兴山县高中2018-2019学年高二下学期第二次月考试卷数学

兴山县高中2018-2019学年高二下学期第二次月考试卷数学一、选择题1． 已知定义在R 上的偶函数f （x ）在[0，+∞）上是增函数，且f （ax+1）≤f （x ﹣2）对任意都成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[﹣2，0]B ．[﹣3，﹣1]C ．[﹣5，1]D ．[﹣2，1）2． 自主招生联盟成行于2009年清华大学等五校联考，主要包括“北约”联盟，“华约”联盟，“卓越”联盟和“京派”联盟．在调查某高中学校高三学生自主招生报考的情况，得到如下结果： ①报考“北约”联盟的学生，都没报考“华约”联盟 ②报考“华约”联盟的学生，也报考了“京派”联盟 ③报考“卓越”联盟的学生，都没报考“京派”联盟 ④不报考“卓越”联盟的学生，就报考“华约”联盟 根据上述调查结果，下列结论错误的是（ ） A ．没有同时报考“华约” 和“卓越”联盟的学生 B ．报考“华约”和“京派”联盟的考生一样多 C ．报考“北约” 联盟的考生也报考了“卓越”联盟D ．报考“京派” 联盟的考生也报考了“北约”联盟3． 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若（acosB+bcosA ）=2csinC ，a+b=8，且△ABC 的面积的最大值为4，则此时△ABC 的形状为（ ） A ．等腰三角形B ．正三角形C ．直角三角形D ．钝角三角形4． 已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为F 1、F 2，且两条曲线在第一象限的交点为P ，△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形．若|PF 1|=10，椭圆与双曲线的离心率分别为e 1、e 2，则e 1•e 2+1的取值范围为（ ） A ．（1，+∞）B．（，+∞） C．（，+∞） D．（，+∞）5． 若直线l的方向向量为=（1，0，2），平面α的法向量为=（﹣2，0，﹣4），则（ ） A ．l ∥α B ．l ⊥αC ．l ⊂αD ．l 与α相交但不垂直6． 在△ABC 中，若a=2bcosC ，则△ABC 一定是（ ）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形7． 459和357的最大公约数（ ）A ．3B ．9C ．17D ．518． 如图，函数f （x ）=Asin （2x+φ）（A ＞0，|φ|＜）的图象过点（0，），则f （x ）的图象的一个对称中心是（ ）班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数__________________________________________________________________________________________________________________A ．（﹣，0）B ．（﹣，0）C ．（，0）D ．（，0）9． 在△ABC 中，a=1，b=4，C=60°，则边长c=（ ）A ．13B ．C ．D ．2110．不等式的解集是（ ）A ．{x|≤x ≤2}B ．{x|≤x ＜2}C ．{x|x ＞2或x ≤}D ．{x|x ≥}11．如图，三行三列的方阵中有9个数a ij （i=1，2，3；j=1，2，3），从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是（ ）A ．B ．C ．D ． 12．设集合M={（x ，y ）|x 2+y 2=1，x ∈R ，y ∈R}，N={（x ，y ）|x 2﹣y=0，x ∈R ，y ∈R}，则集合M ∩N 中元素的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题13．若在圆C ：x 2+（y ﹣a ）2=4上有且仅有两个点到原点O 距离为1，则实数a 的取值范围是 ．14．给出下列命题： （1）命题p ：；菱形的对角线互相垂直平分，命题q ：菱形的对角线相等；则p ∨q 是假命题（2）命题“若x 2﹣4x+3=0，则x=3”的逆否命题为真命题 （3）“1＜x ＜3”是“x 2﹣4x+3＜0”的必要不充分条件（4）若命题p ：∀x ∈R ，x 2+4x+5≠0，则¬p ：．其中叙述正确的是 ．（填上所有正确命题的序号）15．记等比数列{a n }的前n 项积为Πn ，若a 4•a 5=2，则Π8= ．16．【盐城中学2018届高三上第一次阶段性考试】已知函数()()ln f x x x ax =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是．