【精品】2020年中考数学典例精做专题19 新定义型问题 (教师版)

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2019-2020年中考数学专题复习新定义问题

2019-2020年中考数学专题复习新定义问题

2019-2020年中考数学专题复习新定义问题【专题点拨】新定义运算、新概念问题一般是介绍新定义、新概念,然后利用新定义、新概念解题,其解题步骤一般都可分为以下几步:1.阅读定义或概念,并理解;2.总结信息,建立数模;3.解决数模,回顾检查.“新概念”试题,其设计新颖,构思独特,思维容量大,既能考查学生的阅读、分析、推理、概括等能力,又能考查学生知识迁移的能力和数学素养,同时还兼具了区分选拔的功能 .【解题策略】具体分析新颖问题→弄清问题题意→向已知知识点转化→利用相关联知识查验→转化问题思路解决【典例解析】类型一:规律题型中的新定义例题1:(2015•永州,第10题3分)定义[x]为不超过x的最大整数,如[3.6]=3,[0.6]=0,[﹣3.6]=﹣4.对于任意实数x,下列式子中错误的是()A.[x]=x(x为整数) B.0≤x﹣[x]<1C.[x+y]≤[x]+[y]D.[n+x]=n+[x](n为整数)【解析】:根据“定义[x]为不超过x的最大整数”进行计算【解答】:解:A、∵[x]为不超过x的最大整数,∴当x是整数时,[x]=x,成立;B、∵[x]为不超过x的最大整数,∴0≤x﹣[x]<1,成立;C、例如,[﹣5.4﹣3.2]=[﹣8.6]=﹣9,[﹣5.4]+[﹣3.2]=﹣6+(﹣4)=﹣10,∵﹣9>﹣10,∴[﹣5.4﹣3.2]>[﹣5.4]+[﹣3.2],∴[x+y]≤[x]+[y]不成立,D、[n+x]=n+[x](n为整数),成立;故选:C.【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用,解决本题的关键是理解新定义.新定义解题是近几年中考常考的题型.变式训练1:(2015•山东潍坊,第12题3分)如图,已知正方形ABCD,顶点A(1,3)、B(1,1)、C(3,1).规定“把正方形ABCD先沿x轴翻折,再向左平移1个单位”为一次变换.如此这样,连续经过2014次变换后,正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为( )A.(—2012,2) B.(一2012,一2)C. (—2013,—2)D. (—2013,2)类型二:运算题型中的新定义例题2:(2016·四川宜宾)规定:log a b(a>0,a≠1,b>0)表示a,b之间的一种运算.现有如下的运算法则:log n a n=n.log N M=(a>0,a≠1,N>0,N≠1,M>0).例如:log223=3,log25=,则log1001000= .【解析】实数的运算.先根据log N M=(a>0,a≠1,N>0,N≠1,M>0)将所求式子化成以10为底的对数形式,再利用公式进行计算.【解答】解:log1001000===.故答案为:.变式训练2:(2016四川省乐山市第16题)在直角坐标系xOy 中,对于点P (x ,y )和Q (x ,y′),给出如下定义:若(0)(0)y x y y x ≥⎧'=⎨-<⎩,则称点Q 为点P 的“可控变点”.例如:点(1,2)的“可控变点”为点(1,2),点(﹣1,3)的“可控变点”为点(﹣1,﹣3).(1)若点(﹣1,﹣2)是一次函数3y x =+图象上点M 的“可控变点”,则点M 的坐标为 ;(2)若点P 在函数216y x =-+(5x a -≤≤)的图象上,其“可控变点”Q 的纵坐标y′的取值范围是1616y '-≤≤,则实数a 的取值范围是 .类型三: 探索题型中的新定义例题3:(2016山西省第10题)宽与长的比是21-5(约为0.618)的矩形叫做黄金矩形.黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值,给我们以协调和匀称的美感.我们可以用这样的方法画出黄金矩形:作正方形ABCD ,分别取AD ,BC 的中点E ,F ,连接EF ;以点F 为圆心,以FD 为半径画弧,交BC 的延长线与点G ;作AD GH ⊥,交AD 的延长线于点H .则图中下列矩形是黄金矩形的是( )A .矩形ABFEB .矩形EFCDC .矩形EFGHD .矩形DCGH【解析】考点:黄金分割的识别【解答】:由作图方法可知DF=5CF ,所以CG=CF )15(-,且GH=CD=2CF ,从而得出黄金矩形CG=CF )15(-,GH=2CF ∴2152)15(-=-=CF CF GH CG ∴矩形DCGH 是黄金矩形。

2020年中考数学压轴题型专练:数学新定义题型(含答案)

2020年中考数学压轴题型专练:数学新定义题型(含答案)

2020中考数学 压轴题型专练:数学新定义题型(含答案)1.我们规定:若m u r =(a ,b ),n r =(c ,d ),则m u r •n r =ac +bd .如m u r =(1,2),n r =(3,5),则m u r •nr=1×3+2×5=13.(1)已知m u r =(2,4),n r =(2,-3),求m u r •n r ;(2)已知m u r =(x -a ,1),n r =(x -a ,x +1),求y =m u r •n r ,问y =m u r •n r的函数图象与一次函数y =x -1的图象是否有交点,请说明理由.解:(1)∵m u r =(2,4),n r=(2,-3), ∴m u r •n r=2×2+4×(-3)=-8;(2)无交点.理由:∵m u r =(x -a ,1),n r=(x -a ,x +1),∴y =m u r •n r=(x -a )2+(x +1)=x 2-(2a -1)x +a 2+1 ∴y =x 2-(2a -1)x +a 2+1联立方程:x 2-(2a -1)x +a 2+1=x -1, 化简得:x 2-2ax +a 2+2=0, ∵△=b 2-4ac =-8<0,∴方程无实数根,两函数图象无交点.2,T (4,2)=1. (1)求a ,b 的值;(2)若T (m ,m +3)=-1,求m 的值.解:(1)(1,1)2,21a bT --==--即a -b =-2, T (4,2)=42182a b+=+,即2a +b =5,解得a =1,b =3;(2) 根据题意得3(3)12(3)m m m m ++=-++,解得127m =-, 经检验,127m =-是方程的解. 3.一个三位正整数M ,其各位数字均不为零且互不相等.若将M 的十位数字与百位数字交换位置,得到一个新的三位数,我们称这个三位数为M 的“友谊数”,如:168的“友谊数”为“618”;若从M 的百位数字、十位数字、个位数字中任选两个组成一个新的两位数,并将得到的所有两位数求和,我们称这个和为M 的“团结数”,如:123的“团结数”为12+13+21+23+31+32=132. (1)求证:M 与其“友谊数”的差能被15整除;(2)若一个三位正整数N ,其百位数字为2,十位数字为a 、个位数字为b ,且各位数字互不相等(a ≠0,b ≠0),若N 的“团结数”与N 之差为24,求N 的值.解:(1)由题意可得,设M 为100a +10b +c ,则它的友谊数为:100b +10a +c , (100a +10b +c )-(100b +10a +c )=100a +10b +c -100b -10a -c∴M 与其“友谊数”的差能被15整除;(2)由题意可得,N =2×100+10a +b =200+10a +b ,N 的团结数是:10×2+a +10a +2+10×2+b +10×b +2+10a +b + 10b +a =22a +22b +44,∴22a +22b +44-(200+10a +b )=24,已知a、b为整数,且a≠0,b≠0,a≠b,解得84ab⎧⎨⎩==或18ab⎧⎨⎩==,即N是284或218.4.定义:如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)满足a+b+c=0.那么我们称这个方程为“凤凰”方程.(1)已知ax2+bx+c=0(a≠0)是“凤凰”方程.且有两个相等的实数根.试求a与c 的关系;(2)已知关于x的方程m(x2+1)-3x2+nx=0是“凤凰”方程,且两个实数根都是整数.求整数m的值.解:(1)由题意得:a+b+c=0,b=-a-c,∵ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根,∴△=b2-4ac=0,把b=-a-c代入到b2-4ac=0中得:(-a-c)2-4ac=0,(a-c)2=0,∴a=c;(2)m(x2+1)-3x2+nx=0,(m-3)x2+nx+m=0,当x=1时,2m-3+n=0,n=3-2m,解得因为方程两个实数根都是整数,∴整数m为0或2或4或6.5. 设三个内角的度数分别为α、β、γ,如果其中一个角的度数是另一个角度数的3倍,那么“和谐”,并把满足条件的α、β、γ(β≤γ)称为“和谐”的一组值.例如α=30°,β=60°,γ=90°是“和谐”的一组值.(1)当α=48°,写出以α=48°为其中一个内角的“和谐”的一组值;(2)当α≥135°时,符合条件的“和谐”的值是否只有一组,写出你的判断并用含α的代数式表示β、γ;(3)α为何值时,符合条件的“和谐”的值分别有一组、二组、三组值?请你分别写出对应α的值或范围(直接填在下表中).解:(1)α=48°,β=33°,γ=99°或α=48°,β=16°,γ=116°.(3)α≥135°,45°≤α<135°,0°<α<45°.【解法提示】α≥135°时,只有一组;45°≤α<135°时,有二组;0°<α<45°时,有三组.6. 观察下表:我们把某格中字母相加所得到的多项式称为特征多项式,例如第1格的“特征多项式”为4x+y,回答下列问题:多项式”为 ;(2)若第1格的“特征多项式”的值为-10,第2格的“特征多项式”的值为-16. ①求x ,y 的值;②在①的条件下,第n 格的“特征多项式”是否有最小值?若有,求出最小值和相应的n值;若没有,请说明理由.解:(1):16x +9y ;25x +16y ;(n +1)2x +n 2y ;【解法提示】第3格的“特征多项式”为:16x +9y ;第4格的“特征多项式”为:25x +16y ;第n 格的“特征多项式”为:(n +1)2x +n 2y ;(2)①∵第1格的“特征多项式”的值为-10,第2格的“特征多项式”的值为-16,∴根据题意可得:4109416x y x y +-+-⎧⎨⎩==,②有最小值,7.在平面直角坐标系xOy中,定义一种变换:使平面内的点P(x,y)对应的像为P′(ax +by,bx-ay),其中a、b为常数.已知点(2,1)经变换后的像为(1,-8).(1)求a,b的值;(2)已知线段OP=2,求经变换后线段O′P′的长度(其中O′、P′分别是O、P经变换后的像,点O为坐标原点).解:(1)根据题意,得2128a bb a+--⎧⎨⎩==,解得23 ab-⎧⎨⎩==;(2)∵OP=2,点P的坐标是(x,y),∴根据勾股定理知,x2+y2=4.∵O′、P′分别是O、P经变换后的像,点O为坐标原点,∴O′(0,0),P′(2x-3y,-3x-2y),8.定义新运算:(a,b)⊗(c,d)=(ac,bd),(a,b)⊕(c,d)=(a+c,b+d),(a,b)*(c,d)=a2+c2-bd .(1)已知(1,2)⊗(p,q)=(2,-4),分别求出p与q的值;(2)在(1)的条件下,求(1,2)⊕(p,q)的结果.解:(1)∵(a,b)⊗(c,d)=(ac,bd),∴(1,2)⊗(p ,q )=(1×p ,2×q ), ∵(1,2)⊗(p ,q )=(2,-4), ∴p =2,2q =-4, ∴q =-2;(2)∵p =2,q =-2,(a ,b )⊕(c ,d )=(a +c ,b +d ), ∴(1,2)⊕(p ,q ) =(1,2)⊕(2,-2) =(3,0).9.已知抛物线21111y a x b x c =++,22222y a x b x c =++,且满足111222(0,1)a b c k k a b c ===≠,则抛物线12,y y 互为“友好抛物线”. (1)若y 2有最大值8,则y 1也有最大值,这样的说法对吗,为什么? (2)结合二次函数的特点和你对“友好抛物线”的理解,写出至少2条结论. 解:(1)不对.当k >0时,y 1有最大值为8k ; 当k <0时,y 1有最小值为8k .(2)①当a 1与a 2符号相反时其开口方向相反,当| a 1|≠| a 2|时,两抛物线开口大小不同; ②y 1与y 2的对称轴相同;③如果1y 与x 轴有两个不同的交点,则y 2与x 轴也有两个不同的交点(写出2条合理结论即可) 10. 在直角坐标系中,如果二次函数y =ax 2+bx +2(a ≠0)的图象与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C (0,2),且AB =OC ,那么我们称这个二次函数为“和合二次函数”.由;(2)“和合二次函数”y =ax 2+bx +2的图象经过点(-6,2).①求a与b的值;②此函数图象可由抛物线y=ax2经过怎样的平移得到?x轴的交点坐标为A(-4,0),B(-2,0),AB=2,∴AB=OC,(2)①y=ax2+bx+2与x轴交点的横坐标为x1,x2,11.我们定义:等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad).如图①,在△ABC中,AB=AC,顶角A的正对记作sad A,这时sad A=BCAB=底边腰,容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的.根据上述角的正对定义,解答下列问题: (1)sad60°= ,sad90°= ;(2)如图②,已知sin A=35,其中∠A为锐角,试求sad A的值.第11题图解(2)设AB =5a ,BC =3a ,则AC =4a ,如解图,在AB 上取AD =AC =4a ,作DE ⊥AC 于点E ,则DE =AD ·sin A =4a ·35,AE =AD ·cos A =4a ·45,CE =4a 165-a =45a ,CD 5==,∴sad A =5CD AC =.第11题解图12.阅读材料,解答下面问题:如果一个三角形能被经过其顶点的一条线段分割成两个等腰三角形,那么称这个三角形为特异三角形,这条线段为这个三角形的特异线.如图①,△ABC 中,∠A =36°,∠ABC =∠C =72°,BD 平分∠ABC ,△ABC 被分成了两个等腰三角形,即△ABD、△BDC.我们称BD为△ABC的特异线,△ABC为特异三角形.(1)如图②,△ABC中,∠B=2∠C,线段AC的垂直平分线交AC于点D,交BC于点E.求证:AE是△ABC的一条特异线.(2)若△ABC是特异三角形,∠A=30°,∠B为钝角,请在图③、图④中尝试画出△ABC 的两条特异线,并标出∠C的度数,(说明:图形为示意图,只需画出图形,标出角度即可).第12题图解:(1)∵DE是线段AC的垂直平分线,∴EA=EC,即△EAC是等腰三角形,∴∠EAC=∠C,∴∠AEB=∠EAC+∠C=2∠C,∵∠B=2∠C,∴∠AEB=∠B,即△EAB是等腰三角形,∴AE是△ABC是一条特异线;(2)如解图①,BD是特异线时,如果AB=BD=DC,则∠BDA=∠A=30°,∴∠BDC=150°,∴∠C=15°,如解图②,AD=AB,DB=DC,则∠ADB=∠ABD=75°,∴∠C=37.5°.第12题解图13. 定义,如果一个锐角等腰三角形满足一个角度数是另一个角度数的2倍,那么我们称这个三角形为“智慧三角形”.(1)“智慧三角形”顶角的度数为;(2)如图①,正五边形ABCDE中,对角线AC,BE交于点P.求证:△APE是“智慧三角形”;(3)如图②,六边形ABCDEF中,AB∥DE,BC∥EF,CD∥AF,且∠A=108°,∠B=144°,①求∠D的度数;②求证:AB+BC=DE+EF.第13题图(1)解:36°;【解法提示】分两种情况:①底角度数是顶角度数的2倍时,设顶角度数为x,则底角度数为2x,由三角形内角和定理得:x+2x+2x=180°,解得x=36°,即顶角度数为36°;②顶角度数是底角度数的2倍时,设底角度数为x,则顶角度数为2x,由三角形内角和定理得:x+x+2x=180°,解得x=45°,2x=90°(不合题意);综上所述:“智慧三角形”顶角的度数为36°;(2)证明:∵五边形ABCDE是正五边形,∴AB=AE=BC,∠ABC=∠BAE=108°,∴∠ABE=∠AEB=∠ACB=36°,∴∠PAE=108°-36°=72°,∴∠APE=72°,∴∠APE=∠PAE=2∠AEB,∴AE=PE,∴△APE为智慧三角形;(3)①解:延长FA、CB交于点G,延长AB、DC交于点H,延长CD、FE交于M,如解图所示,∵∠BAF=108°,∠ABC=144°,∴∠BAG=72°,∠ABG=36°,∴∠G=72°,同理:∠H=72°,∵AB∥DE,∴∠CDE=180°-72°=108°;②证明:∵∠G=∠BAG,∴BG=AB,同理:EM=DE,∵BC∥EF,CD∥AF,∴四边形GCMF是平行四边形,∴GC=FM,即BG+BC=EM+EF,∴AB+BC=DE+EF.第13题解图14. 定义:如果三角形有一条边上的中线恰好等于这条边的边长,那么称这个三角形为“匀称三角形”,这条中线为“匀称中线”.(1)请根据定义判断下列命题的真假(请在真命题后的横线内打“√”,假命题后的横线内打“╳”)①等腰直角三角形一定不存在匀称中线.②如果直角三角形是匀称三角形,那么匀称中线一定是较长直角边上的中线.(2)已知:如图①,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC>BC,若△ABC是“匀称三角形”,求BC:AC:AB的值;(3)拓展应用:如图②,△ABC是⊙O的内接三角形,AB>AC,∠BAC=45°,将△ABC绕点A逆时针旋转45°得△ADE,点B的对应点为D,连接CD 交⊙O于M,连接AM.①请根据题意用实线在图②中补全图形;②若△ADC是“匀称三角形”,求tan∠AMC的值.第14题图解:(1)√,√;(2)如解图①,∵∠C=90°,AC>BC由(1)可知△ABC的匀称中线是AC边上的中线,设D为AC中点,则BD为匀称中线, 设AC=2a,则CD=a,BD=2a,∵∠C=90°,(3)①补全图形如解图②;②如解图③,∵△ABC绕点A逆时针旋转45°得△ADE,∴∠DAE=∠BAC=45°,AD=AB,∴∠DAC=90°,AD>AC,∵△ADC是匀称三角形,过点C作CH⊥AB于H,则∠AHC=∠BHC=90°,第14题解图解:由p2-p-1=0及1-q-q2=0,可知p≠0,q≠0,根据以上阅读材料所提供的方法,完成下面的解答:根据2m2-5m-1=0和2n2-5n-1=0的特征,∴m、n是方程2x2-5x-1=0的两个不相等的实数根,。

【最新】2020年中考数学典例精做专题03 定义新运算 (教师版)

【最新】2020年中考数学典例精做专题03 定义新运算 (教师版)

※知识精要1.定义新运算是一种人为的、临时性的运算形式,是可以深刻理解数学本源的题型,它使用的是一些特殊的运算符号,如:*、△、⊙,#等。

2. 熟练掌握有理数的运算,整式的化简和分式的化简,方程、不等式的解法。

※要点突破解答定义新运算,关键是要正确地理解新定义的算式含义,然后严格按照新定义的计算程序,将数值代入,转化为常规的四则运算、方程、不等式等,再进行运算.※典例精讲例1.对于有理数a、b定义一种运算:,计算(-2)*3+1.【答案】-6【解析】∵a*b=2a-b,∴(-2)*3+1=2×(-2)-3+1=-4-3+1=-6.例2.对于任意有理数a、b、c、d,我们规定符号(a,b)⊗(c,d)=ad﹣bc,例如:(1,3)⊗(2,4)=1×4﹣2×3=﹣2.(1)求(﹣2,3)⊗(4,5)的值为_____;(2)求(3a+1,a﹣2)⊗(a+2,a﹣3)的值,其中a2﹣4a+1=0.【答案】﹣22式的值.有乘方、乘除的混合运算中,要按照先乘方后乘除的顺序运算,其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似.※课堂精练一、单选题1.我们定义一种新运算,例如,则式子的值为A.B.C.D.【答案】B2.设a,b,c,d代表四个有理数,规定=ad-bc,则计算的正确结果是()A.-25 B.-10 C.10 D.26【答案】B【解析】根据规定=ad-b c,可得,然后根据有理数的乘法和加法,减法法则计算即可.【详解】因为规定=ad-bc,所以,故选B.3.对,定义一种新运算“※”,规定:(其中,均为非零常数),若,.则的值是().A.B.C.D.【答案】C【解析】根据新定义的运算律可得,解方程即可得到m、n的值,再带入到.中,求解即可.根据题意可得方程组解得,则=5×2+(-1)×1=9,故选:C4. 对于任意非零实数a,b,定义运算“※”如下:“a※b”=,则1※2+2※3+3※4+…+2017※2018的值为()A.B.C.D.-【答案】D二、填空题5.小亮在电脑上设计了一个有理数运算的程序:输入a,※键,再输入b,得到运算a※b=a2-ab,则(-2)※3=____.【答案】10【解析】(-2)※3=(-2)2-(-2)×3=4+6=10.6.现定义两种运算“⊕”与“”,对于任意两个整数a,b,a⊕b=a+b-1,a b=ab-1,则68+(-3)⊕(-5)=______【答案】38 ; 【解析】∵a ⊕b =a +b -1,a b =ab -1,∴68=6×8-1=47,(-3)⊕(-5)=-3-5-1=-9, ∴68+(-3)⊕(-5)=47-9=38,故答案为:38.7.如果表示运算x+y+z ,表示运算a -b +c -d,那么的结果是 。

2020年中考数学二轮复习重要考点精析--新定义型题型-含答案

2020年中考数学二轮复习重要考点精析--新定义型题型-含答案

中考数学二轮复习重要考点精析新定义型题型一、中考专题诠释所谓“新定义”型问题,主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号,要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解,根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.“新定义”型问题成为近年来中考数学压轴题的新亮点.在复习中应重视学生应用新的知识解决问题的能力二、解题策略和解法精讲“新定义型专题”关键要把握两点:一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法;二是根据问题情景的变化,通过认真思考,合理进行思想方法的迁移.三、中考典例剖析考点一:规律题型中的新定义例1 阅读下面的材料,先完成阅读填空,再按要求答题:sin30°=12,cos30°=2,则sin230°+cos230°= ;①sin45°=2,cos45°=2,则sin245°+cos245°= ;②sin60°=,cos60°=12,则sin260°+cos260°= .③…观察上述等式,猜想:对任意锐角A,都有sin2A+cos2A= .④(1)如图,在锐角三角形ABC中,利用三角函数的定义及勾股定理对∠A证明你的猜想;(2)已知:∠A为锐角(cosA>0)且sinA=35,求cosA.思路分析:①②③将特殊角的三角函数值代入计算即可求出其值;④由前面①②③的结论,即可猜想出:对任意锐角A,都有sin2A+cos2A=1;(1)如图,过点B作BD⊥AC于D,则∠ADB=90°.利用锐角三角函数的定义得出sinA=BD AB ,cosA=ADAB ,则sin2A+cos2A=222BD AD AB +,再根据勾股定理得到BD2+AD2=AB2,从而证明sin2A+cos2A=1;(2)利用关系式sin2A+cos2A=1,结合已知条件cosA >0且sinA=35,进行求解.解:∵sin30°=12,cos30°=3, ∴sin230°+cos230°=(12)2+(3)2=14+34=1;①∵sin45°=2,cos45°=2,∴sin245°+cos245°=(22)2+(22)2=12+12=1;②∵sin60°=32,cos60°=12,∴sin260°+cos260°=(3)2+(12)2=34+14=1.③观察上述等式,猜想:对任意锐角A ,都有sin2A+cos2A=1.④(1)如图,过点B 作BD ⊥AC 于D ,则∠ADB=90°.∵sinA=BD AB ,cosA=ADAB ,∴sin2A+cos2A=(BD AB )2+(ADAB )2=222BD AD AB +,∵∠ADB=90°,∴BD2+AD2=AB2,∴sin2A+cos2A=1.(2)∵sinA=35,sin2A+cos2A=1,∠A为锐角,∴45 =.点评:本题考查了同角三角函数的关系,勾股定理,锐角三角函数的定义,比较简单.对应训练1.我们知道,三角形的三条中线一定会交于一点,这一点就叫做三角形的重心.重心有很多美妙的性质,如关于线段比.面积比就有一些“漂亮”结论,利用这些性质可以解决三角形中的若干问题.请你利用重心的概念完成如下问题:(1)若O是△ABC的重心(如图1),连结AO并延长交BC于D,证明:23 AO AD=;(2)若AD是△ABC的一条中线(如图2),O是AD上一点,且满足23AOAD=,试判断O是△ABC的重心吗?如果是,请证明;如果不是,请说明理由;(3)若O是△ABC的重心,过O的一条直线分别与AB、AC相交于G、H(均不与△ABC的顶点重合)(如图3),S四边形BCHG,S△AGH分别表示四边形BCHG和△AGH的面积,试探究BCHGAGHSSV四边形的最大值.(1)证明:如答图1所示,连接CO并延长,交AB于点E.∵点O 是△ABC 的重心,∴CE 是中线,点E 是AB 的中点.∴DE 是中位线,∴DE ∥AC ,且DE=12AC . ∵DE∥AC,∴△AOC ∽△DOE ,∴AO AC OD DE =2, ∵AD=AO+OD ,∴AO AD =23.(2)答:点O 是△ABC 的重心.证明:如答图2,作△ABC 的中线CE ,与AD 交于点Q ,则点Q 为△ABC 的重心.由(1)可知,AO AD =23,而AO AD =23,∴点Q 与点O 重合(是同一个点),。

