高三数学一轮 13.2 合情推理与演绎推理导学案理北师大版

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北师大版高考数学一轮复习统考第12章算法初步复数推理与证明第3讲合情推理与演绎推理课件

推理，或者由个别事实概括出 02 出另一类对象也具有这些特征的
__一__般__结__论____的推理
推理
由 04 _部__分___到 05 _整__体___、由 06 特点
_个__别___到 07 _一__般___的推理
由 08 _特__殊___到 09 __特__殊__的推理
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解析根据题中所列的前几项的规律可知其通项应为 n＋n2－n 1＝
n n2－n 1，所以当 n＝6 时，a＝6，t＝35，a＋t＝41.
“三段论” 的结构
①大前提——已知的 13 _一__般__原__理_____； ②小前提——所研究的特殊情况； ③结论——根据一般原理，对 14 __特__殊__情__况____做出的判断
“三段论” 的表示
①大前提—— 15 _M__是___P___； ②小前提—— 16 __S_是__M____；
A．结论正确
B．大前提错误
C．小前提错误
D．推理形式错误
解析本命题的小前提是 f(x)＝log2|x|是对数函数，但是这个小前提是
错误的，因为 f(x)＝log2|x|不是对数函数，它是一个复合函数，只有形如 y
＝logax 的函数才是对数函数．故选 C.
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解析 7答案
③结论——S 是 P
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5
1．合情推理的结论是猜想，不一定正确；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确时，得到的结论一定正确．
2．合情推理是发现结论的推理；演绎推理是证明结论的推理．
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6
1．“对数函数是非奇非偶函数，f(x)＝log2|x|是对数函数，因此 f(x)＝ log2|x|是非奇非偶函数”，以上推理( )

2017届一轮复习北师大版合情推理与演绎推理课件

(大前提是等比数列的定义，这里省略了)
解析答案
(2)Sn＋1＝4an.
证明由(1)可知nS＋n＋11 ＝4·nS－n－11 (n≥2)， ∴Sn＋1＝4(n＋1)·nS－n－11 ＝4·n－n－1＋1 2·Sn－1
＝4an(n≥2)，(小前提) 又a2＝3S1＝3，S2＝a1＋a2＝1＋3＝4＝4a1，(小前提) ∴对于任意正整数n，都有Sn＋1＝4an.(结论) (第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)
思维升华
解析答案
跟踪训练2
在平面上，设 ha，hb，hc 是三角形 ABC 三条边上的高，P 为
三角形内任一点，P 到相应三边的距离分别为 Pa，Pb，Pc，我们可以
得到结论：Phaa＋Phbb＋Phcc＝1.把它类比到空间，则三棱锥中的类似结论为___Ph_aa_＋__Ph_bb＋__P_h_cc＋__Ph_dd_＝__1____.
1∶8
12345
解析答案
5.(教材改编)在等差数列{an}中，若a10＝0，则有a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n (n<19，n∈N*)成立，类比上述性质，在等比数列 {bn}中，若b9＝1，则b1b2b3b4…bn＝____________________________.
b1b2b3b4…b17－n (n<17，n∈N*)
1.下列推理是归纳推理的是( ) A.A，B 为定点，动点 P 满足|PA|＋|PB|＝2a>|AB|，则 P 点的轨迹为椭圆 B.由 a1＝1，an＝3n－1，求出 S1，S2，S3，猜想出数列的前 n 项和 Sn 的表达式 C.由圆 x2＋y2＝r2 的面积 πr2，猜想出椭圆ax22＋by22＝1 的面积 S＝πab D.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇

【创新方案】高考数学一轮复习(知识回扣+热点突破+能力提升)合情推理与演绎推理理北师大版

第五节合情推理与演绎推理【考纲下载】1．了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用．2．了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理．3．了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异．1．归纳推理(1)定义：根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都有这种属性的推理方式．(2)特点：①是由部分到整体，由个别到一般的推理．②利用归纳推理得出的结论不一定是正确的．2．类比推理(1)定义：由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征的推理过程．(2)特点：①是两类事物特征之间的推理．②利用类比推理得出的结论不一定是正确的．3．合情推理(1)定义：是根据实验和实践的结果，个人的经验和直觉，已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等)，推测出某些结果的推理方式．(2)分类：归纳推理与类比推理．4．演绎推理演绎推理是根据已知的事实和正确的结论，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程．1．归纳推理的结论一定正确吗？提示：不一定，结论是否真实，还需要经过严格的逻辑证明和实践检验．2．演绎推理所获得的结论一定可靠吗？提示：不一定，只有前提是正确的，推理形式是正确的，结论才一定是真实的，错误的前提则可能导致错误的结论．1．下列表述正确的是( )①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．A．①②③ B．②③④C．②④⑤ D．①③⑤解析：选D 由归纳推理、类比推理及演绎推理的特征可知①③⑤正确．2．下面几种推理是合情推理的是( )①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；③某次考试张军成绩是100分，由此推出全班同学成绩都是100分；④三角形的内角和是180°，四边形的内角和是360°，五边形的内角和是540°，由此得出凸多边形的内角和是(n －2)·180°.A ．①②B ．①③C ．①②④D ．②④解析：选C ①是类比推理，②④是归纳推理，③是非合情推理．3．“因为指数函数y ＝a x是增函数(大前提)，而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 是指数函数(小前提)，所以函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 是增函数(结论)”，上面推理的错误在于( ) A ．大前提错误导致结论错 B ．小前提错误导致结论错 C ．推理形式错误导致结论错D ．大前提和小前提错误导致结论错解析：选A 当a >1时，y ＝a x 为增函数；当0<a <1时，y ＝a x为减函数．故大前提错误． 4．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．解析：因为两个正四面体的棱长的比为1∶2，则底面积之比为1∶4，底面对应的高之比是1∶2，所以体积之比为1∶8.答案：1∶85．(教材习题改编)在△ABC 中，不等式1A ＋1B ＋1C ≥9π成立；在四边形ABCD 中，不等式1A＋1B ＋1C ＋1D ≥162π成立；在五边形ABCDE 中，不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ＋1E ≥253π成立，猜想，在n 边形A 1A 2…A n 中，成立的不等式为________．解析：∵9＝32,16＝42,25＝52，且1＝3－2,2＝4－2,3＝5－2，…，故在n 边形A 1A 2…A n中，有不等式1A 1＋1A 2＋…＋1A n ≥n 2n －π成立．答案：1A 1＋1A 2＋…＋1A n ≥n 2n －π(n ≥3)1．归纳推理是每年高考的常考内容，题型多为选择题和填空题，难度稍大，属中高档题． 2．高考对归纳推理的考查常有以下几个命题角度： (1)归纳推理与等式或不等式“共舞”问题； (2)归纳推理与数列“牵手”问题； (3)归纳推理与图形变化“相融”问题．[例1] (1)(2013·陕西高考)观察下列等式： 12＝1， 12－22＝－3， 12－22＋32＝6， 12－22＋32－42＝－10， ……照此规律，第n 个等式可为________．(2)(2013·湖北高考)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1,3,6,10，…，第n个三角形数为n n ＋2＝12n 2＋12n .记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 N (n,3)＝12n 2＋12n ，正方形数 N (n,4)＝n 2，五边形数 N (n,5)＝32n 2－12n ，六边形数 N (n,6)＝2n 2－n ， ……可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10,24)＝________.(3)(2014·青岛模拟)某种平面分形图如下图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度均为1，两两夹角为120°；二级分形图是在一级分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来13的线段，且这两条线段与原线段两两夹角为120°，…，依此规律得到n级分形图．一级分形图二级分形图三级分形图 ①n 级分形图中共有________条线段；②n 级分形图中所有线段长度之和为________．[自主解答] (1)观察规律可知，第n 个式子为12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1n n ＋2. (2)N (n ，k )＝a k n 2＋b k n (k ≥3)，其中数列{a k }是以12为首项，12为公差的等差数列；数列{b k }是以12为首项，－12为公差的等差数列．所以N (n,24)＝11n 2－10n ，当n ＝10时，N (10，24)＝11×102－10×10＝1 000.(3)①分形图的每条线段的末端出发再生成两条线段，由题图知，一级分形图有3＝(3×2－3)条线段，二级分形图有9＝(3×22－3)条线段，三级分形图中有21＝(3×23－3)条线段，按此规律n 级分形图中的线段条数a n ＝(3×2n －3)(n ∈N *)．②分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来13的线段，∴n 级分形图中第n 级的所有线段的长度为b n ＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1(n ∈N *)，∴n 级分形图中所有线段长度之和为S n ＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫230＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫231＋…＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1＝3×1－⎝ ⎛⎭⎪⎫23n 1－23＝9－9×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n.[答案] (1)12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1n n ＋2(2)1 000 (3)①3×2n－3 ②9－9×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n归纳推理问题的常见类型及解题策略(1)与等式或不等式“共舞”问题．观察所给的几个等式或不等式两边式子的特点，注意是纵向看，发现隐含的规律．(2)与数列“牵手”问题．先求出几个特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包含的范围，从而由特殊的结论推广到一般结论．(3)与图形变化“相融”问题．合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性．1．设函数f (x )＝xx ＋2(x >0)，观察：f 1(x )＝f (x )＝xx ＋2，f 2(x )＝f (f 1(x ))＝x3x ＋4，f 3(x )＝f (f 2(x ))＝x7x ＋8，f 4(x )＝f (f 3(x ))＝x15x ＋16，……根据以上事实，由归纳推理可得：当n ∈N *且n ≥2时，f n (x )＝f (f n －1(x ))＝________.解析：根据题意知，分子都是x ，分母中的常数项依次是2,4,8,16，…，可知f n (x )的分母中常数项为2n，分母中x 的系数为2n－1，故f n (x )＝f (f n －1(x ))＝xn－x ＋2n.答案：xn－x ＋2n2．如图的倒三角形数阵满足：①第1行的n 个数，分别是1,3,5，…，2n －1；②从第2行起，各行中的每一个数都等于它肩上的两数之和；③数阵共有n 行．当n ＝2 012时，第32行的第17个数是________．1 3 5 7 9 11 ……4 8 12 16 20 ……12 20 28 36 …………解析：每行的第1个数分别是1,4,12,32，…，记为数列{a n }，它的通项公式为a n ＝n ×2n－1，则第32行的第1个数为a 32＝32×232－1＝236，而在第32行的各个数成等差数列，且公差为232，所以第17个数是236＋(17－1)×232＝236＋24×232＝2×236＝237.答案：2373．仔细观察下面○和●的排列规律：○ ● ○○ ● ○○○ ● ○○○○ ● ○○○○○ ● ○○○○○○ ●……，若依此规律继续下去，得到一系列的○和●，那么在前120个○和●中，●的个数是________．解析：进行分组○●|○○●|○○○●|○○○○●|○○○○○●|○○○○○○●|……，则前n 组两种圈的总数是f (n )＝2＋3＋4＋…＋(n ＋1)＝n n ＋2，易知f (14)＝119，f (15)＝135，故n ＝14.答案：14[例2]如图所示，面积为S 的平面凸四边形的第i 条边的边长记为a i (i ＝1,2,3,4)，此四边形内任一点P 到第i 条边的距离记为h i (i ＝1,2,3,4)，若a 11＝a 22＝a 33＝a 44＝k ，则1×h 1＋2×h 2＋3×h 3＋4×h 4＝2Sk.类比以上性质，体积为V 的三棱锥的第i 个面的面积记为S i (i ＝1,2,3,4)，此三棱锥内任一点Q 到第i 个面的距离记为H i (i ＝1,2,3,4)，若S 11＝S 22＝S 33＝S 44＝k ，则H 1＋2H 2＋3H 3＋4H 4值为( )A.4V kB.3V kC.2V kD.V k[自主解答]在平面凸四边形中，连接P 点与各个顶点，将其分成四个小三角形，根据三角形面积公式，得S ＝12(a 1h 1＋a 2h 2＋a 3h 3＋a 4h 4)＝12(kh 1＋2kh 2＋3kh 3＋4kh 4) ＝k 2(h 1＋2h 2＋3h 3＋4h 4)．所以h 1＋2h 2＋3h 3＋4h 4＝2S k. 类似地，连接Q 点与三棱锥的四个顶点，将其分成四个小三棱锥，则有 V ＝13(S 1H 1＋S 2H 2＋S 3H 3＋S 4H 4)＝13(kH 1＋2kH 2＋3kH 3＋4kH 4)＝k3(H 1＋2H 2＋3H 3＋4H 4)，所以H 1＋2H 2＋3H 3＋4H 4＝3Vk.[答案] B【方法规律】类比推理的一般步骤(1)找出两类事物之间的相似性或一致性．(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．已知数列{a n }为等差数列，若a m ＝a ，a n ＝b (n －m ≥1，m ，n ∈N *)，则a m ＋n ＝nb －man －m.类比等差数列{a n }的上述结论，对于等比数列{b n }(b n >0，n ∈N *)，若b m ＝c ，b n ＝d (n －m ≥2，m ，n ∈N *)，则可以得到b m ＋n ＝________.解析：法一：设数列{a n }的公差为d 1，则d 1＝a n －a m n －m ＝b －a n －m .所以a m ＋n ＝a m ＋nd 1＝a ＋n ·b －an －m＝bn －am n －m.类比推导方法可知：设数列{b n }的公比为q ，由b n ＝b m q n －m ，可知d ＝cq n －m，所以q ＝n －m d c ，所以b m ＋n ＝b m q n ＝c ·n －m ⎝ ⎛⎭⎪⎫d c n＝n －m d nc m . 法二：(直接类比)设数列{a n }的公差为d 1，数列{b n }的公比为q ，因为等差数列中a n ＝a 1＋(n －1)d 1，等比数列中b n ＝b 1q n －1，因为a m ＋n ＝nb －man －m ，所以b m ＋n ＝n －m d nc m.答案：n －m d nc m[例3] 已知函数f (x )＝a x＋bx ，其中a >0，b >0，x ∈(0，＋∞)，试确定f (x )的单调区间，并证明在每个单调区间上的增减性．[自主解答] 法一：设0<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a x 1＋bx 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫a x 2＋bx 2＝(x 2－x 1)·⎝⎛⎭⎪⎫a x 1x 2－b .当0<x 1<x 2≤a b 时，∵a >0，b >0，∴x 2－x 1>0,0<x 1x 2<a b ，ax 1x 2>b ， ∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )在⎝⎛⎦⎥⎤0， a b 上是减函数；当x 2>x 1≥ a b >0时，x 2－x 1>0，x 1x 2>a b ，ax 1x 2<b ，∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫a b ，＋∞上是增函数．法二：∵a >0，b >0，x ∈(0，＋∞)，∴令f ′(x )＝－a x 2＋b ＝0(x >0)，得x ＝ ab，当0＜x ≤ a b 时，－a x 2≤－b ，∴－ax2＋b ≤0，即f ′(x )≤0，∴f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0， a b 上是减函数；当x ≥ a b 时，－a x 2＋b ≥0，即f ′(x )≥0，∴f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫a b ，＋∞上是增函数．【方法规律】应用演绎推理应注意的问题演绎推理是从一般到特殊的推理；其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略．已知函数f (x )＝2x－12x ＋1(x ∈R )．(1)判定函数f (x )的奇偶性；(2)判定函数f (x )在R 上的单调性，并证明．解：(1)对任意x ∈R ，有－x ∈R ，并且f (－x )＝2－x －12－x ＋1＝1－2x 1＋2x ＝－2x－12x＋1＝－f (x )，所以f (x )是奇函数．(2)f (x )在R 上单调递增，证明如下：任取x 1，x 2∈R ，并且x 1>x 2，f (x 1)－f (x 2)＝2x 1－12x 1＋1－2x 2－12x 2＋1＝x 1－x 2＋－x 2－1x 1＋x 1＋x 2＋＝x 1－2xx 1＋x 2＋.∵x 1>x 2，∴2x 1>2x 2>0，即2x 1－2x 2>0.又∵2x 1＋1>0,2x 2＋1>0，∴x 1－2xx 1＋x 2＋>0.∴f (x 1)>f (x 2)．∴f (x )在R 上为单调递增函数．———————————[课堂归纳——通法领悟]————————————————个区别——合情推理与演绎推理的区别 (1)归纳是由特殊到一般的推理； (2)类比是由特殊到特殊的推理； (3)演绎推理是由一般到特殊的推理；(4)从推理的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待证明；若大前提和小前提正确，则演绎推理得到的结论一定正确．个步骤——归纳推理与类比推理的步骤 (1)归纳推理的一般步骤：实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论 (2)类比推理的一般步骤：观察、比较→联想、类推→猜想新结论个注意点——应用合情推理与演绎推理应注意的问题(1)在进行类比推理时要尽量从本质上去类比，不要被表面现象迷惑，如果只抓住一点表面现象的相似甚至假象就去类比，那么就会犯机械类比的错误．(2)合情推理是从已知的结论推测未知的结论，发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明．(3)演绎推理是由一般到特殊的推理，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严密性，书写格式的规范性．前沿热点(十一)与归纳推理有关的创新交汇题1．归纳推理主要有数与式的归纳推理、图形中的归纳推理、数列中的归纳推理；类比推理主要有运算的类比、性质的类比、平面与空间的类比，题型多为客观题．2．解决此类问题首先要通过观察特例发现某些相似性(特例的共性或一般规律)；然后把这种相似性推广到一个明确表述的一般命题(猜想)；最后对所得的一般性命题进行检验．[典例] (2013·新课标全国卷Ⅰ)设△A n B n C n 的三边长分别为a n ，b n ，c n ，△A n B n C n 的面积为S n ，n ＝1,2,3，….若b 1>c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝c n ＋a n 2，c n ＋1＝b n ＋a n2，则 ( )A ．{S n }为递减数列B ．{S n }为递增数列C ．{S 2n －1}为递增数列，{S 2n }为递减数列D ．{S 2n －1}为递减数列，{S 2n }为递增数列[解题指导] 先确定三角形的一边长不变及周长不变，利用另两边最接近的时候面积最大等知识求解．[解析] 在△A 1B 1C 1中，b 1>c 1，b 1＋c 1＝2a 1，∴b 1>a 1>c 1.在△A 2B 2C 2中，a 2＝a 1，b 2＝c 1＋a 12，c 2＝b 1＋a 12，b 2＋c 2＝2a 1，∴c 1<b 2<a 1<c 2<b 1.在△A 3B 3C 3中，a 3＝a 2＝a 1，b 3＝c 2＋a 22＝c 2＋a 12，c 3＝b 2＋a 22＝b 2＋a 12，b 3＋c 3＝2a 1，∴a 1<b 3<c 2，b 2<c 3<a 1，∴c 1<b 2<c 3<a 1<b 3<c 2<b 1.由归纳知，n 越大，两边c n ，b n 越靠近a 1且c n ＋b n ＝2a 1，此时面积S n 越来越大，当且仅当c n ＝b n ＝a 1时，△A n B n C n 的面积最大．[答案] B[名师点评] 解决本题的关键有以下几点：(1)由条件a n ＋1＝a n ，确定三角形的一边为固定值．(2)由条件可推出b 1＋c 1＝b 2＋c 2＝b 3＋c 3＝2a 1，进而得出△A n B n C n 的周长为定值．(3)利用“若三角形的一边不变及周长不变，则另外两边越接近，面积越大”推得结论．在平面直角坐标系中，若点P (x ，y )的坐标x ，y 均为整数，则称点P 为格点．若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为S ，其内部的格点数记为N ，边界上的格点数记为L .例如图中△ABC 是格点三角形，对应的S ＝1，N ＝0，L ＝4.(1)图中格点四边形DEFG 对应的S ，N ，L 分别是________；(2)已知格点多边形的面积可表示为S ＝aN ＋bL ＋c ，其中a ，b ，c 为常数．若某格点多边形对应的N ＝71，L ＝18，则S ＝________(用数值作答)．解析：(1)由定义知，四边形DEFG 由一个等腰直角三角形和一个平行四边形构成，其内部格点有1个，边界上格点有6个，S 四边形DEFG ＝3.(2)由待定系数法可得，⎩⎪⎨⎪⎧ 12＝a ·0＋b ·3＋c ，1＝a ·0＋b ·4＋c ，3＝a ·1＋b ·6＋c⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝12，c ＝－1，当N ＝71，L ＝18时，S ＝1×71＋12×18－1＝79.答案：(1)3,1,6 (2)79[全盘巩固]1．观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )＝( )A ．f (x )B ．－f (x )C ．g (x )D ．－g (x )解析：选D 由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数，因此当f (x )是偶函数时，其导函数应为奇函数，故g (－x )＝－g (x )．2．观察下式：1＋3＝221＋3＋5＝321＋3＋5＋7＝421＋3＋5＋7＋9＝52…据此你可归纳猜想出一般结论为( )A ．1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2(n ∈N *)B ．1＋3＋5＋…＋(2n ＋1)＝n 2(n ∈N *)C ．1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝(n ＋1)2(n ∈N *)D ．1＋3＋5＋…＋(2n ＋1)＝(n ＋1)2(n ∈N *)解析：选D 观察可见第n 行左边有n ＋1个奇数，右边是(n ＋1)2.3．已知数列a n ：11，21，12，31，22，13，41，32，23，14，…，依它的前10项的规律，则a 99＋a 100的值为( )A.3724B.76C.1115D.715解析：选A 通过将数列的前10项分组得到第一组有一个数：11，分子、分母之和为2；第二组有两个数：21，12，分子、分母之和为3；第三组有三个数：31，22，13，分子、分母之和为4；第四组有四个数，依次类推，a 99，a 100分别是第十四组的第8个数和第9个数，分子、分母之和为15，所以a 99＝78，a 100＝69.故a 99＋a 100＝3724.4．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则： ①“mn ＝nm ”类比得到“a ·b ＝b ·a ”；②“(m ＋n )t ＝mt ＋nt ”类比得到“(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ”； ③“(m ·n )t ＝m (n ·t )”类比得到“(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )”； ④“t ≠0，mt ＝xt ⇒m ＝x ”类比得到“p ≠0，a ·p ＝x ·p ⇒a ＝x ”； ⑤“|m ·n |＝|m |·|n |”类比得到“|a ·b |＝|a |·|b |”；⑥“ac bc ＝a b ”类比得到“a ·c b ·c ＝a b”．以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 解析：选B ①②正确，③④⑤⑥错误．5．观察下列事实：|x |＋|y |＝1的不同整数解(x ，y )的个数为4，|x |＋|y |＝2的不同整数解(x ，y )的个数为8，|x |＋|y |＝3的不同整数解(x ，y )的个数为12，…，则|x |＋|y |＝20的不同整数解(x ，y )的个数为( )A ．76B ．80C ．86D ．92解析：选B 通过观察可以发现|x |＋|y |的值为1,2,3时，对应的(x ，y )的不同整数解的个数为4,8,12，可推出当|x |＋|y |＝n 时，对应的不同整数解(x ，y )的个数为4n ，所以|x |＋|y |＝20的不同整数解(x ，y )的个数为80.6．设△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2Sa ＋b ＋c；类比这个结论可知：四面体S ABC 的四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，内切球的半径为R ，四面体S ABC 的体积为V ，则R ＝( )A.VS 1＋S 2＋S 3＋S 4 B.2VS 1＋S 2＋S 3＋S 4C.3V S 1＋S 2＋S 3＋S 4D.4VS 1＋S 2＋S 3＋S 4 解析：选C 设三棱锥的内切球球心为O ，那么由V ＝V O ABC ＋V O SAB ＋V O SAC ＋V O SBC ，即V ＝13S 1R ＋13S 2R ＋13S 3R ＋13S 4R ，可得R ＝3V S 1＋S 2＋S 3＋S 4.7．观察下列几个三角恒等式：①tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°＝1；②tan 5°tan 100°＋tan 100°tan(－15°)＋tan(－15°)tan 5°＝1； ③tan 13°tan 35°＋tan 35°tan 42°＋tan 42°tan 13°＝1.一般地，若tan α，tan β，tan γ都有意义，你从这三个恒等式中猜想得到的一个结论为________________________________________________________________________．解析：所给三角恒等式都为tan αtan β＋tan βtan γ＋tan γtan α＝1的结构形式，且α、β、γ之间满足α＋β＋γ＝90°，所以可猜想当α＋β＋γ＝90°时，tan αtan β＋tan βtan γ＋tan γtan α＝1.答案：当α＋β＋γ＝90°时，tan αtan β＋tan βtan γ＋tan γtan α＝1 8．对大于或等于2的正整数的幂运算有如下分解方式： 22＝1＋3 32＝1＋3＋5 42＝1＋3＋5＋7 … 23＝3＋5 33＝7＋9＋11 43＝13＋15＋17＋19 …根据上述分解规律，若m 2＝1＋3＋5＋…＋11，p 3的分解中最小的正整数是21，则m ＋p ＝________.解析：由22＝1＋3,32＝1＋3＋5,42＝1＋3＋5＋7，…，可知n 2＝1＋3＋5＋…＋(2n －1)．由m 2＝1＋3＋5＋…＋11，可知m ＝6.易知53＝21＋23＋25＋27＋29，则21是53的分解中最小的正整数，可得p ＝5.故m ＋p ＝11.答案：119．我国的刺绣有着悠久的历史，如图所示中的(1)(2)(3)(4)为刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形个数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含f (n )个小正方形．则f (n )的表达式为________________．(1) (2) (3) (4)解析：我们考虑f (2)－f (1)＝4，f (3)－f (2)＝8，f (4)－f (3)＝12，…，结合图形不难得到f (n )－f (n －1)＝4(n －1)，累加得f (n )－f (1)＝2n (n －1)＝2n 2－2n ，故f (n )＝2n 2－2n ＋1.答案：f (n )＝2n 2－2n ＋1 10．给出下面的数表序列：表1 表2 表31 1 3 1 3 5 4 4 8 12其中表n (n ＝1,2,3，…)有n 行，第1行的n 个数是1,3，5，…，2n －1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和．写出表4，验证表4各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n (n ≥3)(不要求证明)．解：表4为1 3 5 74 8 1212 2032它的第1,2,3,4行中的数的平均数分别是4,8,16,32，它们构成首项为4，公比为2的等比数列．将这一结论推广到表n (n ≥3)，即表n (n ≥3)各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n ，公比为2的等比数列．11．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°；②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°；③sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°；④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°；⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．解：(1)选择②式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝34. (2)归纳三角恒等式sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34. 证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝1－cos 2α2＋1＋cos 60°－2α2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α) ＝12－12cos 2α＋12＋12(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－32sin αcos α－12sin 2α ＝12－12cos 2α＋12＋14cos 2α＋34sin 2α－34sin 2α－14(1－cos 2α) ＝1－14cos 2α－14＋14cos 2α＝34. 12．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和，已知数列{a n }是等和数列，且a 1＝2，公和为5.求：(1)a 18的值；(2)该数列的前n 项和S n .解：(1)由等和数列的定义，数列{a n }是等和数列，且a 1＝2，公和为5，易知a 2n －1＝2，a 2n ＝3(n ＝1,2，…)，故a 18＝3.(2)当n 为偶数时，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝(a 1＋a 3＋…＋a n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a n )＝52n ；当n 为奇数时，S n ＝S n －1＋a n ＝52(n －1)＋2＝52n －12. 综上所述，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 52n ，n 为偶数，52n －12，n 为奇数.[冲击名校]1．如图，一个粒子在第一象限运动，在第一秒内它从原点运动到(0,1)，然后它按图示在x 轴、y 轴的平行方向运动，且每秒移动一个单位长度，则在第12秒时，这个粒子所处的位置是( )A ．(2,2)B ．(3,2)C ．(3,3)D ．(2,3)解析：选C 第一层有(0,1)，(1,1)，(1,0)三个整点(除原点)，共用3秒；第二层有五个整点(2,0)，(2,1)，(2,2)，(1,2)，(0,2)，共用5秒；第三层有七个整点(0,3)，(1,3)，(2,3)，(3,3)，(3,2)，(3,1)，(3,0)，共用7秒．则在第12秒时，这个粒子所处的位置是(3,3)．2．从1开始的自然数按如图所示的规则排列，现有一个三角形框架在图中上下或左右移动，使每次恰有九个数在此三角形内，则这九个数的和可以为( )A ．2 907B ．2 111C ．2 012D ．2 090解析：选C 依题意，设位于三角形内的最小数是n ，其中n 被8除后的余数必是3,4,5,6之一，则这九个数的和等于n ＋3(n ＋8)＋5(n ＋16)＝9n ＋104.令9n ＋104＝2 012，得n ＝212，且n ＝212被8除后的余数是4.[高频滚动]1．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≤2，x ≥1，y ≥0，则z ＝2x ＋y 的最大值和最小值分别为( )A ．4和3B ．4和2C ．3和2D ．2和0解析：选B 可行域为直角三角形ABC (如图)，由z ＝2x ＋y ，得y ＝－2x ＋z ，由图象可知，当直线y ＝－2x ＋z 过点B (2,0)和点A (1,0)时，z 分别取到最大值4和最小值2.2．设实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －5>0，2x ＋y －7>0，x ≥0，y ≥0.若x ，y 为整数，则3x ＋4y 的最小值是( )A ．14B ．16C ．17D ．19解析：选B 画出可行域如图．其最优解是点M(3,1)附近的整点．考虑到线性目标函数，只要横坐标增加1即可．故最优点为整点(4,1)，其最小值为16.。