17．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点P 、Q 分别是B 1C 1、CC 1的中点，则直线A 1P 与DQ 的位置关系是 ．（填“平行”、“相交”或“异面”）18．下列命题：①集合{},,,a b c d 的子集个数有16个； ②定义在R 上的奇函数()f x 必满足(0)0f =；③2()(21)2(21)f x x x =+--既不是奇函数又不是偶函数； ④A R =，B R =，1:||f x x →，从集合A 到集合B 的对应关系f 是映射； ⑤1()f x x=在定义域上是减函数． 其中真命题的序号是 ．三、解答题19．已知椭圆，过其右焦点F 且垂直于x 轴的弦MN 的长度为b ．（Ⅰ）求该椭圆的离心率；（Ⅱ）已知点A 的坐标为（0，b ），椭圆上存在点P ，Q ，使得圆x 2+y 2=4内切于△APQ ，求该椭圆的方程．20．已知a ＞0，b ＞0，a+b=1，求证：（Ⅰ）++≥8；（Ⅱ）（1+）（1+）≥9．21．（本小题满分12分）已知椭圆1C ：14822=+y x 的左、右焦点分别为21F F 、，过点1F 作垂直 于轴的直线，直线2l 垂直于点P ，线段2PF 的垂直平分线交2l 于点M .（1）求点M 的轨迹2C 的方程；（2）过点2F 作两条互相垂直的直线BD AC 、，且分别交椭圆于D C B A 、、、，求四边形ABCD 面积 的最小值.22．（本题12分）如图，D 是Rt BAC ∆斜边BC上一点，AC =. （1）若22BD DC ==，求AD ； （2）若AB AD =，求角B.23．（本小题满分12分）已知过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点，斜率为11A x y （，） 和22B x y （，）（12x x ＜）两点，且92AB =． （I ）求该抛物线C 的方程；（II ）如图所示，设O 为坐标原点，取C 上不同于O 的点S ，以OS 为直径作圆与C 相交另外一点R ， 求该圆面积的最小值时点S 的坐标．24．在直角坐标系xOy 中，过点P （2，﹣1）的直线l 的倾斜角为45°．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极坐标建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ=4cos θ，直线l 和曲线C 的交点为A ，B ．（1）求曲线C 的直角坐标方程； （2）求|PA|•|PB|．25．【徐州市第三中学2017～2018学年度高三第一学期月考】为了制作广告牌，需在如图所示的铁片上切割出一个直角梯形，已知铁片由两部分组成，半径为1的半圆O 及等腰直角三角形EFH ，其中FE FH ⊥，为裁剪出面积尽可能大的梯形铁片ABCD （不计损耗），将点,A B 放在弧EF 上，点,C D 放在斜边EH 上，且////AD BC HF ，设AOE θ∠=.（1）求梯形铁片ABCD 的面积S 关于θ的函数关系式；（2）试确定θ的值，使得梯形铁片ABCD 的面积S 最大，并求出最大值.26．已知椭圆C 1：+x 2=1（a ＞1）与抛物线C ：x 2=4y 有相同焦点F 1．（Ⅰ）求椭圆C 1的标准方程；（Ⅱ）已知直线l1过椭圆C1的另一焦点F2，且与抛物线C2相切于第一象限的点A，设平行l1的直线l交椭圆C1于B，C两点，当△OBC面积最大时，求直线l的方程．兴山县高中2018-2019学年高二下学期第二次月考试卷数学（参考答案）一、选择题1． 【答案】A【解析】解：∵偶函数f （x ）在[0，+∞）上是增函数， 则f （x ）在（﹣∞，0）上是减函数，则f （x ﹣2）在区间[，1]上的最小值为f （﹣1）=f （1） 若f （ax+1）≤f （x ﹣2）对任意都成立，当时，﹣1≤ax+1≤1，即﹣2≤ax ≤0恒成立则﹣2≤a ≤0 故选A2． 【答案】D【解析】集合A 表示报考“北约”联盟的学生，集合B 表示报考“华约”联盟的学生， 集合C 表示报考“京派”联盟的学生，集合D 表示报考“卓越”联盟的学生，由题意得U A B B CD C D B=∅⎧⎪⊆⎪⎨=∅⎪⎪=⎩ð，∴U A D B C D B ⊆⎧⎪=⎨⎪=⎩ð，选项A ．B D =∅，正确；选项B ．B C =，正确； 选项C ．A D ⊆，正确． 3． 【答案】A 【解析】解：∵（acosB+bcosA ）=2csinC ，∴（sinAcosB+sinBcosA ）=2sin 2C ，∴sinC=2sin 2C ，且sinC ＞0，∴sinC=，∵a+b=8，可得：8≥2，解得：ab ≤16，（当且仅当a=b=4成立）∵△ABC 的面积的最大值S △ABC =absinC ≤=4，∴a=b=4，则此时△ABC 的形状为等腰三角形．