一道竞赛题的解法思考

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一道预赛题解法的探究--例谈“小题大做”

：
贝０Ｘ＋ｚ＝，Ｘ＋ｚ一＝０，
Ｙ・Ｙ
可看作是直角坐标系０一ＸＺ下的一条直线方程．因为方程ｘ＋ｚ＝１一Ｙ和方程＋ｚ一：０组成
Ｙ
２（１＿ｙ２）＜２（
）ｚ：１
∑（＋２１－Ｉ，）的最大值为．
１＝１， ≠
同理得Ｙ ≥ ３ｙ￣３１２一２４；ｚ３ｚ￣３１２一２４．
三式相力 Ⅱ 得＋Ｙ＋ｚ ≥ ３￣３１２（＋Ｙ＋ｚ）一７２，
当且仅当＝Ｙ＝ｚ＝ｌ２，不等式取等号．
即当且仅当ａ＝ｂ＝ｃ＝２时不等式取等号，
所以的最大值为３￣３／１２．
由琴生不等式，得＝ ∑ｆ（ａ＋２兀，）
Ｊ＝ｌｉ．ｋ ≠ｌ
从以上的解法中，不能将这一竞赛题作出推广．
视角下给出这道题的多种解法，以飨读者．２题目
在平时的学习中，如果遇到填空题等小题时，
调动所学知识，认真审视小题，精彩解法就会像雨后春笋一样涌现出来．本文把２０１２年全国高中数学联赛甘肃预赛试卷填空题第８题“ 小题大做” ，在不同
９４
福建中学数学
２０１４年第１、２期
三元均值不等式处理．
解法５注意到等号成立的条件配上数字，
命题２已知＞０且∑ａ，＝Ａ，０ ≤ ｍｌ，则Ｓ＝

