概率论第五章
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概率第五章_大数定律与中心极限定理090505
加法法则
P ( − Eξ ε ) = ξ ≥
P(ξ ≥ Eξ + ε ) + P (ξ ≤ Eξ − ε )
k
=
≤
k : xk ≥ E +
∑ξ ε p
k
+
k : xk ≤ E −
∑ξ ε p
pk +
k :xk ≥ E +
∑ξ ε
( x − Eξ ) 2
ε
2
k :xk ≤ E −
∑ξ ε
( x − Eξ ) 2
， 方差 Dξ n ( n = 1, 2,L)，且 Dξi < l (i = 1, 2,L) 其中 l 与 i 无关的
1 Eξ = (1 + 2 + 3 + L + 6) 6
35 7 故 Eξ = Dξ = 12 2
4 2 = P (ξ = 5) + P(ξ = 6) + P (ξ = 1) + P (ξ = 2) = = 6 3 7 1 P( − 2 ) = P(ξ ≥ 5.5) + P(ξ ≤ 1.5) = P (ξ = 6) + P (ξ = 1) = ξ ≥
即
lim P ( − p < ε ) = 1 n →∞ n
ξ
此定理表明：当试验在不变的条件下重复进行很多次时， 随机事件的频率 频率在它的概率 概率附近摆动。 频率 概率 由贝努里大数定律可知，若事件A的概率很小很小时，则 它的频率也很小很小，即事件A很少发生或几乎不发生， 这种事件叫小概率事件。反之，若随机事件的概率很接近1， 则可认为在个别试验中这事件几乎一定发生。 同分布的两个或多个随机变量: 同分布的两个或多个随机变量 离散型: 它们的概率分布律相同. 离散型 它们的概率分布律相同 连续型: 它们的概率密度函数相同. 连续型 它们的概率密度函数相同 所以它们的期望与方差一定相同. 所以它们的期望与方差一定相同
P ( − Eξ ε ) = ξ ≥
P(ξ ≥ Eξ + ε ) + P (ξ ≤ Eξ − ε )
k
=
≤
k : xk ≥ E +
∑ξ ε p
k
+
k : xk ≤ E −
∑ξ ε p
pk +
k :xk ≥ E +
∑ξ ε
( x − Eξ ) 2
ε
2
k :xk ≤ E −
∑ξ ε
( x − Eξ ) 2
， 方差 Dξ n ( n = 1, 2,L)，且 Dξi < l (i = 1, 2,L) 其中 l 与 i 无关的
1 Eξ = (1 + 2 + 3 + L + 6) 6
35 7 故 Eξ = Dξ = 12 2
4 2 = P (ξ = 5) + P(ξ = 6) + P (ξ = 1) + P (ξ = 2) = = 6 3 7 1 P( − 2 ) = P(ξ ≥ 5.5) + P(ξ ≤ 1.5) = P (ξ = 6) + P (ξ = 1) = ξ ≥
即
lim P ( − p < ε ) = 1 n →∞ n
ξ
此定理表明：当试验在不变的条件下重复进行很多次时， 随机事件的频率 频率在它的概率 概率附近摆动。 频率 概率 由贝努里大数定律可知，若事件A的概率很小很小时，则 它的频率也很小很小，即事件A很少发生或几乎不发生， 这种事件叫小概率事件。反之，若随机事件的概率很接近1， 则可认为在个别试验中这事件几乎一定发生。 同分布的两个或多个随机变量: 同分布的两个或多个随机变量 离散型: 它们的概率分布律相同. 离散型 它们的概率分布律相同 连续型: 它们的概率密度函数相同. 连续型 它们的概率密度函数相同 所以它们的期望与方差一定相同. 所以它们的期望与方差一定相同
概率论 第五章汇总
1
t2
e 2 dt ( x).
n np(1 p) 2
证 由§4.2例知, n可以看成n个相互独立的服从同一(0-1)分
布的随机变量X1,...,Xn之和，即 近n 似X1 X2 Xn
np n
N (0,1) E(X i ) p, D(Xi ) p(1 p),
i 1,2,, n
➢ 伯努利大数定律是辛钦定理的特殊情况.
§5.2 中心极限定理
在客观实际中有许多随机变量,它们是由 大量的相互独立的随机因素的综合影响所 形成的,而其中每一个别因素在总的影响中 起到的作用都是微小的.这种随机变量往往 近似的服从正态分布.这种现象就是中心极 限定理的客观背景.
本节只介绍三个常用的中心极限定理.
lim
~ ~ n
Fn
(
X
xY) nnlim
P
nn
N i i11
XXi
i近n似 nx近
nnn
似 0x,N121(0e,1)t22
dt
( x). (证明略)
定理表明,当n充分大时,Yn近似服从标准正态分布.
例1 一盒同型号螺丝钉共100个，已知该型号的螺丝钉的重量是
一个随机变量，期望值是100g，标准差是10g ，求一盒螺丝钉 的重量超过10.2kg的概率.
第五章 大数定律及中心极限定理
§5.1 大数定律 §5.2 中心极限定理
第五章 大数定律及中心极限定理
概率论与数理统计是研究随机现象统计 规律性的学科. 随机现象的规律性只有在相 同的条件下进行大量重复试验时才会呈现出 来. 也就是说，要从随机现象中去寻求必然 的法则，应该研究大量随机现象.
研究大量的随机现象，常常采用极限 形式，由此导致对极限定理进行研究. 极 限定理的内容很广泛，其中最重要的有两 种:
概率论课件第五章资料
vn n
np 1
n2
p
p 1
n
p
由切比雪夫不等式，对任意正数ε，有
0
P
vn n
p
p 1 p
n 2
n 0
lim
P
n
vn n
p
0
历史上，伯努利是第一个研究弱大数定理的， 他在1713年发表的论文中，提出了上述定理， 那是概率论的第一篇论文。
依概率收敛
设有随机变量序列X1, X2,…, Xn和随机变量
可以证明，若 Xn a.s Y 则 Xn P Y
强大数定律讨论的就是以概率1收敛.
