15-2薛定谔方程
大学物理薛定谔方程(老师课件)
P2 E U (x , t ) 2m
一般的薛定谔方程：
▽
( r , t ) 2 2 i U ( r , t ) ( r , t ) t 2m
U(x)
n很大
n
2
E2 E1 E0
0
2
2
1 2 0
2
符合不确定关系 概率分布特点:
x
E < U 区有隧道效应
通过扫描可观 测固体表面的 微观结构. 探 针头还可吸附 并搬动原子， 形成人工微结 构.
1986年获诺贝尔物理学奖
显示器
压电 控制 隧道 电流
加电压 反馈传感 器 参考信号
扫描隧道显微镜示意图
某种型号的扫描隧道显微镜
原子搬迁：操纵原子不是梦
“原子书法”
硅单晶 表面直 接提走 硅原子 形成2 纳米的 线条 1994年中国科学院科学家“写”出的
薛定谔方程是量子力学的基本动力学方程，它在 量子力学中的作用和牛顿方程在经典力学中的作用是 一样的。 同牛顿方程一样，薛定谔方程也不能由其它的基 本原理推导得到，而只能是一个基本的假设，其正确 性也只能靠实验来检验。
一、自由粒子的薛定谔方程 由自由粒子波函数
i ( Et px) Ψ( x, t ) Ψ e 0
2 2 d 阱外： ( x ) E ( x ) 2 2 m dx 2 2 阱内： d 2 ( x ) E ( x ) 2m dx
2. 求通解 阱外: 根据波函数有限 ( x ) 0 x a , x 0 2mE 2 阱内: 令 k 2 则： ( x ) k 2 (x ) 0 其通解为 (x ) A cos kx B sin kx
薛定谔方程
薛定谔方程薛定谔方程推导薛定谔方程（Schrdinger equation）是由奥地利物理学家薛定谔提出的量子力学中的一个基本方程，也是量子力学的一个基本假定，其正确性只能靠实验来检验。
是将物质波的概念和波动方程相结合建立的二阶偏微分方程，可描述微观粒子的运动，每个微观系统都有一个相应的薛定谔方程式，通过解方程可得到波函数的具体形式以及对应的能量，从而了解微观系统的性质。
目录薛定谔方程在量子力学中，体系的状态不能用力学量（例如x）的值来确定，而是要用力学量的函数Ψ（x,t），即波函数（又称概率幅，态函数）来确定，因此波函数成为量子力学研究的主要对象。
力学量取值的概率分布如何，这个分布随时间如何变化，这些问题都可以通过求解波函数的薛定谔方程得到解答。
这个方程是奥地利物理学家薛定谔于1926年提出的，它是量子力学最基本的方程之一，在量子力学中的地位与牛顿方程在经典力学中的地位相当。
薛定谔方程是量子力学最基本的方程，亦是量子力学的一个基本假定，它的正确性只能靠实验来检验。
简介量子力学中求解粒子问题常归结为解薛定谔方程或定态薛定谔方程。
薛定谔方程广泛地用于原子物理、核物理和固体物理，对于原子、分子、核、固体等一系列问题中求解的结果都与实际符合得很好。
薛定谔方程仅适用于速度不太大的非相对论粒子，其中也没有包含关于粒子自旋的描述。
当计及相对论效应时，薛定谔方程由相对论量子力学方程所取代，其中自然包含了粒子的自旋。
.薛定谔提出的量子力学基本方程。
建立于 1926年。
它是一个非相对论的波动方程。
它反映了描述微观粒子的状态随时间变化的规律，它在量子力学中的地位相当于牛顿定律对于经典力学一样，是量子力学的基本假设之一。
设描述微观粒子状态的波函数为Ψ（r，t），质量为m的微观粒子在势场V（r，t）中运动的薛定谔方程为。
在给定初始条件和边界条件以及波函数所满足的单值、有限、连续的条件下，可解出波函数Ψ（r，t）。
由此可计算粒子的分布概率和任何可能实验的平均值（期望值）。
薛定谔方程
v v v v ψ(r ,t) =c1 1(r ,t) +c2ψ2(r ,t) +⋅⋅⋅ = ∑ iψi (r ,t) ψ c
也是这个系统的一个可能的量子态。 也是这个系统的一个可能的量子态。
i
薛定谔方程是复数方程，因此它的解， ② 薛定谔方程是复数方程，因此它的解，即波函数 一般是复数。 一般是复数。
一、含时薛定谔方程 1. 自由粒子的含时薛定谔方程 自由粒子的波动性对应于平面波，因此， 自由粒子的波动性对应于平面波，因此，描述自由 粒子量子态的波函数可以采用平面波函数的形式。 粒子量子态的波函数可以采用平面波函数的形式。 量子力学中，自由粒子对应的平面波函数： 量子力学中，自由粒子对应的平面波函数：
2 2 2
∂ψ ih = Eψ ∂t
v −ih∇ = pψ ψ
−h ∇ ⇔p
2 2 2
∂ v ih ⇔E −ih∇⇔ p ∂t
箭头左边的符号作用于波函数等于箭头右边的物理 量乘以波函数。 量乘以波函数。 不考虑相对论效应， 动能与动量的关系： 不考虑相对论效应，则动能与动量的关系： 与动量的关系