数学竞赛中的解题策略与技巧

数学竞赛中的解题策略与技巧教案：数学竞赛中的解题策略与技巧引言：数学竞赛作为一项智力竞赛活动，对学生的逻辑思维和问题解决能力提出了很高的要求。

为了取得好成绩，学生需要掌握一些解题策略和技巧。

本教案将介绍数学竞赛中的解题策略与技巧，并且通过具体的例子来说明。

一、寻找数学问题的关键点在解决数学问题时，首先要确定问题的关键点。

关键点是指问题中起决定作用的因素或条件。

通过找出关键点，可以将问题简化，从而更容易找到解题思路。

例如，对于一个几何问题，关键点可以是“等边三角形”、“垂直平分线”等。

通过找出这些关键点，可以更好地理解问题，进而解决问题。

二、运用归纳和演绎法归纳和演绎法是数学思维中重要的方法。

归纳法是通过观察已知的特例或模式，得出一般性规律。

演绎法则是根据已知的一般规律，得出特定情况的结论。

例如，在数列问题中，可以通过观察前几项的差值或比值，猜测数列的通项公式。

然后再通过演绎法验证所猜测的公式是否正确。

三、灵活运用数学定理与公式数学定理与公式是解决问题的有力工具。

学生应该熟练掌握一些常用的数学定理与公式，并能够灵活运用。

例如，在解决三角函数问题时，学生需要熟悉三角函数的性质和基本公式，运用它们来求解问题。

四、锻炼逻辑推理能力逻辑推理是解决数学问题的重要方法之一。

通过锻炼逻辑推理能力，学生可以更好地理解问题，找到解决问题的方法和策略。

例如，在解决逻辑推理问题时，学生需要注意提取问题中的信息，运用已有的知识和条件进行推理。

通过不断练习和思考，可以提高逻辑推理能力。

五、学会分析问题的多种解法对于同一个问题，可能存在多种解法。

学生需要学会分析不同的解法，并选用最合适的解法。

通过多种解法的比较和分析，可以提高问题解决的效率和质量。

例如，在解决方程问题时，可以采用因式分解法、配方法、二次根式法等多种方法。

学生可以根据具体情况选择不同的方法。

六、注重反思与总结在完成一道题目后，学生应该进行反思和总结。

通过反思和总结，可以发现解题过程中的不足和问题，进一步提升解题能力。

一道竞赛题精彩解法的探究

＋
．
Ｙ
— —
ｓｉｎ（￣一０）＋ｓｉｎ０
２０１３年第１１期
数学教学
１１ — ２９
）
１
（２）按本解法不难得到一１ ≤（ｘ＋ｙ）ＣＯＳ ≤
，ｎ
ｆ
１，一１ ≤ （ｘ－ｙ）ｓｉｎ ≤１，即（＋）ｉ＝一 — －二＿，
得Ｙ：＿ｓｉｎ０
，
（０ ∈［０，），所以５－５．Ｏ＝ｘｂ－￣２＋（＝）・（＝），
即
ｉｎ０ｓｑｏｓ：ｃ。ｓ０一 — ｃｏ
—
＿
．
故
Ｓｉｎ
ｓｉｎ
＋ＹＣＯＳ＝ＣＯＳ０． …………………一 ①
解法３：依题意要使Ｘ＋Ｙ有最大值，则Ｘ＞０，Ｙ＞０，故点必在劣弧ＡＢ上．如图２，以点０为原点，（＝）方向为Ｘ轴正方向建立平
面直角坐标系，并设＜ＯＡ，ＯＣ＞＝０，（０∈
［０，】），则Ａ（１，０）、Ｂ（ＣＯＳ、ｓｉｎ）（ｃｏｓ、
ｓｉｎ）．故（ＣＯＳ０，ｓｉｎ０）＝０Ｃ＝ｘＯＡ＋ｙＯＢ＝
Ｘ（１，０）＋（ＣＯＳ，ｓｉｎ）＝（＋ＹＣＯＳ，Ｙｓｉｎ），所以Ｘ＋ＹＣＯＳ＝ＣＯＳ０，Ｙｓｉｎ＝ｓｉｎ，解
，、

由一道数学竞赛题的多种解法反思数学教学

难度就大了，尤其对三部分球体组成一个整球，
对想象能力的要求就更高了．其实，￣ＡＡ７ＢＣ
是否正三角形，三个顶点处的三部分球体总组成
一
的考查功能要大打折扣．看似变化不大，试题功
能已面目全非．．另外，对以上三类试题的条件进行开放性设计，可以形成一系列开放性的探究型试题．们我将另行撰文详述，者不妨尝试为之．读
所以，Ｑ点所能到达的空间区域的最大体积中．如例３曲线、旋转轴、几何体、放置方中，
为簟＋孥＋７ —－１．４ｖ＋￣一：３５７１／— ＂
一三形域个角区
一
２
２
３
６
法，加殊制必涉微分例中等不特限，定及积；５的
ＢＯ：ＯＣ，可知ＢＰＣ为平行四边形， ∥ ＮＢＰ
ＡＣ．Ｐ＝ＣＮ＝３Ｂ．
Ａ
点，点、Ⅳ分别在边Ｂ、ＡＣ上，且Ｍ＝６，
Ｍ＝４Ｂ，ＡＮ：４，ＮＣ＝３ＭｏＮ＝９，０
４
Ｂ
Ｐ
图２
ＢｏＣ
连结Ｐ，因为点Ｍ在 ⅣＰ的垂直平分线
谓的解析法．有了坐标可以借助向量来解决问题
…
．
当堑角会据知垂莫来：常根已的直系建直坐系将角题萋标，三问薹
…
建面为坐原，ｃ在线曼平直坐标点所直为立角标
系，于是有
（，）０７般
② 分以ＡＢ、
Ｂ、
③ ：Ｕ、Ｂ、为球心，半径的部￣１ＡＡ）１

