对直线与曲线相切问题的剖析

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例谈三类切线问题的解法

例谈三类切线问题的解法

我们知道,直线与曲线、曲线与曲线之间有三种位置关系:相交、相切、相离.切线问题是指直线与曲线、曲线与曲线相切的问题,常见的命题形式有:(1)求切线的方程;(2)求切线的斜率;(3)由相切的位置关系求参数的取值范围.下面主要探讨一下三类切线问题的解法.一、圆锥曲线的切线问题当直线与圆锥曲线相切时,直线与圆锥曲线只有一个交点,如果将其方程联立,消去x 或y ,则所得的一元二次方程只有一个根,此时判别式Δ=0,据此建立关系式,即可解题.例1.已知曲线C :x 24+y 23=1与直线l :x +y +m =0只有一个交点,求m 的值.解:将曲线C 的方程与直线的方程联立得ìíîïïx 24+y 23=1,x +y +m =0,消去y 得7x 2+8mx +4m 2-12=0,则Δ=0,解得m =±7.将直线与曲线的方程联立,消去y ,即可将问题转化为一元二次方程7x 2+8mx +4m 2-12=0有一个解的问题.根据方程的判别式建立关于m 的方程,即可解题.二、圆的切线问题当直线与圆相切时,直线与圆只有一个交点,此时由直线与圆方程所得的一元二次方程只有一个根,即判别式Δ=0.且当直线与圆相切时,圆心到直线的距离等于圆的半径,那么根据点到直线的距离公式建立关系式,也能使问题得解.例2.已知圆C 与直线x -y =0及x -y -4=0都相切,且圆C 的圆心在直线x +y =0上,则圆C 的方程为______.解:设圆C 的方程为()x -a 2+()y -b 2=r 2,因为圆C 的圆心在直线x +y =0上,所以a +b =0.ìïa +b =0,a -b a -b -4=r ,解得a =1,b =-1,因此,圆的方程为()x -12+()y +12=2.在解圆的切线问题时,可从代数和几何两个角度进行分析.若问题中涉及了距离、半径、弦心距、切线长等,就需采用几何法求解;若问题中涉及了圆的方程、直线的方程、直线的斜率,则需采用代数法,通过建立方程组求解.三、指数、对数函数的切线问题求解指数、对数函数的切线问题,需灵活运用导函数的几何意义:在某点处的导数即为该点处切线的斜率,即k =f ′(x 0).那么函数y =f (x )在(x 0,y 0)处的切线方程为y -f (x 0)=f ′(x 0)(x -x 0).例3.设函数f (x )=ax -bx,函数图象在点(2,f (2))处的切线方程为7x -4y -12=0,求f (x )的解析式.解:因为切点(2,f (2))处的切线方程为7x -4y -12=0,所以k =f ′(2)=a +b 4=74()1,f (2)=12,由f (x )=ax -b x ,得2a -b 2=12(2),由(1)(2)得a =1,b =3,因此f (x )=x -3x.运用导函数的几何意义解题,要抓住两个关键点:(1)切点在曲线和切线上,即切点的坐标满足曲线和切线的方程;(2)切线的斜率为切点处导数的值.例4.已知曲线y =x +ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y =ax 2+(a +2)x +1相切,则a =_____.解:由导数的几何意义可知切线的方程为y =2x -1;联立方程得{y =2x -1,y =ax 2+(a +2)x +1,消元得ax 2+ax +2=0,则Δ=a 2-8a =0,解得a =8或a =0(不符合题意),故a =8.直线与曲线y =x +ln x 在点(1,1)处相切,说明切点在曲线y =ax 2+(a +2)x +1上,且y =ax 2+(a +2)x +1在点(1,1)处的导数即为切线的斜率,由此建立方程组即可解题.总之,求解切线问题,同学们要学会从已知条件入手,找出相应的几何关系、代数关系,灵活运用直线与曲线的方程、导数的几何意义、圆的性质来解题.本文系甘肃省教育科学“十四五”规划2022年度重点课题“新课程背景下通过单元(主题)教学优化高中数学课程结构的有效策略研究”(课题立项号:GS [2022]GHBZ144)阶段性成果.(作者单位:甘肃省天祝藏族自治县第二中学)吕继君马国良46。

直线与双曲线相切的一个充要条件及其应用

直线与双曲线相切的一个充要条件及其应用

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直线与双曲线相切的一个充要条件及其应用作者:董志峰
来源:《数理化学习·高一二版》2013年第06期
在研究平面几何中有关直线和圆相切的问题时,有一条重要的定理:如果圆O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,那么直线l和圆O相切的充要条件是d=r.本文通过直线与圆相切的充要条件展开联想、类比和探求,得出了直线与双曲线相切的一个充要条件.并举例说明
了此充要条件在处理有关直线与双曲线相切问题中的具体应用.
一、引理
二、主要结果
三、应用
上述定理几何意义显然,直观性强,简明易记.它既给出直线和双曲线相切的一种判定方法,又揭示了直线与双曲线相切的几何性质,为处理有关直线与双曲线相切的诸多问题提供了新的途径,下举数例示其应用.
[浙江省长兴教师进修学院(313100)]。

直线与双曲线位置关系典例精析

直线与双曲线位置关系典例精析

直线和双曲线的位置关系一、要点精讲1.直线和双曲线的位置关系有三种:相交、相切、相离.2.弦长公式:设直线 ykx b 交双曲线于 P 1 x 1 , y 1 , P 2 x 2 , y 2 ,则 P 1P 2 x 1x 2 1 k 21 k 2x 1 x 224x 1 x 2 ,或P 1P 2y 1y 2 1 11 1y 1y 224y 1 y 2 k0 .k 2k 2二、基础自测1.经过点 P1,2 且与双曲线 4x 2 y 2 1仅有一个公共点的直线有()2(A)4 条 (B) 3条(C) 2 条(D) 1条2.直线 y= kx 与双曲线 4x 2 y 216 不可能()( A )相交( B )只有一个交点( C )相离( D )有两个公共点3.过双曲线的一个焦点且与双曲线的实轴垂直的弦叫做双曲线的通径,则双曲线y 2x2的通径长是1619(A) 9 (B)9 (C)9(D)10424 . 若 一 直 线 l 平 行 于双 曲 线 的 一 条 渐 近线 , 则 l 与 双 曲线 的公 共 点 个 数为 .解:与双曲线渐近线平行的直线与双曲线有且只有一个公共点,应注意直线与双曲线不是相切5.经过双曲线 x 2 y 2 8 的右焦点且斜率为2 的直线被双曲线截得的线段的长是.6.直线l在双曲线x2y21上截得的弦长为4,且l的斜率为 2,求直线l的方程.32三、典例精析题型一:直线与双曲线的位置关系1.如果直线y kx 1 与双曲线 x 2y 2 4 没有公共点,求k的取值范围.有两个公共点呢?解,所以△ =(b)240 ,所以b2 ,e c a2b2 1 (b)2 5 ,故选D.a a a a a2.(2010 ·安徽 )若直线 y=kx+2与双曲线 x2- y2=6的右支交于不同的两点,则k 的取值范围是()A.15 ,15B. 0,15C.15 ,0D.15 ,133333y=kx+ 2,1k 202216k2 4 1k210 0解:由得 (1- k )x --=,∴,解x2-y2= 64kx 10 0x1x20x1x20 15得-3 <k<- 1.3、过点P( 7,5)与双曲线x2y21有且只有一个公共点的直线有几条,分别求出725它们的方程。

直线与曲线的交点与公共点的区别-概述说明以及解释

直线与曲线的交点与公共点的区别-概述说明以及解释

直线与曲线的交点与公共点的区别-概述说明以及解释1.引言1.1 概述在数学领域中,直线与曲线是基础且重要的概念。

它们在几何、代数以及计算机图形学等领域中都有着广泛的应用。

直线与曲线的交点和公共点是我们在研究它们时常常遇到的问题。

本文将通过对直线与曲线的交点和公共点进行比较分析,探讨它们之间的区别与联系。

希望通过本文的阐述,读者可以更加深入地理解直线与曲线的性质,从而对数学知识有更深入的理解和应用。

json"1.2 文章结构": {"本文将分为三个部分进行讨论。

首先,在引言部分中,将介绍本文的概述、文章结构和目的。

其次,正文部分将分为直线与曲线的交点、直线与曲线的公共点以及区别与联系这三个小节来详细探讨两者之间的关系。

最后,在结论部分中,将总结直线与曲线的交点与公共点的区别,探讨其应用与意义,并展望未来研究方向。

通过以上结构,读者将对直线与曲线的交点与公共点有更清晰的认识。

"}1.3 目的目的部分的内容如下:目的在于探讨直线与曲线的交点与公共点之间的区别,深入理解它们在几何学中的重要性和意义。

通过对交点和公共点的概念进行比较分析,揭示它们不同的性质和特点,帮助读者更好地理解这两种几何对象之间的关系。

同时,通过对它们的区别与联系进行论述,进一步启发读者对几何学问题的思考,促进数学知识的拓展和深化。

最终旨在为读者提供对直线与曲线之间交点与公共点的理解,为进一步的研究和应用提供基础和参考。

2.正文2.1 直线与曲线的交点:在数学中,直线和曲线是两种基本的几何图形,它们在平面上有着不同的性质和特点。

当直线和曲线相交时,它们可能会有一个或多个交点。

在这一部分,我们将重点讨论直线与曲线的交点的性质和特点。

首先,我们来看直线与曲线的交点的定义。

当一条直线与一条曲线相交时,它们在交点处有共同的坐标点,即这些坐标点同时满足直线和曲线的方程。

根据直线和曲线的方程,我们可以求解它们的交点坐标,从而找到它们的交点。

导数专题:导数与曲线切线问题的6种常见考法(解析版)

导数专题:导数与曲线切线问题的6种常见考法(解析版)

导数专题:导数与曲线切线问题的6种常见考法一、求曲线“在”与“过”某点的切线1、求曲线“在”某点处的切线方程步骤第一步(求斜率):求出曲线在点()()00,x f x 处切线的斜率0()f x '第二步(写方程):用点斜式000()()()y f x f x x x '-=-第三步(变形式):将点斜式变成一般式。

2、求曲线“过”某点处的切线方程步骤(此类问题的点不一定是切点)第一步:设切点为()()00,Q x f x ;第二步:求出函数()y f x =在点0x 处的导数0()f x ';第三步:利用Q 在曲线上和0()PQ f x k '=,解出0x 及0()f x ';第四步:根据直线的点斜式方程,得切线方程为000()()()y f x f x x x '-=-.二、公切线问题研究曲线的公切线,一般是分别设出两切点,写出两切线方程,然后再使用这两个方程表示同一条直线,但要注意以下两个方面:(1)两个曲线有公切线,且切点是同一点;(2)两个曲线有公切线,但是切点不是同一点。

