2020中考数学《解直角三角形》提高测试

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2020中考数学解直角三角形专题复习(含解析)

解直角三角形一.选择题1. （2019?江苏苏州？3分）如图，小亮为了测量校园里教学楼AB的高度，将测角仪CD竖直放置在与教学楼水平距离为18、，13 m的地面上，若测角仪的高度为1.5 m ,测得教学楼的顶部A处的仰角为30°,则教学楼的高度是（）A. 55.5 m B . 54 mA C. 19.5 m D . 18 mD1，30。

C B【分析】考察30°角的三角函数值，中等偏易题目【解答】过D作DE AB交AB于E ,DE BC 18.3在RtVADE 中，tan30 AE 18 3 — 18m 3AB 18 1.5 19.5m故选C AE DED| 30C2. （2019?浙江嘉兴？3分）如图，已知。

O上三点A, B, C,半径OC = 1, /ABC = 30 ,切线PA交OC【分析】连接OA,根据圆周角定理求出/ AOP,根据切线的性质求出/ OAP = 90° ,解直角三角形求出AP 即可.【解答】解：连接OA,. zABC=30° , . zAOC=2ZABC=60° ,••・过点A 作。

O 的切线交OC 的延长线于点P,. .zOAP = 90° , OA=OC=1,. AP= OAtan 60 °Tx 百匹，故选：B.【点评】本题考查了切线的性质和圆周角定理、解直角三角形等知识点，能熟记切线的性质是解此题的关键，注意：圆的切线垂直于过切点的半径.3. （2019?浙江名g 兴？4分）如图1,长、宽均为3,高为8的长方体容器,水，水面高为6,绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图【分析】设DE=x,则AD = 8-x,由长方体容器内水的体积得出方程，解方程求出理求出CD,过点C 作CF, BG 于F,由△CDEs/BCF 的比例线段求得结果即可.解得：x= 4,(8 x +8 ) X3X3 =3 X3 X6 放置在水平桌面上，里面盛有2是此时的示意图，则图DE,再由勾股定【解答】解：过点 C 作CF± BG 于F,如图所示:根据题意得:. DE= 4,,.士=90 ° ,由勾股定理得： CD =J DE '+CE 纣二5 . zBCE= /DCF=90° ,. zDCE=/BCF, .zDEC=ZBFC= 90。

【2020精品中考数学提分卷】北京—第9讲解直角三角形+答案

解直角三角形
一、选择题
1. （2020北京丰台中考二模）如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡角是30°，堤高BC=5m，
则坡面AB的长度是（）
A. 10m
B. 103m
C. 15m
D. 53m
2、（2020北京怀柔初三二模）如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α度，AC=7米，则树高BC为（）
A．7sinα米B．7cosα米C．7tanα米D．（7+α）米
二、填空题
1.（2020北京房山初三二模）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点均在格点上，则△A BC的面积为．
2. （2020北京通州初三一模）在我国古算书《周髀算经》中记载周公与商高的谈话，其中
就有勾股定理的最早文字记录，即“勾三股四弦五”，亦被称作商高定理. 如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理. 图2是由图1放入矩形内得到的，
A
B
C
90BAC ∠=︒，AB =3，AC =4，则D ，E ，F ，G ，H ，I 都在矩形KLMJ 的边上，那么矩形KLMJ
的面积为__________.
110
3. （2020北京通州中考二模）如图，在平行四边形ABCD 中，∠1=∠2，∠3=∠4，EF//AD ，
请直接写出与AE 相等的线段（两条即可），写出满足勾股定理的等式（一组即可）
图1A
E B G
D
F C
H 1 2 3
4
解直角三角形
一、选择题
1.A
2.C
二、填空题 1.25
2.110
3. AE,DF ，222DG GC DC +=。

中考《解直角三角形》复习练习题及答案

中考数学复习专题练习解直角三角形一、选择题：1、在△ABC中，若cosA=，tanB=，则这个三角形一定是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形2、在直角△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B与∠C的对边分别是a、b和c,那么下列关系中,正确的是（）A．cosA= B．tanA= C．sinA= D．cosA=3、如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点（2，1），则tanα的值是( )A．2 B． C． D．4、在Rt ABC中，∠C=90°，sinB=,则tanA的值为( )A. B. C. D.5、在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cosB的值为（）A． B． C． D．6、在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBA=，则AD的长是（）A. B．2 C．1 D．27、如图,在4×4的正方形方格中,△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形顶点上,则tan∠ACB值为( )A. B. C. D.8、如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：，堤高BC=5m，则坡面AB的长是（）A.10mB.mC.15m D．m9、如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12米，斜面坡度为1：2，则斜坡AB的长为( )A.4米B.6米C.12米D.24米10、如图,在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为边AC的中点，DE⊥BC于点E，连接BD，则tan∠DBC的值为( )A. B.－1 C．2－ D.11、如图,已知的三个顶点都在方格图的格点上，则的值为( )A. B. C. D.12、如图，在四边形ABCD中，E、F分別是AB、AD的中点，若EF=2，BC=5，CD=3，则tanC等于（）A． B． C． D．二、填空题:13、在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，若sinA=，cosB=，则∠C=________．14、已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=15，cosB=，则BC= ．15、如图，先锋村准备在坡角为α=30°山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为______米．16、如图，菱形ABCD的边长为15，sin∠BAC=，则对角线AC的长为______．17、如图,正方形ABCD的边长为4,点M在边DC上,M、N两点关于对角线AC对称,若DM=1,则tan∠ADN= ．18、如图，△ABC的三个顶点分别在边长为1的正方形网格的格点上，则tan(+) tan+tan.（填“＞”“＝”“＜”）19、如图在四边形ABCD中，∠ACB=∠BAD=105°，∠B=∠D=45°若 AD=,则AB=__________20、如图所示的半圆中，是直径，且，，则的值是．21、如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，，BE=2，则________.22、如图,在中,是边边上的中线,如果,tanB值是________23、如图，小明在一块平地上测山高，先在B处测得山顶A的仰角为30°，然后向山脚直行100米到达C处，再测得山顶A的仰角为45°，那么山高AD为米.24、如图，在顶角为30°的等腰三角形ABC中，AB=AC，若过点C作CD⊥AB于点D，则∠BCD=15°．根据图形计算tan15°= ．三、简答题:25、在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，且c=,若关于x的方程(＋b)x2＋2ax＋(-b)=0有两个相等的实数根，方程2x2-(10sin A)x＋5sin A=0的两个实数根的平方和为6，求△ABC的面积．26、已知：如图，正方形ABCD中，点E为AD边的中点，联结CE. 求cos∠ACE和tan∠ACE的值.27、如图，一艘海轮在A点时测得灯塔C在它的北偏东42°方向上，它沿正东方向航行80海里后到达B处，此时灯塔C在它的北偏西55°方向上．（1）求海轮在航行过程中与灯塔C的最短距离（结果精确到0.1）；（2）求海轮在B处时与灯塔C的距离（结果保留整数）．（参考数据：sin55°≈0.819，cos55°≈0.574，tan55°≈1.428，tan42°≈0.900，tan35°≈0.700，tan48°≈1.111）28、如图，河流两岸a，b互相平行，C，D是河岸a上间隔50m的两个电线杆．某人在河岸b上的A处测得∠DAB=30°，然后沿河岸走了100m到达B处，测得∠CBF=60°，求河流的宽度CF的值．（结果精确到个位）29、张老师利用休息时间组织学生测量山坡上一棵大树CD的高度，如图，山坡与水平面成30°角（即∠MAN=30°），在山坡底部A处测得大树顶端点C的仰角为45°，沿坡面前进20米，到达B处，又测得树顶端点C的仰角为60°（图中各点均在同一平面内），求这棵大树CD的高度（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.732）30、如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD的中点，DE交AF于点M，点N为DE的中点．（1）若AB=4，求△DNF的周长及sin∠DAF的值；（2）求证：2AD•NF=DE•DM．31、中考英语听力测试期间T需要杜绝考点周围的噪音．如图，点A是某市一中考考点，在位于考点南偏西15°方向距离500米的C点处有一消防队．在听力考试期间，消防队突然接到报警电话，消防车需沿北偏东75°方向的公路CF前往救援．已知消防车的警报声传播半径为400米，若消防车的警报声对听力测试造成影响，则消防车必须改道行驶．试问：消防车是否需要改道行驶？说明理由．（≈1.732）参考答案1、A．2、C．3、B．4、D.5、B．6、B.7、B.8、A．9、B.10、A.11、D.12、B．13、答案为：60°14、答案为：9．15、答案为：（米）．16、答案为24．17、答案为：4．3 18、答案为：>. 19、答案为：.20、答案为： ;21、答案为：2 ;22、答案为：23、答案为：137．24、答案为：2﹣．25、解：∵方程(5＋b)x2＋2ax＋(5－b)=0有两个相等的实数根，且c=5，∴△=(2a)2－4(c＋b)(c-b)=0，∴a2＋b2=c2,则△ABC为直角三角形，且∠C=90°．设x1，x2是方程2x2－(10sin A)x＋5sin A=0的两个根，则根据根与系数的关系有x1＋x2=5sin A，x1·x2=sin A．∴x12＋x22=(x1＋x2)2－2x l·x2=(5sin A)2－2×sin A=6，解得sinA=或sinA=－(舍去)，∴a=csin A=3，b==4，S△ABC=ab==18．26、解：过点作于点，∵四边形是正方形，∴平分，．∴，．∵是中点，∴．设，则，，．在Rt△AEF中，，．∴．∴，．27、【解答】解：（1）过C作AB的垂线，设垂足为D，根据题意可得：∠1=∠2=42°，∠3=∠4=55°，设CD的长为x海里，在Rt△ACD中，tan42°=，则AD=x•tan42°，在Rt△BCD中，tan55°=，则BD=x•tan55°，∵AB=80，∴AD+BD=80，∴x•tan42°+x•tan55°=80，解得：x≈34.4，答：海轮在航行过程中与灯塔C的最短距离是34.4海里；（2）在Rt△BCD中，cos55°=，∴BC=≈60海里，答：海轮在B处时与灯塔C的距离约为60海里．28、【解答】解：过点C作CE∥AD，交AB于E∵CD∥AE，CE∥AD∴四边形AECD是平行四边形∴AE=CD=50m，EB=AB﹣AE=50m，∠CEB=∠DAB=30°又∠CBF=60°，故∠ECB=30°∴CB=EB=50m∴在Rt△CFB中，CF=CB•sin∠CBF=50•sin60°≈43m答：河流的宽度CF的值为43m．29、解：如图，过B作BE⊥CD交CD延长线于E，∵∠CAN=45°，∠MAN=30°，∴∠CAB=15°∵∠CBD=60°，∠DBE=30°，∴∠CBD=30°，∵∠CBE=∠CAB+∠ACB，∴∠CAB=∠ACB=15°，∴AB=BC=20，在Rt△BCE中，∠CBE=60°，BC=20，∴CE=BCsin∠CBE=20×BE=BCcos∠CBE=20×0.5=10，在Rt△DBE中，∠DBE=30°，BE=10，∴DE=BEtan∠DBE=10×，∴CD=CE﹣DE=≈11.5，答：这棵大树CD的高度大约为11.5米．30、：（1）解：∵点E、F分别是BC、CD的中点，∴EC=DF=×4=2，由勾股定理得，DE==2，∵点F是CD的中点，点N为DE的中点，∴DN=DE=×2=，NF=EC=×2=1，∴△DNF的周长=1++2=3+；在Rt△ADF中，由勾股定理得，AF===2，所以，sin∠DAF===；（2）证明：在△ADF和△DCE中，，∴△ADF≌△DCE（SAS），∴AF=DE，∠DAF=∠CDE，∵∠DAF+∠AFD=90°，∴∠CDE+∠AFD=90°，∴AF⊥DE，∵点E、F分别是BC、CD的中点，∴NF是△CDE的中位线，∴DF=EC=2NF，∵cos∠DAF==，cos∠CDE==，∴=，∴2AD•NF=DE•DM．31、【解答】解：过A作AD⊥CF于D，由题意得∠CAG=15°，∴∠ACE=15°，∵∠ECF=75°，∴∠ACD=60°，在Rt△ACD中，sin∠ACD=，则AD=AC•sin∠ACD=250≈433米，433米＞400米，∴不需要改道．答：消防车不需要改道行驶．。

改编较难2020年中考数学试题分类：-解直角三角形

B EA 2020年中考数学试题分类汇编之七解直角三角形一、选择题1.（2020河南）如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒．边BC 在x 轴上，顶点,A B 的坐标分别为()2,6-和()7,0．将正方形OCDE 沿x 轴向右平移当点E 落在AB 边上时，点D 的坐标为（） A. 3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭ B. ()2,2 C. 11,24⎛⎫ ⎪⎝⎭D. ()4,2 2．（2020贵州黔西南）（4分）如图，某停车场入口的栏杆AB ，从水平位置绕点O 旋转到A ′B ′的位置，已知AO 的长为4米．若栏杆的旋转角∠AOA ′＝α，则栏杆A 端升高的高度为（）A ．4sinα米 B ．4sin α米 C ．4cosα米 D ．4cos α米3.（2020重庆B 卷）如图，垂直于水平面的5G 信号塔AB 建在垂直于水平面的悬崖边B 点处，某测量员从山脚C 点出发沿水平方向前行78米到D 点（点A ，B ，C 在同一直线上），再沿斜坡DE 方向前行78米到E 点（点A ，B ，C ，D ，E 在同一平面内），在点E 处测得5G 信号塔顶端A 的仰角为43°，悬崖BC 的高为144.5米，斜坡DE 的坡度（或坡比）i =1∶2.4，则信号塔AB 的高度约为（）（参考数据：sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93）A.23米B.24米C.24.5米D.25米4．（2020四川南充）（4分）如图，点A ，B ，C 在正方形网格的格点上，则sin ∠BAC ＝（）A ．√26 B ．√2626 C ．√2613 D ．√13135．（2020贵州遵义）（4分）构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图．在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝30°，延长CB 使BD ＝AB ，连接AD ，得∠D ＝15°，所以tan15°=AC CD =2+3=√3(2+3)(2−3)=2−√3．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（） A ．√2+1 B ．√2−1 C ．√2 D ．12二、解答题6．（2020成都）（8分）成都“339”电视塔作为成都市地标性建筑之一，现已成为外地游客到成都旅游打卡的网红地．如图，为测量电视塔观景台A 处的高度，某数学兴趣小组在电视塔附近一建筑物楼项D 处测得塔A 处的仰角为45︒，塔底部B 处的俯角为22︒．已知建筑物的高CD 约为61米，请计算观景台的高AB 的值．（结果精确到1米；参考数据：sin220.37︒≈，cos220.93︒≈，tan 220.40)︒≈7．小明家与小华家住在同一栋楼的同一单元，他俩想测算所住楼对面商业大厦的高MN ．他俩在小明家的窗台B 处，测得商业大厦顶部N 的仰角∠1的度数，由于楼下植物的遮挡，不能在B 处测得商业大厦底部M 的俯角的度数．于是，他俩上楼来到小华家，在窗台C 处测得大厦底部M 的俯角∠2的度数，竟然发现∠1与∠2恰好相等．已知A ，B ，C 三点共线，CA ⊥AM ，NM ⊥AM ，AB ＝31m ，BC ＝18m ，试求商业大厦的高MN ．8.（2020河南）.位于河南省登封市境内元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界文化遗产之一．某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度．如图所示，他们在地面一条水平步道MP 上架设测角仪，先在点M 处测得观星台最高点A 的仰角为22︒，然后沿MP 方向前进16m 到达点N 处，测得点A 的仰角为45︒．测角仪的高度为1.6m ， ()1求观星台最高点A 距离地面的高度(结果精确到0.1m ．参考数据：220.37,220. 93 , 22 1.41sin cos tan ︒≈︒≈︒≈≈)；()2“景点简介”显示，观星台的高度为12.6m ，请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议． 9.（2020贵阳）脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图①是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高AB 所在的直线．为了测量房屋的高度，在地面上C 点测得屋顶A 的仰角为35︒，此时地面上C 点、屋檐上E 点、屋顶上A 点三点恰好共线，继续向房屋方向走8m 到达点D 时，又测得屋檐E 点的仰角为60︒，房屋的顶层横梁12EF m =，//EF CB ，AB 交EF 于点G （点C ，D ，B 在同一水平线上）．（参考数据：sin350.6︒≈，cos350.8︒≈，tan350.7︒≈1.7≈）（1）求屋顶到横梁的距离AG ；（2）求房屋的高AB （结果精确到1m ）．10．（2020四川遂宁）（8分）在数学实践与综合课上，某兴趣小组同学用航拍无人机对某居民小区的1、2号楼进行测高实践，如图为实践时绘制的截面图．无人机从地面点B 垂直起飞到达点A 处，测得1号楼顶部E 的俯角为67°，测得2号楼顶部F 的俯角为40°，此时航拍无人机的高度为60米，已知1号楼的高度为20米，且EC 和FD 分别垂直地面于点C 和D ，点B 为CD 的中点，求2号楼的高度．（结果精确到0.1）（参考数据sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，tan67°≈2.36）11.（2020湖北黄冈）因东坡文化远近闻名的遗爱湖公园，“国庆黄金周”期间，游人络绎不绝，现有一艘游船载着游客在遗爱湖中游览．当船在A 处时，船上游客发现岸上1P 处的临皋亭和2P 处的遗爱亭都在东北方向；当游船向正东方向行驶600m 到达B 处时，游客发现遗爱亭在北偏西15°方向；当游船继续向正东方向行驶400m 到达C 处时，游客发现临皋亭在北偏西60°方向．（1）求A 处到临皋亭P 处的距离．（2）求临皋亭1P 处与遗爱亭2P 处之间的距离（计算结果保留根号）12．（2020辽宁抚顺）（12分）如图，我国某海域有A ，B 两个港口，相距80海里，港口B 在港口A 的东北方向，点C 处有一艘货船，该货船在港口A 的北偏西30°方向，在港口B 的北偏西75°方向，求货船与港口A 之间的距离．（结果保留根号）13．（2020广西南宁）（8分）如图，一艘渔船位于小岛B 的北偏东30°方向，距离小岛40nmile 的点A 处，它沿着点A 的南偏东15°的方向航行．（1）渔船航行多远距离小岛B 最近（结果保留根号）？（2）渔船到达距离小岛B 最近点后，按原航向继续航行20nmile 到点C 处时突然发生事故，渔船马上向小岛B 上的救援队求救，问救援12队从B处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是多少（结果保留根号）？14．（10分）（2020•荆门）如图，海岛B在海岛A的北偏东30方向，且与海岛A相距20海里，一艘渔船从海岛B出发，以5海里/时的速度沿北偏东75°方向航行，同时一艘快艇从海岛A出发，向正东方向航行．2小时后，快艇到达C处，此时渔船恰好到达快艇正北方向的E处．（1）求∠ABE的度数；（2）求快艇的速度及C，E之间的距离．（参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，√3≈1.73）15．（2020青海）（9分）某市为了加快5G网络信号覆盖，在市区附近小山顶架设信号发射塔，如图所示．小军为了知道发射塔的高度，从地面上的一点A测得发射塔顶端P点的仰角是45°，向前走60米到达B点测得P点的仰角是60°，测得发射塔底部Q点的仰角是30°．请你帮小军计算出信号发射塔PQ的高度．（结果精确到0.1米，≈1.732）16．（2020四川眉山）（10度为20米的发射塔AB，如图所示．在山脚平地上的D处测得塔底B的仰角为30°，向小山前进80米到达点E处，测得塔顶A的仰角为60°，求小山BC的高度．17．（2020海南）（10分）为了促进海口主城区与江东新区联动发展，文明东越江通道将于今年底竣工通车．某校数学实践活动小组利用无人机测算该越江通道的隧道长度．如图，隧道AB在水平直线上，且无人机和隧道在同一个铅垂面内，无人机在距离隧道450米的高度上水平飞行，到达点P处测得点A的俯角为30°，继续飞行1500米到达点Q处，测得点B的俯角为45°．（1）填空：∠A＝度，∠B＝度；（2）求隧道AB的长度（结果精确到1米）．（参考数据：≈1.414，≈1.732）19．（2020•株洲）某高速公路管理部门工作人员在对某段高速公路进行安全巡检过程中，发现该高速公路旁的一斜坡存在落石隐患．该斜坡横断面示意图如图所示，水平线l1∥l2，点16A 、B 分别在l 1、l 2上，斜坡AB 的长为18米，过点B 作BC ⊥l 1于点C ，且线段AC 的长为2√6米．（1）求该斜坡的坡高BC ；（结果用最简根式表示）（2）为降低落石风险，该管理部门计划对该斜坡进行改造，改造后的斜坡坡角α为60°，过点M 作MN ⊥l 1于点N ，求改造后的斜坡长度比改造前的斜坡长度增加了多少米？20.（2020江西）如图1是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图，量得托板长120mm AB =，支撑板长80mm CD =，底座长90mm DE =，托板AB 固定在支撑板顶端点C 处，且40mm CB =，托板AB 可绕点C 转动，支撑板CD 可绕点D 转动.（结果保留小数点后一位）（1）若80DCB ︒∠=，60CDE ︒∠=，求点A 到直线DE 的距离；（2）为了观看舒适，在（1）的情况下，把AB 绕点C 逆时针旋转10后，再将CD 绕点D 顺时针旋转，使点B 落在直线DE 上即可，求CD 旋转的角度.（参考数据：sin 400.643,cos 400.766︒︒≈≈，tan 400.839︒≈,sin 26.60.448≈,cos 26.60.894,tan 26.60.500︒︒≈≈ 1.732≈）。