北师版高考总复习一轮理科数精品课件第7章不等式、推理与证明第3节合情推理与演绎推理

1
2
3
4
答案:(1)C (2)C
解析:(1)由题意,设 1 + =x,则 x2-x-1=0(x>0),
解得
1+ 5
1- 5
x= 2 或 2 (舍),∴式子
1+ 1+ 1+
1+ 5
…的值为 2 .
(2)将△ABC的边长a,b,c类比三棱锥P-ABC的四个面的面积S1,S2,S3,S4,
1
1
将三角形面积公式中的系数 2 类比三棱锥体积公式中的系数 3 ,从而可知C
选择的课程(
A.可能是乒乓球
)
B.可能是足球
C.可能是羽毛球
D.一定是篮球
(2)(2021四川乐山诊断测试)某医院医疗小组有七名护士,每名护士从周一
到周日轮流安排一个夜班.若甲的夜班比丙晚一天,丁的夜班比戊晚两天,
乙的夜班比庚早三天,己的夜班在周四,且恰好在乙和丙的正中间,则周五
值夜班的护士为(
A.甲
定义有某种属性,推断该类事物中
每一个事物都有这种属性
由部分到整体、由
特点
个别到一般的推理
类比推理
由两类不同对象具有某些类似特征,
在此基础上,根据一类对象的
其他特征 ,推断另一类对象也具
有类似的其他特征的推理
两类事物特征之间的推理
(1)找出两类事物之间的相似性或一
(1)通过个别情况发现某些相同
故点(2,3,4)到平面 x+2y+2z-4=0 的距离 d=
12 +22 +22
=4.
考点三
演绎推理
典例突破
例4.(1)(2021江苏徐州一中高三期末)习近平总书记在2022年北京冬奥会筹

高三数学一轮复习精品学案2：合情推理与演绎推理

7.4 合情推理与演绎推理考纲解读1.了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用．2.了解演绎推理的含义，了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异；掌握演绎推理的“三段论”，能运用“三段论”进行一些简单的演绎推理．考点梳理推理一般包括合情推理和演绎推理两类．合情推理归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理．简言之，归纳推理是由__________到整体、由__________到一般的推理．类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理．简言之，类比推理是由________到________的推理．合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行__________、__________，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．演绎推理演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由__________到__________的推理．(2)“__________”是演绎推理的一般模式，包括：大前提——已知的一般原理；小前提——所研究的特殊情况；结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．“三段论”可以表示为：大前提：M是P.小前提：S是M.结论：S是P.基础自测关于归纳推理，下列说法正确的是( ) A.归纳推理是由一般到一般的推理 B.归纳推理是由一般到特殊的推理 C.归纳推理的结论一定是正确的 D.归纳推理的结论不一定正确下面几种推理是合情推理的是( ) 由圆的性质类比出球的性质；由等差数列的性质类比出等比数列的性质；由三角形的面积公式类比出三棱锥的体积公式；由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和为180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°. A ．仅①②是B ．仅①②③是C ．仅①②④是D ．①②③④都是“任何实数的平方大于0(大前提)，而a 是实数(小前提)，所以a 2>0”，你认为这个推理( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．是正确的观察下列不等式： 1＋122＜32， 1＋122＋132＜53， 1＋122＋132＋142＜74， ……照此规律，第五个．．．不等式为________________．解：观察不等式的左边发现，第n 个不等式的左边＝1＋122＋132＋…＋1（n ＋1）2，右边＝2（n ＋1）－1n ＋1＝2n －1n ＋1，所以第五个不等式为1＋122＋132＋142＋152＋162＜116.故填1＋122＋132＋142＋152＋162＜116.观察下列等式： (1＋1)＝2×1，(2＋1)(2＋2)＝22×1×3， (3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5， ……照此规律，第n 个等式可为_________________．典例解析类型一归纳推理在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n2＋a n(n ∈N ＋)，试猜想这个数列的通项公式．已知x >0，由不等式x ＋1x≥2x ·1x＝2， x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥33x 2·x 2·4x 2＝3， x ＋27x 3＝x 3＋x 3＋x 3＋27x 3≥44x 3·x 3·x 3·27x 3＝4，……在x >0条件下，请根据上述不等式归纳出一个一般性的不等式_____________________．类型二类比推理在△ABC 中，若AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D ，则1AD 2＝1AB 2＋1AC 2.在四面体A BCD中，若AB ，AC ，AD 两两垂直，AH ⊥底面BCD ，垂足为H ，则类似的结论是什么？并说明理由．在等比数列{a n }中，若r ，s ，t 是互不相等的正整数，则有等式a r －s t ·a s －t r ·a t －rs ＝1成立．类比上述性质，相应地，在等差数列{b n }中，若r ，s ，t 是互不相等的正整数，则有等式______________成立．类型三演绎推理直线平行于平面，则直线平行于平面内所有直线(大前提)，已知直线b ⊄平面α，直线a ⊂平面α，直线b ∥平面α(小前提)，则直线b ∥直线a (结论)”，上面推理错误的原因是( ) A ．大前提错误 B ．小前提错误 C ．推理形式错误D ．非以上错误“因为指数函数y ＝a x是增函数(大前提)，而y ＝⎝⎛⎭⎫13x是指数函数(小前提)，所以y ＝⎝⎛⎭⎫13x是增函数(结论)”．上面推理错误的原因是( ) A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.大前提和小前提都错误名师点津归纳推理的前提是一些特殊的情况，所以归纳推理要在观察、经验、实验的基础上进行；归纳推理是依据特殊现象推断出一般现象，因此所得结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然的，而是或然的，所以“前提真而结论假”的情况是有可能发生的．归纳推理的一般过程：通过观察个别情况发现相同的性质；推出一个明确表述的一般性结论．在数学中，类比是发现概念、方法、定理、公式的重要手段，并且应用广泛，数与式、平面与空间、一元与多元、低次与高次、相等与不等、有限与无限等之间有不少结论都是先用类比法猜想，然后再加以证明的．类比推理的一般步骤：1.找出两类事物之间的相似性或一致性；2.用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)，但结论不一定正确，有待进一步证明．答案考点梳理2．(1)部分个别 (2)特殊特殊归纳类比 3．(1)一般特殊 (2)三段论基础自测解：归纳推理是由特殊到一般的推理，但结论未必正确．故选D. 解：①②③是类比推理，④是归纳推理．它们都属于合情推理．故选D . 解：当a ≠0时，a 2>0；当a ＝0时，a 2＝0.所以这个推理的大前提错误．故选A. 解：观察不等式的左边发现，第n 个不等式的左边＝1＋122＋132＋…＋1（n ＋1）2，右边＝2（n ＋1）－1n ＋1＝2n －1n ＋1，所以第五个不等式为1＋122＋132＋142＋152＋162＜116.故填1＋122＋132＋142＋152＋162＜116.解：观察到等式左边依次是(n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)…(n ＋n )，等式右边是2n 与n 个奇数的乘积，(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ×1×3×5×…×(2n －1)．故填(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ×1×3×5×…×(2n －1)．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n2＋a n(n ∈N ＋)，试猜想这个数列的通项公式．解：当n ＝1时，a 1＝1；当n ＝2时，a 2＝2a 12＋a 1＝23；当n ＝3时，a 3＝2a 22＋a 2＝432＋23＝12＝24；当n ＝4时，a 4＝2a 32＋a 3＝12＋12＝25，由此猜想，这个数列的通项公式为a n ＝2n ＋1.『评析』数列的通项公式表示的是数列{a n }的第n 项a n 与序号n 之间的对应关系，先根据已知的递推公式，算出数列的前几项，再通过观察，归纳得到关于数列通项公式的一个猜想，这种猜想是否正确还有待严格的证明．解：当x ＞0时，分析所给等式的变形过程可得x ＋n n x n ＝n nn x n n x n xn x ++⋯++个＝n ＋1.故填x ＋nnxn ≥n ＋1.解：如图，在四面体A BCD 中，若AB ，AC ，AD 两两垂直，AH ⊥底面BCD ，垂足为H ，则1AH 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD2.证明如下：连接BH 并延长交CD 于E ，连接AE . ∵AB ，AC ，AD 两两垂直，∴AB ⊥平面ACD . 又∵AE ⊂平面ACD ，∴AB ⊥AE . 在Rt △ABE 中，有1AH 2＝1AB 2＋1AE2.①又易证CD ⊥AE ，∴在Rt △ACD 中，1AE 2＝1AC 2＋1AD 2.②将②式代入①式得1AH 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD2.『评析』本题考查的是平面到空间的推广类比，并且在推导空间的结论时用到了平面的结论．一般地，平面中的一些元素与空间中的一些元素可类比如下：平面点线圆三角形角面积周长…空间线面球三棱锥二面角体积表面积 …解：等差与等比的类比关系一般为等差加减乘除等比乘除乘方开方所以等式左边为(r －s )b t ＋(s －t )b r ＋(t －r )b s ＝(r －s )b t ＋(s －t )『b t ＋(r －t )d 』＋(t －r )『b t ＋(s －t )d 』＝(r －s ＋s －t ＋t －r )b t ＋『(s －t )(r －t )＋(t －r )(s －t )』d ＝0.(注意：若a ，b ，c 成等差数列，则b ＋b ＝a ＋c ；若a ，b ，c 成等比数列，则b ·b ＝a ·c )．故填(r －s )b t ＋(s －t )b r ＋(t －r )b s ＝0.解：大前提是错误的，某直线平行于平面，平面内还是存在直线与已知直线异面．故选A.『评析』演绎推理是一种必然性推理，只有前提和推理形式都是正确的，结论才一定是正确的，否则，不能保证结论的可靠性．解：当a ＞1时，y ＝a x 为增函数；当0＜a ＜1时，y ＝a x 为减函数，所以大前提错误．故选A .。

