圆锥曲线与直线相切的条件教案
圆锥曲线切线问题教案
圆锥曲线切线问题教案一、引言圆锥曲线是数学中的重要内容之一，对于理解和掌握圆锥曲线的性质和特点至关重要。
其中，切线问题是圆锥曲线的重要应用之一，能够帮助学生更好地理解和应用这一知识点。
本教案旨在教授学生圆锥曲线切线问题的相关知识和解题方法。
二、教学目标1. 了解圆锥曲线的定义和基本性质；2. 理解切线的概念及其与圆锥曲线的关系；3. 掌握圆锥曲线切线的求解方法；4. 能够应用所学知识解决实际问题。
三、教学内容1. 圆锥曲线的定义和基本性质：（这一部分可以根据具体的圆锥曲线进行展开，如椭圆、双曲线、抛物线等）2. 切线的概念及其与圆锥曲线的关系：（可以通过几何图形和数学定义相结合的方式进行讲解）3. 圆锥曲线切线的求解方法：（可以分别介绍不同类型的圆锥曲线切线的解法，并举例说明）四、教学步骤1. 引入圆锥曲线的定义和基本性质，引起学生的兴趣。
2. 通过几何图形的展示，引出切线的概念，并与圆锥曲线进行联系。
3. 分别介绍椭圆、双曲线、抛物线上的切线求解方法，通过数学推导和实例演示的方式，让学生理解和掌握。
4. 综合练习：给出一些综合性的切线问题，让学生应用所学知识解决。
5. 巩固与拓展：给学生一些较为复杂的切线问题，让他们进行独立思考和解决，培养他们的问题解决能力。
六、教学评价1. 通过学生的课堂表现和课后作业情况，检查学生对于圆锥曲线切线问题的理解和掌握程度。
2. 针对学生的错误和不足之处进行指导和纠正，帮助他们得到更好的提升。
3. 提供错题讲解和难点解析，激发学生对于圆锥曲线切线问题的兴趣，提高学习主动性。
七、教学反思圆锥曲线切线问题是高中数学中的重要知识点，对于学生的数学思维和问题解决能力有着积极的促进作用。
在教学过程中，我采用了多种教学方法，包括图形展示、数学推导和实例演示等，以帮助学生更加深入地理解和应用所学知识。
同时，通过综合练习和拓展问题的设置，激发学生的学习兴趣和思考能力。
通过评估和反思，我将不断改进教学策略，提高教学效果。
教学设计1：2.5直线与圆锥曲线
2.5直线与圆锥曲线一、教学目标（一）知识目标1、掌握用坐标法判断直线与圆锥曲线的位置关系，进一步体会曲线方程的解与曲线上点的坐标之间的关系；2、领会中点坐标公式和弦长公式及韦达定理在解题中的灵活应用；3、理解“点差法”在解决直线与圆锥曲线位置关系中的解题技巧；（二）能力目标1、通过多媒体课件的演示，培养学生发现运动规律、认识规律的能力.2、培养学生运用方程思想、分类讨论、数形结合思想解决问题的能力．（三）情感目标1、通过课件的演示获得培养学生探索数学的兴趣.2、通过师生、生生的合作学习，树立竞争意识与合作精神，感受学习交流带来的成功感，激发提出问题和解决问题的勇气，树立自信心。
二、教学重点与难点重点：直线与圆锥曲线的位置关系的判定及方程思想、分类讨论思想、数形结合思想运用；难点：等价转换、“点差法”设而不求在解题中的灵活应用。
三、方法指导：1、在研究直线与圆锥曲线的交点个数问题时，不要仅由判别式进行判断，一定要注意二次项的系数对交点个数的影响。
2、涉及弦长问题时，利用弦长公式及韦达定理求解，涉及弦的中点及中点弦问题，利用点差法较为简便。
3、要注意判别式和韦达定理在解题中的作用。
应用判别式，可以确定直线和圆锥曲线的位置关系，确定曲线中的参数取值范围，求几何极值等。
应用韦达定理，可以解先相交时的弦长问题，弦的中点问题或最值问题。
4、要重视方程思想、等价转换思想、分类讨论、数形结合等数学思想的运用。
四、教具准备：多面体课件。
五、 教学过程（一）基础整合直线与圆锥曲线的位置关系的判断：【注意】：①当a=0时，即得到一个一次方程，则直线与C 相交，且只有一个交点，此时，若曲线C 为双曲线，则直线平行与渐近线；若曲线C 为抛物线，则直线平行与抛物线的对称轴。
②直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件．2．直线与圆锥曲线相交的弦长公式：设直线l :y=kx+n ，圆锥曲线：F(x,y)=0，它们的交点为A (x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，且由⎩⎨⎧+==nkx y y x F 0),(，消去y→ax 2+bx+c=0（a≠0），Δ=b 2 －4ac 。
【素材】直线与圆锥曲线相切的问题
直线与圆锥曲线相切的问题一、创设情景二、复习引入圆的切线的求法引例：求过点)20(，且与圆122=+y x 相切的直线l 的方程。
方法一：设直线l 的方程为2+=kx y 直线l 与圆相切，即1122=+k∴ 直线l 的方程为23+=x y 或23+-=x y方法二：设直线l 的方程为2+=kx y直线l 与圆相切∴ 直线l 与圆只有一个公共点∴⎩⎨⎧=++=1222y x kx y 则034)1(22=+++kx x k ∴)1(121622k k +-=∆令0=∆，则3±=k∴ 直线l 的方程为23+=x y 或23+-=x y三、例题讲解例1、求过点A )20(，且与椭圆1422=+y x 相切的直线l 的方程。
分析：能否用圆的切线的求法来求解呢？解： 1 若直线l 的斜率不存在，则显然直线l 与椭圆有两个公共点，不符合题意。
2 若直线l 的斜率存在，设为k ，则直线l 的方程为2+=kx y直线l 与椭圆相切∴ 直线l 与椭圆只有一个公共点∴⎩⎨⎧=++=14222y x kx y 则034)4(22=+++kx x k ∴484)4(1216222-=+-=∆k k k 令0=∆，则32±=k∴ 直线l 的方程为232+=x y 或232+-=x y小结：研究直线与圆、椭圆只有一个公共点的时候，设直线方程、联立方程组、化简为一元二次方程、令0=∆即可；但要注意若直线的斜率k 不存在时的特殊情况，此时0=∆的方法不适用。
从上面的两个例子，可以看出利用0=∆可以解决直线与曲线相切的问题。
问题：直线与曲线相切，它们只有一个公共点，那么直线与曲线只有一个公共点，它们一定相切吗？例2、求过点)01(，P 且与抛物线y x 82=仅有一个公共点的直线l 的方程。
（给出网格图，学生先探究）解：设过点P 且与抛物线仅有一个公共点的直线l 的方程为)1(-=x k y 令⎩⎨⎧=-=yx x k y 8)1(2 则0882=+-k kx x ∴k k 32642-=∆令0=∆，则0=k 或21=k ∴ 直线l 的方程为0=y 或2121-=x y ∴ 直线l 的方程为1=x ，0=y 或2121-=x y （提醒学生注意考虑图形）小结：“仅有一个公共点”的情况，除了考虑相切的情形，还要结合图形进行分析。
圆锥曲线与直线相切的条件教案
圆锥曲线与直线相切的条件教案教学目的(1)掌握圆锥曲线与直线相切的条件及圆锥曲线切线的定义；(2)使学生会用初等数学方法求圆锥曲线的切线；(3)应用相切的公式解题，从而培养学生综合应用能力．教学过程一、问题提出1．有心的二次曲线包括哪些？无心的二次曲线包括哪些？(答：有心的二次曲线是圆、椭圆及双曲线；无心的二次曲线是抛物线．)(由教师启发下，让学生共同讨论．)(1)当α＞0，β＞0且α＝β时，方程表示为圆；(2)当α＞0，β＞0且α≠β时，方程表示为椭圆；(3)当α、β为异号时，方程表示为双曲线．因此，这个方程可以统一表示有心的二次曲线．3．圆锥曲线与直线的相切的条件是什么？设直线l′与圆锥曲线相交于P、Q两点(图1)，将直线l′绕点P 旋转，使点Q逐渐靠近点P，当l′转到直线l的位置时，点Q与点P重合，这时，直线l叫做圆锥曲线在点P的切线．也就是圆锥曲线与直线l相切．根据这个定义，于是圆锥曲线方程f(x，y)＝0与直线方程y＝kx＋m组成的方程组应有两个相同的实数解．实系数一元二次方程有两个相同的实数解的充要条件是判别式Δ＝0，根据条件转化为求Δ＝0．(启发学生回答，由教师归纳，然后板书课题．)今天我们要研究“圆锥曲线与直线相切的条件”．二、讲述新课根据上面分析，得由②代入①，化简、整理得(αk2＋β)x2＋2αkmβ＋α(m2－β)＝0．③当αk2＋β≠0时(二次项系数)，Δ＝4α2k2m2－4α(αk2＋β)(m2－β)＝4α2k2m2－4α2k2m2＋4α2k2β－4αβm2＋4αβ2＝4αβ(αk2＋β－m2)．(启发学生讨论．)由于α、β均不为零，因此当Δ＝0时可知有心二次曲线与直线y＝kx＋m相切的充要条件为m2＝αk2＋β，(αk2＋β≠0) ④这里αk2＋β恰是方程③的二次项系数．(引导学生对结论④，在圆、椭圆、双曲线各种情况下变化规律进行讨论，教师边归纳，边板书．)(1)对于圆x2＋y2＝γ2，可写成即有α＝β＝γ2，于是相切条件为m2＝γ2(k2＋1)．(2)对于椭圆(焦点在x轴上)即有α＝a2，β＝b2，于是相切条件为m2＝a2k2＋b2．(3)对于椭圆(焦点在y轴上)即有α＝b2，β＝a2，于是相切条件为m2＝b2k2＋a2．(4)对于双曲线(焦点在x轴上)即有α＝a2，β＝－b2，于是相切条件为m2＝a2k2－b2．(5)对于双曲线(焦点在y轴上)即有α＝－b2，β＝a2，于是相切条件为m2＝a2－b2k2．[应用有心曲线统一公式，这样就不必从圆、椭圆、双曲线一个一个地去求，可避免一个一个冗长复杂的计算，使问题的解决变得简捷．]2．无心的二次曲线y2＝2px与直线y＝kx＋m相切的条件根据上面的分析，得由②代入①，化简整理，得(kx＋m)2＝2px，k2x2＋(2mk－2p)x＋m2＝0．当二次项系数k2≠0时，Δ＝(2mk－2p)2－4k2m2＝4p2－8mkp＝4p(p－2mk)＝0．无心的二次曲线x2＝2py与直线y＝kx＋m相切的条件，应为(让学生独立完成．)三、巩固新课(让学生直接对照上述结论，设所求公切线的斜率为k，截距为m，再根据椭解设所求的公切线斜率为k，截距为m，根据相切条件有由②代入①，化简整理，得81k4＋36k2－5＝0，(9k2－1)(9k2＋5)＝0，∵9k2＋5≠0，∴9k2－1＝0，代入②，得m＝±5．因此，所求的公切线方程为即x＋3y＋15=0或x－3y＋15=0．求双曲线的两条互相垂直的切线交点的轨迹方程．(帮助学生分析解题的几个要点，然后由学生上黑板解，教师巡视指点．)y=kx＋m，则由相切条件，可知m2=a2k2－b2．(2)设两切线交点为P(x0，y0)，则切线方程为y－y0=k(x－x0)，即y=kx＋(y0－kx0)．(3)y=kx＋m，y=kx＋(y0－kx0)表示同一直线，就有m=(y0－kx0)，∴(y0－kx0)2=a2k2－b2．整理得(4)k1k2=－1，用韦达定理从方程①求得k1k2，即因此，点P的轨迹方程为x2＋y2=a2－b2．这里a＞b，点P的轨迹是一个实圆；a=b，点P的轨迹是一个点圆；a＜b，点P无轨迹(虚圆)．解略．法，不难得出轨迹方程为圆方程x2＋y2=a2＋b2；这题若改为求抛物线y2=2px的两条互相垂直的切线的交点的轨迹方程，方法也类似，不难得出轨迹方程为即点P一定在准线上．[这样改变一下题目，可让学生开拓思路，举一反三．]四、练习1．已知l为椭圆x2＋4y2=4的切线并与坐标轴交于A、B两点，求|AB|的最小值及取得最小值时切线l的方程．解如图2，设切线方程为y=kx＋m，根据相切条件有m2=4k2＋1，即①|OA|2=4k2＋1．在y=kx＋m中，令y=0，得即于是得代入m2=4k2＋1，求得因此，所求的切线共有四条(图3)，它们的方程为求四边形ABCD的最大面积．则由相切条件，知m2=a2k2＋b2，故两切线方程为即两切线间的距离∴四边形ABCD的最大面积为五、补充作业百度文库-让每个人平等地提升自我11 轨迹方程．2．求出斜率为k的圆锥曲线的切线方程．教案说明这一节课的指导思想是：根据现代教育理论，强调在教学的过程中培养能力，特别是思维能力．数学思维结构与科学结构十分相似，学习数学的过程，就是从一种思维结构过渡到另一种思维结构的过程，数学知识只是进行思维结构训练的材料．二次曲线与直线相切的条件若从上述结构进行训练，就是使学生形成完整的思维结构，使对数学的认识有新的突破．这一点已成为我在课堂教学中进行探索和研讨的课题．这节课的整个教学过程中，着重于讲解——启导——探究，培养学生的分析能力．讲解时，突出重点：“相切条件”，并以此为中心，达到举一反三、触类旁通．其中也穿插了自学讨论，而不是教师满堂灌．在练习中，注意到了再现性练习、巩固性练习，同时也留有发现性练习，使学生以新带旧，巩固新知，发展智力，反过来从思维结构上形成完整体系，以认识数学本身．。
直线与圆锥曲线的位置关系教案
直线与圆锥曲线的位置关系教案一、教学目标1. 理解直线与圆锥曲线的位置关系，掌握相关概念和性质。
2. 能够运用直线与圆锥曲线的位置关系解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和数学解决问题的能力。
二、教学内容1. 直线与圆锥曲线的基本概念和性质。
2. 直线与圆锥曲线的相切、相离和相交情况。
3. 直线与圆锥曲线的交点个数与判别式。
4. 直线与圆锥曲线的应用问题。
三、教学方法1. 采用讲解、案例分析、练习相结合的教学方法。
2. 通过图形演示和实际例子，引导学生直观理解直线与圆锥曲线的位置关系。
3. 鼓励学生进行自主学习和合作学习，提高解决问题的能力。
四、教学准备1. 教学课件和教学素材。
2. 直尺、圆规等绘图工具。
3. 练习题和答案。
五、教学过程1. 引入：通过简单的例子，引导学生思考直线与圆锥曲线的位置关系。
2. 讲解：讲解直线与圆锥曲线的基本概念和性质，解释相切、相离和相交情况的定义。
3. 案例分析：分析具体的直线与圆锥曲线的位置关系案例，引导学生通过判别式判断交点个数。
4. 练习：让学生进行相关的练习题，巩固所学知识。
6. 作业布置：布置相关的练习题，巩固所学知识。
六、教学拓展1. 探讨直线与圆锥曲线的位置关系在实际问题中的应用，如光学、工程等领域。
2. 介绍直线与圆锥曲线位置关系在现代数学中的研究进展和应用。
七、课堂小结1. 回顾本节课所学内容，直线与圆锥曲线的位置关系及其应用。
2. 强调重点概念和性质，提醒学生注意在实际问题中的应用。
八、作业布置1. 完成课后练习题，巩固所学知识。
2. 选择一道与直线与圆锥曲线位置关系相关的综合应用题，进行练习。
九、课后反思1. 学生对本节课内容的掌握程度，哪些方面需要加强。
2. 教学方法的适用性，是否达到预期教学效果。
十、教学评价1. 学生作业、练习题和课堂表现的评价。
2. 对学生掌握直线与圆锥曲线位置关系知识的程度的评价。
3. 教学反馈，了解学生对教学内容的满意度和建议。
高考数学讲义直线与圆锥曲线.参考教案.教师版
