2020版高考数学习题：第十篇概率(必修3) 第3节几何概型

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必修3第三章-概率-知识点总结和强化练习：

高中数学必修3 第三章概率知识点总结及强化训练一、知识点总结3.1.1 —3.1.2随机事件的概率及概率的意义 1、基本概念：（1）必然事件：在条件S 下，一定会发生的事件，叫相对于条件S 的必然事件；（2）不可能事件：在条件S 下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S 的不可能事件；（3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S 的确定事件；（4）随机事件：在条件S 下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S 的随机事件；（5）频数与频率：在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A出现的次数nA 为事件A 出现的频数；称事件A 出现的比例fn(A)=n n A为事件A 出现的概率：对于给定的随机事件A ，如果随着试验次数的增加，事件A 发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P （A ），称为事件A 的概率。

（6）频率与概率的区别与联系：随机事件的频率，指此事件发生的次数nA 与试验总次数n 的比值n n A，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小。

我们把这个常数叫做随机事件的概率，概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。

频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率3.1.3 概率的基本性质 1、基本概念：（1）事件的包含、并事件、交事件、相等事件（2）若A ∩B 为不可能事件，即A ∩B=ф，那么称事件A 与事件B 互斥；（3）若A ∩B 为不可能事件，A ∪B 为必然事件，那么称事件A 与事件B 互为对立事件；（4）当事件A 与B 互斥时，满足加法公式：P(A ∪B)= P(A)+ P(B)；若事件A 与B 为对立事件，则A ∪B 为必然事件，所以P(A ∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)2、概率的基本性质：1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A)≤1； 2）当事件A 与B 互斥时，满足加法公式：P(A ∪B)= P(A)+ P(B)；3）若事件A 与B 为对立事件，则A ∪B 为必然事件，所以P(A ∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)；4）互斥事件与对立事件的区别与联系，互斥事件是指事件A 与事件B 在一次试验中不会同时发生，其具体包括三种不同的情形：（1）事件A 发生且事件B 不发生；（2）事件A 不发生且事件B 发生；（3）事件A 与事件B 同时不发生，而对立事件是指事件A 与事件B 有且仅有一个发生，其包括两种情形；（1）事件A 发生B 不发生；（2）事件B 发生事件A 不发生，对立事件互斥事件的特殊情形。

2020高一数学必修3教师版3几何概型 - 中档 - 习题

几何概型一、选择题（共12小题；共60分）1. 已知地铁列车每一班，在车站停，则乘客到达站台立即乘上车的概率是A. B. C. D.2. 某人向一个半径为的圆形靶射击，假设他每次射击必定会中靶，且射中靶内各点是随机的，则此人射中的靶点与靶心的距离小于的概率为A. B. C. D.3. 已知一只蚂蚁在边长分别为，，的三角形的边上随机爬行，则其恰在离三个顶点的距离都大于的地方的概率为A. B. C. D.4. 在区间上随机选取一个数，若的概率为，则实数的值为A. B. C. D.5. 欧阳修《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”．卖油翁的技艺让人叹为观止．设铜钱是直径为的圆，它中间有边长为的正方形孔．若随机向铜钱上滴一滴油，则油滴（不计油滴的大小）正好落入孔中的概率为A. B. C. D.6. 在区间上随机取两个数，，记为事件“”的概率，为事件“”的概率，则A. B. C. D.7. 两根电线杆相距，若电线遭受雷击，且雷击点距电线杆之内时，电线杆上的输电设备将受损，则遭受雷击时设备受损的概率为A. B. C. D.8. 如图所示，在边长为的正方形中有，有一封闭曲线围成的阴影区域．在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为，则阴影区域的面积为A. B. C. D.9. 如图，扇形的圆心角为，点在弦上，且，延长交弧于．现向扇形内投点，则该点落在扇形内的概率为A. B. C. D.10. 如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A. B. C. D.11. 如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A. B. C. D.12. 向面积为的平行四边形中任投一点，则的面积小于的概率为A. B. C. D.二、填空题（共5小题；共25分）13. 几何概型（1）如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．（2）几何概型中，事件的概率计算公式为⑥．14. 如图，往半径为的圆内随机撒一粒芝麻，它落在阴影部分（圆内接正三角形）上的概率是．15. 已知直线，，则直线在轴上的截距大于的概率是．16. 如图，有一圆盘，其中阴影部分的圆心角为，向圆盘内投镖，如果某人每次都投入圆盘内，那么他投中阴影部分的概率为．17. 如图，在圆心角为的扇形中，分别以，为直径作两个半圆，若在扇形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是．三、解答题（共5小题；共65分）18. 在等腰的斜边上任取一点，求小于的概率．19. 某人午觉醒来，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于分钟的概率．20. 在的水中有一个草履虫，现从中随机取出水放到显微镜下观察，求发现草履虫的概率．21. 如图，射箭比赛的箭靶涂有个彩色的分环，从外向内依次为白色、黑色、蓝色、红色，靶心为金色，金色靶心叫“黄心”．射箭比赛靶面直径，靶心直径，运动员在外射箭．假设运动员射的箭都能中靶，且射中靶面内任一点是等可能的，那么射中“黄心”的概率是多少?22. 甲，乙两人约定在时在某处会面，并约定先到者应等候另一人分，过时即可离去，设两人出发是各自独立的，且在时各时刻会面是等可能的，求两人能会面的概率．答案第一部分1. A 【解析】总的时间段长为，在车站停．2. D 【解析】由几何概型得，所求概率为．3. A 【解析】由题意可知，边长分别为，，的三角形的边长和为，而蚂蚁要在离三个顶点的距离都大于的地方爬行，则它爬行的区域长度为，根据几何概型的概率计算公式可得所求概率为．4. C5. A【解析】依题意得，所求的概率为．6. B 【解析】“”对应区域面积为，“”对应区域面积为，如图．，．由图可知，，所以．7. B 【解析】如图所示，两根电线杆相距，，，则当雷击中在线段或上时，设备受损，故所求概率．8. B 【解析】正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率阴影正方形．又因为正方形，所以阴影．9. A10. B11. B12. C 【解析】设的高为，的反向延长线交于，当“的面积等于”时，即，过作，则满足的面积小于的点在平行四边形中，由几何概型得到的面积小于的概率为．第二部分13. ⑥构成事件的区域长度面积或体积实验的全部结果所构成的区域长度面积或体积14.【解析】由题可知圆内接正三角形的边长是，所以三角形的面积是，故概率．15.【解析】设事件为“直线在轴上的截距大于”，当时，，．试验的全部结果构成区间，事件的结果构成区间，所以．16.【解析】．17.【解析】令，扇形为对称图形，作对称轴，则点在上．即以为直径的半圆面积减去的面积，．在扇形中，为扇形面积减去面积和，，．扇形的面积，故概率．第三部分18. 在上截取，于是，．19. 他在到分钟之间的任何一个时刻打开收音机是等可能的，但到分钟之间有无穷多个时刻，不能用古典概型的公式计算该随机事件发生的概率．因为电台每隔小时报时一次，他在到分钟之间任何一个时刻打开收音机是等可能的，所以他在哪个时间段打开收音机的概率只与该时间段的长度有关，而与该时间段的位置无关，这符合几何概型的特点，因此可以通过几何概型的概率公式得到事件发生的概率．设事件＝“等待的时间不多于分钟”，事件恰好是打开收音机的时刻在时间段内，因此由几何概型的概率公式得．20. 记事件在取出的水中有草履虫，由几何概型的概率计算公式得．21. 记射中黄心．因为，，所以．22. 以轴和轴分别表示甲，乙两人到达约定地点的时间，则两人能够会面的充要条件是，在如图所示的平面直角坐标系下，点的所有可能结果是边长为的正方形区域，记“两人能会面”为事件，由图中阴影部分表示，则，所以两人能会面的概率为．。

人教版高中数学必修三第三章概率3.3.1 几何概型(第1课时)

3．3．1 几何概型（第1课时）一、教学目标：1．知识与技能：（1）通过等公交车和转盘游戏，引入几何概型定义和几何概型中概率计算公式，明确几何概型与古典概型的区别.（2）通过例题教学，使学生进一步理解几何概型的使用条件，学会利用几何概型的概率计算公式解决问题.（3）在几何概型下进一步理解“不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1；而概率为0的事件不一定是不可能事件，概率为1的事件不一定是必然事件”的含义.2．过程与方法：发现法教学，通过师生共同探究，体会数学知识的形成，学会应用数学知识来解决问题，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力.3．情感、态度与价值观：本节课的主要特点是现实问题多，需要将现实问题转化为数学问题来解决，加强数学知识与现实世界的联系，学习时养成勤学严谨的学习习惯.二、教学重点与难点：重点：掌握几何概型的判断及几何概型中概率的计算公式.难点：准确确定全部几何区域和与事件A对应的区域，并求出它们的长度、面积或体积.三、教法与教具：教学方式：启发、探究式教学辅助：多媒体课件四、教学基本流程：五、教学过程（一）知识回顾复习古典概型创设情境，引入课题通过转盘游戏猜想相应的概率几何概型的概念、特点、与古典概型的区别例题讲解及变式，明确几何概型的计算步骤练习和小结作业和课后思考1、古典概型的特点是什么？在古典概型下，如何计算随机事件A 出现的概率？2、当随机试验的基本事件有无限个时，事件的概率应该如何求呢?（二）新知探究当随机试验的基本事件有无限个时，事件的概率应该如何求呢?1、创设情境情境1：公共汽车站每隔15分钟有一辆1路汽车通过，乘客到达车站的任一时刻是等可能的，那么乘客等车不超过10分钟的概率是多少？情境2：图中有两个转盘.甲乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向B 区域时,甲获胜,否则乙获胜.如果你是甲，你会选择那一个转盘进行游戏？你为何作此选择？你获胜的可能性是多少？思考讨论： 1. 指针指向B 区域的机会（概率）与什么有关？2.指针指向B 区域的机会（概率）与圆的大小有关吗？3.把转盘②变成③图, 指针指向B 区域的机会（概率）会不会改变？情境3：在500ml 的水中有一个草履虫，现从中随机取出2ml 水样放到显微镜下观察，那么发现草履虫的概率是多少？ 2、探究（1）你是如何计算概率的？（2）它们的共同特征是什么？（3）以上3个问题是否属于古典概型问题？为什么？3、几何概率模型的定义及计算公式（1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型.（2）几何概型的概率公式：()A P A 构成事件的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）（强调：求几何概型的概率时考虑试验的结果个数失去意义.）（3）几何概型的特点：（类比古典概型，说出异同点）1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每个基本事件出现的可能性相等．(三)应用举例1、判断下列概率类型并求其概率：（1）在区间[0,9]上任取一个整数，恰好取在区间[1,3]上的概率为多少？（2）在区间[0,9]上任取一个实数，恰好取在区间[1,3]上的概率为多少？2、例题及变式例1：某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台报时,求他等待的时间不多于10分钟的概率.（假设电台只在整点报时）变式1：求他等待的时间至少20分钟的概率．变式2：求他等待的时间为20至40分钟的概率．变式3：一个路口的红绿灯，红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为40秒，当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是多少？B B N NB（1）红灯；（2）黄灯；（3）不是红灯.3、解决情境14、达标训练1.如右图,假设你在每个图形上随机撒一粒黄豆,分别计算它落到阴影部分的概率.2.有一杯1升的水，其中含有1个细菌，用一个小杯从这杯水中取出0.1升，求小杯水中含有这个细菌的概率.3.取一根长为30厘米的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么剪得两段的长都不少于10厘米的概率有多大?4.(2010湖南文科)在区间[]2,1-上随机取一个数x，则[]1,0∈x的概率为 .5.思考题：在转盘游戏中,当指针指向B区域时,甲获胜.(1)如果在转盘上，区域B缩小为一个点，那么甲获胜的概率是多少？ (2)如果在转盘上，区域B扩大为整个转盘扣除一个点，那么甲获胜的概率是多少？结论：概率为0的事件不一定是不可能事件；概率为1的事件不一定是必然事件.（四）课堂小结1、几何概型的特点：(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限个(2)每个基本事件出现的可能性相等.2、几何概型的概率公式：()AP A=构成事件的区域长度（面积或体积）全部结果所构成的区域长度（面积或体积）几何概型是适用于试验结果无限多且事件是等可能发生的概率类型，找出随机事件与所有基本事件相对应的几何区域,把问题转化为几何概型问题是解决问题的关键. 3、注意理解几何概型与古典概型的区别.（五）作业布置1、课本P142 习题3.2 A组 12、在区间[,]22ππ-上随机取一个数x，求cos x的值介于0到21之间的概率.(09山东高考）（六）课后思考（会面问题）甲乙两人约定在6时到7时之间在某处会面,并约定先到者应等候另一个人15分钟,过时即可离去,求两人能会面的概率.。