一道物理竞赛试题的解法探析

好是Ｌ刚开始显示绿色的时刻，此汽车能不。则停顿地通过三盏信号灯的最速率是大
一
ｆ／可／ｓ ≤８ｓ８ ≤ ｍｍ
，
ｌ／ ≤ ≤ ２ｓ昔ｍｓｍ／
则导ｍｓ／ ≤ ≤ ２ｓｍ／
ｍ／。一辆匀速向前行驶的自行车通过ｓ若
原题（２届预赛试题）一条笔直的公第５在
路上依次设置三盏交通信号灯Ｌ、：和，ＬＬ：
与Ｌ相距为８ｍ，￣Ｌ相距为１０每盏信ｌ０Ｌ与ｌ２ｍ，号灯显示绿色的时间间隔都是２ｓ显示红色的０，时间间隔都是４ｓＬ０，与Ｌ同时显示绿色时，。３Ｌ则在Ｌ显示红色经历１ｓ开始显示绿色。。０时规定
之美。
…
ｊｍ６２、锹ｆ一０属于自然数）１（６ｏｍ属丁目０：ｏ＼＜ｆ
３０６ｍ０Ｉ０ｎ一４６０、３
－ — —
。。。。
解ｆ一ｌ３｛：３｛一３得｛２｛＝一５１ｆ２ｆ４ｆ一ｎ研，，扎，ｒ，：一
一
Ｖｏ１２Ｎｏ３６．８．７
（）Ｓ４０１．２０．３６．
物
理
教
学
探
讨
第２８卷总第３６７期
２１００年第４期（半月）上
（０６ｋ一４）、 … ；０Ｓ…
“ 图”在物理学中有着十分重要的地位，它是将抽象的物理问题直观化、象化的最佳工形具。利用图像来表达和分析物理问题是一种很重

一道小学数学竞赛试题答案的探索

●
。
．
解题技巧与方法
●
镪
●．ｌ－， ●
●
◎ 朱正梅（四川省泸州市江阳区况场实验学校６６０）４００
在一次教研会后．有老师出示某名校的一
，，
张小学数学竞赛试卷．说其中有一道填空题不知道该怎样做，苦思不
ａｃｉ一１８）ｒｓｎ０．
）
牛角尖也许是一种科研精神．益求精虽然是个好东西，精但是在小学阶段过分追求，者对禁锢思维能力的发展有某种或
作用力也未可知矣．
上述解法中的解法～带有使用割补法性质的估算，它对展开思维能力有一定意义．法四带有运动思维能力的性解质，它对展开思维能力的意义会更深远一些．以，所在小学阶段用适当的方式渗透一点 “ 直代曲 ” 思想，许是有一定以的或
』、／
』。３（
叮ｒ２５．３
＝ａｉ争／＋手ｒ＋、ｃｓｎｃ
一）Ｊ４ｘｄ —
叮ｒ，
得阴影部分的面积是：
如（号＋＝等一ｉ
形的边ＡＨ相切于点Ａ．样，弧Ａｍ的圆心就应该在Ａ０这Ｃ的延长线上．设Ｃ的垂直平分线Ｄ交Ａ的延长线于点再Ｅ０
Ｅ．为垂足．Ｄ则点Ｅ就应该是弧ＡｍＣ的圆心．因为Ｒ △ＡＣｔＯ相似于Ｒ △ＡＥ．由勾股定理可得Ａ＝５连接Ｃ显然ｔＤ并Ｅ．Ｅ，

一道竞赛题的解法探究

问２ ∈’，足题：设（１满 ≯ ＋ｊ－０）、／２，＇
求ｘｙ的最大值．很显然，由于条件等式变得简单一些，因此求解本题较为
容易．解法１由题设及均值不等式，得：
一
、
题目与已有解法的评析
２００８年中国西部数学奥林匹克第６题如下（为问题Ｉ．记）
Ｙ
＋
：＋一
Ｙ
由＞，于ｔ０故有４一 ≤０得ｔ４ｔ３，即《｝．
（＋ ≤ ｝２则不要的果争）＋一，得到求结．
所 ≤｝吾，号且当＝＝＝时以（）：等当仅，：｝，
成立．
解３、＝、＝法：／。／６令，，
且有１＝ ③，１Ｙ一ｕ一＝
＋Ｙ一（＋＋：）＋。
＝
④，１Ｚｔ ⑤ ，一－ｌ＝Ｊ
给③④⑤各式分别乘以、Ｙ之后，再相加得、
（＋加）ｙＭ＋。ｘｚ
ｕ＋￣ｚ＋ｗ）ｙｘ
即得（６）（ｂ＋１（Ｙ＋２＝０ｎ —１［ａ）＋）］，
内部结构入手，借助减元策略，先使复杂问题简单化处理，然后从中找出某种规律，再利用学生比较熟悉的方法，使问题得
二、降低难度，寻找多解途径
从上述解法可知，对条件等式的处理，是解决问题的关键．
Ｎ００Ｏ２１９
ＪｕｌｏｈｎｓｔｅｔｓＥｕａｉｎｏｍａｆＣｉｅｅＭａｈｍａｉｄｃｔｃｏ