1．椭圆的定义：平面内与两个定点12F F ，的距离之和等于常数（大于12||F F ）的点的轨迹（或集合）叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距． 2．椭圆的标准方程：①22221(0)x y a b a b+=>>，焦点是1(0)F c -，，2(0)F c ，，且222c a b =-． ②22221(0)y x a b a b +=>>，焦点是1(0)F c -，，2(0)F c ，，且222c a b =-． 3．椭圆的几何性质（用标准方程22221(0)x y a b a b+=>>研究）：⑴范围：a x a -≤≤，b y b -≤≤；⑵对称性：以x 轴、y 轴为对称轴，以坐标原点为对称中心，椭圆的对称中心又叫做椭圆的中心；⑶椭圆的顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，如图中的1212A A B B ，，，； ⑷长轴与短轴：焦点所在的对称轴上，两个顶点间的线段称为椭圆的长轴，如图中线段的12A A ；另一对顶点间的线段叫做椭圆的短轴，如图中的线段12B B ．⑸椭圆的离心率：ce a=，焦距与长轴长之比，01e <<，e 越趋近于1，椭圆越扁；反之，e 越趋近于0，椭圆越趋近于圆．My=-b y=b x=-ax=aB 2B 1A 2A 1c b aF 2F 1O y x4．直线l ：0Ax By C ++=与圆锥曲线C ：()0f x y =，的位置关系：直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离．对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切．这三种位直线与圆锥曲线.参考教案置关系的判定条件可归纳为：设直线l ：0Ax By C ++=，圆锥曲线C ：()0f x y =，，由0()0Ax By C f x y ++=⎧⎨=⎩，消去y （或消去x ）得：20ax bx c ++=．若0a ≠，24b ac ∆=-，0∆>⇔相交；0∆<⇔相离；0∆=⇔相切．若0a =，得到一个一次方程：①C 为双曲线，则l 与双曲线的渐近线平行；②C 为抛物线，则l 与抛物线的对称轴平行．因此直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件．5．连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦．求弦长的一种求法是将直线方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求；另外一种求法是如果直线的斜率为k ，被圆锥曲线截得弦AB 两端点坐标分别为1122()()x y x y ，，，，则弦长公式为2212121||11AB k x y k ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭．两根差公式：如果12x x ，满足一元二次方程：20ax bx c ++=，则2221212124()44b c b ac x x x x x x a a a a -∆⎛⎫-+---⋅==⎪⎝⎭（0∆>）． 6．直线与圆锥曲线问题的常用解题思路有：①从方程的观点出发，利用根与系数的关系来进行讨论，这是用代数方法来解决几何问题的基础．要重视通过设而不求与弦长公式简化计算，并同时注意在适当时利用图形的平面几何性质．②以向量为工具，利用向量的坐标运算解决与中点、弦长、角度相关的问题．【例1】 直线2y kx =+2213x y +=交于不同两点A 和B ，且1OA OB ⋅=u u u r u u u r （其中O 为坐标原点），求k 的值．【考点】直线与椭圆 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无【解析】将2y kx =2213x y +=，得22(13)6230k x kx +++=．由直线与椭圆交于不同的两点，得2222130(62)12(13)12(31)0k k k k ⎧+≠⎪⎨∆=-+=->⎪⎩，即213k >． 设()()A A B B A x y B x y ，，，，则262313A B A Bk x x x x k +==+．由1OA OB ⋅=u u u r u u u r，得2A B A B x x y y +=．而2(2)(2)(1)2()2A B A B A B A B A B A B x x y y x x kx kx k x x k x x +=++=+++222236253(1)221331k k k k k k -=+⋅=++． 于是2253131k k -=+．解得6k =．故k 的值为6． 【答案】6【例2】 已知1m >，直线2:02m l x my --=，椭圆222:1x C y m+=，1F ，2F 分别为椭圆C的左、右焦点．⑴当直线l 过右焦点2F 时，求直线l 的方程；⑵设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，12AF F △，12BF F △的重心分别为G ，H ．若原点O 在以线段GH 为直径的圆内，求实数m 的取值范围．O xyBA【考点】直线与椭圆 【难度】4星 【题型】解答【关键字】2010年，浙江高考【解析】⑴因为直线2:02m l x my --=经过()2210F m -，，所以2212m m -=，得22m =又因为 1.m >所以 2.m =故直线l 的方程为210.x y --=⑵设11()A x y ，，22()B x y ，由2222,21m x my x y m ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去x 得222104m y my +++=则由22281804m m m ⎛⎫=--=-+> ⎪⎝⎭△，知28m < 且有122my y +=-，212182m y y =-．由于1(0)F c -，，2(0)F c ，，故O 为12F F 的中点， 由2AG GO =u u u r u u u r ，2BH HO =u u u r u u u r ，可知1133x y G ⎛⎫⎪⎝⎭，，2233y x H ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2221212()()||.99x x y y GH --=+设M 是GH 的中点，则121266x xy y M ++⎛⎫ ⎪⎝⎭， 由题意可知，2||||MO GH <即222212121212()()46699x x y y x x y y ⎡⎤++--⎛⎫⎛⎫+<+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 12120.x x y y +<而221212121222m m x x y y my my y y ⎛⎫⎛⎫+=+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭221(1)82m m ⎛⎫=+-⎪⎝⎭， 所以210.82m -<即2 4.m <又因为1m >且0>△．所以1 2.m << 所以m 的取值范围是(12)，．【答案】⑴210x y --=；⑵(12)，．【例3】 已知椭圆()222210x y a b a b +=>>短轴的一个端点()0,3D ，离心率12e =．过D 作直线l 与椭圆交于另一点M ，与x 轴交于点A （不同于原点O ），点M 关于x 轴的对称点为N ，直线DN 交x 轴于点B ．⑴求椭圆的方程；⑵求OA OB ⋅u u u r u u u r的值．y xDMNB A O【考点】直线与椭圆 【难度】3星 【题型】解答【解析】⑴由已知，2,3a b ==．所以椭圆方程为 22143x y +=．⑵设直线l 方程为3y kx =+．令0y =，得3,0A k ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭． 由方程组 2233412y kx x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩ 可得 ()2234312x kx ++=，即()2234830k xkx ++=．所以 28334M kx k =-+，所以 2228383,33434k k M k k ⎛⎫--+ ⎪ ⎪++⎝⎭，2228383,33434k k N k k ⎛⎫-- ⎪ ⎪++⎝⎭． 所以 222832333448334DNk k k k kk -+==+． 直线DN 的方程为 334y x k=+． 令0y =，得43,03k B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭．所以 OA OB ⋅u u u r u u u r =43343k k-⋅-=． 【答案】⑴22143x y +=；⑵4．【例4】 直线y kx b =+与椭圆2214x y +=交于A 、B 两点，记AOB ∆的面积为S ，⑴求在001k b =<<，的条件下，S 的最大值；⑵当2AB =，1S =时，求直线AB 的方程．【考点】直线与椭圆 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无【解析】⑴此时直线方程为y b =，代入椭圆方程解得：221x b =±-，222214121112S b b b b b b =⋅-=-+-=，当且仅当21b b -即22b =（负值舍去）时，S 取到最大值1；⑵联立2214y kx bx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得：222(41)84(1)0k x kbx b +++-=，于是22222(8)16(1)(41)1241kb b k AB kk --+=+=+， 又1S =，故原点到直线y kx b =+的距离为2211b Sd AB k ===+，解得：212k =，362b ==． 故直线AB 的方程是：26y x =+或26y x =-或26y x =-+或 26y x =--． 【答案】⑴2b =时，S 取到最大值1； ⑵直线AB 的方程是：262y x =+或262y x =-或262y x =-+或 26y x =--．【例5】 已知椭圆C 的焦点是()10,3F -，()20,3F ，点P 在椭圆上且满足124PF PF +=．⑴ 求椭圆C 的标准方程；⑵ 设直线:220l x y ++=与椭圆C 的交点为A ，B ． ⅰ）求使PAB ∆的面积为12的点P 的个数； ⅱ）设M 为椭圆上任一点，O 为坐标原点， (,)OM OA OB λμλμ=+∈R u u u u r u u u r u u u r，求22λμ+的值．【考点】直线与椭圆 【难度】4星 【题型】解答【关键字】2010年，宣武一模 【解析】⑴ ∵12124PF PF F F +=>∴点P 满足的曲线C 的方程为椭圆 ∵24,3a c == ∴2221b a c =-=∴椭圆C 的标准方程为2214y x +=．⑵ i ）∵ 直线:220l x y ++=与椭圆C 的交点为A ，B∴()()1,0,0,2A B --，5AB = 若1122PAB S AB d ∆==∴55d =∵原点O 到直线:220l x y ++=的距离是2255555=> ∴在直线:220l x y ++=的右侧有两个符合条件的P 点 设直线:20l x y n '++=与椭圆相切，则 222014x y n y x ++=⎧⎪⎨+=⎪⎩有且只有一个交点． ∴228440x nx n ++-=有且只有一个解 由0∆=解得22n =（设负） 此时，l '与l 间距离为222155-<∴在直线:220l x y ++=的左侧不存在符合条件的P 点 ∴符合条件的点P 有2个．ii ）设(),M x y ，则,x y 满足方程：2214y x +=∵ (,)OM OA OB λμλμ=+∈R u u u u r u u u r u u u r∴()()()(),1,00,2,2x y λμλμ=-+-=--即：2x y λμ=-⎧⎨=-⎩，从而有2xy λμ=-⎧⎪⎨=-⎪⎩∴222214yx λμ+=+=．【答案】⑴2214y x +=；⑵ i ）符合条件的点P 有2个；ii ）222214y x λμ+=+=．【例6】 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为63．⑴若原点到直线0x y b +-=的距离为2，求椭圆的方程； ⑵设过椭圆的右焦点且倾斜角为45︒的直线l 和椭圆交于,A B 两点． i ）当||3AB =，求b 的值；ii ）对于椭圆上任一点M ，若OM OA OB λμ=+u u u u r u u u r u u u r，求实数,λμ满足的关系式．【考点】直线与椭圆 【难度】4星 【题型】解答【关键字】2010年，宣武二模【解析】⑴∵22b d ==，∴2b =．∵63c e a ==，∴2223c a =．∵222a b c -=，∴22243a a -=，解得2212,4ab ==．椭圆的方程为221124x y+=．⑵i ）∵63c a =，∴2222223,23a b c a b ===，椭圆的方程可化为22233x y b += …………①易知右焦点(2,0)F b ，据题意有AB ：2y x b =- ………② 由①，②有：2246230x bx b -+= …………③ 设1122(,),(,)A x y B x y ，222222212122724824||()()(11)23344b b b AB x x y y b -=-+-=+=⋅==∴1b =ii ）显然OA u u u r 与OB u u ur 可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量OM u u u u r，有且只有一对实数,λμ，使得等式OM OA OB λμ=+u u u u r u u u r u u u r 成立．设(,)M x y ，∵1122(,)(,)(,)x y x y x y λμ=+，∴1212,x x x y y y λμλμ=+=+又点M 在椭圆上，∴2221212()3()3x x y y b λμλμ+++= ……………④由③有：21212323,24b b x x x x +==则 222212121212121233(2)(2)432()63960x x y y x x x b x b x x b x x b b b b +=+--=-++=-+=……………⑤又,A B 在椭圆上，故有222222112233,33x y b x y b +=+= …………⑥ 将⑥，⑤代入④可得：221λμ+=．【答案】⑴221124x y +=；⑵i ）1b =；ii ）221λμ+=．【例7】 已知椭圆C 的对称中心为原点O ，焦点在x 轴上，离心率为12，且点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭在该椭圆上．⑴求椭圆C 的方程；⑵过椭圆C 的左焦点1F 的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，若AOB ∆的面积为627，求圆心在原点O 且与直线l 相切的圆的方程．【考点】直线与椭圆 【难度】4星 【题型】解答【关键字】2010年，海淀二模【解析】⑴设椭圆C 的方程为22221x y a b +=(0)a b >>，由题意可得12c e a ==，又222a b c =+，所以2234b a =因为椭圆C 经过31,2⎛⎫⎪⎝⎭，代入椭圆方程有22914134a a +=，解得2a =所以1c =，2413b =-=故椭圆C 的方程为22143x y +=．⑵解法一：当直线l x ⊥轴时，计算得到：31,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，31,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1113||||13222AOB S AB OF ∆=⋅⋅=⨯⨯=，不符合题意．当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为：(1)y k x =+，0k ≠由22(1)143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得2222(34)84120k x k x k +++-=显然0∆>成立，设()11,A x y ，()22,B x y ，则2122834k x x k +=-+，212241234k x x k -⋅=+又2222212121212||()()()()AB x x y y x x k x x =-+-=-+-22221212121()1()4k x x k x x x x =+⋅-=+⋅+-⋅422222644(412)1(34)34k k kk k -=+-++即2222212112(1)||13434k k AB k k k ++=+⋅=++又圆O 的半径22|00|||11k k k r k k ⨯-+==++ 所以1||2AOB S AB r ∆=⋅⋅222112(1)||2341k k k k+=⋅⋅++226||162347k k k +==+ 化简，得4217180k k +-=，即22(1)(1718)0k k -+=， 解得211k =，221817k =-（舍）所以2||221k r k ==+，故圆O 的方程为2212x y +=．