2020年高中数学必修三第三章《概率》3.3.1几何概型

2020年高中数学必修三第三章《概率》3．3.1几何概型3．3.2均匀随机数的产生学习目标 1.通过具体问题感受几何概型的概念，体会几何概型的意义；2.会求一些简单的几何概型的概率；3.会用随机模拟的方法近似计算某事件的概率．知识点一几何概型的概念思考往一个方格中投一粒芝麻，芝麻可能落在方格中的任何一点上．这个试验可能出现的结果是有限个，还是无限个？若没有人为因素，每个试验结果出现的可能性是否相等？答案出现的结果是无限个；每个结果出现的可能性是相等的．梳理1．几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．2．几何概型的特点(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个．(2)每个基本事件出现的可能性相等．知识点二几何概型的概率公式思考既然几何概型的基本事件有无限多个，难以像古典概型那样计算概率，那么如何度量事件A所包含的基本事件数与总的基本事件数之比？答案可以用事件A所占有的几何量与总的基本事件所占有的几何量之比来表示．梳理事件发生的概率与构成该事件的区域测度(如长度、面积、体积)成比例，故可用区域的测度代替基本事件数．P(A)＝构成事件A的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).知识点三均匀随机数1．均匀随机数的定义如果试验的结果是区间[a，b]内的任何一个实数，而且出现任何一个实数是等可能的，则称这些实数为均匀随机数．2．均匀随机数的特征(1)随机数是在一定范围内产生的．(2)在这个范围内的每一个数被取到的可能性相等．3．均匀随机数的产生(1)计算器产生区间[0,1]上的均匀随机数的函数是RAND.(2)Excel软件产生区间[0,1]上的均匀随机数的函数为“rand__(_)”．(3)产生方法：①由几何概型产生；②由转盘产生；③由计算器或计算机产生．类型一几何概型的识别例1下列关于几何概型的说法错误的是()A．几何概型是古典概型的一种，基本事件都要具有等可能性B．几何概型中事件发生的概率与它的形状或位置无关C．几何概型在一次试验中可能出现的结果有无限多个D．几何概型中每个结果的发生都具有等可能性答案A解析几何概型和古典概型是两种不同的概率模型，几何概型中的基本事件有无限多个，古典概型中的基本事件有有限个．反思与感悟几何概型特点的理解(1)无限性：在每次随机试验中，不同的试验结果有无穷多个，即基本事件有无限多个；(2)等可能性：在每次随机试验中，每个试验结果出现的可能性相等，即基本事件的发生是等可能的．跟踪训练1判断下列概率模型是古典概型还是几何概型．(1)先后抛掷两枚质地均匀的骰子，求出现两个“4点”的概率；(2)如图所示，图中有一个转盘，甲、乙玩转盘游戏，规定当指针指向B区域时，甲获胜，否则乙获胜，求甲获胜的概率．解(1)先后抛掷两枚质地均匀的骰子，所有可能结果有6×6＝36(种)，且它们的发生都是等可能的，因此属于古典概型．(2)游戏中指针指向B区域时有无限多个结果，且它们的发生都是等可能的，而且不难发现“指针落在阴影部分”的概率可以用阴影部分的面积与总面积的比来衡量，即与区域面积有关，因此属于几何概型．类型二几何概型的计算命题角度1 与长度有关的几何概型例2 某公共汽车站，每隔15分钟有一辆车发出，并且发出前在车站停靠3分钟，求乘客到站候车时间大于10分钟的概率．解如图所示，设相邻两班车的发车时刻为T 1，T 2，T 1T 2＝15.设T 0T 2＝3，TT 0＝10，记“乘客到站候车时间大于10分钟”为事件A . 则当乘客到站时刻t 落到T 1T 上时，事件A 发生．因为T 1T ＝15－3－10＝2，T 1T 2＝15，所以P (A )＝T 1T T 1T 2＝215.引申探究1．本例中在题设条件不变的情况下，求候车时间不超过10分钟的概率．解由原题解析图可知，当t 落在TT 2上时，候车时间不超过10分钟，故所求概率P ＝TT 2T 1T 2＝1315. 2．本例中在题设条件不变的情况下，求乘客到达车站立即上车的概率．解由原题解析图可知，当t 落在T 0T 2上时，乘客立即上车，故所求概率P ＝T 0T 2T 1T 2＝315＝15. 反思与感悟若一次试验中所有可能的结果和某个事件A 包含的结果(基本事件)都对应一个长度，如线段长、时间区间长、距离、路程等，那么需要先求出各自相应的长度，然后运用几何概型的概率计算公式求出事件A 发生的概率．跟踪训练2 平面上画了一些彼此相距2a 的平行线，把一枚半径为r (r ＜a )的硬币任意掷在这个平面上，求硬币不与任何一条平行线相碰的概率．解记“硬币不与任何一条平行线相碰”为事件A ，如图，由图可知：硬币圆心在线段AB 上的任意一点的出现是等可能的．圆心在线段CD (不含点C 、D )上出现时硬币不与平行线相碰，所以P (A )＝线段CD 的长度线段AB 的长度＝2a －2r 2a ＝a －r a .命题角度2 与面积有关的几何概型例3 设点M (x ，y )在区域{(x ，y )||x |≤1，|y |≤1}上均匀分布出现，求：(1)x ＋y ≥0的概率； (2)x ＋y ＜1的概率； (3)x 2＋y 2≥1的概率．解如图，满足|x |≤1，|y |≤1的点(x ，y )组成一个边长为2的正方形(ABCD )区域(含边界)，S正方形ABCD＝4.(1)x ＋y ＝0的图象是直线AC ，满足x ＋y ≥0的点在AC 的右上方(含AC )，即在△ACD 内(含边界)，而S △ACD ＝12·S 正方形ABCD ＝2，所以P (x ＋y ≥0)＝24＝12.(2)设E (0,1)，F (1,0)，则x ＋y ＝1的图象是EF 所在的直线，满足x ＋y ＜1的点在直线EF 的左下方，即在五边形ABCFE 内(不含边界EF )，而S 五边形ABCFE ＝S 正方形ABCD －S △EDF ＝4－12＝72，所以P (x ＋y ＜1)＝S 五边形ABCFE S 正方形ABCD ＝724＝78.(3)满足x 2＋y 2＝1的点是以原点为圆心的单位圆O ，S ⊙O ＝π，所以P (x 2＋y 2≥1)＝S 正方形ABCD －S ⊙O S 正方形ABCD＝4－π4.反思与感悟如果每个基本事件可以理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，某个随机事件的发生理解为恰好取到上述区域的某个指定区域内的点，且该区域中的每一个点被取到的机会都一样，这样的概率模型就可以视为几何概型，并且这里的区域可以用面积表示，利用几何概型的概率公式求解．跟踪训练3 欧阳修《卖油翁》中写到，(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌沥之，自钱孔入而钱不湿．若铜线是直径为3 cm 的圆，中间有一个边长为1 cm 的正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油(油滴的大小忽略不计)，则油滴正好落入孔中的概率是( ) A.49π B.43π C.9π4 D.3π4答案 A解析 ∵S 正方形＝1 cm 2，S 圆＝π·⎝⎛⎭⎫322＝9π4(cm 2)， ∴P ＝S 正方形S 圆＝49π，故选A.命题角度3 与体积有关的几何概型例4 已知正四面体ABCD 的体积为V ，P 是正四面体ABCD 内部的点． (1)设“V P －ABC ≥14V ”的事件为X ，求概率P (X )；(2)设“V P －ABC ≥14V 且V P －BCD ≥14V ”的事件为Y ，求概率P (Y )．解 (1)如图，分别取DA 、DB 、DC 上的点E 、F 、G ，并使DE ＝3EA ，DF ＝3FB ，DG ＝3GC ，连接EF 、FG 、GE ，则平面EFG ∥平面ABC .当P 在正四面体DEFG 内部运动时，满足V P －ABC ≥14V ，故P (X )＝V D －EFG V D －ABC ＝⎝⎛⎭⎫DE DA 3＝⎝⎛⎭⎫343＝2764.(2)在AB 上取点H ，使AH ＝3HB ，在AC 上取点I ，使AI ＝3IC ，在AD 上取点J ，使AJ ＝3JD ，连接JH 、JI ，分别交EF 、EG 于点M 、N ，连接MN 、HI ，则P 在正四面体AHIJ 内部运动时，满足V P －BCD ≥14V .结合(1)可知，当P 在正四面体DEFG 的内部及正四面体AHIJ 的内部运动，即P 在正四面体EMNJ 内部运动时，满足V P －ABC ≥14V 且V P －BCD ≥14V ，于是P (Y )＝V J －EMN V D －ABC ＝⎝⎛⎭⎫JE DA 3＝⎝⎛⎭⎫123＝18.反思与感悟如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用体积表示，则其概率的计算公式为P (A )＝构成事件A 的区域体积试验的全部结果所构成的区域体积.解决此类问题的关键是注意几何概型的条件，分清所求的概率是与体积有关还是与长度有关，不要将二者混淆．跟踪训练4 在一个球内有一棱长为1的内接正方体，一动点在球内运动，则此点落在正方体内部的概率为( ) A.6π B.32π C.3π D.233π答案 D解析由题意可知这是一个几何概型，棱长为1的正方体的体积V 1＝1，球的直径是正方体的体对角线长，故球的半径R ＝32，球的体积V 2＝43π×⎝⎛⎭⎫323＝32π，则此点落在正方体内部的概率P ＝V 1V 2＝233π.类型三均匀随机数及随机模拟方法例5 在如图所示的正方形中随机撒一把豆子，计算落在圆中的豆子数与落在正方形中的豆子数之比并以此估计圆周率的值.解随机撒一把豆子，每个豆子落在正方形内任何一点是等可能的，落在每个区域的豆子数与这个区域的面积近似成正比，即圆的面积正方形的面积≈落在圆中的豆子数落在正方形中的豆子数. 设正方形的边长为2，则圆的半径为1，则圆的面积正方形的面积＝π2×2＝π4，由于落在每个区域的豆子数是可以数出来的，所以π≈落在圆中的豆子数落在正方形中的豆子数×4.所以就得到了π的近似值．反思与感悟用随机数模拟的关键是把实际问题中事件A 及基本事件总体对应的区域转化为随机数的范围．用转盘产生随机数，这种方法可以亲自动手操作，但费时费力，试验次数不可能很大．用计算机产生随机数，可以产生大量的随机数，又可以自动统计试验的结果，同时可以在短时间内进行多次重复试验，可以对试验结果的随机性和规律性有更深刻的认识．跟踪训练5 利用随机模拟方法计算由y ＝1和y ＝x 2所围成的图形的面积．解以直线x ＝1，x ＝－1，y ＝0，y ＝1为边界作矩形，(1)利用计算器或计算机产生两组0～1区间的均匀随机数，a 1＝RAND ，b ＝RAND ； (2)进行平移和伸缩变换，a ＝2(a 1－0.5)；(3)数出落在阴影内的样本点数N 1，用几何概型公式计算阴影部分的面积．