二、强大数定律 定义
设有独立随机变量序列X1, X2,…, Xn，如
n
Xi EXi
P lim i=1
=0 1
n
n
则称{Xn}满足强大数定律。
柯尔莫哥洛夫不等式 （引理5.1.2）
设X1, X2,…, Xn为独立随机变量序列，具有 有限的数学期望和方差，则对任意 >0 ，有
n i 1
X
i
1 n2
n
Var Xi
i 1
2 n
P{Yn
EYn
}
Var Yn
2
2
n 2
0
(n )
得证。
辛钦大数定律 设X1，X2，…，Xn，…是独
立同分布的随机变量序列，且有有限的期望μ， 则对任意ε>0，有
lim
n
P
X1
X2 n
Xn
0
显然
E
X1
X2
n
Xn
n
证
令Var Xi 2,
n i 1
EX i
概率论第五章
i =1
n
i =1
常用的统计量
样本均值、样本方差和样本矩。 样本均值、样本方差和样本矩。
⋯ 定义 5.2 设 X 1，X 2， ，X n 是来自总体 X 长度为 n
的一个样本，则称 的一个样本， 1 n Sample mean X = ∑ Xi （5-3） n i =1 1 n 2 S = ( X i − X )2 （5-4） ∑ n − 1 i =1 Sample variance n 1 k m k = ∑ X i ( k = 1， ⋯) 2， （ 5-5） n i =1 1 n ′ m k = ∑ ( X i − X ) k ( k = 1， ⋯) 2， （ 5-6） n i =1 分别为样本均值、 样本方差、 分别为样本均值、 样本方差、样本 k 阶原点矩和样本 k 阶中心矩。 阶中心矩。 Central moments Origin moments
1 n ES 2 = E[ ( X i − X )2 ] ∑ n − 1 i =1 1 n 2 2 = E[ ∑ ( X i − 2 X X i + X )] n − 1 i =1 n 1 2 2 = E(∑ X i − n X ) n − 1 i =1 1 n [ ∑ ( DX i + ( EX i ) 2 ) − n ( D X + ( E X ) 2 )] = n − 1 i =1 2 n 1 σ 2 2 = [ ∑ (σ + µ ) − n ( + µ 2 )] = σ 2 n − 1 i =1 n
频率直方图 frequency histogram
是连续型随机变量时， 当总体 X 是连续型随机变量时 ， 可用直方图来 处理数据（ 样本值）。 ）。设 处理数据（ 样本值 ）。设 x1 , x 2 ,⋯ , x n 是总体 X 的一 组样本值。 处理步骤如下： 组样本值 。 处理步骤如下 ：
n
i =1
常用的统计量
样本均值、样本方差和样本矩。 样本均值、样本方差和样本矩。
⋯ 定义 5.2 设 X 1，X 2， ，X n 是来自总体 X 长度为 n
的一个样本，则称 的一个样本， 1 n Sample mean X = ∑ Xi （5-3） n i =1 1 n 2 S = ( X i − X )2 （5-4） ∑ n − 1 i =1 Sample variance n 1 k m k = ∑ X i ( k = 1， ⋯) 2， （ 5-5） n i =1 1 n ′ m k = ∑ ( X i − X ) k ( k = 1， ⋯) 2， （ 5-6） n i =1 分别为样本均值、 样本方差、 分别为样本均值、 样本方差、样本 k 阶原点矩和样本 k 阶中心矩。 阶中心矩。 Central moments Origin moments
1 n ES 2 = E[ ( X i − X )2 ] ∑ n − 1 i =1 1 n 2 2 = E[ ∑ ( X i − 2 X X i + X )] n − 1 i =1 n 1 2 2 = E(∑ X i − n X ) n − 1 i =1 1 n [ ∑ ( DX i + ( EX i ) 2 ) − n ( D X + ( E X ) 2 )] = n − 1 i =1 2 n 1 σ 2 2 = [ ∑ (σ + µ ) − n ( + µ 2 )] = σ 2 n − 1 i =1 n
频率直方图 frequency histogram
是连续型随机变量时， 当总体 X 是连续型随机变量时 ， 可用直方图来 处理数据（ 样本值）。 ）。设 处理数据（ 样本值 ）。设 x1 , x 2 ,⋯ , x n 是总体 X 的一 组样本值。 处理步骤如下： 组样本值 。 处理步骤如下 ：
概率论第五章
X − 14 14 − 14 ( 2 ). P { X > 1 4} = P{ > } 0.2 0.2 X − 14 = 1 − P{ ≤ 0} ≈ 1 − Φ (0) = 1 − 0.5 = 0.5 0.2
第五章 大数定律及中心极限定理
例6 一加法器同时收到20个噪声电压 Vk (k = 1,2,⋯,20) ， 设它们是互相独立的随机变量，且都在区间(0,10)上 服从均匀分布，记 20
2
2
P{| X − µ |< ε } ≥ 1 − σ / ε
2
2
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第五章 大数定律及中心极限定理
§1 大数定律
这个不等式给出了随机变量 X 的分布未知情 况下，事件{| X − µ |< ε } 的概率的一种估计方法。
例 如 ： 在上 面 不等 式 中， 取 ε = 3σ , 4σ ， 有 ：
第五章 大数定律及中心极限定理
例4 某单位有200台电话分机，每台分机有5%的时间要 使用外线通话。假定每台分机是否使用外线是相互独 立的，问该单位总机要安装多少条外线，才能以90%以 上的概率保证分机用外线时不等待？ 解：设有X部分机同时使用外线，则有 X ~ B ( n, p ),
X − np N − np P ≤ P{ X ≤ N } = np (1 − p ) np (1 − p ) N − np ≈ = Φ 0 N − 10 . Φ0 np (1 − p ) 3.08 N - 10 查表得Φ (1.28) = 0.90.故 N 应满足条件 ≥ 1.28, 3.08 即 N ≥ 13.94. 取 N = 14, 即至少要安装 14 条外线。
§1 大数定律
定理（切比雪夫定理的特殊情况） 设随机变量 X 1 ,⋯, X n ,⋯ 相互独立， 且具有相同的数学期
第五章 大数定律及中心极限定理
例6 一加法器同时收到20个噪声电压 Vk (k = 1,2,⋯,20) ， 设它们是互相独立的随机变量，且都在区间(0,10)上 服从均匀分布，记 20
2
2
P{| X − µ |< ε } ≥ 1 − σ / ε
2
2
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第五章 大数定律及中心极限定理
§1 大数定律
这个不等式给出了随机变量 X 的分布未知情 况下，事件{| X − µ |< ε } 的概率的一种估计方法。
例 如 ： 在上 面 不等 式 中， 取 ε = 3σ , 4σ ， 有 ：
第五章 大数定律及中心极限定理
例4 某单位有200台电话分机，每台分机有5%的时间要 使用外线通话。假定每台分机是否使用外线是相互独 立的，问该单位总机要安装多少条外线，才能以90%以 上的概率保证分机用外线时不等待？ 解：设有X部分机同时使用外线，则有 X ~ B ( n, p ),
X − np N − np P ≤ P{ X ≤ N } = np (1 − p ) np (1 − p ) N − np ≈ = Φ 0 N − 10 . Φ0 np (1 − p ) 3.08 N - 10 查表得Φ (1.28) = 0.90.故 N 应满足条件 ≥ 1.28, 3.08 即 N ≥ 13.94. 取 N = 14, 即至少要安装 14 条外线。
§1 大数定律
定理（切比雪夫定理的特殊情况） 设随机变量 X 1 ,⋯, X n ,⋯ 相互独立， 且具有相同的数学期
概率论课件(第5章)
解：设 X 表示总错误个数，X i 表示第 i 页上的错误数 , 则
400
X Xi i 1
而 EXi 0.2 , DXi 0.2 由中心极限定理一可知
400
X X i ～ N (n , n 2 ) N (80,80) 故所求为： i 1
P(0
X
88)
88
80 80
0 80 80
4. 甲、乙两队进行某项比赛，规定一方先胜三场则结束，设每场双方 获胜的概率均为0.5，以 X 表示比赛的场数，试求 EX .
