第二章_物体的弹性
第二章 物体的弹性
2.体变模量 体变模量(bulk modulus) 体变模量
体变时的弹性模量叫做体变模量，用符号 体变时的弹性模量叫做体变模量，用符号K 表示 体变模量
∆PV0 K =− =− θ ∆V ∆P
式中负号表示体积缩小时， 式中负号表示体积缩小时，压强是增大的 压缩率(compressibility): 压缩率 体变模量的倒数称为压缩率 用符号k 压缩率， 体变模量的倒数称为压缩率，用符号 表示
V −V0 ∆V = θ= V0 V0
∆V >0 时，θ 为正 0 ∆V < 0时，θ 为负
3．切应变（shearing strain） ．切应变（ ）
当一个正方体在一对切向力（剪力） 的作用下， 当一个正方体在一对切向力（剪力）F 的作用下，发生 切向形变，方块的上下底面产生相对位移△ ， 切向形变，方块的上下底面产生相对位移△x，二底面垂 比值△ 称为物体的切应变 剪应变， 切应变或 直距离为d，比值△x/d 称为物体的切应变或剪应变，用 符号γ 表示
F σ= S
物体受到的是压力作用时的应力称为压缩应力或压应力 物体受到的是压力作用时的应力称为压缩应力或压应力 线应变时， 线应变时，内力方向与截面正交 张应力 压应力 正应力
2．体应力（volume stress） ． ）
如果物体（ 各向同性）受到的压强发生变化时， 如果物体 （ 各向同性 ） 受到的压强发生变化时 ， 物体 将发生体应变。体应力用压强的增量△ 来表示。 将发生体应变。体应力用压强的增量△P 来表示。 体应力是压应力。 体应力是压应力。
二、管形弹性腔的力学问题
半径为R 半径为 的弹性管 设单位长度上的弹性膜张力为T， 设单位长度上的弹性膜张力为 ， 选管中任一长为l 选管中任一长为 的圆弧段为研究对象 F =T 2l sinθ 向下合力 F =∆P2l R sinθ ∆ 压力为 张力和压力平衡时 T 2l sinθ =∆P2l R sinθ ∆
医学物理学(第9版)PPT课件 第二章 物体的弹性
3. 蠕变：若黏弹体维持应力恒定，应变随时间增加而增 大的现象称为蠕变，如图（c）。
生物材料的应变通常由弹性应变、延迟弹性应变、黏 性应变叠加形成，后两种应变决定其蠕变性。如关节软 骨就具有这种特点。
黏弹性材料的应力与应变(c)
医学物理学（第9版）
二、生物材料的黏弹性
4. 滞后：如果对黏弹体周期性加载和卸载，则卸载时的应力应变曲线同加载时的应力-应变曲线不重合，如图（d）所示， 这种现象称为弹性滞后。滞后现象的原因是大分子构型改变 的速度跟不上应力变化，构型改变时有内摩擦力作用。血液、 红细胞等存在滞后现象。
由 F
S
得这个截面处的应力为：
(l x)Sg (l x)g
S
又因为
Y
所以这个截面处的应变为：
Y
(l x)g
Y
例2-1图
医学物理学（第9版）
例题
例 股骨是大腿中的主要骨骼。如果成年人股骨的最小截面积是 610-4 m2，问受压负荷为多大 时将发生碎裂？又假定直至碎裂前，应力-应变关系还是线性，试求发生碎裂时的应变。
圆柱体的扭转现象
医学物理学（第9版）
扭转的切应力
实验证明，当圆杆发生微弱的扭转时，扭转角δ 与扭转力矩M 有如下的关系：
M Ga4
2l
（2-12）
由上式可见，在扭转角δ 相同的条件下，扭转力矩M 与杆的半径a的四次方成
正比。显然，杆的半径越大扭转越困难。
由式（2-9）和（2-11）可知，外缘的切应力为
如图（a）在两个支架上放置一横梁。 如图（b） 当横梁受到一个垂直于轴线的横向压力 P 时，所示， 横梁发生弯曲。显然，凸出的一侧被拉伸，凹进的一侧被压缩。 如图（c）选取横梁的一截面，取截面的左边一小段考虑应力，横 梁的上部发生压缩形变，出现压应力，下部发生拉伸形变，出现拉应 力，中间一层无形变，所以无应力。
医学物理学
医学物理学复习题第二章物体的弹性一、填空题1．根据形变在外力去掉之后能否恢复其原来的情况，形变分为和。
（弹性形变，塑性形变）2．在弹性力学中将材料的与之比，称为该材料的弹性模量。
（应力与相应应变之比）3．边长为10 cm的正方体的两对面的切力都是10 N，相对位移1 cm，则切应变是。
（0.1）4．弹性体的应变可分为、和三种。
（线应变，体应变，切应变）5．弹跳蛋白是一种存在于跳蚤的弹跳机构和昆虫的飞翔机构中的弹跳蛋白，其杨氏模量接近于橡皮。