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专题04 新定义概念问题【考点综述评价】所谓“新定义”型问题,主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号,其特点是源于初中数学内容,但又是学生没有遇到的新信息,它可以是新的概念、新的运算、新的符号、新的图形、新的定理或新的操作规则与程序、新的情境等等.要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解,根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.“新定义”型问题成为近年来中考数学试题的新亮点.解题关键要把握两点:一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法;二是根据问题情景的变化,通过认真思考,合理进行思想方法的迁移.【考点分类总结】考点1:定义新数【典型例题】(2017枣庄)我们知道,任意一个正整数n都可以进行这样的分解:n=p×q(p,q是正整数,且p≤q),在n的所有这种分解中,如果p,q两因数之差的绝对值最小,我们就称p×q是n的最佳分解.并规定:F(n)=pq.例如12可以分解成1×12,2×6或3×4,因为12﹣1>6﹣2>4﹣3,所以3×4是12的最佳分解,所以F(12)=34.(1)如果一个正整数m是另外一个正整数n的平方,我们称正整数m是完全平方数.求证:对任意一个完全平方数m,总有F(m)=1;(2)如果一个两位正整数t,t=10x+y(1≤x≤y≤9,x,y为自然数),交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36,那么我们称这个数t为“吉祥数”,求所有“吉祥数”;(3)在(2)所得“吉祥数”中,求F(t)的最大值.【答案】(1)证明见解析;(2)15,26,37,48,59;(3)34.【分析】(1)对任意一个完全平方数m,设m=n2(n为正整数),找出m的最佳分解,确定出F(m)的值即可;学,科、网(2)设交换t的个位上数与十位上的数得到的新数为t′,则t′=10y+x,由“吉祥数”的定义确定出x与y 的关系式,进而求出所求即可;(3)利用“吉祥数”的定义分别求出各自的值,进而确定出F(t)的最大值即可.【方法归纳】对新数的解析蕴含在对数量关系的描述中,充分理解,结合相应知识,才能顺利解答.【变式训练】(2017重庆)对任意一个三位数n,如果n满足各个数位上的数字互不相同,且都不为零,那么称这个数为“相异数”,将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数,把这三个新三位数的和与111的商记为F(n).例如n=123,对调百位与十位上的数字得到213,对调百位与个位上的数字得到321,对调十位与个位上的数字得到132,这三个新三位数的和为213+321+132=666,666÷111=6,所以F(123)=6.(1)计算:F(243),F(617);(2)若s,t都是“相异数”,其中s=100x+32,t=150+y(1≤x≤9,1≤y≤9,x,y都是正整数),规定:k=()()F sF t,当F(s)+F(t)=18时,求k的最大值.【答案】(1)F(243)=9,F(617)=14;(2)54.【分析】(1)根据F(n)的定义式,分别将n=243和n=617代入F(n)中,即可求出结论;(2)由s=100x+32、t=150+y结合F(s)+F(t)=18,即可得出关于x、y的二元一次方程,解之即可得出x、y的值,再根据“相异数”的定义结合F(n)的定义式,即可求出F(s)、F(t)的值,将其代入k=() () F s F t中,找出最大值即可.【解答】(1)F(243)=(423+342+234)÷111=9;F(617)=(167+716+671)÷111=14.(2)∵s,t都是“相异数”,s=100x+32,t=150+y,∴F(s)=(302+10x+230+x+100x+23)÷111=x+5,F考点2:定义新运算【典型例题】(2017山东省日照市)阅读材料:在平面直角坐标系xOy中,点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离公式为:d=.例如:求点P0(0,0)到直线4x+3y﹣3=0的距离.解:由直线4x+3y﹣3=0知,A=4,B=3,C=﹣3,∴点P0(0,0)到直线4x+3y﹣3=0的距离为d==35.根据以上材料,解决下列问题:问题1:点P1(3,4)到直线3544y x=-+的距离为;问题2:已知:⊙C是以点C(2,1)为圆心,1为半径的圆,⊙C与直线34y x b=-+相切,求实数b的值;问题3:如图,设点P为问题2中⊙C上的任意一点,点A,B为直线3x+4y+5=0上的两点,且AB=2,请求出S△ABP的最大值和最小值.【答案】(1)4;(2)b =54或154;(3)S △ABP 的最大值=4,S △ABP 的最小值=2. 【分析】(1)根据点到直线的距离公式就是即可; (2)根据点到直线的距离公式,列出方程即可解决问题.(3)求出圆心C 到直线3x +4y +5=0的距离,求出⊙C 上点P 到直线3x +4y +5=0的距离的最大值以及最小值即可解决问题.【方法归纳】理解新运算法则是解题的关键. 【变式训练】(2017四川省乐山市)对于函数mnx x y +=,我们定义11--+='m n mx nx y (n m 、为常数).例如24x x y +=,则x x y 243+='.x.k-w 已知:()x m x m x y 223131+-+=. (1)若方程0='y 有两个相等实数根,则m 的值为 ;(2)若方程41-='m y 有两个正数根,则m 的取值范围为 . 【答案】(1)12;(2)m ≤34且m ≠12.【分析】根据新定义得到y ′=222(1)x m x m +-+ . (1)由判别式等于0,解方程即可;(2)根据根与系数的关系列不等式组即可得到结论.考点3:定义新概念【典型例题】(2017内蒙古通辽市)邻边不相等的平行四边形纸片,剪去一个菱形,余下的一个四边形,称为第一次操作;在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形,又余下一个四边形,称为第二次操作;…依此类推,若第n 次操作余下的四边形是菱形,则称原平行四边形为n 阶准菱形,如图1,▱ABCD 中,若AB =1,BC =2,则▱ABCD 为1阶准菱形. (1)猜想与计算:邻边长分别为3和5的平行四边形是 阶准菱形;已知▱ABCD 的邻边长分别为a ,b (a >b ),满足a =8b +r ,b =5r ,请写出▱ABCD 是 阶准菱形. (2)操作与推理:小明为了剪去一个菱形,进行了如下操作:如图2,把▱ABCD 沿BE 折叠(点E 在AD 上),使点A 落在BC 边上的点F 处,得到四边形ABFE .请证明四边形ABFE 是菱形.【答案】(1)3,12;(2)证明见解析.【分析】(1)利用平行四边形准菱形的意义即可得出结论; (2)先判断出∠AEB =∠ABE ,进而判断出AE =BF ,即可得出结论.(2)由折叠知:∠ABE =∠FBE ,AB =BF ,∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AE ∥BF ,∴∠AEB =∠FBE ,∴∠AEB =∠ABE ,∴AE =AB ,∴AE =BF ,∴四边形ABFE 是平行四边形,∴四边形ABFE 是菱形.【方法归纳】解题关键是理解新定义,再结合已学知识解答.【变式训练】(2017北京市)在平面直角坐标系xOy 中的点P 和图形M ,给出如下的定义:若在图形M 上存在一点Q ,使得P 、Q 两点间的距离小于或等于1,则称P 为图形M 的关联点.(1)当⊙O 的半径为2时,①在点P 1(12,0),P 2(12,P 3(52,0)中,⊙O 的关联点是 . ②点P 在直线y =﹣x 上,若P 为⊙O 的关联点,求点P 的横坐标的取值范围.(2)⊙C 的圆心在x 轴上,半径为2,直线y =﹣x +1与x 轴、y 轴交于点A 、B .若线段AB 上的所有点都是⊙C 的关联点,直接写出圆心C 的横坐标的取值范围.【答案】(1)①P 2,P 3;②﹣2≤x ≤﹣2或2≤x ≤2;(2)﹣2≤x C ≤1或2≤x C ≤【分析】(1)①根据点P 1(12,0),P 2(12,2),P 3(52,0),求得OP 1=12,OP 2=1,OP 3=52,于是得到结论;学-科=网②根据定义分析,可得当最小y =﹣x 上的点P 到原点的距离在1到3之间时符合题意,设P (x ,﹣x ),根据两点间的距离公式即可得到结论;(2根据已知条件得到A (1,0),B (0,1),如图1,当圆过点A 时,得到C (﹣2,0),如图2,当直线AB 与小圆相切时,切点为D ,得到C (10),于是得到结论;如图3,当圆过点A ,则AC =1,得到C (2,0),如图4,当圆过点B ,连接BC ,根据勾股定理得到C (0),于是得到结论.【解答】(1)①∵点P 1(12,0),P 2(12,2),P 3(52,0),∴OP 1=12,OP 2=1,OP 3=52,∴P 1与⊙O 的最小距离为32,P 2与⊙O 的最小距离为1,OP 3与⊙O 的最小距离为12,∴⊙O ,⊙O 的关联点是P 2,P 3;(2)∵直线y =﹣x +1与x 轴、y 轴交于点A 、B ,∴A (1,0),B (0,1),如图1,当圆过点A 时,此时,CA =3,∴C (﹣2,0);如图2,当直线AB 与小圆相切时,切点为D ,∴CD =1,∵直线AB 的解析式为y =﹣x +1,∴直线AB 与x轴的夹角=45°,∴AC ,∴C (10),∴圆心C 的横坐标的取值范围为:﹣2≤x C ≤1;综上所述:圆心C的横坐标的取值范围为:﹣2≤x C≤12≤x C≤考点4:定义新法则【典型例题】(2017上海市)我们规定:一个正n边形(n为整数,n≥4)的最短对角线与最长对角线长度的比值叫做这个正n边形的“特征值”,记为λn,那么λ6= ..【答案】2【分析】如图,正六边形ABCDEF中,对角线BE、CF交于点O,连接EC.易知BE是正六边形最长的对角线,EC是正六边形的最短的对角线,只要证明△BEC是直角三角形即可解决问题.【解答】如图,正六边形ABCDEF 中,对角线BE 、CF 交于点O ,连接EC .【方法归纳】正确理解新定义的图形,寻找形与数的对应关系. 【变式训练】(2017吉林省长春市)定义:对于给定的两个函数,任取自变量x 的一个值,当x <0时,它们对应的函数值互为相反数;当x ≥0时,它们对应的函数值相等,我们称这样的两个函数互为相关函数.例如:一次函数y =x ﹣1,它的相关函数为()()1010x x y x x -+<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩. (1)已知点A (﹣5,8)在一次函数y =ax ﹣3的相关函数的图象上,求a 的值; (2)已知二次函数2142y x x =-+-.x..k+-w ①当点B (m ,32)在这个函数的相关函数的图象上时,求m 的值; ②当﹣3≤x ≤3时,求函数2142y x x =-+-的相关函数的最大值和最小值;(3)在平面直角坐标系中,点M ,N 的坐标分别为(﹣12,1),(92,1}),连结MN .直接写出线段MN与二次函数24y x x n =-++的相关函数的图象有两个公共点时n 的取值范围. 【答案】(1)1;(2)①m =2m =2或m =2;②最大值为432,最小值为﹣12;(3)﹣3<n ≤﹣1或1<n ≤54.【分析】(1)函数y =ax ﹣3的相关函数为3(0)3(0)ax x y ax x -+<⎧=⎨-≥⎩,将然后将点A (﹣5,8)代入y =﹣ax +3求解即可;(2)二次函数2142y x x =-+-的相关函数为2214(0)214(0)2x x x y x x x ⎧-+<⎪⎪=⎨⎪-+-≥⎪⎩,①分为m <0和m ≥0两种情况将点B 的坐标代入对应的关系式求解即可;②当﹣3≤x <0时,2142y x x =-+-,然后可 此时的最大值和最小值,当0≤x ≤3时,函数2142y x x =-+-,求得此时的最大值和最小值,从而可得到当﹣3≤x ≤3时的最大值和最小值;(3)首先确定出二次函数24y x x n =-++的相关函数与线段MN 恰好有1个交点、2个交点、3个交点时n 的值,然后结合函数图象可确定出n 的取值范围. 【解答】(1)函数y =ax ﹣3的相关函数为3(0)3(0)ax x y ax x -+<⎧=⎨-≥⎩,将点A (﹣5,8)代入y =﹣ax +3得:5a +3=8,当m ≥0时,将B (m ,32)代入2142y x x =-+-得:213422m m -+-=,解得:m =2或m =2.综上所述:m =2m =2或m =2. ②当﹣3≤x <0时,2142y x x =-+,抛物线的对称轴为x =2,此时y 随x 的增大而减小,∴此时y 的最大值为432. 当0≤x ≤3时,函数2142y x x =-+-,抛物线的对称轴为x =2,当x =0有最小值,最小值为﹣12,当x =2时,有最大值,最大值y =72.综上所述,当﹣3≤x ≤3时,函数2142y x x =-+-的相关函数的最大值为432,最小值为﹣12; (3)如图1所示:线段MN 与二次函数24y x x n =-++的相关函数的图象恰有1个公共点.所以当x =2时,y =1,即﹣4+8+n =1,解得n =﹣3.如图2所示:线段MN 与二次函数24y x x n =-++的相关函数的图象恰有3个公共点∵抛物线24y x x n =-++经过点(0,1),∴n =1.如图4所示:线段MN 与二次函数24y x x n =-++的相关函数的图象恰有2个公共点.【新题好题训练】1.定义[x ]表示不超过实数x 的最大整数,如[1.8]=1,[﹣1.4]=﹣2,[﹣3]=﹣3.函数y =[x ]的图象如图所示,则方程[]221x x =的解为( ).A .0或2B .0或2C .1或2-D .2或2- 【答案】A .【分析】根据新定义和函数图象讨论:当1≤x ≤2时,则212x =1;当﹣1≤x ≤0时,则212x =0,当﹣2≤x <﹣1时,则212x =﹣1,然后分别解关于x 的一元二次方程即可.学+/科网 【解答】当1≤x <2时,212x =1,解得x 1=2,x 2=﹣2;当x =0,212x =0,x =0;当﹣1≤x <0时,212x =﹣1,方程没有实数解;当﹣2≤x <﹣1时,212x =﹣1,方程没有实数解; 所以方程[]221x x =的解为0或2.故选A . 2.在每个小正方形的边长为1的网格图形中,每个小正方形的顶点称为格点.从一个格点移动到与之相距4×4的正方形网格图形中(如图1),从点A 经过一次跳马变换可以到达点B ,C ,D ,E 等处.现有20×20的正方形网格图形(如图2),则从该正方形的顶点M 经过跳马变换到达与其相对的顶点N ,最少需要跳马变换的次数是( )A .13B .14C .15D .16 【答案】B .【分析】A ﹣C ﹣F 的方向连续变换10次后点M 的位置,再根据点N 的位置进行适当的变换,即可得到变换总次数.3.已知点A 在函数11y x=-(x >0)的图象上,点B 在直线y 2=kx +1+k (k 为常数,且k ≥0)上.若A ,B 两点关于原点对称,则称点A ,B 为函数y 1,y 2图象上的一对“友好点”.请问这两个函数图象上的“友好点”对数的情况为( )A.有1对或2对B.只有1对C.只有2对D.有2对或3对【答案】A.【分析】根据“友好点”的定义知,函数y1图象上点A(a,1a)关于原点的对称点B(-a,1a)一定位于直线y2上,即方程ka2﹣(k+1)a+1=0有解,整理方程得(a﹣1)(ka﹣1)=0,据此可得答案.4.规定:[x]表示不大于x的最大整数,(x)表示不小于x的最小整数,[x)表示最接近x的整数(x≠n+0.5,n为整数),例如:[2.3]=2,(2.3)=3,[2.3)=2.则下列说法正确的是.(写出所有正确说法的序号)学科.+网①当x=1.7时,[x]+(x)+[x)=6;②当x=﹣2.1时,[x]+(x)+[x)=﹣7;③方程4[x]+3(x)+[x)=11的解为1<x<1.5;④当﹣1<x<1时,函数y=[x]+(x)+x的图象与正比例函数y=4x的图象有两个交点.【答案】②③.【分析】根据题意可以分别判断各个小的结论是否正确,从而可以解答本题.【解答】①当x=1.7时,[x]+(x)+[x)=[1.7]+(1.7)+[1.7)=1+2+2=5,故①错误;②当x=﹣2.1时,[x]+(x)+[x)=[﹣2.1]+(﹣2.1)+[﹣2.1)=(﹣3)+(﹣2)+(﹣2)=﹣7,故②正确;③4[x]+3(x)+[x)=11,7[x]+3+[x)=11,7[x]+[x)=8,1<x<1.5,故③正确;④∵﹣1<x<1时,∴当﹣1<x<﹣0.5时,y=[x]+(x)+x=﹣1+0+x=x﹣1,当﹣0.5<x<0时,y=[x]+(x)+x =﹣1+0+x =x ﹣1,当x =0时,y =[x ]+(x )+x =0+0+0=0,当0<x <0.5时,y =[x ]+(x )+x =0+1+x =x +1,当0.5<x <1时,y =[x ]+(x )+x =0+1+x =x +1,∵y =4x ,则x ﹣1=4x 时,得x =13-;x +1=4x 时,得x =13;当x =0时,y =4x =0,∴当﹣1<x <1时,函数y =[x ]+(x )+x 的图象与正比例函数y =4x 的图象有三个交点,故④错误,故答案为:②③.5.阅读理解:如图1,⊙O 与直线a 、b 都相切,不论⊙O 如何转动,直线a 、b 之间的距离始终保持不变(等于⊙O 的直径),我们把具有这一特性的图形成为“等宽曲线”,图2是利用圆的这一特性的例子,将等直径的圆棍放在物体下面,通过圆棍滚动,用较小的力既可以推动物体前进,据说,古埃及人就是利用这样的方法将巨石推到金字塔顶的.拓展应用:如图3所示的弧三角形(也称为莱洛三角形)也是“等宽曲线”,如图4,夹在平行线c ,d 之间的莱洛三角形无论怎么滚动,平行线间的距离始终不变,若直线c ,d 之间的距离等于2cm ,则莱洛三角形的周长为 cm .【答案】2π.【分析】由等宽曲线的定义知AB =BC =AC =2cm ,即可得∠BAC =∠ABC =∠ACB =60°,根据弧长公式分别求得三段弧的长即可得其周长.【解答】如图3,由题意知AB =BC =AC =2cm ,∴∠BAC =∠ABC =∠ACB =60°,∴AB 在以点C 为圆心、2为半径的圆上,∴AB 的长为602180π⨯ =23π,则莱洛三角形的周长为23π×3=2π,故答案为:2π. 6.对于实数p ,q ,我们用符号{}min ,p q 表示p ,q 两数中较小的数,如{}min 1,21=,因此{min = ;若{}22min (1),1x x -=,则x = .【答案】2或-1.【分析】首先理解题意,进而可得min{min{(x﹣1)2,x2}=1时再分情况讨论,当x=0.5时,x>0.5时和x<0.5时,进而可得答案.7.经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形,如果其中一个是等腰三角形,另外一个三角形和原三角形相似,那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”.如图,线段CD是△ABC的“和谐分割线”,△ACD为等腰三角形,△CBD和△ABC相似,∠A=46°,则∠ACB的度数为.【答案】113°或92°.【分析】由△ACD是等腰三角形,∠ADC>∠BCD,推出∠ADC>∠A,即AC≠CD,分两种情形讨论①当AC=AD时,②当DA=DC时,分别求解即可.【解答】∵△BCD∽△BAC,∴∠BCD=∠A=46°,∵△ACD是等腰三角形,∵∠ADC>∠BCD,∴∠ADC >∠A,即AC≠CD,①当AC=AD时,∠ACD=∠ADC=(180°﹣46°)÷2=67°,∴∠ACB=67°+46°=113°,②当DA=DC时,∠ACD=∠A=46°,∴∠ACB=46°+46°=92°,故答案为:113°或92°.8.定义:点P是△ABC内部或边上的点(顶点除外),在△P AB,△PBC,△PCA中,若至少有一个三角形与△ABC相似,则称点P是△ABC的自相似点.例如:如图1,点P在△ABC的内部,∠PBC=∠A,∠PCB=∠ABC,则△BCP∽△ABC,故点P是△ABC 的自相似点.请你运用所学知识,结合上述材料,解决下列问题:=x>0)上的任意一点,点N是x轴正半轴上的任意一点.在平面直角坐标系中,点M是曲线yx(1)如图2,点P是OM上一点,∠ONP=∠M,试说明点P是△MON的自相似点;当点M的坐标是3),点N ,0)时,求点P 的坐标;学+-科网(2)如图3,当点M 的坐标是(3),点N 的坐标是(2,0)时,求△MON 的自相似点的坐标; (3)是否存在点M 和点N ,使△MON 无自相似点?若存在,请直接写出这两点的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1)P (4,34);(2)(1,3)或(2,3);(3)存在, M ,3),N (0). 【分析】(1)由∠ONP =∠M ,∠NOP =∠MON ,得出△NOP ∽△MON ,证出点P 是△MON 的自相似点;过P 作PD ⊥x 轴于D ,则tan ∠POD =MNONAON =60°,由点M 和N 的坐标得出∠MNO =90°,由相似三角形的性质得出∠NPO =∠MNO =90°,在Rt △OPN 中,由三角函数求出OP =2,OD =4,PD =34,即可得出答案;(2)作MH ⊥x 轴于H ,由勾股定理求出OM =OM 的解析式为y =3x ,ON =2,∠MOH =30°,分两种情况:①作PQ ⊥x 轴于Q ,由相似点的性质得出PO =PN ,OQ =12ON =1,求出P 的纵坐标即可;②求出MN 2,由相似三角形的性质得出PN MNON MO=,求出PN =3,在求出P 的横坐标即可;(3)证出OM =ON ,∠MON =60°,得出△MON 是等边三角形,由点P 在△MON 的内部,得到∠PON ≠∠OMN ,∠PNO ≠∠MON ,即可得出结论.①如图3所示:∵P 是△MON 的相似点,∴△PON ∽△NOM ,作PQ ⊥x 轴于Q ,∴PO =PN ,OQ =12ON =1,∵P 的横坐标为1,∴y =3×1=3,∴P (1,3); ②如图4所示:由勾股定理得:MN 2,∵P 是△MON 的相似点,∴△PNM ∽△NOM ,∴PN MNON MO=,即2PN =,解得:PN ,即P ,代入y x ,解得:x =2,∴P (2,3);综上所述:△MON 的自相似点的坐标为(12);(3)存在点M 和点N ,使△MON 无自相似点,M ,3),N (0);理由如下:∵M 3),N (0),∴OM =ON ,∠MON =60°,∴△MON 是等边三角形,∵点P 在△MON 的内部,∴∠PON ≠∠OMN ,∠PNO ≠∠MON ,∴存在点M 和点N ,使△MON 无自相似点.9.综合与实践背景阅读早在三千多年前,我国周朝数学家商高就提出:将一根直尺折成一个直角,如果勾等于三,股等于四,那么弦就等于五,即“勾三,股四,弦五”.它被记载于我国古代著名数学著作《周髀算经》中.为了方便,在本题中,我们把三边的比为3:4:5的三角形称为(3,4,5)型三角形.例如:三边长分别为9,12,15或3,4,5)型三角形.用矩形纸片按下面的操作方法可以折出这种类型的三角形.实践操作如图1,在矩形纸片ABCD中,AD=8cm,AB=12cm.第一步:如图2,将图1中的矩形纸片ABCD沿过点A的直线折叠,使点D落在AB上的点E处,折痕为AF,再沿EF折叠,然后把纸片展平.第二步:如图3,将图2中的矩形纸片再次折叠,使点D与点F重合,折痕为GH,然后展平,隐去AF.第三步:如图4,将图3中的矩形纸片沿AH折叠,得到△AD′H,再沿AD′折叠,折痕为AM,AM与折痕EF交于点N,然后展平.问题解决(1)请在图2中证明四边形AEFD是正方形.(2)请在图4中判断NF与ND′的数量关系,并加以证明.(3)请在图4中证明△AEN是(3,4,5)型三角形.探索发现(4)在不添加字母的情况下,图4中还有哪些三角形是(3,4,5)型三角形?请找出并直接写出它们的名称.【答案】(1)证明见解析;(2)NF=ND′,证明见解析;(3)证明见解析;(4)△MFN,△MD′H,△MDA.【分析】(1)根据题中所给(3,4,5)型三角形的定义证明即可;(2)NF=ND′,证明Rt△HNF≌Rt△HND′即可;(3)根据题中所给(3,4,5)型三角形的定义证明即可;(4)由△AEN是(3,4,5)型三角形,凡是与△AEN相似的△都是(3,4,5)型三角形.【解答】(1)∵四边形ABCD是矩形,∴∠D=∠DAE=90°.由折叠知:AE=AD,∠AEF=∠D=90°,∴∠D=∠DAE=∠AEF=90°,∴四边形AEFD是矩形.∵AE=AD,∴矩形AEFD是正方形.(2)NF=ND′.证明如下:连结HN.由折叠知:∠AD′H=∠D=90°,HF=HD=HD′.∵CF∥AE,∴△MFN∽△AEN.∵EN:AE:AN=3:4:5,∴FN:MF:CN=3:4:5,∴△MFN是(3,4,5)型三角形;同理,△MD′H,△MDA是(3,4,5)型三角形.10.我们知道,三角形的内心是三条角平分线的交点,过三角形内心的一条直线与两边相交,两交点之间的线段把这个三角形分成两个图形.若有一个图形与原三角形相似,则把这条线段叫做这个三角形的“內似线”.(1)等边三角形“內似线”的条数为;(2)如图,△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,求证:BD是△ABC的“內似线”;(3)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,E、F分别在边AC、BC上,且EF是△ABC的“內似线”,求EF的长.【答案】(1)3;(2)证明见解析;(3)3512. 【分析】(1)过等边三角形的内心分别作三边的平行线,即可得出答案;(2)由等腰三角形的性质得出∠ABC =∠C =∠BDC ,∠A =∠ABD ,证出△BCD ∽△ABC ,再由三角形的外角性质证出BD 平分∠ABC 即可;(3)分两种情况:①当43CE AC CF BC ==时,EF ∥AB ,由勾股定理求出AB 5,作DN ⊥BC 于N ,则DN ∥AC ,DN 是Rt △ABC 的内切圆半径,求出DN =12(AC +BC ﹣AB )=1,由角平分线定理得出43DE CE DF CF ==,求出CE 的长,证明△CEF ∽△CAB ,得出对应边成比例求出EF =3512; ②当43CF AC CE BC ==时,同理得:EF =3512即可.(3)解:设D 是△ABC 的内心,连接CD ,则CD 平分∠ACB ,∵EF 是△ABC 的“內似线”,∴△CEF 与△ABC 相似;分两种情况:①当43CE AC CF BC ==时,EF ∥AB ,∵∠ACB =90°,AC =4,BC =3,∴AB 5,作DN ⊥BC 于N ,如图2所示:则DN ∥AC ,DN 是Rt △ABC 的内切圆半径,∴DN =12(AC +BC ﹣AB )=1,∵CD 平分∠ACB ,∴43DE CE DF CF ==,∵DN ∥AC ,∴37DN DF CE EF ==,即137CE =,∴CE =73,∵EF ∥AB ,∴△CEF ∽△CAB ,∴EF CEAB AC=,即7354EF=,解得:EF=3512;②当43CF ACCE BC==时,同理得:EF=3512;综上所述,EF的长为35 12.。