例如做1 000次试验，即N ＝1 000，模拟得到N 1＝698，所以P ＝N 1N ＝阴影面积矩形面积＝6981 000，即阴影面积S ＝矩形面积×6981 000＝2×6981 000＝1.396.1．下列概率模型是几何概型的为( )A ．已知a ，b ∈{1,2,3,4}，求使方程x 2＋2ax ＋b ＝0有实根的概率B ．已知a ，b 满足|a |≤2，|b |≤3，求使方程x 2＋2ax ＋b ＝0有实根的概率C ．从甲、乙、丙三人中选2人参加比赛，求甲被选中的概率D ．求张三和李四的生日在同一天的概率(一年按365天计算) 答案 B解析对于选项B ，a ，b 满足的条件为坐标平面内某一区域，涉及面积问题，为几何概型，其他三个选项均为古典概型．2．一艘轮船从O 点的正东方向10 km 处出发，沿直线向O 点的正北方向10 km 处的港口航行，某台风中心在点O ，距中心不超过r km 的位置都会受其影响，且r 是区间[5,10]内的一个随机数，则轮船在航行途中会遭受台风影响的概率是( ) A.2－12 B ．1－22C.2－1 D ．2－2 答案 D解析以O 为圆心，r 为半径作圆，易知当r ≥52时，轮船会遭受台风影响，所以P ＝10－5210－5＝10－525＝2－ 2.3．如图，在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________．答案 0.18解析设阴影部分的面积为S ，则S 1×1＝1801 000， ∴S ＝0.18.4．在200 mL 的水中有一个草履虫，现从中随机取出20 mL 水样利用显微镜观察，则发现草履虫的概率是________．答案 0.1解析记“从200 mL 水中随机取出20 mL 水样利用显微镜观察，发现草履虫”为事件A ，则由几何概型的概率计算公式可得P (A )＝20200＝0.1.5．在区间[0,1]上任取三个数a ，b ，c ，若向量m ＝(a ，b ，c )，求|m |≥1的概率．解 ∵a ，b ，c ∈[0,1]，∴Ω＝{(a ，b ，c )|0≤a ≤1,0≤b ≤1,0≤c ≤1}构成的区域为单位正方体(其中原点O 为正方体的一个顶点)．设“|m |≥1”为事件A ，则A 表示“|m |＜1”，即a 2＋b 2＋c 2＜1，这样的点(a ，b ，c )位于单位正方体内，且在以原点为球心，1为半径的球内，V ′＝18×43π×13＝π6.又V 正方体＝1， ∴P (A )＝V ′V 正方体＝π6，因此P (|m |≥1)＝P (A )＝1－P (A )＝1－π6.1．几何概型适用于试验结果是无穷多且事件是等可能发生的概率模型． 2．几何概型主要用于解决与长度、面积、体积有关的问题． 3．注意理解几何概型与古典概型的区别．4．理解如何将实际问题转化为几何概型的问题，利用几何概型公式求解，概率公式为 P (A )＝构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).40分钟课时作业一、选择题1．在区间(15,25)内的所有实数中随机取一个实数a ，则这个实数满足17<a <20的概率是( )A.13B.12C.310D.710 答案 C解析 ∵a ∈(15,25)，∴P (17<a <20)＝20－1725－15＝310.2．在长为10厘米的线段AB 上任取一点G ，用AG 为半径作圆，则圆的面积介于36π平方厘米到64π平方厘米的概率是( ) A.925 B.1625 C.310 D.15 答案 D解析以AG 为半径作圆，面积介于36π平方厘米到64π平方厘米，则AG 的长度应介于6厘米到8厘米之间(如图)．∴所求概率P ＝210＝15.3．当你到一个红绿灯路口时，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为45秒，那么你看到黄灯的概率是( ) A.112 B.38 C.116 D.56答案 C解析由题意可知，在80秒内路口的红、黄、绿灯是随机出现的，可以认为是无限次等可能出现的，符合几何概型的条件．事件“看到黄灯”的时间长度为5秒，而整个灯的变换时间长度为80秒，据几何概型概率计算公式，得看到黄灯的概率为P ＝580＝116.4．如图，在矩形区域ABCD 的A ，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是( )A ．1－π4B.π2－1 C ．2－π2D.π4答案 A解析由题意得，无信号的区域面积为2×1－2×14π×12＝2－π2，由几何概型的概率公式，得无信号的概率为P ＝2－π22＝1－π4.5．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C ，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积小于32 cm 2的概率为( ) A.16 B.13 C.23 D.45答案 C解析设AC ＝x cm ，则BC ＝(12－x )cm(0＜x ＜12)， ∴矩形面积为x (12－x )cm 2，由x (12－x )＜32，解得x ＞8或x ＜4，∴0＜x ＜4或8＜x ＜12.∴所求概率为4＋412＝23，故选C.6．有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )答案 A解析选项A 中，概率P ＝38；选项B 中，概率P ＝28＝14；选项C 中，概率P ＝26＝13；选项D 中，概率P ＝13，则概率最大的为A ，故选A.二、填空题7．有一根长度为3 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段的长度都不小于1 m 的概率是________．答案 13解析从每一个位置剪断都是一个基本事件，剪断位置可以是长度为3 m 的绳子上的任意一点．如图，记“剪得两段的长都不小于1 m ”为事件A .把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段上时，事件A 发生．由于中间一段的长度等于绳长的13，于是事件A 发生的概率P (A )＝13. 8．有一个圆面，圆面内有一个内接正三角形，若随机向圆面上投一镖都中圆面，则镖落在三角形内的概率为________．答案334π解析设圆面半径为R ，如图所示△ABC 的面积S △ABC ＝3·S △AOC ＝3·12AC ·OD ＝3·CD ·OD＝3·R sin 60°·R cos 60°＝33R 24，∴P ＝S △ABC πR 2＝33R 24πR 2＝334π. 9．射箭比赛的箭靶涂有五个彩色的分环，从外向内依次为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色，金色靶心叫“黄心”．奥运会射箭比赛的靶面直径是122 cm ，黄心直径是12.2 cm ，运动员在距离靶面70 m 外射箭．假设射箭都等可能射中靶面内任何一点，那么射中黄心的概率是________．答案 0.01解析由于中靶点随机地落在面积为14×π×1222 cm 2的大圆内，若要射中黄心，则中靶点落在面积为14×π×12.22 cm 2的圆内，所以P ＝14×π×12.2214×π×1222＝0.01. 10．已知圆O ：x 2＋y 2＝12，直线l ：4x ＋3y ＝25，则圆O 上任意一点A 到直线l 的距离小于2的概率为________．答案 16解析因为圆心(0,0)到直线l 的距离为5，圆O 的半径为23，所以直线l 与圆O 相离．设l 0∥l 且圆心到l 0的距离为3，则满足题意的点A 位于l 0，l 之间的弧上(不在直线l 0上)，结合条件可求得该弧所对的圆心角为周角的16，由几何概型的概率计算公式可得P ＝16. 三、解答题11．在区间[－π，π]内随机取两个数分别记为a ，b ，求使得函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π有零点的概率．解在区间[－π，π]内随机取两个数记为(a ，b )，表示边长为2π的正方形边界及内部(正方形的中心为原点)．要使函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π有零点，需4a 2＋4b 2－4π≥，即a 2＋b 2≥π，表示以原点为圆心，π为半径的圆的圆周及外部，且在正方形的内部，所以其面积为4π2－π2＝3π2，所以有零点的概率为3π24π2＝34. 12．已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋c ，其中0≤b ≤4,0≤c ≤4.记函数f (x )满足条件⎩⎪⎨⎪⎧f (2)≤12，f (－2)≤4为事件A ，求事件A 发生的概率．解由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 4＋2b ＋c ≤12，4－2b ＋c ≤4，即⎩⎪⎨⎪⎧2b ＋c ≤8，2b －c ≥0. 又直线2b ＋c ＝8与2b －c ＝0的交点为(2,4)，故该不等式组表示的区域如图中阴影部分所示(包括边界)．阴影部分面积为4×42＝8，试验的全部结果组成的区域为⎩⎪⎨⎪⎧0≤b ≤4，0≤c ≤4表示的正方形区域，面积为4×4＝16，故事件A 发生的概率为P (A )＝816＝12. 13．两人约定在20时到21时之间相见，并且先到者必须等迟到者40分钟方可离去，如果两人出发是各自独立的，且在20时到21时之间各时刻相见的可能性是相等的，求两人在约定时间内相见的概率．解设两人分别于(20＋x )时和(20＋y )时到达约定地点(0≤x ，y ≤1)，要使两人能在约定时间范围内相见，则有－23≤x －y ≤23.(x ，y )的各种可能结果可用图中的单位正方形(包括边界)来表示，满足两人在约定的时间范围内相见的(x ，y )的各种可能结果可用图中的阴影部分(包括边界)来表示．因此阴影部分与单位正方形的面积比就是两人在约定时间范围内相见的可能性的大小，也就是所求的概率，即P ＝S 阴影S 单位正方形＝1－⎝⎛⎭⎫13212＝89.。

必修三第3章第3节几何概型

年级高二学科数学版本苏教版课程标题必修三第3章第3节几何概型编稿老师褚哲一校黄楠二校张琦锋审核孙永涛一、学习目标1. 正确理解几何概型的概念。

2. 掌握几何概型的概率计算公式。

二、重点、难点几何概型的概念、概率计算公式及应用三、考点分析本讲内容在高考中所占比重较小，近几年的高考对概率相关知识的要求降低，主要是以现实生活为背景，以几何图形为载体，重点考查几何概型的概率的求法，多以选择题、填空题形式出现。

其中与长度、面积（体积）有关的几何概型更为重要。

1. 几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型。

几何概型的特点：（1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；（2）每个基本事件出现的可能性相等。

