2.集合间的基本关系练习题
高中数学必修第一册《1-2集合间的基本关系》课时同步训练试题
1-2集合间的基本关系 同步训练第I 卷（选择题）一、单选题1．（2018·浙江高一课时练习）设B ＝{1,2}，A ＝{x |x ⊆B }，则A 与B 的关系是( ) A ．A ⊆BB ．B ⊆AC ．B ∈AD ．A ＝B2．（2021·全国）下列命题中，正确的有（ ）①空集是任何集合的真子集；②若A B ，B C ，则A C ；③任何一个集合必有两个或两个以上的真子集：④如果不属于B 的元素一定不属于A ，则A B ⊆.A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④ 3．（2018·佛山市第二中学）集合{}{}14,A x x B x x a =-≤≤=>，若A B ⋂≠∅，则a 的取值范围为（ ）A ．4a <B ．4a >-C ．1a >-D ．14a -<≤4．（2019·华东师范大学第一附属中学）已知集合{}2430,A x x x x R =-+<∈，(){}12202750,x B x a x a x x R -=+≤-++≤∈且，若A B ⊆，则实数a 的取值范围_______. A ．[]4,0- B ．[]4,1-- C ．[]1,0- D ．14,13⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ 5．（2017·浙江）集合{|}A x x a =≤，2{|50}B x x x =-<，若A∩B=B ，则a 的取值范围是（ ）A ．5a ≥B ．4a ≥C ．5a <D ．4a < 6．（2019·太原市第五十三中学校高一月考）已知{}1,2,3A =，{}|,,B x x a b a A b A ==+∈∈，则B 的真子集个数为（ ）A ．31B ．32C ．63D ．64二、多选题7．（2021·江苏）给出下列选项，其中正确的是（ ）A ．{}{}∅∈∅B ．{}{}∅⊆∅C ．{}∅∈∅D ．∅⫋{}∅ 8．（2021·全国高一专题练习）已知集合{12}A xx =<<∣，{232}B x a x a =-<<-∣，下列命题正确的是A ．不存在实数a 使得AB =B ．存在实数a 使得A B ⊆C ．当4a =时，A B ⊆D ．当04a 时，B A ⊆E.存在实数a 使得B A ⊆第II 卷（非选择题）三、填空题9．（2020·瓦房店市实验高级中学高一月考）已知集合{}1,2,3,4M =，对它的非空子集A ，可将A 中的每一个元素k 都乘以()1k-再求和，则对M 的所有非空子集执行上述求和操作，则这些和的总和是______.10．（2021·全国）设集合A ＝{x ||x ﹣a |＜1，x ∈R }，B ＝{x |1＜x ＜5，x ∈R }，若A 是B 的真子集，则a 的取值范围为___． 11．（2019·全国高一课时练习）某个含有三个实数的集合既可表示为,,0b b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，也可表示为{a ，a ＋b ，1}，则a 2015＋b 2015的值为____．12．（2021·全国）已知{}{}1,21,2,3,4,5,6,7A ≠⊆⊂，满足上述条件的集合A 的个数是______．四、解答题13．（2021·全国高一课时练习）已知全集(){|010},{1,35,7}U U A B x N x A C B =⋃=∈≤≤⋂=，，试求集合B .14．（2017·湖南长沙一中高一期中）已知集合{|013}A x ax =<+≤，集合1{|2}2B x x =-<<. （1）若1a =；求AC B ；（2）若A B A =，求实数a 的取值范围.15．（2020·黑龙江哈九中高三期末（文））已知()1f x x a x =-++.（1）若不等式()21f x x <++的解集是区间3,2的子区间，求实数a 的取值范围； （2）若对任意的x ∈R ，不等式()21>+f x a 恒成立，求实数a 的取值范围.16．（2019·太原市第五十三中学校高一月考）写出集合P 的所有子集，其中(){},|5,,P x y x y x N y N ++=+=∈∈.参考答案1．C【解析】【分析】首先确定集合A 的特征，据此确定A 与B 的关系即可.【详解】由题意可知集合A 中的元素为集合B 的子集，据此可得：B A ∈.本题选择C 选项.【点睛】本题主要考查集合的表示方法，集合与元素的概念等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2．C【分析】运用空集的性质，即可判断①；运用集合的传递性，即可判断②；由集合的真子集的个数，即可判断③；由韦恩图，即可判断④．【详解】①空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，故①错误；②真子集具有传递性，故②正确；③若一个集合是空集，则没有真子集，故③错误；④由韦恩图易知④正确.故选C.【点睛】本题考查集合的概念，主要是空集和子集、真子集的性质，考查判断能力，属于基础题． 3．A【分析】据已知条件知A ，B 有公共元素，列出两个集合的端点满足的不等关系，结合数轴可以得出a 的范围．【详解】{}14A x x =-≤≤，{}B x x a =>，∵A B ⋂≠∅，∴对照数轴得4a <，即a 的取值范围为4a <，故选：A.【点睛】本题考查集合关系中的参数取值问题和集合的交集运算，将集合的关系转化为集合端点的不等关系，是解决本题的关键，属于基础题.4．B【分析】首先解出集合A ,若满足A B ⊆，则当()1,3x ∈时，120x a -+≤和()22750x a x -++≤恒成立，求a 的取值范围.【详解】{}13A x x =<<，A B ⊆，即当()1,3x ∈时，120x a -+≤恒成立，即12x a -≤- ，当()1,3x ∈时恒成立，即()1min 2x a -≤- ，()1,3x ∈而12x y -=-是增函数，当1x =时，函数取得最小值1-，1a ∴≤-且当()1,3x ∈时，()22750x a x -++≤恒成立，()()1030f f ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩，解得：4a ≥- 综上：41a -≤≤-.故选B【点睛】本题考查根据给定区间不等式恒成立求参数取值范围的问题，意在考查转化与化归和计算求解能力，恒成立问题可以参变分离转化为求函数的最值问题，如果函数是二次函数可以转化为根的分布问题，列不等式组求解.5．A【解析】因为25005x x x -<⇒<<,又A B B B A ⋂=⇒⊆，则由{|}A x x a =≤，可得；5a ≥时满足条件A B B ⋂=．6．A【分析】由题：根据,a b 的取值情况分析集合{2,3,4,5,6}B =一共32个子集，所以31个真子集.【详解】由题：当1a b ==时，集合B 中元素最小为2，当3a b ==时，集合B 中元素最大为6， 又当1,2a b ==时，集合B 中元素为3，当1,3a b ==时，集合B 中元素为4，当2,3a b ==时，集合B 中元素为5，所以集合{2,3,4,5,6}B =，其子集个数为5232=个，所以真子集31个.故选：A【点睛】此题考查元素与集合的关系以及子集个数分析，关键在于熟记集合的子集个数结论，否则只有逐一列举，计算量大且容易出错.7．BCD【分析】利用空集的特征，以及元素和集合，集合与集合之间的关系逐项判断【详解】对于A ，∅不是{}{}∅的元素，故不正确；对于B ，∅是任何集合的子集，所以∅是{}{}∅的子集，故正确；对于C ，∅是{}∅的元素，故正确；对于D ，∅是任何非空集合的真子集，{}∅有一个元素∅，是非空集合，故正确.故答案为：BCD .8．AE【分析】利用集合相等判断A 选项错误，由A B ⊆建立不等式组，根据是否有解判断B 选项； 4a =时求出B ，判断是否A B ⊆可得C 错误，分B 为空集，非空集两种情况讨论可判断D选项，由D 选项判断过程可知E 选项正确.【详解】A 选项由相等集合的概念可得23122a a -=⎧⎨-=⎩解得2a =且4a =，得此方程组无解， 故不存在实数a 使得集合A=B ，因此A 正确；B 选项由A B ⊆，得23122a a -≤⎧⎨-≥⎩即24a a ≤⎧⎨≥⎩，此不等式组无解，因此B 错误； C 选项当4a =时，得{52}B xx =<<∣为空集，不满足A B ⊆，因此C 错误； D 选项当232a a -≥-，即1a ≥时，B A =∅⊆，符合B A ⊆；当1a <时，要使B A ⊆，需满足23122a a -≥⎧⎨-≤⎩解得24a ≤≤，不满足1a <，故这样的实数a 不存在，则当04a ≤≤时B A ⊆不正确，因此D 错误；E 选项由D 选项分析可得存在实数a 使得B A ⊆，因此E 正确.综上AE 选项正确.故选：AE.【点睛】本题主要考查了集合相等，子集的概念，考查了推理运算能力，属于中档题.9．16【分析】先求出集合M 它非空子集A 的个数，在所有子集中，各个元素出现的次数，即可解答．