示,已知AB∥CD,分别探讨下面四个图形中,∠APC,∠P AB与∠PCD的关系.39.已知AB∥CD,点P为平面内一点,连接AP、CP.(1)探究:如图(1)∠P AB=145°,∠PCD=135°,则∠APC的度数是;如图(2)∠P AB=45°,∠PCD=60°,则∠APC的度数是.(2)在图2中试探究∠APC,∠P AB,∠PCD之间的数量关系,并说明理由.(3)拓展探究:当点P在直线AB,CD外,如图(3)、(4)所示的位置时,请分别直接写出∠APC,∠P AB,∠PCD之间的数量关系.40.探究:(1)如图a,若AB∥CD,则∠B+∠D=∠E,你能说明为什么吗?(2)反之,若∠B+∠D=∠E,直线AB与CD有什么位置关系?请证明;(3)若将点E移至图b所示位置,此时∠B、∠D、∠E之间有什么关系?请证明;(4)若将E点移至图c所示位置,情况又如何?(5)在图d中,AB∥CD,∠E+∠G与∠B+∠F+∠D又有何关系?(6)在图e中,若AB∥CD,又得到什么结论?七年级下数学重难点专题训练:平行线拐点问题模型汇总1.(1)如图1,已知AB∥CD,求证:∠BED=∠1+∠2.(2)如图2,已知AB∥CD,写出∠1、∠EGH与∠2、∠BEG之间数量关系,并加以证明.(3)如图3,已知AB∥CD,直接写出∠1、∠3、∠5、与∠2、∠4、∠6之间的关系.【分析】(1)过点E作EF∥AB,依据平行线的性质,即可得到∠3+∠4=∠1+∠2,进而得出∠BED=∠1+∠2;(2)分别过点E、G作EF∥AB,GH∥AB,依据平行线的性质,即可得到∠1+∠5+∠6=∠3+∠4+∠2,进而得到∠1+∠EGH=∠2+∠BEG;(3)分别过平行线间的折点作AB的平行线,依据平行线的性质,即可得到∠1、∠3、∠5与∠2、∠4、∠6之间的关系.【解答】解:(1)证明:如图,过点E作EF∥AB,∵AB∥CD,∴AB∥CD∥EF,∴∠3=∠1,∠4=∠2,∴∠3+∠4=∠1+∠2,即∠BED=∠1+∠2;(2)∠1+∠EGH=∠2+∠BEG,理由如下:如图,分别过点E、G作EF∥AB,GH∥AB,∵AB∥CD,∴AB∥EF∥GH∥CD,∴∠1=∠3,∠4=∠5,∠6=∠2,∴∠1+∠5+∠6=∠3+∠4+∠2,即∠1+∠EGH=∠2+∠BEG;(3)由题可得,向左的角度数之和与向右的角度数之和相等,∴∠1、∠3、∠5与∠2、∠4、∠6之间的关系为:∠1+∠3+∠5=∠2+∠4+∠6.2.如图,已知AB∥CD,∠B=30°,∠D=120°.(1)若∠E=60°,则∠F=90°.(2)请探索∠E与∠F之间满足何数量关系?并说明理由;(3)如图2,已知EP平分∠BEF,FG平分∠EFD,反向延长FG交EP于点P,求∠P 的度数.【分析】(1)分别过点E,F作EM∥AB,FN∥AB,根据平行线的性质得到∠B=∠BEM =30°,∠MEF=∠EFN,∠D+∠DFN=180°,代入数据即可得到结论;(2)根据平行线的性质得到∠B=∠BEM=30°,∠MEF=∠EFN,由AB∥CD,AB∥FN,得到CD∥FN,根据平行线的性质得到∠D+∠DFN=180°,于是得到结论;(3)过点F作FH∥EP,设∠BEF=2x°,则∠EFD=(2x+30)°,根据角平分线的定义得到∠PEF=∠BEF=x°,∠EFG=∠EFD=(x+15)°,根据平行线的性质得到∠PEF=∠EFH=x°,∠P=∠HFG,于是得到结论.【解答】解:(1)如图1,分别过点E,F作EM∥AB,FN∥AB,∴EM∥AB∥FN,∴∠B=∠BEM=30°,∠MEF=∠EFN,又∵AB∥CD,AB∥FN,∴CD∥FN,∴∠D+∠DFN=180°,又∵∠D=120°,∴∠DFN=60°,∴∠BEF=∠MEF+30°,∠EFD=∠EFN+60°,∴∠EFD=∠MEF+60°∴∠EFD=∠BEF+30°=90°;故答案为:90°;(2)如图1,分别过点E,F作EM∥AB,FN∥AB,∴EM∥AB∥FN,∴∠B=∠BEM=30°,∠MEF=∠EFN,又∵AB∥CD,AB∥FN,∴CD∥FN,∴∠D+∠DFN=180°,又∵∠D=120°,∴∠DFN=60°,∴∠BEF=∠MEF+30°,∠EFD=∠EFN+60°,∴∠EFD=∠MEF+60°,∴∠EFD=∠BEF+30°;(3)如图2,过点F作FH∥EP,由(2)知,∠EFD=∠BEF+30°,设∠BEF=2x°,则∠EFD=(2x+30)°,∵EP平分∠BEF,GF平分∠EFD,∴∠PEF=∠BEF=x°,∠EFG=∠EFD=(x+15)°,∵FH∥EP,∴∠PEF=∠EFH=x°,∠P=∠HFG,∵∠HFG=∠EFG﹣∠EFH=15°,∴∠P=15°.3.如图,AB∥CD,点A,E,B,C不在同一条直线上.(1)如图1,求证:∠E+∠C﹣∠A=180°(2)如图2.直线F A,CP交于点P,且∠BAF=∠BAE,∠DCP=∠DCE.①试探究∠E与∠P的数量关系:②如图3,延长CE交P A于点Q,若AE∥PC,∠BAQ=α(0°<α<22.5°),则∠PQC的度数为180°﹣8α(用含α的式子表示)【分析】(1)如图1,过E作EF∥AB,根据平行线的性质即可得到结论;(2)①设∠BAF=x,∠BAE=3x,∠DCP=y,∠DCE=3y,由(1)知,∠E=180°﹣∠C+∠A=180°﹣3(y﹣x),如图2,过P作PG∥CD,根据平行线的性质即可得到结论;②如图3,过P作PG∥CD,根据平行线的性质即可得到结论.【解答】解:(1)如图1,过E作EF∥AB,∵AB∥CD,∴AB∥EF∥CD,∴∠AEF=∠A,∠C+∠FEC=180°,∴∠E=∠AEF+∠FEC=∠A+180°﹣∠C,即∠E+∠C﹣∠A=180°;(2)①∵∠BAF=∠BAE,∠DCP=∠DCE,∴设∠BAF=x,∠BAE=3x,∠DCP=y,∠DCE=3y,由(1)知,∠E=180°﹣∠C+∠A=180°﹣3(y﹣x),如图2,过P作PG∥CD,∵AB∥CD,∴AB∥PG,∴∠GP A=∠BAF=x,∠GPC=∠PCD=y,∴∠APC=y﹣x,即∠E=180°﹣3∠P;②如图3,过P作PG∥CD,∵∠BAQ=α,∴∠QAE=2α,∵AE∥PC,∴∠QAE=∠APC=2α,由①知,∠AEC=180°﹣3∠APC=180°﹣6α,∴∠PQC=∠AEC﹣∠QAE=180°﹣6α﹣2α=180°﹣8α,故答案为:180°﹣8α.4.如图,已知AB∥CD,现将直角三角形PMN放入图中,其中∠P=90°,PM交AB于点E,PN交CD于点F.(1)当直角三角形PMN所放位置如图①所示时,∠PFD与∠AEM存在怎样的数量关系?请说明理由.(2)当直角三角形PMN所放位置如图②所示时,请直接写出∠PFD与∠AEM之间存在的数量关系.(3)在(2)的条件下,若MN与CD交于点O,且∠AEM=40°,∠DON=20°,则∠N的度数为30°.【分析】(1)作PH∥AB,根据平行线的性质得到∠AEM=∠HPM,∠PFD=∠HPN,根据∠MPN=90°解答;(2)根据平行线的性质得到∠PFD+∠BHN=180°,根据∠P=90°解答;(3)根据对顶角相等,直角三角形的性质,平行线的性质以及三角形外角的性质计算即可求解.