故选：A ．4． 【答案】B【解析】解：设椭圆和双曲线的半焦距为c ，|PF 1|=m ，|PF 2|=n ，（m ＞n ），A DB=C由于△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若|PF1|=10，即有m=10，n=2c，由椭圆的定义可得m+n=2a1，由双曲线的定义可得m﹣n=2a2，即有a1=5+c，a2=5﹣c，（c＜5），再由三角形的两边之和大于第三边，可得2c+2c=4c＞10，则c＞，即有＜c＜5．由离心率公式可得e1•e2===，由于1＜＜4，则有＞．则e1•e2+1．∴e1•e2+1的取值范围为（，+∞）．故选：B．【点评】本题考查椭圆和双曲线的定义和性质，考查离心率的求法，考查三角形的三边关系，考查运算能力，属于中档题．5．【答案】B【解析】解：∵=（1，0，2），=（﹣2，0，4），∴=﹣2，∴∥，因此l⊥α．故选：B．6．【答案】B【解析】解：由余弦定理得cosC=，把cosC代入a=2bcosC得：，∴a2=a2+b2﹣c2，∴c2=b2．又b和c都大于0，则b=c，即三角形为等腰三角形．故选B【点评】此题考查了余弦定理，以及三角形的形状判定，利用余弦定理表示出cosC是本题的突破点．7．【答案】D【解析】解：∵459÷357=1…102，357÷102=3…51，102÷51=2，∴459和357的最大公约数是51，故选：D．【点评】本题考查辗转相除法，这是一个算法案例，还有一个求最大公约数的方法是更相减损法，这种题目出现的比较少，但是要掌握题目的解法．本题也可以验证得到结果．8．【答案】B【解析】解：由函数图象可知：A=2，由于图象过点（0，），可得：2sinφ=，即sinφ=，由于|φ|＜，解得：φ=，即有：f（x）=2sin（2x+）．由2x+=kπ，k∈Z可解得：x=，k∈Z，故f（x）的图象的对称中心是：（，0），k∈Z当k=0时，f（x）的图象的对称中心是：（，0），故选：B．【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求函数的解析式，正弦函数的对称性，属于中档题．9．【答案】B【解析】解：∵a=1，b=4，C=60°，∴由余弦定理可得：c===．故选：B．10．【答案】B【解析】解：不等式，移项得：，即≤0，可化为：或解得：≤x＜2，则原不等式的解集为：≤x＜2故选B．【点评】此题考查了其他不等式的解法，考查了转化及分类讨论的数学思想，是高考中常考的题型．学生进行不等式变形，在不等式两边同时除以﹣1时，注意不等号方向要改变．11．【答案】D【解析】古典概型及其概率计算公式．【专题】计算题；概率与统计．【分析】利用间接法，先求从9个数中任取3个数的取法，再求三个数分别位于三行或三列的情况，即可求得结论．【解答】解：从9个数中任取3个数共有C93=84种取法，三个数分别位于三行或三列的情况有6种；∴所求的概率为=故选D．【点评】本题考查计数原理和组合数公式的应用，考查概率的计算公式，直接解法较复杂，采用间接解法比较简单．12．【答案】B【解析】解：根据题意，M∩N={（x，y）|x2+y2=1，x∈R，y∈R}∩{（x，y）|x2﹣y=0，x∈R，y∈R}═{（x，y）|}将x2﹣y=0代入x2+y2=1，得y2+y﹣1=0，△=5＞0，所以方程组有两组解，因此集合M∩N中元素的个数为2个，故选B．【点评】本题既是交集运算，又是函数图形求交点个数问题二、填空题13．【答案】﹣3＜a＜﹣1或1＜a＜3．【解析】解：根据题意知：圆x2+（y﹣a）2=4和以原点为圆心，1为半径的圆x2+y2=1相交，两圆圆心距d=|a|，∴2﹣1＜|a|＜2+1，∴﹣3＜a＜﹣1或1＜a＜3．故答案为：﹣3＜a＜﹣1或1＜a＜3．【点评】本题体现了转化的数学思想，解题的关键在于将问题转化为：圆x 2+（y ﹣a ）2=4和以原点为圆心，1为半径的圆x 2+y 2=1相交，属中档题．14．【答案】 （4）【解析】解：（1）命题p ：菱形的对角线互相垂直平分，为真命题．命题q ：菱形的对角线相等为假命题；则p ∨q 是真命题，故（1）错误，（2）命题“若x 2﹣4x+3=0，则x=3或x=1”，即原命题为假命题，则命题的逆否命题为假命题，故（2）错误，（3）由x 2﹣4x+3＜0得1＜x ＜3，则“1＜x ＜3”是“x 2﹣4x+3＜0”的充要条件，故（3）错误，（4）若命题p ：∀x ∈R ，x 2+4x+5≠0，则￢p ：．正确，故答案为：（4）【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及复合命题的真假关系，四种命题，充分条件和必要条件以及含有量词的命题的否定，知识点较多，属于中档题．15．【答案】 16 ．