【详解】因为{}1,2,3,4M =，对它的非空子集A 共有15个， 分别是{}{}{}{}123412{},,,,，, 1,31,42,32,43,41,2,31,2,4{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}1,3,42,3,41,2,34,,,,,,,,,,其中数字1,2,3,4都出现了8次． 依题意得：()()()()123481121314116⎡⎤-+-+-+-=⎣⎦. 故答案为：16.【点睛】本题主要考查了集合的非空真子集的概念，理解本题中的新定义的概念是解决本题的关键，属于中档题.10．2≤a ≤4【分析】根据集合A 解出a ﹣1＜x ＜a +1，利用包含关系求解参数范围.【详解】由|x ﹣a |＜1，得﹣1＜x ﹣a ＜1，∴a ﹣1＜x ＜a +1，由A 是B 的真子集，得1115a a ->⎧⎨+<⎩ ，∴2＜a ＜4． 又当a ＝2时，A ＝{x |1＜x ＜3}， a ＝4时，A ＝{x |3＜x ＜5}， 均满足A 是B 的真子集， ∴2≤a ≤4．故答案为：2≤a ≤411．0【分析】根据所给的一个集合的两种表达形式，看出第一种表达形式中，只有a ＋b 一定不等式0，重新写出集合的两种形式，把两种形式进行比较，得出a ，b 的值，得到结果.【详解】解：∵集合既可以表示成{b ，b a，0}，又可表示成{a ，a ＋b ，1} ∴a ＋b 一定等于0在后一种表示的集合中有一个元素是1只能是b .∴b ＝1，a ＝－1∴a 2015＋b 2015＝0.【点睛】本题考查集合的元素的三个特性和集合相等.易错点在于忽略集合中元素的互异性. 12．31【分析】集合A 中一定含有1,2这两个元素，且集合A 是集合{}1,2,3,4,5,6,7的真子集，则满足上述条件的集合A 的个数与集合{}3,4,5,6,7的真子集的个数一致，求出集合{}3,4,5,6,7的真子集个数，即可得出答案.【详解】由题意可知，集合A 中一定含有1,2这两个元素，且集合A 是集合{}1,2,3,4,5,6,7的真子集 则满足上述条件的集合A 的个数与集合{}3,4,5,6,7的真子集的个数一致则满足上述条件的集合A 的个数为52131-=故答案为：31【点睛】本题主要考查了集合的包含关系，求集合的真子集个数，属于中档题.13．{0,2,4,6,8,9,10}【分析】计算{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}U A B =⋃=，根据(){1,3,5,7}U A B ⋂=计算得到答案.【详解】{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}U A B =⋃=，(){1,3,5,7}U A B ⋂=，{1,3,5,7}U B ∴=.故(){0,2,4,6,8,9,10}U U B B ==.【点睛】本题考查了交集，全集，补集，意在考查学生的计算能力.14．（1）1{|12A CB x x =-<≤-或2}x =；（2）(,4)[2,)-∞-+∞ 【解析】试题分析：（1）1a =时求出集合A ，根据补集的定义写出A B ；（2）A B A ⋂=得A B ⊆，A 中不等式解集分三种情况讨论：0a =、0a <和0a >时，求出对应集合A ，根据A B ⊆求出a 的取值范围.试题解析：（1）若1a =，则{|12}A x x =-<≤， 故1{|12A CB x x =-<≤-或2}x = （2）,A B A A B ⋂=∴⊆，不等式013ax <+≤解集分三种情况讨论：①0a =，则,A R A B =⊆不成立；②0a <，则21{|}A x x a a =≤<-，由A B ⊆得12,12,2a a⎧-≤⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩得4a <-；③0a >，则12{|}A x x a a =-≤<，由A B ⊆得11,222,a a⎧-≥-⎪⎪⎨⎪<⎪⎩得2a ≥. 综上所述：a 的取值范围为()[),42,-∞-⋃+∞.点睛：本题主要考查了集合的运算以及含有参数的集合间的关系，属于基础题；对于含有参数的一元一次不等式的解法，主要利用分类讨论的思想，对一次项系数进行讨论，分为0,0,0a a a =><三种情形，利用数轴将区间端点值进行比较，得出不等式组.15．（1）[]1,0-（2）(),0-∞【分析】（1）首先求出不等式的解集，再根据集合的包含关系求出参数的取值范围；（2）根据绝对值的三角不等式可得()1111f x x a x a x x a x x a =-++=-++≥-++=+，故对任意的x ∈R ，()21>+f x a 恒成立可转化为121a a +>+， 分类讨论计算可得；【详解】解：（1）因为()1f x x a x =-++，且()21f x x <++，2x a ∴-< ，22a x a ∴-+<<+，由题意知，()[]2,23,2a a -+⊆-，所以2322a a -≥-⎧⎨+≤⎩， 解得10a -≤≤，所以实数a 的取值范围是[]1,0-.（2）()1111f x x a x a x x a x x a =-++=-++≥-++=+，当且仅当()()10a x x -+≥时，等号成立，所以()f x 的最小值为1a +.故对任意的x ∈R ，()21>+f x a 恒成立可转化为121a a +>+，所以10121a a a +≥⎧⎨+>+⎩或10121a a a +<⎧⎨-->+⎩，解得0a <. 所以实数a 的取值范围是(),0-∞.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，集合的包含关系及绝对值三角不等式的应用，属于中档题. 16．{},(1,4)},{(2,3)},{(3,2)},{(4,1)∅，{}{(1,4),(2,3)},{(1,4),(3,2)},(1,4),(4,1),{(2,3),(3,2)},{(2,3),(4,1)},{(3,2),(4,1)}，{}{(1,4),(2,3),(3,2)},{(1,4),(2,3),(4,1)},{(2,3),(3,2),(4,1)},(1,4),(3,2),(4,1)，{}(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)【分析】依次写出集合P 中的所有元素，{}(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)P =，即可写出其所有子集.【详解】由题(){},|5,,P x y x y x N y N ++=+=∈∈可解得{}(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)P =，所有子集分为：没有元素：∅；一个元素：{}(1,4)},{(2,3)},{(3,2)},{(4,1)；两个元素：{}{(1,4),(2,3)},{(1,4),(3,2)},(1,4),(4,1),{(2,3),(3,2)},{(2,3),(4,1)},{(3,2),(4,1)}；三个元素：{}{(1,4),(2,3),(3,2)},{(1,4),(2,3),(4,1)},{(2,3),(3,2),(4,1)},(1,4),(3,2),(4,1)；四个元素：{}(1,4),(2,3),(3,2),(4,1).所以，所有子集为：{},(1,4)},{(2,3)},{(3,2)},{(4,1)∅，{}{(1,4),(2,3)},{(1,4),(3,2)},(1,4),(4,1),{(2,3),(3,2)},{(2,3),(4,1)},{(3,2),(4,1)}，{}{(1,4),(2,3),(3,2)},{(1,4),(2,3),(4,1)},{(2,3),(3,2),(4,1)},(1,4),(3,2),(4,1)，{}(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)【点睛】此题考查求集合中的元素和写出集合的子集，其中要求根据题目条件准确写出集合中的元素，根据集合中元素个数分别写出子集，做到不重不漏.答案第9页，总9页。
集合间的基本关系练习题含答案