中考数学专项复习(12)(解直角三角形)练习试题

乏公仓州月氏勿市运河学校解直角三角形〔12〕一、选择题1．如图，在某监测点B处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15°方向的A处，假设渔船沿北偏西75°方向以40海里/小时的速度航行，航行半小时后到达C处，在C处观测到B在C的北偏东60°方向上，那么B、C之间的距离为〔〕A．20海里B．10海里C．20海里D．30海里2．如图，港口A在观测站O的正向，OA=4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，那么该船航行的距离〔即AB的长〕为〔〕A．4km B．2km C．2km D．〔 +1〕km二、填空题3．如图，一渔船由西往东航行，在A点测得海岛C位于北偏东60°的方向，前进20海里到达B点，此时，测得海岛C位于北偏东30°的方向，那么海岛C到航线AB的距离CD等于海里．4．如图，轮船在A处观测C位于北偏西70°方向上，轮船从A处以每小时20海里的速度沿南偏西50°方向匀速航行，1小时后到达码头B处，此时，观测C位于北偏西25°方向上，那么C与码头B的距离是海里．〔结果精确到个位，参考数据：≈，≈，≈〕三、解答题5．一次数学活动课上，老师带着学生去测一条东西流向的河宽，如下列图，小明在岸点A处观测到河对岸有一点C在A的南偏西59°的方向上，沿河岸向西前行20m到达B处，又测得C在B的南偏西45°的方向上，请你根据以上数据，帮助小明计算出这条河的宽度．〔参考数据：tan31°≈，sin31°≈〕6．如图，新城区新建了三个商业城A，B，C，其中C在A的正向，在A处测得B在A的南偏东52°的方向，在C处测得B在C的南偏东26°的方向，A和B的距离是1000m．现有甲、乙两个工程对修建道路，甲修〔结建一条从A到C的笔直道路AC，乙修建一条从B到直线AC最近的道路BD．求甲、乙修建的道路各是多长．果精确到1m〕〔参考数据：sin38°≈0.62，cos38°≈0.79，tan38°≈0.78，sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05〕7．背景材料：近年来由于世界各国大力开展海洋经济、加强海洋能力开发，海洋争端也呈上升趋势．为增强海洋执法能力、维护海洋领土，近期我国多个部门联合进行护航、护渔演习．解决问题：〔1〕如图，我国渔船〔C〕在钓鱼岛海域正被某国不明船只袭扰，“中国海政310”船〔A〕接到陆地指挥中心〔B〕护渔命令时，渔船〔C〕位于陆地指挥中心正南方向，位于“中国海政310”船西南方向，“中国海政310”船位于陆地指挥中心南偏东60°方向，AB=海里，“中国海政310”船最大航速为20海里/小时．根据以上信息，请你求出“中国海政310”船赶往渔船所在位置进行护渔至少需要多长时间？〔2〕如果〔1〕中条件不变，此时位于“中国海政310”船〔A〕南偏东30°海域有一只某国HY舰〔O〕，AO=560海里，其火力打击范围是500海里，如果渔船沿着正南方向继续航行，是否会驶进这只HY舰的打击范围？8．如图，在一笔直的海岸线l上有AB两个观测站，A在B的正向，AB=2〔单位：km〕．有一艘小船在点P 处，从A测得小船在北偏西60°的方向，从B测得小船在北偏东45°的方向．〔1〕求点P到海岸线l的距离；〔2〕小船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到点C处，此时，从B测得小船在北偏西15°的方向．求点C与点B之间的距离．〔上述两小题的结果都保存根号〕9．如图，一艘海上巡逻船在A地巡航，这时接到B地海上指挥中心紧急通知：在指挥中心北偏西60°方向的C地，有一艘渔船遇险，要求马上前去救援．此时C地位于A北偏西30°方向上，A地位于B地北偏西75°方向上，A、B两地之间的距离为12海里．求A、C两地之间的距离〔参考数据：≈1，≈3，≈5，结果精确到0.1〕10．如图，我国的一艘海监船在钓鱼岛A附近沿正向航行，船在B点时测得钓鱼岛A在船的北偏东60°方向，船以50海里/时的速度继续航行2小时后到达C点，此时钓鱼岛A在船的北偏东30°方向．请问船继续航行多少海里与钓鱼岛A的距离最近？11．如下列图，一条自西向东的观光大道l上有A、B两个景点，A、B相距2km，在A处测得另一景点C位于点A的北偏东60°方向，在B处测得景点C位于景点B的北偏东45°方向，求景点C到观光大道l的距离．〔结果精确到0.1km〕12．如图，有一艘渔船在捕鱼作业时出现故障，急需抢修，调度中心通知附近两个小岛A、B上的观测点进行观测，从A岛测得渔船在南偏东37°方向C处，B岛在南偏东66°方向，从B岛测得渔船在正西方向，两个小岛间的距离是72海里，A岛上维修船的速度为每小时20海里，B岛上维修船的速度为每小时2海里，为及时赶到维修，问调度中心应该派遣哪个岛上的维修船？〔参考数据：cos37°≈0.8，sin37°≈0.6，sin66°≈0.9，cos66°≈0.4〕13．据调查，超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．上周末，小明和三位同学用所学过的知识在一条笔直的道路上检测车速．如图，观测点C到公路的距离CD为100米，检测路段的起点A位于点C的南偏西60°方向上，终点B位于点C的南偏西45°方向上．某时段，一辆轿车由西向东匀速行驶，测得此车由A 处行驶到B处的时间为4秒．问此车是否超过了该路段16米/秒的限制速度？〔参考数据：≈，≈〕14．钓鱼岛及其附属岛屿是中国固有领土〔如图1〕，A、B、C分别是钓鱼岛、南小岛、黄尾屿上的点〔如图2〕，点C在点A的北偏东47°方向，点B在点A的南偏东79°方向，且A、B两点的距离约为5.5km；同时，点B在点C的南偏西36°方向．假设一艘中国渔船以30km/h的速度从点A驶向点C捕鱼，需要多长时间到达〔结果保存小数点后两位〕？〔参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan47°≈1.07，tan36°≈0.73，tan11°≈0.19〕15．小亮一家在一湖泊中游玩，湖泊中有一孤岛，妈妈在孤岛P处观看小亮与爸爸在湖中划船〔如下列图〕．小船从P处出发，沿北偏东60°方向划行200米到A处，接着向正南方向划行一段时间到B处．在B处小亮观测到妈妈所在的P处在北偏西37°的方向上，这时小亮与妈妈相距多少米〔精确到1米〕？〔参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1，≈3〕16．为了维护海洋权益，新组建的国家HY加强了海洋巡逻力度．如图，一艘海监船位于P的南偏东45°方向，距离100海里的A处，沿正北方向航行一段时间后，到达位于P的北偏东30°方向上的B处．〔1〕在这段时间内，海监船与P的最近距离是多少？〔结果用根号表示〕〔2〕在这段时间内，海监船航行了多少海里？〔参数数据：， 32， 49．结果精确到0.1海里〕17．如图，位于A处的海上救援中心得悉：在其北偏东68°方向的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．该中心立即把消息告知在其北偏东30°相距20海里的C处救生船，并通知救生船，遇险船在它的正向B处，现救生船沿着航线CB前往B处救援，假设救生船的速度为20海里/时，请问：救生船到达B处大约需要多长时间？〔结果精确到0.1小时：参考数据：sin38°≈0.62，cos38°≈0.79，sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80〕18．如图，一艘渔船位于小岛M的北偏东45°方向、距离小岛180海里的A处，渔船从A处沿正南方向航行一段距离后，到达位于小岛南偏东60°方向的B处．〔1〕求渔船从A到B的航行过程中与小岛M之间的最小距离〔结果用根号表示〕；〔2〕假设渔船以20海里/小时的速度从B沿BM方向行驶，求渔船从B到达小岛M的航行时间〔结果精确到0.1小时〕．〔参考数据：≈1，≈3，≈5〕19．两个城镇A、B与两条公路ME，MF位置如下列图，其中ME是东西方向的公路．现电信部门需在C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条公路ME，MF的距离也必须相等，且在∠FME的内部〔1〕那么点C应选在何处？请在图中，用尺规作图找出符合条件的点C．〔不写、求作、作法，只保存作图痕迹〕〔2〕设AB的垂直平分线交ME于点N，且MN=2〔+1〕km，在M处测得点C位于点M的北偏东60°方向，在N处测得点C位于点N的北偏西45°方向，求点C到公路ME的距离．20．如图，轮船从点A处出发，先航行至位于点A的南偏西15°且与点A相距100km的点B处，再航行至位于点B的北偏东75°且与点B相距200km的点C处．〔1〕求点C与点A的距离〔精确到1km〕；〔2〕确定点C相对于点A的方向．〔参考数据：≈14，≈32〕21．钓鱼岛自古以来就是中国的领土．如图，我国甲、乙两艘海监执法船某天在钓鱼岛附近海域巡航，某一时刻这两艘船分别位于钓鱼岛正西方向的A处和正向的B处，这时两船同时接到立即赶往C处海域巡查的任务，并测得C处位于A处北偏东59°方向、位于B处北偏西44°方向．假设甲、乙两船分别沿AC，BC方向航行，其平均速度分别是20海里/小时，18海里/小时，试估算哪艘船先赶到C处．〔参考数据：cos59°≈0.52，sin46°≈0.72〕22．如图，在南北方向的海岸线MN上，有A、B两艘巡逻船，现均收到故障船C的求救信号．A、B两船相距100〔+1〕海里，船C在船A的北偏东60°方向上，船C在船B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东75°方向上．〔1〕分别求出A与C，A与D之间的距离AC和AD〔如果运算结果有根号，请保存根号〕．〔2〕距观测点D处100海里范围内有暗礁．假设巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中有无触暗礁危险？〔参考数据：≈1，≈3〕23．如图：我渔政310船在南海海面上沿正向匀速航行，在A点观测到我渔船C在北偏东60°方向的我国某传统渔场捕鱼作业．假设渔政310船航向不变，航行半小时后到达B点，观测到我渔船C在东北方向上．问：渔政310船再按原航向航行多长时间，离渔船C的距离最近？〔渔船C捕鱼时移动距离忽略不计，结果不取近似值．〕24．海中两个A、B，其中B位于A的正向上，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点C处测得A在西北方向上，B在北偏东30°方向上，渔船不改变航向继续向东航行30海里到达点D，这时测得A在北偏西60°方向上，求A、B间的距离．〔计算结果用根号表示，不取近似值〕25．如图，湖中的小岛上有一标志性建筑物，其底部为A，某人在岸边的B处测得A在B的北偏东30°的方向上，然后沿岸边直行4公里到达C处，再次测得A在C的北偏西45°的方向上〔其中A、B、C在同一平面上〕．求这个标志性建筑物底部A到岸边BC的最短距离．26．如图，一艘海轮在A点时测得C在它的北偏东42°方向上，它沿正向航行80海里后到达B处，此时C在它的北偏西55°方向上．〔1〕求海轮在航行过程中与C的最短距离〔结果精确到0.1〕；〔2〕求海轮在B处时与C的距离〔结果保存整数〕．〔参考数据：sin55°≈0.819，cos55°≈0.574，tan55°≈28，tan42°≈0.900，tan35°≈0.700，tan48°≈11〕27．如图，有小岛A和小岛B，轮船以45km/h的速度由C向东航行，在C处测得A的方位角为北偏东60°，测得B的方位角为南偏东45°，轮船航行2小时后到达小岛B处，在B处测得小岛A在小岛B的正北方向．求小岛A与小岛B之间的距离〔结果保存整数，参考数据：≈1，≈5〕28．如图，海中有一P，它的周围8海里内有暗礁．海轮以18海里/时的速度由西向东航行，在A处测得P 在北偏东60°方向上；航行40分钟到达B处，测得P在北偏东30°方向上；如果海轮不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？29．一艘观光游船从港口A以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向，马上以40海里每小时的速度前往救援，求海警船到达事故船C处所需的大约时间．〔温馨提示：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6〕30．某海域有A、B、C三艘船正在捕鱼作业，C船突然出现故障，向A、B两船发出紧急求救信号，此时B船位于A船的北偏西72°方向，距A船24海里的海域，C船位于A船的北偏东33°方向，同时又位于B 船的北偏东78°方向．〔1〕求∠ABC的度数；〔2〕A船以每小时30海里的速度前去救援，问多长时间能到出事地点．〔结果精确到0.01小时〕．〔参考数据：≈14，≈32〕。

2020华师大版九年级数学上册解直角三角形达标测试含答案

【文库独家】解直角三角形达标测试(时间:120分钟总分:120分)一、填空题:(每小题3分,共30分)1. 计算:3tan30°-2sin60°=_________,002tan 45(tan 60)=______.2.用计算器计算:cos40°=________.3.如图,P 是∠α的边OA 上一点,且P 点的坐标为(3,4),则sin α=_____,tan α= ____.B3O4xA PyCBADECBA(第3题) (第9题) (第11题)4.在Rt△ABC 中,∠C=90°,BC=12,AB=13,则sinA=______,sinB=________.5.等腰三角形的腰长为20,底边长为32,则其底角的余弦值是________.6.在Rt△ABC 中,已知直角边AC 是另一直角边BC 的2倍,则tanA 的值为______.7.已知△ABC 中,∠ABC=45°,∠ACB=30°,AB=,那么AC 的长为_________. 8.山坡与地平面成30°的倾斜角,某人上坡走60米, 则他上升的最大高度为___,山坡的坡度是________.9.如图,是屋架设计图的一部分,其中BC⊥AC,DE⊥AC,点D 是AB 的中点,∠A=30°,AB=7m,则BC=_______m,DE=______m.10.在地面上一点,测得电视塔尖的仰角为45°,沿水平方向再向塔底前行a 米, 又测得塔尖的仰角为60°,那么电视塔高为________米. 二、选择题:(每小题3分,共30分)11.如图,△ABC 中,∠C=90°,sinA=513,则BC:AC 的值为( ) A.5:13 B.5:12 C.12:13 D.12:512.在△ABC 中,AB=AC=3,BC=2,则6cosB 等于( )13.如果α是锐角,且cos α=45,那么sin α的值是( ) A.45 B.35 C.34 D.4330m 20m 150︒ 14.如图,Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=BC,AC=6,D 是AC 上一点,tan∠DBA=15,则AD 的长为C BAD CB ADαC东北B A(第11题) (第15题) (第19题)15.如图,在Rt△ABC 中,∠ACB=90°,CD⊥AB 于D,BC=3,AC=4,设∠BCD=α, 则tan α的值为( ) A.34 B.43 C.35 D.4516.已知△ABC 中,∠C=90°,BC=3AC,则sinA 的值等于( )A.3B.3C.1317.从点A 看点B 的仰角为36°30′,则从点B 看点A 的俯角为( ) A.53°30′ B.43°30′ C.36°30′ D.63°30′18.离地面高度为5米处引拉线固定电线杆,拉线与地面成60°角,则拉线长为( )米米 D.10米 19.如图,小红从A 地向北偏东30°方向走100m 到B 地,再从B 地向西走200m 到C 地,这时小红离A 地( )20. 某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境,已知这种草皮每平方米售价a 元,则购买这种草皮至少需要( ) A.450a 元 B.225a 元 C.150a 元 D.300a 元三、解答题:(共60分)21.(8分)计算:(1) 000cos6045; (2)sin28°+cos13°-tan20°(精确到万分位).22.(8分)如图,已知在Rt△ABC 中,∠C=90°,D 是BC 边上一点,AC=2,CD=1, 记∠CAD=α. (1)试求sin α,cos α,tan α的值;(2)若∠B=α,求BD 的长.CBA D23.(8分)如图,D 是△ABC 的边AC 上的一点,CD=2AD,AE⊥BC 于E,若BD=8,sin ∠CBD=34,求AE 的长.CAD24.(8分)如图,一艘海轮位于灯塔P 的北偏东60°方向上, 它沿正南方向航行70海里,到达位于灯塔P 的南偏东30°方向的B 处,问此时,海轮距离灯塔P 多远?N东北BAP25.(8分)如图,为了测量河流某段的宽度,在河的北岸选了一点A,在河的南岸选相距200米的B,C 两点,分别测得∠ABC=60°,∠ACB=45°,求这段河流的宽度(精确到0.1米).CBA26. 如图，甲、乙两建筑物的水平距离为30m，从A点测得C点的仰角为60°，测得D点的俯角为30°，求建筑物甲的高CD。

