高中北师大版数学必修2(45分钟课时作业)：第1章单元测试二点、线、面之间的位置关系 Word版含解析

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2018年高一北师大版数学必修2(45分钟课时作业与单元测试卷)：第1章章末检测 Word版含解析

第一章章末检测一、选择题(本大题10个小题，每小题5分，共50分)1．若a、b为异面直线，直线c∥a，c与b的位置关系是()A．相交B．异面C．平行D．异面或相交答案：D2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是线段C1D，BC的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是()A．相交B．异面C．平行D．垂直答案：A解析：因为A1B∥D1C，D1C∩EF＝E，又E，F，A1，B四点都在平行四边形A1BCD1上，所以E，F，A1，B四点共面，所以EF与A1B相交，故选A.3．如图为一零件的三视图，根据图中所给数据(单位：cm)可知这个零件的体积为() A．(64－π)cm3B．(64－4π)cm3C．(48－π)cm3D．(48－4π)cm3答案：B解析：由三视图，可知这个零件是一个棱长为4的正方体，中间挖去了一个底面半径为1、高为4的圆柱所形成的几何体，其体积为43－π×12×4＝(64－4π)cm3.4．若圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径，则圆柱、圆锥、球的体积的比为() A．1：2：3 B．2：3：4C．3：2：4 D．3：1：2答案：D5．已知正方体的棱长为2，则外接球的表面积和体积分别为()A．48π，32 3πB．48π，4 3πC．12π，4 3πD．12π，32 3π答案：C6．正方体ABCD－A1B1C1D1中，P、Q、R分别是AB、AD、B1C1的中点．那么正方体的过P、Q、R的截面图形是()A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形答案：D7．已知α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，下列结论正确的是()A ．若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥αB ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nC ．若m β，且α⊥β，则m ⊥αD ．若m ⊥β，且α∥β，则m ⊥α 答案：D解析：A 中可能n α；B 中m ，n 还可能相交或异面；C 中m ，α还可能平行或斜交；一条直线垂直于两平行平面中的一个，也垂直于另一个，所以D 正确．8．四面体S －ABC 中，各个面都是边长为2的正三角形，E ，F 分别是SC 和AB 的中点，则异面直线EF 与SA 所成角等于( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30° 答案：C9．设m 、n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m ⊥α，n ∥α，则m ⊥n②若α∥β，β∥γ，m ⊥α，则m ⊥γ ③若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β 其中正确命题的序号是( ) A ．①和② B ．②和③ C ．③和④ D ．①和④ 答案：A10．直线m ⊥平面α，垂足是O ，正四面体ABCD 的棱长为4，点C 在平面α上运动，点B 在直线m 上运动，则点O 到直线AD 的距离的取值范围是( )A ．[4 2－52，4 2＋52]B ．[2 2－2,2 2＋2]C ．[3－2 22，3＋2 22]D ．[3 2－2,3 2＋2] 答案：B 解析：由题意，直线BC 与动点O 的空间关系：点O 是以BC 为直径的球面上的点，所以O 到AD 的距离为四面体上以BC 为直径的球面上的点到AD 的距离，最大距离为AD 到球心的距离(即BC 与AD 的公垂线)＋半径＝2 2＋2. 最小距离为AD 到球心的距离(即BC 与AD 的公垂线)－半径＝2 2－2.∴点O 到直线AD 的距离的取值范围是：[2 2－2,2 2＋2]．二、填空题(本大题5个小题，每小题5分，共25分)11．已知圆锥的表面积为6π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为________．答案： 212．在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱AB ，BC 中点，则三棱锥B －B 1EF 的体积为________．答案：1313．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为BB 1和CD 的中点，则直线AM 和D 1N 所成的角为________.答案：90° 14．如图，梯形A ′B ′C ′D ′是水平放置的四边形ABCD 的用斜二测画法画出的直观图．若A ′D ′∥y ′轴，A ′B ′∥C ′D ′，A ′B ′＝23C ′D ′＝2，A ′D ′＝O ′D ′＝1，则四边形ABCD 的面积为________．答案：5 解析：如图，建立直角坐标系xOy ，在x 轴上截取OD ＝O ′D ′＝1，OC ＝O ′C ′＝2.过点D 作y 轴的平行线，并在平行线上截取DA ＝2D ′A ′＝2.过点A 作x 轴的平行线，并在平行线上截取AB ＝A ′B ′＝2.连接BC ，即得到了四边形ABCD .可知四边形ABCD 是直角梯形，上、下底边分别为AB ＝2，CD ＝3，高AD ＝2，所以四边形ABCD 的面积S ＝2＋32×2＝5.15．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，给出以下四个结论：①直线D 1C ∥平面A 1ABB 1； ②直线A 1D 1与平面BCD 1相交； ③直线AD ⊥平面D 1DB ； ④平面BCD 1⊥平面A 1ABB 1.其中正确结论的序号为________．答案：①④解析：因为平面A 1ABB 1∥平面D 1DCC 1，D 1C平面D 1DCC 1，所以D 1C ∥平面A 1ABB 1，①正确；直线A 1D 1在平面BCD 1内，②不正确；显然AD 不垂直于BD ，所以AD 不垂直于平面D 1DB ，③不正确；因为BC ⊥平面A 1ABB 1，BC 平面BCD 1，所以平面BCD 1⊥平面A 1ABB 1，④正确．三、解答证明题(本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)16．(12分)圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于392 cm 2，母线与轴的夹角是45°，求这个圆台的高、母线长和两底面半径．解：x cm,3x cm. 延长AA 1交OO 1的延长线于S ，在Rt △SOA 中，∠ASO ＝45°，则∠SAO ＝45°， ∴SO ＝AO ＝3x ，∴OO 1＝2x ，又S 轴截面＝12(6x ＋2x )·2x ＝392，∴x ＝7.故圆台的高OO 1＝14 cm ，母线长l ＝ 2O 1O ＝14 2 cm ，两底面半径分别为7 cm,21 cm.17．(12分)如图，在圆锥SO 中，AB ，CD 为底面圆的两条直径，AB ∩CD ＝O ，SO ＝OB ＝2，P 为SB 的中点．(1)求证：SA ∥平面PCD ； (2)求圆锥SO 的表面积．解：(1)连接PO ，∵P ，O 分别为SB ，AB 的中点，∴PO ∥SA .又PO 平面PCD ，SA 平面PCD ，∴SA ∥平面PCD .(2)设母线长为l ，底面圆半径为r ，则r ＝2，l ＝SB ＝22， ∴S 底＝πr 2＝4π，S 侧＝πrl ＝42π， ∴S 表＝S 底＋S 侧＝4(2＋1)π.18．(12分)如图，在三棱锥P －ABC 中，P A ⊥底面ABC ，AB ⊥BC ，DE 垂直平分PC ，且分别交AC ，PC 于D ，E 两点，PB ＝BC ，P A ＝AB .(1)求证：PC ⊥平面BDE ；(2)试确定线段P A 上点Q 的位置，使得PC ∥平面BDQ . 解：(1)∵PB ＝BC ，E 为PC 的中点，∴PC ⊥BE . ∵DE 垂直平分PC ，∴PC ⊥DE .又BE 平面BDE ，DE 平面BDE ，且BE ∩DE ＝E ，∴PC ⊥平面BDE .(2)不妨令P A ＝AB ＝1，则有PB ＝BC ＝2，计算得AD ＝33＝13AC . ∴点Q 在线段P A 上靠近点A 的三等分点处，即AQ ＝13AP 时，PC ∥QD ，从而PC ∥平面BDQ .19．(13分)如图，在直三棱柱ADF －BCE 中，AB ＝AD ＝DF ＝a ，AD ⊥DF ，M ，G 分别是AB ，DF 的中点．(1)求该直三棱柱的体积与表面积；(2)在棱AD 上确定一点P ，使得GP ∥平面FMC ，并给出证明．解：(1)由题意，可知该直三棱柱的体积为12×a ×a ×a ＝12a 3，表面积为12a 2×2＋2a 2＋a 2＋a 2＝(3＋2)a 2.(2)当点P 与点A 重合时，GP ∥平面FMC . 取FC 的中点H ，连接GH ，GA ，MH .∵G 是DF 的中点，∴GH 綊12CD .又M 是AB 的中点，AB 綊CD ，∴AM 綊12CD .∴GH ∥AM 且GH ＝AM ，∴四边形GHMA 是平行四边形， ∴GA ∥MH .∵MH 平面FMC ，GA 平面FMC ， ∴GA ∥平面FMC ，即当点P 与点A 重合时，GP ∥平面FMC .20．(13分)如图①，有一个等腰直角三角板ABC 垂直于平面α，BC α，AB ＝BC ＝5，有一条长为7的细线，其两端分别位于B ，C 处，现用铅笔拉紧细线，在平面α上移动．(1)图②中的PC (PC <PB )的长为多少时，CP ⊥平面ABP ？并说明理由． (2)在(1)的情形下，求三棱锥B －APC 的高．解：(1)当CP ＝3时，CP ⊥平面ABP .证明如下：若CP ＝3，则BP ＝4，而BC ＝5，所以三角形BPC 为直角三角形，且CP ⊥PB . 又平面ABC ⊥平面α，AB ⊥BC ，所以AB ⊥平面α，于是CP ⊥AB .又PB 平面ABP ，AB 平面ABP ，PB ∩AB ＝B ，所以CP ⊥平面ABP .(2)解法一：如图，过点B 作BD ⊥AP 于点D ，由(1)，知CP ⊥平面ABP ，则CP ⊥BD .又AP 平面APC ，CP 平面APC ，AP ∩CP ＝P ，所以BD ⊥平面APC ，即BD 为三棱锥B －APC 的高．由于PB ＝4，AB ＝5，AB ⊥平面α，所以AP ＝AB 2＋PB 2＝25＋16＝41，由AP ·BD ＝AB ·PB ，得BD ＝4×541＝204141.即三棱锥B －APC 的高为204141.解法二：由(1)，知CP ⊥平面ABP ，所以CP ⊥AP . 又CP ＝3，BP ＝4，AB ＝5，AB ⊥BP ，所以AP ＝AB 2＋PB 2＝25＋16＝41，所以S △APC ＝12·CP ·AP ＝3412.设三棱锥B －APC 的高为h ，则V B －APC ＝13·S △APC ·h ＝412h .又V A －PBC ＝13·S △PBC ·AB ＝13×12×CP ×BP ×AB ＝10，而V B －APC ＝V A －PBC ，得412h ＝10，所以h ＝204141.即三棱锥B －APC 的高为204141.21．(13分)已知正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 所在平面互相垂直，M 为AC 上一点，N 为BF 上一点，且AM ＝FN ＝x ，设AB ＝a(1)求证：MN ∥平面CBE ； (2)求证： MN ⊥AB ；(3)当x 为何值时，MN 取最小值？并求出这个最小值．证明：(1)在平面ABC 中，作MG ∥AB ，在平面BFE 中，作NH ∥EF ，连接GH ，∵AM ＝FN ，∴MC ＝NB ，∵MG AB ＝MC NC ＝NBEF∴MG ∥NH ，∴MNHG 为平行四边形，∴MN ∥GH又∵GH ⊆面BEC ，MN 面BEC ，∴MN ∥面BEC (2)∵AB ⊥BC ，AB ⊥BE ，∴AB ⊥面BEC ，∵GH ⊆面GEC ，∴AB ⊥GH ，∵MN ∥GH ，∴MN ⊥AB (3)∵面ABCD ⊥面ABEF ，∴BE ⊥面ABCD ，∴BE ⊥BC∵BG ＝x2，BH ＝2a －x 2∴MN ＝GH ＝BG 2＋BH 2＝x 2＋x 2－22ax ＋2a 22＝x 2－2ax ＋a 2(0<a <2a )＝⎝⎛⎭⎫x －22a 2＋a 22≤22a当且仅当x ＝22a 时，等号成立；∴当x ＝22a 时，MN 取最小值22a .。

2018学年高中北师大版数学必修245分钟课时作业与单元测试卷：第1章6.2 垂直关系的性质含解析

6．2 垂直关系的性质时间：45分钟满分：80分班级________ 姓名________ 分数________一、选择题(每小题5分，共5×6＝30分)1．已知△ABC 和两条不同的直线l ，m ，l ⊥AB ，l ⊥AC ，m ⊥AC ，m ⊥BC ，则直线l ，m 的位置关系是( )A ．平行B ．异面C ．相交D ．垂直答案：A解析：因为直线l ⊥AB ，l ⊥AC ，所以直线l ⊥平面ABC ，同理直线m ⊥平面ABC ，根据线面垂直的性质定理得l ∥m .2．PO ⊥平面ABC ，O 为垂足，∠ACB ＝90°，∠BAC ＝30°，BC ＝5，P A ＝PB ＝PC ＝10，则PO 的长等于( )A ．5B ．5 2C ．5 3D ．20答案：C解析：∵P A ＝PB ＝PC ，∴P 在面ABC 上的射影O 为△ABC 的外心．又△ABC 为直角三角形，∴O 为斜边BA 的中点．在△ABC 中，BC ＝5，∠ACB ＝90°，∠BAC ＝30°，∴PO ＝ PC 2－(AB 2)2＝5 3. 3．已知平面α⊥β，直线l α，直线m β，若l ⊥m ，则l 与β的位置关系是( )A ．l ⊥βB ．l ∥βC ．l βD ．以上都有可能答案：D解析：若l 垂直于两平面的交线，则l ⊥β；若l 平行两平面的交线，m 垂直两平面的交线，则l ∥β；若l 就是两平面的交线，m 垂直两平面的交线，则l β.故这三种情况都有可能．4．如图，BC 是Rt △BAC 的斜边，P A ⊥平面ABC ，PD ⊥BC 于点D ，则图中直角三角形的个数是( )A ．3B ．5C ．6D ．8答案：D解析：由P A⊥平面ABC，知△P AC，△P AD，△P AB均为直角三角形，又PD⊥BC，P A ⊥BC，P A∩PD＝D，∴BC⊥平面P AD.∴AD⊥BC，易知△ADC，△ADB，△PDC，△PDB 均为直角三角形．又△BAC为直角三角形，所以共有8个直角三角形，故选D.5．下列命题中错误的是()A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β答案：D解析：对于命题A，在平面α内存在直线l平行于平面α与平面β的交线，则l平行于平面β，故命题A正确．对于命题B，若平面α内存在直线垂直于平面β，则平面α与平面β垂直，故命题B正确．对于命题C，设α∩γ＝m，β∩γ＝n，在平面γ内取一点P不在m，n上，过P作直线a，b，使a⊥m，b⊥n.∵γ⊥α，a⊥m，则a⊥α，∴a⊥l，同理有b⊥l.又a∩b＝P，aγ，bγ，∴l⊥γ.故命题C正确．对于命题D，设α∩β＝l，则lα，lβ.故在α内存在直线不垂直于平面β，即命题D错误．故选D.6．如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在()A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部答案：A解析：连接AC1，∵BA⊥AC，BC1⊥AC，BA∩BC1＝B，∴AC⊥平面ABC1.∵AC平面ABC，∴平面ABC⊥平面ABC1，且交线是AB.故平面ABC1上的点C1在底面ABC上的射影H必在交线AB上．二、填空题(每小题5分，共5×3＝15分)7．已知P A垂直于平行四边形ABCD所在的平面，若PC⊥BD，则平行四边形ABCD 一定是__________．答案：菱形解析：因为P A⊥平面ABCD，所以P A⊥BD，又因为PC⊥BD，所以BD⊥平面P AC，又AC⊂平面P AC，所以AC⊥BD.8．如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱P A＝a，PB＝PD ＝2a，则它的五个面中，互相垂直的平面有________对．答案：5解析：由勾股定理逆定理得P A⊥AD，P A⊥AB，∴P A⊥面ABCD，P A⊥CD，P A⊥CB.由直线与平面垂直的判定定理及平面与平面垂直的判定定理易得结论．平面P AB⊥平面P AD，平面P AB⊥平面ABCD，平面P AB⊥平面PBC，平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD⊥平面PCD.9．如图，在直角梯形ABCD中，BC⊥DC，AE⊥DC，M，N分别是AD，BE的中点，将三角形ADE沿AE折起，则下列说法正确的是________(填序号)．①不论D折至何位置(不在平面ABC内)，都有MN∥平面DEC；②不论D折至何位置，都有MN⊥AE；③不论D折至何位置(不在平面ABC内)，都有MN∥AB；④在折起过程中，一定存在某个位置，使EC⊥AD.答案：①②④解析：分别取CE，DE的中点Q，P，连接MP，PQ，NQ，可证MNQP是矩形，所以①②正确；因为MN∥PQ，AB∥CE，若MN∥AB，则PQ∥CE，又PQ与CE相交，所以③错误；当平面ADE⊥平面ABCD时，有EC⊥AD，④正确．故填①②④.三、解答题(共35分，11＋12＋12)10．在四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝60°，P A⊥平面ABCD，E 为PD的中点，P A＝2AB.若F为PC的中点，求证：PC⊥平面AEF.证明：∵P A＝2AB，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，∴P A＝CA.又F为PC的中点，∴AF⊥PC.∵P A⊥平面ABCD，∴P A⊥CD.∵AC⊥CD，P A∩AC＝A，∴CD⊥平面P AC，∴CD⊥PC.∵E为PD的中点，F为PC的中点，∴EF∥CD，∴EF⊥PC.又AF⊥PC，AF∩EF＝F，∴PC⊥平面AEF.11．如图，△ABC是边长为2的正三角形，AE⊥平面ABC，平面BCD⊥平面ABC，BD ＝CD，BD⊥CD，且AE＝1.(1)求证：AE∥平面BCD；(2)求证：平面BDE⊥平面CDE.证明：(1)取BC的中点M，连接DM，AM，因为BD＝CD，且BD⊥CD，BC＝2，所以DM＝1，DM⊥BC.又平面BCD⊥平面ABC，平面BCD∩平面ABC＝BC，所以DM⊥平面ABC，所以AE∥DM，又DM平面BCD，AE平面BCD，所以AE∥平面BCD.(2)由(1)知AE∥DM，又AE＝1，DM＝1，所以四边形DMAE是平行四边形，所以DE∥AM.因为△ABC为正三角形，所以AM⊥BC.又平面BCD⊥平面ABC，平面BCD∩平面ABC＝BC，所以AM⊥平面BCD，所以DE⊥平面BCD.又CD平面BCD，所以DE⊥CD.因为BD⊥CD，BD∩DE＝D，所以CD⊥平面BDE.因为CD平面CDE，所以平面BDE⊥平面CDE.12.如图所示，已知在△BCD中，∠＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，E，F分别是AC，AD上的动点，且AEAC＝AFAD＝λ，(0<λ<1)．求证：不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC.证明：∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD.∵CD⊥BC且AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC.又∵AEAC＝AFAD＝λ(0＜λ＜1)，∴不论λ为何值，恒有EF∥CD，∴EF⊥平面ABC.又EF⊂平面BEF，∴不论λ为何值恒有平面BEF⊥平面ABC.。