2. 几何概型的概率公式： P （A ）=积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A知识点一：几何概型与古典概型的区别例1 判断下列试验中事件A 发生的概率属于古典概型，还是几何概型。

（1）抛掷两颗骰子，求出现两个“4点”的概率；（2）有一个转盘，甲乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向B 区域时，甲获胜，否则乙获胜，求甲获胜的概率。

思路分析：本题考查几何概型与古典概型的特点。

古典概型具有有限性和等可能性，而几何概型则是在试验中会出现无限多个结果，且与构成事件的区域长度（面积或体积）有关。

解题过程：（1）抛掷两颗骰子，出现的可能结果有6×6=36种，且它们都是等可能的，因此属于古典概型；（2）游戏中转盘指针指向B 区域时有无限多个结果，且不难发现“指针落在阴影部分”，所求概率可以用B 区域的面积与总面积的比来衡量，即与区域面积有关，因此属于几何概型。

解题后反思：要注意几何概型与古典概型的区别：古典概型具有有限性和等可能性，而几何概型则是在试验中会出现无限多个结果，且与构成事件的区域长度（面积或体积）有关。

人教版高中数学必修三第三章概率3.3几何概型课件

可记为：
P( A) A
μ Ω 表示试验的全部结果构成的区域几何度量
μ A 表示事件 A 构成的区域几何度量
公式的运用
例1：一海豚在水池中自由游弋，水池为长30m，宽为
20m的长方形。求此海豚嘴尖离岸边不超过 2m 的概率.
A
不超◆解过：2
引例2：取一个边长为2a的正方形 (如图),随
机地向正方形内丢一粒豆子。
思考：
上述试验还是不是古典概型？
为什么？
小组内讨论：
参照古典概型的特点，上述试验中基本事件的特点是什么？
特点：
无限性：试验中所有可能出现的基本事件为无限个；
等可能性：每个基本事件出现的可能性相等。
几何概型
提出问题
那么对于有无限多个试验结果（不可数）的几何概型相应的概率应如何求呢?
1.古典概型的两个特点:
有限性：试验中所有可能出现的基本事件为有限个. 等可能性：每个基本事件出现的可能性相等.
2.计算公式：
P (A )事试件验 A 包的含基的本基事本件事总件数数 m n
探究一：
引例1：从区间[1，6]中任取一个实数。
0 12 34 5 6
10cm,黄心半径为1cm.现一人随机射箭，假设
每箭都能中靶,且射中靶面内任一点都是等可能的, 请问射中黄心的概率是多少?
设“射中黄心”为事件A
P (A ) 试验事全件部 A 结构果成构的成区的域区的域面的积面积 1 1 0 2 2 = 1 0 1 0
解题步骤：
记事件
构造几何图形

人教A版高中数学必修三练习：第三章概率3.3几何概型含答案

分层训练·进阶冲关A组基础练( 建议用时 20 分钟)1.以下概率模型中 , 几何概型的个数为( B )①从区间 [-10,10]内任拿出一个数,求取到1的概率;②从区间 [-10,10]内任拿出一个数,求取到绝对值不大于 1 的数的概率;③从区间 [-10,10]内任拿出一个整数,求取到大于1而小于2的数的概率;④向一个边长为 4 cm 的正方形 ABCD内投一点 P, 求点 P 离中心不超出1 cm 的概率 .A.1B.2C.3D.42.两根电线杆相距 100 m, 若电线遭到雷击 , 且雷击点距电线杆 10 m 以内时 , 电线杆上的输电设施将受损 , 则遭到雷击时设施受损的概率为( B )3.在长为 10 厘米的线段 AB上任取一点 G,以 AG为半径作圆 , 则圆的面积介于 36π平方厘米到 64π平方厘米的概率是( D )A. B. C. D.4.用计算器或计算机产生 20 个[0,1] 之间的随机数 x, 可是基本领件都在区间 [-1,3]上,则需要经过的线性变换是( D )A.y=3x-1B.y=3x+1C.y=4x+1D.y=4x-15.已知事件“在矩形 ABCD的边 CD上随机取一点 P, 使△APB的最大边是 AB”发生的概率为, 则=( D )A. B. C. D.6.有四个游戏盘 , 以以下图所示 , 假如撒一粒黄豆落在暗影部分 , 则可中奖, 小明希望中奖时机大 , 他应入选择的游戏盘为( A )7.如图 , 图 2 中实线围成的部分是长方体 ( 图 1) 的平面睁开图 , 此中四边形 ABCD是边长为 1 的正方形 . 若向虚线围成的矩形内随意扔掷一质点, 它落在长方体的平面睁开图内的概率是, 则此长方体的体积是3 .8.一只小蜜蜂在一个棱长为 30 的正方体玻璃容器内随机飞翔 , 若蜜蜂在飞翔过程中与正方体玻璃容器 6 个表面中有一个的距离不大于 10,则就有可能撞到玻璃上而不安全 ; 若一直保持与正方体玻璃容器 6 个表面的距离均大于 10, 则飞翔是安全的 , 假定蜜蜂在正方体玻璃容器内飞行到每一地点可能性同样, 那么蜜蜂飞翔是安全的概率是.9.在正方体 ABCD-A1B1C1D1内随机取点 , 则该点落在三棱锥 A1-ABC内的概率是 .10.以下图 , 在直角坐标系内 , 射线 OT落在 60°角的终边上 , 任作一条射线 OA,则射线 OA落在∠ xOT内的概率是 .11.(1) 从区间 (0,5) 内随意选用一个实数x, 求事件“ 9x>27”发生的概率.(2) 从区间 (0,8) 内任取一个整数x, 求事件“ lo x>-2 ”发生的概率 .【分析】 (1) 由 9 x >27, 解得 x>log9 27,即x> .由几何概型可知 ,所求概率为 P1 ==.(2) 由 lo x>-2, 因此 0<x<4.则在区间 (0,8) 内知足不等式的整数为1,2,3 共 3 个.故由古典概型可知 ,所求概率为 P= .12.在正方体 ABCD-A1B1 C1 D1中, 棱长为 1, 在正方体内随机取一点 M,求使M-ABCD的体积小于的概率.【分析】设点 M 到面 ABCD 的距离为 h,则=·h=,即 h= .因此只需点 M 到面ABCD 的距离小于时,即知足条件.所有知足点 M 到面 ABCD 的距离小于的点构成以面ABCD为底,高为的长方体,其体积为.又由于正方体体积为1, 因此使四棱锥 M-ABCD的体积小于的概率为P= = .B组提高练( 建议用时 20 分钟)13.在区间 [-1,1] 上任取两数 x 和 y, 构成有序实数对 (x,y), 记事件 A为“ x2+y2<1”, 则 P(A) 等于 ( A )A. B. C.π D.2π14.球 O与棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1的各个面均相切 , 如图 , 用平行于底面的平面截去长方体 A2B2C2D2-A 1B1C1D1, 获得截面 A2 B2C2D2, 且A2A= a, 现随机向截面A2B2C2D2上撒一粒黄豆 , 则黄豆落在截面中的圆内的概率为( B )A. B. C. D.15.方程 x2+x+n=0(n∈(0,1)) 有实根的概率为 .16.有一个圆面 , 圆面内有一个内接正三角形 , 若随机向圆面上投一镖都中圆面 , 则镖落在三角形内的概率为.17.设有一个等边三角形网格 , 此中各个最小等边三角形的边长都是4cm, 现用直径等于 2 cm 的硬币扔掷到此网格上 , 求硬币落下后与格线没有公共点的概率 .【分析】记 A={ 硬币落下后与格线没有公共点},如图 ,在边长为 4cm 的等边三角形内作小等边三角形,使其三边与原等边三角形三边距离都为1,则等边三角形 A ′B′C′的边长为4-2=2,当硬币的中心落在△ A ′B′C′内时,硬币与格线没有公共点 .由几何概率公式得 :P(A)== .18. 已知函数 f(x)=-x2+ax-b.(1)若 a,b 都是从 0,1,2,3,4 五个数中任取的一个数 , 求上述函数有零点的概率 .(2)若 a,b 都是从区间 [0,4] 任取的一个数 , 求 f(1)>0 建立的概率 .【分析】 (1)a,b 都是从 0,1,2,3,4 五个数中任取的一个数的基本领件总数为 N=5 ×5=25( 个).函数有零点的条件为=a 2 -4b ≥0,即 a2≥4b.由于事件“ a 2≥4b ”包括 (0,0),(1,0),(2,0),(2,1),(3,0),(3,1),(3,2),(4,0),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共12个.因此事件“ a2≥4b”的概率为P=.(2) 由于 a,b 都是从区间 [0,4] 上任取的一个数 ,f(1)=-1+a-b>0,因此a-b>1, 此为几何概型 ,因此事件“f(1)>0 ”的概率为 P==.C组培优练 ( 建议用时 15 分钟 )19.如图 , 在一个边长为 a,b(a>b>0) 的矩形内画一个梯形 , 梯形上、下底分别为 a 与a, 高为 b, 向该矩形内随机投一点, 则所投的点落在梯形内部的概率为.20. 设对于 x 的一元二次方程x2+2ax+b2=0.(1)若 a 是从 0,1,2,3 四个数中任取的一个数 ,b 是从 0,1,2 三个数中任取的一个数 , 求上述方程有实根的概率 ;(2)若 a 是从区间 [0,3] 任取的一个数 ,b 是从区间 [0,2] 任取的一个数 ,求上述方程有实根的概率.【分析】设事件 A 为“方程 x 2 +2ax+b 2 =0有实根”,当a≥0,b≥0时,此方程有实根的条件是 a ≥b.(1) 全集Ω={(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2)},共12个,此中第一个数表示 a 的取值 ,第二个数表示b的取值 ,事件A={(0,0),(1,0),(1,1),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2)},共9个,故 P(A)== .(2)试验的所有结果所构成的地区为 {(a,b)|0 ≤a ≤3,0 ≤b ≤2}, 而构成 A 的地区为 {(a,b)|0 ≤a≤3,0 ≤b ≤2,a ≥b}, 即以下图的暗影部分 ,因此 P(A)== .封闭 Word 文档返回原板块。

