第1讲 圆的相关计算与证明(版本1)

第1讲：圆的相关计算与证明§Ⅰ你了解圆（点与圆、直线与圆）的中考方向吗？众所周知，《圆》是几何的总结，也就是说，圆可以把以前学过的直线、角、三角形、四边形、多边形等平面几何知识统筹起来，因此，圆中问题的题目伸缩性很大，难度系数可在0.1—1.0之间任意设置。

前些年中考试题中“圆”的题目难度偏大，几乎每个省市均以“圆”的知识作为压轴题的内容，近年来，随着教育部颁发《数学课程标准》的实施，对“圆”的教学、考试适当降低了要求，同时也相对削弱了“圆”试题的分值配备。

但是，特别提醒的是：成都市的中考题，对“圆”弱化不大！以2011年为例，共设置19分，其中B卷第25题和第27题的第（3）小题的难度系数均在0.2以下。

由此可以预见，2012年成都市的中考，圆中试题，仍然有相当的难度。

§Ⅱ你了解这些考点吗？☆1、点与圆的三种位置关系，★★★☆2、，★★☆3、圆心角、圆周角、弦切角定理，★★☆4、三角形的外心和四边形的外接圆，★☆5、直线和圆的三种位置关系，★★★★6、，★★7、三角形的内心与旁心，★★8、切线长定理。

★8、两圆相交、相切的性质及其应用；★★②两圆内含的特殊情形：；★★③圆幂定理的广泛应用。

§Ⅲ你掌握了圆中常用的辅助线吗？1、作圆的半径，2、作弦的垂线，以便于利用垂径定理，3、连接圆上一点与直径的两个端点构成直角三角形，4、作弧或辅助圆。

5、两圆：①作连心线；②；③作公切线。

§Ⅳ一招制胜——图形分离法正如上一个讲座（专题2）所言，图形分离法就是：面对复杂几何图形时，要从不同的角度去观察，学会辨认图形。

即要善于从复杂图形中寻找、分离出我们最熟悉的图形，从而利用熟悉图形的性质给予解答。

要运用好“图形分离法”必须：（1）；（2）；（3）。

§Ⅴ易错、易混点归纳1、等弧的意义，2、垂径定理的推论1成立的条件，3、针对圆的运动型试题（动点、动直线），由于思维不全，易出现漏解情况。

ABCD E(第3题图)Oαα§Ⅵ 中考题型“一网打尽”！题型一 选择题（传统题型）【例1】（安徽芜湖）如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm 2，则该半圆的半径为（ ） A ．(45)+ cm B ．9 cm C.45cm D ．62cm题型一 选择题（新型试题）【例2】（江苏盐城）如图，A 、B 、C 、D 为⊙O 的四等分点，动点P 从圆心O 出发，沿O D C →→→0路线作匀速运动．设运动时间为t （s ），∠APB=y （）°，则下列图象中表示y 与t 之间函数关系最恰当的是（ ）☆☆名师点睛在圆的试题中，无论是传统的选择题还是新型试题，他们主要考察圆心角、圆周角、垂径定理、切线的性质等内容，解决这些问题常常要运用（1）勾股定理或利用三角函数解直角三角形（2） （3） 解之。

☆☆课堂议练一1、（泰安市）如图，在⊙O 中，AOB ∠的度数为m C ，是弧ACB 上一点，D E ，是弧AB 上不同的两点（不与A B ，两点重合），则D E ∠+∠的度数为（ ）A ．mB ．1802m -C ．902m +D ．2m第8题图A B C DA BCDEO（第1题）PCB y t90 45 y t 090 45 y t 090 45 45 90t y A DO(第4题图)BA CO DDCBAQO P2、（（湖北荆门）如图，将圆沿AB 折叠后，圆弧恰好经过圆心，则弧AmB 的度数等于（ ）(A) 60° (B) 90° (C)120° (D)150°3、（山东济宁）如图所示，小华从一个圆形场地的A 点出发，沿着与半径OA 夹角为α的方向行走，走到场地边缘B 后，再沿着与半径OB 夹角为α的方向折向行走。