解： X 可取： 3 , 4 , 5 .
“ X = 3 ” 表示 “ 甲连胜3局” 或“乙连胜3局 ”则，
P( X
3)
1 3 2
1 3 2
1 4
“ X = 4 ” 表示 “ 甲（或乙）胜第4局且前3局胜2局 ” 则
解： 由已知，EX = 2/3，EY = 2/3， DX = 2/9，DY = 2/9， [2014，三]
又 XY cov( X ,Y ) EXY EXEY 0.5 EXY = 5/9 ，
DX DY
DX DY
而 EXY 11 P(X 1,Y 1) P(X 1,Y 1) 5/ 9 则
三、中心极限定理 （定理一、定理二）
1. 设 D( X ) , D( Y ) 存在且不等于0，则 D ( X + Y ) = D ( X ) + D ( Y )
是 X 与 Y _________.
(A) 不相关的充分但不必要条件； (B) 独立的充分但不必要条件；
(C) 不相关的充分必要条件；
(D) 独立的充分必要条件.
n
n
分析：从公式直接得到：当
n
概率论第五章
28 March 2011
湖南大学
第五章 大数定律与中心极限定理
第10页 10页
切比雪夫大数定律
设随机变量序列X1, X2 ,K, Xn ,K相互独立，且 E( Xi ), D( Xi )存在，若存在常数C, 使得D( Xi ) ≤ C,
1 n 1 n lim P{| ∑Xi − ∑E( Xi ) |< ε} =1 n→∞ n i=1 n i=1
湖南大学
则称{Xn} 服从大数定律.
28 March 2011
湖南大学
第五章 大数定律与中心极限定理
第9页
定义:
设a为一常数 X1, X2 ,K, Xn， 为一随机变量序列， 若 , K 对任意的ε > 0, 有 lim P{| Xn − a |< ε} =1,
n→∞
则 X1, X2 ,K, Xn ,K 概 收 于 称 依 率 敛 a
10 0.8
9 0.1
8 0.05
7 0.02
6 0.03
= Φ( − 3.53) −Φ(-6.85)= 1-0.9998=0.0002
28 March 2011
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第五章 大数定律与中心极限定理
第17页 17页
二项分布的正态近似
棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理 设µn 为服从二项分布 b(n, p) 的随机变量，则当 n 充分大时，有
∑X limP n→∞ σ
n i =1
i
− nµ n
≤ y = Φ( y)
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28 March 2011
第五章 大数定律与中心极限定理
第15页 15页
例3 每袋味精的净重为随机变量，平均重量为 100 克，标准差为10克. 一箱内装200袋味精，求一箱味 精的净重大于20500克的概率? 解: 设箱中第 i 袋味精的净重为 Xi, 则Xi 独立同分布， 且 E(Xi)=100， D(Xi) =100， 由中心极限定理得，所求概率为：
概率论m5
lim P{| Yn a | } 1 是 指 ：
n
n
当 n很 大 时 ， 不 等 式 Yn a 成立的概率很大 .
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第五章 大数定律及中心极限定理
§1 大数定律
说明2： X n P a , Yn P b , g ( x , y ) 在 点(a , b )连 续 若
§1 大数定律
定理 3（辛钦大数定律） 设 X 1 ,, X n , 相互独立同分布，且具有数学期 望 EX k ，k 1,2, , n, ，
则：对任意的 0 ，有
n
lim P {|
1
X i | } 1 n i 1
n
注：贝努里大数定律是辛钦大数定律的特殊情况。
§2 中心极限定理
V - 100 V - 100 P 0.387 1 P 0.387 (10 / 12) 20 (10 / 12) 20
1 ( 0 .387 ) 0 .348
例2 一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是 随机的。假设每箱平均重50千克，标准差为5千克。 若用最大载重量为5吨的汽车承用，试利用中心极限 定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保证不超载 的概率大于0。977。
§2 中心极限定理
2
设X 1 ,, X n ,相 互 独 立 ， 且 k k，DXk k 0, EX
1 使得当 时， 2 n Bn
E{| X k k |2 } 0
k 1
n
则 { X n } 服从中心极限定理，即：
n
lim P {
1 ( X k k ) k DX k
n
n
n
当 n很 大 时 ， 不 等 式 Yn a 成立的概率很大 .
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第五章 大数定律及中心极限定理
§1 大数定律
说明2： X n P a , Yn P b , g ( x , y ) 在 点(a , b )连 续 若
§1 大数定律
定理 3（辛钦大数定律） 设 X 1 ,, X n , 相互独立同分布，且具有数学期 望 EX k ，k 1,2, , n, ，
则：对任意的 0 ，有
n
lim P {|
1
X i | } 1 n i 1
n
注：贝努里大数定律是辛钦大数定律的特殊情况。
§2 中心极限定理
V - 100 V - 100 P 0.387 1 P 0.387 (10 / 12) 20 (10 / 12) 20
1 ( 0 .387 ) 0 .348
例2 一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是 随机的。假设每箱平均重50千克，标准差为5千克。 若用最大载重量为5吨的汽车承用，试利用中心极限 定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保证不超载 的概率大于0。977。
§2 中心极限定理
2
设X 1 ,, X n ,相 互 独 立 ， 且 k k，DXk k 0, EX
1 使得当 时， 2 n Bn
E{| X k k |2 } 0
k 1
n
则 { X n } 服从中心极限定理，即：
n
lim P {
1 ( X k k ) k DX k
n
概率论与数理统计 第五章
贝努里定理. 它的叙述如下:设是n次重复独立 对于任意给定的ε>0,有
lim P{| nA p | } 1
n
n
lim P{| nA p | } 1
n
n
其中nA/n是频率,p是概率,即次数多
时事件发生的频率收敛于概率.表示频率的稳定性.
