【推荐】2014年上海市高考数学试卷(文科)

2014年上海市高考数学试卷（文科）一、填空题（本大题共14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。

1．（4分）函数y=1﹣2cos2（2）的最小正周期是．2．（4分）若复数=1+2i，其中i是虚数单位，则（+）•= ．3．（4分）设常数a∈R，函数f（）=|﹣1|+|2﹣a|，若f（2）=1，则f（1）= ．4．（4分）若抛物线y2=2p的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线的准线方程．5．（4分）某校高一、高二、高三分别有学生1600名，1200名，800名．为了解该校高中学生的牙齿健康状况，按各年级的学生数进行分层抽样，若高三抽取20名学生，则高一、高二共需抽取的学生数为．6．（4分）若实数，y满足y=1，则2+2y2的最小值为．7．（4分）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与轴所成角的大小为（结果用反三角函数值表示）8．（4分）在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如图所示，则切割掉的两个小长方体的体积之和等于．9．（4分）设f（）=，若f（0）是f（）的最小值，则a的取值范围为．10．（4分）设无穷等比数列{an }的公比为q ，若a 1=（a 3+a 4+…a n ），则q= ．11．（4分）若f （）=﹣，则满足f （）＜0的的取值范围是 ． 12．（4分）方程sin+cos=1在闭区间[0，2π]上的所有解的和等于 ．13．（4分）为强化安全意识，某商场拟在未的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是 （结果用最简分数表示）．14．（4分）已知曲线C ：=﹣，直线l ：=6，若对于点A （m ，0），存在C 上的点P 和l 上的Q 使得+=，则m 的取值范围为 ．二、选择题（共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分15．（5分）设a ，b ∈R ，则“a+b ＞4”是“a ＞2且b ＞2”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件16．（5分）已知互异的复数a ，b 满足ab ≠0，集合{a ，b}={a 2，b 2}，则a+b=（ ）A ．2B ．1C ．0D ．﹣117．（5分）如图，四个边长为1的小正方形排成一个大正方形，AB 是大正方形的一条边，P i （i=1，2，…，7）是小正方形的其余顶点，则•（i=1，2，…，7）的不同值的个数为（ ）A ．7B ．5C ．3D ．118．（5分）已知P 1（a 1，b 1）与P 2（a 2，b 2）是直线y=+1（为常数）上两个不同的点，则关于和y 的方程组的解的情况是（ ）A ．无论，P 1，P 2如何，总是无解B ．无论，P 1，P 2如何，总有唯一解C ．存在，P 1，P 2，使之恰有两解D ．存在，P 1，P 2，使之有无穷多解三、解答题（共5小题，满分74分）19．（12分）底面边长为2的正三棱锥P ﹣ABC ，其表面展开图是三角形P 1P 2P 3，如图，求△P 1P 2P 3的各边长及此三棱锥的体积V ．20．（14分）设常数a ≥0，函数f （）=．（1）若a=4，求函数y=f （）的反函数y=f ﹣1（）；（2）根据a 的不同取值，讨论函数y=f （）的奇偶性，并说明理由．21．（14分）如图，某公司要在A 、B 两地连线上的定点C 处建造广告牌CD ，其中D 为顶端，AC 长35米，CB 长80米，设点A 、B 在同一水平面上，从A 和B 看D 的仰角分别为α和β．（1）设计中CD 是铅垂方向，若要求α≥2β，问CD 的长至多为多少（结果精确到0.01米）？（2）施工完成后，CD 与铅垂方向有偏差，现在实测得α=38.12°，β=18.45°，求CD 的长（结果精确到0.01米）．22．（16分）在平面直角坐标系Oy 中，对于直线l ：a+by+c=0和点P 1（1，y 1），P 2（2，y 2），记η=（a 1+by 1+c ）（a 2+by 2+c ），若η＜0，则称点P 1，P 2被直线l 分隔，若曲线C 与直线l 没有公共点，且曲线C 上存在点P 1、P 2被直线l 分隔，则称直线l 为曲线C 的一条分隔线．（1）求证：点A （1，2），B （﹣1，0）被直线+y ﹣1=0分隔；（2）若直线y=是曲线2﹣4y 2=1的分隔线，求实数的取值范围；（3）动点M 到点Q （0，2）的距离与到y 轴的距离之积为1，设点M 的轨迹为E ，求E 的方程，并证明y 轴为曲线E 的分隔线．