凸模糊函数判别法
模糊模式识别
模糊模式识别1 模糊模式识别的原则(1) 最大隶属原则当模式是模糊的，被识别对象是明确的，问题可以描述如下：设有n 个模式，它们分别表示成某论域X （X 可以是多个集合的笛卡儿乘积集）的n 个模糊子集12,,,n A A A，而0x X ∈是一个具体被识别的对象，若有},2,1{n i ∈，使得12()m ax{(),(),,()}inA o A o A o A o x x x x μμμμ=则认为0x 相对属于模式i A。
对事物进行直接识别时，所依据的是最大隶属原则。
这种方法适合处理具有如下特点的问题：a 用作比较的模式是模糊的；b 被识别的对象本身是确定的。
(2) 贴近度原则当模式及被识别对象都是模糊的，问题可以描述如下：设论域X 的模糊子集12,,,n A A A代表n 个模糊模式，被识别的对象可以表示成X 的子集B，若有},2,1{n i ∈，使得12(,)max{(,),(,),,(,)}i n B A B A B A B A σσσσ=则认为B相对合于模式A。
在模糊模式识别的具体应用中，关键是模式或被识别对象的模糊集合的构造，即如何建立刻画模式或对象的模糊集合。
根据实际应用来看，通常有三种主要方法，简单模式的识别方法，语言模式的识别方法和统计模式的识别方法。
2 模糊模式识别方法（一）简单模式的模糊模式识别具体的模糊模式识别工作可分为如下三个步骤：1）选取模式的特征因子集合},,,{21n X X X =X，被识别的对象表示为nni i XXX X ⨯⨯⨯∆∏= 211上的向量（),,,21n x x x ，,1,2,,,i i x X i n ∈= 或者表示为∏=ni i X 1上的模糊子集；2）建立模糊模式的隶属函数()A X μ,1()ni i A F X =∈∏；3）利用最大隶属度原则或贴近度原则对被识别的对象进行归属判决。
特征因子(1,2,,)i X i n = 的选取直接影响识别的效果，它取决于识别者的知识和技巧，很难做一般性讨论，而模式识别中最困难的是建立模式的隶属函数，人们还没有从理论上彻底解决隶属函数的确定问题。
凸函数与严格凸函数的几个新判别准则
第35卷第1期2018年 2月贵州大学学报（自然科学版）J o u r n a l o f G u iz h o u U n iv e r s ity!N a t u r a l S c ie n c e s)Vol.35 No.1Feb.2018文早编号1000-5269 ( 2018 # 01-0015-06 D O I ：10.15958/ki.gdxbzrl〇.2018.01.04凸函数与严格凸函数的几个新判别准则杨丹，旷华(贵州大学数学与统计学院，贵州贵阳550025)摘要:在较弱条件下，建立了凸函数与严格凸函数的几个新判别准则，所获结果比一些相应已 知结果更具一般性。
关键词：A函数;严格A函数;判别准则中图分类号:〇175 文献标识码：A凸函数或者广义凸函数的判别准则是凸分析 及其应用中的一个重要研究内容，这个研究内容可 简述为$在一定条件下，如何判断一个函数是凸函 数或特定类型的广义凸函数？一般地，设N是拓扑线性空间，=4N是一个 非空凸子集，以下函数类定义见[1-7]。
定义1如果V7V" =，#"" [0，1]，都有 /(入7 + (1 - A)y)&A/(7)+ (1 - A)/(y)，贝I J称 /(7为=上的凸函数。
定义 2 如果 V7V" =，7$V，V A" (〇，1)，都 有/(A7 + (1 - A)V)< A/(7)+ (1 - A)/(V)，则 称/(7为=上的严格凸函数。
定义 3 如果 V7V " =，/(7$/(V)，V A" (0，1)，都有/(A7 + (1 - A)V)< A/(7+ (1 - A)/(V)，则称/(7为=上的半严格凸函数。
定义4 如果V7V" =，VA" (0，1)，都有 /(A7 + (1 - A)v)&m ax j/(7)，/(v) +，则称/(7)为=上的拟凸函数。
凸函数的判别和应用
学号：2004104509 姓名：林庆 年级：2004 级 专业：数学与应用数学
专业答辩小组意见：
林庆同学在论文答辩过程中，回答问题较准确，
流畅，概念清晰，反映出该同学数学基础较好，论文写
作态度认真，准备较充分，并能了解新问题和解决问题
的方法，能充分利用所学知识解决问题.该同学所写论文
指导教师意见
选题符合要求、进度安排合理、同意开题.
教研室主任意见
准备充分，同意开题.
签字： 签字：
年月日 年月日
3
毕业论文（设计）成绩评定表一
学号：2004104509 姓名：林庆 年级：2004 级 专业：数学与应用数学
指导教师意见：
林庆同学所写论文《凸函数的判别和应用》，选题有意义， 文中主要给出了凸函数的三个定义以及用意义、定理和几何意 义判别函数的凸函数的三种方法，然后应用凸函数的性质证明 几个重要而又常用的不等式，并给出凸函数在高等数学和初等 数学中的一些应用.这进对一步认识和理解凸函数有一定的帮 助和实用价值.
例如判别函数2fxx?的凸性则可在其定义域????上任取123xxx且123xxx??由该定理得222321132213xxxxxxxxx?????22232112232213xxxxxxxxxxx????????222232122132xxxxxxxx??????321212213232xxxxxxxxxxxx????????32121223xxxxxxxx??????3221310xxxxxx?????
例如判别函数 f (x) ex 的凸性，在其定义域 (, ) 上，可取 x1 x2 x3 ，则
f (x2 ) f (x1) x2 x1
ex2 ex1 x2 x1
模糊集合
精确集合
X 6
1
X 6
A 0
A 1
X 6
模糊集合
13
A ( x) 1
A ( x) [0 1]
1
6
13
2) 连续形式: 令X = R+ 为人类年龄的集合, 模糊集合 B = “年龄在50岁左右”则表示为:
B { x, B ( x ) | x X } 1 式中： B ( x) x 50 4 1 ( ) 10
112121xfxfxxf??它的定义比模糊凸的定义严格不符合凸函数条件1x2x语言变量5元组为特征?????????规则与各值含义有关的语法值名称的句法规则产生论域术语的集合变量的名称
基于模糊推理的智能控制
1）模糊集合与模糊推理
2）模糊推理系统
3）模糊控制系统
0. 模糊概念
天气冷热
雨的大小
风的强弱
Trig(x;20,60,80)
Trap(x;10,20,60,90)
g(x;50,20)
bell(x:20,4,50)
隶属函数的参数化：
以钟形函数为例， bell ( x; a, b, c) a,b,c,的几何意义如图所示。
1
1
x c 2b a
斜率=-b/2a
c-a
c
c+a
改变a,b,c,即可改变隶属函数的形状。
R(U ,V ) {( x, y, R ( x, y)) | ( x, y) U V } U ,V 是二个论域。
同 一 空 间
R ( x, y) [0,1]
y1 y2 y3 y4
x1 0.8 1.0 0.1 0.7 0 x2 0 0.8 0 x3 0.9 1.0 0.7 0.8
判断函数凸性的若干方法
JOURNAL OF COMMUNICATION UNIVERSITY OF CHINA （SCIENCE AND TECHNOLOGY ）中国传媒大学学报（自然科学版）第27卷，第6期Vol 27，No 62020年12月Dec ，2020判断函数凸性的若干方法吴菁菁，朱永贵（中国传媒大学数据科学与智能媒体学院，北京100024）摘要：凸函数和严格凸函数是线性规划和非线性规划都要涉及的基本概念，关于凸函数和严格凸函数的一些定理在凸分析以及最优化问题的理论证明中具有重要作用。
本文分别利用不等式方法及求解Hesse 矩阵方法判断多元二次函数的凸性。
关键词：凸函数；严格凸函数；Hesse 矩阵中图分类号：O174．13文献标识码：A文章编号：1673－4793（2020）06－0079－05Several methods for determining the convexity of a functionWU Jing-jing ，ZHU Yong-gui（College of Data Science and Intelligent Media ，Communication University of China ，Beijing 100024，China ）Abstract ：convex function and strictly convex function are the basic concepts involved in linear program-ming and nonlinear programming．Some theorems about convex function and strictly convex function play an important role in the theoretical proof of convex analysis and optimization problems．In this paper ，we use inequality method and Hesse matrix method to judge the convexity of quadratic functions．Key words ：convex function ；strictly convex functions ；Hesse matrix1引言凸函数是一类基本函数，具有非常好的分析学性质，在极值研究、不等式证明、数学规划、逼近论、变分学、最优控制理论、对策论等领域有着广泛的应用。