2020年九年级数学中考复习专题新定义导学案含答案解析

2020年九年级数学中考复习专题新定义导学案含答案解析

2020年中考总复习专题新定义一.选择题(共2小题)1.已知点A在函数y1=﹣(x>0)的图象上,点B在直线y2=kx+1+k(k为常数,且k ≥0)上.若A,B两点关于原点对称,则称点A,B为函数y1,y2图象上的一对“友好点”.请问这两个函数图象上的“友好点”对数的情况为()A.有1对或2对B.只有1对C.只有2对D.有2对或3对2.对于一个函数,自变量x取a时,函数值y也等于a,我们称a为这个函数的不动点.如果二次函数y=x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2,且x1<1<x2,则c的取值范围是()A.c<﹣3B.c<﹣2C.c<D.c<1二.填空题(共5小题)3.定义一种新运算:新定义运算a*b=a×(a﹣b)3,则3*4的结果是.4.已知点P(x0,y0)到直线y=kx+b的距离可表示为d=,例如:点(0,1)到直线y=2x+6的距离d==.据此进一步可得两条平行线y=x和y=x﹣4之间的距离为.5.新定义:[a,b]为一次函数y=ax+b(a≠0,a,b为实数)的“关联数”.若“关联数”[1,m﹣2]的一次函数是正比例函数,则关于x的方程的解为.6.对于实数p,q,我们用符号min{p,q}表示p,q两数中较小的数,如min{1,2}=1,min{﹣2,﹣3}=﹣3,若min{(x+1)2,x2}=1,则x=.7.已知有理数a≠1,我们把为a的差倒数,如:2的差倒数是=﹣1,﹣1的差倒数是=如果a1=﹣2,a2是a1的差倒数,a3是a2的差倒数,a4是a3的差倒数……依此类推,那么a1+a2+…+a100的值是三.解答题(共8小题)8.对任意一个四位数n,如果千位与十位上的数字之和为9,百位与个位上的数字之和也为9,则称n为“极数”.(1)请任意写出三个“极数”;并猜想任意一个“极数”是否是99的倍数,请说明理由;(2)如果一个正整数a是另一个正整数b的平方,则称正整数a是完全平方数.若四位数m为“极数”,记D(m)=,求满足D(m)是完全平方数的所有m.9.若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的顶点在一次函数y=kx+t(k≠0)的图象上,则称y=ax2+bx+c(a≠0)为y=kx+t(k≠0)的伴随函数,如:y=x2+1是y=x+1的伴随函数.(1)若y=x2﹣4是y=﹣x+p的伴随函数,求直线y=﹣x+p与两坐标轴围成的三角形的面积;(2)若函数y=mx﹣3(m≠0)的伴随函数y=x2+2x+n与x轴两个交点间的距离为4,求m,n的值.10.我们定义:有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”(1)概念理解:请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子;(2)问题探究:如图1,在等邻角四边形ABCD中,∠DAB=∠ABC,AD,BC的中垂线恰好交于AB边上一点P,连结AC,BD,试探究AC与BD的数量关系,并说明理由;(3)应用拓展:如图2,在Rt△ABC与Rt△ABD中,∠C=∠D=90°,BC=BD=3,AB=5,将Rt△ABD绕着点A顺时针旋转角α(0°<∠α<∠BAC)得到Rt△AB′D′(如图3),当凸四边形AD′BC为等邻角四边形时,求出它的面积.11.阅读下面的材料:如果函数y=f(x)满足:对于自变量x的取值范围内的任意x1,x2,(1)若x1<x2,都有f(x1)<f(x2),则称f(x)是增函数;(2)若x1<x2,都有f(x1)>f(x2),则称f(x)是减函数.例题:证明函数f(x)=(x>0)是减函数.证明:设0<x1<x2,f(x1)﹣f(x2)=﹣==.∵0<x1<x2,∴x2﹣x1>0,x1x2>0.∴>0.即f(x1)﹣f(x2)>0.∴f(x1)>f(x2).∴函数f(x)=(x>0)是减函数.根据以上材料,解答下面的问题:已知函数f(x)=+2x(x<0),f(﹣1)=+(﹣2)=﹣1,f(﹣2)=+(﹣4)=﹣(1)计算:f(﹣3)=,f(﹣4)=;(2)猜想:函数f(x)=+2x(x<0)是函数(填“增”或“减”);(3)请仿照例题证明你的猜想.12.对于平面直角坐标系xOy中的图形M,N,给出如下定义:P为图形M上任意一点,Q 为图形N上任意一点,如果P,Q两点间的距离有最小值,那么称这个最小值为图形M,N间的“距离“,记作d(M,N).特别的,当图形M,N有公共点时,记作d(M,N)=0.一次函数y=kx+2的图象为L,L与y轴交点为D,△ABC中,A(0,1),B(﹣1,0),C(1,0).(1)求d(点D,△ABC)=;当k=1时,求d(L,△ABC)=;(2)若d(L,△ABC)=0.直接写出k的取值范围;(3)函数y=x+b的图象记为W,若d(W,△ABC)≤1,求出b的取值范围.13.在平面直角坐标系中,将一个点(横坐标与纵坐标不相等,且均不为0)的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫做这个点的“互换点”,如(﹣3,5)与(5,﹣3)是一对“互换点”.(1)任意一对“互换点”(填“都能”或“都不能”)在一个反比例函数的图象上;(2)M、N是一对“互换点”,若点M的坐标为(2,﹣5),求直线MN的表达式;(3)在抛物线y=x2+bx+c的图象上有一对“互换点”A、B,其中点A在反比例函数y =﹣的图象上,直线AB经过点P(,),求此抛物线的表达式.14.在平面直角坐标系xOy中,点A(0,6),点B在x轴的正半轴上.若点P,Q在线段AB上,且PQ为某个一边与x轴平行的矩形的对角线,则称这个矩形为点P,Q的“X 矩形”.下图为点P,Q的“X矩形”的示意图.(1)若点B(4,0),点C的横坐标为2,则点B,C的“X矩形”的面积为.(2)点M,N的“X矩形”是正方形,①当此正方形面积为4,且点M到y轴的距离为3时,写出点B的坐标,点N的坐标及经过点N的反比例函数的表达式;②当此正方形的对角线长度为3,且半径为r的⊙O与它没有交点,直接写出r的取值范围.15.定义:有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形,这两个角的夹边称为邻余线.(1)如图1,在△ABC中,AB=AC,AD是△ABC的角平分线,E,F分别是BD,AD 上的点.求证:四边形ABEF是邻余四边形.(2)如图2,在5×4的方格纸中,A,B在格点上,请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF,使AB是邻余线,E,F在格点上.(3)如图3,在(1)的条件下,取EF中点M,连结DM并延长交AB于点Q,延长EF 交AC于点N.若N为AC的中点,DE=2BE,QB=3,求邻余线AB的长.专题新定义参考答案与试题解析一.选择题(共2小题)1.已知点A在函数y1=﹣(x>0)的图象上,点B在直线y2=kx+1+k(k为常数,且k ≥0)上.若A,B两点关于原点对称,则称点A,B为函数y1,y2图象上的一对“友好点”.请问这两个函数图象上的“友好点”对数的情况为()A.有1对或2对B.只有1对C.只有2对D.有2对或3对【解答】解:设A(a,﹣),由题意知,点A关于原点的对称点B(﹣a,)在直线y2=kx+1+k上,则=﹣ak+1+k,整理,得:ka2﹣(k+1)a+1=0 ①,即(a﹣1)(ka﹣1)=0,∴a﹣1=0或ka﹣1=0,则a=1或ka﹣1=0,若k=0,则a=1,此时方程①只有1个实数根,即两个函数图象上的“友好点”只有1对;若k≠0,则a=1或a=,此时方程①有2个实数根,即两个函数图象上的“友好点”有2对,综上,这两个函数图象上的“友好点”对数情况为1对或2对,故选:A.2.对于一个函数,自变量x取a时,函数值y也等于a,我们称a为这个函数的不动点.如果二次函数y=x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2,且x1<1<x2,则c的取值范围是()A.c<﹣3B.c<﹣2C.c<D.c<1【解答】解:由题意知二次函数y=x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2是方程x2+2x+c =x的两个不相等实数根,且x1<1<x2,整理,得:x2+x+c=0,由x2+x+c=0有两个不相等的实数根,且x1<1<x2,知△>0,令y=x2+x+c,画出该二次函数的草图如下:则,解得c<﹣2,故选:B.二.填空题(共5小题)3.定义一种新运算:新定义运算a*b=a×(a﹣b)3,则3*4的结果是﹣3.【解答】解:∵a*b=a×(a﹣b)3,∴3*4=3×(3﹣4)3=3×(﹣1)3=3×(﹣1)=﹣3,故答案为:﹣3.4.已知点P(x0,y0)到直线y=kx+b的距离可表示为d=,例如:点(0,1)到直线y=2x+6的距离d==.据此进一步可得两条平行线y=x和y=x﹣4之间的距离为2.【解答】解:当x=0时,y=x=0,即点(0,0)在直线y=x上,因为点(0,0)到直线y=x﹣4的距离为:d===2,因为直线y=x和y=x﹣4平行,所以这两条平行线之间的距离为2.故答案为2.5.新定义:[a,b]为一次函数y=ax+b(a≠0,a,b为实数)的“关联数”.若“关联数”[1,m﹣2]的一次函数是正比例函数,则关于x的方程的解为x=3.【解答】解:根据题意可得:y=x+m﹣2,∵“关联数”[1,m﹣2]的一次函数是正比例函数,∴m﹣2=0,解得:m=2,则关于x的方程变为+=1,解得:x=3,检验:把x=3代入最简公分母2(x﹣1)=4≠0,故x=3是原分式方程的解,故答案为:x=3.6.对于实数p,q,我们用符号min{p,q}表示p,q两数中较小的数,如min{1,2}=1,min{﹣2,﹣3}=﹣3,若min{(x+1)2,x2}=1,则x=1或﹣2.【解答】解:当(x+1)2<x2,即x<﹣时,方程为(x+1)2=1,开方得:x+1=1或x+1=﹣1,解得:x=0(舍去)或x=﹣2;当(x+1)2>x2,即x>﹣时,方程为x2=1,开方得:x=1或x=﹣1(舍去),综上,x=1或﹣2,故答案为:1或﹣27.已知有理数a≠1,我们把为a的差倒数,如:2的差倒数是=﹣1,﹣1的差倒数是=如果a1=﹣2,a2是a1的差倒数,a3是a2的差倒数,a4是a3的差倒数……依此类推,那么a1+a2+…+a100的值是﹣7.5【解答】解:∵a1=﹣2,∴a2==,a3==,a4==﹣2,∴这个数列以﹣2,,,依次循环,且﹣2+=﹣,∵100÷3=33…1,∴a1+a2+…+a100=33×(﹣))﹣2=﹣=﹣7.5,故答案为﹣7.5.三.解答题(共8小题)8.对任意一个四位数n,如果千位与十位上的数字之和为9,百位与个位上的数字之和也为9,则称n为“极数”.(1)请任意写出三个“极数”;并猜想任意一个“极数”是否是99的倍数,请说明理由;(2)如果一个正整数a是另一个正整数b的平方,则称正整数a是完全平方数.若四位数m为“极数”,记D(m)=,求满足D(m)是完全平方数的所有m.【解答】解:(1)根据“极数”的意义得,1287,2376,8712,任意一个“极数”都是99的倍数,理由:设对于任意一个四位数且是“极数”n的个位数字为x,十位数字为y,(x是0到9的整数,y是0到8的整数)∴百位数字为(9﹣x),千位数字为(9﹣y),∴四位数n为:1000(9﹣y)+100(9﹣x)+10y+x=9900﹣990y﹣99x=99(100﹣10y﹣x),∵x是0到9的整数,y是0到8的整数,∴100﹣10y﹣x是整数,∴99(100﹣10y﹣x)是99的倍数,即:任意一个“极数”都是99的倍数;(2)设四位数m为“极数”的个位数字为x,十位数字为y,(x是0到9的整数,y是0到8的整数)∴m=99(100﹣10y﹣x),∵m是四位数,∴m=99(100﹣10y﹣x)是四位数,即1000≤99(100﹣10y﹣x)<10000,∵D(m)==3(100﹣10y﹣x),∴30≤3(100﹣10y﹣x)≤303∵D(m)完全平方数,∴3(100﹣10y﹣x)既是3的倍数也是完全平方数,∴3(100﹣10y﹣x)只有36,81,144,225这四种可能,∴D(m)是完全平方数的所有m值为1188或2673或4752或7425.9.若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的顶点在一次函数y=kx+t(k≠0)的图象上,则称y=ax2+bx+c(a≠0)为y=kx+t(k≠0)的伴随函数,如:y=x2+1是y=x+1的伴随函数.(1)若y=x2﹣4是y=﹣x+p的伴随函数,求直线y=﹣x+p与两坐标轴围成的三角形的面积;(2)若函数y=mx﹣3(m≠0)的伴随函数y=x2+2x+n与x轴两个交点间的距离为4,求m,n的值.【解答】解:∵y=x2﹣4,∴其顶点坐标为(0,﹣4),∵y=x2﹣4是y=﹣x+p的伴随函数,∴(0,﹣4)在一次函数y=﹣x+p的图象上,∴﹣4=0+p.∴p=﹣4,∴一次函数为:y=﹣x﹣4,∴一次函数与坐标轴的交点分别为(0,﹣4),(﹣4,0),∴直线y=﹣x+p与两坐标轴围成的三角形的两直角边都为|﹣4|=4,∴直线y=﹣x+p与两坐标轴围成的三角形的面积为:.(2)设函数y=x2+2x+n与x轴两个交点的横坐标分别为x1,x2,则x1+x2=﹣2,x1x2=n,∴,∵函数y=x2+2x+n与x轴两个交点间的距离为4,∴,解得,n=﹣3,∴函数y=x2+2x+n为:y=x2+2x﹣3=(x+1)2﹣4,∴其顶点坐标为(﹣1,﹣4),∵y=x2+2x+n是y=mx﹣3(m≠0)的伴随函数,∴﹣4=﹣m﹣3,∴m=1.10.我们定义:有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”(1)概念理解:请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子;(2)问题探究:如图1,在等邻角四边形ABCD中,∠DAB=∠ABC,AD,BC的中垂线恰好交于AB边上一点P,连结AC,BD,试探究AC与BD的数量关系,并说明理由;(3)应用拓展:如图2,在Rt△ABC与Rt△ABD中,∠C=∠D=90°,BC=BD=3,AB=5,将Rt△ABD绕着点A顺时针旋转角α(0°<∠α<∠BAC)得到Rt△AB′D′(如图3),当凸四边形AD′BC为等邻角四边形时,求出它的面积.【解答】解:(1)矩形或正方形;(2)AC=BD,理由为:连接PD,PC,如图1所示:∵PE是AD的垂直平分线,PF是BC的垂直平分线,∴P A=PD,PC=PB,∴∠P AD=∠PDA,∠PBC=∠PCB,∴∠DPB=2∠P AD,∠APC=2∠PBC,即∠P AD=∠PBC,∴∠APC=∠DPB,∴△APC≌△DPB(SAS),∴AC=BD;(3)分两种情况考虑:(i)当∠AD′B=∠D′BC时,延长AD′,CB交于点E,如图3(i)所示,∴∠ED′B=∠EBD′,∴EB=ED′,设EB=ED′=x,由勾股定理得:42+(3+x)2=(4+x)2,解得:x=4.5,过点D′作D′F⊥CE于F,∴D′F∥AC,∴△ED′F∽△EAC,∴=,即=,解得:D′F=,∴S△ACE=AC×EC=×4×(3+4.5)=15;S△BED′=BE×D′F=×4.5×=,则S四边形ACBD′=S△ACE﹣S△BED′=15﹣=10;(ii)当∠D′BC=∠ACB=90°时,过点D′作D′E⊥AC于点E,如图3(ii)所示,∴四边形ECBD′是矩形,∴ED′=BC=3,在Rt△AED′中,根据勾股定理得:AE==,∴S△AED′=AE×ED′=××3=,S矩形ECBD′=CE×CB=(4﹣)×3=12﹣3,则S四边形ACBD′=S△AED′+S矩形ECBD′=+12﹣3=12﹣.11.阅读下面的材料:如果函数y=f(x)满足:对于自变量x的取值范围内的任意x1,x2,(1)若x1<x2,都有f(x1)<f(x2),则称f(x)是增函数;(2)若x1<x2,都有f(x1)>f(x2),则称f(x)是减函数.例题:证明函数f(x)=(x>0)是减函数.证明:设0<x1<x2,f(x1)﹣f(x2)=﹣==.∵0<x1<x2,∴x2﹣x1>0,x1x2>0.∴>0.即f(x1)﹣f(x2)>0.∴f(x1)>f(x2).∴函数f(x)=(x>0)是减函数.根据以上材料,解答下面的问题:已知函数f(x)=+2x(x<0),f(﹣1)=+(﹣2)=﹣1,f(﹣2)=+(﹣4)=﹣(1)计算:f(﹣3)=﹣,f(﹣4)=﹣;(2)猜想:函数f(x)=+2x(x<0)是增函数(填“增”或“减”);(3)请仿照例题证明你的猜想.【解答】解:(1)∵f(x)=+2x(x<0),∴f(﹣3)=+2×(﹣3)=﹣,f(﹣4)=+2×(﹣4)=﹣故答案为:﹣,﹣;(2)∵﹣4<﹣3,f(﹣4)<f(﹣3)∴函数f(x)=+2x(x<0)是增函数,故答案为:增;(3)设x1<x2<0,∵f(x1)﹣f(x2)=+2x1﹣﹣2x2=(x1﹣x2)(2﹣)∵x1<x2<0,∴x1﹣x2<0,x1+x2<0,∴f(x1)﹣f(x2)<0∴f(x1)<f(x2)∴函数f(x)=+2x(x<0)是增函数.12.对于平面直角坐标系xOy中的图形M,N,给出如下定义:P为图形M上任意一点,Q 为图形N上任意一点,如果P,Q两点间的距离有最小值,那么称这个最小值为图形M,N间的“距离“,记作d(M,N).特别的,当图形M,N有公共点时,记作d(M,N)=0.一次函数y=kx+2的图象为L,L与y轴交点为D,△ABC中,A(0,1),B(﹣1,0),C(1,0).(1)求d(点D,△ABC)=1;当k=1时,求d(L,△ABC)=;(2)若d(L,△ABC)=0.直接写出k的取值范围;(3)函数y=x+b的图象记为W,若d(W,△ABC)≤1,求出b的取值范围.【解答】解:(1)一次函数y=kx+2的图象与y轴交点D(0,2),d(点D,△ABC)表示点D到△ABC的最小距离,就是点D到点A的距离,即:AD=2﹣1=1,∴d(点D,△ABC)=1当k=1时,直线y=x+2,此时直线L与AB所在的直线平行,且△ABC和△DOE均是等腰直角三角形,d(L,△ABC)表示直线L到△ABC的最小距离,就是图中的AF,在等腰直角三角形ADF中,AD=1,AF=1×=d(L,△ABC)=故答案为:1,;(2)若d(L,△ABC)=0.说明直线L:y=kx+2与△ABC有公共点,因此有两种情况,即:k>0或k<0,仅有一个公共点时如图所示,即直线L 过B点,或过C点,此时可求出k=2或k=﹣2,根据直线L与△ABC有公共点,∴k≥2或k≤﹣2,答:若d(L,△ABC)=0时.k的取值范围为:k≥2或k≤﹣2.(3)函数y=x+b的图象W与x轴、y轴交点所围成的三角形是等腰直角三角形,并且函数y=x+b的图象与AB平行,当d(W,△ABC)=1时,如图所示:在△AGM中,AG=GM=1,则AM=,OM=1+,M(0,1+);即:b=1+;同理:OQ=OP=1+,Q(0,﹣1﹣),即:b=﹣1﹣,若d(W,△ABC)≤1,即b的值在M、N之间∴﹣1﹣≤b≤1+答:若d(W,△ABC)≤1,b的取值范围为﹣1﹣≤b≤1+.13.在平面直角坐标系中,将一个点(横坐标与纵坐标不相等,且均不为0)的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫做这个点的“互换点”,如(﹣3,5)与(5,﹣3)是一对“互换点”.(1)任意一对“互换点”都能(填“都能”或“都不能”)在一个反比例函数的图象上;(2)M、N是一对“互换点”,若点M的坐标为(2,﹣5),求直线MN的表达式;(3)在抛物线y=x2+bx+c的图象上有一对“互换点”A、B,其中点A在反比例函数y =﹣的图象上,直线AB经过点P(,),求此抛物线的表达式.【解答】解:(1)任意一对“互换点”都能在一个反比例函数的图象上.理由如下:设A(a,b)在反比例函数y=的图象上,则k=ab.根据“互换点”的意义,可知A(a,b)的“互换点”是(b,a).∵ba=ab=k,∴(b,a)也在反比例函数y=的图象上.故答案为:都能;(2)∵M、N是一对“互换点”,点M的坐标为(2,﹣5),∴N(﹣5,2).设直线MN的表达式为:y=kx+b,∴,解得:,∴直线MN的表达式为y=﹣x﹣3;(3)∵点A在反比例函数y=﹣的图象上,∴设A(k,﹣),∵A,B是一对“互换点”,∴B(﹣,k),设直线AB的解析式为y=mx+n,∵直线AB经过点P(,),∴,解得,∴A(2,﹣1),B(﹣1,2),或A(﹣1,2),B(2,﹣1).将A、B两点的坐标代入y=x2+bx+c,得,解得,∴此抛物线的表达式为y=x2﹣2x﹣1.14.在平面直角坐标系xOy中,点A(0,6),点B在x轴的正半轴上.若点P,Q在线段AB上,且PQ为某个一边与x轴平行的矩形的对角线,则称这个矩形为点P,Q的“X 矩形”.下图为点P,Q的“X矩形”的示意图.(1)若点B(4,0),点C的横坐标为2,则点B,C的“X矩形”的面积为6.(2)点M,N的“X矩形”是正方形,①当此正方形面积为4,且点M到y轴的距离为3时,写出点B的坐标,点N的坐标及经过点N的反比例函数的表达式;②当此正方形的对角线长度为3,且半径为r的⊙O与它没有交点,直接写出r的取值范围0<r<3﹣或r>.【解答】解:(1)设直线AB的函数表达式为y=kx+b(k≠0),将A(0,6)、B(4,0)代入y=kx+b,得:,解得:,∴直线AB的函数表达式为y=﹣x+6.当x=2时,y=﹣x+6=3,∴点C的坐标为(2,3),∴点B,C的“X矩形”的面积=(4﹣2)×(3﹣0)=6.故答案为:6.(2)①∵点M,N的“X矩形”是正方形,∴∠ABO=45°,∴点B的坐标为(6,0),直线AB的函数表达式为y=﹣x+6.∵点M到y轴的距离为3,∴点M的坐标为(3,3).∵点M,N的“X矩形”的面积为4,∴点N的横坐标为3﹣2=1或3+2=5,∴点N的坐标为(1,5)或(5,1).∴经过点N的反比例函数的表达式为y=.②如图1,取AB的中点E,当点E为MN的中点时,⊙O与点M,N的“X矩形”相交有最小值,此时r=OE﹣MN=3﹣,∴0<r<3﹣;如图2,当点N与点B重合(或点M与点A重合)时,⊙O与点M,N的“X矩形”相交有最大值,∵MN=3,∴BF=MN=.在Rt△OBF中,OB=6,BF=,∴OF==,∴r>.故答案为:0<r<3﹣或r>.15.定义:有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形,这两个角的夹边称为邻余线.(1)如图1,在△ABC中,AB=AC,AD是△ABC的角平分线,E,F分别是BD,AD 上的点.求证:四边形ABEF是邻余四边形.(2)如图2,在5×4的方格纸中,A,B在格点上,请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF,使AB是邻余线,E,F在格点上.(3)如图3,在(1)的条件下,取EF中点M,连结DM并延长交AB于点Q,延长EF 交AC于点N.若N为AC的中点,DE=2BE,QB=3,求邻余线AB的长.【解答】解:(1)∵AB=AC,AD是△ABC的角平分线,∴AD⊥BC,∴∠ADB=90°,∴∠DAB+∠DBA=90°,∠F AB与∠EBA互余,∴四边形ABEF是邻余四边形;(2)如图所示(答案不唯一),四边形AFEB为所求;(3)∵AB=AC,AD是△ABC的角平分线,∴BD=CD,∵DE=2BE,∴BD=CD=3BE,∴CE=CD+DE=5BE,∵∠EDF=90°,点M是EF的中点,∴DM=ME,∴∠MDE=∠MED,∵AB=AC,∴∠B=∠C,∴△DBQ∽△ECN,∴,∵QB=3,∴NC=5,∵AN=CN,∴AC=2CN=10,∴AB=AC=10.第21页(共21页)。

中考真题分类整理:新定义型(附答案)

中考真题分类整理:新定义型(附答案)