一道竞赛题引起的思考

～
座金桥．良好的联想能力能很快使你从凼惑走向
光明．
＝
Ｆ：）两式相除，．Ａ（，Ｇ
所以ＤＭ：ＦＮ＝ＤＰ：ＥＧ，又ＡＯＤＦ ∽
所ＨＯＥ所下面是我在数学学习中的一点想法，出来与同ＡＯＧＥ，以ＤＦ：；；Ｆ：Ｏ＝ＭＰ：ＮＰ，以写
／ＯＳｊ＝９。Ｂｌ０．Ｒ＝ＩＳＯ＝０１．所以Ｋ．ＢＪ
ｌ
２。＝７。因为Ｉ、ｑ是ｏ（的切线．所以ＯＲ０Ｏ．ＪＩＲＬ）Ｂ
：
ＲｉＯａＲＢ
ＲｔＯＳａＢ．所以ｌ＝
２＝ ÷ ×
Ｐ
／Ｒ＂＝３。Ｏｔ５．同理３＝Ｚ４＝３。５
数学竞赛题之一，也是爱
尔兰２０年第ｌ届数学０１４奥林匹克试题之～，已现
被许多资料收录．本题证明的一般方法有三种：Ｒ种是过Ｄ、分别别ｆＥ１ＭＰＮ
ＮＤＭ、Ｎ分别交Ｂ（于Ｆ，，ＤＭＥＥ、Ｇ则好数学的必备素质，良好的联想能力既能表现出一个别为Ｍ、，／Ａ／Ｎ所Ｍ．Ｆ．０Ｅ．Ｐ人的思维灵活，思维敏捷，往往是数学解题成功的／Ｐ／Ｅ，以Ｄ：：Ｄ：４，Ｎ：４又
维普资讯
《中学数学杂志（中）２０初０２年第２期
Ｒ（：１０，以．）：４￣所４１（３

一道竞赛题的解法探究

＝５，
・
’ ．
直线＝一了＋４４与
＼． ’
Ｂ
＼
解得ｍ＝妻，
・
轴，Ｙ轴的交点分别为Ａ３０，（，）
Ｂ（，）０４，
・
．
．
Ｃ标为（，．的坐０要）
．
．
Ａ＝Ａ＝￣Ｏ：Ｂ。Ｂ／Ａ＋Ｄ廖
０
、
ｊ
：
５．
－．．
ＥＲ：
一４．
・
．
．
ｓ ÷ × ＝２８．一＝衄职攀一．１＋５／
相似）方程及函数等知识求解，要时从动手操作中寻、必找答案，从而找到解决问题的突破口．
（收稿日期：００８４２１０１）
．
．
．ＳＦ一１＋ｓＡ－（一ｘ８删一Ｅ筝２Ｒ￣
．
／
ｌ
．
．
Ｄ
图５
＼＼
－
ｃ的坐标为（，０３）
．
将Ａ，Ｅ的坐标代入Ｙ＝
＋ｂ得
．
将Ａ，ｃ的坐标代入ｙ＋６：
ｒ
０：３ｋ＋ｂ，
得【，．｛・３．
．
ＡＡＢ＝Ｂ＝￣Ｏ：０￣＝，ＣＯ：，０Ｂ＝／Ａ＋ｔ５设Ｄ＝Ｃｎ贝Ｃ
易求，只要求出ＡＣ上另外一点，如点ｃ的坐标，用待定系数法将ＡＣ代入一次函数的一般形式即可求出直线，
ＡＣ的解析式．
４一ｎ．
‘ ．
・

