分段函数的零点(自己).

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基础拾遗 例题备选
变式训练3 分析函数f(x)=|1-x|-kx的零点个数.
【解析】设y=|1-x|,y=kx, 则函数y=|1-x|的图象与y=kx的图象交点的个数就是函数f(x)=|1-x|-kx 的零点个数. 由右边图象可知:
当-1≤k<0时,两函数图象没有交点; 当k=0或k<-1或k≥1时,两函数图象只有一个交点; 当0<k<1时,两函数图象有两个不同的交点. 综上:当-1≤k<0时,函数f(x)=|1-x|-kx没有零点; 当k=0或k<-1或k≥1时,函数f(x)=|1-x|-kx有一个零点; 当0<k<1时,函数f(x)=|1-x|-kx有两个零点.
D．6
【解析】 [来源:学科网]
解：
令g(x) t,t [a, a],则f g(x) f (t) 0,
当t [a,0]时，满足方程g(x) t的根由两个，而t有两个值，共有4个不同的实数根。 当t [0，a,]时，满足方程g(x) t的根由两个，而t有一个值，共有2个不同的实数根 综上，可知一共有6个不同的实数根。
无学 人林 迹探 处路 有贵 奇涉 观远 。
,
会当凌绝顶，一览众山小。
【解析】函数f(x)是以2为周期的偶函数.且当x∈[0,1]时,f(x)=x.
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基础拾遗 例题备选
在区间[-1,3]上,f(x)的图象如图所示,
函数g(x)=f(x)-kx-k有4个零点,∴f(x)与直线y=kx+k有4个交点.
直线y=kx+k过定点(-1,0),
的交点的个数为
（A）6 （B）7 （C）8
（D ）9
【答案】B
【解析】因为当 0 x 2时, f (x) x3 x ,又因为 f (x) 是 R 上最小正周期为 2
的周期函数，且 f (0) 0 ,所以 f (6) f (4) f (2) f (0) 0 ,又因为 f (1) 0 ,所以
m≠0时 10 x ∈Z,于是x只能取0,6,1,10这四个数字,代入求的m∈{3,
14,30};当m=0时,x=-5也符合题意,于是m的取值集合为{0,3,14,30}.
【答案】(1)C (2)C (3){0,3,14,30}
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基础拾遗 例题备选
＝x
1 2
－12x
只有
1
个零点．
(2)由 f(f(x))＋1＝0 可得 f(f(x))＝－1， 又由 f(－2)＝f12＝－1. 可得 f(x)＝－2 或 f(x)＝12. 若 f(x)＝－2，则 x＝－3 或 x＝14； 若 f(x)＝12，则 x＝－12或 x＝ 2， 综上可得函数 y＝f(f(x))＋1 有 4 个零点． [答案] (1)B (2)A
因为关于x的方程[f(x)]2+bf(x)+c=0有5个不同实数解,
所以[f(x)]2+bf(x)+c=0等价于x2+bx+c=0的解为x1=0,x2>2,
x1 x1
x2
x2
b c 0,
2,
所以b<-2,且c=0.故选C.
(3)由题中m∈N,若函数f(x)=2x-m 10 x -m+10知,-5≤x≤10,又因为当
()
A . [0 ， 1)
2
D . (0 ， 1]
2
【答案】D
B . [1 ， )
2
C . [0 ， 1)
3
【解析】本题考查函数的零点
10.(2011 年高考山东卷理科 10)已知 f (x) 是 R 上最小正周期为 2 的周期函
数，且当0 x 2时, f (x) x3 x ,则函数 y f (x) 的图象在区间[0,6]上与 x 轴
高志才
(2)(2013·北 京 东 城 区 模 拟 ) 已 知 函 数 f(x) ＝
x＋1，x≤0， log2x，x>0，
则函数 y＝f(f(x))＋1 的零点个数是
A．4
B．3
()
C．2
D．1
[自主解答] (1)在同一平面直角坐
标系内作出
1
y1＝x 2
与
y2＝12x
的图象如
图所示，易知，两函数图象只有一个交点，因此函数 f(x)
2x a 9.设f(x)=
f (x 1)
(x 0), 若方程f(x)=x有且仅有
(x 0),
两个实数解，则实数a的取值范围是（-∞,2）.