一、选择题1.(2020·岳阳)对于一个函数,自变量x 取a 时,函数值y 也等于a ,我们称a 为这个函数的不动点.如果二次函数y =x 2+2x +c 有两个相异的不动点x 1、x 2,且x 1<1<x 2,则c 的取值范围是() A .c <-3 B .c <-2 C .14c <D .c <1 【答案】B【解析】 当y =x 时,x =x 2+2x +c ,即为x 2+x +c =0,由题意可知:x 1,x 2是该方程的两个实数根,所以12121x x x x c+=-⎧⎨⋅=⎩∵x 1<1<x 2,∴(x 1-1)(x 2-1)<0, 即x 1x 2-(x 1+x 2) +1<0, ∴c -(-1)+1<0, ∴c <-2.又知方程有两个不相等的实数根,故Δ>0, 即12-4c >0, 解得:c <14.∴c 的取值范围为c <-2 .2.(2020·济宁)−1,-1的差类推,那么a 1+a 2+…+a 100的值是() A .-7.5 B .7.5 C .5.5 D .-5.5 【答案】A【解析】二、填空题18.(2020·娄底) 已知点P()00,x y 到直线y kx b =+的距离可表示为d =0,1)到直线y =2x+6的距离d ==y x =与4y x =-之间的距离为___________. 【答案】.【解析】在直线y x =上任取点,不妨取(0,0),根据两条平行线之间距离的定义可知,(0,0)到直线4y x =-的距离就是两平行直线y x =与4y x =-之间的距离.d ===. 16.(2020·常德)规定:如果一个四边形有一组对边平行,一组邻边相等,那么四边形为广义菱形.根据规定判断下面四个结论:①正方形和菱形都是广义菱形;②平行四边形是广义菱形;③对角线互相垂直,且两组邻边分别相等的四边形是广义菱形;④若M 、N 的坐标分别为(0,1),(0,-1),P 是二次函数y =x 2的图象上在第一象限内的任意一点,PQ 垂直直线y =-1于点Q ,则四边形PMNQ 是广义菱形.其中正确的是 .(填序号)【答案】①④【解析】正方形和菱形满足一组对边平行,一组邻边相等,故都是广义菱形,故①正确;平行四边形虽然满足一组对边平行,但是邻边不一定相等,因此不是广义菱形,故②错误;对角线互相垂直,且两组邻边分别相等的四边形的对边不一定平行,邻边也不一定相等,因此不是广义菱形,故③错误;④中的四边形PMNQ 满足MN ∥PQ ,设P (m ,0)(m >0),∵PM=+1,PQ =-(-1)=+1,∴PM =PQ ,故四边形PMNQ 是广义菱形.综上所述正确的是①④.17.(2020·陇南)定义:等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k 称为这个等腰三角形的“特征值”.若等腰△ABC 中,∠A =80°,则它的特征值k = .【答案】85或14. 【解析】当∠A 是顶角时,底角是50°,则k=808505=;当∠A 是底角时,则底角是20°,k=201804=,故答案为:85或14.三、解答题1.(2020·重庆A 卷)《道德经》中的“道生一,一生二,二生三,三生万物”道出了自然数的特征.在数的学习过程中,我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究,如学习自然数时,我们研究了奇数、偶数、质数、合数等.现在我们来研究另一种特珠的自然数—“纯数”.定义:对于自然数n ,在计算n +(n +1)+(n +2)时,各数位都不产生进位,则称这个自然数n 为“纯数”,例如:32是”纯数”,因为计算32+33+34时,各数位都不产生进位;23不是“纯数”,因为计算23+24+25时,个位产生了进位.(1)判断2019和2020是否是“纯数”?请说明理由; (2)求出不大于100的“纯数”的个数.解:(1)2019不是“纯数”,2020是“纯数”,理由如下:∵在计算2019+2020+2021时,个位产生了进位,而计算2020+2021+2022时,各数位都不产生进位,∴2019不是“纯数”,2020是“纯数”.(2)由题意可知,连续三个自然数的个位不同,其他位都相同,并且连续的三个自然数个位为0、1、2时,不会产生进位;其他位的数字为0、1、2、3时,不会产生进位.现分三种情况讨论如下:①当这个数为一位自然数时,只能是0、1、2,共3个;14214m 214m 214m②当这个数为二位自然数时,十位只能为1、2、3,个位只能为0、1、2,即10、11、12、20、21、22、30、31、32共9个; ③当这个数为100时,易知100是“纯数”. 综上,不大于100的“纯数”的个数为3+9+1=13.2.(2020·重庆B 卷)在数的学习过程中,我们总会对其中一些具有某种特性的数进行研究,如学习自然数时,我们研究了偶数、奇数、合数、质数等. 现在我们来研究一种特殊的自然数——“纯数”.定义:对于自然数,在通过列竖式进行的运算时各位都不产生进位现象,则称这个自然数为“纯数”.例如:是“纯数”,因为在列竖式计算时各位都不产生进位现象; 不是“纯数”,因为在列竖式计算时个位产生了进位. ⑴请直接写出1949到2019之间的“纯数”;⑵求出不大于100的“纯数”的个数,并说明理由.解:(1)1949到2019之间的“纯数”为2000、2001、2002、2010、2011、2012 . (2)由题意:不大于100的“纯数”包含:一位数、两位数和三位数100若n 为一位数,则有n +(n +1)+(n +2)<10,解得:n <3,所以:小于10的“纯数数”有0、1、2,共3个.两位数须满足:十位数可以是1、2、3,个位数可以是0、1、2,列举共有9个分别是10、11、12、20、21、22、30、31、32;三位数为100,共1个所以:不大于100的“纯数”共有13个.3.(2020·衢州)定义:在平面直角坐标系中,对于任意两点A (a ,b ),B (c ,d ),若点T (x ,y )满是x =3a c +,y =3b d +,那么称点T 是点A ,B 的融合点。

中考数学复习新定义、新运算型问题精讲(共24张PPT)

中考数学复习新定义、新运算型问题精讲(共24张PPT)
【思路导引】通过计算所给四组向量的坐标,只要符合 x1· x2+y1· y2=0的向量,即为互相垂直.
3
1
解析:选项A中,3×(-2)+2×3=0,∴两向量互相垂直;
选项 B 中,( 2-1)· ( 2+1)+1×1=2,∴两向量不垂直; 1 选项 C 中,3×(-3)+20180×(-1)=-2,∴两向量不垂直; 选项 D 中, 8×( 2) +(- )×4=2,∴两向量不垂直.
所以说法错误的是 C.
4.(2018· 聊城)若x为实数,则[x]表示不大于x的最大整数,例如 [1.6]=1,[π]=3,[-2.82]=-3等.[x]+1是大于x的最小整数,对任意的实 数x都满足不等式[x]≤x<[x]+1 ①.利用这个不等式①,求出满足
[x]=2x-1的所有解,其所有解为 1 或2
解析:根据题意,得 第一次:当n=13时,F①=3×13+1=40,
第二次:当 n=40 时,F②=23 =5,
2
40
第三次:当 n=5 时,F①=3×5+1=16, 16 第四次:当 n=16 时,F②= 4 =1, 第五次:当 n=1 时,F①=3×1+1=4, 4 第六次:当 n=4 时,F②=22 =1,
������������ ������ ������������ ������
b1a2
b2 = 2
13 -2
b2 = 1 c2 = 2
-14 -7 21 -7
112
-2 =1×(-2)-1×12=-14,
13 12 =2×12-1×3=21,
������ = ������ =
= =

中考数学复习专题讲座:新概念型问题(含答案)

中考数学复习专题讲座:新概念型问题(含答案)

中考数学专题讲座二:新概念型问题一、中考专题诠释所谓“新概念”型问题,主要是指在问题中概念了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号,要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解,根据新概念进行运算、推理、迁移的一种题型.“新概念”型问题成为近年来中考数学压轴题的新亮点.在复习中应重视学生应用新的知识解决问题的能力二、解题策略和解法精讲“新概念型专题”关键要把握两点:一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法;二是根据问题情景的变化,通过认真思考,合理进行思想方法的迁移.三、中考典例剖析考点一:规律题型中的新概念考点二:运算题型中的新概念整理得:x2+2x+1-(1-2x+x2)-8=0,即4x=8,解得:x=2.故答案为:2点评:此题考查了整式的混合运算,属于新概念的题型,涉及的知识有:完全平方公式,去括号、合并同类项法则,根据题意将所求的方程化为普通方程是解本题的关键.对应训练2.(株洲)若(x1,y1)•(x2,y2)=x1x2+y1y2,则(4,5)•(6,8)=.考点三:探索题型中的新概念例3(南京)如图,A、B是⊙O上的两个定点,P是⊙O上的动点(P不与A、B重合)、我们称∠APB是⊙O上关于点A、B的滑动角.(1)已知∠APB是⊙O上关于点A、B的滑动角,①若AB是⊙O的直径,则∠APB=°;②若⊙O的半径是1,AB=,求∠APB的度数;(2)已知O2是⊙O1外一点,以O2为圆心作一个圆与⊙O1相交于A、B两点,∠APB是⊙O1上关于点A、B的滑动角,直线PA、PB分别交⊙O2于M、N(点M与点A、点N与点B均不重合),连接AN,试探索∠APB与∠MAN、∠ANB之间的数量关系.思路分析:(1)①根据直径所对的圆周角等于90°即可求解;②根据勾股定理的逆定理可得∠AOB=90°,再分点P在优弧上;点P在劣弧上两种情况讨论求解;(2)根据点P在⊙O1上的位置分为四种情况得到∠APB与∠MAN、∠ANB之间的数量关系.解:(1)①若AB是⊙O的直径,则∠APB=90.②如图,连接AB、OA、OB.在△AOB中,∵OA=OB=1.AB=,∴OA2+OB2=AB2.∴∠AOB=90°.当点P在优弧上时,∠AP1B=∠AOB=45°;当点P在劣弧上时,∠AP2B=(360°﹣∠AOB)=135°…6分(2)根据点P在⊙O1上的位置分为以下四种情况.第一种情况:点P在⊙O2外,且点A在点P与点M之间,点B在点P与点N之间,如图①∵∠MAN=∠APB+∠ANB,∴∠APB=∠MAN﹣∠ANB;第二种情况:点P在⊙O2外,且点A在点P与点M之间,点N在点P与点B之间,如图②.∵∠MAN=∠APB+∠ANP=∠APB+(180°﹣∠ANB),∴∠APB=∠MAN+∠ANB﹣180°;第三种情况:点P在⊙O2外,且点M在点P与点A之间,点B在点P与点N之间,如图③.∵∠APB+∠ANB+∠MAN=180°,∴∠APB=180°﹣∠MAN﹣∠ANB,第四种情况:点P在⊙O2内,如图④,∠APB=∠MAN+∠ANB.点评:综合考查了圆周角定理,勾股定理的逆定理,点与圆的位置关系,本题难度较大,注意分类思想的运用.对应训练3.(陕西)如果一条抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴有两个交点,那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”.(1)“抛物线三角形”一定是三角形;(2)若抛物线y=-x2+bx(b>0)的“抛物线三角形”是等腰直角三角形,求b的值;(3)如图,△OAB是抛物线y=-x2+b′x(b′>0)的“抛物线三角形”,是否存在以原点O为对称中心的矩形ABCD?若存在,求出过O、C、D三点的抛物线的表达式;若不存在,说明理由.考点四:开放题型中的新概念考点五:阅读材料题型中的新概念四、中考真题演练一、选择题1.(六盘水)概念:f(a,b)=(b,a),g(m,n)=(-m,-n).例如f(2,3)=(3,2),g(-1,-4)=(1,4).则g[f(-5,6)]等于()A.(-6,5)B.(-5,-6)C.(6,-5)D.(-5,6)A.5B.6C.7D.8点评:本题考查的是实数的运算,根据题意得出输出数的式子是解答此题的关键.3.(丽水)小明用棋子摆放图形来研究数的规律.图1中棋子围城三角形,其棵数3,6,9,12,…称为三角形数.类似地,图2中的4,8,12,16,…称为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是()A.2010B.2012C.2014D.2016二、填空题4.(常德)规定用符号[m]表示一个实数m的整数部分,例如:[]=0,[3.14]=3.按此规定[]的值为.5.(随州)概念:平面内的直线1l与2l相交于点O,对于该平面内任意一点M,点M到直线1l、2l的距离分别为a、b,则称有序非实数对(a,b)是点M的“距离坐标”,根据上述概念,距离坐标为(2,3)的点的个数是()三、解答题410.(无锡)对于平面直角坐标系中的任意两点到直线y=ax+b11.(厦门)如图,在平面直角坐标系中,已知点解:∵(x1,y1)•(x2,y2)=x1x2+y1y2,∴(4,5)•(6,8)=4×6+5×8=64,故答案为64.四、中考真题演练一、选择题1.A2.B.3.D解:∵3,6,9,12,…称为三角形数,∴三角数都是3的倍数,∵4,8,12,16,…称为正方形数,∴正方形数都是4的倍数,∴既是三角形数又是正方形数的是12的倍数,∵2010÷12=167…6,2012÷12=167…8,2014÷12=167…10,2016÷12=168,∴2016既是三角形数又是正方形数.故选D.二、填空题4.4解:∵3<<4,∴3+1<+1<4+1,∴4<+1<5,∴[+1]=4,故答案为:4.5.C解:如图所示,所求的点有4个,三、解答题22,。

2020年中考数学专题复习和训练:新定义题型例谈

2020年中考数学专题复习和训练:新定义题型例谈

赵中2020中考数学专题复习和训练 第 1页(共 16页) 第 2页 (共 16页)2020年中考数学专题复习和训练:新定义题型例谈班级: 姓名:编制:赵化中学 郑宗平专题透析:“新定义”题型主要是指题型中嵌入了新概念、新符号、新运算等,要求结合书本知识,根据“定义”的规则加以运算、推理等以求问题得以解决;这类题在新课改、新课标下的各类数学测试中经常出现,也是近年来中考的热点题型,填空、选择和解答题均有涉及;“新定义”题型注意两点:其一.读懂“定义规则”,找准切入点;其二.经过运算、推理进行迁移解决问题典例精析:例1.我们把分子为1的分数叫做理想分数,如,,,111234L 任何一个理想分数都可以写成两个不同理想分数的和,如()=+;=+;=+;=1111111111236341245209L ;根据对上述式子的观察思考:如果理想分数111n a b=+(n 是不小于2的正整数),那么a b += (用含n 的式本题可以视为“规律性的题型中的定义”,主要是根据定义(本题是“理想分数”)计算推理发现规律,从实例规律迁移解决问题.追踪练习:1.我们把按照一定顺序排列的一列数称为数列,如1,3,9,19,33,… 就是一个数列;如果一个数列从第二个数起,每一个数与它前一个数的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做这个等差数列的公差.如2,4,6,8,10就是一个等差数列,它的公差为2;如果一个数列的后一个数与前一个数的差组成的新数列是等差数列,则称这个数列为二阶等差数列.例如数列1,3,9,19,33, …,它的后一个数与前一个数的差组成的新数列是2,6,10,14,…,这是一个公差为4的等差数列,所以,数列1,3,9,19,33,,…是一个二阶等差数列;那么,请问二阶等差数列1,3,7,13,,… 的第五个数应是 ___ .2.若x 是不等于1的实数,我们把11x -称为x 的差倒数,如2的差倒数是1112=--,1-的差倒数为()11112=--,现已知11x 3=-,2x 是1x 的差倒数,3x 是2x 的差倒数,4x 是3x 的差倒数,…,依次类推,则 2020x = . 例2.我们把a b c d称作二阶行列式,规定它的运算法则为a bad bc c d=-,比如:232534245=⨯-⨯=-,如果有23x 01x->,则x 的取值范围为 .分析:根据二阶行列式规定的运算法则可知:()2x 3x 10--⨯> ,解得:x 1>;∴故应填:x 1>. 点评:本题可以视为“运算建模题型中定义”,主要是根据定义所规定的运算法则进行运算推理来解决问题;这类题可以串联起数学的多个知识点,是中考中出现频率比较高的一种题型. 追踪练习:1.对于点(),x y 的一次操作变换()(),,1p x y x y x y =+-,且规定()()(),,n 1n 1p x y P P x y -=(n 为大于1的整数);如()(),,1p 1231=-,()()()(),,(.),2111p 12P 12P 3124==-=,(),3p 12= ((,))(,)(,)122P p 12p 2462==-,则(,)2019p 11-= ( )A.(),100902-B.(),101002-C.(),100902D.()101002, 2.对于正数x ,如果规定()1f x 1x =+,例如:()11f 4145==+,114f 14514⎛⎫== ⎪⎝⎭+;根据上面的规定计算()()()()111f 2019f 2018f 2f 1f f f 220182019⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L 的值为 ,()()()()111f 2020f 2019f 2f 1f f f 220192020⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L 的值为 .二阶行列式运算法则”,计算填空:= ; ⑵.x 3x 2x 4x 3+---= ;⑶.2x x 26x 2x-=+,则x = .赵中2020中考数学专题复习和训练 第 3页(共 16页) 第 4页 (共 16页)4.若定义()a,b ☆()m,n am bn =+,则⎛⋅ ⎝= .5.对于两个不相等的实数a,b ,定义一种新的运算如下,(a a b a b a b +=+-332+=()654 的值.6.我们定义a bad bc c d=-,比如:()1216236636-=-⨯-⨯=--=-整数,且满足1x 13y 5<< ,求x 2y -的值.作,垂足为在Rt ⊿OEA 中,AEtan AOE ∠=,则AE OE tan AOB =∠= ()b'b'0=> .解得:b'= 本题可以视为“探索题型中的新定义”,主要是根据定义计算推理论证,这类题一般要在定义的前提下进行匪类讨论,往往和存在性问题交融在一起.追踪练习:1.若平面直角坐标系中,两点关于过原点的一条直线成轴对称,则这两点就是互为镜面点, 这条直线叫镜面直线,如(),A 23)和(),B 32是以x y =为镜面直线的镜面点. ⑴.若(),M 41和(),N 14--是一对镜面点,则镜面直线为 . ⑵.若以y =为镜面直线,则(),E 20-的镜面点为 .2.如图,A,B 是⊙O 上的两个顶点,P 是⊙O 上的动点(P 不与A,B 重合),我们称APB ∠是赵中2020中考数学专题复习和训练 第 5页(共 16页) 第 6页 (共 16页)3.定义:到凸四边形一组对边距离相等,到另一组对边距离也相等的点叫凸四边形的准内点.如图1,PH PJ ,PG PI ==的准内点.⑴.如图2,AFD ∠与DEC ∠的角平分线相交于点P .求证:点P 是四边形ABCD 的准内点. ⑵.分别画出图3平行四边形和图4梯形的准内点.(作图工具不限,不写作法,但要有必要的说明)⑶.判断下列命题的真假,在括号内填“真”或“假”. ①任意凸四边形一定存在准内点.( ) ②任意凸四边形一定只有一个准内点.( )③若点P 是四边形ABCD 的准内点,则PA PB PC PD +=+或PA PC PB PD +=+( ).例4. 对于实数a b 、,定义运算某“*”:()()22a ab a b a b ab b a b ⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩*.例如42*,因为42>,所以2424428=-⨯=*.若12x x 、是一元二次方程2x 5x 60-+=的两个根,则*12x x = .分析:∵12x x 、是一元二次方程2x 5x 60-+=的两个根 ∴()()x 2x 30--= 解得:x 3= 或x 2=①.当12x 3,x 2== 时,1x *2x =23233-⨯=; ②.当12x 2,x 3== 时,1x *2x =22333⨯-=-. 故应填:3或3-.,本题的结论是开放的,常常要根据条件分类讨论,结,这类题容易漏解.a ☆b ()()-⎧>≠⎪=⎨≤≠⎪⎩b b a a b,a 0a a b,a 0 ;比如2☆3-==3128,计算[2☆()-4]×()-2]= .2.在平面直角坐标系xOy 中,对于任意两点()111P x ,y 和()222P x ,y 的“非常距离”,给出以下概念: 若1212x x y y -≥- ,则点1P 和点2P 的“非常距离”距离为12x x -;.若1212x x y y -<- ,则点1P 和点2P 的“非常距离”距离为12y y -.例如:点()1P 1,2和()2P 3,5。

初三数学新定义型问题

初三数学新定义型问题
初三数学名师课程新定义型问题新定义型问题指的是用下定义的方式给出一个新的运算符号概念图形或性质等要求同学们能化生为熟现学现用能结合已有知识能力进行理解进而进行运算推理迁移的一种题型这类题型往往是教材中一些数学概念的拓展变式是近几年中考数学命题的热点
初三数学名师课程
“新定义”型问题
知识概述
“新定义”型问题,指的是用下定义的方 式,给出一个新的运算、符号、概念、图形或 性质等,要求同学们能“化生为熟”、“现学 现用”,能结合已有知识、能力进行理解,进 而进行运算、推理、迁移的一种题型,这类题 型往往是教材中一些数学概念的拓展、变式, 是近几年中考数学命题的热点.
P1A=
1 3
,AO=
2
3
2

P(1 -
2
3
2
,1). 3
∵ 点 P1 与点 P2 关于 y 轴对称,∴ P(2 2 2 ,1). 33
则点 P1 与点 P2 均符合要求.
定义新性质
“定义新性质”是通过一个新的定义呈 现数学表征内在所具有的某些特征.解决 这类问题关键是抓住性质的本质,理解运 用性质特征,再结合已学过的知识解题.
定义新图形
理解:(1)如图 1,已知 A、B 是⊙O 上两点,请在圆上找 出满足条件的点 C,使△ABC 为“智慧三角形”(画出点 C 的位置,保留作图痕迹); 【简析】(1)在圆中画出以 A、B 为 顶点的圆内接直角三角形,即为所要 确定的“智慧三角形”.
定义新图形 (2)如图 2,在正方形 ABCD 中,E 是 BC 的中点,F 是 CD 上一点,且CF 1 CD,试判断△AEF 是否为“智慧三角
定义新概念
例 3.在平面直角坐标系中,将一点(横坐标与纵坐标不相等) 的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这一点的“互换点”, 如(-3,5)与(5,-3)是一对“互换点”. (2)M,N 是一对“互换点”,若点 M 的坐标为(m,n), 求直线 MN 的表达式(用含 m,n 的代数式表示);

中考数学压轴题之新定义经典题型

中考数学压轴题之新定义经典题型

中考数学压轴题之新定义经典题型【01】.在平面直角坐标系xOy 中,C 的半径为r ,P 是与圆心C 不重合的点,点P 关于O 的反称点的定义如下:若在射线CP 上存在一点P ¢,满足2CP CP r ¢+=,则称P ¢为点P 关于C 的反称点,下图为点P 及其关于C 的反称点P ¢的示意图。

的示意图。

(1)(1)当当O 的半径为1时。

时。

①分别判断点(2,1)M ,3(,0)2N ,(1(1,,3)T 关于O 的反称点是否存在,若存在?在?求其坐标;求其坐标;②点P 在直线2y x =-+上,若点P 关于O 的反称点P ¢存在,且点P ¢不在x 轴上,求点P 的横坐标的取值范围;的横坐标的取值范围; (2)(2)当当C 的圆心在x 轴上,轴上,半径为半径为1,直线3233y x =-+与x 轴,轴,y y 轴分别交于点A ,B ,若线段AB 上存在点P ,使得点P 关于C 的反称点P ¢在C 的内部,求圆心C 的横坐标的取值范围。

的横坐标的取值范围。

yPOCx1 1【02】.在平面直角坐标系xOy 中,点P 的坐标为()11,x y ,点Q 的坐标为()22,x y ,且12x x ¹,12y y ¹,若,P Q 为某个矩形的两个顶点,为某个矩形的两个顶点,且该矩形的边均与某条坐标轴且该矩形的边均与某条坐标轴垂直,则称该矩形为点P Q ,的“相关矩形”的“相关矩形”..下图为点,P Q 的“相关矩形”的示意图意图. .(1)已知点A 的坐标为()10,,①若点B 的坐标为()31,,求点,A B 的“相关矩形”的面积;的“相关矩形”的面积;②点C 在直线3x =上,若点,A C 的“相关矩形”为正方形,求直线AC 的表达式;式;(2)O ⊙的半径为2,点M 的坐标为(),3m .若在O ⊙上存在一点N ,使得点,M N的“相关矩形”为正方形,求m 的取值范围的取值范围. .【03】对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和⊙C ,给出如下定义:若存在过点P 的直线l 交⊙C 于异于点P 的A ,B 两点,在P ,A ,B 三点中,位于中间的点恰为以另外两点为端点的线段的中点时,则称点P 为⊙C 的相邻点,直线l 为⊙C 关于点P 的相邻线的相邻线. . (1)当⊙O 的半径为1时,时, ○1分别判断在点D (,14),E (0,-3),F (4,0)中,是⊙O 的相邻点有____________________;;○2请从○1中的答案中,任选一个相邻点,在图1中做出⊙O 关于它的一条相邻线,并说明你的作图过程相邻线,并说明你的作图过程. .○3点P 在直线3y x =-+上,若点P 为⊙O 的相邻点,求点P 横坐标的取值范围;范围;(2)⊙C 的圆心在x 轴上,半径为1,直线3233y x =-+与x 轴,y 轴分别交于点M ,N ,若线段..MN 上存在⊙C 的相邻点P ,直接写出圆心C 的横坐标的取值范围.范围.21备用图1备用图2 图1【04】定义:y 是一个关于x 的函数,若对于每个实数x ,函数y 的值为三数2+x ,12+x ,205+-x 中的最小值,则函数y 叫做这三数的最小值函数.(1)画出这个最小值函数的图象,并判断点A (1, 3)是否为这个)是否为这个最小值函数图象上的点;图象上的点;(2)设这个最小值函数图象的最高点为B ,点A (1, 3),动点M (m ,m ).①直接写出△ABM 的面积,其面积是的面积,其面积是 ; ②若以M 为圆心的圆经过B A ,两点,写出点M 的坐标;的坐标;③以②中的点M 为圆心,以2为半径作圆为半径作圆. . 在此圆上找一点P ,使22PA PB +的值最小,直接写出此最小值的值最小,直接写出此最小值. .【05】在平面直角坐标系xOy 中,对于点P 和图形W ,如果线段OP 与图形W 无公共点,则称点P 为关于图形W 的“阳光点”;如果线段OP 与图形W 有公共点,则称点P 为关于图形W 的“阴影点”. (1)如图1,已知点()13A ,,()11B ,,连接AB①在()11,4P ,()21,2P ,()32,3P ,()42,1P 这四个点中,关于线段AB 的“阳光点”是;是;②线段11A B AB P ;11A B 上的所有点都是关于线段AB 的“阴影点”,且当线段11A B 向上或向下平移时,都会有11A B 上的点成为关于线段AB 的“阳光点”.若11A B 的长为4,且点1A 在1B 的上方,则点1A 的坐标为的坐标为_________________________________________________________;; (2)如图2,已知点()13C ,,C e 与y 轴相切于点D .若E e 的半径为32,圆心E 在直线343l y x =-+:上,且E e 上的所有点都是关于C e 的“阴影点”,求圆心E 的横坐标的取值范围;的横坐标的取值范围;(3)如图3,M e 的半径是3,点M 到原点的距离为5.点N 是M e 上到原点距离最近的点,点Q 和T 是坐标平面内的两个动点,且M e 上的所有点都是关于NQT D 的“阴影点”,直接写出NQT D 的周长的最小值.的周长的最小值.图1 图2 图3yxB A OyxCOD yx11O【06】给出如下规定:在平面直角坐标系xOy 中,对于点P (x ,y ),以及两个无公共点的图形1W 和2W ,若在图形1W 和2W 上分别存在点M (1x ,1y )和N (2x ,2y ),使得P 是线段MN 的中点,则称点M 和N 被点P “关联”,并称点P 为图形1W 和2W 的一个“中位点”,此时P ,M ,N 三个点的坐标满足122x x x +=,122y yy +=.(1)已知点(0,1),(4,1),(3,1),(3,2)A B C D --,连接AB ,CD .①对于线段AB 和线段CD ,若点A 和C 被点P “关联”,则点P 的坐标为____________________;; ②线段AB 和线段CD 的一个“中位点”是1(2,)2Q -,求这两条线段上被点Q “关联”的两个点的坐标;“关联”的两个点的坐标;(2)如图1,已知点R (-(-2,02,02,0)和抛物线)和抛物线1W :22y x x =-,对于抛物线1W 上的每一个点M ,在抛物线2W 上都存在点N ,使得点N 和M 被点R “关联”,请在图1中画出符合条件的抛物线2W ;(3)正方形EFGH 的顶点分别是(4,1),(4,1),(2,1),(2,1)E F G H ------,⊙T 的圆心为(3,0)T ,半径为1.请在图2中画出由正方形EFGH 和⊙T 的所有“中位点”组成的图形(若涉及平面中某个区域时可以用阴影表示),并直接写出该图形的面积.并直接写出该图形的面积.图1 图2R【06】在平面直角坐标系中,⊙C 的半径为r ,P 是与圆心C 不重合的点,点P 关于⊙C 的限距点的定义如下:若为直线PC 与⊙C 的一个交点,满足,则称为点P 关于⊙C 的限距点,右图为点P 及其关于⊙C 的限距点的示意图.的示意图. (1)当⊙O 的半径为1时.时.①分别判断点M ,N ,T 关于⊙O 的限距点是否存在?若存在,求其坐标;在?若存在,求其坐标;②点D 的坐标为(的坐标为(2,02,02,0)),DE ,DF 分别切⊙O 于点E ,点F ,点P 在△DEF 的边上的边上..若点P 关于⊙O 的限距点存在,求点的横坐标的取值范围;取值范围;(2)保持()保持(11)中D ,E ,F 三点不变,点P 在△DEF 的边上沿E →F →D →E的方向的方向运动,⊙C 的圆心C 的坐标为(1,01,0)),半径为r .请从下面两个问题中任选一个作答一个作答. .温馨提示:答对问题1得2分,答对问题2得1分,两题均答不重复计分.问题1问题2若点P 关于⊙C 的限距点存在,且随点P 的运动所形成的路径长为,则r 的最小值为的最小值为______________________________.. 若点P 关于⊙C 的限距点不存在,则r 的取值范围为的取值范围为________. ________.xOy P ¢2r PP r ¢££P ¢P¢(3,4)5(,0)2(1,2)P ¢P ¢P ¢P ¢r p P¢【07】对于某一函数给出如下定义:若存在实数p ,当其自变量的值为p 时,其函数值等于p ,则称p 为这个函数的不变值. 在函数存在不变值时,该函数的最大不变值与最小不变值之差q 称为这个函数的不变长度.特别地,当函数只有一个不变值时,其不变长度q 为零为零..例如,下图中的函数有0,1两个不变值,其不变长度q 等于1.(1)分别判断函数1y x =-,1y x=,2y x =有没有不变值?如果有,直接写出其不变长度;其不变长度;(2)函数22y x bx =-.①若其不变长度为零,求b 的值;的值;②若13b ££,求其不变长度q 的取值范围;的取值范围;(3)记函数22()y x x x m =-³的图象为1G ,将1G 沿x=m 翻折后得到的函数图象记为2G .函数G 的图象由 1G 和2G 两部分组成,若其不变长度q 满足03q ££,则m 的取值范围为的取值范围为 . .【08】P 是⊙O 内一点,过点P 作⊙O 的任意一条弦AB ,我们把P A PB ×的值称为点P 关于⊙O 的“幂值”.(1)⊙O 的半径为5,OP = 3.①如图1,若点P 恰为弦AB 的中点,则点P 关于⊙O 的“幂值”为________________;; ②判断当弦AB 的位置改变时,点P 关于⊙O 的“幂值”是否为定值,若是定值,证明你的结论;若不是定值,求点P 关于⊙O 的“幂值”的取值范围.的取值范围.(2)若⊙O 的半径为r ,OP = d ,请参考(,请参考(11)的思路,用含r 、d 的式子表示点P 关于⊙O 的“幂值”或“幂值”的取值范围的“幂值”或“幂值”的取值范围________________________;; (3)在平面直角坐标系xOy 中,⊙O 的半径为4,若在直线33y x b =+上存在点P ,使得点P 关于⊙O 的“幂值”为1313,,请写出b 的取值范围的取值范围________________________..图1POBAO备用图备用图【09】在平面直角坐标系xOy 中,中,图形图形W 在坐标轴上的投影长度定义如下:设点),(11y x P ,),(22y x Q 是图形W 上的任意两点.若21x x -的最大值为m ,则图形W 在x 轴上的投影长度m l x =;若21y y -的最大值为n ,则图形W 在y 轴上的投影长度n l y =.如图,图形W 在x 轴上的投影长度213=-=xl ;在y 轴上的投影长度404=-=y l .(1)已知点)3,3(A ,)1,4(B .如图1所示,若图形W 为△OAB ,则=xl ,=y l .(2)已知点)0,4(C ,点D 在直线26y x =-+上,若图形W 为△OCD .当y x l l =时,求点D 的坐标.的坐标.(3)若图形W 为函数2x y =)(b x a ££的图象,其中0a b £<.当该图形.当该图形满足1£=y x l l 时,请直接写出a 的取值范围.的取值范围.x yO BA 1234123x y O 1231234图1【10】.在平面直角坐标系xOy 中,对图形W 给出如下定义:若图形W 上的所有点都在以原点为顶点的角的内部或边界上,在所有满足条件的角中,其度数的最小值称为图形的坐标角度,例如,下图中的矩形ABCD 的坐标角度是9090°.°.°.(1)已知点)3,0(-A ,)1,1(--B ,在点)0,2(C ,)0,1(-D ,)2,2(-E 中,选一点,使得以该点及点A ,B 为顶点的三角形的坐标角度为9090°,则满足条件°,则满足条件的点为的点为 ; (2)将函数2ax y =)31(££a 的图象在直线1=y 下方的部分沿直线1=y 向上翻折,求所得图形坐标角度m 的取值范围;的取值范围;(3)记某个圆的半径为r ,圆心到原点的距离为l ,且)1(3-=r l ,若该圆的,若该圆的坐标角度°££°9060m .直接写出满足条件的r 的取值范围.的取值范围. O xy D C B A –1–2–312312345。