第十篇概率(必修3)第3节几何概型word版含解析_最新修正版

第3节几何概型应用能力提升;i 申「h ■!【选题明细表】基础巩固（时间:30分钟）11.在集合｛x|0 <X < a,a>0｝中随机取一个实数m 若|m|v2的概率为铁,则实数a 的值为（B ）1解析:由几何概型可得a=2+3=6.选B.2. （2018 •顺德区一模）在区间［1,4］上随机取一个数X,则事件“ log 4x发生的概率为（B ）解析：由log 4X ^,得x >2,所以在区间［1,4］上随机取一个数X,事件1log 4X >2”发生的概率为P =- !=.故选B.3. （2018 •江西二模）如图是我们古代数学家赵爽为证明勾股定理而绘制的,在我国最早的数学著作《周髀算经》中有详细的记载 .若图中大12 1(A)3 (B) 3 (C)2(A)5(B)6 (C)9 (D)124-2 21 >2"3 (00正方形的边长为5,小正方形的边长为2,现作出小正方形的内切圆，向大正方形所在区域模拟随机投掷 n 个点,有m 个点落在中间的圆内，由解析：大正方形的边长为5,总面积为25, 小正方形的边长为2,其内切圆的半径为1,面积为n ；2G?n解得n =壮.故选D.4. 已知区域Q 二｛(x,y)|x+y < 6,x > 0,y > 0｝,区域 E 二｛(x,y)|x-2y> 0,x<4,y >0},若向区域Q 内随机投一点 P,则点P 落在区域E 内的概率为解析:如图,区域Q 表示的平面区域为△ AOB 勺边界及其内部，区域E 表示的平面区域为^ COD 勺边界及其内部，所以点P 落在区域E 内的概率产天4A COD 1二 -- ■ X 6 X 6此可估计n 的近似值为 2^m (A)伽4m(B)1(A)3 (B) 2 1 2? (C)9 (D)9((C)5.在以点0为圆心,1为半径的半圆弧上，任取一点B,如图所示，则^1AOB勺面积大于斗的概率为（解析：如图（1）所示，过点B作直线0A的垂线，垂足为D,则^ AOB勺面积1大于彳等价于2X1X |BD|>%即|BD|>2.如图⑵ 所示，作COLOA取P为CO的中点，过P作MN L OC连接OM,ON则当点B在：』上运动（不包括点36.（2018 •乐山二模）在边长为2的正方形ABCDg部任取一点P,则满足 / APBV90的概率为（B ）7Z TT TT 71I 1 I _____ I(A)R (B)1- 8(C)4 (D)1-A解析：在正方形ABCD^作以AB为直径的半圆，则当P落在阴影部分区域（不含边界）时，/ APB<90 ,1(A) 3 (B)2(C)3 (D)41M,N）时,|BD|> 2,故所求概率P"=.故选C.C )所以P#琳=1-玖故选B.B7. （2018 •石家庄模拟）在区间［0,1］上任取两个数，则这两个数之和小6于存的概率是（C ）417平面区域，如图所示，阴影部分的面积是1-2 X （5） 2肉,所以这两个数1 X8. （2018 •合肥质检）如图，四边形ABCD 为矩形,AB=现BC=1,以A 为圆心,1为半径作四分之一个圆弧 DE,在/ DAB 内任作射线AM 则射线AM与线段BC 有公共点的概率为121716（A ）（B ^5（C ）辭（D ）1B 2S解析：设这两个数分别是fO <x< 1.x,y,贝y 总的基本事件构成的区域是确定的平面区域，所求事件包含的基本事件构成的区域是<-<- 兀y <-<- O 0 0一< y + X5确疋的176之和小于5的概率是2S .故选C.解析:（用几何概型，化概率为角度之比）当点M 在BC 上时,AM 与BC 有公共点，此时AM 扫过△ ABC 所以P=%D =<r = .答案：3能力提升（时间：15分钟）9. 某公司的班车在7:30,8:00,8:30 发车，小明在7:50至8:30 之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（B ）解析:7:50到8:30为40分钟，从7:50到8:00,8:20到8:30之间共20 分钟,7：» ta ＞；10&2020 1P=(*4 故选 B.10. （2018 •贵阳二模）在一球内有一边长为1 球内运动，则此点落在正方体内部的概率为（(A)兀(B)V 1=1,又球的直径是正方体的对角线，故球的半径R=2 ,4球的体积7三n 戌=2 ,1(A)3 (B)2(C)3 (D)4的内接正方体，一动点在2 3/r解析:由题意可知边长为 1的内接正方体的体积为则此点落在正方体内部的概率为$2=丁|莎故选D.11. 在体积为V 的三棱锥 SABC 的棱AB 上任取一点P,则三棱锥SAPCV的体积大于3的概率是1解析：由题意可知卩"冲胡女,三棱锥SABC 的高与三棱锥SAPC 的高相同. 作PM L AC 于 M,BN L AC 于N,则PM,BN 分别为△ABC 的高，所以AP 1又N 如,所以册＞屯故所求的概率为即为长度之比）.12. （2017 •长沙模拟）如图所示，在长方体ABCDA i BCD 中，点E,H 分别是棱AaQQ 上的点（点E 与点B 不重合）,且EH// AD,过EH 的平面与棱BB,CC 1相交，交点分别为点FG 若AB=2A 住2a,EF 二a,B 1E 二BF,在长方体ABCEABCD 内随机选取一点，则该点取自于几何体 AABFEDDCG 内的概率为AP C解析：在等腰直角三角形BEF 中，因为斜边EF=a 所以BE 二BF=2 a,根据U A [A3FED严GH]DCCj巧 ~ HGJ几何概型概率公式，得p=彎仲“円二7 =013. (2018 •濮阳三模)已知 A={(x,y)||x| */},现向集合A 所在区域内投点，则该点落在集合B 所在区域内的概率为解析：由lly < 2得{ 由y J 得x+y > 4,且y 》0;1-8< 2,|y| < 2},B={(x,y)|y >画出集合A={(x,y)||x| < 2,|y| < 2}表示的平面区域为图中正方形区域；画出B={(x,y)|y x］表示的平面区域为图中阴影部分，如图所示:£.42 X 4+ -71-2^2 4-門则所求的概率为P =1-琳X琳=84-n。