集合间的基本关系练习题（1）1. 如图，已知全集U=Z，集合A={−2, −1, 0, 1, 2}，B={1, 2, 3, 4}，则图中阴影部分所表示的集合是()A.{3, 4}B.{−2, −1, 0}C.{1, 2}D.{2, 3, 4}2. 已知集合A＝{−1, 0, 1}，则含有元素0的A的子集的个数为（）A.2B.4C.6D.83. 设集合A={−1, 1, 2}，集合B={x|x∈A 且2−x∉A}，则B=()A.{−1}B.{2}C.{−1, 2}D.{1, 2}4. 已知A={−2, 2011, x2−1}，B={0, 2011, x2+3x}，且A=B，则x的值为（）A.1或−1B.0C.−2D.−15. 定义：设A，B是非空的数集，a∈A，b∈B，若a是b的函数且b也是a的函数，则称a与b是“和谐关系”．如等式b=a2，a∈[0, +∞)中a与b是“和谐关系”，则下列等中a与b是“和谐关系”的是（）A.b=sin aa ，a∈(0,π2) B.b=a3+52a2+2a+1，a∈(−2,−23)C.(a−2)2+b2=1，a∈[1, 2]D.|a|+|b|=1，a∈[−1, 1]6. 已知集合：①{0}；②{⌀}；③{x|3m<x<m}；④{x|a+2<x<a}；⑤{x|x2+ 2x+5＝0, x∈R}．其中，一定表示空集的是________（填序号）．7. 当a满足________时，集合A＝{x|3x−a<0, x∈N+}表示集合{1}．8. 已知集合M＝{1, 2, 3, ..., n}(n>1, n∈N∗)，则M的所有非空子集的元素和为________（只需写出数学表达式）=a+2}，B={(x,y)|(a2−4)x+(a−2)y=7}，若A∩9. 已知集合A={(x,y)|y−2x−1B=⌀，则实数a=________．10. 集合A={1, 2}共有________子集．11. 已知集合A={1,2,3,4}.(1)若M⊆A，且M中至少有一个偶数，则这样的集合M有多少个？(2)若B={x|ax−3=0}，且B⊆A，求实数a的取值集合.12. 已知集合A={x|2m−10<x<m−1}，B={x|2<x<6}.(1)若m=4，求A∩B；(2)若A⊆B，求m的取值范围．参考答案与试题解析集合间的基本关系练习题（1）一、选择题（本题共计 5 小题，每题 5 分，共计25分）1.【答案】A【考点】Venn图表达集合的关系及运算【解析】由阴影部分可知对应的集合为B∩∁U A，即可得到结论．【解答】解：阴影部分可知对应的集合为B∩(∁U A)，∵全集U=Z，集合A={−2, −1, 0, 1, 2}，B={1, 2, 3, 4}，∴B∩(∁U A)={3, 4}，故选A.2.【答案】B【考点】元素与集合关系的判断【解析】由集合子集的定义找出集合A的所有子集可得答案，【解答】已知集合A＝{−1, 0, 3}，则由集合的子集定义可得A集合的所有子集为：⌀，{−1}，{1}，8}，1}，1}，4，1}，则含有元素0的A的子集为{6}，{−1，{0，{−2，0，个数为4个，3.【答案】C【考点】集合的包含关系判断及应用【解析】本题的关键是认清集合B的研究对象，利用列举法写出集合B的元素即可．【解答】解：∵集合A={−1, 1, 2}，集合B={x|x∈A 且2−x∉A}，−1∈A，且2−(−1)=3∉A，故1∈B；1∈A，但2−1=1∈A，不满足题意；2∈A，且2−2=0∉A，故2∈B；故B={−1, 2}.故选C．4.【答案】D【考点】集合的相等【解析】直接应用集合相等则集合中的元素完全相同来解决问题．【解答】解：∵A=B，即A和B中的元素完全相同，∴有{x2−1=0x2+3x=−2，解得：x=−1．故选D．5.【答案】A【考点】元素与集合关系的判断【解析】只要判断所给出的函数单调即可．【解答】解：A．∵a∈(0,π2)，则a>sin a，∴b′=a cos a−sin aa2=cos a(a−sin a)a2>0，因此函数b在a∈(0,π2)上单调递增，正确；B．∵a∈(−2,−23)，b′=3a2+5a+2=(3a+2)(a+1)，∴a∈(−2, −1)时单调递增；a∈(−1, −23)时单调递减，因此不符合题意；C．∵(a−2)2+b2=1，a∈[1, 2]，∴b=±√1−(a−2)2，b不是a的函数，舍去；D．∵|a|+|b|=1，a∈[−1, 1]，∴b=±(1−|a|)，b不是a的函数，舍去．故选：A．二、填空题（本题共计 5 小题，每题 5 分，共计25分）6.【答案】④⑤【考点】空集的定义、性质及运算【解析】利用单元素集、空集的定义直接求解．【解答】①{0}是单元素集；②{⌀}是单元素集；③当m<0时，{x|8m<x<m}不是空集；④{x|a+2<x<a}是空集；⑤{x|x2+7x+5＝0, x∈R}是空集．∴一定表示空集的是④⑤．7.【答案】【考点】集合的含义与表示【解析】先解不等式3x−a<0，得，根据已知条件需限制a为：1<≤2，解不等式即得a满足的条件．【解答】解3x−a<0得．根据已知条件知：x＝1，∴1<．解得3<a≤6．8.【答案】(n2+n)⋅2n−2【考点】子集与真子集【解析】由题意可知，集合中的元素出现的次数都是相等的，从而确定每个元素出现的次数，从而利用等差数列求和公式求和．【解答】若M＝{1, 2, 3, ...n}，则集合M的所有非空子集中，集合M中的任何一个元素出现的次数都是相等的；考查1出现的次数，可看成集合{2, 3, 4, ...n}的子集个数，故共有2n−1个1，故M的所有非空子集的元素和为2n−1(1+2+3+4+...+n)＝(n2+n)⋅2n−29.【答案】【考点】集合关系中的参数取值问题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答10.【答案】4【考点】子集与真子集【解析】对于有限集合，我们有以下结论：若一个集合中有n个元素，则它有2n个子集．【解答】解：集合A有2个元素，故有22=4个子集．故答案为：4．三、 解答题 （本题共计 2 小题 ，每题 5 分 ，共计10分 ）11.【答案】解：(1)由M ⊆A ，且M 中至少有一个偶数，得满足条件的集合M 为:{2}，{1,2}，{2,3}，{1,2,3}，{4}，{1,4}，{3,4}，{1,3,4}，{2,4}，{1,2,4}，{2,3,4}，{1,2,3,4}，共12个.(2)因为B ⊆A ,所以集合B 有两种可能：B =⌀,B ≠⌀.当B =⌀时，显然a =0,当B ≠⌀时，则a ≠0，得x =3a ,则有3a =1或3a =2或3a =3或3a =4, 解得a =3或a =32或a =1或a =34.综上，实数a 的取值集合是{0,34,1,32,3}.【考点】集合的包含关系判断及应用【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)由M ⊆A ，且M 中至少有一个偶数，得满足条件的集合M 为:{2}，{1,2}，{2,3}，{1,2,3}，{4}，{1,4}，{3,4}，{1,3,4}，{2,4}，{1,2,4}，{2,3,4}，{1,2,3,4}，共12个.12.【答案】解：(1)当m =4时，A ={x|2×4−10<x <4−1}={x|−2<x <3}，B ={x|2<x <6}，则A ∩B ={x|2<x <3}．(2)∵ A ⊆B ，当A ≠⌀时，{2m −10<m −12m −10≥2m −1≤6；解得，6≤m ≤7；当A =⌀时，由2m −10≥m −1得，m ≥9；故m 的取值范围为{m|m ≥9或6≤m ≤7}．【考点】交集及其运算集合的包含关系判断及应用【解析】（1）当m =3时，化简A ={x 2−3x −10≤0}=[−2, 5]，B =(2, 7)；从而求交集．（2）讨论当B ≠⌀时，{m −1<2m +1m −1≥−22m +1≤5；当B =⌀时，m −1≥2m +1，从而解得．【解答】解：(1)当m =4时，A ={x|2×4−10<x <4−1}={x|−2<x <3}，B ={x|2<x <6}，则A ∩B ={x|2<x <3}．(2)∵ A ⊆B ，当A ≠⌀时，{2m −10<m −12m −10≥2m −1≤6；解得，6≤m ≤7；当A =⌀时，由2m −10≥m −1得，m ≥9；故m 的取值范围为{m|m ≥9或6≤m ≤7}．。
新高考数学复习考点知识提升专题训练2---集合间的基本关系
新高考数学复习考点知识提升专题训练（二） 集合间的基本关系(一)基础落实1．下列说法正确的是( ) A ．Q ⊆Z B ．N ∈R C ．N ⊆QD ．Z ⊆N *解析：选C N 表示自然数集，N *表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集，因为Z ⊆Q ，N ⊆R ，N ⊆Q ，N *⊆Z ，所以A 、B 、D 错误，C 正确，故选C.2．若x ，y ∈R ，A ＝{(x ，y )|y ＝x }，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )⎪⎪yx＝1，则集合A ，B 间的关系为( ) A ．A B B ．A B C ．A ＝BD ．A ⊆B解析：选B ∵B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )⎪⎪y x ＝1＝{(x ，y )|y ＝x ，且x ≠0}，∴BA .3．下列集合中，是集合{1,2}的真子集的是( ) A ．{1,2} B ．∅ C ．{∅}D ．{1,2,3}解析：选B 由题意得：集合{1,2}的真子集为∅，{1}，{2}，故选B. 4．(多选)已知集合A ＝{x |x 2－2x ＝0}，则有( ) A ．∅⊆A B ．－2∈A C ．{0,2}⊆AD ．A ⊆{y |y <3}解析：选ACD 由于空集是任何集合的子集，故A 正确，因为A ＝{0,2}，所以C 、D 正确，B 错误．故选A 、C 、D.5．