北师大版高三数学(理科)一轮复习12.3合情推理与演绎推理学案

第3讲合情推理与演绎推理1．推理(1)定义：根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程．(2)分类：推理⎩⎪⎨⎪⎧合情推理演绎推理2．合情推理(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．(2)特点：演绎推理是由一般到特殊的推理． (3)模式：三段论⎩⎪⎨⎪⎧①大前提：已知的一般原理；②小前提：所研究的特殊情况；③结论：根据一般原理，对特殊情况做出的判断.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．( ) (2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．( ) (3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．( ) (4)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)×(教材习题改编)已知数列{a n }中，a 1＝1，n ≥2时，a n ＝a n －1＋2n －1，依次计算a 2，a 3，a 4后，猜想a n 的表达式是( ) A ．a n ＝3n －1 B ．a n ＝4n －3 C ．a n ＝n 2D ．a n ＝3n －1解析：选C.由a 1＝1，a n ＝a n －1＋2n －1，则 a 2＝a 1＋2×2－1＝4；a 3＝a 2＋2×3－1＝9； a 4＝a 3＋2×4－1＝16，所以a n ＝n 2.(2017·高考全国卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则( ) A ．乙可以知道四人的成绩 B ．丁可以知道四人的成绩 C ．乙、丁可以知道对方的成绩 D ．乙、丁可以知道自己的成绩解析：选D.依题意，四人中有2位优秀，2位良好，由于甲知道乙、丙的成绩，但还是不知道自己的成绩，则乙、丙必有1位优秀，1位良好，甲、丁必有1位优秀，1位良好，因此，乙知道丙的成绩后，必然知道自己的成绩；丁知道甲的成绩后，必然知道自己的成绩，因此选择D.推理“①矩形是平行四边形，②三角形不是平行四边形，③三角形不是矩形”中的小前提是________．解析：由演绎推理三段论可知，①是大前提，②是小前提，③是结论．答案：②在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．解析：V 1V 2＝13S 1h113S 2h 2＝⎝⎛⎭⎫S 1S 2·h 1h 2＝14×12＝18.答案：1∶8归纳推理(高频考点)归纳推理是每年高考的常考内容，题型多为选择题或填空题，难度稍大，属中高档题．高考对归纳推理的考查常有以下三个命题角度： (1)与数字(数列)有关的等式的推理； (2)与不等式(式子)有关的推理；(3)与图形变化有关的推理．[典例引领]角度一与数字(数列)有关的等式的推理有一个奇数组成的数阵排列如下：1 3 7 13 21 … 5 9 15 23 … … 11 17 25 … … … 19 27 … … … … 29 … … … … … … … … … … …则第30行从左到右第3个数是________．【解析】观察每一行的第一个数，由归纳推理可得第30行的第1个数是1＋4＋6＋8＋10＋…＋60＝30×（2＋60）2－1＝929.又第n 行从左到右的第2个数比第1个数大2n ，第3个数比第2个数大2n ＋2，所以第30行从左到右的第2个数比第1个数大60，第3个数比第2个数大62，故第30行从左到右第3个数是929＋60＋62＝1 051. 【答案】 1 051角度二与不等式(式子)有关的推理(2016·高考山东卷)观察下列等式：⎝⎛⎭⎫sin π3－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π3－2＝43×1×2；⎝⎛⎭⎫sin π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 4π5－2＝43×2×3； ⎝⎛⎭⎫sin π7－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π7－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π7－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 6π7－2＝43×3×4； ⎝⎛⎭⎫sin π9－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π9－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π9－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 8π9－2＝43×4×5； …… 照此规律，⎝⎛⎭⎫sin π2n ＋1－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π2n ＋1－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π2n ＋1－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 2n π2n ＋1－2＝__________．【解析】每组角的分母恰好等于右边两个相邻正整数因数的和．因此答案为43n (n ＋1)．【答案】 43n (n ＋1)角度三与图形变化有关的推理我国的刺绣有着悠久的历史，如图所示中的(1)(2)(3)(4)为刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形个数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形，则f(n)的表达式为()A．f(n)＝2n－1B．f(n)＝2n2C．f(n)＝2n2－2n D．f(n)＝2n2－2n＋1【解析】我们考虑f(2)－f(1)＝4，f(3)－f(2)＝8，f(4)－f(3)＝12，…，结合图形不难得到f(n)－f(n－1)＝4(n－1)，累加得f(n)－f(1)＝2n(n－1)＝2n2－2n，故f(n)＝2n2－2n＋1.【答案】 D归纳推理问题的常见类型及解题策略(1)与“数字”相关问题：主要是观察数字特点，找出等式左右两侧的规律．(2)与不等式有关的推理：观察所给几个不等式两边式子的特点，注意纵向看、找出隐含规律．(3)与图形有关推理：合理利用特殊图形归纳推理得出结论．[通关练习]1．观察三角数阵，记第n行的第m个数为a(n，m)，则下列关系正确的是()11 112 1133 11464 1…11045…4510 1A．a(n＋1，m＋1)＝a(n，m)＋a(n，m＋1)B．a(n＋1，m＋1)＝a(n－1，m－1)＋a(n，m)C．a(n＋1，m＋1)＝a(n，m)＋a(n＋1，m)D．a(n＋1，m＋1)＝a(n＋1，m)＋a(n，m＋1)解析：选A.观察分析得出三角数阵中的每一个数等于其“肩上”两个数之和．所以a(n＋1，m＝a(n，m)＋a(n，m＋1)．＋1)2．(2018·青岛模拟)某种平面分形图如图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度相等，两两夹角为120°；二级分形图是在一级分形图的每条线段末端出发再生成两条长度为原来13的线段，且这两条线段与原线段两两夹角为120°，…，依此规律得到n 级分形图．n 级分形图中共有________条线段．解析：分形图的每条线段的末端出发再生成两条线段，由题图知，一级分形图有3＝3×2－3条线段，二级分形图有9＝3×22－3条线段，三级分形图中有21＝3×23－3条线段，按此规律n 级分形图中的线段条数a n ＝3×2n －3(n ∈N *)．答案：3×2n －3(n ∈N *)类比推理[典例引领]如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，设a ，b ，c 分别表示三条边的长度，由勾股定理，得c 2＝a 2＋b 2.类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想．【解】如题图所示，在Rt △ABC 中， ∠C ＝90°.设a ，b ，c 分别表示3条边的长度，由勾股定理，得c 2＝a 2＋b 2.类似地，在四面体P -DEF 中，∠PDF ＝∠PDE ＝∠EDF ＝90°.设S 1，S 2，S 3和S 分别表示△PDF ，△PDE ，△EDF 和△PEF 的面积，相应于直角三角形的2条直角边a ，b 和1条斜边c ，图中的四面体有3个“直角面”S 1，S 2，S 3和1个“斜面”S .于是，类比勾股定理的结构，我们猜想S 2＝S 21＋S 22＋S 23成立．若本例条件“由勾股定理，得c 2＝a 2＋b 2”换成“cos 2 A ＋cos 2 B ＝1”，则在空间中，给出四面体性质的猜想．解：如图，在Rt △ABC 中，cos 2A ＋cos 2B ＝⎝⎛⎭⎫b c 2＋⎝⎛⎭⎫a c 2＝a 2＋b 2c2＝1. 于是把结论类比到四面体P -A ′B ′C ′中，我们猜想，四面体P -A ′B ′C ′中，若三个侧面P A ′B ′，PB ′C ′，PC ′A ′两两互相垂直，且分别与底面所成的角为α，β，γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1.[通关练习]1．给出下面类比推理命题(其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集)：①“若a ，b ∈R ，则a －b ＝0⇒a ＝b ”类比推出“若z 1，z 2∈C ，则z 1－z 2＝0⇒z 1＝z 2”； ②“若a ，b ，c ，d ∈R ，则复数a ＋b i ＝c ＋d i ⇒a ＝c ，b ＝d ”类比推出“若a ，b ，c ，d ∈Q ，则a ＋b 2＝c ＋d 2⇒a ＝c ，b ＝d ”；③“若a ，b ∈R ，则a －b >0⇒a >b ”类比推出“若z 1，z 2∈C ，则z 1－z 2>0⇒z 1>z 2”．其中类比得到的结论正确的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选C.由复数的减法运算可知①正确；因为a ，b ，c ，d 都是有理数，2是无理数，所以②正确；因为复数不能比较大小，所以③不正确．2．(2018·山东烟台五校联考)已知命题：在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．△ABC 的顶点B 在椭圆上，顶点A ，C 分别为椭圆的左、右焦点，椭圆的离心率为e ，则sin A ＋sin C sin B ＝1e ，现将该命题类比到双曲线中，△ABC 的顶点B 在双曲线上，顶点A ，C 分别为双曲线的左、右焦点，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，双曲线的离心率为e ，则有________________．解析：在双曲线中，设△ABC 的外接圆的半径为r ，则|AB |＝2r sin C ，|AC |＝2r sin B ，|BC |＝2r sin A ，则由双曲线的定义得||BA |－|BC ||＝2a ，|AC |＝2c ，则双曲线的离心率e ＝c a ＝|AC |||BA |－|BC ||＝sin B|sin A －sin C |，即|sin A －sin C |sin B ＝1e .答案：|sin A －sin C |sin B ＝1e演绎推理[典例引领]数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2nS n (n ∈N *)．证明：(1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列；(2)S n ＋1＝4a n .【证明】 (1)因为a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2n S n ，所以(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n . 故S n ＋1n ＋1＝2·S nn ，(小前提)故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以1为首项，2为公比的等比数列． (结论)(大前提是等比数列的定义) (2)由(1)可知S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2)，所以S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1＝4a n (n ≥2)．又因为a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，所以对于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .演绎推理的推证规则(1)演绎推理是从一般到特殊的推理，其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略；(2)在推理论证过程中，一些稍复杂一点的证明题常常要由几个三段论才能完成．已知函数y＝f(x)满足：对任意a，b∈R，a≠b，都有af(a)＋bf(b)>af(b)＋bf(a)，试证明：f(x)为R上的单调增函数．证明：设x1，x2∈R，取x1<x2，则由题意得x1f(x1)＋x2f(x2)>x1f(x2)＋x2f(x1)，所以x1[f(x1)－f(x2)]＋x2[f(x2)－f(x1)]>0，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)>0，因为x1<x2，所以f(x2)－f(x1)>0，f(x2)>f(x1)．所以y＝f(x)为R上的单调增函数．把握合情推理与演绎推理的三个特点(1)合情推理包括归纳推理和类比推理，所得到的结论都不一定正确，其结论的正确性是需要证明的．(2)在进行类比推理时，要尽量从本质上去类比，不要被表面现象所迷惑；否则只抓住一点表面现象甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误．(3)应用三段论解决问题时，应首先明确什么是大前提，什么是小前提，如果大前提与推理形式是正确的，结论必定是正确的．如果大前提错误，尽管推理形式是正确的，所得结论也是错误的．易错防范(1)演绎推理是由一般到特殊的证明，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严密性，书写格式的规范性．(2)合情推理中运用猜想时不能凭空想象，要有猜想或拓展的依据．1．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理()A ．结论正确B ．大前提不正确C ．小前提不正确D ．全不正确解析：选C.因为f (x )＝sin(x 2＋1)不是正弦函数，所以小前提不正确． 2．给出下列三个类比结论：①(ab )n ＝a n b n 与(a ＋b )n 类比，则有(a ＋b )n ＝a n ＋b n ；②log a (xy )＝log a x ＋log a y 与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sin αsin β； ③(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2与(a ＋b )2类比，则有(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2. 其中正确结论的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选B.(a ＋b )n ≠a n ＋b n (n ≠1，a ·b ≠0)，故①错误． sin(α＋β)＝sin αsin β不恒成立，如α＝30°，β＝60°，sin 90°＝1，sin 30°·sin 60°＝34，故②错误．由向量的运算公式知③正确．3．若等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 为等差数列，公差为d2.类似地，若各项均为正数的等比数列{b n }的公比为q ，前n 项的积为T n ，则等比数列{nT n }的公比为( ) A.q 2 B ．q 2 C.qD.n q解析：选C.由题意知，T n ＝b 1·b 2·b 3·…·b n ＝b 1·b 1q ·b 1q 2·…·b 1q n －1＝b n 1q1＋2＋…＋(n －1)＝b n1q （n －1）n2，所以nT n ＝b 1qn －12，所以等比数列{nT n }的公比为q ，故选C.4．(2018·陕西渭南模拟)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，故将其称为三角形数，由以上规律，知这些三角形数从小到大形成一个数列{a n }，那么a 10的值为( ) A ．45 B ．55 C ．65D ．66解析：选B.第1个图中，小石子有1个，第2个图中，小石子有3＝1＋2个，第3个图中，小石子有6＝1＋2＋3个，第4个图中，小石子有10＝1＋2＋3＋4个， …故第10个图中，小石子有1＋2＋3＋…＋10＝10×112＝55个，即a 10＝55，故选B.5．(2018·安徽江淮十校联考)我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在2＋2＋2＋…中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x ，这可以通过方程2＋x ＝x 确定x ＝2，则1＋11＋11＋…＝( )A.－5－12B.5－12C.1＋52D.1－52解析：选C.1＋11＋11＋…＝x ，即1＋1x ＝x ，即x 2－x －1＝0，解得x ＝1＋52⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＝1－52舍，故1＋11＋11＋…＝1＋52，故选C. 6．在平面几何中：△ABC 的∠ACB 内角平分线CE 分AB 所成线段的比为AC BC ＝AEBE .把这个结论类比到空间：在三棱锥A BCD 中(如图)DEC 平分二面角A CD B且与AB 相交于E ，则得到类比的结论是________．解析：由平面中线段的比转化为空间中面积的比可得AE EB ＝S △ACDS △BCD .答案：AE EB ＝S △ACDS △BCD7．(2018·陕西咸阳模拟)观察下列式子：1×2<2，1×2＋2×3<92，1×2＋2×3＋3×4<8，1×2＋2×3＋3×4＋4×5<252，…，根据以上规律，第n (n ∈N *)个不等式是____________________．解析：根据所给不等式可得第n 个不等式是1×2＋2×3＋…＋n ·（n ＋1）<（n ＋1）22.答案：1×2＋2×3＋…＋n ·（n ＋1）<（n ＋1）228．若P 0(x 0，y 0)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)外，过P 0作椭圆的两条切线的切点为P 1，P 2，则切点弦P 1P 2所在的直线方程是x 0x a 2＋y 0yb 2＝1，那么对于双曲线则有如下命题：若P 0(x 0，y 0)在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)外，过P 0作双曲线的两条切线，切点为P 1，P 2，则切点弦P 1P 2所在直线的方程是________．解析：类比椭圆的切点弦方程可得双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的切点弦方程为x 0x a 2－y 0yb 2＝1.答案：x 0x a 2－y 0yb2＝19．在锐角三角形ABC 中，求证：sin A ＋sin B ＋sin C >cos A ＋cos B ＋cos C . 证明：因为△ABC 为锐角三角形，所以A ＋B >π2，所以A >π2－B ，因为y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上是增函数，所以sin A >sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ＝cos B ，同理可得sin B >cos C ，sin C >cos A ，所以sin A ＋sin B ＋sin C >cos A ＋cos B ＋cos C . 10．给出下面的数表序列：表1 表2 表3 1 1 3 1 3 5 4 4 8 12…其中表n (n ＝1，2，3，…)有n 行，第1行的n 个数是1，3，5，…，2n －1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和．写出表4，验证表4各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n (n ≥3)(不要求证明)．解：表4为1 3 5 7 4 8 12 12 20 32它的第1，2，3，4行中的数的平均数分别是4，8，16，32，它们构成首项为4，公比为2的等比数列．将这一结论推广到表n (n ≥3)，即表n (n ≥3)各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n ，公比为2的等比数列．1．如图所示，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，当FB →⊥AB →时，其离心率为5－12，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e 等于( )A.5＋12B.5－12C.5－1D.5＋1解析：选A.设“黄金双曲线”的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则B (0，b )，F (－c ，0)，A (a ，0)．在“黄金双曲线”中，因为FB →⊥AB →，所以FB →·AB →＝0.又FB →＝(c ，b )，AB →＝(－a ，b )，所以b 2＝ac .而b 2＝c 2－a 2，所以c 2－a 2＝ac . 在等号两边同除以a 2，得e 2－1＝e ，解得e ＝5＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫e ＝1－52舍去. 2．学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有( ) A ．2人 B ．3人 C ．4人D ．5人解析：选B.利用推理以及逻辑知识求解．首先要证，没有任意两个同学的数学成绩是相同的．假设A ，B 两名同学的数学成绩一样，由题知他们的语文成绩不一样，这样他们的语文成绩总有一个人比另一个人高，相应地由题可知，语文成绩较高的同学比另一个同学“成绩好”，与已知条件“他们之中没有一个比另一个成绩好”相矛盾．因此看得出，没有任意两个同学的数学成绩是相同的．因为数学成绩等级只有3种，因而同学数量最大为3.之后要验证3名同学能否满足条件．易证3名同学的成绩等级分别为(优秀，不合格)、(合格，合格)、(不合格，优秀)时满足条件，因此满足条件的最多人数是3. 3．考察等式：C 0m C r n －m ＋C 1m C r －1n －m ＋…＋C r m C 0n －m ＝C r n ，(*)其中n ，m ，r ∈N *，r ≤m <n 且r ≤n －m .某同学用概率论方法证明等式(*)如下：设一批产品共有n 件，其中m 件是次品，其余为正品．现从中随机取出r 件产品，记事件A k ＝{取到的r 件产品中恰有k 件次品}，则P (A k )＝C k m C r －k n －mC rn，k ＝0，1，…，r .显然A 0，A 1，…，A r 为互斥事件，且A 0∪A 1∪…∪A r ＝Ω(必然事件)，因此1＝P (Ω)＝P (A 0)＋P (A 1)＋…＋P (A r )＝C 0m C r n －m ＋C 1m C r －1n －m ＋…＋C r m C 0n －m C rn，所以C 0m C rn －m ＋C 1m C r －1n －m ＋…＋C r m C 0n －m ＝C rn ，即等式(*)成立．对此，有的同学认为上述证明是正确的，体现了偶然性与必然性的统一．但有的同学对上述证明方法的科学性与严谨性提出质疑．现有以下四个判断： ①等式(*)成立；②等式(*)不成立；③证明正确；④证明不正确．试写出所有正确判断的序号：____________．解析：显然公式C 0m C r n －m ＋C 1m C r －1n －m ＋…＋C r m C 0n －m ＝C rn 是正确的，该公式的证明过程利用了构造概率事件的方法，其列举了该事件发生的所有的互斥事件，且其和事件为必然事件，其概率之和为1，故其证明过程是正确的，正确判断的序号为①③. 答案：①③4．(2018·湖北八校联考模拟) 祖暅是我国南北朝时代的数学家，是祖冲之的儿子．他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异．”这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高．这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等．设由椭圆y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)所围成的平面图形绕y 轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体(称为椭球体)(如图)，课本中介绍了应用祖暅原理求球体体积公式的方法，请类比此法，求出椭球体体积，其体积等于______________．解析：椭圆的长半轴长为a ，短半轴长为b ，现构造两个底面半径为b ，高为a 的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，根据祖暅原理得出椭球体的体积V ＝2(V 圆柱－V 圆锥)＝2(π×b 2×a －13π×b 2a )＝43π×b 2a .答案：43π×b 2a5．已知O 是△ABC 内任意一点，连接AO ，BO ，CO 并延长，分别交对边于A ′，B ′，C ′，则OA ′AA ′＋OB ′BB ′＋OC ′CC ′＝1，这是一道平面几何题，其证明常采用“面积法”： OA ′AA ′＋OB ′BB ′＋OC ′CC ′＝S △OBC S △ABC ＋S △OCA S △ABC ＋S △OAB S △ABC ＝S △ABCS △ABC＝1. 请运用类比思想猜想，对于空间中的四面体V -BCD ，存在什么类似的结论，并用“体积法”证明．解：结论：在四面体V -BCD 中，任取一点O ，连接VO ，DO ，BO ，CO 并延长，分别交四个面于E ，F ，G ，H 点．则OE VE ＋OF DF ＋OG BG ＋OHCH＝1.证明如下：在四面体O -BCD 与V -BCD 中，设其高分别为h 1，h ，则OE VE ＝h 1h ＝13S △BCD ·h113S △BCD·h ＝V O BCD V V BCD. 同理，OF DF ＝V O VBC V D VBC ；OG BG ＝V O VCD V B VCD ；OH CH ＝V O VBDV C VBD ，所以OE VE ＋OF DF ＋OG BG ＋OH CH ＝V O BCD ＋V O VBC ＋V O VCD ＋V O VBDV V BCD＝V V BCDV V BCD＝1. 6．我们将具有下列性质的所有函数组成集合M ：函数y ＝f (x )(x ∈D )，对任意x ，y ，x ＋y2∈D 均满足f ⎝⎛⎭⎫x ＋y 2≥12[f (x )＋f (y )]，当且仅当x ＝y 时等号成立．(1)若定义在(0，＋∞)上的函数f (x )∈M ，试比较f (3)＋f (5)与2f (4)的大小； (2)设函数g (x )＝－x 2，求证：g (x )∈M . 解：(1)对于f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 2≥12[f (x )＋f (y )]，令x ＝3，y ＝5得f (3)＋f (5)≤2f (4)． (2)证明：g ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22－12[g (x 1)＋g (x 2)] ＝－（x 1＋x 2）24＋x 21＋x 222＝（x 1－x 2）24≥0，所以g ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22≥12[g (x 1)＋g (x 2)]，所以g (x )∈M .。

