薛定谔方程(第二章)PPT课件
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《薛定谔方程》课件
波函数需要满足归一化条件，即 ∫Ψ*(r,t)Ψ(r,t)dV=1，以确保粒 子存在于有限空间内。
时间演化算符
时间演化算符定义
时间演化算符描述波函数的演化过程，通常表示为 U(t)，其中t是时间。
时间演化算符的性质
时间演化算符是幺正算符，即U(t)U*(t)=I，其中I是 单位算符。
时间演化算符的作用
时间演化算符可以将初始时刻的波函数演化到任意时 刻的波函数。
能量算符
能量算符定义
能量算符描述微观粒子的能 量，通常表示为H。
能量算符的性质
能量算符是厄米特算符，即 H=H*。
能量算符的作用
能量算符可以将波函数投影 到能量本征态上，得到粒子 的能量。
边界条件和初始条件
边界条件
描述波函数在边界上的行为，如周期 边界、反射边界等。
原理
通过选取适当的变分函数，将薛定谔方程的 求解问题转化为求变分极值的问题。
步骤
选取合适的变分函数，将薛定谔方程转化为变分问 题，然后利用变分法的基本原理求解该问题。
应用范围
适用于具有某些特殊性质的薛定谔方程，如 具有对称性、周期性等性质的问题。
04
薛定谔方程的经典实例
一维无限深势阱
描述
一维无限深势阱是一个理想化的模型，用于描述粒子在一维空间中的 运动，其中势能只在有限区域内存在。
在生物学中，它可以用来描述生物分子的结构和性质， 如蛋白质的结构和功能等。
02
薛定谔方程的基本概念
波函数
01
波函数定义
波函数是描述微观粒子状态的函 数，通常表示为Ψ(rห้องสมุดไป่ตู้t)，其中r是 位置向量，t是时间。
02
波函数的性质
大学物理 第二章 薛定谔方程
因为 n
n 1,2,3,
2 n sin x a a n3
n2
n4
n0
E4 16E1
0
由 ( x )
( x) 0
E3 9E1
a
E2 4E1 E1
说明不存在这种状态
——完全静止的粒子是不存在的！ 所以 n 最小取1，粒子的最小能量为
n1
0
2 2 E1 0 2ma 2
由于在阱壁上波函数必须单值、连续，应有：
n A sin x （ 0＜ x＜ a) 综上： n ( x ) a （ x ≤ 0 或 x ≥a ) 0
将波函数归一化： 即：
a
n ( x ) A sin x n ( x) a n 1,2,3, 称为量子数（quantum number）
——也是可能存在的状态
3)
一维情况：
( x , t ) 2 2 i [ U ( x , t )] ( x , t ) t 2 m x 2
2 2 i [ U ( x, t )]——一般形式的薛定谔方程 2 t 2m x
自由粒子的薛定谔方程 对自由粒子，其势能U(x,t)=0,则波函数满足的波动方程为：
E n1 E n ( n 1) 2 n 2 2n 1 0 En n2 n2
所以经典物理可以看作是 量子物理中量子数
n 时的极限情况
当 n 时，均匀分布，量子⇒经典
n ( x)
2 n sin x a a
2 n 2 n ( x ) sin x a a
其解为： ( x)
k 2mE 2
0
A sin( kx )
A sin 0 n (0) (a) 0 0; k A sin ka 0 a n x n ( x) 得： ( x ) A sin a
n 1,2,3,
2 n sin x a a n3
n2
n4
n0
E4 16E1
0
由 ( x )
( x) 0
E3 9E1
a
E2 4E1 E1
说明不存在这种状态
——完全静止的粒子是不存在的！ 所以 n 最小取1，粒子的最小能量为
n1
0
2 2 E1 0 2ma 2
由于在阱壁上波函数必须单值、连续，应有：
n A sin x （ 0＜ x＜ a) 综上： n ( x ) a （ x ≤ 0 或 x ≥a ) 0
将波函数归一化： 即：
a
n ( x ) A sin x n ( x) a n 1,2,3, 称为量子数（quantum number）
——也是可能存在的状态
3)
一维情况：
( x , t ) 2 2 i [ U ( x , t )] ( x , t ) t 2 m x 2
2 2 i [ U ( x, t )]——一般形式的薛定谔方程 2 t 2m x
自由粒子的薛定谔方程 对自由粒子，其势能U(x,t)=0,则波函数满足的波动方程为：
E n1 E n ( n 1) 2 n 2 2n 1 0 En n2 n2
所以经典物理可以看作是 量子物理中量子数
n 时的极限情况
当 n 时，均匀分布，量子⇒经典
n ( x)
2 n sin x a a
2 n 2 n ( x ) sin x a a
其解为： ( x)
k 2mE 2
0
A sin( kx )
A sin 0 n (0) (a) 0 0; k A sin ka 0 a n x n ( x) 得： ( x ) A sin a
第二章波函数和薛定谔方程(量子力学周世勋)PPT课件
第二章 波函数与薛定谔方程
The wave function and Schrödinger Equation
1
学习内容
