第1部分 第一章 1.2 1.2.1 集合之间的关系

3k0＋1＝3(k0＋1)－2， 因为k0∈Z，所以k0＋1∈Z. 所以y0∈A.故B⊆A. 综上可得A＝B.
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[例3]
(12分)已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m
－1<x<m＋1}，且B⊆A.求实数m的取值范围．
[思路点拨] 就B是否为空集进行讨论，利用B⊆A列
出关于m的不等式(组)求解．
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[一点通] (1) 若两个集合相等，则所含元素完全相同，与顺序 无关.要注意检验，排除与集合元素互异性或与已知相矛 盾的情形． (2)若两个集合中元素均为无限多个，要看两个集合 的代表元素是否一致.且看代表元素满足的条件是否一致.
若均一致，则两个集合相等．
(3)证明两个集合相等的常用思路是证A⊆B且B⊆A.
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4．设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝{0，，b}，则b－a ＝ A．1 C．2 B．－1 D．－2 ( )
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b 解析：∵a中，a≠0，∴a＋b＝0.当 b＝1 时，a＝－1， b b 这时a＝－1，符合题意；当a＝1 时，a＝0 不合题意．故 b－a＝1－(－1)＝2.
答案：C
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5．已知M＝{0,2，b}，N＝{0,2，b2}，且M＝N，则实 数b的值为________． 解析：∵M＝N，∴b＝b2.解得b＝1或b＝0(舍去)， ∴b＝1. 答案：1
a＝2a， ∵A＝B，∴ b＝b2，
a＝b2， 或 b＝2a.
1 a＝0， a＝0， a＝4， 解得 或 或 b＝1， b＝0， b＝1. 2 1 a＝0， a＝4， 由集合中元素的互异性，得 或 b＝1， b＝1. 2
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2．已知集合A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{x|0＜x＜1}，则有(
A．A>B C．BA B．AB D．A⊆B
)解析：借助数轴，可得BA.答案：C返回3．已知集合M＝{x∈Z|－1≤x<3}，N＝{x|x＝|y|，y∈M}，
试判断集合M，N的关系．
解：∵x∈Z，且－1≤x＜3，∴x的取值为－1,0,1,2.
相等的三角形，故AB.
(5)集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B，如图所示由 图可发现AB.
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[一点通]
判断集合之间的关系本方法是转化为判定元
素和集合间的关系，首先判断一个集合A.中的任意一个元
素是否属于另一个集合B.若是，则A⊆B，否则A B.其次判
断另一个集合B中的任意一个元素是否属于集合A.若是，则 B⊆A，否则B A⊆B，B A.最后下结论：若A⊆B，B⊆A，则A＝B;若
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相等
2．集合相等的性质
若A⊆B，B⊆A，则A＝B；反之， 若A＝B，则A⊆B，且B⊆A .
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已知A＝{北京四中高一(2)班的学生}，B＝{北京四中高 一的学生}． 问题1：A和B有何关系？ 提示：A B. 问题2：若李胜男是北京四中高一(2)班的学生，则李胜 男是北京四中高一的学生对吗？你能得出什么结论？ 提示：对，利用元素特征性质之间的关系可判断集合之 间的关系．
7．若集合A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x>a}，满足AB，则实数a
的取值范围是 ( )
A．{a|a≥2}
C．{a|a≥1}
B．{a|a≤1}
D．{a|a≤2}
解析：如图所示，因为AB，所以a≤1.
答案：B
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8．设A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|x－a＝0}.若B⊆A，
则实数a的值为________．
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[精解详析]
(1)当 B＝∅时，m＋1≤2m－1. (4 分)
解得 m≥2，这时 B⊆A. －3≤2m－1， (2)当 B≠∅时，由 B⊆A 得m＋1≤4， 2m－1＜m＋1. 解得－1≤m＜2. 综上得 m≥－1.
(8 分) (10 分) (12 分)
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[一点通]
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(1)一般地，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，如果A⊆B，
则 x∈A⇒x∈B .于是，x具有性质p(x)⇒x具有性质q(x)，
即 p(x)⇒q(x) ． 反之，如果p(x)⇒q(x)，则A一定是B的 子集，其中符号 “⇒”是“推出”的意思．
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(2) 如果命题“p(x)⇒q(x)”和命题“q(x)⇒p(x)”，都是正 确的命题，这时我们常说，一个命题的条件和结论可以互 相推出，互相推出可用符号“⇔”表示.于是，上述两个正确 的互逆命题可表示为p(x)⇔q(x).显然，如果p(x)⇔q(x)，则 p(x)⇔q(x) ． A＝B ，则 A＝B；反之，如果
提示：是的．
问题2：集合B中的元素都是集合A中的元素吗？ 提示：不全是．
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1.子集与真子集 定义 如果集合A中的 任意一个 元素都 子集 是集合B的元素，那么集合A叫做 集合B的子集. 真子 集
符号
语言
图形语言
(Venn图)
A⊆B
(或B⊇A)
如果集合A是集合B的子集，并且
B中至少有一个元素不属于A，那 么集合A叫做集合B的真子集 A B (或B A)
问题1：集合B能否用列举法表示出来？
提示：能，B＝{0,1}．
问题2：集合A中的元素和集合B中的元素有什么关系？ 提示：完全相同．
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1.集合相等 定义 符号 语言 图形语言 (Venn图)
如果集合A的 每一个元素 都
集合 是集合B的元素，反过来， 集合B的 每一个元素 也都是 A＝B 集合A的元素，那么就说集 合A等于集合B
A，则AB;若A B，B⊆A，则BA，若上述
三种情况均不成立，则A B，B
A.