23．（18分）已知数列{a n }满足a n ≤a n+1≤3a n ，n ∈N *，a 1=1．（1）若a 2=2，a 3=，a 4=9，求的取值范围；（2）若{a n }是等比数列，且a m =，求正整数m 的最小值，以及m 取最小值时相应{a n }的公比；（3）若a 1，a 2，…a 100成等差数列，求数列a 1，a 2，…a 100的公差的取值范围．2014年上海市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。

1．（4分）函数y=1﹣2cos2（2）的最小正周期是．【分析】由二倍角的余弦公式化简，可得其周期．【解答】解：y=1﹣2cos2（2）=﹣[2cos2（2）﹣1]=﹣cos4，∴函数的最小正周期为T==故答案为：【点评】本题考查二倍角的余弦公式，涉及三角函数的周期，属基础题．2．（4分）若复数=1+2i，其中i是虚数单位，则（+）•= 6 ．【分析】把复数代入表达式，利用复数代数形式的混合运算化简求解即可．【解答】解：复数=1+2i，其中i是虚数单位，则（+）•==（1+2i）（1﹣2i）+1=1﹣4i2+1=2+4=6．故答案为：6【点评】本题考查复数代数形式的混合运算，基本知识的考查．3．（4分）设常数a∈R，函数f（）=|﹣1|+|2﹣a|，若f（2）=1，则f（1）= 3 ．【分析】利用f（）=|﹣1|+|2﹣a|，f（2）=1，求出a，然后求解f（1）即可．【解答】解：常数a∈R，函数f（）=|﹣1|+|2﹣a|，若f（2）=1，∴1=|2﹣1|+|22﹣a|，∴a=4，函数f（）=|﹣1|+|2﹣4|，∴f（1）=|1﹣1|+|12﹣4|=3，故答案为：3．【点评】本题考查函数值的求法，基本知识的考查．4．（4分）若抛物线y2=2p的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线的准线方程=﹣2 ．【分析】由题设中的条件y2=2p（p＞0）的焦点与椭圆的右焦点重合，故可以先求出椭圆的右焦点坐标，根据两曲线的关系求出p，再由抛物线的性质求出它的准线方程【解答】解：由题意椭圆，故它的右焦点坐标是（2，0），又y2=2p（p＞0）的焦点与椭圆右焦点重合，故=2得p=4，∴抛物线的准线方程为=﹣=﹣2．故答案为：=﹣2【点评】本题考查圆锥曲线的共同特征，解答此类题，关键是熟练掌握圆锥曲线的性质及几何特征，熟练运用这些性质与几何特征解答问题．5．（4分）某校高一、高二、高三分别有学生1600名，1200名，800名．为了解该校高中学生的牙齿健康状况，按各年级的学生数进行分层抽样，若高三抽取20名学生，则高一、高二共需抽取的学生数为70 ．【分析】根据分层抽样的定义，建立比例关系，即可得到结论．【解答】解：∵高一、高二、高三分别有学生1600名，1200名，800名，∴若高三抽取20名学生，设共需抽取的学生数为，则，解得=90，则高一、高二共需抽取的学生数为90﹣20=70，故答案为：70．【点评】本题主要考查分层抽样的应用，比较基础．6．（4分）若实数，y满足y=1，则2+2y2的最小值为2．【分析】由已知可得y=，代入要求的式子，由基本不等式可得．【解答】解：∵y=1，∴y=∴2+2y2=2+≥2=2，当且仅当2=，即=±时取等号，故答案为：2【点评】本题考查基本不等式，属基础题．7．（4分）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与轴所成角的大小为arcsin（结果用反三角函数值表示）【分析】由已知中圆锥的侧面积是底面积的3倍，可得圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，在轴截面中，求出母线与轴所成角的正弦值，进而可得母线与轴所成角．【解答】解：设圆锥母线与轴所成角为θ，∵圆锥的侧面积是底面积的3倍，∴==3，即圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，故圆锥的轴截面如下图所示：则sinθ==，∴θ=arcsin，故答案为：arcsin【点评】本题考查的知识点是旋转体，其中根据已知得到圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，是解答的关键．8．（4分）在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如图所示，则切割掉的两个小长方体的体积之和等于24 ．