凸函数的性质与应用
摘要本文首先给出了凸函数的几种定义,然后给出了凸函数的几个重要性质,最后举例说明了凸函数在微积分和不等式证明中的应用.关键词: 凸函数的积分性质;凸函数的不等式AbstractIn this paper,firstly we list several kinds of definition for convex functions, then we give several important properties about convex functions, finally we discuss the applications of convex function in differential calculus and the proof of inequality.Keywords: integral properties of convex functions ; inequality of convex functions目录摘要 (Ⅰ)Abstract (Ⅱ)0引言 (1)1 凸函数的概念 (1)2 凸函数的判定 (2)3 凸函数的性质 (4)4凸函数的应用 (10)4.1 凸函数在数学分析中的应用 (10)4.2 利用凸函数的性质证明不等式 (13)5小结 (15)参考文献 (16)0 引言凸函数是一类非常重要的函数,其概念最早出现在Jensen [1905]编写的文献中.自20世纪初建立凸函数理论以来,凸函数这一重要概念已在数学等其他领域获得广泛应用.诸如模具设计、运筹与控制理论等方面具有重要的理论和实践意义.同时它在基础数学和应用数学的众多领域中被广泛应用,现已成为数学规划、对策论、数理经济等学科的理论基础和有力工具.文献[]9,作者给出了凸函数的8种定义，其次,凸函数也是一种性质特殊的函数[1][16],截止目前,对凸函数的研究已经从定义的研究[9-12]到凸性的研究[16],再到凸性应用方面的研究.对函数凸凹性的研究,在数学中的多个分支都有用处,于是研究凸函数的一些性质就显得十分必要了.1 凸函数的概念函数2()f x x =图象的特点是：曲线上任意两点间的弧段总在这两点连线的线段下方. 一般地，设函数()f x 在区间[],a b 上有定义,若曲线()y f x =上任意两点间的弧段总位于两点连线段的下方,则称函数()f x 是凸函数.图行表示如下(见图1),即可知213l l l k k k <<图1以上定义仅对凸函数作了直观描述,下面我们给出精确定义.定义1 设()f x 在区间I 上有定义,()f x 在区间I 上为凸函数当且仅当12,,(0,1)x x I λ∀∈∀∈,有1212[(1)]()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-上式中“≤”改成“<”则是严格凸函数的定义.定义2 设()f x 在区间I 上有定义, ()f x 在区间I 上为凸函数当且仅当12,,x x I ∀∈有1212()().22x x f x f x f ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭定义3 设()f x 在区间I 上有定义, ()f x 在区间I 上为凸函数当且仅当1,2,...,n x x x I ∀∈,有1212......()()......().n n x x x f x f x f x f n n +++++⎛⎫≤⎪⎝⎭定义4 ()f x 在区间I 上有定义,当且仅当曲线()y f x =的切线恒保持在曲线下方,则()f x 凸函数.若除切点之外,切线严格保持在曲线下方,则曲线()f x 是严格凸的.注1：定义2与定义3等价.注2：若()f x 连续,则定义1,2,3都是等价的.2 凸函数的判定下面介绍凸函数的判定定理.定理1 函数()f x 是区间(),m n 上的凸函数的充要条件为对于(),m n 上的任意三点1x ,2x ,3x 123()x x x <<,总有()()()()21322132f x f x f x f x x x x x --≤--. 定理2 设()f x 在区间I 上可导,则下述论断互相等价:1）()f x 是区间I 上的凸函数; 2）()f x '是区间I 上的增函数;3）对区间I 上的任意两点1x ,2x 有()21121()()()f x f x f x x x '≥+-.证明：1)2)⇒在区间I 上任取两点1x ,2x ()12x x ＜,对充分小的正数h ,由于1122x h x x x h -+＜＜＜,所以由定理1得()()()()()()11212221f x f x h f x f x f x h f x h x x h ---+-≤≤-,因()f x 是区间I 上的可导函数,令0h +→可得()()211221()()f x f x f x f x x x -''≤≤-,所以()f x '是区间I 上的增函数.2)3)⇒在以1x ,2x ()12x x ＜为端点的区间上,由Langrange 中值定理和()f x '是区间I 上的增函数得()()()2121121()()()f x f x f x x f x x x ξ''-=-≥-,移项后得()21121()()()f x f x f x x x '≥+-,且当12x x ＞时仍可得到相应的结论.3)1)⇒任取区间I 上的任意两点1x ,2x ()12x x ＜,()3121x x x λλ=+-,其中 01＜＜λ,由3）并利用()()13121x x x x λ-=--与()2321x x x x λ-=-得()()()()()()()133133312()1f x f x f x x x f x f x x x λ''≥+-=+--()()()()()()233233321()f x f x f x x x f x f x x x λ''≥+-=+-分别用λ和1λ-乘以上述两式并相加,便得()()()()()12312()11f x f x f x f x x λλλλ+-≥=+-则()f x 是区间I 上的凸函数.定理3 设()f x 是区间I 上的二阶可导函数,则在区间I 上()f x 是凸函数的充要条件为()0f x ''≥,x I ∈.3 凸函数的性质下面我们将看到凸函数的一些性质 性质1 若()f x 是区间I 上的凸函数,则 a.若0β≥,则()y f x β=在I 上为凸函数； b.若0β<,则称()y f x β=在I 上为凹函数.性质2 若()f x ,()g x 是区间I 上的凸函数,则(){}max (),()M x f x g x =在I 上为凸函数.证明：因()f x ,()g x 为I 上的凸函数,则在I 上任意两点1x ,2x 和正数(0,1)λ∈,总有121212((1))()(1)()()(1)()f x x f x f x M x M x λλλλλλ+-≤+-≤+- 121212((1))()(1)()()(1)()g x x g x g x M x M x λλλλλλ+-≤+-≤+-,{}121212((1))max ((1)),((1))M x x f x x g x x λλλλλλ+-=+-+-12()(1)()M x M x λλ≤+-.因此,(){}max (),()M x f x g x =为I 凸函数.推论1 若()i f x 1,2,,i n （）=为凸函数,则()()()(){}12max ,,,n F x f x f x f x =为凸函数.性质3 若()f x ,()g x 为区间I 上的凸函数,则()()()F x f x g x =+为凸函数.推论2 若()i f x 是I 上的凸函数,则()()1ni i F x f x ==∑ (1,2,,i n =)为I 上的凸函数.性质4设()f x ,()g x 都为区间I 上非负单调递增(递减)的凸函数,则()()()F x f x g x =在区间I 上是凸函数.证明 因()f x ,()g x 都是I 上的非负单调递增(递减)的凸函数,则对I 上任意两点1x ,2x 有[][]2121()()()()0f x f x g x g x --≥,12211122()()()()()()()()f x g x f x g x f x g x f x g x +≤+,又因为()f x ,()g x 是非负的凸函数,即对I 上任意两点1x ,2x 和()0,1λ∈总有1212((1))()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-, 1212((1))()(1)()g x x g x g x λλλλ+-≤+-.