高中北师大版数学必修2(45分钟课时作业与单元测试卷)第1章单元测试三 Word版含解析

单元测试三本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分分，考试时间分钟．第Ⅰ卷(选择题共分)一、选择题：本大题共小题，每小题分，共分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．．过两直线：－＋＝和：＋＋＝的交点和原点的直线的方程为( )．－＝．＋＝．－＝．＋＝答案：解析：解方程组(\\(－＋＝，＋＋＝，))得(\\(＝－()，＝().))∴＝－.又过原点，∴直线方程为＋＝.．已知点(＋)，(－)，直线的倾斜角是直线倾斜角的一半，则直线的斜率为( )．．不存在答案：解析：＝，∴直线的倾斜角为°.∴的倾斜角为°，＝°＝.．已知点()(>)到直线：－＋＝的距离为，则＝( )．－－＋答案：解析：由＝得＝－，＝－－(舍去)．．三条直线：－＝，：＋－＝，：－－＝构成一个三角形，则的范围是( )．∈．∈且≠±，≠．∈且≠±，≠－．∈且≠±，≠答案：．若点()和点(，)关于直线－－＝对称，则( )．＝，＝－．＝，＝－．＝，＝．＝，＝答案：解析：由题意，知(\\((－－)＝－,(＋)－(＋)－＝))，解得(\\(＝＝))，故选.．和直线－＋＝关于轴对称的直线方程是( )．＋－＝．＋＋＝．－＋－＝．－－＝答案：解析：设对称直线上任一点坐标为(，)它关于轴对称的点的坐标为(，－)．(，－)在直线－＋＝上∴有－(－)＋＝即＋＋＝即所求直线方程为＋＋＝.．直线过原点()，且不过第三象限，那么的倾斜角α的取值范围是( )．[°，°] ．[°，°]．[°，°)或α＝°．[°，°]答案：解析：画图知的倾斜角应是钝角或坐标轴上的角，中含锐角不正确，中°不在其倾斜角的范围内应被排除，中含的角不全面．．设直线与轴的交点为，且倾斜角为α，若将其绕点按逆时针方向旋转°，得到直线的倾斜角为α＋°，则( )．°≤α<°．°≤α<°．°<α≤°．°<α<°答案：解析：解答本题应紧扣直线的倾斜角的取值范围，还要注意到与轴相交的直线的倾斜角不为°.从而有(\\(°<α<°，°≤α＋°<°))，所以°<α<°，故选.．直线过点()，且与点(－)的距离最远，则的方程为( )．－－＝．－＋＝．＋＋＝．＋－＝答案：解析：当⊥时符合要求，∵＝＝，∴的斜率为－.∴的方程为－＝－(－)，即＋－＝.．一条直线被两条直线＋＋＝和－－＝截得的线段的中点恰好是坐标原点，则这条直线的方程是( )．＋＝．－＝．＋＝．－＝答案：解析：设与＋＋＝交于(，－－)，与直线－－＝，交于点(，)，由()为的中点，故可得(－，)，由，两点确定.第Ⅱ卷(非选择题共分)二、填空题：本大题共小题，每小题分，共分．把答案填在题中横线上．．已知直线：(＋)＋－－＝(∈)在轴上的截距是在轴上的截距的倍，则的值为．答案：－或解析：当直线：(＋)＋－－＝(∈)过原点，即－－＝时，解得＝－，此时该直线在两坐标轴上的截距都为，所以在轴上的截距是在轴上的截距的倍，即＝－符合题意；当直线：(＋)＋－－＝(∈)不过原点，即－－≠，即≠－时，易知≠－，该直线在轴上的截距是＋，在轴上的截距是，所以由直线在轴上的截距是在轴上的截距的倍，得×＝＋，解得＝.综上所述，的值为－或.．直线经过()，(，)(∈)两点，则直线的倾斜角的取值范围为．答案：[°，°]∪(°，°)解析：直线的斜率＝＝－≤.若直线的倾斜角为α，则α≠°，且α≤.又°＝，且°≤α<°，∴°≤α≤°或°<α<°.．已知直线：(＋)＋(－)＝与：(－)＋(＋)＋＝互相垂直，则的值为．答案：－或解析：①若的斜率不存在，此时＝，的方程为＝，的方程为＝－，显然⊥，符合条件；若的斜率不存在，此时＝－，易知与不垂直．②当，的斜率都存在时，直线的斜率＝－，直线的斜率＝－，∵⊥，∴·＝－，即·＝－，所以＝－.综上可知＝－或＝.．已知，，为某一直角三角形的三边长，为斜边，若点(，)在直线＋＋＝上，则＋的最小值为．答案：解析：求＋的最小值就是在直线＋＋＝上求一点，使这点到原点的距离的平方最小，因而其最小值为原点到直线＋＋＝的距离．由题意得到＋≥＝＝＝，∴＋的最小值为.．已知直线过点()，且与轴、轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，则三角形面积的最小值为．答案：。