中考数学复习《解直角三角形的应用解答题》专题提升训练

数学中考复习《解直角三角形的应用解答题》专题提升训练1．如图，某小区A栋楼在B栋楼的南侧，两楼高度均为90m，楼间距为MN．春分日正午，太阳光线与水平面所成的角为55.7°，A栋楼在B栋楼墙面上的影高为DM；冬至日正午，太阳光线与水平面所成的角为30°，A栋楼在B栋楼墙面上的影高为CM，已知CD ＝45m．求楼间距MN（参考数据：tan30°≈0.58，sin55.7°≈0.83，cos55.7°≈0.56，tan55.7°≈1.47）2．图①是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，托板长AB ＝115mm，支撑板长CD＝70mm，且CB＝35mm，托板AB可绕点C转动．（1）当∠CDE＝60°时，①求点C到直线DE的距离；（计算结果保留根号）②若∠DCB＝70°时，求点A到直线DE的距离（计算结果精确到个位）；（2）为了观看舒适，把（1）中∠DCB＝70°调整为90°，再将CD绕点D逆时针旋转，使点B落在DE上，则CD旋转的角度为．（直接写出结果）（参考数据：sin50°≈0.8，cos50°≈0.6，tan50°≈1.2．sin26.6°≈0.4，cos26.6°≈0.9，tan26.6°≈0.5，≈1.7）3．美丽的徒骇河穿城而过，成为市民休闲娱乐的风景带．某数学兴趣小组在一次课外活动中，测量徒骇河某段河的宽CD．如图所示，小组成员选取的点A，B是桥上的两点，点A，E，C在河岸的同一直线上，且AB⊥AC．若，AE间的距离80米，在B点处测得BD与平行于AC的直线间的夹角为30°，在点E处测得ED与直线AC之间的夹角为60°，求这段河的宽度CD．（结果保留根号）4．我市的前三岛是众多海钓人的梦想之地．小明的爸爸周末去前三岛钓鱼，将鱼竿AB摆成如图1所示．已知AB＝4.8m，鱼竿尾端A离岸边0.4m，即AD＝0.4m．海面与地面AD 平行且相距1.2m，即DH＝1.2m．（1）如图1，在无鱼上钩时，海面上方的鱼线BC与海面HC的夹角∠BCH＝37°，海面下方的鱼线CO与海面HC垂直，鱼竿AB与地面AD的夹角∠BAD＝22°．求点O到岸边DH的距离；（2）如图2，在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角∠BAD＝53°，此时鱼线被拉直，鱼线BO＝5.46m，点O恰好位于海面．求点O到岸边DH的距离．（参考数据：sin37°＝cos53°≈，cos37°＝sin53°≈，tan37°≈，sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈）5．如图1，将一个直角三角形状的楔子（Rt△ABC）从木桩的底端点P沿水平方向打入木桩台底下，可以使木桩向上运动．如果楔子底面的倾斜角∠ABC为10°，其高度AC为1.8厘米，楔子沿水平方向前进一段距离（如箭头所示），如图2，留在外面的楔子长度HC为3厘米．（参考数据：sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18）（1）求BH的长．（2）木桩上升了多少厘米？6．筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，车轮缚以竹筒，旋转时低则舀水，高则泻水．如图，水力驱动筒车按逆时针方向转动，竹筒把水引至A处，水沿射线AD方向泻至水渠DE，水渠DE所在直线与水面PQ平行．设筒车为⊙O，⊙O与直线PQ交于P，Q两点，与直线DE交于B，C两点，恰有AD2＝BD•CD，连接AB，AC．（1）求证：AD为⊙O的切线；（2）筒车的半径为3m，AC＝BC，∠C＝30°．当水面上升，A，O，Q三点恰好共线时，求筒车在水面下的最大深度（精确到0.1m，参考值：≈1.4，≈1.7）．7．如图，一扇窗户垂直打开，即打开到OM⊥OP的状态，AC是长度不变的滑动支架，其中一端固定在窗户的点A处，另一端在OP上滑动，将窗户OM按图示方向向内旋转45°到达ON位置，此时，点A、C的对应位置分别是点B、D．测出此时∠ODB为30°，BO的长为20cm．求滑动支架AC的长．（精确到1cm，≈1.41，≈1.73）．8．如图所示，九（1）班数学兴趣小组为了测量河对岸的古树A、B之间的距离，他们在河边与AB平行的直线l上取相距60m的C、D两点，测得∠ACB＝15°，∠BCD＝120°，∠ADC＝30°．（1）求河的宽度；（2）求古树A、B之间的距离．（结果保留根号）9．图1是疫情期间测温员用“额温枪”对学生测温时的实景图，图2是其侧面示意图，其中枪柄BC与手臂MC始终在同一直线上，枪身BA与额头保持垂直，量得胳膊MN＝30cm，MB＝44cm，肘关节M与枪身端点A之间的水平宽度为26.1cm（即MP的长度），∠ABM ＝113.6°．（1）求枪身BA的长度；（2）测温时规定枪身端点A与额头距离范围为3cm～5cm．在图2中，若测得∠BMN＝68.6°，学生与测温员之间距离为50cm．问此时枪身端点A与学生额头的距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位）（参考数据sin66.4°≈0.92，cos66.4°≈0.4，tan66.4°≈2.29，）10．动感单车是一种新型的运动器械．图①是一辆动感单车的实物图，图②是其侧面示意图．△BCD为主车架，AB为调节管，点A，B，C在同一直线上．已知BC长为70cm，∠BCD的度数为58°．当AB长度调至34cm时，求点A到CD的距离AE的长度（结果精确到1cm）．（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）11．某超市大门口的台阶通道侧面如图所示，共有4级台阶，每级台阶高度都是0.25米．根据部分顾客的需要，超市计划做一个扶手AD，AB、DC是两根与地平线MN都垂直的支撑杆（支撑杆底端分别为点B、C）．（1）求点B与点C离地面的高度差BH的长度；（2）如果支撑杆AB、DC的长度相等，且∠DAB＝66°．求扶手AD的长度．（参考数据：sin66°≈0.9，cos66°≈0.4，tan66°≈2.25，cot66°≈0.44）12．小强在物理课上学过平面镜成像知识后，在老师的带领下到某厂房做验证实验．如图，老师在该厂房顶部安装一平面镜MN，MN与墙面AB所成的角∠MNB＝118°，厂房高AB＝8m，房顶AM与水平地面平行，小强在点M的正下方C处从平面镜观察，能看到的水平地面上最远处D CD是多少？（结果精确到0.1m，参考数据：sin34°≈0.56，tan34°≈0.68，tan56°≈1.48）13．如图①是大家熟悉的柜式空调，关闭时叶片竖直向下．如图②，当启动时，出风口叶片会同步开始逆时针旋转到最大旋转角90°时返回，旋转速度是每秒10°，同时空调风从叶片口直线吹出．AB由5个叶片组成的出风口，经过测量，A点、B点距地面高度分别是170cm、145cm在空调正前方100cm处站着一个高70cm的小朋友（线段EF表示）．（1）从启动开始，多长时间小朋友头顶E处感受到空调风；（2）若叶片从闭合旋转到最大角度的过程中，小朋友的头顶E处有多长时间感受到空调风；（3）当选择上下扫风模式时，叶片会旋转到最大角度后原速返回．从启动到第一次返回起始位的过程中，该小朋友头顶E处从第一次感受到空调风到再次感受到空调风中间间隔了多长时间．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）．14．第24届冬季奥林匹克运动会于今年2月4日至20日在北京举行，我国冬奥选手取得了9块金牌、4块银牌、2块铜牌，为祖国赢得了荣誉，激起了国人对冰雪运动的热情．某地模仿北京首钢大跳台建了一个滑雪大跳台（如图1），它由助滑坡道、弧形跳台、着陆坡、终点区四部分组成．图2是其示意图，已知：助滑坡道AF＝50米，弧形跳台的跨度FG＝7米，顶端E到BD的距离为40米，HG∥BC，∠AFH＝40°，∠EFG＝25°，∠ECB＝36°．求此大跳台最高点A距地面BD的距离是多少米（结果保留整数）．（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47，sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）15．一种可折叠的医疗器械放置在水平地面上，这种医疗器械的侧面结构如图实线所示，底座为△ABC，点B，C，D在同一条直线上，测得∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，AB＝32cm，∠BDE＝75°，其中一段支撑杆CD＝84cm，另一段支撑杆DE＝70cm．（1）求BD的长．（2）求支撑杆上的点E到水平地面的距离EF是多少？（结果均取整数，参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，≈1.732）16．图1是某长征主题公园的雕塑，将其抽象成如图2所示的示意图，已知AB∥CD∥FG，A，D，H，G四点在同一直线上，测得∠FEC＝∠A＝72.9°，AD＝1.6m，EF＝6.2m．（结果保留小数点后一位）（1）求证：四边形DEFG为平行四边形；（2）求雕塑的高（即点G到AB的距离）．（参考数据：sin72.9°≈0.96，cos72.9°≈0.29，tan72.9°≈3.25）17．如图①是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图②所示，已知晾衣臂OA＝OB＝120cm，支撑脚OC＝OD＝120cm，展开角∠COD＝60°，晾衣臂支架PQ＝MN＝80cm，且OP＝OM＝40cm．（1）当晾衣臂OA与支撑脚OD垂直时，求点A距离地面的高度；（2）当晾衣臂OB从水平状态绕点O旋转到OB'（D、O、B'在同一条直线上）时，点N 也随之旋转到OB'上的点N'处，求点N在晾衣臂OB上滑动的距离．18．如图1是某小区门口的门禁自动识别系统，主要有可旋转高清摄像机和其下方固定的显示屏．图2是其结构示意图，摄像机长AB＝20cm，点O是摄像机旋转轴心，O为AB的中点，显示屏的上沿CD与AB平行，CD＝15cm，AB与CD连接杆OE⊥AB，OE＝10cm，CE＝2ED，点C到地面的距离为60cm．若AB与水平地面所成的角的度数为35°．（1）求显示屏所在部分的宽度；（2）求镜头A到地面的距离．（参考数据：sin35°≈0.574，cos35°≈0.819，tan35°≈0.700，结果保留一位小数）19．图1是一种可折叠台灯，它放置在水平桌面上，将其抽象成图2，其中点B，E，D均为可转动点，现测得AB＝BE＝ED＝CD＝20cm，经多次调试发现当点B，E都在CD的垂直平分线上时（如图3所示）放置最平稳．（1）求放置最平稳时灯座DC与灯杆DE的夹角的大小；（2）当A点到水平桌面（CD所在直线）的距离为42cm﹣43cm时，台灯光线最佳，能更好的保护视力．若台灯放置最平稳时，将∠ABE调节到105°，试通过计算说明此时光线是否为最佳．（参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，≈1.73）20．为测量水城河两岸的宽度，某数学研究小组设计了三种不同的方案，他们在河岸边A 处测得河对岸的同学B恰好在正北方向，测量方案及数据如下表：．（1）哪一种方案无法计算出河两岸的宽度；（2）请选择其中一种方案计算出河两岸的宽度（精确到0.1m）．（参考数据：≈1.73）参考答案1．解：如图，过点C、D分别作CE⊥PN，DF⊥PN，垂足分别为E、F，则，PN＝90m，MB＝DF＝CE，DM＝FN，CD＝EF＝45m，设MN＝xm，在Rt△PDF中，∠PDF＝55.7°，DF＝MN＝xm，∴PF＝tan55.7°•DF≈1.47x（m），在Rt△PCE中，∠PCE＝30°，CE＝xm，∴PE＝tan30°•CE≈0.58x（m），∵EF＝PF﹣PE，即CD＝PF﹣PE，∴1.47x﹣0.58x＝45，解得x≈50.56（m），即MN＝50.56m．2．解：（1）①如图，过点C作CF⊥DE于F，过点C、A分别作DE的平行线和垂线相交于点G，在Rt△CDF中，∠CDF＝60°，CD＝70mm，∴CF＝CD•sin60°＝70×＝35（mm），即点C到直线DE的距离为35mm；②当∠DCB＝70°时，∵CG∥DE，∴∠GCD＝∠CDF＝60°，又∵∠DCB＝70°，∴∠ACG＝180°﹣70°﹣60°＝50°，在Rt△ACG中，AC＝AC﹣BC＝115﹣35＝80（mm），∠ACG＝50°∴AG＝AC•sin50°≈80×0.8＝64（mm），∴点A到直线DE的距离为AG+CF＝64+35≈124（mm）；（2）把（1）中∠DCB＝70°调整为90°，再将CD绕点D逆时针旋转，使点B落在DE上，旋转后的图形如图③所示，在Rt△B′C′D中，B′C′＝35mm，C′D＝CD＝70mm，∴tan∠C′DB′＝＝0.5，又∵tan26.6°≈0.5，∴∠C′DB′＝26.6°，∴∠CDC′＝60°﹣26.6°＝33.4°，故答案为：33.4°．3．解：如图，过点B作BF⊥CD于F，则AB＝CF，AC＝BF，∵，AE＝80米，∴AB＝20米＝CF，在Rt△BDF中，∠DBF＝30°，设DF＝x，则BF＝x＝AC，∴EC＝AC﹣AE＝（x﹣80）米，在Rt△CDE中，∠DEC＝60°，CD＝（20+x）米，EC＝（x﹣80）米，∵tan60°＝，∴＝，解得，x＝40+10，经检验，x＝40+10是原方程的根，∴DF＝（40+10）米，∴CD＝CF+DF＝（40+30）米，答：这段河的宽度CD的长为（40+30）米．4．解：（1）过点B作BF⊥CH，垂足为F，延长AD交BF于E，垂足为E，则AE⊥BF，由cos∠BAE＝，∴cos22°＝，∴，即AE＝4.5m，∴DE＝AE﹣AD＝4.5﹣0.4＝4.1（m），由sin∠BAE＝，∴，∴，即BE＝1.8m，∴BF＝BE+EF＝1.8+1.2＝3（m），又，∴，即CF＝4m，∴CH＝CF+HF＝CF+DE＝4+4.1＝8.1（m），即点O到岸边DH的距离为8.1m；（2）过点B作BN⊥OH，垂足为N，延长AD交BN于点M，垂足为M，由cos∠BAM＝，∴，∴，即AM＝2.88m，∴DM＝AM﹣AD＝2.88﹣0.4＝2.48（m），由sin∠BAM＝，∴，∴，即BM＝3.84m，∴BN＝BM+MN＝3.84+1.2＝5.04（m），∴＝（m），∴OH＝ON+HN＝ON+DM＝4.58（m），即点O到岸边的距离为4.58m．5．解：（1）在Rt△ABC中，∠ABC＝10°，tan∠ABC＝，则BC＝≈＝10（厘米），∴BH＝BC﹣HC＝7（厘米）；（2）在Rt△ABC中，∠ABC＝10°，tan∠ABC＝，则PH＝BH•tan∠ABC≈7×0.18≈1.26（厘米），答：木桩上升了大约1.26厘米．6．（1）证明：连接AO，并延长交⊙O于G，连接BG，∴∠ACB＝∠AGB，∵AG是直径，∴∠ABG＝90°，∴∠BAG+∠AGB＝90°，∵AD2＝BD•CD，∴，∵∠ADB＝∠CDA，∴△DAB∽△DCA，∴∠DAB＝∠ACB，∴∠DAB＝∠AGB，∴∠DAB+∠BAG＝90°，∴AD⊥AO，∵OA是半径，∴AD为⊙O的切线；（2）解：当水面到GH时，作OM⊥GH于M，∵CA＝CB，∠C＝30°，∴∠ABC＝75°，∵AG是直径，∴∠ABG＝90°，∴∠CBG＝15°，∵BC∥GH，∴∠BGH＝∠CBG＝15°，∴∠AGM＝45°，∴OM＝OG＝，∴筒车在水面下的最大深度为3﹣≈0.9（m）．7．解：由题意可知：∠BOE＝45°，BO＝20cm，BE⊥OD，∴BE＝OE＝BO•sin45°＝10（cm），在Rt△BDE中，∠BDE＝30°，∴sin∠BDE＝，∴BD＝20cm，∵BD＝AC，∴AC＝20≈28（cm），答滑动支架AC的长约为28cm．8．解：（1）过点A作AE⊥l，垂足为E，设CE＝x米，∵CD＝60米，∴DE＝CE+CD＝（x+60）米，∵∠ACB＝15°，∠BCD＝120°，∴∠ACE＝180°﹣∠ACB﹣∠BCD＝45°，在Rt△AEC中，AE＝CE•tan45°＝x（米），在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，∴tan30°＝＝＝，∴x＝30+30，经检验：x＝30+30是原方程的根，∴AE＝（30+30）米，∴河的宽度为（30+30）米；（2）过点B作BF⊥l，垂足为F，则CE＝AE＝BF＝（30+30）米，AB＝EF，∵∠BCD＝120°，∴∠BCF＝180°﹣∠BCD＝60°，在Rt△BCF中，CF＝＝＝（30+10）米，∴AB＝EF＝CE﹣CF＝30+30﹣（30+10）＝20（米），∴古树A、B之间的距离为20米．9．解：（1）过点B作BH⊥MQ，垂足为H，则BA＝HP，AB∥MQ，∵∠ABM＝113.6°，∴∠BMH＝180°﹣∠ABM＝66.4°，在Rt△BMH中，∠BMH＝66.4°，BM＝44cm，∴MH＝BM•cos66.4°≈44×0.4＝17.6（cm），∵MP＝26.1cm，∴BA＝HP＝MP﹣MH＝26.1﹣＝8.5（cm），∴枪身BA的长度约为8.5cm；（2）此时枪身端点A与学生额头的距离不在规定范围内，理由：延长QM交FG于点K，则KQ＝50cm，∠NKM＝90°，∵∠BMN＝68.6°，∠BMH＝66.4°，∴∠NMK＝180°﹣∠BMN﹣∠BMH＝45°，在Rt△MNK中，MN＝30cm，∴KM＝MN•cos45°＝30×＝15（cm），∵KQ＝50cm，∴PQ＝KQ﹣KM﹣MP＝50﹣15﹣26.1≈2.7（cm），∵测温时规定枪身端点A与额头距离范围为3cm～5cm，∴此时枪身端点A与学生额头的距离不在规定范围内．10．解：∵AB＝34cm，BC＝70cm，∴AC＝AB+BC＝104cm，在Rt△ACE中，sin∠BCD＝，∴AE＝AC•sin∠BCD≈104×0.85≈88cm．答：点A到CD的距离AE的长度约88cm．11．解：（1）∵每级台阶高度都是0.25米，∴BH＝3×0.25＝0.75（米），∴点B与点C离地面的高度差BH的长度为0.75米；（2）连接BC，由题意得：AB＝DC，AB∥DC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠DAB＝∠CBH＝66°，在Rt△CBH中，BH＝0.75米，∴BC＝≈＝1.875（米），∴扶手AD的长度约为1.875米．512．解：连接MC，过点M作HM⊥NM，由题意得：∠DMC＝2∠CMH，∠MCD＝∠HMN＝90°，AB＝MC＝8m，AB∥MC，∴∠CMN＝180°﹣∠MNB＝180°﹣118°＝62°，∴∠CMH＝∠HMN﹣∠CMN＝28°，∴∠DMC＝2∠CMH＝56°，在Rt△CMD中，CD＝CM•tan56°≈8×1.48≈11.8（米），∴能看到的水平地面上最远处D到他的距离CD约为11.8米．13．解：（1）如图，连接AE，过点E作EM⊥AC于M，由题意可知，CF＝100cm＝ME，AC＝170cm，BC＝145cm，EF＝70cm＝MC，∴AM＝170﹣70＝100（cm），在Rt△AEM中，AM＝100cm，ME＝100cm，∴∠MAE＝∠AEM＝45°，∴从启动开始，到小朋友头顶E处感受到空调风所用的时间为45÷10＝4.5（s），答：从启动开始，4.5s小朋友头顶E处感受到空调风；（2）如图，连接BE，则BM＝145﹣70＝75（cm），在Rt△BEM中，∵tan∠BEM＝＝0.75，∴∠BEM＝37°，∴∠MBE＝90°﹣37°＝53°∴小朋友的头顶E处感受到空调风的时长为﹣＝0.8（s），答：小朋友的头顶E处有0.8s的时间感受到空调风；（3）如图，当BE绕着点B旋转到BE′时，所用时间为＝3.7（s），所以该小朋友头顶E处从第一次感受到空调风到再次感受到空调风中间间隔了时长为0.8+3.7×2＝8.2（s），答：该小朋友头顶E处从第一次感受到空调风到再次感受到空调风中间间隔了8.2s．14．解：如图，过点E作EN⊥BC于点N，交HG于点M，则AB＝AH﹣EM+EN．根据题意可知，∠AHF＝∠EMF＝∠EMG＝90°，EN＝40（米），∵HG∥BC，∴∠EGM＝∠ECB＝36°，在Rt△AHF中，∠AFH＝40°，AF＝50，∴AH＝AF•sin∠AFH≈50×0.64＝32（米），在Rt△FEM和Rt△EMG中，设MG＝m米，则FM＝（7﹣m）米，∴EM＝MG•tan∠EGM＝MG•tan36°≈0.73m，EM＝FM•tan∠EFM＝FM•tan25°≈0.47（7﹣m），∴0.73m＝0.47（7﹣m），解得m≈2.7（米），∴EM≈0.47（7﹣m）＝2.021（米），∴AB＝AH﹣EM+EN≈32﹣2.021+40≈70（米）．∴此大跳台最高点A距地面BD的距离约是70米．15．解：（1）在Rt△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝32cm，∴BC＝AB＝16cm，∴BD＝BC+CD＝16+84＝100（cm）．（2）作DM⊥BA于点M，DN⊥EF于点N，在Rt△DBM中，sin∠DBM＝，即＝，∴DM＝50，∵∠F＝∠M＝∠DNF＝90°，∴四边形NFMD为矩形，∴NF＝DM＝50，DN∥FM，∴∠NDB＝∠DBM＝60°，∵∠BDE＝75°，∴∠EDN＝∠BDE﹣∠NDB＝15°，∴在Rt△DEN中，sin∠EDN＝，即sin15°＝，∴EN＝70sin15°，∴EF＝EN+NF＝50+70sin15°≈105（cm）．16．（1）证明：∵AB∥CD，∴∠CDG＝∠A，∵∠FEC＝∠A，∴∠FEC＝∠CDG，∴EF∥DG，∵FG∥CD，∴四边形DEFG为平行四边形；（2）解：如图，过点G作GP⊥AB于P，∵四边形DEFG为平行四边形，∴DG＝EF＝6.2，∵AD＝1.6，∴AG＝DG+AD＝6.2+1.6＝7.8，Rt△APG中，sin A＝，∴＝0.96，∴PG＝7.8×0.96＝7.488≈7.5．答：雕塑的高为7.5m．17．解：（1）过点O作OE⊥CD，垂足为E，过点A作AG⊥CD，垂足为G，过点O作OF ⊥AG，垂足为F，则OE＝FG，∠FOE＝90°，∵OC＝OD＝120cm，∠COD60°，∴∠DOE＝∠COD＝30°，∴OE＝OD•cos30°＝120×＝60（cm），∴FG＝OE＝60cm，∵OA⊥OD，∴∠AOD＝90°，∴∠AOD﹣∠DOF＝∠EOF﹣∠DOF，∴∠AOF＝∠DOE＝30°，在Rt△AOF中，OA＝120cm，∴AF＝OA＝60（cm），∴AG＝AF+FG＝（60+60）cm，∴点A距离地面的高度为（60+60）cm；（2）过点M作MK⊥OB，垂足为K，过点M作ML⊥OD，垂足为L，∵OC＝OD＝120cm，∠COD＝60°，∴△COD是等边三角形，∴∠OCD＝60°，∵OB∥CD，∴∠BOC＝∠OCD＝60°，在Rt△MKO中，OM＝40cm，∴KO＝OM•cos60°＝40×＝20（cm），MK＝OM•sin60°＝40×＝20（cm），在Rt△MNK中，MN＝80cm，∴NK＝＝＝20（cm），∵OB＝120cm，∴BN＝OB﹣OK﹣NK＝120﹣20﹣20＝（100﹣20）cm，在Rt△OML中，∠COD＝60°，∴ML＝OM•sin60°＝40×＝20（cm），OL＝OM•cos60°＝40×＝20（cm），在Rt△MN′L中，MN′＝MN＝80cm，∴N′L＝＝＝20（cm），∴ON′＝N′L﹣OL＝（20﹣20）cm，∵OB′＝OB＝120cm，∴B′N′＝OB′﹣ON′＝（140﹣20）cm，∴B′N′﹣BN＝140﹣20﹣（100﹣20）＝40（cm），∴点N在晾衣臂OB上滑动的距离为40cm．18．解：（1）过点C作CM⊥DF，垂足为F，∵CD∥AB，AB与水平地面所成的角的度数为35°，∴CD与水平地面所成的角的度数为35°，∴∠DCM＝35°，在Rt△DCM中，DC＝15cm，∴CM＝DC•cos35°≈15×0.819≈12.3（cm），∴显示屏所在部分的宽度约为12.3cm；（2）连接AC，过点A作AH⊥CM，交MC的延长线于点H，∵CE＝2ED，DC＝15cm，∴CE＝CD＝10（cm），∵O为AB的中点，∴OA＝AB＝10（cm），∴OA＝CE＝10cm，∵OA∥CE，∴四边形ACEO是平行四边形，∵OE⊥AB，∴∠AOE＝90°，∴四边形ACEO是矩形，∴∠ACE＝90°，AC＝OE＝10cm，∵∠DCM＝53°，∴∠ACH＝180°﹣∠ACE﹣∠DCM＝55°，∴∠HAC＝90°﹣∠ACH＝35°，在Rt△AHC中，AH＝AC•cos35°≈10×0.819＝8.19（cm），∵点C到地面的距离为60cm，∴镜头A到地面的距离＝8.19+60≈68.2（cm），∴镜头A到地面的距离约为68.2cm．19．解：（1）延长BE交DC于点F，由题意得：EF⊥CD，FD＝CD＝CD＝10cm，在Rt△DEF中，DE＝20cm，∴cos D＝＝＝，∴∠D＝60°，∴灯座DC与灯杆DE的夹角为60°；（2）过点A作AM⊥DC，交DC的延长线于点M，过点B作BG⊥AM，垂足为G，则GM＝BF，∠GBF＝90°，在Rt△DEF中，DE＝20cm，DF＝10cm，∴EF＝＝＝10（cm），则GM＝BF＝BE+EF＝（20+10）cm，∵∠ABE＝105°，∴∠ABG＝∠ABF﹣∠GBF＝15°，在Rt△ABG中，AB＝20cm，∴AG＝AB⋅sin15°≈20×0.26＝5.2（cm），∴AM＝AG+GM＝20+10+5.2≈42.5（cm），∴A点到水平桌面（CD所在直线）的距离约为42.5cm，∴此时光线最佳．20．解：（1）第一个小组的数据无法计算河宽，理由如下：∵第一小组给出的数据为BD的长，△ABC和△CDE无法建立联系，无法得到△ABC的任何一边长度，∴第二小组的数据无法计算河宽；（2）第二个小组的解法：∵∠ACB＝∠ADB+∠CBD，∠ACB＝60°，∠ADB＝30°，∴∠ADB＝∠CBD＝30°，∴BC＝CD＝11.8m，∴AB＝BC•sin60°＝11.8×≈10.2（m）．第三个小组的解法：设AB＝xm，则AC＝，AD＝，∴+＝23.5，解得x≈10.2．答：河宽约10.2m．。