所以121212((1))((1))((1))F x x f x x g x x λλλλλλ+-=+-+-[][][][]12122222112211222112221111221()(1)()()(1)()=()()(1)()()()()(1)()()()()(1)()()()()(1)()()=+()()(1)(1)()()()f x f x g x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x F x （1-）λλλλλλλλλλλλλλλλλλλ≤+-+-+-++-≤+-++-+-+-=2(1)()F x λ+-即证.注：非负不能少.性质5 a.若()f x 是奇函数,且当0x ≥时,()f x 是凸函数(凹函数),那么当0x ≤时,()f x 是凹函数(凸函数).b.若()f x 是偶函数,且当0x ≥时,()f x 是凸函数(凹函数),那么当0x ≤时,()f x 是凸函数(凹函数).性质6 若()y f x =是(),m n 上的连续递增的凸函数,则()1x f y -=是递增的凹函数.证明 因()f x 是(),m n 上的凸函数,所以对(),m n 上任意两点1x ,2x 和()0,1λ∈有1212((1))()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-.又()y f x =在(),m n 上连续单调递增,故反函数单调性不变,则有11121212(()(1)())(((1))(1)f f x f x f f x x x x λλλλλλ--+-≥+-=+-,所以()1x f y -=是递增的凹函数.性质7 若()f x 为区间H 上的凸函数,11:g R R →为单调增加的凸函数,则()()g f x 亦为凸函数.证明 因()f x 为凸函数,即对H 上任意两点1x ,2x 和()0,1λ∈总有1212((1))()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-.又11:g R R →为单调增加的凸函数,所以121212(((1)))(()(1)())(())(1)(())g f x x g f x f x g f x g f x λλλλλλ+-≤+-≤+-. 即()()g f x 亦为凸函数.下面我们将看到有关凸函数的几个定理定理4设()f x 在区间I 上有定义,则下列四个条件等价（其中各不等式要求对任意123,,,x x x I ∈123x x x <<恒成立）：（i ）()f x 在I 上为凸函数；（ii ）31212131()()()()f x f x f x f x x x x x --≤--； (iii)31323132()()()()f x f x f x f x x x x x --≤--；(iv)32212132()()()()f x f x f x f x x x x x --≤--.推论3若()f x 在区间I 上为凸函数,则I 上任意三点123x x x <<,有313221213132()()()()()()f x f x f x f x f x f x x x x x x x ---≤≤---. 注：几何意义是分别连接曲线()f x 上的两点()()111,A x f x ,()()222,A x f x 的弦的斜率2121()()f x f x x x --不超过()()333,A x f x 与()()111,A x f x 的弦的斜率3131()()f x f x x x --,不超过()()333,A x f x 与()()222,A x f x 的弦的斜率3232()()f x f x x x --.推论4 若()f x 在区间I 上的凸函数,则0,x I ∀∈过0x 的弦的斜率()k x =00()()f x f x x x --是关于x 的增函数（若f 为严格凸的,则()k x 严格增）.推论5 若()f x 为区间I 上的凸函数,则I 上任意四点s t u v <<<有()()()()f t f s f v f u t s v u--≤--推论6 若()f x 为区间I 上的凸函数,则对I 上的任一内点x ,单侧导数(),()f x f x +-''皆存在,皆为增函数,且()()f x f x -+''≤ 0()x I ∀∈这里0I 表示I 的全体内点组成之集合.（若f 为严格凸的,则'f +与'f -为严格递增的）.证明 因为x 是内点,故12,,x x I ∃∈使得12x x x <<,从而（利用推论3）,1212()()()()f x f x f x f x x x x x--≤--.再由推论4所述,当1x 递增时,11()()f x f x x x --也递增.故由单调有界原理知,如下极限存在且10'1212()()()()()=limx x f x f x f x f x f x x x x x--→--≤--. 同理,在此式中,令2x x →时,可知'()f x +存在,且''()()f x f x -+≤.最后由推论5中的不等式重新取相应的极限,可知'f +与'f -皆为增函数.推论7 若()f x 在区间I 上为凸的,则f 在任一内点x ∈0I 上连续.事实上推论6知f +'与f -'存在,所以f 在x 处左右都是连续的.定理5 设函数()f x 在区间I 上有定义,则()f x 为凸函数的充要条件为00,x I ∈α∃,使得x I ∀∈,有()f x 00()()x x f x α≥-+.证明（必要性）因()f x 为凸函数,由上面的推论6知,0'00,()x I f x -∀∈存在且'000()()()f x f x f x x x --→-.由此任取一'0(),f x α-≥则0x x <时有00()()()f x x x f x α≥-+因''00()f x f x -+≤(),所以对任一α:''00()(),f x f x x I α-+≤≤∀∈恒有()f x 00()()x x f x α≥-+.(充分性)设123x x x <<是区间I 上的任意三点,由已知条件可知222,,()()()x f x x x f x αα∀∃≥-+()x I ∀∈,由此令1x x =和3x x =,可以得到32123212()()()()f x f x f x f x x x x x α--≥≥--, 由定理1可知()f x 为凸的.定理6 设()f x 在区间I 上有导数,则()f x 在I 上为凸函数的充要条件是()()f x I '∈x 递增.证明 （充分性）12,x x I ∀∈,不妨设12x x <及λ∈（0,1）,记12(1)x x x λλ≡+-,则1212()[(1)]()(1)()f x f x x f x f x λλλλ≡+-≤+-或12()()(1)()0f x f x f x λλ---≤ （1） 由于()()(1)()f x f x f x λλ=+-则（1）是等价于12[()()](1)[()()]0f x f x f x f x λλ-+--≤ （2）应用Largrange 定理,12,:,x x εηεη∃<<<使得''1212[()()](1)[()()]()()(1)()()f x f x f x f x f x x f x x λλλελη-+--=-+--,但112121[(1)](1)()x x x x x x x λλλ-=+--=--, 212212[(1)]()x x x x x x x λλλ-=+--=-.故（2）式左端12''22121[()()](1)[()()]()(1)()(1)()()(1)()[()()]f x f x f x f x f x x f x x x x f f λλλελληλλλεη=-+--=--+--''=--- 按已知条件()()f x I '∈x 递增,得知()()f f εη''≤,从而上式≤0,(2)式获证. （必要性）由定理1的推论6,()f x +'在0I 内为递增的,因()f x '存在,故()()f x f x +''=亦在0I 内为递增的,若I 有右端点b ,按照已知条件f 在b 点有左导数,0x I ∀∈易知''''()()()()()()f x f b f x f x f b f b x b+--=≤≤=-同理,若I 有左端点a ,则()(),f a f x ''≤即()f x '在I 上为递增的.定理7 （Jensen 不等式）若()f x 为[a,b]上的凸函数,则[,]i x a b ∀∈ ,0i λ>(1,2,...,)i n =,11,ni i λ==∑,有11()()nni i i i i i f x f x λλ==≤∑∑.证明 应用数学归纳法.当n=2时,由定义1命题显然成立.设n=k 时命题成立,即对任何12,,...,[,]k x x x a b ∈与10,1,2,...,,1ni i i i k αα=>==∑都有11()()k ki i i i i i f x f x αα==≤∑∑现设121,,...,,[,]k k x x x x a b +∈及0i λ>(1,2,,1)i k =+,111k i i λ+==∑.