p E= 2µ 2 p Eψ = ψ 2µ
v 波矢， 波矢 大小等于角波数，沿着波传播方向。 k——波矢，大小等于角波数，沿着波传播方向。
角频率。 角频率 ω ——角频率。
v v v ψ(r ,t) = Aex i(k ⋅ r −ω ) p t
{
}
v v v ψ(r ,t) = Aex i(k ⋅ r −ω ) p t
{
}
ω
2π 2π E 1 = hν = E = = 2πν = T h h h v v v v v k 2π k 2π h k 1 k k = k k = λ k = h λ k = h p k
量子力学——薛定谔方程
推广 德布罗意物质波概念
薛定谔方程的“建立”
寻找de Broglie波满足的方 程，并加以推广
这不是严格推导（薛定谔方程不 能由旧理论严格导出）
寻找de Broglie波满足的方程
• 由de Broglie波
有
又因 所以
再推广到含有势能U的情况
两边作用于波函数
便于记忆的形式 记住
• 量子力学 • 经典力学：
宇称的定义
作业
• 作业(补充题2.2)：证明本节中的推论1和 推论2。
• p.52, #2.2，注意：在球坐标中,
提示
对定理的补充说明
（1）此定理仅对一维情况成立；二维、三维 束缚态的能量仍然可能简并（如氢原子、 二维、三维谐振子等）；
（2）非束缚态的能量一般是简并的。
两个推论
• 推论1：一维束缚态波函数ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ相位必是常数 。
即
• 因此波函数可以取为实函数
• 推论2(宇称定理)：如果 则一维束缚态波函数必有确定的宇称（奇 偶性）。
几率密度
根据薛定谔方程
几率流密度的推导（单粒子）
• 几率密度的时间演化：
薛定谔方程
•记 则
定义流密度
这是薛定谔方程造成的结果，代表一种 守恒定律 。由于w是几率密度，所以J可 以理解为几率流密度。
理解（推导积分形式）
• 对任何体积V，对上式积分 V
S
等式右方用Gauss定 理，得
V内部几率变化
化）
与玻尔原子模型中的定态概念类似，但是没 有“轨道运动”假设
定态薛定谔方程就是能量本征方程
含时薛定谔方程的一般解
常数（由初始条件定出）
思考题
• 两个不同的定态叠加生成的态是否 是定态？
【大学物理】第二讲 薛定谔方程
一、薛定谔方程的建立
1、自由粒子的薛定谔方程
自由粒子平面波函数方程
i 2 ( Et px)
(x,t) 0e h
对x取二阶偏导数 对t取一阶偏导数 由于 E p2 可得
2m
2 p2
x2
2
i E
t
2 2
2m
x2
i
一维自由粒子含时 的薛定谔方程
t
2、在势场中粒子的薛定谔方程 势场中粒子的总能量 E p2 U (x，t)
代入薛定谔方程，采用分离变量，得到:
2
2m
2
(x,
y,
z)
U (x,
y,
z)
( x,
y,
z)
1 (x, y,
z)
i f (t) 1 t f (t)
令等式两端等于同一常数
i f (t) 1 E t f (t)
2
2m
2
(x,
y,
z)
U (x, y,
i Et
z)
(x,
y,
z)
1 (x, y,
a
Ep
o ax
(x) Asin nπ x
a
归一化条件
2
dx
0a
*dx
1
A2 a sin2 0
nπ a
xdx
1
A 2 a
(x) 2 sin n π x, (0 x a)
aa
波函数
(x)
0, (x 0, x a)
2 sin n π x, (0 x a) aa
讨论： （1） 粒子能量量子化
aa
例如，当 n =1时， 粒子在 x = a /2处出 现的概率最大。
薛定谔方程的含义和求解方法
薛定谔方程的含义和求解方法薛定谔方程是量子力学中的基本方程之一，描述了微观粒子（如电子）的行为。
本文将介绍薛定谔方程的含义及其求解方法。
一、薛定谔方程的含义薛定谔方程是由奥地利物理学家薛定谔于1926年提出的，用来描述微观粒子的运动和性质。
该方程是一个偏微分方程，包含粒子的波函数（Ψ）和哈密顿量（H）。
薛定谔方程的一般形式为：iℏ∂Ψ/∂t = HΨ其中，i是虚数单位，ℏ是约化普朗克常数，t是时间。
Ψ是粒子的波函数，H是系统的哈密顿量。
薛定谔方程描述了一个量子系统的演化过程。
通过对波函数的求解，我们可以得到粒子在不同位置和时间的概率分布，从而理解其行为和性质。
二、薛定谔方程的求解方法薛定谔方程是一个高度复杂的偏微分方程，一般情况下无法通过解析方法求解。
但可以通过一些近似方法和数值方法来求解。
1. 解析方法对于简单的系统，可以通过解析方法求解薛定谔方程。
例如，对于自由粒子，可以得到平面波的解。