定理3
lim P{|
n
1 n
n i 1
Xi
| } 1
数理统计的方法属于归纳法,由大量的资料作依据,而不
是从根据某种事实进行假设,按一定的逻辑推理得到的.例
如统计学家通过大量观察资料得出吸烟和肺癌有关,吸烟
者得肺癌的人比不吸烟的多好几倍.因此得到这个结论.
数理统计的应用范围很广泛.在政府部门要求有关的资
料给政府制定政策提供参考.由局部推断整体,学生的假期
第五章 大 数 定 律 与 中 心 极 限 定 律
§ 5.1大 数 定 律
定理1(切比雪夫定理) 设X1,X2,...,Xn,...是相互独立的随机变
量序列若存在常数C,使得D(Xi)≤C. (i=1,2,...n),则对任意给
定的ε>0,有
lim P{|
n
1 n
n i 1
[Xi
E( X i )] |
7200 6800 2
200 1
D 2
1
2100 2002
0.95
可见虽有10000盏灯,只要电力供应7200盏灯即有相当大的保 证率切贝谢夫不等式对这类问题的计算有较大价值,但它的精度 不高.为此我们研究下面的内容.
2021/9/5
10
§ 5.2 中 心 极 限 定 理
在随机变量的一切可能性的分布律中，正态分布占有特殊的
概率论第五章(讲义版)
第五章 大数定律与中心极限定理
一、大数定律 二、中心极限定理
第一节 大数定律
第五章
一、 切比雪夫 切比雪夫Chebyshev不等式 不等式 二、几个常见的大数定律
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切比雪夫Chebyshev不等式） 不等式） 命题 (切比雪夫 不等式 设随机变量X 的数学期望 E ( X ) = µ 和方差D X） σ 2 （ = 存在，则对任意
X = X1 + X 2 + ⋯ + X n
则这种量X 一般都服从或近似服从正态分布。 习惯于把和的分布收敛于正态分布这 在概率论中， 一类定理都叫做中心极限定理.
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定理1 独立同分布的中心极限定理） 定理1（独立同分布的中心极限定理） 设 X 1 , X 2 ,⋯ , X n ,⋯ 相互独立， 且服从同一分布， 具有相同的期望和方差
ε = 200
练习
随机掷四颗骰子， 随机掷四颗骰子，估计四颗骰子出现
的点数之和在10至18之间的概率。 的点数之和在10至18之间的概率。 10 之间的概率
思考题
1.随机变量很小怎样理解？靠近于一个常数怎么理解? 随机变量很小怎样理解？靠近于一个常数怎么理解 随机变量很小怎样理解
2.如果 X与a非常靠近，是否 对任意的ε > 0，都有｜X − a | <ε 永远成立？
由伯努利大数定律一般化得到辛钦定理：
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定理2 辛钦定律） 定理2（辛钦定律） 设随机变量序列X1 , X2 , … 独立同分布， 且具有相同的数学期望 E ( X ) = µ , i = 1,2,⋯ i 则
一、大数定律 二、中心极限定理
第一节 大数定律
第五章
一、 切比雪夫 切比雪夫Chebyshev不等式 不等式 二、几个常见的大数定律
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切比雪夫Chebyshev不等式） 不等式） 命题 (切比雪夫 不等式 设随机变量X 的数学期望 E ( X ) = µ 和方差D X） σ 2 （ = 存在，则对任意
X = X1 + X 2 + ⋯ + X n
则这种量X 一般都服从或近似服从正态分布。 习惯于把和的分布收敛于正态分布这 在概率论中， 一类定理都叫做中心极限定理.
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定理1 独立同分布的中心极限定理） 定理1（独立同分布的中心极限定理） 设 X 1 , X 2 ,⋯ , X n ,⋯ 相互独立， 且服从同一分布， 具有相同的期望和方差
ε = 200
练习
随机掷四颗骰子， 随机掷四颗骰子，估计四颗骰子出现
的点数之和在10至18之间的概率。 的点数之和在10至18之间的概率。 10 之间的概率
思考题
1.随机变量很小怎样理解？靠近于一个常数怎么理解? 随机变量很小怎样理解？靠近于一个常数怎么理解 随机变量很小怎样理解
2.如果 X与a非常靠近，是否 对任意的ε > 0，都有｜X − a | <ε 永远成立？
由伯努利大数定律一般化得到辛钦定理：
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结束
定理2 辛钦定律） 定理2（辛钦定律） 设随机变量序列X1 , X2 , … 独立同分布， 且具有相同的数学期望 E ( X ) = µ , i = 1,2,⋯ i 则
《概率论与数理统计》课件第五章大数定律及中心极限定理
有极其重要的地位？
4.大样本统计推断的理论基础
是什么？
大数定律中心极限定理
随机现象中平均结果的稳定性
大数定律的客观背景
大量抛掷硬币正面出现频率
字母使用频率
生产过程中的废品率
§5.1 大数定律
背景：1. 频率稳定性2. 大量测量结果算术平均值的稳定性
回顾
随机现象的主要研究方法
概率分布
01
证：_x001A__x001B__x001B_,_x001A__x001B__x001B_,⋯, _x001A__x001B__x001B_, ⋯相互独立同分布，则_x001A__x001B__x001B__x001B_,_x001A__x001B__x001B__x001B_, ⋯,_x001A__x001B__x001B__x001B_, ⋯也相互独立同分布,由辛钦大数定律得证.
第五章 大数定律及中心极限定理
§5.1 大数定律§5.2 中心极限定理
要点：用切比雪夫不等式估算概率独立同分布,用中心极限定理计算对于二项分布，当n很大时，计算
本章要解决的问题
1.为何能以某事件发生的频率
作为该事件的概率的估计？
2.为何能以样本均值作为总体
期望的估计？
3.为何正态分布在概率论中占
解：(1)设X表示一年内死亡的人数，则~(, )，其中=，=.%. 设Y表示保险公司一年的利润，=×−.需要求的是_x001A_<_x001B_.