令1,1ii k （1,2，k)λαλ+=- 则11ki i α==∑,由数学归纳法假设可推得1111111()[(1)]1ki ik i i i k k k i k xf x f x λλλλλ+=+++=+=-+-∑∑111111111111111(1)()(1)()()=(1)()()1=()kk i i k k i kk i i k k i kik i k k i k k i i i x f x f x f x f x f x f x λαλλαλλλλλλ+++=+++=+++=++=≤-+≤-+-+-∑∑∑∑即对任何正整数n(n 2)≥,上述不等式成立.推论8设()f x 在区间I 上是凸函数,则对于任意的12,,...,m x x x I ∈和120m βββ>，，...,都有1122111212...()...()()......m m m m m mx x x f x f x f βββββββββββ+++++≤++++++.4 凸函数的应用接下来将我们介绍凸函数在数学分析、不等式中的应用.4.1 凸函数在数学分析中的应用例1 设函数()f x 在区间I 上是凸函数,试证：()f x 在I 上的任一闭子区间上有界.证明 设[,]a b I ⊂为任一闭子区间， ①（证明()f x 在[,]a b 上有上界）[,],x a b ∀∈取[0,1],x ab aλ-=∈-(1)x b a λλ=+-. 因()f x 为凸函数,所以()[(1)]()(1)()(1)f x f b a f b f a M M M λλλλλλ=+-≤+-≤+-=其中max{(),()}M f a f b =.故在[,]a b 上有上界M ； ②（证明()f x 在[,]a b 上有下界）记2a bc +=为,a b 的中点,则[,]x a b ∀∈,有关于c 的对称点x ',因为()f x 为凸函数,所以()()11()()222f x f x f c f x M '+≤≤+,从而有()2()f x f c M m ≥-≡,即m 是()f x 在[,]a b 上的下界.例2 设()f x 是区间(,)a b 内的凸函数,试证：()f x 在I 上的任一内闭区间[,][,]a b αβ⊂上满足Lipschitz 条件.证明 要证明()f x 在区间[,]αβ上满足Lipschitz 条件,即要证明：0,L ∃>使得12,[,]x x αβ∀∈有1212()()f x f x L x x -≤- （3）因为[,][,]a b αβ⊂, >0h ",使得[,](,)h h a b αβ-+⊂,12,[,],x x αβ∀∈若12,x x <取32x x h =+.由凹函数的性质,有32212132()()()()f x f x f x f x M mx x x x h---≤≤-- 其中M,m 分别表示()f x 在[,]h h αβ-+上的上下界,从而2121()()M mf x f x x x h--≤- （4） 若21,x x <可取32,x x h =-由()f x 的凸性,有()23122312()()()f x f x f x f x x x x x --≤-- 从而()21322132()()()f x f x f x f x M mx x x x h---≤≤-- 由此可知(4)式成立.若12x x =,则（4）式明显成立.这就证明了（4）式对一切12,[,]x x αβ∈皆成立.因此（4）式当1x 与2x 互换位置也成立,故有2121()()M mf x f x x x h--≤-,令,M mL h-=则（3）式也获证. 例3 设()f x 为区间(,)a b 内的凸函数,并且有界,试证明极限 lim ()x af x +→与lim ()x b f x -→存在.证明 设(,)x a b ∈时10x ≤>>f(x)M,x x 为(,)a b 内任意三点,根据()f x 的凸性当x 递增时00()()f x f x x x --也递增.又因为0010010()()()()f x f x M f x x x x x x x x --≤∀>>--,根据单调有界原理,有极限00()()limx b f x f x A x x →--=-,从而000000()()lim ()lim ()()()()x b x b f x f x f x x x f x A b x f x x x --→→⎡⎤-=-+=-+⎢⎥-⎣⎦亦存在.例4设()f x 是区间[,]a b 上连续的凸函数.试证:1212,[,],x x a b x x ∀∈<,有21121221()()1()()22x x x x f x f x f f t dt x x ++≤≤-⎰. 证明 令 121(),(0,1),t x x x λλ=+-∈则2111210211()[()]x x f t dt f x x x d x x λλ=+--⎰⎰ (5) 同理,令221()t x x x λ=--,亦有2111210211()[()]x x f t dt f x x x d x x λλ=+--⎰⎰从而21112122102111(){[()][()]}2x x f t dt f x x x f x x x d x x λλλ=+-+---⎰⎰ （6) 其中121()x x x λ+-与221()x x x λ--关于中点122x x +对称.由于()f x 是凸函数, 故由（6）式得2112211()()2x x x x f t dt f x x +≥-⎰另外,由（5）式,应用()f x 的凸性211210211()[(1))]x x f t dt f x x d x x λλλ=+--⎰⎰ 12101122122100()(1)()]()()(1)()()222f x f x d f x f x f x f x λλλλλ≤+-⎡⎤⎡⎤+-=+-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰4.2 利用凸函数的性质证明不等式例 5 设111,1,1αβαβ>>+=及0,0(1,2,...,)i i a b i n >>=则有Holder 不等式成立：11111()()n nni iiii i i a b a b αββα===≤∑∑∑当且仅当i a α与i b β成正比例时等号成立.证明 取()(1,0)f x x x αα=><<+∞,因为2()(1)0f x x ααα-''=->,所以()f x x α=在(0,)+∞上为凸函数,由定理7的推论9得:112211221212......()......n n n n n nt x t x t x t x t x t x t t t t t t αααα+++++≤++++++ 即1111()()()nnni i i i i i i i t x t x t ααα-===≤∑∑∑,亦即11111()()nnni ii i i i i i t xt x t αααα-===≤∑∑∑令,1αβα=-则有11111ααβαα-+=+=,于是有 11111()()n nni i i ii i i i t x t xt αβα===≤∑∑∑令1,i i i i i t b x t a βα-==,则有11111()()n nni i ii i i i a b ab αββα===≤∑∑∑当i a α与i b β成正比例时,即i i a kb αβ= (k 为正常数,1,21,i n n =-)111111111111()()()nnnnni i i i i i i i i i i i i a b k b k b a b a b ββαββββαβαααα+-==========∑∑∑∑∑∑当i a α与i b β不成正比例时,i t 不全相等,又因为()f x x α=在(0,)+∞为严格凸函数,故严格不等式成立.例6应用Jensen 不等式证明：设0(1,2,....)i i n >=a ,有1212111n n a a a a a a n n++≤≤++⋅⋅⋅+ 证明 取函数()ln f x x =,(0,)x ∈+∞.由21()0,f x x''=-<f 是区间(0,)+∞上严格凹函数,则对12,,...(0,)n a a a ∀∈+∞及1(1,2,...),i i n n N nλ+==∈ 1. 12...n a a a ===,则上式等号成立； 2.若1,2,...,n a a a 不全相等,则由Jensen 不等式11()()n ni i i i i i f a f a λλ==≥∑∑（7） 即12121211ln(...)[ln ln ...ln ]ln(...)n n n a a a a a a a a a n n n n n+++≥+++= 1111n ni i i i i i f f a a λλ==⎛⎫⎛⎫≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑ （8）即121212*********ln(...)(ln ln ...ln )ln ...n n nna na na n a a a n a a a +++≥+++= 12111111ln(...)ln ln ...n n n a a a a a a n⇒++-≥- 因为f 在(0,)+∞上单调递增,综合（7）（8）结论得1212111...nn a a a a a a n n ++≤≤++, 命题成立.5 小结凸函数的性质及其应用还有很多方面值得探讨,例如利用凸函数的性质验证级数的敛散性,广义凸函数求极值等问题,由于篇幅有限没能一一介绍,在以后的研究中还需不断探索和完善.