对于一维谐振子，可以得到谐振子波函数的解。
然而，对于复杂的系统，如多电子体系或相互作用体系，解析方法往往不适用。
因此，需要使用近似方法和数值方法来求解。
2. 近似方法常用的近似方法包括变分法、微扰法和量子力学近似等。
变分法通过选取适当的波函数的形式和参数，使得波函数的能量最小化。
微扰法将系统的哈密顿量分解为一个已知的部分和一个微扰项，通过级数展开的方式求解波函数。
3. 数值方法数值方法是求解薛定谔方程的重要手段之一。
常用的数值方法包括有限差分法、有限元法和动态变分法等。
这些方法通过将波函数和哈密顿量离散化，将偏微分方程转化为一组代数方程，然后通过迭代求解来得到波函数的数值解。
数值方法的优点是适用于各种复杂系统，并且可以提供较高的精度。
但需要注意选择合适的离散化方法和参数，以及控制误差和收敛性。
总之，薛定谔方程是研究微观粒子的基本工具之一，可以描述粒子的运动和性质。
通过适当的求解方法，我们可以获得粒子的波函数，从而深入理解量子力学中的各种现象和行为。
薛定谔方程的相对论形式的推导
薛定谔方程的相对论形式的推导狄拉克方程理论物理中，相对于薛定谔方程之于非相对论量子力学，狄拉克方程是相对论量子力学的一项描述自旋-½粒子的波函数方程，由英国物理学家保罗·狄拉克于1928年建立，不带矛盾地同时遵守了狭义相对论与量子力学两者的原理，实则为薛定谔方程的洛伦兹协变式。
这条方程预言了反粒子的存在，随后1932年由卡尔·安德森发现了正电子(positron)而证实。
狄拉克方程的形式如下：，其中是自旋-½粒子的质量，与分别是空间和时间的坐标。
狄拉克的最初推导狄拉克所希望建立的是一个同时具有洛伦兹协变性和薛定谔方程形式的波方程，并且这个方程需要确保所导出的概率密度为正值，而不是像克莱因-戈尔登方程那样存在缺乏物理意义的负值。
考虑薛定谔方程薛定谔方程只包含线性的时间一阶导数从而不具有洛伦兹协变性，因此很自然地想到构造一个具有线性的空间一阶导数的哈密顿量。
这一理由是很合理的，因为空间一阶导数恰好是动量。
其中的系数和不能是简单的常数，否则即使对于简单的空间旋转变换，这个方程也不是洛伦兹协变的。
因此狄拉克假设这些系数都是N×N阶矩阵以满足洛伦兹协变性。
如果系数是矩阵，那么波函数也不能是简单的标量场，而只能是N×1阶列矢量狄拉克把这些列矢量叫做旋量（Spinor），这些旋量所决定的概率密度总是正值同时，这些旋量的每一个标量分量需要满足标量场的克莱因-戈尔登方程。
比较两者可以得出系数矩阵需要满足如下关系:满足上面条件的系数矩阵和本征值只可以取±1，并且要求是无迹的，即矩阵的对角线元素和为零。
这样，矩阵的阶数N只能为偶数，即包含有相等数量的+1和-1。
满足条件的最小偶数是4而不是2，原因是存在3个泡利矩阵。
在不同基中这些系数矩阵有不同形式，最常见的形式为这里即为泡利矩阵因此系数矩阵和可进一步写为按照量子场论的习惯，，狄拉克方程可写为狄拉克方程的洛伦兹协变形式定义四个反对易矩阵γμ,μ=0,1,2,3。
薛定谔方程
2a n 3, 3 3
n 2, 2 a
n 1, 1 2a
0
a/2
x
28
n很大时，势阱内粒子概率分布趋于均匀
|n|2
En -a/2
量子 经典 a/2
玻尔对应原理：大量子数极限下，量子体系 行为趋于与经典一致。
29
§27.3 势垒穿透
一. 粒子进入势垒
1. 一维势垒模型
23
Δ E n 2n 1 2 1 n 2 1 En n n n
a 或 m Δ En
Δ En n En
宏观或大量子数情形，可认为能量连续。 2. 波长 由能量、动量关系和德布罗意关系有： h p 2mE pn 2mEn n
dT ( t ) 1 1 ˆ 令 i HΦ( r ) = E（常数） dt T ( t ) Φ( r )
上式可分为下面两个方程：
9
dT ( t ) i ET ( t ) dt ˆ HΦ(r ) EΦ(r )
(1)
(2) （振动因子）
方程 (1) 的解： T (t ) Ce
5
▲ 薛定谔方程是量子力学的一个“基本假定”， 是非相对论形式的方程。 ▲ 薛定谔方程是线性偏微分方程，其解满足 态叠加原理。 若 Ψ1 (r , t ) 和 Ψ 2 (r , t ) 是方程的解， 则 c1Ψ1 (r , t ) c2Ψ 2 (r , t ) 也是方程的解。
▲ 方程含有虚数 i ，其解 Ψ 是复函数，不可 2 | Ψ | 测量， 是概率密度，可测量。 ▲ 薛定谔方程关于时间是一阶的，不同于经典 波动方程关于时间是二阶的。 6
考虑振动因子有 Ψ n ( x, t ) Φn ( x ) e
薛定谔方程一般表达式
薛定谔方程一般表达式