【解答】解:(1)如图①,作PH∥AB,则∠AEM=∠HPM,∵AB∥CD,PH∥AB,∴PH∥CD,∴∠PFD=∠HPN,∵∠MPN=90°,∴∠PFD+∠AEM=90°,故答案为:∠PFD+∠AEM=90°;(2)猜想:∠PFD﹣∠AEM=90°;理由如下:∵AB∥CD,∴∠PFD+∠BHN=180°,∵∠BHN=∠PHE,∴∠PFD+∠PHE=180°,∵∠P=90°,∴∠PHE+∠PEB=90°,∵∠PEB=∠AEM,∴∠PHE+∠AEM=90°,∴∠PFD﹣∠AEM=90°;(3)∵∠P=90°,∠PEB=∠AEM=40°,∴∠PHE=90°﹣∠PEB=90°﹣40°=50°,∵AB∥CD,∴∠HFO=∠PHE=50°,∵∠DON=20°,∴∠N=∠HFO﹣∠DON=30°.故答案为:30°.5.已知,AB∥CD.点M在AB上,点N在CD上.(1)如图1中,∠BME、∠E、∠END的数量关系为:∠BME=∠MEN﹣∠END;(不需要证明)如图2中,∠BMF、∠F、∠FND的数量关系为:∠BMF=∠MFN+∠FND;(不需要证明)(2)如图3中,NE平分∠FND,MB平分∠FME,且2∠E+∠F=180°,求∠FME的度数;(3)如图4中,∠BME=60°,EF平分∠MEN,NP平分∠END,且EQ∥NP,则∠FEQ 的大小是否发生变化,若变化,请说明理由,若不变化,求出∠FEQ的度数.【分析】(1)过E作EH∥AB,易得EH∥AB∥CD,根据平行线的性质可求解;过F作FH∥AB,易得FH∥AB∥CD,根据平行线的性质可求解;(2)根据(1)的结论及角平分线的定义可得2(∠BME+∠END)+∠BMF﹣∠FND=180°,可求解∠BMF=60°,进而可求解;(3)根据培训心得性质及角平分线的定义可推知∠FEQ=∠BME,进而可求解.【解答】解:(1)过E作EH∥AB,如图1,∴∠BME=∠MEH,∵AB∥CD,∴HE∥CD,∴∠END=∠HEN,∴∠MEN=∠MEH+∠HEN=∠BME+∠END,即∠BME=∠MEN﹣∠END.如图2,过F作FH∥AB,∴∠BMF=∠MFK,∵AB∥CD,∴FH∥CD,∴∠FND=∠KFN,∴∠MFN=∠MFK﹣∠KFN=∠BMF﹣∠FND,即:∠BMF=∠MFN+∠FND.故答案为∠BME=∠MEN﹣∠END;∠BMF=∠MFN+∠FND.(2)由(1)得∠BME=∠MEN﹣∠END;∠BMF=∠MFN+∠FND.∵NE平分∠FND,MB平分∠FME,∴∠FME=∠BME+∠BMF,∠FND=∠FNE+∠END,∵2∠MEN+∠MFN=180°,∴2(∠BME+∠END)+∠BMF﹣∠FND=180°,∴2∠BME+2∠END+∠BMF﹣∠FND=180°,即2∠BMF+∠FND+∠BMF﹣∠FND=180°,解得∠BMF=60°,∴∠FME=2∠BMF=120°;(3)∠FEQ的大小没发生变化,∠FEQ=30°.由(1)知:∠MEN=∠BME+∠END,∵EF平分∠MEN,NP平分∠END,∴∠FEN=∠MEN=(∠BME+∠END),∠ENP=∠END,∵EQ∥NP,∴∠NEQ=∠ENP,∴∠FEQ=∠FEN﹣∠NEQ=(∠BME+∠END)﹣∠END=∠BME,∵∠BME=60°,∴∠FEQ=×60°=30°.6.请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记,然后解决问题.小明:老师说在解决有关平行线的问题时,如果无法直接得到角的关系,就需要借助辅助线来帮助解答,今天老师介绍了一个“美味”的模型﹣﹣﹣“猪蹄模型”.即已知:如图1,AB∥CD,E为AB、CD之间一点,连接AE,CE得到∠AEC.求证:∠AEC=∠A+∠C.小明笔记上写出的证明过程如下:证明:过点E作EF∥AB,∴∠1=∠A.∵AB∥CD,EF∥AB,∴EF∥CD.∴∠2=∠C.∵∠AEC=∠1+∠2,∴∠AEC=∠A+∠C.请你利用“猪蹄模型”得到的结论或解题方法,完成下面的两个问题.(1)如图2,若AB∥CD,∠E=60°,则∠B+∠C+∠F=240°.(2)如图3,AB∥CD,BE平分∠ABG,CF平分∠DCG,∠G=∠H+27°,E、B、H 共线,F、C、H共线,则∠H=51°.【分析】(1)由EM∥AB,FN∥EM,FN∥CD分别得∠1=∠B,∠2=∠3,∠4+∠C=180°,由角的和差计算∠B+∠C+∠F的度数为240°;(2)由角平分线得∴∠ABG=2∠1,∠DCG=2∠4,根据直线EF∥AB,EF∥CD得2∠1+∠7=180°,2∠4+∠8=180°,等式的性质得2(∠1+∠4)=∠BGC+180°;直线MN∥AB,MN∥CD得∠1=∠5,∠4=∠6,等量代换2(∠5+∠6)=∠BGC+180°,又因∠BGC=∠BHC+27°求得∠BHC的度数为51°.【解答】解:(1)过点E、F分别作EM∥AB,FN∥AB,如图2所示:∵EM∥AB,∴∠1=∠B,又∵FN∥AB,∴FN∥EM,∴∠2=∠3,又∵AB∥CD,∴FN∥CD,∴∠4+∠C=180°,又∵∠BEF=∠1+∠2,∠EFC=∠3+∠4,∠BEF=60°∴∠B+∠EFC+∠C=∠1+∠3+∠4+∠C=(∠1+∠2)+(∠4+∠C)=60°+180°=240°;(2)过点G、H作EF∥AB,MN∥AB,如图3所示:∵BE平分∠ABG,CF平分∠DCG,∴∠ABG=2∠1,∠DCG=2∠4,又∵EF∥AB,∴2∠1+∠7=180°,又∵AB∥CD,∴EF∥CD,∴2∠4+∠8=180°,∴∠7+∠8=360°﹣2(∠1+∠4),又∵∠7+∠8+∠BGC=180°,∴2(∠1+∠4)=∠BGC+180°,又∵MN∥AB,∴∠1=∠5,又∵AB∥CD,∴MN∥CD,∴∠4=∠6,∴2(∠5+∠6)=∠BGC+180°,又∵∠5+∠6+∠BHC=180°,∴∠BGC+2∠BHC=180°,又∠BGC=∠BHC+27°,∴3∠BHC+27°=180°,∴∠BHC=51°;故答案为:240°,51°.7.如图1,已知AB∥CD,BP、DP分别平分∠ABD、∠BDC.(1)∠BPD=90°°;(2)如图2,将BD改为折线BED,BP、DP分别平分∠ABE、∠EDC,其余条件不变,若∠BED=140°,求∠BPD的度数;(3)如图3,若∠BEF=152°,∠EFD=136°,BP、DP分别平分∠ABE、∠CDF,其余条件不变,那么∠BPD=54°.【分析】(1)先根据平行线的性质得出∠ABD+∠BDC=∠180°,再根据角平分线的定义得出∠PBD+∠PDB的度数,由三角形内角和定理即可得出结论;(2)连接BD,先求出∠EBD+∠EDB的度数,再由平行线的性质得出∠ABD+∠CDB的度数,由角平分线的性质得出∠PBE+∠PDE的度数,根据∠BPD=180°﹣∠PBE﹣PDE﹣∠EBD﹣∠EDB即可得出结论.(3)连接BD,先求出∠EBD+∠FDB的度数,再求出∠PBE+∠PDF的度数,再利用三角形内角和定理即可解决.【解答】解:(1)∵AB∥CD,∴∠ABD+∠BDC=∠180°,∵BP、DP分别平分∠ABD、∠BDC,∴∠PBD+∠PDB=90°,∴∠BPD=180°﹣90°=90°.(2)连接BD,∵∠BED=140°,∴∠EBD+∠EDB=40°,∵AB∥CD,∴∠ABD+∠CDB=180°,∵BP、DP分别平分∠ABE、∠EDC,∴∠PBE=∠ABE,∠PDE=∠CDE,∴∠PBE+∠PDE=×(180°﹣40°)=70°,∴∠BPD=180°﹣∠PBE﹣PDE﹣∠EBD﹣∠EDB=70°.(3)连接BD,∵∠BEF=152°,∠EFD=136°,∴∠EBD+∠FDB=360°﹣(152°+136°)=72°,∵BP、DP分别平分∠ABE、∠FDC,∴∠PBE=∠ABE,∠PDF=∠CDF,∴∠PBE+∠PDF=×(180°﹣72°)=54°,∴∠BPD=180°﹣(∠EBD+∠FDB)﹣(∠PBE+∠PDF)=54°.