2020九年级数学中考复习 新定义专题训练 含答案解析

2020九年级数学中考复习 新定义专题训练 含答案解析

2020九年级数学中考复习新定义专题训练一.选择题(共2小题)1.已知点A在函数y1=﹣(x>0)的图象上,点B在直线y2=kx+1+k(k为常数,且k ≥0)上.若A,B两点关于原点对称,则称点A,B为函数y1,y2图象上的一对“友好点”.请问这两个函数图象上的“友好点”对数的情况为()A.有1对或2对B.只有1对C.只有2对D.有2对或3对2.对于一个函数,自变量x取a时,函数值y也等于a,我们称a为这个函数的不动点.如果二次函数y=x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2,且x1<1<x2,则c的取值范围是()A.c<﹣3B.c<﹣2C.c<D.c<1二.填空题(共5小题)3.定义一种新运算:新定义运算a*b=a×(a﹣b)3,则3*4的结果是.4.已知点P(x0,y0)到直线y=kx+b的距离可表示为d=,例如:点(0,1)到直线y=2x+6的距离d==.据此进一步可得两条平行线y=x和y=x﹣4之间的距离为.5.新定义:[a,b]为一次函数y=ax+b(a≠0,a,b为实数)的“关联数”.若“关联数”[1,m﹣2]的一次函数是正比例函数,则关于x的方程的解为.6.对于实数p,q,我们用符号min{p,q}表示p,q两数中较小的数,如min{1,2}=1,min{﹣2,﹣3}=﹣3,若min{(x+1)2,x2}=1,则x=.7.已知有理数a≠1,我们把为a的差倒数,如:2的差倒数是=﹣1,﹣1的差倒数是=如果a1=﹣2,a2是a1的差倒数,a3是a2的差倒数,a4是a3的差倒数……依此类推,那么a1+a2+…+a100的值是三.解答题(共8小题)8.对任意一个四位数n,如果千位与十位上的数字之和为9,百位与个位上的数字之和也为9,则称n为“极数”.(1)请任意写出三个“极数”;并猜想任意一个“极数”是否是99的倍数,请说明理由;(2)如果一个正整数a是另一个正整数b的平方,则称正整数a是完全平方数.若四位数m为“极数”,记D(m)=,求满足D(m)是完全平方数的所有m.9.若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的顶点在一次函数y=kx+t(k≠0)的图象上,则称y=ax2+bx+c(a≠0)为y=kx+t(k≠0)的伴随函数,如:y=x2+1是y=x+1的伴随函数.(1)若y=x2﹣4是y=﹣x+p的伴随函数,求直线y=﹣x+p与两坐标轴围成的三角形的面积;(2)若函数y=mx﹣3(m≠0)的伴随函数y=x2+2x+n与x轴两个交点间的距离为4,求m,n的值.10.我们定义:有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”(1)概念理解:请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子;(2)问题探究:如图1,在等邻角四边形ABCD中,∠DAB=∠ABC,AD,BC的中垂线恰好交于AB边上一点P,连结AC,BD,试探究AC与BD的数量关系,并说明理由;(3)应用拓展:如图2,在Rt△ABC与Rt△ABD中,∠C=∠D=90°,BC=BD=3,AB=5,将Rt△ABD绕着点A顺时针旋转角α(0°<∠α<∠BAC)得到Rt△AB′D′(如图3),当凸四边形AD′BC为等邻角四边形时,求出它的面积.11.阅读下面的材料:如果函数y=f(x)满足:对于自变量x的取值范围内的任意x1,x2,(1)若x1<x2,都有f(x1)<f(x2),则称f(x)是增函数;(2)若x1<x2,都有f(x1)>f(x2),则称f(x)是减函数.例题:证明函数f(x)=(x>0)是减函数.证明:设0<x1<x2,f(x1)﹣f(x2)=﹣==.∵0<x1<x2,∴x2﹣x1>0,x1x2>0.∴>0.即f(x1)﹣f(x2)>0.∴f(x1)>f(x2).∴函数f(x)=(x>0)是减函数.根据以上材料,解答下面的问题:已知函数f(x)=+2x(x<0),f(﹣1)=+(﹣2)=﹣1,f(﹣2)=+(﹣4)=﹣(1)计算:f(﹣3)=,f(﹣4)=;(2)猜想:函数f(x)=+2x(x<0)是函数(填“增”或“减”);(3)请仿照例题证明你的猜想.12.对于平面直角坐标系xOy中的图形M,N,给出如下定义:P为图形M上任意一点,Q 为图形N上任意一点,如果P,Q两点间的距离有最小值,那么称这个最小值为图形M,N间的“距离“,记作d(M,N).特别的,当图形M,N有公共点时,记作d(M,N)=0.一次函数y=kx+2的图象为L,L与y轴交点为D,△ABC中,A(0,1),B(﹣1,0),C(1,0).(1)求d(点D,△ABC)=;当k=1时,求d(L,△ABC)=;(2)若d(L,△ABC)=0.直接写出k的取值范围;(3)函数y=x+b的图象记为W,若d(W,△ABC)≤1,求出b的取值范围.13.在平面直角坐标系中,将一个点(横坐标与纵坐标不相等,且均不为0)的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫做这个点的“互换点”,如(﹣3,5)与(5,﹣3)是一对“互换点”.(1)任意一对“互换点”(填“都能”或“都不能”)在一个反比例函数的图象上;(2)M、N是一对“互换点”,若点M的坐标为(2,﹣5),求直线MN的表达式;(3)在抛物线y=x2+bx+c的图象上有一对“互换点”A、B,其中点A在反比例函数y =﹣的图象上,直线AB经过点P(,),求此抛物线的表达式.14.在平面直角坐标系xOy中,点A(0,6),点B在x轴的正半轴上.若点P,Q在线段AB上,且PQ为某个一边与x轴平行的矩形的对角线,则称这个矩形为点P,Q的“X 矩形”.下图为点P,Q的“X矩形”的示意图.(1)若点B(4,0),点C的横坐标为2,则点B,C的“X矩形”的面积为.(2)点M,N的“X矩形”是正方形,①当此正方形面积为4,且点M到y轴的距离为3时,写出点B的坐标,点N的坐标及经过点N的反比例函数的表达式;②当此正方形的对角线长度为3,且半径为r的⊙O与它没有交点,直接写出r的取值范围.15.定义:有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形,这两个角的夹边称为邻余线.(1)如图1,在△ABC中,AB=AC,AD是△ABC的角平分线,E,F分别是BD,AD 上的点.求证:四边形ABEF是邻余四边形.(2)如图2,在5×4的方格纸中,A,B在格点上,请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF,使AB是邻余线,E,F在格点上.(3)如图3,在(1)的条件下,取EF中点M,连结DM并延长交AB于点Q,延长EF 交AC于点N.若N为AC的中点,DE=2BE,QB=3,求邻余线AB的长.2020年04月22专题新定义参考答案与试题解析一.选择题(共2小题)1.已知点A在函数y1=﹣(x>0)的图象上,点B在直线y2=kx+1+k(k为常数,且k ≥0)上.若A,B两点关于原点对称,则称点A,B为函数y1,y2图象上的一对“友好点”.请问这两个函数图象上的“友好点”对数的情况为()A.有1对或2对B.只有1对C.只有2对D.有2对或3对【分析】根据“友好点”的定义知,函数y1图象上点A(a,﹣)关于原点的对称点B (﹣a,)一定位于直线y2上,即方程ka2﹣(k+1)a+1=0 有解,整理方程得(a﹣1)(ka﹣1)=0,据此可得答案.【解答】解:设A(a,﹣),由题意知,点A关于原点的对称点B(﹣a,)在直线y2=kx+1+k上,则=﹣ak+1+k,整理,得:ka2﹣(k+1)a+1=0 ①,即(a﹣1)(ka﹣1)=0,∴a﹣1=0或ka﹣1=0,则a=1或ka﹣1=0,若k=0,则a=1,此时方程①只有1个实数根,即两个函数图象上的“友好点”只有1对;若k≠0,则a=1或a=,此时方程①有2个实数根,即两个函数图象上的“友好点”有2对,综上,这两个函数图象上的“友好点”对数情况为1对或2对,故选:A.【点评】本题主要考查直线和双曲线上点的坐标特征及关于原点对称的点的坐标,将“友好点”的定义,根据关于原点对称的点的坐标特征转化为方程的问题求解是解题的关键.2.对于一个函数,自变量x取a时,函数值y也等于a,我们称a为这个函数的不动点.如果二次函数y=x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2,且x1<1<x2,则c的取值范围是()A.c<﹣3B.c<﹣2C.c<D.c<1【分析】由函数的不动点概念得出x1、x2是方程x2+2x+c=x的两个实数根,由x1<1<x2知△>0且x=1时y<0,据此得,解之可得.【解答】解:由题意知二次函数y=x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2是方程x2+2x+c =x的两个不相等实数根,且x1<1<x2,整理,得:x2+x+c=0,由x2+x+c=0有两个不相等的实数根,且x1<1<x2,知△>0,令y=x2+x+c,画出该二次函数的草图如下:则,解得c<﹣2,故选:B.【点评】本题主要考查二次函数图象与系数的关系,解题的关键是理解并掌握不动点的概念,并据此得出关于c的不等式.二.填空题(共5小题)3.定义一种新运算:新定义运算a*b=a×(a﹣b)3,则3*4的结果是﹣3.【分析】根据a*b=a×(a﹣b)3,可以求得所求式子的值.【解答】解:∵a*b=a×(a﹣b)3,∴3*4=3×(3﹣4)3=3×(﹣1)3=3×(﹣1)=﹣3,故答案为:﹣3.【点评】本题考查有理数的混合运算,解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法.4.已知点P(x0,y0)到直线y=kx+b的距离可表示为d=,例如:点(0,1)到直线y=2x+6的距离d==.据此进一步可得两条平行线y=x和y=x﹣4之间的距离为2.【分析】利用两平行线间的距离定义,在直线y=x上任意取一点,然后计算这个点到直线y=x﹣4的距离即可.【解答】解:当x=0时,y=x=0,即点(0,0)在直线y=x上,因为点(0,0)到直线y=x﹣4的距离为:d===2,因为直线y=x和y=x﹣4平行,所以这两条平行线之间的距离为2.故答案为2.【点评】此题考查了两条直线相交或平行问题,弄清题中求点到直线的距离方法是解本题的关键.考查了学生的阅读理解能力以及知识的迁移能力.5.新定义:[a,b]为一次函数y=ax+b(a≠0,a,b为实数)的“关联数”.若“关联数”[1,m﹣2]的一次函数是正比例函数,则关于x的方程的解为x=3.【分析】首先根据题意可得y=x+m﹣2,再根据正比例函数的解析式为:y=kx(k≠0)可得m的值,把m的值代入关于x的方程,再解分式方程即可.【解答】解:根据题意可得:y=x+m﹣2,∵“关联数”[1,m﹣2]的一次函数是正比例函数,∴m﹣2=0,解得:m=2,则关于x的方程变为+=1,解得:x=3,检验:把x=3代入最简公分母2(x﹣1)=4≠0,故x=3是原分式方程的解,故答案为:x=3.【点评】此题主要考查了解分式方程,以及正比例函数,关键是求出m的值,解分式方程的基本思想是“转化思想”,把分式方程转化为整式方程求解;解分式方程一定注意要验根.6.对于实数p,q,我们用符号min{p,q}表示p,q两数中较小的数,如min{1,2}=1,min{﹣2,﹣3}=﹣3,若min{(x+1)2,x2}=1,则x=1或﹣2.【分析】利用题中的新定义化简已知等式,求出解即可得到x的值.【解答】解:当(x+1)2<x2,即x<﹣时,方程为(x+1)2=1,开方得:x+1=1或x+1=﹣1,解得:x=0(舍去)或x=﹣2;当(x+1)2>x2,即x>﹣时,方程为x2=1,开方得:x=1或x=﹣1(舍去),综上,x=1或﹣2,故答案为:1或﹣2【点评】此题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法,熟练掌握运算法则是解本题的关键.7.已知有理数a≠1,我们把为a的差倒数,如:2的差倒数是=﹣1,﹣1的差倒数是=如果a1=﹣2,a2是a1的差倒数,a3是a2的差倒数,a4是a3的差倒数……依此类推,那么a1+a2+…+a100的值是﹣7.5【分析】求出数列的前4个数,从而得出这个数列以﹣2,,,依次循环,且﹣2+=﹣,再求出这100个数中有多少个周期,从而得出答案.【解答】解:∵a1=﹣2,∴a2==,a3==,a4==﹣2,∴这个数列以﹣2,,,依次循环,且﹣2+=﹣,∵100÷3=33…1,∴a1+a2+…+a100=33×(﹣))﹣2=﹣=﹣7.5,故答案为﹣7.5.【点评】本题考查了规律型:数字的变化类:通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素,然后推广到一般情况.三.解答题(共8小题)8.对任意一个四位数n,如果千位与十位上的数字之和为9,百位与个位上的数字之和也为9,则称n为“极数”.(1)请任意写出三个“极数”;并猜想任意一个“极数”是否是99的倍数,请说明理由;(2)如果一个正整数a是另一个正整数b的平方,则称正整数a是完全平方数.若四位数m为“极数”,记D(m)=,求满足D(m)是完全平方数的所有m.【分析】(1)先直接利用“极数”的意义写出三个,设出四位数n的个位数字和十位数字,进而表示出n,即可得出结论;(2)先确定出四位数m,进而得出D(m),再再根据完全平方数的意义即可得出结论.【解答】解:(1)根据“极数”的意义得,1287,2376,8712,任意一个“极数”都是99的倍数,理由:设对于任意一个四位数且是“极数”n的个位数字为x,十位数字为y,(x是0到9的整数,y是0到8的整数)∴百位数字为(9﹣x),千位数字为(9﹣y),∴四位数n为:1000(9﹣y)+100(9﹣x)+10y+x=9900﹣990y﹣99x=99(100﹣10y﹣x),∵x是0到9的整数,y是0到8的整数,∴100﹣10y﹣x是整数,∴99(100﹣10y﹣x)是99的倍数,即:任意一个“极数”都是99的倍数;(2)设四位数m为“极数”的个位数字为x,十位数字为y,(x是0到9的整数,y是0到8的整数)∴m=99(100﹣10y﹣x),∵m是四位数,∴m=99(100﹣10y﹣x)是四位数,即1000≤99(100﹣10y﹣x)<10000,∵D(m)==3(100﹣10y﹣x),∴30≤3(100﹣10y﹣x)≤303∵D(m)完全平方数,∴3(100﹣10y﹣x)既是3的倍数也是完全平方数,∴3(100﹣10y﹣x)只有36,81,144,225这四种可能,∴D(m)是完全平方数的所有m值为1188或2673或4752或7425.【点评】此题主要考查了完全平方数,新定义的理解和掌握,整除问题,掌握新定义和熟记300以内的完全平方数是解本题的关键.9.若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的顶点在一次函数y=kx+t(k≠0)的图象上,则称y=ax2+bx+c(a≠0)为y=kx+t(k≠0)的伴随函数,如:y=x2+1是y=x+1的伴随函数.(1)若y=x2﹣4是y=﹣x+p的伴随函数,求直线y=﹣x+p与两坐标轴围成的三角形的面积;(2)若函数y=mx﹣3(m≠0)的伴随函数y=x2+2x+n与x轴两个交点间的距离为4,求m,n的值.【分析】(1)先求出二次函数的顶点坐标,再把求得的顶点坐标代入一次函数解析式求得P,进而求得一次函数与坐标轴的交点坐标,再根据三角形面积公式进行计算得结果;(2)根据函数y=x2+2x+n与x轴两个交点间的距离为4,列出n的方程求得n,再求出二次函数的顶点坐标,再将其顶点坐标代入一次函数解析式中求得m.【解答】解:∵y=x2﹣4,∴其顶点坐标为(0,﹣4),∵y=x2﹣4是y=﹣x+p的伴随函数,∴(0,﹣4)在一次函数y=﹣x+p的图象上,∴﹣4=0+p.∴p=﹣4,∴一次函数为:y=﹣x﹣4,∴一次函数与坐标轴的交点分别为(0,﹣4),(﹣4,0),∴直线y=﹣x+p与两坐标轴围成的三角形的两直角边都为|﹣4|=4,∴直线y=﹣x+p与两坐标轴围成的三角形的面积为:.(2)设函数y=x2+2x+n与x轴两个交点的横坐标分别为x1,x2,则x1+x2=﹣2,x1x2=n,∴,∵函数y=x2+2x+n与x轴两个交点间的距离为4,∴,解得,n=﹣3,∴函数y=x2+2x+n为:y=x2+2x﹣3=(x+1)2﹣4,∴其顶点坐标为(﹣1,﹣4),∵y=x2+2x+n是y=mx﹣3(m≠0)的伴随函数,∴﹣4=﹣m﹣3,∴m=1.【点评】本题是一个新定义阅读题,主要考查了新定义,二次函数的性质,一次函数的性质,求一次函数与坐标轴的交点,求二次函数与x轴的交点,三角形的面积,根与系数的关系,关键是根据新定义,求出二次函数的顶点坐标,代入一次函数中便可得结果.10.我们定义:有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”(1)概念理解:请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子;(2)问题探究:如图1,在等邻角四边形ABCD中,∠DAB=∠ABC,AD,BC的中垂线恰好交于AB边上一点P,连结AC,BD,试探究AC与BD的数量关系,并说明理由;(3)应用拓展:如图2,在Rt△ABC与Rt△ABD中,∠C=∠D=90°,BC=BD=3,AB=5,将Rt△ABD绕着点A顺时针旋转角α(0°<∠α<∠BAC)得到Rt△AB′D′(如图3),当凸四边形AD′BC为等邻角四边形时,求出它的面积.【分析】(1)矩形或正方形邻角相等,满足“等邻角四边形”条件;(2)AC=BD,理由为:连接PD,PC,如图1所示,根据PE、PF分别为AD、BC的垂直平分线,得到两对角相等,利用等角对等角得到两对角相等,进而确定出∠APC=∠DPB,利用SAS得到三角形ACB与三角形DPB全等,利用全等三角形对应边相等即可得证;(3)分两种情况考虑:(i)当∠AD′B=∠D′BC时,延长AD′,CB交于点E,如图3(i)所示,由S四边形ACBD′=S△ACE﹣S△BED′,求出四边形ACBD′面积;(ii)当∠D′BC=∠ACB=90°时,过点D′作D′E⊥AC于点E,如图3(ii)所示,由S四边形ACBD′=S△AED′+S矩形ECBD′,求出四边形ACBD′面积即可.【解答】解:(1)矩形或正方形;(2)AC=BD,理由为:连接PD,PC,如图1所示:∵PE是AD的垂直平分线,PF是BC的垂直平分线,∴P A=PD,PC=PB,∴∠P AD=∠PDA,∠PBC=∠PCB,∴∠DPB=2∠P AD,∠APC=2∠PBC,即∠P AD=∠PBC,∴∠APC=∠DPB,∴△APC≌△DPB(SAS),∴AC=BD;(3)分两种情况考虑:(i)当∠AD′B=∠D′BC时,延长AD′,CB交于点E,如图3(i)所示,∴∠ED′B=∠EBD′,∴EB=ED′,设EB=ED′=x,由勾股定理得:42+(3+x)2=(4+x)2,解得:x=4.5,过点D′作D′F⊥CE于F,∴D′F∥AC,∴△ED′F∽△EAC,∴=,即=,解得:D′F=,∴S△ACE=AC×EC=×4×(3+4.5)=15;S△BED′=BE×D′F=×4.5×=,则S四边形ACBD′=S△ACE﹣S△BED′=15﹣=10;(ii)当∠D′BC=∠ACB=90°时,过点D′作D′E⊥AC于点E,如图3(ii)所示,∴四边形ECBD′是矩形,∴ED′=BC=3,在Rt△AED′中,根据勾股定理得:AE==,∴S△AED′=AE×ED′=××3=,S矩形ECBD′=CE×CB=(4﹣)×3=12﹣3,则S四边形ACBD′=S△AED′+S矩形ECBD′=+12﹣3=12﹣.【点评】此题属于几何变换综合题,涉及的知识有:全等三角形的判定与性质,相似三角形的判定与性质,垂直平分线定理,等腰三角形性质,以及矩形的判定与性质,熟练掌握判定与性质是解本题的关键.11.阅读下面的材料:如果函数y=f(x)满足:对于自变量x的取值范围内的任意x1,x2,(1)若x1<x2,都有f(x1)<f(x2),则称f(x)是增函数;(2)若x1<x2,都有f(x1)>f(x2),则称f(x)是减函数.例题:证明函数f(x)=(x>0)是减函数.证明:设0<x1<x2,f(x1)﹣f(x2)=﹣==.∵0<x1<x2,∴x2﹣x1>0,x1x2>0.∴>0.即f(x1)﹣f(x2)>0.∴f(x1)>f(x2).∴函数f(x)=(x>0)是减函数.根据以上材料,解答下面的问题:已知函数f(x)=+2x(x<0),f(﹣1)=+(﹣2)=﹣1,f(﹣2)=+(﹣4)=﹣(1)计算:f(﹣3)=﹣,f(﹣4)=﹣;(2)猜想:函数f(x)=+2x(x<0)是增函数(填“增”或“减”);(3)请仿照例题证明你的猜想.【分析】(1)根据题目中函数解析式可以解答本题;(2)由(1)结论可得;(3)根据题目中例子的证明方法可以证明(1)中的猜想成立.【解答】解:(1)∵f(x)=+2x(x<0),∴f(﹣3)=+2×(﹣3)=﹣,f(﹣4)=+2×(﹣4)=﹣故答案为:﹣,﹣;(2)∵﹣4<﹣3,f(﹣4)<f(﹣3)∴函数f(x)=+2x(x<0)是增函数,故答案为:增;(3)设x1<x2<0,∵f(x1)﹣f(x2)=+2x1﹣﹣2x2=(x1﹣x2)(2﹣)∵x1<x2<0,∴x1﹣x2<0,x1+x2<0,∴f(x1)﹣f(x2)<0∴f(x1)<f(x2)∴函数f(x)=+2x(x<0)是增函数.【点评】本题考查函数的概念,解答本题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利用函数的性质解答.12.对于平面直角坐标系xOy中的图形M,N,给出如下定义:P为图形M上任意一点,Q 为图形N上任意一点,如果P,Q两点间的距离有最小值,那么称这个最小值为图形M,N间的“距离“,记作d(M,N).特别的,当图形M,N有公共点时,记作d(M,N)=0.一次函数y=kx+2的图象为L,L与y轴交点为D,△ABC中,A(0,1),B(﹣1,0),C(1,0).(1)求d(点D,△ABC)=1;当k=1时,求d(L,△ABC)=;(2)若d(L,△ABC)=0.直接写出k的取值范围;(3)函数y=x+b的图象记为W,若d(W,△ABC)≤1,求出b的取值范围.【分析】(1)根据新定义,转化为实际是求点D到点A的距离,当k=1时,求d(L,△ABC)实际是求两条平行线之间的距离,通过作垂线,转化为直角三角形用勾股定理求得;(2)若d(L,△ABC)=0就是求直线L与三角形ABC由公共点,可以先考虑仅有一个公共点时k的值,然后根据一次函数的性质,求得k的取值范围;(3)函数y=x+b的图象记为W,若d(W,△ABC)≤1就是求W到三角形ABC的距离小于或等于1,可以先求距离为1时的b的值,然后根据一次函数的性质,求得b的取值范围.【解答】解:(1)一次函数y=kx+2的图象与y轴交点D(0,2),d(点D,△ABC)表示点D到△ABC的最小距离,就是点D到点A的距离,即:AD=2﹣1=1,∴d(点D,△ABC)=1当k=1时,直线y=x+2,此时直线L与AB所在的直线平行,且△ABC和△DOE均是等腰直角三角形,d(L,△ABC)表示直线L到△ABC的最小距离,就是图中的AF,在等腰直角三角形ADF中,AD=1,AF=1×=d(L,△ABC)=故答案为:1,;(2)若d(L,△ABC)=0.说明直线L:y=kx+2与△ABC有公共点,因此有两种情况,即:k>0或k<0,仅有一个公共点时如图所示,即直线L 过B点,或过C点,此时可求出k=2或k=﹣2,根据直线L与△ABC有公共点,∴k≥2或k≤﹣2,答:若d(L,△ABC)=0时.k的取值范围为:k≥2或k≤﹣2.(3)函数y=x+b的图象W与x轴、y轴交点所围成的三角形是等腰直角三角形,并且函数y=x+b的图象与AB平行,当d(W,△ABC)=1时,如图所示:在△AGM中,AG=GM=1,则AM=,OM=1+,M(0,1+);即:b=1+;同理:OQ=OP=1+,Q(0,﹣1﹣),即:b=﹣1﹣,若d(W,△ABC)≤1,即b的值在M、N之间∴﹣1﹣≤b≤1+答:若d(W,△ABC)≤1,b的取值范围为﹣1﹣≤b≤1+.【点评】理解新定义的意义,将新定义的问题转化为数学问题是解决问题的关键,用特殊情况下计算结果,依据函数的性质进而推算出结果,是常用的方法,同时注意分类讨论的数学思想方法.13.在平面直角坐标系中,将一个点(横坐标与纵坐标不相等,且均不为0)的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫做这个点的“互换点”,如(﹣3,5)与(5,﹣3)是一对“互换点”.(1)任意一对“互换点”都能(填“都能”或“都不能”)在一个反比例函数的图象上;(2)M、N是一对“互换点”,若点M的坐标为(2,﹣5),求直线MN的表达式;(3)在抛物线y=x2+bx+c的图象上有一对“互换点”A、B,其中点A在反比例函数y =﹣的图象上,直线AB经过点P(,),求此抛物线的表达式.【分析】(1)根据乘法满足交换律即可求解;(2)根据“互换点”的意义求出点N的坐标,再利用待定系数法求出直线MN的表达式;(3)根据反比例函数图象上点的坐标特征可设A(k,﹣),由“互换点”的意义可得B(﹣,k),利用待定系数法求出直线AB的解析式,再将A、B的坐标代入y=x2+bx+c,即可求出此抛物线的表达式.【解答】解:(1)任意一对“互换点”都能在一个反比例函数的图象上.理由如下:设A(a,b)在反比例函数y=的图象上,则k=ab.根据“互换点”的意义,可知A(a,b)的“互换点”是(b,a).∵ba=ab=k,∴(b,a)也在反比例函数y=的图象上.故答案为:都能;(2)∵M、N是一对“互换点”,点M的坐标为(2,﹣5),∴N(﹣5,2).设直线MN的表达式为:y=kx+b,∴,解得:,∴直线MN的表达式为y=﹣x﹣3;(3)∵点A在反比例函数y=﹣的图象上,∴设A(k,﹣),∵A,B是一对“互换点”,∴B(﹣,k),设直线AB的解析式为y=mx+n,∵直线AB经过点P(,),∴,解得,∴A(2,﹣1),B(﹣1,2),或A(﹣1,2),B(2,﹣1).将A、B两点的坐标代入y=x2+bx+c,得,解得,∴此抛物线的表达式为y=x2﹣2x﹣1.【点评】本题考查了反比例函数、一次函数、二次函数图象上点的坐标特征,待定系数法求一次函数、二次函数的解析式,方程组的解法,理解“互换点”的意义是解题的关键.14.在平面直角坐标系xOy中,点A(0,6),点B在x轴的正半轴上.若点P,Q在线段AB上,且PQ为某个一边与x轴平行的矩形的对角线,则称这个矩形为点P,Q的“X 矩形”.下图为点P,Q的“X矩形”的示意图.(1)若点B(4,0),点C的横坐标为2,则点B,C的“X矩形”的面积为6.(2)点M,N的“X矩形”是正方形,①当此正方形面积为4,且点M到y轴的距离为3时,写出点B的坐标,点N的坐标及经过点N的反比例函数的表达式;②当此正方形的对角线长度为3,且半径为r的⊙O与它没有交点,直接写出r的取值范围0<r<3﹣或r>.【分析】(1)根据点A、B的坐标,利用待定系数法可求出直线AB的函数表达式,代入x=2即可求出点C的坐标,再利用矩形的面积公式即可求出点B,C的“X矩形”的面积;(2)①根据正方形的性质可得出∠ABO=45°,结合点A的坐标可得出点B的坐标及直线AB的函数表达式,由点M到y轴的距离为3可得出点M的坐标,再由正方形的面积结合点M的坐标即可得出点N的坐标,进而可得出经过点N的反比例函数的表达式;②找出⊙O与点M,N的“X矩形”相交的最小、最大值,由此即可得出结论.【解答】解:(1)设直线AB的函数表达式为y=kx+b(k≠0),将A(0,6)、B(4,0)代入y=kx+b,得:,解得:,∴直线AB的函数表达式为y=﹣x+6.当x=2时,y=﹣x+6=3,∴点C的坐标为(2,3),∴点B,C的“X矩形”的面积=(4﹣2)×(3﹣0)=6.故答案为:6.(2)①∵点M,N的“X矩形”是正方形,∴∠ABO=45°,∴点B的坐标为(6,0),直线AB的函数表达式为y=﹣x+6.∵点M到y轴的距离为3,∴点M的坐标为(3,3).∵点M,N的“X矩形”的面积为4,∴点N的横坐标为3﹣2=1或3+2=5,∴点N的坐标为(1,5)或(5,1).∴经过点N的反比例函数的表达式为y=.②如图1,取AB的中点E,当点E为MN的中点时,⊙O与点M,N的“X矩形”相交有最小值,此时r=OE﹣MN=3﹣,∴0<r<3﹣;如图2,当点N与点B重合(或点M与点A重合)时,⊙O与点M,N的“X矩形”相交有最大值,∵MN=3,∴BF=MN=.在Rt△OBF中,OB=6,BF=,∴OF==,∴r>.故答案为:0<r<3﹣或r>.【点评】本题考查了待定系数法求一次(反比例)函数解析式、矩形的面积、正方形的性质以及勾股定理,解题的关键是:(1)根据点的坐标,利用待定系数法求出直线AB 的函数表达式;(2)①根据正方形的性质找出直线AB的函数表达式;②画出图形,利用数形结合解决问题.15.定义:有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形,这两个角的夹边称为邻余线.(1)如图1,在△ABC中,AB=AC,AD是△ABC的角平分线,E,F分别是BD,AD 上的点.求证:四边形ABEF是邻余四边形.(2)如图2,在5×4的方格纸中,A,B在格点上,请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF,使AB是邻余线,E,F在格点上.(3)如图3,在(1)的条件下,取EF中点M,连结DM并延长交AB于点Q,延长EF 交AC于点N.若N为AC的中点,DE=2BE,QB=3,求邻余线AB的长.【分析】(1)AB=AC,AD是△ABC的角平分线,又AD⊥BC,则∠ADB=90°,则∠F AB与∠EBA互余,即可求解;(2)如图所示(答案不唯一),四边形AFEB为所求;(3)证明△DBQ∽△ECN,即可求解.【解答】解:(1)∵AB=AC,AD是△ABC的角平分线,∴AD⊥BC,∴∠ADB=90°,∴∠DAB+∠DBA=90°,∠F AB与∠EBA互余,∴四边形ABEF是邻余四边形;(2)如图所示(答案不唯一),四边形AFEB为所求;(3)∵AB=AC,AD是△ABC的角平分线,∴BD=CD,∵DE=2BE,∴BD=CD=3BE,∴CE=CD+DE=5BE,∵∠EDF=90°,点M是EF的中点,∴DM=ME,∴∠MDE=∠MED,∵AB=AC,∴∠B=∠C,∴△DBQ∽△ECN,∴,∵QB=3,∴NC=5,∵AN=CN,∴AC=2CN=10,∴AB=AC=10.【点评】本题为四边形综合题,涉及到直角三角形中线定理、三角形相似等知识点,这种新定义类题目,通常按照题设顺序逐次求解,较为容易.。