一道经典竞赛题的简捷解法

控制运动的画面，以让学生从画面上真切看到，可平
抛运动和自由落体运动的关系．这样学生的主动性就得到了提高，中的疑虑也消失了．心对这节课理解
也增进了．物理课的教学是以实物演示为基础的，如我正
柱形铅笔放在斜面上，斜面倾角ａ＝４￣铅笔棱０，与水平方向成０角，笔铅
静止，问：试图１
笔＋黑板 ” 改为现在的“ ，多媒体＋计算机” 学生对．从屏幕上看到的画面可能会产生兴趣，是学生光但顾看热闹了，所讲的知识也如浮光掠影一闪而过．因
要合理去运用，样才能够在极大程度上发挥多媒这
该题是一道经典的竞赛题，为多种版本竞赛辅导书收录．的第一问较为简单，论的是滑动问它讨
题，解决第二个问题的前提，是不再赘述．二问较第难，讨论的是转动问题，它参考书上给出的解题思路为：当恰好要翻转的时候，斜面对棱柱的支持力全部集中在翻转时作为轴的棱上，触面弹力的力矩为接
为学生还是跟着老师的思维走，自己没有参与进来，这和现在提倡的以学生为主，师为辅的思想是背教
道而驰的．
（）笔与斜面之间的静摩擦因数至少为多１铅
大？
（）２０角至少多大？
以上说法并不否定多媒体教学的优越性，过不

一道竞赛习题的解法探究

解
ｙ４．ｘ＋３￣最大＝ｘ８２ｙ有
．
— —
分析解此题的关键是消去条件式中的项．解法１引入参数￡因．ｘ：ｘＹ ≤ ｙｔ．
ｚ一）２＋去ｎ（ ≤ ｓ
评将析３
，
。（＿变Ｊ为１２＋
恿目若３锄ｘ３２，８Ｚ２ｙ的Ｏ则ｘ３２＋
上
ｔ，
一一
狄
使
问
题
获
最大值是
再用本等，得（）运基不式而到一／从＼・３詈
而要求的是８２ｙ最大值．令＋３￣故
故当且仅
极
值１Ｑ真６巧炒
解法６设＋３ｓ则ｓ３￣ｘ＋２＝，（ｘ－ｙ
由：２３２，３２３＋ — ０得＋
３＝０（ｘ＋３２，（ｓ－６））２８２ｙ）即３１０ｘ（ｓ４０＝（）３－６）０．
＋（６８）８２一（１ｘ一＋＝・０）≤１０６．故当４－￣，８％２ｙ）ｌ（ｘｙ（ｘ３２６１
、２／３
——ＣＳＯ — Ｏ￣－ｔ
，
１一
２３
３６
３
— ６ｖＶ— 。 — ＝ｌ — ０，３
— ｎｃｓ＋ｎａ２Ｓｏｓ＋：０Ｉ —— ・２＝ＵｉＯ
・
（去）故只需令拄２即可得（— ）舍，，３２＋
８２３

一道竞赛题的解法及其推广研究

因ｘｓ１０且Ｃ２Ｘ０为ｆｉ，Ｏ＇ —ｎｉ＞ＳＩｔＴ＞
＼２／２
… 一
由正弦函数的有界性和均值不等式可得 ≥Fra bibliotek（）１
ｌ２≥ ｓｘｉｎｉ刊
：１ ±
・
・
（）２
所以ｓｉｎ
新的列，：＝２ｌｉ ÷，＝５］ …，＝数即ｂ ÷，＝）ｂ ÷，＝ｂｌｌｂ ÷，＝４ｊｂ ÷，３
原题如下：方程ｘ２ｓ求ｉ一
２
由（）ＩＩＩｉｒ￣１１知ｘ：ｘｎ－＜ｒｘｉ
＋：的所有根．１Ｏ
由２孚＝ｘ＋，ｚ（知詈）＝２ｋ１ｋ
由（）（）ｘ ± １、２得＝１解法二：２ｓｎ＇ｘ＋１０ｘ一ｘｉ一ｒｒ＝
２１ｇ５ｏ￣期考试周１－６刊
，
以
、
一
道竞赛题的解法及其推广研究
哼≯
＝卜
张
梅
魏春强
７５０）２００
（康学院数学系，西安康安陕
１５年全国首次数学竞赛在四个城市举行．当时引起了９６广泛的关注．本文对北京市该次数学竞赛第二试试题中的第七题给出了几种解法，对其进行了推广、究．并研
３数学知识之间的内在联系也体现了数学文化。每个民－２族都有自己的文化，就一定有属于这个文化的数学。照福也按来登塔尔的现实教育思想，学来源于生活，在于现实，数存并且实现于现实．应该从情境出发让学生自己发现数学概念和解决数学方法．正是这种思想是的欧拉在散步的过程中发现了七桥问题，斐波那契在兔子的繁殖问题中发现了斐波那契数列，中国数学强调实用的管理数学，在算法上得到了长而却足的发展，冲之的圆周率计算、辉三角那样的精致计算课祖杨题，可能在中国诞生。数学知识之间的内在联系，得学生只使能够从联系中了解不同的文化背景，正地了解数学文化。真３数学的内在联系可以引导学生积极地反思数学学习。－３数学学习的过程是知识的同化和迁移的过程．反思是同化和迁移的核心步骤，学生通过反思可以挖掘知识之间的内在联系，进知识的同化和迁移．利于帮助学生建立合理的知识促有结构和体系。目前数学教学中最薄弱的环节正是数学的反思性学习这一环节，所谓学之道在于 “ ” 只有学生自己的领正悟，悟才能获得理解．领悟的关键就在于反思。而３把握知识之间的内在联系，以完善认知结构，养．４可培学生数学想象能力和创新思维。学的各个概念、题之间存数命在着各种各样的联系．些内在联系是数学想象的客观基础。这而创新能力的培养．要学生对于给定的数学问题。够在以需能前不相关联的数学思维之间建立起一种联系。能够对学习的新知识进行再发现．已有知识进行独特的应用，够发现问对能题、出问题、于质疑、于发表不同的看法，而找出问题提敢敢从