故答案为:90;54°.8.已知AB∥CD,点E在AB与CD之间.(1)图1中,试说明:∠BED=∠ABE+∠CDE;(2)图2中,∠ABE的平分线与∠CDE的平分线相交于点F,请利用(1)的结论说明:∠BED=2∠BFD.(3)图3中,∠ABE的平分线与∠CDE的平分线相交于点F,请直接写出∠BED与∠BFD之间的数量关系.【分析】(1)图1中,过点E作EG∥AB,则∠BEG=∠ABE,根据AB∥CD,EG∥AB,所以CD∥EG,所以∠DEG=∠CDE,进而可得∠BED=∠ABE+∠CDE;(2)图2中,根据∠ABE的平分线与∠CDE的平分线相交于点F,结合(1)的结论即可说明:∠BED=2∠BFD;(3)图3中,根据∠ABE的平分线与∠CDE的平分线相交于点F,过点E作EG∥AB,则∠BEG+∠ABE=180°,因为AB∥CD,EG∥AB,所以CD∥EG,所以∠DEG+∠CDE =180°,再结合(1)的结论即可说明∠BED与∠BFD之间的数量关系.【解答】解:(1)如图1中,过点E作EG∥AB,则∠BEG=∠ABE,因为AB∥CD,EG∥AB,所以CD∥EG,所以∠DEG=∠CDE,所以∠BEG+∠DEG=∠ABE+∠CDE,即∠BED=∠ABE+∠CDE;(2)图2中,因为BF平分∠ABE,所以∠ABE=2∠ABF,因为DF平分∠CDE,所以∠CDE=2∠CDF,所以∠ABE+∠CDE=2∠ABF+2∠CDF=2(∠ABF+∠CDF),由(1)得:因为AB∥CD,所以∠BED=∠ABE+∠CDE,∠BFD=∠ABF+∠CDF,所以∠BED=2∠BFD.(3)∠BED=360°﹣2∠BFD.图3中,过点E作EG∥AB,则∠BEG+∠ABE=180°,因为AB∥CD,EG∥AB,所以CD∥EG,所以∠DEG+∠CDE=180°,所以∠BEG+∠DEG=360°﹣(∠ABE+∠CDE),即∠BED=360°﹣(∠ABE+∠CDE),因为BF平分∠ABE,所以∠ABE=2∠ABF,因为DF平分∠CDE,所以∠CDE=2∠CDF,∠BED=360°﹣2(∠ABF+∠CDF),由(1)得:因为AB∥CD,所以∠BFD=∠ABF+∠CDF,所以∠BED=360°﹣2∠BFD.9.已知:点E、点G分别在直线AB、直线CD上,点F在两直线外,连接EF、FG (1)如图1,AB∥CD,求证:∠AEF+∠FGC=∠EFG;(2)若直线AB与直线CD不平行,连接EG,且EG同时平分∠BEF和∠FGD如图2,请探索∠AEF、∠FGC、∠EFG之间的数量关系?并说明理由.【分析】(1)过F作FQ∥AB,利用平行线的性质,即可得到∠AEF+∠FGC=∠EFQ+∠GFQ=∠EFG;(2)延长AB,CD,交于点P,依据∠FEP=180°﹣∠AEF,∠FGP=180°﹣∠FGC,即可得到∠FEP+∠FGP=360°﹣(∠AEF+∠FGC),再根据四边形内角和,即可得到四边形EFGP中,∠F+∠P=360°﹣(∠FEP+∠FGP)=∠AEF+∠FGC,进而得出结论.【解答】解:(1)如图1,过F作FQ∥AB,∵AB∥CD,∴FQ∥CD,∴∠AEF=∠QFE,∠FGC=∠GFQ,∴∠AEF+∠FGC=∠EFQ+∠GFQ=∠EFG;(2)如图2,延长AB,CD,交于点P,∵EG同时平分∠BEF和∠FGD,∴∠FEG=∠PEG,∠FGE=∠PGE,∴∠F=∠P,∵∠FEP=180°﹣∠AEF,∠FGP=180°﹣∠FGC,∴∠FEP+∠FGP=360°﹣(∠AEF+∠FGC),∵四边形EFGP中,∠F+∠P=360°﹣(∠FEP+∠FGP)=360°﹣[360°﹣(∠AEF+∠FGC)]=∠AEF+∠FGC,即2∠EFG=∠AEF+∠FGC.10.如图,已知AB∥CD.(1)发现问题:若∠ABF=∠ABE,∠CDF=∠CDE,则∠F与∠E的等量关系为∠BED=2∠BFD.(2)探究问题:若∠ABF=∠ABE,∠CDF=∠CDE.猜想:∠F与∠E的等量关系,并证明你的结论.(3)归纳问题:若∠ABF=∠ABE,∠CDF=∠CDE.直接写出∠F与∠E的等量关系.【分析】(1)首先连接FE并延长,易得∠BED=∠BFD+∠EBF+∠EDF,又由BF、DF 分别平分∠ABE、∠CDE,以及(1)的结论,易证得∠BED=2∠BFD;(2)过点E、F分别作AB的平行线EG、FH,由平行线的传递性可得AB∥EG∥FH∥CD,根据平行线的性质得到∠ABF=∠BFH,∠CDF=∠DFH,根据已知条件即可得到结论.(3)由(1)(2)即可得出∠F与∠E的等量关系.【解答】解:(1)∠BED=2∠BFD.证明:连接FE并延长,∵∠BEG=∠BFE+∠EBF,∠DEG=∠DFE+∠EDF,∴∠BED=∠BFD+∠EBF+∠EDF,∵BF、DF分别平分∠ABE、∠CDE,∴∠ABE+∠CDE=2(∠EBF+∠EDF),∵∠BED=∠ABE+∠CDE,∴∠EBF+∠EDF=∠BED,∴∠BED=∠BFD+∠BED,∴∠BED=2∠BFD;(2)过点E、F分别作AB的平行线EG、FH,由平行线的传递性可得AB∥EG∥FH∥CD,∵AB∥FH,∴∠ABF=∠BFH,∵FH∥CD,∴∠CDF=∠DFH,∴∠BFD=∠DFH+∠BFH=∠CDF+∠ABF;同理可得∠BED=∠DEG+∠BEG=∠ABE+∠CDE;∵∠BFD=∠DFH+∠BFH=∠CDF+∠ABF=(∠ABE+∠CDE)=∠BED,∴∠BED=3∠BFD.(3)由(1)(2)可得∠BED=n∠BFD.11.【引入】如图1,已知∠ABC+∠ECB=180°,∠P=∠Q,求证:∠1=∠2.【变式】如图2,AB∥CD,∠1=∠2,求证:∠F=∠M【分析】【引入】先判定AB∥DE,则∠ABC=∠BCD,再由∠P=∠Q,则∠PBC=∠QCB,从而得出∠1=∠2.【变式】延长EF交CD于G,利用平行线的性质得出∠1=∠EGD,进而得出∠EGD=∠2,再利用平行线的判定方法得出答案.【解答】【引入】证明:∵∠ABC+∠ECB=180°,∴AB∥DE,∴∠ABC=∠BCD,∵∠P=∠Q,∴PB∥CQ,∴∠PBC=∠BCQ,∵∠1=∠ABC﹣∠PBC,∠2=∠BCD﹣∠BCQ,∴∠1=∠2.【变式】证明:延长EF交CD于G,如图:∵AB∥CD,∴∠1=∠EGD∵∠1=∠2,∴∠EGD=∠2∴EF∥MN,∴∠EFM=∠M.12.模型与应用.【模型】(1)如图①,已知AB∥CD,求证∠1+∠MEN+∠2=360°.【应用】(2)如图②,已知AB∥CD,则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数为900°.如图③,已知AB∥CD,则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+…+∠n的度数为180°(n﹣1).(3)如图④,已知AB∥CD,∠AM1M2的角平分线M1O与∠CM n M n﹣1的角平分线M n O 交于点O,若∠M1OM n=m°.在(2)的基础上,求∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+……+∠n ﹣1的度数.