⑵解法二：设直线l 的方程为1x ty =-，由221143x ty x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x ，得22(43)690t y ty +--=因为0∆>恒成立，设()11,A x y ，()22,B x y ， 则12122269,4343t y y y y t t+=⋅=-++ 所以2121212||()4y y y y y y -=+-⋅22223636(43)43t t t =+++2212143t t +=+ 所以2112216162||||2437AOBt S FO y y t ∆+=⋅⋅-==+ 化简得到4218170t t --=，即22(1817)(1)0t t +-=，解得211,t =221718t =-（舍）又圆O 的半径为22|001|111t r t t-⨯+==++ 所以21221r t ==+，故圆O 的方程为：2212x y += 【答案】⑴22143x y +=；⑵2212x y +=．【例8】 已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为12，且经过点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，过点()2,1P 的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点,A B ．⑴求椭圆C 的方程；⑵是否存直线l ，满足2PA PB PM ⋅=u u u r u u u r u u u u r ？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【考点】直线与椭圆 【难度】4星 【题型】解答【关键字】2010年，朝阳二模【解析】⑴设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，由题意得22222191412a b c a a b c ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎪⎩解得224,3a b ==，故椭圆C 的方程为22143x y += 5分⑵若存在直线l 满足条件，设直线l 的方程为(2)1y k x =-+ 由221,43(2)1x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩得222(34)8(21)161680k x k k x k k +--+--= 因为直线l 与椭圆C 相交于不同的两点,A B ． 设,A B 两点的坐标分别为()()1122,,,x y x y所以222[8(21)]4(34)(16168)0.k k k k k ∆=---⋅+⋅-->整理，得32(63)0k +>解得12k >-．又21212228(21)16168,3434k k k k x x x x k k ---+==++ 且2PA PB PM ⋅=u u u r u u u r u u u u r ．即12125(2)(2)(1)(1)4x x y y --+--=．所以2212(2)(2)(1)||x x k PM --+=54=即212125[2()4](1).4x x x x k -+++=所以222222161688(21)445[24](1)3434344k k k k k k k k k ---+-⋅++==+++ 解得12k =±．所以12k =．于是，存在直线l 满足条件，其方程为12y x =．【答案】⑴22143x y+=；⑵12y x =．【例9】 已知椭圆22:14y C x +=，过点()03M ，的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点A 、B ．⑴若l 与x 轴相交于点N ，且A 是MN 的中点，求直线l 的方程；⑵设P 为椭圆上一点，且OA OB OP λ+=u u u r u u u r u u u r（O 为坐标原点），求当3AB <数λ的取值范围．【考点】直线与椭圆 【难度】4星 【题型】解答【关键字】2009年，西城一模【解析】⑴设()11A x y ，，因为A 为MN 的中点，且M 的纵坐标为3，N 的纵坐标为0，所以132y =， 又因为点()11A x y ，在椭圆C 上，所以221114y x +=，即219116x +=，解得17x = 则点A 的坐标为732⎫⎪⎪⎝⎭，或732⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，， 所以直线l 的方程为77210x y -+=或677210x y +-=．⑵设直线AB 的方程为3y kx =+或0x =，()11A x y ，，()22B x y ，，()33P x y ，， 当AB 的方程为0x =时，43AB => 当AB 的方程为3y kx =+时：由题设可得A 、B 的坐标是方程组22314y kx y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩的解，消去y 得()224650k x kx +++=， 所以()()2262040k k ∆=-+>，即25k >，则12264k x x k -+=+，12254x x k ⋅=+，()()1212224334y y kx kx k +=+++=+， 因为()()2212123AB x x y y =-+-22226201344k k k k -⎛⎫+- ⎪++⎝⎭216813k -<<， 所以258k <<．因为OA OB OP λ+=u u u r u u u r u u u r，即()()()112233x y x y x y λ+=，，，，所以当0λ=时，由0OA OB +=u u u r u u u r r ，得122604k x x k -+==+，1222404y y k +==+， 上述方程无解，所以此时符合条件的直线l 不存在； 当0λ≠时，()123264x x k x k λλ+-==+，()1232244y y y k λλ+==+， 因为点()33P x y ，在椭圆上，所以()()222261241444k k k λλ⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥+=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 化简得22364k λ=+， 因为258k <<，所以234λ<<， 则(()2332λ∈-U，．综上，实数λ的取值范围为())2332-U，．【答案】⑴直线l 的方程为677210x y -+=或677210x y +-=．⑵实数λ的取值范围为()2332-U，．【例10】 已知直线220x y -+=经过椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左顶点A 和上顶点D ．椭圆C 的右顶点为B ．点S 是椭圆C 上位于x 轴上方的动点，直线AS ，BS 与直线10:3l x =分别交于M N ，两点． ⑴求椭圆C 的方程；⑵求线段MN 的长度的最小值．⑶当线段MN 的长度最小时，在椭圆C 上是否存在这样的点T ，使得TSB ∆的面积为15？若存在，确定点T 的个数；若不存在，说明理由． lNMD BSyxOA 【考点】直线与椭圆 【难度】4星 【题型】解答【关键字】2009年，福建高考【解析】⑴由已知得，椭圆C 的左顶点为()20A -，，上顶点为()01D ，，∴2a =，1b =．故椭圆C 的方程为2214x y +=．⑵直线AS 的斜率k 显然存在，且0k >，故可设直线AS 的方程为(2)y k x =+， 从而101633k M ⎛⎫⎪⎝⎭，．由22(2)14y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222214161640k x k x k +++-=． 设()11S x y ，，则()212164214k x k --⋅=+得2122814k x k -=+，从而12414ky k =+， 即2222841414k k S k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，， 又()20B ，．故直线BS 的方程为()124y x k=--． 由()124103y x k x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得10313x y k ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴10133N k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，故161||33k MN k =+． 又0k >，∴1611618233333k k MN k k =+⋅=≥， 当且仅当16133k k =，即14k =时等号成立． ∴14k =时，线段MN 的长度取最小值83．⑶由⑵可知，当MN 取最小值时，14k =，此时BS 的方程为20x y +-=，6455s ⎛⎫⎪⎝⎭，，∴42BS =要使椭圆C 上存在点T ，使得TSB ∆的面积等于15，只须T 到直线BS 的距离等于2， 所以T 在平行于BS 且与BS 2的直线l 上． 设直线:0l x y t '++=， 22=解得32t =-或52t =-． ①当32t =-时，由2214302x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩，得251250x x -+=．由于440∆=>，故直线l '与椭圆C 有两个不同的交点；②当52t =-时，由2214502x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩，得2520210x x -+=．由于200∆=-<，故直线l '与椭圆C 没有交点．综上所述，当线段MN 的长度最小时，椭圆上仅存在两个不同的点T ，使得TSB∆的面积等于15．法二： ⑴同法一⑵设()00S x y ，，则220014x y +=，∴220014x y =-．故2000200012244SA SOy y y k k x x x ⋅=⋅==-+--． 设103MM y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，103N N y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则0M y >，0N y <． 则9110106442233N N N M SA SO y y y y k k ⋅=⋅==-+-，()169M S y y ⋅-=． 故()()823M N M N MN y y y y =+-⋅-=≥， 当且仅当()43M N y y =-=时等号成立． 即MN 的长度的最小值为83．⑶由⑵可知，当MN 取最小值时，10433N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，．∵()20B ，，∴1BS BN k k ==-．此时BS 的方程为20x y +-=，6455S ⎛⎫⎪⎝⎭，，∴42BS =设与直线BS 平行的直线方程为0x y t ++=． 由22014x y t x y ++=⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得2258440x tx t ++-=， 当直线与椭圆C 有唯一公共点时，有()226420440t t ∆=--=，解得5t =±． 当5t =两平行直线:20BS x y +-=与1:50l x y +=间的距离1522d +=；当5t =-时，两平行直线:20BS x y +-=与2:50l x y +=间的距离2522d -=∵15TSO S ∆=，且42BS =TSB ∆在BS 边上的高2d =．∵21d d d <<，∴椭圆C 上存在两个不同的点T ，使得TSB ∆的面积等于15．即线段MN 的长度最小时，椭圆C 上仅存在两上不同的点T ，使得TSB ∆的面积等于15．【答案】⑴椭圆C 的方程为2214x y +=．⑵14k =时，线段MN 的长度取最小值83．⑶线段MN 的长度最小时，椭圆C 上仅存在两上不同的点T ，使得TSB ∆的面积等于15．【例11】 已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线60x y -+=相切．⑴求椭圆C 的方程；⑵设(4,0)P ，A ，B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PB 交椭圆C 于另一点E ，证明直线AE 与x 轴相交于定点Q ；⑶在⑵的条件下，过点Q 的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，求OM ON ⋅u u u u r u u u r的取值范围．【考点】直线与椭圆 【难度】4星 【题型】解答【关键字】2010年，东城二模【解析】⑴由题意知12c e a ==，所以22222214c a b e a a -===．即2243a b =．又因为6311b ==+，所以24a =，23b =．故椭圆C 的方程为22143x y +=．⑵由题意知直线PB 的斜率存在，设直线PB 的方程为(4)y k x =-． 由22(4),1.43y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(43)3264120k x k x k +-+-=． ①设点11(,)B x y ，22(,)E x y ，则11(,)A x y -． 直线AE 的方程为212221()y y y y x x x x +-=--． 令0y =，得221221()y x x x x y y -=-+．将11(4)y k x =-，22(4)y k x =-代入整理，得12121224()8x x x x x x x -+=+-．②由①得21223243k x x k +=+，2122641243k x x k -=+代入②整理，得1x =．所以直线AE 与x 轴相交于定点(1,0)Q ． ⑶当过点Q 直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为(1)y m x =-，且(,)M M M x y ，(,)N N N x y 在椭圆C 上． 由22(1)143y m x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(43)84120m x m x m +-+-=．易知0∆>．所以22843M N m x x m +=+，2241243M N m x x m -=+，22943M N m y y m =-+．则M N M N OM ON x x y y ⋅=+u u u u r u u u r 2225125334344(43)m m m +=-=--++． 因为20m ≥，所以21133044(43)m --<+≤．所以54,4OM ON ⎡⎫⋅∈--⎪⎢⎣⎭u u u u r u u u r ．当过点Q 直线MN 的斜率不存在时，其方程为1x =．解得3(1,)2M ，3(1,)2N -．此时54OM ON ⋅=-u u u u r u u u r ． 