今有一截面积为30 cm2的弹跳蛋白，加270 N的力后长度为原长的1.5倍，求其杨氏模量为。
（1.8×105 Pa）6．设某人的一条腿骨长为0.4 m，横截面积平均为5 cm2，试求用此骨支持整个体重时(相当于500 N的力)，其长度缩短；占原长的。
(骨的杨氏模量可按1×1010 Pa计算)（4.0×10-5m ，0.01 ）7．假设股骨为一空心圆管，已知其最细处的内半径与外半径之比为0.5，可在5×104N的压力下产生骨折。
试求此股骨最细处的外直径是。
（抗压强度按1.68×108 Pa计算）（2.25 cm）8．人的股骨的平均截面积为10-3 ㎡，长为0.4 m ，已知其杨氏模量为0.9×1010 N★m-2。
问受压时倔强系数是。
（2.25×107 N★m-1）9．一根钢棒长为4 m，横截面积为0.5 cm2，在12 000 N的张力作用下，伸长0.2 cm，则此钢材的杨氏模量是。
（4.8×1011 Pa）二、选择题1．边长为L的正方体，在切应力的作用下，在受力作用的面上各偏移L，则此正方体的切应变为：（A）A 、L L∆2 ； B 、L L ∆ ；C 、L L 2∆ ；D 、L L tg ∆ 。
2．弹性模量是：（D ）A 、作用在物体单位截面上的弹性力；B 、物体恢复形变的能力；C 、应变与相应应力之比；D 、应力与相应应变之比。
第二章弹性力学的基本原理
第二章 弹性力学的基本原理§2.1 应力分析2.1.1应力与应力张量应力被定义为：用假想截面将物体截开，在截面上一点P 的周围取一微元S ∆, 设S ∆的外法线为ν, S ∆上的力为T ∆，如极限ν∆∆∆T S T S =→/lim 0存在，则称νT 为P 点在该截面上的应力矢量。
考察三个面为与坐标面平行的截面(即以321,,x x x 三个坐标轴为法线的三个截面), )3()2()1( , ,T T T 分别表示三个截面上的应力矢量。
每一个应力矢量又分解为沿三个坐标轴的应力分量，有j ij i e T σ=)( (i ,j =1,2,3) (2.1)这里的张量运算形式满足“求和约定”，即凡是同一指标字母在乘积中出现两次时，则理解为对所有同类求和，即j ij e σ应理解为∑=31j j ij e σ。
这样的求和指标j 称之为假指标或哑指标。
由此得到九个应力分量表示一点的应力状态，这九个分量组成应力张量：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=333231232221131211σσσσσσσσσσij 或⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=zz zy zx yz yy yxxz xy xx ij στττστττσσ (2.2) 在本书第一章致第九章，应力分量符号(正负号)规定如下：对于正应力，我们规定张应力为正，压应力为负。
对于剪应力，如果截面外法向与坐标轴的正方向一致，则沿坐标轴正方向的剪应力为正，反之为负。
如果沿截面外法向与坐标轴的正方向相反，则沿坐标轴正方向的剪应力为负。
2.1.2 柯西(Cauchy)方程记S 为过P 点的外法向为n 的斜截面。
外法线n 的方向可由其方向余弦记为),,cos(11x n n =α),cos(22x n n =α, ),cos(33x n n =α。
设此斜截面ABC ∆的面积为S , 则如图2.1, 过此点所取的小四面体OABC 另外三个面为与坐标面平行的截面(即以321,,x x x 三个坐标轴为法线的三个截面), 其面积分别为⎪⎪⎪⎭⎫⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=333222111),cos(:),cos(:),cos(:n n n S x S S OAB S x S S OAC S x S S OBC α∆α∆α∆n n n (2.3) 此截面上的应力矢量记为)(n T , 即j n j n T e T )()(= (2.4)另外三个面上的应力矢量分别为)1(T -, )2(T -, )3(T -。
2--弹性力学基本理论
yz
zx
• 应变的定义
• 设平行六面体单元，3个轴棱边 ：
– 变形前为MA，MB，MC； – 变形后变为M'A'，M'B'，M'C'
。
x、 y、 z
•正应变（小变形）