➢ 2.1 波函数的统计解释 The Wave function and its statistic explanation
➢ 2.2 态叠加原理
The principle of su续4）
（2）粒子由波组成
电子是波包。把电子波看成是电子的某种实际结构， 是三维空间中连续分布的某种物质波包。因此呈现 出干涉和衍射等波动现象。波包的大小即电子的大 小，波包的群速度即电子的运动速度。
什么是波包？波包是各种波数（长）平面波的迭 加。平面波描写自由粒子，其特点是充满整个空间， 这是因为平面波振幅与位置无关。如果粒子由波组 成，那么自由粒子将充满整个空间，这是没有意义 的，与实验事实相矛盾。
经典概念 中粒子意
味着
1.有一定质量、电荷等“颗粒性”的属性;
2．有确定的运动轨道，每一时刻有一定 位置和速度。
经典概 念中波 意味着
1.实在的物理量的空间分布作周期性的 变化;
2．干涉、衍射现象，即相干叠加性。 7
§2.1 波函数的统计解释（续6）
▲ 玻恩的解释： 我们再看一下电子的衍射实验
P
P
12
§2.1 波函数的统计解释（续10）
3．波函数的归一化
令
(r,t)C (r,t)
相对t 几时率刻是，：在空C间(r任1,t意) 两2 点r 1 (和r1,rt2)处2找到粒子的 C(r2,t) (r2,t)
波函数
2.通过对实验的分析,理解态叠加原理。
3.掌握微观粒子运动的动力学方程
波函
数随时间演化的规律
The wave function and Schrödinger Equation
1
学习内容
➢ 2.1 波函数的统计解释 The Wave function and its statistic explanation
➢ 2.2 态叠加原理
The principle of su续4）
（2）粒子由波组成
电子是波包。把电子波看成是电子的某种实际结构， 是三维空间中连续分布的某种物质波包。因此呈现 出干涉和衍射等波动现象。波包的大小即电子的大 小，波包的群速度即电子的运动速度。
什么是波包？波包是各种波数（长）平面波的迭 加。平面波描写自由粒子，其特点是充满整个空间， 这是因为平面波振幅与位置无关。如果粒子由波组 成，那么自由粒子将充满整个空间，这是没有意义 的，与实验事实相矛盾。
经典概念 中粒子意
味着
1.有一定质量、电荷等“颗粒性”的属性;
2．有确定的运动轨道，每一时刻有一定 位置和速度。
经典概 念中波 意味着
1.实在的物理量的空间分布作周期性的 变化;
2．干涉、衍射现象，即相干叠加性。 7
§2.1 波函数的统计解释（续6）
▲ 玻恩的解释： 我们再看一下电子的衍射实验
P
P
12
§2.1 波函数的统计解释（续10）
3．波函数的归一化
令
(r,t)C (r,t)
相对t 几时率刻是，：在空C间(r任1,t意) 两2 点r 1 (和r1,rt2)处2找到粒子的 C(r2,t) (r2,t)
波函数
2.通过对实验的分析,理解态叠加原理。
3.掌握微观粒子运动的动力学方程
波函
数随时间演化的规律
量子物理第二章-薛定谔方程ppt课件.ppt
P2 Ψ 2
2 2Ψ
2m
x 2
i Ψ t
E
Ek
P2 2m
一维自由粒子的 含时薛定谔方程
2、一维势场 U (x,t) 中运动粒子薛定谔方程
E
Ek
U
(x,t)
P2 2m
U
(x,t)
Ψ t
i
EΨ
2Ψ x 2
P2 2
Ψ
Ψ t
i
[
P2 2m
U
(x,
t)]Ψ
2
2m
2Ψ x2
P2 Ψ 2m
2 2m
0
波函数本身无直观物理意义，只有模的平方反映粒子出 现的概率，在这一点上不同于机械波，电磁波!
2、玻恩（M..Born)的波函数统计解释:
概率密度： w Ψ (r,t) 2 ΨΨ*
单位体积内粒子出现的概率! 3、波函数满足的条件
1、单值： 在一个地方出现只有一种可能性； 2、连续：概率不会在某处发生突变； 3、有限 4、粒子在整个空间出现的总概率等于 1
(x) Asin(kx ) ( a x a)
（2）确定常数 A、
2
2
由波函数连续性， 边界条件 (-a/2) = 0 (a/2) = 0
Asin( ka 2 ) 0 ka 2 l1
Asin( ka 2 ) 0
2 (l1 l2) l
ka 2 l2 l
2
1）当 l 0 时 o Asin kx ——奇函数。 2）当 l 1 时 e Acos kx ——偶函数。
3. 薛定谔方程是对时间的一阶偏微分方程, 因此波动形式 解要求在方程中必须有虚数因子 i，波函数是复函数。
4. 只有动量确定的自由粒子才能用平面波的描写。
量子力学概论第2章 定态薛定谔方程
图2.3 例题2.2中的初始波函数
所有这些概率的之和一定为1， ∑∞n=1cn2=1.(2.38)
能量的期望值一定是 〈H〉=∑∞n=1cn2En.(2.39)
例题2.3 在例题2.2中的初始波函数(图2.3)与基态 ψ1(图2.2)很相似，这意味着 c12将是主要的，事实 上c12=815π32=0.998555….其余的系数之和为与1 的差额
2.3.1 代数法 2.3.2 解析法
2.3 谐振子
图2.4 对任意势能极小值点附近的抛物线形近似(虚线)
图2.5 谐振子的能态“梯子”