2020华师大版九年级数学上册第24章解直角三角形提高性测试卷(含答案)

【文库独家】华师大版九年级上册第24章解直角三角形提高性测试卷班级姓名学号成绩一、选择题1．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，D 为垂足．若AC ＝4，BC ＝3，则sin ∠ACD 的值为（）A ．34 B ．43 C ．54 D ．53 2．已知∠A ＋∠B ＝90°且cos A ＝51，则cos B 的值为（） A ．51 B ．54 C ．562 D ．52 3．已知tan a ＝32，则锐角a 满足（） A ．0°＜a ＜30° B ．30°＜a ＜45° C ．45°＜a ＜60° D ．60°＜a ＜90°4．如图所示，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8，则tan C ＝（）A ．53B ．54C ．34D ．43 5．如图，从山顶A 望到地面C ，D 两点，测得它们的俯角分别是45°和30°，已知CD ＝100m ，点C 在BD 上，则山高AB 等于（） A ．100 m B ．350m C ．250m D ．50（13+）m6．已知楼房AB 高50 m ，如图，铁塔塔基距楼房房基间的水平距离BD ＝50 m ，塔高DC 为31（350150+）m ，下列结论中，正确的是（） A ．由楼顶望塔顶仰角为60° B ．由楼顶望塔基俯角为60°C ．由楼顶望塔顶仰角为30°D ．由楼顶望塔基俯角为30°7．如图,水库大坝的横断面积为梯形,坝顶宽6米、坝高24米、斜坡AB 的坡角为45°，斜坡CD 的坡度i ＝1∶2，则坝底AD 的长为（）A ．42米B ．（32430+）米C ．78米D ．（3830+）米二、填空题1．在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝135AB ，则cos B ＝． 2．将cos21°、cos37°、sin41°、cos46°的值按由小到大的顺序排列是． 3．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝23，则方程tan A ·x 2＋2x ＋tan B ＝0的根为． 4．已知等腰梯形下底长4厘米，高是2厘米，下底的内角的正弦值是54，则上底长为厘米．5.水库的横断面是梯形，如图，坝高23m ，斜坡的坡度为，则斜坡的长为。

2020年九年级数学中考复习题型解直角三角形(带答案)

解直角三角形题型一利用勾股定理求面积例 1.在Rt AED ∆中，90E ∠=︒，3AE =，4ED =，以AD 为边在AED ∆的外侧作正方形ABCD ，则正方形ABCD 的面积是( )A ．5B ．25C ．7D ．10【解析】根据勾股定理得到225AD AE DE =+=，根据正方形的面积公式即可得到结论．【答案】解：在Rt AED ∆中，90E ∠=︒，3AE =，4ED =，225AD AE DE ∴=+=，四边形ABCD 是正方形，∴正方形ABCD 的面积22525AD ===，故选：B ．变式训练1.如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，其中最大正方形E 的边长为10，则四个正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为( )A ．24B ．56C ．121D ．100【解析】根据正方形的性质和勾股定理的几何意义解答即可．【答案】解：根据勾股定理的几何意义，可知：E F G S S S =+A B C D S S S S =+++100=；即四个正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为100；故选：D ．题型二勾股定理逆定理的应用例2-1.在以线段a ，b ，c 的长三边的三角形中，不能构成直角三角形的是( )A ．4a =，5b =，6c =B ．::5:12:13a b c =C ．2a =，3b =，5c =D ．4a =，5b =，3c =【解析】知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．【答案】解：A .222456+≠，不能构成直角三角形，故本选项符合题意；B .设三角形三边为5k ，12k ，13k ，2(5)(k +2212)(13)k k =，能构成直角三角形，故本选项不符合题意；C .(22)(+23)(=25)，能构成直角三角形，故本选项不符合题意；D .222345+=，能构成直角三角形，故本选项不符合题意；故选：A ．例2-2.如图，已知在四边形ABCD 中，20AB cm =，15BC cm =，7CD cm =，24AD cm =，90ABC ∠=︒．（1）连结AC ，求AC 的长；（2）求ADC ∠的度数；（3）求出四边形ABCD 的面积【解析】（1）连接AC ，利用勾股定理解答即可；（2）利用勾股定理的逆定理解答即可；（3）根据三角形的面积公式解答即可．【答案】解：（1）连接AC ，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，20AB cm =，15BC cm =，∴由勾股定理可得：2222201525AC AB BC cm ++=；（2）在ADC ∆中，7CD cm =，24AD cm =，222CD AD AC ∴+=，90ADC ∴∠=︒；（3）由（2）知，90ADC ∠=︒，∴四边形ABCD 的面积2112015724234()22ABC ACD S S cm ∆∆=+=⨯⨯+⨯⨯=. 变式训练1.下列说法中，正确的有( )①如果0A B C ∠+∠-∠=，那么ABC ∆是直角三角形；②如果::5:12:13A B C ∠∠∠=，则ABC ∆是直角三角形； 71017ABC ∆为直角三角形；④如果三角形三边长分别是24n -、4n 、24(2)n n +>，则ABC ∆是直角三角形；A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】根据直角三角形的判定进行分析，从而得到答案．【答案】解：①正确，由三角形内角和定理可求出C ∠为90度；②不正确，因为根据三角形的内角和得不到90︒的角；7x ，10x 17x ，则有2271017x +=；④正确，因为222(4)(4)(4)n n n -+=+．所以正确的有三个．故选：C ．变式训练2.如图，在四边形ABCD 中，已知12AB =，9BC =，90ABC ∠=︒，且39CD =，36DA =．求四边形ABCD 的面积．【解析】连接AC ，在Rt ADC ∆中，已知AB ，BC 的长，运用勾股定理可求出AC 的长，在ADC ∆中，已知三边长，运用勾股定理逆定理，可得此三角形为直角三角形，故四边形ABCD 的面积为Rt ACD ∆与Rt ABC ∆的面积之差．【答案】解：连接AC ，90ABC ∠=︒，12AB =，9BC =，15AC ∴=，39CD =，36DA =，222215361521AC DA +=+=，22391521CD ==，ADC ∴∆为直角三角形，ACD ABC ABCD S S S ∆∆∴=-四边形1122AC AD AB BC =⨯-⨯ 11153612922=⨯⨯-⨯⨯ 27054=-216=．故四边形ABCD 的面积为216．题型三利用勾股定理求最短路径例3.如图，一圆柱高BC 为20cm ，底面周长是10cm ，一只蚂蚁从点A 爬到点P 处吃食，且35PC BC =，则最短路线长为( )A．20cm B．13cm C．14cm D．18cm【解析】根据题意画出图形，连接AP，则AP就是蚂蚁爬行的最短路线长，根据勾股定理求出AP即可．【答案】解：如图展开，连接AP，则AP就是蚂蚁爬行的最短路线长，则90C∠=︒，11052AC cm cm=⨯=，20BC cm=，35PC BC=，12CP cm∴=，由勾股定理得：222251213()AP AC CP cm=+=+=，即蚂蚁爬行的最短路线长是13cm，故选：B．变式训练1.如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8dm、3dm、2dm．A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为()A．15 dm B．17 dm C．20 dm D．25 dm【解析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．【答案】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为8dm，宽为(23)3dm+⨯，则蚂蚁沿台阶面爬行到B 点最短路程是此长方形的对角线长．可设蚂蚁沿台阶面爬行到B 点最短路程为xdm ，由勾股定理得：22228[(23)3]17x =++⨯=，解得17x =．故选：B ．变式训练 2.如图，长方体的底面边长为1cm 和3cm ，高为6cm ．如果用一根细线从点A 开始经过4个侧面缠绕一圈到达B ，那么所用细线最短需要( )A ．12cmB ．11cmC ．10cmD ．9cm【解析】要求所用细线的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．【答案】解：将长方体展开，连接A 、B '，则13138()AA cm '=+++=，6A B cm ''=，根据两点之间线段最短，228610AB cm '=+=．故选：C ．变式训练3.如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖）高6厘米，底面周长16厘米，在杯口内壁离杯口1.5厘米的A 处有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁，A 的相对方向有一小虫P ，小虫离杯底的垂直距离为1.5厘米，小虫爬到蜜糖A 处的最短距离是( )A ．73厘米B ．10厘米C ．82厘米D ．8厘米【解析】由于小虫从外壁进入内壁，要先到杯子上沿，再进入杯子，故先求出到杯子沿的最短距离即可解答．【答案】解：如图所示：最短路径为：P A '→，将圆柱展开，2222(162)(6 1.5 1.5)10PA PE EA cm ''=+=÷+-+=，最短路程为10PA cm '=．故选：B ．题型四利用勾股定理解折叠问题例4.如图，有一块直角三角形纸片，两直角边6AC cm =，8BC cm =，将纸片沿AD 折叠，直角边AC 恰好落在斜边上，且与AE 重合，求BDE ∆的面积．【解析】由勾股定理可求AB 的长，由折叠的性质可得6AC AE cm ==，90DEB ∠=︒，由勾股定理可求DE 的长，由三角形的面积公式可求解．【答案】解：6AC cm =，8BC cm =2210AB AC CB cm ∴=+=将纸片沿AD 折叠，直角边AC 恰好落在斜边上，且与AE 重合，6AC AE cm ∴==，90DEB ∠=︒1064BE cm ∴=-=设CD DE x ==，则在Rt DEB ∆中，2224(8)x x +=-解得3x =，即DE 等于3cmBDE ∴∆的面积14362=⨯⨯= 答：BDE ∆的面积为26cm变式训练1.如图，把长为12cm 的纸条ABCD 沿EF ，GH 同时折叠，B 、C 两点恰好落在AD 边的P 点处，且90FPH ∠=︒，3BF cm =，求FH 的长．【解析】由翻折不变性可知：BF PF =，CH PH =，设FH x cm =，则(9)PH x cm =-，在Rt PFH ∆中，根据222FH PH PF =+，构建方程即可解决问题．【答案】解：由翻折不变性可知：BF PF =，CH PH =，设FH x cm =，则(9)PH x cm =-，在Rt PFH ∆中，90FPH ∠=︒，222FH PH PF ∴=+，222(9)3x x ∴=-+，5x ∴=，FH ∴的长是5cm ．变式训练 2.如图，把长方形ABCD 沿AC 折叠，AD 落在AD '处，AD '交BC 于点E ，已知2AB cm =，4BC cm =．（长方形的对边相等，四个角都为直角）（1）求证：AE EC =；（2）求EC 的长；（3）求重叠部分的面积．【解析】（1）根据轴对称的性质和矩形的性质就可以得出EAC ECA ∠=∠，就可以得出AE CE =，（2）设EC x =，就有AE x =，4BE x =-，在Rt ABE ∆中，由勾股定理就可以求出结论；（3）根据（2）的结论直接根据三角形的面积公式就可以求出结论．【答案】解：（1）四边形ABCD 是矩形，AB CD ∴=，AD BC =，90B ∠=︒，//AD BC ，DAC BCA ∴∠=∠．ADC ∆与△AD C '关于AC 成轴对称ADC ∴∆≅△AD C '，DAC D AC ∴∠=∠'，D AC ACB ∴∠'=∠，AE EC ∴=；（2）2AB cm =，4BC cm =，2CD cm ∴=，4AD cm =．设EC x =，就有AE x =，4BE x =-，在Rt ABE ∆中，由勾股定理，得224(4)x x +-=，解得： 2.5x =．答：EC 的长为2.5cm ；（3）2AEC EC AB S ∆=， 22.52 2.52AEC S cm ∆⨯==．答：重叠部分的面积为22.5cm ．题型五勾股定理的实际应用例5.数学综合实验课上，同学们在测量学校旗杆的高度时发现：将旗杆顶端升旗用的绳子垂到地面还多2米；当把绳子的下端拉开8米后，下端刚好接触地面，如图，根据以上数据，同学们准确求出了旗杆的高度，你知道他们是如何计算出来的吗？【解析】由题可知，旗杆，绳子与地面构成直角三角形，根据题中数据，用勾股定理即可解答．【答案】解：设旗杆高xm ，则绳子长为(2)x m +，旗杆垂直于地面，∴旗杆，绳子与地面构成直角三角形，由题意列式为2228(2)x x +=+，解得15x m =，∴旗杆的高度为15米．变式训练1.如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC 的长为17米，此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D 的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号）【解析】在Rt ABC ∆中，利用勾股定理计算出AB 长，再根据题意可得CD 长，然后再次利用勾股定理计算出AD 长，再利用BD AB AD =-可得BD 长．【答案】解：在Rt ABC ∆中：90CAB ∠=︒，17BC =米，8AC =米， 2215AB BC AC ∴=-=（米)，此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D 的位置，171710CD ∴=-⨯=（米)，22100646AD CD AC ∴=-=-=（米)，1569BD AB AD ∴=-=-=（米)，答：船向岸边移动了9米．变式训练 2.勾股定理是几何学中的明珠，它充满魅力，在现实世界中有着广泛的应用．请你尝试应用勾股定理解决下列问题：一架2.6m 长的梯子AB 斜靠在一竖直的墙AO 上，这时AO 为2.4m ，如果梯子的顶端A 沿墙下滑0.5m ，那么梯子底端B 向外移了多少米？（注意：3.15 1.77)≈【解析】先根据勾股定理求出OB 的长，再根据梯子的长度不变求出OD 的长，根据BD OD OB =-即可得出结论．【答案】解：Rt OAB ∆中， 2.6AB m =， 2.4AO m =，222226241OB AB AO m ∴=-=-=；同理，Rt OCD ∆中，2.6CD m =， 2.40.5 1.9OC m =-=，22222619 3.15 1.77OD CD OC m ∴=-=-=，1.7710.77()BD OD OB m ∴=-=-=．答：梯子底端B 向外移了0.77米．题型六锐角三角函数定义例1.在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，3AB BC =，则sin B 的值为( )A．12B．22C．32D．223【解析】设BC为x，根据题意用x表示出AB，根据勾股定理求出BC，运用正弦的定义解答即可．【答案】解：设BC为x，则AB＝3x，由勾股定理得，AC＝＝＝2x，∴sin B＝＝＝，故选：D．变式训练1.如图，在Rt ABC∆中，90ACB∠=︒，CD是斜边AB上的高，下列线段的比值等于cos A的值的有()个（1）ADAC（2）ACAB（3）BDBC（4）CDBC．A．1 B．2 C．3 D．4【解析】根据锐角三角函数关系的定义分析得出答案．【答案】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，∴∠A+∠ACD＝90°，∠ACD+∠BCD＝90°，∴∠A＝∠BCD，∴cos A＝＝＝，故（1），（2），（4）正确．故选：C．题型七网格中的锐角三角函数值例7.如图，A，B，C是正方形网格中的格点（小正方形的顶点），则sin ACB∠的值为( )A ．55B ．255C ．12D ．33【解析】由勾股定理可求AC ，BC 的长，由三角形的面积公式可求BD 的长，即可求sin ∠ACB 的值．【答案】解：设小正方形的边长为1，过点B 作BD ⊥AC 于D ，过点B 作BF ⊥AE 于点F ， ∵S △ABC ＝2×7﹣＝5 由勾股定理可知：AC ＝＝5， ∵AC •BD ＝5，∴BD ＝，由勾股定理可知：BC ＝＝， ∴sin ∠ACB ＝＝＝故选：A ．变式训练 1.如图，在22⨯正方形网格中，以格点为顶点的ABC ∆的面积等于32，则sin (CAB ∠= )A．332B．35C．105D．310【解析】根据勾股定理，可得AC、AB、BC的长，根据三角形的面积公式，可得CD的长，根据正弦函数的定义，可得答案．【答案】解：如图：作CD⊥AB于D，AE⊥BC于E，由勾股定理，得AB＝AC＝，BC＝．由等腰三角形的性质，得BE＝BC＝．由勾股定理，得AE＝＝，由三角形的面积，得AB•CD＝BC•AE．即CD＝＝．sin∠CAB＝＝＝，故选：B．题型八特殊角三角函数值的计算例8.计算：2sin60cos45sin30tan60︒+︒-︒︒．【解析】首先代入特殊角的三角函数值，再计算乘方，后算乘除，最后算加减即可．【答案】解：原式＝+﹣×，＝+﹣，＝．变式训练1.计算：（1）222sin 30sin60sin 45cos 30︒+︒-︒+︒；（2）tan30tan 45tan 60tan 45︒+︒︒︒．【解析】（1）直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案；（2）直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案．【答案】解：（1）原式＝（）2+﹣（）2+（）2＝+﹣+ ＝+；（2）原式＝＝．变式训练2.22cos30tan30cos60(1tan60)︒+︒︒--︒【解析】把特殊角的三角函数值代入原式，根据二次根式的加减运算法则计算．【答案】解：原式＝2×+×﹣+1＝+1．题型九解直角三角形例9.如图，在ABD ∆中，AC BD ⊥于点C ，32BC CD =，点E 是AB 的中点，tan 2D =，1CE =，求sin ECB ∠的值和AD 的长．【解析】利用已知表示出BC ，CD 的长，再利用勾股定理表示出AB 的长，进而求出sin ∠ECB 的值和AD 的长．【答案】解：∵AC ⊥BD ，∴∠ACB ＝∠ACD ＝90°．∵点E 是AB 的中点，CE ＝1，∴BE ＝CE ＝1，AB ＝2CE ＝2，∴∠B ＝∠ECB ．∵＝，∴设BC ＝3x ，CD ＝2x ．在Rt △ACD 中，tan D ＝2，∴＝2，∴AC ＝4x ．在Rt △ACB 中，由勾股定理得AB ＝＝5x ， ∴sin ∠ECB ＝sin B ＝＝．由AB ＝2，得x ＝，∴AD ＝＝＝2x ＝2×＝．变式训练1.如图，在等腰Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，D 是AC 上一点，若1tan 5DBA ∠=．（1）求AD 的长；（2）求sin DBC ∠的值．【解析】（1）过点D 作DH ⊥AB 于点H ，根据等腰直角三角形的性质，勾股定理以及锐角三角形函数的定义即可求出答案．（2）由（1）可求出CD ＝4，根据勾股定理可求出BD 的长度，然后根据锐角三角函数的定义即可求出答案．【答案】解：（1）过点D 作DH ⊥AB 于点H ，∵等腰三角形ABC ，∠C ＝90°∴∠A ＝45°，∴AH ＝DH ，设AH ＝x ，∴DH ＝x ，∵tan∠DBA＝，∴BH＝5x，∴AB＝6x，∵AC＝6，∴由勾股定理可知：AB＝6，∴x＝，∴AH＝DH＝，∴由勾股定理可知：AD＝2；（2）由于AD＝2∴DC＝4，∴由勾股定理可知：DB＝2，∴，变式训练 2.如图，已知Rt ABC∠=︒，CD是斜边AB上的中线，过点A作∆中，90ACB=．AH CH⊥，AE分别与CD、CB相交于点H、E，2AE CD（1）求sin CAH∠的值；（2）如果5CD=，求BE的值．【解析】（1）由勾股定理得出AC＝＝CH，由锐角三角函数定义即可得出答案；（2）根据sinB的值，可得出AC：AB＝1：，由AB＝2，得AC＝2，设CE＝x（x＞0），则AE＝x，由勾股定理得出方程，求出CE＝1，从而得出BE．【答案】解：（1）∵AE⊥CD，∴∠AHC＝90°，∵AH＝2CH，∴由勾股定理得：AC＝＝CH，∴sin∠CAH＝＝＝；（2）∵∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，∴AB＝2CD＝2，∴∠B＝∠BCD，∵AE⊥CD，∴∠CAH+∠ACH＝90°，又∵∠ACB＝90°，∴∠BCD+∠ACH＝90°，∴∠B＝∠BCD＝∠CAH，∵sinB＝＝sin∠CAH＝＝，∴AC：AB＝1：，∴AC＝2．设CE＝x（x＞0），则AE＝x，在Rt△ACE中，由勾股定理得：x2+22＝（x）2，解得：x＝1，∴CE＝1，在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC＝＝＝4，∴BE＝BC﹣CE＝3．题型十解直角三角形的应用之坡度坡角问题例10.如图，扶梯AB坡比为1:2，滑梯CD坡比为3．若40=，某人BC mAE m=，30m≈，从扶梯上去，经过顶部BC，再沿滑梯滑下，共经过多少路径？（结果精确到0.1)(2 1.41≈3 1.73≈5 2.24)【解析】首先在直角△ABE中根据AE＝40m和坡比求得AB和BE，然后得出CF的长，最后在直角△CFD中求得CD的长即可，继而求出经过的路径＝AB+BC+CD的长度即可．【答案】解：∵扶梯AB的坡比为1：2，即BE：AE＝1：2，AE＝40m，∴BE＝20m，∴AB＝＝＝20（m），∵CF＝BE＝20米，CF：DF＝1：，∴FD＝CF＝20（m），∴CD＝＝＝40（m），∴经过的路径＝AB+BC+CD＝20+30+40＝70+20≈114.8（m）．答：共经过路径长114.8m．变式训练1.今年“五一”假期，某教学活动小组组织一次登山活动，他们从山脚下A点出发沿斜坡AB到达B点，再从B点沿斜坡BC到达山顶C点，路线如图所示，斜坡AB的长为20013米，斜坡BC的长为2002米，坡度是1:1，已知A点海拔121米，C点海拔721米（1）求B点的海拔；（2）求斜坡AB的坡度；（3）为了方便上下山，若在A到C之间架设一条钢缆，求钢缆AC的长度．【解析】（1）根据题意和图形，可以求得点B的海波，本题得以解决；（2）根据题目中的数据可以求得AF和BF的长度，从而可以求得斜坡AB的坡度；（3）根据题目中的数据可以求得AD和CD的长度，然后根据勾股定理即可求得AC的长度．【答案】解：（1）作CD⊥AM于点D，作BE⊥CD于点E，作BF⊥AM于点F，连接AC，∵斜坡BC的长为200米，坡度是1：1，∴BE＝CE＝200米，∵A点海拔121米，C点海拔721米，∴CD＝600米，∴BF＝400米，∵121+400＝521（米），∴点B的海拔是521米；（2）∵斜坡AB的长为200米，BF＝400米，∴AF＝＝600米，∴BF：AF＝400：600＝2：3，即斜坡AB的坡度是2：3；（3）∵CD＝600米，AD＝AF+FD＝AF+BE＝600+200＝800（米），∴AC＝＝1000米，即钢缆AC的长度是1000米．题型十一解直角三角形的应用之仰角俯角问题例11.如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为53︒，沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45︒，已知山坡AB的坡度1:3，10AB=米，21AE=米，求广告牌CD的高度．（测角器的高度忽略不计，参考数据：4tan533︒≈，cos530.60)︒≈【解析】过B作DE的垂线，设垂足为G，BH⊥AE．在△ADE解直角三角形求出DE的长，进而可求出EH即BG的长，在Rt△CBG中，∠CBG＝45°，则CG＝BG，由此可求出CG的长然后根据CD＝CG+GE﹣DE即可求出宣传牌的高度．【答案】解：过B作BG⊥DE于G，BH⊥AE，Rt△ABF中，i＝tan∠BAH＝＝，∴∠BAH＝30°，∴BH＝AB＝5米；∴AH＝5米，∴BG＝AH+AE＝（5+21）米，Rt△BGC中，∠CBG＝45°，∴CG＝BG＝（5+21）米．Rt△ADE中，∠DAE＝53°，AE＝21米，∴DE＝AE＝28米．∴CD＝CG+GE﹣DE＝26+5﹣28＝（5﹣2）m．答：宣传牌CD高为（5﹣2）米．变式训练1.如图（1），在豫西南邓州市大十字街西南方，耸立着一座古老建筑-福胜寺梵塔，建于北宋天圣十年（公元1032年），当地民谚云：“邓州有座塔，离天一丈八．”学完了三角函数知识后，某校“数学社团”的刘明和王华决定用自己学到的知识测量“福胜寺梵塔”的高度．如图（2），刘明在点C处测得塔顶B的仰角为45︒，王华在高台上的点D处测得塔顶B的仰角为40︒，若高台DE高为5米，点D到点C的水平距离EC为1.3米，且A、C、E三点共线，求该塔AB的高度．（参考数据：sin400.64︒≈，︒≈，cos400.77︒≈，tan400.84结果保留整数）【解析】作DM⊥AB于M，交CB于F，CG⊥DM于G，根据矩形的性质得到CG＝DE＝5，DG＝EC＝1.3，设FM＝x米，根据正切的定义用x表示出DM、BM，结合图形列出方程，解方程得到答案．【答案】解：作DM⊥AB于M，交CB于F，CG⊥DM于G，则四边形DECG为矩形，∴CG＝DE＝5，DG＝EC＝1.3，设FM＝x米，由题意得，∠BDM＝40°，∠BFM＝∠BCA＝45°，∴∠CFG＝45°，BM＝FM＝x，∴GF＝GC＝5，∴DF＝DG+GF＝5+1.3＝6.3，在Rt△BDM中，tan∠BDM＝，∴DM＝≈，由题意得，DM﹣DF＝FM，即﹣6.3＝x，解得，x≈33.2，则BA＝BM+AM＝38.2≈38（米），答：该塔AB的高度约为38米．四、易错点辨析1.三角形构成问题中，忘记对构成三角形的前提（三边关系）进行检验.2.忽视直角三角形致错，题中没有说明角是直角，而直接应用正弦、余弦函数的定义.3.边角关系理解不透致错.4.记忆特殊三角函数值不准确，造成计算错误.五、直击中考1.（2017河北（11））如图是边长为10cm的正方形铁片，过两个顶点剪掉一个三角形，以下四种剪法中，裁剪线长度所标的数据(单位：cm)不正确的( ).【答案】A.【解析】试题分析：正方形的对角线的长是10214.14，所以正方形内部的每一个点，到正方形的顶点的距离都有小于14.14，故答案选A.2.（2015河北（16））如图是甲、乙两张不同的矩形纸片，将它们分别沿着虚线剪开后，各自要拼一个与原来面积相等的正方形，则( )A.甲、乙都可以B.甲、乙都不可以C.甲不可以，乙可以D.甲可以，乙不可以【答案与解析】所作图形如图所示，甲乙都可以拼一个与原来面积相等的正方形．故选A．3.（2014河北（8））如图，将长为2，宽为1的矩形纸片分割成n个三角形后，拼成面积为2的正方形，则n≠【】A.2B.3C.4D.5【答案】A．【解析】4.（2019河北（19））勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了A，B，C三地的坐标，数据如图（单位：km）．笔直铁路经过A，B两地．（1）A，B间的距离为km；（2）计划修一条从C到铁路AB的最短公路l，并在l上建一个维修站D，使D到A，C的距离相等，则C，D间的距离为km．【答案】（1）20；（2）13；【解析】解：（1）由A、B两点的纵坐标相同可知：AB∥x轴，∴AB＝12﹣（﹣8）20；（2）过点C作l⊥AB于点E，连接AC，作AC的垂直平分线交直线l于点D，由（1）可知：CE＝1﹣（﹣17）＝18，AE＝12，设CD＝x，∴AD＝CD＝x，由勾股定理可知：x2＝（18﹣x）2+122，∴解得：x＝13，∴CD＝13.5.（2013河北（26））一透明的敞口正方体容器ABCD -A′B′C′D′装有一些液体，棱AB 始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为α（∠CBE = α，如图1所示）．探究如图1，液面刚好过棱CD，并与棱BB′交于点Q，此时液体的形状为直三棱柱，其三视图及尺寸如图2所示．解决问题：（1）CQ与BE的位置关系是___________，BQ的长是____________dm；（2）求液体的体积；（参考算法：直棱柱体积V液 = 底面积SBCQ×高AB）（3）求α的度数.(注：sin49°＝cos41°＝34，tan37°＝34)拓展在图1的基础上，以棱AB为轴将容器向左或向右旋转，但不能使液体溢出，图3或图4是其正面示意图.若液面与棱C′C或CB交于点P，设PC = x，BQ = y.分别就图3和图4求y与x的函数关系式，并写出相应的α的范围.图1图2图3图4延伸在图4的基础上，于容器底部正中间位置，嵌入一平行于侧面的长方形隔板（厚度忽略不计），得到图5，隔板高NM = 1 dm，BM = CM，NM⊥BC.继续向右缓慢旋转，当α = 60°时，通过计算，判断溢出容器的液体能否达到4 dm3.图5【答案与解析】。