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北师大版高中数学必修2全册课时练习第一章《立体几何初步》简单旋转体1．给出以下说法：①圆台的上底面缩小为一点时(下底面不变)，圆台就变成了圆锥；②球面就是球；③过空间四点总能作一个球．其中正确说法的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．3答案 B解析根据圆锥和圆台的形状之间的联系可知①正确；球面是曲面，球是球体的简称，是实心的几何体，故②不正确；当空间四点在同一条直线上时，过这四点不能作球，故③不正确．2．如图阴影部分，绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为( )A．一个球体B．一个球体中间挖去一个圆柱C．一个圆柱D．一个球体中间挖去一个棱柱答案 B解析按旋转体的定义得到几何体B.3．有下列三个命题：①圆柱是将矩形旋转一周所得的几何体；②圆台的任意两条母线的延长线，可能相交也可能不相交；③圆锥的轴截面是等腰三角形．其中错误命题的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．3答案 C解析①将矩形的一边作为旋转轴旋转一周得到的几何体是圆柱．②圆台的两条母线的延长线必相交，故①②错误，③是正确的．4．如图所示的几何体由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的．现用一个竖直的平面去截这个几何体，则所截得的图形可能是( )A．(1)(2) B．(1)(3) C．(1)(4) D．(1)(5)答案 D解析轴截面为(1)，平行于圆锥轴截面的截面是(5)．5．下列命题中，错误的是( )A．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个B．圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个C．圆台的所有平行于底面的截面都是圆面D．圆锥所有的轴截面都是全等的等腰三角形答案 B解析当圆锥的截面顶角大于90°时，面积不是最大．6．圆锥被平行于底面的平面所截，若截面面积与底面面积之比为1∶2，则此圆锥的高被分成的两段之比为( )A．1∶2 B．1∶4C．1∶(2＋1) D．1∶(2－1)答案 D解析根据相似性，若截面面积与底面面积之比为1∶2，则对应小圆锥与原圆锥高之比为1∶2，那么圆锥的高被截面分成的两段之比为1∶(2－1)．7．一个正方体内有一个内切球，作正方体的对角面，所得截面图形是下图中的( )答案 B解析由组合体的结构特征知，球只与正方体的六个面相切，而与两侧棱相离，故正确答案为B.8．将等边三角形绕它的一条中线旋转180°，形成的几何体是________．答案圆锥解析由旋转体的概念可知，得到的几何体是圆锥．9．圆台两底面半径分别是2 cm 和5 cm ，母线长是310 cm ，则它的轴截面的面积是________．答案 63 cm 2解析画出轴截面，如图，过A 作AM ⊥BC 于M ，则BM ＝5－2＝3(cm)，AM ＝AB 2－BM 2＝9(cm)，∴S 四边形ABCD ＝＋2＝63(cm 2)．10．如图所示的四个几何体中，哪些是圆柱与圆锥，哪些不是，并指出圆柱与圆锥的结构名称．解 ②是圆锥，圆面AOB 是圆锥的底面，SO 是圆锥的高，SA ，SB 是圆锥的母线． ③是圆柱，圆面A ′O ′B ′和圆面AOB 分别为上、下底面，O ′O 为圆柱的高，A ′A 与B ′B 为圆柱的母线．①不是圆柱，④不是圆锥．简单多面体1．五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱对角线的条数共有( )A ．20B ．15C ．12D ．10 答案 D解析如图，在五棱柱ABCDE －A 1B 1C 1D 1E 1中，从顶点A 出发的对角线有两条：AC 1，AD 1，同理从B ，C ，D ，E 点出发的对角线均有两条，共2×5＝10(条)．2．有两个面平行的多面体不可能是( )A．棱柱 B．棱锥C．棱台 D．长方体答案 B解析棱锥的各面都相交，故有两个面平行的多面体不可能是棱锥．3．如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是( )A．棱柱B．棱台C．棱柱与棱锥的组合体D．不能确定答案 A解析形成的几何体前后两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，符合棱柱的定义．4．若棱台上、下底面的对应边之比为1∶2，则上、下底面的面积之比是( )A．1∶2 B．1∶4C．2∶1 D．4∶1答案 B解析由棱台的结构特征知，棱台上、下底面是相似多边形，面积比为对应边之比的平方，故选B.5．某同学制作了一个对面图案相同的正方体礼品盒(如下图1)，则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为( )答案 A 解析两个不能相邻，B 、D 错误；两个不能相邻，C 错误，故选A.也可通过制作模型来判断．6．如下图所示，在三棱台A ′B ′C ′－ABC 中，截去三棱锥A ′－ABC 后，剩余部分是( )A ．三棱锥B ．四棱锥C ．三棱柱D ．三棱台答案 B解析剩余部分是四棱锥A ′－BB ′C ′C .7．若一个正棱锥有6个顶点，所有侧棱长的和为20 cm ，则每条侧棱的长为________cm. 答案 4解析依题意，正棱锥有6个顶点，则该正棱锥为正五棱锥，所以每条侧棱长为205＝4 cm.8．在下面的四个平面图形中，属于侧棱都相等的四面体的展开图的是________(填序号)．答案①②解析③④中的图不能组成四面体，只有①②行．9．一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，则截面的可能图形有________．答案①②③解析当截面平行于正方体的一个侧面时得③，当截面过正方体的对角线时得②，当截面不平行于任何侧面也不过对角线时得①，但无论如何都不能截出④.10．已知长方体ABCD－A1B1C1D1(如下图所示)．(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？(2)用截面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱？如果不是，请说明理由．解(1)是棱柱，并且是四棱柱．因为以长方体相对的两个面作底面，这两个面都是四边形且平行，其余各面都是矩形，当然是平行四边形，并且四条侧棱互相平行．(2)截面BCFE上方部分是棱柱，且是三棱柱BEB1－CFC1，其中△BEB1和△CFC1是底面．截面BCFE下方部分也是棱柱，且是四棱柱ABEA1－DCFD1，其中四边形ABEA1和四边形DCFD1是底面．2 直观图1．关于斜二测画法的叙述，其中正确的个数为( ) (1)两条相交直线的直观图可能是平行直线； (2)两条互相垂直的直线的直观图仍然垂直； (3)正方形的直观图可能是梯形； (4)平行四边形的直观图是平行四边形； (5)相等线段的直观图仍然相等． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 A解析由于斜二测画法保共点性，所以(1)错；保平行性，所以(3)错，(4)对；原来垂直的两线段，在直观图中夹角为45°，所以(2)错；与y 轴平行的线段长度变为原来的一半，所以(5)错．2．如下图建立坐标系，得到的正三角形ABC 的直观图不是全等三角形的一组是( )答案 C解析在A 、B 、D 中，三角形ABC 的直观图的底面边长和高均相等，它们是全等的，只有C 不全等．3．已知正三角形ABC 的边长为a ，那么△ABC 的平面直观图△A ′B ′C ′的面积为( ) A.34a 2 B.38a 2 C.68a 2 D.616a 2 答案 D解析先根据题意，画出直观图，然后根据直观图△A ′B ′C ′的边长及夹角求解．图(2)所示为实际图形的直观图，由(2)可知，A ′B ′＝AB ＝a ，O ′C ′＝12OC ＝34a ，在图(2)中作C ′D ′⊥A ′B ′于D ′，则C ′D ′＝22O ′C ′＝68a . ∴S △A ′B ′C ′＝12A ′B ′·C ′D ′＝12×a ×68a ＝616a 2.4．如下图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原来图形的形状是( )答案 A解析直观图边长为1，对角线为2，则原图形中对应的对角线为2 2.故选A.5．如图所示是水平放置的正方形ABCO ，在平面直角坐标系xOy 中，点B 的坐标为(4,4)，则由斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B ′到x ′轴的距离为( )A. 2B.22C ．2 2D ．2 答案 A解析由斜二测画法规则画出直观图如图所示，作B′E⊥x′轴于点E，在Rt△B′C′E中，B′C′＝2，∠B′C′E＝45°，B′E＝B′C′sin45°＝2×22＝ 2.6．如下图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，则原图形是( )A．正方形B．矩形C．菱形D．一般的平行四边形答案 C解析如图，在原图形OABC中，OD＝2O′D′＝2×22＝4 2 cm，CD＝C′D′＝2 cm.∴OC＝OD2＋CD2＝22＋22＝6 cm，∴OA＝OC，故四边形OABC是菱形．7．如图，正方形O′A′B′C′的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图的周长是( )A．8 cm B．6 cmC．2(1＋3) cm D．2(1＋2) cm答案 A解析根据直观图的画法，原几何图形如图所示，四边形OABC为平行四边形，OB＝22，OA＝1，AB＝3，从而原图周长为8 cm.8．若一个三角形，采用斜二测画法作出其直观图，则其直观图的面积是原三角形面积的________倍．答案24解析从这个三角形的一边所在的直线为x 轴建立坐标系，则在直观图中，该边边长不变，高变为原来的24倍． 9．如图所示，四边形ABCD 是一平面图形的水平放置的斜二测直观图．在斜二测直观图中，ABCD 是一直角梯形，AB ∥CD ，AD ⊥CD ，且BC 与y ′轴平行．若AB ＝6，CD ＝4，AD ＝2，则这个平面图形的实际面积是________．答案 20 2解析由斜二测直观图作图规则知，该平面图形是梯形，且AB 与CD 的长度不变，仍为6和4，高为42，故面积为20 2.10．已知直角梯形ABCD 中，AD ＝22，AB ＝3，CD ＝1，用斜二测画法画出其直观图如图所示，求直观图中的梯形A ′B ′C ′D ′的周长．解由斜二测画法可知，A ′D ′＝12AD ＝2，A ′B ′＝AB ＝3，C ′D ′＝CD ＝1.在直观图中，如图，过D ′作D ′E ′⊥A ′B ′于E ′，过C ′作C ′F ′⊥A ′B ′于F ′.∵∠D ′A ′E ′＝45°，∴C′F′＝D′E′＝A′E′＝2×sin45°＝2×22＝1，∴F′B′＝3－1－1＝1，∴B′C′＝12＋12＝2，故梯形A′B′C′D′的周长为4＋2 2.三视图1．以下说法错误的是( )A．三视图相同的几何体只有球B．直立圆锥的主视图与左视图都是等腰三角形，俯视图是圆和圆心C．直立圆柱的主视图与左视图都是矩形，俯视图是圆D．长方体的三视图都是矩形，正方体的三视图都是正方形(有一面正对观察者)答案 A解析选项A中错在“只有”这两个字上，例如正方体的三视图可以都为正方形；根据圆锥、圆柱、长方体、正方体的几何特征易知B、C、D均正确．故选A.2．下列选项是正六棱柱的三视图，其中画法正确的是( )答案 A解析主视图的矩形中应有两条实线，左视图应为两个全等的矩形且中间为实线．故选A.3．如图所示，下列几何体各自的三视图(阴影面为主视面)中，有且仅有两个视图相同的是( )A．①② B．①③ C．①④ D．②④答案 D解析在各自的三视图中，①正方体的三个视图都相同；②圆锥有两个视图相同；③三棱台的三个视图都不同；④正四棱锥有两个视图相同．4．请根据图中三视图，想象物体的形状，用小正方块搭出这个物体，并数一数有多少个小正方块( )A．7 B．6 C．8或10 D．9或10答案 D解析物体的立体图如图所示，由9个或10个小正方块搭成．5．已知三棱锥的俯视图与左视图如下图所示，俯视图是边长为2的正三角形，左视图是有一条直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的主视图可能为( )答案 C解析由题设条件知，该三棱锥的直观图可能如图所示，其底面ABC为正三角形，侧棱PC垂直于底面，在主视图中，PA的投影是虚线．故选C.6．若一个正三棱柱(底面为正三角形，侧面为矩形的棱柱)的三视图如下图所示，则这个正三棱柱的侧棱长和底面边长分别为( )A．2,2 3 B．22， 2C．4,2 D．2,4答案 D解析从三视图可以看出，底面三角形的高为23，侧棱长为2，∴底面边长为4.7．某几何体的主视图与左视图均为边长为1的正方形，则下面四个图形中，可能是该几何体俯视图的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．4答案 C解析俯视图从左到右依次记为：如果几何体为棱长为1的正方体，则俯视图如图①；如果几何体为圆柱，它的底面直径为1，高为1，则俯视图如图④；如果几何体为从棱长为1的正方体中挖去直径为2，高为1的圆柱的14，则俯视图如图②；以图③为俯视图的几何体的正视图不是正方形．故选C.8．如图所示，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的主视图是边长为4的正方形，则此正三棱柱的左视图的面积为________．答案 8 3解析由主视图可知三棱柱的高为4，底面边长为4，所以底面正三角形的高为23，所以左视图的面积为4×23＝8 3.9．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AA 1、D 1C 1的中点，G 是正方形BCC 1B 1的中心，则空间四边形AEFG 在该正方体各面上的正投影不可能是下图中的________．答案 (2)解析四边形在面ABCD 与面A 1B 1C 1D 1的投影为(1)；在面AA 1B 1B 与面DD 1C 1C 的投影为(3)；在面ADD 1A 1与面BCC 1B 1的投影为(4)．10．如图，物体的三视图有无错误？如果有，请指出并改正．解主视图正确，左视图和俯视图错误，正确的画法如图所示．空间图形基本关系的认识空间图形的公理(一)1．如果空间四点A，B，C，D不共面，那么下列判断中正确的是( )A．A，B，C，D四点中必有三点共线B．A，B，C，D四点中不存在三点共线C．直线AB与CD相交D．直线AB与CD平行答案 B解析若A，B，C，D四点中有三点共线，则A，B，C，D四点共面；若AB与CD相交(或平行)，则AB与CD共面，即得A，B，C，D四点共面．故选B.2．若点A∈平面α，点B∈平面α，点C∈直线AB，则( )A．C∈αB．C∉αC．AB⊆/αD．AB∩α＝C答案 A解析因为点A∈平面α，点B∈平面α，所以ABα.又点C∈直线AB，所以C∈α.3．如图所示，用符号语言可表示为( )A．α∩β＝m，nα，m∩n＝AB．α∩β＝m，n∈α，m∩n＝AC．α∩β＝m，nα，A m，A nD．α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n答案 A解析很明显，α与β交于m，n在α内，m与n交于A，故选A.4．如图，平面α∩平面β＝l，点A∈α，点B∈α，且点C∈β，点C∉l.又AB∩l＝R，设A，B，C三点确定的平面为γ，则β∩γ是( )A．直线AC B．直线BCC．直线CR D．直线AR答案 C解析∵C∈平面ABC，AB平面ABC，而R∈AB，∴R∈平面ABC，而C∈β，lβ，R ∈l，∴R∈β，∴点C，点R为两平面ABC与β的公共点，∴β∩γ＝CR.5．在四面体ABCD的棱AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF与HG交于点M，则( )A．M一定在直线AC上B．M一定在直线BD上C．M可能在AC上，也可能在BD上D．M不在AC上，也不在BD上答案 A解析因为E，F，G，H分别是四面体ABCD的棱AB，BC，CD，DA上的点，EF与HG交于点M，所以点M为平面ABC与平面ACD的公共点，而两个平面的交线为AC，所以M一定在直线AC上．6．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1、EF、CD都相交的直线( )A．不存在B．有且只有两条C．有且只有三条D．有无数条答案 D解析如下图：在直线CD上任取一点H，则直线A1D1与点H确定一平面A1D1HG.显然EF与平面A1D1HG有公共点O且A1D1∥HG.又O∉HG.连接HO并延长，则一定与直线A1D1相交．由于点H有无数个，所以与A1D1、EF、CD都相交的直线有无数条．7．如图，在这个正方体中，①BM与ED平行；②CN与BM是异面直线；③CN与BE是异面直线；④DN与BM是异面直线．以上四个命题中，正确命题的序号是________．答案②④解析观察图形可知①③错误，②④正确．8．有下面几个说法：①如果一条线段的中点在一个平面内，那么它的两个端点也在这个平面内；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对边分别平行的四边形是平行四边形；④四边形有三条边在同一平面内，则第四条边也在这个平面内；⑤点A在平面α外，点A和平面α内的任意一条直线都不共面．其中正确的序号是________(把你认为正确的序号都填上)．答案③④解析①中线段可与平面α相交；②中的四边形可以是空间四边形；③中平行的对边能确定平面，所以是平行四边形；④中三边在同一平面内，可推知第四条边的两个端点也在这个平面内，所以第四条边在这个平面内；⑤中点A与α内的任意直线都能确定一个平面．9．已知α，β为两个不同的平面，A，B，M，N为四个不同的点，a为直线，下列推理错误的是________(填序号)．①A ∈a ，B ∈a ，A ∈β，B ∈β⇒a β； ②M ∈α，M ∈β，N ∈α，N ∈β⇒α∩β＝MN ； ③A ∈α，A ∈β⇒α∩β＝A . 答案 ③解析 ∵A ∈α，A ∈β，∴A ∈α∩β，由公理3知α∩β为经过点A 的一条直线而不是一个点A ，故③错误．故填③.10．如下图，四面体ABCD 中，E 、G 分别为BC 、AB 的中点，F 在CD 上，H 在AD 上，且有DF ∶FC ＝2∶3，DH ∶HA ＝2∶3.求证：EF 、GH 、BD 交于一点．证明如图所示，连接GE 、HF ，∵E 、G 分别为BC 、AB 的中点， ∴GE ∥AC ，GE ＝12AC .又∵DF ∶FC ＝2∶3，DH ∶HA ＝2∶3， ∴HF ∥AC ，HF ＝25AC ，∴GE ∥HF ，GE >HF . ∴G 、E 、F 、H 四点共面． ∴EF 与GH 相交，设交点为O .则O ∈平面ABD ∩平面BCD ，而平面ABD ∩平面BCD ＝BD ， ∴O ∈BD .即EF 、GH 、BD 交于一点．空间图形的公理(二)1．若直线a∥b，b∩c＝A，则a与c的位置关系是( )A．异面 B．相交C．平行 D．异面或相交答案 D解析a与c不可能平行，若a∥c，又因为a∥b，所以b∥c，这与b∩c＝A矛盾，而a与c异面、相交都有可能．2．如图所示，在三棱锥P－ABC的六条棱所在的直线中，异面直线共有( )A．2对 B．3对C．4对 D．6对答案 B解析据异面直线的定义可知共有3对．AP与BC，CP与AB，BP与AC.3．如图所示，在长方体木块ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是B1O和C1O的中点，则长方体的各棱中与EF平行的有( )A．3条 B．4条 C．5条 D．6条答案 B解析由于E、F分别是B1O、C1O的中点，故EF∥B1C1，因为和棱B1C1平行的棱还有3条：AD、BC、A1D1，所以共有4条．4．异面直线a，b，有aα，bβ且α∩β＝c，则直线c与a，b的关系是( ) A．c与a，b都相交B．c与a，b都不相交C．c至多与a，b中的一条相交D．c至少与a，b中的一条相交答案 D解析若c与a、b都不相交，∵c与a在α内，∴a∥c.又c 与b 都在β内，∴b ∥c .由基本性质4，可知a ∥b ，与已知条件矛盾．如图，只有以下三种情况．故直线c 至少与a ，b 中的一条相交．5．已知E ，F ，G ，H 分别为空间四边形ABCD 的各边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，若对角线BD ＝2，AC ＝4，则EG 2＋HF 2的值是(平行四边形的对角线的平方和等于四条边的平方和)( )A ．5B ．10C ．12D ．不能确定答案 B解析如图所示，由三角形中位线的性质可得EH 綊12BD ，FG 綊12BD ，再根据公理4可得四边形EFGH 是平行四边形，那么所求的是平行四边形的对角线的平方和，所以EG 2＋HF 2＝2×(12＋22)＝10.6．如图所示的是正三棱锥的展开图(D ，E 分别为PB ，PA 的中点)，则在正三棱锥中，下列说法正确的是( )A ．直线DE 与直线AF 相交成60°角B ．直线DE 与直线AC 相交 C ．直线DE 与直线AB 异面D ．直线AF 与直线BC 平行答案 A解析将题中的展开图还原成正三棱锥，如图所示，点F 与点P 重合，易知在△PDE 中，PD ＝PE ＝DE ，△PDE 是等边三角形，故∠PED ＝60°，即直线DE 与AF 相交成60°角，A 项正确．由图易知其余选项均错误．7．如图所示，在三棱锥A －BCD 中，M ，N 分别为AB ，CD 的中点，则下列结论正确的是( )A ．MN ≥12(AC ＋BD )B ．MN ≤12(AC ＋BD )C ．MN ＝12(AC ＋BD )D ．MN <12(AC ＋BD )答案 D解析如图所示，取BC 的中点E ，连接ME ，NE ，则ME ＝12AC ，NE ＝12BD ，所以ME ＋NE ＝12(AC ＋BD )．在△MNE 中，有ME ＋NE >MN ，所以MN <12(AC ＋BD )．8．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，BD 和B 1D 1是正方形ABCD 和A 1B 1C 1D 1的对角线，(1)∠DBC 的两边与________的两边分别平行且方向相同； (2)∠DBC 的两边与________的两边分别平行且方向相反．答案 (1)∠D 1B 1C 1 (2)∠B 1D 1A 1解析 (1)B 1D 1∥BD ，B 1C 1∥BC 并且方向相同，所以∠DBC 的两边与∠D 1B 1C 1的两边分别平行且方向相同；(2)B 1D 1∥BD ，D 1A 1∥BC 且方向相反，所以∠DBC 的两边与∠B 1D 1A 1的两边分别平行且方向相反．9．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱C 1D 1，C 1C 的中点．有以下四个结论：①直线AM 与CC 1是相交直线 ②直线AM 与BN 是平行直线 ③直线BN 与MB 1是异面直线 ④直线AM 与DD 1是异面直线其中正确的结论为________(注：把你认为正确结论的序号都填上)．答案 ③④解析由异面直线的定义知③④正确．10．如图，设E ，F ，G ，H 依次是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 上的点，且AEAB＝AH AD ＝λ，CF CB ＝CGCD＝μ.(1)当λ＝μ时，求证：四边形EFGH 是平行四边形；(2)当λ≠μ时，求证：①四边形EFGH 是梯形；②三条直线EF ，HG ，AC 交于一点．证明在△ABD 中，AE AB ＝AH AD＝λ，故EH 綊λBD .同理FG 綊μBD . 由公理4得EH ∥FG ，又可得FG ＝μλEH .(1)若λ＝μ，则FG ＝EH ，故EFGH 是平行四边形． (2)①若λ≠μ，则EH ≠FG ，故EFGH 是梯形．②若λ≠μ，则EH ≠FG ，则在平面EFGH 中EF 、HG 不平行，必然相交．不妨设λ>μ，EF ∩HG ＝O ，如图所示．由O ∈EF ，EF 平面ABC ，得O ∈平面ABC . 同理有O ∈HG 平面ACD .而平面ABC ∩平面ACD ＝AC ，所以O ∈AC ，即EF 、HG 、AC 交于点O .平行关系的判定1．已知两条相交直线a ，b ，a ∥α，则b 与平面α的位置关系是( ) A ．b ∥α B ．b 与α相交 C ．b α D ．b ∥α或b 与α相交答案 D解析 ∵a ，b 相交，∴a ，b 确定一个平面β，如果β∥α，则b ∥α，如果β不平行于α，则b 与α相交．2．不同直线m 、n 和不同平面α、β，给出下列命题：其中错误的有( )A．0个 B．1个 C．2个 D．3个答案 D解析由面面平行与线面平行的定义知：①是正确的．对于②，n可能在平面β内．对于③，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，如图，AA1平面ADD1A1，CC1平面CDD1C1，而AA1∥C1C，从而A1A与CC1可确定一个平面AA1C1C.即AA1，C1C可以共面．对于④，m可能在平面β内．故②③④错，选D.3．如图，在四面体ABCD中，若M，N，P分别为线段AB，BC，CD的中点，则直线BD 与平面MNP的位置关系为( )A．平行B．可能相交C．相交或BD平面MNP D．以上都不对答案 A解析因为N，P分别为BC，CD的中点．∴NP∥BD.又NP平面MNP，BD⊆/平面MNP，∴BD∥平面MNP.4．平面α与△ABC的两边AB，AC分别交于点D，E，且AD∶DB＝AE∶EC，如图所示，则BC与α的位置关系是( )A ．平行B ．相交C ．异面D ．BC α 答案 A解析在△ABC 中，AD DB ＝AEEC，∴DE ∥BC . ∵DE α，BC ⊆/ α，∴BC ∥平面α.5．直线l ∥平面α，直线m ∥平面α，直线l 与m 相交于点P ，且l 与m 确定的平面为β，则α与β的位置关系是( )A ．相交B ．平行C ．异面D ．不确定答案 B解析因为l ∩m ＝P ，所以过l 与m 确定一个平面β.又因l ∥α，m ∥α，l ∩m ＝P ，所以β∥α.6．一条直线l 上有相异三个点A 、B 、C 到平面α的距离相等，那么直线l 与平面α的位置关系是( )A ．l ∥αB ．l ⊥αC ．l 与α相交但不垂直D ．l ∥α或l α答案 D解析 l ∥α时，直线l 上任意点到α的距离都相等，l α时，直线l 上所有的点到α的距离都是0；l ⊥α时，直线l 上有两个点到α的距离相等；l 与α斜交时，也只能有两点到α的距离相等．7．已知不重合的直线a ，b 和平面α.给出下列命题： ①若a ∥α，b α，则a ∥b ； ②若a ∥α，b ∥α，则a ∥b ； ③若a ∥b ，b α，则a ∥α； ④若a ∥b ，a ∥α，则b ∥α或b α. 其中正确的是________(填序号)．答案 ④解析 ①若a ∥α，b α，则a ，b 平行或异面； ②若a ∥α，b ∥α，则a ，b 平行或相交或异面；③若a ∥b ，b α，则a ∥α或a α. ④正确．8．对于平面α与平面β，有下列条件：①α，β都平行于平面γ；②α内不共线的三点到β的距离相等；③l ，m 为两条平行直线，且l ∥α，m ∥β；④l ，m 是异面直线，且l ∥α，m ∥α，l ∥β，m ∥β.则可判定平面α与平面β平行的条件是________(填序号)．答案 ①④解析由面面平行的传递性可知①能得出α∥β.对于④，l ，m 是异面直线，则分别在α，β内作l ′∥l ，m ′∥m 及l ″∥l ，m ″∥m ，则l ′与m ′，l ″与m ″都分别相交，故α∥β.对于②③，平面α与平面β可能相交．9．在四面体ABCD 中，M ，N 分别是△ACD ，△BCD 的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是________．答案平面ABC 、平面ABD解析如图，连接AM 并延长交CD 于点E ，连接BN 并延长交CD 于点F .由重心的定义及性质可知，E ，F 重合为一点，设为E ，且该点为CD 的中点，由EM MA ＝EN NB ＝12，得MN ∥AB ，因此，MN ∥平面ABC 且MN ∥平面ABD .10．如图所示，在三棱锥S －ABC 中，D ，E ，F 分别是棱AC ，BC ，SC 的中点，求证：平面DEF ∥平面SAB .证明因为D ，E 分别是棱AC ，BC 的中点，所以DE 是△ABC 的中位线，DE ∥AB . 因为DE ⊆/ 平面SAB ，AB 平面SAB ，所以DE ∥平面SAB ，同理可证：DF ∥平面SAB ，又因为DE ∩DF ＝D ，DE 平面DEF ，DF 平面DEF ，所以平面DEF∥平面SAB.平行关系的性质1．a∥α，b∥β，α∥β，则a与b位置关系是( )A．平行 B．异面C．相交 D．平行或异面或相交答案 D解析如图(1)，(2)，(3)所示，a与b的关系分别是平行、异面或相交．2．三棱锥S－ABC中，E、F分别是SB、SC上的点，且EF∥平面ABC，则( ) A．EF与BC相交 B．EF与BC平行C．EF与BC异面 D．以上均有可能答案 B解析由线面平行的性质定理可知EF∥BC.3．如图，四棱锥P－ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，则( )A．MN∥PDB．MN∥PAC．MN∥ADD．以上均有可能答案 B解析∵MN∥平面PAD，MN平面PAC，平面PAD∩平面PAC＝PA，∴MN∥PA.4．下列说法正确的个数是( )①两个平面平行，夹在两个平面间的平行线段相等；②两个平面平行，夹在两个平面间的相等线段平行；③如果一条直线和两个平行平面中的一个平行，那么它和另一个也平行；④平行于同一条直线的两个平面平行．A．1 B．2 C．3 D．4答案 A解析只有①正确．②中的两线段还可能相交或异面；③中的直线可能在另一个平面内；④中的两个平面可能相交．5．平面α截一个三棱锥，如果截面是梯形，那么平面α必定和这个三棱锥的( ) A．一个侧面平行 B．底面平行C．仅一条棱平行 D．某两条相对的棱都平行答案 C解析当平面α∥平面ABC时，如下图(1)所示，截面是三角形，不是梯形，所以A、B 不正确；当平面α∥SA时，如上图(2)所示，此时截面是四边形DEFG.又SA平面SAB，平面SAB∩α＝DG，所以SA∥DG.同理，SA∥EF，所以EF∥DG.同理，当平面α∥BC时，GF∥DE，但是截面是梯形，则四边形DEFG中仅有一组对边平行，所以平面α仅与一条棱平行．所以D不正确，C正确．6．下列说法正确的是( )A．平行于同一条直线的两个平面平行B．平行于同一个平面的两个平面平行C．一个平面内有三个不共线的点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行D．若三直线a，b，c两两平行，则在过直线a的平面中，有且只有一个平面与b，c 均平行答案 B解析平行于同一条直线的两个平面可以平行也可以相交，所以A错；B显然正确；C 中没有指明这三个点在平面的同侧还是异侧，不正确；D不正确，因为过直线a的平面中，只要b ，c 不在其平面内，则与b ，c 均平行．7．设m 、n 是平面α外的两条直线，给出三个论断：①m ∥n ；②m ∥α；③n ∥α.以其中的两个为条件，余下的一个为结论，构成三个命题，写出你认为正确的一个命题：________.(用序号表示)答案 ①②⇒③(或①③⇒②) 解析 ①②⇒③设过m 的平面β与α交于l .∵m ∥α，∴m ∥l ，∵m ∥n ，∴n ∥l ，∵n ⊆/ α，l α，∴n ∥α.8．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上．若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________．答案2解析因为直线EF ∥平面AB 1C ，EF 平面ABCD ，且平面AB 1C ∩平面ABCD ＝AC ，所以EF ∥AC ，又因为E 是DA 的中点，所以F 是DC 的中点，由中位线定理可得：EF ＝12AC ，又因为在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，所以AC ＝22，所以EF ＝ 2.9．在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱A 1B 1，B 1C 1的中点，P 是棱AD 上一点，AP ＝a3，过P ，M ，N 的平面与棱CD 交于Q ，则PQ ＝________.答案22a3解析 ∵MN ∥平面AC ，PQ ＝平面PMN ∩平面ABCD ， ∴MN ∥PQ ，易知DP ＝DQ ＝2a3，故PQ ＝PD 2＋DQ 2＝2DP ＝22a 3.10．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点N 在BD 上，点M 在B 1C 上，且CM ＝DN .求证：MN ∥平面AA 1B 1B .证明如图，作MP ∥BB 1交BC 于点P ，连接NP ，∵MP ∥BB 1，∴CM MB 1＝CP PB. ∵BD ＝B 1C ，DN ＝CM ， ∴B 1M ＝BN ，∴CM MB 1＝DN NB ，∴CP PB ＝DN NB， ∴NP ∥CD ∥AB .∵NP ⊆/ 平面AA 1B 1B ，AB 平面AA 1B 1B ， ∴NP ∥平面AA 1B 1B .∵MP ∥BB 1，MP ⊆/ 平面AA 1B 1B ，BB 1平面AA 1B 1B ， ∴MP ∥平面AA 1B 1B .又∵MP 平面MNP ，NP 平面MNP ，MP ∩NP ＝P ， ∴平面MNP ∥平面AA 1B 1B .∵MN 平面MNP ，∴MN ∥平面AA 1B 1B .平面与平面垂直的判定1．下列说法中正确的是( )A ．平面α和β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥βB ．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条平行直线，则α⊥βC ．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线，则α⊥β。