高中数学新课程(北师大版)复习教案-第五节-合情推理与演绎推理

第五节-合情推理与演绎推理高考要求：1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学中的作用。

2.了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用他们进行一些简单的推理。

3.了解要以推理和合情推理的联系和区别。

直接证明和间接证明：1.了解直接证明的两种基本方法：分析法、综合法；2.3.了解间接证明的方法：反证法；反证法的思考过程，特点。

归纳法：了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的问题。

知识体系：备考方略：推理与证明是新课标的新增内容，推理是中学数学的重点内容，是高考重点考察的内容之一，每年都有涉及推理的试题，题型为选择题、填空题、解答题都有。

难度为易、中、难。

推理与证明是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方法，。

本章的课程目标就是让学生结合自己学过的生活实例，了解合情推理和演绎推理的意义。

以及它们之间的联系和区别，并利用合情推理去猜测和发现一些新的结论，探索和提供解决一些问题的思路和方向，利用演绎推理区进行一些简单的推理，证明一些数学结论证明包括直接证明和间接证明，其中数学归纳法是将无穷的归纳过程，更具归纳原理转化为有限的特殊（直接和演绎推理相结合）的过程，要很好的掌握其原理和灵活运用。

对于类比问题可以说是创新要求的具体体现，最常见的就是二维问题和三维问题的类比，同结构问题的类比，比如圆锥曲线问题内的类比，数列内部的类比，等。

较少对照不同结构的类比问题。

关于归纳、猜想、证明是考得比较多的、比较成熟的题型了。

归纳、演绎和类比推理在数学中占有非常重要的地位，在高考中归纳、猜想、证明这一类问题是常考常新的。

这类问题综合了函数、方程、不等式、解析几何、立体几何等多个知识点，需要采用多种数学方法才能解决问题，如：函数与方程思想、划归思想、分类讨论思想、等，对学生的知识和能力要求较高，是对学生的思维品质和逻辑思维能力，表达能力的全面考察，可以弥补选择题和填空题等客观试题的不足，是提高区分度、增强选拔功能的重要题型，因此高考试题中，推理与证明问题在正在成为热点题型，应当引起我们的高度重视。

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高三数学一轮总结复习目录理科数学 -模拟试题分类目录1第一章会合与常用逻辑用语1.1 会合的观点与运算专题 1 会合的含义与表示、会合间的基本关系专题 2 会合的基本运算专题 3 与会合有关的新观点问题1.2 命题及其关系、充要条件专题 1 四种命题及其关系、命题真假的判断专题 2 充足条件和必需条件专题 3 充足、必需条件的应用与研究（利用关系或条件求解参数范围问题）1.3 简单的逻辑联络词、全称量词与存在量词专题 1 含有简单逻辑联络词的命题的真假专题 2 全称命题、特称命题的真假判断专题 3 含有一个量词的命题的否认专题 4 利用逻辑联络词求参数范围第二章函数2.1 函数及其表示专题 1 函数的定义域专题 2 函数的值域专题 3 函数的分析式专题 4 分段函数2.2 函数的单一性与最值专题 1 确立函数的单一性（或单一区间）专题 2 函数的最值专题 3 单一性的应用2.3 函数的奇偶性与周期性专题 1 奇偶性的判断专题 2 奇偶性的应用专题 3 周期性及其应用2.4 指数与指数函数专题 1 指数幂的运算专题 2 指数函数的图象及应用专题 3 指数函数的性质及应用2.5 对数与对数函数专题 1 对数的运算专题 2 对数函数的图象及应用专题 3 对数函数的性质及应用2.6 幂函数与二次函数专题 1 幂函数的图象与性质专题 2 二次函数的图象与性质2.7 函数的图像专题 1 函数图象的辨别专题 2 函数图象的变换专题 3 函数图象的应用2.8 函数与方程专题 1 函数零点所在区间的判断专题 2 函数零点、方程根的个数专题 3 函数零点的综合应用2.9 函数的应用专题 1 一次函数与二次函数模型专题 2 分段函数模型2专题 3 指数型、对数型函数模型第三章导数及其应用3.1 导数的观点及运算专题 1 导数的观点与几何意义专题 2 导数的运算3.2 导数与函数的单一性、极值、最值专题 1 导数与函数的单一性专题 2 导数与函数的极值专题 3 导数与函数的最值3.3 导数的综合应用专题 1 利用导数解决生活中的优化问题专题 2 利用导数研究函数的零点或方程的根专题 3 利用导数解决不等式的有关问题3.4 定积分与微积分基本定理专题 1 定积分的计算专题 2 利用定积分求平面图形的面积专题 4 定积分在物理中的应用第四章三角函数、解三角形4.1 三角函数的观点、同角三角函数的基本关系及引诱公式专题 1 三角函数的观点专题 2 同角三角函数的基本关系专题 3 引诱公式4.2 三角函数的图像与性质专题 1 三角函数的定义域、值域、最值专题 2 三角函数的单一性专题 3 三角函数的奇偶性、周期性和对称性4.3 函数 y = A sin(wx +j ) 的图像及应用专题 1 三角函数的图象与变换专题 2 函数 y=Asin( ωx+φ ) 图象及性质的应用4.4 两角和与差的正弦、余弦与正切公式专题 1 非特别角的三角函数式的化简、求值专题 2 含条件的求值、求角问题专题 3 两角和与差公式的应用4.5 三角恒等变换专题 1 三角函数式的化简、求值专题 2 给角求值与给值求角专题 3 三角变换的综合问题4.6 解三角形专题 1 利用正弦定理、余弦定理解三角形专题 2 判断三角形的形状专题 3 丈量距离、高度及角度问题专题 4 与平面向量、不等式等综合的三角形问题第五章平面向量5.1 平面向量的观点及线性运算专题 1 平面向量的线性运算及几何意义专题 2 向量共线定理及应用专题 3 平面向量基本定理的应用5.2 平面向量基本定理及向量的坐标表示专题 1 平面向量基本定理的应用3专题 2 平面向量的坐标运算专题 3 平面向量共线的坐标表示5.3 平面向量的数目积专题 1 平面向量数目积的运算专题 2 平面向量数目积的性质专题 3 平面向量数目积的应用5.4 平面向量的应用专题 1 平面向量在几何中的应用专题 2 平面向量在物理中的应用专题 3 平面向量在三角函数中的应用专题 4 平面向量在分析几何中的应用第六章数列6.1 数列的观点与表示专题 1 数列的观点专题 2 数列的通项公式6.2 等差数列及其前 n 项和专题 1 等差数列的观点与运算专题 2 等差数列的性质专题 3 等差数列前 n 项和公式与最值6.3 等比数列及其前 n 项和专题 1 等比数列的观点与运算专题 2 等比数列的性质专题 3 等比数列前 n 项和公式6.4 数列乞降专题 1 分组乞降与并项乞降专题 2 错位相减乞降专题 3 裂项相消乞降6.5 数列的综合应用专题 1 数列与不等式相联合问题专题 2 数列与函数相联合问题专题 3 数列中的研究性问题第七章不等式推理与证明7.1 不等关系与一元二次不等式专题 1 不等式的性质及应用专题 2 一元二次不等式的解法专题 3 一元二次不等式恒建立问题7.2 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题专题 1 二元一次不等式（组）表示的平面地区问题专题 2 与目标函数有关的最值问题专题 3 线性规划的实质应用7.3 基本不等式及其应用专题 1 利用基本不等式求最值专题 2 利用基本不等式证明不等式专题 3 基本不等式的实质应用7.4 合情推理与演绎推理专题 1 概括推理专题 2 类比推理专题 3 演绎推理7.5 直接证明与间接证明专题 1 综合法4专题 2 剖析法专题 3 反证法7.6 数学概括法专题 1 用数学概括法证明等式专题 2 用数学概括法证明不等式专题 3 概括－猜想－证明第八章立体几何8.1 空间几何体的构造及其三视图和直观图专题 1 空间几何体的构造专题 2 三视图与直观图8.2 空间几何体的表面积与体积专题 1 空间几何体的表面积专题 2 空间几何体的体积专题 3 组合体的“接”“切”综合问题8.3 空间点、直线、平面之间的地点关系专题 1 平面的基天性质及应用专题 2 空间两条直线的地点关系专题 3 异面直线所成的角8.4 直线、平面平行的判断与性质专题 1 线面平行、面面平行基本问题专题 2 直线与平面平行的判断与性质专题 3 平面与平面平行的判断与性质8.5 直线、平面垂直的判断与性质专题 1 垂直关系的基本问题专题 2 直线与平面垂直的判断与性质专题 3 平面与平面垂直的判断与性质专题 4 空间中的距离问题专题 5 平行与垂直的综合问题（折叠、研究类）8.6 空间向量及其运算专题 1 空间向量的线性运算专题 2 共线定理、共面定理的应用专题 3 空间向量的数目积及其应用8.7 空间几何中的向量方法专题 1 利用空间向量证明平行、垂直专题 2 利用空间向量解决研究性问题专题 3 利用空间向量求空间角第九章分析几何9.1 直线的倾斜角、斜率与直线的方程专题 1 直线的倾斜角与斜率专题 2 直线的方程9.2 点与直线、两条直线的地点关系专题 1 两条直线的平行与垂直专题 2 直线的交点问题专题 3 距离公式专题 4 对称问题9.3 圆的方程专题 1 求圆的方程专题 2 与圆有关的轨迹问题专题 3 与圆有关的最值问题59.4 直线与圆、圆与圆的地点关系专题 1 直线与圆的地点关系专题 2 圆与圆的地点关系专题 3 圆的切线与弦长问题专题 4 空间直角坐标系9.5 椭圆专题 1 椭圆的定义及标准方程专题 2 椭圆的几何性质专题 3 直线与椭圆的地点关系9.6 双曲线专题 1 双曲线的定义与标准方程专题 2 双曲线的几何性质9.7 抛物线专题 1 抛物线的定义与标准方程专题 2 抛物线的几何性质专题 3 直线与抛物线的地点关系9.8 直线与圆锥曲线专题 1 轨迹与轨迹方程专题 2 圆锥曲线中的范围、最值问题专题 3 圆锥曲线中的定值、定点问题专题 4 圆锥曲线中的存在、研究性问题第十章统计与统计事例10.1 随机抽样专题 1 简单随机抽样专题 2 系统抽样专题 3 分层抽样10.2 用样本预计整体专题 1 频次散布直方图专题 2 茎叶图专题 3 样本的数字特点专题 4 用样本预计整体10.3 变量间的有关关系、统计事例专题 1 有关关系的判断专题 2 回归方程的求法及回归剖析专题 3 独立性查验第十一章计数原理11.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理专题 1 分类加法计数原理专题 2 分步乘法计数原理专题 3 两个计数原理的综合应用11.2 摆列与组合专题 1 摆列问题专题 2 组合问题专题 3 摆列、组合的综合应用11.3 二项式定理专题 1 通项及其应用专题 2 二项式系数的性质与各项系数和专题 3 二项式定理的应用第十二章概率与统计612.1 随机事件的概率专题 1 事件的关系专题 2 随机事件的频次与概率专题 3 互斥事件、对峙事件12.2 古典概型与几何概型专题 1 古典概型的概率专题 2 古典概型与其余知识的交汇（平面向量、直线、圆、函数等）专题 3 几何概型在不一样测度中的概率专题 4 生活中的几何概型问题12.3 失散型随机变量及其散布列专题 1 失散型随机变量的散布列的性质专题 2 求失散型随机变量的散布列专题 3 超几何散布12.4 失散型随机变量的均值与方差专题 1 简单的均值、方差问题专题 2 失散型随机变量的均值与方差专题 3 均值与方差在决议中的应用12.5 二项散布与正态散布专题 1 条件概率专题 2 互相独立事件同时发生的概率专题 3 独立重复试验与二项散布专题 4 正态散布下的概率第十三章算法初步、复数13.1 算法与程序框图专题 1 次序构造专题 2 条件构造专题 3 循环构造13.2 基本算法语句专题 1 输入、输出和赋值语句专题 2 条件语句专题 3 循环语句13.3 复数专题 1 复数的有关观点专题 2 复数的几何意义专题 3 复数的代数运算第十四章选修模块14.1 几何证明选讲专题 1 平行线分线段成比率定理专题 2 相像三角形的判断与性质专题 3 直角三角形的射影定理专题 4 圆周角、弦切角及圆的切线专题 5 圆内接四边形的判断及性质专题 6 圆的切线的性质与判断专题 7 与圆有关的比率线段14.2 坐标系与参数方程专题 1 极坐标与直角坐标的互化专题 2 直角坐标方程与极坐标方程的互化专题 3 曲线的极坐标方程的求解专题 4 曲线的参数方程的求解专题 5 参数方程与一般方程的互化7专题 6 极坐标方程与参数方程的应用14.3 不等式选讲专题 1 含绝对值不等式的解法专题 2 绝对值三角不等式的应用专题 3 含绝对值不等式的问题专题 4 不等式的证明8。