•符号规定： 正应变以伸长为正。
•剪应变
•符号规定： 正应变以伸长为正；剪应变以角度变小为正。
材料力学 — 区别与联系 — 弹性力学
y
y
q
q
sx
ͼ 1-1a
x
0
sx x
ͼ 1-1b
材料力学 — 区别与联系 — 弹性力学
ͼ 1-3a ͼ 1-3b
2.1 弹性力学的基本假定
• 连续性假设：物体所占的空间被介 质充满，不考虑材料缺陷，在物体 内的物理量是连续的, 可以采用连续 函数来描述对象。
虽然都从静力学、几何学与物理学三方面进行研究， 但是在建立这三方面条件时，采用了不同的分析方法。 材料力学是对构件的整个截面来建立这些条件的，因而 要常常引用一些截面的变形状况或应力情况的假设。这 样虽然大大简化了数学推演，但是得出的结果往往是近 似的，而不是精确的。而弹性力学是对构件的无限小单 元体来建立这些条件的，因而无须引用那些假设，分析 的方法比较严密，得出的结论也比较精确。所以，我们 可以用弹性力学的解答来估计材料力学解答的精确程度， 并确定它们的适用范围。
当△S 趋近于0，则为P点的面力
•面力分量 •符号规定：与坐标轴方向一致为正，反之为负。 •面力的量纲：[力]/[长度]^2 •列阵表示：Fs={X Y Z}T
集中力
体力与面力都是分布力，集中力则只是作用在一个点
第二章 弹性理论2
―薄利多销”：富有弹性商品，e ＞ 1
需求量变动比率大于价格变动比率。
价格下调,总收益增加,对生产者有利;
价格上调,总收益减少,对生产者不利。
需求弹性大于1， 卖者适当降价能增加总收益。
降价能增加总收益的是： 化妆品√；面粉×；药品×
（3）需求缺乏弹性
【需求量变动的比率小于价格变动的比率】 例：面粉ed＝0.5，P1＝0.2元/斤，Q1＝100斤 。 如价格下调10%，总收益怎样？ 如价格下调10%，数量则增加5%， P2＝ 0.2 –0.2×10%＝0.18元/斤， Q2＝100 + 100×5%＝105斤 TR1＝P1×Q1＝0.2×100＝20元 TR2＝P2×Q2＝0.18×105＝18.9元 TR2 –TR1＝18.9–20＝ －1.1元 TR2 ＜TR1，表明价格下跌，总收益减少。
益怎样？
减少
讨论：
对于给定的需求曲线，厂商能决定什么？ 商品价格，还是商品数量？
（2）需求富有弹性 e ＞ 1
【需求量变动的比率大于价格变动的比率】
例：电视机ed＝2，P1＝500元/台，Q1＝100台 ， 如价格下调10%？试分析以下收益状况。 如价格下调10%，则数量增加20%， P2＝500 –500*10%＝450元/台， Q2＝100 + 100*20%＝120台 TR2＝P2×Q2＝450×120＝54000元 TR1＝50000 TR2 –TR1＝54000 –50000＝4000元 TR2 ＞TR1，表明价格下跌，总收益增加。
量大幅增加，从而使总收益增加。 药品缺乏需求弹性，降价只能使总收益减少。
（2）并不是所有药品都不能薄利多销。 例如一些滋补药品，其需求富有弹性，可以薄利多销。
大班科学领域教案《物体的弹性》
大班科学领域教案《物体的弹性》教案名称：物体的弹性教案类型：科学适用对象：小学大班学生教案时长：3个课时教学目标：1. 了解物体的弹性是指物体在受力作用下发生形变但是停止受力后可以恢复原状的性质。
2. 能够观察、描述和记录不同材料的弹性特点。
3. 能够设计简单的实验来验证物体的弹性。
教学内容：第一课时：物体的弹性是什么？1. 引入：老师带领学生观察实物、图片或视频展示物体受力后的变形，通过观察和讨论引导学生思考：为什么有些物体受力后能够恢复原状，而有些物体则不能？2. 教学：通过讲解和示范，向学生介绍物体的弹性是指物体在受力作用下发生形变但是停止受力后可以恢复原状的性质。
并举例说明：弹簧、橡皮等物体都属于有弹性的物体。
3. 实践：引导学生进行实践活动，让学生自行观察、摸索和讨论有弹性和无弹性的物体，总结其特点。
第二课时：观察和记录物体的弹性特点1. 回顾：复习上节课的内容，回顾有弹性和无弹性的物体的特点。
2. 实践：组织学生进行实验，通过使用不同材料制作的小球进行比较实验，观察和记录实验结果。
3. 讨论：引导学生讨论实验结果，总结不同材料的弹性特点，并提交书面报告。
第三课时：设计实验验证物体的弹性1. 引入：提问学生：如何验证一个物体是否有弹性？引导学生思考，提出可能的实验设计方法。