三、切线条数问题求曲线的切线条数一般是设出切点()(),t f t ,由已知条件整理出关于t 的方程,把切线问条数问题转化为关于t 的方程的实根个数问题。

四、已知切线求参数问题此类问题常见的考查形式有两种,一是判断符合条件的切线是否存在,二是根据切线满足条件求参数的值或范围。

常用的求解思路是把切线满足条件转化为关于斜率或切点的方程或函数,再根据方程的根的情况或函数性质去求解。

题型一“在”点求切线问题【例1】函数2()ln 2f x x x x =++在点()()1,1f 处的切线方程为()A.33y x =-B.3y x =C.31y x =+D.33y x =+【答案】B【解析】因为2()ln 2f x x x x =++,所以()1ln 2f x x x=++'()13f '∴=,又()13f =,∴曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为33(1)y x -=-,即3y x =.故选:B.【变式1-1】已知函数()f x 满足()()3211f x x f x =-'⋅+.(1)求()1f '的值;(2)求()f x 的图象在2x =处的切线方程.【答案】(1)()11f '=;(2)8110x y --=【解析】(1)因为()()3211f x x f x =-'⋅+,则()()2321f x x f x ''=-,所以,()()1321f f ''=-,解得()11f '=.(2)由(1)可知()321f x x x =-+,则()232f x x x '=-,则()25f =,()28f '=,因此,()f x 的图象在2x =处的切线方程为()582y x -=-,即8110x y --=.【变式1-2】若曲线2y x ax b =++在点(0,)P b 处的切线方程为10x y -+=,则a ,b 的值分别为()A.1,1B.1-,1C.1,1-D.1-,1-【答案】A【解析】因为2y x a '=+,所以0|x y a='=曲线2y x ax b =++在点(0,)b 处的切线10x y -+=的斜率为1,1a ∴=,又切点(0,)b 在切线10x y -+=上,010b ∴-+=1b ∴=.故选:A.【变式1-3】已知函数()2ln f x a x x =+的图象在1x =处的切线方程为30x y b -+=,则a b +=()A.2-B.1-C.0D.1【答案】B【解析】因为()2ln f x a x x =+,所以()2af x x x'=+.又()f x 的图象在1x =处的切线方程为30x y b -+=,所以()123f a '=+=,解得1a =,则()2ln f x x x =+,所以()11f =,代入切线方程得310b -+=,解得2b =-,故1a b +=-.故选:B.题型二“过”点求切线问题【例2】(多选)已知曲线()()3211f x x =++,则曲线过点()0,3P 的切线方程为()A.630x y +-=B.630x y -+=C.5260x y -+=D.3260x y -+=【答案】BD【解析】设切点坐标为()()300,211x x ++,()()261f x x '=+,∴切线斜率为()()20061k f x x '==+切线方程为()()()2003012161y x x x x ⎤=+-++⎦-⎡⎣曲线过点()0,3P ,代入得()()()20030362111x x x ⎡⎤++⎣=--⎦+可化简为()()032001113x x x +-+=,即3020023x x -=-,解得00x =或032x =-则曲线过点()0,3P 的切线方程为630x y -+=或3260x y -+=故选:BD【变式2-1】过原点的直线,m n 与分别与曲线()e xf x =,()lng x x =相切,则直线,m n 斜率的乘积为()A.-1B.1C.eD.1e【答案】B【解析】设()(),f x g x 的切点分别为()()1122,e ,,ln xx x x ,由题意可得()e xf x '=,()1g x x'=,所以()f x 在1x x =处的切线为()111e e x xy x x -=-,()g x 在2x x =处的切线为()2221ln y x x x x -=-,又因为两条切线过原点,所以()()1112220e e 010ln 0x x x x x x ⎧-=-⎪⎨-=-⎪⎩,解得121e x x =⎧⎨=⎩,所以直线,m n 斜率的乘积为()()1121e 1ef xg x ''=⨯=,故选:B【变式2-2】设点P 是曲线e e e ex xx x y ---=+上任意一点,直线l 过点P 与曲线相切,则直线l 的倾斜角的取值范围为______.【答案】π0,4⎛⎤⎥⎦⎝【解析】设直线l 的倾斜角为α2e e e e 4(e e e e e e x x x x x x x x x x y y -------''=∴=+++=()0e e 1x x y -≥∴≤<'+2][]tan (0,1,0,ααπ∴∈∈π0,4α⎛⎤∴∈ ⎥⎦⎝【变式2-3】过点()1,0作曲线e x y =的两条切线,则这两条切线的斜率之和为______.【答案】2e 1-【解析】0x >时,e x y =,设切点()11,ex x ,则11e ,e x xy k==',切线()1111:e e x xl y x x -=-过()1,0,()111e e 1x x x ∴-=-,2112,e x k ∴==,0x ≤时,e x y -=,切点()22,e xx -,22e ,e x x y k --=-=-',切线()2222:ee x x l y x x ---=--过()1,0,()222e e 1x x x --∴-=--,220,1x k ∴==-,故212e 1k k +=-.故答案为:2e 1-.题型三切线的条数问题【例3】若过点()0,(0)b b >只可以作曲线e xxy =的一条切线,则b 的取值范围是__________.【答案】24,e ∞⎛⎫+⎪⎝⎭【解析】函数e x x y =的定义域为R ,则1e x x y -'=,设切点坐标为000,e x x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭,则切线斜率为001e x x k -=,故切线方程为:()000001e e x x x x y x x --=-,又切线过点()0,(0)b b >,则()000200001e e e x x x x x x b x b --=-⇒=,设()2ex x h x =,则()()20e xx x h x -'==得,0x =或2x =,则当(),0x ∈-∞时,()0h x '<,函数()h x 单调递减,当()0,2x ∈时,()0h x '>,函数()h x 单调递增,当()2,x ∈+∞时,()0h x '<,函数()h x 单调递减,所以()()2400,2e h h ==,又x →-∞时,()h x →+∞,x →+∞时,()0h x →,所以02ex x b =有且只有一个根,且0b >,则24e b >,故b 的取值范围是24,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭.故答案为:24,e ∞⎛⎫+⎪⎝⎭.【变式3-1】若曲线(2)e x y x a =-有两条过坐标原点的切线,则实a 的取值范围为______.【答案】(,0)(8,)-∞⋃+∞【解析】设切点坐标为:00(,)x y ,(22)e x y x a '=+-,所以切线斜率为00(22)e x k x a =+-,即切线方程为0000(2)e (22)e ()x xy x a x a x x --=+--,又切线过坐标原点,所以00000(2)e (22)e (0)x x x a x a x --=+--,整理得20020x ax a -+=,又曲线有两条过坐标原点的切线,所以该方程有两个解,所以280a a ∆=->,解得(,0)(8,).a ∈-∞⋃+∞故答案为:(,0)(8,).-∞⋃+∞【变式3-2】已知过点(),0A a 可以作曲线()2e xy x =-的两条切线,则实数a 的取值范围是()A.()2,+∞B.()(),e 2,∞∞--⋃+C.()(),22,∞∞--⋃+D.()(),12,-∞-+∞【答案】C【解析】设切点是()00,P x y ,0R x ∈,即()0002e x y x =-,而()1exy x '=-故切线斜率()001e x k x =-,切线方程是()()()00002e 1e x xy x x x x --=--,又因为切线经过点(),0A a ,故()()()00002e 1e x xx x a x --=--,显然01x ≠,则()0000021111x a x x x x -=+=-+--,在01x ≠上有两个交点,令01x x =-,设()1,0h x x x x =+≠,则()222111x h x x x-=-=',令()0h x '=得11x =-,21x =,所以当(),1x ∈-∞-时,()0h x '>,()h x 单调递增,当()1,0x ∈-时,()0h x '<,()h x 单调递减,当()0,1x ∈时,()0h x '<,()h x 单调递减,当()1,x ∈+∞时,()0h x '>,()h x 单调递增,又()12h -=-,()12h =,且x →-∞时,()h x →-∞,0x -→时,()h x →-∞,0x +→时,()h x →+∞,x →+∞时,()h x →+∞,所以()a h x =有两个交点,则2a >或2a <-,故实数a 的取值范围是()(),22,∞∞--⋃+.故选:C.【变式3-3】已知函数()326f x x x =-,若过点()1,P t 可以作出三条直线与曲线()f x 相切,则t 的取值范围是()A.()5,4--B.()4,3--C.()3,2--D.()2,1--【答案】A【解析】设过点()1,P t 的切线与()f x 相切于点()32,6m m m -,()2312f x x x '=-,()2312f m m m '∴=-,则切线方程为:()()()3226312y m m m m x m --=--,又切线过点()1,P t ,()()()23232312162912t m m m m m m m m ∴=--+-=-+-,令()322912g m m m m =-+-,则问题等价于y t =与()g m 有三个不同的交点,()()()261812612g m m m m m '=-+-=---,∴当()(),12,m ∈-∞+∞时,()0g m '<;当()1,2m ∈时,()0g m '>;()g m ∴在()(),1,2,-∞+∞上单调递减,在()1,2上单调递增,又()15g =-,()24g =-,由此可得()g m 图象如下图所示,由图象可知:当()5,4t ∈--时,y t =与()g m 有三个不同的交点,即当()5,4t ∈--时,过点()1,P t 可以作出三条直线与曲线()f x 相切.故选:A.题型四两曲线的公切线问题【例4】若直线1:2l y kx b k ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭与曲线1()e x f x -=和()ln(1)g x x =+均相切,则直线l 的方程为___.【答案】y x=【解析】设()f x ,()g x 上的切点分别为()111,ex A x -,()()22,ln 1B x x+,由()1e xf x -'=,()11g x x '=+,可得1121e 1x k x -==+,故()f x 在A 处的切线方程为()()1111111111ee e e 1x x x x y x x y x x -----=-⇒=+-,()g x 在B 处的切线方程为()()()222222211ln 1ln 1111x y x x x y x x x x x -+=-⇒=++-+++,由已知()()()111122121221e 1ln 11e 1ln 11x x x x x x x x x --⎧=⇒-=+⎪+⎪⎨⎪-=+-⎪+⎩,所以()()()22222222221ln 1ln 1ln 11111x x x x x x x x x x ⎛⎫+=+-⇒=+ ⎪++++⎝⎭,故20x =或()2ln 11x +=,而()222111ln 111e 1e 2x x x +=⇒+=⇒=<+,不合题意舍去,故20x =,此时直线l 的方程为y x =.故答案为:y x =.【变式4-1】已知函数()e xf x =与函数()lng x x b =+存在一条过原点的公共切线,则b =________.【答案】2【解析】设该公切线过函数()e xf x =、函数()lng x x b =+的切点分别为()11,ex x ,()22,ln b x x +.因为()e xf x '=,所以该公切线的方程为()1111111e e e e ex x x x x y x x x x =-+=+-同理可得,该公切线的方程也可以表示为()2222211ln ln 1y x x x b x x b x x =-++=⋅++-因为该公切线过原点,所以()112121e e 10ln 10x x xx x b ⎧=⎪⎪⎪-=⎨⎪+-=⎪⎪⎩,解得1211,e ,2x x b ===.故答案为:2【变式4-2】函数()bf x ax x =+的图象在点(1,3)处的切线也是抛物线213x y =的切线,则a b -=()A.1B.3C.6D.2【答案】C【解析】()bf x ax x =+,则2()b f x a x '=-,则在点(1,3)处的切线的斜率为12(1)1bk f a a b '==-=-,213x y =,则6y x '=,则在点(1,3)处的切线的斜率为26k =,函数()bf x ax x =+的图象在点(1,3)处的切线也是抛物线213x y =的切线,则12k k =,即6a b -=,故选:C.【变式4-3】若曲线e x y a =与曲线y ==a __________.【解析】令()e x f x a =,()g x ()e xf x a '=,()g x '=设()f x 与()g x 的公共点为()00,x y ,()f x 与()g x 在公动点处有相同的切线,()()()()0000f x g x f x g x '⎧=∴'⎪⎨=⎪⎩,即00e e x x a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩=012x =,12e a ∴=a ==题型五切线平行、垂直问题【例5】若曲线ln x ay x+=在点()1,a 处的切线与直线:250l x y -+=垂直,则实数=a ().A.12B.1C.32D.2【答案】C 【解析】因为21ln x ay x --'=,所以曲线ln x ay x+=在点()1,a 处的切线的斜率为()111k f a ='=-,直线l 的斜率22k =,由切线与直线l 垂直知121k k =-,即()211a -=-,解得32a =.故选:C.【变式5-1】已知曲线y =y x =--24垂直的曲线的切线方程为_________.【答案】2250x y -+=【解析】设切点为(),m n ,因为y =y '=,因为曲线的切线与直线y x =--24垂直,()21-=-,解得25m =,又点(),m n在曲线y =25n ==,所以切点坐标为()25,25,所以曲线y =y x =--24垂直的切线方程为:()125252y x -=-,即2250x y -+=,故答案为:2250x y -+=.【变式5-2】若曲线s n e i =+x y x a 存在两条互相垂直的切线,则a 的取值范围是________.【答案】()(),00,∞-+∞U 【解析】由题知,令()e sin x f x a x =+,则()e cos xf x a x '=+.若函数曲线存在两条互相垂直的切线则可得1x ∃,2x ,()()121f x f x ''⋅=-.当0a =时,()21e 0,xx x f x '=>⇒∀,()()120f x f x ''>,与题目矛盾;当0a ≠时,由()e 0,xy =∈+∞,cos y a x a=≥-可得()f x '的值域是(),a -+∞故12,x x ∃,使得()()1,0f x a '∈-,()210,f x a ⎛⎫'∈ ⎪ ⎪⎝⎭,()()121f x f x ''⋅=-.故答案为:()(),00,∞-+∞U .【变式5-3】曲线33y x x =-+在点P 处的切线平行于直线21y x =-,则点P 的坐标为______.【答案】()1,3或()1,3-【解析】由已知得231y x '=-,令2y '=,则2312x -=,解得1x =或=1x -,所以()1,3P 或()1,3P -.经检验,点()1,3P 与()1,3P -均符合题意.故答案为:()1,3或()1,3-【变式5-4】若曲线()21ln 2f x x x ax =++存在与直线50x y -=平行的切线,则实数a 的最大值为______.【答案】3【解析】()()10f x x a x x=++>,因为曲线()21ln 2f x x x ax =++存在与直线50x y -=平行的切线,所以15x a x ++=在()0,∞+有解.即15a x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在()0,∞+有解.设()15g x x x⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,()0,x ∈+∞,则()1553g x x x ⎛⎫=-+≤-= ⎪⎝⎭,当且仅当1x x=,即1x =时等号成立,即()3g x ≤.所以3a ≤,即a 的最大值为3.故答案为:3题型六与切线有关的最值问题【例6】若动点P 在直线1y x =+上,动点Q 在曲线22x y =-上,则|PQ |的最小值为()A.14B.4C.22D.18【答案】B【解析】设与直线1y x =+平行的直线l 的方程为y x m =+,∴当直线l 与曲线22x y =-相切,且点Q 为切点时,P ,Q 两点间的距离最小,设切点()00,Q x y ,22x y =-,所以212y x =-,y x ∴'=-,0011x x ∴-=⇒=-,012y ∴=-,∴点11,2Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,∴直线l 的方程为12y x =+,,P Q ∴两点间距离的最小值为平行线12y x =+和1y x =+间的距离,,P Q ∴24=.故选:B .【变式6-1】在平面直角坐标系xOy 中,P 是曲线24x y =上的一个动点,则点P 到直线40x y ++=的距离的最小值是_____.【答案】2【解析】设直线0x y b ++=与214y x =相切,则切线的斜率为1-且12y x '=,令112y x '==-,则2x =-,即切点的横坐标为2-,将2x =-,代入214y x =,可得1y =,即切点坐标为()2,1-,所以点P 到直线40x y ++=的距离的最小值即为()2,1-到直线的距离,即2d =,故答案为:【变式6-2】已知P 为直线210x y +-=上的一个动点,Q 为曲线423242210x x y x x --++=上的一个动点,则线段PQ 长度的最小值为______.【解析】直线210x y +-=可化为:1122y x =-+.对于曲线423242210x x y x x --++=.当0x =时,代入10=不成立,所以0x ≠.所以423242210x x y x x --++=可化为22112122y x x x =-++,导数为31142y x x -'=-所以线段PQ 的最小值即为与1122y x =-+平行的直线与423242210x x y x x --++=相切时,两平行线间的距离.设切点(),Q m n .由题意可得:322111422112122m m n m m m ⎧--=-⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩,即32214112122m m n m m m ⎧=⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩,解得:234m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或234m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩.当Q ⎝⎭时,PQ当,324Q ⎛-+ ⎝⎭时,PQ =综上所述:线段PQ.【变式6-3】点P 是曲线2ln y x x =-上任意一点,且点P 到直线y x a =+的距离的a 的值是__________.【答案】2-【解析】由题设12y x x '=-且0x >,令0'>y ,即22x >;令0'<y ,即202x <<,所以函数2ln y x x =-在0,2⎛⎝⎭上单调递减,在,2⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增,且12|ln 022x y ->,如图所示,当P 为平行于y x a =+并与曲线2ln y x x =-相切直线的切点时,距离最近.令1y '=,可得12x =-(舍)或1x =,所以1|1x y ==,则曲线上切线斜率为1的切点为(1,1)P ,=2a =(舍去)或2-,故答案为:2-.。

例谈直线与曲线“相切”问题的求解

例谈直线与曲线“相切”问题的求解

例谈直线与曲线“相切”问题的求解作者:王天润来源:《中学生数理化·学习研究》2016年第08期类型一、根据直线与曲线“相切”,巧求参数的值例1(2016年全国Ⅱ卷理科第16题)若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b=。

解析:设直线y=kx+b与曲线y=lnx+2相切于点(x1,y1),则1x1=k,kx1+b=lnx1+2,由此可得b=-lnk+1①。

设直线y=kx+b与曲线y=ln(x+1)相切于点(x2,y2),则1x2+1=k,ln(x2+1)=kx2+b,由此可得-lnk=1-k+b②。

于是,根据①②可得b-1=1-k+b,化简得k=2,将之代入①即得b=1-ln2。

类型二、根据直线与曲线“相切”,巧求含参函数的零点个数例2已知a>1,试讨论函数f(x)=ax-x(a>1)的零点个数。

解析:先分析直线y=x与曲线y=ax(a>1)相切时,参数a的取值。

因为切点在直线y=x上,所以可设切点坐标为(x0,x0)。

由y=ax求导得y′=axlna,所以根据切线方程为y=x即得ax0lna=1(*)。

又由切点在曲线y=ax(a>1)上,得ax0=x0。

从而,可知x0lna=1,所以x0=logae,即ax0=e。

将之代入(*)得elna=1,所以a=e1e。

接下来,再结合图形分析。

根据指数函数的图像规律“当底数a>1时,底数越大函数值增长越快越靠近y轴,即底大图高;底数01)无公共点,即函数f(x)的零点个数为0;当a=e1e时,直线y=x与曲线y=ax(a>1)有1个公共点,即函数f(x)的零点个数为1;当11)有2个公共点,即函数f (x)的零点个数为2。

类型三、根据直线与曲线“相切”,巧求参数的取值范围例3(2016年西安八校联考(三)理科第12题)函数f(x)=lnx-ax2+x有两个零点,则实数a的取值范围是()。