2022届高考数学一轮复习合情推理与演绎推理学案文北师大版

第四节合情推理与演绎推理授课提示：对应学生用书第112页[基础梳理]1．合情推理类型定义特征归纳推理由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理由部分到整体、由个别到一般类比推理由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理由特殊到特殊合情推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理2.演绎推理(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．1．类比推理的注意点在进行类比推理时要尽量从本质上去类比，不要被表面现象迷惑，如果只抓住一点表面现象的相似甚至假象就去类比，那么就会犯机械类比的错误．2．类比推理的几个角度方法解读适合题型类比定义在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时，可以借助原定义来解已知熟悉定义类比新定义类比性质从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，提出类比推理型问题，求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键平面几何与立体几何；等差数列与等比数列类比方法有一些处理问题的方法具有类比性，我们可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中，注意知识的迁移已知熟悉的处理方法类比未知问题的处理方法类比结构有些是类比等式或不等式形式的推理，可以从结构特点上类比，如两项类比三项，长度类比面积，平方类比立方，面积类比体积，平面类比空间几何问题的结论[四基自测]1．(基础点：归纳推理)已知数列{a n }中，a 1＝1，n ≥2时，a n ＝a n －1＋2n －1，依次计算a 2，a 3，a 4后，猜想a n 的表达式是()A ．a n ＝3n －1B ．a n ＝4n －3C ．a n ＝n 2D ．a n ＝3n －1答案：C2．(基础点：三段论)有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f (x )，若f ′(x 0)＝0，则x ＝x 0是函数f (x )的极值点，因为f (x )＝x 3在x ＝0处的导数值为0，所以x ＝0是f (x )＝x 3的极值点，以上推理()A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．结论正确答案：A3．(基础点：类比推理)在R t△ABC中，若∠C＝90°，AC＝b，BC＝a，则△ABC外接圆半径r＝a2＋b22.运用类比方法，若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为a，b，c，则其外接球的半径R＝________．答案：a2＋b2＋c22授课提示：对应学生用书第113页考点一归纳推理挖掘1与数字(数列)有关的推理/自主练透[例1](1)(2020·新乡模拟)从1开始的自然数按如图所示的规则排列，现有一个三角形框架在图中上下或左右移动，使每次恰有九个数在此三角形内，则这九个数的和可以为()A．2011B．2012C．2013D．2014[解析]根据题干图所示的规则排列，设最上层的一个数为a，则第二层的三个数为a＋7，a ＋8，a＋9，第三层的五个数为a＋14，a＋15，a＋16，a＋17，a＋18，这九个数之和为a＋3a＋24＋5a＋80＝9a＋104.由9a＋104＝2012，得a＝212，是自然数．[答案]B(2)(2020·湖北襄阳优质高中联考)将三项式(x2＋x＋1)n展开，当n＝0，1，2，3，…时，得到以下等式：(x2＋x＋1)0＝1，(x2＋x＋1)1＝x2＋x＋1，(x2＋x＋1)2＝x4＋2x3＋3x2＋2x＋1，(x2＋x＋1)3＝x6＋3x5＋6x4＋7x3＋6x2＋3x＋1，……观察多项式系数之间的关系，可以依照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角，其构造方法为：第0行为1，以下各行每个数是它正头顶上与左右两肩上3个数(不足3个数的，缺少的数记为0)的和，第k行共有(2k＋1)个数，若(x2＋x＋1)5(1＋ax)的展开式中，x7项的系数为75，则实数a的值为________．[解析]根据题意可得广义杨辉三角第5行的数为：1，5，15，30，45，51，45，30，15，5，1，故(1＋ax )(x 2＋x ＋1)5的展开式中，x 7项的系数为30＋45a ＝75，得a ＝1.[答案]1[破题技法]与数字有关的等式的归纳推理，观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解．挖掘2与等式(不等式)有关的推理/互动探究[例2](1)观察下列等式：13＋23＝32，13＋23＋33＝62，13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第五个等式为________．[解析]因为所给等式左边的底数依次分别为1，2；1，2，3；1，2，3，4；右边的底数依次分别为1＋2＝3，1＋2＋3＝6，1＋2＋3＋4＝10，所以由底数内在规律可知，第五个等式左边的底数为1，2，3，4，5，6，右边的底数为1＋2＋3＋4＋5＋6＝21，又左边为立方和，右边为平方的形式，故第五个等式为13＋23＋33＋43＋53＋63＝212.[答案]13＋23＋33＋43＋53＋63＝212(2)观察下列特殊的不等式：52－225－2≥2×72，45－3542－32≥52×，98－2893－23≥83×，910－51095－55≥2×75，……由以上特殊不等式，可以猜测：当a >b >0，s ，r ∈Z 时，有a s －b s a r －b r≥________．[解析]52－22－2≥2×72＝21×－1，45－3542－32≥52×＝52×－2，98－2893－23≥83×＝83×－3，910－51095－55≥2×75＝105×－5，由以上特殊不等式，可以猜测，当a >b >0，s ，r ∈Z 时，有a s －b s a r －br ≥－r .[答案]－r [破题技法]与式子有关的归纳推理(1)与不等式有关的归纳推理，观察每个不等式的特点，注意从纵向看，找到规律后可解．(2)与数列有关的归纳推理，通常是先求出几个特殊项，采用不完全归纳法，找出数列的项与项数的关系，列出即可求解．挖掘3与图形有关的推理/互动探究[例3](1)下图中①②③④为四个平面图形．表中给出了各平面图形中的顶点数、边数以及区域数．平面图形顶点数边数区域数①332②8126③695④10157现已知某个平面图形有1009个顶点，且围成了1007个区域，试根据以上关系确定这个平面图形的边数为________．[解析]由表归纳各平面图形的顶点数、边数、区域数的关系如下表：平面图形顶点数边数区域数关系①3323＋2－3＝2②81268＋6－12＝2③6956＋5－9＝2④1015710＋7－15＝2V E F V＋F－E＝2其顶点数V、边数E、区域数F满足关系式V＋F－E＝2，故可猜想此平面图形的边数为1009＋1007－2＝2014.[答案]2014(2)如图，第1个图形由正三角形扩展而成，共12个顶点．第n个图形由正n＋2边形扩展而，则第n个图形的顶点个数是()来，其中n∈N＋A．(2n＋1)(2n＋2)B．3(2n＋2)C．2n(5n＋1)D．(n＋2)(n＋3)[解析]由已知中的图形可以得到：当n＝1时，图形的顶点个数为12＝3×4，当n＝2时，图形的顶点个数为20＝4×5，当n＝3时，图形的顶点个数为30＝5×6，当n＝4时，图形的顶点个数为42＝6×7，……由此可以推断：第n个图形的顶点个数为(n＋2)(n＋3)，故选D.[答案]D[破题技法]与图形变化有关的归纳推理，合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性．考点二类比推理挖掘类比方法、类比结论、类比运算/互动探究[例](1)我国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一直角边为股，斜边为弦．若a，b，c为直角三角形的三边，其中c为斜边，则a2＋b2＝c2，称这个定理为勾股定理．现将这一定理推广到立体几何中：在四面体OABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝90°，S为顶点O所对面△ABC的面积，S1，S2，S3分别为侧面△OAB，△OAC，△OBC的面积，则下列选项中对于S，S1，S2，S3满足的关系描述正确的为()A ．S 2＝S 21＋S 22＋S 23B ．S 2＝1S 21＋1S 22＋1S 23C ．S ＝S 1＋S 2＋S 3D ．S ＝1S 1＋1S 2＋1S 3[解析]⊥BC 于点D ，连接AD ，则AD ⊥BC ，从而S 2·＝1BC 2·AD 2＝14BC 2·(OA 2＋OD 2)＝14(OB 2＋OC 2)·OA 2＋14BC 2·OD 2＝···＝S 21＋S 22＋S 23.[答案]A (2)若点P 0(x 0，y 0)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)外，过点P 0作该椭圆的两条切线，切点分别为P 1，P 2，则切点弦P 1P 2所在直线的方程为x 0x a 2＋y 0y b 2＝1.那么对于双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，类似地，可以得到一个正确的切点弦方程为______________．[解析]若点P 0(x 0，y 0)在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)外，过点P 0作该双曲线的两条切线，切点分别为P 1，P 2(图略)，则切点弦P 1P 2所在直线的方程为x 0x a 2－y 0y b 2＝1.[答案]x 0x a 2－y 0y b 2＝1[破题技法]类比推理是由一类事物的特殊性推另一类事物的特殊性，首先要找出两类事物之间的联系与不同，然后找出“特殊性”是什么内容，定义方面、性质方面、方法方面、运算方面等，从而推导结论．考点三演绎推理挖掘1简单的三段论/自主练透[例1](1)(2020·洛阳模拟)下列四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是()A ．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环小数B ．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结论：π是无理数C ．大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：π是无理数D ．大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数[解析]A 中小前提不是大前提的特殊情况，不符合三段论的推理形式，故A 错误；C ，D 都不是由一般性命题到特殊性命题的推理，所以C ，D 都不正确，只有B 正确．[答案]B (2)(2020·重庆检测)演绎推理“因为对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)是增函数，而函数y ＝log 12x 是对数函数，所以y ＝log 12x 是增函数”所得结论．错误的原因是()A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．大前提和小前提都错误[解析]因为当a >1时，y ＝log a x 在定义域内单调递增，当0<a <1时，y ＝log a x 在定义域内单调递减，所以大前提错误．故选A.[答案]A[破题技法]用演绎推理证明问题时，大前提往往是定义、定理或一些固定结论，小前提为问题的条件，一般大前提可省略，当大前提、小前提及推理正确时，结论就正确．挖掘2演绎推理、合情推理的生活应用/自主练透[例2](1)(2019·0.618此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是5－12.若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，则其身高可能是()A ．165cmB ．175cmC ．185cmD ．190cm[解析]设某人身高为m cm ，脖子下端至肚脐的长度为n cm ，则由腿长为105cm ，可得m －105105＞5－12≈0.618，解得m ＞169.890.由头顶至脖子下端的长度为26cm ，可得26n ＞5－12≈0.618，解得n ＜42.071.由已知可得26＋n m －（n ＋26）＝5－12≈0.618，解得m ＜178.218.综上，此人身高m 满足169.890＜m ＜178.218，所以其身高可能为175cm.故选B.[答案]B (2)(2020·福建泉州一模)田忌赛马是中国古代对策论与运筹思想的著名范例．故事中齐将田忌与齐王赛马，孙膑献策以下马对齐王上马，以上马对齐王中马，以中马对齐王下马，结果田忌一负两胜从而获胜．该故事中以局部的牺牲换取全局的胜利成为军事上一条重要的用兵规律．在比大小游戏中(大者为胜)，已知我方的三个数为a ＝cos θ，b ＝sin θ＋cos θ，c ＝cos θ－sin θ，对方的三个数及排序如表：第一局第二局第三局对方2tan θsin θ当0＜θ＜π4时，我方必胜的排序是()A ．a ，b ，c B ．b ，c ，a C ．c ，a ，b D ．c ，b ，a [解析]因为当0＜θ＜π4时，cos θ－sin θ＜cos θ＜sin θ＋cos θ，sin θ＜tan θ＜ 2.由“田忌赛马”事例可得：我方必胜的排序是c ，b ，a ，故选D.[答案]D[破题技法]生活中的各种推理，是综合运用了各种推理方法与思维，正向思维，逆向思维，理性思维，特值思维等或结合一些数学运算等，培养学生的综合素养．。