致谢 本文是在彭定忠老师的指导和帮助下完成的, 谢谢老师,老师您辛苦了!参考文献[1]华东师范大学数学系, 数学分析[M]. 北京:高等教育出版社, 1980.[2] 裘兆泰. 数学分析学习指导[M]. 北京: 科学出版社,2004.[3] 徐利治. 大学数学解题法诠释第一版[M]. 安徽：教育出版社,1999.[4] 徐利治. 数学分析的方法和例题选讲[M]. 北京:高等教育出版社,1984.[5] 裴礼文. 数学分析中的典型问题和方法[M]. 北京:高等教育出版社,1988.[6] 张从军. 数学分析[M]. 安徽:安徽大学出版社, 2000.[7] 欧阳光中,姚允龙. 数学分析概要二十讲[M]. 上海：复旦大学出版社,1999.[8] 张筑生. 数学分析新讲[M]. 北京：北京大学出版社,1991.[9] 华东师范大学数学系. 数学分析第三版[M]. 北京:高等教育出版社,2001.[10]刘国华等, 关于凸函数的八个等价定义[J]. 河北建筑科技学院学报, 2003,20(3):82-83.[11]俞文辉, 凸函数不同定义间的关系及其应用[J]. 南昌高专学报, 2005,60(5):112-113.[12]郭素霞, 关于凸函数定义的讨论[J]. 衡水师专学报, 2000, 2(4):49-52.[13]钟伟等, 凸函数的几种不同定义及应用[J]. 九江学院学报, 2007, 11(3):74-77.[14]刘鸿基, 关于凸函数的两个充分必要条件[J]. 菏泽学院学报, 2005, 19(9):78-79.[15]周科, 凸函数等价性命题证明[J]. 渝州大学学报, 2000, 17(4):18-21.[16]刘仁义, 关于凸函数的判定[J]. 九江师专学报, 1999, 18(3):1-8.[17]向日光, 对函数凸性定义的诠释[J]. 遵义师范学院学报, 2005, 7(4):49-50.[18]周翠莲, 凸函数定义的进一步研究[J]. 山东工程学院学报, 1996, 10(3):26-31.。
02-凸函数
02-凸函数02-凸函数⽬录⼀、基本性质和例⼦[凸函数] ⼀个函数 f:R n→R 是凸的，如果定义域 dom f 是凸集，并且对于所有 x,y∈f,θ≤1 ，我们有 f(θx+(1−θ)y)≤θf(x)+(1−θ)f(y).注：如果不能理解，从⼆维⾓度去理解⼏何解释：点 (x,f(x)) 和 (y,f(y)) 之间的线段在f对应的图像上⽅。
函数f是严格凸的，如果以上不等式在x≠y，且 0<θ<1 时也成⽴.函数f是凹的，当 −f是凸的，严格凹，当 −f是严格凸的。
仿射函数既是凸的也是凹的，反过来，既凹⼜凸的函数是仿射的。
⼀个函数是凸的当且仅当对任意x∈dom f和任意v，函数g(t)=f(x+tv) 是凸的， {t|x+tv∈dom f}.注：其实只是修改了⾃变量的表⽰，⼜由于⾃变量的集合是凸集，线性表⽰后仍然是凸集˜f:R n→R∪{∞} ,[扩展值] 将凸函数扩展到整个 R n ，通常令它在定义域之外取 ∞ 。
如果 f 是凸函数那么它的拓展为{˜f(x)=f(x)x∈domf∞x∉domf[⼀阶条件] 令函数 f 是可微的（也就是它的梯度 ∇f 在开集 domf 的每个点上都存在）。
那么 f 是凸的，当且仅当 domf 是凸的，并且对所有的 x,y∈domf 有：f(y)≥f(x)+∇f(x)T(y−x).注：其实同样可以从⼆维⾓度的考虑，⽆⾮就是 dy，也就是函数图像永远在某⼀点的切上上，同时 f(x)+∇f(x)T(y−x) 相当于 f 在 x 的⼀阶泰勒近似，如果你对泰勒展开公式熟悉，更好理解，因为泰勒展开是⽆穷阶的，只不过此处做了省略在每个点上，函数图像都⾼于在该点的切线。
解释：y的仿射函数f(x)+∇f(x)T(y−x) 是f在靠近x处的⼀阶泰勒近似。
上述不等式表达了这个⼀阶泰勒近似是函数的全局下限（globalunderestimator），反过来，如果函数的⼀阶泰勒近似总是函数的全局下限，那么这个函数是凸的。
凸函数的判定条件
凸函数的判定条件在数学分析中，凸函数是一个非常重要的概念。
它具有很多优良的性质和应用，如优化、最小化、最大化等等。
因此，凸函数的研究是数学分析研究的一个重要方向。
本文将介绍凸函数的判定条件。
一、凸函数的定义在正式介绍凸函数的判定条件之前，先回顾一下凸函数的定义。
设$f$是定义在区间$I$上的实值函数，若对于$I$中的任意两个点$x_1$和$x_2$以及任意的$\lambda\in [0,1]$，都满足$$f(\lambda x_1+ (1-\lambda) x_2)\leq \lambda f(x_1) +(1-\lambda)f(x_2)$$则称函数$f$是$I$上的凸函数。
二、一阶导数的判别法如果函数$f$在区间$I$上具有一阶导数，则$f$是$I$上的凸函数的充分必要条件是$f'$在$I$上单调不减。
也就是说，如果在$I$上$f''(x)\geq 0$，则$f$是$I$上的凸函数。
这个结论的证明可以使用割线法，即对$f$的两个点$x_1$和$x_2$，连结它们之间的割线。
由于$f$是凸函数，故割线上每一点的函数值都小于等于$f$在该点处的切线函数值。
利用切线的定义，即$f(x_2)-f(x_1) =f'(x_1)(x_2-x_1)+o(x_2-x_1)$，得到$f(x_2)-f(x_1)\geq f'(x_1)(x_2-x_1)$，即$\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\geq f'(x_1)$。
因此，如果$f'$在$I$上单调不减，则$f$是凸函数。
反之亦然。
三、二阶导数的判别法如果函数$f$在区间$I$上具有二阶导数，则$f$是$I$上的凸函数的充分必要条件是$f''(x)\geq 0$。
这个结论的证明可以使用Taylor公式。
设$x_0$为$I$上的任意一点，则对于$x\ne x_0$，有$$f(x)=f(x_0)+(x-x_0)f'(x_0)+\frac{(x-x_0)^2}{2}f''(c)$$其中$c$在$x$和$x_0$之间。
模糊判决的常用方法
模糊判决的常用方法1.引言1.1 概述概述部分的内容应该对本文的主题进行简要介绍和解释。
可以包括以下几个方面：1. 引入模糊判决的概念：模糊判决是一种用于处理不确定性和模糊性问题的方法。
在现实生活和各个领域中，我们常常会遇到一些无法准确界定的情况，这时就需要使用模糊判决方法来进行有效的决策和判断。
2. 模糊判决的应用领域：模糊判决方法广泛应用于工程、经济、环境、医学、交通等多个领域。
在这些领域中，模糊判决方法能够处理各种类型的问题，尤其是那些涉及到模糊和不确定性的情况。
3. 模糊判决的原理和特点：模糊判决方法的核心思想是将不确定性问题转化为模糊问题，并基于模糊逻辑进行综合评价和决策。
相比传统的二值判决方法，模糊判决方法能够更好地表达和处理信息的模糊性和不确定性，增强了决策的灵活性和准确性。
4. 文章结构简介：本文将会介绍几种常用的模糊判决方法，这些方法包括但不限于模糊集合理论、模糊推理、模糊控制等。
通过对这些方法的介绍和分析，希望能够为读者提供一些有关模糊判决的基本知识和应用示例，并展望未来在这个领域的研究方向。
通过以上内容的简要介绍，读者可以对本文的主题有一个初步的了解，并对接下来的内容有一个大致的期待。
1.2 文章结构文章结构的设计是为了使读者能够清晰地理解文章的组织和内容安排。
本文主要介绍模糊判决的常用方法，文章结构主要包括引言、正文和结论三个部分。
引言部分（1.1）概述了文章的主题和内容，简要介绍了模糊判决的概念和应用背景。
通过提出研究问题，引起读者的兴趣，并为后续的论述做铺垫。
引言部分（1.2）详细介绍了文章的结构。
首先，文章将分为三个主要部分：引言、正文和结论。
在引言部分，描述了这三个部分的内容：概述模糊判决的概念和应用背景，介绍文章的结构设计和目录安排。
接着，介绍了本文的目的，即阐述模糊判决的常用方法，并展望未来的研究方向。
正文部分（2.1和2.2）将详细介绍常用的模糊判决方法。
在正文中，我们将逐一介绍每种方法的原理、应用场景、优缺点等，并通过实例或案例来说明，以便读者更好地理解和掌握这些方法。
Fuzzy模糊数学-共5节-电子书---讲义
模糊数学第1节模糊聚类分析第2节模糊模式识别第3节模糊相似优先比方法第4节模糊综合评判第5节模糊关系方程求解在自然科学或社会科学研究中,存在着许多定义不很严格或者说具有模糊性的概念。
这里所谓的模糊性，主要是指客观事物的差异在中间过渡中的不分明性，如某一生态条件对某种害虫、某种作物的存活或适应性可以评价为“有利、比较有利、不那么有利、不利”；灾害性霜冻气候对农业产量的影响程度为“较重、严重、很严重”，等等。
这些通常是本来就属于模糊的概念，为处理分析这些“模糊”概念的数据，便产生了模糊集合论。
根据集合论的要求，一个对象对应于一个集合，要么属于，要么不属于，二者必居其一，且仅居其一。
这样的集合论本身并无法处理具体的模糊概念。