(用含m、n的代数式表示)【分析】(1)过点E作EF∥CD,根据平行线的判定得出EF∥AB,根据平行线的性质得出即可;(2)过E作EQ∥CD,过F作FW∥CD,过G作GR∥CD,过H作HY∥CD,根据平行线的判定得出EQ∥FW∥GR∥HY∥AB∥CD,根据平行线的性质得出即可;(3)过点O作SR∥AB,根据平行线的性质得出即可;【解答】(1)证明:过点E作EF∥CD,∵AB∥CD,∴EF∥AB,∴∠1+∠MEF=180°,同理∠2+∠NEF=180°,∴∠1+∠2+∠MEN=360°;【应用】(2)过E作EQ∥CD,过F作FW∥CD,过G作GR∥CD,过H作HY∥CD,∵CD∥AB,∴EQ∥FW∥GR∥HY∥AB∥CD,∴∠1+∠MEQ=180°,∠QEF+∠EFW=180°,∠WFG+∠FGR=180°,∠RGH+∠GHY=180°,∠YHN+∠6=180°,∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=5×180°=900°,同理∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+…+∠n=180°(n﹣1),故答案为:900°,180°(n﹣1);(3)解:过点O作SR∥AB,∵AB∥CD,∴SR∥CD,∴∠AM1O=∠M1OR同理∠C M n O=∠M n OR∴∠A M1O+∠CM n O=∠M1OR+∠M n OR,∴∠A M1O+∠CM n O=∠M1OM n=m°,∵M1O平分∠AM1M2,∴∠AM1M2=2∠A M1O,同理∠CM n M n﹣1=2∠CM n O,∴∠AM1M2+∠CM n M n﹣1=2∠AM1O+2∠CM n O=2∠M1OM n=2m°,又∵∠A M1M2+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+……+∠n﹣1+∠CM n M n﹣1=180°(n﹣1),∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+…+∠n﹣1=(180n﹣180﹣2m)°.13.如图1,MA1∥NA2,则∠A1+∠A2=180度.如图2,MA1∥NA3,则∠A1+∠A2+∠A3=360度.如图3,MA1∥NA4,则∠A1+∠A2+∠A3+∠A4=540度.如图4,MA1∥NA5,则∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5=720度.从上述结论中你发现了什么规律?如图5,MA1∥NA n,则∠A1+∠A2+∠A3+…+∠A n=180(n﹣1)度.【分析】首先过各点作MA1的平行线,由MA1∥NA2,可得各线平行,根据两直线平行,同旁内角互补,即可求得答案,注意找到规律:MA1∥NA n,则∠A1+∠A2+∠A3+…+∠A n=180(n﹣1)度是关键.【解答】解:如图1,∵MA1∥NA2,∴∠A1+∠A2=180°.如图2,过点A2作A2C1∥A1M,∵MA1∥NA3,∴A2C1∥A1M∥NA3,∴∠A1+∠A1A2C1=180°,∠C1A2A3+∠A3=180°,∴∠A1+∠A2+∠A3=360°.如图3,过点A2作A2C1∥A1M,过点A3作A3C2∥A1M,∵MA1∥NA3,∴A2C1∥A3C2∥A1M∥NA3,∴∠A1+∠A1A2C1=180°,∠C1A2A3+∠A2A3C2=180°,∠C2A3A4+∠A4=180°,∴∠A1+∠A2+∠A3+∠A4=540°.如图4,过点A2作A2C1∥A1M,过点A3作A3C2∥A1M,过点A4作A4C3∥A1M,∵MA1∥NA5,∴A2C1∥A3C2∥A4C3∥NA5,∴∠A1+∠A1A2C1=180°,∠C1A2A3+∠A2A3C2=180°,∠C2A3A4+∠A3A4C3=180°∠C3A4A5+∠A5=180°,∴∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5=720°.从上述结论中你发现了规律:如图5,MA1∥NA n,则∠A1+∠A2+∠A3+…+∠A n=180(n ﹣1)度.故答案为:180,360,540,720,180(n﹣1).14.如图,AB∥CD,点F在CE上,∠EAF=∠BAF,若∠AEC=105°,∠DCE=115°,求∠AFC的度数.【分析】过点E作EM∥AB,由平行线的性质得到∠MEC=65°,从而得到∠AEM=40°,再根据平行线的性质得到∠EAB=180°﹣∠AEM=140°,进而得到∠EAF=35°,最后根据三角形的外角定理即可求解.【解答】解:如图,过点E作EM∥AB,∵AB∥CD,∴EM∥CD,∴∠MEC+∠DCE=180°,∵∠DCE=115°,∴∠MEC=180°﹣115°=65°,∵∠AEC=∠MEC+∠AEM,∠AEC=105°,∴∠AEM=40°,∵EM∥AB,∴∠AEM+∠EAB=180°,∴∠EAB=180°﹣∠AEM=140°,∵∠EAB=∠EAF+∠BAF,∠EAF=∠BAF,∴∠EAF+3∠EAF=140°,∴∠EAF=35°,∴∠AFC=∠EAF+∠AEC=35°+105°=140°.15.直线AB∥CD,E为直线AB、CD之间的一点,完成以下问题:(1)如图1,若∠B=15°,∠BED=90°,则∠D=75°;(2)如图2,若∠B=α,∠D=β,求出∠BED的度数(用a、β表示);(3)如图3,若∠B=α,∠C=β,则a、β与∠BEC之间有什么等量关系?请猜想证明.【分析】(1)过E作EF∥AB,根据两直线平行,内错角相等进行计算;(2)过E作EF∥AB,根据两直线平行,同旁内角互补进行计算;(3)过点E作EF∥AB,根据两直线平行,内错角相等,以及两直线平行,同旁内角互补进行计算.【解答】解:(1)过E作EF∥AB,∵AB∥CD,∴EF∥CD,∵∠B=15°,∴∠BEF=15°,又∵∠BED=90°,∴∠DEF=75°,∵EF∥CD,∴∠D=75°,故答案为:75°;(2)过E作EF∥AB,∵AB∥CD,∴EF∥CD,∴∠B+∠BEF+∠DEF+∠D=360°,又∵∠B=α,∠D=β,∴∠BED=∠BEF+∠DEF=360°﹣α﹣β,故答案为:∠BED=360°﹣α﹣β;(3)猜想:∠BEC=180°﹣α+β.证明:过点E作EF∥AB,则∠BEF=180°﹣∠B=180°﹣α,∵AB∥EF,AB∥CD,∴EF∥CD,∴∠CEF=∠C=β,∴∠BEC=∠BEF+∠CEF=180°﹣α+β.16.问题情境:如图1,AB∥CD,∠P AB=135°,∠PCD=125°.求∠APC度数.小明的思路是:如图2,过P作PE∥AB,通过平行线性质,可求得∠APC的度数.请写出具体求解过程.问题迁移:(1)如图3,AD∥BC,点P在射线OM上运动,当点P在A、B两点之间运动时,∠ADP=∠α,∠BCP=∠β.∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系?请说明理由;(2)在(1)的条件下,如果点P在A、B两点外侧运动时(点P与点A、B、O三点不重合),请你直接写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系.【分析】过P作PE∥AB,构造同旁内角,通过平行线性质,可得∠APC=45°+55°=100°.(1)过P作PE∥AD交CD于E,推出AD∥PE∥BC,根据平行线的性质得出∠α=∠DPE,∠β=∠CPE,即可得出答案;(2)分两种情况:①点P在A、M两点之间,②点P在B、O两点之间,分别画出图形,根据平行线的性质得出∠α=∠DPE,∠β=∠CPE,即可得出结论.【解答】解:过P作PE∥AB,∵AB∥CD,∴PE∥AB∥CD,∴∠APE=180°﹣∠A=45°,∠CPE=180°﹣∠C=55°,∴∠APC=45°+55°=100°;(1)∠CPD=∠α+∠β,理由如下:。