北师大版版高考数学一轮复习第十二章复数算法推理与证明合情推理与演绎推理教学案理

一、知识梳理１．推理（１）定义：根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程．（２）分类：推理错误!２．合情推理归纳推理类比推理定义由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理特点由部分到整体、由个别到一般的推理由特殊到特殊的推理（１）定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．（２）特点：演绎推理是由一般到特殊的推理．（３）模式：三段论错误!二、教材衍化１．已知在数列{a n}中，a１＝１，当n≥２时，a n＝a n—１＋２n—１，依次计算a２，a３，a４后，猜想a n的表达式是（）Ａ．a n＝３n—１Ｂ．a n＝４n—３Ｃ．a n＝n２Ｄ．a n＝３n—１解析：选Ｃ．a２＝a１＋３＝４，a３＝a２＋５＝9，a４＝a３＋7＝１6，a１＝１２，a２＝２２，a３＝３２，a４＝４２，猜想a n＝n２.２．对于任意正整数n，２n与n２的大小关系为（）Ａ．当n≥２时，２n≥n２Ｂ．当n≥３时，２n≥n２Ｃ．当n≥４时，２n>n２Ｄ．当n≥５时，２n>n２解析：选Ｄ．当n＝２时，２n＝n２；当n＝３时，２n<n２；当n＝４时，２n＝n２；当n＝５时，２n>n２；当n＝6时，２n>n２；归纳判断，当n≥５时，２n>n２.故选Ｄ．３．在等差数列{a n}中，若a１0＝0，则有a１＋a２＋…＋a n＝a１＋a２＋…＋a１9—n（n<１9，n∈N+）成立，类比上述性质，在等比数列{b n}中，若b9＝１，则存在的等式为________．解析：利用类比推理，借助等比数列的性质，b错误!＝b１＋n·b１7—n，可知存在的等式为b１b２…b n ＝b１b２…b１7—n（n<１7，n∈N*）．答案：b１b２…b n＝b１b２…b１7—n（n<１7，n∈N*）一、思考辨析判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．（）（２）由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．（）（３）在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．（）（４）在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．（）答案：（１）×（２）√（３）×（４）×二、易错纠偏错误!错误!（１）归纳推理没有找出规律；（２）类比推理类比规律错误．１．在△ABC中，不等式错误!＋错误!＋错误!≥错误!成立；在凸四边形ABCD中，不等式错误!＋错误!＋错误!＋错误!≥错误!成立；在凸五边形ABCDE中，不等式错误!＋错误!＋错误!＋错误!＋错误!≥错误!成立…依此类推，在凸n边形A１A２…A n中，不等式错误!＋错误!＋…＋错误!≥__________________________成立．解析：因为错误!＋错误!＋错误!≥错误!＝错误!，错误!＋错误!＋错误!＋错误!≥错误!＝错误!错误!＋错误!＋错误!＋错误!＋错误!≥错误!＝错误!，…，所以错误!＋错误!＋…＋错误!≥错误!（n∈N+，n≥３）．答案：错误!（n∈N+，n≥３）２．在平面几何中有如下结论：正三角形ABC的内切圆面积为S１，外接圆面积为S２，则错误!＝错误!，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体PABC的内切球体积为V１，外接球体积为V２，则错误!＝________．解析：从平面图形类比空间图形，从二维类比三维，可得如下结论：正四面体的外接球和内切球的半径之比为３∶１，故正四面体PABC的内切球体积V１与外接球体积V２之比等于错误!＝错误!错误!＝错误!.答案：错误!归纳推理（多维探究）角度一与数字有关的推理有一个奇数组成的数阵排列如下：１３7 １３２１…５9 １５２３……１１１7 ２５………１9 ２7 …………２9 ……………………………则第３0行从左到右第３个数是________．【解析】观察每一行的第一个数，由归纳推理可得第３0行的第１个数是１＋４＋6＋8＋１0＋…＋60＝错误!—１＝9２9．又第n行从左到右的第２个数比第１个数大２n，第３个数比第２个数大２n＋２，所以第３0行从左到右的第２个数比第１个数大60，第３个数比第２个数大6２，故第３0行从左到右第３个数是9２9＋60＋6２＝１0５１．【答案】１0５１角度二与等式有关的推理（１）已知１３＋２３＝错误!错误!，１３＋２３＋３３＝错误!错误!，１３＋２３＋３３＋４３＝错误!错误!，….若１３＋２３＋３３＋４３＋…＋n３＝３0２５，则n＝（）Ａ．8 Ｂ．9Ｃ．１0 Ｄ．１１（２）观察下列等式：错误!错误!＋错误!错误!＝错误!×１×２；错误!错误!＋错误!错误!＋错误!错误!＋错误!错误!＝错误!×２×３；错误!错误!＋错误!错误!＋错误!错误!＋…＋错误!错误!＝错误!×３×４；错误!错误!＋错误!错误!＋错误!错误!＋…＋错误!错误!＝错误!×４×５；……照此规律，错误!错误!＋错误!错误!＋错误!错误!＋…＋错误!错误!＝__________．【解析】（１）观察所提供的式子可知，等号左边最后一个数是n３时，等号右边的数为错误!错误!，因此，令错误!错误!＝３0２５，则错误!＝５５，所以n＝１0．故选Ｃ．（２）每组角的分母恰好等于右边两个相邻正整数因数的和．因此答案为错误!n（n＋１）．【答案】（１）C （２）错误!n（n＋１）角度三与不等式有关的推理已知x∈（0，＋∞），观察下列各式：x＋错误!≥２，x＋错误!＝错误!＋错误!＋错误!≥３，x＋错误!＝错误!＋错误!＋错误!＋错误!≥４，…，类比得x＋错误!≥n＋１（n∈N+），则a＝________．【解析】第一个式子是n＝１的情况，此时a＝１１＝１；第二个式子是n＝２的情况，此时a＝２２＝４；第三个式子是n＝３的情况，此时a＝３３＝２7，归纳可知a＝n n.【答案】n n角度四与图形变化有关的推理（１）图１是美丽的“勾股树”，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到．图２是第１代“勾股树”，重复图２的作法，得到图３为第２代“勾股树”，以此类推，已知最大的正方形面积为１，则第n代“勾股树”所有正方形的面积的和为（）Ａ．nＢ．n２Ｃ．n—１Ｄ．n＋１（２）我国的刺绣有着悠久的历史，如图所示中的１２３４为刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形个数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第n个图形包含f（n）个小正方形，则f（n）的表达式为（）Ａ．f（n）＝２n—１Ｂ．f（n）＝２n２Ｃ．f（n）＝２n２—２nＤ．f（n）＝２n２—２n＋１【解析】（１）最大的正方形面积为１，当n＝１时，由勾股定理知正方形面积的和为２，依次类推，可得所有正方形面积的和为n＋１．故选Ｄ．（２）我们考虑f（２）—f（１）＝４，f（３）—f（２）＝8，f（４）—f（３）＝１２，…，结合图形不难得到f（n）—f（n—１）＝４（n—１），累加得f（n）—f（１）＝２n（n—１）＝２n２—２n，故f（n）＝２n２—２n＋１．【答案】（１）D （２）D错误!归纳推理问题的常见类型及解题策略（１）与“数字”相关的问题：主要是观察数字特点，找出等式左右两侧的规律．（２）与不等式有关的推理：观察所给几个不等式两边式子的特点，注意纵向看，找出隐含规律．（３）与图形有关的推理：合理利用特殊图形归纳推理得出结论．１．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术．得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟．”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：２错误!＝错误!，３错误!＝错误!，４错误!＝错误!，５错误!＝错误!，则按照以上规律，若8错误!＝错误!具有“穿墙术”，则n＝（）Ａ．３５Ｂ．４8Ｃ．6３Ｄ．80解析：选Ｃ．根据规律得３＝１×３，8＝２×４，１５＝３×５，２４＝４×6，…，所以n＝7×9＝6３．故选Ｃ．２．从１开始的自然数按如图所示的规则排列，现有一个三角形框架在图中上下或左右移动，使每次恰有九个数在此三角形内，则这九个数的和可以为（）Ａ．２0１8 Ｂ．２0１9Ｃ．２0２0 Ｄ．２0２１解析：选Ｄ．根据题干图所示的规则排列，设最上层的一个数为a，则第二层的三个数为a＋7，a＋8，a＋9，第三层的五个数为a＋１４，a＋１５，a＋１6，a＋１7，a＋１8，这九个数之和为a＋３a＋２４＋５a＋80＝9a＋１0４．由9a＋１0４＝２0２１，得a＝２１３，是自然数，故选Ｄ．３．分形几何学是数学家伯努瓦·曼德尔布罗在２0世纪70年代创立的一门新的数学学科，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．按照如图（１）所示的分形规律可得如图（２）所示的一个树形图．若记图（２）中第n行黑圈的个数为a n，则a２0１8＝________．解析：根据题图（１）所示的分形规律，可知１个白圈分形为２个白圈１个黑圈，１个黑圈分形为１个白圈２个黑圈，把题图（２）中的树形图的第１行记为（１，0），第２行记为（２，１），第３行记为（５，４），第４行的白圈数为２×５＋４＝１４，黑圈数为５＋２×４＝１３，所以第４行的“坐标”为（１４，１３），同理可得第５行的“坐标”为（４１，４0），第6行的“坐标”为（１２２，１２１），….各行黑圈数乘２，分别是0，２，8，２6，80，…，即１—１，３—１，9—１，２7—１，8１—１，…，所以可以归纳出第n行的黑圈数a n＝错误!（n∈N*），所以a２0１8＝错误!.答案：错误!类比推理（师生共研）（１）等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，则数列错误!为等差数列，公差为错误!.类似地，若各项均为正数的等比数列{b n}的公比为q，前n项的积为T n，则等比数列{错误!}的公比为（）Ａ．错误!Ｂ．q２Ｃ．错误!Ｄ．错误!（２）在平面上，设h a，h b，h c是△ABC三条边上的高，P为三角形内任一点，P到相应三边的距离分别为P a，P b，P c，我们可以得到结论：错误!＋错误!＋错误!＝１．把它类比到空间，则三棱锥中的类似结论为________．【解析】（１）由题意知，T n＝b１·b２·b３·…·b n＝b１·b１q·b１q２·…·b１q n—１＝b错误!q１＋２＋…＋（n—１）＝b错误!q错误!，所以错误!＝b１q错误!，所以等比数列{错误!}的公比为错误!，故选Ｃ．（２）设h a，h b，h c，h d分别是三棱锥ABCD四个面上的高，P为三棱锥ABCD内任一点，P到相应四个面的距离分别为P a，P b，P c，P d，于是可以得出结论：错误!＋错误!＋错误!＋错误!＝１．（３）在双曲线中，设△ABC的外接圆的半径为r，则|AB|＝２r sin C，|AC|＝２r sin B，|BC|＝２r sin A，则由双曲线的定义得||BA|—|BC||＝２a，|AC|＝２c，则双曲线的离心率e＝错误!＝错误!＝错误!，即错误!＝错误!.【答案】（１）C （２）错误!＋错误!＋错误!＋错误!＝１（３）错误!＝错误!错误!类比推理的分类已知正三角形内切圆的半径r与它的高h的关系是r＝错误!h，把这个结论推广到空间正四面体，则正四面体内切球的半径r与正四面体的高h的关系是________．解析：球心到正四面体一个面的距离即内切球的半径r，连接球心与正四面体的四个顶点，把正四面体分成四个高为r的三棱锥，所以４×错误!S×r＝错误!×S×h，所以r＝错误!h（其中S为正四面体一个面的面积）．答案：r＝错误!h演绎推理（师生共研）（１）某市为了缓解交通压力，实行机动车辆限行政策，每辆机动车每周一到周五都要限行一天，周末（周六和周日）不限行．某公司有A，B，C，D，E五辆车，保证每天至少有四辆车可以上路行驶．已知E车周四限行，B车昨天限行，从今天算起，A，C两车连续四天都能上路行驶，E车明天可以上路，由此可知下列推测一定正确的是（）Ａ．今天是周六Ｂ．今天是周四Ｃ．A车周三限行Ｄ．C车周五限行（２）已知函数y＝f（x）满足：对任意a，b∈R，a≠b，都有af（a）＋bf（b）>af（b）＋bf（a），试证明：f（x）为R上的增函数．【解】（１）选Ｂ．因为每天至少有四辆车可以上路行驶，E车明天可以上路，E车周四限行，所以今天不是周三；因为B车昨天限行，所以今天不是周一，不是周五，也不是周日；因为A，C两车连续四天都能上路行驶，所以今天不是周二，也不是周六，所以今天是周四，故选Ｂ．（２）证明：设x１，x２∈R，取x１<x２，则由题意得x１f（x１）＋x２f（x２）>x１f（x２）＋x２f（x１），所以x１[f（x１）—f（x２）]＋x２[f（x２）—f（x１）]>0，[f（x２）—f（x１）]（x２—x１）>0，因为x１<x２，所以f（x２）—f（x１）>0，f（x２）>f（x１）．综上，y＝f（x）为R上的增函数．错误!演绎推理的推证规则（１）演绎推理是从一般到特殊的推理，其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略．（２）在推理论证过程中，一些稍复杂一点的证明题常常要由几个三段论才能完成．１．（２0２0·陕西铜川模拟）沈老师告知高三文数周考的附加题只有6名同学A，B，C，D，E，F 尝试做了，并且这6人中只有１人答对了．同学甲猜测：D或E答对了．同学乙猜测：C不可能答对．同学丙猜测：A，B，F当中必有１人答对了．同学丁猜测：D，E，F都不可能答对．若甲、乙、丙、丁中只有１人猜对，则此人是（）Ａ．甲Ｂ．乙Ｃ．丙Ｄ．丁解析：选Ｄ．若甲猜对，则乙也猜对，与题意不符，故甲猜错；若乙猜对，则丙也猜对，与题意不符，故乙也猜错；若丙猜对，则乙也猜对，与题意不符，故丙猜错；因为甲、乙、丙、丁四人中只有１人猜对，所以丁猜对．故选Ｄ．２．数列{a n}的前n项和记为S n，已知a１＝１，a n＋１＝错误!S n（n∈N+）．证明：（１）数列{错误!}是等比数列；（２）S n＋１＝４a n.证明：（１）因为a n＋１＝S n＋１—S n，a n＋１＝错误!S n，所以（n＋２）S n＝n（S n＋１—S n），即nS n＋１＝２（n＋１）S n.故错误!＝２·错误!，故{错误!}是以１为首项，２为公比的等比数列．（２）由（１）可知错误!＝４·错误!（n≥２），所以S n＋１＝４（n＋１）·错误!＝４·错误!·S n—１＝４a n（n≥２）．又因为a２＝３S１＝３，S２＝a１＋a２＝１＋３＝４＝４a１，所以对于任意正整数n，都有S n＋１＝４a n.[基础题组练]１．观察下列各式：a＋b＝１，a２＋b２＝３，a３＋b３＝４，a４＋b４＝7，a５＋b５＝１１，…，则a１0＋b１0＝（）Ａ．１２１Ｂ．１２３Ｃ．２３１Ｄ．２１１解析：选Ｂ．法一：令a n＝a n＋b n，则a１＝１，a２＝３，a３＝４，a４＝7，…，得a n＋２＝a n＋a n＋，从而a6＝１8，a7＝２9，a8＝４7，a9＝76，a１0＝１２３．１法二：由a＋b＝１，a２＋b２＝３，得ab＝—１，代入后三个等式中符合，则a１0＋b１0＝（a５＋b ５）２—２a５b５＝１２３．２．（２0２0·安徽六校联考）如图，第１个图形由正三角形扩展而成，共１２个顶点．第n个图形由正（n＋２）边形扩展而成，n∈N*，则第n个图形的顶点个数是（）Ａ．（２n＋１）（２n＋２）Ｂ．３（２n＋２）Ｃ．２n（５n＋１）Ｄ．（n＋２）（n＋３）解析：选Ｄ．由题图我们可以得到，当n＝１时，顶点个数为１２＝３×４，n＝２时，顶点个数为２0＝４×５，n＝３时，顶点个数为３0＝５×6，n＝４时，顶点个数为４２＝6×7，…，由此我们可以推断：第n个图形共有（n＋２）·（n＋３）个顶点，故选Ｄ．３．（２0２0·福建永春调研）在平面几何里有射影定理：设三角形ABC的两边AB⊥AC，D是A点在BC上的射影，则AB２＝BD·BC.拓展到空间，在四面体ABCD中，AD⊥平面ABC，点O是A在平面BCD内的射影，且O在△BCD内，类比平面三角形射影定理，得出正确的结论是（）Ａ．S错误!＝S△BCO·S△BCDＢ．S错误!＝S△BOD·S△BOCＣ．S错误!＝S△DOC·S△BOCＤ．S错误!＝S△ABD·S△ABC解析：选Ａ．由已知，在平面几何中，若△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC，D是垂足，则AB２＝BD·BC.可以类比这一性质，推理出：若三棱锥DABC中，AD⊥平面ABC，AO⊥平面BCD，O为垂足，如图所示，则（S△ABC）２＝S△BCO·S△BCD.故选Ａ．４．甲、乙、丙、丁四人通过抓阄的方式选出一人周末值班（抓到“值”字的人值班）．抓完阄后，甲说：“我没抓到．”乙说：“丙抓到了．”丙说：“丁抓到了．”丁说：“我没抓到．”已知他们四人中只有一人说了真话，根据他们的说法，可以断定值班的人是（）Ａ．甲Ｂ．乙Ｃ．丙Ｄ．丁解析：选Ａ．如果甲说的是真的，那么乙和丙说的都是假的，但由此推出丁说的是真的，与题意矛盾；如果甲说的是假的，即甲抓到了，那么丁说的就是真的，乙和丙说的就是假的，符合题意．故可以断定甲抓到了，值班的人是甲．故选Ａ．５．桌上共8个球，甲、乙二人轮流取球，取到最后一球者胜利．规则是：第一次取球至少１个，至多不超过总数的错误!，每次取球的数量不超过前面一次且不少于前面取球数的错误!.比如，前面一次甲取球３个，接着乙取球的数量为２或３．若甲先取球，甲为了有必胜的把握，第一次应取球的个数为（）A．１Ｂ．２Ｃ．３Ｄ．４解析：选Ｃ．由题意可知，若甲先取１球，则乙取１球，以此类推，乙胜．若甲先取２球，则乙只能取２球或１球，乙取２球时，甲只能取２球或１球，此时无论如何都是乙胜；乙取１球时，则甲取１球，以此类推，甲胜．若甲先取４球，则乙可取完剩下的球，乙胜．若甲先取３球，则乙只能取２球或３球，乙取２球时，甲取１球，然后乙取１球，甲取１球，甲胜；乙取３球时，甲取完，甲胜．综上可知，甲先取３球有必胜的把握．6．（２0２0·西藏林芝一中调考）已知集合A，B与集合A@B的对应关系如下表：A{１，２，３，４，５}{—１，0，１}{—４，8}B{２，４，6，8}{—２，—１，0，１}{—４，—２，0，２}A@B{１，３，５，6，8}{—２}{—２，0，２，8}若．解析：由题意可知，集合A@B是由A∪B中的元素去掉A∩B中的元素组成的，已知A＝{—２009，0，２0１8}，B＝{—２009，0，２0１9}，则A∪B＝{—２009，0，２0１8，２0１9}，A∩B＝{—２009，0}，则A@B＝{２0１8，２0１9}．答案：{２0１8，２0１9}7．某校为高一学生开设了三门选修课程，分别是文学与艺术、哲学初步、数学史．调查某班甲、乙、丙三名学生的三门选修课程的选修情况时，甲说：“我选修的课程比乙多，但没有选修哲学初步．”乙说：“我没有选修数学史．”丙说：“我们三人选修的课程中，有一门课程是相同的．”由此可以判断乙选修的课程为________．解析：由丙说的话，可知甲、乙两人至少选修了一门课程，且选修的课程中有一门课程是相同的，又甲比乙选修的课程多，且没有选修哲学初步，所以甲选修了文学与艺术和数学史．又乙没有选修数学史，所以乙选修的课程为文学与艺术．答案：文学与艺术8．如图所示，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，当错误!⊥错误!时，其离心率为错误!，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e＝________．解析：设“黄金双曲线”的方程为错误!—错误!＝１（a>0，b>0），则B（0，b），F（—c，0），A（a，0）．在“黄金双曲线”中，因为错误!⊥错误!，所以错误!·错误!＝0．又错误!＝（c，b），错误!＝（—a，b），所以b２＝ac.而b２＝c２—a２，所以c２—a２＝ac.在等号两边同除以a２，得e２—１＝e，解得e＝错误!错误!.答案：错误!9．设f（x）＝错误!，先分别求f（0）＋f（１），f（—１）＋f（２），f（—２）＋f（３），然后归纳猜想一般性结论，并给出证明．解：f（0）＋f（１）＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!，同理可得：f（—１）＋f（２）＝错误!，f（—２）＋f（３）＝错误!，并注意到在这三个特殊式子中，自变量之和均等于１．归纳猜想得：当x１＋x２＝１时，均有f（x１）＋f（x２）＝错误!.证明：设x１＋x２＝１，f（x１）＋f（x２）＝错误!＋错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!.１0．给出下面的数表序列：表１表２表３１１３１３５４４8１２…其中表n（n＝１，２，３，…）有n行，第１行的n个数是１，３，５，…，２n—１，从第２行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和．写出表４，验证表４各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n（n≥３）（不要求证明）．解：表４为１３５7４8 １２１２２0３２它的第１，２，３，４行中的数的平均数分别是４，8，１6，３２，它们构成首项为４，公比为２的等比数列．将这一结论推广到表n（n≥３），即表n（n≥３）各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n，公比为２的等比数列．[综合题组练]１．“垛积术”是我国古代数学的重要成就之一．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中记载了“方垛”的计算方法：“果子以垛，下方十四个，问计几何？术曰：下方加一，乘下方为平积．又加半为高，以乘下方为高积．如三而一．”意思是说，将果子以方垛的形式摆放（方垛即每层均为正方形，自下而上每层每边果子数依次递减１个，最上层为１个），最下层每边果子数为１４个，问共有多少个果子？计算方法用算式表示，为错误!×１４×（１４＋１）×错误!.利用“方垛”的计算方法，可计算最下层每边果子数为１４个的“三角垛”（三角垛即每层均为正三角形，自下而上每层每边果子数依次递减１个，最上层为１个）共有果子数为（）Ａ．４２0个Ｂ．５60个Ｃ．680个Ｄ．１0１５个解析：选Ｂ．由题意知，最下层每边为１４个果子的“方垛”总的果子数的计算式为１２＋２２＋…＋１４２＝错误!×１４×（１４＋１）×错误!，所以可得最下层每边为n（n∈N+）个果子的“方垛”总的果子数的计算式为１２＋２２＋…＋n２＝错误!×n×（n＋１）×错误!.最下层每边为n个果子的“三角垛”自上而下的第k（k≤n，k∈N*）层果子数为错误!，所以n层“三角垛”总的果子数为１＋３＋…＋错误!.因为１＋３＋…＋错误!＝错误!×[１×２＋２×３＋…＋n（n＋１）]＝错误!×（１２＋１＋２２＋２＋…＋n２＋n）＝错误!×[（１２＋２２＋…＋n２）＋（１＋２＋…＋n）]＝错误!×错误!＝错误!n（n＋１）·错误!＝错误!n（n＋１）（n＋２），所以取n＝１４，可得“三角垛”的果子总数为５60个．故选Ｂ．２．（２0２0·陕西第二次质检）一布袋中装有n个小球，甲、乙两个同学轮流抓球，且不放回，每次最少抓一个球，最多抓三个球．规定：由乙先抓，且谁抓到最后一个球谁赢，那么以下推断中正确的是（）Ａ．若n＝9，则乙有必赢的策略Ｂ．若n＝7，则甲有必赢的策略Ｃ．若n＝6，则甲有必赢的策略Ｄ．若n＝４，则乙有必赢的策略解析：选Ａ．若n＝9，则乙有必赢的策略．（１）若乙抓１个球，甲抓１个球时，乙再抓３个球，此时剩余４个球，无论甲抓１～３的哪种情况，乙都能保证抓最后一个球；（２）若乙抓１个球，甲抓２个球时，乙再抓２个球，此时剩余４个球，无论甲抓１～３的哪种情况，乙都能保证抓最后一个球；（３）若乙抓１个球，甲抓３个球时，乙再抓１个球，此时剩余４个球，无论甲抓１～３的哪种情况，乙都能保证抓最后一个球．所以若n＝9，则乙有必赢的策略，故选Ａ．３．有甲、乙二人去看望高中数学老师张老师，期间他们做了一个游戏，张老师的生日是m月n日，张老师把m告诉了甲，把n告诉了乙，然后张老师列出来如下１0个日期供选择：２月５日，２月7日，２月9日，５月５日，５月8日，8月４日，8月7日，9月４日，9月6日，9月9日．看完日期后，甲说：“我不知道，但你一定也不知道．”乙听了甲的话后，说：“本来我不知道，但现在我知道了．”甲接着说：“哦，现在我也知道了．”请问，张老师的生日是________．解析：根据甲说的“我不知道，但你一定也不知道”，可排除５月５日，５月8日，9月４日，9月6日，9月9日；根据乙听了甲的话后说的“本来我不知道，但现在我知道了”，可排除２月7日、8月7日；根据甲接着说的“哦，现在我也知道了”，可以得知张老师的生日为8月４日．答案：8月４日４．我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在错误!中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通过方程错误!＝x确定x＝２，则１＋错误!＝________．解析：１＋错误!＝x，即１＋错误!＝x，即x２—x—１＝0，解得x１＝错误!，x２＝错误!错误!，故１＋错误!＝错误!.答案：错误!５．如图，在△ABC中，O为其内切圆圆心，过O的直线将三角形面积分为相等的两部分，且该直线与AC，BC分别相交于点F，E，则四边形ABEF与△CEF的周长相等．将此结论类比到空间，写出一个与其相关的命题，并证明该命题的正确性．解：如图，截面AEF经过四面体ABCD的内切球（与四个面都相切的球）的球心O，且与BC，DC 分别交于点E，F，若截面将四面体分为体积相等的两部分，则四棱锥ABEFD与三棱锥AEFC的表面积相等．下面证明该结论的正确性：设内切球半径为R，则V ABEFD＝错误!（S△ABD＋S△ABE＋S△ADF＋S四边形BEFD）×R＝V AEFC＝错误!（S△AEC＋S△ACF＋S△ECF）×R，即S△ABD＋S△ABE＋S△ADF＋S四边形BEFD＝S△AEC＋S△ACF＋S△ECF，两边同加S△AEF可得结论．6．我们将具有下列性质的所有函数组成集合M：函数y＝f（x）（x∈D），对任意x，y，错误!∈D 均满足f错误!≥错误![f（x）＋f（y）]，当且仅当x＝y时等号成立．（１）若定义在（0，＋∞）上的函数f（x）∈M，试比较f（３）＋f（５）与２f（４）的大小；（２）设函数g（x）＝—x２，求证：g（x）∈M.解：（１）对于f错误!≥错误![f（x）＋f（y）]，令x＝３，y＝５得f（３）＋f（５）≤２f（４）．（２）证明：g错误!—错误![g（x１）＋g（x２）]＝—错误!＋错误!＝错误!≥0，当且仅当x１＝x２时取等号，所以g错误!≥错误![g（x１）＋g（x２）]，所以g（x）∈M.。