所以OM ON ⋅u u u u r u u u r 的取值范围是54,4⎡⎤--⎢⎥⎣⎦．【答案】⑴椭圆C 的方程为22143x y +=；⑵OM ON ⋅u u u u r u u u r 的取值范围是54,4⎡⎤--⎢⎥⎣⎦．【例12】 在直角坐标系xOy 中，点M 到点()13,0F -，()23,0F 的距离之和是4，点M 的轨迹是C 与x 轴的负半轴交于点A ，不过点A 的直线:l y kx b =+与轨迹C 交于不同的两点P 和Q ．⑴求轨迹C 的方程；⑵当0AP AQ ⋅=u u u r u u u r时，求k 与b 的关系，并证明直线l 过定点．【考点】直线与椭圆 【难度】4星【题型】解答【关键字】2010年，丰台二模 【解析】⑴∵点M 到()3,0-，()3,0的距离之和是4，∴M 的轨迹C 是长轴为4，焦点在x 轴上焦中为23的椭圆，其方程为2214x y +=．QPOy x⑵将y kx b =+，代入曲线C 的方程，整理得22(14)8240k x kx +++= 因为直线l 与曲线C 交于不同的两点P 和Q ，所以222222644(14)(44)16(41)0k b k b k b ∆=-+-=-+> ① 设()11,P x y ，()22,Q x y ，则1228214k x x k +=-+，122414x x k=+ ② 且2212121212()()()()y y kx b kx b k x x kb x x b ⋅=++=+++显然，曲线C 与x 轴的负半轴交于点()2,0A -，所以()112,AP x y =+u u u r ，()222,AQ x y =+u u u r ． 由0AP AQ ⋅=u u u r u u u r，得1212(2)(2)0x x y y +++=．将②、③代入上式，整理得22121650k kb b -+=．所以(2)(65)0k b k b -⋅-=，即2b k =或65b k =．经检验，都符合条件①当2b k =时，直线l 的方程为2y kx k =+． 显然，此时直线l 经过定点()2,0-点． 即直线l 经过点A ，与题意不符．当65b k =时，直线l 的方程为6556y kx k k x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭．显然，此时直线l 经过定点6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭点，且不过点A ．综上，k 与b 的关系是：65b k =，且直线l 经过定点6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭点．【答案】⑴2214x y +=．⑵k 与b 的关系是：65b k =，且直线l 经过定点6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭点．【例13】 在直角坐标系xOy 中，点M 到点()13,0F -，()23,0F 的距离之和是4，点M的轨迹是C ，直线:2l y kx =+与轨迹C 交于不同的两点P 和Q ．⑴求轨迹C 的方程；⑵是否存在常数k ，0OP OQ ⋅=u u u r u u u r？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．【考点】直线与椭圆 【难度】3星 【题型】解答【关键字】2010年，丰台二模 【解析】⑴∵点M 到()3,0-，()3,0的距离之和是4，∴M 的轨迹C 是长轴为4，焦点在x 轴上焦距为23的椭圆，QPOy x其方程为2214xy +=． ⑵将2y kx =+，代入曲线C 的方程， 整理得22(14)8240k x kx +++= ① 设()11,P x y ，()22,Q x y 由方程①，得 1228214k x x k +=-+，122414x x k=+ ② 又()()()2121212122222y y kx kx k x x k x x ⋅=++=+++ ③若0OP OQ ⋅=u u u r u u u r，得12120x x y y += 将②、③代入上式，解得62k =±． 又因k 的取值应满足0∆>，即2410k ->（*）， 将62k =±代入（*）式知符合题意． 【答案】⑴2214x y +=；⑵62k =±．【例14】 已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，OA OB +u u u r u u u r与(31)a =-r ，共线． ⑴求椭圆的离心率；⑵设M 为椭圆上任意一点，且 ()OM OA OB λμλμ=+∈R u u u u r u u u r u u u r，，证明22λμ+为定值．【考点】直线与椭圆 【难度】4星 【题型】解答【关键字】2005年，全国高考【解析】⑴设椭圆方程为22221(0)(0)x y a b F c a b+=>>，，，则直线AB 的方程为y x c =-，代入22221x y a b +=，化简得22222222()20a b x a cx a c a b +-+-=．设11()A x y ，，22()B x y ，，则22222121222222a c a c a b x x x x a b a b -+==++，． 由1212()(3,1)OA OB x x y y a +=++=-u u u r u u u r r ，，，OA OB +u u u r u u u r 与a r共线， 得12123()()0y y x x +++= 又1122y x c y x c =-=-，，∴12123(2)()0x x c x x +-++=，∴1232x x c +=，即222232a c c ab =+，所以223a b =，∴226a c a b -， 故离心率6c e a ==⑵由⑴知223a b =，所以椭圆22221(0),(,0)x y a b F c a b+=>>可化为22233x y b +=．设()OM x y =u u u u r，，由已知得1122()()()x y x y x y λμ=+，，，， ∴1212x x x y y y λμλμ=+⎧⎨=+⎩．∵()M x y ，在椭圆上，∴2221212()3()3x x y y b λμλμ+++=．即222222211221212(3)(3)2(3)3x y x y x x y y b λμλμ+++++=① 由⑴知222212331222c x x a c b c +===，，，22222122238a c a b x x c a b -==+， 212121212121233()()43()3x x y y x x x c x c x x x x c c +=+--=-++222393022c c c =-+=，又22222211223333x y b x y b +=+=，，代入①得221λμ+=． 故22λμ+为定值，定值为1．【答案】⑴离心率6e c a ==⑵22λμ+为定值1．【例15】 已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，经过点P (2,1)且离心率2e 2=．过定点(10)C -，的直线与椭圆相交于A ，B 两点．⑴求椭圆的方程；⑵在x 轴上是否存在点M ，使MA MB ⋅u u u r u u u r为常数？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】直线与椭圆 【难度】3星 【题型】解答【解析】⑴设椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，由已知可得2222222211a b c ca ab ⎧=+⎪⎪⎪=⎨⎪⎪+=⎪⎩，解得 224,2a b ==．所求椭圆的方程为22142x y +=．⑵设1122(,),(,),(,0)A x y B x y M m当直线AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为(1)y k x =+． 222222(1)(12)4240240y k x k x k x k x y =+⎧⇒+++-=⎨+-=⎩， 于是2122412k x x k +=-+，21222412k x x k -=+，2221212121223(1)(1)(1)12k y y k x x k x x x x k=++=+++=-+ 21122121212(,)(,)()MA MB x m y x m y x x m x x m y y ⋅=--=-+++u u u r u u u r22222222443121212k mk k m k k k --=++++++2222(241)412m m k m k +-+-=+2222211(241)(21)(241)42212m m k m m m k +-+-+-+-=+227212(241)212m m m k +=+--+ MA MB ⋅u u u v u u u v是与k 无关的常数，∴7202m +=∴74m =-，即7,04M ⎛⎫- ⎪⎝⎭．此时，1516MA MB ⋅=-u u u v u u u v ．当直线AB 与x 轴垂直时，则直线AB 的方程为1x =-． 此时点,A B 的坐标分别为661,,1,22⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当74m =-时，亦有1516MA MB ⋅=-u u u r u u u r ．综上，在x 轴上存在定点7,04M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，使MA MB ⋅u u u v u u u v 为常数．【答案】⑴22142x y +=．⑵在x 轴上存在定点7,04M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，使MA MB ⋅u u u v u u u v 为常数．【例16】 若直线2y kx =+与双曲线226x y -=的右支有两个不同的交点，则k 的取值范围是_______【考点】直线与双曲线 【难度】3星 【题型】填空 【关键字】无【解析】将2y kx =+代入226x y -=，化简得22(1)4100k x kx ---=，150k ∆=⇒= 双曲线的渐近线的斜率为1±，2y kx =+过定点(02)，，数形结合即可得151k ⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭． 【答案】151⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭；【例17】 过双曲线22112x y -=的右焦点直线交双曲线于A 、B 两点，若||4AB =，则这样的直线有_____条【考点】直线与双曲线 【难度】3星 【题型】填空 【关键字】无【解析】垂直于x 轴的弦所在的直线，另两条大致如图所示．O yx【答案】3；【例18】 过点(02)，与双曲线221916x y -=有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为______ 【考点】直线与双曲线 【难度】3星 【题型】填空 【关键字】无【解析】两条切线、两条与渐近线平行的直线． 【答案】4453⎧⎪±±⎨⎪⎪⎩⎭，；【例19】 若直线1y kx =-与双曲线224x y -=的两支各有一个公共点，求k 的取值范围． 【考点】直线与双曲线 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无【解析】对应方程有一正根一负根，只需122501x x k -=<-，解得k 的取值范围为(11)-，． 【答案】(11)-，【例20】 若直线1y kx =-与双曲线224x y -=的右支有两个相异公共点，求k 的取值范围． 【考点】直线与双曲线 【难度】4星 【题型】解答 【关键字】无【解析】将直线1y kx =-代入双曲线方程，整理得：22(1)250k x kx -+-=，设11()P x y ，，22()Q x y ，，(20)A ，，于是有12221k x x k +=--，12251x x k -=-， 又直线与双曲线交于右支上两点，故有22420(1)0k k ∆=+->，且120x x +>，120x x >，解得：51k <<． 【答案】51k <<【例21】 已知不论b 取何实数，直线y kx b =+与双曲线2221x y -=总有公共点，求实数k 的取值范围．【考点】直线与双曲线 【难度】4星 【题型】解答 【关键字】无【解析】将y kx b =+代入双曲线方程消去y 得222(21)4(21)0k x kbx b -+++=，当2120k -=即22k =时，若0b =，则y kx b =+为双曲线的渐近线，与双曲线无公共点； 当2120k -≠即2k ≠时，依题意有2222164(21)(21)0k b k b ∆=--+≥，化简得： 22221k b +≤对所有实数b 恒成立，而221b +的最小值为1，所以必须221k ≤恒成立，解得22k ，又2k ≠，于是可得k 的范围为22(，．此题也可以画图，用数形结合的思想进行解答．【答案】22⎛ ⎝⎭，【例22】 已知以原点O 为中心，()50F，为右焦点的双曲线C 的离心率52e =． ⑴求双曲线C 的标准方程及其渐近线方程；⑵如图，已知过点()11M x y ，的直线111:44l x x y y +=与过点()22N x y ，（其中2x x ≠）的直线222:44l x x y y +=的交点E 在双曲线C 上，直线MN 与两条渐近线分别交与G 、H 两点，求OGH △的面积．EO yxH GMN l 2l 1【考点】直线与双曲线 【难度】4星 【题型】解答【关键字】2010年，重庆高考【解析】⑴设C 的标准方程为()2222100x y a b a b-=>>，，则由题意5c =，又52c e a ==， l 1l 2NMGHxyO EQ因此2a =，221b c a =-=，C 的标准方程为2214x y -=．C 的渐近线方程为12y x =±，即20x y -=和20x y +=．⑵解法一：如图，由题意点()E E E x y ，在直线111:44l x x y y +=和222:44l x x y y +=上，因此有1144E E x x y y +=，2244E E x x y y +=．故点M 、N 均在直线44E E x x y y +=上，因此直线MN 的方程为44E E x x y y +=． 设G 、H 分别是直线MN 与渐近线20x y -=及20x y +=的交点， 由方程组4420E E x x y y x y +=⎧⎨-=⎩，及4420E E x x y y x y +=⎧⎨+=⎩，解得22G E E y x y =+，22H E Ey x y =--．设MN 与x 轴的交点Q ，则在直线44R E x x y y +=中，令0y =得4Q Ex x =（易知0E x ≠）．注意到2244EE x y -=，得1411222OGH G H E E E E ES OQ y y x x y x y =⋅⋅-=⋅++-△222424E E R E x x x y =⋅=-． 解法二：设()E E E x y ，，由方程组11224444x x y y x x y y +=⎧⎨+=⎩解得()2112214E y y x x y x y -=-，121221E x x y x y x y -=-．因21x x ≠，则直线MN 的斜率21E 21E4y y xk x x y -==--． 故直线MN 的方程为()114EEx y y x x y -=--， 注意到1144E E x x y y +=，因此直线MN 的方程为44E E x x y y +=． 下同解法一．