一道代数竞赛题的不同解法与反思

大值．
Ｓ△ Ｂ≤ Ｓ△ Ｂ．
’ ．．
题目
求函数Ｙ＝
＋，＋ｌ／ —￣４ — ｘ
魏霞老师在《中数学初教与学》扬州大学）０９年（２０
Ｐ・ＰＢ ≤ Ｐｏ・Ｐ０ＡＡＢ．
又‘ ．
・．．
＋ＰＡＰＢ＝Ｂ，船＝ｏ＋０ｚＡ
第３期上撰文介绍了此题的四种代数解法，文通过把本代数语言转换成如图１的几图１何图形语言，出一种直观的几何解法．给
（＋Ｂ ≤（Ａ＋ＰＢＰ）０）．
＋ＰＢ≤ＰｏＡ＋Ｐ１（Ｂ，
。．．
即
‘ ．．
一
等两都以。的积得 ÷：式边除ｂ乘，＋三
２问题的反思
一
± ｌ＝二（：！鱼二二
ｂ（一ｃ）ｃ６
ｂ一ｂｃ一２ｂ＂ｃｃ４－
一 —
反思１解法１以说抓住了本题的条件与待证可结论的特征．什么这样说，为一般来说，出两个条件给等式，第一个想法是肯定要同时用到两个等式的条件，
Ｃ＞０，
ｔ，是正实数，足０ｂｂ十）ｂ＝ｃｃ），ｂｃＴｔ￣满＝（ｃ，（十ｎ，
证明：＋＿１
口０
所以ｎ；＞６同理ｂ＞ｃ
即ｎ＞ｂ＞ｃ＞．０
１
：一
Ｃ
另由。：（＋）所以０＜（＋）ｂｂｃ，口ｂｃ，得０＋，ｂ口＋，＜ｂ显然的．＜ｂｃ而＜ｃｃ口＋是

一道全国初中应用物理竞赛试题的解法探讨

题量多．平时教学中，如果能够做到奥赛试题的一题多解，既可以开拓学生视野，点拨学生思维，又可以较为全面的
培养优秀学生的综合能力．
关键词：全国初中应用物理齿轮比竞赛
２０１２年第２２届全国初中应用物理竞赛试题有
里，根据题意，中平轮每转动一周经过的路程为１
足轮直径：Ｄ一６尺
解法Ｉｌｌ：算出各轮每转动一齿时经过的路程，将复杂的齿轮比转换为单纯的路程计算：
因为中平轮转动一周，车行１里；
解法Ｉ：运用齿轮比算出车行１里，足轮转动的
圈数，从而求出足轮直径：
若下平轮转动一周，立轮和足轮需要转动的圈数为：５４—３圈；
车行一里，则中平轮需转动１圈，旋风轮和下平轮需转动的圈数为：圈；
解法 Ⅱ：受解法工启发：运用齿轮比算出车行３里，足轮转动的圈数，避免了分式（或近似值）运
算，降低解题难度．若下平轮转动一周，立轮和足轮需要转动的圈
图１
数为：５４ — ３圈；
一
８９
—
２０ｌ３年第３期
物理通报
里；
竞赛考试与评价研究
车行３里，贝中平轮需转动３圈，旋风轮和Ｆ平