一、薛定谔方程的定义与意义
薛定谔方程（Schrdinger Equation）是量子力学中描述粒子波函数随时间演化的基本方程。
由奥地利物理学家埃尔温·薛定谔于1926年提出，标志着量子力学体系的建立。
薛定谔方程的提出，使得量子力学的研究从定性走向了定量，具有重要的理论意义。
二、薛定谔方程的一般表达式
薛定谔方程的一般表达式为：
i(Ψ/t)= HΨ
其中，i 是虚数单位，是约化普朗克常数，Ψ 是波函数，H 是哈密顿算子。
这个方程描述了粒子在势能场中的运动规律，是量子力学研究的基础。
三、薛定谔方程在量子力学中的应用
薛定谔方程在量子力学中有着广泛的应用，如：
1.求解粒子在有限势能阱中的能级和态。
2.描述粒子在势能场中的干涉现象。
3.解释原子光谱的线形和分裂。
4.描述分子轨道和化学键的形成。
四、薛定谔方程的拓展与改进
随着科学技术的发展，薛定谔方程不断地被拓展和改进，以适应更复杂物理体系的研究。
一些重要的拓展包括：
1.相对论性薛定谔方程：为了解释高速运动粒子的性质，将相对论效应纳
入薛定谔方程。
2.含时薛定谔方程：在一般薛定谔方程的基础上，引入含时势能项，用于描述粒子在时间演化过程中的性质。
3.多粒子薛定谔方程：将薛定谔方程扩展到多粒子体系，用于研究粒子间的相互作用和关联。
总之，薛定谔方程作为量子力学的基本方程，在理论研究和实际应用中具有重要意义。
薛定谔方程是啥
薛定谔方程是啥薛定谔方程（Schrodinger Equation）是量子力学的基本方程之一，描述了微观粒子的行为。
它是由奥地利物理学家艾尔温·薛定谔于1925年提出的，并成为量子力学的基石之一。
薛定谔方程的导出薛定谔方程的导出源自对电子行为的研究。
在量子力学中，电子被视为波粒二象性的粒子。
为了描述电子的运动状态，薛定谔引入了波函数（Wave Function）的概念，将电子的运动状态与波函数建立了联系。
假设一个电子所处的状态可以由一个波函数Ψ(x, t)来描述，其中x表示位置，t表示时间。
根据量子力学的基本原理，波函数Ψ应满足薛定谔方程。
薛定谔方程的标准形式如下：$$ i\\hbar\\frac{{\\partial}}{{\\partial t}}\\Psi(x, t) = \\left(-\\frac{{\\hbar^2}}{{2m}}\\frac{{\\partial^2}}{{\\partial x^2}} + V(x,t)\\right)\\Psi(x, t) $$其中，i代表虚数单位，ħ代表约化普朗克常数，m代表电子的质量，V(x, t)代表电子所受到的势能。
薛定谔方程的物理意义薛定谔方程描述了波函数随时间演化的行为，它是量子力学中的基本方程之一，提供了了解粒子行为和性质的框架。
薛定谔方程的左边代表了波函数随时间的变化速率，右边代表了波函数在空间中的变化情况。
薛定谔方程描述的是波函数随时间和空间的变化规律，从中可以推导出粒子的能量、位置和动量等物理量的概率分布。
这使得薛定谔方程成为预测粒子行为的重要工具。
波函数Ψ的模的平方（|Ψ|²）表示某一时刻粒子出现在空间中的概率密度分布。
根据薛定谔方程，粒子的能量和位置等性质是用波函数的特定解来描述的。
薛定谔方程的应用薛定谔方程在研究微观世界中的粒子行为方面有着重要应用。
薛定谔方程被广泛应用于量子力学中的各个领域，如原子物理学、凝聚态物理学、粒子物理学等。
薛定谔方程
称为势场中一维运动粒子的薛定谔方程
= (x, t)是粒子在势场U= U(x, t)中运动的波
函数。 太原理工大学大学物理
2.三维薛定谔方程式 由一维方程推广可得三维薛定谔方程式
2 2 2 2 i ( 2 2 2 ) U (r , t ) t 2m x y z
令左端等于常数E，得
积分
f (t ) e
i Et
df (t ) 1 i E dt f (t )
令右端也等于常数E，得
一维定态薛定谔方程 太原理工大学大学物理
讨论： 1）势能不显含时间的粒子状态称为定态。 2）处于定态下的粒子在空间的概率密度分布不 随时间发生变化。
Ψ ( x, t ) Ψ ( x)e
2 2 2 ( x,t ) 2 2 替换 P P ( x , t ) 注意 x 2 x 2 x x
2
太原理工大学大学物理
取偏导后得
( x,t ) i E( x,t ) t
2 ( x,t ) Px2 2 ( x, t ) 2 x
波函数写成
Ψ ( x, t ) Ψ ( x) f (t )
将波函数代入薛定谔方程
得
太原理工大学大学物理
两边同除以Ψ (x)f(t)，分离变量，得到:
左边只与时间有关,右边只与空间坐标有关 左右两边的变量又相互独立，两边必须等于 同一个常量E时，等式才能成立.