【答案】⑴C 的标准方程为2214x y -=，C 的渐近线方程为20x y -=和20x y +=；⑵2．【例23】 已知双曲线()2222:100x y C a b a b-=>>，33x =． ⑴求双曲线2的方程；⑵设直线l 是圆22:2O x y +=上动点()()00000P x y x y ≠，处的切线，l 与双曲线C 交于不同的两点A B ，，证明AOB ∠的大小为定值．【考点】直线与双曲线 【难度】4星 【题型】解答【关键字】2009年，北京高考 【解析】法一：⑴由题意得233.a c c a⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得1a =，3c =．所以2222b c a =-=． 所以双曲线C 的方程为2212y x -=．⑵点()00P x y ，()000x y ≠在圆222x y +=上， 圆在点()00P x y ，处的切线l 的方程为()0000x y y x x y -=--， 化简得002x x y y +=．由2200122y x x x y y ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩及22002x y +=得：()222000344820x x x x x --+-=． 因为切线l 与双曲线C 交于不同的两点A B ，，且2002x <<， 所以20340x -≠，且()()22200016434820x x x ∆=--->．设A B ，两点的坐标分别为()11x y ，，()22x y ，，则01220434x x x x +=-，2012208234x x x x -=-．因为cos OA OBAOB OA OB⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，且()()121212010220122OA OB x x y y x x x x x x y ⋅=+=+--u u u r u u u r()212012012201422x x x x x x x x x ⎡⎤=+-++⎣⎦- ()222200002222000082828143423434x x x x x x x x ⎡⎤--⎢⎥=+-+----⎢⎥⎣⎦2200220082280334x x x x --=+=-， 所以AOB ∠的大小为90︒． 法二： ⑴同法一．⑵点()00P x y ，()000x y ≠在圆222x y +=上， 圆在点()00P x y ，处的切线l 的方程为()0000x y y x x y -=--， 化简得002x x y y +=．由2200122y x x x y y ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩及22002x y +=，得 ()22200344820x x x x x --+-=， ① ()222000348820xy y y x -+-+=． ②因为切线l 与双曲线C 交于不同的两点A B ，，所以2340x -≠． 设A B ，两点的坐标分别为()()1122x y x y ，，，，则2012208234x x x x -=-，2012202834x y y x -=-．所以12120OA OB x x y y ⋅=+=u u u r u u u r．所以AOB ∠的大小为90︒．（因为22002x y +=且000x y ≠，所以22000202x y <<<<，，从而当20340x -≠时，方程①与方程②的判别式均大于0）【答案】⑴2212y x -=;⑵AOB ∠的大小为90︒．【例24】 已知点100()P x y ，为双曲线222218x y b b-=（b 为正常数）上任一点，2F 为双曲线的右焦点，过1P 作右准线的垂线，垂足为A ，连接2F A 并延长交y 轴于2P ．⑴求线段1P 2P 的中点P 的轨迹E 的方程；⑵设轨迹E 与x 轴交于B 、D 两点，在E 上任取一点111(0)Q x y y ≠（，），直线QB ，QD 分别交y 轴于M N ，两点．求证：以MN 为直径的圆过两定点．（焦点在x 轴上的标准双曲线的准线方程为2a x c=±）F 2F 1P 2P 1P Ay xO【考点】直线与双曲线 【难度】4星 【题型】解答【关键字】2009年，江西高考【解析】⑴由已知得2(30)F b ，，083A b y ⎛⎫⎪⎝⎭，，则直线2F A 的方程为：03(3)y y x b b=--， 令0x =得09y y =，即20(09)P y ，，设P x y （，），则0000 2952x x y y y y ⎧=⎪⎪⎨+⎪==⎪⎩，即0025x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩代入22002218x y b b -=，得222241825x y b b -=， 即P 的轨迹E 的方程为22221225x y b b -=．⑵在22221225x y b b-=中令0y =得222x b =，则不妨设()20B b ，，()20D b ，，于是直线QB 的方程为：112)2y x b x b=++，直线QD 的方程为：)1122y x b x b=-，可得11202by M x b ⎛ +⎝，，11202by N x b ⎛- -⎝，， 则以MN 为直径的圆的方程为： 2111122022by by x y y x b x b ⎛++= +-⎝， 令0y =得222122122b y x x b =-，而11Q x y （，）在22221225x y b b -=上，则222112225x b y -=， 于是5x b =±，即以MN 为直径的圆过两定点(50)b -，，(50)b ，． 【答案】⑴22221225x y b b -=；⑵以MN 为直径的圆过两定点(50)b -，，(50)b ，．【例25】 点P 在直线:1l y x =-上，若存在过P 的直线交抛物线2y x =于A ，B 两点，且PA AB =，则称点P 为“A 点”，那么下列结论中正确的是（ ）A ．直线l 上的所有点都是“A 点”B ．直线l 上仅有有限个点是“A 点”C ．直线l 上的所有点都不是“A 点”D ．直线l 上有无穷多个点（但不是所有的点）是“A 点”【考点】直线与抛物线 【难度】5星 【题型】选择【关键字】2009年，北京高考【解析】设(1)P a a -，，200()A x x ，，则由PA AB =且三点共线可得B 点的坐标为 200(221)x a x a --+，，由B 点在抛物线上知： 2222000021(2)44x a x a x ax a -+=-=-+，整理得：22002410x ax a a -++-=．从而知0x 为方程222410x ax a a -++-=的解，当此方程有解时，对应的点(1)P a a -，为“A 点”．而此方程的判别式222168(1)8(1)0a a a a a ∆=-+-=-+>恒成立，故选A ．该题是所有选择题中最难的，也可以算是唯一的难题，解决直线与圆锥曲线问题的常规方法联立方程利用韦达定理不适合此题，所以需要将题目的条件进行合适的转化．【答案】A ； 【例26】 如图抛物线1C ：22y px =和圆2C ：22224p p x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，其中0p >，直线l 经过1C 的焦点，依次交1C ，2C 于,,,A B C D 四点，则AB CD ⋅u u u r u u u r的值为（ ）A ． 24pB ． 23pC ． 22pD ．2pODC B Ayx【考点】直线与抛物线 【难度】星 【题型】选择【关键字】2010年，宣武一模【解析】此题宜取特殊值．不妨设直线l 的方程为2px =，于是分别联立l 与12,C C ，解得 ,,,,,,,222222p p p p p p A p B C D p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．于是2224p p p AB CD ⋅=⋅=u u u r u u u r ．【答案】A ；【例27】 已知抛物线22(0)y px p =>，过定点(0)M p ，作一弦PQ ，则2211MP MQ+=u u u r u u u u r _______． 【考点】直线与抛物线 【难度】4星 【题型】填空 【关键字】无【解析】设11()P x y ，，22()Q x y ，，直线PQ 的斜率不存在时，方程为x p =，解得2MP MQ ==u u u r u u u u r， 从而222221111122p p p MP MQ+=+=u u u r u u u u r ．直线PQ 的斜率存在时，设PQ 的方程为()y k x p =-，代入22y px =中，消去x 得：222222(1)0k x p k x k p -++=，22222211221111()()x p y x p y MP MQ+=+-+-+u u u r u u u u r22221211x p x p =+++222122222122()()x x p x p x p ++=++（*）又21222(1)p k x x k ++=，212x x p =，故2222221212122484()22p p x x x x x x p k k+=+-=++，代入（*）式得：2222422222422248*********p p p k k p p p MP MQ p p p k k +++==⎛⎫+++ ⎪⎝⎭u u u r u u u u r ． 综上知，222111p MP MQ+=u u u r u u u u r ．【答案】21p ；【例28】 已知一条曲线C 在y 轴右边，C 上每一点到点(10)F ，的距离减去它到y 轴距离的差是1．⑴求曲线C 的方程；⑵是否存在正数m ，对于过点(0)M m ，且与曲线C 有两个交点A ，B 的任一直线，都有0FA FB ⋅<u u u r u u u r?若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．【考点】直线与抛物线 【难度】4星 【题型】解答【关键字】2010年，湖北高考【解析】⑴设()P x y ，是曲线C 上任意一点，那么点()P x y ，满足：22(1)1(0)x y x x -+-=>，化简得24(0)y x x =>．⑵设过点(0)M m ，(0)m >的直线l 与曲线C 的交点为12()A x y ，，22()B x y ，， 设l 的方程为x ty m =+，由24x ty m y x=+⎧⎨=⎩得2440y ty m --=，216()0t m =+>△，。
高三数学《直线与圆锥曲线位置关系》说课稿
高三数学《直线与圆锥曲线位置关系》说课稿高三数学《直线与圆锥曲线位置关系》说课稿作为一名专为他人授业解惑的人民教师，时常要开展说课稿准备工作，通过说课稿可以很好地改正讲课缺点。
那么什么样的说课稿才是好的呢？以下是小编整理的高三数学《直线与圆锥曲线位置关系》说课稿，仅供参考，欢迎大家阅读。
目的要求1、能从数、形两方面深刻理解线与线之间的位置关系，并会用方程法讨论直线与两类（封闭与非封闭）曲线的位置关系。
2、弦长公式的理解与灵活运用。
3、通过曲线焦点的弦的弦长问题的处理，能运用圆锥曲线的第二定义以求简化运算，使解题过程得到优化。
本节重点：1、直线与曲线的位置关系。
2、数形结合思想的渗透。
本节难点：1、非封闭曲线，尤其是双曲线与直线位置关系的讨论。
2、充分运用新旧知识的迁移，从数与形两方面深刻理解相关结论，构建完整的知识体系。
3、在掌握共性的（方程法）基础上，注意个性（距离法），防止负迁移，做到特殊问题能特殊处理。
教学过程一、要点归纳：如何解决直线与圆锥曲线的位置关系问题，方程法是通用的方法，相应方程组的解的个数就是二者交点的个数，若有两个交点，则交点连线的长度就是相应的弦长。
基本内容包括：（一）、位置关系的.分类讨论：1、直线与封闭曲线（圆与椭圆）：以直线与椭圆为例：因为，所以可以直接讨论判别式：直线与曲线相离（0个交点）。
直线与曲线相切（1个交点）。
直线与曲线相交（2个交点）。
注意：对于直线与圆的位置关系的讨论，除此之外，我们常通过圆心和直线的距离与半径的大小关系来判定。
2、直线与非封闭曲线（双曲线与抛物线）：以直线与双曲线为例：(1)、即时，方程有唯一解，直线与渐近线平行，位置关系是相交，且只有一个交点。
（2）、时，讨论判别式：直线与曲线相离（0个交点）。
直线与曲线相切（1个交点）。
直线与曲线相交（2个交点）。
归纳指出：对于非封闭曲线，直线与其仅有一个交点，只是二者相切的一个必要条件，而非充分条件！（二）、直线与曲线相交——弦长问题：设直线与曲线相交于，两交点坐标的唯一来源是方程组，下面的弦长公式很显然：（消元后是关于x的方程）或（消元后是关于y的方程）结合图象，弄清楚公式的导出方法，是为至要！特别指出：抛物线的焦点弦性质丰富多彩，以为例，若直线过焦点，关键是注意两点：（1）、巧设直线方程：（2）、根据定义求弦长：。
直线与圆锥曲线教学设计
直线与圆锥曲线一、 教学目标1、能够正确熟练地解决直线和圆锥曲线位置关系的一些问题。
2、能够正确运用圆锥曲线的定义和标准方程解决焦点弦问题、焦点三角形问题、弦中点问题。
二、教学难点直线与圆锥曲线的位置关系，几何图形和代数方程的相互转化。
三、知识梳理 1、直线与圆锥曲线的位置关系：（1） 几何角度：无公共点，一个公共点，两个公共点； （2） 代数角度：将直线0=++C By Ax 与圆锥曲线联立得02=++c bx ax ；① 若a=0，当圆锥曲线为双曲线时，直线l 与双曲线的渐近线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时，直线l 与抛物线的对称轴平行（或重合） ② 若a ≠0,设ac b 42-=∆当∆ > 0时，直线与圆锥曲线交于不同的两点； 当∆ < 0时，直线与圆锥曲线相切与一点； 当∆ = 0 时，直线与圆锥曲线无公共点。
2、弦长问题：斜率为k 的直线与圆锥曲线交于),(),,(2211y x Q y x P ，则||1||122x x k PQ -+=或||11||122y y k PQ -+=。
四、课前热身1、直线m 与椭圆1222=+y x 交于P 、Q 两点，线段PQ 的中点为M ，设直线m 的斜率为k 1,直线OM 的斜率为k 2,则k 1*k 2=2、已知直线y=2x 与双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 有交点，则双曲线离心率的范围为3、过点P （0，2）的直线和抛物线x y 82=交于A 、B 两点，若线段AB 的中点M 在直线X=2上，求|AB|=4、若直线3)2(+-=x k y 和曲线42-=x y 有两个不同的公共点，则k的范围为____________5、已知直线l: 01243=+-y x 经过椭圆C 的一个焦点和短轴的一个顶点，求椭圆的标准方程及离心率。
五、典型题析热点一 直线与圆锥曲线的位置关系问题例1、 若曲线ax y =2与直线1)1(-+=x a y 恰有一个公共点，求实数a 的值解析: 若0=a ，则曲线变为y=0，与直线y=x-1必有一个交点；若0≠a ，则由⎩⎨⎧=-+=axy x a y 21)1(得，01)23()1(22=++-+x a x a① 当0)1(2=+a 即1-=a 时，01=+x 1-=∴x 有一个公共点； ②当0)1(2≠+a 时，0)1(4)23(22=+-+=∆a a54-=∴a 有一个公共点。
直线与圆锥曲线的位置关系教案
直线与圆锥曲线的位置关系教案教学目标：1. 理解直线与圆锥曲线的位置关系；2. 学会运用直线与圆锥曲线的性质解决问题；3. 提高推理能力和解决问题的能力。
教学重点：1. 直线与圆锥曲线的位置关系的判定；2. 直线与圆锥曲线的性质及应用。
教学难点：1. 直线与圆锥曲线的位置关系的判定；2. 直线与圆锥曲线的性质的灵活运用。