专题02 曲线的切线问题探究【解析版】

专题02 曲线的切线问题探究【解析版】

第一章 函数与导数专题02 曲线的切线问题探究【压轴综述】纵观近几年的高考命题,对曲线的切线问题的考查,主要与导数相结合,涉及切线的斜率、倾斜角、切线方程等问题,题目的难度有难有易.利用导数的几何意义解题,主要题目类型有求切线方程、求切点坐标、求参数值(范围)等.与导数几何意义有关问题的常见类型及解题策略有: 1.已知斜率求切点.已知斜率k ,求切点()()11,x f x ,即解方程()f x k '=.2.求切线方程:注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线.即注意两个“说法”:求曲线在点P 处的切线方程和求曲线过点P 的切线方程,在点P 处的切线,一定是以点P 为切点,过点P 的切线,不论点P 在不在曲线上,点P 不一定是切点.(1)已知切点求切线方程:①求出函数()y f x =在点0x x =处的导数,即曲线()y f x =在点()()00,x f x 处切线的斜率;②由点斜式求得切线方程为()()000y y f x x x '-=-. (2)求过点P 的曲线的切线方程的步骤为: 第一步,设出切点坐标P ′(x 1,f(x 1));第二步,写出过P ′(x 1,f(x 1))的切线方程为y-f(x 1)=f ′(x 1)(x-x 1); 第三步,将点P 的坐标(x 0,y 0)代入切线方程,求出x 1;第四步,将x 1的值代入方程y-f(x 1)=f ′(x 1)(x-x 1)可得过点P(x 0,y 0)的切线方程.3.求切线倾斜角的取值范围.先求导数的范围,即确定切线斜率的范围,然后利用正切函数的单调性解决.4.根据导数的几何意义求参数的值(范围)时,一般是利用切点P (x 0,y 0)既在曲线上又在切线上构造方程组求解.5.已知两条曲线有公切线,求参数值(范围).6.导数几何意义相关的综合问题.【压轴典例】例1.(2019·江苏高考真题)在平面直角坐标系xOy 中,点A 在曲线y =ln x 上,且该曲线在点A 处的切线经过点(-e ,-1)(e 为自然对数的底数),则点A 的坐标是____. 【答案】(e, 1). 【解析】设点()00,A x y ,则00ln y x =.又1y x'=,当0x x =时,01y x '=, 点A 在曲线ln y x =上的切线为0001()y y x x x -=-, 即00ln 1xy x x -=-, 代入点(),1e --,得001ln 1ex x ---=-, 即00ln x x e =,考查函数()ln H x x x =,当()0,1x ∈时,()0H x <,当()1,x ∈+∞时,()0H x >, 且()'ln 1H x x =+,当1x >时,()()'0,H x H x >单调递增,注意到()H e e =,故00ln x x e =存在唯一的实数根0x e =,此时01y =, 故点A 的坐标为(),1A e .例2.(2019·全国高考真题(理)) 已知函数()11ln x f x x x -=-+.(1)讨论f (x )的单调性,并证明f (x )有且仅有两个零点;(2)设x 0是f (x )的一个零点,证明曲线y =ln x 在点A (x 0,ln x 0)处的切线也是曲线e xy =的切线. 【答案】(1)函数()f x 在(0,1)和(1,)+∞上是单调增函数,证明见解析; (2)证明见解析. 【解析】(1)函数()f x 的定义域为(0,1)(1,)⋃+∞,2211()ln ()1(1)x x f x x f x x x x ++'=-⇒=--,因为函数()f x 的定义域为(0,1)(1,)⋃+∞,所以()0f x '>,因此函数()f x 在(0,1)和(1,)+∞上是单调增函数;当(0,1)x ∈,时,0,x y →→-∞,而11112()ln 0111e f e e e e+=-=>--,显然当(0,1)x ∈,函数()f x 有零点,而函数()f x 在(0,1)x ∈上单调递增,故当(0,1)x ∈时,函数()f x 有唯一的零点;当(1,)x ∈+∞时,2222221213()ln 0,()ln 01111e e ef e e f e e e e e e +-+-=-=<=-=>----,因为2()()0f e f e ⋅<,所以函数()f x 在2(,)e e 必有一零点,而函数()f x 在(1,)+∞上是单调递增,故当(1,)x ∈+∞时,函数()f x 有唯一的零点综上所述,函数()f x 的定义域(0,1)(1,)⋃+∞内有2个零点; (2)因为0x 是()f x 的一个零点,所以000000011()ln 0ln 11x x f x x x x x ++=-=⇒=-- 1ln y x y x'=⇒=,所以曲线ln y x =在00A(,ln )x x 处的切线l 的斜率01k x =,故曲线ln y x =在00A(,ln )x x 处的切线l 的方程为:0001ln ()y x x x x -=-而0001ln 1x x x +=-,所以l 的方程为0021x y x x =+-,它在纵轴的截距为021x -.设曲线xy e =的切点为11(,)x B x e ,过切点为11(,)x B x e 切线'l ,x x y e y e '=⇒=,所以在11(,)x B x e 处的切线'l 的斜率为1x e ,因此切线'l 的方程为111(1)x xy e x e x =+-,当切线'l 的斜率11xk e =等于直线l 的斜率01k x =时,即11001(ln )x e x x x =⇒=-, 切线'l 在纵轴的截距为01ln 110001(1)(1ln )(1ln )x xb e x ex x x -=-=+=+,而0001ln 1x x x +=-,所以01000112(1)11x b x x x +=+=--,直线',l l 的斜率相等,在纵轴上的截距也相等,因此直线',l l 重合,故曲线ln y x =在00A(,ln )x x 处的切线也是曲线x y e =的切线.例3. (2019·湖北高考模拟(理))已知函数2()1f x x ax =-+,()ln ()g x x a a R =+∈. (1)讨论函数()()()h x f x g x =+的单调性;(2)若存在与函数()f x ,()g x 的图象都相切的直线,求实数a 的取值范围.【答案】(1)见解析;(2)(],1-∞ 【解析】(1)函数()h x 的定义域为()0,∞+,()()()2h x f x g x x ax lnx a 1(x 0)=+=-+++>,所以()212x ax 1x 2x a x xh -+=-+='所以当2Δa 80=-≤即a -≤≤()'x 0h >,()h x 在()0,∞+上单调递增;当2Δa 80=->即a a ><-当a <-()'x 0h >,()h x 在()0,∞+上单调递增;当a >时,令()'x 0h =得x =综上:当a ≤时,()h x 在()0,∞+上单调递增;当a >时()h x 在⎛ ⎝⎭,∞⎫+⎪⎪⎝⎭单调递增,在⎝⎭单调递减.(2)设函数()f x 在点()()11x ,f x 与函数()g x 在点()()22x ,g x 处切线相同,()()111x 2,x f x a g x''=-=,则()()()()121212f x g x x x x x f g -==-'',由1212x a x -=,得121a x 2x 2=+,再由()2112212x ax 1lnx a 1x x x -+-+=- 得2121122x x x ax 1lnx a x -=-+--,把121a x 2x 2=+代入上式得()222221a a lnx a 20*4x 2x 4++++-= 设()221a a F x lnx a 24x 2x 4=++++-(∵x 2>0,∴x ∈(0,+∞)), 则()23231a 12x ax 1x 2x 2x x 2xF --=--+=' 不妨设20002x ax 10(x 0)--=>. 当00x x <<时,()x 0F '<,当0x x >时,()x 0F '>所以()F x 在区间()00,x 上单调递减,在区间()0x ,∞+上单调递增, 把001a=2x x -代入可得:()()20000min1F x F x x 2x lnx 2x ==+-+- 设()21G x x 2x lnx 2x =+-+-,则()211x 2x 20x xG =+++>'对x 0>恒成立, 所以()G x 在区间()0,∞+上单调递增,又()G 1=0所以当0x 1<≤时()G x 0≤,即当00x 1<≤时()0F x 0≤,又当2ax e -=时,()22a 42a 2a 1a a F x lne a 24e 2e 4---=-+++- 22a 11a 04e -⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭因此当00x 1<≤时,函数()F x 必有零点;即当00x 1<≤时,必存在2x 使得()*成立; 即存在12x ,x 使得函数()f x 在点()()11x ,f x 与函数()g x 在点()()22x ,g x 处切线相同. 又由()1y 2x 0,1x=-在单调递增得,因此(]0001a=2x ,x 0,1x -∈所以实数a 的取值范围是(],1-∞. 【总结提升】(1)求切线方程的方法:①求曲线在点P 处的切线,则表明P 点是切点,只需求出函数在点P 处的导数,然后利用点斜式写出切线方程;②求曲线过点P 的切线,则P 点不一定是切点,应先设出切点坐标,然后列出切点坐标的方程解出切点坐标,进而写出切线方程;(2)处理与切线有关的参数问题,通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数:①切点处的导数是切线的斜率;②切点在切线上;③切点在曲线上. 例4.(2019·山东高考模拟(文))已知函数ln 1()x f x x+=. (Ⅰ)证明:2()f x e x e ≤-; (Ⅱ)若直线(0)yax b a =+>为函数()f x 的切线,求b a的最小值.【答案】(1)见解析.(2) 1e-.【解析】(Ⅰ)证明:整理2()f x e x e ≤-得22ln 10(0)x e x ex x -++≤>令22()ln 1g x x e x ex =-++,2221(1)(21)()e x ex ex ex g x x x-++-+'==-当10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,()0g x '>,所以()g x 在1(0,)e上单调递增;当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭,()0g x '<,所以()g x 在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减,所以1()0g x g e ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭,不等式得证.(Ⅱ)221(ln 1)ln ()x xf x x x-+-'==,设切点为()()00,x f x , 则02ln x a x -=,函数()f x 在()()00,x f x 点处的切线方程为()()()000y f x f x x x '-=- ()000200ln 1ln x x y x x x x +-=--,令0x =,解得002ln 1x b x +=, 所以()0002ln 1ln x x ba x +=-,令()()00002ln 1ln x x h x x +=-, 因为0a >,02ln 0x x ->,所以100<<x , ()()()()20000000022202ln 3ln 2ln 12ln 1ln 12ln ln 1ln ln ln x x x x x x x h x x x x +---++-'=-=-=-,当010,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,()00h x '<,所以()h x 在10,e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减;当1,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,()00h x '<,所以()h x 在1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增,因为100<<x ,()011h x h e e⎛⎫≥=- ⎪⎝⎭. 【思路点拨】(1)由2()f x e x e ≤-即为22ln 10(0)x e x ex x -++≤>,令22()ln 1g x x e x ex =-++,利用导数求得函数()g x 的单调性与最值,即可得到结论; (2)求得函数()f x 的导数,设出切点,可得020ln x a x -=的值和切线方程,令0x =,求得002ln 1x b x +=,令()()00002ln 1ln x x h x x +=-,利用导数求得函数()0h x 的单调性与最小值.对于恒成立问题,往往要构造新函数,利用导数研究函数的单调性,求出最值,进而得出相应的含参不等式,从而求出参数的取值范围;也可分离变量,构造新函数,直接把问题转化为函数的最值问题. 例5.(2014·北京高考真题(文))已知函数3()23f x x x =-. (1)求()f x 在区间[2,1]-上的最大值;(2)若过点(1,)P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切,求t 的取值范围;(3)问过点(1,2),(2,10),(0,2)A B C -分别存在几条直线与曲线()y f x =相切?(只需写出结论) 【答案】 【解析】(1)由3()23f x x x =-得2'()63f x x =-,令'()0f x =,得x =或2x =, 因为(2)10f -=-,(2f -=()2f -=(1)1f =-, 所以()f x 在区间[2,1]-上的最大值为(f =(2)设过点P (1,t )的直线与曲线()y f x =相切于点00(,)x y ,则300023y x x =-,且切线斜率为2063k x =-,所以切线方程为2000(63)()y y x x x -=--,因此2000(63)(1)t y x x -=--,整理得:32004630x x t -++=,设()g x =32463x x t -++,则“过点(1,)P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切”等价于“()g x 有3个不同零点”,()g x '=21212x x -=12(1)x x -,()g x 与()g x '的情况如下:所以,31t -<<-是()g x 的极大值,31t -<<-是()g x 的极小值, 当,即1t ≥-时,此时()g x 在区间(,0)-∞和(1,)+∞上分别至多有1个零点,所以()g x 至多有2个零点,当,(1,)P t 时,此时()g x 在区间(,0)-∞和(,0)-∞上分别至多有1个零点,所以()g x 至多有2个零点.当且(3,1)--,即时,因为,,所以()g x 分别为区间和()g x 上恰有1个零点,由于()g x 在区间(,0)-∞和(1,)+∞上单调,所以()g x 分别在区间(,0)-∞和上恰有1个零点.综上可知,当过点(1,)P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切时,t 的取值范围是.(3)过点A (-1,2)存在3条直线与曲线()y f x =相切; 过点B (2,10)存在2条直线与曲线()y f x =相切; 过点C (0,2)存在1条直线与曲线()y f x =相切.例6. (2018·天津高考真题(理))已知函数()xf x a =, ()log a g x x =,其中a >1.(I )求函数()()ln h x f x x a =-的单调区间;(II )若曲线()y f x =在点()()11,x f x 处的切线与曲线()y g x =在点()()22,x g x 处的切线平行,证明()122lnln ln ax g x a+=-; (III )证明当1ea e ≥时,存在直线l ,使l 是曲线()y f x =的切线,也是曲线()y g x =的切线. 【答案】(Ⅰ)单调递减区间(),0-∞,单调递增区间为()0,+∞;(Ⅱ)证明见解析;(Ⅲ)证明见解析. 【解析】(I )由已知, ()xh x a xlna =-,有()xh x a lna lna ='-.令()0h x '=,解得x =0.由a >1,可知当x 变化时, ()h x ', ()h x 的变化情况如下表:所以函数()h x 的单调递减区间为(),0-∞,单调递增区间为()0,+∞.(II )由()x f x a lna '=,可得曲线()y f x =在点()()11,x f x 处的切线斜率为1xa lna .由()1g x xlna=',可得曲线()y g x =在点()()22,x g x 处的切线斜率为21x lna .因为这两条切线平行,故有121xa lna x lna=,即()1221x x a lna =. 两边取以a 为底的对数,得21220a log x x log lna ++=,所以()122lnlnax g x lna+=-. (III )曲线()y f x =在点()11,x x a 处的切线l 1: ()111xxy a a lna x x -=⋅-.曲线()y g x =在点()22,a x log x 处的切线l 2: ()2221a y log x x x x lna-=⋅-. 要证明当1ea e ≥时,存在直线l ,使l 是曲线()y f x =的切线,也是曲线()y g x =的切线, 只需证明当1ea e ≥时,存在()1,x ∈-∞+∞, ()20,x ∈+∞,使得l 1和l 2重合.即只需证明当1ea e ≥时,方程组1112121{1x x x a a lna x lnaa x a lna log x lna=-=-①②有解,由①得()1221x x a lna =,代入②,得1111120x x lnlna a x a lna x lna lna-+++=. ③ 因此,只需证明当1ea e ≥时,关于x 1的方程③存在实数解. 设函数()12x x lnlnau x a xa lna x lna lna=-+++, 即要证明当1ea e ≥时,函数()y u x =存在零点.()()21x u x lna xa '=-,可知(),0x ∈-∞时, ()0u x '>;()0,x ∈+∞时, ()u x '单调递减,又()010u '=>, ()()212110lna u a lna ⎡⎤=-<⎢⎥⎥'⎢⎣⎦, 故存在唯一的x 0,且x 0>0,使得()00u x '=,即()02010x lna x a-=.由此可得()u x 在()0,x -∞上单调递增,在()0,x +∞上单调递减.()u x 在0x x =处取得极大值()0u x .