由量纲分析可知，E具有能量的量纲。
太原理工大学大学物理Βιβλιοθήκη 1）微观粒子满足德布罗意关系式
E / h, h / p
2）满足非相对论的能量关系式
3）波函数应遵从线性方程。若 1 是方程的解， 则 c 1 也是它的解。若波函数 1 与 2 是某粒 子的可能态，则它们的线性组合 c1 1 c2 2也 是该粒子的可能态。 4)自由粒子的外势场应为零，即 U=0 太原理工大学大学物理
量子物理学09-薛定谔方程20210227(1)
( )= − ⋅ψ ⎣ 薛定谔方程（Schrödinger Equation）在量子力学中的地位，就像牛顿三定律之于经典力学、麦克斯韦方程组之于电磁学一样，是最基本的方程。
一、薛定谔方程的建立考虑一个仅在 x 轴运动的自由粒子，其波函数为i (p ⋅x −E ⋅t )ψ(x ,t )=ψ0 ⋅e ℏx将波函数对时间 t 进行微分，得∂ψ(x ,t ) = − iE ⋅ψ(x ,t ) ∂t ℏ定义Eˆ ≡ i ℏ ∂ ∂tE ⋅ψ(x ,t )= i ℏ ∂ψ(x ,t ) ∂t 为能量算符。
同理，将波函数对位置 x 进行微分，得 ∂ψ(x ,t ) = ip ⋅ψ(x ,t ) ∂x ℏ x定义 p ˆ≡ −i ℏ ∂为动量算符。
p ⋅ψ(x ,t )= −i ℏ ∂ψ(x ,t ) x∂xx∂xp2根据狭义相对论，自由粒子的能量和动量的关系为E = x ，将其代入波函数对位置 x 的2m二阶微分表达式 ∂2ψ(x ,t ) ∂x 2p 2 xx ,t ，得 ℏ2− ℏ ⋅ ∂2ψ(x ,t ) =⋅ψ( )即自由粒子的薛定谔方程2m ∂x 2 E x ,t i ℏ ∂ ψ(x ,t )= − ℏ ⋅ ∂ 2ψ(x ,t ) ∂t 2m ∂x 2把自由粒子运动算符推广到非自由粒子运动，粒子所处的势场为U (x ,t )，粒子的能量为 = p2+ ( )E x2m U x ,t ，则薛定谔方程变为 ∂ψ(x ,t ) = ⋅ψ( ) ⎡ℏ2⋅ ∂2 +( )⎤( )i ℏ ∂tˆℏ2 ∂2E x ,t = ⎢− 2m ∂x 2 U x ,t ⎥ψx ,t ⎦令H = −2m ⋅ ∂x 2+U (x ,t )，称为哈密顿算符（Hamilton Operator ），则 i ℏ ∂ ψ(x ,t )= H ˆψ(x ,t ) ∂t称为含时薛定谔方程。
�推广到三维势场U (r ,t )中，2m ⎜ ∂ 2x ∂ 2 ⎟z r ,t rr r r ⎧ 2 ∂p 2 + p 2 + p 2 �E = x y z+U (r ,t )2m ˆℏ2 ⎛ ∂2 ∂2∂2 ⎞ � H = − ⎜ ⎝ 在矢量分析中，Nabla 算符为+ ∂y 2 + ⎟ +U (r ,t ) ⎠∇ =∂ �∂ �∂ �代入哈密顿算符，得∂x a x + ∂y a y + ∂z a zH ˆ = − ℏ ∇2 +U (� )薛定谔方程的形式仍保持不变，为 2m i ℏ ∂ ψ(�)= Hˆψ(� ) ∂tr ,tr ,t 需要注意的是，薛定谔方程不是推导出来的，而是依据实验事实和基本假定“建立”的， 是否正确则由实验结果检验。
第一章薛定谔方程
此 x的位置完全不确定。
三、势阱中的粒子
1.一维无限势阱
在区间I和III, Schroedinger方程为:
d 2
dx2
2m 2
(E
)
0
即:
d 2
dx2
,
1
d 2
dx2
0
因此, I 0, III 0.
在区间II, Schroedinger方程为:
0
l
l
1
2 l 3x
mx
sin( )sin(
l0
l
l
)dx
3m
量子力学中的隧道效应问题:
在经典力学中, 若势阱中粒子的总能量E
小于势阱的高度 V=c, 这时粒子不可能跑到
势阱外面。
但在量子力学中, 由于粒子具有波动性,
通过理论计算可以证明, 粒子可以出现在势
阱外。
≠0 V=c
V(x) V=0 E<c
dx2
2mE ( 2
mk x2 2
)
0. 令 :
2mE 2
,
mk 2
得:
d 2
dx2
(
x2 )
0
(1.8)
方程(1.8)可通过幂级数法求解(Powerseries solution) ,得到一维谐振子体系的解:
n
(
x)
Nn
exp(
1 2
z2
)Hn
h2
8 2m
(
2 x 2
2 y2
2 z 2
薛定谔方程求解步骤
薛定谔方程求解步骤薛定谔方程（Schrodinger Equation）是描述量子力学中粒子运动的基本方程。
它的求解可以得到粒子的能量和波函数，从而揭示出粒子在各种势场中的性质。
下面将介绍薛定谔方程的求解步骤。
1. 建立薛定谔方程薛定谔方程的一般形式为：$$ \\hat{H} \\psi = E \\psi $$其中，$\\hat{H}$ 表示哈密顿算符，$\\psi$ 是粒子的波函数，E是粒子的能量。
2. 利用哈密顿算符哈密顿算符可以根据具体情况而定，对不同的系统具有不同的形式。
例如，对自由粒子，将动能算符代入哈密顿算符中，可以得到：$$ \\hat{H} = -\\frac{{\\hbar}^2}{2m} \ abla^2 $$其中，$\\hbar$ 是约化普朗克常数，m是粒子的质量，abla2是拉普拉斯算符。
3. 将波函数代入薛定谔方程将波函数 $\\psi$ 带入薛定谔方程中，得到：$$ -\\frac{{\\hbar}^2}{2m} \ abla^2 \\psi = E \\psi $$4. 分离变量为了求解上述薛定谔方程，通常采用分离变量的方法。
假设波函数可以表示为：$$ \\psi(x, y, z) = X(x) \\cdot Y(y) \\cdot Z(z) $$将分离变量的结果代入薛定谔方程中，得到：$$ -\\frac{{\\hbar}^2}{2m} \\left (\\frac{1}{X}\\frac{{d}^2X}{{d}x^2} +\\frac{1}{Y}\\frac{{d}^2Y}{{d}y^2} + \\frac{1}{Z}\\frac{{d}^2Z}{{d}z^2} \\right ) = E $$5. 将方程化简为一系列互相独立的微分方程由于上式左侧的每一项只涉及一个独立变量，而右侧的E是常数，因此左侧和右侧的各项必须都等于同一个常数，称为分离常数。