教学准备：1. 教材或教学资源；2. 投影仪或白板；3. 粉笔或教学板书。
教学过程：第一章：直线与圆锥曲线的位置关系简介1.1 引入通过展示一些实际问题，引导学生思考直线与圆锥曲线的位置关系，例如：在平面直角坐标系中，给定一个圆锥曲线（如椭圆、双曲线、抛物线），如何判断一条给定的直线与该圆锥曲线的位置关系（相交、切线、平行、远离）？1.2 讲解讲解直线与圆锥曲线的位置关系的判定方法，包括：（1）相交：直线与圆锥曲线有两个不同的交点；（2）切线：直线与圆锥曲线有一个交点，且该交点为切点；（3）平行：直线与圆锥曲线没有交点；（4）远离：直线与圆锥曲线相离，没有交点。
1.3 练习给出一些练习题，让学生运用所学知识判断直线与圆锥曲线的位置关系，并解释原因。
1.4 小结总结本章内容，强调直线与圆锥曲线的位置关系的判定方法及应用。
第二章：直线与圆锥曲线的性质2.1 引入通过展示一些实际问题，引导学生思考直线与圆锥曲线的性质，例如：在平面直角坐标系中，给定一条直线和一个圆锥曲线（如椭圆、双曲线、抛物线），如何描述它们的交点、切点等特征？2.2 讲解讲解直线与圆锥曲线的性质，包括：（1）交点的坐标：根据直线和圆锥曲线的方程，求出它们的交点坐标；（2）切点的坐标：根据直线和圆锥曲线的方程，求出它们的切点坐标；（3）斜率：直线与圆锥曲线相交时，交点的切线斜率与直线的斜率的关系；（4）距离：直线与圆锥曲线的距离公式。
2.3 练习给出一些练习题，让学生运用所学知识描述直线与圆锥曲线的交点、切点等特征，并计算相关距离和斜率。
直线与圆锥曲线教学设计
直线与圆锥曲线广汉中学 黄华祯 考情分析：直线与圆锥曲线的位置关系是高考的必考内容，涉及直线与圆锥曲线的相交、相切、弦长、面积以及中点弦等问题，难度中等.本节课就直线与圆锥曲线位置关系判定、通过直线与圆锥曲线位置关系求参数范围以及直线与圆锥曲线相交时，有关相交弦长求解问题进行教学。
一、教学目标1、知识与技能：掌握直线与圆锥曲线的位置关系判定。
2、过程与方法：学生通过观察分析，会用代入法求解直线与圆锥曲线的有关问题。
3、情感、态度与价值观：加强数形结合思想的训练与应用，提高学生的空间想象力和直观想象素养。
二、教学重难点：重点：直线与圆锥曲线位置关系、求解弦长。
难点：直线与圆锥曲线问题与其他知识融合考察，合理使用题中条件。
三、学法与教学用具学法：学生通过自主探究分析，体验计算以及数形结合解题的过程。
教学用具：多媒体。
四、教学过程：知识回顾1．直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系，从几何角度来看有三种：相离时，直线与圆锥曲线______公共点；相切时，直线与圆锥曲线有______公共点；相交时，直线与椭圆有______公共点，直线与双曲线、抛物线有一个或两个公共点．一般通过它们的方程来研究：设直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0与二次曲线C ：f (x ，y )＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，f （x ，y ）＝0消元，如果消去y 后得：ax 2＋bx ＋c ＝0， (1)当a ≠0时，①Δ＞0，则方程有两个不同的解，直线与圆锥曲线有两个公共点，直线与圆锥曲线________； ②Δ＝0，则方程有两个相同的解，直线与圆锥曲线有一个公共点，直线与圆锥曲线________； ③Δ＜0，则方程无解，直线与圆锥曲线没有公共点，直线与圆锥曲线________．(2)注意消元后非二次的情况，即当a ＝0时，对应圆锥曲线只可能是双曲线或抛物线． 当圆锥曲线是双曲线时，直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是________；当圆锥曲线是抛物线时，直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是________．注：直线方程涉及斜率k 要考虑其不存在的情形．例题讲练、知识回顾2．直线与圆锥曲线相交的弦长问题(1)直线l ：y ＝kx ＋m 与二次曲线C ：f (x ，y )＝0交于A ，B 两点，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，f （x ，y ）＝0得ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，则x 1＋x 2＝________，x 1x 2＝________， 则弦长||AB ＝ ．例题讲解3.巩固练习1．直线y＝x＋1与椭圆x2＋y22＝1的位置关系是()A．相离B．相切C ．相交D ．无法确定2．设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过点F 的直线l 交C 于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，若|AB |＝8，则y 21＋y 22等于( )3．已知A ，B 为双曲线x 2－y 29＝1上两点，且线段AB 的中点坐标为(－1，－4)，则直线AB 的斜率为( ) A.32 B.94 C ．－94 D ．－324．斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为( ) A.455 B.4105 C.8105 D.8557．若斜率为k (k >0)的直线l 过双曲线C ：y 2－x 24＝1的上焦点F ，与双曲线C 的上支交于A ，B 两点，且F A →＋3FB →＝0，则k 的值为( )A.22B.33C.55D.19198．(2023·全国乙卷)设A ，B 为双曲线x 2－y 29＝1上两点，下列四个点中，可为线段AB 中点的是( )A ．(1,1)B ．(－1,2)C ．(1,3)D ．(－1，－4)二、填空题9．已知直线y ＝kx －1与双曲线x 2－y 2＝4没有公共点，则k 的取值范围为________________．12．(2023·荆门模拟)过点P ′(2,0)作斜率为1的直线交抛物线y 2＝2px (p >0)于A ，B 两点，直线x ＝－2交x 轴于点Q ，连接QA ，QB ，则直线QA ，QB 的斜率之和为________．三、解答题13．若椭圆E ：y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)过抛物线y 2＝8x 的焦点，且与双曲线x 2－y 2＝－1有相同的焦点．(1)求椭圆E 的方程；(2)直线l 过点(1,0)，且被椭圆E 截得的线段长为32，求直线l 的方程．。
高中数学教案 第8讲 直线与圆锥曲线
第8讲直线与圆锥曲线1.理解直线与圆锥曲线位置关系的判断方法.2.掌握直线被圆锥曲线所截的弦长公式.3.掌握直线与圆锥曲线相交的综合问题.1.直线与圆锥曲线的位置关系(1)直线与圆锥曲线的位置关系有□1相交、□2相切、□3相离；相交有两个交点(特殊情况除外)，相切有一个交点，相离无交点.(2)判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C ＝0代入圆锥曲线C的方程.消去y(或x)得到一个关于变量x(或y)的方程ax2＋bx ＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0).①当a≠0时，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有Δ＞0时，直线l与曲线C□4相交；Δ＝0时，直线l与曲线C□5相切；Δ＜0时，直线l与曲线C□6相离.②当a＝0时，即得到一个一次方程，则l与C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的□7渐近线平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的□8对称轴平行或重合.2.圆锥曲线的弦长公式设直线与圆锥曲线的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝□91＋k2|x1－x2|＝□10（1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2]或|AB|＝□111＋1k2|y1－y2|＝□12（1＋1k2）[（y1＋y2）2－4y1y2]，k为直线斜率且k≠0.常用结论与椭圆有关的结论(1)通径的长度为2b2a；(2)过原点的直线交椭圆于A，B两点，P是椭圆上异于A，B的任一点，则k P A·k PB＝－b2a2；(3)若点P(x0，y0)在椭圆上，过点P的切线方程为x0xa2＋y0yb2＝1.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)椭圆通径是所有的焦点弦中最短的弦.()(2)直线y＝x与椭圆x22＋y2＝1一定相交.()(3)“直线l与双曲线C相切”的充要条件是“直线l与双曲线C只有一个公共点”.()(4)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切.()答案：(1)√(2)√(3)×(4)×2.回源教材(1)直线y＝kx＋1与椭圆x216＋y24＝1的位置关系为()A.相离B.相交C.相切D.无法确定解析：B由于直线y＝kx＋1过定点(0，1)，而(0，1)在x216＋y24＝1内，故直线与椭圆相交.(2)过抛物线y＝14x2的焦点F作一条倾斜角为30°的直线交抛物线于A，B两点，则|AB|＝.解析：依题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，题中的抛物线x2＝4y的焦点坐标是F(0，1)，直线AB的方程为y＝33x＋1，即x＝3(y－1).x2＝4y，x＝3（y－1）消去x得3(y－1)2＝4y，即3y2－10y＋3＝0，y1＋y2＝103，|AB|＝|AF|＋|BF|＝(y1＋1)＋(y2＋1)＝y1＋y2＋2＝16 3 .答案：16 3(3)已知点M(－1，1)和抛物线C：y2＝4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C 交于A，B两点.若∠AMB＝90°，则k＝.解析：因为抛物线C：y2＝4x的焦点为F(1，0)，所以直线AB的方程为y＝k (x －1)2＝4x ，＝k （x －1），可得k 2x 2－2(2＋k 2)x ＋k 2＝0，k ≠0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4＋2k 2k 2＝4k 2＋2，x 1x 2＝1，所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－2)＝4k ，y 1y 2＝k 2(x 1－1)(x 2－1)＝k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]＝－4.因为M (－1，1)，所以MA →＝(x 1＋1，y 1－1)，MB →＝(x 2＋1，y 2－1)，因为∠AMB ＝90°，所以MA →·MB →＝0，所以(x 1＋1)(x 2＋1)＋(y 1－1)(y 2－1)＝0，整理可得，x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋y 1y 2－(y 1＋y 2)＋2＝0，所以1＋2＋4k 2－4－4k＋2＝0，得k 2－4k ＋4＝0，所以k ＝2.答案：2直线与圆锥曲线位置关系的判断例1已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个不同的公共点；(2)有且只有一个公共点.解：将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，2x ＋m ，①＋y 22＝1，②将①代入②，整理得9x 2＋8mx ＋2m 2－4＝0.③方程③根的判别式Δ＝(8m )2－4×9×(2m 2－4)＝－8m 2＋144.(1)当Δ＞0，即－32＜m ＜32时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解.这时直线l 与椭圆C 有两个不同的公共点.(2)当Δ＝0，即m ＝±32时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解，即直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点.反思感悟在判断直线和圆锥曲线的位置关系时，先联立方程组，再消去x (或y )，得到关于y (或x )的方程，如果是直线与圆或椭圆，则所得方程一定为一元二次方程；如果是直线与双曲线或抛物线，则需讨论二次项系数等于零和不等于零两种情况，只有二次方程才有判别式，另外还应注意斜率不存在的情形.训练1(1)若直线mx ＋ny ＝9和圆x 2＋y 2＝9没有交点，则过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 216＝1的交点有()A.1个B.至多1个C.2个D.0个解析：C 因为直线mx ＋ny ＝9和圆x 2＋y 2＝9没有交点，所以9m 2＋n 2＞3，即m 2＋n 2＜9，所以m 29＋n 216≤m 29＋n 29＜1，即点(m ，n )在椭圆x 29＋y 216＝1内，所以过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 216＝1的交点有2个.(2)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，经过双曲线C 的右焦点F ，且倾斜角为60°的直线l 与双曲线右支有两个交点，则双曲线离心率的取值范围为.解析：∵直线l 的斜率k l ＝tan 60°＝3，双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ，则ba ＜3，∴e ＝c a＝1＋b 2a2＜2，故1＜e ＜2.答案：(1，2)弦长问题例2过椭圆x 22＋y 2＝1的左焦点作倾斜角为60°的直线，直线与椭圆交于A ，B两点，则|AB|＝.解析：∵椭圆方程为x22＋y2＝1，∴焦点分别为F1(－1，0)，F2(1，0).∵直线AB过左焦点F1，倾斜角为60°，∴直线AB的方程为y＝3(x＋1)，将直线AB方程与椭圆方程联立消去y，得7x2＋12x＋4＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，可得x1＋x2＝－127，x1x2＝47，∴|x1－x2|＝（x1＋x2）2－4x1x2＝427，因此|AB|＝1＋（3）2·|x1－x2|＝82 7.答案：82 7反思感悟求解弦长的4种方法(1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解.(2)联立直线与圆锥曲线方程，解方程组求出两个交点坐标，代入两点间的距离公式求解.(3)联立直线与圆锥曲线方程，消元得到关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系得到(x1－x2)2，(y1－y2)2，代入两点间的距离公式.(4)当弦过焦点时，可结合焦半径公式求解弦长.训练2已知椭圆M：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为22，AB为过椭圆右焦点的一条弦，且AB长度的最小值为2.(1)求椭圆M的方程；(2)若斜率为1的直线l与椭圆M交于C，D两点，点P(2，0)，直线PC的斜率为12，求线段CD的长度.