2020年中考数学专题汇编 新定义型、阅读理解型问题(含解析)

2020年中考数学专题汇编 新定义型、阅读理解型问题(含解析)

新定义型、阅读理解型问题一、选择题1.(2020·遵义)构建几何图形解决代数问题是“数形结合“思想的重要性,在计算tan15°时,如图,在Rt △ACB 中,∠C =90°,∠ABC =30°,延长CB 使BD =AB ,连接AD ,得∠D =15°,所以tan15°=ACCD12tan22.5°的值为( ) A .+1 B .- 1 C .D .12{答案}B{解析}本题考查阅读理解能力,要求能用类比的方法解决问题.如图,在Rt △ACB 中,∠C =90°,∠ABC =45°,延长CB 使BD =AB ,连接AD ,得∠D =22.5°,所以tan 22.5°=ACCD-1.故选B .2.(2020·河南)定义运算:m ☆n =21mn mn .例如: 4☆2=4×22-4×2-1=7.则1☆x =0方程的根的情况为( )A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.无实数根D.只有一个实数根 {答案}A{解析}由定义新运算可得210x x ,∴△=411-14-1-2+=⨯⨯)()(=5>0,所以方程有两个不相等的实数根,因此本题选A .3.(2020·枣庄)对于实数a 、b ,定义一种新运算“⊗”为:21a b a b ⊗=-,这里等式右边是实数运算.例如:21113138⊗==--.则方程()2214⊗-=--x x 的解是( ) A .x =4 B .x =5 C .x =6 D .x =7{答案}B{解析}根据新定义运算,把方程转化为分式方程.因为211(2)(2)4x x x ⊗-==---,所以原方程可转化为12144x x =---,解得x =5.经检验,x =5是原方程的解. 4.(2020·淮安)如果一个数等于两个连续奇数的平方差,那么我们称这个数为"幸福数".下列数中为"幸福数"的是( )A.205B.250C.502D.520{答案} D{解析}设较小的奇数为x ,较大的为x +2,根据题意列出方程,求出解判断即可.D设较小的奇数为x ,较大的为x +2,根据题意得:(x +2)2﹣x 2=(x +2﹣x )(x +2+x )=4x +4, 若4x +4=205,即x =2014,不为整数,不符合题意; 若4x +4=250,即x =2464,不为整数,不符合题意; 若4x +4=502,即x =4984,不为整数,不符合题意; 若4x +4=520,即x =129,符合题意. 故选:D .5.(2020·随州)将关于x 的一元二次方程0=q +px -x 2变形为q -px x 2=,就可以将2x 表示为关于x 的一次多项式,从而达到“降次”的目的,又如=-=⋅=)(23q px x x x x …,我们将这种方法称为“降次法”,通过这种方法可以化简次数较高的代数式.根据“降次法”,已知:0=1-x -x 2,且x >0,则3x +2x -x 34的值为( )A.51-B.53-C.51+D.53+ {答案}C{解析}本题考查了降次法、整体代入法、整式的化简求值,一元二次方程的解法.解答过程如下: ∵0=1-x -x 2,∴1x x 2+=,∴3x +2x -x 34=3x +1)2x (x -)1(x 2++=3x +2x -2x -12x x 22++=3x +x -12=3x +1)(x -1+ =3x +1-x -1=2x ,∵0=1-x -x 2,且x >0,∴x=251+,∴原式=2×251+=51+.因此本题选C . 6.(2020·潍坊)若定义一种新运算:(2)6(2)a b a b a b ab ab 例如:31312⊗=-=;545463⊗=+-=.则函数(2)(1)y x x =+⊗-的图象大致是( )A. B. C. D.{答案}A{解析}本题考查了一次函数的图象,在新定义下,求出函数关系式是解题的关键.根据(2)6(2)a b a b a bab ab ,可得当22(1)x x 时,4x ≤,分两种情况当4x ≤时和当4x >时, (2)(1)(2)(1)213x x x x x x ,即:3y =; 当4x >时,(2)(1)(2)(1)621625x x xx xx x ,即:25y x =-,∴20k =>,∴当4x >时,25y x =-,函数图像y 随x 的增大而增大,A 选项符合题意,故选:A .7.(2020·恩施)在实数范围内定义运算“☆”:1a b a b =+-☆,例如:232314=+-=☆.如果21x =☆,则x 的值是( ).A. 1-B. 1C. 0D. 2{答案}C{解析}根据题目中给出的新定义运算规则进行运算:2211☆=+-=+x x x ,又21x =☆,∴11x +=,∴0x =.故选:C .二、填空题8.(2020·衢州)定义(1)a b a b =+※,例如232(31)248=⨯+=⨯=※,则(1)x x -※的结果为 .{答案}21x -{解析}解析:根据题中的新定义得:(1)x x -※=(1)(1+1)x x -⋅-=21x -.9.(2020·枣庄)各顶点都在方格纸的格点(横竖格子线的交错点)上的多边形称为格点多边形,它的面积S 可用公式S =a +21b -1(a 是多边形内的格点数,b 是多边形边界上的格点数)计算,这个公式称为“皮克(Pick )定理”.如图给出了一个格点五边形,则该五边形的面积S =________.{答案}6{解析}直接利用所给的公式计算即可.由图可知,五边形内部格点有4个,故a =4;五边形边上格点有6个,故b =6.∴S =a +21b -1=4+21×6-1=6. 10.(2020·乐山)我们用符号[x ]表示不大于x 的最大整数.例如:[1.5]=1,[-1.5]=-2,那么:(1)当-1<[x ]≤2时,x 的取值范围是________;(2)当-1≤x <2时,函数y =x 2-2a [x ]+3的图象始终在函数y =[x ]+3的图象下方,则实数a 的范围是________.{答案}(1)0≤x ≤3;(2)a <-1或a ≥32.{解析}(1)根据符号[x ]表示不大于x 的最大整数,得到-1<[x ]≤2时[x ]=0,1,2;当[x ]=0时,0≤x <1;当[x ]=1时,1≤x <2;当[x ]=2时,2≤x <3;从而x 的取值范围是0≤x <3;(2)本题可根据题意构造新函数,采取自变量分类讨论的方式判别新函数的正负,继而根据函数性质反求参数.令y 1=x 2-2a [x ]+3,y 2=[x ]+3,y 3=y 2-y 1,由题意可知:y 3=-x 2+(2a +1)[x ]>0时,函数y =x 2-2a [x ]+3的图象始终在函数y =[x ]+3的图象下方. ①当-1≤x <0时,[x ]=-1,y 3=-x 2-(2a +1),此时y 3随x 的增大而增大,故当x =-1时,y 3有最小值-2a -2>0,得a <-1;②当0≤x <1时,[x ]=0,y 3=-x 2,此时y 3≤0;③1≤x <2时,[x ]=1,y 3=-x 2+(2a +1),此时y 3随x 的增大而减小,故当x =2时,y 3有最小值2a -3≥0,得a ≥32;综上所述,a <-1或a ≥32.11.(2020·青海)对于任意两个不相等的数a ,b ,定义一种新运算“⊕”如下: a ⊕b,如:3⊕212⊕4=______. {答案{解析}依题意可知12⊕4.12.(2020·宜宾)定义:分数nm (m ,n 为正整数且互为质数)的连分数123111a a a +++(其中a 1,a 2,a 3,…,为整数,且等式右边的每个分数的分子都为1),记作nm△11a +21a +31a +…, 例如:719=1197=1527+=11275+=112215++=1121152++=11211122+++,719的连分数为11211122+++,记作719△12+11+12+12,则 △11+12+13. {答案}710{解析}根据连分数的定义列式计算即可解答.11+12+13△111123++=11173+=1317+=1107=710.三、解答题13.(2020·宁波)(本题14分)定义:三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角.(1)如图1,∠E 是△ABC 中∠A 的遥望角,若∠A =a ,请用含a 的代数式表示∠E .(2)如图2,四边形ABCD 内接于⊙O ,AD =BD ,四边形ABCD 的外角平分线DF 交⊙O 于点F ,连结BF 并延长交CD 的延长线于点E .求证:∠BEC 是△ABC 中∠BAC 的遥望角. (3)如图3,在(2)的条件下,连结AE ,AF ,若AC 是⊙O 的直径. ①求∠AED 的度数;②若AB =8,CD =5,求△DEF 的面积.{解析}(1)根据外角的性质及角平分线的概念求解;(2)根据圆内按四边形的性质,同弧或等弧所对圆周角的性质分别证明BE 、CE 为△ABC 的内角及外角平分线即可; (3)①连结CF ,根据遥望角的性质及同弧所对圆周角的性质证明∠BEC =∠FAD ,再由△FDE ≌△FDA 证明AD =DE ,最后由等腰直角三角形的性质求得∠AED 的度数;②作AG⊥BE于点G,FM⊥CE于点M,根据相似三角形的判定证明△EGA∽△ADC,由相似三角形的性质及勾股定理求得△ACD边长,进而求得△DEF的面积.{答案}24.解:(1)∵BE平分∠ABC,CE平分∠ACD.∴∠E=∠ECD-∠EBD=12(∠ACD-∠ABC)=12∠A=12a(2)如图,延长BC到点T.∵四边形FBCD内接于⊙O,∴∠FDC+∠FBC=180°,又∵∠FDE+∠FDC=180°,∴∠FDE=∠FBC,∵DF平分∠ADE,∴∠ADF=∠FDE,∵∠ADF=∠ABF,∴∠ABF=∠FBC,∴BE是∠ABC的平分线,∵AD=BD,∴∠ACD=∠BFD,∵∠BFD+∠BCD=180°,∠DCT+∠BCD=180°,∴∠DCT=∠BFD,∴∠ACD=∠DCT,∴CE是△ABC的外角平分线,∴∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角.(3)①如图,连结CF.∵∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角,∴∠BAC=2∠BEC,∵∠BFC=∠BAC,∴∠BFC=2∠BEC,∵∠BFC=∠BEC+∠FCE,∴∠BEC=∠FCE,∵∠FCE=∠FAD,∴∠BEC=∠FAD,又∵∠FDE=∠FDA,FD=FD,∴△FDE≌△FDA(AAS),∴DE=AD,∵∠AED=∠DAE,∵AC是⊙O的直径∴∠ADC=90°,∴∠AED+∠DAE=90°,∴∠AED=∠DAE=45°.②如图,过点A作AG⊥BE于点G,过点F作FM⊥CE于点M.∵AC是⊙O的直径,∴∠ABC=90°,∵BE平分∠ABC,∴∠FAC=∠EBC=12∠ABC=45°,∵∠AED=45°,∴∠AED=∠FAC,∵∠FED=∠FAD,∴∠AED-∠FED=∠FAC-∠FAD,∴∠AEG=∠CAD,∴∠EGA=∠ADC=90°,∴△EGA∽△ADC,∴AE:AC=AG:CD∵在Rt△ABG中,AG=22AB=42,在Rt△ADE中,AE=2AD,∴AD:AC=45,在Rt△ADC中,AD2+DC2=AC2,∴设AD=4x,AC=5x,则有(4x)2+52=(5x)2,∴x=53,∴ED=AD=203,∴CE=CD+DE=353,∵∠BEC=∠FCE,∴FC=FE,∵FM⊥CE,∴EM=12CE=356,∴DM=DE-EM=56,∵∠FDM=45° ,∴FM=DM=56,∴S△DEF=12DE·FM=259.14.(2020·黔西南州)规定:在平面内,如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度α(0°<α≤180°)后能与自身重合,那么就称这个图形是旋转对称图形,转动的这个角度α称为这个图形的一个旋转角.例如:正方形绕着两条对角线的交点O旋转90°或180°后,能与自身重合(如图1),所以正方形是旋转对称图形,且有两个旋转角.根据以上规定,回答问题:(1)下列图形是旋转对称图形,但不是中心对称图形的是________;A.矩形 B.正五边形C.菱形 D.正六边形(2)下列图形中,是旋转对称图形,且有一个旋转角是60度的有:________(填序号);(3)下列三个命题:①中心对称图形是旋转对称图形;②等腰三角形是旋转对称图形;③圆是旋转对称图形,其中真命题的个数有()个;A.0 B.1 C.2 D.3(4)如图2的旋转对称图形由等腰直角三角形和圆构成,旋转角有45°,90°,135°,180°,将图形补充完整.{解析}本题考查了新定义“旋转对称图形”.(1)根据旋转对称图形的定义进行判断;(2)先分别求每一个图形中的旋转角,然后再进行判断;(3)根据旋转对称图形的定义进行判断;(4)利用旋转对称图形的定义进行设计.{答案}解:(1)B(2)(1)(3)(5)(3)C(4)如答图:15.(2020·重庆B卷)在数的学习过程中,我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇,如学习自然数时,我们发现一种特殊的自然数——“好数”.定义:对于三位自然数n,各位数字都不为0,且百位数字与十位数字之和恰好能被个位数字整除,则称这个自然数n为“好数”.例如:426是“好数”,因为4,2,6都不为0,且4+2=6,6能被6整除;643不是“好数”,因为6+4=10,10不能被3整除.(1)判断312,675是否是“好数”?并说明理由;(2)求出百位数字比十位数字大5的所有“好数”的个数,并说明理由.{解析}本题是一道新定义问题,正确理解“好数”是解题的关键.(1)根据“好数”的定义进行判断即可;(2)设n=100a+10b+c,根据“好数”的定义可知6≤a≤9,1≤b≤4,1≤c≤9.由题意,得a=b+5①,a+b=mc②,将①代入,得2b+5=mc.所以2b+5,m,c都为奇数,进而分类讨论求解即可.{答案}解:(1)312是“好数”,675不是“好数”.理由如下:312是“好数”,因为3,1,2都不为0,且3+1=4,4能被2整除;675不是“好数”,因为6+7=13,13不能被5整除.(2)设n =100a +10b +c (a ,b ,c 为整数且6≤a ≤9,1≤b ≤4,1≤c ≤9). 由题意,得a +b =mc (m 为正整数),a =b +5,∴2b +5=mc . 又∵2b +5为奇数,∴m ,c 同时为奇数.当b =1时,a =6,mc =7,则m =7,c =1或m =1,c =7,此时“好数”有2个:611,617;当b =2时,a =7,mc =9,则m =9,c =1或m =1,c =9或m =3,c =3,此时“好数”,3个:721,729,723; 当b =3时,a =8,mc =11,则m =11,c =1,此时“好数”有1个:831; 当b =4时,a =9,mc =13,则m =13,c =1,此时“好数”有1个:941; 所以共有“好数”2+3+1+1=7(个).综上所述,百位数字比十位数字大5的所有“好数”共有7个.16.(2020·北京)在平面直角坐标系xOy 中,⊙O 的半径为1,A ,B 为⊙O 外两点,AB =1.给出如下定义:平移线段AB ,得到⊙O 的弦A ´B ´(A´,B´分别为点A ,B 的对应点),线段AA ´长度的最小值称为线段AB 到⊙O 的“平移距离”.(1)如图,平移线段AB 到⊙O 的长度为1的弦12P P 和34PP ,则这两条弦的位置关系是 ;在点1234,,,P P P P 中,连接点A 与点 的线段的长度等于线段AB 到⊙O 的“平移距离”;(2)若点A ,B都在直线y +上,记线段AB 到⊙O 的“平移距离”为1d ,求1d 的最小值; (3)若点A 的坐标为32,2⎛⎫⎪⎝⎭,记线段AB 到⊙O 的“平移距离”为2d ,直接写出2d 的取值范围.{解析}(1)根据圆的性质及“平移距离”的定义填空即可;(2)过点O 作OE ⊥AB 于点E ,交弦CD 于点F ,分别求出OE 、OF 的长,由1d OE OF =-得到1d 的最小值;(3)线段AB 的位置变换,可以看作是以点A 32,2⎛⎫⎪⎝⎭为圆心,半径为1的圆,只需在⊙O 上都存在两条对应线段A ´B ´和A ´´B ´´ ,满足它们平行且相等,由平移距离可知,AA ´的长度的最小值即为平移距离,因此当且仅当AA ´=AA´´时,平移距离最大(否则谁小取谁){答案}解: (1)平行;P 3;(2)如图,线段AB在直线y =+上,平移之后与圆相交,得到的弦为CD ,CD ∥AB ,过点O 作OE ⊥AB 于点E ,交弦CD 于点F ,OF ⊥CD ,令0y =,直线与x 轴交点为(-2,0),直线与x 轴夹角为60°,∴2sin 60OE ︒==.由垂径定理得:OF ==,∴1d OE OF =-=;(3)线段AB 的位置变换,可以看作是以点A 32,2⎛⎫⎪⎝⎭为圆心,半径为1的圆,只需在⊙O 内找到与之平行,且长度为1的弦即可;点A 到O的距离为52AO ==. 如图,平移距离2d 的最小值即点A 到⊙O 的最小值:53122-=;如图,由平移距离可知,AA ´的长度的最小值即为平移距离,因此当且仅当AA ´=AA´´时,平移距离最大,如图所示:由题意可知:△AA ´O ≌△AA ´´O ,可得∠AOA ´´=120°,在Rt △A ´OC 中,A ´C,所以AA ´.∴232d ≤≤.17.(2020·常州)(10分)如图1,⊙I 与直线a 相离,过圆心I 作直线a 的垂线,垂足为H ,且交⊙I 于P 、Q 两点(Q 在P 、H 之间).我们把点P 称为⊙I 关于直线a 的“远点”,把PQ ·PH 的值称为⊙I 关于直线a 的“特征数”.(1)如图2,在平面直角坐标系xOy 中,点E 的坐标为(0,4),半径为1的⊙O 与两坐标轴交于点A 、B 、C 、D .①过点E 画垂直于y 轴的直线m ,则⊙O 关于直线m 的“远点”是点________(填“A ”“B ”“C ”或“D ”),⊙O 关于直线m 的“特征数”为________;②若直线n 的函数表达式为y =3x +4,求⊙O 关于直线n 的“特征数”;(2)在平面直角坐标系xOy ,直线l 经过点M (1,4),点F 是坐标平面内一点,以F 为圆心,2为半径作⊙F .若⊙F 与直线l 相离,点N (-1,0)是⊙F 关于直线l 的“远点”,且⊙F 关于直线l 的“特征数”是45,求直线l 的函数表达式.{答案}解:(1)根据定义得⊙O 关于直线m 的远点是D ;(2)如图1,圆O 关于直线m 的特征数为DB ×DE =[1-(-1)]·[4-(-1)]=2×5=10. ②如图2,过O 点作OA 1⊥直线n 于A 1,延长A 1O 交圆O 于点B 1,设4y =+ 与y 轴交于点C 1,∴OC 1=4∵k∴直线4y =+与x 轴的所夹锐角为60°. ∴∠A 1C 1O =90°-60°=30° 在Rt △A 1C 1O 中,A 1O =12C 1O =2 ∵OB 1=1,∴⊙O 关于直线n 的特征数=2B 1O ×A 1B 1=2(2+1)=6 (2)如图3,设过M 的直线l 解析式为y =k 1x +b 1∴4=k 1+b 1,即k 1=4-b 1,∴l 的解析式为y =(4-b 1)x +b 1 设⊙F 与NF 所在直线交D 1,NF 的延长线交y =k 1x +b 1于E 1 ∵⊙F,∴NF =FD 1∵⊙F 关于直线l 的“特征数”是 ∴ND 1·NE 1=1NE =即1NE 由点N 到直线l的距离公式得1NE ==∴b 1=7或113 经检验,b 1=7或113都是原方程的解,且符合题意. 当b 1=7时,k 1=-3,此时直线l 的函数表达式为y =-3x +7.当b1=113时,k1=13此时直线l的函数表达式为11137y x=+.综上所述,此时直线l的函数表达式为y=-3x+7或11137y x=+.