高中北师大版数学必修2(45分钟课时作业与单元测试卷)：第1章7.3 球的表面积和体积 Word版含解析

7．3 球的表面积和体积时间：45分钟满分：80分班级________ 姓名________ 分数________一、选择题(每小题5分，共5×6＝30分)1．已知一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是( ) A ．8π B ．6π C ．4π D ．π 答案：C解析：设该正方体的棱长为a ，内切球的半径为r ，则a 3＝8，∴a ＝2，∴正方体的内切球直径为2，r ＝1，∴内切球的表面积S ＝4πr 2＝4π.2．已知两个球的半径之比为，那么这两个球的表面积之比为( ) A ．．．．答案：A解析：设两球的半径分别为r 1，r 2，表面积分别为S 1，S 2，∵r 1∶r 2＝1∶3，∴S 1∶S 2＝4πr 21∶4πr 22＝r 21∶r 22＝1∶9.故选A.3．已知正方体、球、底面直径与母线相等的圆柱，它们的表面积相等，则它们的体积的大小关系是( )A ．V 正方体＝V 圆柱＝V 球B ．V 正方体<V 圆柱<V 球C ．V 正方体>V 圆柱>V 球D ．V 圆柱>V 正方体>V 球答案：B解析：设正方体的棱长、球的半径、圆柱底面圆的半径分别为a ，R ，r ，则S 正方体＝6a 2，S 球＝4πR 2，S 圆柱＝6πr 2，由题意，知S 正方体＝S 球＝S 圆柱，所以a ＝πr ，R ＝32r ，所以V 正方体＝a 3＝ππr 3，V 球＝43πR 3＝6πr 3，V 圆柱＝2πr 3，显然可知V 正方体<V 圆柱<V 球．4．已知一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A.499πB.73πC.283πD.289π答案：C解析：由三视图，知该几何体是一个正三棱柱，其底面是边长为2的正三角形，侧棱长是2，三棱柱的两个底面中心连线的中点与三棱柱的顶点的连线就是其外接球的半径，设其外接球的半径为r ，则r ＝⎝⎛⎭⎫23×32＋12＝73，所以该球的表面积为4πr 2＝283π. 5．设球内切于圆柱，则此圆柱的全面积与球的表面积之比为( ) A ．1：1 B ．2：1 C ．3：2 D ．4：3 答案：C解析：如图为球的轴截面，由题意，设球的半径为r ，则圆柱的底面圆半径为r ，圆柱的高为2r ，于是圆柱的全面积为S 1＝2πr 2＋2πr ·2r ＝6πr 2，球的表面积为S 2＝4πr 2.∵S 1S 2＝6πr 24πr 2＝32. 6．球O 的截面把垂直于截面的直径分成两部分，若截面圆半径为3，则球O 的体积为( )A ．16π B.16π3C.32π3 D ．4 3π 答案：C解析：设直径被分成的两部分分别为r 、3r ，易知(3)2＝r ·3r ，得r ＝1，则球O 的半径R ＝2，故V ＝43π·R 3＝323π.二、填空题(每小题5分，共5×3＝15分)7．已知球的某截面圆的面积为16π，球心到该截面的距离为3，则球的表面积为________．答案：100π解析：因为截面圆的面积为16π，所以截面圆的半径为4.又球心到截面的距离为3，所以球的半径为5，所以球的表面积为100π.8．把直径分别为6 cm,8 cm,10 cm 的三个铁球熔成一个大铁球，则这个大铁球的半径为________cm.答案：6解析：设大铁球的半径为R cm ，由43πR 3＝43π×⎝⎛⎭⎫623＋43π×⎝⎛⎭⎫823＋43π×⎝⎛⎭⎫1023，得R 3＝216，得R ＝6.9．长方体的共顶点的三个侧面面积分别为3、5、15，则它的外接球的表面积为__________．答案：9π解析：设长方体的有公共顶点的三条棱的长分别为x 、y 、z ，则由已知得⎩⎨⎧xy ＝3，yz ＝5，zx ＝15，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝1，z ＝5所以球的半径R ＝12x 2＋y 2＋z 2＝32.所以S 球＝4πR 2＝9π.三、解答题(共35分，11＋12＋12) 10．如图所示，扇形所含中心角为90°，弦AB 将扇形分成两部分，这两部分各以AO 为轴旋转一周，求这两部分旋转所得旋转体的体积V 1和V 2之比．解：△ABO 旋转成圆锥，扇形ABO 旋转成半球，设OB ＝R .V半球＝23πR 3，V 锥＝π3·R ·R 2＝π3R 3， ∴(V 半球－V 锥V 锥＝ 11．某甜品店制作一种蛋筒冰淇淋，其上半部分呈半球形，下半部分呈圆锥形(如图)．现把半径为10 cm 的圆形蛋皮等分成5个扇形，用一个扇形蛋皮围成圆锥的侧面(蛋皮厚度忽略不计)，求该蛋筒冰淇淋的表面积和体积．解：设圆锥的底面半径为r ，高为h .∵2πr ＝25π·10，∴r ＝2.h ＝102－22＝4 6.∴该蛋筒冰淇淋的表面积S ＝π·1025＋2π·22＝28π(cm 2)．体积V ＝1 3π·22×4 6＋23π·23＝163(6＋1)π(cm 3)．12．如果一个几何体的主视图与左视图是全等的长方形，边长分别是4,2，如图所示，俯视图是一个边长为4的正方形．(1)求该几何体的表面积；(2)求该几何体的外接球的体积．解：(1)由题意可知，该几何体是长方体，其底面是边长为4的正方形，高为2，因此该几何体的表面积是2×4×4＋4×4×2＝64.(2)由长方体与球的性质，可得长方体的体对角线是其外接球的直径，则外接球的半径r ＝1242＋42＋22＝3，因此外接球的体积V ＝43πr 3＝43×27π＝36π，所以该几何体的外接球的体积是36π.给高中生的建议初中学生学数学，靠的是一个字：练！高中学生学数学靠的也是一个字：悟！学好数学的核心就是悟，悟就是理解，为了理解就要看做想。

2018年高一北师大版数学必修2(45分钟课时作业与单元测试卷)：第2章单元测试五圆与圆的方程 Word版

单元测试五　圆与圆的方程班级____　姓名____　考号____　分数____本试卷满分100分，考试时间90分钟．一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．过点A (1,2)，且与两坐标轴相切的圆的方程是( )A ．(x －1)2＋(y －1)2＝1或(x －5)2＋(y －5)2＝25B ．(x －1)2＋(y －3)2＝2C ．(x －5)2＋(y －5)2＝25D ．(x －1)2＋(y －1)2＝1答案：A解析：由图形易知满足此条件的圆有两个．2．两圆x 2＋y 2＝9和x 2＋y 2－8x ＋6y ＋9＝0的位置关系是( )A ．相离B ．相交C ．内切D ．外切答案：B解析：4－3<5<4＋3.3．过圆x 2＋y 2＝25上一点P (－4，－3)的圆的切线方程为( )A ．4x －3y －25＝0B ．4x ＋3y ＋25＝0C ．3x ＋4y －25＝0D ．3x －4y －25＝0答案：B解析：k ＝＝，则切线的斜率为－，且经过(－4，－3)这一点，直线方程为－3－0－4－034434x ＋3y ＋25＝0.4．若圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋1＝0对称，则a ＋b 等于( )A ．1B ．－1 C. D ．－1212答案：C解析：∵圆心(－1,2)，∴－2a －2b ＋1＝0，∴a ＋b ＝.125．以A (－1,2)，B (5，－6)为直径两端点的圆的标准方程是( )A ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝25B ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝25C ．(x －2)2＋(y －2)2＝25D ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝25答案：A解析：A (－1,2)，B (5，－6)两点连线的中点为圆心，其圆心坐标为(2，－2)，可知选A.6．若直线ax ＋by －1＝0与圆x 2＋y 2＝1相切，则点P (a ，b )的位置是( )A ．在圆上B ．在圆外C ．在圆内D ．以上皆有可能答案：A解析：∵直线与圆相切，∴＝1，1a 2＋b 2P (a ，b )到圆心的距离d ＝＝1，a 2＋b 2∴点P 在圆上．7．圆心为A (1，－2)且与直线x －3y ＋3＝0相切的圆的方程为( )A ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝10B ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝10C ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝10D ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝10答案：B解析：圆半径r ＝＝，故圆的标准方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝10.|1＋6＋3||1＋9|108．直线x ＝2被圆(x －a )2＋y 2＝4所截得的弦长等于2 ，则a 的值等于( )3A ．1或3 B.或－ 22C. D ．－1或33答案：A解析：由题意|a －2|2＋()2＝22，解得a ＝1或3.39．若直线－2ax －by ＋2＝0(a ＞0，b ＞0)始终平分圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0的周长，则＋的最小值是( )1a 1b A ．4 B ．2 C. D.1412答案：A解析：由题意可知，直线过圆心得a ＋b ＝1.∴＋＝＋＝2＋＋≥2＋2 ＝4.1a 1b a ＋b a a ＋b b b a a b ba ×ab 10．直线y ＝－x ＋b 与曲线y ＝有且只有两个公共点，则b 的取值范围是( )4－x 2A ．2＜b ＜2 B ．2≤b ＜222C ．2≤b ≤2D ．2＜b ≤222答案：B解析：由图可知，2≤b <2.2二、填空题：本大题共3小题，每小题4分，共12分．把答案填在题中横线上．11．以点C (－3,4)为圆心，2 为半径的圆的方程是________．3答案：(x ＋3)2＋(y －4)2＝12.12．点P 在圆x 2＋y 2－8x －4y ＋11＝0上，点Q 在圆x 2＋y 2＋4x ＋2y ＝4上，则|PQ |的最小值是________．答案：3 －65解析：P 在圆x 2＋y 2－8x －4y ＋11＝0上，即(x －4)2＋(y －2)2＝9，圆心O 1(4,2)，半径为3.Q 在圆x 2＋y 2＋4x ＋2y ＝4上，即(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝9，圆心O 2(－2，－1)，半径为3，∴|O 1O 2|＝[4－(－2)]2＋[2－(－1)]2＝＝3 .36＋95∴|PQ |min ＝|O 1O 2|－R 1－R 2＝3 －6.513．直线mx ＋ny ＝1与圆x 2＋y 2＝4的交点为整点(横纵坐标均为整数的点)，这样的直线的条数是________条．答案：8解析：圆上的点为整点的有四个(±2,0)，(0，±2)，显然直线mx ＋ny ＝1不能过原点．若直线与圆有两个交点，则这样的直线有4条；若直线与圆相切，则这样的直线也有4条，故8条直线．三、解答题：本大题共5小题，共48分，其中第14小题8分，第15～18小题各10分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．14．求过点A (1,6)和B (5,6)且与直线2x －3y ＋16＝0相切的圆的方程．解：显然圆心在线段AB 的垂直平分线x ＝3上设圆心为(3，b )，半径为r ，则(x －3)2＋(y －b )2＝r 2，得(1－3)2＋(6－b )2＝r 2，而r ＝，|6－3b ＋16|13∴b ＝3，r ＝，13∴(x －3)4＋(y －3)4＝13.15．已知圆C 1：x 2＋y 2－10x －10y ＝0，圆C 2：x 2＋y 2＋6x －2y －40＝0.(1)求圆C 1与圆C 2的公共弦所在的直线的方程；(2)求它们的公共弦长．解：(1)x 2＋y 2－10x －10y ＝0，①；x 2＋y 2＋6x －2y －40＝0，②；②－①得：2x ＋y －5＝0为公共弦所在直线的方程；(2)弦长的一半为＝，公共弦长为2.50－20303016．求以两圆C 1：x 2＋y 2＋2x －3＝0，C 2：x 2＋y 2－4x －5＝0的交点为直径的圆的方程．解：设过C 1、C 2交点的圆的方程为：x 2＋y 2＋2x －3＋λ(x 2＋y 2－4x －5)＝0，整理即得圆心为(－，0)．1－2λ1＋λ又∵两圆公共弦为3x ＋1＝0，圆心在公共弦上，∴－3×＋1＝0，∴λ＝.1－2λ1＋λ27∴所求圆的方程为9x 2＋9y 2＋6x －31＝0.即x 2＋y 2＋x －＝0.2331917．已知曲线C ：x ＝与直线y ＝k (x －1)＋3只有一个交点，求实数k 的取值范4－y 2围．解：曲线C 的方程可化为x 2＋y 2＝4，x ≥0，∴曲线C 表示以(0,0)为圆心，2为半径的圆的右半部分，直线过定点M (1,3)．如图所示．由图可得k AM ＝1，k BM ＝5，∴1≤k ＜5.又＝2，化简得3k 2＋6k －5＝0，|－k ＋3|1＋k 2解得k ＝－1±(舍去正根)．2 63综上，实数k 的取值范围是1≤k ＜5或k ＝－1－.2 6318．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0.(1)若圆C 的切线在x 轴、y 轴上的截距相等，求切线的方程；(2)从圆C 外一点P (x 1，y 1)向圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有|PM |＝|PO |，求使|PM |最小的点P 的坐标．解：(1)由方程x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0知，圆心为(－1,2)，半径为.2当切线过原点时，设切线方程为y ＝kx ，则＝.|k ＋2|k 2＋12所以k ＝2±，即切线方程为y ＝(2±)x .66当切线不过原点时，设切线方程为x ＋y ＝a ，则＝.所以a ＝－1或a ＝3，|－1＋2－a |22即切线方程为x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0.所以切线方程为y ＝(2＋)x 或y ＝(2－)x 或x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0.66(2)设P (x 1，y 1)．∵|PO |2＋r 2＝|PC |2，∴x ＋y ＋2＝(x 1＋1)2＋(y 1－2)2，2121即2x 1－4y 1＋3＝0.要使|PM |最小，只要|PO |最小即可．当直线PO 垂直于直线2x －4y ＋3＝0时，即直线PO 的方程为2x ＋y ＝0时，|PM |最小，此时P 点即为两直线的交点，得P 点坐标(－，)．31035。

高中北师大版数学必修2(45分钟课时作业与单元测试卷)：第1章2 直观图 Word版含解析

2直观图时间：45分钟满分：80分班级________姓名________分数________一、选择题(每小题5分，共5×6＝30分)1．水平放置的梯形的直观图是()A．梯形B．矩形C．三角形D．任意四边形答案：A解析：斜二测画法的规则中平行性保持不变，故选A.2．利用斜二测画法可以得到：①水平放置的三角形的直观图是三角形；②水平放置的平行四边形的直观图是平行四边形；③水平放置的正方形的直观图是正方形；④水平放置的菱形的直观图是菱形．以上结论正确的是()A．①②B．①C．③④D．①②③④答案：A解析：因为斜二测画法是一种特殊的平行投影画法，所以①②正确；对于③④，只有平行于x轴的线段长度不变，所以不正确．3．用斜二测画法得到的一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是()答案：A解析：直观图中的多边形为正方形，对角线的长为2，所以原图形为平行四边形，位于y轴上的对角线的长为2 2.4．已知一条边在x轴上的正方形的直观图是一个平行四边形，此平行四边形中有一边长为4，则原正方形的面积是()A．16 B．64C．16或64 D．以上都不对答案：C解析：根据直观图的画法，平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的线段变为原来的一半，于是直观图中长为4的边如果平行于x ′轴，则正方形的边长为4，面积为16；长为4的边如果平行于y ′轴，则正方形的边长为8，面积是64.5．若用斜二测画法把一个高为10 cm 的圆柱的底面画在x ′O ′y ′平面上，则该圆柱的高应画成( )A ．平行于z ′轴且长度为10 cmB ．平行于z ′轴且长度为5 cmC ．与z ′轴成45°且长度为10 cmD ．与z ′轴成45°且长度为5 cm 答案：A解析：平行于z 轴的线段，在直观图中平行性和长度都不变，故选A.6．若一个水平放置的图形的直观图是一个底角为45°且腰和上底均为1的等腰梯形如图所示，则原平面图形的面积是( )A.2＋22B.1＋22C ．2＋ 2D ．1＋ 2 答案：C解析：由题意，知直观图中等腰梯形的下底为2＋1，根据斜二测画法规则，可知原平面图形为直角梯形，上底为1，下底为2＋1，高为2，所以其面积为2＋ 2.二、填空题(每小题5分，共5×3＝15分)7．一条边在x 轴上的正方形的面积是4，按斜二测画法所得的直观图是一个平行四边形，则这个平行四边形的面积是________．答案： 2解析：正方形的面积为4，则边长为2，由斜二测画法的规则，知平行四边形的底为2，高为22，故面积为 2.8．一个水平放置的平面图形的直观图是直角梯形ABCD ，如图所示，∠ABC ＝45°，AB ＝AD ＝1，DC ⊥BC ，则这个平面图形的面积为________．答案：4＋22解析：由直观图，可知原图形为直角梯形，且上底为1，下底为22＋1，高为2，故面积为12×⎝⎛⎭⎫1＋22＋1×2＝2＋22.9．给出下列各命题：(1)利用斜二测画法得到的三角形的直观图还是三角形；(2)利用斜二测画法得到的平行四边形的直观图还是平行四边形； (3)利用斜二测画法得到的正方形的直观图还是正方形； (4)利用斜二测画法得到的菱形的直观图还是菱形；(5)在画直观图时，由于选轴的不同所画的直观图可能不同； (6)水平放置的矩形的直观图可能是梯形．其中正确的命题序号为____________．答案：(1)(2)(5)三、解答题(共35分，11＋12＋12)10．将图中所给水平放置的直观图绘出原形．解：11．用斜二测画法画出图中水平放置的△OAB 的直观图．解：(1)在已知图中，以O 为坐标原点，以OB 所在的直线及垂直于OB 的直线分别为x 轴与y 轴建立平面直角坐标系，过点A 作AM 垂直x 轴于点M ，如图1.另选一平面画直观图，任取一点O ′，画出相应的x ′轴、y ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°.(2)在x ′轴上取点B ′，M ′，使O ′B ′＝OB ，O ′M ′＝OM ，过点M ′作M ′A ′∥y ′轴，取M ′A ′＝12MA .连接O ′A ′，B ′A ′，如图2.(3)擦去辅助线，则△O ′A ′B ′为水平放置的△OAB 的直观图． 12．画正六棱柱的直观图．解：画法如下：(1)画轴：画x ′轴、y ′轴、z ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°，∠x ′O ′z ′＝90°； (2)画底面：画正六边形的直观图ABCDEF (O ′为正六边形的中心)；(3)画侧棱：过A ，B ，C ，D ，E ，F 各点分别作z ′轴的平行线，在这些平行线上分别截取AA ′，BB ′，CC ′，DD ′，EE ′，FF ′，使AA ′＝BB ′＝CC ′＝DD ′＝EE ′＝FF ′；(4)连线成图：连接A ′B ′，B ′C ′，C ′D ′，D ′E ′，E ′F ′，F ′A ′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到正六棱柱ABCDEF －A ′B ′C ′D ′E ′F ′，如图所示．给高中生的建议初中学生学数学，靠的是一个字：练！高中学生学数学靠的也是一个字：悟！学好数学的核心就是悟，悟就是理解，为了理解就要看做想。

