凸函数的判别和应用
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用不等式，如Jensen不等式,H o lder不等式和Cauchy不等式；第二是通过七个例子说明凸函数在
初等数学和高等数学中的一些应用．论文的亮点：在例６中，利用凸函数的判别方法２中的定理 １通过限制数字的大小和变形得出两个结论，用以解决比较数的大小的三种类型． 【答辩】： 1、问：判别函数凸性的前提条件是什么？
使问题轻松地解决。所以研究凸函数有一定的实用价值。
研究综述(前人的研究现状及进展情况)
凸函数理论的奠基工作可以追溯到 20 世纪初前后 H o lder,Jensen和 Minkowski的工 作，但引起人们广泛重视的工作则是 20 世纪 40——50 年代 Von Neumann,Dantxig,Kuhn和 Tucker等人关于对策论和数学规化的研究。此后，人们对凸函数进行了大量深入细致的研 究，60 年代中期产生了凸分析，凸函数的概念被按多种途径进行推广，提出了许多广义凸 性的概念。其中影响较大，应用较广的有拟凸（严格拟凸，强拟凸）函数，（严格）伪凸函 数等。此后，鉴于凸性和广义凸性在最优化中的应用，出现了一致不变凸函数，严格（半 严格）不变凸函数，不变预凸函数等。目前，“非凸分析”或“非光滑分析”正在兴起并成 为最优化理论的一个活跃方向。
研究工作进度安排 （1） 1 月份，听毕业论文撰写指导讲座；
（2） 1 月上旬-2 月下旬，选定毕业论文题目； （3） 2 月下旬-3 月上旬，收集整理相关资料及论文提纲； （4） 3 月上旬-3 月中旬，填写毕业论文开题报告； （5） 3 月中旬-4 月上旬，撰写论文初稿； （6） 4 月上旬-4 月下旬，审批论文初稿； （7） 4 月下旬-6 月上旬，修改、定稿打印、论文答辩．
参考文献目录
[1] 华东师范大学数学系．数学分析（上册）第三版［M］．北京：高等教育出版社，2001． [2] 裴礼文．数学分析中的典型问题与方法［M］．北京：高等教育出版社，1993． [3] 李远新，刘长春．凸函数在证明不等式中的应用[J]．辽宁师专学报，1999，(2)． [4] 张雄，李得虎．数学方法论与解题研究[M]．北京：高等教育出版社，2003． [5] 贾凤山．走向高考·数学[M]．北京：人民日报出版社，2006． [6] 吉米多维奇．数学分析习题集题解（二）[M]．济南：山东科学技术出版社，1980． [7] 朱志嘉．判定凸函数的几个充分条件及其应用[J]．中学教研（数学），1985，（02）．
答：首先要求判别的函数是连续的函数，另外就是要给出函数定义域上具体的某个区间．因
为同一个函数在不同的区间上可以具不同的凸性，如 f (x) sin x 在 (0, ) 上是凹函数．在 ( , 2 ) 上是凸函数．
2、问：就论文第一页的定义１说明凸函数的几何意义．
答：凸函数的定义１为 f ( x1 (1 )x2 ) f (x1) (1 ) f (x2 ) ， （0，1），在定 义域上取两点 x1 ， x2 ，那么当 0 时， x1 (1 )x2 表示点 x2 ，当 1 时， x1 (1 )x2 表示点 x1 ，当 取遍 (0,1) 中的数时， x x1 (1 )x2 表示点 x1 到 x2 之间的线段．对应的函 数值 f (x) f ( x1 (1 )x2 ) 为区间[x1, x2 ] 上曲线上的弧．同样， f (x1) (1 ) f (x2 ) 表示 点 f (x1) 到点 f (x2 ) 之间的连线段（弦），那么 f ( x1 (1 )x2 ) f (x1) (1 ) f (x2 ) 就表
初评成绩：
签字：
年月日
4
毕业论文（设计）答辩记录
学号：2004104509 姓名：林庆 年级：2004 级 专业：数学与应用数学
【论文自述】：给出凸函数的三个定义和三种凸函数的判别方法以及凸函数的应用．其中三种凸 函数的判别方法２中利用了三个定理；应用分为两个部分，第一是用凸函数去证明三个重要的常
该论文选题明确，并有实例佐证.每给出一个例子，都能用 自己的理解和所学数学知识进行比较恰当的分析.特别是在问 题解决中对凸函数的选取做了一些尝试.对某些例子能归纳出 一般的情形.