2020-2021九年级中考数学直角三角形的边角关系解答题压轴题提高专题练习附答案解析

2020-2021九年级中考数学直角三角形的边角关系解答题压轴题提高专题练习附答案解析一、直角三角形的边角关系1．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线4y kx =+交x 轴、y 轴分别于点A 、点B ，且ABO ∆的面积为8.（1）求k 的值；（2）如图，点P 是第一象限直线AB 上的一个动点，连接PO ，将线段OP 绕点O 顺时针旋转90°至线段OC ，设点P 的横坐标为t ，点C 的横坐标为m ，求m 与t 之间的函数关系式（不要求写出自变量t 的取值范围）；（3）在（2）的条件下，过点B 作直线BM OP ⊥，交x 轴于点M ，垂足为点N ，点K 在线段MB 的延长线上，连接PK ，且0PK KB P +=，2PMB KPB ∠=∠，连接MC ，求四边形BOCM 的面积.【答案】（1）1k =；（2）4m t =+；（3）32BOCM S =Y .【解析】【分析】（1）先求出A 的坐标，然后利用待定系数法求出k 的值；(2) 过点P 作PD x ⊥轴，垂足为D ，过点C 作CE x ⊥轴，垂足为E ，证POD OCE ∆≅∆可得OE PD =，进一步得出m 与t 的函数关系式；（3）过点O 作直线OT AB ⊥，交直线BM 于点Q ，垂足为点T ，连接QP ，先证出QTB PTO ∆≅∆；再证出KPB BPN ∠=∠；设KPB x ∠=︒，通过计算证出PO PM =；再过点P 作PD x ⊥轴，垂足为点D ，根据tan tan OPD BMO ∠=∠得到OD BO PD MO =，列式可求得t=4；所以OM=8进一步得出四边形BOCM 是平行四边形，最后可得其面积为32.【详解】解：（1）把0x =代入4y kx =+，4y =，∴4BO =，又∵4ABO S ∆=， ∴142AO BO ⋅=，4AO =， ∴(4,0)A -，把4x =-，0y =代入4y kx =+，得044k =-+，解得1k =.故答案为1；（2）解：把x t =代入4y x =+，4y t =+， ∴(,4)P t t +如图，过点P 作PD x ⊥轴，垂足为D ，过点C 作CE x ⊥轴，垂足为E ，∴90PDO CEO ∠=∠=︒，∴90POD OPD ∠+∠=︒，∵线段OP 绕点O 顺时针旋转90°至线段OC ，∴90POC ∠=︒，OP OC =，∴90POD EOC ∠+∠=︒，∴OPD EOC ∠=∠，∴POD OCE ∆≅∆，∴OE PD =，4m t =+.故答案为4m t =+.（3）解：如图，过点O 作直线OT AB ⊥，交直线BM 于点Q ，垂足为点T ，连接QP ，由（1）知，4AO BO ==，90BOA ∠=︒，∴ABO ∆为等腰直角三角形，∴45ABO BAO ∠=∠=︒，9045BOT ABO ABO ∠=︒-∠=︒=∠，∴BT TO =，∵90BTO ∠=︒，∴90TPO TOP ∠+∠=︒，∵PO BM ⊥，∴90BNO ∠=︒，∴BQT TPO ∠=∠，∴QTB PTO ∆≅∆，∴QT TP =，PO BQ =，∴PQT QPT ∠=∠，∵PO PK KB =+，∴QB PK KB =+，QK KP =，∴KQP KPQ ∠=∠，∴PQT KQP QPT KPQ ∠-∠=∠-∠，TQB TPK ∠=∠，∴KPB BPN ∠=∠，设KPB x ∠=︒，∴BPN x ∠=︒，∵2PMB KPB ∠=∠，∴2PMB x ∠=︒，45POM PAO APO x ∠=∠+∠=︒+︒，9045NMO POM x ∠=︒-∠=︒-︒， ∴45PMO PMB NMO x POM ∠=∠+∠=︒+︒=∠，∴PO PM =，过点P 作PD x ⊥轴，垂足为点D ，∴22OM OD t ==，9045OPD POD x BMO ∠=︒-∠=︒-︒=∠，tan tan OPD BMO ∠=∠，OD BO PD MO =，442t t t=+， 14t =，22t =-（舍）∴8OM =，由（2）知，48m t OM =+==，∴CM y P 轴，∵90PNM POC ∠=∠=︒，∴BM OC P ， ∴四边形BOCM 是平行四边形，∴4832BOCM S BO OM =⨯=⨯=Y .故答案为32.【点睛】本题考查了一次函数和几何的综合题，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，添加适当的辅助线构造全等三角形是本题的关键．2．2018年12月10日，郑州市城乡规划局网站挂出《郑州都市区主城区停车场专项规划》，将停车纳入城市综合交通体系，计划到2030年，在主城区新建停车泊位33.04万个，2019年初，某小区拟修建地下停车库，如图是停车库坡道入口的设计图，其中MN 是水平线，MN ∥AD ，AD ⊥DE ，CF ⊥AB ，垂足分别为D ，F ，坡道AB 的坡度为1：3，DE ＝3米，点C 在DE 上，CD ＝0.5米，CD 是限高标志屏的高度（标志牌上写有：限高米），如果进入该车库车辆的高度不能超过线段CF 的长，则该停车库限高多少米？（结果精确到0.1米，参考数据2≈1.41， 3≈1.73）【答案】该停车库限高约为2.2米．【解析】【分析】据题意得出3tan B =，即可得出tan A ，在Rt △ADE 中，根据勾股定理可求得DE ，即可得出∠1的正切值，再在Rt △CEF 中，设EF ＝x ，即可求出x ，从而得出CF 3的长．【详解】解：由题意得，3tan 3B =∵MN ∥AD ，∴∠A ＝∠B ，∴tan A＝33，∵DE⊥AD，∴在Rt△ADE中，tan A＝DEAD，∵DE＝3，又∵DC＝0.5，∴CE＝2.5，∵CF⊥AB，∴∠FCE+∠CEF＝90°，∵DE⊥AD，∴∠A+∠CEF＝90°，∴∠A＝∠FCE，∴tan∠FCE＝33．在Rt△CEF中，设EF＝x，CF＝3x（x＞0），CE＝2.5，代入得（52）2＝x2+3x2，解得x＝1.25，∴CF＝3x≈2.2，∴该停车库限高约为2.2米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，坡面坡角问题和勾股定理，解题的关键是坡度等于坡角的正切值．3．如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点，点F在边BC的延长线上，且CF AE=，连接DE，DF，EF. FH平分EFB∠交BD于点H.（1）求证：DE DF⊥；（2）求证：DH DF=：（3）过点H作HM EF⊥于点M，用等式表示线段AB，HM与EF之间的数量关系，并证明.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）22EF AB HM =-，证明详见解析.【解析】【分析】（1）根据正方形性质， CF AE =得到DE DF ⊥.（2）由AED CFD △△≌，得DE DF =.由90ABC ∠=︒，BD 平分ABC ∠，得45DBF ∠=︒.因为FH 平分EFB ∠，所以EFH BFH ∠=∠.由于45DHF DBF BFH BFH ∠=∠+∠=︒+∠,45DFH DFE EFH EFH ∠=∠+∠=︒+∠, 所以DH DF =.（3）过点H 作HN BC ⊥于点N ，由正方形ABCD 性质，得222BD AB AD AB =+=.由FH 平分,EFB HM EF HN BC ∠⊥⊥，，得HM HN =.因为4590HBN HNB ∠=︒∠=︒，，所以22sin 45HN BH HN HM ===︒. 由22cos 45DF EF DF DH ===︒，得22EF AB HM =-. 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AD CD =，90EAD BCD ADC ∠=∠=∠=︒.∴90EAD FCD ∠=∠=︒.∵CF AE =。

中考数学解直角三角形练习

中考数学解直角三角形练习第一课时(锐角三角函数)课标要求1、通过实例认识直角三角形的边角关系：即锐角三角函数（sinA 、cosA 、tanA 、cotA ）2、熟知300、450、600角的三角函数值3、会用计算器求锐角的三角函数值：以及由已知的三角函数值求相应的锐角。

4、通过特殊角三角函数值：知道互余两角的三角函数的关系。

5、了解同角三角函数的平方关系。

sin 2α+cos 2α=1：倒数关系tan α·cot α=1.6、熟知直角三角形中：300角的性质。

中招考点1、锐角三角函数的概念：锐角三角函数的性质。

2、 300、450、600角的三角函数值及计算代数式的值。

3、运用计算器求的三角函数值或由锐角三角函数值求角度。

典型例题[例题1] 选择题（四选一）1、如图19-1：在Rt △ABC 中：CD 是斜边AB 上的高：则下列线段比中不等于sinA 的是（）A. AC CDB. CB BDC.AB CBD.CBCD分析：sinA=AC CD ； sinA=sin ∠BCD=BC BD ;sinA= ABBC；从而判断D 不正确。