2.3.1 代数法
ψ0(x)=mωπћ1/4e-mω2ћx2。(2.59) 我们把它代入薛定谔方程以确定相应的能量
(以式2.57的形式)，ћω(a+a-+1/2)ψ0=E0ψ0， 利用a-ψ0=0，有：
解：第一问很简单： Ψ(x,t)=c1ψ1(x)e-iE1t/ћ+c2ψ2(x)e-iE2t/ћ， 这里的E1,E2是ψ1,ψ2相应的能量，由此 Ψ(x,t)2=(c1ψ1eiE1t/ћ+c2ψ2eiE2/ћ)(c1ψ1e-
iE1t/ћ+c2ψ2eiE2/ћ)=c21ψ21+c22ψ22+2c1c2ψ1ψ2cos［(E2E1)t/ћ］. (这里用了欧拉公式expiθ=cos θ+isin θ来化简。)很显 然，概率密度以正弦形式振动，角频率是(E2E1)t/ћ；这当然不是一个定态。但是注意它是(具有 不同能量的)定态的线性组合，并且这种组合会产生 运动
2.1 定态
1.它们是定态(stationary states)。 ２.它们是具有确定总能量的态。 3.一般解是分离变量解的线性组合。
量子力学-第二章-定态薛定谔方程详解
需要注意的是，尽管分离解自身是定态解，
n (x,t) n (x)eiEnt , 其几率和期望值都不依赖时间，但是一般解并不具备这个性质；
因为不同的定态具有不同的能量，在计算时含时指数因子不能相互抵消
2.2一维无限深势阱
0, V ( x)
| x | a | x | a
V(x)
I
II
III
l 求解 S — 方程 分四步： l （1）列出各势域的一维S—方程 l （2）解方程 l （3）使用波函数标准条件定解 l （4）定归一化系数
（三）求解定态问题的步骤
讨论定态问题就是要求出体系可能有的定态波函数 Ψ(r,t)和在这些态中的能量 E。其具体步骤如下：
（1）列出定态 Schrodinger方程
[
2
2
V ] (r )
E (r )
2
（2）根据波函数三个标准 本征值： 条件求解能量 E 的
E1, E2 , , En ,
本征值问题，得：
i
d dt
f (t) Ef (t)
[
2
2
V
]
(r )
E
(r )
2
f (t ) ~ eiEt /
于是：
(r ,
t
)
(r )e
i
Et
(r ,
t
)
(
r
)e
i
Et
此波函数与时间t的关系是正弦型的，其角频率ω=2πE/h。 由de Broglie关系可知： E 就是体系处于波函数Ψ(r,t)所描写 的状态时的能量。也就是说，此时体系能量有确定的值，所以这 种状态称为定态，波函数Ψ(r,t)称为定态波函数。
（3）写出定态波函数即得 到对应第 n 个本征值 En 的定态波函数
薛定谔方程
一. 粒子进入势垒
1.势函数 粒子从 x = - 处以能量 E 入射，
给定势函数（一维势垒）： U(x)
0 ，( x 0)
U(
x)
U0，( x
0)
入射能量 E <U0
势垒的物理模型：
入射 反射
U0
透射 ？
E
Ⅰ区 0 Ⅱ区 x
金属或半导体接触处势能隆起，形成势垒。 24
2. 定态薛定谔方程 I 区（x 0）：
1. 穿透系数
穿透系数
2a
Te
2m(U0 E )
a T
（U0 E） T
当 U0 E 5eV，势垒宽度 a 约50nm 以上时， 穿透系数会小6个数量级以上。此时隧道效应在
实际上已没有意义了，量子概念过渡到了经典。
29
2. 怎样理解粒子通过势垒区?
经典物理：从能量守恒的角度看是不可能的。
量子
31
三. 隧道效应的应用
隧道二极管，金属场致发射，核的 衰变，…
1. 核的 衰变
238U 234Th +4He
U
35MeV
库仑势能
E 4.25MeV 是通过 隧道效应出来的。
对不同的核，算出的 0 衰变概率和实验一致。
4.25MeV
R
r
核力势能
32
2. 扫描隧道显微镜（STM） （Scanning Tunneling Microscopy）
0e
—自由粒子的波函数
E正是粒子的能量，p正是粒子的动量。
一般情况下：
(r,
t
)
(r)
i Et
A0e
这种E 取定值的状态称定态（stationary state），
第二章 薛定谔方程
当 l =0 时 当
ψo = Asin kx
偶函数。 偶函数 l =1 时 ψe = Acos kx ——偶函数。
2
l的其它整数值对应的解没有独立的物理意义， 不影响 ψ 分布 的其它整数值对应的解没有独立的物理意义， 的其它整数值对应的解没有独立的物理意义
由于 由
ψ在 x = ± a 2 处的连续性
a2 2
n π ψo = Asin x a n π ψe = Acos x a
2 a2 2
n = 2,4,6L
n = 1 3,5L ,
nπ ∫−a 2 ψo dx = A ∫−a 2 sin a xdx
x ≤a 2
A= 2 a
能 量 本 征 函 数
2 n π ψo = sin x n = 2,4,6L a a 2 nπ n = 1 3,5L , ψe = cos x a a
2
3、概率最大的位置应满足
dΨ(x) =0 dx
2
2πx = kπ k = 0,±1 ±2L , a
因为： 因为： 0<x<a 所以
a x=k 2
a x= 2
处粒子出现的概率最大。 处粒子出现的概率最大