一类竞赛试题的解法探索与结论推广

（仅｛＝ｉ）２当当且ｌ：＝或。ｆｆ／＝（。Ｏ
时，上面两式取等号）．２ｌ ≤２，即ｌ１． ’ ．ａｌａＩ．
区０２，］上满足１（ ≤ ，ａ的ｆｘ２求ｌ最大值，）Ｉ并写出Ｉ取得最大值时的ａｌ一个函数表达式．
志（
４ｇＰ（— ）
）ｆ厂ＩＩ（（］＋）Ｉ
而
整理得２＝［２一厂１＋１０一厂１，ａｆ（）（］［（）＿））厂（］
’
．．
’ ｆ＝（＝，ｆ（）厂２ｇ－）／）Ｐ厂＝（＝，厂（，）
）
／（
）（＝口
）６
可得厂（＋））２一／（
）下－ｍｚ＝（ｎ）
，
第二步可得一个通式，）厂，一／（＋－ｚ２（（）
）：
．
‘ ＝
（，（
）＋］㈣
一厂
（这也是为什么选择区间的两端点与中点所对应的三个函数值的式子，便可破解这类问题）；
）一ｐ，
），再两边取绝对值，利用绝对值不】
‘ ．
等式的性质，注意到取等条件，问题便可迅速获解．题１的解答￣ｆ（）ｏｏ＝Ｃ，ｆ１＝ａｂｃ，Ｏ（）＋＋
ｆ２＝４＋６Ｃ，（）ａ２＋发现ｆ２＋ｆＯ一ｆＯ＝２（）（）２（）ａ，
）＋ｇ时，取等号．
第一步列出限定区间［的两端点与中点所ｍ，］

求大同,存小异——一类竞赛题的解法探讨

所以 △ＣＥ，Ｂ故ｃＣＣ．Ａｖ △ＣＡ，Ａ＝Ｅ・而．即＋６一６＝（）×１，得Ｉ２＝一ｌＯ舍０解＝，２２＜（
有很多学生是这样思考的：Ａ，设Ｄ＝则依据勾股定
理可用含的代数式表示出ＡＡ然后结合ＬＢＣ已Ｂ，Ｃ，Ａ知，利用余弦定理列方程，而陷入到繁杂的解方程计从
接圆００，长Ａ延Ｄ交００于Ｅ，设
Ａ，Ｅ＝，＜，．Ｄ＝Ｄ，Ｏ＜）则（）
Ｅ，ｘ＞，＞）Ａ，在ＲＡＡＣ中，Ｃ＝，（０Ｙ０则Ｃ＝，），ｔＤ
（）＋西＝６
①
ＹＳ棚：． △ Ｂ．Ｄ：ＣＡ．Ｅ，Ｃ即
个角度对该类型的题的解法进行探试
１构造圆
分析如图５要求，
Ｓ，注意到ＬＢＣ＝ △ Ａ１５，３。可考虑作ＡＢ边上的Ｂ图５
高Ｃ则ＡＣＡ为等腰直Ｅ，Ｅ角三角形．Ａ，Ｅ＝设Ｄ＝Ａ
分析如图３作ＡＡＣ的外，Ｂ
Ｄ
’
这个六边形中小圆点的总数，试求ｙ与的关系式．
ｃ
‘ ・
分析
将问题可转化为求二次函数的解析式，变把．
Ｂ，抛物线向上平移后恰好过求点Ｄ的解析式．分析利用抛物线的对称性
图５
０日 ’
换的图形语言转化为数学语言．每边上小圆点数记为，．．
４９５０ＯＦ：ＢＦ：：５，Ｂ：５Ｏ：ＯＡ，