高中北师大版数学必修2(45分钟课时作业与单元测试卷)：第2章2.1 圆的标准方程 Word版含解析

2．1圆的标准方程时间：45分钟满分：80分班级________姓名________分数________一、选择题(每小题5分，共5×6＝30分)1．以(2，－1)为圆心，4为半径的圆的标准方程为()A．(x＋2)2＋(y－1)2＝4B．(x＋2)2＋(y－1)2＝16C．(x－2)2＋(y＋1)2＝16D．(x－2)2＋(y＋1)2＝4答案：C解析：由圆心为(a，b)，半径为r的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，易知答案为C.2．圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝4的面积等于()A．π B．2πC．4π D．8π答案：C解析：由圆C的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝4，知半径r＝4＝2，则圆的面积S＝πr2＝4π.故选C.3．若直线x＋y－3＝0始终平分圆(x－a)2＋(y－b)2＝2的周长，则a＋b＝()A．3 B．2C．5 D．1答案：A解析：由题可知，圆心(a，b)在直线x＋y－3＝0上，∴a＋b－3＝0，即a＋b＝3.4．已知点P(a，a＋1)在圆x2＋y2＝25的内部，那么实数a的取值范围是()A．(－4,3) B．(－5,4)C．(－5,5) D．(－6,4)答案：A解析：由a2＋(a＋1)2<25，可得2a2＋2a－24<0，解得－4<a<3.5．圆心为(2，－3)，一条直径的两端点分别在x轴、y轴上，则此圆的方程是() A．(x－2)2＋(y＋3)2＝13B．(x＋2)2＋(y－3)2＝13C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52答案：A解析：利用平面几何知识得r＝(2－0)2＋(－3－0)2＝13.6．在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝2上与点(0，－5)距离最大的点的坐标是()A．(5,1) B．(4,1)C．(2＋2，2－3) D．(3，－2)答案：D解析：点(0，－5)与圆心(2，－3)所在的直线方程为y＝x－5，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x －5(x －2)2＋(y ＋3)2＝2得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝－4，经检验点(3，－2)符合题意．二、填空题(每小题5分，共5×3＝15分)7．与圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝16同圆心且过点P (－1,1)的圆的方程为________．答案：(x －2)2＋(y ＋3)2＝25解析：因为已知圆的圆心为(2，－3)，所以所求圆的圆心为(2，－3)．又r ＝(2＋1)2＋(－3－1)2＝5，所以所求圆的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝25.8．若直线y ＝ax ＋b 通过第一、二、四象限，则圆(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝1的圆心位于第______象限．答案：四解析：(－a ，－b )为圆的圆心，由直线经过一、二、四象限，得到a ＜0，b ＞0，即－a ＞0，－b ＜0，故圆心位于第四象限．9．已知圆O 的方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25，则点M (2,3)到圆上的点的距离的最大值为________．答案：5＋ 2解析：由题意，知点M 在圆O 内，MO 的延长线与圆O 的交点到点M (2,3)的距离最大，最大距离为(2－3)2＋(3－4)2＋5＝5＋ 2.三、解答题(共35分，11＋12＋12)10．求圆心在x 轴上，且过A (1,4)，B (2，－3)两点的圆的方程．解：设圆心为(a,0)，则(a －1)2＋16＝(a －2)2＋9，所以a ＝－2.半径r ＝(a －1)2＋16＝5，故所求圆的方程为(x ＋2)2＋y 2＝25.11．已知圆过点A (1，－2)，B (－1,4)．(1)求周长最小的圆的方程；(2)求圆心在直线2x －y －4＝0上的圆的方程．解：(1)当线段AB 为圆的直径时，过点A ，B 的圆的半径最小，从而周长最小，即以线段AB 的中点(0,1)为圆心，r ＝12|AB |＝10为半径．则所求圆的方程为x 2＋(y －1)2＝10.(2)解法一：直线AB 的斜率k ＝4－(－2)－1－1＝－3，则线段AB 的垂直平分线的方程是y －1＝13x ，即x －3y ＋3＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧ x －3y ＋3＝02x －y －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝2，即圆心的坐标是C (3,2)．∴r 2＝|AC |2＝(3－1)2＋(2＋2)2＝20.∴所求圆的方程是(x －3)2＋(y －2)2＝20.解法二：设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝R 2. 则⎩⎪⎨⎪⎧ (1－a )2＋(－2－b )2＝R 2(－1－a )2＋(4－b )2＝R22a －b －4＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3b ＝2R 2＝20.∴所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝20.12．已知点A (－2，－2)，B (－2,6)，C (4，－2)，点P 在圆x 2＋y 2＝4上运动，求|P A |2＋|PB |2＋|PC |2的最值．解：设P 点坐标(x ，y )，则x 2＋y 2＝4.|P A |2＋|PB |2＋|PC |2＝(x ＋2)2＋(y ＋2)2＋(x ＋2)2＋(y －6)2＋(x －4)2＋(y ＋2)2＝3(x 2＋y 2)－4y ＋68＝80－4y .∵－2≤y ≤2，∴72≤|P A |2＋|PB |2＋|PC |2≤88.即|P A |2＋|PB |2＋|PC |2的最大值为88，最小值为72.给高中生的建议初中学生学数学，靠的是一个字：练！高中学生学数学靠的也是一个字：悟！学好数学的核心就是悟，悟就是理解，为了理解就要看做想。

高中北师大版数学必修2(45分钟课时作业与单元测试卷)：第1章4.1 空间图形基本关系的认识 Word版含解析

4．1空间图形基本关系的认识时间：45分钟满分：80分班级________姓名________分数________一、选择题(每小题5分，共5×6＝30分)1．下列说法错误的是()A．若一条直线与平面有无数个公共点，则这条直线在平面内B．若两个平面没有公共点，则两个平面互相平行C．直线与平面的位置关系有两种：相交、平行D．如果一条直线与平面只有一个公共点，那么这条直线和平面相交答案：C2．如果a⊂α，b⊂α，l∩a＝A，l∩b＝B，那么下列关系成立的是()A．l⊂αB．l∉αC．l∩α＝A D．l∩α＝B答案：A解析：∵l∩a＝A又a⊂α，∴A∈l且A∈α.同理B∈l且B∈α.∴l⊂α.3．如果两条直线a和b没有公共点，那么a与b的位置关系是()A．共面B．平行C．异面D．平行或异面答案：D解析：由两条直线的位置关系，可知答案为D.4．下面空间图形画法错误的是()A BC D答案：D解析：画立体图时，被平面遮住的部分画成虚线或不画．5．已知a、b是异面直线，直线c∥直线a，那么c与b()A．一定是异面直线B．一定是相交直线C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线答案：C解析：若b∥c，∵a∥c，∴a∥b，这与a、b异面矛盾，其余情况均有可能．6．一条直线与两条异面直线中的一条相交，则它与另一条的位置关系是() A．异面B．平行C．相交D．可能相交、平行、也可能异面答案：D解析：一条直线与两条异面直线中的一条相交，它与另一条的位置关系有三种：平行、相交、异面，如下图所示．二、填空题(每小题5分，共5×3＝15分)7．点A在直线l上，用符号表示为______；直线AB在平面β内，用符号可表示为______；平面α与平面β相交于直线l可表示为______．答案：A∈l AB⊂βα∩β＝l8．设平面α与平面β相交于直线l，直线aα，直线bβ，a∩b＝M，则点M与l的位置关系为________．答案：M∈l解析：因为a∩b＝M，aα，bβ，所以M∈α，M∈β.又平面α与平面β相交于直线l，所以点M在直线l上，即M∈l.9．如图，G，N，M，H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则直线GH，MN是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号)．答案：②解析：图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG，则GM∥HN，因此GH与MN共面．三、解答题(共35分，11＋12＋12)10．按照给出的要求，完成下面两个相交平面的作图，如图①②③④⑤⑥中的线段AB，分别是两个平面的交线．解：11．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1、B1C1的中点，问：(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由；(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由．解：(1)不是异面直线，理由：连结MN，A1C1、AC，如图，因为M、N分别是A1B1、B1C1的中点，所以MN∥A1C1.又因为A1A綊D1D，D1D綊C1C，所以A1A綊C1C，四边形A1ACC1为平行四边形，所以A1C1∥AC，故MN∥A1C1∥AC，所以A、M、N、C在同一个平面内，故AM和CN不是异面直线．(2)是异面直线，证明如下：假设D1B与CC1在同一个平面CC1D1内，则B∈平面CC1D1，C∈平面CC1D1，所以BC⊂平面CC1D1，这显然是不正确的，所以假设不成立，故D1B与CC1是异面直线．12.如图，已知P∉平面ABC，P A≠PN⊥AB与N，求证：CM和PN是异面直线．解：证法1：假设CM和PN共面，则有下列两种情况：(1)若M、N重合，可得AN＝BN，∴PN是线段AB的中垂线，∴P A＝PB，与题设P A≠PB矛盾．(2)若M、N不重合，CM和PN共面，即PC与MN共面，可得P∈平面ABC，与题设P∉平面ABC矛盾．所以CM和PN是异面直线．证法2：∵CM是AB上的中线，∴CM⊂平面ABC.又∵PN⊥AB于N，∴N∈平面ABC.∵P A≠PB，∴AN≠BN.∴N与M不重合，即N∉CM.又∵P∉平面ABC，∴CM和PN是异面直线．给高中生的建议初中学生学数学，靠的是一个字：练！高中学生学数学靠的也是一个字：悟！学好数学的核心就是悟，悟就是理解，为了理解就要看做想。

2017-2018学年北师大版高中数学必修二课时作业：第一

第一章章末检测卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．给出下列几个命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱；③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．其中正确命题的个数是( )A．0 B．1C．2 D．3解析：①不一定，只有这两点的连线平行于轴时才是母线；②正确；③错误，棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等．答案：B2．下列结论正确的是( )A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线解析：A错误．如图1所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥．B错误．如图2，若△ABC不是直角三角形或是直角三角形，但旋转轴不是直角边所在直线，所得的几何体都不是圆锥．C错误．若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形．由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长．D正确．答案： D3．如图所示是一个物体的三视图，则此三视图所描述物体的直观图是( )先观察俯视图，由俯视图可知选项B和D中的一个正确，由正视图和侧视图可知C，侧视图的宽应为俯视图中三角形的高一))“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞根据直观图以及图中的辅助四边形分析可知，当正视图和侧视图完全相同时，该几何体是由一个正方体和一个正四棱锥构成的组合体．＝2×2×2＝8(cm3)；上面是底面边长为小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为PA，PB，PC两两垂直且________．为长方体的长、宽、高作长方体，则长方体的对角线长为解析：由三视图知，四棱锥的高为3，底面平行四边形的一边长为2.是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：，那么α⊥β.图中的几何体可看成是一个底面为直角梯形且侧棱垂直于底面的棱柱，某个侧面在水平面上．直角梯形的上底为1，下底为2，高为2.所以此几何体的体积V＝S30 cm，由其侧面积等于两底面面积的和可得如图，在三棱锥BC＝8，DF＝5.求该直三棱柱的体积与表面积；，使得GP ∥平面FMC ，并给出证明．由题意，可知该直三棱柱的体积为12×a ×a ×a 2＝(3＋2)a 2.在折叠的过程中，直线AB 与CD 能否垂直？若能，求出相应能够垂直．CD＝D，ABCD所成角的大小；－C的大小．解析：根据三视图可知：PA垂直平面ABCD，点E，F分别为AC和GE，则FG∥PA，GE为EF与平面ABCD所成的角，在Rt△FGE中，FG＝2，GE＝2，所以∠FEG＝45°.(2)因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BA，PA⊥CA，所以∠BAC为二面角B－PA－C的平面角．又因为∠BAC＝45°.所以二面角B－PA－C的平面角的大小为45°.。

2018学年高中北师大版数学必修245分钟课时作业与单元测试卷：第2章章末检测含解析

第二章章末检测一、选择题(本大题10个小题，每小题5分，共50分)1．倾斜角为45°，在y 轴上的截距为－1的直线方程是( )A ．x －y ＋1＝0B ．x －y －1＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋y ＋1＝0答案：B解析：直线的斜率为k ＝tan45°＝1，所以满足条件的直线方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0，选B.2．列说法中正确的是( )A ．两条平行直线的斜率一定相等B ．两条平行直线的倾斜角一定相等C ．垂直的两直线的斜率之积为－1D ．互相垂直的两直线的倾斜角互补答案：B3．从直线l ：x －y ＋3＝0上一点P 向圆C ：x 2＋y 2－4x －4y ＋7＝0引切线，记切点为M ，则|PM |的最小值为( ) A.322 B.142C.324D.322－1 答案：B解析：由题意，知圆心为C (2,2)，半径为1，当CP ⊥l 时，|PM |取最小值．圆心C 到直线l 的距离d ＝|2－2＋3|2＝322，则|PM |min ＝⎝⎛⎭⎫3222－12＝142. 4．圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离答案：B解析：两圆的圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为r ＝2，R ＝3两圆的圆心距离为 (－2－2)2＋(0－1)2＝ 17，则R －r < 17<R ＋r ，所以两圆相交，选B.5．若直线x －y ＋1－0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 取值范围是( )A. [－3，－1]B ．[－1,3]C. [ －3,1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)答案：C解析：圆(x －a )2＋y 2＝2的圆心C (a,0)到直线x －y ＋1＝0的距离为d ，则d ≤r ＝ 2⇔||a ＋12≤ 2⇔||a ＋1≤2⇔－3≤a ≤1. 6．已知点P (x ，y )在直线l ：3x ＋4y －10＝0上，O 为原点，则当||OP 最小时，点P 的坐标是( )A ．(65，85) B ．(2,4) C ．(5，－54) D ．(15，－35) 答案：A7．过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分两部分，使这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为( )A ．x ＋y －2＝0B ．y －1＝0C ．x －y ＝0D ．x ＋3y －4＝0答案：A解析：要使直线将圆形区域分成两部分的面积之差最大，必须使过点P 的圆的弦长达到最小，所以需该直线与直线OP 垂直即可．又已知点P (1,1)，则k OP ＝1，故所求直线的斜率为－1.又所求直线过点P (1,1)，故由点斜式得，所求直线的方程为y －1＝－()x －1，即x ＋y －2＝0.故选A.8．在坐标平面内，与点A (1,2)距离为1，且与点B (3,1)距离为2的直线共有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条答案：B9．若圆(x －a )2＋(y －b )2＝b 2＋1始终平分圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4的周长，则a 、b 应满足的关系式是( )A ．a 2－2a －2b －3＝0B ．a 2＋2a ＋2b ＋5＝0C ．a 2＋2b 2＋2a ＋2b ＋1＝0D ．3a 2＋2b 2＋2a ＋2b ＋1＝0答案：B解析：依题意，当两圆的公共弦所在直线经过圆心(－1，－1)时，满足题意，而公共弦方程为2(a ＋1)x ＋2(b ＋1)y －a 2－1＝0，又过(－1，－1)点，∴a 2＋2a ＋2b ＋5＝0.10．已知直线l ：x －y －1＝0，l 1：2x －y －2＝0.若直线l 2与l 1关于l 对称，则l 2的方程是( )A ．x －2y ＋1＝0B ．x －2y －1＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋2y －1＝0答案：B二、填空题(本大题5个小题，每小题5分，共25分)11．若直线ax ＋2y －6＝0与x ＋(a －1)y －(a 2－1)＝0平行，则它们之间的距离为________．答案：655解析：因为两直线平行，所以有a (a －1)＝2，即a 2－a －2＝0，解得a ＝2或－1，但当a ＝2时，两直线重合，不符合题意，故只有a ＝－1，此时两直线方程分别为x －2y ＋6＝0和x －2y ＝0，它们之间的距离d ＝612＋(－2)2＝655. 12．对于任意实数k ，直线(3k ＋2)x －kx －2＝0与圆x 2＋y 2－2x －2y －2＝0的位置关系是________．答案：相切或相交解析：直线方程可化为k (3x －y )＋2x －2＝0，所以直线恒过定点(1,3)，而点(1,3)在圆上，所以直线与圆相切或相交．13．圆C 1：(x －m )2＋(y ＋2)2＝9与圆C 2：(x ＋1)2＋(y －m )2＝4相切，则m 的值为________．答案：2或－5或－1或－2解析：设圆C 1的半径为r 1，圆C 2的半径为r 2，两圆圆心间的距离为d .两圆外切时，满足r 1＋r 2＝d ，即5＝(m ＋1)2＋(－2－m )2，解得m ＝2或－5；两圆内切时，满足r 1－r 2＝d ，即1＝(m ＋1)2＋(－2－m )2，解得m ＝－1或－2.14．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________．答案：43解析：∵圆C 的方程可化为：(x －4)2＋y 2＝1，∴圆C 的圆心为(4,0)，半径为1.∵由题意，直线y ＝kx －2上至少存在一点A (x 0，kx 0－2)，以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点；∴存在x 0∈R ，使得AC ≤1＋1成立，即AC min ≤2.∵AC min 即为点C 到直线y ＝kx －2的距离|4k －2|k 2＋1， ∴|4k －2|k 2＋1≤2，解得0≤k ≤43. ∴k 的最大值是43. 15．过直线x ＋y －2 2＝0上点P 作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P 的坐标是________．答案：(2，2)解析：如图，由题意可知∠APB ＝60°，由切线性质可知∠OPB ＝30°，在直角三角形OBP 中，OP ＝2OB ＝2，又点P 在直线x ＋y －2 2＝0上，所以不妨设点P (x,2 2－x )，则OP＝ x 2＋(2 2－x )2＝2，即x 2＋ 2 2x ＋2＝0，即(x － 2)2＝0，所以x ＝ 2，即点P 的坐标为(2三、解答证明题(本大题共6骤．)16．(12分)已知△ABC 中，A (3,2)，B (－1,5)，点C 在直线3x －y ＋3＝0上，若△ABC 的面积为10，求出点C 的坐标．解：由题意，得|AB |＝[3－(－1)]2＋(2－5)2＝5.∵S △ABC ＝12|AB |·h ＝10，∴h ＝4(h 为点C 到直线AB 的距离)．设点C 的坐标为(x 0，y 0)，AB 的方程为y －2＝－34(x －3)，即3x ＋4y －17＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧3x 0－y 0＋3＝0|3x 0＋4y 0－17|5＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝－1y 0＝0或⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝53y 0＝8.∴点C 的坐标为(－1,0)或⎝⎛⎭⎫53，8.17．(12分)圆O ：x 2＋y 2＝8内有一点P (－1,2)，过点P 且倾斜角为α的直线交圆O 于A ，B 两点．(1)当α＝135°时，求弦AB 的长；(2)当弦AB 被点P 平分时，求直线AB 的方程．解：(1)∵α＝135°，∴直线AB 的斜率k ＝tan135°＝－1.又直线AB 过点P ，∴直线AB 的方程为y ＝－x ＋1，代入x 2＋y 2＝8，得2x 2－2x －7＝0，设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝1，x 1x 2＝－72， ∴|AB |＝[1＋(－1)2][(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝30.(2)∵点P 为AB 的中点，∴OP ⊥AB .∵k OP ＝－2，∴k AB ＝12. ∴直线AB 的方程为x －2y ＋5＝0.18．(12分)已知两条直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y －b ＝0.(1)若l 1⊥l 2，且l 1过点(－3，－1)，求实数a ，b 的值．(2)是否存在实数a ，b ，使得l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等？并说明理由．解：(1)由已知可得l 2的斜率存在，为k 2＝1－a .若k 2＝0，则1－a ＝0，a ＝1.∵l 1⊥l 2，∴直线l 1的斜率必不存在，即b ＝0.又l 1过点(－3，－1)，∴－3a ＋4＝0，即a ＝43(矛盾)． ∴此种情况不存在，∴k 2≠0，直线l 1的斜率存在，设为k 1.∵k 2＝1－a ，k 1＝a b，l 1⊥l 2， ∴k 1k 2＝－1，即a b(1－a )＝－1. ① 又l 1过点(－3，－1)，∴－3a ＋b ＋4＝0. ②由①②联立，解得a ＝2，b ＝2.(2)不存在，理由如下：∵l 2的斜率存在，l 1∥l 2，∴直线l 1的斜率存在．又坐标原点到这两条直线的距离相等，∴l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4b＝－b ，该方程无实数解． ∴不存在满足条件的实数a ，b .19．(13分)已知点M (x ，y )与两个定点M 1(26,1)，M 2(2,1)之间的距离的比为，记点M 的轨迹为曲线C .(1)求点M 的轨迹C 的方程，并说明轨迹C 是什么图形；(2)过点Q (－2,3)的直线l 被轨迹C 所截得的线段的长为8，求直线l 的方程．解：(1)由题意，得|MM 1||MM 2|＝5，即(x －26)2＋(y －1)2(x －2)2＋(y －1)2＝5，化简得x 2＋y 2－2x －2y －23＝0，即(x －1)2＋(y －1)2＝25.∴点M 的轨迹C 的方程是(x －1)2＋(y －1)2＝25，轨迹C 是以(1,1)为圆心，5为半径的圆．(2)当直线l 的斜率不存在时，l ：x ＝－2，此时所截得的线段的长为252－32＝8，符合题意．当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y －3＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＋3＝0，圆心(1,1)到直线l 的距离d ＝|3k ＋2|k 2＋1，由题意，得⎝ ⎛⎭⎪⎫|3k ＋2|k 2＋12＋42＝52，解得k ＝512， ∴直线l 的方程为512x －y ＋236＝0，即5x －12y ＋46＝0.综上，直线l 的方程为x ＝－2或5x －12y ＋46＝0.20．(13分)已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0.(1)若圆C 的切线在x 轴和y 轴上的截距相等，求此切线的方程；(2)从圆C 外一点P (x 1，y 1)向该圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有|PM |＝|PO |，求|PM |的最小值及使得|PM |取得最小值的点P 的坐标．解：(1)将圆C 的方程化为标准方程，为(x ＋1)2＋(y －2)2＝2，其圆心C (－1,2)，半径r ＝ 2.①当切线在两坐标轴上的截距为零时，设切线方程为y ＝kx ， ∴圆心到切线的距离为|－k －2|k 2＋1＝2，即k 2－4k －2＝0，解得k ＝2±6. ∴切线方程为y ＝(2±6)x .②当切线在两坐标轴上的截距不为零时，设切线方程为x ＋y －a ＝0，∴圆心到切线的距离为|－1＋2－a |2＝2，即|a －1|＝2，解得a ＝3或－1. ∴切线方程为x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0.综上所述，所求切线方程为y ＝(2±6)x 或x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0.(2)∵PM 为圆C 的切线，∴△PMC 为直角三角形．又|PM |＝|PO |，∴|PM |2＝|PO |2＝|PC |2－r 2，∴x 21＋y 21＝(x 1＋1)2＋(y 1－2)2－2，化简得2x 1－4y 1＋3＝0，即点P 的轨迹是直线l ：2x －4y ＋3＝0，∴求|PM |的最小值，即求|PO |的最小值，也就是点O 到直线2x －4y ＋3＝0的距离，由点到直线的距离公式，可知|PM |min ＝322＋(－4)2＝3510. 当|PM |取最小值时，OP ⊥l ，∴直线OP 的方程为2x ＋y ＝0，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＝02x －4y ＋3＝0，得⎩⎨⎧x ＝－310y ＝35， ∴点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－310，35. 21．(13分)设圆C 1的方程为(x ＋2)2＋(y －3m －2)2＝4m 2，直线l 的方程为y ＝x ＋m ＋2.(1)求C 1关于l 对称的圆C 2的方程；(2)当m 变化且m ≠0时，求证：C 2的圆心在一条定直线上，并求C 2所表示的一系列圆的公切线方程．解：(1)圆C 1的圆心为C 1(－2,3m ＋2)，设C 1关于直线l 对称点为C 2(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧ b －3m －2a ＋2＝－13m ＋2＋b 2＝a －22＋m ＋2，解得：⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2m b ＝m ， ∴圆C 2的方程为(x －2m )2＋(y －m )2＝4m 2.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2mb ＝m 消去m 得a －2b ＝0，即圆C 2的圆心在定直线x －2y ＝0上． ①当公切线的斜率不存在时，易求公切线的方程为x ＝0；②当公切线的斜率存在时，设直线y ＝kx ＋b 与圆系中的所有圆都相切，则|k ·2m －m ＋b |1＋k2＝2|m |，即(－4k －3)m 2＋2(2k －1)·b ·m ＋b 2＝0， ∵直线y ＝kx ＋b 与圆系中的所有圆都相切，所以上述方程对所有的m 值都成立，所以有：⎩⎪⎨⎪⎧ －4k －3＝02(2k －1)·b ＝0b 2＝0，解之得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－34b ＝0，所以C 2所表示的一系列圆的公切线方程为：y ＝－34x ，故所求圆的公切线为x ＝0或y ＝－34x .。