已知集合M {4,7,8}，且M 中至多有一个偶数，则这样的集合共有( ) A ．3个 B ．4个 C ．5个D ．6个解析：选D ∵M {4,7,8}，且M 中至多有一个偶数，∴M 可能为∅，{4}，{7}，{8}，{4,7}，{7,8}，共6个，故选D.6．集合A ＝{x ∈N |1≤x <4}的真子集的个数是________．解析：∵A ＝{x ∈N |1≤x <4}＝{1,2,3}，∴A ＝{x ∈N |1≤x <4}的真子集为：∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，共7个．答案：77．已知∅{x |x 2＋x ＋a ＝0}，则实数a 的取值范围是________． 解析：因为∅{x |x 2＋x ＋a ＝0}，所以方程x 2＋x ＋a ＝0有实数根，即Δ＝1－4a ≥0，解得a ≤14.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a | a ≤148．若集合A ＝{x ∈N |x 2<24}，B ＝{a }，B ⊆A ，则a 的最大值为________． 解析：因为自然数集中只有x ＝0,1,2,3,4满足x 2<24，所以A ＝{x ∈N |x 2<24}＝{0,1,2,3,4}，又因为B ＝{a }⊆A ，所以a ∈{0,1,2,3,4}，a 的最大值为4. 答案：49．写出下列每对集合之间的关系： (1)A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{1,3,5}； (2)C ＝{x |x 2＝1}，D ＝{x ||x |＝1}； (3)E ＝{x |x <3}，F ＝{x |－1<x ≤2}；(4)G ＝{x |x 是对角线相等且互相平分的四边形}，H ＝{x |x 是有一个内角为直角的平行四边形}． 解：(1)因为B 的每个元素都属于A ，而4∈A 且4∉B ，所以B A .(2)不难看出，C和D包含的元素都是1和－1，所以C＝D.(3)在数轴上表示出集合E和F，如图所示：由图可知F E.(4)如果x∈G，则x是对角线相等且互相平分的四边形，所以x是矩形，从而可知x是有一个内角为直角的平行四边形，所以x∈H，因此G⊆H.反之，如果x∈H，则x是有一个内角为直角的平行四边形，所以x是矩形，从而可知x是对角线相等且互相平分的四边形，所以x∈G，因此H⊆G.综上可知，G＝H.10．集合A＝{x|x－4＝0}，集合B＝{x|x2－2(a＋1)x＋a2－1＝0}，若A⊆B，求实数a的值．解：A＝{4}，因为A⊆B，故4∈B，所以16－8(a＋1)＋a2－1＝0，整理得a2－8a＋7＝0，解得a＝1或a＝7.(二)综合应用1．设A＝{x|2＜x＜3}，B＝{x|x＜m}，若A⊆B，则m的取值范围是()A．{m|m＞3} B．{m|m≥3}C．{m|m＜3} D．{m|m≤3}解析：选B因为A＝{x|2＜x＜3}，B＝{x|x＜m}，A⊆B，将集合A，B表示在数轴上，如图所示，所以m≥3.2．已知集合A ＝{x |x ＝3k ，k ∈Z }，B ＝{x |x ＝6k ，k ∈Z }，则A 与B 之间最适合的关系是( ) A ．A ⊆B B ．A ⊇B C ．A BD ．A B解析：选D 对于集合A ＝{x |x ＝3k ，k ∈Z }， 当k ＝2m (m ∈Z )时，A ＝{x |x ＝6m ，m ∈Z }， 当k ＝2m ＋1(m ∈Z )时，A ＝{x |x ＝6m ＋3，m ∈Z }， 又B ＝{x |x ＝6k ，k ∈Z }，即A B .3．集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪2x ＋1∈Z ，x ∈Z 的真子集个数是________． 解析：因为当x ＝－3时，2x ＋1＝－1∈Z ；当x ＝－2时，2x ＋1＝－2∈Z ；当x ＝0时，2x ＋1＝2∈Z ；当x ＝1时，2x ＋1＝1∈Z ，所以满足集合A ＝{－3，－2,0,1}， 真子集个数为24－1＝15. 答案：154．已知集合A ，B ，C ，且A ⊆B ，A ⊆C ，若B ＝{1,2,3,4}，C ＝{0,1,2,3}，则所有满足要求的集合A 的各个元素之和为________．解析：∵集合A ，B ，C ，且A ⊆B ，A ⊆C ，B ＝{1,2,3,4}，C ＝{0,1,2,3}， ∴集合A 是两个集合的子集，集合B ，C 的公共元素是1,2,3，∴满足上述条件的集合A＝∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}，∴所有满足要求的集合A的各个元素之和为：4(1＋2＋3)＝24.答案：245．已知集合A＝{2,4,6,8,9}，B＝{1,2,3,5,8}，存在非空集合C，使C中每个元素加上2就变成了A的一个子集且C中每个元素减去2就变成了B的一个子集，你能确定出集合C的个数是多少吗？解：假设存在满足条件的集合C，则C≠∅，将A中元素都减2，B中元素都加2，则C⊆{0,2,4,6,7}且C⊆{3,4,5,7,10}，由于两个集合的共同元素构成的集合为{4,7}，故非空集合C是{4,7}的子集，即C＝{4,7}或{4}或{7}．故这样的集合有3个．(三)创新发展1．设A＝{1,2,3,4}，B＝{1,2}，请写出一个满足B⊆C⊆A的集合C＝________.解析：∵A＝{1,2,3,4}，若B⊆C⊆A，∴C＝{1,2,3}或{1,2,4}或{1,2}或{1,2,3,4}，答案：{1,2,3}(答案不唯一)2．已知集合A＝{x||x－a|＝4}，集合B＝{1,2，b}．(1)是否存在实数a，使得对于任意实数b都有A⊆B，若存在，求出对应的a的值；若不存在，说明理由．(2)若A⊆B成立，列举出对应的实数对(a，b)构成的集合．解：(1)不存在满足题意的实数a .理由如下： ∵A ＝{a －4，a ＋4}，若对于任意实数b 都有A ⊆B ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a －4＝1，a ＋4＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a －4＝2，a ＋4＝1，方程组均无解．∴不存在实数a ，使得对于任意实数b 都有A ⊆B . (2)由(1)知，若A ⊆B ，则有⎩⎪⎨⎪⎧ a －4＝1，a ＋4＝b 或⎩⎪⎨⎪⎧ a －4＝2，a ＋4＝b 或⎩⎪⎨⎪⎧ a －4＝b ，a ＋4＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a －4＝b ，a ＋4＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝5，b ＝9或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝6，b ＝10或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝－7或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－6.∴(a ，b )构成的集合为{(5,9)，(6,10)，(－3，－7)，(－2，－6)}．。
集合间的基本关系练习题
A. b 3, c 2 B. b 3, c 2
C. b 2, c 3 D. b 2, c 3
4. 满足{a,b} A {a,b, c, d} 的集合 A 有 个.
5. 设 集 合 A {四边形}, B {平行四边形},C {矩形} ， D {正方形} ， 则 它 们 之 间 的 关 系
（2）任何一个集合是它本身的子集吗？任何一个集合是它本身的真子集吗？试用符号表示 结论.
（3）类比下列实数中的结论，你能在集合中得出什么结论？ ① 若 a b, 且b a, 则a b ； ② 若 a b, 且b c, 则a c .
典型例题 例题 1 写出集合{a,b,c} 的所有的子集，并指出其中哪些是它的真子集.
A；b B；{1,3}
A.
复习题 3：比较下面几个例子，试发现两个集合之间的关系： A {3,6,9}与 B {x | x 3k, k N*且k 333} ； C {东升高中学生} 与 D {东升高中高一学生} ； E {x | x(x 1)(x 2) 0}与 F {0,1, 2}.
个，真子集有 2n 1 个.
1. 下列结论正确的是（ ）.
A. A
B. {0}
C. {1, 2} Z D. {0}{0,1}
2. 设 A x x 1, B x x a ，且 A B ，则实数 a 的取值范围为（ ）.
A. a 1
B. a 1
C. a 1
D. a 1
3. 若{1, 2} {x | x2 bx c 0} ，则（ ）.
为
.
三、总结提升
※ 学习小结 1. 子集、真子集、空集、相等的概念及符号；Venn 图图示；一些结论. 2. 两个集合间的基本关系只有“包含”与“相等”两种，可类比两个实数间的大小关系， 特别要注意区别“属于”与“包含”两种关系及其表示方法.