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1．已知集合P＝{2 010,2 011}，Q＝{2 010,2 011，2 012 }，则有 ( A．P＝Q C．PQ B．Q⊆P D．QP )
解析：很明显，集合P中的元素都属于集合Q，则P⊆Q， 但是2 012∈Q,2 012∉P，所以PQ. 答案：C
解析：A＝{3,5}，B＝{a}．∵B⊆A，∴a＝3或a＝5.
答案：3或5
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(1)子集和真子集
①A⊆B包含两种情况：A＝B和AB.当A是B的子集
时，不要漏掉A＝B的情况．
②集合与集合之间的关系有包含关系、相等关系，其
中包含关系有：包含于(⊆)、包含(⊇)、真包含于()、真
包含()等、用这些符号时要注意方向，如A⊆B与B⊇A
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[例1] 指出下列各对集合之间的关系：
(1)A＝{－1,1}，B＝{x∈Z|x2＝1}；
(2)A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}； (3)A＝{－1,1}，B＝{∅，{－1}，{1}，{－1,1}}； (4)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}； (5)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x－5<0}．
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2．子集的性质 (1)规定：空集是 任何集合 的子集.也就是说，对任 意集合A，都有∅⊆A. (2)任何一个集合A都是它本身的 子集 ，即 A⊆A . (3)如果A⊆B，B⊆C，则 A⊆C. (4)如果AB，BC，则 AC .
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给定两个集合:A＝{0,1}，B＝{x|x2＝x}．
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[思路点拨]
首先明确元素的特性，再利用子集与真子
集的概念进行判断．
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[精解详析]
(1)用列举法表示集合B＝{－1,1}，故A＝B.
(2)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是实数对， 故A与B之间无包含关系． (3)观察发现集合A是集合B的一个元素，故A∈B. (4)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边
是相同的，但A⊆B，B⊆A是不同的．
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(2)空集 ①空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真 子集． ②利用“A⊆B”或“AB”解题时，要讨论A＝∅和 A≠∅两种情况．
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第 一 章
集 合
1.2 集 合 之 间 的 关 系 与 运 算
知识点一 1.2.1 集 合 之 间 的 关 系 理解教材新知 知识点二 知识点三 考点一 把握热点考向 考点二 考点三 应用创新演练
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给出下面两个集合：A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4}．
问题1：集合A中的元素都是集合B中的元素吗？
∴M＝{－1,0,1,2}． 又∵y∈M，∴|y|的值分别是0,1,2. ∴N＝{0,1,2}．∴N M.
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[例2]
已知集合A＝{2，a，b}，集合B＝{2a,2，b2}.
若A＝B，求a，b的值． [思路点拨] 从集合相等的概念入手，寻找元素的关
系，还要注意集合中元素的互异性．
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[精解详析]
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6．已知集合A＝{x|x＝3n－2，n∈Z}，B＝{y|y＝3k＋1，
k∈Z}，证明A＝B. 证明：(1)设任意x0∈A，则x0＝3n0－2，且n0∈Z. 3n0－2＝3(n0－1)＋1，因为n0∈Z，所以n0－1∈Z. 所以x0∈B.故A⊆B.
(2)设任意y0∈B，则有y0＝3k0＋1，且k0∈Z.
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对子集、真子集概念的理解 (1)集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由 x∈A能推出x∈B，这是判断A⊆B的常用方法． (2)不能简单地把“A⊆B”理解成“A是B中部分元素组成
的集合”，因为若A＝∅时，则A中不含任何元素；若A＝B，
则A中含有B中的所有元素． (3)在真子集的定义中，AB首先要满足A⊆B，其次至 少有一个x∈B，且x∉A.
(1) 分析集合关系时，首先要分析、简化每个集合． (2)解此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将 各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端 点值，做到准确无误.一般含“＝”用实心点表示，不含“＝ ”用空心点表示． (3) 解此类问题还要注意“空集”的情况，因为空集是 任何集合的子集．