2、薛定谔方程的建立
薛定谔方程是量子力学基本假设之一，不能理论推导证明 薛定谔方程是量子力学基本假设之一，
ψn = 0 x f a 2
：Ψn (x, t) =ψn (x)e
薛定谔方程的一般表达式
∂ h ∂ Ψ(x, t) ih Ψ(x, t) = − +U(x)Ψ(x, t) 2 ∂t 2m ∂x
2 2
设一个特解
Ψ(x, t) =ψ (x) f (t)
代入薛定谔方程， 代入薛定谔方程，得：
ψo = Asin kx
偶函数。 偶函数 l =1 时 ψe = Acos kx ——偶函数。
2
l的其它整数值对应的解没有独立的物理意义， 不影响 ψ 分布 的其它整数值对应的解没有独立的物理意义， 的其它整数值对应的解没有独立的物理意义
由于 由
ψ在 x = ± a 2 处的连续性
a2 2
n π ψo = Asin x a n π ψe = Acos x a
2 a2 2
n = 2,4,6L
n = 1 3,5L ,
nπ ∫−a 2 ψo dx = A ∫−a 2 sin a xdx
x ≤a 2
A= 2 a
能 量 本 征 函 数
2 n π ψo = sin x n = 2,4,6L a a 2 nπ n = 1 3,5L , ψe = cos x a a
2
3、概率最大的位置应满足
dΨ(x) =0 dx
2
2πx = kπ k = 0,±1 ±2L , a
因为： 因为： 0<x<a 所以
a x=k 2
a x= 2
处粒子出现的概率最大。 处粒子出现的概率最大
2、薛定谔方程的建立
薛定谔方程是量子力学基本假设之一，不能理论推导证明 薛定谔方程是量子力学基本假设之一，
ψn = 0 x f a 2
：Ψn (x, t) =ψn (x)e
薛定谔方程的一般表达式
∂ h ∂ Ψ(x, t) ih Ψ(x, t) = − +U(x)Ψ(x, t) 2 ∂t 2m ∂x
2 2
设一个特解
Ψ(x, t) =ψ (x) f (t)
代入薛定谔方程， 代入薛定谔方程，得：
第二章薛定谔方程2
§2-3 波函数及其物理意义经典物理中，某一种波是用相应的物理量随时间和空间的变化的关系式来描述的。
频率为ν，波长为λ，沿x 方向的平面波可表示为：[]cos 2()A r n t Φ=−πλν i n K 对三维情况，沿方向传播的平面波，其函数形式可表示为：[]cos 2()A x t πλνΦ=−[]exp 2()A i r n t Φ=−πλν i 通常写成复指数形式为了表示微观粒子的波粒二象性，可以用平面波来描写自由粒子[]exp 2()A i r n t Ψ=−πλν i νE h λh p ==此平面波的频率和波长与自由粒子的能量和动量由德布罗意关系联系起来。
exp ()i A p r Et ⎡⎤Ψ=−⎢⎥⎣⎦ i 2h π= 其中此式称为自由粒子的波函数。
如果粒子处于随时间和位置变化的力场中运动，他的动量和能量不再是常量（或不同时为常量），粒子的状态就不能用平面波描写，而必须用较复杂的波描写，一般记为：()()Ψ,,,Ψx y z t r,t K 或描写粒子状态的波函数，它通常是一个复函数。
电子的衍射实验电子源感光屏PP O Q Q O 玻恩对波函数的统计解释——几率波结论：衍射实验所揭示的电子的波动性是：许多电子在同一个实验中的统计结果，或者是一个电子在许多次相同实验中的统计结果。
1.入射电子流强度大，很快显示衍射图样。
在衍射极大值得地方，波的强度（波函数振幅的平方）大，在衍射极小值的地方，波的强度很小或等于零。
即电子波衍射的强弱正比于波函数振幅的平方()()()2Ψ,Ψ,Ψ,r t r t r t ∗=K K K 2.入射电子流强度小，开始显示电子的微粒性，没有分布规则，长时间亦显示相同的衍射图样。
在衍射极大值得地方，电子出现的几率大，在衍射极小值的地方，电子出现的几率小或等于零。
即电子波衍射的强弱正比于电子出现的几率。
波函数意义的统计解释:波函数在空间某点的强度（振幅绝对值的平方）和在这点找到粒子的几率成比例。
量子力学第二章波函数和薛定谔方程PPT课件
知道了描述微观粒子状态的波函数，就可知道粒子 在空间各点处出现的几率，以后的讨论进一步知道， 波函数给出体系的一切性质，因此说波函数描写体系 的量子状态（简称状态或态） ②波函数一般用复函数表示。
③波函数一般满足连续性、有限性、单值性。
10
3．波函数的归一化条件
令
(r,t)C (r,t)
t 时刻，在空间任意两点 r 和1
对几率是：
处r 2 找到粒子的相
((rr1 2,,tt))2 2C C((rr1 2,,tt))2 2((rr1 2,,tt))2 2
r , t 和 r ,所t 描写状态的相对几率是相同的，
这里的 是常数C 。
11
非相对论量子力学仅研究低能粒子，实物粒子不会产 生与湮灭。这样，对一个粒子而言，它在全空间出现的 几率等于一，所以粒子在空间各点出现的几率具有相对 性，只取决于波函数在空间各点强度的相对比例，而不 取决于强度的绝对大小，因而，将波函数乘上一个常数 后，所描写的粒子状态不变，即:
➢ 2.3 薛定谔方程
The Schrödinger equation