高中北师大版数学必修2(45分钟课时作业与单元测试卷)：第1章5.1 平行关系的判定 Word版含解析

5．1平行关系的判定时间：45分钟满分：80分班级________姓名________分数________一、选择题(每小题5分，共5×6＝30分)1．长方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AA1中点，F为BB1中点，与EF平行的长方体的面有()A．1个B．2个C．3个D．4个答案：C解析：上、下底面和面CC1D1D与EF平行，故3个．2．下列命题正确的是()A．一条直线与一个平面平行，它就和这个平面内的任意一条直线平行B．平行于同一个平面的两条直线平行C．与两个相交平面的交线平行的直线，必平行于这两个平面D．平面外两条平行直线中的一条与这个平面平行，则另一条也与这个平面平行答案：D解析：对于A，平面内还存在直线与这条直线异面，错误；对于B，这两条直线还可以相交、异面，错误；对于C，这条直线还可能在其中一个平面内，错误．故选D.3．在正方体EFGH－E1F1G1H1中，下列四对截面彼此平行的是()A．平面E1FG1与平面EGH1B．平面FHG1与平面F1H1GC．平面F1H1E与平面FHE1D．平面E1HG1与平面EH1G答案：A解析：根据面面平行的判定定理，可知A正确．4．已知A，B是直线l外的两点，则过A，B且和l平行的平面有()A．0个B．1个C．无数个D．以上都有可能答案：D解析：若直线AB与l相交，则过A，B不存在与l平行的平面；若AB与l异面，则过A，B存在1个与l平行的平面；若AB与l平行，则过A，B存在无数个与l平行的平面，所以选D.5．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱AB ，CC 1的中点，则在平面ADD 1A 1内且与平面D 1EF 平行的直线( )A ．不存在B ．有1条C ．有2条D ．有无数条答案：D解析：在AA 1上取一点G ，使得AG ＝14AA 1，连接EG ，DG ，可证得EG ∥D 1F ，所以E ，G ，D 1，F 四点共面，所以在平面ADD 1A 1内，平行于D 1G 的直线均平行于平面D 1EF ，这样的直线有无数条．6．如图，在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别为AB ，AD 上的点，且AE EB ＝AF FD ＝，H ，G 分别为BC ，CD 的中点，则( )A ．BD ∥平面EFGH ，且四边形EFGH 是平行四边形B ．EF ∥平面BCD ，且四边形EFGH 是梯形C ．HG ∥平面ABD ，且四边形EFGH 是平行四边形 D ．EH ∥平面ADC ，且四边形EFGH 是梯形答案：B解析：由题意，知EF ∥BD ，且EF ＝15BD ，HG ∥BD ，且HG ＝12BD ，∴EF ∥HG ，且EF ≠HG ，∴四边形EFGH 是梯形．又EF ∥平面BCD ，EH 与平面ADC 不平行，故选B.二、填空题(每小题5分，共5×3＝15分)7．如果直线a ，b 相交，直线a ∥平面α，则直线b 与平面α的位置关系是________．答案：相交或平行解析：根据线面位置关系的定义，可知直线b 与平面α的位置关系是相交或平行． 8．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1________．答案：平面A 1C 1B 和平面A 1C 1D 解析：如图所示截面一定过A 1，C 1两点，又截面过三个顶点，故所求截面为A 1C 1B 和平面A 1C 1D .9．已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，G 是A 1C 1的中点，过点G 的截面与侧面ABB 1A 1平行，若侧面ABB 1A 1是边长为4的正方形，则截面周长为________．答案：12 解析：如图，取B 1C 1的中点M ，BC 的中点N ，AC 的中点H ，连接GM ，MN ，HN ，GH ，则GM ∥HN ∥AB ，MN ∥GH ∥AA 1，所以有GM ∥平面ABB 1A 1，MN ∥平面ABB 1A 1.又GM ∩MN ＝M ，所以平面GMNH ∥平面ABB 1A 1，即平面GMNH 为过点G 且与平面ABB 1A 1平行的截面．易得此截面的周长为4＋4＋2＋2＝12.三、解答题(共35分，11＋12＋12)10．如图，在四棱锥O －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，M 为OA 的中点，N 为BC 的中点，求证：MN ∥平面OCD .证明：如图，取OD 的中点E ，连接ME ，CE .∵M 为OA 的中点，N 为BC 的中点，∴ME 綊12AD 綊NC ，∴四边形MNCE 为平行四边形，∴MN ∥EC .又MN 平面OCD ，EC 平面OCD ，∴MN ∥平面OCD .11．如图所示，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 为矩形，E ，F ，H 分别为AB ，CD ，PD 的中点．求证：平面AFH ∥平面PCE .证明：因为F ，H 分别为CD ，PD 的中点，所以FH ∥PC .又FH平面PCE，PC平面PCE，所以FH∥平面PCE.又E为AB的中点，所以AE∥CF且AE＝CF，所以四边形AECF为平行四边形，所以AF∥CE.又AF平面PCE，CE平面PCE，所以AF∥平面PCE.又FH∩AF＝F，所以平面AFH∥平面PCE.12.如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，点D1是线段A1C1上的一点，当A1D1D1C1为何值时，BC1∥平面AB1D1?解：当A1D1D1C1＝1时，BC1∥平面AB1D1.证明如下：如图，连接A1B交AB1于点O，连接OD1.由棱柱的定义，知四边形A1ABB1为平行四边形，所以点O为A1B的中点．在△A1BC1中，点O，D1分别为A1B，A1C1的中点，所以OD1∥BC1.又OD1平面AB1D1，BC1平面AB1D1，所以BC1∥平面AB1D1.给高中生的建议初中学生学数学，靠的是一个字：练！高中学生学数学靠的也是一个字：悟！学好数学的核心就是悟，悟就是理解，为了理解就要看做想。

高中北师大版数学必修2(45分钟课时作业与单元测试卷)：第1章5.2 平行关系的性质 Word版含解析

5．2平行关系的性质时间：45分钟满分：80分班级________姓名________分数________一、选择题(每小题5分，共5×6＝30分)1．如图所示，长方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF 的平面EFGH分别交BC和AD于G、H，则HG与AB的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．平行和异面答案：A解析：∵E、F分别是AA1、BB1的中点，∴EF∥AB.又AB⊄平面EFGH，EF⊂平面EFGH，∴AB∥平面EFGH.又AB⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面EFGH＝GH，∴AB∥GH.2．设平面α∥β，直线aα，直线bβ，有下列四种情形：①a⊥b；②a∥b；③a与b 为异面直线；④a与b相交．其中可能出现的情形有()A．1种B．2种C．3种D．4种答案：C解析：易知①②③均可能出现，如果a与b相交，则α与β有公共点，这与α∥β相矛盾，故④不可能出现．3．在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，当BD∥平面EFGH时，下列结论正确的是()A．E，F，G，H一定是各边的中点B．G，H一定是CD，DA的中点C．BE EA＝BF FC，且DH HA＝DG GCD．AE EB＝AH HD，且BF FC＝DG GC答案：D解析：由BD∥平面EFGH，得BD∥EH，BD∥FG，则AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC ＝DG∶GC.4．若平面α∥平面β，直线a∥平面α，点B在平面β内，则在平面β内且过点B的所有直线中()A．不一定存在与a平行的直线B．只有两条与a平行的直线C．存在无数条与a平行的直线D．存在唯一与a平行的直线答案：A解析：当直线a平面β，且点B在直线a上时，在平面β内且过点B的所有直线中不存在与a平行的直线．故选A.5．设α∥β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当A、B分别在平面α、β内运动时，那么所有的动点C()A．不共面B．当且仅当A、B分别在两条直线上移动时才共面C．当且仅当A、B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面D．不论A、B如何移动，都共面答案：D解析：如图所示，A′、B′分别是A、B两点在α、β上运动后的两点，此时AB中点变成A′B′中点C′，连接A′B，取A′B中点E.连接CE、C′E、AA′、BB′、CC′.则CE∥AA′，∴CE∥α.C′E∥BB′，∴C′E∥β.又∵α∥β，∴C′E∥α.∵C′E∩CE＝E.∴平面CC′E∥平面α.∴CC′∥α.所以不论A、B如何移动，所有的动点C都在过C点且与α、β平行的平面上．6．若α∥β，A∈α，C∈α，B∈β，D∈β，且AB＋CD＝28，AB、CD在β内的射影长分别为9和5，则AB、CD的长分别为()A．16和12 B．15和13C．17和11 D．18和10答案：B解析：如图，作AM⊥β，CN⊥β，垂足分别为M、N，设AB＝x，则CD＝28－x，BM＝9，ND ＝5，∴x2－81＝(28－x)2－25，∴x＝15,28－x＝13.二、填空题(每小题5分，共5×3＝15分)7．若空间四边形ABCD的两条对角线AC、BD的长分别是8,12，过AB的中点E作平行于BD、AC的截面四边形的周长为________．答案：20解析：截面四边形为平行四边形，则l ＝2×(4＋6)＝20.8．如图所示，E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 四边上的点，且它们共面，AC ∥平面EFGH ，BD ∥平面EFGH ，AC ＝m ，BD ＝n ，当四边形EFGH 为菱形时，AE EB ＝________.答案：m ∶n 解析：因为AC ∥平面EFGH ，平面ABC ∩平面EFGH ＝EF ，AC 平面ABC ，所以EF∥AC ，所以EB BA ＝EF AC ①.同理可证AE BA ＝EHBD ②.又四边形EFGH 是菱形，所以EF ＝EH ，由①②，得AE EB ＝AC BD .又AC ＝m ，BD ＝n ，所以AE EB ＝mn.9．如图所示，在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别是棱CC 1，C 1D 1，D 1D ，DC 的中点，N 是BC 的中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则点M 满足条件________时，有MN ∥平面B 1BDD 1.答案：M ∈线段FH解析：如图，连接FH ，HN ，FN ，由平面HNF ∥平面B 1BDD 1，知当点M 在线段FH 上时，有MN ∥平面B 1BDD 1.三、解答题(共35分，11＋12＋12) 10.如图，过正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱BB 1作一平面交平面CDD 1C 1于EF .求证：BB 1∥EF .证明：∵CC1∥BB1，CC1平面BEFB1，BB1平面BEFB1，∴CC1∥平面BEFB1.又CC1平面CC1D1D，平面CC1D1D∩BEFB1＝EF，∴CC1∥EF，∴BB1∥EF.11．如图，多面体ABC－DEFG中，AB，AC，AD两两垂直，平面ABC∥平面DEFG，平面BEF∥平面ADGC，AB＝AD＝DG＝2，AC＝EF＝1.(1)证明：四边形ABED是正方形；(2)判断点B，C，F，G是否共面，并说明理由．解：(1)平面ABC∥平面DEFG，平面ABED∩平面ABC＝AB，平面ABED∩平面DEFG＝DE，由面面平行的性质定理，得AB∥DE.同理AD∥BE.所以四边形ABED为平行四边形．又AB⊥AD，AB＝AD，所以四边形ABED是正方形．(2)如图，取DG的中点P，连接P A，PF.在梯形EFGD中，FP∥DE且FP＝DE.又AB∥DE，AB＝DE，所以AB∥FP且AB＝FP.所以四边形ABFP为平行四边形，所以AP∥BF.在梯形ACGD中，AP∥CG，所以BF∥CG.故B，C，F，G四点共面．12．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B1的中点是P，过点A1作与截面PBC1平行的截面，能否确定截面的形状？如果能，求出截面的面积．解：能．取AB，C1D1的中点M，N，连接A1M，MC，CN，NA1，∵A1N∥PC1且A1N＝PC1，PC 1∥MC ，PC 1＝MC ，∴四边形A 1MCN 是平行四边形，又∵A 1N ∥PC 1，A 1M ∥BP ， A 1N ∩A 1M ＝A 1，C 1P ∩PB ＝P ， ∴平面A 1MCN ∥平面PBC 1，因此，过点A 1与截面PBC 1平行的截面是平行四边形．连接MN ，作A 1H ⊥MN 于点H ， ∵A 1M ＝A 1N ＝ 5，MN ＝2 2， ∴A 1H ＝ 3.∴S △A 1MN ＝12×2 2× 3＝ 6.故S ▱A 1MCN ＝2S △A 1MN ＝2 6.给高中生的建议初中学生学数学，靠的是一个字：练！高中学生学数学靠的也是一个字：悟！学好数学的核心就是悟，悟就是理解，为了理解就要看做想。

2021学年高中北师大版数学必修245分钟课时作业与单元测试卷：第2

2021学年高中北师大版数学必修245分钟课时作业与单元测试卷：第2----8a681724-6ea1-11ec-bdab-7cb59b590d7d1．5平面直角坐标系中的距离公式时间：45分钟满分：80分班级________姓名________分数________一、多项选择题（每题5分，共5分）×6=30分）1．点p(－1,2)到直线3x－1＝0的距离为()a．5b．454c.d.33答案：d 一解析：直线3x－1＝0的方程可化为x＝，所以点p(－1,2)到该直线的距离为d＝三?－1－1?＝4.3?3?2.假设点a在x轴上，点B在y轴上，线段AB中点m的坐标为（3,4），则AB的长度为（）a．10b．5c．8d．6答案：a解析：设a(a,0)，b(0，b)，则a＝6，b＝8，即a(6,0)，b(0,8)，所以|ab|＝?6－0?2＋?0－8?2＝36＋64＝10.3.假设两点a（3,2）和B（-1,4）与直线MX+y+3=0之间的距离相等，实数m的值为（）11a、 -6或B-或122111c．－或d．0或222答案：a|3M+2+3 |-M+4+3 |-1分析：=，即| 3M+5 |=| 7-M |，解为M=-6或2m2＋12m2＋124．到直线3x－4y＋1＝0的距离为3，且与此直线平行的直线方程是()a．3x－4y＋4＝0b、 3x-4y+4=0或3x-4y-2=0C。