2020年高中数学必修三第三章《概率》章末复习课

2020年高中数学必修三第三章《概率》学习目标 1.理解频率与概率的关系，会用随机模拟的方法用频率估计概率；2.掌握随机事件的概率及其基本性质，能把较复杂的事件转化为较简单的互斥事件求概率；3.能区分古典概型与几何概型，并能求相应概率．1．频率与概率频率是概率的近似值，是随机的，随着试验的不同而变化；概率是多数次的试验中频率的稳定值，是一个常数，不要用一次或少数次试验中的频率来估计概率． 2．求较复杂概率的常用方法(1)将所求事件转化为彼此互斥的事件的和；(2)先求其对立事件的概率，然后再应用公式P (A )＝1－P (A )求解． 3．古典概型概率的计算关键要分清基本事件的总数n 与事件A 包含的基本事件的个数m ，再利用公式P (A )＝mn 求解．有时需要用列举法把基本事件一一列举出来，在列举时必须按某一顺序做到不重不漏． 4．几何概型事件概率的计算关键是求得事件A 所占区域和整个区域的几何测度，然后代入公式求解．类型一频率与概率例1 对一批U 盘进行抽检，结果如下表：(1)(2)从这批U 盘中任意抽取一个是次品的概率约是多少？(3)为保证买到次品的顾客能够及时更换，要销售2 000个U 盘，至少需进货多少个U 盘？解 (1)表中次品频率从左到右依次为0.06,0.04，0.025，0.017,0.02,0.018.(2)当抽取件数a 越来越大时，出现次品的频率在0.02附近摆动，所以从这批U 盘中任意抽取一个是次品的概率约是0.02.(3)设需要进货x 个U 盘，为保证其中有2 000个正品U 盘，则x (1－0.02)≥2 000，因为x 是正整数，所以x ≥2 041，即至少需进货2 041个U 盘．反思与感悟概率是个常数．但除了几类概型，概率并不易知，故可用频率来估计．跟踪训练1某射击运动员为备战奥运会，在相同条件下进行射击训练，结果如下：(1)(2)假设该射击运动员射击了300次，则击中靶心的次数大约是多少？(3)假如该射击运动员射击了300次，前270次都击中靶心，那么后30次一定都击不中靶心吗？(4)假如该射击运动员射击了10次，前9次中有8次击中靶心，那么第10次一定击中靶心吗？解(1)由题意得，击中靶心的频率与0.9接近，故概率约为0.9.(2)击中靶心的次数大约为300×0.9＝270.(3)由概率的意义，可知概率是个常数，不因试验次数的变化而变化．后30次中，每次击中靶心的概率仍是0.9，所以不一定不击中靶心．(4)不一定．类型二互斥事件与对立事件例2甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有5个不同题目，选择题3个，判断题2个，甲、乙两人各抽一题．(1)甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题的概率是多少？(2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？解把3个选择题记为x1，x2，x3,2个判断题记为p1，p2.“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的情况有：(x1，p1)，(x1，p2)，(x2，p1)，(x2，p2)，(x3，p1)，(x3，p2)，共6种；“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的情况有：(p1，x1)，(p1，x2)，(p1，x3)，(p2，x1)，(p2，x2)，(p2，x3)，共6种；“甲、乙都抽到选择题”的情况有：(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x1)，(x2，x3)，(x3，x1)，(x3，x2)，共6种；“甲、乙都抽到判断题”的情况有：(p1，p2)，(p2，p1)，共2种．因此基本事件的总数为6＋6＋6＋2＝20.(1)“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的概率为620＝310，“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的概率为620＝310，故“甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题”的概率为310＋3 10＝3 5.(2)“甲、乙两人都抽到判断题”的概率为220＝110，故“甲、乙两人至少有一人抽到选择题”的概率为1－110＝910.反思与感悟在求有关事件的概率时，若从正面分析，包含的事件较多或较烦琐，而其反面却较容易入手，这时，可以利用对立事件求解．跟踪训练2 有4张面值相同的债券，其中有2张中奖债券．(1)有放回地从债券中任取2次，每次取出1张，计算取出的2次中至少有1张是中奖债券的概率；(2)无放回地从债券中任取2次，每次取出1张，计算取出的2次中至少有1张是中奖债券的概率．解 (1)把4张债券分别编号1,2,3,4，其中3,4是中奖债券，用(2,3)表示“第一次取出2号债券，第二次取出3号债券”，所有可能的结果组成的基本事件空间为Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}．用C 表示“有放回地从债券中任取2次，取出的2张都不是中奖债券”，则C 表示“有放回地从债券中任取2次，取出的2张中至少有1张是中奖债券”，则C ＝{(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)}，所以P (C )＝1－P (C )＝1－416＝34.(2)无放回地从债券中任取2次，所有可能的结果组成的基本事件空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)}．用D 表示“无放回地从债券中任取2次，取出的2张都不是中奖债券”，则D 表示“无放回地从债券中任取2次，取出的2张至少有1张是中奖债券”，则P (D )＝1－P (D )＝1－212＝56.类型三古典概型与几何概型例3 某产品的三个质量指标分别为x ，y ，z ，用综合指标S ＝x ＋y ＋z 评价该产品的等级．若S ≤4，则该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：(1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率； (2)在该样本的一等品中，随机抽取2件产品，①用产品编号列出所有可能的结果；②设事件B 为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S 都等于4”，求事件B 发生的概率．解 (1)计算10件产品的综合指标S ，如下表：其中S ≤4的有A 1，A 2，A 4，A 5，A 7，A 9，共6件，故该样本的一等品率为610＝0.6，从而可估计该批产品的一等品率为0.6.(2)①在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 4}，{A 1，A 5}，{A 1，A 7}，{A 1，A 9}，{A 2，A 4}，{A 2，A 5}，{A 2，A 7}，{A 2，A 9}，{A 4，A 5}，{A 4，A 7}，{A 4，A 9}，{A 5，A 7}，{A 5，A 9}，{A 7，A 9}，共15种．②在该样本的一等品中，综合指标S 等于4的产品编号分别为A 1，A 2，A 5，A 7，则事件B 发生的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 5}，{A 1，A 7}，{A 2，A 5}，{A 2，A 7}，{A 5，A 7}，共6种．所以P (B )＝615＝25.反思与感悟古典概型与几何概型的共同点是各基本事件的等可能性；不同点是前者总的基本事件有限，后者无限．跟踪训练3 如图所示的大正方形面积为13，四个全等的直角三角形围成一个阴影小正方形，较短的直角边长为2，向大正方形内投掷飞镖，则飞镖落在阴影部分的概率为( )A.413B.313C.213D.113 答案 D解析设阴影小正方形边长为x ，则在直角三角形中有22＋(x ＋2)2＝(13)2，解得x ＝1或x ＝－5(舍去)，∴阴影部分面积为1，∴飞镖落在阴影部分的概率为113. 类型四列举法与数形结合例4 三个人玩传球游戏，每个人都等可能地传给另两人(不自传)，若从A 发球算起，经4次传球又回到A 手中的概率是多少？解记三人为A 、B 、C ，则4次传球的所有可能可用树状图方式列出：如图．每一个分支为一种传球方案，则基本事件的总数为16，而又回到A 手中的事件个数为6，根据古典概型概率公式得P ＝616＝38.反思与感悟事件个数没有很明显的规律，而且涉及的基本事件又不是太多时，我们可借助树状图直观地将其表示出来，有利于条理地思考和表达．跟踪训练4 设M ＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，任取x ，y ∈M ，x ≠y .求x ＋y 是3的倍数的概率．解利用平面直角坐标系列举，如图所示．由此可知，基本事件总数n ＝1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45.而x ＋y 是3的倍数的情况有m ＝1＋2＋4＋4＋3＋1＝15(种)．故所求事件的概率m n ＝13.1．下列事件中，随机事件的个数为( )①在某学校明年的田径运动会上，学生张涛获得100米短跑冠军； ②在体育课上，体育老师随机抽取一名学生去拿体育器材，抽到李凯； ③从标有1,2,3,4的4张号签中任取一张，恰为1号签； ④在标准大气压下，水在4 ℃时结冰． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 C解析 ①在某学校明年的田径运动会上，学生张涛有可能获得100米短跑冠军，也有可能未获得冠军，是随机事件；②在体育课上，体育老师随机抽取一名学生去拿体育器材，李凯不一定被抽到，是随机事件；③从标有1,2,3,4的4张号签中任取一张，不一定恰为1号签，是随机事件；④在标准大气压下，水在4 ℃时结冰是不可能事件．故选C.2．把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，则事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是( ) A ．对立事件 B ．互斥但不对立事件 C ．不可能事件 D ．必然事件答案 B解析根据题意，把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不会同时发生，故两者是互斥事件，但除了“甲分得红牌”与“乙分得红牌”之外，还有“丙分得红牌”，故两者不是对立事件，所以事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是互斥但不对立事件．3．下列试验属于古典概型的有( )①从装有大小、形状完全相同的红、黑、绿各一球的袋子中任意取出一球，观察球的颜色； ②在公交车站候车不超过10分钟的概率；③同时抛掷两枚硬币，观察出现“两正”“两反”“一正一反”的次数； ④从一桶水中取出100 mL ，观察是否含有大肠杆菌． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个答案 A解析古典概型的两个基本特征是有限性和等可能性．①符合两个特征；对于②和④，基本事件的个数有无限多个；对于③，出现“两正”“两反”与“一正一反”的可能性并不相等，故选A.4．甲、乙两人随意入住两间空房，则甲、乙两人各住一间房的概率是( ) A.13 B.14 C.12 D ．无法确定答案 C解析共有4个事件“甲、乙同住房间A ，甲、乙同住房间B ，甲住A 乙住B ，甲住B 乙住A ”，两人各住一个房间共有两种情况，所以甲、乙两人各住一间房的概率是12.5．任取一个三位正整数N ，则对数log 2N 是一个正整数的概率是( ) A.1225 B.3899 C.1300 D.1450 答案 C解析三位正整数有100～999，共900个，而满足log 2N 为正整数的N 有27,28,29，共3个，故所求事件的概率为3900＝1300.1．两个事件互斥，它们未必对立；反之，两个事件对立，它们一定互斥．若事件A 1，A 2，A 3，…，A n 彼此互斥，则P (A 1∪A 2∪…∪A n )＝P (A 1)＋P (A 2)＋…＋P (A n )． 2．关于古典概型，必须要解决好下面三个方面的问题： (1)本试验是不是等可能的？ (2)本试验的基本事件有多少个？(3)事件A 是什么，它包含多少个基本事件？只有回答好这三个方面的问题，解题才不会出错．3．几何概型的试验中，事件A 的概率P (A )只与子区域A 的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与A 的位置和形状无关．求试验为几何概型的概率，关键是求得事件所占区域和整个区域Ω的几何度量，然后代入公式即可求解． 4．关于随机数与随机模拟试验问题随机模拟试验是研究随机事件概率的重要方法，用计算器或计算机模拟试验，首先要把实际问题转化为可以用随机数来模拟试验结果的量，我们可以从以下两个方面考虑： (1)确定产生随机数组数，如长度型、角度型(一维)一组，面积型(二维)二组．(2)由所有基本事件总体对应区域确定产生随机数的范围，由事件A 发生的条件确定随机数应满足的关系式．40分钟课时作业一、选择题1．从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，则与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是以下事件：“①两球都不是白球；②两球恰有一白球；③两球至少有一个白球”中的( ) A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．①②③答案 A解析从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，基本事件为：白白，白红，白黑，红红，红黑，黑黑．除“两球都不是白球”外，还有其他事件如白红可能发生，故①与“两球都为白球”互斥但不对立．②符合，理由同上．③两球至少有一个白球，其中包含两个都是白球，故不互斥．2．袋中装白球和黑球各3个，从中任取2个，则至多有一个黑球的概率是( ) A.15 B.45 C.13 D.12答案 B解析把白球编号为1,3,5，黑球编号为2,4,6.从中任取2个，基本事件为12,13,14,15,16,23,24,25,26,34,35,36,45,46,56，共15个．其中至多一个黑球的事件有12个．由古典概型公式得P ＝1215＝45.3．掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于( ) A.118 B.19 C.16 D.112 答案 B解析基本事件36个，其中点数之和为5的有(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，故概率为436＝19.4．已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，则恰有一件次品的概率为( )A ．0.4B ．0.6C ．0.8D ．1 答案 B解析用列举法列出基本事件总数为10.事件“恰有一件次品”包含的基本事件个数为6，则P ＝610＝0.6.5．某运动会期间，从来自A 大学的2名志愿者和来自B 大学的4名志愿者中随机抽取2人到体操比赛场馆服务，至少有一名A 大学志愿者的概率是( ) A.115 B.25 C.35 D.1415答案 C解析用列举法．基本事件总数为15，事件包括的基本事件数为9，∴P ＝915＝35.6．从正方形的四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为( ) A.15 B.25 C.35 D.45答案 C解析共可组成10条线段，其中小于边长的有4条，故不小于边长的有6条，所以不少于边长的概率为35.7．若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中AB ＝2，BC ＝1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是( )A.π2B.π4C.π6D.π8 答案 B解析由几何概型公式知，所求概率为半圆的面积与矩形的面积之比，则P ＝12π·122＝π4，故选B. 二、填空题8．从字母a ，b ，c ，d ，e 中任取两个不同字母，则取到字母a 的概率为________．答案 25解析基本事件有ab ，ac ，ad ，ae ，bc ，bd ，be ，cd ，ce ，de ，共10个．其中有a 的事件的个数为4个，故所求概率为P ＝410＝25.9．在区间[－2,3]上随机选取一个数X ，则X ≤1的概率为________．答案 3510．将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________．答案 23解析两本数学书编号为1,2，语文书编号为3，则共有123,132,231,213,312,321,6个基本事件．其中2本数学书相邻的事件有4个，故所求概率P ＝46＝23.11．甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为________．答案 13三、解答题12．如图所示，A 是圆上固定的一点，在圆上其他位置任取一点A ′，连接AA ′，求弦AA ′的长度大于等于半径的概率．解如图，当AA ′的长度等于半径时，∠AOA ′＝60°，使AA ′大于半径的弧度为240°，所以P ＝240°360°＝23.13．某水产试验厂实行某种鱼的人工孵化，10 000个鱼卵孵出8 513条鱼苗，根据概率的统计定义解答下列问题：(1)这种鱼卵的孵化概率(孵化率)是多少？ (2)30 000个鱼卵大约能孵化出多少条鱼苗？(3)要孵化出5 000条鱼苗，大约需准备多少个鱼卵(精确到百位)?解 (1)这种鱼卵的孵化频率为8 51310 000＝0.851 3，把它近似作为孵化的概率，即这种鱼卵的孵化概率是0.851 3.(2)设能孵化出x 条鱼苗，则x30 000＝0.851 3，所以x ＝25 539，即30 000个鱼卵大约能孵化出25 539条鱼苗．(3)设大约需准备y 个鱼卵，则5 000y ＝0.851 3，所以y ≈5 900，即大约需准备5 900个鱼卵．14．一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1,2,3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a ，b ，c . (1)求“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”的概率； (2)求“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”的概率．解 (1)由题意，得(a ，b ，c )所有的可能为(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3, 1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)，共27种．设“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”为事件A ，则事件A 包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3种．所以P (A )＝327＝19.因此，“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”的概率为19.第 11 页共 11 页 (2)设“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”为事件B ，则事件B 包括(1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)，共3种．所以P (B )＝1－P (B )＝1－327＝89. 因此，“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”的概率为89.。

新人教B版高中数学(必修3)3.3.1《几何概型》

在几何概型中，事件A的概率的求解步骤？
记事件指出概率类型构造几何图形
求概率
计算几何度量
例1.有一杯1升的水,其中含有1个细菌, 用一个小杯从这杯水中取出0.1升,求小杯水中含有这个细菌的概率. 解: 记A=“小杯水中含有这个细菌” P(A)=0.1/1=0.1
例2：一金鱼在水池中自由游弋，水池为长30米，宽20米的长方形，求金鱼离岸边不超过2米的概率？
E C O D
关键:
对于复杂的实际问题,解题的关键
是要建立模型,找出随机事件与所有基本事件相对应的几何区域,把问题转化为几何概型问题,利用几何概型的概率公式来求解.
课堂小结
(1)几何概型的特点 (2)几何概型的定义 (3)几何概型的概率计算公式
1、在线段[0，3]上任取一点，则此点坐标小于1 的概率是：（） A：1/3 B：1/2 C：2/3 D：2/9 2、在直角坐标系内，射线OT落在60°的终边上，任作一条射线OA，则射线OA落在∠XOT内的概率是（） A：1/3 B：1/4 C：1/5 D：1/6 3、如果在一个1万平方公里的海域里有表面积达40平方公里的大陆架贮藏着石油,假如在这海领域里随意选定一点钻探,问钻到石油的概率是（） A：1/40 B：1/25 C：1/250 D：1/500
等可能发生的的概率类型;
2.几何概型主要用于解决与长度.角度.面积.
1.几何概型适用于试验结果是无穷多且事件是
体积有关的题目;
3.求解公式为
μA 子区域 A的几何度量 P(A) = = μΩ 区域的几何度量
练习：求下列事件的概率
长度
1.取一根长为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1m的概率为（ 1 ） 3 2.在40根纤维中，有12根的长度超过30mm，从中 3 任取一根，取到长度超过30mm的纤维的概率（ 10） 3.如图在圆心角为90O 的扇形AOB中，以圆心O为起点作射线OC，则∠AOC和∠BOC都不小于20O 5 的概率为（）面积 4、向面积为S的△ABC内任投一点P，则△PBC的面积小于 S 的概率为（ 3 ）