图1 图2图3{解析}本题是新定义问题,直接应用定义就可以求出原点和特征数;(2)过点过O点作OA1⊥直线n于A1,延长A1O交圆O于点B1,然后求出B1O和A1B1的值后即可求出特征值;(3)如图3,先根据特征数和半径的值,求出点N到直线的距离,直线l要经过点M,又要到N l的解析式.18.(2020·山西)阅读与思考下面是小宇同学的数学日记,请仔细阅读,并完成相应的任务.任务:(1)填空:“办法一”依据的一个数学定理是;(2) 根据“办法二”的操作过程,证明∠RCS =90°; (3)①尺规作图:请在图③的木板上,过点C 作出AB 的垂线( 在木板上保留作图痕迹,不写作法);②说明你的作法所依据的数学定理或基本事实(写出一个即可) .{解析}本题考查作图在实际中的应用.(1)由作图方法可知“办法一”依据的一个数学定理是勾股定理的逆定理;(2)由“办法二”可知: QR =QC ,QS =QC ,根据等边对等角得∠QCR =∠QRC ,∠QCS =∠QSC ,根据三角形内角和定理可得结论. (3)①图略;②答案不唯一.第20题图③ABCx 年x 月x 日 星期日 没有直角尺也能作出直角今天,我在书店一本书上看到下面材料:木工师傅有一块如图①所示的四边形木板,他已经在木板上画出一条裁割线AB ,现根据木板的情况,要过AB 上的一点C ,作出AB 的垂线,用锯子进行裁割,然而手头没有直角尺,怎么办呢?办法一:如图①,可利用一把有刻度的直尺在AB 上量出CD = 30cm ,然后分别以D ,C 为圆心,以50cm 与40cm 为半径画圆弧,两弧相交于点E ,作直线CE ,则∠DCE 必为90°.办法二:如图②,可以取一根笔直的木棒,用铅笔在木棒上点出M ,N 两点,然后把木棒斜放在木板上,使点M 与点C 重合,用铅笔在木板上将点N 对应的位置标记为点Q ,保持点N 不动,将木棒绕点N 旋转,使点M 落在AB 上,在木板上将点M 对应的位置标记为点R .然后将RQ 延长,在延长线上截取线段QS =MN ,得到点S ,作直线SC ,则∠RCS =90°.我有如下思考:以上两种办法依据的是什么数学原理呢?我还有什么办法不用直角尺也{答案}解:(1)勾股定理的逆定理(或如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形) .(2)解:证明:由作图方法可知: QR =QC ,QS =QC , ∴∠QCR =∠QRC ,∠QCS =∠QSC . 又∵∠SRC +∠RCS +∠RSC =180°,∴∠QCR +∠QCS +∠QRC + ∠QSC = 180°.. ∴2 (∠QCR +∠QCS )= 180°.∴∠QCR +∠QCS =90°. 即∠RCS = 90°.. (3)①如图,直线CP 即为所求,作图正确..②答案不唯一,如:三边分别相等的两个三角形全等(或SSS );等腰三角形顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线重合(或等腰三角形三线合");到条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上等.……(8分)19.(2020·湖北荆州)阅读下列“问题”与“提示”后,将解方程的过程补充完整,求出x 的值. 【问题】解方程:2224250x x xx【提示】可以用“换元法”解方程. t (t ≥0),则有222xx t ,原方程可化为:2450t t【续解】229t{解析}在解无理方程时最常用的方法是换元法,一般方法是通过观察确定用来换元的式子.本题用来换元t ,其两边分别平方后有222xx t ,这样原方程可变形为关于t 的一元二次方程,即可求得t 的值,再根据所设条件对t 的值进行讨论后作出取舍,即可求出x 的值. {答案}解:【续解】229t ∴23t ,即11t ,25t第20题图④∵220t x x ,∴221t x x ,则有221x x ,配方,得:212x解得:112x ,212x经检验:112x ,212x 是原方程的根.20.(2020·怀化)定义:对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形. (1)下面四边形是垂等四边形的是 ;(填序号) ①平行四边形;②矩形;③菱形;④正方形(2)图形判定:如图1,在四边形ABCD 中,AD ∥BC ,AC ⊥BD ,过点D 作BD 垂线交BC 的延长线于点E ,且∠DBC =45°,证明:四边形ABCD 是垂等四边形.(3)由菱形面积公式易知性质:垂等四边形的面积等于两条对角线乘积的一半.应用:在图2中,面积为24的垂等四边形ABCD 内接于⊙O 中,∠BCD =60°.求⊙O 的半径.{答案}解:(1)①平行四边形的对角线互相平分但不垂直和相等,故不是垂等四边形; ②矩形对角线相等但不垂直,故不是垂等四边形; ③菱形的对角线互相垂直但不相等,故不是垂等四边形; ④正方形的对角线互相垂直且相等,故正方形是垂等四边形; 故选:④;(2)∵AC ⊥BD ,ED ⊥BD , ∴AC ∥DE , 又∵AD ∥BC ,∴四边形ADEC 是平行四边形, ∴AC =DE , 又∵∠DBC =45°,∴△BDE 是等腰直角三角形, ∴BD =DE ,∴BD =AC , 又∵BD ⊥AC ,∴四边形ABCD 是垂等四边形; (3)如图,过点O 作OE ⊥BD ,∵四边形ABCD 是垂等四边形, ∴AC =BD ,又∵垂等四边形的面积是24, ∴12AC •BD =24,解得,AC =BD =4√3, 又∵∠BCD =60°, ∴∠DOE =60°,设半径为r ,根据垂径定理可得: 在△ODE 中,OD =r ,DE =2√3, ∴r =DEsin60°=2√332=4,∴⊙O 的半径为4.{解析}本题是一道圆的综合题,主要考查了平行四边形的性质、菱形的性质、矩形的性质、正方形的性质、新定义、圆周角定理、垂径定理,解答本题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利用新定义解答问题.(1)根据垂等四边形的性质对每个图形判断即可;(2)根据已知条件可证明四边形ACED 是平行四边形,即可得到AC =DE ,再根据等腰直角三角形的性质即可得到结果;(3)过点O 作OE ⊥BD ,根据面积公式可求得BD 的长,根据垂径定理和锐角三角函数即可得到⊙O 的半径.21. (2020·张家界)阅读下面材料:对于实数,a b ,我们定义符号min{,}a b 的意义为:当a b <时,min{,}a b a =;当a b 时,min{,}a b b =,如:min{4,2}2,min{5,5}5-=-=.根据上面的材料回答下列问题: (1)min{1,3}-=______; (2)当2322min ,233x x x -++⎧⎫=⎨⎬⎩⎭时,求x 的取值范围. (1)﹣1 ;(2)x≥134{解析}本题考查的是一元一次不等式的应用,根据题意理解新定义的计算公式是解题的关键. (1)比较大小,即可得出答案; (2)根据题意判断出2x 3x+223-≥解不等式即可判断x 的取值范围. {答案}解:(1)由题意得min{1,3}-=﹣1 故答案为:﹣1; (2)由题意得:2x 3x+223-≥ 3(2x -3)≥2(x+2) 6x -9≥2x+4 4x≥13 X≥134∴x 的取值范围为x≥134. 22.(2020·长沙)我们不妨约定:若某函数图像上至少存在不同的两点关于原点对称,则把该函数称之为“H 函数”,其图像上关于原点对称的两点叫做一对“H 点”,根据该约定,完成下列各题(1)在下列关于x 的函数中,是“H 函数”的,请在相应题目后面的括号中打“√”,不是“H 函数”的打“×” ①x y 2=( ) ②()0≠m xmy =( ) ③13-=x y ( ) (2)若点A (1,m )与点B (n ,-4)关于x 的“H 函数”()02≠a c bx ax y ++=的一对“H 点”,且该函数的对称轴始终位于直线x =2的右侧,求a ,b ,c 的值或取值范围;(3)若关于x 的“H 函数”c bx ax y 322++=(a ,b ,c 是常数)同时满足下列两个条件:①0=++c b a ,②()()0322<++-+a b c a b c ,求该“H 函数”截x 轴得到的线段长度的取值范围.{解析}本题考查了审题能力,二次函数的性质、图形和系数的关系等.(1)正比函数是原点对称图形,所以①是“H 函数”,反比例函数一定是原点对称图形,所以②是“H 函数”,而最后③的图形是直线,但是不原点对称,所以③不是“H 函数”;(2)先求出A (1,4),B (-1,-4),根据二次函数的性质就能知道图像的开口向下,把A (1,4),B (-1,-4),代入关系式,加上对称轴公式,就能得到4=a +b +c ,-4=a-b +c , ab2->2,用代入消元法解出结果即可;(3)与(2)的方法近似,根据题意先设一对“H 点”(m ,n )和(-m ,-n )代入,再加上题里给的关系式0=++c b a ,()()0322<++-+a b c a b c ,这样随不能求出具体数,但是能够得到系数之间的数量关系,这样这问求的()21221241x x x x x x -+=-,就能进行化简求值a c a b x x 342221⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-,最后要找到最大与最小值即可. {答案}答案 (1)√,√,×(2)解:由題意得A , B 两点关于原点对称 ∴A (1,4),B (-1,-4)又∵函数的对称轴始终位于直线x =2的右侧, ∴A ,B 两点都在对称轴左侧,y 随x 的增大而增大, ∴a <0将A ,B 两点代入原方程可得: 4=a +b +c , -4=a -b +c 解得 b =4,a =-c 又∵ab2->2 ∴-1<a <0 ∵a =-c∴-1<-c <0,解得 0<c <1 又∵a ≠0,∴c ≠0綜上所述: b =4,-1<a <0,0<c <1(3)当y =0时,y =ax 2+2bx +3c 可化为ax 2+2bx +3c =0, ()21221241x x x x x x -+=-当在x 轴有两个交点时,(2b )2-4×a ×3c ≥0,x 1+x 2=ab 2-,x 1·x 2=a c 3∴a ca b x x 342221⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-,∵0=++c b a ,∴3234221++=-⎪⎭⎫ ⎝⎛a b x x又∵()()0322<++-+a b c a b c ,解得-3<ab<1 ∵这是关于x 的“H 函数”,∴设(m ,n )和(-m ,-n )代入y =ax 2+2bx +3c 中 可得n =am 2+2bm +3c ,-n =am 2-2bm +3c ,两式相加得2am 2+6c =0, ∵m 2>0,∴ac26->0,又∵0=++c b a ,∴a b >-1,∴-1<a b <1,∵3234221++=-⎪⎭⎫ ⎝⎛a b x x ∴2<21x x -<7223. (2020·湘潭)阅读材料:三角形的三条中线必交于一点,这个交点称为三角形的重心.(1)特例感知:如图(一),已知边长为2的等边△ABC 的重心为点O ,求△OBC 与△ABC 的面积. (2)性质探究:如图(二),已知△ABC 的重心为点O ,请判断OD OA 、OBC ABCSS是否都为定值?如果是,分别求出这两个定值:如果不是,请说明理由.(3)性质应用:如图(三),在正方形ABCD 中,点E 是CD 的中点,连接BE 交对角线AC 于点M .①若正方形ABCD 的边长为4,求EM 的长度; ②若1CMES=,求正方形ABCD 的面积.{解析}(1)连接DE ,利用相似三角形证明12OD AO =,运用勾股定理求出AD 的长,运用三角形面积公式求解即可;(2)根据(1)的证明可求解; (3)①证明△CME ∽△ABM 得12EM BM =,再运用勾股定理求出BE 的长即可解决问题; ②分别求出S △BMC 和S △ABM 即可. {答案}(1)连接DE ,如图,∵点O 是△ABC 的重心,AD ∴,BE 是BC,A C 边上的中线,D E ∴,为BC ,AC 边上的中点,DE ∴为△ABC 的中位线,//DE AB ∴,12DE AB =, ∴~ODE OAB ,12OD DE OA AB ∴==, 2AB ∴=,1BD =AD ∴=,OD =,11222OBCSBC OD ∴=⨯⨯=⨯=11222ABCSBC AD =⋅⋅=⨯=; (2)由(1)可知,12OD OA =是定值; 112132OBC ABCBC OD S OD S AD BC AD ⋅===⋅是定值; (3)①∵四边形ABCD 是正方形,//CD AB ∴,4AB BC CD ÷==,∴CMEAMBEM CEBM AB∴= ∵E 为CD的中点,122CE CD ∴==BE ∴==12EM BM ∴= 13EM BE ∴=,即EM = ②∴1CMES =,且12ME BM = ∴2BMCS =,∵12ME BM =,∴214CME AMB S ME SBM ⎛⎫== ⎪⎝⎭, ∴4S4AMB CME S ==, 246ABC BMC ABM S S S ∴=+=+=, 又ADC ABC S S =△△∴6ADC S =.∴正方形ABCD 的面积为:6+6=12.24.(2020·内江)我们知道,任意一个正整数x 都可以进行这样的分解:x m n =⨯(m ,n 是正整数,且m n ≤),在x 的所有这种分解中,如果m ,n 两因数之差的绝对值最小,我们就称m n ⨯是x 的最佳分解.并规定:()m f x n=. 例如:18可以分解成118⨯,29⨯或36⨯,因为1819263->->-,所以36⨯是18的最佳分解,所以()311862f ==. (1)填空:()6________f =;()9_________f =;(2)一个两位正整数t (10t a b =+,19a b ≤≤≤,a ,b 为正整数),交换其个位上的数字与十位上的数字得到的新数减去原数所得的差为54,求出所有的两位正整数;并求()f t 的最大值; (3)填空:①()22357_____________f ⨯⨯⨯=;②()32357_____________f ⨯⨯⨯=;③()42357_____________f ⨯⨯⨯=;④()52357_____________f ⨯⨯⨯=.{答案}解:(1)6=1×6=2×3,∵6−1>3−2,∴()6f =23;9=1×9=3×3,∵9−1>3−3, ∴()9f =1,故答案为:23;1; (2)由题意可得:交换后的数减去交换前的数的差为:10b +a−10a−b =9(b−a )=54,∴b−a =6,∵1≤a≤b≤9,∴b =9,a =3或b =8,a =2或b =7,a =1, ∴t 为39,28,17;∵39=1×39=3×13,∴()39f =313;28=1×28=2×14=4×7, ∴()28f =47;17=1×17,∴()11717f =;∴()f t 的最大值47. (3)①∵22357⨯⨯⨯=20×21∴()220235721f ⨯⨯⨯=;②32357⨯⨯⨯=28×30∴()3281423573015f ⨯⨯⨯==; ③∵42357⨯⨯⨯=56×30∴()4301523575628f ⨯⨯⨯==; ④∵52357⨯⨯⨯=56×60∴()5561423576015f ⨯⨯⨯==,故答案为:20141514,,,21152815. {解析}本题考查了因式分解的应用;理解题意,从题目中获取信息,列出正确的代数式,再由数的特点求解是解题的关键.(1)6=1×6=2×3,由已知可求()6f =23;9=1×9=3×3,由已知可求()9f =1; (2)由题意可得:交换后的数减去交换前的数的差为:10b +a−10a−b =9(b−a )=54,得到b−a =6,可求t 的值,故可得到()f t 的最大值;(3)根据()m f x n=的定义即可依次求解.25.(2020·通辽)用※定义一种新运算:对于任意实数m 和n ,规定m ※n =m 2n ﹣mn ﹣3n ,如:1※2=12×2﹣1×2﹣3×2=﹣6. (1)求(﹣2(2)若3※m ≥﹣6,求m 的取值范围,并在所给的数轴上表示出解集.{解析}(1)根据定义进行列式计算;(2)根据定义列出不等式,再进行求解,然后把解集在数轴上表示出来.{答案}解:(1)(-2(-2)223(2)∵3※m =32 m -3 m -3 m =3 m ,又∵3※m ≥﹣6,∴3 m ≥﹣6,得m ≥﹣2.在数轴上表示如下:26.(7分)(2020•呼和浩特)“通过等价变换,化陌生为熟悉,化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本思维方式,例如:解方程x ﹣=0,就可以利用该思维方式,设=y ,将原方程转化为:y 2﹣y =0这个熟悉的关于y 的一元二次方程,解出y ,再求x ,这种方法又叫“换元法”.请你用这种思维方式和换元法解决下面的问题.已知实数x,y满足,求x2+y2的值.解:令xy=a,x+y=b,则原方程组可化为:,整理得:,②﹣①得:11a2=275,解得:a2=25,代入②可得:b=4,∴方程组的解为:或,x2+y2=(x+y)2﹣2xy=b2﹣2a,当a=5时,x2+y2=6,当a=﹣5时,x2+y2=26,因此x2+y2的值为6或26.27.(9分)(2020•遂宁)阅读以下材料,并解决相应问题:小明在课外学习时遇到这样一个问题:定义:如果二次函数y=a1x2+b1x+c1(a1≠0,a1、b1、c1是常数)与y=a2x2+b2x+c2(a2≠0,a2、b2、c2是常数)满足a1+a2=0,b1=b2,c1+c2=0,则这两个函数互为“旋转函数”.求函数y=2x2﹣3x+1的旋转函数,小明是这样思考的,由函数y=2x2﹣3x+1可知,a1=2,b1=﹣3,c1=1,根据a1+a2=0,b1=b2,c1+c2=0,求出a2,b2,c2就能确定这个函数的旋转函数.请思考小明的方法解决下面问题:(1)写出函数y=x2﹣4x+3的旋转函数.(2)若函数y=5x2+(m﹣1)x+n与y=﹣5x2﹣nx﹣3互为旋转函数,求(m+n)2020的值.(3)已知函数y=2(x﹣1)(x+3)的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,点A、B、C关于原点的对称点分别是A1、B1、C1,试求证:经过点A1、B1、C1的二次函数与y=2(x﹣1)(x+3)互为“旋转函数”.解:(1)由y=x2﹣4x+3函数可知,a1=1,b1=﹣4,c1=3,∵a1+a2=0,b1=b2,c1+c2=0,∴a2=﹣1,b2=﹣4,c2=﹣3,∴函数y=x2﹣4x+3的“旋转函数”为y=﹣x2﹣4x﹣3;(2)∵y=5x2+(m﹣1)x+n与y=﹣5x2﹣nx﹣3互为“旋转函数”,∴,解得:,∴(m+n)2020=(﹣2+3)2020=1.(3)证明:当x=0时,y=2(x﹣1)(x+3))=﹣6,∴点C的坐标为(0,﹣6).当y=0时,2(x﹣1)(x+3)=0,解得:x1=1,x2=﹣3,∴点A的坐标为(1,0),点B的坐标为(﹣3,0).∵点A,B,C关于原点的对称点分别是A1,B1,C1,∴A1(﹣1,0),B1(3,0),C1(0,6).设过点A1,B1,C1的二次函数解析式为y=a(x+1)(x﹣3),将C1(0,6)代入y=a(x+1)(x﹣3),得:6=﹣3a,解得:a=﹣2,过点A1,B1,C1的二次函数解析式为y=﹣2(x+1)(x﹣3),即y=﹣2x2+4x+6.∵y=2(x﹣1)(x+3)=2x2+4x﹣6,∴a1=2,b1=4,c1=﹣6,a2=﹣2,b2=4,c2=6,∴a1+a2=2+(﹣2)=0,b1=b2=4,c1+c2=6+(﹣6)=0,∴经过点A1,B1,C1的二次函数与函数y=2(x﹣1)(x+3)互为“旋转函数”.。

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“新定义”型中考试题例析绍兴市文理附中 冯梅纵观近几年全国各地中考数学试题,“新定义”型试题已越来越受到各地命题者的青睐。