3x-4y+16=0d．3x－4y＋16＝0或3x－4y－14＝0答案：d分析：在直线3x-4y+1=0上取一点（1,1）。

让平行于直线3x-4y+1=0的直线方程为3x|3×1－4×1＋m|-4Y+M=0，然后=3，解为M=16或M=-14，即线性方程为3x-4Y32＋?－4?2＋16＝0或3x－4y－14＝0.5.通过点P（0,1）并等于a（3,3），B（5，-1）距离的直线方程为（）a.y=1b．2x＋y－1＝0c、 Y=1或2x+Y－1=0d．2x＋y－1＝0或2x＋y＋1＝0答案：c3－?－ 1.解析：∵kab＝＝－2，过p与ab平行的直线方程为y－1＝－2(x－0)，3-5即：2x＋y－1＝0：又ab的中点c(4,1)，∴pc的方程为y＝1.6．若实数x，y满足x＋y－4＝0，则x2＋y2的最小值是()a．10b．8c．6d．4答案：b分析：事实上，这是为了找到从原点到直线距离的平方（x+y-4=0×3=15点）7．已知a(a,3)，b(－2,5a)，|ab|＝13，则实数a的值为________．答案：3或－2分析：根据问题的意义和两点之间的距离公式，我们得到[A-2？]2＋? 3－5a？2=13，a2-a-6=0，a=3或a=-28．已知点p为x轴上一点，且点p到直线3x－4y＋6＝0的距离为6，则点p的坐标为________．回答：（-12,0）或（8,0）|3a－4×0＋6|分析：设P（a，0），则有=6，解为a=-12或8，点P的坐标为（-12,0）32＋?－4?2或(8,0)．9.平行于直线7x+24y=5且距离等于3的线性方程为________________________|c－?－5?|分析：假设线性方程为7x+24y+C=0，则有2=3，解为C=70或C=7＋242－80.三、回答问题（总共35分，11+12+12）10．已知点a(－1,2)，b(2，7)，在x轴上求一点p，使得|pa|＝|pb|，并求|pa|的值．解：设所求点为p(x,0)，于是有|pa|＝[x－?－1?]2＋?0－2?2＝x2＋2x＋5，|pb|＝?x－2?2＋?0－7?2＝x2－4x＋11，从| PA |=|Pb |，我们得到x2+2x+5=x2-4x+11，解为x=1，所以| PA |=12+2×1＋5＝22。

高中北师大版数学必修2(45分钟课时作业与单元测试卷)：第2章1.1 直线的倾斜角和斜率 Word版含解析

第二章解析几何初步1 直线与直线的方程1．1 直线的倾斜角和斜率时间：45分钟满分：80分班级________ 姓名________ 分数________一、选择题(每小题5分，共5×6＝30分)1．已知直线过点A (0,4)和点B (1,2)，则直线AB 的斜率为( )A ．3B ．－2C ．2D ．不存在答案：B解析：由题意可得AB 的斜率为k ＝2－41－0＝－2. 2．以下两点确定的直线的斜率不存在的是( )A ．(4,1)与(－4，－1)B ．(0,1)与(1,0)C ．(1,4)与(－1,4)D ．(－4,1)与(－4，－1)答案：D解析：选项A ，B ，C ，D 中，只有D 选项的横坐标相同，所以这两点确定的直线与x 轴垂直，即它们确定的直线的斜率不存在．3．经过原点O (0,0)与点P (1,1)的直线的倾斜角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．135°答案：B解析：设过点O 与点P 的直线的倾斜角为α.因为直线OP 的斜率k ＝1－01－0＝1，又0°≤α<180°，所以α＝45°.4．若直线经过点A (m 2,0)，B (2，3m )，且倾斜角为60°，则实数m ＝( )A ．1或－1B ．2或－2C ．1或－2D ．－1或2答案：C解析：因为直线的倾斜角为60°，所以其斜率k ＝tan60°＝ 3.又直线经过点A (m 2,0)，B (2，3m )，所以3m －02－m2＝3，即m 2＋m －2＝0，解得m ＝1或－2. 5．如图所示，直线l 1、l 2、l 3的斜率分别是k 1、k 2、k 3，则( )A ．k 1＜k 2＜k 3B ．k 3＜k 1＜k 2C ．k 3＜k 2＜k 1D ．k 1＜k 3＜k 2答案：D解析：设直线l 1、l 2、l 3的倾斜角分别是α1、α2、α3，则90°＜α1＜180°，0°＜α3＜α2＜90°，∴tan α1＜0，tan α2＞tan α3＞0.∴k 1＜k 3＜k 2.6．已知直线l 1过点A (－1，－1)和B (1,1)，直线l 2的倾斜角是直线l 1的倾斜角的2倍，则直线l 2的斜率是( )A ．1B ．－1C ．2D ．不存在答案：D解析：设直线l 1的倾斜角为α.因为直线l 1过点A (－1，－1)和B (1,1)，所以直线l 1的斜率为1－(－1)1－(－1)＝1.又0°≤α<180°，所以α＝45°，则直线l 2的倾斜角为90°，所以直线l 2的斜率不存在．二、填空题(每小题5分，共5×3＝15分)7．若直线l 的斜率k 的取值范围是⎣⎡⎭⎫0，33，则该直线的倾斜角α的取值范围是________．答案：[0°，30°)解析：当0≤k <33时，因为tan0°＝0，tan30°＝33，所以0°≤α<30°. 8．已知A (2，－3)，B (4,3)，C ⎝⎛⎭⎫5，m 2三点在同一条直线上，则实数m 的值为________．答案：12解析：因为A 、B 、C 三点在同一条直线上，所以有k AB ＝k AC ，即3－(－3)4－2＝m 2－(－3)5－2，解得m ＝12.9．若经过A (2,1)，B (1，m )的直线l 的倾斜角为锐角，则m 的取值范围是________．答案：m ＜1解析：由l 的倾斜角为锐角，可知K AB ＝m －11－2＞0，即m ＜1. 三、解答题(共35分，11＋12＋12) 10．如图，直线l 2的倾斜角α2＝120°，直线l 1的倾斜角为α1，直线l 1⊥l 2，求直线l 1的斜率．解：由平面几何知识可得α2＝α1＋90°，所以α1＝α2－90°＝120°－90°＝30°，所以直线l 1的斜率为k ＝tan30°＝33. 11．已知点A (1,0)，P 为抛物线y ＝x 2＋2x －3上一点，若直线P A 的倾斜角为45°，求点P 的坐标．解：设点P (x 1，y 1)(x 1≠1)，则y 1＝x 21＋2x 1－3.因为A (1,0)，所以k P A ＝y 1－0x 1－1＝x 21＋2x 1－3x 1－1＝x 1＋3.又直线P A 的倾斜角为45°，所以k P A ＝1，所以x 1＋3＝1，即x 1＝－2.当x 1＝－2时，y 1＝(－2)2＋2×(－2)－3＝－3.所以点P 的坐标为(－2，－3)．12．若经过点A (1－t,1＋t )和点B (3,2t )的直线的倾斜角α不是锐角，求实数t 的取值范围．解：因为直线的倾斜角α不是锐角，所以α＝0°或α＝90°或α是钝角．当α＝0°时，1＋t ＝2t ，得t ＝1；当α＝90°时，1－t ＝3，得t ＝－2；当α是钝角时，直线的斜率小于0，即2t －(1＋t )3－(1－t )<0，得t －1t ＋2<0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ t －1>0t ＋2<0或⎩⎪⎨⎪⎧t －1<0t ＋2>0，解得－2<t <1. 综上所述，实数t 的取值范围为[－2,1]．给高中生的建议初中学生学数学，靠的是一个字：练！高中学生学数学靠的也是一个字：悟！学好数学的核心就是悟，悟就是理解，为了理解就要看做想。

北师大版数学高一必修2作业第1章章末测试

第一章章末测试班级____ 姓名____ 考号____ 分数____本试卷满分100分，考试时间90分钟．一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．若a ⊂α，b ⊂β，α∩β＝c ，a ∩b ＝M ，则( ) A ．M ∈c B ．M ∉c C ．M ⊂c D ．M ⊄c 答案：A解析：注意点、线、面关系的符号表示，结合平面的公理3可知，M ∈c.2．从长方体的一个顶点引出的三条棱的长度分别是2,3,3，则长方体的外接球的表面积为( )A ．20πB ．22πC ．24πD ．26π 答案：B解析：设球的半径为r ，则4r 2＝22＋32＋32＝22，球的表面积为4πr 2＝22π.3．一个几何体的三视图中的正(主)视图、侧(左)视图、俯视图均是大小形状完全相同的图形，那么这个几何体可能是( )A ．圆柱B ．圆锥C ．圆台D ．球答案：D解析：因为球的三视图都是半径相等的圆，则其他的三个均不可能满足条件．4．圆锥的高伸长为原来的2倍，底面半径缩小为原来的12，则它的体积是原来体积的( )A .12B .23C .34D .65 答案：A解析：设原圆锥高为h ，底面面积为S ，则V ＝13hS ，新圆锥的高为2h ，底面面积为S4，∴V ′＝13×2h ×S 4＝12V.5．如图，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，E 是DD 1的中点，F 是BB 1的中点，设过点C 1，E ，F 三点的平面为α，则正方体被平面α所截的截面的形状为( )A ．菱形B ．矩形C ．梯形D ．五边形答案：A解析：设正方体棱长为a ，连接AE ，C 1F 易发现AE ∥C 1F ，所以平面α经过点A ，所以截面是四边形AEC 1F ，根据勾股定理易求得AE ＝EC 1＝C 1F ＝AF ＝52a ，所以截面为菱形． 6．平面α与平面β平行的条件可以是( )A ．α内有无数条直线都与平面β平行B ．α内的任何直线都与平面β平行C ．直线a ⊂α，直线b ⊂β且a ∥β，b ∥αD ．直线a ∥α，a ∥β 答案：B7．底面是正三角形，侧棱垂直底面水平放置的三棱柱的所有棱长均为2，当其正(主)视图有最大面积时，其侧(左)视图的面积为( )A ．2B . 3C ．2 3D ．6 3 答案：C解析：S ＝3×2＝2 3.8．设α、β是两个不同的平面，a 、b 是两条不同的直线，给出下列四个命题，其中正确的命题是( )A ．若a ∥α，b ∥α，则a ∥bB ．若a ∥α，b ∥β，a ∥b ，则α∥βC ．若a ⊥α，b ⊥β，a ⊥b ，则α⊥βD ．若a 、b 在平面α内的射影互相垂直，则a ⊥b 答案：C解析：与同一平面平行的两条直线不一定平行，所以A 错误；与两条平行直线分别平行的两个平面未必平行，所以B 错误；如图所示，直线a ，b 在平面α内的射影分别为m 、n ，显然m ⊥n ，但a 、b 不垂直，所以D 错误，故选C .9．三条直线a 、b 、c 两两平行且不共面，这三条直线可以确定m 个平面，这m 个平面把空间分成n 个部分，则( )A ．m ＝2，n ＝2B ．m ＝2，n ＝6C ．m ＝3，n ＝7D ．m ＝3，n ＝8 答案：C解析：本题主要考查空间想象能力，三条不共面的平行线可以确定三个平面，而这三个平面把空间分成7部分．10．平行六面体的相交于一顶点的三条棱长分别是a 、b 、c ，三条棱中每两条的夹角都是60°，则它的体积是( )A ．abcB .abc 3C .2abcD .22abc答案：D解析：如图所示，设AA1＝c，AB＝a，AD＝b，A1在底面射影O.在∠DAB的平分线上，作OE⊥AB于E，连结A1E，则A1E⊥AB，在Rt△A1AE中，∠A1AE＝60°，AE＝c2，在Rt△AEO中，∠OAE＝30°，AO＝33c，高A1O＝23c.∴V＝S四边形ABCD·A1O＝22abc.二、填空题：本大题共3小题，每小题4分，共12分．把答案填在题中横线上．11．正方体的内切球与外接球的体积之比等于________．答案：1：3 3解析：设正方体的棱长为a，则内切球半径为r＝a2，外接球半径R＝3 2a.12．若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积是________cm3.答案：18解析：根据几何体的三视图，可知该几何体是由两个相同的长方体(3×3×1)组合而成的几何体，故其体积为18.13．如图所示，下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是______．(写出所有符合要求的图形的序号)答案：①③解析：如图①所示，因为MN∥AD，NP∥AC，所以平面MNP∥平面AB.故AB∥平面MNP.如下图②所示，AB与平面MNP不平行(反证法)，连结CD、再连结BE，分别交CD、MP于R、Q，连结NQ，若AB∥平面MNP，则AB∥NQ.又由N为AE的中点，R为BE的中点，得AB∥NR.在平面ABE中过点N有两条相交的直线平行于AB，与平行公理矛盾，所以AB与平面MNP不平行．如图③所示，连结CD，因为AD平行且等于BC，所以四边形ABCD为平行四边形．所以AB∥CD.又因为MP∥CD，所以AB∥MP.所以AB∥平面MNP.对于④，AB与平面MNP不平行(反证法)，如上图④所示，连接DM，ME.若AB∥平面MNP，因为MN∥DP，所以DM⊂平面MNP，又DM⊂平面ABMD，所以AB∥DM.又由AD平行且等于BC，得四边形ABCD是平行四边形，故AB∥CD.在平面ABCD中过点D有两条相交直线平行于AB，与平行公理矛盾．于是AB与平面MNP不平行．三、解答题：本大题共5小题，共48分，其中第14小题8分，第15～18小题各10分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．14．四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PD⊥底面ABCD，AD＝PD，E、F分别为CD、PB的中点，求证：EF⊥面PAB.证明：如图，连结EP.∵PD ⊥面ABCD ，DE 在面ABCD 内， ∴PD ⊥DE ，又CE ＝ED ，PD ＝AD ＝BC. ∴Rt △BCE ≌Rt △PDE.∴PE ＝BE. ∵F 为PB 的中点，∴EF ⊥PB ，∵PD ⊥ABCD AB ⊂ABCD ∴PD ⊥AB 又∵AB ⊥AD ∴AB ⊥平面PAD ∴PA ⊥AB∴在Rt △PAB 中，PF ＝AF ，又PE ＝BE ＝EA ， ∴△EFP ≌△EFA ，∴EF ⊥FA.又PB ，FA 为平面PAB 内相交直线 ∴EF ⊥面PAB. 15.如图所示，在正三角形ABC 中，E 、F 分别是AB 、AC 的中点，AD ⊥BC ，EH ⊥BC ，FG ⊥BC ，D 、H 、G 为垂足，若将正△ABC 绕AD 旋转一周所得圆锥体积为V ，求由阴影部分所产生旋转体的体积与V 的比值．解：如图所示，设圆锥的高为h ，底面半径为r ，则圆柱的高为h 2，底半径为r2，则V －V 柱V＝1－V 柱V ＝1－π(r 2)2·h 213πr 2h ＝1－38＝58. 16．如图所示，在侧棱垂直于底面ABC 的三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A 1B 1＝A 1C 1，D ，E 分别是棱BC ，CC 1上的点(点D 不同于点C)，且AD ⊥DE ，F 是B 1C 1的中点．求证：(1)平面ADE ⊥平面BCC 1B 1；(2)直线A1F∥平面ADE.证明：(1)因为CC1⊥平面ABC，又AD⊂平面ABC，所以CC1⊥AD.又因为AD⊥DE，CC1，DE⊂平面BCC1B1，CC1∩DE＝E，所以AD⊥平面BCC1B1.又AD⊂平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCC1B1.(2)因为A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点，所以A1F⊥B1C1.因为CC1⊥平面A1B1C1，且A1F⊂平面A1B1C1，所以CC1⊥A1F.又因为CC1，B1C1⊂平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1，所以A1F⊥平面BCC1B1.由(1)知AD⊥平面BCC1B1，所以A1F∥AD.又AD⊂平面ADE，A1F⊄平面ADE，所以A1F∥平面ADE.17．如图所示，AB是圆柱的母线，O′是上底面的圆心，△BCD是下底面圆的内接三角形，且BD是下底面圆的直径，E是CD的中点．求证：(1)O′E∥平面ABC；(2)平面O′CD⊥平面ABC.解：(1)取BC中点为F，连结EF，O′A，则EF是△BCD的中位线，∴EF綊12BD.设下底面圆心为O，连结OO′，∵AB是母线，∴AB綊OO′，∴AO′綊EF，∴AF∥O′E且AF⊂平面ABC，O′E⊄平面ABC，∴O′E∥平面ABC.(2)在圆柱中，AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD∵BC⊥CD，AB∩BC＝B∴CD⊥平面ABC∵CD⊂平面O′CD∴平面O′CD⊥平面ABC.18．如图所示，在侧面均垂直于底面ABC 的三棱柱ABC －A ′B ′C ′中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2，AA ′＝1，点M ，N 分别为A ′B 和B ′C ′的中点．(1)证明：MN ∥平面A ′ACC ′； (2)求三棱锥A ′－MNC 的体积．解：(1)(法一)连接AB ′，AC ′，由已知∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，三棱柱ABC －A ′B ′C ′为直三棱柱，所以M 为AB ′中点．又因为N 为B ′C ′的中点，所以MN ∥AC ′.又MN ⊄平面A ′ACC ′， AC ′⊂平面A ′ACC ′，因此MN ∥平面A ′ACC ′.(法二)取A ′B ′中点P ，连接MP ，NP ，则M ，N 分别为AB ′与B ′C ′的中点，所以MP ∥AA ′，PN ∥A ′C ′，所以MP ∥平面A ′ACC ′，PN ∥平面A ′ACC ′. 又MP ∩NP ＝P ，因此平面MPN ∥平面A ′ACC ′. 而MN ⊂平面MPN ，因此MN ∥平面A ′ACC ′.(2)(法一)连接BN ，由题意A ′N ⊥B ′C ′，平面A ′B ′C ′∩平面B ′BCC ′＝B ′C ′，所以A ′N ⊥平面NBC.又A ′N ＝12B ′C ′＝1，故V A ′－MNC ＝V N －A ′MC ＝12V N －A ′BC ＝12V A ′－NBC ＝16.(法二)V A ′－MNC ＝V A ′－NBC －V M －NBC ＝12V A ′－NBC ＝16.。