为处理这些模糊概念而进行的种种努力，催生了模糊数学。
模糊数学的理论基础是模糊集。
模糊集的理论是1965年美国自动控制专家查德(L. A. Zadeh)教授首先提出来的，近10多年来发展很快。
模糊集合论的提出虽然较晚，但目前在各个领域的应用十分广泛。
实践证明，模糊数学在农业中主要用于病虫测报、种植区划、品种选育等方面，在图像识别、天气预报、地质地震、交通运输、医疗诊断、信息控制、人工智能等诸多领域的应用也已初见成效。
从该学科的发展趋势来看，它具有极其强大的生命力和渗透力。
在侧重于应用的模糊数学分析中，经常应用到聚类分析、模式识别和综合评判等方法。
在DPS系统中，我们将模糊数学的分析方法与一般常规统计方法区别开来，列专章介绍其分析原理及系统设计的有关功能模块程序的操作要领，供用户参考和使用。
第1节模糊聚类分析1. 模糊集的概念对于一个普通的集合A，空间中任一元素x，要么x∈A，要么x∉A，二者必居其一。
这一特征可用一个函数表示为：A x x A x A()=∈∉⎧⎨⎩1A(x)即为集合A的特征函数。
将特征函数推广到模糊集，在普通集合中只取0、1两值推广到模糊集中为[0, 1]区间。
定义1 设X为全域，若A为X上取值[0, 1]的一个函数，则称A为模糊集。
复杂函数的凸函数的判定方法
复杂函数的凸函数的判定方法1. 定义法呀！直接根据凸函数的定义来判断，就像判断一个人是不是好人，看他的行为符不符合好人的标准一样。
比如函数 f(x)=x^2，它的二阶导数恒大于等于 0，不就是明显的凸函数嘛！2. 一阶导数判别法也超实用！当函数的一阶导数单调递增时，嘿，大概率就是凸函数啦！就像跑步速度一直在加快，那肯定是在向上前进呀，比如函数 f(x)=e^x。
3. 二阶导数判别法可别小瞧！看到二阶导数恒大于等于 0，那差不多就是凸函数没跑啦！好比看到一个人总是笑眯眯的，那心情肯定不错呀，像f(x)=ln(x) 在定义域内就是这样。
4. 图像法很直观哦！直接瞅瞅函数图像是不是向上凸的，就一清二楚啦。
比如反比例函数，那图像一看就不是凸函数嘛！5. 割线法也很有趣呀！看看割线是不是都在函数曲线的上方，如果是，那就是凸函数啦！就像走在路上总是比路边的花草高一样明显，像函数f(x)=-x^2 就是典型的例子呀。
6. 琴生不等式法这个有点厉害哦！用它来判断凸函数也是一绝。
哎呀，就好像有个特别靠谱的标准来衡量一样，比如函数 f(x)=sin(x) 在一定区间内可以用这个方法呀。
7. 利用凸组合来判断也不错！看看满足凸组合的条件不，满足的话大概率就是啦！这就好像把不同的东西混在一起，看看是不是符合某种特征，就像 f(x)=x 就可以这样来瞧瞧。
8. 对比法也能行呀！和已知的凸函数做个比较，说不定就发现了。
这和找不同有点像呢，比如已知 f(x)=x^3 是凸函数，那和它类似的函数也可以试着判断呀。
9. 还可以用极限的思想呢！从极限的角度去分析函数的凸性。
哇，这就好像从很遥远的地方去观察一个东西一样，比如函数 f(x)=1/x 在某些区间上，用极限思想判断就很有意思呀！在我看来呀，这些方法都各有各的厉害之处，根据不同的函数特点去灵活运用，才能准确判断是不是凸函数呀！。
凸优化的判定方法
凸优化的判定方法
凸优化问题可以通过以下几种方法进行判定：
1.凸函数的定义：一个函数是凸函数，如果对于任意两点x1、x2
在其定义域内，都有f((x1+x2)/2)≤(f(x1)+f(x2))/2。
2.二阶导数判定法：如果一个函数的一阶导数在某区间内单调，
并且二阶导数在该区间内非负，则该函数在该区间内是凸函数。
3.矩阵判定法：如果一个函数的Hessian矩阵在某区域内正定，
则该函数在该区域内是凸函数。
4.优化判定法：如果一个优化问题存在全局最优解，并且对于任
意两个解，任意小的改进都会导致解的改变，则该优化问题是
凸优化问题。
以上信息仅供参考，如有需要，建议您咨询专业数学人士。
模糊数学综合评判法(高等教育)
则表示“或数学能力强或计算机能力强” 的模糊集为
A B 0.8 0.5 0.5 0.6 1 0.3 0.4 0.4 0.2 0.7
~~
x1
x2
x3
x4
x5
0.8 0.6 1 0.4 0.7
x1 x2 x3 x4 x5
表示“又数学能力强又计算机能力强”的模糊集为
A B 0.8 0.5 0.5 0.6 1 0.3 0.4 0.4 0.2 0.7
~~
x1
x2
x3
x4
x5
0.5 0.5 0.3 0.4 0.2
x1 x2 x3 x4 x5
一.模糊概念与模糊集合
模糊集合满足幂等律、交换律、结合律、吸收律、分
配律、复原律、对偶律、定常律传递律.
设 A 是一个模糊集，对任意 [0,1] ，则普通集合 ~ A x A (x) ~
称为 A 的 截集. ~
确定隶属函数的主要原则： （1）运用模糊统计试验和对试验结果予以数学推理确定
其隶属函数。 （2）运用专家经验打分，并总结出人为技巧对模糊事物
进行推理来确定隶属函数，然后通过应用进行实践检验， 不断修改和完善。 （3）当可用实数闭区间表示论域时，可根据问题的性质， 选择恰当的隶属函数。
一.模糊概念与模糊集合
~ x1 x2
xn
还可以表示为向量：
A
~
(
A
~
(
x1
),
A
~
(
x2
),,
A
~
(
xn
))
.
一.模糊概念与模糊集合
例 2 论域 U 同例 1，记模糊集
A 青年人.
~
在 U 上，要表达出“青年人”这一模糊概念，就要说
判断函数非凸
判断函数非凸
首先定义凸集，如果x，y属于某个集合M，并且所有的θx+(1-θ)f(y)也属于M，那么M为一个凸集。
如果函数f的定义域是凸集，并且满足
f(θx+(1-θ)y)≤θf(x)+(1-θ)f(y)
则该函数为凸函数。
如果函数存在二阶导并且为正，或者多元函数的Hessian矩阵半正定则均为凸函数。
「注意」：中国大陆数学界某些机构关于函数凹凸性定义和国外的定义是相反的。
Convex Function在某些中国大陆的数学书中指凹函数。
Concave Function指凸函数。
但在中国大陆涉及经济学的很多书中，凹凸性的提法和其他国家的提法是一致的，也就是和数学教材是反的。
举个例子，同济大学高等数学教材对函数的凹凸性定义与本条目相反，本条目的凹凸性是指其上方图是凹集或凸集，而同济大学高等数学教材则是指其下方图是凹集或凸集，两者定义正好相反。
模糊函数的物理意义
模糊函数的物理意义模糊函数是一种具有模糊界限、模糊值和模糊关系的函数，它用于描述现实世界的不确定性和模糊性。
模糊函数的物理意义涉及到多个方面，包括模糊集合、模糊逻辑、模糊决策等。
下面将从这些方面探讨模糊函数的物理意义。
首先，模糊函数的物理意义之一是描述模糊集合。
模糊函数可被视为一种从输入到输出之间的映射关系，输入可以是一个或多个变量，输出是模糊集合的模糊值。
模糊集合是描述现实世界中模糊、不精确、模糊边界的集合，例如“高温”、“矮个子”、“年轻人”等。
模糊函数通过对输入变量的模糊化和模糊关系的建立来描述这些模糊集合。
例如，可以通过模糊函数将“年龄”这个输入变量映射到“年轻人”这个模糊集合，从而描述出不同年龄段的人的年轻程度。
其次，模糊函数的物理意义还可以用于模糊逻辑的推理。
模糊逻辑是一种用于处理模糊信息的推理系统，其中使用模糊函数来模拟人类认知和推理的过程。
模糊函数在模糊逻辑中被用来描述推理的不确定性和模糊性。
例如，在模糊控制系统中，模糊函数可用于描述输入变量和输出变量之间的模糊关系，并通过推理规则和模糊推理算法来进行模糊推理。
通过使用模糊函数，可以在处理含有不确定性和模糊性的问题时，更加符合人类认知的方式进行推理和决策。
第三，模糊函数的物理意义还可以用于模糊决策。
模糊决策是一种在不确定性条件下的决策方法，它使用模糊函数和模糊集合来描述决策问题中的不确定性和模糊性。
模糊函数在模糊决策中被用于量化决策变量和目标变量之间的关系。
例如，在模糊决策中，可以根据调查问卷得到的模糊数据建立模糊函数，用以量化决策变量和目标变量之间的模糊关系。
通过模糊函数，可以将决策问题中的不确定性和模糊性转化为数学模型，进而进行决策分析和评估。
除了以上的方面，模糊函数的物理意义还可以涉及到其他一些领域，如模糊图像处理、模糊模式识别等。
在模糊图像处理中，模糊函数被用来描述图像中的模糊边界和模糊区域，从而实现对图像的模糊处理和分析。
研究方法之模糊综合评价法(原理及案例分析)
2017/5/1
昆明理工大学
8
一、模糊综合评价法的思想和原理
模糊数学的产生：1965年，美国伯克利加利 福尼亚大学电机工程与计算机科学系教授、 自动控制专家L.A. Zadeh（扎德） 发表了 文章《模糊集》(Fuzzy Sets，Information and Control, 8, 338-353 )，第一次成功 滴运用精确的数学方法描述了模糊概念，从 而宣告了模糊数学的诞生.他所引进的模糊 集（边界不明显的类）提供了一种分析复杂 系统的新方法.因发展模糊集理论的先驱性 工作而获电气与电子工程师学会(IEEE)的教 育勋章。 如果说关肇直院士（及后来的蒲保明院士和 李国平院士）是我国模糊集合论研究的倡导 者及推动者，那么汪培庄便是我国模糊集合 论研究的先驱者或开拓者之一.刘应明(川大) 模糊综合评定法：汪培庄(北京师范大学数 学系)提出了模糊数学的一种具体应用方法.