2. 实践：分组让学生自行设计实验，验证不同物体的弹性特点，并进行实验。
3. 分享：学生展示自己的实验结果，并进行交流和讨论。
4. 总结：让学生总结本节课的学习内容，回答课前的问题。
评价方法：1. 观察学生在课堂上的表现和参与度。
2. 评价学生能否准确观察、描述和记录物体的弹性特点。
3. 评价学生是否能够设计合理的实验来验证物体的弹性。
教学资源：1. 实物：弹簧、橡皮等有弹性物体2. 图片或视频：展示物体受力后的变形3. 小球：不同材料制作的小球4. 实验器材：尺子、可测量弹性的材料等教学延伸：1. 复习物体的弹性特点，引导学生思考弹簧、橡皮等材料为什么具有弹性。
第2章 弹性含义与影响
在蛛网发散的情况下，价格走向不确定，偏高的价格不会向均衡价格靠拢，一旦回落，幅度会过大，一旦减产，产量减少会太多，这就大大增加管理和经营的难度。
本章小结： 1、定义：一个变量对另一个变量变动的反应程度。 2、需求价格弹性决定价格高低，税负承担，蛛网的收敛或扩散。 3、需求收入弹性决定经济周期的不同时期生产不同弹性的商品。 4、需求交叉弹性是判断竞争2、交叉弹性的应用： 交叉弹性的绝对数值越大，说明两种商品的替代或互补关系越密切。越接近于零，越说明X和Y两种商品相关性越小，甚至相互独立。 交叉弹性对于企业的竞争决策具有非常重要的意义，也就是警惕交叉弹性为正的商品的挑战，并与交叉弹性为负的商品共同发展。
五、供给弹性的含义和应用 1、供给弹性的含义 指商品供给量的变动对价格变动的反应程度，也就是供给量变动的百分比除以价格变动的百分比。
低档商品的收入弹性小于0，表明收入增长，该商品的需求量反而减少。
问题： 企业应该组织生产那种收入弹性的商品，以及在经济发展的不同阶段是否都应该生产这种类型的商品，为什么？
2、收入弹性的应用： 1）在宏观上 为制定国民经济发展战略服务； 如 ei < 1 ,该商品地位越来越小 如 ei> 1 ,该商品地位越来越大 协调各种商品发展的合理比例； 分析国民经济各部门人员的收入现状。
5）不同弹性影响实际税负承担者： 大弹性的商品征税的负担主要为企业承担，小弹性的商品则税负主要为消费者承担。
问题： 征税影响供给还是需求曲线，为什么？
问题： 为什么征税造成供给曲线向左上方移动？
不同弹性影响实际税负承担者 对生产者征税
问题： 为什么大弹性的商品，税负主要由企业承担？
问题： 供给弹性应该保持在什么数值上，为什么？
2.2 弹性专讲
Q
B. E =
无限弹性（perfect elastic）
实例研究：为什 么菜市场里卖黄 瓜的几个商家开 出的黄瓜价几乎 每家都是一个价?
含义1：价格为既定时， 需求量是无限的。 含义2：某个厂商的商 P 品价格比市场价高出一 点儿，需求就立即变为 零；而当他的商品价格 低于市价一点儿时，就 会被抢购一空。 银行以某一固定的价格 收购黄金 实行保护价的农产品 你还能举出其它例子吗?
回想：其实薄利多销的另一重要前提条件是能够量产， 这就涉及到后面章节中的规模经济这个概念。
练 习：
已知某种商品的需求是富有弹性的，假定其 他条件不变，卖者要想获得更多的收益， 应该：
A适当降低价格 B适当提高价格 C保持价格不变
√
通过薄利多销的方法降价来增加总 收益的商品是： A. 某品牌大众化妆品 B.单反相机(对于摄影师) C.面粉 D. 药品
如价格上调10%，则总收益？ 已知：面粉Ed=0.5，P1=0.2元/斤，Q1=100斤 。
如价格上调10%，数量则减少5%， P3=0.2 +0.2*10%=0.22元/斤， Q3=100 -100*5%=95斤
TR3=P3×Q3=0.22×95=20.9元 TR3 –TR1=20.9 –20= 0.9元 TR3>TR1，表明面粉价格上调，总收益增加。
D2
Q
C. E = 1 单位弹性（unitary
elastic）
价格变动的比 率 = 需求量 变动的比率。
这时的需求曲线 是一条正双曲线。 如运输、住房服 务
D3
D.E
< 1
缺乏弹性（inelastic〕
第二章-材料的变形——弹性变形
Ⅲ 产生原因
金属产生滞弹性的原因可能与晶体中点缺陷的移 动有关。
例如，α－Fe中的C原子处于八面体空隙及等效位 置上，施加Z轴向拉应力后，x、y轴上的碳原子就 会向Z轴方向扩散迁移，使Z轴方向继续伸长变形， 于是就产生了附加弹性变形。因扩散移动需要时 间，故附加应变为滞弹性应变．卸载后Ｚ轴多余 的碳原子又会扩散回到原来的x、y轴上，使滞弹 性应变消失。