解：(1)因为椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为22＝ca＝1－（ba）2，过椭圆右焦点的弦长的最小值为2b2a＝2，所以a＝2，c＝2，b＝2，所以椭圆M的方程为x24＋y22＝1.(2)设直线PC的方程为y＝12(x－2)，联立直线PC与椭圆M的方程得12（x－2），＋y22＝1，化简整理得3x2－4x－4＝0，则x P＋x C＝43，因为点P(2，0)，所以C点坐标为(－23，－43)，所以可得直线l的方程为y＋43＝x＋23，即y＝x－23.联立直线l与椭圆M的方程，消去y得3x2－83x－289＝0，解得x1＝－23，x2＝149，所以|CD|＝1＋12×|x1－x2|＝2×209＝2029.中点弦利用中点弦确定直线或曲线方程例3(2023·全国乙卷)设A，B为双曲线x2－y29＝1上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是()A.(1，1)B.(－1，2)C.(1，3)D.(－1，－4)解析：D法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M(x0，y0)，由点A，B在双曲线上，21－y219＝1，22－y229＝1，两式作差，得x21－x22＝y21－y22 9，即(x1－x2)(x1＋x2)＝（y1－y2）（y1＋y2）9，化简得（y 1－y 2）（y 1＋y 2）（x 1－x 2）（x 1＋x 2）＝9，即y 1－y 2x 1－x 2·y 1＋y 22x 1＋x 22＝k AB ·y 0x 0＝9，因此k AB ＝9·x0y 0.由双曲线方程可得渐近线方程为y ＝±3x ，如图.对于A ，因为k AB ＝9×11＝9＞3，所以直线AB 与双曲线无交点，不符合题意；对于B ，因为k AB ＝9×－12＝－92＜－3，所以直线AB 与双曲线无交点，不符合题意；对于C ，k AB ＝9×13＝3，此时直线AB 与渐近线y ＝3x 平行，与双曲线不可能有两个交点，不符合题意；对于D ，因为k AB ＝9×－1－4＝94＜3，所以直线AB 与双曲线有两个交点，满足题意.法二：选项中的点均位于双曲线两支之间，故A ，B 分别在双曲线的两支上且不关于原点对称，设线段AB 的中点坐标为(x 0，y 0)，则|k AB |＝9|x0y 0|＜3，即|y 0|＞3|x 0|，结合选项可知选D.反思感悟用“点差法”解决有关中点弦问题的一般步骤对称问题例4已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为12，长轴长为4.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知直线l 过定点E (14，0)，若椭圆C 上存在两点A ，B 关于直线l 对称，求直线l 斜率k 的取值范围.解：(1)因为椭圆的离心率为e ＝c a ＝12，长轴长为2a ＝4，解得a ＝2，c ＝1，则b 2＝3，所以椭圆C 的标准方程是x 24＋y 23＝1.(2)易知直线的斜率存在，设直线方程为y ＝k (x －14)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 中点的坐标为(x 0，y 0)x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1，两式相减得3(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝－4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)，即3kx 0＝4y 0.又y 0＝k (x 0－14)，解得x 0＝1，y 0＝3k4.因为线段AB 的中点在椭圆内部，所以x 204＋y 203＜1，即14＋（3k 4）23＜1，解得－2＜k ＜2.所以直线l 斜率k 的取值范围是(－2，2).反思感悟训练3(2024·衡水模拟)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为22，短轴顶点分别为M，N，四边形MF1NF2的面积为32.(1)求椭圆C的标准方程；(2)直线l交椭圆C于A，B两点，若AB的中点坐标为(－2，1)，求直线l的方程.解：(1)因为离心率e＝ca＝22，所以a＝2c，因为a2＝b2＋c2，所以b＝c.因为四边形MF1NF2的面积为32，所以2bc＝32，所以b＝c＝4，a＝42，故椭圆C的标准方程为x232＋y216＝1.(2)由题意得，直线l的斜率存在.设A(x1，y1)，B(x2，y2)x2132＋y2116＝1，x2232＋y2216＝1，两式相减得x21－x2232＋y21－y2216＝0，所以y1－y2x1－x2＝－12·x1＋x2y1＋y2.因为AB的中点坐标为(－2，1)在椭圆内部，所以y1－y2x1－x2＝1，所以直线l的斜率为1，故直线l的方程为y－1＝x＋2，即x－y＋3＝0.限时规范训练(六十四)A级基础落实练1.直线y＝kx－k与椭圆x29＋y24＝1的位置关系为()A.相交B.相切C.相离D.不确定解析：A直线y＝kx－k可化为y＝k(x－1)，所以直线恒过点(1，0).又129＋024＜1，即(1，0)在椭圆的内部，所以直线y＝kx－k与椭圆x29＋y24＝1的位置关系为相交.2.直线y＝x＋2与椭圆x2m＋y23＝1有两个公共点，则m的取值范围是()A.(1，＋∞)B.(1，3)∪(3，＋∞)C.(3，＋∞)D.(0，3)∪(3，＋∞)解析：Bx＋2，＋y23＝1，得(m＋3)x2＋4mx＋m＝0.由Δ＞0且m≠3及m＞0，得m＞1且m≠3.3.已知椭圆M：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，过M的右焦点F(3，0)作直线交椭圆于A，B两点，若AB的中点坐标为(2，1)，则椭圆M的方程为()A.x2 9＋y26＝1 B.x24＋y2＝1C.x2 12＋y23＝1 D.x218＋y29＝1解析：D直线AB的斜率k＝1－02－3＝－1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入椭圆方程可得x21a2＋y21b2＝1，x22a2＋y22b2＝1，两式相减，整理得2a2－1b2＝0，又c＝3，a2＝b2＋c2，联立解得a2＝18，b2＝9.所以椭圆M的方程为x218＋y29＝1.4.过椭圆x212＋y24＝1上的点A(3，－1)作椭圆的切线l，则过A点且与直线l垂直的直线方程为()A.x－y－3＝0B.x＋y－2＝0C.2x＋3y－3＝0D.3x－y－10＝0解析：B过椭圆x212＋y24＝1上的点A(3，－1)的切线l的方程为3x12＋（－y）4＝1.即x－y－4＝0，切线l的斜率为1，与直线l垂直的直线的斜率为－1，过A点且与直线l垂直的直线方程为y＋1＝－(x－3)，即x＋y－2＝0.5.(2023·新课标Ⅱ卷)已知椭圆C：x23＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝x＋m与C交于A，B两点，若△F1AB面积是△F2AB面积的2倍，则m＝()A.2 3B.2 3C.－23D.－23解析：C由题意，F1(－2，0)，F2(2，0)，△F1AB面积是△F2AB面积的2倍，所以点F1到直线AB的距离是点F2到直线AB的距离的2倍，即|－2＋m|2＝2×|2＋m|2，解得m＝－23或m＝－32(此时直线与椭圆C不相交，舍去)，故选C.6.(多选)已知直线l：x＝ty＋4与抛物线C：y2＝4x交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，O为坐标原点，直线OA，OB的斜率分别记为k1，k2，则()A.y 1y 2为定值B.k 1k 2为定值C.y 1＋y 2为定值D.k 1＋k 2＋t 为定值解析：ABD＝ty ＋4，2＝4x ，得y 2－4ty －16＝0，1＋y 2＝4t ，1y 2＝－16.对于A ，y 1y 2＝－16为定值，故A 正确；对于B ，k 1k 2＝y 1y 2x 1x 2＝y 1y 2y 21y 2216＝16y 1y 2＝－1为定值，故B 正确；对于C ，y 1＋y 2＝4t ，不为定值，故C 错误；对于D ，k 1＋k 2＋t ＝y 1x 1＋y 2x 2＋t ＝x 2y 1＋x 1y 2x 1x 2＋t ＝（ty 2＋4）y 1＋（ty 1＋4）y 2y 21y 2216＋t ＝2ty 1y 2＋4（y 1＋y 2）y 21y 2216＋t ＝－32t ＋16t16＋t ＝－t ＋t ＝0为定值，故D 正确.7.设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是.解析：可求得Q (－2，0)，当直线l 的斜率不存在时，不满足题意，故设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，代入抛物线方程，消去y 整理得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0.当k ＝0时，直线l 与抛物线恒有一个交点；当k ≠0时，结合Δ＝(4k 2－8)2－4k 2·4k 2＝64(1－k 2)≥0，解得－1≤k ＜0或0＜k ≤1.综上，直线l 的斜率的取值范围为[－1，1].答案：[－1，1]8.已知椭圆x 22＋y 2＝1与直线y ＝x ＋m 交于A ，B 两点，且|AB |＝423，则实数m 的值为.解析：y 2＝1，x ＋m ，消去y 并整理，得3x 2＋4mx ＋2m 2－2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4m 3，x 1x 2＝2m 2－23.由题意，得2（x 1＋x 2）2－8x 1x 2＝423，解得m ＝±1.答案：±19.(2024·保定模拟)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，过F 作斜率为5的直线l 与C 交于M ，N 两点，若线段MN 中点的纵坐标为10，则F 到C 的准线的距离为.解析：设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，两式相减得y 21－y 22＝2px 1－2px 2，即(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝2p (x 1－x 2)，因为M ，N 两点在斜率为5的直线l 上，所以y 1－y 2x 1－x 2＝5，所以由(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝2p (x 1－x 2)得5(y 1＋y 2)＝2p ，因为线段MN 中点的纵坐标为10，所以y 1＋y 2＝210，则5×210＝2p ，p ＝52，所以F 到C 的准线的距离为5 2.答案：5210.已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2，0)，右顶点为(3，0).(1)求该双曲线C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 的左支有两个不同的交点A ，B ，求k 的取值范围.解：(1)由题意设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0).由已知得a ＝3，c ＝2，再由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1.故双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.(2)设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1，得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由题意知－3k 2≠0，＝（－62k ）2－4×（1－3k 2）×（－9）＞0，A ＋x B ＝62k1－3k 2＜0，A x B ＝－91－3k2＞0，∴33＜k ＜1.∴k 的取值范围是(33，1).11.已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)与双曲线y 26－x 22＝1的渐近线相同，且经过点(2，3).(1)求双曲线C 的方程；(2)已知双曲线C 的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线l 经过F 2，倾斜角为34π，l 与双曲线C 交于A ，B 两点，求△F 1AB 的面积.解：(1)设所求双曲线C 的方程为y 26－x 22λ(λ≠0)，代入点(2，3)得326－222＝λ，即λ＝－12，∴双曲线C 的方程为y 26－x 22＝－12，即x 2－y 23＝1.(2)由(1)知，F 1(－2，0)，F 2(2，0)，由题意得直线AB 的方程为y ＝－(x －2)，即x ＋y －2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)＋y －2＝0，2－y 23＝1，得2x 2＋4x －7＝0，满足Δ＞0且x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝－72，由弦长公式得|AB |＝1＋k 2×|x 1－x 2|＝1＋（－1）2×（－2）2－4×（－72）＝2×32＝6，点F 1(－2，0)到直线AB ：x ＋y －2＝0的距离d ＝|－2＋0－2|2＝2 2.所以S △F 1AB ＝12|AB |·d ＝12×6×22＝6 2.B 级能力提升练12.(多选)(2023·新课标Ⅱ卷)设O 为坐标原点，直线y ＝－3(x －1)过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点，且与C 交于M ，N 两点，l 为C 的准线，则()A.p ＝2B.|MN |＝83C.以MN 为直径的圆与l 相切D.△OMN 为等腰三角形解析：AC对于A ，因为直线y ＝－3(x －1)经过抛物线C 的焦点，且直线与x 轴的交点为(1，0)，所以抛物线C 的焦点坐标为(1，0)，所以p2＝1，即p ＝2，所以A 选项正确；对于B ，法一：不妨设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，x 1＜x 2，＝－3（x －1），2＝4x ，1＝13，1＝233，2＝3，2＝－23，所以M (13，233)，N (3，－23)，所以由两点间距离公式可得|MN |＝（3－13）2＋（－23－233）2＝163，故B 选项错误；法二：不妨设M (x1，y 1)，N (x 2，y 2)，x 1＜x 2，＝－3（x －1），2＝4x ，消去y 并整理得3x 2－10x ＋3＝0，解得x 1＝13，x 2＝3.由抛物线的定义得，|MN |＝x 1＋x 2＋p ＝103＋2＝163，故B 选项错误；法三：设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，＝－3（x －1），2＝4x ，消去y 并整理得3x 2－10x ＋3＝0，则Δ＝64＞0，x 1＋x 2＝103，x 1x 2＝1，所以由弦长公式得|MN |＝1＋3×（103）2－4×1＝163，故B 选项错误；法四：易知直线＝－3(x －1)的倾斜角为2π3，所以|MN |＝2×2sin 22π3＝163，故B 选项错误；对于C ，法一：由以上分析易知，l 的方程为x ＝－1，以MN 为直径的圆的圆心坐标为(53，－233)，半径r ＝12|MN |＝83＝53＋1，所以以MN 为直径的圆与l 相切，故C 选项正确；法二：由二级结论——以抛物线焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切，易知C 选项正确；对于D，由B中法一知M(13，233)，N(3，－23)，所以由两点间距离公式可得|OM|＝133，|ON|＝21，又|MN|＝163，故D选项错误.