按照这种方式，小华第五次走到场地边缘时处于弧AB 上，此时∠AOE ＝56°，则α的度数是（ ）A 、52°B 、60°C 、72°D 、76°4、（江苏南通）如图，梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ⊥BC ，AB ＝2cm ，CD ＝4cm ．以BC 上一点O 为圆心的圆经过A 、D 两点，且∠AOD ＝90°，则圆心O 到弦AD 的距离是（ ）A 、6cmB 、10cmC 、32cmD 、52cm5、(杭州市) 以正方形ABCD 的BC 边为直径作半圆O , 过点D 作直线切半圆于点F , 交AB 边于点E . 则三角形ADE 和直角梯形EBCD 周长之比为( )(A) 3:4 (B) 4:5 (C) 5:6 (D) 6:7题型二 填空题（传统题型）【例3】（山东淄博）如图，已知：△ABC 是⊙O 的内接三角形，AD ⊥BC 于D 点，且AC=5，DC=3，AB=24，则⊙O 的直径等于 。

题型二 填空题（新型试题）【例4】（成都理科实验班考题）如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，点P 在劣弧AB 上，连结DP ，交AC 于点Q ．若QP=QO ，则QAQC 的值为。

BACDOABCD（第4题）x y C BDAO （第2题）E ☆☆课堂议练二1、（济南市）如图，有一圆形展厅，在其圆形边缘上的点A 处安装了一台监视器，它的监控角度是65．为了监控整个展厅，最少需在圆形边缘上共安装．．．这样的监视器 台．2、（浙江台州）善于归纳和总结的小明发现，“数形结合”是初中数学的基本思想方法，被广泛地应用在数学学习和解决问题中．用数量关系描述图形性质和用图形描述数量关系，往往会有新的发现．小明在研究垂直于直径的弦的性质过程中（如图，直径AB ⊥弦CD 于E ），设AE x =，BE y =，他用含x y ，的式子表示图中的弦CD 的长度，通过比较运动的弦CD 和与之垂直的直径AB 的大小关系，发现了一个关于正数x y ，的不等式，你也能发现这个不等式吗？写出你发现的不等式 ．3、（安徽）如图，⊙O 的直径AB=12，AD 和BC 是它的两条切线，切点分别为A 、B ，DE 切⊙O 于E ，交AD 于D ，交BC 于C ，设AD=x ，BC=y ，则y 与x 的函数关系式是 ．4、（遵义市）如图，梯形ABCD 中，AD BC ∥，90C ∠=，4AB AD ==，6BC =，以A 为圆心在梯形内画出一个最大的扇形（图中阴影部分）的面积是 ．（第1题）A655、（08成都）如图，已知A 、B 、C 是⊙O 上的三个点，且AB=15cm ，AC=33cm ，∠BOC=60°.如果D 是线段BC 上的点，且点D 到直线AC 的距离为2，那么BD= cm.题型三 解答或证明题【例5】（四川成都）如图，A 是以BC 为直径的⊙O 上一点，AD BC ⊥于点D ，过点B 作⊙O 的切线，与CA 的延长线相交于点E G ，是AD 的中点，连结CG 并延长与BE 相交于点F ，延长AF 与CB 的延长线相交于点P ．（1）求证：BF EF =；（2）求证：PA 是⊙O 的切线； （3）若FG BF =，且⊙O 的半径长为32，求BD 和FG 的长度．OD GCAE FBP四：探索型试题【例7】（（沈阳）如图12，直线334y x=-+与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，点C(m，n)是第二象限内任意一点，以点C为圆心的圆与x轴相切于点E，与直线AB 相切于点F.⑴当四边形OBCE是矩形时，求点C 的坐标；⑵如图13，若⊙C与y轴相切于点D，求⊙C的半径r；⑶求m与n之间的函数关系式；⑷在⊙C的移动过程中，能否使△OEF是等边三角形（只回答“能”或“不能”）？☆☆课堂议练四图12xyFEBOAC图13xyDFEBOAC1、（山东）半径为2.5的⊙O 中，直径AB 的不同侧有定点C 和动点P ，已知:4:3BC CA =，点P 在弧AB 上运动，过点C 作CP 的垂线，与PB 的延长线交于点Q ． （1）当点P 运动到与点C 关于直径AB 对称时，求CQ 的长； （2）当点P 运动到弧AB 的中点时，求CQ 的长；（3）当点P 运动到什么位置时，CQ 取到最大值，并求出此时CQ 的长．两圆的位置关系：题型一 选择或填空【例1】（嘉兴市）如图，正方形ABCD中，E 是BC边上一点，以E 为圆心、EC 为半径的半圆与以A 为圆心，AB 为半径的圆弧外切，则sin EAB ∠的值为（ ）A ．43B ．34C ．45D ．35【例2】如图，已知⊙O 1、⊙O 2内切于点P ，⊙O 1的弦AD 交⊙O 2于B 、C,若AB ∶BC ∶CD = 3∶6∶1，则⊙O 1、⊙O 2的直径之比为 。