因为1ea e ≥,故()1ln lna ≥-, 所以()()000000201212220xxlnlna lnlna lnlna u x a x a lna x x lna lna lna lna x lna +=-+++=++≥≥. 下面证明存在实数t ,使得()0u t <.由(I )可得1xa xlna ≥+,当1x lna>时, 有()()()1211lnlnau x xlna xlna x lna lna≤+-+++()22121lnlna lna x x lna lna=-++++, 所以存在实数t ,使得()0u t <因此,当1e a e ≥时,存在()1,x ∈-∞+∞,使得()10u x =.所以,当1ea e ≥时,存在直线l ,使l 是曲线()y f x =的切线,也是曲线()y g x =的切线. 例7.(2015·广东高考真题(理))(14分)(2015•广东)设a >1,函数f (x )=(1+x 2)e x﹣a . (1)求f (x )的单调区间;(2)证明f (x )在(﹣∞,+∞)上仅有一个零点;(3)若曲线y=f (x )在点P 处的切线与x 轴平行,且在点M (m ,n )处的切线与直线OP 平行,(O 是坐标原点),证明:m≤﹣1.【答案】(1)f (x )=(1+x 2)e x﹣a 在(﹣∞,+∞)上为增函数. (2)见解析 (3)见解析 【解析】(1)f'(x )=e x(x 2+2x+1)=e x(x+1)2∴f′(x )≥0,∴f(x )=(1+x 2)e x﹣a 在(﹣∞,+∞)上为增函数. (2)证明:由(1)问可知函数在(﹣∞,+∞)上为增函数. 又f (0)=1﹣a , ∵a>1.∴1﹣a <0∴f(0)<0.当x→+∞时,f (x )>0成立. ∴f(x )在(﹣∞,+∞)上有且只有一个零点 (3)证明:f'(x )=e x(x+1)2,设点P (x 0,y 0)则)f'(x )=e x0(x 0+1)2,∵y=f(x )在点P 处的切线与x 轴平行,∴f'(x 0)=0,即:e x0(x 0+1)2=0, ∴x 0=﹣1将x 0=﹣1代入y=f (x )得y 0=.∴,∴…10分令;g (m )=e m﹣(m+1)g (m )=e m﹣(m+1), 则g'(m )=e m﹣1,由g'(m )=0得m=0. 当m∈(0,+∞)时,g'(m )>0 当m∈(﹣∞,0)时,g'(m )<0 ∴g(m )的最小值为g (0)=0…12分 ∴g(m )=e m ﹣(m+1)≥0 ∴e m≥m+1∴e m(m+1)2≥(m+1)3即: ∴m≤…14分例8.(2019·四川棠湖中学高考模拟(文))已知抛物线2:4C x y = ,M 为直线:1l y =-上任意一点,过点M 作抛物线C 的两条切线MA,MB ,切点分别为A,B.(1)当M 的坐标为(0,-1)时,求过M,A,B 三点的圆的方程; (2)证明:以AB 为直径的圆恒过点M. 【答案】(1)22(1)4x y +-=(2)见证明 【解析】(1)解:当M 的坐标为(0,1)-时,设过M 点的切线方程为1y kx =-,由24,1,x y y kx ⎧=⎨=-⎩消y 得2440x kx -+=. (1) 令2(4)440k ∆=-⨯=,解得1k =±. 代入方程(1),解得A(2,1),B(-2,1).设圆心P 的坐标为(0,)a ,由PM PB =,得12a +=,解得1a =. 故过,,M A B 三点的圆的方程为22(1)4x y +-=.(2)证明:设0(,1)M x -,由已知得24x y =,12y x '=,设切点分别为211(,)4x A x ,222(,)4x B x ,所以12MA x k =,22MB xk =, 切线MA 的方程为2111()42x x y x x -=-即2111124y x x x =-,切线MB 的方程为2222()42x x y x x -=-即2221124y x x x =-.又因为切线MA 过点0(,1)M x -,所以得201111124x x x -=-. ① 又因为切线MB 也过点0(,1)M x -,所以得202211124x x x -=-. ②所以1x ,2x 是方程2011124x x x -=-的两实根,由韦达定理得1202,x x x +=124x x =-.因为2110(,1)4x MA x x =-+uuu r ,2220(,1)4x MB x x =-+uuu r ,所以22121020()()(1)(1)44x x MA MB x x x x ⋅=--+++uuu r uuu r22221212012012121()()21164x x x x x x x x x x x x ⎡⎤=-+++++-+⎣⎦. 将1202,x x x +=124x x =-代入,得0MA MB ⋅=. 所以以AB 为直径的圆恒过点M .【压轴训练】1.(2019·湖南高考模拟(理))过抛物线()220x py p =>上两点,A B 分别作抛物线的切线,若两切线垂直且交于点()12P -,,则直线AB 的方程为( ) A .122y x =+ B .134y x =+ C .132y x =+ D .124y x =+ 【答案】D 【解析】由22x py =,得22x y p=,∴'x y p =.设()()1122,,,A x y B x y ,则1212','x x x x x x y y p p====,抛物线在点A 处的切线方程为2112x x y x p p=-, 点B 处的切线方程为2222x x y x p p=-, 由21122222x x y x p px x y x p p⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,解得121222x x x x x y p +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩, 又两切线交于点()1,2P -,∴12121222x x x x p+⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,故得12122,4x x x x p +==- (*). ∵过,A B 两点的切线垂直,∴121x x p p⋅=-, 故212x x p =-,∴4p =,故得抛物线的方程为28x y =.由题意得直线AB 的斜率存在,可设直线方程为y kx b =+, 由28y kx bx y=+⎧⎨=⎩消去y 整理得2880x kx b --=, ∴12128,8x x k x x b +==- (**),由(*)和(**)可得14k =且2b =, ∴直线AB 的方程为124y x =+.故选:D .2.(2019·山东高考模拟(文))设函数的图象上任意一点处的切线为,若函数的图象上总存在一点,使得在该点处的切线满足,则的取值范围是__________.【答案】【解析】,即又,即本题正确结果:3.(2019·山东高考模拟(理))已知函数()2f x x 2ax =+,()2g x 4a lnx b =+,设两曲线()y f x =,()y g x =有公共点P ,且在P 点处的切线相同,当()a 0,∞∈+时,实数b 的最大值是______.【答案】【解析】 设()00,P x y ,()'22f x x a =+,()24'a g x x=.由题意知,()()00f x g x =,()()00''f x g x =,即2200024x ax a lnx b +=+,①200422a x a x +=,②解②得0x a =或02(x a =-舍),代入①得:2234b a a lna =-,()0,a ∞∈+,()'684214b a alna a a lna =--=-,当140,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,'0b >,当14,a e ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时,'0b <.∴实数b的最大值是1144b e elne ⎛⎫== ⎪⎝⎭.故答案为:4.(2013·北京高考真题(理))设l 为曲线C :在点(1,0)处的切线.(I)求l 的方程;(II)证明:除切点(1,0)之外,曲线C 在直线l 的下方 【答案】(I)(II)见解析【解析】 (1)设f(x)=,则f′(x)=所以f′(1)=1,所以L 的方程为y =x -1.(2)证明:令g(x)=x -1-f(x),则除切点之外,曲线C 在直线L 的下方等价于g(x)>0(∀x>0,x≠1). g(x)满足g(1)=0,且g′(x)=1-f′(x)=.当0<x <1时,x 2-1<0,ln x <0,所以g′(x)<0,故g(x)单调递减; 当x>1时,x 2-1>0,ln x>0,所以g′(x)>0,故g(x)单调递增. 所以,g(x)>g(1)=0(∀x>0,x≠1). 所以除切点之外,曲线C 在直线L 的下方.5.(2015·天津高考真题(文))已知函数(Ⅰ)求的单调区间;(Ⅱ)设曲线与轴正半轴的交点为P,曲线在点P处的切线方程为,求证:对于任意的正实数,都有;(Ⅲ)若方程有两个正实数根且,求证:.【答案】(Ⅰ)的单调递增区间是,单调递减区间是;(Ⅱ)见试题解析;(Ⅲ)见试题解析.【解析】(Ⅰ)由,可得的单调递增区间是,单调递减区间是;(Ⅱ),,证明在单调递增,在单调递减,所以对任意的实数x,,对于任意的正实数,都有;(Ⅲ)设方程的根为,可得,由在单调递减,得,所以.设曲线在原点处的切线为方程的根为,可得,由在在单调递增,且,可得所以.试题解析:(Ⅰ)由,可得,当,即时,函数单调递增;当,即时,函数单调递减.所以函数的单调递增区间是,单调递减区间是.(Ⅱ)设,则,曲线在点P处的切线方程为,即,令即则.由于在单调递减,故在单调递减,又因为,所以当时,,所以当时,,所以在单调递增,在单调递减,所以对任意的实数x,,对于任意的正实数,都有.(Ⅲ)由(Ⅱ)知,设方程的根为,可得,因为在单调递减,又由(Ⅱ)知,所以.类似的,设曲线在原点处的切线为可得,对任意的,有即.设方程的根为,可得,因为在单调递增,且,因此,所以.6.(2013·福建高考真题(文))已知函数(为自然对数的底数)(Ⅰ)若曲线在点处的切线平行于轴,求的值;(Ⅱ)求函数的极值;(Ⅲ)当时,若直线与曲线没有公共点,求的最大值.【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)当时,函数无极小值;当,在处取得极小值,无极大值(Ⅲ)的最大值为【解析】(1)由,得.又曲线在点处的切线平行于轴,得,即,解得.(2),①当时,,为上的增函数,所以函数无极值.②当时,令,得,.,;,.所以在上单调递减,在上单调递增,故在处取得极小值,且极小值为,无极大值.综上,当时,函数无极小值当,在处取得极小值,无极大值.(3)当时,令,则直线:与曲线没有公共点,等价于方程在上没有实数解.假设,此时,,又函数的图象连续不断,由零点存在定理,可知在上至少有一解,与“方程在上没有实数解”矛盾,故.又时,,知方程在上没有实数解.所以的最大值为.解法二:(1)(2)同解法一.(3)当时,.直线:与曲线没有公共点,等价于关于的方程在上没有实数解,即关于的方程:(*)在上没有实数解.①当时,方程(*)可化为,在上没有实数解.②当时,方程(*)化为.令,则有.令,得,当变化时,的变化情况如下表:当时,,同时当趋于时,趋于,从而的取值范围为.所以当时,方程(*)无实数解, 解得的取值范围是.综上,得的最大值为.7.(2013·北京高考真题(文))已知函数f (x )=x 2+x sin x +cos x . (1)若曲线y =f (x )在点(a ,f (a ))处与直线y =b 相切,求a 与b 的值; (2)若曲线y =f (x )与直线y =b 有两个不同交点,求b 的取值范围.【答案】(Ⅰ)求两个参数,需要建立两个方程.切点在切线上建立一个,利用导数的几何意义建立另一个,联立求解.(Ⅱ)利用导数分析曲线的走势,数形结合求解.【解析】由f(x)=x 2+xsin x +cos x ,得f′(x)=2x +sin x +x(sin x)′-sin x =x(2+cos x).(1)因为曲线y =f(x)在点(a ,f(a))处与直线y =b 相切,所以f′(a)=a(2+cos a)=0,b =f(a). 解得a =0,b =f(0)=1. (5分) (2)设g(x)=f(x)-b =x 2+xsin x +cos x -b. 令g′(x)=f′(x)-0=x(2+cos x)=0,得x =0. 当x 变化时,g′(x),g(x)的变化情况如下表:所以函数g(x)在区间(-∞,0)上单调递减,在区间(0,+∞)上单调递增,且g(x)的最小值为g(0)=1-b.①当1-b≥0时,即b≤1时,g(x)=0至多有一个实根,曲线y =f(x)与y =b 最多有一个交点,不合题意. ②当1-b<0时,即b>1时,有g(0)=1-b<0, g(2b)=4b 2+2bsin 2b +cos 2b -b>4b -2b -1-b>0. ∴y=g(x)在(0,2b)内存在零点,又y =g(x)在R 上是偶函数,且g(x)在(0,+∞)上单调递增, ∴y=g(x)在(0,+∞)上有唯一零点,在(-∞,0)也有唯一零点. 故当b>1时,y =g(x)在R 上有两个零点, 则曲线y =f(x)与直线y =b 有两个不同交点.综上可知,如果曲线y =f(x)与直线y =b 有两个不同交点,那么b 的取值范围是(1,+∞).(12分)8.(2019·北京高考模拟(文))已知函数32()f x x ax =-.(Ⅰ)当3a =时,求函数()f x 在区间]2,0[上的最小值;(Ⅱ)当3a >时,求证:过点(1,(1))P f 恰有2条直线与曲线()y f x =相切. 【答案】(I )4-.(Ⅱ)见解析. 【解析】(Ⅰ)当a =3时,f (x )=x 3﹣3x 2,f '(x )=3x 2﹣6x =3x (x ﹣2). 当x ∈[0,2]时,f '(x )≤0, 所以f (x )在区间[0,2]上单调递减.所以f (x )在区间[0,2]上的最小值为f (2)=﹣4.(Ⅱ)设过点P (1,f (1))的曲线y =f (x )的切线切点为(x 0,y 0),f '(x )=3x 2﹣2ax ,f (1)=1﹣a ,所以()()()32000200001321y x ax y a x ax x ⎧=-⎪⎨--=--⎪⎩,.所以()3200023210x a x ax a -+++-=.令g (x )=2x 3﹣(a +3)x 2+2ax +1﹣a ,则g '(x )=6x 2﹣2(a +3)x +2a =(x ﹣1)(6x ﹣2a ), 令g '(x )=0得x =1或3ax =, 因为a >3,所以1a >.∴g (x )的极大值为g (1)=0,g (x )的极小值为()103a g g ⎛⎫=⎪⎝⎭<, 所以g (x )在3a ,⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上有且只有一个零点x =1.因为g (a )=2a 3﹣(a +3)a 2+2a 2+1﹣a =(a ﹣1)2(a +1)>0,所以g (x )在3a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭,上有且只有一个零点. 所以g (x )在R 上有且只有两个零点.即方程()3200023210x a x ax a -+++-=有且只有两个不相等实根,所以过点P (1,f (1))恰有2条直线与曲线y =f (x )相切. 9.(2019·四川高考模拟(理))已知函数,.(1)若,求函数在区间(其中,是自然对数的底数)上的最小值;(2)若存在与函数,的图象都相切的直线,求实数的取值范围.【答案】(1)见解析;(2).【解析】 (1)由题意,可得,,令,得. ①当时,在上单调递减,∴.②当时,在上单调递减,在上单调递增,∴.综上,当时,,当时,.(2)设函数在点处与函数在点处有相同的切线,则,∴,∴,代入得.∴问题转化为:关于的方程有解,设,则函数有零点,∵,当时,,∴. ∴问题转化为:的最小值小于或等于0.,设,则当时,,当时,.∴在上单调递减,在上单调递增,∴的最小值为.由知,故.设,则,故在上单调递增,∵,∴当时,,∴的最小值等价于.又∵函数在上单调递增,∴.10.(2019·湖南高考模拟(理))设函数()()()22,42x f x e ax g x x x =+=++.(Ⅰ)讨论()y f x =的极值;(Ⅱ)若曲线()y f x =和曲线()y g x =在点()0,2P 处有相同的切线,且当2x ≥-时,()()mf x g x ≥,求m 的取值范围 .【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)21,e ⎡⎤⎣⎦.【解析】 (Ⅰ)∵()()2xf x eax =+,∴()()2xf x e ax a '=++.①当0a =时,()20xf x e '=>恒成立,所以()f x 在R 上单调递增,无极值.②当0a >时,由()0f x '=得2a x a+=-, 且当2a x a +<-时,()0,()f x f x '<单调递减;当2a x a+>-时,()0,()f x f x '>单调递增. 所以当2a x a+=-时,()f x 有极小值,且()2=a a f x ae +--极小值,无极大值. ③当0a <时,由()0f x '=得2a x a+=-,且当2a x a +<-时,()0,()f x f x '>单调递增;当2a x a+>-时,()0,()f x f x '<单调递减.所以当2a x a+=-时,()f x 有极大值,且()2=a a f x ae +--极大值,无极小值. 综上所述,当0a =时,()f x 无极值; 当0a >时,()2=a af x ae +--极小值,无极大值; 当0a <时, ()2=a af x ae +--极大值,无极小值.(Ⅱ)由题意得()2+4g x x '=,∵()y f x =和()y g x =在点()0,2P 处有相同的切线, ∴(0)(0)f g ='',即24a +=,解得2a =, ∴()()22xf x ex =+.令()()()()222(42)xF x mf x g x me x x x =-=+-++,则()()()124xF x me x '=-+,由题意可得()0220F m =-≥,解得1m ≥. 由()0F x '=得12ln ,2x m x =-=-.①当ln 2m ->-,即21m e ≤<时,则120x -<≤,∴当()12,x x ∈-时,()0,()F x F x '<单调递减;当()1,x x ∈+∞时,()0,()F x F x '>单调递增, ∴()()2,F x -+∞在上的最小值为()()2112111224220F x x x x x x =+---=-+≥,∴()()mf x g x ≥恒成立.②当ln 2m -=-,即2m e =时,则()()2()124x F x ex +'=-+,∴当2x ≥-时,()0,()F x F x '≥在()2,-+∞上单调递增, 又(2)0F -=,∴当2x ≥-时,()0F x ≥,即()()mf x g x ≥恒成立. ③当ln 2m -<-,即2m e >时, 则有()222(2)2220F me em e --=-=--+<-,从而当2x ≥-时,()()g x mf x ≤不可能恒成立.