由中心极限定理
_x001A_<_x001B_=_x001A_×−<_x001B_ =_x001A_>_x001B_=−_x001A_≤_x001B_
且，
由中心极限定理
解：设为第i个螺丝钉的重量， 相互独立同分布. 于是，一盒螺丝钉的重量为
4.大样本统计推断的理论基础
是什么？
大数定律中心极限定理
随机现象中平均结果的稳定性
大数定律的客观背景
大量抛掷硬币正面出现频率
字母使用频率
生产过程中的废品率
§5.1 大数定律
背景：1. 频率稳定性2. 大量测量结果算术平均值的稳定性
回顾
随机现象的主要研究方法
概率分布
01
证：_x001A__x001B__x001B_,_x001A__x001B__x001B_,⋯, _x001A__x001B__x001B_, ⋯相互独立同分布，则_x001A__x001B__x001B__x001B_,_x001A__x001B__x001B__x001B_, ⋯,_x001A__x001B__x001B__x001B_, ⋯也相互独立同分布,由辛钦大数定律得证.
第五章 大数定律及中心极限定理
§5.1 大数定律§5.2 中心极限定理
要点：用切比雪夫不等式估算概率独立同分布,用中心极限定理计算对于二项分布，当n很大时，计算
本章要解决的问题
1.为何能以某事件发生的频率
作为该事件的概率的估计？
2.为何能以样本均值作为总体
期望的估计？
3.为何正态分布在概率论中占
解：(1)设X表示一年内死亡的人数，则~(, )，其中=，=.%. 设Y表示保险公司一年的利润，=×−.需要求的是_x001A_<_x001B_.
由中心极限定理
_x001A_<_x001B_=_x001A_×−<_x001B_ =_x001A_>_x001B_=−_x001A_≤_x001B_
且，
由中心极限定理
解：设为第i个螺丝钉的重量， 相互独立同分布. 于是，一盒螺丝钉的重量为
概率论 第五章数学期望和方差
E(T2n+1) = E(T2n + X2n+1) = E(T2n) + E(X2n+1) = µ, n = 1, 2, . . . V ar(Tn) = n V ar(Xi) = nσ2.
i=1
5.22 解
V
ar(Y
)
=
n j=1
V
ar(aj Xj )
=
n j=1
a2j σj2,
由拉格朗日乘数法可得, 当 aj =
EZ =
∞
P (Z > z)dz =
0
∞
1
0
−
(1 − exp(−zλ))5dz
=
137 60λ
.
5.18 解 设 θ 为辐角, 则 θ ∼ U(0, 2π), 落点的横坐标为 X = R cos(θ),
从而落点的横坐标的数学期望为
EX =
2π 0
R cos 2π
θ dθ
=
0.
5.19 解
(X, Y
0
=
1 5λ
.
(b)Z = max(X1, X2, . . . , X5) 表示 5 台计算机都被感染病毒的时间, P (Z > z) = 1 − P (Z ≤ z) = 1 − P (X1 ≤ z, . . . , X5 ≤ z) = 1 − P (X1 ≤ z)5 = 1 − (1 − exp(−zλ))5, 故 5 台计算机都被病毒感染前的时间期望为
5.28 解
EX =
1 0
xfX
(x)dx
=
1 0
1 0
xf
(x,
y)dydx
=
由 X, Y
的对称性可得 EY
概率论第五章 大数定律及中心极限定理
的标准化变量为
n
X i n
Yn i1 n
则Yn的分布函数Fn(x)对任意的x∈(-∞,+∞)都有
n X i n
lim
n
Fn
(
x)
lim
n
P(Yn
x)
lim
n
P
i 1
n
x
x
1
t2
e 2 dt
2
该定理说明，当n充分大时， Yn近似地服从标准正 态分布，Yn~N(0,1)， (n )
P|
X
|
2 2
P X
1
2 2
证明 (1)设X的概率密度为p(x),则有
P{| X | } p(x)dx
| x |2
p(x)dx
|x|
|x|
2
1
2
(x
)2
p(
x)dx
2 2
Xi 2
0
pi
1 4
1 2
2
(i 1,2, , n, )
1 4
解
因为 X1, X 2 , , X n ,
相互独立， EX i 0 ， E
X
2 i
1
又
DX i
E
X
2 i
EX i
2
1 0
1， i
1,2,
, n,
所以,满足切比雪夫大数定理的条件,可使用大数定理.
概率论5章
F ( x, y) A[ B arctanx][C arctany]
求常数A，B，C.
解: F ( , ) A[ B
F ( , y ) A[ B
2
][C
2
]1
2
][ C arctan y ] 0
F ( x, ) A[ B arctan x ][ C
x y
f ( x, y)dxdy
dx 8e
x 0 ( 2 x 4 y ) x dy 2e 2 x (e 4 y ) |0 dx 0
= 0 =
0
2e
2 x
(1 e
4 y
)dx 2e
0
2 x
dx 2e6 x dx
0
F ( , y ) lim F ( x, y ) 0
x
§5.1 二维随机变量及分布函数
二、联合分布函数 性质 ⑤ 随机点(X,Y)落在矩形区域
{( x, y) | x1 X x2 , y1 Y y2}
的概率
y y2
y1 0 x1 x2 x
P( x1 X x2 , y1 Y y2 ) F ( x2 , y2 ) F (x2 , y1 ) F (x1, y2 ) F (x1, y1 )
y0 0 y0 0
x
§5.4 边缘分布
一、边缘分布函数 1．边缘分布 设F(x,y)为二维随机变量(X,Y)的联合分布函数，称
P(X≤x)=P(X≤x,Y<+≦)
x , y
其中 -≦<μ1<+≦, -≦<μ2<+≦,σ1>0,σ2>0 ,|ρ|<1,
概率论 第五章大数定理
中心极限定理
中心极限定理
∞
中心极限定理
中心极限定理
中心极限定理
中心极限定理Hale Waihona Puke 第五章 大数定律与中心极限定理
大数定律与中心极限定理
切比雪夫不等式 大数定律 中心极限定理
切比雪夫不等式
研究随机变量的X到数学期望的距离（离差）与方差的关系。
设随机变量X有期望值E(X) ,方差D(X) 2。
对任意正数>0,恒有
或
2 P(| X | ) 2
大数定律
定义: 对于n个相互独立的随机变量X1,X2…Xn , 如果所有的Xi具有相同的分布函数,则称 X1,X2,…,Xn称是独立同分布的随机变量
大数定律
1 例1 掷一枚硬币，出现正面的概率为 2 1 掷的次数很多时，出现正面的频率接近 频率稳定于概率 2 这种现象为频率的稳定性。
例2 测量一个长度a，一次测量，结果未必等于a 测量多次，结果的计算平均值未必等于a 算术平均值稳定于数据期望 测量次数很大时，算术平均值接近于a 这种现象为算术平均值的稳定性
k 1
n
中心极限定理
定理1 设X1,X2,…Xn…,是独立同分布的 随机变量序列,且E(Xk)=μ D（Xk）=σ2 X n (k=1,2…)均存在，则随机变量 Zn n
n k 1 k
的分布函数Fn（x），对于任意的x，满足
n X k n x 1 t2 k 1 lim Fn ( x) lim P x e 2 dt ( x) n n n 2
1 n 1 n lim P| X k E ( X k ) | 0 n n k 1 n k 1
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1 2 n
因此可用算术平均值作为μ的估计 辛钦大数定律是Bernoulli大数定律推广
§5.2
在概率论中，习惯于把和的分布 收敛于正态分布这一类定理都叫做中心 极限定理.