➢ 2.4 粒子流密度和粒子数守恒定律
The current density of particles and conservation
laws
➢ 2.5 定态薛定谔方程
Time independent Schrödinger equation
8
设粒子状态由波函数 (r ,描t)述，波的强度是
(r,t)2*(r,t)(r,t)
按Born提出的波函数的统计解释,粒子在空间中
某一点 r 处出现的概率与粒子的波函数在该点模的
平方成比例
则微观粒子在t 时刻出现在 r 处体积元dτ内的几
③波函数一般满足连续性、有限性、单值性。
10
3．波函数的归一化条件
令
(r,t)C (r,t)
t 时刻，在空间任意两点 r 和1
对几率是：
处r 2 找到粒子的相
((rr1 2,,tt))2 2C C((rr1 2,,tt))2 2((rr1 2,,tt))2 2
r , t 和 r ,所t 描写状态的相对几率是相同的，
这里的 是常数C 。
11
非相对论量子力学仅研究低能粒子，实物粒子不会产 生与湮灭。这样，对一个粒子而言，它在全空间出现的 几率等于一，所以粒子在空间各点出现的几率具有相对 性，只取决于波函数在空间各点强度的相对比例，而不 取决于强度的绝对大小，因而，将波函数乘上一个常数 后，所描写的粒子状态不变，即:
➢ 2.3 薛定谔方程
The Schrödinger equation
➢ 2.4 粒子流密度和粒子数守恒定律
The current density of particles and conservation
laws
➢ 2.5 定态薛定谔方程
Time independent Schrödinger equation
8
设粒子状态由波函数 (r ,描t)述，波的强度是
(r,t)2*(r,t)(r,t)
按Born提出的波函数的统计解释,粒子在空间中
某一点 r 处出现的概率与粒子的波函数在该点模的
平方成比例
则微观粒子在t 时刻出现在 r 处体积元dτ内的几
量子力学第二章波函数及薛定谔方程 ppt课件
例.1 已知一维粒子状态波函数为
(rv,t)Aexp 1 2a2x22 it
求归一化的波函数，粒子的几率分布，粒子在何处 出现的几率最大。
解:
(1).求归一化的波函数
(r ,t)2d xA2 e d a2x2 x A 2
归一化常数 Aa/ 1/2
1
a2
归一化的波函数
(rv,t)a/
则微观粒子在t 时刻出现在 rv 处体积元dτ内的
几率
d W (r v ,t) C (r v ,t)2d
观客这体表运明动描的写一粒种子统的计波规是律几性率，波波(函概数率波 )rr,,反t 有映时微
也称为几率幅。
某一点按Brov r处n提出出现的的波概函率数与的粒统子计的解波释函,数粒在子该在点空模间的中
3 3 e i(2 x h )/h , 6 (4 2 i)e i2 x /h .
2.已知下列两个波函数
1(x)
Asin
n
2a
(xa)
0
| x|a | x|a
n1,2,3,L
2(x)
Asin
n
2a
(xa)
| x|a
n1,2,3,L
0
| x|a
试判断: (1)波函数 1 ( x ) 和 2 ( x ) 是否描述同一状态?
440 Hz + 439 Hz + 438 Hz + 437 Hz + 436 Hz
实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内。 例如一个原子内的电子，其广延不会超过原子大小 ≈1A0 。
电子究竟是什么东西呢？是粒子？还是波？
“ 电子既不是粒子也不是波 ”，既不是经典的粒 子也不是经典的波，但是我们也可以说，“ 电子既 是粒子也是波，它是粒子和波动二重性矛盾的统一。”
量子力学-第二章-定态薛定谔方程
cn*cm
* n
(
x
)
m ( x)dx
n
m
e e c c iEnt / iEmt / * nm
nm
n
m
cn*cn
c2 n
n
n
从上面两个式子可以看出，
c2 n
具有几率的概念，当对
(x,t) 测量能量时，测到 En
的几率是
c2 n
也可以说体系
是部分地处于1, 2,...n ,... 态，各个态出现的几率分别是
因此，在量子力学中称与上类似的方程为束缚的本征值方程。 常量 E 称为算符 H 的本征值；Ψ称为算符 H 的本征函数。
（3）由上面讨论可知，当体系处于能量算符本征函数所描写 的状态（简称能量本征态）时，粒子能量有确定的数值，这个数 值就是与这个本征函数相应的能量算符的本征值。
（三）求解定态问题的步骤
（1）粒子在空间几率密度分布与时间无关
n
(r ,
t
)
nn
[ n exp( iEnt / )][ n exp( iEnt / )]
n
n
(erx)p(inE(rn)t
/
)
n
exp(iEnt
/
)
（2）几率流密度与时间无关
Jn(r , t)
e e c c iEnt / iEmt /
* nm
* n
(
x)
H
m ( x)dx
n
m
e e c c iEnt / iEmt /
* nm
* n
(
x
F(二章4讲)薛定谔方程
(1)+(2)
2 2 p2 E i 0 2 t 2