假设该常数为k，则上述薛定谔方程可以分解为三个独立的微分方程：$$ \\frac{1}{X}\\frac{{d}^2X}{{d}x^2} = -\\frac{{2mk}}{{\\hbar}^2} \\\\\\frac{1}{Y}\\frac{{d}^2Y}{{d}y^2} = -\\frac{{2mk}}{{\\hbar}^2} \\\\\\frac{1}{Z}\\frac{{d}^2Z}{{d}z^2} = -\\frac{{2mk}}{{\\hbar}^2} $$ 解这些微分方程可以得到每个方向上的波函数和能量。
第二章薛定谔方程
第二章薛定谔方程本章介绍：本章将系统介绍波动力学。
波函数统计解释和态叠加原理是量子力学的两个基本假设。
薛定谔方程是波动力学的核心。
在一定的边界条件和初始条件下求解薛定谔方程，可以给出许多能与实验直接比较的结果。
§2.1 波函数的统计解释§2.1.1波动—粒子两重性矛盾的分析按照德布罗意的观点，和每个粒子相联系的都有一个波。
怎样理解粒子性和波动性之间的联系，这是量子力学首先遇到的根本问题。
b5E2RGbCAP2.1.1波动—粒子两重性矛盾的分析能否认为波是由粒子组成？粒子的单缝和双缝实验表明，如减小入射粒子强度，让粒子近似的一个一个从粒子源射出，实验发现，虽然开始时底片上的感光点是无规则的，但只要时间足够长，感光点足够多，底片上仍然会出现衍射条纹。
如果波是由粒子做成，那末，波的干涉、衍射必然依赖于粒子间的相互作用。
这和上述实验结果相矛盾，实际上，单个粒子也具有波动性的。
p1EanqFDPw能否认为粒子是由波组成？比如说，电子是三维空间的物质波包，波包的大小即电子的大小，波包的速度即电子的速度，但物质波包是色散的，即使原来的物质波包很小，但经过一段时间后，也会扩散到很大的空间去，或者形象地说，随着时间的推移，粒子将越来越“胖”，这与实验相矛盾DXDiTa9E3d经典物理对自然界所形成的基本物理图像中有两类物理体系：◆一类是实物粒子◆另一类是相互作用场<波）经典粒子是以同时确定的坐标和动量来描述其运动状态，粒子的运动遵从经典力学规律，在运动过程中具有确定严格的轨道。
粒子的能量，动量在粒子限度的空间小区域集中；当其与其它物理体系作用时，只与粒子所在处附近的粒子相互作用，并遵从能量、动量的单个交换传递过程，其经典物理过程是粒子的碰撞；“定域”是粒子运动的特征。
RTCrpUDGiT经典波动则是以场量<振幅、相位等）来描述其运动状态，遵从经典波动方程，波的能量和动量周期性分布于波所传播的空间而不是集中在空间一点，即波的能量、动量是空间广延的。
薛定谔方程——精选推荐
生足够强的电流了.
金属 E
真空 无场时的势能 E
有场时的势能
(2)超导体电子的隧道贯穿: 电子绝缘层穿过.
约瑟夫逊效应 两块或两片超导体之间存在的 势垒层（10～20埃）或弱连接形成超导结时， 超导电子对通过这些结而呈现的一系列电学、 磁学和辐射方面的特性、统称为约瑟夫逊效应 或超导电子隧道效应。
时间部分满足: 空间部分满足:
ih
∂ ∂t
f
(t)
=
Ef (t)
− h2 ∇2ϕ(r) +V (r)ϕ(r) = Eϕ(r)
2m
§25-3 一维无限深势阱
在这个问题里薛定谔方程为
−
h2 2m
dψ (x)
dx2
+
V
(
x)ψ
(
x)
=
Eψ
(
x)
其中势能为
V
(
x)
=
⎧ 0, ⎩⎨∞,
0< x<a x ≤ 0, x ≥ a
ξ=x α
薛定谔方程变为
d 2ψ dξ 2
+ (λ
− ξ 2 )ψ
=0
令
ψ = e−ξ 2 / 2u
考虑到
(e−ξ 2 / 2u)''= [u''−2ξu'+(ξ 2 −1)u]e−ξ 2 / 2
得到 u''−2ξu'+(λ −1)u = 0
u''−2ξu'+(λ −1)u = 0
这个方程的解称为厄米多项式. 在这里它要满足的边界条件为:
薛定谔方程课件.ppt
(常数)
可得只含变量 t 和只含变量 x 的两个方程：
一个是变量为t 的方程 i d f E d t
f 可以把它先解出来：
其解为
f
A
e
i
Et
……（★）
（A 是待定复常数； E 有能量量纲,以后可知是
粒子的能量：动能 + 势能，不包括静能）
一个是变量为x 的方程
2 2m
d2
d x2
U
E
……（★）
若在样品与针尖之间加一微小电压Ub ，电子就会穿 过电极间的势垒形成隧道电流。
隧道电流对针尖与样品间的距离十分敏感。若控制隧 道电流不变，则探针在垂直于样品方向上的高度变化 就能反映样品表面的起伏；若控制针尖高度不变，通 过隧道电流的变化可得到表面态密度的分布。
0 10
30
50
70
90
硅晶体表面的STM扫描图象
能量连续， 量子 经典。
En
n2
22 2ma 2
,
3.最低能量不为零（称零点能）
22
———符合不确定关系。
E1 2ma 2 0
4.势阱内各处粒子出现的概率呈周期性分布 与经典粒子不同。
但是，当 n 很大时，势阱内各处粒子出现的
概率可以说是几乎相同的（忽略有限个节 点） 。
n 2
En
在大量子数的极限情况下，量子体系行为将 趋于与经典行为一致，这称为“对应原理”。
其解 (x) 与粒子所处的条件（外力场U）有关。
由上面可以看出:
(x,t) 2
(
x
)
e
i
t
2
(x) 2
即定态时，概率密度可以用 (x)2来表示， (x)称为定态波函数， 上面（★）式是 (x)满足的方程，
薛定谔方程
h 粒子的动量 pn n 2a n
2a n n
n 1, 2, 3, . . .