综上所述m 的取值范围为21,e ⎡⎤⎣⎦.11.(2019·天津高考模拟(理))已知函数()()()()21ln f x x x x a a R =---∈.(1)若()f x 在()0,∞+上单调递减,求a 的取值范围;(2)若()f x 在1x =处取得极值,判断当(]0,2x ∈时,存在几条切线与直线2y x =-平行,请说明理由; (3)若()f x 有两个极值点12,x x ,求证:1254x x +>. 【答案】(Ⅰ)(],1-∞;(Ⅱ)答案见解析;(Ⅲ)证明见解析. 【解析】(Ⅰ)由已知,()()11ln 2ln 2120x f x x x a x x a x x-=+--=--++≤'恒成立 令()1ln 212g x x x a x=--++,则()()()222221111212(0)x x x x g x x x x x x-+--++='=+-=>, ()210x -+<,令()'0g x >,解得:01x <<,令()'0g x <,解得:1x >,故()g x 在()0,1递增,在()1,+∞递减,()()max 122g x g a ∴==-,由()'0f x ≤恒成立可得1a ≤.即当()f x 在()0,+∞上单调递减时,a 的取值范围是(],1-∞. (Ⅱ)()f x 在1x =处取得极值,则()’10f =,可得1a =. 令()1ln 232f x x x x -'=-+=-,即 1ln 250x x x--+=. 设()1ln 25h x x x x =--+,则()()()222221111212x x x x h x x x x x-+--++='=+-=. 故()h x 在()0,1上单调递增,在()1,2上单调递减, 注意到()55520h eee --=--<,()()112,2ln202h h ==+>, 则方程1ln 250x x x--+=在(]0,2内只有一个实数根, 即当(]0,2x ∈时,只有一条斜率为2-且与函数()f x 图像相切的直线. 但事实上,若1a =,则()1'ln 23f x x x x=--+, ()()()2121''x x f x x--+=,故函数()'f x 在区间()0,1上单调递增,在区间()1,2上单调递减, 且()'101230f =--+=,故函数()'0f x ≤在区间(]0,2上恒成立, 函数()f x 在区间(]0,2上单调递减,即函数不存在极值点, 即不存在满足题意的实数a ,也不存在满足题意的切线. (Ⅲ)若函数有两个极值点12,x x ,不妨设120x x <<, 由(Ⅰ)可知1a >,且:()11111ln 212f x x x a x -+'=-+①, ()22221ln 212f x x x a x -+'=-+②, 由①-②得:()()112112122121221211ln20,2ln 0,2x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫-+--=∴--=->∴< ⎪⎝⎭, 即12112x x e>> , 由①+②得:()()12121212ln 2240x x x x x x a x x ++--++=, ()121212ln 24124512242x x a x x x x ++-++∴+=>=++. 12.(2019·辽宁高考模拟(理))已知a R ∈,函数()()2ln ,0,6.f x a x x x =+∈()I 讨论()f x 的单调性;()II 若2x -是()f x 的极值点,且曲线()y f x =在两点()()()()1122,,,P x f x Q x f x ()12xx <处的切线相互平行,这两条切线在y 轴上的截距分别为12,b b ,求12b b -的取值范围 【答案】()I 当13a ≤时,()f x 在()0,6上单调递减,无单调递增区间;当13a >时,()f x 在20,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减,2,6a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增;()II 2ln 2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭.【解析】(Ⅰ)()2222a ax f x x x x-'=-+=.()0,6x ∈Q ∴ ①当0a ≤时,()0f x '<在()0,6x ∈上恒成立. ∴ ()f x 在()0,6上单调递减,无单调递增区间;②当0a >,且26a≥,即103≤a <时,()0f x '<在()0,6x ∈上恒成立.∴ ()f x 在()0,6上单调递减,无单调递增区间;③当0a >,且26a <,即13a >时,在20,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上,()0f x '<,在2,6x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上,()0f x '>,∴ ()f x 在20,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减,2,6a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增.综上,当13a ≤时,()f x 在()0,6上单调递减,无单调递增区间;当13a >时,()f x 在20,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减,2,6a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增. (Ⅱ)2x =是()f x 的极值点,∴由()1可知22,1a a=∴= 设在()()11.P x f x 处的切线方程为()112111221ln y x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在()()22,Q x f x 处的切线方程为()222222221ln y x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∴若这两条切线互相平行,则2211222121x x x x -+=-+,121112x x ∴+= 令0x =,则1114ln 1b x x =+-,同理,2224ln 1b x x =+- 【解法一】211112x x =-Q121212114ln ln b b x x x x ⎛⎫∴-=-+-= ⎪⎝⎭ 111211114ln ln 22x x x ⎛⎫⎛⎫=--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设()182ln ln 2g x x x x ⎛⎫=--+-⎪⎝⎭,11,43x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()2211168180122x x g x x x x x-+'∴=--=<--,()g x ∴在区间11,43⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,()2ln2,03g x ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭即12b b -的取值范围是2ln2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭【解法二】12122x x x =-Q 121212114ln ln b b x x x x ⎛⎫∴-=-+-= ⎪⎝⎭1182ln 12x x ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭令()1182ln 12x g x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭,其中()3,4x ∈ ()()2228181622x x g x x x x x -+'∴=-+=-- ()()22402x x x -=>-∴函数()g x 在区间()3,4上单调递增,()2ln2,03g x ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭.∴ 12b b -的取值范围是2ln2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭【解法三】()12122x x x x =+Q g121212114ln ln b b x x x x ⎛⎫∴-=-+-= ⎪⎝⎭ ()2111224ln ·x x x x x x -+ ()2112122ln x x x x x x -=++ 12112221ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=++设()()21ln 1x g x x x-=++,则()()()()22214111x g x x x x x --'=+=++ 11211,122x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭Q,()0g x ∴'>,∴函数()g x 在区间1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,()2ln2,03g x ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭∴ 12b b -的取值范围是2ln2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭.13.(2019·安徽高考模拟(文))已知函数()ln x f x x =+,直线l :21y kx =-.(Ⅰ)设(,)P x y 是()y f x =图象上一点,O 为原点,直线OP 的斜率()k g x =,若()g x 在(,1)x m m ∈+(0)m >上存在极值,求m 的取值范围;(Ⅱ)是否存在实数k ,使得直线l 是曲线()y f x =的切线?若存在,求出k 的值;若不存在,说明理由; (Ⅲ)试确定曲线()y f x =与直线l 的交点个数,并说明理由. 【答案】11e m e k -<<=Ⅰ,(Ⅱ),(Ⅲ)见解析 【解析】 (Ⅰ)∵()ln (0)y x x g x x x x +==>,∴()1ln 0xg x x='-=,解得x e =. 由题意得: 01m e m <<<+,解得1e m e -<<.(Ⅱ)假设存在实数k ,使得直线是曲线()y f x =的切线,令切点()00,P x y , ∴切线的斜率0121k x =+. ∴切线的方程为()()00001ln 1y x x x x x ⎛⎫-+=+- ⎪⎝⎭,又∵切线过(0,-1)点,∴()()000011ln 10x x x x ⎛⎫--+=+- ⎪⎝⎭.解得01x =,∴22k =, ∴1k =.(Ⅲ)由题意,令ln 21x x kx +=-, 得 ln 12x x k x++=.令()ln 1(0)2x x h x x x ++=>, ∴()2ln 2xh x x-=',由()0h x '=,解得1x =. ∴()h x 在(0,1)上单调递增,在()1,+∞上单调递减,∴()()max 11h x h ==,又0x →时,()h x →-∞;x →+∞时,()1ln 11222x h x x +=+→, {}1,12k ⎛⎤∴∈-∞⋃ ⎥⎝⎦时,只有一个交点;1,12k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,有两个交点;()1,k ∈+∞时,没有交点.14. (2019·河北高考模拟(理))已知函数()xf x e =,()g x alnx(a 0)=>. ()1当x 0>时,()g x x ≤,求实数a 的取值范围;()2当a 1=时,曲线()y f x =和曲线()y g x =是否存在公共切线?并说明理由.【答案】(1)(]0,e ;(2)存在公共切线,理由详见解析.【解析】()1令()()ln m x g x x a x x =-=-,则()1a a x m x x x-=-='. 若0x a <<,则()0m x '>,若x a >,则()0m x '<.所以()m x 在()0,a 上是增函数,在(),a +∞上是减函数.所以x a =是()m x 的极大值点,也是()m x 的最大值点,即()max ln m x a a a =-.若()g x x ≤恒成立,则只需()max ln 0m x a a a =-≤,解得0a e <≤.所以实数a 的取值范围是(]0,e . ()2假设存在这样的直线l 且与曲线()y f x =和曲线()y g x =分别相切与点()()1122,,,ln x A x e B x x . 由()x f x e =,得()xf x e '=. 曲线()y f x =在点A 处的切线方程为()111x x y e e x x -=-,即()1111x xy e x x e =+-. 同理可得,曲线()y g x =在点B 处的切线方程为()2121ln y x x x x -=-,即221ln 1y x x x =+-. 所以()11212111x x e x x e lnx ⎧=⎪⎨⎪-=-⎩则()1111lne 1x x x e --=-,即()111110x x e x -++= 构造函数()()x11,h x x e x =-++ x R ∈ 存在直线l 与曲线()y f x =和曲线()y g x =相切,等价于函数()()x11h x x e x =-++在R 上有零点对于()1xh x xe ='-. 当0x ≤时,()0h x '>,()h x 在上单调递增.当0x >时,因为()()()'10x h x x e +'=-<,所以()h x '在()0,+∞上是减函数.又()()010,110h h e ''=>=-<,,所以存在()00,1x ∈,使得()00010x h x x e'=-=,即001x e x =. 且当()000,x x ∈,()0h x '>时,当()00,x x ∈+∞时,()0h x '<.综上,()h x 在()00,x 上是增函数,在()0,x +∞上是减函数.所以()0h x 是()h x 的极大值,也是最大值,且()()()()0000000max 0011111?10x h x h x x e x x x x x x ==-++=-++=+>. 又()22310h e --=-<,()2230h e =-+<,所以()h x 在()02,x -内和()0,2x 内各有一个零点. 故假设成立,即曲线()y f x =和曲线()y g x =存在公共切线.15.(2019·广西高考模拟(理))已知函数1()ln f x x mx x =--在区间(0,1)上为增函数,m R ∈.(1)求实数m 的取值范围; (2)当m 取最大值时,若直线l :y ax b =+是函数()()2F x f x x =+的图像的切线,且,a b ∈R ,求+a b 的最小值.【答案】(1)2m ≤;(2)+a b 的最小值为-1.【解析】(1)∵()1ln f x x mx x =--, ∴()211f x m x x=+-'. 又函数()f x 在区间()0,1上为增函数,∴()2110f x m x x =-'+≥在()0,1上恒成立, ∴()221111124m t x x x x ⎛⎫≤+=+-= ⎪⎝⎭在()0,1上恒成立.令()()2211111,0,124t x x x x x ⎛⎫=+=+-∈ ⎪⎝⎭, 则当1x =时,()t x 取得最小值,且()2min t x =,∴2m ≤,∴实数m 的取值范围为(],2∞-.(2)由题意的()11ln 22ln F x x x x x x x ⎛⎫=--+=- ⎪⎝⎭,则()211F x x x +'=, 设切点坐标为0001,ln x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭, 则切线的斜率()020011a f x x x ==+', 又0001ln x ax b x -=+, ∴002ln 1b x x =--, ∴020011ln 1a b x x x +=+--. 令()211ln 1(0)h x x x x x=+-->, 则()()()23233211212x x x x h x x x x x x'+-+-=-+==, 故当()0,1x ∈时,()()0,h x h x '<单调递减;当()1,x ∈+∞时,()()0,h x h x '>单调递增. ∴当1x =时,()h x 有最小值,且()()11min h x h ==-,∴a b +的最小值为1-.16.(2019·四川高考模拟(理))已知函数()ln x a f x x e +=-.(1)若曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线与x 轴正半轴有公共点,求a 的取值范围;(2)求证:11a e>-时,()1f x e <--.【答案】(1)1a <-;(2)证明见解析.【解析】(1)函数f (x )=lnx ﹣e x +a 的导数为f ′(x )=1x ﹣e x +a .曲线f (x )在点(1,f (1))处的切线斜率为1﹣e 1+a ,切点为(1,﹣e 1+a ),可得切线方程为y +e 1+a =(1﹣e 1+a )(x ﹣1), 可令y =0可得x =111a e +-,由题意可得111a e+->0, 可得e 1+a <1,解得a <﹣1; (2)证明:f ′(x )=1x ﹣e x +a .设g (x )=f ′(x )=1x ﹣e x +a . 可得g ′(x )=﹣(21x +e x +a ),当x >0时,g ′(x )<0,g (x )递减; 由a >1﹣1e ,e x +a >e x .若e x >1x ,g (x )<1x﹣e x <0, 当0<x <1时,e x +a <e 1+a .若e 1+a <1x,即x <e ﹣1﹣a , 故当0<x <e ﹣1﹣a 时,g (x )>0,即g (x )=f ′(x )有零点x 0, 当0<x <x 0时,f ′(x )>0,f (x )递增;当x >x 0时,f ′(x )<0,f (x )递减, 可得f (x )≤f (x 0),又f (x 0)=lnx 0﹣e x 0+a ,又e x 0+a =01x , 可得f (x 0)=lnx 0﹣01x ,在x 0>0递增, 又a =ln 01x ﹣x 0=﹣(lnx 0+x 0), a >1﹣1e ⇔﹣(lnx 0+x 0)>1﹣1e =﹣(ln 1e +1e), 所以lnx 0+x 0<ln 1e +1e,由于lnx 0+x 0递增, 可得0<x 0<1e ,故f (x )≤f (x 0)<f (1e )=﹣1﹣e .。