2 2 得方程：i p r , t p r , t t 2
(3)
根据态叠加原理：一般性的波函数可展开到平面波基函数上
两周后……
Dear Debye，I find one…
--薛定谔
但是，我不明白，为什么要用“i”去操作才行
方程的建立：
对于自由粒子平面单色波
Ae
i ( p r Et )/
p r, t ~ e
i E (1) t
i k r t
Ae
这就是薛定谔方程，简称波动方程
(2)
对于多粒子体系，其能量为：
pi 2 E U r1 , r2 ,..., rN i 2i
一样可求得对应的薛定谔方程：
2 i (r1 , r2 ,..., rn , t ) ( i 2 U ) (r1 , r2 ,..., rn , t ) t i 2i
2 2 ˆ＝E i ( U (r )) H t 2
薛定谔竟然发现了波函数的一个具有决定性意义的用途！
（2）薛定谔方程含有守恒定律
粒子的空间几率密度及其变化率
进一步计算变化率
计算细节：
这是某个矢量的散度
定义这个矢量 ：
1 * * ˆ ˆ p p 2
r, t
c p e 2
3/2
1
i pr Et / 3
d p
对它求微商，一样可以得到：
i 1 i pr Et / 3 c p E e d p 3/2 t 2
《薛定谔方程》PPT课件
1993年 用STM 技术镶嵌了48个 Fe 原子的 Cu 表 面的扫描隧道显微镜照片。Fe 原子形成“电子围栏” （半径7.13nm），可看到围栏中的同心圆状驻波， 直观地证实了电子的波动性。
由于这一贡献，宾尼、罗赫尔和鲁斯卡 三人分享了 1986年度的诺贝尔物理奖。
前两人是扫描隧穿显微镜的直接发明者， 第三人是 1932年电子显微镜的发明者， 这里是为了追朔他的功劳。
没有向-x方向的
可以想见，原来在Ⅰ区的粒子也可以在势垒 的另一边Ⅲ 区出现！这在经典物理是不可想象的！
这称为“量子隧道效应”。
计算结果表明（不证）， 粒子的穿透率为
T e
2a
2m(U0 E)
若 m、a、( U0 – E ) 越小，则穿透率 T 越大。
实验完全证实了“量子隧道效应”现象的存在。 例如，★ 放射性核的 粒子衰变 ★ 隧道二极管 ★ 扫描隧穿显微镜
1 2
2
x
2
，
Hn是厄密（Hermite）多项式， 最高阶是 (x)n，
上两式相加得 2 (l1 l2 ) π l π
式中 l 也是整数。 所以有 l π
2 l 0 时，有 o Asin kx --奇函数 l 1 时，有 e Acos kx --偶函数
l 的其他数值所对应的解都不是独立的，
因为它们和 0、 e 的形式一样，只可能有正负 的区别，这并不影响 2 ,即概率密度的分布不变。
隧道电流对针尖与样品间的距离十分敏感。若控制隧 道电流不变，则探针在垂直于样品方向上的高度变化 就能反映样品表面的起伏；若控制针尖高度不变，通 过隧道电流的变化可得到表面态密度的分布。
0 10
30
50
70
90
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第二章 薛定谔方程
一.自由粒子薛定谔方程的建立
自由粒子波函数
( x,t)
Ae
i
(
px
x
t)
微分,得到方程
(x,t t
)
－i
E
(
x,t
)
2
( x,t )
பைடு நூலகம்
p
2
x
( x, t )
x2
2
由 E＝ px2
2m
得自由粒子的薛定谔方程
i t
(x, t)
2 2m
2 x 2
( x,
t)
推广到势场U(x,t)中的粒子，薛定谔方程为
能量的平均值？
解：已知无限深势阱中粒子的
n(x)
2 sin n x, n 1,2,3,
aa
En
22
2ma 2
n2 ,
n 1,2,3,
则 (x) C f (x)
1 2
2 sinx
aa
2 a
sin
2x
a
1
1
2 1( x) 2 2 ( x)
多次测量能量(可能测到的值)
E1
22
• 阱内：
2 2m
d2 dx 2
(
x
)
E(
x
)
令
k
2
2mE 2
得 ( x) k2( x) 0
•
阱外：
[
2 2m
d2 dx 2
](
x)
E(
x)
4.分区求通解
• 阱内： ( x) A cos kx B sin kx A和B是待定常数
• 阱外：( x) 0 5.由波函数自然条件和边界条件定特解
C
E
(
x
)
e i
Et
三.能量算符的本征值问题
Hˆ E x E E x
本征值取分立值时的本征值问题
Hˆ n x Enn x n —量子数
{E1，E2，….，En，….}—能量本征值谱
i 是能量取Ei时的本征态
{1 , 2 ,...., n ,....} —本征函数系
力学量算符的本征值问题
En
n2
22
2me a 2
(0.6051017 n2 )
37n2 (ev)
a 1010
例如：
E1 37ev, E2 148ev
把质子看作是局限在原子核大小的无限深势井中，按 能级公式：
用哈密顿量表示薛定谔方程
i
(r ,t)
Hˆ
(r ,
t
)
t
定态薛定谔方程
若 Hˆ 0，或U(x)与时间无关，
t 则薛定谔方程可分离变量。
一.定态薛定谔方程
Hˆ ( x) E( x)
2 [ 2m
d2 dx 2