【分析】由已知中的三视图，分别判断切割前后几何体的形状，并分别计算出切割前后几何体的体积，相减可得答案．【解答】解：由已知中的三视图，可知：大长方体的长，宽，高分别为：3，4，5，故大长方体的体积为：60，切去两个小长方体后的几何体是一个以主视图为底面，高为3的柱体，其底面面积为4×5﹣2×2×2×2=12，故切去两个小长方体后的几何体的体积为：12×3=36，故切割掉的两个小长方体的体积之和为：60﹣36=24，故答案为：24【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据已知中的三视图分析出几何体的形状是解答的关键．9．（4分）设f（）=，若f（0）是f（）的最小值，则a的取值范围为（﹣∞，2] ．【分析】分别由f（0）=a，≥2，a≤+综合得出a的取值范围．【解答】解：当=0时，f（0）=a，由题意得：a≤+，又∵+≥2=2，∴a≤2，故答案为：（﹣∞，2]．【点评】本题考察了分段函数的应用，基本不等式的性质，是一道基础题．10．（4分）设无穷等比数列{an }的公比为q，若a1=（a3+a4+…an），则q=．【分析】由已知条件推导出a 1=，由此能求出q 的值．【解答】解：∵无穷等比数列{a n }的公比为q ，a1=（a 3+a 4+…a n ） =（﹣a 1﹣a 1q ） =， ∴q 2+q ﹣1=0，解得q=或q=（舍）． 故答案为：． 【点评】本题考查等比数列的公比的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意极限知识的合理运用．11．（4分）若f （）=﹣，则满足f （）＜0的的取值范围是 （0，1） ．【分析】直接利用已知条件转化不等式求解即可．【解答】解：f （）=﹣，若满足f （）＜0， 即＜， ∴， ∵y=是增函数， ∴的解集为：（0，1）． 故答案为：（0，1）．【点评】本题考查指数不等式的解法，指数函数的单调性的应用，考查计算能力．12．（4分）方程sin+cos=1在闭区间[0，2π]上的所有解的和等于．【分析】由三角函数公式可得sin（+）=，可知+=2π+，或+=2π+，∈，结合∈[0，2π]，可得值，求和即可．【解答】解：∵sin+cos=1，∴sin+cos=，即sin（+）=，可知+=2π+，或+=2π+，∈，又∵∈[0，2π]，∴=，或=，∴+=故答案为：．【点评】本题考查两角和与差的三角函数公式，属基础题．13．（4分）为强化安全意识，某商场拟在未的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是（结果用最简分数表示）．【分析】要求在未的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，选择的3天恰好为连续3天的概率，须先求在10天中随机选择3天的情况，再求选择的3天恰好为连续3天的情况，即可得到答案．【解答】解：在未的连续10天中随机选择3天共有种情况，其中选择的3天恰好为连续3天的情况有8种，分别是（1，2，3），（2，3，4），（3，4，5），（4，5，6），（5，6，7），（6，7，8），（7，8，9），（8，9，10），∴选择的3天恰好为连续3天的概率是，故答案为：．【点评】本题考查古典概型以及概率计算公式，属基础题．14．（4分）已知曲线C：=﹣，直线l：=6，若对于点A（m，0），存在C上的点P和l上的Q使得+=，则m的取值范围为[2，3] ．【分析】通过曲线方程判断曲线特征，通过+=，说明A是PQ的中点，结合的范围，求出m的范围即可．【解答】解：曲线C：=﹣，是以原点为圆心，2 为半径的圆，并且P ∈[﹣2，0]，对于点A（m，0），存在C上的点P和l上的Q使得+=，说明A是PQ的中点，Q的横坐标=6，∴m=∈[2，3]．故答案为：[2，3]．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，函数思想的应用，考查计算能力以及转化思想．二、选择题（共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分15．（5分）设a，b∈R，则“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【分析】根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判定．【解答】解：当a=5，b=0时，满足a+b＞4，但a＞2且b＞2不成立，即充分性不成立，若a＞2且b＞2，则必有a+b＞4，即必要性成立，故“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键，比较基础．