专题02 曲线的切线问题探究

专题02 曲线的切线问题探究

第一章 函数与导数专题02 曲线的切线问题探究【压轴综述】纵观近几年的高考命题,对曲线的切线问题的考查,主要与导数相结合,涉及切线的斜率、倾斜角、切线方程等问题,题目的难度有难有易.利用导数的几何意义解题,主要题目类型有求切线方程、求切点坐标、求参数值(范围)等.与导数几何意义有关问题的常见类型及解题策略有: 1.已知斜率求切点.已知斜率k ,求切点()()11,x f x ,即解方程()f x k '=.2.求切线方程:注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线.即注意两个“说法”:求曲线在点P 处的切线方程和求曲线过点P 的切线方程,在点P 处的切线,一定是以点P 为切点,过点P 的切线,不论点P 在不在曲线上,点P 不一定是切点.(1)已知切点求切线方程:①求出函数()y f x =在点0x x =处的导数,即曲线()y f x =在点()()00,x f x 处切线的斜率;②由点斜式求得切线方程为()()000y y f x x x '-=-. (2)求过点P 的曲线的切线方程的步骤为: 第一步,设出切点坐标P ′(x 1,f(x 1));第二步,写出过P ′(x 1,f(x 1))的切线方程为y-f(x 1)=f ′(x 1)(x-x 1); 第三步,将点P 的坐标(x 0,y 0)代入切线方程,求出x 1;第四步,将x 1的值代入方程y-f(x 1)=f ′(x 1)(x-x 1)可得过点P(x 0,y 0)的切线方程.3.求切线倾斜角的取值范围.先求导数的范围,即确定切线斜率的范围,然后利用正切函数的单调性解决.4.根据导数的几何意义求参数的值(范围)时,一般是利用切点P (x 0,y 0)既在曲线上又在切线上构造方程组求解.5.已知两条曲线有公切线,求参数值(范围).6.导数几何意义相关的综合问题.【压轴典例】例1.(2019·江苏高考真题)在平面直角坐标系xOy 中,点A 在曲线y =ln x 上,且该曲线在点A 处的切线经过点(-e ,-1)(e 为自然对数的底数),则点A 的坐标是____. 例2.(2019·全国高考真题(理)) 已知函数()11ln x f x x x -=-+.(1)讨论f (x )的单调性,并证明f (x )有且仅有两个零点;(2)设x 0是f (x )的一个零点,证明曲线y =ln x 在点A (x 0,ln x 0)处的切线也是曲线e xy =的切线. 例3. (2019·湖北高考模拟(理))已知函数2()1f x x ax =-+,()ln ()g x x a a R =+∈. (1)讨论函数()()()h x f x g x =+的单调性;(2)若存在与函数()f x ,()g x 的图象都相切的直线,求实数a 的取值范围. 例4.(2019·山东高考模拟(文))已知函数ln 1()x f x x+=. (Ⅰ)证明:2()f x e x e ≤-; (Ⅱ)若直线(0)yax b a =+>为函数()f x 的切线,求b a的最小值.例5.(2014·北京高考真题(文))已知函数3()23f x x x =-. (1)求()f x 在区间[2,1]-上的最大值;(2)若过点(1,)P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切,求t 的取值范围;(3)问过点(1,2),(2,10),(0,2)A B C -分别存在几条直线与曲线()y f x =相切?(只需写出结论) 例6. (2018·天津高考真题(理))已知函数()xf x a =, ()log a g x x =,其中a >1.(I )求函数()()ln h x f x x a =-的单调区间;(II )若曲线()y f x =在点()()11,x f x 处的切线与曲线()y g x =在点()()22,x g x 处的切线平行,证明()122lnln ln ax g x a+=-; (III )证明当1ea e ≥时,存在直线l ,使l 是曲线()y f x =的切线,也是曲线()y g x =的切线. 例7.(2015·广东高考真题(理))(14分)(2015•广东)设a >1,函数f (x )=(1+x 2)e x﹣a . (1)求f (x )的单调区间;(2)证明f (x )在(﹣∞,+∞)上仅有一个零点;(3)若曲线y=f (x )在点P 处的切线与x 轴平行,且在点M (m ,n )处的切线与直线OP 平行,(O 是坐标原点),证明:m≤﹣1.例8.(2019·四川棠湖中学高考模拟(文))已知抛物线2:4C x y = ,M 为直线:1l y =-上任意一点,过点M 作抛物线C 的两条切线MA,MB ,切点分别为A,B.(1)当M 的坐标为(0,-1)时,求过M,A,B 三点的圆的方程;(2)证明:以AB 为直径的圆恒过点M.【压轴训练】1.(2019·湖南高考模拟(理))过抛物线()220x py p =>上两点,A B 分别作抛物线的切线,若两切线垂直且交于点()12P -,,则直线AB 的方程为( ) A .122y x =+ B .134y x =+ C .132y x =+ D .124y x =+ 2.(2019·山东高考模拟(文))设函数的图象上任意一点处的切线为,若函数的图象上总存在一点,使得在该点处的切线满足,则的取值范围是__________.3. (2019·山东高考模拟(理))已知函数()2f x x 2ax =+,()2g x 4a lnx b =+,设两曲线()y f x =,()y g x =有公共点P ,且在P 点处的切线相同,当()a 0,∞∈+时,实数b 的最大值是______.4.(2013·北京高考真题(理))设l 为曲线C :在点(1,0)处的切线.(I)求l 的方程;(II)证明:除切点(1,0)之外,曲线C 在直线l 的下方 5.(2015·天津高考真题(文))已知函数(Ⅰ)求的单调区间;(Ⅱ)设曲线与轴正半轴的交点为P,曲线在点P 处的切线方程为,求证:对于任意的正实数,都有;(Ⅲ)若方程有两个正实数根且,求证:.6.(2013·福建高考真题(文))已知函数(为自然对数的底数)(Ⅰ)若曲线在点处的切线平行于轴,求的值;(Ⅱ)求函数的极值; (Ⅲ)当时,若直线与曲线没有公共点,求的最大值.7. (2013·北京高考真题(文))已知函数f (x )=x 2+x sin x +cos x . (1)若曲线y =f (x )在点(a ,f (a ))处与直线y =b 相切,求a 与b 的值; (2)若曲线y =f (x )与直线y =b 有两个不同交点,求b 的取值范围.8.(2019·北京高考模拟(文))已知函数32()f x x ax =-.(Ⅰ)当3a =时,求函数()f x 在区间]2,0[上的最小值;(Ⅱ)当3a >时,求证:过点(1,(1))P f 恰有2条直线与曲线()y f x =相切. 9.(2019·四川高考模拟(理))已知函数,.(1)若,求函数在区间(其中,是自然对数的底数)上的最小值;(2)若存在与函数,的图象都相切的直线,求实数的取值范围.10. (2019·湖南高考模拟(理))设函数()()()22,42xf x e axg x x x =+=++.(Ⅰ)讨论()y f x =的极值;(Ⅱ)若曲线()y f x =和曲线()y g x =在点()0,2P 处有相同的切线,且当2x ≥-时,()()mf x g x ≥,求m 的取值范围 .11. (2019·天津高考模拟(理))已知函数()()()()21ln f x x x x a a R =---∈.(1)若()f x 在()0,∞+上单调递减,求a 的取值范围;(2)若()f x 在1x =处取得极值,判断当(]0,2x ∈时,存在几条切线与直线2y x =-平行,请说明理由; (3)若()f x 有两个极值点12,x x ,求证:1254x x +>. 12. (2019·辽宁高考模拟(理))已知a R ∈,函数()()2ln ,0,6.f x a x x x=+∈ ()I 讨论()f x 的单调性;()II 若2x -是()f x 的极值点,且曲线()y f x =在两点()()()()1122,,,P x f x Q x f x ()12xx <处的切线相互平行,这两条切线在y 轴上的截距分别为12,b b ,求12b b -的取值范围13.(2019·安徽高考模拟(文))已知函数()ln x f x x =+,直线l :21y kx =-.(Ⅰ)设(,)P x y 是()y f x =图象上一点,O 为原点,直线OP 的斜率()k g x =,若()g x 在(,1)x m m ∈+(0)m >上存在极值,求m 的取值范围;(Ⅱ)是否存在实数k ,使得直线l 是曲线()y f x =的切线?若存在,求出k 的值;若不存在,说明理由; (Ⅲ)试确定曲线()y f x =与直线l 的交点个数,并说明理由.14. (2019·河北高考模拟(理))已知函数()xf x e =,()g x alnx(a 0)=>.()1当x 0>时,()g x x ≤,求实数a 的取值范围;()2当a 1=时,曲线()y f x =和曲线()y g x =是否存在公共切线?并说明理由.15.(2019·广西高考模拟(理))已知函数1()ln f x x mx x=--在区间(0,1)上为增函数,m R ∈. (1)求实数m 的取值范围;(2)当m 取最大值时,若直线l :y ax b =+是函数()()2F x f x x =+的图像的切线,且,a b ∈R ,求+a b 的最小值.16.(2019·四川高考模拟(理))已知函数()ln x af x x e+=-.(1)若曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线与x 轴正半轴有公共点,求a 的取值范围; (2)求证:11a e>-时,()1f x e <--.。

直线与曲线相切意味着什么

直线与曲线相切意味着什么

直线与曲线相切意味着什么
这涉及到⾼等数学的知识,⼀条直线与⼀个曲线相切,即直线斜率等于曲线在切点的斜率且过切点,每条曲线在⼀点都有它的表达式,y=f(x),那么对此表达式求导y=f`(x)就是其切线斜率。

相切是平⾯上的圆与另⼀个⼏何形状的⼀种位置关系。

若直线与曲线交于两点,且这两点⽆限相近,趋于重合时,该直线就是该曲线在该点的切线。

初中数学中,若⼀条直线垂直于圆的半径且过圆的半径的外端,称这条直线与圆相切。

这⾥,“另⼀个⼏何形状”是圆或直线时,两者之间只有⼀个交点(公共点),当“另⼀个⼏何形状”是多边形时,圆与多边形的每条边之间仅有⼀个交点。

这个交点即为切点。

圆与直线相切
把圆周和直线只有⼀个交点(公共点)的位置关系叫做圆和直线相切,这条直线叫做圆的切线,这个公共点叫做切点。

在图中,直线AB是切线,公共点C是切点。

圆的切线与过切点的半径有如下关系,也是我们讨论圆与直线相切的⼀个重要定理。

定理1 圆的切线垂直于过切点的半径。

定理2 从圆外⼀点作圆的两条切线,则这点到两切点间的线段长相等,且其夹⾓的平分线必过圆⼼。

过定点的直线与双曲线的公共点问题浅析

过定点的直线与双曲线的公共点问题浅析

题的解决方法,一是代数方法,通过联立直线和双曲线方程,消元后,研究判别式的符号来研究公共点个数,该方法运算量
大,学生不易掌握;另一种方法是几何法,通过数形结合,利用直线与双曲线相切和直线与双曲线渐近线平行为临界,通过
旋转直线可得结果。
关键词:直线;双曲线;公共点;直线与曲线相交
中图分类号:G633.6
因此直线和双曲线只有一个公共点,故选D。解析二:由引
例,直线y=kx+2必过定点P(0,2),P位于双曲外线,过P且与
双曲线有唯一公共点的直线必有四条,即可选出答案D。
例题变式1:若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的左右两支各
有个公共点,那么实数k的取值范围是
;解析:由
x1x2=-
10 1-k2
姨15 3
,±1。解析一:将直线方程代入双曲线方程消去
y,得x2-(kx+2)2=6,即(1-k2)x2-4kx-10=0,对k≠±1,由判别
式 Δ=16k2+40(1-k2)=0,得 k= ±
姨15 3
;当 k= ±1 时 ,方 程
(1-k2)x2-4kx-10=0变化为一次方程,方程只有唯一的实根,
是设出直线方程,与圆锥曲线联立组成方程组,考虑解的个
. A数l,l因此Ri得g到h以ts下两R种es解e法rv:解ed法.一:从双曲线的图像来分
析,点P恰好在双曲线的一条渐近线上,因此,当直线与双曲
线的渐近线平行时,只有一条直线符合要求,当直线与双曲
线相切时,也只有一条直线符合要求,即x=4。因此,符合要
3 4
,不
合题意。综上所述,符合要求的直线只有能一帆风顺,到处都有
陷阱,这是代数法解决这类问题的缺点。

直线与曲线相切等价于只有一个公共点吗?

直线与曲线相切等价于只有一个公共点吗?

直线与曲线相切等价于只有一个公共点?在讲解直线与椭圆的位置关系时,时常会有如下结论:若直线:l y kx b =+与椭圆22221x y a b +=,(0)a b >>相切,将直线方程与椭圆联立方程组,则:0∆=⇔方程组有一解⇔直线与椭圆有且只有一个公共点⇔直线与椭圆相切,此种情况在讲解直线与圆相切的代数判定时也会用到,这样导致学生错误地理解为直线与曲线相切和直线与曲线有且只有一个公共点等价,事实真的是这样吗?疑问1:直线与曲线相切时是不是就只有一个公共点?切线的定义:P 和Q 是曲线C 上邻近的两点,P 的定点,当Q 点沿着曲线C 无限地接近P 点时,割线PQ 的极限位置PT 叫做曲线C 在点P 的切线,P 点叫做切点。

这个定义中并没有提到切线与曲线的交点个数,更不能错误地理解为切线与曲线有且只有一个公共点。

例1 已知曲线13++=x x y ,求曲线过点()1,3P 的切线方程。

解:(1)当点P 是切点时,因为2'31y x =+,所以1'4x k y ===,此时所求切线方程为:410x y --=。

(2)当点P 不是切点时,设曲线13++=x x y 与过点()1,3P 的切线相切于点()3000,1A x x x ++。

因为2'31y x =+, 所以切线的斜率020'31x x k y x ===+。

所以32000013311x x x x ++-=+-,即332000002331x x x x x +-=-+-,()20021(1)0x x +-=,解得012x =-或01x =(舍去),此时74k =,所求的切线方程为7450x y -+=。

由(1)、(2)所求的切线方程为410x y --=或7450x y -+=。

学生通常错误地理解为切线与曲线的公共点必为切点,故只能求出410x y --=,其实直线7450x y -+=与曲线13++=x x y 也相切,但此时两者有两个公共点(如图1所示)。