U ( x)]( x)
E( x)
二.定态
能量取确定值的状态 定态波函数 E ( x, t )
• 最低能量(零点能) 性
E1
22
2ma 2
0
—
波动
(2)本征函数系
a
0 n
2
dx
1 B2
a sin 2
0
n
a
xdx
a 2
B2
B 2 a
n(x)
2 sin n x
aa
( n 1,2,3, )
(3)本征函数系的正交性
可证
a
*m ( x)n( x)dx m, n
0
(4)概率密度
2ma 2
12
,
E2
22
2ma 2
22
概率各1/2
能量的平均值
11
5 2 2
E 2 E1 2 E2 2 2ma 2
例题1：设原子的线度约为1010 m ，原子核的线度约为
1014 m ，已知电子的质量为 me 9.111031kg ，质子的
质量为mp 1.67 1027 kg 估计原子中电子的能量和原子 核中质子的能量。 解：把电子看作是局限于原子大小的无限深势井中，按 能级公式有：
构成“正交”、“ 归一”的“完备” 函数系
• 正交 • 归一
*m ( x)n ( x)dx m, n
m, n＝
1, 当 m n 时 0, 当 m n 时
*n ( x)n ( x)dx 1
• 完备
任一物理上合理的波函数(x)
(x) Cnn x
n1
• 展开系数的意义
若(x)是归一化的波函数,则
i ( x, t ) [ 2 2 U ( x, t )]( x, t )
t
2m x2
二．物理启示
定义能量算符,动量算符和坐标算符
Eˆ i , Pˆ i , xˆ x
t
x
三. 哈密顿量
Hˆ
2
2
U (r ,t)
2m
粒子的总能量
2
2 x 2
2 y 2
2 z 2
若 Hˆ 0 t
称 Hˆ 为能量算符
2
Cn 1
Cn 2为n(1 x)中包含本征态的概率
势阱中的粒子和一维散射问题
一.一维无限深势阱中的粒子
1.粒子在这种外力场中的势函数
U(x) 0 (0 x a)
U(x)=0
U(x) ( x 0， x a)
x
2.哈密顿量
Hˆ
2 2m
d2 dx 2
U( x)
0
a
3.定态薛定谔方程
En
无限深方势阱中粒子的
22
2ma 2
n2 ,
n 1,2,3,
动量为：
pn
2mEn
n
a
k
粒子的德布罗
意波长为： n
h pn
2a n
2
k
例题：在阱宽为a 的无限深势阱中,一个粒
子的状态为 f ( x) sinx sin 2x
a
a
多次测量其能量。问
每次可能测到的值和相应概率？
Wn
(
x)
n
(
x)
2
2 a
sin2
n a
x
当 n 时，量子 经典
(5)能级---能量的离散值， 在公式：
En
22
2ma 2
n2 ,
n 1,2,3,
能量值称为能量本征值，n为量子数
n(x)
2 sin n x, n 1,2,3,
aa
全部波函数为：
能量本征函数
n n exp(2iEnt / h) 能量本征波函数
能量本征值---每个本征波函数所描述的 粒子的状态。
无限深方势阱中粒子的能量本征函数和概率 密度与坐标的关系（见图）
1 在各处概率密度与粒子的能量有关。 在经典理论中，粒子在阱内来回自由运动，在各 处概率密度应该相等，与粒子的能量无关。
2 量子粒子的最小能量不等于零，E1 22 / 2ma2
解释：由不确定关系，因为量子粒子在有限空间 内运动，速度不为零，而经典粒子可能处于静止 的能量为零的最低状态。
一. 力学量用算符表示 基本假定：力学量用算符表示。通过对相 应经典力学量算符化得到
算符化规则：
E Eˆ it
p
pˆ
i
r
rˆ
r
例如：
E
p
2
U (r)
2m
Lrp
Hˆ pˆ 2 U r 2 2 U (r)
2m
2m
Lˆ r pˆ
二.本征函数的性质
{1,2 ,....,n ,....}
(0) 0 A 0
(a) 0 sin ka 0 ，（B 0）
ka n , (k 0)
k n , n 1,2,3,
a
(1)能量本征值
由
k
2＝
2mE 2
n
,
k n
a
得
En
22
2ma 2
n2 ,
n 1,2,3,
• 能量取分立值（能级） 能量量子化
• 当n 时，量子化 连续
一.自由粒子薛定谔方程的建立
自由粒子波函数
( x,t)
Ae
i
(
px
x
t)
微分,得到方程
(x,t t
)
－i
E
(
x,t
)
2
( x,t )
பைடு நூலகம்
p
2
x
( x, t )
x2
2
由 E＝ px2
2m
得自由粒子的薛定谔方程
i t
(x, t)
2 2m
2 x 2
( x,
t)
推广到势场U(x,t)中的粒子，薛定谔方程为
能量的平均值？
解：已知无限深势阱中粒子的
n(x)
2 sin n x, n 1,2,3,
aa
En
22
2ma 2
n2 ,
n 1,2,3,
则 (x) C f (x)
1 2
2 sinx
aa
2 a
sin
2x
a
1
1
2 1( x) 2 2 ( x)
多次测量能量(可能测到的值)
E1
22
• 阱内：
2 2m
d2 dx 2
(
x
)
E(
x
)
令
k
2
2mE 2
得 ( x) k2( x) 0
•
阱外：
[
2 2m
d2 dx 2
](
x)
E(
x)
4.分区求通解