高中数学教师资格证笔试练题：集合间的基本关系(练习)
1.2 集合间的基本关系一、单选题1．下列各式中：①{}{}00,1,2∈；②{}{}0,1,22,1,0⊆；③{}0,1,2∅⊆；④{}0∅=；⑤{}{}0,1(0,1)=；⑥{}00=．正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．集合{}=1,2,3A 的子集个数为（ ）A ．3B ．6C ．7D ．83．满足条件∅ M ⫋{a ，b ，c }的集合M 共有（ ）A ．3个B ．6个C ．7个D ．8个 4．已知集合{}20,A x x x x R =+=∈，则集合A 的非空子集个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45．下列表述正确的有（ ）①空集没有子集；②任何集合都有至少两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若∅是A 的真子集，则A ≠∅.A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 6．已知集合{}123,,A a a a =的所有非空真子集的元素之和等于9，则123a a a ++=（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．67．设集合A ＝{－1,1}，集合B ＝{x |x 2－2ax ＋1＝0}，若B ≠∅，B ⊆A ，则a 等于（ ）A ．－1B ．0C ．1D ．±1二、多选题8．下列关系式正确的为（ ）A ．{}{},,a b b a ⊆B ．{}0=∅C ．{}00∈D ．{}0∅⊆ 9．下列集合的关系，正确的是（ ）A ．{}∅∅B ．{}∅=∅C ．{}0⊇∅D ．{}∅∈∅10．已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0<x <5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 为（ ）A ．{1,2}B ．{2,3}C ．{1,2,4}D ．{2,3,4}11．已知集合{}{2,A x ax B =≤=-，若B A ⊆，则实数a 的值可能是（ ） A ．1- B ．1 C ．0 D ．2 12．已知集合{}12A x x =<<，{}232B x a x a =-<<-，下列说法正确的是（ ） A ．不存在实数a 使得A B =B ．当4a =时，A B ⊆C ．当04a ≤≤时，B A ⊆D ．存在实数a 使得B A ⊆三、填空题13．已知集合{0,1}A =，则集合A 的子集个数为_____________.14．已知集合2,1A x Z x Z x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭，则集合A 的真子集的个数为_________ 15．已知集合{1,2,}M m =-，{1,3}N =，若N M ⊆，则实数m 的值为_________． 16．设集合{}|23A x x =-≤，{}|B x x t =<，若A B ⊆，则实数t 的取值范围是_____.17．已知集合212|,,{|1,}33n n A x x n Z B x x n Z +⎧⎫==∈==+∈⎨⎬⎩⎭，则集合A 、B 的关系为A ____(B 从“,,⊆⊇=”选择合适的符号填空)．四、解答题18．指出下列各对集合之间的关系：（1）A ＝{－1，1}，B ＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}；（2）A ＝{x |x 是等边三角形}，B ＝{x |x 是等腰三角形}；（3）A ＝{x |－1＜x ＜4}，B ＝{x |x －5＜0}；（4）M ＝{x |x ＝2n －1，n ∈N *}，N ＝{x |x ＝2n ＋1，n ∈N *}．19．已知集合M 满足{}{}1,21,2,3,4,5M ⊆⊆，求所有满足条件的集合M ．20．已知集合{}23,21,1A a a a =-++，集合{}0,1,B x =.（1）若3A -∈，求a 的值；（2）是否存在实数a ，x ，使A B =.21．已知集合{|4}A x x a =-=，集合{}1,2,B b =（1）是否存在实数a ，使得对任意实数b 都有A B ⊆成立？若存在，求出对应的a 值；若不存在，说明理由.（2）若A B ⊆成立，写出所有实数对(),a b 构成的集合.参考答案1．B解：①集合之间的关系是包含与不包含，因此{0}{0∈，1，2}，不正确，应该为{0}{0，1，2}；②{0，1，2}{2⊆，1，0}，正确；③{0∅⊆，1，2}，正确；④∅不含有元素，因此{0}∅；⑤{0，1}与{(0,1)}的元素形式不一样，因此不正确；⑥元素与集合之间的关系是属于与不属于的关系，应该为0{0}∈，因此不正确． 综上只有：②，③正确．2．D解：由题意得集合A 的子集个数为328=.3．B解：满足条件∅ M ⫋{a ，b ，c }的集合M 有：{a }，{b }，{c }，{a ，b }，{a ，c }，{b ，c }.共6个，∴满足条件∅⫋M ⫋{a ，b ，c }的集合M 共有6个.4．C{}{}20,1,0A x x x x R =+=∈=-， 所以集合A 的非空子集个数为2213-=，5．B因为∅⊆∅，故①错；∅只有一个子集，即它本身．故②错；空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，故③错；空集是任何非空集合的真子集，故④正确，6．C解：集合{}123,,A a a a =的所有非空真子集为：{}{}{}{}{}{}123121323,,,,,,,,a a a a a a a a a ，则所有非空真子集的元素之和为：()12312132312339a a a a a a a a a a a a ++++++++=++=，所以1233a a a .7．D当B ＝{－1}时，x 2－2ax ＋1＝0有两相等的实根－1，则()()()2224012110a a ⎧∆=--=⎪⎨---+=⎪⎩，解得a ＝－1； 当B ＝{1}时，x 2－2ax ＋1＝0有两相等的实根1，则()222401210a a ⎧∆=--=⎪⎨-+=⎪⎩，解得a ＝1； 当B ＝{－1,1}时，x 2－2ax ＋1＝0有两个不相等的实根-1，1，则()()()222240*********a a a ⎧∆=-->⎪⎪---+=⎨⎪-+=⎪⎩，无解，．综上：a ＝±1. 8．ACD解：对于选项A ，由于任何集合是它本身的子集，所以{}{},,a b b a ⊆，故A 正确；对于选项B ，{}0是指元素为0的集合，而∅表示空集，是指不含任何元素的集合，所以{}0≠∅，故B 错误；对于选项C ，{}0是指元素为0的集合，所以{}00∈，故C 正确；对于选项D ，由于空集是任何集合的子集，所以{}0∅⊆，故D 正确.9．ACDA ．空集是任意非空集合的真子集，故A 正确；C.空集是任意集合的子集，因为{}0是含有一个元素的集合，所以{}0⊇∅正确；D.空集是空集构成的集合中的元素，满足属于关系，故D 正确，B 中左边是空集，右边是含有一个元素的集合，不相等，B 不正确；10．AC{}{}2320,1,2A x x x x R =-+=∈=∣ {}{05,}1,2,3,4B x x x N =<<∈=∣，A CB ⊆⊆，故四个选项中，{1,2}和{1,2,4}满足题意.11．ABC当0a =时，{}2A x ax R =≤=，显然B A ⊆，所以选项C 符合题意；当0a >时，{}22A x ax x x a ⎧⎫=≤=≤⎨⎬⎩⎭，若B A ⊆2a a ⇒即0a <≤B 符合题意；当0a <时，{}22A x ax x x a ⎧⎫=≤=≥⎨⎬⎩⎭，若B A ⊆，所以有221a a -≥⇒≥-，即10a -≤<，所以选项A 符合题意,故选：ABC12．AD选项A ：若集合A B =，则有231,22,a a -=⎧⎨-=⎩，因为此方程组无解，所以不存在实数a 使得集合A B =，故选项A 正确.选项B ：当4a =时，{}52B x x =<<=∅，不满足A B ⊆，故选项B 错误.若B A ⊆，则①当B =∅时，有232a a -≥-，1a ≥；②当B ≠∅时，有1,231,22a a a <⎧⎪->⎨⎪-<⎩此方程组无实数解；所以若B A ⊆，则有1a ≥，故选项C 错误，选项D 正确.故选：AD .13．4因为A 中元素个数为2，故其子集的个数为224=，14．15 因为21Z x ∈-，所以x -1是2的因数，即x -1可能是-1，-2，1，2，则2,1A x Z x Z x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭={-1，0，2，3}，所以真子集的个数为24-1=15.15．3-因为集合{1,2,}M m =-，{1,3}N =，且N M ⊆，所以3m -=，得3m =-，16．(5,)+∞ 由题意，集合{}|23{|15}A x x x x =-≤=-≤≤，又由{}|B x x t =<，且A B ⊆，所以5t >，即实数t 的取值范围是(5,)+∞.17．=解：由集合A 得：1|(21),3A x x n n Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭， 由集合B 得：1|(23),3B x x n n Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭， {|21x x n =+，}{|23n Z x x n ∈==+，}n Z ∈， A B ∴=，18．（1）集合A 的代表元素是数，集合B 的代表元素是有序实数对，故A 与B 之间无包含关系． （2）等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故A B ． （3）集合B ＝{x |x ＜5}，用数轴表示集合A ，B 如图所示，由图可知A B ．(4)由列举法知M ＝{1，3，5，7，…}，N ＝{3，5，7，9，…}，故N M ．19．