3_切线问题典型剖析

3_切线问题典型剖析

切线问题典型剖析【思维突破】1.按照过一点求切线方程的一般步骤,设切点、求斜率得切线方程、点代入,将切线的条数问题转化为方程解的个数问题;是否存在切线转化为方程有无解的问题.2.有时也可考虑相切为“临界状态”,利用参数的几何意义确定参数的取值范围.【典例分析】例1(2022·全国新高考Ⅰ卷·15)若曲线()x y x a e =+有两条过坐标原点的切线,则a 的取值范围是___________.【答案】(,4)(0,)-∞-⋃+∞【解析】易知曲线不过原点,故0a ≠设切点为()000,()x x x a e +,则切线的斜率为000()(1)x f x x a e '=++所以切线方程为00000()(1))(x x y x a e x a x e x -++=-+又因为切线过原点,所以00000()(1())x x x a e x a e x +++--=即2000x ax a -=+又因为切线有两条,故上方程有两不等实根所以204a a ∆=+>,解得4a <-0a >所以a 的取值范围是(,4)(0,)-∞-⋃+∞.例2(2022·江苏南京一中学情调研模拟检测·8)若函数()ln f x x =与函数2()(0)g x x x a x =++<有公切线,则实数a 的取值范围是()A.1ln ,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B.()1,-+∞C.()1,+∞ D.()2,ln +∞【答案】B【分析】由于2()g x x x a =++中要求0x <,故考虑当=0x 时的公切线所对应的实数a 的值为临界值,当a 增大时,抛物线沿直线1=2x -上移,公切线与2()g x x x a =++相切的切点左移,横坐标减小,故所求大于此时a 的临界值.【解析】先求当=0x 时,曲线2()g x x x a =++的切线方程∵()21g x x '=+,(0)1g '=∴曲线2()g x x x a =++的切线在=0x 处的切线方程为y a x -=,即y x a=+再求当曲线()ln f x x =与直线y x a =+相切时(即直线y x a =+为公切线)a 的值设曲线()ln f x x =与直线y x a =+相切时切点为()00,ln x x 则由导数的几何意义得()0011f x x '==,解得01x =,切点为()1,0将()1,0代入y x a =+得1a =-∵当a 增大时,抛物线2()g x x x a =++沿直线1=2x -上移,公切线与2()g x x x a =++相切的切点左移,横坐标减小,即切点的横坐标小于0∴故所求a 大于此时a 的值,即1a >-.例3(2022·全国甲卷·文20改编)已知函数32(),()f x x x g x x a =-=+,曲线()y f x =在点()()11,x f x 处的切线也是曲线()y g x =的切线,则实数a 的取值范围是.【答案】[)1,-+∞【分析一】由于2()g x x a =+中a 的几何意义为截距,故只需求出3()f x x x =-、2()g x x a =+相切时a 的值,将2()g x x a =+图象往上平移,即a 增大,即为所求.【分析二】设出()g x 上的切点坐标,分别由()f x 和()g x 及切点表示出切线方程,由切线重合表示出a ,构造函数,求导求出函数值域,即可求得a 的取值范围.【解析一】设公切点为()3000x x x -,则32000200+312x x x a x x ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩,解之得011a x =-⎧⎨=⎩或052713a x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(不符合题意,舍去)故a 的取值范围为[)1,-+∞.【解析二】2()31x f x '=-,则()y f x =在点()11(),x f x 处的切线方程为()()32111131()y x x x x x --=--,整理得()2311312y x x x =--,设该切线与()g x 切于点()22,()x g x ,()2g x x '=,则22()2g x x '=,则切线方程为()22222()y x a x x x -+=-,整理得2222y x x x a =-+,则21232123122x x x x a ⎧-=⎨-=-+⎩,整理得2223343212111113193122222424x a x x x x x x ⎛⎫=-=--=--+ ⎪⎝⎭,令432931()2424h x x x x =--+,则32()9633(31)(1)h x x x x x x x '=--=+-,令()0h x '>,解得103x -<<或1x >,令()0h x '<,解得13x <-或01x <<,则x 变化时,(),()h x h x '的变化情况如下表:x1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭13-1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭0()0,11()1,+∞()h x '-+-+()h x527141-则()h x 的值域为[)1,-+∞,故a 的取值范围为[)1,-+∞.例4(2022·江苏南通期末·16)已知函数3()2f x x ax =-,若a ∈R 时,直线(2)y k x =-与曲线()y f x =相切,且满足条件的k 的值有且只有3个,则a 的取值范围为_________.【答案】(0,8)【分析】利用过点(2,0)的曲线的切线有3条,构造函数,借助函数有3个零点求解作答.【解析】由3()2f x x ax =-求导得:2()6f x x a '=-,设直线(2)y k x =-与曲线()y f x =相切的切点为3(,2)t t at -,于是得2()6k f t t a '==-,且32(2)t at k t -=-,则32k t =,显然函数32t 在R 上单调递增,因直线(2)y k x =-与曲线()y f x =相切的k 的值有且只有3个,则有直线(2)y k x =-与曲线()y f x =相切的切点横坐标t 值有且只有3个,即方程2362a t t =-有3个不等实根,令32()26g t t t a =-+,求导得:2()6126(2)g t t t t t '=-=-,当0t <或2t >时,()0g t '>,当02t <<时,()0g t '<,即函数()g t 在(,0)-∞,(2,)+∞上递增,在(0,2)上递减,当0=t 时,()g t 取得极大值(0)=g a ,当2t =时,()g t 取得极小值(2)8g a =-,方程2362a t t =-有3个不等实根,当且仅当函数()g t 有3个不同的零点,因此080a a >⎧⎨-<⎩,解得08a <<,所以a 的取值范围为(0,8).故答案为(0,8).例5若函数2()1f x x =+的图象与曲线C:()21(0)x g x a e a =⋅+>存在公共切线,则实数a 的取值范围为A .220,e ⎛⎤ ⎝⎦B .240,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦C .21,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D .23,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】A【分析】本道题结合存在公共切线,建立切线方程,结合待定系数法,建立等式,构造新函数,将切线问题转化为交点问题,计算a 的范围,即可.【解析】设函数()f x 的切点为()200,1x x +,该切线斜率02k x =,所以切线方程为20021y x x x =-+,()g x 的切点为()11,21x x ae +,所以切线方程为111`12221x x x y ae x ae x ae =-++,由于该两切线方程为同一方程,利用待定系数法,可得111200122,1221x x x x ae x ae x ae =-+=-+,解得1001,22x x ae x x ==-得到新方程为1122x x ae -=,构造函数()()()2,1x h x e t x x a ==-解得()21x e x a=-,表示()h x 与()t x 存在着共同的交点,而()t x 过定点()1,0,得到()h x 过()1,0的切线方程,设切点为()22,x x e ,则()21x y e x =-,该切点在该直线上,代入,得到()2221x xe e x =-,解得22x =,所以直线斜率为2k e =,要使得()h x 与()t x 存在着交点,则22k e a =≤,结合0a >,所以a 的取值范围为220,e ⎛⎤⎥⎝⎦,故选A .例6(2021·全国Ⅰ卷)若过点(),a b 可以作曲线e x y =的两条切线,则()A .e b a<B .e b a>C .0e ba <<D .0e ab <<【答案】D【分析】结合已知条件,利用导数的几何意义将问题转化成函数的交点问题,然后通过构造新函数,并求出新函数的单调区间以及最值,利用数形结合的方法即可求解.【解析】设切点()00,x y ,00y >,因为'e x y =,即00'|e x x x y ==,则切线方程为0e ()x y b x a -=-,由()00000e exx y b x a y ⎧-=-⎪⎨=⎪⎩得()00e 1x x a b -+=,则由题意知,关于0x 的方程()00e 1x x a b -+=有两个不同的解.设()()e 1xf x x a =-+,则()e (1)e e ()x x x f x x a x a '=-+-=--,由()0f x '=得x a =,所以当x a <时,()0f x '>,()f x 在(,)a -∞上单调递增;当x a >时,()0f x '<,()f x 在()a +∞上单调递减,所以()f x 的最大值为()f a =()e 1e 0a aa a -+=>,当x a <时,0a x ->,所以()0f x >,当x →-∞时,()0f x →;当x →+∞时,()f x →-∞,故()f x的图像如下图所示:故0e a b <<.故选:D .【巩固训练】1.过定点()1,P e 作曲线()0xy ae a =>的切线,恰有2条,则实数a 的取值范围是______.2.若函数()ln f x x =与函数2()2(0)g x x x a x =++<有公切线,则实数a 的取值范围是()A .1(ln,)2e+∞B .(1,)-+∞C .(1,)+∞D .(ln 2,)-+∞3.若存在实数,a b ,使不等式212ln 2e x ax b x e ≤+≤+对一切正数x 都成立(其中e 为自然对数的底数),则实数a 的最大值是()AB .2eC.D .24.若过点()1,P m 可以作三条直线与曲线:xC y xe =相切,则m 的取值范围是()A .25,0e ⎛⎫-⎪⎝⎭B .25,e e ⎛⎫-⎪⎝⎭C .()0,∞+D .231,ee ⎛⎫-- ⎪⎝⎭5.已知函数2()f x ax =,()g x lnx =,若曲线()y f x =与()y g x =有两条公切线,则实数a 的取值范围是.6.若曲线21C y x =:与曲线2(0)xe C y a a=>:存在公共切线,则实数a 的取值范围为.7.已知函数32()31f x x x =+-,若过点(1,)P m 可作曲线()y f x =的三条切线,则实数m 的取值范围是.8.已知函数3()f x x ax =+,若过点(1,1)P 只有一条直线与曲线()y f x =相切,则实数a 的取值范围是.【答案或提示】1.【答案】()1,+∞【分析】设切点为00(,)x x ae ,利用导数几何意义求得切线方程为00(1)x y ae x x =-+,由题意知00(2)x e a e x =-在02x ≠上有两个不同解,构造()(2)x eg x e x =-且2x ≠,利用导数研究单调性及值域,进而确定a 的范围.【解析】由x y ae '=,若切点为00(,)x x ae ,则00x y k ae '==>,∴切线方程为00(1)xy ae x x =-+,又()1,P e 在切线上,∴00(2)xae x e -=,即00(2)x ea e x =-在02x ≠上有两个不同解,令()(2)x e g x e x =-,即原问题转化为()g x 与y a =有两个交点,而2(1)()(2)x e x g x e x -'=-,(1)当2x >时,()0g x '>,()g x 递增,且lim ()0x g x -→+∞→,(2)当21x >>时,()0g x '>,()g x 递增;当1x <时,()0g x '<,()g x 递减;∴()()11g x g ≥=,又lim ()x g x →-∞→+∞,12x <<时()0>g x 且2lim ()x g x -→→+∞,∴要使00(2)x ea e x =-在02x ≠上有两个不同解,即()1,a ∈+∞.故答案为:()1,+∞点评:作为填空题,本着“小题小做”的策略,只需先求出点()1,P e 在曲线()0xy ae a =>上时a 的值为1a =,此时,过点()1,P e 曲线的切线洽有一条,从形上看,当a 增大时,切线就有两条,故答案为1a >.2.【答案】A【解析】设公切线与函数()ln f x x =切于点111(ln )(0)A x x x >,,则切线方程为1111ln ()-=-y x x x x ;设公切线与函数2()2g x x x a =++切于点22222(2)(0)B x x x a x ,++<,则切线方程为22222(2)2(1)()y x x a x x x -++=+-,所以有2121212(1)ln 1x x x x a⎧=+⎪⎨⎪-=-+⎩,∵210x x <<,∴1102x <<.又2211111111ln 11ln 2124a x x x x ⎛⎫⎛⎫=+--=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,令11t x =,∴2102ln 4t a t t t ,<<=--.设21()ln (02)4h t t t t t =--<<,则211(1)3()1022t h t t t t--=--'=<,∴()h t 在(0,2)上为减函数,则1()(2)ln 21ln 2h t h e >=--=,∴1ln2a e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭,故选A .3.【答案】C【解析】存在实数,a b ,使不等式212ln 2e x ax b x e ≤+≤+对一切正数x 都成立,要求a 的最大值,临界条件即为直线y ax b =+恰为函数21()=2ln ,()2f x e xg x x e =+的公切线.设()=2ln f x e x 的切点为111(,)(0)x y x >,122()=,e e f x a x x '∴=.设21()2g x x e =+的切点为222(,)(0)x y x >,2()g x x a x '=∴=,,所以21212=,2ea x x x e x =∴=.由题得21221212112ln 22,2ln 30e x x ee a x x x x x --==∴+-=-.设111212()2ln 3(0)eh x x x x =+->,所以211331112424()x e e h x x x x -'=-=,所以函数11212()2ln 3eh x x x =+-在上单调递减,在)+∞单调递增.又22ln 3=1+23=0eh e=--,当1x →+∞时,11212()2ln 30eh x x x =+->,所以方程另外一个零点一定大于.,所以max a==.故选:C.4.【答案】A【解析】设切点为()00,M x y ,∵e xy x =,∴()1e xy x '=+,∴M 处的切线斜率()001e xk x =+,则过点P 的切线方程为()()00001e e x xy x x x x =+-+,代入点P 的坐标,化简得()02001e xm x x =-++,∵过点()1,P m 可以作三条直线与曲线:e xC y x =相切,∴方程()02001e xm x x =-++有三个不等实根.令()()21e xf x x x =-++,求导得到()()22e xf x x x '=--+,可知()f x 在(),2-∞-上单调递减,在()2,1-上单调递增,在()1,+¥上单调递减,如图所示,故()20f m -<<,即250e m -<<.故选:A.5.【答案】1(2e,)+∞【解析一】根据二次函数和代数函数的性质得:当()()f x g x >时,曲线()y f x =与()y g x =有两条公切线,即2ax lnx >在(0,)+∞上恒成立,即2lnxa x >在(0,)+∞上恒成立,设2()lnx h x x =,312()lnx h x x -'=,令312()0lnxh x x -'==,x =即12max h h e ==,因此,12a e>,【解析二】取两个函数相切的临界条件:2000012ax lnx ax x⎧=⎪⎨=⎪⎩,解得0x =12a e =,由此可知,若两条曲线具有两条公切线时,12a e>,故a 的取值范围是1(2e,)+∞.6.【答案】2,4e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【提示】取对数转化为曲线2ln y x =与直线ln y x a =-有交点,临界状态是相切.7.【答案】()5,3-【解答】设切点为0(x ,32031)x x +-切线斜率为:2000()36k f x x x '==+∴切线方程为:3220000(31)(36)()y x x x x x x -+-=+-①又切线过点(1,)P m ,带入①化简为:300261m x x =-+-令y m =与3000()261h x x x =-+-(1)5h -=-,h (1)3=,(0)1h =-;200()66h x x '=-+,令01()01h x x '=⇒=-,21x =;0()h x 在(,1)-∞-,(1,)+∞单调递减,(1,1)-上单调递增;过点(1,)P m 可作曲线()y f x =的三条切线,即存在三个0x ,也即是y m =与()h x 有三个交点.故如图所知:53m -<<.118.【答案】()(),01,-∞⋃+∞【解析】设过点(1,1)P 的直线与曲线()y f x =相切于点0(x ,0)y ,则3000y x ax =+,且切线斜率为200()3f x x a '=+,所以切线方程为2000(3)()y y x a x x -=+-.因此3200001()(3)(1)x ax x a x -+=+-,整理得32002310x x a -+-=.设32()231g x x x a =-+-,则“过点(1,1)P 只有一条直线与曲线()y f x =相切”等价于“()g x 只有一个零点”.2()666(1)g x x x x x '=-=-.当x 变化时,()g x 与()g x '的变化情况如下:x(,0)-∞0(0,1)1(1,)+∞()f x '+0-0+()f x 1a - a - 所以,(0)1g a =-是()g x 的极大值,g (1)a =-是()g x 的极小值.当()g x 只有一个零点时,有(0)10g a =-<或g (1)0a =->,解得1a >或0a <.因此当过点(1,1)P 只有一条直线与曲线()y f x =相切时,a 的取值范围是1a >或0a <.。

直线和曲线相切斜率的关系

直线和曲线相切斜率的关系

直线和曲线相切斜率的关系直线和曲线相切斜率的关系是微积分中一个非常重要的概念。

在数学中,斜率是指曲线在某一点的切线的斜率,也就是曲线在该点的导数。

当直线和曲线相切时,它们在相切点处的斜率相等。

我们需要了解什么是切线。

在数学中,切线是指曲线在某一点处的一条直线,它与曲线在该点处相切。

切线的斜率是曲线在该点处的导数。

因此,当直线和曲线相切时,它们在相切点处的斜率相等。

考虑一个简单的例子,假设我们有一条直线y = 2x + 1和一条曲线y = x^2。

我们想要找到它们相切的点。

首先,我们需要求出曲线在哪个点处与直线相交。

将y = 2x + 1代入y = x^2中,得到x^2 = 2x + 1。

将其转化为标准形式,得到x^2 - 2x - 1 = 0。

通过求解这个方程,我们可以得到x = 1 ± √2。

因此,曲线和直线在x = 1 + √2处相交。

接下来,我们需要求出曲线在该点处的斜率。

曲线y = x^2的导数是2x,因此在x = 1 + √2处的斜率是2(1 + √2)。

最后,我们需要确定直线在该点处的斜率。

由于直线y = 2x + 1的斜率是2,因此在x = 1 + √2处的斜率也是2。

因此,我们可以得出结论,当直线和曲线相切时,它们在相切点处的斜率相等。

这个结论对于解决许多微积分问题非常有用。

例如,我们可以使用这个结论来求解曲线的最大值和最小值,或者确定曲线的凸性和凹性。

直线和曲线相切斜率的关系是微积分中一个非常重要的概念。

当直线和曲线相切时,它们在相切点处的斜率相等。

这个结论对于解决许多微积分问题非常有用,因此我们应该熟练掌握它。

导数一直线和曲线相切问题的基本策略

导数一直线和曲线相切问题的基本策略

导数一直线和曲线相切问题的基本策略
生活中,作业中的微积分学习时常会遇到求导数函数一直线和曲线相切的问题。

和其他问题不同,它的求解需要考虑多项因素,解题需要借助一定的技巧和策略,不能仅仅停留在理论上的学习,而是要带动联系实际,以求达到锻炼对课程内容的全方面认识和理解。