• 阱内： ( x) A cos kx B sin kx A和B是待定常数
• 阱外：( x) 0 5.由波函数自然条件和边界条件定特解
C
E
(
x
)
e i
Et
三.能量算符的本征值问题
Hˆ E x E E x
本征值取分立值时的本征值问题
Hˆ n x Enn x n —量子数
{E1，E2，….，En，….}—能量本征值谱
i 是能量取Ei时的本征态
{1 , 2 ,...., n ,....} —本征函数系
力学量算符的本征值问题
En
n2
22
2me a 2
(0.6051017 n2 )
37n2 (ev)
a 1010
例如：
E1 37ev, E2 148ev
把质子看作是局限在原子核大小的无限深势井中，按 能级公式：
用哈密顿量表示薛定谔方程
i
(r ,t)
Hˆ
(r ,
t
)
t
定态薛定谔方程
若 Hˆ 0，或U(x)与时间无关，
t 则薛定谔方程可分离变量。
一.定态薛定谔方程
Hˆ ( x) E( x)
2 [ 2m
d2 dx 2
U ( x)]( x)
E( x)
二.定态
能量取确定值的状态 定态波函数 E ( x, t )
• 最低能量(零点能) 性
E1
22
2ma 2
0
—
波动
(2)本征函数系
a
0 n
2
dx
1 B2
a sin 2
0
n
a
xdx
a 2
B2
B 2 a
n(x)
2 sin n x
aa
( n 1,2,3, )
(3)本征函数系的正交性
可证
a
*m ( x)n( x)dx m, n
0
(4)概率密度
2ma 2
12
,
E2
22
2ma 2
22
概率各1/2
能量的平均值
11
5 2 2
E 2 E1 2 E2 2 2ma 2
例题1：设原子的线度约为1010 m ，原子核的线度约为
1014 m ，已知电子的质量为 me 9.111031kg ，质子的
质量为mp 1.67 1027 kg 估计原子中电子的能量和原子 核中质子的能量。 解：把电子看作是局限于原子大小的无限深势井中，按 能级公式有：
构成“正交”、“ 归一”的“完备” 函数系
• 正交 • 归一
*m ( x)n ( x)dx m, n
m, n＝
1, 当 m n 时 0, 当 m n 时
*n ( x)n ( x)dx 1
• 完备
任一物理上合理的波函数(x)
(x) Cnn x
n1
• 展开系数的意义
若(x)是归一化的波函数,则
i ( x, t ) [ 2 2 U ( x, t )]( x, t )
t
2m x2
二．物理启示
定义能量算符,动量算符和坐标算符
Eˆ i , Pˆ i , xˆ x
t
x
三. 哈密顿量
Hˆ
2
2
U (r ,t)
2m
粒子的总能量
2
2 x 2
2 y 2
2 z 2
若 Hˆ 0 t
称 Hˆ 为能量算符
2
Cn 1
Cn 2为n(1 x)中包含本征态的概率
势阱中的粒子和一维散射问题
一.一维无限深势阱中的粒子
1.粒子在这种外力场中的势函数
U(x) 0 (0 x a)
U(x)=0
U(x) ( x 0， x a)
x
2.哈密顿量
Hˆ
2 2m
d2 dx 2
U( x)
0
a
3.定态薛定谔方程
En
无限深方势阱中粒子的
22
2ma 2
n2 ,
n 1,2,3,
动量为：
pn
2mEn
n
a
k
粒子的德布罗
意波长为： n
h pn
2a n
2
k
例题：在阱宽为a 的无限深势阱中,一个粒
子的状态为 f ( x) sinx sin 2x
a
a
多次测量其能量。问
每次可能测到的值和相应概率？
Wn
(
x)
n
(
x)
2
2 a
sin2
n a
x
当 n 时，量子 经典
(5)能级---能量的离散值， 在公式：
En
22
2ma 2
n2 ,
n 1,2,3,
能量值称为能量本征值，n为量子数
n(x)
2 sin n x, n 1,2,3,
aa
全部波函数为：
能量本征函数
n n exp(2iEnt / h) 能量本征波函数
能量本征值---每个本征波函数所描述的 粒子的状态。
无限深方势阱中粒子的能量本征函数和概率 密度与坐标的关系（见图）
1 在各处概率密度与粒子的能量有关。 在经典理论中，粒子在阱内来回自由运动，在各 处概率密度应该相等，与粒子的能量无关。
2 量子粒子的最小能量不等于零，E1 22 / 2ma2
解释：由不确定关系，因为量子粒子在有限空间 内运动，速度不为零，而经典粒子可能处于静止 的能量为零的最低状态。
一. 力学量用算符表示 基本假定：力学量用算符表示。通过对相 应经典力学量算符化得到
算符化规则：
E Eˆ it
p
pˆ
i
r
rˆ
r
例如：
E
p
2
U (r)
2m
Lrp
Hˆ pˆ 2 U r 2 2 U (r)
2m
2m
Lˆ r pˆ
二.本征函数的性质
{1,2 ,....,n ,....}
(0) 0 A 0
(a) 0 sin ka 0 ，（B 0）
ka n , (k 0)
k n , n 1,2,3,
a
(1)能量本征值
由
k
2＝
2mE 2
n
,
k n
a
得
En
22
2ma 2
n2 ,
n 1,2,3,
• 能量取分立值（能级） 能量量子化
• 当n 时，量子化 连续