下面给出的独立同分布随机变量序列 的中心极限定理，也称列维一林德伯格 （Levy－Lindberg）定理.
定理3（独立同分布下的中心极限定理） 设X1,X2, …是独立同分布的随机 变量序列，且E(Xi)= ，D(Xi)= 2 ， i=1,2,…，则
设nA是n次独立重复试验中事件 A发生的 次数，p是事件A在每次试验 中发生的概率，则对任给的ε> 0,有
贝努利
nA lim P{| p | } 1 n n
贝努利大数定律表明：当重复试验次数 n充分大时，事件A发生的频率nA/n几乎等于 事件A的概率p。因此可用事件发生的频率 作为相应概率的估计。
ε> 0，
或
Sn lim P{| p | } 1 n n Sn lim P{| p | } 0 n n
作为切比雪夫大数定律的特殊情况， 有下面的定理. 定理一（独立同分布下的大数定律）
设X1,X2, …是独立同分布的随机变量
序列，且E(Xi)= ，D(Xi)= 2 ， i=1,2,…, 则对任给 >0,
由题给条件知，诸Xi独立，
E(Xi)=100, D(Xi)=10000 16只元件的寿命的总和为 Y X k
k 1 16
依题意，所求为P(Y>1920)
解: 设第i只元件的寿命为Xi , i=1,2, …,16 由题给条件知,诸Xi独立, E(Xi)=100,D(Xi)=10000
16只元件的寿命的总和为 Y X k
lim P{
n
X
i 1
n
i
n x}
n
x
-
1 -t 2 2 e dt 2
它表明，当n充分大时，n个具有期望和方差 的独立同分布的r.v之和近似服从正态分布.
■独立同分布中心极限定理 Linderberg-Levy
设随机变量X1,X2, …, Xn , …是独立同分 布,且具有有限数学期望和方差: E(Xi) =μ, D(Xi) =σ2≠0，i=1,2,…，则
切比雪夫大数定律给出了
平均值稳定性的科学描述
下面给出的贝努里大数定律， 是定理1的一种特例. 设Sn是n重贝努里试验中事件A发 生的次数，p是事件A发生的概率，
1， 如第i次试验A发生 引入 X i 否则 0，
贝努里
i=1,2,…,n
则
Sn X i
i 1 n
n
Sn 1 X i 是事件A发生的频率 n n i 1
由德莫佛-拉普拉斯极限定理
X np 近似 N (0,1), np(1 p)
这里 np=120, np(1-p)=48
于是 P(X≤N)= P(0≤X≤N)
N 120 120 ( ) ( ) 48 48 N 120 ( ) 48
由3σ准则， 此项为0。
N 120 ) ≥0.999， 查正态分布函数表得 由 ( 48 (3.1) 0.999 N 120 故 ≥ 3.1, 48
1 lim P{| X i | } 1 n n i 1
n
■辛钦大数定律(平均值的稳定性)
设随机变量X1,X2, …, Xn , …是独立同分布,且具
有有限数学期望和方差: E(Xi) =μ, D(Xi) =σ2， i=1,2, …,n则对任意的ε>0，有 1 n lim P(| X i | ) 1 n n i 1 辛钦大数定律表明：当n无限增大时，n个独立 同分布的随机变量算术平均值 X ( X X X ) / n 几乎等于常数
频率稳定性 指的是：当各轮试验次数 n1,n2,…,ns 充分大时，在各轮试验中事件A出现 的频率总在一个定值附近摆动. 而且，试验次数 越多，一般来说摆动越小. 频率
m1 n1 m2 n2 ms ns
稳定在某个值 附近 频率的稳定值说明随机事件发生的可能性大小 是客观存在的，是不以人的意志为转移的客观 规律，这正是随机现象的统计规律性。
lim P{
n
X
i 1
n
i
n x}
n
x
-
1 -t 2 2 e dt 2
它表明，当n充分大时，n个具有期望和方差 的独立同分布的r.v之和近似服从正态分布.
例1 根据以往经验，某种电器元件的寿命服从均 值为100小时的指数分布 . 现随机地取 16只，设 它们的寿命是相互独立的. 求这16只元件的寿命 的总和大于1920小时的概率. 解: 设第i只元件的寿命为Xi , i=1,2, …,16
定义1.2.1 概率的统计定义
在相同条件下对实验E重复进行n次，其中事 件A出现m次。当实验次数n充分大时，事件A 出现的频率fn(A)=m/n的稳定值p,称为事件A 的概率，记为P(A). P=P(A)≈fn(A)=m/n
■切比雪夫不等式
定理
设 r.v. X有有限期望E(X) 和 方差 2，则对于 任给 >0, 2
P{| X E ( X ) | } 2
由切比雪夫不等式可以看出，若 2 越小， 则事件{|X-E(X)|< }的概率越大，即随机变量X
集中在期望附近的可能性越大.
给出了在r.v.X的分布未知下，P({|X-E(X)|< })的 估计方法.
■贝努利大数定律(频率的稳定性)
Sn p | } 0 任给ε>0， lim P{| n n
贝努里大数定律表明，当重复试验次数 n充分大时，事件A发生的频率Sn/n与事件A 的概率p有较大偏差的概率很小. 请看演示 贝努里大数定律 贝努里大数定律提供了通过试验来确 定事件概率的方法.