针对这一问题,我们应该从以下几个方面来进行解决:</br>
首先,我们需要清楚地理解函数的性质,如是线性函数还是非线性函数,这里
要求你要有良好的数学基础,即要掌握函数的特性和性质,建立起函数解析式与变量之间的联系,如果要求导数交点的话,可以考虑着看一下数学中的拉格朗日乘数法,然后以综合考虑法为总准则,针对性地运用数学公式,一步步求解题目并应用到实际情况,有助于你将问题的理论与表达在一起。

其次,应通过绘图的方式,把各种形式的函数,将其拟合到实际应用环境中,通过图象观察,得出对应的数学模型,由数学模型得出解,更容易见结果,方便找准极值点和相应线段和曲线的交点。

最后,建议你采用独立求解法和综合求解法,将一个数学问题分解为多个小问题,然后由局部解得全局解,在解决实用问题时,很有用。

总之,解求导数函数一直线和曲线相切的问题,要求掌握基本的数学知识,把
学习的理论知识与实际应用结合起来,不断探索策略,以期获得更好的结果。

曲线与直线相切斜率的关系

曲线与直线相切斜率的关系

曲线与直线相切斜率的关系作文一:给中学生的讲解同学们,今天咱们来聊聊曲线与直线相切斜率的关系。

想象一下,你在操场上跑步,跑道是弯曲的,就像一条曲线。

突然,有一条直直的跑道和弯曲的跑道碰到了一起,这就像是曲线和直线相切啦。

那斜率是什么呢?就好比你跑步的速度快慢。

如果直线和曲线在某一点相切,它们在这一点的“速度”,也就是斜率,是一样的。

比如说,有一个抛物线y = x²,在点(1, 1)处,切线的斜率就是2。

这就好像你在这个点跑步,速度是 2 米每秒。

所以呀,曲线与直线相切时,它们的斜率相等,就像两个好朋友在某个瞬间步伐一致。

同学们,明白了吗?作文二:给数学爱好者的分享嘿,各位数学爱好者们!今天咱们来好好琢磨琢磨曲线与直线相切斜率的关系。

咱们先拿圆来举例。

想象一个圆,就像一个超级大的甜甜圈。

如果有一条直线刚好碰到这个圆,而且只有一个点碰到,那这就是相切啦。

这时候,直线的斜率和圆在这个切点的斜率可是有着特别的关系哦!它们就像是一对默契十足的舞伴,步伐整齐。

比如说,一个圆的方程是x² + y² = 1,在点(0, 1)处的切线,斜率就是 0。

这就好像是在这个点,它们的“舞步”配合得天衣无缝。

再想想椭圆、双曲线,道理也是一样的。

是不是很神奇呢?作文三:给职场人士的科普朋友们,咱们来聊聊曲线与直线相切斜率的关系,这在生活中也有用哦!比如说,您在投资,收益的曲线就像是弯弯曲曲的道路。

有时候会出现一条直线,代表着您预期的收益。

当这两者相切的时候,那斜率可就重要了。

就像股票的走势曲线,在某个关键的点和您设定的直线相切。

如果斜率合适,那可能意味着大赚;要是斜率不对,可能就得小心了。

再比如您的职业发展,能力提升的曲线和理想的发展直线相切时,斜率能反映您进步的速度。

所以,别小看这曲线与直线相切斜率的关系,它能帮您在生活中做出更明智的选择呢!作文四:给老年人的通俗解释大爷大妈们,咱们来简单说一说曲线和直线相切斜率的关系。

解析几何中的直线与曲线关系

解析几何中的直线与曲线关系

解析几何中的直线与曲线关系解析几何是数学中的一个重要分支,它研究了几何图形与代数方程之间的关系。

在解析几何中,直线和曲线是两个基本的概念,它们之间有着密切的联系和相互作用。

本文将从几何的角度出发,探讨直线与曲线在解析几何中的关系。

一、直线和曲线的定义和性质直线是解析几何中最基本的几何图形之一。

在平面直角坐标系中,直线可以用一元一次方程表示,即y = kx + b。

其中,k是直线的斜率,b是直线与y轴的交点。

直线具有许多重要的性质,如无限延伸性、平行性和相交性等。

曲线是直线的一种特殊情况,它是由多个点按照一定规律连接而成的。

曲线可以是抛物线、圆、椭圆、双曲线等。

曲线的性质因其种类而异,但它们都具有一定的对称性和曲率。

二、直线与曲线的相交关系直线和曲线之间可以有不同的相交关系。

首先,直线可以与曲线相切,即直线与曲线在某一点处有且只有一个公共点。

其次,直线可以与曲线相交于两个不同的交点。

最后,直线也可以与曲线没有交点,即它们是相离的。

在解析几何中,我们可以通过求解方程组的方法来确定直线与曲线的相交关系。

对于直线和曲线的交点,我们可以通过求解方程组的方法来确定其坐标。

通过解方程组,我们可以求得直线与曲线的交点的个数和坐标。

三、直线与曲线的切线关系在解析几何中,切线是曲线在某一点处的特殊直线。

切线与曲线在该点处相切,且切线与曲线在该点处的斜率相等。

切线的斜率可以通过求曲线在该点处的导数来确定。

对于直线和曲线的切线关系,我们可以通过求导数的方法来确定曲线在某一点处的切线。

通过求导数,我们可以求得曲线在该点处的斜率,从而确定切线的斜率。

切线的方程可以通过点斜式或一元一次方程来表示。

四、直线与曲线的包络关系在解析几何中,包络是一组曲线的共同切线所形成的曲线。

直线和曲线的包络关系是指直线与一组曲线的包络曲线之间的关系。

直线可以是包络曲线的一部分,也可以是包络曲线的切线。

对于直线和曲线的包络关系,我们可以通过求解方程组的方法来确定包络曲线的方程。

直线与曲线的相切与交点计算

直线与曲线的相切与交点计算

直线与曲线的相切与交点计算直线与曲线的相切与交点计算是数学中的一个重要问题,在几何和微积分的研究中有广泛的应用。

相切表示直线与曲线在某一点处接触,且切线方向相同;交点是直线与曲线的交点坐标。

本文将介绍相切和交点的计算方法,并给出具体的例子来说明。

1. 直线与曲线的相切计算相切的条件是直线和曲线在某个点处的切线方向相同。

切线方向由曲线的导数给出,因此,要判断直线和曲线的相切,需要求出曲线在相切点处的导数,然后将导数与直线的斜率进行比较。

具体计算步骤如下:步骤一:设直线方程为 y = mx + c,其中 m 为直线的斜率,c 为直线与 y 轴的交点。

步骤二:求曲线在某点处的导数,导数表示曲线在该点的切线斜率。

设曲线方程为 y = f(x),求 f'(x)。

步骤三:将直线的斜率 m 与曲线的导数 f'(x) 设置为相等,解方程组求解出交点坐标。

步骤四:将交点坐标带入曲线方程 y = f(x),验证是否满足直线方程y = mx + c。

2. 直线与曲线的交点计算直线与曲线的交点是它们同时满足的点,即直线上的点同时满足曲线的方程。

要求解直线与曲线的交点,需要将直线方程带入曲线方程进行求解。

具体计算步骤如下:步骤一:设直线方程为 y = mx + c。

步骤二:设曲线方程为 y = f(x)。

步骤三:将直线方程带入曲线方程,得到 mx + c = f(x)。

步骤四:解方程组 mx + c = f(x),求解出交点坐标。

下面通过一个例子来说明相切和交点的计算方法。

例子:已知直线 y = 2x + 1 和曲线 y = x^2,求它们相切的点和交点坐标。

解:1. 直线与曲线的相切计算:步骤一:直线方程 y = 2x + 1,斜率 m = 2,常数项 c = 1。

步骤二:曲线方程 y = x^2,求导得到导数 f'(x) = 2x。

步骤三:将直线的斜率 m = 2 与曲线的导数 f'(x) = 2x 设置为相等,解方程组得到 x = 1。

聚焦曲线的切线问题

聚焦曲线的切线问题

聚焦曲线的切线问题江苏南京市板桥中学(210000)陈方圆[摘要]曲线的切线问题,一直是高考的必考内容。

文章结合典型例子,从三个层面对曲线的切线问题进行分析探讨,以帮助学生突破难点,让其在高考中从容应对。

[关键词]曲线;切线;高考[中图分类号]G633.6[文献标识码]A[文章编号]1674-6058(2022)35-0028-03曲线的切线问题,一直是高考的必考问题。

这类问题从知识角度看,考查导数的几何意义;从数学素养角度看,考查数学运算素养等。

总览这类问题,难度不一,有比较容易的一条曲线的切线问题,也有具有一定难度的两条曲线的公切线问题,还有较为灵活的切线的应用问题。

一、一条曲线的切线问题一条曲线的切线问题在考试中最为常见,包括求曲线的切线方程,求切点坐标,求与切线方程有关的参数问题,这类问题一般属于基础题。

(一)给出切点求切线[例1]曲线f(x)=e x+2x-1在点(0,0)的切线的方程为()。

A.y=xB.y=3xC.y=0D.y=4x解析:由题意可得f'(x)=e x+2,∴f'(0)=3,即k=3,∴切线方程为y=3x,故选B。

点评:这类问题最基础,只需利用导数求出在已知点处的切线的斜率,进而用点斜式直接写出切线方程。

(二)求切点坐标[例2]已知点P是曲线y=x2-3ln x上一点,若点P到直线2x+2y+3=0的距离最小,则点P的坐标为。

解析:由题意知,曲线y=x2ln xy'=2x-3x=2x2-3x,令y'=0,得x1x2=去),所以函数在(0上单调递减,在+∞上单调递增,图1所示为曲线y=x2-3ln x与直线2x+2y+3=0在坐标系中的位置。

在点P的切线与直线2x+2y+3=0平行时,此时曲线上的点P到直线2x+2y+3=0的距离最小。

设P(x0,y0)(x0>0),则y'=2x-3x,则2x0-3x0=-1,解得x0=1或x0=-32(舍去),所以P(1,1),故答案为(1,1)。

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② 当 b 一 Z ak≠0时, 0 方程 只有一解 , △= , 直 线 与双 曲线 也 只有一 个公共点 . ① 中的 k=± ,1 , 1≠O 此时 , 7 , 直线与双曲线 的






渐进线平行 , 与双曲线相交 , 并非相切. ②所对应 的 直线与双曲线相切. () 2 直线 与抛 物线 设 直线 方程 Y= x k +m, 抛物 线方程 为 y =2x 2 p.
直线和圆相切 , . . . :1解得 k 啊. , :3 / 1 k 叶 所求的切线方程为 3 4, 5 0 一 ) = . 一 非 常 明显 , P在 圆外 , 以 这 样 的切 线 应 该 点 所 有两 条 , 还有 一条 切线 哪 儿 去 了 呢? 问题 出在直 线 的点斜式方程 , 它不能表示斜率不存 在的直线 , 所 以, 对于斜率不存在时要单独讨论 , 这是用点斜式求 直线 方程 的通 病 , 正确解 答如 下 : 解: ①若过点 P的直线斜率不存在 , 即方程为 l 此时与圆 + 2 1 , y = 相切 , 符合题意

它与双曲线相交, 又如与抛物线只有一个公共点 的 直 线 可能 与抛 物线 相切 , 还可 能 是 与抛 物 线 的对 称
轴 平 行 的 直 线 , 时 它 与 抛 物 线 相 交. 体 计 算 此 具
如下 :
() 1 直线 与双 曲线

.,

设直线方程为Y + , 线方程为 一 = m 双曲 鲁
《 数学之友>
21 0 1年第 2 O期
对直线与 曲线相切 问题 的剖析
解 题 探 索
顾 建 兰
( 江苏省南通 市第三 中学 , 6 0 ) 2 01 2
在教材中有三处 , 一是直线和圆相切, 通常有两 种转化方式 即, 何法 : 几 圆心到直线 的距离等于半 径 ; 数 法 : 直 线方 程 和 圆 的方 程 联 立 方程 组 , 代 将 利 用 △= 求解. 0 二是直线和圆锥曲线相切 , 通常将直 线方程 和圆锥 曲线的方程联立方程组. 三是 曲线在 点处的切线 , 抓住切点 , 利用导数求得斜率, 用点 斜式 写切 线方 程. 对 以上 内容 中的 常见 问题 进行 现 剖析.
7 ・ 6
《 数学之友>
2 1 年第 2 期 01 O
处的切线 Z , 这里用 的是无 限逼近 的思想 , 简单地说 切线就是割线的极限位置. 切线斜率就等于曲线在 这点处的导数值. 切线概念的形成经历了从感性到 理性 , 从具体到抽象的过程. 图形不一定位于切线的同侧 , 也有可能位于切 线 的两侧.

②若过点 P的直线斜率存在 , 则设切线方程为
Y一2=k x一1 , ( ) 即 一 2一 0 Y+ k= .



直 和 相 , √ +1=,得k} 线 圆 切. 1 . . 解 =.
综合①② , 得所求 的切线方程为 =1 3 或
・ . .

4, ’ 一5 =0 .
例 求 ) 在 = 处的切线方程. = 0 解 ( )= x 0 0 3 )= . 所以 , 所求切线方程为 Y 0 =. 此时图形位于切线的两侧 , 从这里也可知 , 虽然 直线 = , =一 与f )= 的图象只有一个公 OY ( 共点 , 但它们都不是其切线. 切线是相对于一点而言的, 曲线在这一点处 是 的切线 , 有可能这 一点处 的切线与曲线在其它地方 还能相交 , 所以要区分 曲线在一点处的切线和过某 点处 的切 线. 例 已知 , 曲线 Y= 一 , 曲线 在 ( , 2 求 1 1 处 的切线 方程. ) 解 : = — x 过点 M( , 1 的切线斜率 k , 1 6 , 1一 ) =
2 对切线概念 的理解
切线 的定义经历了几个过程 , 在初中, 我们说直 线和圆只有一个公共点 , 称为直线和圆相切. 当我们 学习了圆锥曲线以后 , 我们发现这个定义是错误的, 比如与双曲线只有一个公共点的直线可能与双曲线
相切 , 还可能是与双曲线的渐进线平行 的直线 , 此时

① 中的 k 0 此 时, = , 直线 与抛 物线 的对称轴平 行或就是对称轴, 与抛物线相交 , 并非相切. ②所 对 应 的直 线 与抛 物线相 切. 在上述问题 中, 方程最高次项 的系数含有参数 , 要 了解方程的根的情况, 首先对最高次项 的系数 为 零和不为零进行讨论. 在导数 中给 出 了切 线 的一般 定 义 , 曲线 上 的 Q 沿着曲线无限逼近点 P, 直线 P Q最终就成为在点 P 处最逼近曲线的直线 f , 这条直线就称为曲线在点 P
r, )

+m ,
1 点斜式 求切 线方程 , 注意斜率不存在 的情
形, 防止漏解
例 1 求过 点 P 12 且 与 圆 + 2 相 切 的 ( ,) y =1 直线 方程 . 错解 : 切线 方 程 为 Y一 设 2=k 一1 , ( ) 即 — Y
+2 一k=0.
由yk ’去, f x 消) : =p , t z x, Y
得 z + (m— ) + 0 2 k px m = . 同理 , 这个方程只有一解有两种情况 : ①当k= 0时, 方程只有一解 , 直线与抛物线只 有 一个 公共 点. ② 当 k≠0时 , 0 方程只有一解 , A= , 直线与抛 物线也 只有一个公共点. t
= , 【 y ,消去Y 1由{ 2 ,
。 0 b a k) 2 , 口m 0 b = . j } 础
这 个方 程 只有一解 有两 种情况 : ① 当 b 一 2 0时, ak = 只要 m≠O 方程 只有一 , 解 , 线与 双 曲线 只有 一个公共 点. 直
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