平行线的折线问题探究课件
![平行线的折线问题探究课件](https://img.taocdn.com/s3/m/0650d0052f3f5727a5e9856a561252d380eb20e1.png)
详细描述
在平行线折线问题中,有时需要利用向量法来证明平行性。首先将几何图形转化为向量 表示,例如,将两条折线表示为两个向量,然后利用向量相等、向量平行等性质来进行 证明。例如,可以通过计算两个向量的内积或判断两个向量的夹角是否为零来证明两个
折线是否平行。
平行线折线的代数证明
利用线性方程进行证明
总结词
行列式方程是代数中另一种重要的方程形式,通过对方程进行变换和推导,也可 以证明平行线的折线问题。
详细描述
首先,我们需要设定一个行列式方程,该方程可以表示两条直线的交点。然后, 通过对方程中的参数进行推导,我们可以得到一个关于交点坐标的表达式。最后, 利用这个表达式可以证明平行线的折线问题。
利用范德蒙公式进行证明
总结词
线性方程是代数中常用的一种方程形式,通过对方程进行变换和推导,可以证 明平行线的折线问题。
详细描述
首先,我们需要设定一个线性方程,该方程可以表示两条直线的交点。然后, 通过对方程中的参数进行推导,我们可以得到一个关于交点坐标的表达式。最 后,利用这个表达式可以证明平行线的折线问题。
利用行列式方程进行证明
折线问题的定义与分类
折线问题的定义
折线问题是指在平面直角坐标系中, 给定一条折线段,求其上各点的坐标 及线段长度等问题。
折线问题的分类
根据折线段的数量和形状,折线问题 可以分为简单折线问题和复杂折线问题。
平行线折线的几何证明
利用平行线的性质进行证明
总结词
平行线的性质是解决平行线折线问题的有效工具,通过平行线的传递性、内错角相等、同位角相等等性质,可以 证明平行线折线问题的正确性。
总结词
范德蒙公式是解析几何中用于计算交点坐标的重要公式之一, 通过对方程进行变换和推导,也可以证明平行线的折线问题。
人教版新高一初升高数学《平行线分线段成比例定理)》专题知识衔接过关讲义
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衔接教材09 平行线分线段成比例定理 知识点讲解在解决几何问题时,我们常涉及到一些线段的长度、长度比的问题.在数学学习与研究中,我们发现平行线常能产生一些重要的长度比.在一张方格纸上,我们作平行线123,,l l l (如图),直线a 交123,,l l l 于点,,A B C ,2,3AB BC ==,另作直线b 交123,,l l l 于点',','A B C ,不难发现''2.''3A B AB B C BC == 我们将这个结论一般化,归纳出平行线分线段成比例定理: 三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 如图,123////l l l ,有AB DE BC EF .当然,也可以得出AB DE AC DF=.在运用该定理解决问题的过程中,我们一定要注意线段之间的对应关系,是“对应”线段成比例.经典例题解析 例1如图,123////l l l ,且2,3,4,ABBC DF 求,DE EF . 解1232////,,3AB DE l l l BC EF 28312,.235235DE DF EF DF ====++ 例2在ABC 中,,D E 为边,AB AC 上的点,//DE BC ,求证:AD AE DE AB AC BC==. 证法(一)://,,,DE BC ADE ABC AED ACB ∴∠=∠∠=∠ ADE ∴∽ABC ,.AD AE DE AB AC BC∴== 证法(二):如图3.1-3,过A 作直线//l BC ,////,l DE BC AD AE AB AC∴=. 过E 作//EF AB 交AB 于D ,得BDEF ,因而.DE BF =//,.AE BF DE EF AB AC BC BC∴==.AD AE DE AB AC BC ∴==从上例可以得出如下结论:平行于三角形的一边的直线截其它两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例. 平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.例3已知ABC ,D 在AC 上,:2:1AD DC =,能否在AB 上找到一点E ,使得线段EC 的中点在BD 上.解假设能找到,如图,设EC 交BD 于F ,则F 为EC 的中点,作//EG AC 交BD 于G . //,EG AC EF FC =,∴EGF CDF ≅,且EG DC =,1//,2EG AD BEG BAD ∴,且1,2BE EG BA AD == E ∴为AB 的中点.可见,当E 为AB 的中点时,EC 的中点在BD 上.我们在探索一些存在性问题时,常常先假设其存在,再解之,有解则存在,无解或矛盾则不存在.例4 在ABC 中,AD 为BAC 的平分线,求证:AB BD AC DC. 证明过C 作CE //AD ,交BA 延长线于E ,//,.BA BD AD CE AE DCAD 平分,,BAC BAD DAC 由//AD CE 知,,BAD E DAC ACE,,E ACE AE AC 即AB BD AC DC. 例4的结论也称为角平分线性质定理,可叙述为角平分线分对边成比例(等于该角的两边之比).实时训练一、单选题1.如图,l 1∥l 2∥l 3,根据“平行线分线段成比例定理”,下列比例式中正确的是()A .AD CE BC DF =B .AD BC BE AF = C .AB CD CD EF = D .AD DF BC CE= 【答案】D【分析】平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得对应线段成比例.【详解】解:∵l1∥l2∥l3,∴ADDF =BCCE,即ADBC=DFCE,所以A选项错误,D选项正确;AD AF =BCBE,所以B选项错误;同理C选项也错误.故选D.【点睛】本题考查平行线分线段成比例.2.关于某一点成中心对称的两个图形,下列说法中,正确的个数有()①这两个图形完全重合;②对称点的连线互相平行③对称点所连的线段相等;④对称点的连线相交于一点;⑤对称点所连的线段被同一点平分⑥对应线段互相平行或在同一直线上,且一定相等.A.3个B.4个C.5个D.6个【答案】A【解析】【分析】根据对称中心图形的性质分别判断得出即可.【详解】①这两个图形能够完全重合,此选项错误;②对称点的连线应相交于一点,故此选项错误;③对称点所连的线段不一定相等,此选项错误;④对称点的连线相交于一点,此选项正确;⑤对称点所连的线段被同一点平分,此选项正确;⑥对应线段互相平行或在同一直线上,且一定相等,此选项正确.故正确的有3个.故选:A.【点睛】此题主要考查了对称图形的性质,根据其定义得出是解题关键.二、填空题3.在ABCD中, ∠A的平分线分BC成4cm和3cm的两条线段, 则ABCD的周长为_____.