h
2 a
o
a
p h 2 能量 En n 2m 8ma2
2 n
2
1 2a
12
三. 求解定态薛定谔方程 选择坐标如图 Ⅱ区： U ( x ) 0
U→∞
2
U(x)
U→∞
d ˆ H 2 2m d x ˆ E H
d f (t ) 1 1 ˆ i H ( r ) dt f (t ) (r )
∵对任意函数 f (t) 和 (r ) 成立，
∴方程两端必为相同常量，设为E。
7
写作
d f (t ) 1 1 ˆ i H ( r ) E (常量) dt f (t ) (r ) d f 对应两个 i Ef ① dt 方程：
波动型解
ik1 x
1 ( x) A1e
Ⅱ 区方程
ik1 x
A2e
2
k1
2mE
d 2m( E U0 ) 2 2 d x
Ⅱ区解与 E 的相对大小有关 讨论 E < U0 情况,
k
2 2
k2 ——虚数
令
1 k2 2m( E U 0 ) ir
22
1 r 2m(U 0 E ) ——实数 方程的普遍解：
3. 薛定谔方程关于时间是一阶的。 （解方程只需一个初始条件）
6
三. 定态薛定谔方程 若 U U ( r ) 与 t 无关， 可将 (r , t )分离变量写成
空间波函数
(r , t ) (r ) f (t ) ，
薛定谔方程
3
Hˆ E (r ) E E (r ),
所以它也就是能量本征方程，而波函数 E (r ) 也就是能量值为 E 的能量本征函数。
可以证明：在定态（也就是波函数具有 (r ,t) ei Et / (r ) 的形式）时，体系的各种力学性质都
不随时间而改变，这是“定态”这个名词的本来含义。
2.2.5 非定态 Schrödinger 方程的一般解 必须注意，定态波函数只是含时间的 Schrödinger 方程的特解，而 Schrödinger 方程的一般解是定态 波函数的线性组合，即
.
G(r , t; r, t) 称为自由粒子的传播子(propagator)，因为在 r, t 点的波函数借助于 G(r , t; r, t) 对 r , t 点
的波函数做出贡献。不难发现， G(r , t; r, t) 满足对于变量 (r , t) 的自由粒子 Schrödinger 方程
以及初始条件
*2.2.3 初值问题 自由粒子的传播子
对于时间变量而言，Schrödinger 方程是一阶微分方程，所以只要给定初始时刻( t 0 )的波函数，以
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二、有势场中粒子的薛定谔方程
三、用哈密顿量表示薛定谔方程 四、定态薛定谔方程
1
薛定谔方程是非相对论微观粒子的基本方程 --量子力学基本假设 地位同经典物理的牛顿定律
薛定谔 Erwin Schrodinger 奥地利人 1887-1961 创立量子力学 获1933年诺贝尔物理学奖 2
i 2 mE
B0e
i P x
则自由粒子的波函数
( x, t ) ( x)T (t )
B0e
i P x
Ce
i Et
0 e
i ( Et P x )
与前面得到的自由粒子的波函数相同 E是粒子的能量 P是粒子的动量 通过该例可以体会量子力学解题的基本思路
这时波函数就可分离变量求解
波函数写成
(r , t ) (r )T (t )
11
将
代入
(r , t ) (r )T (t )
ˆ (r,t) i (r ,t ) H t
得
dT (t ) ˆ (r ) T (t ) i (r ) H dt
概率守恒的微分形式
23
将上式积分，再利用高斯定理，得
d d jg dS dt V S
概率守恒的积分形式 此式表明：在空间某体 积V内发现粒子的概率在 单位时间内的增量，必定 等于在同一时间内 通过V 的边界面S 流入体积V 的 概率。
(E.Schrodinger,1877—1961)
19
总结： 薛定谔方程
一、含时薛定谔方程 自由粒子的平面波函数为
(r ,t ) A exp i(k r t)
根据德布罗意关系式，得 2 2 E 2 h E h h
k 2π k 2π k 2π p k = k( ) ( ) p( ) p= k k h k h
物理上能不能用这个好用的办法
要看是否可将波函数分离变量 当满足一定的物理条件时波函数可分离变量 即 将波函数中的位置和时间分解出来 物理问题通常都满足分离变量的条件
10
当粒子在一个与时间无关的有势场中运动时
即 U U (r ) 与时间 t 无关
2 2 ˆ U (r ) 不显含时间 则哈密顿量 H 2m
薛定谔方程是非相对论量子力学的基本方程 是量子力学的基本假设 7
三、用哈密顿量表示薛定谔方程
2 2 U (r , t )] (r, t) i (r , t ) [ t 2m
引人哈密顿量
ˆ 2 U (r ,t ) H 2m
2
ˆ (r,t) 薛定谔方程为 i (r ,t ) H t
•替换后关系式
ˆ2 ˆ Px U ( x, t ) E 2m
• 令其作用于波函数 ( x, t ) •得到一维有势场中粒子满足的薛定谔方程
2 U ( x, t )] ( x, t ) i ( x, t ) [ 2 t 2m x
2பைடு நூலகம்
6
2.三维有势场中粒子的薛定谔方程
•令上述关系作用于波函数 ( x, t ) •得到自由粒子满足的薛定谔方程
2 2 ( x, t ) i ( x, t ) t 2m x 2