16．（5分）已知互异的复数a，b满足ab≠0，集合{a，b}={a2，b2}，则a+b=（）A．2 B．1 C．0 D．﹣1【分析】根据集合相等的条件，得到元素关系，即可得到结论．【解答】解：根据集合相等的条件可知，若{a，b}={a2，b2}，则①或②，由①得，∵ab≠0，∴a≠0且b≠0，即a=1，b=1，此时集合{1，1}不满足条件．由②得，若b=a2，a=b2，则两式相减得a2﹣b2=b﹣a，即（a﹣b）（a+b）=﹣（a ﹣b），∵互异的复数a，b，∴a﹣b≠0，即a+b=﹣1，故选：D．【点评】本题主要考查集合相等的应用，根据集合相等得到元素相同是解决本题的关键，注意要进行分类讨论．17．（5分）如图，四个边长为1的小正方形排成一个大正方形，AB是大正方形的一条边，P（i=1，2，…，7）是小正方形的其余顶点，则•（i=1，i2，…，7）的不同值的个数为（ ）A ．7B ．5C ．3D ．1【分析】建立适当的平面直角坐标系，利用坐标分别求出数量积，由结果可得答案．【解答】解：如图建立平面直角坐标系，则A （0，0），B （0，2），P 1（0，1），P 2（1，0），P 3（1，1），P 4（1，2），P 5（2，0），P 6（2，1），P 7（2，2）， ∴，=（0，1），=（1，0），=（1，1），=（1，2），=（2，0），=（2，1），=（2，2），∴=2，=0，=2，=4，=0，=2，=4，∴•（i=1，2，…，7）的不同值的个数为3，故选：C ．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，属基础题．18．（5分）已知P 1（a 1，b 1）与P 2（a 2，b 2）是直线y=+1（为常数）上两个不同的点，则关于和y 的方程组的解的情况是（ ）A ．无论，P 1，P 2如何，总是无解B ．无论，P 1，P 2如何，总有唯一解C ．存在，P 1，P 2，使之恰有两解D ．存在，P 1，P 2，使之有无穷多解【分析】判断直线的斜率存在，通过点在直线上，推出a 1，b 1，P 2，a 2，b 2的关系，然后求解方程组的解即可．【解答】解：P 1（a 1，b 1）与P 2（a 2，b 2）是直线y=+1（为常数）上两个不同的点，直线y=+1的斜率存在， ∴=，即a 1≠a 2，并且b 1=a 1+1，b 2=a 2+1，∴a 2b 1﹣a 1b 2=a 1a 2﹣a 1a 2+a 2﹣a 1=a 2﹣a 1，①×b 2﹣②×b 1得：（a 1b 2﹣a 2b 1）=b 2﹣b 1， 即（a 1﹣a 2）=b 2﹣b 1． ∴方程组有唯一解． 故选：B ．【点评】本题考查一次函数根与系数的关系，直线的斜率的求法，方程组的解和指数的应用．三、解答题（共5小题，满分74分）19．（12分）底面边长为2的正三棱锥P ﹣ABC ，其表面展开图是三角形P 1P 2P 3，如图，求△P 1P 2P 3的各边长及此三棱锥的体积V ．【分析】利用侧面展开图三点共线，判断△P 1P 2P 3是等边三角形，然后求出边长，利用正四面体的体积求出几何体的体积．【解答】解：根据题意可得：P 1，B ，P 2共线，∵∠ABP 1=∠BAP 1=∠CBP 2，∠ABC=60°，∴∠ABP 1=∠BAP 1=∠CBP 2=60°， ∴∠P 1=60°，同理∠P 2=∠P 3=60°，∴△P 1P 2P 3是等边三角形，P ﹣ABC 是正四面体， ∴△P 1P 2P 3的边长为4，V P ﹣ABC ==【点评】本题考查空间想象能力以及逻辑推理能力，几何体的侧面展开图和体积的求法．20．（14分）设常数a ≥0，函数f （）=．（1）若a=4，求函数y=f （）的反函数y=f ﹣1（）；（2）根据a 的不同取值，讨论函数y=f （）的奇偶性，并说明理由． 【分析】（1）根据反函数的定义，即可求出，（2）利用分类讨论的思想，若为偶函数求出a 的值，若为奇函数，求出a 的值，问题得以解决． 【解答】解：（1）∵a=4， ∴∴，∴，∴调换，y的位置可得，∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．（2）若f（）为偶函数，则f（）=f（﹣）对任意均成立，∴=，整理可得a（2﹣2﹣）=0．∵2﹣2﹣不恒为0，∴a=0，此时f（）=1，∈R，满足条件；若f（）为奇函数，则f（）=﹣f（﹣）对任意均成立，∴=﹣，整理可得a2﹣1=0，∴a=±1，∵a≥0，∴a=1，此时f（）=，满足条件；当a＞0且a≠1时，f（）为非奇非偶函数综上所述，a=0时，f（）是偶函数，a=1时，f（）是奇函数．当a＞0且a≠1时，f（）为非奇非偶函数【点评】本题主要考查了反函数的定义和函数的奇偶性，利用了分类讨论的思想，属于中档题．