【答案】20cm或22cm;【分析】∠A的平分线分BC成4cm和3cm的两条线段,设∠A的平分线交BC于E点,有两种可能,BE=4或3,证明△ABE是等腰三角形,分别求周长.【详解】解:设∠A的平分线交BC于E点,∵AD∥BC,∴∠BEA=∠DAE,又∠BAE=∠DAE,∴∠BEA=∠BAE∴AB=BE.而BC=3+4=7.①当BE=4时,AB=BE=4,▱ABCD的周长=2×(AB+BC)=2×(4+7)=22;②当BE=3时,AB=BE=3,▱ABCD的周长=2×(AB+BC)=2×(3+7)=20.所以▱ABCD的周长为22cm或20cm.故答案为22cm或20cm.【点睛】主要考查了平行四边形的基本性质,并利用性质解题.平行四边形基本性质:①平行四边形两组对边分别平行;②平行四边形的两组对边分别相等;③平行四边形的两组对角分别相等;④平行四边形的对角线互相平分.三、解答题4.证明平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.已知(如图)1l ∥2l ∥3l ,求证:AB DE BC EF.【答案】见解析.【分析】通过作平行,将问题转化为两个相似三角形的对应边成比例的问题,即可得证.【详解】证明:如图,过点E 作直线MN ∥AC ,交1l 、3l 于点G 、H ,∵1l ∥2l ∥3l ,MN ∥AC ,∴四边形ABEG 、BCHE 是平行四边形∴AB=GE,BC=EH,且DGH ,GHF GDF DFH ∠=∠∠=∠∴△DGE ∽△FHE , ∴DE GE AB EF HE BC== 即AB DE BC EF = 原题得证.【点睛】 本题考察了平行线分线段成比例定理及相似三角形的性质与判定.通过条件将问题转化为两个相似三角形的问题是解题关键.5.为更好地理清平行线相关角的关系,小明爸爸为他准备了四根细直木条AB 、BC 、CD 、DE ,做成折线ABCDE ,如图1,且在折点B 、C 、D 处均可自由转出.(1)如图2,小明将折线调节成50B ∠=︒,85C ∠=︒,35D ∠=︒,判断AB 是否平行于ED ,并说明理由;(2)如图3,若35C D ∠=∠=︒,调整线段AB 、BC 使得//AB CD 求出此时B 的度数,要求画出图形,并写出计算过程.(3)若85C ∠=︒,35D ∠=︒,//AB DE ,请直接写出此时B 的度数.【答案】(1)平行,理由见解析;(2)35°或145°,画图、过程见解析;(3)50°或130°或60°或120°【分析】(1)过点C 作CF ∥AB ,根据∠B =50°,∠C =85°,∠D =35°,即可得CF ∥ED ,进而可以判断AB 平行于ED ;(2)根据题意作AB ∥CD ,即可∠B =∠C =35°;(3)分别画图,根据平行线的性质计算出∠B 的度数.【详解】解:(1)AB 平行于ED ,理由如下:如图2,过点C 作CF ∥AB ,∴∠BCF =∠B =50°,∵∠BCD =85°,∴∠FCD =85°-50°=35°,∵∠D =35°,∴∠FCD =∠D ,∴CF ∥ED ,∵CF ∥AB ,(2)如图,即为所求作的图形.∵AB∥CD,∴∠ABC=∠C=35°,∴∠B的度数为:35°;∵A′B∥CD,∴∠ABC+∠C=180°,∴∠B的度数为:145°;∴∠B的度数为:35°或145°;(3)如图2,过点C作CF∥AB,∴CF∥DE,∴∠FCD=∠D=35°,∵∠BCD=85°,∴∠BCF=85°-35°=50°,∴∠B=∠BCF=50°.答:∠B的度数为50°.如图5,过C作CF∥AB,则AB∥CF∥CD,∴∠FCD=∠D=35°,∵∠BCD=85°,∴∠BCF=85°-35°=50°,∵AB∥CF,∴∠B+∠BCF=180°,∴∠B=130°;如图6,∵∠C=85°,∠D=35°,∴∠CFD=180°-85°-35°=60°,∵AB∥DE,∴∠B=∠CFD=60°,如图7,同理得:∠B=35°+85°=120°,综上所述,∠B 的度数为50°或130°或60°或120°.【点睛】本题考查了平行线的判定与性质,解决本题的关键是区分平行线的判定与性质,并熟练运用.6.如图,已知点()A 4,0,()B 0,3,点C 是直线AB 上异于点B 的任一点,现以BC 为一边在AB 右侧作正方形BCDE ,射线OC 与直线DE 交于点P ,若点C 的横坐标为m .()1求直线AB 的函数表达式.()2若点C 在第一象限,且点C 为OP 的中点,求m 的值.()3若点C 为OP 的三等分点(即点C 分OP 成1:2的两条线段),请直接写出点C 的坐标.【答案】(1)3y x 34=-+;(2)48m 25=;(3)2457,2525⎛⎫ ⎪⎝⎭或963,2525⎛⎫ ⎪⎝⎭或96147,2525⎛⎫- ⎪⎝⎭或2493,.2525⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】(1)利用待定系数法即可解决问题;(2)如图,作OG ⊥BC 于G ,OH ⊥OB 于H .只要证明△OCG ≌△CPD ,利用全等三角形的性质可得OG=CD ,由此构建方程即可解决问题;(3)在第一象限和第二象限分两种情形,分别构建方程求出m 即可解决问题;【详解】解:()1设直线AB 的解析式为()y kx b k 0=+≠,把()A 4,0,()B 0,3代入得到{4k b 0b 3+==,解得343k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩,∴直线AB 的解析式为3y x 34=-+.()2如图,作OG BC ⊥于G ,OH OB ⊥于H .四边形BCDE 是正方形,BC//ED ∴,OCG CPD ∠∠∴=,CO CP =,OGC CDP 90∠∠==, OCG ∴≌CPD ,OG CD ∴=,AB 5∴=,OA OB 12OG AB 5⋅∴==,CH m =,4cos BCH cos BAO 5∠∠==,5BC m 4∴=,5CD m 4∴=,512m 45∴=,48m 25∴=.()3①当点C 中第一象限,OC 2PC =时, OCG ∽CPD ,OG ∴:CD 2=:1,55BC m 4=,56m 45∴=,24m 25∴=,∴C (2425,5725)②当点C 中第一象限,PC 2OC =时,. OCG ∽CPD ,OG ∴:CD 1=:2,24CD 5∴=, 5BC m 4=,524m 45∴=,96m 25∴=,∴C (9625,325)③当点C 中第二象限,PC 2OC =时,. OCG ∽CPD ,OG ∴:CD 1=:2,24CD 5∴=, 5BC m 4=-,524m 45∴-=,96m 25∴=-,∴C (9625-,14725).④当点C 中第二象限,OC 2PC =时,OCG ∽CPD ,OG ∴:CD 2=:1,55BC m 4=-, 56m 45∴-=, 24m 25∴=-, ∴C (2425-,9325) 综上所述,满足条件的点C 坐标为2457,2525⎛⎫ ⎪⎝⎭或963,2525⎛⎫ ⎪⎝⎭或96147,2525⎛⎫- ⎪⎝⎭或2493,.2525⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【点睛】本题考查一次函数综合题、正方形的性质、锐角三角函数、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形或相似三角形解决问题学会用分类讨论的思想思考问题,属于中考压轴题.7.