广义胡克定律
C：弹性系数 刚性系数
S：柔度系数
• 对称性要求，Cij=Cji，Sij=Sji。刚度系数和柔度系数减少为21个。 • 由于晶体存在对称性，独立的弹性系数将进一步减少，对称性越高， 系数越少。
➢立方晶系对称性最高，只有3个独立弹性系数
➢六方晶系5个，正交晶系9个。
一、弹性变形及其实质
材料在交变载荷下吸收不可逆变形功的能力，又 称之为阻尼或者循环韧性。
滞后环的应用：
环的面积代表材料以不可逆方式吸收能量 （即内耗）而不破坏的能力。也可理解为材 料靠自身来消除机械振动的能力（即消振性 的好坏）。
对工程上一些产生振动的零件很重要，可以 减小振动，使振幅很快衰减下来。所以滞后 环在生产上是一个重要的机械性能指标，具 有很重要的意义。
晶体结构：对各向异性晶体，沿原子密排面E较大。 化学成分与微观组织：对金属材料，变化很小。 温度：金属的弹性模量随温度升高的下降速度比陶
瓷材料高出大约1倍。高温下，希望用陶瓷材料替 代金属。
弹性模量的测量
引伸计（extensometer) 是测量构件及 其他物体两点之间线变形的一种仪器，通常 由传感器、放大器和记录器三部分组成。传 感器直接和被测构件接触。构件上被测的两 点之间的距离为标距,标距的变化(伸长或缩 短)为线变形。构件变形，传感器随着变形， 并把这种变形转换为机械、光、电、声等信 息，放大器将传感器输出的微小信号放大。 记录器（或读数器）将放大后的信号直接显 示或自动记录下来。
第二章 弹性变形及塑性变形
1、弹性变形的物理本质
外力(F)与原子间引力(a / r m)、斥力(b / r n) 的平衡过程。
FfFab0 nm rm rn
2、弹性常数
E = 2 (1+ )G
E： 正弹性模量（杨氏摸量） ：柏松比 G：切弹性模量
3、固体中一点的应力应变状态
z z z
多晶体的塑性变形
3 晶界对变形的阻碍作用 （1）晶界的特点：原子排列不规则；分布有大量缺陷。 （2）晶界对变形的影响:滑移、孪生多终止于晶界,极少 穿过。
3 晶界对变形的阻碍作用
（3）晶粒大小与性能的关系 a 晶粒越细，强度越高(细晶强化：霍尔－配奇公式) s=0+kd-1/2
原因：晶粒越细，晶界越多，位错运动的阻力越大。 （有尺寸限制）
材料来说会产生弹性变形、塑性变形，直至断裂。
物体受外力作用产 生了变形，除去外力 后物体发生的变形完 全消失，恢复到原始 状态的变形。
弹性变形示意
材料的弹性变形应用
弹簧是一种利用弹性来工作的机械零件。
材料的弹性变形应用
弹簧是一种利用弹性来工作的机械零件。
弹性变形： 变形可逆； 应力应变呈 线性关系。来自0e0
e
3、内耗 Q-1
弹性滞后使加载时材料吸收的弹性 变形能大于卸载时所释放的弹性变形能， 即部分能量被材料吸收-弹性滞后环的 面积。
工程上对材料内耗应加以考虑
4、包申格效应
产生了少量塑性变形的材料，再同向加载 则弹性极限与屈服强度升高；反向加载则弹性 极限与屈服强度降低的现象。
2.5 材料的塑性变形
二 孪生：在切应力作用下，晶体的一部分相对于另一部分 沿一定的晶面和晶向发生均匀切变并形成晶体取 向的镜面对称关系。
第2章弹性理论
第二章需求分析价格上升意味着收益的增加。
收益=P×Q，当Q一定时，P上升---利润的增加。
有时，价格的上升，意味着收益的减少。
由于P上升，转为购买其他厂商的产品。
我们需要了解价格的变化量对需求量的敏感性的度量。
这就是本章要学习的内容：弹性理论。
供需法则说明了当P变化时，需求和供给的方向变化，不能说明其变化的数量。
只“定性分析”而非“定量分析”，弹性理论可以说明这种量的变化程度：定量需求分析。
第一节弹性的一般原理1、弹性的概念弹性（Elasticity）是物理学中的概念，泛指物体对外界作用力的反应能力。
经济分析中引用弹性的概念，测算因变量变化率对自变量变化率的反应的敏感程度。
通常对y=f(x)这一函数的弹性系数E。
则有：()()变化的百分比自变量变化的百分比因变量xyE=例（a）（b）（c）图1（a）、（b）、（c）三种情况，价格变化率相同，而需求量的变化率却是不相等。
（a）最小，（c）为最大，（b）为二者之间。
说明，三者在这一价格区间的（P0、P1）弹性不同。
2、弹性分析的重要意义弹性分析对企业管理决策有着重要的意义。