Ｏ ＡＣ Ｂ（第1题图） ＱＰＤ ＯＡＣＢ（备用图）（例1）☆☆课堂议练五1、（广东韶关）如右图，⊙A 、⊙B 、⊙C 、⊙D 相互外离，它们的半径都是1，顺次连结四个圆心得到四边形ABCD ，则图中四个扇形（阴影部分）的面积之和等于 ．（结果保留π）2、（济宁）如图，以BC 为直径，在半径为2圆心角为90的扇形内作半圆，交弦AB 于点D ，连接CD ，则阴影部分的面积是（ ） A ．1π-B ．2π-C ．112π-D ．122π-★★3、(杭州市) 如图, 大圆O 的半径OC 是小圆1O 的直径, 且有OC 垂直于圆O 的直径AB . 圆1O 的切线AD 交OC 的延长线于点E , 切点为D . 已知圆1O 的半径为r ,则=1AO ;=DE 。

5、（湖北孝感）如图，Rt ABC △中，90C ∠=，8AC =，6BC =，两等圆⊙A 、⊙B 外切，那么图中两个扇形（即阴影部分）的面积之和为（ ） A ．254π B ．258π C ．2516π D ．2532π题型二 解答或证明题 1、传统题型【例3】（湖南永州）如图，以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的直径AD 交小圆于M N ，两点，大圆的弦AB 切小圆于点C ，过点C 作直线CE AD ⊥，垂足为E ，交大圆于F H ，两点．（1）试判断线段AC 与BC 的大小关系，并说明理由；（2）求证： AO AE CH FC ⋅=⋅；ABCDABC（3）若FC CH ，是方程22540x x -+=的两根（CH CF >），求图中阴影部分图形的周长。

2、新型试题【例4】（山东威海市）如图，点A ，B 在直线MN 上，AB ＝11厘米，⊙A ，⊙B 的半径均为1厘米．⊙A 以每秒2厘米的速度自左向右运动，与此同时，⊙B 的半径也不断增大，其半径r （厘米）与时间t （秒）之间的关系式为r ＝1+t （t ≥0）． （1）试写出点A ，B 之间的距离d （厘米） 与时间t （秒）之间的函数表达式； （2）问点A 出发后多少秒两圆相切？☆☆课堂议练二1、（2010湖北十堰）（本小题满分9分）如图，已知⊙O 1与⊙O 2都过点A ，AO 1是⊙O 2的切线，⊙O 1交O 1O 2于点B ，连结AB 并延长交⊙O 2于点C ，连结O 2C .（1）求证：O 2C ⊥O 1O 2；（2）证明：AB ·BC =2O 2B ·BO 1；（3）如果AB ·BC =12，O 2C =4，求AO 1的长.O 1O 2A BCABNM成都中考赏析（2008成都）如图，已知⊙O的半径为2，以⊙O的弦AB为直径作⊙M，点C是⊙O优弧AB上的一个动点（不与点A、点B重合）.连结AC、BC，分别与⊙M相交于点D、点E，连结DE.若AB=23. (1)求∠C的度数；（2）求DE的长；（3）如果记tan∠ABC=y，ADDC=x（0<x<3），那么在点C的运动过程中，试用含x的代数式表示y.AB CDE F G O25. 如图，已知A 、B 、C 是⊙O 上的三个点，且AB=15cm ，AC=33cm ， ∠BOC=60°.如果D 是线段BC 上的点，且点D 到直线AC 的距离为2， 那么BD=11135cm.（2009成都）如图，R t△ABC 内接于⊙O，AC=BC ，∠BAC 的平分线AD 与⊙0交于点D ，与BC 交于点E ，延长BD ，与AC 的延长线交于点F ，连结CD ，G 是CD 的中点，连结0G ．(1)判断0G 与CD 的位置关系，写出你的结论并证明；(2)求证：AE=BF ；（3）若3(22)OG DE ⋅=-，求⊙O 的面积。