【解析】解：∵等比数列{a n }的前n 项积为Πn ，∴Π8=a 1•a 2a 3•a 4•a 5a 6•a 7•a 8=（a 4•a 5）4=24=16．故答案为：16．【点评】本题主要考查等比数列的计算，利用等比数列的性质是解决本题的关键．16．【答案】.【解析】由题意,y ′=ln x +1−2mx令f ′（x ）=ln x −2mx +1=0得ln x =2mx −1，函数()()ln f x x x mx =-有两个极值点,等价于f ′（x ）=ln x −2mx +1有两个零点， 等价于函数y =ln x 与y =2mx −1的图象有两个交点，，当m =12时，直线y =2mx −1与y =ln x 的图象相切， 由图可知,当0<m <12时，y =ln x 与y =2mx −1的图象有两个交点，则实数m 的取值范围是（0,12），故答案为：（0,12）.17．【答案】 相交【分析】由已知得PQ ∥A 1D ，PQ=A 1D ，从而四边形A 1DQP 是梯形，进而直线A 1P 与DQ 相交．【解析】解：∵在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点P 、Q 分别是B 1C 1、CC 1的中点， ∴PQ ∥A 1D ，∵直线A 1P 与DQ 共面，∴PQ=A 1D ，∴四边形A 1DQP 是梯形， ∴直线A 1P 与DQ 相交． 故答案为：相交．【点评】本题考查两直线位置关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．18．【答案】①② 【解析】试题分析：子集的个数是2n，故①正确.根据奇函数的定义知②正确.对于③()241f x x =-为偶函数，故错误.对于④0x =没有对应，故不是映射.对于⑤减区间要分成两段，故错误. 考点：子集，函数的奇偶性与单调性．【思路点晴】集合子集的个数由集合的元素个数来决定，一个个元素的集合，它的子集的个数是2n个；对于奇函数来说，如果在0x =处有定义，那么一定有()00f =，偶函数没有这个性质；函数的奇偶性判断主要根据定义()()()(),f x f x f x f x -=-=-，注意判断定义域是否关于原点对称.映射必须集合A 中任意一个元素在集合B 中都有唯一确定的数和它对应；函数的定义域和单调区间要区分清楚，不要随意写并集.1三、解答题19．【答案】【解析】解：（Ⅰ）设F （c ，0），M （c ，y 1），N （c ，y 2），则，得y 1=﹣，y 2=，MN=|y 1﹣y 2|==b ，得a=2b ，椭圆的离心率为： ==．（Ⅱ）由条件，直线AP 、AQ 斜率必然存在，设过点A 且与圆x 2+y 2=4相切的直线方程为y=kx+b ，转化为一般方程kx ﹣y+b=0，由于圆x 2+y 2=4内切于△APQ ，所以r=2=，得k=±（b ＞2），即切线AP 、AQ 关于y 轴对称，则直线PQ 平行于x 轴， ∴y Q =y P =﹣2，不妨设点Q 在y 轴左侧，可得x Q =﹣x P =﹣2，则=，解得b=3，则a=6，∴椭圆方程为：．【点评】本题考查了椭圆的离心率公式，点到直线方程的距离公式，内切圆的性质．20．【答案】【解析】证明：（Ⅰ）∵a+b=1，a ＞0，b ＞0，∴++==2（）=2（）=2（）+4≥4+4=8，（当且仅当a=b 时，取等号），∴++≥8；（Ⅱ）∵（1+）（1+）=1+++，由（Ⅰ）知， ++≥8，∴1+++≥9，∴（1+）（1+）≥9．21．【答案】（1）x y 82=；（2）964. 【解析】试题分析：（1）求得椭圆的焦点坐标，连接2MF ，由垂直平分线的性质可得2MF MP =，运用抛物线的定义，即可得到所求轨迹方程；（2）分类讨论：当AC 或BD 中的一条与轴垂直而另一条与轴重合时，此时四边形ABCD 面积22b S =．当直线AC 和BD 的斜率都存在时，不妨设直线AC 的方程为()2-=x k y ，则直线BD 的方程为()21--=x ky ．分别与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，利用弦长公式可得AC ，BD ．利用四边形ABCD 面积BD AC S 21=即可得到关于斜率的式子，再利用配方和二次函数的最值求法，即可得出．（2）当直线AC 的斜率存在且不为零时，直线AC 的斜率为，),(11y x A ，),(22y x C ，则直线BD 的斜率为k1-，直线AC 的方程为)2(-=x k y ，联立⎪⎩⎪⎨⎧=+-=148)2(22y x x k y ，得0888)12(2222=-+-+k x k x k .111]∴2221218k k x x +=+，22212188k k x x +-=.12)1(324)(1||22212212++=-+⋅+=k k x x x x k AC .由于直线BD 的斜率为k 1-，用k1-代换上式中的。