价格上升5%，对销售额有什么影响？销售额增加20%，价格需下降多少？如果大米和彩电同时涨价20%，为什么人们可能继续买大米而暂时放弃买彩电等等。
弹性分析与边际分析一样都是管理经济学中的重要分析工具。
弹性理应用最广泛莫过于需求弹性和供给弹性。
第二节、需求弹性需求量受众多的因素的影响，最主要： （1）该商品的自身价格变化称为需求价格弹性。
（2）该商品相关商品的价格变化，称为需求交叉价格弹性。
（3）消费者实际收入的变化，称为需求收入弹性。
1、需求的价格弹性在需求量与价格这两个经济变量中，价格是自变量，需求量是因变量。
一、需求价格弹性的定义：价格变化所引起的需求量变动的程度，或者说是需求量变动对价格变动的反应程度。
Q P P Q PP Q QEd ⋅∆∆=∆∆==价格变动的百分比需求数量变化的百分比（1）Ed 被定义为自变量变动（ΔP ）的百分比（PP ∆）与因变量变动（ΔQ ）的百分比（Q Q∆）这两个百分比的比率。
第二章弹性力学的基本方程
, , 1, 2
由此,向量 a可表示为
3
a a1e1 a2e2 a3e3 ai ei i 1
三阶线性代数方程组
a11x a12 y a13 z P1
a21
x
a22
y
a23
z
P2
a31
x
a32
y
a33
z
P3
可表示为
ai1x1 ai2 x2 ai3x3 Pi
(c) 非循环序列:i, j, k中有两个以上得指标取
相同值
e112 e222 e323 0
利用置换符号可以简化公式
(1)行列式
a11 a12 a13 a a21 a22 a23
( xix j
) ,ij
例如:
xi
,i
ui x j
ui, j
2ui x j xk
ui, jk
ui xi
ui,i
u1,1
u2,2
u3,3
f xi
dxi
f ,i dxi
f ,1dx1
f ,2 dx2
f ,3dx3
4、 克罗内克(Kroneker)符号
定义: ij ei e j cos(ei ˆ e j )
Fx
1 dh 3
0
同理可得:
Tx xl yx m zx n Ty xyl y m zy n Tz xzl yz m z n
上式称为斜面应力公式,又称Cauchy公式。
2、斜面上得正应力与剪应力
Tν Txl Tym Tz n
xl 2 y m 2 z n 2 2 xylm 2 yz mn 2 zx nl
ei
医学物理学知识点汇总
第五章 机械波
1. 公式： u /T
2. 惠更斯原理。 3. 波的相干条件。 4. 人的听觉由什么决定。 5. 多普勒效应含义及解题。
记忆技巧 远离变小 接近变大
u u v0 两者相向运动 u vs
u u v0 u vs
两者相背运动
第七章 分子动理论
1. 物体微观结构的基本概念。 2. 理想气体的压强、能量的微观解释，各种情
在血管中流动的血液是一种粘滞流体， C
当血管的半经变为2R，根据伯肃叶定律，
则体积流量Q：（ ）
A、增大4倍
B、增大8倍
C、增大16倍
D、不变
Q R4P 8L
注：水平均匀细圆管内作层流的黏性流体，体积流量与这两端的压强差成正
比。
第四章 振 动
1. 简谐振动的特点及判断。 2. 简谐振动方程及特征量的名称与含义。 3. 同方向、同频率简谐振动的合成。
第十四章 几何光学
1. 单球面折射计算与符号规则。 2. 焦度的含义及单位。 3. 逐次成像法。 4. 非正视眼的形成原因及矫正。
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2024/3/12
2、应力(stress):作用于物体内单位面积 上的弹性力。
3、弹性模量:应力与应变的比值。
4、弹性模量物理意义：弹性模量越大， 物体越不容易变形。
第三章 流体的运动
1. 理想流体的特性。 2. 稳定流动的含义。 3. 连续性方程和伯努利方程的物理意义及应用。 4. 水平管、均匀管体位对血压的影响 5. 牛顿粘滞定律的基本含义。（粘度） 6. 层流与湍流的判断方法。 7. 泊肃叶定律对流量的解释
第十一章 稳恒磁场
1. 磁场的性质及各量的方向判断。 2. 磁通量与磁场的关系。 3. 电流的磁场及解题。 4. 磁场的生物效应。
初中弹力的定义
初中弹力的定义
初中弹力通常指的是物体的弹性。
弹性是指物体在受到外力作用后，能够恢复原状并且能够储存和释放能量的性质。