其中：bj表示被评级对象从整体上看对评价等级模糊子集元 素vj的隶属程度。
2017/5/1
昆明理工大学
18
二、模糊综合评价法的模型和步骤
常用的模糊合成算子有以下四种：
M ，
m i 1
b j ai rij max min ai , rij , j 1,2, , n
评判集、评价集、决断集、评语集、等级集实为同一涵义. 每一个评价等级可对应一个模糊子集. 什么是模糊子集？ 论域上的模糊集合称为模糊子集. 经典集合的指示函数扩展为模糊集合的隶属函数.
如何用判别式法求高中函数值域？另有10种方法和典型例题精讲讲解
如何用判别式法求函数值域
用判别式法求值域是求函数值域的常用方法，但在教学过程中，很多学生对用判别式求值域掌握不好。
一是不理解为什么可以这样做，二是学生对哪些函数求值域可以用判别式法，哪些函数不能也比较模糊。
下面是洪老师的高考必备资料库结合数学老师的教学实践进行探讨一下用判别式法求高中函数值域！
一、判别式法求值域的理论依据
二、判别式法求值域的适用范围
更多方法解高中函数值域！
在洪老师的高考必备资料库里，有一套63套解题方法大全！
其中，针对常见函数值域或最值的经典求法归纳汇总了10种方法。
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下面通览一下 常见函数值域或最值的经典求法的10种方法。
多元凸函数的判定
多元凸函数的判定1 引言凸函数是一类基本函数，具有非常好的分析学性质，在极值研究、不等式证明、数学规划、逼近论、变分学、最优控制理论、对策论等领域有着广泛的应用. 人们对一元凸函数性质和判定方法已经有了丰富的研究，但随着凸函数应用范围的不断扩展，多元凸函数越来越多的被研究. 一元函数凸性的判定方法也被推广到多元函数，文献[4]将凸函数与导函数之间的关系推广，给出了用梯度判定多元函数凸性的方法，文献[5]将凸函数与二阶导数之间的关系推广，给出了用黑塞矩阵判定多元函数凸性的方法. 而多元函数的梯度与黑塞矩阵在计算中往往比较繁琐，本文将着力研究多元函数凸性判定方法的改进，使凸函数判定的计算更加简洁，应用更加方便. 2 定义及引理本节主要介绍本文用到的定义及引理.定义2.1[2] 设n R D ⊂，如果D 中的任意两点的连线也在D 内，则称D 为n R 中的凸集. 即对任意21,P P ，数)1,0(∈λ，总有D P P ∈-+21)1(λλ.定义 2.2[1] 设n R D ⊂为非空凸集,f 为定义在D 上的函数,若对任意)1,0(,,21∈∈λD P P ，总有)()1()())1((2121P f P f P P f λλλλ-+≤-+， (1)则称f 为D 上的凸函数. 反之，如果总有)()1()())1((2121P f P f P P f λλλλ-+≥-+， (2)则f 为D 上的凹函数.若上述(1)、(2)中的不等式改为严格不等式，则相应的函数称为严格凸函数和严格凹函数.定义]2[3.2 )(P f 是定义在n R D ⊂上的多元函数，若在点),,,(210n x x x P ⋅⋅⋅存在对所有自变量的偏导数，则称向量))(,),(),((00021P f P f P f n x x x ⋅⋅⋅为函数)(P f 在点0P 的梯度，记作)).(,),(),(()()(0000021P f P f P f P gradf P f n x x x ⋅⋅⋅==∇定义]2[4.2 )(P f 是定义在n R D ⊂上的多元函数，且在点),,,(210n x x x P ⋅⋅⋅具有二阶连续偏导数，记⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=)()()()()()()()()()(0000000000212221212111P f P f P f P f P f P f P f P f P f P H n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x f 它称为)(P f 在0P 的黑赛矩阵.引理2.1[1] (泰勒定理) 若函数f 在],[b a 上存在直至n 阶的连续导函数，在),(b a 上存在)1(+n 阶导函数，则对任意给定得],[,0b a x x ∈，至少存在一点),(b a ∈ξ，使得.)()!1()()(!)()(!2)())(()()(10)1(00)(200000++-++-+⋅⋅⋅+-''+-'+=n n n n x x n f x x n x f x x x f x x x f x f x f ξ3 已有结果定理]1[1.3 f 为I 上的凸函数的充要条件是：对于I 上的任意三点321x x x <<，总有.)()()()(23231212x x x f x f x x x f x f --≤--定理]1[2.3 设f 为区间I 上的二阶可导函数，则在I 上f 为凸（凹）函数的充要条件是)0)((0)(≤''≥''x f x f ，I x ∈.定理]4[3.3 设)(P f 为凸集n R D ⊂内可微函数，则)(P f 为D 内的凸函数的充要条件是:对任意D P ∈，D P P ∈∆+，则P P f P f P P f T ∆∇+≥∆+)()()(.定理]5[4.3 设)(P f 是定义在非空开集n R D ⊂的二次可微函数，则)(P f 是凸函数的充要条件是在任意点D P ∈处)(P f 的黑赛矩阵半正定.定理]5[5.3 设)(P f 是定义在非空开集n R D ⊂的二次可微函数，若)(P f 的黑赛矩阵在任意点D P 处正定，则)(P f 是严格凸函数.。
函数凹凸性判别法与应用讲解
函数凹凸性判别法与应用讲解
函数凹凸性是指函数的变化趋势，即函数的单调性。
单调指的是曲线的一面朝上、一
面朝下，即函数的上凹下凸。
凹凸性判别法是利用函数的三阶导数来判断函数的凹凸性，它的原理是：若一个函数
的三阶导数大于 0，则其对应的前面的函数为凸函数；若一个函数的三阶导数小于0，则
其对应的前面的函数为凹函数。
因此，凹凸性判别法是基于三阶导数判断函数凹凸性的一种方法。
具体来进行凹凸性判断时，首先要求函数的三阶偏导数，记为y''''，如果y''''>0，说明该点处曲线呈凸函数；如果y''''<0，说明该点处曲线呈凹函数。
1、它可以用来判断函数图像的凹凸性，如弧线的凹凸情况；
2、它是非线性优化算法的基本前提。
非线性优化首先要求目标函数的形式，然后通
过数值分析来求解函数的极值、拐点等；
3、它还可以用来分析对策优化问题，研究决策问题中随机变量的影响，研究决策问
题中策略的选择等。
据此，可以看出凹凸性判别法不仅可以用来判断某函数的凹凸性，还能用于优化函数
求解和决策问题的研究中，由此可见它的重要性和实用性。
模糊综合评价法
模糊综合评价法是一种基于模糊数学的综合评标方法。
该综合评价法根据模糊数学的隶属度理论把定性评价转化为定量评价，即用模糊数学对受到多种因素制约的事物或对象做出一个总体的评价。
它具有结果清晰，系统性强的特点，能较好地解决模糊的、难以量化的问题，适合各种非确定性问题的解决。
由于地质环境与地质灾害系统的复杂性，地质环境与地质灾害评价需要研究的变量关系较多且错综复杂，其中既有确定的可循的变化规律，又有不确定的随机变化规律，人们对地质环境的认识也是既有精确的一面，也有模糊的一面。
用绝对的“非此即彼”有时不能准确地描述地质环境中的客观现实，经常存在着“亦此亦彼”的模糊现象，其刻划与描述也多用自然语言来表达，如某一斜坡地段的工程岩组为软“弱岩体” ，该地段岩体稳定性“较差”等等。
自然语言最大的特点是它的模糊性。
从逻辑上讲，模糊现象不能用 1 真(是)或 0 假(否)二值逻辑来刻划，而是需要一种用区间 [0， 1]的多值(或连续值)逻辑来描述。
可见，运用模糊理论解决地质环境与地质灾害危险性评价问题，是模拟人脑某些思维方式，提高认识地质体的一种有效方法。
因此，地质环境质量与地质灾害危险性评价中引入了模糊综合评判方法是客观事物的需要 ,也是主观认识能力的发展。
模糊综合评判方法是应用模糊关系合成的特性,从多个指标对被评价事物隶属等级状况进行综合性评判的一种方法,它把被评价事物的变化区间作出划分,又对事物属于各个等级的程度作出分析,这样就使得对事物的描述更加深入和客观,故而模糊综合评判方法既有别于常规的多指标评价方法 ,又有别于打分法。
(1)模糊综合评判数学模型设 U={ u1,u2, …,u m}为评价因素集,V={v1,v2, …v n}为危险性等级集。
评价因素论域和危险性等级论域之间的模糊关系用矩阵 R 来表示：式中， r ij = η(u i，v j)(0≤r ij ≤1) ，表示就因素 u i 而言被评为 v j 的隶属度；矩阵中第 i 行R i =(r i1,r i2, …,r in)为第 i 个评价因素 u i 的单因素评判，它是 V 上的模糊子集。
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≠X2
, 恒有
f
～
(
X2)
≥f ～
(
X1)
+
f(
～
X1)
T(
X2
-
X1) .