解：①当M 中含有2个元素时，M 为{}1,2；②当M 中含有3个元素时，M 为{}1,2,3，{}1,2,4，{}1,2,5；③当M 中含有4个元素时，M 为{}1,2,3,4，{}1,2,3,5，{}1,2,4,5；④当M 中含有5个元素时，M 为{}1,2,3,4,5．故满足条件的集合M 为{}1,2，{}1,2,3，{}1,2,4，{}1,2,5，{}1,2,3,4，{}1,2,3,5，{}1,2,4,5，{}1,2,3,4,5．20．（1）2a =-；（2）不存在.（1）由题意，33a -=-或213a +=-，解得0a =或2a =-，当0a =时，{}3,1,1A =-，不成立；当2a =-时，{}5,3,5A =--，成立；∴2a =-.（2）由题意，210a +≠，若30a -=，则3a =，{}0,7,10A B =≠，不合题意；若210a +=，则12a =-，750,,24A B ⎧⎫=-≠⎨⎬⎩⎭，不合题意； ∴不存在实数a ，x ，使得A B =.21．（1）不存在，理由见解析；（2）{(5,9),(6,10),(3,7),(2,6)}----.解：（1）由题意，集合{|4}A x x a =-={}4,4a a =-+，因为b 是任意实数，要使A B ⊆，必有4142a a -=⎧⎨+=⎩或4241a a -=⎧⎨+=⎩， 两个方程组都没有实数解，所以不存在满足条件的实数a .（2）由（1）知{}4,4A a a =-+，要使A B ⊆，则满足414a a b -=⎧⎨+=⎩或424a a b -=⎧⎨+=⎩或441a b a -=⎧⎨+=⎩或442a b a -=⎧⎨+=⎩， 解得59a b =⎧⎨=⎩或610a b =⎧⎨=⎩或37a b =-⎧⎨=-⎩或26a b =-⎧⎨=-⎩， 所以实数对(),a b 构成的集合为()()()(){}596103726----，,，,，,，.。
集合间的基本关系
1.2 集合间的基本关系 1．判断下列说法是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)任何集合至少有两个子集．( × )(2){0,1,2}⊆{2,0,1}．( √ )(3)若A ⊆B ，且A ≠B ，则A B .( √ )(4)集合{0,1}的子集是{0}，{1}，{0,1}．( × )题型1 集合间关系的判断2．已知集合U ，S ，T ，F 的关系如图所示，则下列关系正确的是__③⑥__.①S ∈U ；②F ⊆T ；③S ⊆T ；④S ⊆F ；⑤S ∈F ；⑥F ⊆U .解析：元素与集合之间的关系才用∈，故①⑤错；子集的区域要被全部涵盖，故②④错．3．判断下列各组中集合之间的关系：(1)A ＝{x |x 是12的约数}，B ＝{x |x 是36的约数}；(2)A ＝{x |x 2－x ＝0}，B ＝{x ∈R |x 2＋1＝0}；(3)M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝n 2，n ∈Z ，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝12＋n ，n ∈Z . 解：(1)因为若x 是12的约数，则必定是36的约数，反之不成立，所以A B .(2)因为A ＝{x |x 2－x ＝0}＝{0,1}，B ＝{x ∈R |x 2＋1＝0}＝∅，所以B A .(3)对于集合M ，其组成元素是n 2，分子部分表示所有的整数；对于集合N ，其组成元素是12＋n ＝2n ＋12，分子部分表示所有的奇数．由真子集的概念知，N M . 题型2 确定集合的子集、真子集4．满足{2 019}⊆A{2 019,2 020,2 021}的集合A 的个数为( C ) A ．1B ．2C ．3D ．4解析：由题意可得A 可以为{2 019}，{2 019，2 020}，{2 019，2 021}，因此满足条件的集合A 的个数为3.5．满足条件{x |x 2－1＝0}⊆A {－1,0,1,2,5}的集合A 的个数为( A )A ．7B ．6C ．8D ．5解析：因为{x |x 2－1＝0}＝{－1,1}，所以{－1，1}⊆A {－1,0,1,2,5}，所以集合A 可以是{－1,1}，{－1,1,0}，{－1,1,2}，{－1，1,5}，{－1,1,0,2}，{－1,1,0,5}，{－1，1,2,5}，共7个．题型3 由集合之间的关系求参数6．设集合A ＝{x ，y }，B ＝{0，x 2}，若A ＝B ，则2x ＋y 等于( C )A ．0B ．1C ．2D ．－1 解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x 2，y ＝0，x ≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0.符合题意．所以2x ＋y ＝2. 7．若非空数集A ＝{x |2a ＋1≤x ≤3a －5}，B ＝{x |3≤x ≤22}，则能使A ⊆B 成立的所有a 的集合是( B )A ．{a |1≤a ≤9}B ．{a |6≤a ≤9}C ．{a |a ≤9}D ．∅解析：因为A 为非空数集，所以2a ＋1≤3a －5，即a ≥6.又A ⊆B ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋1≥3，3a －5≤22，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1，a ≤9.所以1≤a ≤9.综上可知，6≤a ≤9. 8．已知集合A ＝{1,3，a }，B ＝{1，a 2－a ＋1}，且B ⊆A ，则a ＝__－1或2__.解析：因为B ⊆A ，所以a 2－a ＋1＝3或a 2－a ＋1＝a .①由a 2－a ＋1＝3得a 2－a －2＝0，解得a ＝－1或a ＝2，当a ＝－1时，A ＝{1,3，－1}，B ＝{1,3}，满足B ⊆A ；当a ＝2时，A ＝{1,3,2}，B ＝{1,3}，满足B ⊆A .②由a 2－a ＋1＝a 得a 2－2a ＋1＝0，解得a ＝1，当a ＝1时，A ＝{1,3,1}，不满足集合元素的互异性．综上，若B ⊆A ，则a ＝－1或a ＝2.易错点1 利用数轴求参数时忽略端点值能否取到致误9．已知集合A ＝{x |x ≥4或x <－5}，B ＝{x |a ＋1≤x ≤a ＋3，a ∈R }，若B ⊆A ，则a 的取值范围为__{a |a <－8或a ≥3}__．解析：利用数轴法表示B ⊆A ，如图所示，则a ＋3<－5或a ＋1≥4，解得a <－8或a ≥3.[误区警示] 在求集合中参数的取值范围时，要特别注意该参数在取值范围的边界处能否取等号，否则会导致解题结果错误．正确的做法就是把端点值代入原式，看是否符合题目要求．易错点2忽略对参数的讨论10．已知集合E＝{x|x2＝0}，F＝{x|x2－(a－1)x＝0}，判断集合E和F的关系．解：E＝{x|x2＝0}＝{0}．下面对方程x2－(a－1)x＝0的根的情况进行讨论．方程x2－(a－1)x＝0的判别式为Δ＝(a－1)2.①当a＝1时，Δ＝0，方程有两个相等的实数根x1＝x2＝0，此时F＝{0}，E＝F.②当a≠1时，Δ>0，方程有两个不相等的实数根，x＝0或x＝a－1，且a－1≠0，此时，F＝{0，a－1}，E F.综上，当a＝1时，E＝F；当a≠1时，E F.[误区警示]本题易认为E＝{x|x2＝0}＝{0}，F＝{0，a－1}，忽略方程x2－(a－1)x ＝0的根与参数的取值有关，得到E F.确定集合之间的关系时，若含有参数，则参数的不同取值会使集合中的元素不确定，不讨论参数易导致误判．(限时30分钟)一、选择题1．能正确表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合N＝{x∈R|x2－x＝0}关系的Venn图是(B)解析：因为M＝{x∈R|0≤x≤2}，N＝{x∈R|x2－x＝0}＝{0,1}，所以N M.故选B.2．已知集合A＝{x|x＝3k，k∈Z}，B＝{x|x＝6k，k∈Z}，则A与B之间最适合的关系是(D)A．A⊆B B．A⊇BC．A B D．A B解析：因为A中元素是3的整数倍，而B中元素是3的偶数倍，所以集合B是集合A 的真子集．3．集合{x∈N|x＝5－2n，n∈N}的子集的个数是(B)A．9 B．8C．7 D．6解析：因为x∈N，n∈N，所以集合{x∈N|x＝5－2n，n∈N}＝{1,3,5}．所以其子集的个数是23＝8.4．(多选题)设集合A ＝{x ∈Z |x <－1}，则( AD )A ．∅⊆AB ．2∈AC ．0∈AD ．{－2}A解析：2∉A,0∉A ，故B ，C 错．5．(多选题)已知A ⊆B ，A ⊆C ，B ＝{2,0,1,8}，C ＝{1,9,3,8}，则A 可以是( AC )A ．{1,8}B ．{2,3}C ．{1}D ．{2} 解析：∵A ⊆B ，A ⊆C ，B ＝{2,0,1,8}，C ＝{1,9,3,8}，逐项验证可知，选项A 符合题意；选项B 不满足A ⊆B ，也不满足A ⊆C ；选项C 符合题意；选项D 满足A ⊆B ，但是不满足A ⊆C ，故选AC.6．已知集合A ＝{0}，集合B ＝{x |x ＜a }，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是( D )A ．a ≤0B ．a ≥0C ．a ＜0D ．a ＞0解析：因为集合A ＝{0}，集合B ＝{x |x ＜a }，若A ⊆B ，则a ＞0，故选D.7．已知A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0<x <5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( D )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：因为A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }＝{1,2}，B ＝{1,2,3,4}，A ⊆C ，所以1,2∈C .又C ⊆B ，所以满足条件的集合C 可以是{1,2}或{1,2,3}或{1,2,4}或{1,2,3,4}，共4个．故选D.8．