高三数学一轮复习优质学案：第1讲合情推理与演绎推理

第1讲合情推理与演绎推理最新考纲 1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用；2.了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理；3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.知识梳理1.合情推理(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理.简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理.(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断.诊断自测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT展示(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确.()(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理.()(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适.( )(4)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确.( )解析 (1)类比推理的结论不一定正确.(3)平面中的三角形与空间中的四面体作为类比对象较为合适.(4)演绎推理是在大前提、小前提和推理形式都正确时，得到的结论一定正确.答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×2.数列2，5，11，20，x ，47，…中的x 等于( ) A.28B.32C.33D.27解析 5－2＝3，11－5＝6，20－11＝9，推出x －20＝12，所以x ＝32.答案 B3.正弦函数是奇函数，f (x )＝sin(x 2＋1)是正弦函数，因此f (x )＝sin(x 2＋1)是奇函数，以上推理( ) A.结论正确B.大前提不正确C.小前提不正确D.全不正确解析 f (x )＝sin(x 2＋1)不是正弦函数，所以小前提不正确. 答案 C4.(2015·陕西卷)观察下列等式 1－12＝121－12＋13－14＝13＋141－12＋13－14＋15－16＝14＋15＋16 ……据此规律，第n 个等式可为________.解析第n 个等式左边共有2n 项且等式左边分母分别为1，2，…，2n ，分子为1，正负交替出现，即为1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ；等式右边共有n 项且分母分别为n ＋1，n ＋2，…，2n ，分子为1，即为1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n .所以第n个等式可为1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n . 答案 1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n 5.(选修2－2P84A5改编)在等差数列{a n }中，若a 10＝0，则有a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (n ＜19，n ∈N *)成立，类比上述性质，在等比数列{b n }中，若b 9＝1，则b 1b 2b 3…b n ＝________.答案 b 1b 2b 3…b 17－n (n ＜17，n ∈N *)考点一归纳推理『例1』 (1)(2016·山东卷)观察下列等式： ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3－2＋⎝⎛⎭⎪⎫sin 2π3－2＝43×1×2；⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 4π5－2＝43×2×3；⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π7－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π7－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π7－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 6π7－2＝43×3×4；⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π9－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π9－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π9－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 8π9－2＝43×4×5；……照此规律，⎝ ⎛⎭⎪⎫sinπ2n ＋1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π2n ＋1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π2n ＋1－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2n π2n ＋1－2＝________.(2)(2017·潍坊模拟)观察下列式子：1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，……，根据上述规律，第n 个不等式应该为________.解析 (1)观察前4个等式，由归纳推理可知⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫sin π2n ＋1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫sin 2π2n ＋1－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫sin 2n π2n ＋1－2＝43×n ×(n ＋1)＝4n （n ＋1）3. (2)根据规律，知不等式的左边是n ＋1个自然数的平方的倒数的和，右边分母是以2为首项，1为公差的等差数列，分子是以3为首项，2为公差的等差数列，所以第n 个不等式应该为1＋122＋132＋…＋1（n ＋1）2<2n ＋1n ＋1. 答案 (1)4n （n ＋1）3(2)1＋122＋132＋…＋1（n ＋1）2<2n ＋1n ＋1规律方法归纳推理问题的常见类型及解题策略(1)与数字有关的等式的推理.观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解.(2)与不等式有关的推理.观察每个不等式的特点，注意是纵向看，找到规律后可解.(3)与数列有关的推理.通常是先求出几个特殊现象，采用不完全归纳法，找出数列的项与项数的关系，列出即可.(4)与图形变化有关的推理.合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性.『训练1』 (1)用火柴棒摆“金鱼”，如图所示，按照下面的规律，第n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为________.(2)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1，3，6，10，…，第n 个三角形数为n （n ＋1）2＝12n 2＋12n ，记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 N (n ，3)＝12n 2＋12n ，正方形数 N (n ，4)＝n 2，五边形数 N (n ，5)＝32n 2－12n ，六边形数 N (n ，6)＝2n 2－n ……可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10，24)＝____________.解析 (1)由题意知：图②的火柴棒比图①的多6根，图③的火柴棒比图②的多6根，而图①的火柴棒的根数为2＋6，∴第n 条小鱼需要(2＋6n )根. (2)三角形数 N (n ，3)＝12n 2＋12n ＝n 2＋n 2，正方形数 N (n ，4)＝n 2＝2n 2－0·n2，五边形数 N (n ，5)＝32n 2－12n ＝3n 2－n 2，六边形数 N (n ，6)＝2n 2－n ＝4n 2－2n2， k 边形数 N (n ，k )＝（k －2）n 2－（k －4）n2，所以N (10，24)＝22×102－20×102＝2 200－2002＝1 000.答案 (1)2＋6n (2)1 000考点二类比推理『例2』 (1)若数列{a n }是等差数列，则数列{b n }⎝ ⎛⎭⎪⎫b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n 也为等差数列.类比这一性质可知，若正项数列{c n }是等比数列，且{d n }也是等比数列，则d n 的表达式应为( )A.d n ＝c 1＋c 2＋…＋c nnB.d n ＝c 1·c 2·…·c nnC.d n ＝n c n 1＋c n 2＋…＋c nnnD.d n ＝nc 1·c 2·…·c n(2)(2017·南昌二中月考)如图(1)所示，点O 是△ABC 内任意一点，连接AO ，BO ，CO ，并延长交对边于A 1，B 1，C 1，则OA 1AA 1＋OB 1BB 1＋OC 1CC 1＝1，类比猜想：点O 是空间四面体V －BCD 内的任意一点，如图(2)所示，连接VO ，BO ，CO ，DO 并延长分别交面BCD ，VCD ，VBD ，VBC 于点V 1，B 1，C 1，D 1，则有________________.解析 (1)法一从商类比开方，从和类比积，则算术平均数可以类比几何平均数，故d n 的表达式为d n ＝nc 1·c 2·…·c n .法二若{a n }是等差数列，则a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋n （n －1）2d ，∴b n ＝a 1＋（n －1）2d ＝d 2n ＋a 1－d2，即{b n }为等差数列；若{c n }是等比数列，则c 1·c 2·…·c n ＝c n 1·q1＋2＋…＋(n －1)＝c n 1·qn （n －1）2，∴d n ＝nc 1·c 2·…·c n＝c 1·qn －12，即{d n }为等比数列，故选D.(2)利用类比推理，猜想应有OV 1VV 1＋OB 1BB 1＋OC 1CC 1＋OD 1DD 1＝1.用“体积法”证明如下：OV 1VV 1＋OB 1BB 1＋OC 1CC 1＋OD 1DD 1＝V O －BCD V V －BCD ＋V O －VCD V B －VCD ＋V O －VBD V C －VBD ＋V O －VBC V D －VBC ＝V V －BCDV V －BCD ＝1.答案 (1)D (2)OV 1VV 1＋OB 1BB 1＋OC 1CC 1＋OD 1DD 1＝1规律方法 (1)进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行类比，提出猜想.其中找到合适的类比对象是解题的关键.(2)类比推理常见的情形有平面与空间类比；低维的与高维的类比；等差数列与等比数列类比；数的运算与向量的运算类比；圆锥曲线间的类比等.『训练2』 (2017·安徽江淮十校三联)我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在2＋2＋2＋…中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x ，这可以通过方程2＋x ＝x 确定出来x ＝2，类似地不难得到1＋11＋11＋…＝( ) A.－5－12B.5－12C.1＋52D.1－52解析 1＋11＋11＋…＝x ，即1＋1x ＝x ，即x 2－x －1＝0，解得x ＝1＋52(x ＝1－52舍)，故1＋11＋11＋…＝1＋52，故选C.答案 C考点三演绎推理『例3』数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2n S n (n ∈N *).证明：(1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列；(2)S n ＋1＝4a n .证明 (1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2n S n ， ∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n .∴S n ＋1n ＋1＝2·S n n ，又S 11＝1≠0，(小前提) 故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以1为首项，2为公比的等比数列.(结论)(大前提是等比数列的定义，这里省略了) (2)由(1)可知S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2)，∴S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1 ＝4a n (n ≥2)，(小前提)又a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，(小前提) ∴对于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .(结论)(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)规律方法演绎推理是从一般到特殊的推理；其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略.『训练3』 (2016·全国Ⅱ卷)有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________.解析由丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”可知，丙为“1和2”或“1和3”，又乙说“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，所以乙只可能为“2和3”，所以由甲说“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，所以甲只能为“1和3”.答案 1和3『思想方法』1.合情推理的过程概括为从具体问题出发―→观察、分析、比较、联想―→归纳、类比―→提出猜想2.演绎推理是从一般的原理出发，推出某个特殊情况的结论的推理方法，是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段论.数学问题的证明主要通过演绎推理来进行.『易错防范』1.合情推理是从已知的结论推测未知的结论，发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明.2.演绎推理是由一般到特殊的证明，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严密性，书写格式的规范性.3.合情推理中运用猜想时不能凭空想象，要有猜想或拓展依据.。

北师大版高中数学选修合情推理演绎推理教案

第四课时合情推理——演绎推理一、教学目标 1、知识与技能：(1)了解演绎推理的含义；(2)能正确地运用演绎推理进行简单的推理； (3)了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别。

2、方法与过程：认识演绎推理的主要形式为三段论,认识三段论推理一般模式,包括三步(1)大前提,(2)小前提,(3)结论.再从实际应用中认识数学中的证明,主要通过演绎推理来进行的.从实例中认识它的重要作用和具体做法。

3、情感态度与价值观：通过本节的学习,使学生认识到演绎推理在数学中的重要性,我们既需要用合情推理来发现结论,也要用演绎推理来证明结论的对否。

二、教学重点：了解演绎推理的含义，能利用“三段论”进行简单的推理.教学难点：了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别, 分析证明过程中包含的“三段论”形式,三段论的证明原理三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程（一）、复习准备：1. 练习： ① 对于任意正整数n ，猜想（2n -1）与(n +1)2的大小关系？ ②在平面内，若,a c b c ⊥⊥，则//a b . 类比到空间，你会得到什么结论？（结论：在空间中，若,a c b c ⊥⊥，则//a b ；或在空间中，若,,//αγβγαβ⊥⊥则） 2. 讨论：以上推理属于什么推理，结论正确吗？合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明，有什么能使结论正确的推理形式呢？ 3. 导入：（小前提）是二次函数函数12++=x x y（二）、新课探析 1.概念：① 概念：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理。

要点：由一般到特殊的推理。

② 讨论：演绎推理与合情推理有什么区别？合情推理⎧⎨⎩归纳推理：由特殊到一般类比推理：由特殊到特殊；演绎推理：由一般到特殊.③ 提问：观察上面导入的表格，它们都由几部分组成，各部分有什么特点？２．“三段论”是演绎推理的一般模式；包括 ⑴大前提---已知的一般原理； ⑵小前提---所研究的特殊情况； ⑶结论-----据一般原理，对特殊情况做出的判断．三段论的基本格式M —P （M 是P ）（大前提） S —M （S 是M ）（小前提） S —P （S 是P ）（结论）3.三段论推理的依据,用集合的观点来理解:如图若集合M 的所有元素都具有性质P,S 是M 的一个子集,那么S 中所有元素也都具有性质P. ④ 举例：举出一些用“三段论”推理的例子. 2.例题探析：21.1y x x =++例把“函数的图象是一条抛物线”恢复成完全三段论。