北师大版高中数学必修2课时作业

目录第一章立体几何初步 (01)§1简单几何体 (2)§2直观图 (4)§3三视图 (6)§4空间图形的基本关系与公理 (8)§5.1平行关系的判定（一） (10)§5.1平行关系的判定（二） (13)§5.2平行关系的性质（一） (15)§5.2平行关系的性质（二） (17)§6.1垂直关系的判定 (19)§6.2垂直关系的性质（一） (20)§6.2垂直关系的性质（二） (23)§7.1简单几何体的侧面积 (23)§7.2柱、锥、台体的体积 (27)§7.3球的表面积与体积 (29)第二章解析几何初步 (31)§1.1直线的倾斜角和斜率 (31)§1.2直线的方程(一) (33)§1.2直线的方程(二) (35)§1.2直线的方程(三) (37)§1.3两条直线的位置关系 (39)§1.4 1. 5两条直线的交点和坐标系中的距离公式 (40)§2.1 2.2圆和圆的方程 (43)§2.3直线与圆的位置关系 (45)§2.3直线与圆的方程 (47)§2.3圆与圆的位置关系 (49)§3.2空间直角坐标系中点的坐标 (50)§3.3空间两点间的距离公式 (53)本章小结 (55)§1 简单几何体1．一个棱柱是正四棱柱的条件是（）.A.底面是正方形，有两个侧面是矩形B.底面是正方形，有两个侧面垂直于底面C.底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直D.每个侧面都是全等矩形的四棱柱2.下列说法中正确的是（）.A. 以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥B. 以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台C. 圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆D. 圆锥侧面展开图为扇形，此扇形所在圆的半径等于圆锥的底面圆的半径3.下列说法错误的是（）.A. 若棱柱的底面边长相等，则它的各个侧面的面积相等B. 九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形C. 六角螺帽、三棱镜都是棱柱D. 三棱柱的侧面为三角形4.用一个平面去截正方体，所得的截面不可能是（）.A. 六边形B. 菱形C. 梯形D. 直角三角形5.下列说法正确的是（）.A. 平行于圆锥某一母线的截面是等腰三角形B. 平行于圆台某一母线的截面是等腰梯形C. 过圆锥顶点的截面是等腰三角形D. 过圆台上底面中心的截面是等腰梯形6.下列几何体的轴截面一定是圆面的是（）A. 圆柱B. 圆锥C. 球D. 圆台7.把直角三角形绕斜边旋转一周，所得的几何体是（）.A. 圆锥B.圆柱C. 圆台D.由两个底面贴近的圆锥组成的组合体l，过圆锥的两条母线作一个截面，则截面面积的最大8.设圆锥母线长为l，高为2值为.9.若长方体的三个面的面积分别为62cm，则此长方体的对角线长cm,22cm,32为.10.三棱柱的底面为正三角形，侧面是全等的矩形，内有一个内切球，已知球的半径为R ，则这个三棱柱的底面边长为 .11.在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是（写出所有正确结论的编号．．）. ①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体.12．如图所示，长方体1111ABCD A B C D .（1）这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？（2）用平面BCNM 把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示. 如果不是，说明理由.错误反思题号错题分析正确解法§2 直观图一、选择题1.下列说法正确的是（）.A. 相等的线段在直观图中仍然相等B. 若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行C. 两个全等三角形的直观图一定也全等D. 两个图形的直观图是全等的三角形，则这两个图形一定是全等三角形2.对于一个底边在x轴上的三角形，采用斜二测画法作出其直观图，其直观图面积是原三角形面积的（）.A. 2倍B. 倍C. 倍D.3.如图所示的直观图，其平面图形的面积为（）.A. 3B. 6C.D.24.已知正方形的直观图是有一条边长为4的平行四边形，则此正方形的面积是（）.A. 16B. 16或64C. 64D. 以上都不对二、填空题5．一个平面的斜二测图形是边长为2的正方形，则原图形的高是. 6．利用斜二测画法得到的图形，有下列说法：①三角形的直观图仍是三角形；②正方形的直观图仍是正方形；③平行四边形的直观图仍是平行四边形；④菱形的直观图仍是菱形. 其中说法正确的序号依次是.三、解答题7．（1）画棱长为2cm的正方体的直观图；（2）画水平放置的直径为3cm的圆的直观图.8．如图，正方形O’A’B’C’的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图. 请画出原来的平面几何图形的形状，并求原图形的周长与面积.错误反思题号错题分析正确解法§3 三视图一、选择题1．若一个几何体的主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是圆，则这个几何体可能是()A．圆柱B．三棱柱C．圆锥D．球体2．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的主视图与左视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为()3．如图，依次为一个建筑物的主视图、左视图、俯视图，则其为谁的组合体() A．圆柱和圆锥B．立方体和圆锥C．正四棱柱和圆锥D．立方体和球4．用若干块相同的小正方体搭成一个几何体，该几何体的三视图如图所示，则搭成该几何体需要的小正方体的块数是()A．8 B．7C．6 D．55．找出相应的立体图，并在其下方括号内填写它的序号二、填空题6．如图是一个几何体的三视图，则该几何体是________．7．如图所示，图①②③是图④表示的几何体的三视图，其中图①是________，图②是________，图③是 (填写视图名称)．8．若一个底面是正三角形的三棱柱的主视图如图所示，则其表面积等于．9．右图是某个圆锥的三视图，请根据主视图中所标尺寸，则俯视图中圆的面积为__________，圆锥母线长为 .10．用若干个正方体搭成一个几何体，使它的主视图与左视图都是如右图的同一个图. 通过实际操作，并讨论解决下列问题：（1）所需要的正方体的个数是多少？你能找出几个？（2）画出所需要个数最少和所需要个数最多的几何体的俯视图.20 30 俯视图主视图左视图30§4空间图形的基本关系与公理1.在空间四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，得到四边形EFGH.(1)四边形EFGH 是 ;(2)当对角线AC=BD 时,四边形EFGH 是 ; (3)当对角线满足条件时,四边形EFGH 是矩形;(4)当对角线AC,BD 满足条件时,四边形EFGH 是正方形. 2.画出满足下列条件的图形. (1)l αβ=,,,A;a b a b αβ⊆⊆= (2) l αβ=,b β⊆,.3.分别和两条异面直线AB,CD 同时相交的两条直线AC,BD 一定是异面直线,为什么?4.已知直线,,,a b c 且a ∥b ,A, B.c a c b ==求证: ,,a b c 在同一平面内.5.如图,已知△ABC 三边所在直线分别与平面α交于P,Q,R 三点.求证:P,Q,R 三点共线.l RQPC BA α6.如图,在正方体ABCD –A 1B 1C 1D 1中,E,F 分别是棱D 1C 1, B 1C 1的中点.求证:EF ∥BD,且EF=12BD.E D 11B 1A 1F D CB A7.如图,O 是平面ABC 外一点, A 1,B 1,C 1分别在线段OA,OB,OC 上,且满足11,OA OB OA OB =11.OA OC OA OC=求证: △ABC ∽△A 1B 1C 1.OC 1B 1A 1CBA§5. 1平行关系的判定（一）一、选择题1．下列说法正确的是（）A.若直线a平行于面α内的无数条直线，则a∥αB.若直线a在平面α外，则a∥αC.若直线a∥b，直线b⊂α，则a∥αD.若直线a∥b，直线b⊂α,则直线a平行于平面α内的无数条直线2．在以下的四个命题中，其中正确的是（）①直线与平面没有公共点，则直线与平面平行②直线上有两点到平面的距离相等（距离不为零），则直线与平面平行③直线与平面内的任一条直线不相交，则直线与平面平行④直线与平面内无数条直线不相交，则直线与平面平行A.①②B.①③C.①②③D.①②③④3．ｂ是平面α外的一条直线，下列条件中可得出ｂ∥α的是( )A.ｂ与α内的一条直线不相交B.ｂ与α内的两条直线不相交C.ｂ与α内的无数条直线不相交D.ｂ与α内的所有直线不相交二、填空题4. 已知：E为正方体ABCD—A1B1C1D1的棱DD1的中点，则BD1与过点A、C、E的平面的位置关系是_____ __.5．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，和平面A1DB平行的侧面对角线有三、解答题6．在△ABC所在平面外有一点P，M、N分别是PC和AC上的点，过MN作平面平行于BC，画出这个平面与其他各面的交线，并说明画法的理由.7．已知：AB、BC、CD是不在同一平面内的三条线段，E、F、G分别为AB BC、CD的中点. 求证：AC//平面EFG, BD//平面EFG.8．平面α与⊿ABC的两边AB、AC分别交于D、E，且AD∶DB=AE∶EC，求证：BC∥平面αBCE DαA题号错题分析正确解法§5.1平行关系的判定（二）一、选择题1．下列命题中，正确的是（）A．如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行B．如果一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行C．如果一个平面内有两条相交直线分别和另一个平面内的两条相交直线平行，那么这两个平面平行D．如果一个平面内的一个四边形两边分别和另一个平面内的一个四边形平行，那么这两个平面平行2．α和β是两个不重合的平面，在下列条件中，可以判定α∥β的是（）A．α，β都垂直于平面γB．α内不共线的三点到β的距离相等C．,l m是α内的直线，且l∥β，m∥βD．,l m是两条异面直线，且l∥α，l∥β，m∥α，m∥β3．如果两个平面分别经过两条平行线中的一条，那么这两个平面（）A．平行 B.相交C. 重合D.平行或相交二、填空题4．若直线a⊥平面α，直线b⊥平面β，a//b，平面α与β的位置关系为_ .A B C D中，5．在长方体ABCD–1111（1）与直线AB平行的平面是；A B平行的平面是；（2）与平面1（3）与平面AC平行的平面是；三、解答题6．证明：如果夹在两个平面内的三条线段（不都在同一个平面内）平行且相等，那么这两个平面平行.的重心.（1）求证：平面MNG ∥平面ACD ；（2）求S:SMNG ACDCAPH MNGF DB§5.2平行关系的性质（一）一、选择题1．若一条直线和一个平面平行，夹在直线和平面间的两条线段相等，那么这两条线段的位置关系是（） A ．平行 B ．相交 C ．异面 D ．平行、相交或异面2．下面给出四个命题，其中正确命题的个数是（）①若a ∥α、b ∥α，则a ∥b ②若a ∥α，b ⊂α,则a ∥b ③若a ∥b ，b ⊂α，则a ∥α ④若a ∥b ，b ∥α，则a ∥α A.0 B.1 C.2 D.43．直线a ，b 是异面直线，直线a 和平面α平行，则直线b 和平面α的位置关系是（）A. b ⊂αB. b ∥αC. b 与α相交D. 以上都有可能二、填空题4.（1）若直线a ，b 均平行与平面α，那么a 与b 的位置关系是 ; （2）若直线a ∥b ,且a ∥平面β,则b 与β的位置关系是 ;5.（1）若直线a ，b 是异面直线,且a ∥平面β,则b 与β的关系是 ; （2）如果直线m ∥平面α，直线n ⊂α，则直线m 、n 的位置关系是；三、解答题6. 如图,在空间四边形ABCD 中,E,F,G ,H 分别是AB,BC,CD,DA 上的点,且EH ∥FG .求证:EH ∥BD.BCD FG HE A7. 求证:如果一直线分别平行于两个相交平面,则这条直线与他们的交线平行.8. 经过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱BB 1作一平面交平面AA 1D 1D 于E 1E. 求证：E 1E ∥B 1B错误反思1§5.2平行关系的性质（二）一、选择题1. 平面α∥平面β，,,a b αβ⊆⊆则,a b 一定是（） A ．两条平行直线 B.异面直线C.相交直线D.无公共点的两条直线2.,,a b c 为三条不重合的直线,,,αβγ为三个不重合的平面,以下六个命题, ①若a ∥c 且b ∥c 则a ∥b ； ②若a ∥γ且b ∥γ则a ∥b ； ③若α∥c 且β∥c 则α∥β； ④若α∥γ且β∥γ则α∥β； ⑤若c ∥α且a ∥c 则a ∥α； ⑥若a ∥γ且α∥γ则a ∥α；其中正确的命题是（） A ．①②③ B.①④⑤ C.①④ D. ①④⑤⑥ 二、填空题3. 三个不同平面,,αβγ满足α∥β,l βγ⋂=,则α与γ的位置关系是；若三个平面满足α∥β，β∥γ，则α与γ的位置关系是；4.如果夹在两个平行平面α、β间的线段AB=8，AB 和α成45°角，则α、β之间的距离为 __________________；三、解答题5.如图,两条异面直线AB,CD 与三个平行平面,,αβγ分别相交于A,E,B 及C,F,D,又AD,BC 与平面β的交点为H,G .求证:EHFG 为平行四边形.HG FE DCBAγβα6. 如图，平面α∥平面β，过平面α、β外一点P 引直线PAB 分别交α、β 于A ，B 两点，PA=6，AB=2，引直线PCD 分别交α、β 于C ，D 两点.已知BD=12,求线段AC 的长.PDCBA βα7. 如图,已知正方体ABCD –A 1B 1C 1D 1中,面对角线AB 1,BC 1上分别有两点E,F,且B 1E=C 1F.求证:EF ∥平面AC.1错误反思§6.1垂直关系的判定1．判断题：（1）一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内任何直线平行; ( ) （2）如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平垂直（）（3垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边; ( )（4）过点A 垂直于直线a 的所有直线都在过点A 垂直于a 的平面内; ( ) （5）如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面.( )2．若两直线a 与b 异面，则过a 且与b 垂直的平面（）A ．有且只有一个 B.可能存在也可能不存在 C.有无数多个 D.一定不存在3．如图，已知直线PG ⊥平面α与G ，直线EF 在平面α内，且PE ⊥EF 与E ，那么线段PE ，PF ，PG 的大小关系是 . 4．将一张矩形纸对折后略为展开，竖立在桌面上，折痕和桌面的位置关系是 .5．如图，在空间四边形ABCD 中，已知，BC=AC ，AD=BD ，作BE ⊥CD ，E 为垂足，AH ⊥BE 与H,求证：AH ⊥平面BCD.αGFEP6．如图，PA垂直于O所在的平面，AB是O的直径，C是异于A，B的O上任意一点，过A作AE⊥PC于E，求证：AE⊥平面PBC.7.如图，PA垂直于矩形ABCD所在平面，M，N分别是AB，PC的中点。

高中北师大版数学必修2(45分钟课时作业与单元测试卷)：第2章1.3 两条直线的位置关系 Word版含解析

1．3 两条直线的位置关系时间：45分钟满分：80分班级________ 姓名________ 分数________一、选择题(每小题5分，共5×6＝30分) 1．下列命题中，正确的是( ) A ．斜率相等的两条直线一定平行B ．若两条不重合的直线l 1，l 2平行，则它们的斜率一定相等C ．直线l 1：x ＝1与直线l 2：x ＝2不平行D ．直线l 1：(2－1)x ＋y ＝2与直线l 2：x ＋(2＋1)y ＝3平行答案：D解析：A 错误，斜率相等的两条直线还可能重合．B 错误，当两条不重合的直线l 1，l 2平行时，它们的斜率可能相等，也可能不存在．C 错误，直线l 1与l 2的斜率都不存在，且1≠2，所以两直线平行．D 正确，由于直线l 1：(2－1)x ＋y ＝2与直线l 2：x ＋(2＋1)y ＝3的斜率分别为k 1＝1－2，k 2＝－12＋1＝1－2，则k 1＝k 2，所以l 1∥l 2.2．由三条直线l 1：2x －y ＋2＝0，l 2：x －3y －3＝0和l 3：6x ＋2y ＋5＝0围成的三角形是( )A ．直角三角形B ．等边三角形C ．钝角三角形D ．锐角三角形答案：A解析：kl 2＝13，kl 3＝－3，∴kl 2·kl 3＝－1，∴l 2⊥l 3.3．已知过点A (－2，m )和B (m,4)的直线与斜率为－2的直线平行，则实数m 的值是( ) A ．－8 B ．0 C ．2 D ．10 答案：A解析：由题意可知k AB ＝4－mm ＋2＝－2，所以m ＝－8.4．已知直线l 1经过两点(－1，－2)，(－1,4)，直线l 2经过两点(2,1)，(6，y )，且l 1⊥l 2，则y ＝( )A ．－2B ．1C ．2D ．4 答案：B解析：因为l 1⊥l 2，且直线l 1的斜率k 1不存在，所以直线l 2的斜率k 2＝0，则y ＝1.5．下列直线中，与己知直线y ＝－43x ＋1平行，且不过第一象限的直线的方程是( )A ．3x ＋4y ＋7＝0B ．4x ＋3y ＋7＝0C ．4x ＋3y －42＝0D ．3x ＋4y －42＝0 答案：B解析：先看斜率，A 、D 选项中斜率为－34，排除掉；再看纵截距，要使纵截距小于0，才能使直线不过第一象限，只有B 选项符合．6．已知直线l 的方程为f (x ，y )＝0，P 1(x 1，y 1)和P 2(x 2，y 2)分别是直线l 上和直线l 外的点，则方程f (x ，y )－f (x 1，y 1)－f (x 2，y 2)＝0表示( )A ．与l 重合的直线B ．过点P 1且与l 垂直的直线C ．过点P 2且与l 平行的直线D ．不过点P 2但与l 平行的直线答案：C解析：设f (x ，y )＝ax ＋by ＋c ＝0，则f (x 1，y 1)＝0，而f (x 2，y 2)＝m ≠0，则f (x ，y )－f (x 1，y 1)－f (x 2，y 2)＝0可定为ax ＋by ＋c －m ＝0，显然与l 平行，且过点(x 2，y 2)．二、填空题(每小题5分，共5×3＝15分)7．已知在平行四边形ABCD 中，A (1,2)，B (5,0)，C (3,4)，则点D 的坐标为________．答案：(－1,6)解析：设D (a ，b )，由平行四边形ABCD ，得k AB ＝k CD ，k AD ＝k BC，即⎩⎪⎨⎪⎧0－25－1＝b －4a －3b －2a －1＝4－03－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝6，所以D (－1,6)．8．已知直线l 过点(－2，－3)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则直线l 的方程为________．答案：3x ＋2y ＋12＝0解析：直线2x －3y ＋4＝0的斜率为23，又直线l 与该直线垂直，所以直线l 的斜率为－32.又直线l 过点(－2，－3)，因此直线l 的方程为y －(－3)＝－32×[x －(－2)]，即3x ＋2y ＋12＝0.9．已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (－1,0)，B (0,2)，C (a,0)，若AB ⊥BC ，则a ＝________.答案：4解析：因为k AB ＝2－00－(－1)＝2，所以直线BC 的斜率存在，且k BC ＝0－2a －0＝－2a .由2·⎝⎛⎭⎫－2a ＝－1，得a ＝4.三、解答题(共35分，11＋12＋12)10．已知直线l 1：x ＋2ay －1＝0与直线l 2：(3a －1)x －ay －1＝0平行，求实数a 的值．解：①当a ＝0时，两直线的斜率不存在，直线l 1：x －1＝0，直线l 2：x ＋1＝0，此时l 1∥l 2，满足题意．②当a ≠0时，l 1：y ＝－12a x ＋12a ，l 2：y ＝3a －1a x －1a，直线l 1的斜率为k 1＝－12a ，直线l 2的斜率为k 2＝3a －1a，又两直线平行，则⎩⎨⎧－12a ＝3a －1a12a ≠－1a，解得a ＝16.综上，可得a ＝0或16.11．已知直线l 1：(m ＋2)x ＋(m ＋3)y －5＝0和l 2：6x ＋(2m －1)y ＝5.求满足下列条件的实数m 的值．(1)l 1∥l 2；(2)l 1⊥l 2.解：(1)由(m ＋2)(2m －1)＝6(m ＋3)，得m ＝4或m ＝－52.当m ＝4时，l 1：6x ＋7y －5＝0，l 2：6x ＋7y －5＝0，即l 1与l 2重合；当m ＝－52时，l 1：－12x ＋12y －5＝0，l 2：6x －6y －5＝0，即l 1∥l 2.∴当m ＝－52时，l 1∥l 2.(2)由6(m ＋2)＋(m ＋3)(2m －1)＝0，得m ＝－1或－92.∴当m ＝－1或－92时，l 1⊥l 2.12．已知直线l 1：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，l 2：ax ＋by －4＝0，求满足下列条件的a ，b 的值． (1)l 1⊥l 2，且l 1过点(1,1)；(2)l 1∥l 2，且l 2在第一象限内与两坐标轴围成的三角形的面积为2. 解：(1)∵l 1⊥l 2，∴a (a －1)＋b ＝0. ① 又l 1过点(1,1)，∴a ＋b ＝0. ②由①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝－2. 当a ＝0，b ＝0时不合题意，舍去． ∴a ＝2，b ＝－2.(2)∵l 1∥l 2，∴a －b (a －1)＝0， ③由题意知a >0，b >0，直线l 2与两坐标轴的交点坐标分别为⎝⎛⎭⎫4a ，0，⎝⎛⎭⎫0，4b . 则12×4a ×4b＝2，得ab ＝4， ④由③④，得a ＝2，b ＝2.给高中生的建议初中学生学数学，靠的是一个字：练！高中学生学数学靠的也是一个字：悟！学好数学的核心就是悟，悟就是理解，为了理解就要看做想。