人教A版高中数学必修3第三章概率3.3 几何概型习题(3)

《几何概型》习题1．在区间(15,25]内的所有实数中随机取一个实数a ，则这个实数满足17<a<20的概率是( )A.13B.12C.310D.5102．在长为10厘米的线段AB 上任取一点G ，用AG 为半径作圆，则圆的面积介于36π平方厘米到64π平方厘米的概率是( )A.925B.1625C.310D.153．当你到一个红绿灯路口时，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为45秒，那么你看到黄灯的概率是( )A.112B.38C.116D.564．如图，在矩形区域ABCD 的A ，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是( )A ．1－π4B.π2－1 C ．2－π2D.π45．一只小蜜蜂在一个棱长为30的正方体玻璃容器内随机飞行，若蜜蜂在飞行过程中与正方体玻璃容器6个表面中至少有一个的距离不大于10，则就有可能撞到玻璃上而不安全；若始终保持与正方体玻璃容器6个表面的距离均大于10，则飞行是安全的，假设蜜蜂在正方体玻璃容器内飞行到每一位置可能性相同，那么蜜蜂飞行是安全的概率是________． 6．在区间[－2,4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x|≤m 的概率为56，则m ＝________.7．在圆心角为90°的扇形AOB 中，以圆心O 为起点作射线OC ，求使得∠AOC 和∠BOC 都不小于30°的概率．8．在区间[－1,1]上任取两数x 和y ，组成有序实数对(x ，y)，记事件A 为“x 2＋y 2<1”，则P(A)等于( )A.π4B.π2C ．πD ．2π9．有四个游戏盘，如下图所示，如果撒一粒黄豆落在阴影部分，则可中奖，小明希望中奖机会大，他应当选择的游戏盘为( )10．有一个圆面，圆面内有一个内接正三角形，若随机向圆面上投一镖都中圆面，则镖落在三角形内的概率为________．11．甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即可离去．求两人能会面的概率．12．设关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.(1)若a是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．(2)若a是从区间[0,3]上任取的一个数，b是从区间[0,2]上任取的一个数，求上述方程有实根的概率．1.答案 C解析 a∈(15,25]，∴P(17<a<20)＝20－1725－15＝310.2.答案 D解析以AG 为半径作圆，面积介于36π平方厘米到64π平方厘米，则AG 的长度应介于6厘米到8厘米之间．∴所求概率P(A)＝210＝15.3.答案 C解析由题意可知在80秒内路口的红、黄、绿灯是随机出现的，可以认为是无限次等可能出现的，符合几何概型的条件．事件“看到黄灯”的时间长度为5秒，而整个灯的变换时间长度为80秒，据几何概型概率计算公式，得看到黄灯的概率为P ＝580＝116.4.答案 A解析由题意得无信号的区域面积为2×1－2×14π×12＝2－π2，由几何概型的概率公式，得无信号的概率为P ＝2－π22＝1－π4.5.答案127解析记“蜜蜂能够安全飞行”为事件A ，则它位于与正方体玻璃容器6个表面的距离均大于10的区域飞行时是安全的，故P(A)＝103303＝127.6.答案 3解析由|x|≤m，得－m≤x≤m.当m≤2时，由题意得2m 6＝56，解得m ＝2.5，矛盾，舍去．当2<m<4时，由题意得m －－26＝56，解得m ＝3.即m 的值为3. 7.解如图所示，把圆弧AB 三等分，则∠AOF＝∠BOE＝30°，记A 为“在扇形AOB 内作一射线OC ，使∠AOC 和∠BOC 都不小于30°”，要使∠AOC 和∠BOC 都不小于30°，则OC 就落在∠EOF 内， ∴P(A)＝30°90°＝13.8.答案 A解析如图，集合S ＝{(x ，y)|－1≤x≤1，－1≤y≤1}，则S 中每个元素与随机事件的结果一一对应，而事件A 所对应的事件(x ，y)与圆面x 2＋y 2<1内的点一一对应， ∴P(A)＝π4.9.答案 A解析 A 中P 1＝38，B 中P 2＝26＝13，C 中设正方形边长为2，则P 3＝4－π×124＝4－π4，D 中设圆直径为2，则P 4＝12×2×1π＝1π.在P 1，P 2，P 3，P 4中，P 1最大．10.答案 334π解析设圆面半径为R ，如图所示△ABC 的面积S △ABC ＝3·S △AOC ＝3·12AC·OD＝3·CD·OD＝3·Rsin 60°·Rcos 60°＝33R24，∴P＝S △ABC πR 2＝33R 24πR 2＝334π. 11.解以x 轴和y 轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间，则两人能够会面的充要条件是|x －y|≤15.在如图所示的平面直角坐标系下，(x ，y)的所有可能结果是边长为60的正方形区域，而事件A“两人能够会面”的可能结果由图中的阴影部分表示．由几何概型的概率公式得： P(A)＝S A S ＝602－452602＝3 600－2 0253 600＝716. 所以，两人能会面的概率是716. 12.解设事件A 为“方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根”．当a≥0，b≥0时，方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根的充要条件为a≥b.(1)基本事件共有12个：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)．其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．事件A 包含9个基本事件，故事件A 发生的概率为 P(A)＝912＝34.(2)试验的全部结果所构成的区域为 {(a ，b)|0≤a≤3,0≤b≤2}．构成事件A 的区域为{(a ，b)|0≤a≤3,0≤b≤2，a≥b}．所以所求的概率为P(A)＝3×2－12×223×2＝23.。

高中数学必修3概率统计常考题型：几何概型

【知识梳理】1．几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．2．几何概型的特点(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个． (2)每个基本事件出现的可能性相等． 3．几何概型概率公式在几何概型中，事件A 的概率的计算公式为： P (A )＝构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).【常考题型】题型一、与长度有关的几何概型【例1】 (1)在区间[－1,2]上随机取一个数x ，则|x |≤1的概率为________．[解析] ∵区间[－1,2]的长度为3，由|x |≤1得x ∈[－1,1]，而区间[－1,1]的长度为2，x 取每个值为随机的，∴在[－1,2]上取一个数x ，|x |≤1的概率P ＝23.[答案] 23(2)某汽车站每隔15 min 有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，求一位乘客到达车站后等车时间超过10 min 的概率．[解] 设上一辆车于时刻T 1到达，而下一辆车于时刻T 2到达，则线段T 1T 2的长度为15，设T 是线段T 1T 2上的点，且T 1T ＝5，T 2T ＝10，如图所示．记“等车时间超过10 min ”为事件A ，则当乘客到达车站的时刻t 落在线段T 1T 上(不含端点)时，事件A 发生．∴P (A )＝T 1T 的长度T 1T 2的长度＝515＝13，即该乘客等车时间超过10 min 的概率是13.【类题通法】1．几何概型概率问题的一般步骤(1)选择适当的观察角度(一定要注意观察角度的等可能性)； (2)把基本事件转化为与之对应的区域D ；(3)把所求随机事件A 转化为与之对应的区域I ； (4)利用概率公式计算．2．与长度有关的几何概型问题的计算公式如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概率的计算公式为： P (A )＝构成事件A 的区域长度试验的全部结果所构成的区域长度.【对点训练】一个路口的红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为40秒，当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是多少？(1)红灯亮； (2)黄灯亮； (3)不是红灯亮．解：在75秒内，每一时刻到达路口亮灯的时间是等可能的，属于几何概型． (1)P ＝红灯亮的时间全部时间＝3030＋40＋5＝25.(2)P ＝黄灯亮的时间全部时间＝575＝115.(3)P ＝不是红灯亮的时间全部时间＝黄灯亮或绿灯亮的时间全部时间＝4575＝35，或P ＝1－P (红灯亮)＝1－25＝35.题型二、与面积有关的几何概型【例2】 (1)有四个游戏盘，如果撒一粒黄豆落在阴影部分，则可中奖，小明希望中奖，他应当选择的游戏盘为( )(2)ABCD 为长方形，AB ＝2，BC ＝1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为( )A.π4 B ．1－π4C.π8D ．1－π8[解析] (1)根据几何概型的面积比，A 中中奖概率为38，B 游戏盘的中奖概率为13，C 游戏盘的中奖概率为(2r )2－πr 2(2r )2＝4－π4，D 游戏盘的中奖概率为r 2πr 2＝1π，故A 游戏盘的中奖概率最大．(2)长方形面积为2，以O 为圆心，1为半径作圆，在矩形内部的部分(半圆)面积为π2，因此取到的点到O 的距离小于1的概率为π2÷2＝π4，取到的点到O 的距离大于1的概率为1－π4.[答案] (1)A (2)B 【类题通法】1．与面积有关的几何概型的概率公式如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用面积表示，则其概率的计算公式为： P (A )＝构成事件A 的区域面积试验的全部结果所构成的区域面积.2．解与面积相关的几何概型问题的三个关键点 (1)根据题意确认是否是与面积有关的几何概型问题；(2)找出或构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何特征计算相关面积； (3)套用公式，从而求得随机事件的概率．【对点训练】在平面直角坐标系xOy 中，设M 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向M 中随机投一点，则所投的点落入E 中的概率是________．解析：如图，区域M 表示边长为4的正方形ABCD 的内部(含边界)，区域E 表示单位圆及其内部，因此P ＝π×124×4＝π16.答案：π16题型三、与角度有关的几何概型【例3】在等腰直角三角形ABC 中，过直角顶点C 在∠ACB 内部任意作一条射线CM ，与线段AB 交于点M .求AM ＜AC 的概率．[解] 如图，在AB 上取AC ′＝AC ，连接CC ′，则∠ACC ′＝180°－45°2＝67.5°.设A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫在∠ACB 内部任意作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，AM ＜AC ，则所有可能结果的区域角度为90°，事件A 的区域角度为67.5°，∴P (A )＝67.5°90°＝34.【类题通法】与角度有关的几何概型概率的求法(1)如果试验的所有结果构成的区域的几何度量可用角度表示，则其概率的计算公式为 P (A )＝构成事件A 的区域角度试验的全部结果构成的区域角度.(2)解决此类问题的关键是事件A 在区域角度内是均匀的，进而判定事件的发生是等可能的．【对点训练】如图，在平面直角坐标系中，射线OT 为60°角的终边，在任意角集合中任取一个角，则该角终边落在∠xOT 内的概率是( )A.16B.23C.13D.160解析：选A 如图，∵在任意角集合中任取一个角，则该角终边落在∠xOT 内对应的角度为60度，而整个角集合对应的角度为圆周角，∴该角终边落在∠xOT 内的概率P ＝60360＝16，故选A.题型四、与体积有关的几何概型【例4】 (1)在一球内有一棱长为1的内接正方体，一点在球内运动，则此点落在正方体内部的概率为( )A.6πB.32πC.3π D.233π[解析] 由题意可得正方体的体积为V 1＝1.又球的直径是正方体的对角线，故球的半径R ＝32.球的体积V 2＝43πR 3＝32π.这是一个几何概型，则此点落在正方体内的概率为P ＝V 1V 2＝132π＝233π.[答案] D(2)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内有一个内切球O ，则在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内任取点M ，点M 在球O 内的概率是________．[解析] 设正方体的棱长为2.正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的内切球O 的半径是其棱长的一半，其体积为V 1＝43π×13＝4π3.则点M 在球O 内的概率是4π323＝π6.[答案] π6【类题通法】与体积有关的几何概型概率的求法如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用体积表示，则其概率的计算公式为 P (A )＝构成事件A 的区域体积试验的全部结果所构成的区域体积.【对点训练】有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，求点P 到点O 的距离大于1的概率．解：圆柱的体积V 圆柱＝π×12×2＝2π是试验的全部结果构成的区域体积．以O 为球心，1为半径且在圆柱内部的半球的体积V半球＝12×4π3×13＝2π3，则构成事件A “P 到点O 的距离大于1”的区域体积为2π－2π3＝4π3，由几何概型的概率公式得P (A )＝4π32π＝23.【练习反馈】1．下列概率模型中，几何概型的个数为( ) ①从区间[－10,10]内任取出一个数，求取到1的概率；②从区间[－10,10]内任取出一个数，求取到绝对值不大于1的数的概率； ③从区间[－10,10]内任取出一个整数，求取到大于1而小于2的数的概率；④向一个边长为4 cm 的正方形ABCD 内投一点P ，求点P 离中心不超过1 cm 的概率． A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B ①不是几何概型，虽然区间[－10,10]有无限多个点，但取到“1”只是一个数字，不能构成区域长度；②是几何概型，因为区间[－10,10]和[－1,1]上有无限多个数可取(满足无限性)，且在这两个区间内每个数被取到的机会是相等的(满足等可能性)；③不是几何概型，因为区间[－10,10]上的整数只有21个(是有限的)，不满足无限性特征；④是几何概型，因为在边长为4 cm 的正方形和半径为1 cm 的圆内均有无数多个点，且这两个区域内的任何一个点都有相等可能被投到，故满足无限性和等可能性．2．如图所示，在一个边长为a ，b (a ＞b ＞0)的矩形内画一个梯形，梯形上、下底长分别为a 3与a2，高为b .向该矩形内随机地投一点，则所投的点落在梯形内部的概率为( )A.112B.14C.512D.712解析：选C S 矩形＝ab ，S 梯形＝12(13a ＋12a )b ＝512ab .故所投的点在梯形内部的概率为P ＝S 梯形S 矩形＝512ab ab ＝512.3．方程x 2＋x ＋n ＝0(n ∈(0,1))有实根的概率为________解析：由于方程x 2＋x ＋n ＝0(n ∈(0,1))有实根，∴Δ≥0，即1－4n ≥0，∴n ≤14，又n ∈(0,1)，∴有实根的概率为P ＝141－0＝14. 答案：144．在400毫升自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观察，则发现大肠杆菌的概率为________．解析：大肠杆菌在400毫升自来水中的位置是任意的，且结果有无限个，属于几何概型．设取出2毫升水样中有大肠杆菌为事件A ，则事件A 构成的区域体积是2毫升，全部试验结果构成的区域体积是400毫升，则P (A )＝2400＝0.005.答案：0.0055．已知一只蚂蚁在边长为4的正三角形内爬行，求此蚂蚁到三角形三个顶点的距离均超过1的概率．解：设正三角形ABC 的边长为4，其面积为4 3.分别以A ，B ，C 为圆心，1为半径在△ABC 中作扇形，除去三个扇形剩下的部分即表示蚂蚁距三角形三个顶点的距离均超过1的区域，其面积为43－3×12×π3×12＝43－π2，故所求概率P ＝43－π243＝1－ 3 π24.。