一道竞赛应用题的两种解法

一道竞赛应用题的两种解法
作者：周奕生
来源：《初中生(二年级)》2003年第08期
在一次数学活动课上，刘老师要求同学们思考一道应用题，看谁做得又快又准．题目如下：
某乡镇小学到县城参观，原计划汽车从县城出发，于上午７时到达学校，立即接师生去县城．由于汽车在途中发生故障，不得不停车修理．学校师生等到７时１０分，仍未见汽车来接，就步行去县城．在行进途中遇到了已经修好的汽车，立即上车赶赴县城，结果比原计划到达县城的时间晚了半小时．如果汽车的速度是步行速度的６倍，问
故ｘ＝８＋３０＝３８（分）．
王维同学这种“设而不求”的解法，构思自然，解答过程也不复杂，赢得了老师和同学们的一致好评．
雨童善于思考．她分析出排除汽车故障所耽搁的时间，除了晚到３０分钟外，还有一部分是汽车少跑了从Ｂ到Ｃ、再从Ｃ到Ｂ这两段路程所省下的时间．因此，要求排除汽车故障所用的时间，关键在于求出汽车从Ｂ到Ｃ一个来回所需的时间．
由于在师生晚到３０分钟中，有１０分钟是因为晚出发造成的，另２０分钟是由于从Ｃ到Ｂ由步行代替乘车而耽误的．由于汽车的速度是步行的６倍，所以，从Ｃ到Ｂ步行需要的时间是汽车所花时间的６倍．设汽车从Ｃ到Ｂ需要ｘ分钟，则步行需要６ｘ分钟．由题意得６ｘ－ｘ＝２０．解得ｘ＝４（分钟）．故汽车从Ｂ到Ｃ，再回到Ｂ需要８分钟．
因此，司机排除故障所用时间为３８分钟．
雨童这种巧妙的解法令所有的同学暗暗称奇．。

高联物理竞赛真题答案解析

高联物理竞赛真题答案解析导言：每年的高联物理竞赛都备受学生们的关注，不仅因为这是一场全国性的重要竞赛，也因为其中的题目往往难度较大，考察的知识面广泛。

本文将对一道典型的高联物理竞赛题目进行解析，希望能够帮助读者更好地理解题目所考核的知识点，提高解题能力。

本文所选择的题目如下：【题目】某学生在上学期物理竞赛中遇到了一道难题，题目如下：已知一点颗粒沿直线运动，将相应的位置-时间图绘制出来，得到的图像如下所示。

根据图像，小明回答了下列问题，请判断小明的回答是否正确。

问题一：在t=2s的时刻，颗粒的位置变化了多少？问题二：在t=3s的时刻，颗粒的速度大小是多少？问题三：在t=4s到t=6s的时间段内，颗粒的速度是恒定的吗？问题四：在t=5s的时刻，颗粒的加速度大小是多少？题目附图:(图像以文字的形式描述，下文详细介绍)【解析】1. 问题一：在t=2s的时刻，颗粒的位置变化了多少？要回答这个问题，我们首先需要确定图像中的位置变化。

由图可知，在t=2s时，颗粒的位置相对于t=0s时的位置发生了变化，变化的距离为10m-5m=5m。

因此，小明的回答是正确的。

2. 问题二：在t=3s的时刻，颗粒的速度大小是多少？首先，我们需要根据图像计算出在t=0s到t=3s的时间段内颗粒的位移。

从图上可以看出，在这个时间段内，颗粒的位置从0m增加到了15m。

换句话说，颗粒在这段时间内的位移为15m-0m=15m。

为了计算出颗粒在t=3s的时刻的速度大小，我们需要使用定义速度的公式：速度=位移/时间。

因此，颗粒在t=3s的时刻的速度大小为15m/3s=5m/s。

所以，小明的回答是正确的。

3. 问题三：在t=4s到t=6s的时间段内，颗粒的速度是恒定的吗？为了回答这个问题，我们需要观察图像。

从图上可以清楚地看到，颗粒的位置-时间图像在这个时间段内呈现一条直线，而且斜率保持不变。

这意味着颗粒在这段时间内的速度是恒定的，因为速度的定义就是位移与时间的比值，而斜率就是定义速度的比值。