在近几年的绍兴中考数学试卷中,每年都有一个有关“新定义”型的试题,它已成为绍兴中考数学试题的一大特色.“新定义”型试题是指在试题中定义新概念、新公式、新运算、新法则、新方法,这些都是同学们从未接触过的,要求同学们在解题时能够运用已掌握的知识和方法理解“新定义”,做到“化生为熟”,现学现用,其目的是考查同学们的阅读理解能力、接受能力、应变能力和创新能力,培养同学们自主学习、主动探究的数学品质,在一定程度上促进教学方法和学习方法的转变.基于这些原因,对新概念试题进行深层次、多方位的研究,并在毕业复习中对同学们有意加强这方面的训练,就显得尤为重要.1.定义一种运算例1(2011湖南湘潭)规定一种新的运算:ba b a 11+=⊗,则=⊗21 . 解:把21==b a ,代入式子b a b a 11+=⊗计算即可:=⊗2123. 点评:解题关键是弄清新定义运算的转化方法,根据题意把b a 、的值代入,按规定计算.2.定义一个规则例2(2012四川德阳)为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文→密文(加密);接收方由密文→明文(解密).已知加密规则为:明文d c b a ,,,对应密文, d d c c b b a 4,32,2,2+++.例如:明文1,2,3,4对应的密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时,则解密得到的明文为( )A .4,6,1,7B .4,1,6,7C .6,4,1,7D .1,6,4,7解:根据对应关系,284=d 可以求得7=d ;代入2332=+d c 得1=c ;在代入92=+c b 得4=b ;代入142=+b a 得6=a .故选C .点评:本题的实质是考查多元方程组的解法.从简单的一元一次方程入手,通过代入消元,求出各个未知量,从而进一步理解把“未知”转化为“已知”和把复杂问题转化为简单问题的思想方法.3.定义一种变换例3(2010山东东营)把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换,再沿着与这条直线平行的方向平移,我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换.......在自然界和日常生活中,大量地存在这种图形变换(如图甲).结合轴对称变换和平移变换的有关性质,你认为在滑动对称变换......过程中,两个对应三角形(如图乙)的对应点所具有的性质是( )A .对应点连线与对称轴垂直B .对应点连线被对称轴平分C .对应点连线被对称轴垂直平分D .对应点连线互相平行点评:本题考查平移的基本性质:①平移不改变图形的形状和大小;②经过平移,对应点所连的线段平行且相等,对应线段平行且相等,对应角相等及轴对称的性质;按要求画出图形是正确解答本题的关键.4.定义一类数例4(2008浙江绍兴)定义[]p q ,为一次函数y px q =+的特征数.(1)若特征数是[]22k -,的一次函数为正比例函数,求k 的值;(2)设点A B ,分别为抛物线()(2)y x m x =+-与x y ,轴的交点,其中0m >,且O A B △的面积为4,O 为原点,求图象过A B ,两点的一次函数的特征数.解:(1)特征数为[22]k -,的一次函数为22y x k =+-,20k ∴-=,2k ∴=.(2)抛物线与x 轴的交点为12(0)(20)A m A -,,,, 与y 轴的交点为(02)B m -,.若14OBA S =△,则2,4221==⋅m m m ; 若24OBA S =△,则2,42221==⨯⨯m m . ∴当2m =时,满足题设条件.∴此时抛物线为(2)(2)y x x =+-.它与x 轴的交点为(20)(20)-,,,,与y 轴的交点为(04)-,,∴一次函数为24y x =--或24y x =-,∴特征数为[24]--,或[24]-,. 点评:本题考查学生根据一次、二次函数的性质,根据题意,分析解决问题的能力.5.定义一个函数例5(2007浙江绍兴)设关于x 的一次函数11b x a y +=与22b x a y +=,则称函数)()(2211b x a n b x a m y +++=(其中1=+n m )为此两个函数的生成函数.(1)当1=x 时,求函数1+=x y 与x y 2=的生成函数的值;(2)若函数11b x a y +=与22b x a y +=的图象的交点为P ,判断点P 是否在此两个函数的生成函数的图象上,并说明理由.解:(1)当1=x 时,()2222)2()1(=+=+=++=n m n m x n x m y(2)点P 在此两个函数的生成函数的图象上,设点P 的坐标为()b a ,,∵b b a a b b a a =+⨯=+⨯2211,,∴当a x =时,)()(2211b x a n b x a m y +++=,()b n m b nb mb b a a n b a a m =+=+=+⨯++⨯=)()(2211,即点P 在此两个函数的生成图象上.点评:此题是一道新定义信息题,难度不大,考查了同学们的阅读理解和对新知识的接受能力,只要仔细阅读,就可根据相关函数知识作出解答.6.定义一个公式例6(2009湖南益阳)阅读材料:如图1,过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线,外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”(a ),中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高(h )”.我们可得出 一种计算三角形面积的新方法:ah S ABC 21=∆,即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.解答下列问题:如图2,抛物线顶点坐标为点C (1,4),交x 轴于点A (3,0),交y 轴于点B .(1)求抛物线和直线AB 的解析式;(2)点P 是抛物线(在第一象限内)上的一个动点,连结PA ,PB ,当P 点运动到顶点C 时,求△CAB 的铅垂高CD 及CAB S ∆;(3)是否存在一点P ,使S △PAB =89S △CAB ,若存在,求出P 点的坐标;若不存在,请说明理由.解:(1)设抛物线的解析式为:()4121+-=x a y把A (3,0)代入解析式求得1-=a 所以()3241221++-=+--=x x x y 图2 x COyABD 11图1设直线AB 的解析式为:b kx y +=2由3221++-=x x y 求得B 点的坐标为)3,0(把)0,3(A ,)3,0(B 代入b kx y +=2中解得:3,1=-=b k ,所以32+-=x y(2)因为C 点坐标为(1,4)所以当x =1时,y 1=4,y 2=2,所以CD =4-2=232321=⨯⨯=∆CAB S (平方单位) (3)假设存在符合条件的点P ,设P 点的横坐标为x ,△PAB 的铅垂高为h ,则x x x x x y y h 3)3()32(2221+-=+--++-=-=由S △PAB =89S △CAB ,得:389)3(3212⨯=+-⨯⨯x x 化简得:091242=+-x x ,解得,23=x 将23=x 代入3221++-=x x y 中,解得P 点坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛41523, 点评:本题给出了一个直角坐标系中求一般三角形的面积计算公式,并要求现学现用,总体来说本题难度不大.7.定义一个图形7.1定义“点”例7(2012绍兴)联想三角形外心的概念,我们可引入如下概念.定义:到三角形的两个顶点距离相等的点,叫做此三角形的准外心.举例:如图1,若PA=PB ,则点P 为△ABC 的准外心.应用:如图2,CD 为等边三角形ABC 的高,准外心P 在高CD 上,且PD=12AB ,求∠APB 的度数.探究:已知△ABC 为直角三角形,斜边BC=5,AB=3,准外心P 在AC 边上,试探究PA 的长.应用:解:①若PB=PC ,连接PB ,则∠PCB=∠PBC ,∵CD 为等边三角形的高,∴AD=BD ,∠PCB=30°,∴∠PBD=∠PBC=30°,∴, 与已知PD=12AB 矛盾,∴PB≠PC , ②若PA=PC ,连接PA ,同理可得PA≠PC ,③若PA=PB ,由PD=12AB ,得PD=BD , ∴∠APD=45°,故∠APB=90°;探究:解:∵BC=5,AB=3,∴4==,①若PB=PC ,设PA=x ,则2223(4)x x +=-,∴78x =,即PA=78, ②若PA=PC ,则PA=2,③若PA=PB ,由图知,在Rt △PAB 中,不可能.故PA=2或78.点评:这是一道新概念试题,解答本题的关键是理解新概念的含义,然后结合有关图形性质分情况进行计算验证.7.2定义“线”例8(2012甘肃兰州)如图,定义:若双曲线y = k x (k >0)与它的其中一条对称轴y =x 相交于A 、B 两点,则线段AB 的长度为双曲线y = k x (k >0)的对径.(1)求双曲线y = 1 x 的对径;(2)若双曲线y = k x (k >0)的对径是102,求k 的值;(3)仿照上述定义,定义双曲线y = k x (k <0)的对径.解:过A 点作AC ⊥x 轴于C ,如图,(1)解方程组⎪⎩⎪⎨⎧==x y x y 1,得⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧==11,112211y x y x , ∴A 点坐标为(1,1),B 点坐标为(-1,-1),∴OC =AC =1,∴OA =2OC =2,∴AB =2OA =22,∴双曲线y =x1的对径是22; (2)∵双曲线的对径为210,即AB =210,OA =25,∴OA =2OC =2AC ,∴OC =AC =5,∴点A 坐标为(5,5),把A (5,5)代入双曲线y =xk (k >0)得k =5×5=25, 即k 的值为25;(3)若双曲线y =xk (k <0)与它的其中一条对称轴y =-x 相交于A 、B 两点, 则线段AB 的长称为双曲线y =k (k >0)的对径. 7.3定义“角”例9(2012江苏南京)如图,A 、B 是⊙O 上的两个定点,P 是⊙O 上的动点(P 不与A ,B 重合),我们称∠APB 是⊙O 上关于A 、B 的滑动角.(1)已知∠APB 是⊙O 上关于A 、B 的滑动角.①若AB 是⊙O 的直径,则∠APB= ;②若⊙O 的半径是1,AB=2,求∠APB 的度数.(2)已知O 2是⊙O 1外一点,以O 2为圆心做一个圆与⊙O 1相交于A 、B 两点,∠APB 是⊙O 1上关于A 、B 的滑动角,直线PA 、PB 分别交⊙O 2于点M 、N (点M 与点A 、点N 与点B 均不重合),连接AN ,试探索∠APB 与∠MAN 、∠ANB 之间的数量关系.解:(1)①∵AB 是⊙O 的直径,∴∠APB=90°.②∵OA=OB=1, AB=2,∴OA 2+OB 2=1+1=2=AB 2∴△AOB 是直角三角形∴∠AOB=90°.∴∠APB=21∠AOB=45°BA 0PN(2)当P上时,如图1,这时∠MAN是△PAN的外角,因而∠APB=∠MAN-∠ANB;当P在劣弧AB上时,如图2,这时∠APB是△PAN的外角,因而∠APB=∠MAN+∠ANB;点评:本题以新概念入手,有一种新意,但其知识点就是圆周角与圆心角之间的关系,只是说法不同而已,还用到直径所对圆周角为直角,勾股定理等知识;第二问主要看考生能否周全考虑,自己要画出图形来帮助分析,结合图形很容易得到正确结论.7.4定义“三角形”例10(2010浙江绍兴)在平面直角坐标系中,一次函数的图象与坐标轴围成的三角形,叫做此一次函数的坐标三角形.例如,图中的一次函数的图象与x,y轴分别交于点A,B,则△OAB为此函数的坐标三角形.(1)求函数y=43-x+3的坐标三角形的三条边长;(2)若函数y=43-x+b(b为常数)的坐标三角形周长为16, 求此三角形面积.解:(1) ∵直线y=43-x+3与x轴的交点坐标为(4,0),与y轴交点坐标为(0,3),∴函数y=43-x+3的坐标三角形的三条边长分别为3,4,5.(2) 直线y=43-x+b与x轴的交点坐标为(b34,0),与y轴交点坐标为(0,b),当b>0时,163534=++bbb,得b =4,此时,坐标三角形面积为332;当b<0时,163534=---bbb,得b =-4,此时,坐标三角形面积为332.综上,当函数y=43-x+b的坐标三角形周长为16时,面积为332.点评:本题考查了一次函数和几何问题的综合应用,本题中根据一次函数和坐标轴的交点坐标,求坐标三角形的三边长是解题的基础.7.5定义“四边形”例11(2007鄂尔多斯)我们给出如下定义:若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方,则称这个四边形为勾股四边形,这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边.(1)写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称 , ;(2)如图1,已知格点(小正方形的顶点)(00)O ,,(30)A ,,(04)B ,,请你画出以格点为顶点,OA OB ,为勾股边且对角线相等的勾股四边形OAMB ;(3)如图2,将ABC △绕顶点B 按顺时针方向旋转60,得到DBE △,连结AD DC ,,30DCB =∠.求证:222DC BC AC +=,即四边形ABCD 是勾股四边形.解:(1)正方形、长方形、直角梯形.(任选两个均可)(2)答案如图所示.(34)M ,或(43)M ,.(3)证明:连结EC ABC DBE △≌△AC DE ∴=,BC BE =60CBE =∠ EC BC ∴=,60BCE =∠30DCB =∠ 90DCE ∴=∠ 222DC EC DE ∴+=图1 A 60 图260222∴+=,即四边形ABCD是勾股四边形DC BC AC点评:本题考查勾股定理,及考查旋转的性质:旋转变化前后,对应线段、对应角分别相等,图形的大小、形状都不改变.从以上实例可以看出,解决这类问题首先应准确理解题目中定义的新概念、新公式、新运算、新法则、新方法,充分挖掘其本质,并从中获取新的数学公式、定理、性质、运算法则和解题思路,最后结合已有的知识加以解决.这类试题对培养学生的阅读理解能力和独立获取新知识、解决新问题的能力有非常重要的作用.为了能使学生很好地解答这类问题,在平时的教学中,教师应当多渗透这类试题,不断提高学生的阅读理解能力、数学学习能力和应用所学知识解决问题的能力.。

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※知识精要新定义型问题是学习型阅读理解题,是指题目中首先给出一个新定义(新概念或新公式),通过阅读题目提供的材料,理解新定义,再通过对新定义的理解来解决题目提出的问题。

其主要目的是通过对新定义的理解与运用来考查学生的自主学习能力,便于学生养成良好的学习习惯。

※要点突破解决此类题的关键是(1)深刻理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论;(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的做题方法;归纳“举例”提供的分类情况;(3)依据新定义,运用类比、归纳、联想、分类讨论以及数形结合的数学思想方法解决题目中需要解决的问题。

※典例精讲例1阅读理解:如图1,若在四边形ABCD的边AB上任取一点E(点E与点A,B不重合),分别连结ED,EC,可以把四边形ABCD分成三个三角形,如果其中有两个三角形相似,我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点;如果这三个三角形都相似,我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的强相似点.解决问题:(1)如图1,若∠A=∠B=∠DEC=55°,试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点,并说明理由;(2)如图2,在矩形ABCD中,AB=5,BC=2,且A,B,C,D四点均在正方形网格(网格中每个小正方形的边长为1)的格点(即每个小正方形的顶点)上,试在图2中画出矩形ABCD的边AB上的一个强相似点E;拓展探究:(3)如图3,将矩形ABCD沿CM折叠,使点D落在AB边上的点E处.若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点,请直接写出BCAB的值.图1 图2 图3【答案】(1)点E是四边形ABCD的AB边上的相似点;(2)如图;(3)3 BCAB例2.在平面直角坐标系xOy中,点P的坐标为(x1,y1),点Q的坐标为(x2,y2),且x1≠x2,y1≠y2,若P,Q为某个矩形的两个顶点,且该矩形的边均与某条坐标轴垂直,则称该矩形为点P,Q的“相关矩形”,如图为点P,Q的“相关矩形”示意图.(1)已知点A的坐标为(1,0),①若点B的坐标为(3,1),求点A,B的“相关矩形”的面积;②点C在直线x=3上,若点A,C的“相关矩形”为正方形,求直线AC的表达式;(2)⊙O的半径为,点M的坐标为(m,3),若在⊙O上存在一点N,使得点M,N的“相关矩形”为正方形,求m的取值范围.【答案】(1)直线AC的表达式为y=x-1或y=-x+1;(2)1≤m≤5或-5≤m≤-1解:(1)①∵A(1,0),B(3,1)由定义可知:点A,B的“相关矩形”的底与高分别为2和1,∴点A,B的“相关矩形”的面积为2×1=2;②由定义可知:AC是点A,C的“相关矩形”的对角线,又∵点A,C的“相关矩形”为正方形∴直线AC与x轴的夹角为45°,设直线AC的解析为:y=x+m或y=﹣x+n把(1,0)分别y=x+m,∴m=﹣1,∴直线AC的解析为:y=x﹣1,把(1,0)代入y=﹣x+n,∴n=1,∴y=﹣x+1,综上所述,若点A,C的“相关矩形”为正方形,直线AC的表达式为y=x﹣1或y=﹣x+1;(2)设直线MN的解析式为y=kx+b,∵点M,N的“相关矩形”为正方形,∴由定义可知:直线MN与x轴的夹角为45°,∴k=±1,∵点N在正方形边上,∴当直线MN与正方形有交点时,点M,N的“相关矩形”为正方形,当k=1时,作过R与K的直线与直线MN平行,将(-1,1)和(2,-2)分别代入y=x+b得b=2 或b=-4把M(m,3)代入y=x+2和y=x-4,得m=1 m=7∴1≤m≤7,※课堂精练一、几何新定义型问题1.定义:如图①,点M,N把线段AB分割成AM,MN和BN三段,若以AM,MN,BN为边的三角形是一个直角三角形,则称点M,N是线段AB的勾股分割点.请解决下列问题:(1)已知点M,N是线段AB的勾股分割点,且BN>MN>AM.若AM=2,MN=3,求BN的长;(2)如图②,若点F,M,N,G分别是AB,AD,AE,AC边上的中点,点D,E是线段BC的勾股分割点,且EC>DE>BD,求证:点M,N是线段FG的勾股分割点【答案】(1);(2)证明见解析.(2)∵点F、M、N、G分别是AB、AD、AE、AC边上的中点,∴FM、MN、NG分别是△ABD、△ADE、△AEC的中位线,∴BD=2FM,DE=2MN,EC=2NG.∵点D,E是线段BC的勾股分割点,且EC>DE>BD,∴EC2=DE2+DB2,∴4NG2=4MN2+4FM2,∴NG2=MN2+FM2,∴点M,N是线段FG的勾股分割点.2.如图1,点C将线段AB分成两.部分,如果AC BC ABAC=,那么称点C为线段AB的黄金分割点.某研究小组在进行课题学习时,由黄金分割点联想到“黄金分割线”,类似地给出“黄金分割线”的定义:直线l将一个面积为S的图形分成两部分,这两部分的面积分别为1S,2S,如果121S SS S=,那么称直线l为该图形的黄金分割线.(1)研究小组猜想:在ABC△中,若点D为AB边上的黄金分割点(如图2),则直线CD是ABC△的黄金分割线.你认为对吗?为什么?(2)请你说明:三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线?(3)研究小组在进一步探究中发现:过点C任作一条直线交AB于点E,再过点D作直线DF CE∥,交AC于点F,连接EF(如图3),则直线EF也是ABC△的黄金分割线.请你说明理由.(4)如图4,点E是ABCDY的边AB的黄金分割点,过点E作EF AD∥,交DC于点F,显然直线EF是ABCDY的黄金分割线.请你画一条ABCDY的黄金分割线,使它不经过ABCDY各边黄金分割点.【答案】见解析(3)因为DF CE ∥,所以DEC △和FCE △的公共边CE 上的高也相等, 所以有DEC FCE S S =△△. ······································································· 7分 设直线EF 与CD 交于点G .所以DGE FGC S S =△△. 所以ADC FGC AFGD S S S =+△△四边形DGE AEF AFGD S S S =+=△△四边形,BDC BEFC S S =△四边形. 又因为ADC BDCABC ADCS S S S =△△△△,所以BEFC AEF ABC AEF S S S S =四边形△△△. ······························ 9分 因此,直线EF 也是ABC △的黄金分割线. ········································ 10分 (4)画法不惟一,现提供两种画法; ·················································· 12分画法一:如答图1,取EF 的中点G ,再过点G 作一条直线分别交AB ,DC 于M ,N 点,则直线MN 就是ABCD Y 的黄金分割线.画法二:如答图2,在DF 上取一点N ,连接EN ,再过点F 作FM NE ∥交AB 于点M ,连接MN ,则直线MN 就是ABCD Y 的黄金分割线.3.定义:四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形,如果这两个三角形相似(不全等),我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”.理解:FBD N M G(第21题答图1)FBD N M (第21题答图2)(1)如图1,已知Rt△ABC在正方形网格中,请你只用无刻度的直尺在网格中找到一点D,使四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形(保留画图痕迹,找出3个即可);(2)如图2,在四边形ABCD中,∠ABC=80°,∠ADC=140°,对角线BD平分∠ABC.求证:BD是四边形ABCD的“相似对角线”;(3)如图3,已知FH是四边形EFCH的“相似对角线”,∠EFH=∠HFG=30°,连接EG,若△EFG的面积为2,求FH的长.【答案】(1)见解析;(2)证明见解析;(3)FH=2.解:(1)由图1知,AB=,BC=2,∠ABC=90°,AC=5,∵四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形,当∠ACD=90°时,△ACD∽△ABC或△ACD∽△CBA,∴或,∴CD=10或CD=2.5同理:当∠CAD=90°时,AD=2.5或AD=10,(2)∵∠ABC=80°,BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠DBC=40°,∴∠A+∠ADB=140°∵∠ADC=140°,∴∠BDC+∠ADB=140°,∴∠A=∠BDC,∴△ABD∽△BDC,∴BD是四边形ABCD的“相似对角线”;【点睛】本题考查了相似三角形的综合题,涉及到新概念、相似三角形的判定与性质等,正确理解新概念,熟练应用相似三角形的相关知识是解题的关键.4. 我们给出如下定义:如果四边形中一对顶点到另一对顶点所连对角线的距离相等,则把这对顶点叫做这个四边形的一对等高点.例如:如图①,平行四边形ABCD中,可证点A、C到BD的距离相等,所以点A、C是平行四边形ABCD的一对等高点,同理可知点B、D也是平行四边形ABCD的一对等高点.(1)如图②,已知平行四边形ABCD,请你在图②中画出一个只有一对等高点的四边形ABCE(要求:画出必要的辅助线);(2)已知P是四边形ABCD对角线BD上任意一点(不与B、D点重合),请分别探究图③、图④中S1,S2,S3,S4四者之间的等量关系(S1,S2,S3,S4分别表示△ABP,△CBP,△CDP,△ADP的面积):①如图③,当四边形ABCD只有一对等高点A、C时,你得到的一个结论是________;②如图④,当四边形ABCD没有等高点时,你得到的一个结论是________.【答案】见解析二、函数与图形新定义型问题5. 对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和直线m ,给出如下定义:若存在一点P ,使得点P 到直线m 的距离等于,则称P 为直线m 的平行点.(1)当直线m 的表达式为y =x 时,①在点P 1(1,1),P 2(0,2),P 3(22-,22)中,直线m 的平行点是 ; ②⊙O 的半径为10,点Q 在⊙O 上,若点Q 为直线m 的平行点,求点Q 的坐标.(2)点A 的坐标为(n ,0),⊙A 半径等于1,若⊙A 上存在直线x y 3=的平行点,直接写出n 的取值范围.【答案】见解析在Rt △BHQ 1中,可求NQ 1=NB=2.所以ON=22.所以点Q 1的坐标为(2,22). 同理可求点Q 2的坐标为(22-,2-).如图2,当点B 在原点下方时,可求点Q 3的坐标为(22,2)点Q 4的坐标为 (2-,22-).综上所述,点Q 的坐标为(2,22),(22-,2-),(22,2),(2-,22-). (2)334-≤n ≤334. 7.在平面直角坐标系xOy 中,设点P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)是图形W 上的任意两点.定义图形W 的测度面积:若|x 1﹣x 2|的最大值为m ,|y 1﹣y 2|的最大值为n ,则S=mn 为图形W 的测度面积.例如,若图形W 是半径为1的⊙O ,当P ,Q 分别是⊙O 与x 轴的交点时,如图1,|x 1﹣x 2|取得最大值,且最大值m=2;当P,Q分别是⊙O与y轴的交点时,如图2,|y1﹣y2|取得最大值,且最大值n=2.则图形W的测度面积S=mn=4(1)若图形W是等腰直角三角形ABO,OA=OB=1.①如图3,当点A,B在坐标轴上时,它的测度面积S= ;②如图4,当AB⊥x轴时,它的测度面积S= ;(2)若图形W是一个边长1的正方形ABCD,则此图形的测度面积S的最大值为;(3)若图形W是一个边长分别为3和4的矩形ABCD,求它的测度面积S的取值范围.【答案】(1)1,1;(2)2;(3)12≤S≤492.解:(1)①如图3,∵OA=OB=1,点A,B在坐标轴上,∴它的测度面积S=|OA|•|OB|=1,故答案为:1.②如图4,∵AB⊥x轴,OA=OB=1.∴AB=2,2 2,∴它的测度面积S=|AB|•|OC|=2×22=1,故答案为:1.故答案为:2.当顶点A,C都不在x轴上时,如图8,过点A作直线AH⊥x轴于点E,过C点作CF⊥x轴于点F,过点D作直线GH∥x轴,分别交AE,C F于点H,G,则可得四边形EFGH是矩形,当点P,Q与点A,C重合时,|x1﹣x2|的最大值为m=EF,|y1﹣y2|的最大值为n=GF.图形W的测度面积S=EF•GF,∵∠ABC+∠CBF=90°,∠ABC+∠BAE=90°,∴∠CBF=∠BAE,∵∠AEB=∠BFC=90°,∴△AEB∽△BFC,∴43 AE EB ABBF FC BC===,设AE=4a,EB=4b,(a>0,b>0),则BF=3a,FC=3b,在RT△AEB中,AE2+BE2=AB2,∴16a2+16b2=16,即a2+b2=1,∵b>0,∴21b a =-在△ABE 和△CDG 中,E G ABE CDG AB CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△CDG (AAS )∴CG=AE=4a ,∴EF=EB+BF=4b+3a ,GF=FC+CG=3b+4a , ∴图形W 的测度面积S=EF•GF=(4b+3a )(3b+4a )考点:圆的综合题;二次函数的最值问题;全等三角形;新定义题目;探究型题目8.在平面直角坐标系中,点Q 为坐标系上任意一点,某图形上的所有点在∠Q 的内部(含角的边),这时我们把∠Q 的最小角叫做该图形的视角.如图1,矩形ABCD ,作射线OA ,OB ,则称∠AOB 为矩形ABCD 的视角.(1)如图1,矩形ABCD ,A (﹣,1),B (,1),C (,3),D (﹣,3),直接写出视角∠AOB 的度数;(2)在(1)的条件下,在射线CB 上有一点Q ,使得矩形ABCD 的视角∠AQB=60°,求点Q 的坐标;(3)如图2,⊙P的半径为1,点P(1,),点Q在x轴上,且⊙P的视角∠EQF的度数大于60°,若Q(a,0),求a的取值范围.【答案】(1)视角∠AOB的度数是120°;(2)Q的坐标(,﹣1);(3)a的取值范围是0<a<2.解:(1)120°;(2)连结AC,在射线CB上截取CQ=CA,连结AQ.∵AB=2,BC=2,∴AC=4.∴∠ACQ=60°.∴△ACQ为等边三角形,即∠AQC=60°.∵CQ=AC=4,∴Q(,﹣1).∴a 的取值范围是0<a <2.点睛:本题的关键是理解视角的定义,然后根据定义求出题目的要求,三角函数求出度数,第三问里要注意切线的位置的特殊性,利用切线的性质求出视角,近而得出Q 点横坐标的取值范围内的数值即可.9. 对于平面直角坐标系xOy 中的点(,)Q x y (x ≠0),将它的纵坐标y 与横坐标x 的比yx称为点Q 的“理想值”,记作Q L .如(1,2)Q -的“理想值”221Q L ==--. (1)①若点(1,)Q a 在直线4y x =-上,则点Q 的“理想值”Q L 等于_________;②如图,(3,1)C ,⊙C 的半径为1. 若点Q 在⊙C 上,则点Q 的“理想值”Q L 的取值范围是 . (2)点D 在直线3+3y x =上,⊙D 的半径为1,点Q 在⊙D 上运动时都有0≤L Q 3,求点D 的横坐标D x 的取值范围;(3)(2,)M m (m >0),Q 是以r 为半径的⊙M 上任意一点,当0≤L Q ≤22画出满足条件的最大圆,并直接写出相应的半径r 的值.(要求画图位置准确,但不必尺规作图)【答案】见解析由0≤QL ≤3,作直线3y x =.①如图13,当⊙D 与x 轴相切时,相应的圆心1D 满足题意,其横坐标取到最大值.作11D E x ⊥轴于点1E ,可得11D E ∥OB ,111D E AE BO AO =. ∵ ⊙D 的半径为1, ∴ 111D E =.图13∴ 13AE =,1123OE OA AE =-=. ∴123D x =.∴ 21D F =.图14图15三、方程、不等式、函数与新定义11.对于三个数、、,用表示这三个数的中位数,用表示这三个数中最大数,例如:,,.解决问题:(1)填空:,如果,则的取值范围为;(2)如果,求的值;(3)如果,求的值.【答案】(1),;(2)﹣3或0;(3)x=3或﹣3.解:(1)∵sin45°=,cos60°=,tan60°=,∴M{sin45°,cos60°,tan60°}=,∵max{3,5﹣3x,2x﹣6}=3,则,∴x的取值范围为:,故答案为:,;(2)2•M{2,x+2,x+4}=max{2,x+2,x+4},分三种情况:①当x+4≤2时,即x≤﹣2,原等式变为:2(x+4)=2,x=﹣3,②x+2≤2≤x+4时,即﹣2≤x≤0,原等式变为:2×2=x+4,x=0,③当x+2≥2时,即x≥0,原等式变为:2(x+2)=x+4,x=0,综上所述,x的值为﹣3或0;(3)不妨设y1=9,y2=x2,y3=3x﹣2,画出图象,如图所示:结合图象,不难得出,在图象中的交点A、B点时,满足条件且M{9,x2,3x﹣2}=max{9,x2,3x﹣2}=y A=y B,此时x2=9,解得x=3或﹣3.点睛:本题考查了方程和不等式的应用及新定义问题,理解新定义,并能结合图象,可以很轻松将抽象题或难题破解,由此看出,图象在函数相关问题的作用是何等重要.12.定义:对于给定的二次函数y=a(x﹣h)2+k(a≠0),其伴生一次函数为y=a(x﹣h)+k,例如:二次函数y=2(x+1)2﹣3的伴生一次函数为y=2(x+1)﹣3,即y=2x﹣1.(1)已知二次函数y=(x﹣1)2﹣4,则其伴生一次函数的表达式为_____;(2)试说明二次函数y=(x﹣1)2﹣4的顶点在其伴生一次函数的图象上;(3)如图,二次函数y=m(x﹣1)2﹣4m(m≠0)的伴生一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点B、A,且两函数图象的交点的横坐标分别为1和2,在∠AOB内部的二次函数y=m(x﹣1)2﹣4m的图象上有一动点P,过点P作x轴的平行线与其伴生一次函数的图象交于点Q,设点P的横坐标为n,直接写出线段PQ的长为时n的值.【答案】y=x﹣5。

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