如图在△ABC 中,∠C=90°,AC=3cm ,BC=4cm ,点P 是边BC 上由B 向C 运动(不与点B 、C 重合)的一动点,P 点的速度是1cm/s ,设点P 的运动时间为t ,过P 点作AC 的平行线交AB 与点N ,连接AP ,(1)请用含有t 的代数式表示线段AN 和线段PN 的长,(2)当t 为何值时,△APN 的面积等于△ACP 面积的三分之一?(3)在点P 的运动过程中,是否存在某一时刻的t 的值,使得△APN 的面积有最大值,若存在请求出t 的值并计算最大面积;若不存在,请说明理由.【答案】(1) PN=34t ,AN =5﹣54t ;(2)当t 为43s 时,△APN 的面积等于△ACP 面积的三分之一;(3)t=2时,△PAN 的面积最大,最大值为32. 【解析】【分析】(1)利用勾股定理求出AB ,再利用平行线分线段成比例定理,求出PN 、BN 即可解决问题;(2)由题意:12•PN•PC =13×12•PC•AC ,推出AC =3PN ,由此构建方程即可解决问题; (3)构建二次函数,利用二次函数的性质即可解决问题.【详解】(1)在Rt △ABC 中,∵∠C=90°,AC=3cm ,BC=4cm ,∴AB=(cm ),∵PN ∥AC ,PB=t , ∴PB BC =BN BA =PN AC, ∴4t =5BN =3PN , ∴BN=54t ,PN=34t , ∴AN=AB ﹣BN=5﹣54t . (2)由题意:12•PN•PC=13×12•PC•AC , ∴AC=3PN ,∴3=334⨯t , ∴t=43, ∴当t 为2s 时,△APN 的面积等于△ACP 面积的三分之一.(3)由题意:S △APN =12•PN•PC=12•34t (4﹣t )=﹣38(t ﹣2)2+32, ∵﹣38<0, ∴t=2时,△PAN 的面积最大,最大值为32. 【点睛】本题考查三角形综合题、勾股定理、平行线分线段成比例定理、二次函数的性质等知识,解题的关键是理解题意,学会用方程的思想思考问题,学会构建二次函数解决最值问题,属于中考压轴题.8.西成高铁的开通,使得以前的“蜀道难”变的不再难了,从西安出发的列车,经过4小时左右即可到达成都.周末小华和小亮计划去成都游玩,准备一起去北客站乘车.为了赶时间,他们通过“滴滴打车”叫了一辆快车前往北客站.如图,是小华和小亮一起去北客站乘坐快车的费用y (元)与行驶路程x (千米)之间的函数图象.请你根据以上信息,解答下列问题:(1)求线段AB 所在直线的函数关系式;(2)已知该滴滴打车在高峰时期低速行驶时,每分钟加收0.6元,小华和小亮到达北客站时,共付费43.2元,其中低速行驶8分钟,求小华他们的出发地离北客站有多少千米?【答案】(1) 2.2 3.2y x =+;(2)16千米【详解】解:(1)设线段AB 所在直线的函数关系式为y kx b =+,根据题意,将点()()4,12,9,23A B 代入得412923k b k b +=⎧⎨+=⎩,解得 2.23.2k b =⎧⎨=⎩, ∴线段AB 所在直线的函数关系式为 2.2 3.2y x =+;(2)根据题意得2.2 3.20.6843.2x ++⨯=,解得16x =,答:小华他们的出发地到北客站的路程有16千米.。
平行线间的折线问题
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平行线间的折线问题凹进去的模型(1),中间角等于两个边角的和,即∠BOD=∠B+∠D 。
平行线间夹折线凸出来的模型(2),中间角加两个边角等于360度,即∠BOD+∠B+∠D=360° 记住这些结论,做填空、选择很是方便。
课本及综训习题归类:课本37页挑战自我,综训33页第二课时第4题,35页13、17题,36页19题,38页9题,40页27题,卷子上的10题,18题,26题。
拓展:1.图1将矩形纸片任意剪两刀,得到∠2与∠1,∠3的关系?图2将矩形纸片任意剪四刀,得到∠1,∠2与∠3,∠4,∠5有何关系?图3将矩形纸片任意剪六刀,得到∠1,∠2∠3,∠4,∠5、∠6、∠7有何关系?将矩形纸片任意剪N 刀,你会发现什么规律?解析:过点E 作EF ∥AB则有EF ∥AB ∥CD∵AB ∥EF ∴∠1=∠AEF 3 4 5 6 7 2 1 A B D C 1 2 3 E A G C E F1 2 3 4 5B D 图图图同理∠3=∠CEF∴∠1+∠3=∠AEF+∠CEF=∠2 即∠2=∠1+∠3同样的作法,过点E、F、G分别作AB的平行线,用上述的方法,同理可得∠1+∠3+∠5=∠2+∠4,请同学们自己完成.又如图3可得∠1+∠3+∠5+∠7=∠2+∠4+∠6规律:两平行线间的折线所成的角之间的关系是————奇数角之和等于偶数角之和。
2.如图,已知直线l1∥l2,l3、l4和l1、l2分别交于点A、B、C、D,点P在直线l3或l4上且不与点A、B、C、D重合.记∠AEP=∠1,∠PFB=∠2,∠EPF=∠3.(1)若点P在图(1)位置时,求证:∠3=∠1+∠2;(2)若点P在图(2)位置时,请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系;(3)若点P在图(3)位置时,写出∠1、∠2、∠3之间的关系并给予证明;(4)若点P在C、D两点外侧运动时,请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系.此题四个小题的解题思路是一致的,过P作直线l1、l2的平行线,利用平行线的性质得到和∠1、∠2相等的角,然后结合这些等角和∠3的位置关系,来得出∠1、∠2、∠3的数量关系.解:(1)证明:过P作PQ∥l1,则有PQ∥l1∥l2,由两直线平行,内错角相等,可得:∠1=∠QPE、∠2=∠QPF;∵∠3=∠QPE+∠QPF,∴∠3=∠1+∠2.(2)∠3=∠2-∠1;证明:过P作PQ∥l1,则有PQ∥l1∥l2,则:∠1=∠QPE、∠2=∠QPF;∵∠3=∠QPF-∠QPE,∴∠3=∠2-∠1.(3)∠3=360°-∠1-∠2.证明:过P作PQ∥l1,则有PQ∥l1∥l2,同(1)可证得:∠3=∠CEP+∠DFP;∵∠CEP+∠1=180°,∠DFP+∠2=180°,∴∠CEP+∠DFP+∠1+∠2=360°,即∠3=360°-∠1-∠2.(4)过P作PQ∥l1,则有PQ∥l1∥l2,①当P在C点上方时,同(2)可证:∠3=∠DFP-∠CEP;∵∠CEP+∠1=180°,∠DFP+∠2=180°,∴∠DFP-∠CEP+∠2-∠1=0,即∠3=∠1-∠2.②当P在D点下方时,∠3=∠2-∠1,解法同上.综上可知:当P在C点上方时,∠3=∠1-∠2,当P在D点下方时,∠3=∠2-∠1.。
探究活动平行线被折线所截问题
![探究活动平行线被折线所截问题](https://img.taocdn.com/s3/m/6f43b970650e52ea55189874.png)
培养学生体验从特殊到一般思想过程的一点思考在学习了平行线判定与性质等内容之后,“平行线被折线所截问题”的探究活动,既是对平行线基础知识的延伸与拓展,又对学生几何说理能力和解决问题能力提出了更高的要求,对巩固基础知识和提升学生思维能力具有较高的价值。
此类问题的规律的探究,既能拓宽学生的知识面,丰富学生的认知,又让学生对规律探究的方法进行体验和学习。