解析 先给a一个特殊值，令a=0，可画出x≤0时 的图象.当0<x≤1时，f(x)=2-(x-1)，可以画出（0， 1］内的图象，实际是将（-1，0］内的图象右移一
1.(2011年北京)已知函数f(x)=
2 x
,
x
2,
若关于x 的方程f(x)=k有
(x 1)3, x 2,
两个不同的实根,则实数k的取值范围是
.
【解析】在同一坐标系下作出f(x)的函数图象,易得到k∈(0,1).
【答案】(0,1)
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h(x)=g(x)-f(x)在[ 1 , 3] 上的零点个数为
22
(A)5
(B)6
(C)7
(D)8
(3)设m∈N,若函数f(x)=2x-m 10 x -m+10存在整数零点,则m的取值集
合为
.
【解析】(1)当x≥2时,f(x)=x-2-ln x,f'(x)=1- 1 =x 1>0,
xx
∴f(x)在[2,+∞)上是增函数.
∴k>0,且3k+k≤1;∴0<k≤ 1 .
4
∴实数k的取值范围为(0, 1 ].
4
【点评】本题考查函数的周期性、奇偶性以及运用数形结合的方 法解决函数零点的问题.需要把函数g(x)的零点转化为两个函数的 图象的交点问题.从而通过数形结合解决问题,需要转化的能力,同时
还要抓住y=kx+k过定点来控制直线的图象.
个单位后得到的.以此类推可画出，当x>0时的图 象，其图象呈周期变化，然后再由参数a的意义使 图象作平移变换，由此确定-a的取值范围，最后求 出a的取值范围.
9.若 f (x) 1 1 ，当 x [0 ，1] 时， f (x) x ，若在区间(1，
f (x 1)
1] 内 g(x) f (x) mx m 有两个零点，则实数 m 的取值范围是
当0<x<2时,f(x)=-x+2-ln x,∴f(x)在(0,2)上是减函数.
f(2)=-ln 2<0,
而f(e-2)=2-e-2+2>0,f(e2)=e2-2-2>0,
∴f(x)在定义域内有2个零点.
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(2)f(x)为偶函数,当x≠0时,f(x)≥2.
4.（2012 届西南大学附属中学第二次月考）已知函数 y = f (x) 和 y = g (x) 的定义域及值域均为
a，a (常数a 0) ，其图像如图所示，则方程 f g(x) 0 根的个数为（ ）
A．2 【答案】D
y
–a
a y = f (x)
ax Hale Waihona Puke Baidua
B．3
y a
–a
–a
C．5
y = g (x) a x
f (3) 0 , f (5) 0 ,故函数 y f (x) 的图象在区间[0,6]上与 x 轴的交点的个数为
7 个,选 B.
11.(2012 年 高 考 辽 宁 卷 理 科 11) 设 函 数 f(x) (x R) 满 足 f( x )=f(x) ，
f(x)=f(2 x) ， 且 当 x [0,1] 时 ， f(x)=x3. 又 函 数 g(x)=|xcos ( x) | ， 则 函 数
题型3函数的零点 例3 函数f(x)是以2为周期的偶函数,且当
x∈[0,1]时,f(x)=x.若在区间[-1,3]上,函数g(x)= f(x)-kx-k有4个零点,求实数k的取值范围.
【分析】根据函数f(x)是以2为周期的偶函数,作出函数在[-1,3]上的 图象.函数g(x)=f(x)-kx-k有4个零点,可以转化为函数f(x)与y=kx+k图象 的交点问题.