于是有下面的定理：
贝努里
定理2（贝努里大数定律） 设Sn是n重贝努里试验中事件A发生的 次数，p是事件A发生的概率，则对任给的
例5.2.1 做加法时，对每个加数四舍五入取， 各个加数的取整误差可认为是相互独立的， 都服从(-0.5,0.5)上均匀分布。若现在有1200 个数相加，问：取整误差总和的绝对值超过 12的概率是多少？
定理(棣莫佛－拉普拉斯定理） 设随机变量 Yn服从参数n, p(0<p<1)的 二项分布，则对任意x，有
依题意，所求为P(Y>1920) 由于E(Y)=1600, D(Y)=160000
k 1
16
Y 1600 由中心极限定理, 近似N(0,1) 400
1920 1600 ) P(Y>1920)=1-P(Y1920) 1- ( 400 =1-(0.8) =1-0.7881=0.2119
切比雪夫大数定律表明，独立随机变 量序列{Xn}，如果方差有共同的上界，则
n 1 1 X i 与其数学期望 E ( X i )偏差很小的 n i 1 n i 1 n
概率接近于1.
1 n 即当n充分大时， X i 差不多不再是 n i 1 随机的了，取值接近于其数学期望的概率接 近于1.
Yn np lim P{ x} n np(1 p)
x
1 e 2
t2 2
dt
定理表明，当n很大，0<p<1是一个定值 时（或者说，np(1-p)也不太小时），二项变 量 Yn 的分布近似正态分布 N(np,np(1-p)).
■二项分布中心定理(De Moivre-Laplace定理)
解：对每台车床的观察作为一次试验， 每次试验观察该台车床在某时刻是否工作， 工作的概率为0.6，共进行200次试验.
用X表示在某时刻工作着的车床数， 依题意， X~B(200,0.6), 现在的问题是： 设需N千瓦车床工作， 求满足 P(X≤N)≥0.999
的最小的N.
（由于每台车床在开工时需电力1千瓦， N台工作所需电力即N千瓦.）
第五章
大数定律 中心极限定理
第一节
大数定律
研究大量的随机现象，常常采用极限 形式，由此导致对极限定理进行研究. 极 限定理的内容很广泛，其中最重要的有两 种: 大数定律 与 中心极限定理 下面我们先介绍大数定律
频率
在n次重复实验中，事件A出现m次，则 n次实验中，事件A出现的频率 fn(A)=m/n 抛硬币实验
设随机变量 Yn服从参数n, p(0<p<1)的 二项分布，则对任意x，有
Yn np lim P{ x} n np(1 p)
x
1 Байду номын сангаас 2
t2 2
dt
定理表明，当n很大，0<p<1是一个定值 时（或者说，np(1-p)也不太小时），二项变 量 Yn 的分布近似正态分布 N(np,np(1-p)).
从中解得N≥141.5,
即所求N=142.
也就是说, 应供应142 千瓦电力就能以 99.9% 的概率保证该车间不会因供电不 足而影响生产.
例5.2.2 设在独立重复试验序列中，每次试验时 事件A发生的概率为0.75.分别用切比雪夫不等式 和 De Moivre-Laplace 中心极限定理估计试验次 数 n 需要多大，才能使事件 A 发生的频率落在 0.74～0.76之间的概率至少为0.90.
例2. 某互联网站有10000个相互独立的用 户，已知每个用户在平时任一时刻 访问网站的概率为0.2。求： (1)在任一时刻，有1900~2100个用 户访问该网站的概率； (2)在任一时刻，有2100个以上用户 访问该网站的概率。
例2. (供电问题)某车间有200台车床,在生产期 间由于需要检修、调换刀具、变换位置及调 换工件等常需停车. 设开工率为0.6, 并设每 台车床的工作是独立的，且在开工时需电力1 千瓦. 问应供应多少瓦电力就能以99.9%的概率保 证该车间不会因供电不足而影响生产?
因此可用算术平均值作为μ的估计 辛钦大数定律是Bernoulli大数定律推广
§5.2
在概率论中，习惯于把和的分布 收敛于正态分布这一类定理都叫做中心 极限定理.
下面给出的独立同分布随机变量序列 的中心极限定理，也称列维一林德伯格 （Levy－Lindberg）定理.
定理3（独立同分布下的中心极限定理） 设X1,X2, …是独立同分布的随机 变量序列，且E(Xi)= ，D(Xi)= 2 ， i=1,2,…，则
设nA是n次独立重复试验中事件 A发生的 次数，p是事件A在每次试验 中发生的概率，则对任给的ε> 0,有
贝努利
nA lim P{| p | } 1 n n
贝努利大数定律表明：当重复试验次数 n充分大时，事件A发生的频率nA/n几乎等于 事件A的概率p。因此可用事件发生的频率 作为相应概率的估计。
ε> 0，
或
Sn lim P{| p | } 1 n n Sn lim P{| p | } 0 n n
作为切比雪夫大数定律的特殊情况， 有下面的定理. 定理一（独立同分布下的大数定律）
设X1,X2, …是独立同分布的随机变量
序列，且E(Xi)= ，D(Xi)= 2 ， i=1,2,…, 则对任给 >0,
由题给条件知，诸Xi独立，
E(Xi)=100, D(Xi)=10000 16只元件的寿命的总和为 Y X k
k 1 16
依题意，所求为P(Y>1920)
解: 设第i只元件的寿命为Xi , i=1,2, …,16 由题给条件知,诸Xi独立, E(Xi)=100,D(Xi)=10000
16只元件的寿命的总和为 Y X k
lim P{
n
X
i 1
n
i
n x}
n
x
-
1 -t 2 2 e dt 2
它表明，当n充分大时，n个具有期望和方差 的独立同分布的r.v之和近似服从正态分布.