该论文概念明晰，条理清楚，语言顺畅，推理较严谨，有总 论、有分论，文章结构合理，符合毕业论文的规范要求，达到 学士学位论文的水平，是一篇较好的毕业论文.
研究的主要内容
以教学方向为主，从凸函数的定义出发，研究凸函数的判别方法。然后应用凸函数的性 质去证明一些重要的不等式，如詹森不等式，柯西不等式等。最后研究凸函数在初等数学 和高等数学中的一些应用。
2
拟采用的研究方法、步骤
研究方法：1 文献资料查阅法；2 讨论交流法；3 网络查询法． 研究步骤：1 拟定论文题目；2 收集文献资料；3 拟定论文提纲；4 填写毕业论文开题报告； 5 撰写论文初稿；6 审批论文初稿;7 定稿打印．
论文 题目
凸函数的判别和应用
学生姓名 林庆 学 号 2004104509
选题意义
凸函数是数学分析中的一个重要概念，它在优化理论，判定函数极值，研究函数的图
象和证明不等式等方面都有广泛的应用。在初等数学的证明里，有许多不等式的证明如果
用初等数学的方法去解决会相当的困难，有的甚至不能解决，但用凸函数的知识去证明可
指导教师意见
选题符合要求、进度安排合理、同意开题.
教研室主任意见
准备充分，同意开题.
签字： 签字：
年月日 年月日
3
毕业论文（设计）成绩评定表一
学号：2004104509 姓名：林庆 年级：2004 级 专业：数学与应用数学
指导教师意见：
林庆同学所写论文《凸函数的判别和应用》，选题有意义， 文中主要给出了凸函数的三个定义以及用意义、定理和几何意 义判别函数的凸函数的三种方法，然后应用凸函数的性质证明 几个重要而又常用的不等式，并给出凸函数在高等数学和初等 数学中的一些应用.这进对一步认识和理解凸函数有一定的帮 助和实用价值.
毕 业 论 文（设计）
论文（设计）题目： 凸函数的判别和应用
系 别： 专 业： 学 号： 姓 名： 指导教师： 时 间：
数学系 数学与应用数学 2004104509 林庆 娄祖安 2008 年 5 月 25 日
1ห้องสมุดไป่ตู้
河 池 学院
毕 业 论 文（设 计） 开 题 报 告
系别: 数学系
专业:数学与应用数学
初等数学和高等数学中的一些应用．论文的亮点：在例６中，利用凸函数的判别方法２中的定理 １通过限制数字的大小和变形得出两个结论，用以解决比较数的大小的三种类型． 【答辩】： 1、问：判别函数凸性的前提条件是什么？
使问题轻松地解决。所以研究凸函数有一定的实用价值。
研究综述(前人的研究现状及进展情况)
凸函数理论的奠基工作可以追溯到 20 世纪初前后 H o lder,Jensen和 Minkowski的工 作，但引起人们广泛重视的工作则是 20 世纪 40——50 年代 Von Neumann,Dantxig,Kuhn和 Tucker等人关于对策论和数学规化的研究。此后，人们对凸函数进行了大量深入细致的研 究，60 年代中期产生了凸分析，凸函数的概念被按多种途径进行推广，提出了许多广义凸 性的概念。其中影响较大，应用较广的有拟凸（严格拟凸，强拟凸）函数，（严格）伪凸函 数等。此后，鉴于凸性和广义凸性在最优化中的应用，出现了一致不变凸函数，严格（半 严格）不变凸函数，不变预凸函数等。目前，“非凸分析”或“非光滑分析”正在兴起并成 为最优化理论的一个活跃方向。
研究工作进度安排 （1） 1 月份，听毕业论文撰写指导讲座；
（2） 1 月上旬-2 月下旬，选定毕业论文题目； （3） 2 月下旬-3 月上旬，收集整理相关资料及论文提纲； （4） 3 月上旬-3 月中旬，填写毕业论文开题报告； （5） 3 月中旬-4 月上旬，撰写论文初稿； （6） 4 月上旬-4 月下旬，审批论文初稿； （7） 4 月下旬-6 月上旬，修改、定稿打印、论文答辩．
参考文献目录
[1] 华东师范大学数学系．数学分析（上册）第三版［M］．北京：高等教育出版社，2001． [2] 裴礼文．数学分析中的典型问题与方法［M］．北京：高等教育出版社，1993． [3] 李远新，刘长春．凸函数在证明不等式中的应用[J]．辽宁师专学报，1999，(2)． [4] 张雄，李得虎．数学方法论与解题研究[M]．北京：高等教育出版社，2003． [5] 贾凤山．走向高考·数学[M]．北京：人民日报出版社，2006． [6] 吉米多维奇．数学分析习题集题解（二）[M]．济南：山东科学技术出版社，1980． [7] 朱志嘉．判定凸函数的几个充分条件及其应用[J]．中学教研（数学），1985，（02）．