集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝m ＋16，m ∈Z ，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝n 2－13，n ∈Z ，P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝p 2＋16，p ∈Z ，则M ，N ，P 之间的关系是( B )A ．M ＝N PB ．M N ＝PC ．M N PD ．N P ＝M 解析：M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝6m ＋16，m ∈Z ，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝3n －26＝3(n －1)＋16，n ∈Z ，P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝3p ＋16，p ∈Z . 由于3(n －1)＋1和3p ＋1都表示被3除余1的数，而6m ＋1表示被6除余1的数，所以M N ＝P .二、填空题9．若{1,2}＝{x |x 2＋bx ＋c ＝0}，则b ＝__－3__，c ＝__2__.解析：依题意知，1,2是方程x 2＋bx ＋c ＝0的两根，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＋c ＝0，4＋2b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－3，c ＝2. 10．已知A ＝{x |x <－1或x >5}，B ＝{x |a ≤x <a ＋4}，若A B ，则实数a 的取值范围是__{a |a ≤－5或a >5}__．解析：因为A ＝{x |x <－1或x >5}，B ＝{x |a ≤x <a ＋4}，A B ，所以a ＋4≤－1或a >5，解得a ≤－5或a >5.三、解答题11．已知集合A ＝{a ，a －1}，B ＝{2，y }，C ＝{x |1<x －1<4}．(1)若A ＝B ，求y 的值；(2)若A ⊆C ，求a 的取值范围．解：(1)若a ＝2，则A ＝{1,2}，所以y ＝1.若a －1＝2，则a ＝3，A ＝{2,3}，所以y ＝3，综上，y 的值为1或3.(2)因为C ＝{x |2<x <5}，A ⊆C ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2<a <5，2<a －1<5，解得3<a <5. 所以a 的取值范围是{a |3<a <5}．12．已知集合P ＝{x ∈R |x 2＋b ＝0}，Q ＝{x ∈R |(x ＋1)(x 2＋3x －4)＝0}．(1)若b ＝4，存在集合M 使得P M Q ，求这样的集合M ；(2)若集合P 是集合Q 的一个子集，求b 的取值范围．解：(1)当b ＝4时，方程x 2＋4＝0无实根，所以P ＝∅，又Q ＝{x ∈R |(x ＋1)(x 2＋3x －4)＝0}＝{－4，－1,1}，所以P Q .由已知，得M 应是一个非空集合，且是Q 的一个真子集，用列举法可得这样的集合M 共有6个，分别为{－4}，{－1}，{1}，{－4，－1}，{－4,1}，{－1,1}． (2)当P ＝∅时，P 是Q 的一个子集，此时b >0.当P ≠∅时，因为Q ＝{－4，－1,1}，若P ⊆Q ，则b <0，P ＝{－b ，－－b }，则－b ＝1，b ＝－1.综上，满足条件的b 的取值范围是{b |b >0或b ＝－1}．。
集合间的基本关系练习题
集合间的基本关系练习题集合间的基本关系一、选择题1.集合 $A=\{x\leq x<3 \text{ 且 } x\in Z\}$ 的真子集的个数为（）A。
5 B。
6 C。
7 D。
82.已知集合 $A=\{x-1<x<2\}$，$B=\{x<x<1\}$，则（）A。
$A>B$ B。
$A\subseteq B$ C。
$A\capB=\varnothing$ D。
$A$ 与 $B$ 的关系不确定3.已知 $M=\{1,2,a^2-3a-1\}$，$N=\{1,3\}$，若 $3\inM$ 且 $N\nsubseteq M$，则 $a$ 的取值为（）A。
1 B。
4 C。
$-1$ 或 $-3$ D。
$-4$ 或 14.已知集合$A=\{x^3=3k,k\in Z\}$，$B=\{x^6=k,k\in Z\}$，则（）A。
$A>B$ B。
$A\subseteq B$ C。
$A\capB=\varnothing$ D。
$A$ 与 $B$ 的关系不确定5.满足 $\{a\}\subseteq M\subseteq \{a,b,c,d\}$ 的集合$M$ 共有（）A。
6个 B。
7个 C。
8个 D。
15个6.已知集合 $A=\{x_1<x<2\}$，$B=\{x<x<a\}$，满足$A\cap B\neq \varnothing$，则（）A。
$a\geq 2$ B。
$a\leq 1$ C。
$a\geq 1$ D。
$a\leq 2$二、填空题1.集合 $A$ 中有 $m$ 个元素，若在 $A$ 中增加一个元素，则它的子集增加的个数为 $\underline{\qquad}$。
2.设 $A=\{1,3,a\}$，$B=\{1,a^2-a+1\}$，若 $B\subseteqA$，则 $a$ 的取值为 $\underline{\qquad}$。
3.已知集合 $P=\{x|x^2=1\}$，$Q=\{x|ax=1\}$，若$Q\subseteq P$，则 $a$ 的取值 $\underline{\qquad}$。
集合间的基本关系(经典练习及答案详解)
集合间的基本关系1．(2020年福建高一期中)现有四个判断：2⊆{1,2}；∅∈{0}；{ 5 }⊆Q ；∅{0}．其中正确的个数是( )A ．2B ．1C ．4D ．3 【答案】B 【解析】元素与集合之间不能用包含关系，故2⊆{1,2}错误；∅与{0}是集合之间的关系，不能用“∈”，故∅∈{0}错误；因为 5 ∉Q ，所以{5}⊆Q 错误；空集是任何非空集合的真子集，故∅{0}正确．故选B ．2．已知集合A ＝{x |a －1≤x ≤a ＋2}，B ＝{x |3<x <5}，则能使A ⊇B 成立的实数a 的取值范围是( )A ．{a |3<a ≤4}B ．{a |3≤a ≤4}C ．{a |3<a <4}D ．∅【答案】B 【解析】因为A ⊇B ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －1≤3，a ＋2≥5.所以3≤a ≤4. 3．(2021年北京期末)下列正确表示集合M ＝{x |x 2－x ＝0}和N ＝{－1,0,1}关系的Venn 图是( )A BC D 【答案】D 【解析】由x 2－x ＝0，解得x ＝0或1，所以M N .故选D ．4．(2020年铜仁高一期中)设集合B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈Z ⎪⎪ 62＋x ∈N ，则集合B 的子集个数为( ) A ．3B ．4C ．8D ．16【答案】D 【解析】根据题意，集合B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈Z ⎪⎪ 62＋x ∈N ＝{－1,0,1,4}，有4个元素，其子集有24＝16个．故选D ．5．(2021年昆明期中)下列各式中，正确的个数是( )①{0}∈{0,2,4}；②{0,2,4}⊆{4,2,0}；③∅⊆{0,2,4}；④∅＝{0}；⑤{0,2}＝{(0,2)}；⑥0＝{0}．A．1 B．2C．3 D．4【答案】B【解析】对于①，是集合与集合的关系，应为{0}{0,2,4}；对于②，实际为同一集合，任何一个集合是它本身的子集；对于③，空集是任何集合的子集；对于④，{0}是含有单元素0的集合，空集不含任何元素，并且空集是任何非空集合的真子集，所以∅{0}；对于⑤，{0,2}是含有两个元素0与2的集合，而{(0,2)}是以有序数组(0,2)为元素的单元素集合，所以{0,2}与{(0,2)}不相等；对于⑥，0与{0}是“属于与否”的关系，所以0∈{0}．故②③正确．6．用符号“∈”或“⊆”填空：若A＝{2,4,6}，则4______A，{2,6}______A．【答案】∈⊆【解析】因为集合A中有4这个元素，所以4∈A，因为2∈A,6∈A，所以{2,6}⊆A．故答案为∈，⊆.7．已知集合A⊆{0,1,2}，且集合A中至少含有一个偶数，则这样的集合A的个数为________．【答案】6【解析】集合{0,1,2}的子集为：∅，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}，其中含有偶数的集合有6个．8．已知集合A＝{x|x<3}，集合B＝{x|x<m}，且A⊆B，则实数m满足的条件是________．【答案】m≥3【解析】将数集A在数轴上表示出来，如图所示，要满足A⊆B，表示数m的点必须在表示3的点处或在其右边，故m≥3.9．设集合A＝{1,3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，且B⊆A，求a的值．解：因为B⊆A，所以a2－a＋1＝3或a2－a＋1＝a.当a2－a＋1＝3时，解得a＝－1或a＝2.经检验，满足题意．当a2－a＋1＝a时，解得a＝1，此时集合A中的元素1重复，故a＝1不合题意．综上所述，a＝－1或a＝2.B级——能力提升练10．(多选)图中反映的是“文学作品”“散文”“小说”“叙事散文”这四个文学概念之间的关系，则()A．A为小说B．B为文学作品C ．C 为散文D ．D 为叙事散文【答案】AB 【解析】由Venn 图可得A B ，C D B ，A 与D 之间无包含关系，A 与C 之间无包含关系．由“文学作品”“散文”“小说”“叙事散文”四个文学概念之间的关系，可得A 为小说，B 为文学作品，C 为叙事散文，D 为散文．11．已知集合A ＝{x |x ＝3k ，k ∈Z }，B ＝{x |x ＝6k ，k ∈Z }，则A 与B 之间的关系是( )A ．A ⊆BB ．A ＝BC ．A BD ．