本节课我是想通过学生观察、测量、讨论、思考、猜想等一系列学习活动中,感悟探索几何图形性质的基本思维过程。
从具体的一个折点、两个折点、3个折点,发展到对n个折点的探索。
让学生体验从特殊到一般的数学研究过程。
教学过程中,通过小组学习讨论,教师启发,引导、发展学生的思维能力。
鼓励学生一题多解。
给学生思考的时间,对规律性的结论的探究从易到难,铺设台阶。
培养学生学习几何的兴趣。
不仅要让学生掌握结果,更要让学生经历知识形成的过程,掌握学习知识的方法。
课堂上努力突出学生的主体地位,发挥学生的学习积极性,主动探究,积极思考,互帮互助,得到探究结论,大胆发表见解。
几何说理的学习刚刚起步,学生的分析问题能力、逻辑思维能力、几何语言的表达能力等方面还有很多不足,特别是对于添加辅助线来解决问题更是缺乏经验,这些都需要教师给予更多地帮助和引导。
因此在问题探究之初,从教材的课堂练习引入,设计从一个折点、2个折点,再过渡到多个折来探究所形成的角的数量关系。
让学生更容易入手,找到解决问题的方法和途径,并能较为规范、完整地表达和呈现,体会化归的数学思想,形成解决问题的基本途径和方法;学生虽然对于规律性问题的探究在以往学习中有过一点经验,但总体来说发现规律、总结和归纳的能力都需要适当的引导和点拨。
特别是在探究内折时,条件改变,结论也不相同,不同类型的规律不同,完全让学生自主探究难度过大,需要教师为学生提示,逐步深入。
最后,鉴于在课堂上对内折所形成的角的数量关系的探究还没有结束,巢老师建议家庭作业改变以往布置做题的思路。
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平行线中的“折线”问题的教与练
一、准确把握教材容,明确教学目的
平行线是最简单、最基本的几何图形之一,它是研究其他图形的基础,且在实际中也有着广泛的应用。
依据新课标标准,可将教学目标分为三部分:1.让学生掌握平行线的性质,并能运用平行线的判定与性质进行角的计算与证明;2.在平行线中的“折线”问题的探究过程中,让学生仔细观察、比较、联想、分析、归纳、大胆猜想和概括;3最后,通过平行线中的“折线”在变化过程中的探究,使学生学会识别基本图形、构建基本图形、理清解题思路,体会图形之间变化及联系,激发学生兴趣,从而增强学生的识图和逻辑推理能力。
二、全面分析课程标准,直指教学的重点和难点
学生在前面的课程中已经学习了平行线的性质与判定,对相应的知识有了一定的了解,但初一的学生刚接触几何,识图能力比较差,缺乏严谨的逻辑推理能力,空间想象能力及规的几何表述能力,所以在讲授平行线中“折线”问题时,重在引导学生先从已知条件出发,带着问题,去认识和分析图形,然后再鼓励学生运用自己的语言说明理由,最后教师用规的格式写出完整的解题过程,从而在与学生教与学的双方互动过程中培养学生良好的几何表达习惯。
三、精心设计例题类型,激发学生求知欲
教师通过对已学知识的复习和梳理,把学生引到本节课的思路上来,为新课学习做好知识铺垫。
并在教学过程中,通过设计
不同的题目类型,层层设疑,引起学生的好奇心,激发学生的求知欲和学习兴趣。
(一)复习旧知,导入新课
1.运用多媒体展示问题:
(1)平行线判定的方法有哪几种?
(2)平行线有哪些特殊的性质呢?
(3)它们之间有什么区别与联系?
2.引入例题:如图1,AB∥CD∥EF,那么∠BAC+∠ACE+∠CEF=()
(A)180°(B)270°(C)360°(D)540°
分析:由AB∥CD,可得∠BAC+∠ACD=180°(两直线平行,同旁角互补)
又由CD∥EF,可得∠ECD+∠CEF=180°(两直线平行,同旁角互补)
所以∠BAC+∠ACD+∠ECD+∠CEF=360°
即∠BAC+∠ACE+∠CEF=360°。
这道题目直接给出了平行线,学生很容易发现所求的角恰好是已知平行线被第三条直线所截产生的同旁角,从而联想到利用平行线的性质3:“两直线平行,同旁角互补”来解决问题。
在该例题的讲解过程中,教师应教师要先引导,后鼓励学生自己发挥,最后教师再进行纠错,让学生在“犯错”中学习,从而快而准确地掌握本节课的容。
(二)引申思考,探索新知
教师要善于利用初一学生的学习积极性,激发学生探究几何图形的兴趣,培养学生勤于动脑、乐于探索的良好学习习惯。
教师在例题的设计上,应力争环环相扣,逐层深入,使学生易于接受。
探究一:如图2,已知,AB∥CD,
请说明:(1)∠B+∠BED+∠D=360°
(2)如图3,当点E 在直线BD 的左侧时,AB∥CD,则∠BED 与∠B、∠D 的数量关系又如何?请说明理由。
分析:直接观察,问题中的三个角与已知条件中的平行线没有直接联系,但我们可以通过作辅助线构造平行线解决问题。
解:(1)证明:过点E 作EF∥AB。
∴∠B+∠BEF=180°(两直线平行,同旁角互补)
又∵AB∥CD(已知)
∴EF∥CD(平行于同一直线的两条直线互相平行)
∴∠FED+∠D=180°(两直线平行,同旁角互补)
∴∠B+∠BED+∠D=360°。
(2)它们的关系为:∠BED=∠B+∠D。
证明:过点E 作EF∥AB。
∴∠B=∠BEF(两直线平行,错角相等)
∵AB∥CD(已知)
∴EF∥CD(平行于同一直线的两条直线互相平行)
∴∠D=∠DEF(两直线平行,错角相等)
∴∠B+∠D=∠BEF+∠DEF(等量代换)
∴∠B+∠D=∠BED。
分析:本题第(1)问与引例其实是同一道题,意在引导学生仿照引例作辅助线,再解决问题,进而挖掘其深层次的知识,将思路迁移至第(2)问,让学生体会到在图形变化过程中不变的处理方法。
教师应及时引导,遇到类似这类问题有平行线却无法直接利用平行线来求角的关系时,要考虑到添加辅助线,即过“折点”做平行线,这样就产生了同位角、错角及同旁角,从而达到利用平行线的相关性质解决问题的目的。
探究二:当点E 在直线AB 的上方或直线CD 的下方时(如图4、5、6、7),已知AB∥CD,那么∠BED 与∠B、∠D的数量关系又当如何?请说明理由。
分析:这是一道开放性的题目,需要根据位置的不断改变探究角之间的关系,题中所涉及的三个角与已知条件没有直接联系,但根据上题的解题经验,我们可以尝试用同样的办法处理,即过“折点”作平行线,使问题中的角与平行线建立联系,从解决问题。
教师引导抓住问题实质,以不变应万变。
(三)拓展思维
1.如图8,∠AB∥DE,∠ABC =80°,∠CDE =140°,求∠BCD 的度数。
分析:本题可直接利用本节课的基本方法来解决,即过“折点”作平行线,再用平行的性质逐步求出∠BCD 的度数。
2.如图9,AB∥CD,∠A=105°,∠C=140°,求∠FEC 的度数。
分析:同前面题目一样,过“折点”作平行线,再用平行的性质逐步求出∠FEC的度数。
但完成之后还可利用本节课第一个基本图形的结论来检验结果,即由AB∥CD 知∠A+∠AEC+∠
C=360°,而∠A=105°,∠C=140°,故∠AEC=360°-∠A-∠
C=360°-105°-140°=115°,又由邻补角定义知∠FEC=180°-∠AEC=180°-115°=65°。
教师通过精心设计各种类型的例题,引导学生逐层深入探索,使学生的思维方法和思维能力逐步得以提升。
学生就能利用本节课的基本方法即过“折点”作辅助线构造平行线来顺利解决问题。
总之,数学课教学要注重知识教学与思维教学的统一,既要重视课堂的效率,又要注意对学生思维的培养,力求使学生主动学习,教师只在引导,且注重对学生思维的逻辑性与知识性的统一,让学生会举一反三。