21．（14分）如图，某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米，CB长80米，设点A、B在同一水平面上，从A 和B看D的仰角分别为α和β．（1）设计中CD是铅垂方向，若要求α≥2β，问CD的长至多为多少（结果精确到0.01米）？（2）施工完成后，CD与铅垂方向有偏差，现在实测得α=38.12°，β=18.45°，求CD 的长（结果精确到0.01米）．【分析】（1）设CD 的长为，利用三角函数的关系式建立不等式关系即可得到结论．（2）利用正弦定理，建立方程关系，即可得到结论． 【解答】解：（1）设CD 的长为米，则tan α=，tan β=，∵0，∴tan α≥tan2β＞0，∴tan，即=，解得0≈28.28，即CD 的长至多为28.28米． （2）设DB=a ，DA=b ，CD=m ， 则∠ADB=180°﹣α﹣β=123.43°， 由正弦定理得， 即a=，∴m=≈26.93，答：CD 的长为26.93米．【点评】本题主要考查解三角形的应用问题，利用三角函数关系式以及正弦定理是解决本题的关键．22．（16分）在平面直角坐标系Oy 中，对于直线l ：a+by+c=0和点P 1（1，y 1），P 2（2，y 2），记η=（a 1+by 1+c ）（a 2+by 2+c ），若η＜0，则称点P 1，P 2被直线l 分隔，若曲线C 与直线l 没有公共点，且曲线C 上存在点P 1、P 2被直线l 分隔，则称直线l 为曲线C 的一条分隔线．（1）求证：点A （1，2），B （﹣1，0）被直线+y ﹣1=0分隔； （2）若直线y=是曲线2﹣4y 2=1的分隔线，求实数的取值范围；（3）动点M 到点Q （0，2）的距离与到y 轴的距离之积为1，设点M 的轨迹为E ，求E 的方程，并证明y 轴为曲线E 的分隔线．【分析】（1）把A 、B 两点的坐标代入η=（a 1+by 1+c ）（a 2+by 2+c ），再根据η＜0，得出结论． （2）联立 可得 （1﹣42）2=1，根据此方程无解，可得1﹣42≤0，从而求得的范围．（3）设点M （，y ），与条件求得曲线E 的方程为[2+（y ﹣2）2]2=1 ①．由于y 轴为=0，显然与方程①联立无解．把P 1、P 2的坐标代入=0，由η=1×（﹣1）=﹣1＜0，可得=0是一条分隔线．【解答】解：（1）把点（1，2）、（﹣1，0）分别代入+y ﹣1可得η=（1+2﹣1）（﹣1﹣1）=﹣4＜0，∴点（1，2）、（﹣1，0）被直线 +y ﹣1=0分隔．（2）联立 可得 （1﹣42）2=1，根据题意，此方程无解，故有1﹣42≤0，∴||≥．当||≥时，对于直线y=，曲线2﹣4y 2=1上的点（﹣1，0）和（1，0）满足η=﹣2＜0，即点（﹣1，0）和（1，0）被y=分隔． 故实数的取值范围是（﹣∞，﹣]∪[，+∞）．（3）设点M （，y ），则 •||=1，故曲线E 的方程为[2+（y ﹣2）2]2=1①．对任意的y 0，（0，y 0）不是上述方程的解，即y 轴与曲线E 没有公共点． 又曲线E 上的点（1，2）、（﹣1，2）对于y 轴（=0）满足η=1×（﹣1）=﹣1＜0，即点（﹣1，2）和（1，2）被y 轴分隔，所以y 轴为曲线E 的分隔线． 【点评】本题主要考查新定义，直线的一般式方程，求点的轨迹方程，属于中档题．23．（18分）已知数列{a n }满足a n ≤a n+1≤3a n ，n ∈N *，a 1=1． （1）若a 2=2，a 3=，a 4=9，求的取值范围； （2）若{a n }是等比数列，且a m =，求正整数m 的最小值，以及m 取最小值时相应{a n }的公比；（3）若a 1，a 2，…a 100成等差数列，求数列a 1，a 2，…a 100的公差的取值范围． 【分析】（1）由题意可得：，，代入解出即可；（2）设公比为q ，由已知可得，，由于，可得．而，可得，再利用对数的运算法则和性质即可得出．（3）设公差为d ，由已知可得3[1+（n ﹣2）d]，其中2≤n ≤100，即，解出即可．【解答】解；（1）由题意可得：，∴；又，∴3≤≤27．综上可得：3≤≤6．（2）设公比为q ，由已知可得，，又，∴．因此，∴，1000==1﹣=≈7.29．∴m=1﹣logq∴m的最小值是8，因此q7=，∴=．（3）设公差为d，由已知可得≤1+nd≤3[1+（n﹣1）d]即，令n=1，得．当2≤n≤99时，不等式即，．∴．综上可得：公差d的取值范围是．【点评】本题综合考查了等差数列与等比数列的通项公式、不等式的性质、对数的运算法则等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．。