高三数学一轮复习精品教案2：合情推理与演绎推理教学设计

7.4 合情推理与演绎推理『知识梳理』一、教学目标能用归纳和类比等方法进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用；掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单的推理；了解合情推理和演绎推理的联系和区别．二、合情推理归纳推理类比推理定义由某类事物的具有某些特征，推出该类事物的都具有这些特征的推理，或者由概括出的推理由两类对象具有和其中一类对象的推出另一类对象也具有这些特征的推理特点由到、由到的推理由到的推理一般步骤(1)通过观察个别情况发现某些相同性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确的一般性命题(猜想)(1)找出两类事物之间的相似性或一致性；(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)三、演绎推理1．定义：从出发，推出下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．2．特点：演绎推理是由的推理．3．模式：三段论．“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：“三段论”的结构①大前提—已知的；②小前提—所研究的特殊情况；③结论—根据一般原理，对做出的判断“三段论”的表示①大前提—M是P；③小前提—S是M；④结论—4.合情推理主要包括归纳推理和类比推理，合情推理具有猜测和发现结论，探索和提供思路的作用．合情推理的结论可能为真，也可能为假，结论的正确性有待于进一步的证明．5．应用三段论解决问题时，应首先明确什么是大前提，什么是小前提，如果大前提、小前提与推理形式是正确的，结论必定是正确的．如果大前提错误，尽管推理形式是正确的，所得结论也是错误的．考点一归纳推理典题导入『例1』已知函数f(x)＝xx＋2(x＞0)．如下定义一列函数：f1(x)＝f(x)，f2(x)＝f(f1(x))，f3(x)＝f(f2(x))，…，f n(x)＝f(f n－1(x))，…，n∈N*，那么由归纳推理可得函数f n(x)的解析式是f n(x)＝________.由题悟法1．归纳是依据特殊现象推断出一般现象，因而由归纳所得的结论超越了前提所包含的范围．2．归纳的前提是特殊的情况，所以归纳是立足于观察、经验或试验的基础之上的．『注意』归纳推理所得结论未必正确，有待进一步证明，但对数学结论和科学的发现很有用．以题试法1．将正奇数按如图所示的规律排列，则第21行从左向右的第5个数为()135791113151719212325272931………A．809B．852C．786 D．893考点二类比推理典题导入『例2』在平面几何里，有“若△ABC的三边长分别为a，b，c内切圆半径为r，则三角形面积为S△ABC＝12(a＋b＋c)r”，拓展到空间，类比上述结论，“若四面体ABCD 的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球的半径为r，则四面体的体积为________________”．由题悟法1．类比推理是由特殊到特殊的推理，命题有其特点和求解规律，可以从以下几个方面考虑类比：类比定义、类比性质、类比方法、类比结构．2．类比推理的一般步骤：(1)找出两类事物之间的相似性或一致性；(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．以题试法2．若{a n }是等差数列，m 、n 、p 是互不相等的正整数，则有：(m －n )a p ＋(n －p )a m ＋(p －m )a n ＝0，类比上述性质，相应地，对等比数列{b n }，有__________________．考点三演绎推理典题导入『例3』数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2n S n(n ∈N *)．证明：(1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列；(2)S n ＋1＝4a n .由题悟法演绎推理是从一般到特殊的推理，其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略．以题试法3.如图所示，D ，E ，F 分别是BC ，CA ，AB 上的点，∠BFD ＝∠A ，且DE ∥BA .求证：ED ＝AF (要求注明每一步推理的大前提、小前提和结论，并最终把推理过程用简略的形式表示出来)．答案『知识梳理』二、归纳推理类比推理定义由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理由两类对象具有类似特征和其中一类对象的某些已知特征推出另一类对象也具有这些特征的推理特点由部分到整体、由个别到一般的推理由特殊到特殊的推理一般步骤(1)通过观察个别情况发现某些相同性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确的一般性命题(猜想)(1)找出两类事物之间的相似性或一致性；(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)三、1．一般性的原理某个特殊情况2．一般到特殊3．“三段论”的结构①大前提—已知的一般原理；②小前提—所研究的特殊情况；③结论—根据一般原理，对特殊情况做出的判断“三段论”的表示①大前提—M是P；②小前提—S是M；③结论—S是P『例1』『解析』依题意得，f1(x)＝xx＋2，f2(x)＝xx＋2xx＋2＋2＝x3x＋4＝x22－1x＋22，f3(x)＝x3x＋4x3x＋4＋2＝x7x＋8＝x23－1x＋23，…，由此归纳可得f n(x)＝x2n－1x＋2n(x＞0)．『答案』 x2n －1x ＋2n(x ＞0)1．『解析』选A 前20行共有正奇数1＋3＋5＋…＋39＝202＝400个，则第21行从左向右的第5个数是第405个正奇数，所以这个数是2×405－1＝809.『例2』『解析』三角形的面积类比为四面体的体积，三角形的边长类比为四面体四个面的面积，内切圆半径类比为内切球的半径．二维图形中12类比为三维图形中的13，得V四面体ABCD＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r . 『答案』 V 四面体ABCD ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r2．『解析』设{b n }的首项为b 1，公比为q ，则b m －n p ·b n －p m ·b p－mn＝(b 1q p －1)m －n ·(b 1q m －1)n －p ·(b 1q n －1)p－m＝b 01·q 0＝1.『答案』b m －n p·b n －p m ·b p －mn ＝1『例3』『解析』 (1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2n S n ，∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n . 故S n ＋1n ＋1＝2·S nn ，(小前提)故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以2为公比，1为首项的等比数列．(结论)(大前提是等比数列的定义，这里省略了) (2)由(1)可知S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2)， ∴S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1＝4a n (n ≥2)．(小前提)又∵a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，(小前提) ∴对于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .(结论)3.证明：(1)同位角相等，两条直线平行，(大前提) ∠BFD 与∠A 是同位角，且∠BFD ＝∠A ，(小前提)所以DF ∥EA .(结论)(2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形，(大前提) DE ∥BA 且DF ∥EA ，(小前提)所以四边形AFDE 为平行四边形．(结论) (3)平行四边形的对边相等，(大前提) ED 和AF 为平行四边形的对边，(小前提) 所以ED ＝AF .(结论) 上面的证明可简略地写成：⎭⎪⎬⎪⎫∠BFD ＝∠A ⇒DF ∥EA DE ∥BA ⇒四边形AFDE 是平行四边形⇒ED ＝AF .。

高三数学一轮复习精品学案3：§13.1 合情推理与演绎推理

§13.1 合情推理与演绎推理高考解读知识梳理1．合情推理(1)归纳推理①定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的都具有这些特征的推理，或者由个别的事实概括出一般结论的推理．②特点：是由到、由到的推理．(2)类比推理①定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有的推理．②特点：是由到的推理．2．演绎推理(1)演绎推理从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由到的推理．(2)“三段论”是演绎推理的一般模式①大前提——已知的.②小前提——所研究的.③结论——根据一般原理，对做出的判断．对点检测1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．(1)归纳推理与类比推理都是由特殊到一般的推理．()(2)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．()(3)“所有3的倍数都是9的倍数，若数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．()(4)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．()2．命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是()A．使用了归纳推理B．使用了类比推理C．使用了“三段论”，但推理形式错误D．使用了“三段论”，但小前提错误3．数列2,5,11,20，x,47，…中的x＝()A．28B．32C．33D．274．给出下列三个类比结论：①(ab)n＝a n b n与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝a n＋b n；②log a(xy)＝log a x＋log a y与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sin αsin β；③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2与(a＋b)2类比，则有(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.其中结论正确的个数是()A．0B．1C．2D．35．观察下列不等式：1＋122＜3 2，1＋122＋132＜53，1＋122＋132＋142＜74，…按此规律，第五个不等式为___________________________.板块二考法拓展·题型解码考法精讲考法一类比推理归纳总结(1)进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行对比，提出猜想．其中找到合适的类比对象是解题的关键．(2)类比推理常见的情形有：平面与空间类比、低维与高维的类比、等差与等比数列类比、运算类比(加与乘、乘与乘方、减与除、除与开方)、数的运算与向量运算类比、圆锥曲线间的类比等．例1 (1)若数列{}a n 是等差数列，则数列{}b n ⎝⎛⎭⎫b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n 也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{}c n 是等比数列，且{}d n 也是等比数列，则d n 的表达式应为( ) A ．d n ＝c 1＋c 2＋…＋c nnB ．d n ＝c 1·c 2·…·c nnC ．d n ＝n c n1＋c n 2＋…＋c n nnD ．d n ＝nc 1·c 2·…·c n(2)在平面几何中：△ABC 的∠C 内角平分线CE 分AB 所成线段的比为AC BC ＝AEBE .把这个结论类比到空间：在三棱锥A －BCD 中(如图)，平面DEC 平分二面角A －CD －B ，且与AB 相交于E ，则得到类比的结论是____________.考法二归纳推理解题技巧归纳推理中几种问题的处理技巧(1)与等式或不等式“共舞”问题．观察所给的几个等式或不等式两边式子的特点，注意是纵向看，发现隐含的规律．(2)与数列“牵手”问题．先求出几个特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所含的范围，从而由特殊的结论推广到一般结论．(3)与图形变化“相融”问题．合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性．例2 观察下列等式： 12＝1； 12－22＝－3； 12－22＋32＝6； 12－22＋32－42＝－10； …依此规律，第n 个等式可为_________________________.例3 观察下列的图形中小正方形的个数，则第6个图中有____________个小正方形．例4 观察下列等式：⎝⎛⎭⎫sin π3－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π3－2＝43×1×2； ⎝⎛⎭⎫sin π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 4π5－2＝43×2×3； ⎝⎛⎭⎫sin π7－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π7－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π7－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 6π7－2＝43×3×4； ⎝⎛⎭⎫sin π9－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π9－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π9－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 8π9－2＝43×4×5； … 照此规律，⎝⎛⎭⎫sin π2n ＋1－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π2n ＋1－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π2n ＋1－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 2n π2n ＋1－2＝___________. 考法三演绎推理归纳总结演绎推理是从一般到特殊的推理；其一般形式是三段论，应用三段论解决问题，应当首先明确什么是大前提和小前提，若前提是显然的，则可以省略．例5 数列{}a n 的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2n·S n (n ∈N *)，证明：(1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列；(2)S n ＋1＝4a n . 递进题组1．从1开始的自然数按如图所示的规则排列，现有一个三角形框架在图中上下或左右移动，使每次恰有九个数在此三角形内，则这九个数的和可以为( )A ．2 011B ．2 012C ．2 013D ．2 0142．已知12＝16×1×2×3,12＋22＝16×2×3×5,12＋22＋32＝16×3×4×7,12＋22＋32＋42＝16×4×5×9，则12＋22＋…＋n 2＝___________________________(其中n ∈N *)．3．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示，按照下面的规律，第n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为________________.…4．若f (a ＋b )＝f (a )f (b )(a ，b ∈N *)，且f (1)＝2，则f (2)f (1)＋f (4)f (3)＋…＋f (2 018)f (2 017)＝ .板块三考卷送检·易错警示易错点类比不当错因分析：从平面类比到空间时，缺乏对对应特点的分析，无法得到正确结论．例在Rt △ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D ，求证：1AD 2＝1AB 2＋1AC2，那么在四面体A －BCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由．跟踪训练在等差数列{a n }中，若a 10＝0，则有等式a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (n <19，n ∈N *)成立．类比上述性质，相应地：在等比数列{b n }中，若b 9＝1，则有等式______________________________________成立．——★ 参考答案 ★——板块一考点清单·课前查漏知识梳理 1．(1)①全部对象②部分整体个别一般 (2)①这些特征 ②特殊特殊 2．(1)一般特殊 (2)①一般原理 ②特殊情况 ③特殊情况对点检测1．『答案』(1)× (2)× (3)√ (4)×『解析』 (1)错误．归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理；类比推理是由特殊到特殊的推理．(2)错误．平面中的三角形与空间中的四面体作为类比对象较为合适． (3)正确．因为大前提错误，所以结论错误．(4)错误．演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确时，得到的结论一定正确． 2．『答案』 C『解析』由条件知使用了三段论，但推理形式是错误的． 3．『答案』B『解析』由5－2＝3,11－5＝6,20－11＝9. 则x －20＝12，因此x ＝32. 4．『答案』B 『解析』只有③正确．5．『答案』1＋122＋132＋142＋152＋162<116『解析』观察得出规律，左边为项数个连续自然数平方的倒数和，右边为项数的2倍减1的差除以项数，即1＋122＋132＋142＋152＋…＋1n 2<2n －1n (n ∈N *，n ≥2)，所以第五个不等式为1＋122＋132＋142＋152＋162<116.板块二考法拓展·题型解码考法精讲考法一类比推理例1 『答案』(1) D (2)AE EB ＝S △ACDS △BCD『解析』 (1)若{a n }是等差数列，则a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋n (n －1)2d ，∴b n ＝a 1＋(n －1)2d ＝d2n ＋a 1－d 2，即{b n }为等差数列；若{c n }是等比数列，则c 1·c 2·…·c n ＝c n 1·q 1＋2＋…＋(n －1)＝c n 1·q n (n －1)2， ∴d n ＝nc 1·c 2·…·c n ＝c 1·q n －12，即{d n }为等比数列，故选D ．(2)由平面中线段的比转化为空间中面积的比可得AE EB ＝S △ACDS △BCD .考法二归纳推理例2 『答案』_12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1·n (n ＋1)2『解析』第n 个等式的左边第n 项应是(－1)n ＋1n 2，右边数的绝对值为1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2，故有12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1·n (n ＋1)2.例3 『答案』28『解析』第1～5个图形中分别有3,6,10,15,21个小正方形，它们分别为1＋2,1＋2＋3,1＋2＋3＋4,1＋2＋3＋4＋5,1＋2＋3＋4＋5＋6，因此a n ＝1＋2＋3＋…＋(n ＋1)．故a 6＝1＋2＋3＋…＋7＝7(1＋7)2＝28，即第6个图中有28个小正方形．例4 『答案』43n (n ＋1)『解析』通过观察已给出等式的特点，可知等式右边的43是个固定数，43后面第一个数是等式左边最后一个数括号内角度值分子中π的系数的一半，43后面第二个数是第一个数的下一个自然数，所以，所求结果为43×n ×(n ＋1)，即43n (n ＋1)．考法三演绎推理例5 证明：(1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2n S n ，∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n ， ∴S n ＋1n ＋1＝2·S n n ，又S 11＝1≠0，(小前提)故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以1为首项，2为公比的等比数列．(结论) (2)由(1)可知S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2)， ∴S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1＝4a n (n ≥2)，(小前提)又a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，(小前提)∴对于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .(结论) 递进题组 1．『答案』B『解析』根据题图所示的规则排列，设最上层的一个数为a ∈N *，则第二层的三个数为a ＋7，a ＋8，a ＋9，第三层的五个数a ＋14，a ＋15，a ＋16，a ＋17，a ＋18，这9个数之和为a ＋3a ＋24＋5a ＋80＝9a ＋104.由9a ＋104＝2 012，得a ＝212，是自然数，故选B ． 2．『答案』16n (n ＋1)(2n ＋1)(n ∈N *)『解析』根据题意可归纳出12＋22＋…＋n 2＝16n (n ＋1)(2n ＋1)，下面给出证明：(k ＋1)3－k 3＝3k 2＋3k ＋1，则23－13＝3×12＋3×1＋1,33－23＝3×22＋3×2＋1，…，(n ＋1)3－n 3＝3n 2＋3n ＋1，累加得(n ＋1)3－13＝3(12＋22＋…＋n 2)＋3(1＋2＋…＋n )＋n ，整理得12＋22＋…＋n 2＝16n (n ＋1)(2n ＋1)，故填16n (n ＋1)(2n ＋1)．3．『答案』6n ＋2『解析』由题意知，图②的火柴棒比①的多6根，图③的火柴棒比图②的多6根，而图①的火柴棒的根数为2＋6，∴第n 条小鱼需要(2＋6n )根． 4．『答案』2 018 『解析』利用三段论．因为f (a ＋b )＝f (a )f (b )(a ，b ∈N *)，(大前提) 令b ＝1，则f (a ＋1)f (a )＝f (1)＝2，(小前提)所以f (2)f (1)＝f (4)f (3)＝…＝f (2 018)f (2 017)＝2.(结论)所以原式＝＝2 018.板块三考卷送检·易错警示例解：如图(1)所示，由射影定理知AD 2＝BD ·DC ，AB 2＝BD ·BC ，AC 2＝BC ·DC ， ∴1AD 2＝1BD ·DC＝BC 2BD ·BC ·DC ·BC ＝BC 2AB 2·AC 2. 又BC 2＝AB 2＋AC 2，∴1AD 2＝AB 2＋AC 2AB 2·AC 2＝1AB 2＋1AC 2，∴1AD2＝1AB2＋1AC2.四面体A－BCD中，AB，AC，AD两两垂直，AE⊥平面BCD于E，则1AE2＝1AB2＋1AC2＋1AD2.证明如下：如图(2)，连接BE交CD于F，连接AF.∵AB⊥AC，AB⊥AD，∴AB⊥平面ACD．而AF⊂平面ACD，∴AB⊥AF.在Rt△ABF中，AE⊥BF，∴1AE2＝1AB2＋1AF2.在Rt△ACD中，AF⊥CD，1AF2＝1AC2＋1AD2.∴1AE2＝1AB2＋1AC2＋1AD2.跟踪训练『答案』b1·b2·…·b n＝b1·b2·…·b17－n(n<17，n∈N*)『解析』在等差数列{a n}中，由a10＝0，得：a1＋a19＝a2＋a18＝…＝a n＋a20－n＝a n＋1＋a19－n＝2a10＝0，∴S19＝a1＋a2＋…＋a n＋…＋a19＝0(n<19)，即a1＋a2＋…＋a n＝－a19－a18－…－a n＋1，又∵a1＝－a19，a2＝－a18，…，a19－n＝－a n＋1，∴a1＋a2＋…＋a n＝－a19－a18－…－a n＋1＝a1＋a2＋…＋a19－n.若a9＝0，同理a1＋a2＋…＋a n＝a1＋a2＋…＋a17－n(n<17)．在等比数列{b n}中，b1·b2·…·b n＝b1·b2·…·b17－n(n<17，n∈N*)。