A B【答案】D 【解析】对于x ＝3k (k ∈Z )，当k ＝2m (m ∈Z )时，x ＝6m (m ∈Z )；当k ＝2m －1(m ∈Z )时，x ＝6m －3(m ∈Z )．由此可知A B ．12．(2020年太原高一期中)设集合A ＝{a ，b }，B ＝{0，a 2，－b 2}，若A ⊆B ，则a －b ＝( )A ．－2B ．2C ．－2或2D ．0【答案】C 【解析】因为集合A ＝{a ，b }，B ＝{0，a 2，－b 2}，且A ⊆B ，易知a ≠0且b ≠0.当 ⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝a 2，b ＝－b 2时，因为a ≠0且b ≠0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝－1，此时集合A ＝{1，－1}，集合B ＝{0,1，－1}，符合题意，所以a －b ＝2；当⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－b 2，b ＝a 2时，因为a ≠0且b ≠0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1，此时集合A ＝{1，－1}，集合B ＝{0,1，－1}，符合题意，所以a －b ＝－2.综上所求，a －b ＝2或－2.故选C ．13．(2020年宁波高一期中)已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈N |y ＝12x ＋3∈Z ，则列举法表示集合A ＝________，集合A 的真子集有________个．【答案】{0,1,3,9} 15 【解析】因为集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈N ⎪⎪ y ＝12x ＋3∈Z ，所以列举法表示集合A ＝{0,1,3,9}，集合A 的真子集有24－1＝15个．故答案为{0,1,3,9},15.14．(2020年安康高一期中)定义集合运算：A ⊗B ＝{z |z ＝x ＋y ，x ∈A ，y ∈B }，设A ＝{0,1}，B ＝{2,3}，则集合A ⊗B 的真子集的个数为________．【答案】7 【解析】因为A ⊗B ＝{z |z ＝x ＋y ，x ∈A ，y ∈B }，A ＝{0,1}，B ＝{2,3}，所以集合A ⊗B ＝{2,3,4}，所以集合A ⊗B 的真子集的个数为23－1＝7.15．已知集合A ＝{x |1≤x ≤2}，B ＝{x |1≤x ≤a ，a ≥1}．(1)若A B ，求a 的取值范围；(2)若B ⊆A ，求a 的取值范围．解：(1)若A B ，由图可知a >2.故a 的取值范围为{a |a >2}．(2)若B ⊆A ，由图可知1≤a ≤2.故a 的取值范围为{a |1≤a ≤2}．C 级——探究创新练16．已知集合P ＝{x |x 2－3x ＋b ＝0}，Q ＝{x |(x ＋1)(x 2＋3x －4)＝0}．(1)若b ＝4，是否存在集合M 使得PM ⊆Q ？若存在，求出所有符合题意的集合M ，若不存在，请说明理由；(2)P 能否成为Q 的一个子集？若能，求出b 的值或取值范围，若不能，请说明理由． 解：(1)因为集合Q ＝{x |(x ＋1)(x 2＋3x －4)＝0}＝{x |(x ＋1)(x ＋4)(x －1)＝0}＝{－1,1，－4}， 当b ＝4时，集合P ＝∅，再由 P M ⊆Q 可得，M 是Q 的非空子集，共有 23－1＝7 个，分别为{－1}，{1}，{－4}，{－1,1}，{－1,4}，{1,4}，{－1，1，－4}．(2)因为P ⊆Q ，对于方程x 2－3x ＋b ＝0，当P ＝∅，Δ＝9－4b ＜0时，有b ＞94. 当P ≠∅，Δ＝9－4b ≥0时，方程x 2－3x ＋b ＝0有实数根，且实数根是－1,1，－4中的数， 若－1是方程x 2－3x ＋b ＝0的实数根，则有b ＝－4，此时P ＝{－1,4}，不满足P ⊆Q ，故舍去；若1是方程x 2－3x ＋b ＝0的实数根，则有b ＝2，此时P ＝{1,2}，不满足P ⊆Q ，故舍去； 若－4是方程x 2－3x ＋b ＝0的实数根，则有b ＝－28，此时P ＝{－4,7}，不满足P ⊆Q ，故舍去．综上可得，实数b 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫b ⎪⎪b ＞94.。
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2.集合与集合的关系练习题
班学生
1．下列六个关系式，其中正确的有()
①{a，b}＝{b，a}；②{a，b}⊆{b，a}；③∅＝{∅}；④{0}＝∅；⑤∅{0}；⑥0∈{0}．
A．6个B．5个C．4个D．3个及3个以下
2．已知集合A，B，若A不是B的子集，则下列命题中正确的是()
A．对任意的a∈A，都有a∉B B．对任意的b∈B，都有b∈A
C．存在a0，满足a0∈A，a0∉B D．存在a0，满足a0∈A，a0∈B
3．设A＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|x＜a}，若A B，则a的取值范围是()
A．a≥2 B．a≤1 C．a≥1 D．a≤2
4．集合M＝{x|x2－3x－a2＋2＝0，a∈R}的子集的个数为________．
5．如果A＝{x|x>－1}，那么()
A．0⊆A B．{0}∈A C．∅∈A D．{0}⊆A
6．已知集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|0<x<1}，则()
A．A>B B．A B C．B A D．A⊆B
7．定义A－B＝{x|x∈A且x∉B}，若A＝{1,3,5,7,9}，B＝{2,3,5}，则A－B等于()
A．A B．B C．{2} D．{1,7,9}
8．以下共有6组集合．
(1)A＝{(－5,3)}，B＝{－5,3}；(2)M＝{1，－3}，N＝{3，－1}；
(3)M＝∅，N＝{0}；(4)M＝{π}，N＝{3.1415}；
(5)M＝{x|x是小数}，N＝{x|x是实数}；(6)M＝{x|x2－3x＋2＝0}，N＝{y|y2－3y＋2＝0}．
其中表示相等的集合有()
A．2组B．3组C．4组D．5组
9．定义集合间的一种运算“*”满足：A*B＝{ω|ω＝xy(x＋y)，x∈A，y∈B}．若集合A＝{0,1}，B＝{2,3}，则A*B的子集的个数是()
A．4 B．8 C．16 D．32
10．设B＝{1,2}，A＝{x|x⊆B}，则A与B的关系是()
A．A⊆B B．B⊆A C．A∈B D．B∈A
11．设x，y∈R，A＝{(x，y)|y＝x}，B＝{(x，y) | y
x＝1}，则A、B间的关系为________．
12．设集合A＝{1,3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，且A⊇B，则a的值为________．
13．已知A＝{x|x＜－1或x＞5}，B＝{x|a≤x＜a＋4}，若A B，则实数a的取值范围是________．14．已知集合A＝{a，a＋b，a＋2b}，B＝{a，ac，ac2}，若A＝B，求c的值．
15．已知集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a，a≥1}．
(1)若A B，求a的取值范围；
(2)若B⊆A，求a的取值范围．
16．若集合A ＝{x |x 2＋x －6＝0}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，且B
A ，求实数m 的值．
集合间的基本关系
1、在下列各式：①{}2,1,01∈；②{}{}2,1,01∈；③{}{}2,1,02,1,0⊆；④{}2,1,0≠⊂∅；
⑤{}{}1,0,22,1,0=。
其中错误的个数是（ ）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D.4个
2、已知非空集合A 满足：①{}4,3,2,1,⊆A ;②若A x ∈,则5-x A ∈.符合上述要求的集合A 的个数是（ ）
A.32
B. 8
C. 5
D. 3
3、满足{}{}d c b a M a ,,,≠⊂⊆的集合M 共有（ ）个
A. 6
B. 7
C. 8
D.15
4、设集合⎭
⎬⎫⎩⎨⎧≤--=023|x x x M ，集合N=()(){}014|≤-⋅-x x x ，则M 与N 的关系是（ ） A. M=N B.M ∈N C. N M ≠⊃ D. N M ≠⊂
5、已知{}x y R y M =∈=|， N={}2|m x R x =∈，则下列关系中正确的是（ ）
A. N M ≠⊃
B. M=N
C. M ≠N
D. M N ≠⊃
6、集合{}{}{}Z m m z z S Z l l y y P Z k k x x M ∈+==∈+==∈-==,16|,,13|,,23|之间的关系是（ ）
A. M P S ≠⊂≠⊂
B. M P S ≠⊂=
C. M P S =≠⊂
D. M P S =≠⊃
7{},12|2+-==x x y x A {},12|2+-==x x y y B {},012|2=+-=x x x C {},012|2<+-=x x x D (){},12|,2+-==x x y y x E (){}
,,012|,2R y x x y x F ∈=+-=则下列结论正确的是（ ）
A. D C B A ⊆⊆⊆
B. A B C D ≠⊂≠⊂≠⊂
C. E=F
D.A=B=E
8、已知集合{}1|2==x x P ，集合{}1|==ax x Q ，若P Q ⊆,那么a 的值为＿
9、设{}{}0|,21|<-=<<=a x x B x x A ，若B A ≠⊂，则a 的取值范围是＿
10、已知{}{}31|,21|≤≤=<<+=x x B k x k x A ，且A B ⊆,求实数k 的取值范围。
11已知{}{}{}A x x z z C A x R a a x y y B x x A ∈==∈∈-==≤≤-=,|,,,2|,21|2，是否存在实数a ，使C ⊆B ？若存在，求出a 的范围；若不存在，说明理由。