■独立同分布中心极限定理 Linderberg-Levy
设随机变量X1,X2, …, Xn , …是独立同分 布,且具有有限数学期望和方差: E(Xi) =μ, D(Xi) =σ2≠0，i=1,2,…，则
切比雪夫大数定律给出了
平均值稳定性的科学描述
下面给出的贝努里大数定律， 是定理1的一种特例. 设Sn是n重贝努里试验中事件A发 生的次数，p是事件A发生的概率，
1， 如第i次试验A发生 引入 X i 否则 0，
贝努里
i=1,2,…,n
则
Sn X i
i 1 n
n
Sn 1 X i 是事件A发生的频率 n n i 1
由德莫佛-拉普拉斯极限定理
X np 近似 N (0,1), np(1 p)
这里 np=120, np(1-p)=48
于是 P(X≤N)= P(0≤X≤N)
N 120 120 ( ) ( ) 48 48 N 120 ( ) 48
由3σ准则， 此项为0。
N 120 ) ≥0.999， 查正态分布函数表得 由 ( 48 (3.1) 0.999 N 120 故 ≥ 3.1, 48
1 lim P{| X i | } 1 n n i 1
n
■辛钦大数定律(平均值的稳定性)
设随机变量X1,X2, …, Xn , …是独立同分布,且具
有有限数学期望和方差: E(Xi) =μ, D(Xi) =σ2， i=1,2, …,n则对任意的ε>0，有 1 n lim P(| X i | ) 1 n n i 1 辛钦大数定律表明：当n无限增大时，n个独立 同分布的随机变量算术平均值 X ( X X X ) / n 几乎等于常数
频率稳定性 指的是：当各轮试验次数 n1,n2,…,ns 充分大时，在各轮试验中事件A出现 的频率总在一个定值附近摆动. 而且，试验次数 越多，一般来说摆动越小. 频率
m1 n1 m2 n2 ms ns
稳定在某个值 附近 频率的稳定值说明随机事件发生的可能性大小 是客观存在的，是不以人的意志为转移的客观 规律，这正是随机现象的统计规律性。
lim P{
n
X
i 1
n
i
n x}
n
x
-
1 -t 2 2 e dt 2
它表明，当n充分大时，n个具有期望和方差 的独立同分布的r.v之和近似服从正态分布.
例1 根据以往经验，某种电器元件的寿命服从均 值为100小时的指数分布 . 现随机地取 16只，设 它们的寿命是相互独立的. 求这16只元件的寿命 的总和大于1920小时的概率. 解: 设第i只元件的寿命为Xi , i=1,2, …,16
定义1.2.1 概率的统计定义
在相同条件下对实验E重复进行n次，其中事 件A出现m次。当实验次数n充分大时，事件A 出现的频率fn(A)=m/n的稳定值p,称为事件A 的概率，记为P(A). P=P(A)≈fn(A)=m/n
■切比雪夫不等式
定理
设 r.v. X有有限期望E(X) 和 方差 2，则对于 任给 >0, 2
P{| X E ( X ) | } 2
由切比雪夫不等式可以看出，若 2 越小， 则事件{|X-E(X)|< }的概率越大，即随机变量X
集中在期望附近的可能性越大.
给出了在r.v.X的分布未知下，P({|X-E(X)|< })的 估计方法.
■贝努利大数定律(频率的稳定性)
Sn p | } 0 任给ε>0， lim P{| n n
贝努里大数定律表明，当重复试验次数 n充分大时，事件A发生的频率Sn/n与事件A 的概率p有较大偏差的概率很小. 请看演示 贝努里大数定律 贝努里大数定律提供了通过试验来确 定事件概率的方法.
于是有下面的定理：
贝努里
定理2（贝努里大数定律） 设Sn是n重贝努里试验中事件A发生的 次数，p是事件A发生的概率，则对任给的
例5.2.1 做加法时，对每个加数四舍五入取， 各个加数的取整误差可认为是相互独立的， 都服从(-0.5,0.5)上均匀分布。若现在有1200 个数相加，问：取整误差总和的绝对值超过 12的概率是多少？
定理(棣莫佛－拉普拉斯定理） 设随机变量 Yn服从参数n, p(0<p<1)的 二项分布，则对任意x，有
依题意，所求为P(Y>1920) 由于E(Y)=1600, D(Y)=160000
k 1
16
Y 1600 由中心极限定理, 近似N(0,1) 400
1920 1600 ) P(Y>1920)=1-P(Y1920) 1- ( 400 =1-(0.8) =1-0.7881=0.2119
切比雪夫大数定律表明，独立随机变 量序列{Xn}，如果方差有共同的上界，则
n 1 1 X i 与其数学期望 E ( X i )偏差很小的 n i 1 n i 1 n
概率接近于1.
1 n 即当n充分大时， X i 差不多不再是 n i 1 随机的了，取值接近于其数学期望的概率接 近于1.
Yn np lim P{ x} n np(1 p)
x
1 e 2
t2 2
dt
定理表明，当n很大，0<p<1是一个定值 时（或者说，np(1-p)也不太小时），二项变 量 Yn 的分布近似正态分布 N(np,np(1-p)).
■二项分布中心定理(De Moivre-Laplace定理)
解：对每台车床的观察作为一次试验， 每次试验观察该台车床在某时刻是否工作， 工作的概率为0.6，共进行200次试验.
用X表示在某时刻工作着的车床数， 依题意， X~B(200,0.6), 现在的问题是： 设需N千瓦车床工作， 求满足 P(X≤N)≥0.999
的最小的N.
（由于每台车床在开工时需电力1千瓦， N台工作所需电力即N千瓦.）
第五章
大数定律 中心极限定理
第一节
大数定律
研究大量的随机现象，常常采用极限 形式，由此导致对极限定理进行研究. 极 限定理的内容很广泛，其中最重要的有两 种: 大数定律 与 中心极限定理 下面我们先介绍大数定律
频率
在n次重复实验中，事件A出现m次，则 n次实验中，事件A出现的频率 fn(A)=m/n 抛硬币实验
设随机变量 Yn服从参数n, p(0<p<1)的 二项分布，则对任意x，有
Yn np lim P{ x} n np(1 p)
x
1 Байду номын сангаас 2
t2 2
dt
定理表明，当n很大，0<p<1是一个定值 时（或者说，np(1-p)也不太小时），二项变 量 Yn 的分布近似正态分布 N(np,np(1-p)).
从中解得N≥141.5,
即所求N=142.
也就是说, 应供应142 千瓦电力就能以 99.9% 的概率保证该车间不会因供电不 足而影响生产.
例5.2.2 设在独立重复试验序列中，每次试验时 事件A发生的概率为0.75.分别用切比雪夫不等式 和 De Moivre-Laplace 中心极限定理估计试验次 数 n 需要多大，才能使事件 A 发生的频率落在 0.74～0.76之间的概率至少为0.90.
例2. 某互联网站有10000个相互独立的用 户，已知每个用户在平时任一时刻 访问网站的概率为0.2。求： (1)在任一时刻，有1900~2100个用 户访问该网站的概率； (2)在任一时刻，有2100个以上用户 访问该网站的概率。
例2. (供电问题)某车间有200台车床,在生产期 间由于需要检修、调换刀具、变换位置及调 换工件等常需停车. 设开工率为0.6, 并设每 台车床的工作是独立的，且在开工时需电力1 千瓦. 问应供应多少瓦电力就能以99.9%的概率保 证该车间不会因供电不足而影响生产?