答：首先要求判别的函数是连续的函数，另外就是要给出函数定义域上具体的某个区间．因
为同一个函数在不同的区间上可以具不同的凸性，如 f (x) sin x 在 (0, ) 上是凹函数．在 ( , 2 ) 上是凸函数．
2、问：就论文第一页的定义１说明凸函数的几何意义．
答：凸函数的定义１为 f ( x1 (1 )x2 ) f (x1) (1 ) f (x2 ) ， （0，1），在定 义域上取两点 x1 ， x2 ，那么当 0 时， x1 (1 )x2 表示点 x2 ，当 1 时， x1 (1 )x2 表示点 x1 ，当 取遍 (0,1) 中的数时， x x1 (1 )x2 表示点 x1 到 x2 之间的线段．对应的函 数值 f (x) f ( x1 (1 )x2 ) 为区间[x1, x2 ] 上曲线上的弧．同样， f (x1) (1 ) f (x2 ) 表示 点 f (x1) 到点 f (x2 ) 之间的连线段（弦），那么 f ( x1 (1 )x2 ) f (x1) (1 ) f (x2 ) 就表
初评成绩：
签字：
年月日
4
毕业论文（设计）答辩记录
学号：2004104509 姓名：林庆 年级：2004 级 专业：数学与应用数学
【论文自述】：给出凸函数的三个定义和三种凸函数的判别方法以及凸函数的应用．其中三种凸 函数的判别方法２中利用了三个定理；应用分为两个部分，第一是用凸函数去证明三个重要的常
该论文选题明确，并有实例佐证.每给出一个例子，都能用 自己的理解和所学数学知识进行比较恰当的分析.特别是在问 题解决中对凸函数的选取做了一些尝试.对某些例子能归纳出 一般的情形.
该论文概念明晰，条理清楚，语言顺畅，推理较严谨，有总 论、有分论，文章结构合理，符合毕业论文的规范要求，达到 学士学位论文的水平，是一篇较好的毕业论文.
研究的主要内容
以教学方向为主，从凸函数的定义出发，研究凸函数的判别方法。然后应用凸函数的性 质去证明一些重要的不等式，如詹森不等式，柯西不等式等。最后研究凸函数在初等数学 和高等数学中的一些应用。
2
拟采用的研究方法、步骤
研究方法：1 文献资料查阅法；2 讨论交流法；3 网络查询法． 研究步骤：1 拟定论文题目；2 收集文献资料；3 拟定论文提纲；4 填写毕业论文开题报告； 5 撰写论文初稿；6 审批论文初稿;7 定稿打印．
论文 题目
凸函数的判别和应用
学生姓名 林庆 学 号 2004104509
选题意义
凸函数是数学分析中的一个重要概念，它在优化理论，判定函数极值，研究函数的图
象和证明不等式等方面都有广泛的应用。在初等数学的证明里，有许多不等式的证明如果
用初等数学的方法去解决会相当的困难，有的甚至不能解决，但用凸函数的知识去证明可
指导教师意见
选题符合要求、进度安排合理、同意开题.
教研室主任意见
准备充分，同意开题.
签字： 签字：
年月日 年月日
3
毕业论文（设计）成绩评定表一
学号：2004104509 姓名：林庆 年级：2004 级 专业：数学与应用数学
指导教师意见：
林庆同学所写论文《凸函数的判别和应用》，选题有意义， 文中主要给出了凸函数的三个定义以及用意义、定理和几何意 义判别函数的凸函数的三种方法，然后应用凸函数的性质证明 几个重要而又常用的不等式，并给出凸函数在高等数学和初等 数学中的一些应用.这进对一步认识和理解凸函数有一定的帮 助和实用价值.
毕 业 论 文（设计）
论文（设计）题目： 凸函数的判别和应用
系 别： 专 业： 学 号： 姓 名： 指导教师： 时 间：
数学系 数学与应用数学 2004104509 林庆 娄祖安 2008 年 5 月 25 日
1ห้องสมุดไป่ตู้
河 池 学院
毕 业 论 文（设 计） 开 题 报 告
系别: 数学系
专业:数学与应用数学