故应选D.。

2、在Rt △ABC 中：∠C ＝900：∠A ＝∠B ：则cosA 的值是（） A.21B. 22 C.23 D.1分析：先求出∠A 的度数：因为∠C ＝900：∠A ＝∠B ：故∠A ＝∠B ＝450：再由特殊角的三角函数值可得：cosA=cos450=22故选B.。

3、在△ABC 中：∠C ＝900：sinA=23 ；则cosB 的值为（）A. 21B. 22C.23D.33分析：方法一：因为sinA=23；故锐角A ＝600。

因为∠C ＝900：所以∠B ＝300.cosB=23.故选C.方法二：因为 ∠C ＝900：故 ∠A 与 ∠B 互余.所以cosB=sin A ＝23.故选C..4、如图19-2：在△ABC 中：∠C ＝900：sinA=53.则BC ：AC 等于（）A C图19-1A. 3：4B. 4：3C.3：5D.4：5 分析：因为∠C ＝900：sinA ＝53 ；又sinA=AB BC .所以AB BC ＝53；不妨设BC ＝3k ；AB=5k ；由勾股定理可得AC ＝22BC AB -＝4k ；所以BC ：AC ＝3k:4k=3:4故选A.。

2020年中考数学试题解直角三角形汇总篇含解析

2020年中考数学试题分类汇编之七解直角三角形一、选择题1．（2020安徽）（4分）如图，Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，点D 在AC 上，DBC A ∠=∠．若4AC =，4cos 5A =，则BD 的长度为( )A ．94B ．125C ．154D ．4【解答】解：90C ∠=︒，4AC =，4cos 5A =， 5cos ACAB A∴==，∴3BC =，DBC A ∠=∠． 4cos cos 5BC DBC A BD ∴∠=∠==， ∴515344BD =⨯=，故选：C ．2．(2020杭州)（3分）如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，设∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，则（）A ．c ＝b sin BB ．b ＝c sin BC ．a ＝b tan BD ．b ＝c tan B解：∵Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ， ∴sin B =bc ，即b ＝c sin B ，故A 选项不成立，B 选项成立；tan B =ba，即b ＝a tan B ，故C 选项不成立，D 选项不成立．故选：B ．3．(2020天津)2sin 45︒的值等于（）A ．1BCD ．2答案:B4.（2020河南）如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒．边BC 在x 轴上，顶点,A B 的坐标分别为()2,6-和()7,0．将正方形OCDE 沿x 轴向右平移当点E 落在AB 边上时，点D 的坐标为（）A. 3,22⎛⎫⎪⎝⎭B. ()2,2C. 11,24⎛⎫⎪⎝⎭D. ()4,2【答案】B【详解】解：由题意知：()2,0,C - 四边形COED 为正方形，,CO CD OE ∴== 90,DCO ∠=︒()()2,2,0,2,D E ∴-如图，当E 落在AB 上时，()()2,6,7,0,A B -6,9,AC BC ∴==由tan ,AC EO ABC BC O B'∠=='62,9O B∴='3,O B '∴=734,2,OO OC ''∴=-==()2,2.D ∴故选.B5.(2020苏州）.如图，小明想要测量学校操场上旗杆AB 的高度，他作了如下操作：（1）在点C 处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角ACE α∠=；（2）量得测角仪的高度CD a =；（3）量得测角仪到旗杆的水平距离DB b =．利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为（）A. tan a b α+B. sin a b α+C. tan ba α+D.sin b a α+【答案】A【详解】延长CE 交AB 于F ，如图，根据题意得，四边形CDBF 为矩形，∴CF=DB=b ，FB=CD=a ，在Rt∴ACF 中，∴ACF=α，CF=b ， tan∴ACF=AFCF∴AF=tan tan CF ACF b α∠=, AB=AF+BF=tan a b α+，故选：A ．6．（2020贵州黔西南）（4分）如图，某停车场入口的栏杆AB ，从水平位置绕点O 旋转到A ′B ′的位置，已知AO 的长为4米．若栏杆的旋转角∠AOA ′＝α，则栏杆A 端升高的高度为（）A ．4sinα米 B ．4sin α米 C ．4cosα米 D ．4cos α米解：过点A ′作A ′C ⊥AB 于点C ，由题意可知：A ′O ＝AO ＝4， ∴sin α=A′CA′O， ∴A ′C ＝4sin α，故选：B ．7.（2020长沙）从一艘船上测得海岸上高为42米的灯塔顶部的仰角是30度，船离灯塔的水平距离为（） A. 423米 B. 143米C. 21米D. 42米【答案】A8.（2020重庆A 卷）如图，在距某居民楼AB 楼底B 点左侧水平距离60m 的C 点处有一个山坡，山坡CD 的坡度（或坡比）1:0.75i =，山坡坡底C 点到坡顶D 点的距离45m CD =，在坡顶D 点处测得居民楼楼顶A 点的仰角为28°，居民楼AB 与山坡CD 的剖面在同一平面内，则居民楼AB 的高度约为（）（参考数据：sin 280.47︒≈，cos280.88︒≈，tan 280.53︒≈）BA. 76.9mB. 82.1mC. 94.8mD. 112.6m【答案】B解：如图，由题意得，∠ADF ＝28°，CD ＝45，BC ＝60，在Rt DEC 中，∵山坡CD 的坡度i ＝1：0.75， ∴DE EC ＝10.75＝43，设DE ＝4x ，则EC ＝3x ，由勾股定理可得CD ＝5x ，又CD ＝45，即5x ＝45， ∴x ＝9，∴EC ＝3x ＝27，DE ＝4x ＝36＝FB ， ∴BE ＝BC +EC ＝60+27＝87＝DF ，在Rt ADF 中，AF ＝tan28°×DF ≈0.53×87≈46.11， ∴AB ＝AF +FB ＝46.11+36≈82.1，故选：B ．9.（2020重庆B 卷）如图，垂直于水平面的5G 信号塔AB 建在垂直于水平面的悬崖边B 点处，某测量员从山脚C 点出发沿水平方向前行78米到D 点（点A ，B ，C 在同一直线上），再沿斜坡DE 方向前行78米到E 点（点A ，B ，C ，D ，E 在同一平面内），在点E 处测得5G 信号塔顶端A 的仰角为43°，悬崖BC 的高为144.5米，斜坡DE 的坡度（或坡比）i =1∶2.4，则信号塔AB 的高度约为（）（参考数据：sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93）F D CA.23米B.24米C.24.5米D.25米解析：如图，作EF ⊥CD 于F ，EG ⊥BC 于G.易求得EF=30，DF=72，EG=150，AG=139.5.并注意AB+BC=AG+CG.答案D.10．（2020四川南充）（4分）如图，点A ，B ，C 在正方形网格的格点上，则sin ∠BAC ＝（）A ．√26B ．√2626C ．√2613D ．√1313【解答】解：如图，作BD ⊥AC 于D ，由勾股定理得，AB =√32+22=√13，AC =√32+32=3√2， ∵S △ABC =12AC •BD =12×3√2•BD =12×1×3， ∴BD =√22，∴sin ∠BAC =BDAB =√2213=√2626．故选：B ．11．（2020浙江温州）（4分）如图，在离铁塔150米的A 处，用测倾仪测得塔顶的仰角为α，测倾仪高AD 为1.5米，则铁塔的高BC为（）A．（1.5+150tanα）米B．（1.5+150tanα）米C．（1.5+150sinα）米D．（1.5+150sinα）米解：过点A作AE⊥BC，E为垂足，如图所示：则四边形ADCE为矩形，AE＝150，∴CE＝AD＝1.5，在△ABE中，∵tanα=BEAE=BE150，∴BE＝150tanα，∴BC＝CE+BE＝（1.5+150tanα）（m），故选：A．二、填空题12.（2020乐山）如图是某商场营业大厅自动扶梯示意图．自动扶梯AB的倾斜角为30，在自动扶梯下方地面C处测得扶梯顶端B的仰角为60 ，A、C之间的距离为4m．则自动扶梯的垂直高度BD=_________m．（结果保留根号）【答案】23【详解】∴∴BAC+∴ABC=∴BCD=60°，∴BAC=30°，∴∴ABC=30°，∴∴ABC=∴BAC ， ∴BC=AC=4，在Rt∴BCD 中，BD=BCsin60°=4×32=23，故答案为：23．13．(2020山东枣庄)（4分）人字梯为现代家庭常用的工具（如图）．若AB ，AC 的长都为2m ，当50α=︒时，人字梯顶端离地面的高度AD 是 1.5 m ．（结果精确到0.1m ，参考依据：sin500.77︒≈，cos500.64︒≈，tan50 1.19)︒≈ 解：2AB AC m ==，AD BC ⊥，90ADC ∴∠=︒，sin5020.77 1.5()AD AC m ∴=︒=⨯≈，故答案为1.5．14．（2020贵州遵义）（4分）构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图．在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝30°，延长CB 使BD ＝AB ，连接AD ，得∠D ＝15°，所以tan15°=AC CD =12+√3=2−√3(2+√3)(2−√3)=2−√3．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（）A ．√2+1B ．√2−1C ．√2D ．12【解答】解：在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝45°，延长CB 使BD ＝AB ，连接AD ，得∠D ＝22.5°，设AC ＝BC ＝1，则AB ＝BD =√2， ∴tan22.5°=ACCD =11+√2=√2−1，故选：B ．15．（2020四川自贡）（4分）如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形ABCD ，DC ∥AB ．BC 长6米，坡角β为45°，AD 的坡角α为30°，则AD 长为 6√2 米（结果保留根号）．【解答】解：过点D 作DE ⊥AB 于E ，过点C 作CF ⊥AB 于F ．∵CD ∥AB ，DE ⊥AB ，CF ⊥AB ， ∴DE ＝CF ，在Rt △CFB 中，CF ＝BC •sin45°＝3√2（米）， ∴DE ＝CF ＝3√2（米），在Rt △ADE 中，∵∠A ＝30°，∠AED ＝90°， ∴AD ＝2DE ＝6√2（米），故答案为6√2．16．（2020山东泰安）（4分）如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地．BC ∥AD ，BE ⊥AD ，斜坡AB 长26m ，斜坡AB 的坡比为12：5．为了减缓坡面，防止山体滑坡，学校决定对该斜坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡．如果改造时保持坡脚A 不动，则坡顶B 沿BC 至少向右移 10 m 时，才能确保山体不滑坡．（取tan50°＝1.2）解：在BC 上取点F ，使∠F AE ＝50°，过点F 作FH ⊥AD 于H ， ∵BF ∥EH ，BE ⊥AD ，FH ⊥AD ，∴四边形BEHF 为矩形， ∴BF ＝EH ，BE ＝FH ，∵斜坡AB 的坡比为12：5， ∴BE AE=125，设BE ＝12x ，则AE ＝5x ，由勾股定理得，AE 2+BE 2＝AB 2，即（5x ）2+（12x ）2＝262，解得，x ＝2， ∴AE ＝10，BE ＝24， ∴FH ＝BE ＝24，在Rt △F AH 中，tan ∠F AH =EHAH ， ∴AH =EHtan50°=20， ∴BF ＝EH ＝AH ﹣AE ＝10，∴坡顶B 沿BC 至少向右移10m 时，才能确保山体不滑坡，故答案为：10．三、解答题17．（2020安徽）（8分）如图，山顶上有一个信号塔AC ，已知信号塔高15AC =米，在山脚下点B 处测得塔底C 的仰角36.9CBD ∠=︒，塔顶A 的仰角42.0ABD ∠=︒，求山高CD （点A ，C ，D 在同一条竖直线上）．（参考数据：tan36.90.75︒≈，sin36.90.60︒≈，tan42.00.90︒≈．)【解答】解：由题意，在Rt ABD ∆中，tan ADABD BD∠=， tan 42.00.9ADBD∴︒=≈， 0.9AD BD ∴≈，在Rt BCD ∆中，tan CDCBD BD∠=， tan36.90.75CDBD∴︒=≈， 0.75CD BD ∴≈， AC AD CD =-， 150.15BD ∴=，100∴=米，BD∴==（米)，0.7575CD BD答：山高CD为75米．18．（2020成都）（8分）成都“339”电视塔作为成都市地标性建筑之一，现已成为外地游客到成都旅游打卡的网红地．如图，为测量电视塔观景台A处的高度，某数学兴趣小组在电视塔附近一建筑物楼项D处测得塔A处的仰角为45︒，塔底部B处的俯角为22︒．已知建筑物的高CD约为61米，请计算观景台的高AB的值．（结果精确到1米；参考数据：sin220.37︒≈︒≈，tan220.40)︒≈，cos220.93【解答】解：过点D作DE AB⊥于点E，根据题意可得四边形DCBE是矩形，BE DC==，DE BC∴=，61在Rt ADE∆中，∠=︒，45ADE∴=，AE DEAE DE BC ∴==，在Rt BDE ∆中，22BDE ∠=︒，61152.5tan 220.40BE DE ∴=≈≈︒， 152.561214AB AE BE DE CD ∴=+=+=+≈（米)．答：观景台的高AB 的值约为214米．19．（2020陕西）如图所示，小明家与小华家住在同一栋楼的同一单元，他俩想测算所住楼对面商业大厦的高MN ．他俩在小明家的窗台B 处，测得商业大厦顶部N 的仰角∠1的度数，由于楼下植物的遮挡，不能在B 处测得商业大厦底部M 的俯角的度数．于是，他俩上楼来到小华家，在窗台C 处测得大厦底部M 的俯角∠2的度数，竟然发现∠1与∠2恰好相等．已知A ，B ，C 三点共线，CA ⊥AM ，NM ⊥AM ，AB ＝31m ，BC ＝18m ，试求商业大厦的高MN ．【分析】过点C 作CE ⊥MN 于点E ，过点B 作BF ⊥MN 于点F ，可得四边形AMEC 和四边形AMFB 均为矩形，可以证明△BFN ≌△CEM ，得NF ＝EM ＝49，进而可得商业大厦的高MN ．【解答】解：如图，过点C 作CE ⊥MN 于点E ，过点B 作BF ⊥MN 于点F ，∴∠CEF ＝∠BFE ＝90°，∵CA ⊥AM ，NM ⊥AM ，∴四边形AMEC 和四边形AMFB 均为矩形，∴CE ＝BF ，ME ＝AC ，∠1＝∠2，∴△BFN ≌△CEM （ASA ），∴NF ＝EM ＝31+18＝49，由矩形性质可知：EF ＝CB ＝18，∴MN ＝NF +EM ﹣EF ＝49+49﹣18＝80（m ）．答：商业大厦的高MN 为80m ．20．(2020天津)如图，A ，B 两点被池塘隔开，在AB 外选一点C ，连接AC ，BC ．测得221BC m =，45ACB ∠=︒，58ABC ∠=︒．根据测得的数据，求AB 的长（结果取整数）．参考数据：sin580.85︒≈，cos580.53︒≈，tan58 1.60︒≈．解：如图，过点A 作AH CB ⊥，垂足为H ．根据题意，45ACB ∠=︒，58ABC ∠=︒，221BC =．在Rt CAH ∆中，tan AH ACH CH∠= tan 45AH CH AH ∴==︒．在Rt BAH ∆中，tan AH ACH CH ∠=， tan 45AH CH AH ∴==︒ 在Rt BAH ∆中，tan AH ABH BH ∠=，sin AH ABH AB∠= tan 58AH BH ∴=︒，sin 58AH AB =︒又CB CH BH =+， 221tan 58AH AH ∴=+︒，可得221tan 581tan 58AH ⨯︒=+︒()221tan 58221 1.601601tan 58sin 58(1 1.60)0.85AB ⨯︒⨯∴=≈=+︒⋅︒+⨯答：AB 的长约为160m ．21.（2020河南）.位于河南省登封市境内元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界文化遗产之一．某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度．如图所示，他们在地面一条水平步道MP 上架设测角仪，先在点M 处测得观星台最高点A 的仰角为22︒，然后沿MP 方向前进16m 到达点N 处，测得点A 的仰角为45︒．测角仪的高度为1.6m ， ()1求观星台最高点A 距离地面的高度(结果精确到0.1m ．参考数据：220.37,220. 93 , 22 1.41sin cos tan ︒≈︒≈︒≈≈)；()2“景点简介”显示，观星台的高度为12.6m ，请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议．【答案】（1）12.3m ；（2）0.3m ，多次测量，求平均值【详解】解：（1）如图，过点A 作AE ⊥MN 交MN 的延长线于点E ，交BC 的延长线于点D ，设AD 的长为xm ，∵AE ⊥ME ，BC ∥MN ，∴AD ⊥BD ，∠ADC=90°，∵∠ACD=45°，∴CD=AD=xm ，BD=BC+CD=（16+x ）m ，由题易得，四边形BMNC 为矩形，∵AE ⊥ME ，∴四边形CNED 为矩形，∴DE=CN=BM=1.6m ，在Rt △ABD 中，tan ABD=0.4016AD x BD x ==+∠，解得：10.7x ≈，即AD=10.7m ，AE=AD+DE=10.7+1.6=12.3m ，答：观星台最高点A 距离地面的高度为12.3m ．（2）本次测量结果的误差为：12.6-12.3=0.3m ，减小误差的合理化建议：多次测量，求平均值．22.（2020江西）如图1是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图，量得托板长120mm AB =，支撑板长80mm CD =，底座长90mm DE =，托板AB 固定在支撑板顶端点C 处，且40mm CB =，托板AB 可绕点C 转动，支撑板CD 可绕点D 转动.（结果保留小数点后一位）（1）若80DCB ︒∠=，60CDE ︒∠=，求点A 到直线DE 的距离；（2）为了观看舒适，在（1）的情况下，把AB 绕点C 逆时针旋转10后，再将CD 绕点D 顺时针旋转，使点B 落在直线DE 上即可，求CD 旋转的角度.（参考数据：sin 400.643,cos 400.766︒︒≈≈，tan 400.839︒≈,sin 26.60.448≈,cos 26.60.894,tan 26.60.500︒︒≈≈ 1.732≈）【解析】（1）如图1，过点C 作CH∴DE 于点H.∴CD80，∴CDE=60°，∴sin60°=2380==CH CD CH ， ∴28.69732.140340≈⨯≈=CH作AM∴DE 于点M ，CN∴AM 于点N.∴MN=CH=340，∴NCD=∴CDE=60°∴∴DCB=80°，∴∴ACN=180°-80°-60°=40°. ∴sin∴ACN=,80,=AC ACAN ∴AN=80sin40°≈80×0.643≈51.44. ∴AM=AN+NM≈51.44+69.28≈120.7mm.（2）解法一：∴AB 绕着点C 逆时针旋转10°，∴∴DCB=90°.如图2，连接BD.∴DC=80，CB=40.∴tan∴CDB=4080BC CD ==0.5. ∴∴CDB≈26.6°.∴∴BDE≈60°-26.6°=33.4°答：CD 旋转的度数约为33.4°解法二：当点B落在DE上时，如图3在Rt∴BCD中，BC=40，CD=80（∴DCB=90°，同解法一）∴tan∴CDB=4080BCCD==0.5.∴∴CDB≈26.6∴∴CDC'=∴BDC'-∴BDC=60°-26.6°=33.4°答：CD旋转的度数约为33.4°23．（2020南京）（8分）如图，在港口A处的正东方向有两个相距6km的观测点B、C．一艘轮船从A处出发，沿北偏东26︒方向航行至D处，在B、C处分别测得45ABD∠=︒、37C∠=︒．求轮船航行的距离AD．（参考数据：sin260.44︒≈，cos260.90︒≈，tan260.49︒≈，sin370.60︒≈，cos370.80︒≈，tan370.75︒≈．)解：如图，过点D 作DH AC ⊥于点H ，在Rt DCH ∆中，37C ∠=︒，tan37DH CH ∴=︒，在Rt DBH ∆中，45DBH ∠=︒，tan 45DH BH ∴=︒， BC CH BH =-， ∴6tan37tan 45DH DH -=︒︒，解得18DH ≈，在Rt DAH ∆中，26ADH ∠=︒，20cos26DH AD ∴=≈︒．答：轮船航行的距离AD 约为20km ．24.（2020贵阳）脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图∴是政府给贫困户新建的房屋，如图∴是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高AB 所在的直线．为了测量房屋的高度，在地面上C 点测得屋顶A 的仰角为35︒，此时地面上C 点、屋檐上E 点、屋顶上A 点三点恰好共线，继续向房屋方向走8m 到达点D 时，又测得屋檐E 点的仰角为60︒，房屋的顶层横梁12EF m =，//EF CB ，AB 交EF 于点G （点C ，D ，B 在同一水平线上）．（参考数据：sin350.6︒≈，cos350.8︒≈，tan350.7︒≈ 1.7≈）（1）求屋顶到横梁的距离AG ；（2）求房屋的高AB （结果精确到1m ）．【答案】（1）4.2米；（2）14米【详解】解：（1）∴房屋的侧面示意图是轴对称图形，AB 所在直线是对称轴，//EF CB ，∴AG EF ⊥，162EG EF ==，35AEG ACB ∠=∠=︒．在Rt AGE ∆中，90AGE ∠=︒，35AEG ∠=°， ∴tan AEG AG EG∠=，6EG =，tan350.7︒≈． ∴6tan3542AG =≈°（米）答：屋顶到横梁的距离AG 约是4.2米．（2）过点E 作EH CB ⊥于点H ，设EH x =，在Rt EDH ∆中，90EHD ∠=︒，60EDH ∠=°， ∴tan EH EDH DH ∠=，∴tan 60x DH =°，在Rt ECH ∆中，90EHC ∠=︒，35ECH ∠=°， ∴tan EH ECH CH ∠=，∴tan 35x CH =°． ∴8CH DH CD -==， ∴8tan 35tan 60x x -=°°，∴tan350.7︒≈ 1.7≈，解得9.52x ≈．