(4)
证明 (1) 必要性
设 f ( X) 为 D上的凸模糊函数 ,则对任何 λ∈[0 ,1 ] ,有
～
～
f
～
[λX2
+
(1 - λ)
X1
]
≤λf ～
(
X2)
+
(1
-
λ)
f
～
(
X1)
=
f
～
(
X1)
+λ[ f ～
(
X2)
-
f
文章编号 :100128220 (2001) 0320274204
凸模糊函数判别法
曾林泽1 ,敬加强2 ,肖芳淳2
(11 川北医学院基础部 ,四川 南充 637007 ; 21 西南石油学院基础部 ,四川 南充 637001)
摘 要 :介绍了在工程与电子网络优化等领域中因客观事物的模糊性而自然存在的凸模糊集与凸模糊函数的相
Abstract :Convex fuzzy sets and function exists naturally in the scopes such as engineering and electronic network opti2 mum because of the fuzzy properties of impersonal things. Their correlative concepts and properties are expounded. The sufficient and necessary conditions of two kinds of convesx functions are demonstrated. A discrimination Method of Conv2 sex Fuzzy Function is proposed. Its applied method is illustrated. And the results show the validity and reliability. This method is the extension of convex analysis and has a wide application fields such as mathematical programming and opti2 mizing control theory.
第 22 卷第 3 期
曾林泽 ,等 :凸模糊函数判别法
275
212 凸模糊函数
设 D为 Rn中的一个凸模糊集 , f ( X) 为定义在 D上的函数 , 若对任意实数 λ∈[0 , 1 ] , 以及 D中任意两
～
～
～
～
点 X1与 X2 ,恒有
f
～
[λX1
+
(1 - λ)
X2 ]
≤λf ～
(
集.
凸模糊集具有下列性质 :
性质 1 设 A ∈f ( X) , A是凸模糊集的充要条件为 Πλ∈[0 ,1 ] , A (λ) 是区间.
～
～
～
性质 2 若 A与 B是凸模糊集 ,则 A ∩B也是凸模糊集.
～
～
～～
收稿日期 :2001 - 04 - 25 作者简介 :曾林泽 (1964 - ) ,男 ,四川蓬溪人 ,川北医学院基础部讲师 ,主要从事物理学教学与科研工作.
f ( X +λZ) = f ( X) +λ f ( X) T Z + (λ2/ 2) ZTH ( X) Z + 0 (λ2) .
(12)
～
～
～
～
其中 lim 0 (λ2) / λ2 = 0. λ→0
由以上两式得
f ( X) +λ f ( X) T Z + (λ2/ 2) ZTH( X) Z + 0 (λ2) ≥f ( X) +λ f ( X) TZ.
参考文献 :
[1 ] 肖芳淳 ,张效羽 ,张 鹏 ,等. 模糊分析设计在石油工业中的应用[M] . 北京 :石油工业出版社 ,1993. [2 ] 冯德兴. 凸分析基础[M] . 北京 :科学出版社 ,1995. [3 ] 刘光中. 凸分析与极值问题[M] . 北京 :高等教育出版社 ,1991. [4 ] 刘育骥 ,耿新宇 ,肖辞源. 石油工程模糊数[M] . 成都 :成都科技大学出版社 ,1994. [5 ] TOM M. Apostol (Calculus Vol. 1) [M] . John Wiley & Sons , Inc. New York. Santa Barbara. London. Sydney. Toronto , 1967.
～
92 X1
= 6 > 0.
9f ( X)
92 f ( X)
～
9X2
= 4 X2 - 1 ;
～
92 X2
= 4 > 0.
92 f ( X) 92 f ( X)
～
～
9X1 9X2 = 9X2 9X1 = 0.
故海赛矩阵的行列式为
6 0
H=
～
0 4
= 24 > 0.
因而海赛矩阵处处正定 ,由定理 2 推论得知 f ( X) 为严格正定凸模糊函数 ,结果与文献 (3) 完全相同 , 证 ～
+
f(
～
X)
T(
X1
-
X) ] + (1 - λ) [ f ( X) ～
+
f(
～
X)
T(
X2
-
X) ] =
f ( X) =
～
f
～
[λX1
+
(1
-
λ)
X2 ].
(8)
从而得知 f ( X) 为 D上的凸模糊函数.
～
～
定理 2 (二阶条件) 设定义在 n 维欧氏空间中某一开凸模糊集 D上的函数 f ( X) 具有连续二阶导数 ,
～
～
27 6 四川师范学院学报(自然科学版) 2001 年
则 f ( X) 在 D上是凸模糊函数的充分必要条件为 f ( X) 的海赛矩阵 H( X) 在 D上是半正定.
～
～
～
～
～
证明 (1) 充分性
设 f ( X) 表示在 D上的模糊函数 ,则由台劳公式[5]得
2 凸模糊集与凸模糊函数
211 凸模糊集
设 D 为 Rn中的一个集合 ,若对任意两点 X1与 X2 ,具有 X1 ∈D , X2 ∈D ,并且连接这两点所构成的线段 仍在集合 D 中 ,即对任意实数 λ∈[0 ,1 ] ,使连线有如下关系
λX1 + (1 - λ) X2 ∈D.
则称集合 D 为凸集 ,否则为非凸集[3] .
X1)
+
(1 -
λ)
f
～
(
X2)
.
(2)
则称 f ( X) 定义在 D上的凸模糊函数.
～
～
若对每一个 λ(0 ≤λ≤1) 和 X1 ≠X2 ∈R ,恒有
f
～
[λX1
+
(1 - λ)
X2 ]
<λf ～
(
X1)
+
(1 -
λ)
f
～
(
X2)
.
(3)
则称 f ( X) 定义在 D上的严格凸模糊函数.
～
～
3 凸模糊函数的判别
实了本法的有效性和可靠性.
第 22 卷第 3 期
曾林泽 ,等 :凸模糊函数判别法
277
由以上理论分析与实例运算结果可见 ,凸模糊函数系凸分析[2]的延拓 ,它将同凸分析一样 ,在数学规划 、 对策论 、数理经济学 、电子网络优化及最优控制理论等众多领域中发挥越来越大的作用 , 并有可能发展成为 凸模糊分析的体系 ,正待开拓创新 ,使其更加完美.
X1 ,即得
f
～
(
X1)
≥f ( X) ～
+
f(
～
X)
T(
X1
-
X) ,
f
～
(
X2)
≥f ( X) ～
+
f(
～
X)
T(
X2
-
X) .
(7)
在 (7) 式中 ,用 λ 乘第一个不等式 ,用 1 - λ 乘第二个不等式 ,然后相加 ,并联系 (6) 式得
λf
～
(
X1)
+
(1 -
λ)
f
～
(
X2)
≥λ[ f ( X) ～
Discrimination Method of Convex Fuzzy Function
ZENG Lin-ze1 ,J ING Jia- qiang2 ,XIAO Fang-chun2
(1. Dept. of Basic Courses , Northern Sichuan Medical Institute , Nanchong 637007 ,China ; 2. Dept. of Basic Courses , Southwest Petroleum Institute , Nanchong 637001 ,China)
～
～
f ( X)
～
=
f
～
(
X0)
+
f
～
(
X0)