5
二、有势场中粒子的薛定谔方程 1.一维有势场U(x,t) 中的粒子
P E U ( x, t ) 2m
2 x
•经典关系式
2 2 2 2 i ( 2 2 2 ) U (r , t ) t 2m x y z
利用
2 2 2 2 2 2 2 x y z
2 写为 i (r , t ) [ 2 U (r , t )] (r, t) t 2m
i Et
－振动因子
14
讨论
T (t ) Ce
i Et
－振动因子
1 ) E 的量纲是能量的量纲
所以E 代表粒子的能量 2 ) C 可以是复数 3 ) 从推导过程可知 方程(1)的解与具体势函数无关 所以在类似问题中作为已知结果使用
4 ) 物理上主要任务是解方程(2)
15
ˆ (r ) E (r ) (2) H
(r )T (t )
左右两边同除 得
dT (t ) 1 1 ˆ i H (r ) dt T (t ) (r )
12
dT (t ) 1 1 ˆ i H (r ) dt T (t ) (r )
上式 左边是 t 的函数
令＝E
右边是 r 的函数
且两变量相互独立
得到两个独立的方程
dT (t ) i ET (t ) dt ˆ ( r ) E ( r ) H
两边必须等 于同一个常 量时才成立
13
dT (t ) i ET (t ) (1) dt ˆ ( r ) E ( r ) (2) H
解方程（1）得
T (t ) Ce
只有一些特定的E 值才能使定态薛定谔 方程的解满足波函数的物理条件 即单值 有限 连续 归一
•特定的E值称为能量本征值
•各E值所对应的 E (r ) 叫能量本征函数
•故该方程又称为：能量本征值方程 •定态: 能量取确定值的状态
•定态波函数: E (r ,t) E (r )T (t) C E
24
i Px x
2 2 2 Px2 x 替换关系
2 ( x,t ) Px2 2 ( x,t ) 2 x
4
写出薛定谔方程的基本过程 •写出非相对论经典粒子能量动量关系式 2 Px E＝ 如自由粒子 2m •将替换关系代入
写成
2 2 i t 2m x 2
8
四、定态薛定谔方程
有势场中粒子的薛定谔方程是
ˆ (r,t) i (r ,t ) H t 2 ˆ 2 U (r ,t ) 哈密顿量 H 2m
物理上通过解方程得到波函数 下面需要回答的问题是: 怎么解薛定谔方程?物理上波函数一般形式?
9
怎么解方程？ 数学上好用的办法是分离变量求解
由于时间和坐标是独立变量，上式可分成两个方程。
d f (t ) 其解为 f (t ) C eiE t / Ef (t ) 方程1: i dt 2 2 方程2: [ U (r )] (r ) E (r ) 定态薛定谔方程 2 iEt / h 特解为 (r , t ) (r )e 概率密度分布为 (r , t ) (r , t ) (r , t ) (r ) (r )
定态薛定谔方程
2 2 U ( r ) ( r ) E ( r ) 2m
方程的解是什么呢? •依赖 U (r ) 的具体形式 于 •从数学上讲 给定一个E 就有相应的解
•从物理上讲 只有特殊的E 才能得到满足 物理要求的解 这就意味着能量只能取分立的值--量子化16
将上两式代入前式，得
i ( r ,t ) A exp{ ( p r E t )}
20
将平面波函数对时间微商,得
二次微商，得 2
2
i
p 2 2 2 2 x y z 式中2称为拉普拉斯算符。 由上两式得到等价关系为
2 2
E t
i
p2 自由粒子的动能与动量关系为 E 2 2 2 根据上式和上述等价关系，得 i t 2
E t
2 2 p2
或者 i p
粒子处于力场中时，有 (r , t ) 2 2 所以 i [ U (r )] (r , t ) 薛定谔方程 t 2 21
p2 E U (r ) 2
二、定态薛定谔方程 (r , t ) (r ) f (t ) 因势场只是坐标的函数，所以有 将上式代入薛定谔方程，得
i d f (t ) 1 2 2 [ U (r )] (r ) f (t ) dt (r ) 2
i Et (r ) e
17
一维定态薛定谔方程：
2 d2 U ( x) ( x) E ( x) 2 2 m dx
例：求描述自由粒子的波函数 解：因为 U = 0 所以薛定谔方程为
2 d 2 E 2 2m dx
18
得解为 ( x) B e 0
i i 2 2 ( ) [ ( )] t 2 2
t t t
令
i j g (r , t ) ( ) 2
将上式代入前式，得 j g t
可以与经典的波动方程比较形式的不同
3
2. 写薛定谔方程的简单路径 自由粒子波函数 ( x, t )
i ( Px x E t) Ae
微分
( x,t ) i － E ( x,t) t
注意到
i E t
( x,t ) i Px ( x,t ) x
一、自由粒子薛定谔方程的引进 1.自由粒子满足的方程 自由粒子波函数 ( x, t )
i ( Px x E t) Ae
薛定谔给出自由粒子波函数满足的 微分方程是
2 ( x, t ) i ( x, t ) 2 t 2m x
2
同学可以将波函数代入验证该方程
22
三、概率守恒和概率流密度矢量 概率密度随时间的变化为 将薛定谔方程及其共轭方程 i 2 1 i 2 1 U (r ) U (r ) t 2 i t 2 i 代入上式，并利用公式 ( AB) A 2 B (A) (B) 得