人教版高中数学必修三第三章概率几何概型知识与常见题型梳理

第1页共3页几何概型知识与常见题型梳理基本知识1.几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型.2.几何概型的概率公式P(A)=积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A .3.几何概型的特点(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；(2)每个基本事件出现的可能性相等.4.几何概型与古典概型的比较一方面，古典概型具有有限性，即试验结果是可数的；而几何概型则是在试验中出现无限多个结果，且与事件的区域长度(或面积、体积等)有关，即试验结果具有无限性，是不可数的.这是两者的不同之处.另一方面，古典概型与几何概型的试验结果都具有等可能性，这是两者的共性. 通过以上对几何概型的基本知识点的梳理，我们不难看出其要点是：要抓住几何概型具有无限性和等可能性这两个特点，无限性是指在一次试验中，基本事件的个数可以是无限的，这是区分几何概型与古典概型的关键所在；等可能性是指每一个基本事件发生的可能性是均等的，这是解题的基本前提.因此，用几何概型求解的概率问题跟古典概型的基本思路是相同的，同属于“比例法”，即随机事件A 的概率可以用“事件A 包含的基本事件所占的图形的长度、面积(体积)和角度等”与“试验的基本事件所占总长度、面积(体积)和角度等”之比来表示.常见题型1.长度之比类型例1小赵欲在国庆60周年之后从某车站乘车外出考察，已知该站发往各站的客车均每小时一班，求小赵等车时间不多于10分钟的概率.分析因为客车每小时一班，而小赵在0～60分钟之间任何一个时刻到车站等车是等可能的，所以他在哪个时间段到站等车的概率只与该时间段的长度有关，而与该时间段的位置无关，这符合几何概型的条件，且属于几何概型中的长度类型.解设A={等待的时间不多于10分钟}，我们所关心的事件A 恰好是到站等车的时刻位于[50，60]这一时间段内，而事件的总体是整个一小时，即60分钟.因此，由几何概型的概率公式，得P(A)= 605060=61，即小赵等车时间不多于10分钟的概率为61.例2在长为12 cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边作正方形，求这个正方形的面积介于36 cm 2 与81 cm 2之间的概率.分析正方形的面积只与边长有关，因此，此题可以转化为在12 cm 长的线段AB 上任取一点M ，求使得AM 的长度介于 6 cm 与9 cm 之间的概率.解记“面积介于36 cm 2 与81 cm 2之间”为事件A ，事件A 的概率等价于“长度介于6cm 与9 cm 之间”的概率，所以有P(A)= 9612=14.小结本题的难点不在于几何概型与古典概型的区别，而是将正方形的面积关系转化为边长的关系，从而将问题归为几何概型中的长度类型，这是本题的关键所在.同时，本题也体现了数学上的化归思想的作用.2.面积、体积之比类型例3在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成。

人教版高中数学-必修3训练 3.3.1几何概型及其概率计算

数学·必修3(人教A版)3．3 几何概型3．3.1 几何概型及其概率计算基础达标1．ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为( )A.π4B．1－π4C.π8D．1－π8答案：B2．关于几何概型和古典概型的区别，下列说法正确的是( ) A．几何概型中基本事件有有限个，而古典概型中基本事件有无限个B．几何概型中基本事件有无限个，而古典概型中基本事件有有概率限个C．几何概型中每个基本事件出现的可能性不相等，而古典概型中每个基本事件出现的可能性相等D．几何概型中每个基本事件出现的可能性相等，而古典概型中每个基本事件出现的可能性不相等答案：B3．一个红绿灯路口，红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为45秒．当你到达路口时，恰好看到黄灯亮的概率是( )A.112B.38C.116D.56答案：C4．点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧AB的长度小于1的概率为________．答案：2 35．(2013·山东卷)在区间[－3,3]上随机取一个数x，使得|x＋1|－|x－2|≥1成立的概率为________________________________________________________________________．解析：先求出绝对值不等式的解集，再结合几何概型知识求解．当x<－1时，不等式可化为－x－1＋x－2≥1，即－3≥1，此式不成立，∴x∈∅；当－1≤x≤2时，不等式可化为x＋1－(2－x)≥1，即x≥1，∴此时1≤x≤2；当x>2时，不等式可化为x＋1－x＋2≥1，即3≥1，此式恒成立，∴此时x>2.综上可知，不等式|x＋1|－|x－2|≥1的解集为[1，＋∞)．∴不等式|x＋1|－|x－2|≥1在区间[－3,3]上的解集为[1,3]，其长度为2.又x∈[－3,3]，其长度为6，由几何概型知识可得P＝26＝13 .答案：1 3巩固提升6.如右图，在圆心角为90°的扇形中，以圆心O为起点，作射线OC，则∠AOC和∠BOC都不小于30°的概率为________．答案：137．在体积为V的三棱锥SABC的棱AB上任取一点P，求三棱锥SAPC的体积大于V3的概率．解析：如右图，要使V SAPC＞V3，需有S△APC＞13S△ABC，∴P需满足PB＜23AB.∴三棱锥SAPC的体积大于V3的概率为P＝23VV ＝23或P＝23ABAB＝23.8．一个靶子如图所示，随机地掷一个飞镖扎在靶子上，假设飞镖不会落在黑色靶心上，也不会落在两种颜色之间，求飞镖落在下列区域的概率：(1)编号为25的区域；(2)绿色区域(阴影部分)；(3)编号不小于24的区域；(4)编号为6号到9号的区域；(5)编号为奇数的区域；(6)编号能被5或3整除的阴影区域．解析：飞镖落在每一个区域的概率是一样的，那么只要计算小扇形的个数就可以了，一共有26个小扇形．这是几何概型问题． (1)P ＝1个小扇形的面积26个小扇形的面积＝126； (2)P ＝13个小扇形的面积26个小扇形的面积＝1326＝12； (3)P ＝编号不小于24的扇形面积全部区域的扇形面积＝编号大于等于24的扇形面积全部区域的扇形面积＝326； (4)P ＝6号到9号区域的扇形面积全部区域的扇形面积＝426＝213； (5)P ＝奇数号区域的扇形面积全部区域的扇形面积＝1326＝12； (6)阴影部分能被3整除的编号有6,12,18, 24共4个，能被5整除的编号有10,20共2个，所以P ＝4＋226＝313.9．甲、乙两人约定6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即可离去，求两人能会面的概率．解析：事件A ＝“两人能见面”．以x 和y 分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间，则两人能够会面的充要条件是|x －y |≤15，在如图所示平面直角坐标系下，(x ，y )的所有可能结果是边长为60的正方形，而事件A 的可能结果由图中阴影部分表示．μA ＝602－452＝1 575，μΩ＝602＝3 600，P (A )＝μA μΩ＝1 5753 600＝716.1．正确理解并掌握几何概型的两个特点是解决相关问题的关键．两个特点为：①在一次试验中，可能出现的结果有无限多个(无限性)；②每个结果发生的可能性相等(等可能性)．2．求试验为几何概型的概率，关键是求出事件所占区域和整个区域的几何度量，然后代入公式即可求解．3．适当地选择观察角度是解决有关长度、角度、面积、体积等问题的关键．。