对于弹性物体而言，当其受到外力作用时，会发生形变，但一旦外力消失，它会迅速恢复到原来的形状和大小，就像弹簧被拉伸后会恢复原长一样。
这种能够恢复形状和大小的特性称为弹性。
弹力的大小可以通过弹性系数来衡量，常用的弹性系数有弹性模量、切变模量等。
弹性模量是衡量物体抵抗形变的能力，切变模量是衡量物体抵抗剪切形变的能力。
初中阶段，学生一般会学习一些基础的弹性知识，如胡克定律、弹性势能等。
这些知识帮助学生理解物体的弹性特性以及在日常生活中的应用，如弹簧、橡皮筋等都具有一定的弹性。
总之，初中弹力主要指的是物体的弹性特性，即物体在受力下能够发生形变，但能够迅速恢复原状并且能够储存和释放能量的性质。
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体应变与体应力
K
p
p p V0 V / V0 V
第二章 物体的弹性
下表是几种材料的体变模量
玻璃熔 水银 石英
材料
钢
铜
铁
铝
水
乙醇
体变模量K
10 N m
9
2
158 120
80
70
36
25
2.2
0.9
第二章 物体的弹性
第四节 骨的力学特性
一、骨骼的力学性质：
骨骼与肌肉力学是生物力学中的主要研究内容，研
究骨折常用强度和刚度概念。
1、强度 —— 载荷情况下抗破坏能力。
x tg d
（2-6）
第二章 物体的弹性
二、切应力
弹性体发生切变时，任一剪切面两边材料之间 存在相互作用并且大小相等的切向内力。 当切向内力在上下底 面上分布均匀时，剪 切力 F 与截面积S之 比称为切应力,又称为 剪切应力。用 τ 表示。
F S
（2-7）
通过弹性体内某一个面元的切应力为
S 又因为 Y ，
所以这个截面处的应变为：
Y
(l x ) g
Y
第二章 物体的弹性
[例2-2]股骨是大腿中的主要骨骼。如果成年人股骨 的最小截面积是 610-4 m 2，问受压负荷为多大时 将发生碎裂？又假定直至碎裂前，应力 - 应变关系 还是线性，试求发生碎裂时的应变。 （抗压强度 =17 107 N· m-2） 解：导致骨碎裂的作用力
第二章 物体的弹性
④颈缩阶段 过了E点是颈缩阶段 ；F点称为断裂点。 拉伸时，断裂点的正应力称为材料的抗张强度。 压缩时，断裂点的正应力称为材料的抗压强度。
BF是材料的范性（塑性）范围。 如果F点距B点较远，则这种材料能产生较大 的范性形变，表示它具有展性。 如果F点距B点较近，则这种材料能产生较小 的范性形变，材料表现为脆性。
杨氏模量 Y 只与材料的性质有关，它反映材 料抵抗线变的能力，其值越大物体越不容易 变形。几种材料的杨氏模量见表
骨/ 骨/ 低 花 铸 木 铅 腱 橡胶 血管 碳 岗 拉 压 铁 材 钢 岩 伸 缩 0.0 0.001 0.0002 2
材料
杨氏模量 19 78 50 17 16 9 -2 Y 10 N· m 6
刺激骨的生长，促进骨折愈合，较大压缩载荷作
用能够使骨缩短和变粗。
骨组织在压缩载荷作用下的破坏表现，主要是 骨单位的斜行劈裂。人湿骨破坏的极限应力大于拉 伸极限应力。
• 拉伸与压缩的极限应力分别为：
134MN m 170MN m
2
2
第二章 物体的弹性
• 3.弯曲：骨骼受到载荷作用时，将发生弯曲效应。
第二章 物体的弹性
医学物理学
第二章 物体的弹性
第二章 物体的弹性
教学基本要求
掌握描述物体弹性的基本概念：形变、应变、
应力、模量。
理解应力与应变的关系 。 了解骨骼的力学特性和生物材料的黏弹性。
第二章 物体的弹性
物体形变 形变定义：物体在外力作用下发生形状和大 小的改变。 形变类型：从弹性体的恢复情况划分有弹性 形变、范性（塑性）形变。从形状变化情况 划分有伸长、缩短、切变、扭转、弯曲等形 变。伸长和缩短合称线变。线变和切变是弹 性形变的两种基本类型，其他形变实际上是 这两种形变的复合。
2、刚度 —— 载荷下的抗形变能力。
• 强度和刚度取决于骨的成分和结构。
第二章 物体的弹性
人体干、湿骨的断裂点和正比例关系
• 左图为干骨拉伸
实验曲线。
• 右图为润湿骨的
拉伸实验曲线。
第二章 物体的弹性
二、骨骼不同方向的拉伸曲线 • 与一般金属材料 不同，骨骼在不 同方向载荷作用 下有不同的力学 性能(各向异性) 。 • 图为人股骨标准 试样在不同方向 拉伸时的刚度和 强度变化曲线。
正应力分为张应力(σ＞0)与压应力(σ ＜0).