∴ 4.29.5213.7214AB AG BG =+=+=≈（米）答：房屋的高AB 约是14米．25.（2020湖北黄冈）因东坡文化远近闻名的遗爱湖公园，“国庆黄金周”期间，游人络绎不绝，现有一艘游船载着游客在遗爱湖中游览．当船在A 处时，船上游客发现岸上1P 处的临皋亭和2P 处的遗爱亭都在东北方向；当游船向正东方向行驶600m 到达B 处时，游客发现遗爱亭在北偏西15°方向；当游船继续向正东方向行驶400m 到达C 处时，游客发现临皋亭在北偏西60°方向．（1）求A 处到临皋亭P 处的距离．（2）求临皋亭1P 处与遗爱亭2P 处之间的距离（计算结果保留根号）解：（1）依题意有22145,75,30P AB P BA PCA ∠=︒∠=︒∠=︒．过点1P 作1PM AC ⊥于点M ．设1 m PM x =，则在1Rt APM 中，11m m, AM PM x AP ==．在1Rt PMC 中，1122 m, m PC PM x MC ===．又AC AB BC AM MC =+=+，600400.1)x x ∴=+∴=11)AP ∴==∴点A 处与点1P 处临皋亭之间的距离为．（2）过点B 作2BN AP ⊥于点N ．在Rt ABN △中，45ABN ∠=︒．AN BN ∴====．在2Rt NP B △中，2230NBP P BA ABN ∠=∠-∠=︒．2NP ∴===．22AP AN NP ∴=+=．1221PP AP AP ∴=-==．∴点1P 处临亭与点2P 处遗爱亭之间的距离为．26.（2020山东青岛）.如图，在东西方向的海岸上有两个相距6海里的码头B ，D ．某海岛上的观测塔A 距离海岸5海里，在A 处测得B 位于南偏西22︒方向．一艘渔船从D 出发，沿正北方向航行至C 处，此时在A 处测得C 位于南偏东67︒方向，求此时观测塔A 与渔船C 之间的距离（结果精确到0.1海里）．（参考数据:3sin 228o≈，15cos2216︒≈，2tan 225︒≈，12sin 6713︒≈，5cos 6713︒≈，12tan 675︒≈）【答案】4.3海里【解析】【分析】过点A作AE∴BD，过点C作CF∴AE，由正切函数与正弦函数的定义，以及矩形的性质，即可求解．【详解】过点A作AE∴BD，过点C作CF∴AE，则四边形CDEF是矩形，∴∴BAE=22°，AE=5（海里），∴BE=AE∙tan22°=5×25=2（海里），∴DE=BD-BE=6-2=4（海里），∴四边形CDEF是矩形，∴CF=DE=4（海里），∴AC=CF÷sin67°=4÷1213≈4.3（海里）．27．（2020新疆生产建设兵团）（9分）如图，为测量建筑物CD的高度，在A点测得建筑物顶部D点的仰角为22°，再向建筑物CD前进30米到达B点，测得建筑物顶部D点的仰角为58°（A，B，C三点在一条直线上），求建筑物CD的高度．（结果保留整数．参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）解：在Rt△BDC中，∵tan∠DBC=CD BC，∴1.60=CD BC， ∴BC =CD1.60，在Rt △ACD 中， ∵tan ∠DAC =CDAC ， ∴0.40=CD AC ， ∴AC =CD0.40，∴AB ＝AC ﹣BC =CD 0.40−CD0.60=30，解得：CD ＝16（米），答：建筑物CD 的高度为16米．28.(2020甘肃定西）图①是甘肃省博物馆的镇馆之宝——铜奔马，又称“马踏飞燕”，于1969年10月出土于武威市的雷台汉墓，1983年10月被国家旅游局确定为中国旅游标志.在很多旅游城市的广场上都有“马踏飞燕”雕塑.某学习小组把测量本城市广场的“马踏飞燕”雕塑（图②）最高点离地面的高度作为一次课题活动，同学们制定了测量方案，并完成了实地测量，测得结果如下表：课题测量“马踏飞燕”雕塑最高点离地面的高度测量示意图如图，雕塑的最高点到地面的高度为，在测点用仪器测得点的仰角为，前进一段距离到达测点，再用该仪器测得点的仰角为，且点，，，，，均在同一竖直平面内，点，，在同一条直线上. 的度数的度数的长度仪器（）的高度测量数据 31°42°5米1.5米请你根据上表中的测量数据，帮助该小组求出“马踏飞燕”雕塑最高点离地面的高度（结果保留一位小数）.（参考数据：sin310.52︒≈，cos310.86︒≈，tan310.60︒≈，sin 420.67︒≈，cos420.74︒≈，tan 420.90︒≈）.解：延长DF 交AB 于点G ，设BG 的长为x . 在Rt BFG ∆中， ∵tan BG FG β=，∴tan 42xFG =︒. 在Rt BDG ∆中， ∵tan BG DG α=，∴tan 31xDG =︒. ∵5DG FG DF CE -===，∴5tan 31tan 42x x -=︒︒.∴50.60.9x x -=，解得9x =. ∴9 1.510.5AB BG GA =+=+=答：“马踏飞燕”雕塑最高点离地面的高度大约是10.5米.29．（2020辽宁抚顺）（12分）如图，我国某海域有A ，B 两个港口，相距80海里，港口B 在港口A 的东北方向，点C 处有一艘货船，该货船在港口A 的北偏西30°方向，在港口B 的北偏西75°方向，求货船与港口A 之间的距离．（结果保留根号）解：过点A作AD⊥BC于D，如图所示：由题意得：∠ABC＝180°﹣75°﹣45°＝60°，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，在Rt△ABD中，∠DAB＝90°﹣60°＝30°，AD＝AB•sin∠ABD＝80×sin60°＝80×＝40，∵∠CAB＝30°+45°＝75°，∴∠DAC＝∠CAB﹣∠DAB＝75°﹣30°＝45°，∴△ADC是等腰直角三角形，∴AC＝AD＝×40＝40（海里）．答：货船与港口A之间的距离是40海里．30．（2020吉林）（7分）如图，某班数学小组测量塔的高度，在与塔底部B相距35m的C 处，用高1.5m的测角仪CD测得该塔顶端A的仰角∠EDA为36°．求塔AB的高度（结果精确到1m）．（参考数据：sin36°＝0.59，cos36°＝0.81，tan36°＝0.73）解：设AB与DE交于点F，如图所示：由题意得：DF⊥AB，BE＝CD＝1.5m，DF＝BC＝35m，在Rt△ADF中，∠AFD＝90°，tan∠EDA＝，∴AF＝DF×tan36°≈35×0.73＝25.55（m），∴AB＝AF+BF＝25.55+1.5≈27（m）；答：塔AB的高度约27m．31．（2020内蒙古呼和浩特）（7分）如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行38km到B 港，然后再沿北偏西42°方向航行至C港，已知C港在A港北偏东20°方向．（1）直接写出∠C的度数；（2）求A、C两港之间的距离．（结果用含非特殊角的三角函数及根式表示即可）解：（1）如图，由题意得：∠ACB＝20°+42°＝62°；（2）由题意得，∠CAB＝65°﹣20°＝45°，∠ACB＝42°+20°＝62°，AB＝38，过B作BE⊥AC于E，如图所示：∴∠AEB＝∠CEB＝90°，在Rt△ABE中，∵∠EAB＝45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∵AB＝38，∴AE＝BE＝AB＝，在Rt△CBE中，∵∠ACB＝62°，tan∠ACB＝，∴CE＝＝，∴AC＝AE+CE＝，∴A，C两港之间的距离为（）km．32．（2020四川遂宁）（8分）在数学实践与综合课上，某兴趣小组同学用航拍无人机对某居民小区的1、2号楼进行测高实践，如图为实践时绘制的截面图．无人机从地面点B垂直起飞到达点A处，测得1号楼顶部E的俯角为67°，测得2号楼顶部F的俯角为40°，此时航拍无人机的高度为60米，已知1号楼的高度为20米，且EC和FD分别垂直地面于点C和D，点B为CD的中点，求2号楼的高度．（结果精确到0.1）（参考数据sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，tan67°≈2.36）【解答】解：过点E、F分别作EM⊥AB，FN⊥AB，垂足分别为M、N，由题意得，EC＝20，∠AEM＝67°，∠AFN＝40°，CB＝DB＝EM＝FN，AB＝60，∴AM＝AB﹣MB＝60﹣20＝40，在Rt△AEM中，∵tan∠AEM=AM EM，∴EM=AMtan∠AEM=40tan67°≈16.9，在Rt△AFN中，∵tan∠AFN=AN FN，∴AN＝tan40°×16.9≈14.2，∴FD＝NB＝AB﹣AN＝60﹣14.2＝45.8，答：2号楼的高度约为45.8米．33．（2020湖南岳阳）（8分）（2020•岳阳）共抓长江大保护，建设水墨丹青新岳阳，推进市中心城区污水系统综合治理项目，需要从如图A，B两地向C地新建AC，BC两条笔直的污水收集管道，现测得C地在A地北偏东45°方向上，在B地北偏西68°向上，AB 的距离为7km，求新建管道的总长度．（结果精确到0.1km，sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，√2≈1.41）【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，根据题意可知：AB＝7，∠ACD＝45°，∠CBD＝90°﹣68°＝22°，∴AD＝CD ∴BD＝AB﹣AD＝7﹣CD，在Rt△BCD中，∵tan∠CBD=CD BD，∴CD7−CD≈0.40，∴CD＝2，∴AD＝CD＝2，BD＝7﹣2＝5，∴AC＝2√2≈2.83，BC=CDsin22°≈20.37≈5.41，∴AC+BC≈2.83+5.41≈8.2（km）．答：新建管道的总长度约为8.2km．34．（2020广西南宁）（8分）如图，一艘渔船位于小岛B的北偏东30°方向，距离小岛40nmile 的点A处，它沿着点A的南偏东15°的方向航行．（1）渔船航行多远距离小岛B最近（结果保留根号）？（2）渔船到达距离小岛B最近点后，按原航向继续航行20nmile到点C处时突然发生事故，渔船马上向小岛B上的救援队求救，问救援队从B处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是多少（结果保留根号）？解：（1）过B作BM⊥AC于M，由题意可知∠BAM＝45°，则∠ABM＝45°，在Rt△ABM中，∵∠BAM＝45°，AB＝40nmile，∴BM＝AM＝AB＝20nmile，∴渔船航行20nmile距离小岛B最近；（2）∵BM＝20nmile，MC＝20nmile，∴tan∠MBC＝＝＝，∴∠MBC＝60°，∴∠CBG＝180°﹣60°﹣45°﹣30°＝45°，在Rt△BCM中，∵∠CBM＝60°，BM＝20nmile，∴BC＝＝2BM＝40nmile，故救援队从B处出发沿点B的南偏东45°的方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是40nmile．35．（7分）（2020•常德）如图1是自动卸货汽车卸货时的状态图，图2是其示意图．汽车的车厢采用液压机构、车厢的支撑顶杆BC的底部支撑点B在水平线AD的下方，AB与水平线AD之间的夹角是5°，卸货时，车厢与水平线AD成60°，此时AB与支撑顶杆BC的夹角为45°，若AC＝2米，求BC的长度．（结果保留一位小数）（参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，√2≈1.41）【解答】方法一：解：如图1，过点C作CF⊥AB于点F，在Rt△ACF中，∵sin∠CAB＝sin（60°+5°）＝sin65°=CF AC，∴CF＝AC•sin65°≈2×0.91＝1.82，在Rt△BCF中，∵∠ABC＝45°，∴CF＝BF，∴BC=√2CF＝1.41×1.82＝2.5662≈2.6，答：所求BC的长度约为2.6米．方法二：解：如图2，过点A作AE⊥BC于点E，在Rt△ACE中，∵∠C＝180°﹣65°﹣45°＝70°，∴cos C＝cos70°=CE AC，即CE＝AC×cos70°≈2×0.34＝0.68，sin C＝sin70°=AE AC，即AE＝AC×sin70°≈2×0.94＝1.88，又∵在Rt△AEB中，∠ABC＝45°，∴AE＝BE，∴BC＝BE+CE＝0.68+1.88＝2.56≈2.6，答：所求BC的长度约为2.6米．36．（2020贵州遵义）（10分）某校为检测师生体温，在校门安装了某型号测温门．如图为该测温门截面示意图，已知测温门AD的顶部A处距地面高为2.2m，为了解自己的有效测温区间．身高1.6m的小聪做了如下实验：当他在地面N处时测温门开始显示额头温度，此时在额头B处测得A的仰角为18°；在地面M处时，测温门停止显示额头温度，此时在额头C处测得A的仰角为60°．求小聪在地面的有效测温区间MN的长度．（额头到地面的距离以身高计，计算精确到0.1m，sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32）【解答】解：延长BC交AD于点E，则AE＝AD﹣DE＝0.6m．BE=AEtan18°≈1.875m，CE=AEtan60°≈0.374m．所以BC＝BE﹣CE＝1.528m．所以MN＝BC≈1.5m．答：小聪在地面的有效测温区间MN的长度约为1.5m．37．（10分）（2020•荆门）如图，海岛B在海岛A的北偏东30方向，且与海岛A相距20海里，一艘渔船从海岛B出发，以5海里/时的速度沿北偏东75°方向航行，同时一艘快艇从海岛A出发，向正东方向航行．2小时后，快艇到达C处，此时渔船恰好到达快艇正北方向的E处．（1）求∠ABE的度数；（2）求快艇的速度及C，E之间的距离．（参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，√3≈1.73）【解答】解：（1）过点B作BD⊥AC于点D，作BF⊥CE于点F，由题意得，∠NAB＝30°，∠GBE＝75°，∵AN∥BD，∴∠ABD＝∠NAB＝30°，而∠DBE＝180°﹣∠GBE＝180°﹣75°＝105°，∴∠ABE＝∠ABD+∠DBE＝30°+105°＝135°；（2）BE＝5×2＝10（海里），在Rt△BEF中，∠EBF＝90°﹣75°＝15°，∴EF＝BE×sin15°≈10×0.26＝2.6（海里），BF＝BE×cos15°≈10×0.97＝9.7（海里），在Rt△ABD中，AB＝20，∠ABD＝30°，∴AD＝AB×sin30°＝20×12=10（海里），BD＝AB×cos30°＝20×√32=10√3≈10×1.73＝17.3，∵BD⊥AC，BF⊥CE，CE⊥AC，∴∠BDC＝∠DCF＝∠BFC＝90°，∴四边形BDCF为矩形，∴DC＝BF＝9.7，FC＝BD＝17.3，∴AC＝AD+DC＝10+9.7＝19.7，CE＝EF+CF＝2.6+17.3＝19.9，设快艇的速度为v海里/小时，则v=19.72=9.85（海里/小时）．答：快艇的速度为9.85海里/小时，C，E之间的距离为19.9海里．38．（9分）（2020•烟台）今年疫情期间，针对各种入口处人工测量体温存在的感染风险高、效率低等问题，清华大学牵头研制一款“测温机器人”，如图1，机器人工作时，行人抬手在测温头处测量手腕温度，体温合格则机器人抬起臂杆行人可通行，不合格时机器人不抬臂杆并报警，从而有效阻隔病原体．（1）为了设计“测温机器人”的高度，科研团队采集了大量数据．下表是抽样采集某一地区居民的身高数据：测量对象男性（18～60岁）女性（18～55岁）抽样人数（人）20005000200002000500020000平均身高（厘米）173175176164165164根据你所学的知识，若要更准确的表示这一地区男、女的平均身高，男性应采用176厘米，女性应采用164厘米；（2）如图2，一般的，人抬手的高度与身高之比为黄金比时给人的感觉最舒适，由此利用（1）中的数据得出测温头点P距地面105厘米．指示牌挂在两臂杆AB，AC的连接点A处，A点距地面110厘米．臂杆落下时两端点B，C在同一水平线上，BC＝100厘米，点C在点P的正下方5厘米处．若两臂杆长度相等，求两臂杆的夹角．（参考数据表）计算器按键顺序计算结果（近似值）计算器按键顺序计算结果（近似值）0.178.70.284.3 1.7 5.73.5 11.3【解答】解：（1）用表格可知，男性应采用176厘米，女性应采用164厘米．故答案为176，164．（2）如图2中，∵AB ＝AC ，AF ⊥BC ， ∴BF ＝FC ＝50cm ，∠F AC ＝∠F AB ，由题意FC ＝10cm ， ∴tan ∠F AC =FCAF =5010=5， ∴∠F AC ＝78.7°，∴∠BAC ＝2∠F AC ＝157.4°，答：两臂杆的夹角为157.4°39．（2020山西）（10分）图①是某车站的一组智能通道闸机，当行人通过时智能闸机会自动识别行人身份，识别成功后，两侧的圆弧翼闸会收回到两侧闸机箱内，这时行人即可通过．图②是两圆弧翼展开时的截面图，扇形ABC 和DEF 是闸机的“圆弧翼”，两圆弧翼成轴对称，BC 和EF 均垂直于地面，扇形的圆心角∠ABC ＝∠DEF ＝28°，半径BA＝ED＝60cm，点A与点D在同一水平线上，且它们之间的距离为10cm．（1）求闸机通道的宽度，即BC与EF之间的距离（参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）；（2）经实践调查，一个智能闸机的平均检票速度是一个人工检票口平均检票速度的2倍，180人的团队通过一个智能闸机口比通过一个人工检票口可节约3分钟，求一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数．解：（1）连接AD，并向两方延长，分别交BC，EF于M，N，由点A，D在同一条水平线上，BC，EF均垂直于地面可知，MN⊥BC，MN⊥EF，所以MN的长度就是BC与EF之间的距离，同时，由两圆弧翼成轴对称可得，AM＝DN，在Rt△ABM中，∠AMB＝90°，∠ABM＝28°，AB＝60cm，∵sin∠ABM＝，∴AM＝AB•sin∠ABM＝60•sin28°≈60×0.47＝28.2，∴MN＝AM+DN+AD＝2AM+AD＝28.2×2+10＝66.4，∴BC与EF之间的距离为66.4cm；（2）设一个人工检票口平均每分钟检票通过的人数为x人，根据题意得，，解得：x＝30，经检验，x＝30是原方程的根，当x＝30时，2x＝60，答：一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数为60人．40．（2020青海）（9分）某市为了加快5G网络信号覆盖，在市区附近小山顶架设信号发射塔，如图所示．小军为了知道发射塔的高度，从地面上的一点A测得发射塔顶端P点的仰角是45°，向前走60米到达B点测得P点的仰角是60°，测得发射塔底部Q点的仰角是30°．请你帮小军计算出信号发射塔PQ的高度．（结果精确到0.1米，≈1.732）解：延长PQ交直线AB于点C，设PC＝x米．在直角△APC中，∠A＝45°，则AC＝PC＝x米；∵∠PBC＝60°∴∠BPC＝30°在直角△BPC中，BC＝PC＝x米，∵AB＝AC﹣BC＝60米，则x﹣x＝60，解得：x＝90+30，则BC＝（30+30）米．在Rt△BCQ中，QC＝BC＝（30+30）＝（30+10）米．∴PQ＝PC﹣QC＝90+30﹣（30+10）＝60+20≈94.6（米）．答：信号发射塔PQ的高度约是94.6米．41．（2020四川眉山）（10分）某数学兴趣小组去测量一座小山的高度，在小山顶上有一高度为20米的发射塔AB，如图所示．在山脚平地上的D处测得塔底B的仰角为30°，向小山前进80米到达点E处，测得塔顶A的仰角为60°，求小山BC的高度．解：设BC为x米，则AC＝（20+x）米，由条件知：∠DBC＝∠AEC＝60°，DE＝80米．在直角△DBC中，tan60°＝＝，则DC＝x米．∴CE＝（x﹣80）米．在直角△ACE中，tan60°＝＝＝．解得x＝10+40．答：小山BC的高度为（10+40）米．42．（2020•怀化）如图，某数学兴趣小组为测量一棵古树的高度，在距离古树A点处测得古树顶端D的仰角为30°，然后向古树底端C步行20米到达点B处，测得古树顶端D 的仰角为45°，且点A、B、C在同一直线上，求古树CD的高度．（已知：√2≈1.414，√3≈1.732，结果保留整数）解：由题意可知，AB＝20，∠DAB＝30°，∠C＝90°，∠DBC＝45°，∵△BCD是等腰直角三角形，∴CB＝CD，设CD＝x，则BC＝x，AC＝20+x，在Rt△ACD中，tan30°=CDCA=CDAB+CB=x20+x=√33，解得x＝10√3+10≈10×1.732+10＝27.32≈27，∴CD＝27，答：CD的高度为27米．43．（2020浙江宁波）（8分）图1是一种三角车位锁，其主体部分是由两条长度相等的钢条组成．当位于顶端的小挂锁打开时，钢条可放入底盒中（底盒固定在地面下），此时汽车可以进入车位；当车位锁上锁后，钢条按图1的方式立在地面上，以阻止底盘高度低于车位锁高度的汽车进入车位．图2是其示意图，经测量，钢条AB＝AC＝50cm，∠ABC ＝47°．（1）求车位锁的底盒长BC．（2）若一辆汽车的底盘高度为30cm，当车位锁上锁时，问这辆汽车能否进入该车位？（参考数据：sin47°≈0.73，cos47°≈0.68，tan47°≈1.07）【解答】解：（1）过点A作AH⊥BC于点H，∵AB＝AC，∴BH＝HC，在Rt△ABH中，∠B＝47°，AB＝50，∴BH＝AB cos B＝50cos47°≈50×0.68＝34，∴BC＝2BH＝68cm．（2）在Rt△ABH中，∴AH＝AB sin B＝50sin47°≈50×0.73＝36.5，∴36.5＞30，∴当车位锁上锁时，这辆汽车不能进入该车位．44．（2020海南）（10分）为了促进海口主城区与江东新区联动发展，文明东越江通道将于今年底竣工通车．某校数学实践活动小组利用无人机测算该越江通道的隧道长度．如图，隧道AB在水平直线上，且无人机和隧道在同一个铅垂面内，无人机在距离隧道450米的高度上水平飞行，到达点P处测得点A的俯角为30°，继续飞行1500米到达点Q处，测得点B的俯角为45°．（1）填空：∠A＝30度，∠B＝45度；（2）求隧道AB的长度（结果精确到1米）．（参考数据：≈1.414，≈1.732）解：（1）∵点P处测得点A的俯角为30°，点Q处测得点B的俯角为45°．∴∠A＝30度，∠B＝45度；故答案为：30，45；（2）如图，过点P作PM⊥AB于点M，过点Q作QN⊥AB于点N，则PM＝QN＝450，MN＝PQ＝1500，在Rt△APM中，∵tan A＝，∴AM＝＝＝450，在Rt△QNB中，∵tan B＝，∴NB＝＝＝450，∴AB＝AM+MN+NB＝450+1500+450≈2729（米）．答：隧道AB的长度约为2729米．45．（2020•株洲）某高速公路管理部门工作人员在对某段高速公路进行安全巡检过程中，发现该高速公路旁的一斜坡存在落石隐患．该斜坡横断面示意图如图所示，水平线l1∥l2，点A、B分别在l1、l2上，斜坡AB的长为18米，过点B作BC⊥l1于点C，且线段AC 的长为2√6米．（1）求该斜坡的坡高BC；（结果用最简根式表示）（2）为降低落石风险，该管理部门计划对该斜坡进行改造，改造后的斜坡坡角α为60°，。