（2-3）
第二章 物体的弹性
三、正应力与线应变的关系 （低碳钢、骨骼、主动脉）
1.低碳钢正应力 与线应变的关系 从图上可将拉 伸分为弹性、屈 服、硬化和颈缩 四个阶段：
第二章 物体的弹性
①弹性阶段 曲线中OA段，A点称为正比极限。B点的 正应力叫做弹性极限。 ②屈服阶段 过了C点是屈服阶段 ，这一阶段的最大正 应力为屈服强度。 ③硬化阶段 从D点开始是硬化阶段，只有加大正应力， 才能使物体进一步伸长，此即材料的硬化；E 点的正应力叫做强度极限；
第二章 物体的弹性
四、扭转
若使圆柱体两端分别受到对中心 轴的力矩，且方向相反，则圆柱体 便会发生扭转现象。 如图所示，将结构均匀的圆杆下 端固定，力矩作用其上端，圆杆一 端相对于另一端的角位移称为扭转 角，用δ表示。扭转角与母线的倾斜 角φ之间的关系为：
a l
（2-11）
l为杆的半径， a为杆的长度。
F S 17 107 6 104 1.02 105 N
根据骨的杨氏模量 Y= 0.9 1010 N· m-2，可求碎裂时 的应变 7 17 10 0.019 1.9% 10 Y 0.9 10
第二章 物体的弹性
四、弯曲
平面弯曲是指物体具有 一个纵向的对称面，所有外 力的合力都集中在这个对称 面里。 在两个支架上放臵一横 梁。当横梁受到一个垂直于 轴线的横向压力 P 时，如图 （b）所示，横梁发生弯曲。 显然，凸出的一侧被拉伸， 凹进的一侧被压缩。
中性线凹侧面(载荷侧)骨骼受压缩作用;在凸侧受拉
伸作用。距离↑→应力↑。
第二章 物体的弹性
• 4.扭转：
扭转实际是剪切的表现，越靠近中心轴的层，切 应变越小，越外层的切应变越大，弧越长。从抗扭 转性能来看，由于靠近中心轴的各层作用不大，因 此常用空心管来代替实心柱，既可以节省材料，又 可以减轻重量，同抗弯曲情况相似。
第二章 物体的弹性
实验表明： 在正比极限内，正应力与线应变成正比，即
（2-4） Y称为杨氏模量。结合（2-1）和（2-2）式
Y
F / S l0 F Y l / l0 Sl
YS 即为胡克定律 F l kl l0 YS 其中 k l0
（2-5）
第二章 物体的弹性
第二章 物体的弹性
三、体应力与体应变的关系
在体积形变中，压强与体应变的比值称为体变 模量，用K表示：
负号表示体积缩小时压强是增加的。 体变模量与压缩率k的关系为：
p p K V0 （2-16） V / V0 V
p
1 V k K pV0
物质的k值越大，越易被压缩。
（2-17）
第二章 物体的弹性
• 在一定的弹性范围内，圆杆或圆管的扭转角度是和所加的 力矩成正比的。 • 扭转的角度超过某一数值时，物体就会断裂。
第二章 物体的弹性
第二章 物体的弹性
本章小结 1、基本概念：形变、应变、应力、模量。 2、应力与应变的关系。
l0 F l F 线应变与正应力 , , Y l0 S Sl
a G l
2l
（2-13）
结合（2-12）式，最大切应力为：
2M max 3 a
（2-14）
第二章 物体的弹性
由于承担最大的切应力的是圆杆的外缘材料， 并且从抗扭转性能来看，靠近中心轴的各层作 用不大，因此常用空心管来代替实心柱，这样 既可以节省材料，又可以减轻重量。
第二章 物体的弹性
9
10
第二章 物体的弹性
2.骨作为一种弹性材料，在正比极限范围之内， 它的正应力和线应变成正比关系 。 骨骼在被拉伸时会伸 长、变细（ 如人进行悬 垂动作）。 骨骼在被压缩时（如 举重）能够刺激骨的生长， 促进骨折愈合；但压缩作 用较大时能使骨缩短、变 粗。 拉伸与压缩的极限应 力分别为 134 MN· m-2 与 湿润而致密的成人四肢骨的正应力-线 应变曲线 -2 170MN· m
F/S Fd G x / d Sx
（2-10）
与杨氏模量类似，切变模量也只与材料的性质有关， 几种材料的切变模量见表 ：
第二章 物体的弹性
材料
钨
低碳 钢
铜
铸铁
玻璃熔 石英
铝
骨
木 材
铅
切变模量 140 G 109Nm-2
78
40
35
30
25
10
10
6
剪切作用时，人骨骼所能承受的剪切载荷比拉 伸和压缩载荷都低。 骨骼的剪切破坏应力约等于54MN· m-2。
F dF lim S 0 S dS
（2-8）
第二章 物体的弹性
三、切应力与切应变的关系
实验证明，在一定的限度内，切应力与切应变 成正比，这种正比关系叫做切变的胡克定律。即：
G G
（2-9）
上式中比例系数 G 称为切变模量，也叫刚性模量。 结合（2-6）和（2-8）式
第二章 物体的弹性
骨骼的形变、破坏与其受力方式有关。根据外 力和外力矩的方向将骨骼受力分为拉伸、压缩、 弯曲、扭转、剪切和复合载荷六种。
1.骨组织在拉伸载荷作用下的断裂机制主要是 骨单位间结合线的分离和骨单位的脱离。 临床上：拉伸骨折多见于松质骨。
第二章 物体的弹性
2.骨骼最常承受的载荷是压缩载荷。压缩载荷能够
第二章 物体的弹性
3.主动脉弹性组织的正应力与线应变关系并不服 从胡克定律，曲线没有直线部分。 主动脉弹性组织 的弹性极限十分接近 断裂点，这说明只要 它没有被拉断，在外 力消失后都能恢复原 状。弹性组织应变可 达到 1.0， 这说明 它可以伸长到原有长 度的两倍，这一点和 橡胶皮比较类似。