中考数学复习《解直角三角形的应用-坡度坡角问题》专项练习题-附带有答案

中考数学复习《解直角三角形的应用-坡度坡角问题》专项练习题-附带有答案一、单选题1．如果一斜坡的坡比是1：2.4，那么该斜坡坡角的余弦值是（）A．125B．512C．513D．12132．某村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离为（）A．5cosαB．5cosαC．5sinαD．5sinα3．如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：2，堤高BC=4m，则坡面AB的长度是（）mA．8 B．16 C．4√5D．4√34．某时刻海上点P处有一客轮，测得灯塔A位于P的北偏东30°方向，且相距50海里．客轮以60海里/小时的速度沿北偏西60°方向航行23小时到达B处，那么tan∠BAP=（）A．45B．65C．√55D．2√555．如图，斜面AC的坡度为1：2，AC=3 √5米，坡顶有一旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连，若AB=10米，则旗杆BC的高度为（）A．5米B．6米C．8米D．（3+ √5）米6．如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为34°的斜坡，从A滑行至B，已知AB=500米，则这名滑雪运动员的高度下降了__米．(sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67)（）A．415 B．280 C．335 D．2507．如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，电梯坡面BC的坡度i=1：√3，则电梯坡面BC的坡角α为（）A．15°B．30°C．45°D．60°8．如图是某厂家新开发的一款摩托车，它的大灯射出的光线AB，AC与地面MN的夹角分别为8°和10°，该大灯照亮地面的宽度BC的长为3.5米，则该大灯距地面的高度为（）（参考数据：sin8°≈425tan8°≈17sin10°≈950tan10°≈528）A．3.5米B．2.5米C．4.5米D．5.5米二、填空题9．某人沿着坡度i=1：√3的山坡起点向上走了50米，则他离地面高米．（坡度：坡面铅直高度与水平宽度的比）10．如图，一辆小车沿着坡度为i=1：√3的斜坡向上行驶了90米，则此时该小车离水平面的垂直高度为米.11．如图，某单位门前原有四级台阶，每级台阶高为18cm，宽为30cm，为方便残疾人土，拟在门前台阶右侧改成斜坡，设台阶的起点为A点，斜坡的起点为C点，准备设计斜坡BC的坡度i＝1：5，则AC的长度是cm.12．如图，山脚下有一棵树AB，小强从点B沿山坡向上走50m到达点D，用高为1.5m的测角仪CD测得树顶为10°，已知山坡的坡脚为15°，则树AB的高= （精确到0.1m）（已知sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18，sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27）．13．江边有一处高10米，背水坡角为45°的防洪大堤，大堤的横截面为梯形ABCD，其中CD∥AB，∠DAB= 45°（如图）．某防洪指挥部发现该大堤急需加固，经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是沿背水坡面AD用土石进行加固，使上底加宽3米，加固后背水坡EF的坡比为1：√3．则加固后坝底增加的宽度AF=米．三、解答题14．为了学生的安全，某校决定把一段如图所示的步梯路段进行改造．已知四边形ABCD为矩形DE= 10m，其坡度为i1=1:√3，将步梯DE改造为斜坡AF，其坡度为i2=1:4，求斜坡AF的长度．（结果精确到0.01m，参考数据：√3≈1.732√17≈4.122）15．如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地BC//AD，BE⊥AD斜坡AB长26m，斜坡AB 的坡比为12：5为了减缓坡面，防止山体滑坡，学校决定对该斜坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡．（1）求BE的高度．（2）如果改造时保持坡脚A不动，则坡顶B沿BC至少向右移多少m时，才能确保山体不滑坡．(取tan50°≈1.2)16．我国南水北调中线工程的起点是丹江口水库，按照工程计划，需对原水库大坝进行混凝土培厚加高，使坝高由原来的162米增加到176.6米，以抬高蓄水位，如图是某一段坝体加高工程的截面示意图，其中原坝体的高为BE，背水坡坡角∠BAE=68°，新坝体的高为DE，背水坡坡角∠DCE=60°.求工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度AC.(结果精确到0.1米，参考数据：sin 68°≈0.93，cos 68°≈0.37，tan 68°≈2.5，√3≈1.73)17．为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，我省森林保护区开展了寻找古树活动．如图，发现古树AB是直立于水平面，为测量古树AB的高度，小明从古树底端B出发，沿水平方向行走了26米到达点C，然后沿斜坡CD前进，到达坡顶D点处，DC=BC.在点D处放置测角仪，测角仪支架DE高度为0.8米，在E 点处测得古树顶端A点的仰角∠AEF为15°（点A、B、C、D在同一平面内），斜坡CD的坡度（或坡比）i=1︰2.4.（1）求斜坡CD的高；（2）求古树AB的高？（已知sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15≈0.27°）18．某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地，如图所示，BC//AD,BE⊥AD，斜坡AB长√106m，坡度i=9:5．为了减缓坡面，防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该斜坡进行改造，为52地质人员勘测，当坡角不超过45∘时，可确保山体不滑坡．（1）求改造前坡顶到地面的距离BE．（2）如果改造时保持坡脚A不动，坡顶B沿BC削进到F处，问BF至少是多少米?答案1．D2．B3．C4．A5．A6．B7．B8．B9．2510．4511．27012．23.2m13．10√3−714．解：∵DE=10m，其坡度为i1=1:√3∴在Rt△DCE中∴解得DC=5∵四边形ABCD为矩形∴AB=CD=5∵斜坡AF的坡度为i2=1:4∴ABBF =14∴BF=4AB=20在Rt△ABF中AF=√AB2+BF2=5√17≈20.61（m）∴斜坡AF的长度为20.61米．15．（1）解：作∠DAG=50°，AG交BC于G，过点G作GH⊥AD于H则BEHG为矩形∴GH=BE BG=EH设BE=12xm∵斜坡AB的坡比为12：5∴AE=5xm由勾股定理得：(5x)2+(12x)2=262解得：x=2(负值舍去)∴BE=24m，AE=12m ∴GH=BE=24m；（2）解：在Rt△GAH中则24AH≈1.2解得：AH=20∴EH=AH−AE=10(m)∴BG=EH=10m 答：坡顶B沿BC至少向右移10m时，才能确保山体不滑坡．16．解：在Rt△BAE中，∠BAE=68°，BE=162米，∴AE= BEtan∠BAE ≈1622.5=64.8(米).在Rt△DEC中，∠DCE=60°，DE=176.6米，∴CE= DEtan∠DCE =√3≈102.08(米)∴AC=CE-AE≈102.08-64.8=37.28≈37.3(米)，即工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度约为37.3米. 17．（1）解：如图，作EM⊥BC交BC的延长线于M∵斜坡CD的坡度（或坡比）i=1：2.4，DC=BC=26米，设DM=x米，则CM=2.4x米在Rt△DCM中，∵DM2+CM2=DC2，∴x2+(2.4x)2=262，解得x=10，即斜坡CD的高度为10米.（2）解：作EN⊥AB于N由⑴知CM=24米，EM=10+0.8=10.8米，BM=BC+CM=26+24=50米∵EN⊥AB,EM⊥BC，AB⊥BC∴四边形ENBM是矩形.∴EN=BM=50米，BN=EM=10.8米.在Rt△AEN中∵∠AEF=15°∴AN=EN﹒tan15°≈50×0.27≈13.5∴AB=AN+BN=13.5+10.8=24.3米.18．（1）解：∵坡度i=9:5∴BEAE =95，设BE=9x AE=5x根据勾股定理BE2+AE2=AB2则81x2+25x2=(52√106)2，解得x=52∴BE=52×9=452m；（2）解：如图，连接AF，过点F作FH⊥AD于点H由（1）得AE=52×5=252m设BF=xm∵FHAH=tan∠FAH=tan45°=1∴452x+252=1，解得x=10∴BF至少是10米。

中考数学复习《锐角三角函数和解直角三角形》经典题型及测试题(含答案)

中考数学复习《锐角三角函数和解直角三角形》经典题型及测试题（含答案）知识点一：锐角三角函数的定义 1.锐角三角函数正弦: sin A ＝∠A 的对边斜边＝ac余弦: cos A ＝∠A 的邻边斜边＝bc正切: tan A ＝∠A 的对边∠A 的邻边＝ab.来源:学&科&网]2.特殊角的三角函数值[来度数三角函数[来源:Z 。

xx 。

]30°[来源:学#科#网] 45° 60°sinA1222 32 cosA32 2212tanA 331 33、锐角三角函数的增减性当角度在0°~90°之间变化时，（1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）（2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）（3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）变式练习1：如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为注意：根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形.[(4，3)，那么cos α的值是( ) A. 34 B. 43 C. 35 D. 45【解析】D 如解图，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，∵A (4，3)，∴OB ＝4，AB ＝3，∴OA ＝32＋42＝5，∴cos α＝OB OA ＝45.变式练习2：在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，则sinA ＝________．【解析】∵在Rt △ABC 中，由勾股定理得AC ＝22AB BC +＝32＋42＝5，∴sin A ＝BC AC ＝45. 变式练习3：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝35，BC ＝6，则AB ＝( D )A ．4B ．6C ．8D ．10变式练习4：如图，若点A 的坐标为(1，3)，则sin ∠1＝__32__. ,知识点二：解直角三角形 1.解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形． 2.解直角三角形的常用关系在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c (1)三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2；(2)锐角之间的关系：∠A ＋∠B ＝90°； (3)边角之间的关系：,tan ,cos ,sin ;,tan ,cos ,sin abB c a B c b B b a A c b A c a A ======（sinA＝=cosB=ac，c osA＝sinB=bc，tanA＝ab.）变式练习1：在Rt△ABC中，已知a=5,sinA=30°，则c=10,b=5.变式练习2：如图，Rt△ACB中，∠B＝30°，∠ACB＝90°，CD⊥AB交AB于D.以CD为较短的直角边向△CDB的同侧作Rt△DEC，满足∠E＝30°，∠DCE＝90°，再用同样的方法作Rt△FGC，∠FCG＝90°，继续用同样的方法作Rt△HIC，∠HCI ＝90°.若AC＝a，求CI的长．解：在Rt△ABC中，∠B＝30°，∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠A＝60°，∵AC＝a，∴CD＝AC·sin60°＝32a，依此类推CH＝(32)3a＝338a，在Rt△CHI中，∵∠CHI＝60°，∴CI＝CH·tan60°＝338a×3＝98a.变式练习3：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，则BC的长是( D )A.433B．4 C．8 3 D．4 3,灵活选择解直角三角形的方法顺口溜：已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用正切；已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要记牢；已知锐角求锐角，互余关系不能少；已知直边求斜边，用除还需正余弦.变式练习4：如图，一山坡的坡度为i＝1∶3，小辰从山脚A出发，沿山坡向上走了200米到达点B，则小辰上升了__100__米．, ,变式练习5：一艘轮船在小岛A的北偏东60°方向距小岛80海里的B处，沿正西方向航行3小时后到达小岛的北偏西45°的C处，则该船行驶的速度为___40＋4033___海里/小时．知识点三：解直角三角形的应用1.仰角、俯角、坡度、坡角和方向角(1)仰、俯角：视线在水平线上方的角叫做仰角.视线在水平线下方的角叫做俯角．（如图①）(2)坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或者叫做坡比)，用字母i表示．坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用α表示，则有i＝tanα.（如图②）(3)方向角：平面上，通过观察点Ο作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向)，则从点O出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角，叫做观测的方向角．（如图③）2.解直角三角形实际应用的一般步骤(1)弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；(2)将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；(3)选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．注意：解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型：（1）叠合式（2）背靠式解题方法：这两种模型种都有一条公共的直角边，解题时，往往通过这条边为中介在两个三角形中依次求边，或通过公共边相等，列方程求解变式练习1：如图，某数学兴趣小组想测量一棵树CD 的高度，他们先在点A 处测得树顶C 的仰角为30°，然后沿AD 方向前行10 m ，到达B 点，点B 处测得树顶C 的仰角为60°(A 、B 、D 三点在同一直线上)．请你根据他们的测量数据计算这棵树CD 的高度(结果精确到0.1 m)．(参考数据：2≈1.414，3≈ 1.732)解：如解图，由题意可知∠CAB ＝30°，∠CBD ＝60°，AB ＝10 m ，∵∠CBD ＝∠CAB ＋∠BCA ，∴∠BCA ＝∠CBD －∠CAB ＝60°－30°＝30°＝∠CAB ， ∴BC ＝AB ＝10 m ．在Rt △BCD 中，∵sin ∠CBD ＝CDBC，∴CD ＝BC ·sin ∠CBD ＝10×sin60°＝10×32＝53≈5×1.732≈8.7 m ．答：这棵树CD 的高度大约是8.7 m ．变式练习2：如图，小山岗的斜坡AC 的坡度是tan α＝34，在与山脚C 距离200米的D 处，测得山顶A 的仰角为26.6°，求小山岗的高AB (结果取整数；参考数据：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50)．解：设AB ＝x 米，在Rt △ABD 中，∠D ＝26.6°，∴BD ＝tan 26.6x≈2x ，在Rt △ABC 中，tan α＝AB BC ＝34，∴BC ＝43x ，∵BD －BC ＝CD ，CD ＝200，∴2x－43x＝200，解得x＝300.答：小山岗的高AB约为300米．变式练习3：如图，小明所在教学楼的每层高度为3.5 m，为了测量旗杆MN的高度，他在教学楼一楼的窗台A处测得旗杆顶部M的仰角为45°，他在二楼窗台B 处测得M的仰角为30°，已知每层楼的窗台离该层的地面高度均为1 m，求旗杆MN的高度(结果精确到0.1 m)．(参考数据：2≈1.414，3≈1.732)解：如解图，过点M的水平线交直线AB于点H，由题意，得∠AMH＝∠MAH＝45°，∠BMH＝30°，AB＝3.5 m，设MH＝x m，则AH＝x m，BH＝x·tan30°＝33x≈0.58x m，∴AB＝AH－BH＝x－0.58x＝0.42x＝3.5 m，解得x≈8.3，则MN＝x＋1＝9.3 m.答：旗杆MN的高度约为9.3 m.变式练习4：小明去爬山，如图，在山脚看山顶的角度为30°，小明在坡比为5∶12的山坡上走了1300米，此时小明看山顶的角度为60°，则山高为( )A. (600－2505)米B. (6003－250)米C. (350＋3503)米D. 500 3 米【解析】B如解图，∵BE∶AE＝5∶12，∴设BE＝5k，AE＝12k，∴AB＝2()5K＋(12k)2＝13k，∴BE∶AE∶AB＝5∶12∶13，∵AB＝1300米，∴AE＝1200米，BE ＝500米，设EC＝FB＝x米，∵∠DBF＝60°，∴DF＝3x米，则DC＝(3x＋500)米，又∵∠DAC＝30°，∴AC＝3CD，即1200＋x＝3(3x＋500)，解得x＝600－2503，∴DF＝3x＝(6003－750)米，∴CD＝DF＋CF＝(6003－250)米，即山高CD为(6003－250)米．变式练习5：某兴趣小组借助无人飞机航拍校园．如图，无人飞机从A处水平飞行至B处需8秒，在地面C处同一方向上分别测得A处的仰角为75°，B处的仰角为30°.已知无人飞机的飞行速度为4米/秒，求这架无人飞机的飞行高度．(结果保留根号)解：如解图，过点A作AD⊥BC交BC于点D，过点B作BH⊥水平线交水平线于点H，由题意∠ACH＝75°，∠BCH＝30°，AB∥CH，∴∠ABC＝30°，∠ACB＝45°，∵AB＝4×8＝32米，∴CD＝AD＝AB·sin30°＝16米，BD＝AB·cos30°＝32×32＝163米，∴BC＝CD＋BD＝(16＋163)米，∴BH＝BC·sin30°＝(16＋163)×12＝(8＋83)米．答：这架无人飞机的飞行高度为(8＋83)米．变式练习6：如图，我国渔政船在钓鱼岛海域C处测得钓鱼岛A在渔政船的北偏西30°的方向上，随后渔政船以80海里/小时的速度向北偏东30°的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得钓鱼岛A在渔政船的北偏西60°的方向上，求此时渔政船距钓鱼岛A的距离AB.(结果保留小数点后一位，其中3≈1.732) 解：∵CD∥BE，∴∠EBC＋∠DCB＝180°.∵∠ABE＝60°，∠DCB＝30°，∴∠ABC＝90°.…………(4分)由题知，BC＝80×12＝40(海里)，∠ACB＝60°.在Rt△ABC中，AB＝BC·tan60°＝403≈40×1.732≈69.3(海里)．答：此时渔政船距钓鱼岛A的距离AB的长约为69.3海里．。