综上，选AC.13.(多选)(2024·金华调研)在平面直角坐标系xOy中，动点P与两个定点F1(－3，0)和F2(3，0)的连线的斜率之积等于13，记点P的轨迹为曲线E，直线l：y ＝k(x－2)与E交于A，B两点，则()A.E的方程为x23－y2＝1(x≠±3)B.E的离心率为3C.E的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝1相切D.满足|AB|＝23的直线l有两条解析：ACD设点P(x，y)，由已知得yx＋3·yx－3＝13，整理得x23－y2＝1，所以点P的轨迹曲线E的方程为x23－y2＝1(x≠±3)，故A正确；又离心率e＝23＝233，故B不正确；圆(x－2)2＋y2＝1的圆心(2，0)到曲线E的渐近线y＝±33x的距离d＝212＋（±3）2＝1，又圆(x－2)2＋y2＝1的半径为1，故C正确；直线l与曲线E的方程联立得k （x －2），y 2＝1（x ≠±3），整理得(1－3k 2)x 2＋12k 2x －12k 2－3＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，Δ＝144k 4－4(1－3k 2)(－12k 2－3)＝12(k 2＋1)＞0，且1－3k 2≠0，有x 1＋x 2＝－12k 21－3k 2，x 1x 2＝－12k 2－31－3k 2，所以|AB |＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝1＋k 2·231＋k 2|1－3k 2|＝23（1＋k 2）|1－3k 2|，要满足|AB |＝23，则需23（1＋k 2）|1－3k 2|＝23，解得k ＝0或k ＝1或k ＝－1，当k ＝0时，不妨令A (3，0)，B (－3，0)，而曲线E 上x ≠±3，所以满足条件的直线l 有两条，故D 正确.14.(2021·新高考Ⅰ卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知点F 1(－17，0)，F 2(17，0)，点M 满足|MF 1|－|MF 2|＝2.记M 的轨迹为C .(1)求C 的方程；(2)设点T 在直线x ＝12上，过T 的两条直线分别交C 于A ，B 两点和P ，Q 两点，且|TA |·|TB |＝|TP |·|TQ |，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和.解：(1)因为|MF 1|－|MF 2|＝2＜|F 1F 2|＝217，所以点M 的轨迹C 是以F 1，F 2分别为左、右焦点的双曲线的右支.设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，半焦距为c ，则2a ＝2，c ＝17，得a ＝1，b 2＝c 2－a 2＝16，所以点M 的轨迹C 的方程为x 2－y 216＝1(x ≥1).(2)设T (12，t )，由题意可知直线AB ，PQ 的斜率均存在且不为零，设直线AB 的方程为y －t ＝k 1(x －12)(k 1≠0)，直线PQ 的方程为y －t ＝k 2(x －12)(k 2≠0)，－t ＝k 1（x －12），2－y 216＝1，得(16－k 21)x 2－2k 1(t －k 12)x －(t －k 12)2－16＝0.设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )(x A ＞12，x B ＞12)，由题意知16－k 21≠0，则x A x B ＝－（t －k12）2－1616－k 21，x A ＋x B ＝2k 1（t －k12）16－k 21，所以|TA |＝1＋k 21|x A －12|＝1＋k 21(x A －12)，|TB |＝1＋k 21|x B －12|＝1＋k 21(x B －12)，则|TA |·|TB |＝(1＋k 21)(x A －12)(x B －12)＝(1＋k 21)[x A x B －12(x A ＋x B )＋14]＝(1＋k 21)[－（t －k 12）2－1616－k 21－12·2k 1（t －k12）16－k 21＋14]＝（1＋k21）（t2＋12）k21－16同理得|TP|·|TQ|＝（1＋k22）（t2＋12）k22－16.因为|TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|，所以（1＋k21）（t2＋12）k21－16＝（1＋k22）（t2＋12）k22－16，所以k22－16＋k21k22－16k21＝k21－16＋k21k22－16k22，即k21＝k22，又k1≠k2，所以k1＝－k2，即k1＋k2＝0.故直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和为0.。
直线与圆锥曲线的位置关系教案
直线与圆锥曲线的位置关系教案第一章：直线与圆锥曲线的基本概念1.1 直线的基本概念直线的定义直线的性质直线的方程1.2 圆锥曲线的基本概念圆锥曲线的定义圆锥曲线的性质圆锥曲线的方程第二章：直线与圆锥曲线的交点2.1 直线与圆的交点直线与圆的位置关系直线与圆的交点个数直线与圆的交点坐标求解方法2.2 直线与椭圆的交点直线与椭圆的位置关系直线与椭圆的交点个数直线与椭圆的交点坐标求解方法2.3 直线与双曲线的交点直线与双曲线的position 关系直线与双曲线的交点个数直线与双曲线的交点坐标求解方法第三章：直线与圆锥曲线的切点3.1 直线与圆的切点直线与圆的位置关系直线与圆的切点性质直线与圆的切点坐标求解方法3.2 直线与椭圆的切点直线与椭圆的位置关系直线与椭圆的切点性质直线与椭圆的切点坐标求解方法3.3 直线与双曲线的切点直线与双曲线的position 关系直线与双曲线的切点性质直线与双曲线的切点坐标求解方法第四章：直线与圆锥曲线的距离4.1 直线与圆的距离直线与圆的位置关系直线与圆的距离公式直线与圆的距离求解方法4.2 直线与椭圆的距离直线与椭圆的位置关系直线与椭圆的距离公式直线与椭圆的距离求解方法4.3 直线与双曲线的距离直线与双曲线的position 关系直线与双曲线的距离公式直线与双曲线的距离求解方法第五章：直线与圆锥曲线的应用5.1 直线与圆的相切问题直线与圆相切的条件直线与圆相切的应用实例直线与圆相切的解题方法5.2 直线与椭圆的相切问题直线与椭圆相切的条件直线与椭圆相切的应用实例直线与椭圆相切的解题方法5.3 直线与双曲线的相切问题直线与双曲线相切的条件直线与双曲线相切的应用实例直线与双曲线相切的解题方法第六章：直线与圆锥曲线的对称性6.1 直线与圆的对称性直线与圆的对称性质直线与圆的对称变换直线与圆的对称问题实例与解法6.2 直线与椭圆的对称性直线与椭圆的对称性质直线与椭圆的对称变换直线与椭圆的对称问题实例与解法6.3 直线与双曲线的对称性直线与双曲线的对称性质直线与双曲线的对称变换直线与双曲线的对称问题实例与解法第七章：直线与圆锥曲线的相交弦7.1 直线与圆的相交弦直线与圆的相交弦性质直线与圆的相交弦公式直线与圆的相交弦问题实例与解法7.2 直线与椭圆的相交弦直线与椭圆的相交弦性质直线与椭圆的相交弦公式直线与椭圆的相交弦问题实例与解法7.3 直线与双曲线的相交弦直线与双曲线的相交弦性质直线与双曲线的相交弦公式直线与双曲线的相交弦问题实例与解法第八章：直线与圆锥曲线的焦点8.1 直线与圆的焦点直线与圆的焦点性质直线与圆的焦点问题实例与解法直线与圆的焦点应用8.2 直线与椭圆的焦点直线与椭圆的焦点性质直线与椭圆的焦点问题实例与解法直线与椭圆的焦点应用8.3 直线与双曲线的焦点直线与双曲线的焦点性质直线与双曲线的焦点问题实例与解法直线与双曲线的焦点应用第九章：直线与圆锥曲线的综合问题9.1 直线与圆的综合问题直线与圆的位置关系的综合应用直线与圆的交点、切点、距离的综合问题实例与解法直线与圆的对称性、相交弦、焦点的综合应用9.2 直线与椭圆的综合问题直线与椭圆的位置关系的综合应用直线与椭圆的交点、切点、距离的综合问题实例与解法直线与椭圆的对称性、相交弦、焦点的综合应用9.3 直线与双曲线的综合问题直线与双曲线的position 关系的综合应用直线与双曲线的交点、切点、距离的综合问题实例与解法直线与双曲线的对称性、相交弦、焦点的综合应用第十章：直线与圆锥曲线的拓展与提升10.1 直线与圆锥曲线的拓展问题直线与圆锥曲线的特殊位置关系问题直线与圆锥曲线的创新性问题实例与解法直线与圆锥曲线的综合应用提升10.2 直线与圆锥曲线的解题策略与方法直线与圆锥曲线的分类讨论方法直线与圆锥曲线的数形结合方法直线与圆锥曲线的构造法与方程法10.3 直线与圆锥曲线的教学反思与评价直线与圆锥曲线教学的重点与难点直线与圆锥曲线教学的方法与技巧直线与圆锥曲线教学的评价与反思重点和难点解析1. 第一章：直线与圆锥曲线的基本概念重点关注直线和圆锥曲线的定义、性质和方程。
高中数学 8.4直线与圆锥曲线的关系(二)教学案
§8.4直线与圆锥曲线的关系（二）【复习目标】在计算直线与圆锥曲线相交弦长或弦中点等有关问题时，能够运用一元二次方程根与系数的关系简化运算，12||x x -=（或2212))(11(y y k-+其中k 为直线的斜率），计算相交弦长； 在计算圆锥曲线过焦点弦长时，能够运用“点到焦点距离与点到准线距离之比等于e ”简捷地算出焦半径长；能够利用圆锥曲线的几何性质，通过“数”与“形”的结合，快捷准确地睦线与圆锥曲线的关系。
【课前预习】直线y = 2x-1与曲线C 交于A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)两点. 若|x 1-x 2|=2,则|AB|= ，若|y 1-y 2|=2,则|AB|= 。
过抛物线y 2=4x 的焦点F ，作抛物线的弦MN,设M(x 1 y 1)、N(x 2 y 2)若x 1+x 2=6则MN= 。
双曲线的实轴长为2a,F 1、F 2是它的两个焦点,设弦AB 过F 1点,且端点A 、B 均在双曲线的同一支上，|AF 2|、|AB|、|BF 2|成等差数列，则|AB|= 。
斜率为３的直线交椭圆192522=+y x 于Ａ、Ｂ两点，则线段ＡＢ中点Ｍ的坐标满足方程 A ．x y 253= B ．x y 253-= C ．x y 325= D ．x y 325-=（ ） 【典型例题】例1 已知椭圆1222=+y x 及点B(0,-2)，过椭圆的左焦点F 1与B 的直线交椭圆于C 、D 两点，椭圆的右焦点为F 2 求△CDF 2的面积。
例2 椭圆ax 2+by 2=1与直线x+y=1相交于A 、B 两点，C 为AB 中点若|AB|=22, O 为坐标原点，OC 的斜率为22，求a 、b.例3 已知直线l 和圆M ：2220x y x ++=相切于点T ，且与双曲线C ：221x y -=相交于A 、B 两点，若2OA OB OT +=，求直线l 的方程。
【巩固练习】直线y=kx 交抛物线y 2=7x 于O 、A 两点，若OA 中点的横坐标为2，则k= 。
安徽省长丰县高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1直线与圆锥曲线的位置关系教案新人教A版选修1-1
教学资源准备
1.教材：确保每位学生都有《新人教A版选修1-1》教材，以便于学生跟随教学进度进行学习和复习。
2.辅助材料：
（1）准备与教学内容相关的直线与圆锥曲线图形示例，以直观展示直线与圆锥曲线的位置关系；
（2）收集一些实际问题，以便于学生学会从实际问题中建立数学模型，利用直线与圆锥曲线的性质解决问题；
（2）直线与圆锥曲线的性质：掌握直线与圆锥曲线的性质，能够运用这些性质解决实际问题。
（3）数学建模：学会从实际问题中建立数学模型，利用直线与圆锥曲线的性质解决问题。
2.教学难点
（1）直线与圆锥曲线的位置关系的理解：学生对于直线与圆锥曲线相切、相离、相交的判定方法容易混淆，难以理解。
（2）直线与圆锥曲线性质的运用：学生对于如何运用直线与圆锥曲线的性质解决实际问题存在困难。
-在解决实际问题的过程中，能够灵活运用所学知识，并能够进行创新性的思考；
-对直线与圆锥曲线位置关系的学习保持积极的态度，并在学习过程中获得成就感。
课堂小结，当堂检测
课堂小结：
本节课我们学习了直线与圆锥曲线的位置关系，包括它们相切、相离、相交的判定方法。我们通过实例了解了这些判定方法在实际问题中的应用，并学会了如何利用直线与圆锥曲线的性质解决问题。在探究过程中，我们培养了逻辑推理、直观想象、数学建模和数学运算等核心素养。
（2）设置实验操作区，以便于学生进行实验操作和观察；
（3）确保教室内的教学设施齐全，如投影仪、白板、黑板等，以便于教学的顺利进行。
教学过程设计
1.导入新课（5分钟）
目标：引起学生对直线与圆锥曲线位置关系的兴趣，激发其探索欲望。
圆锥曲线与直线相切的条件教案
圆锥曲线与直线相切的条件教案第一篇：圆锥曲线与直线相切的条件教案圆锥曲线与直线相切的条件教案教学目的(1)掌握圆锥曲线与直线相切的条件及圆锥曲线切线的定义；(2)使学生会用初等数学方法求圆锥曲线的切线；(3)应用相切的公式解题，从而培养学生综合应用能力．教学过程一、问题提出1．有心的二次曲线包括哪些？无心的二次曲线包括哪些？(答：有心的二次曲线是圆、椭圆及双曲线；无心的二次曲线是抛物线．)(由教师启发下，让学生共同讨论．)(1)当α＞0，β＞0且α＝β时，方程表示为圆；(2)当α＞0，β＞0且α≠β时，方程表示为椭圆；(3)当α、β为异号时，方程表示为双曲线．因此，这个方程可以统一表示有心的二次曲线．3．圆锥曲线与直线的相切的条件是什么？设直线l′与圆锥曲线相交于P、Q两点(图1)，将直线l′绕点P旋转，使点Q逐渐靠近点P，当l′转到直线l的位置时，点Q与点P重合，这时，直线l叫做圆锥曲线在点P的切线．也就是圆锥曲线与直线l相切．根据这个定义，于是圆锥曲线方程f(x，y)＝0与直线方程y＝kx＋m组成的方程组应有两个相同的实数解．实系数一元二次方程有两个相同的实数解的充要条件是判别式Δ＝0，根据条件转化为求Δ＝0．(启发学生回答，由教师归纳，然后板书课题．)今天我们要研究“圆锥曲线与直线相切的条件”．二、讲述新课根据上面分析，得由②代入①，化简、整理得(αk2＋β)x2＋2αkmβ＋α(m2－β)＝0．③当αk＋β≠0时(二次项系数)，Δ＝4αkm－4α(αk＋β)(m－β)＝4α2k2m2－4α2k2m2＋4α2k2β－4αβm2＋4αβ2＝4αβ(αk2＋β－m2)．(启发学生讨论．)由于α、β均不为零，因此当Δ＝0时可知有心二次曲线与直线y ＝kx＋m相切的充要条件为m2＝αk2＋β，(αk2＋β≠0)④这里αk2＋β恰是方程③的二次项系数．(引导学生对结论④，在圆、椭圆、双曲线各种情况下变化规律进行讨论，教师边归纳，边板书．)(1)对于圆x2＋y2＝γ2，可写成222222即有α＝β＝γ2，于是相切条件为m2＝γ2(k2＋1)．(2)对于椭圆(焦点在x轴上)即有α＝a，β＝b，于是相切条件为m＝ak＋b．(3)对于椭圆(焦点在y轴上)即有α＝b2，β＝a2，于是相切条件为m2＝b2k2＋a2．(4)对于双曲线(焦点在x轴上)即有α＝a2，β＝－b2，于是相切条件为m2＝a2k2－b2．(5)对于双曲线(焦点在y轴上)即有α＝－b2，β＝a2，于是相切条件为m2＝a2－b2k2．[应用有心曲线统一公式，这样就不必从圆、椭圆、双曲线一个一个地去求，可避免一个一个冗长复杂的计算，使问题的解决变得简捷．]2．无心的二次曲线y2＝2px与直线y＝kx＋m相切的条件根据上面的分析，得由②代入①，化简整理，得(kx＋m)2＝2px，k2x2＋(2mk－2p)x＋m2＝0．当二次项系数k2≠0时，Δ＝(2mk－2p)2－4k2m2＝4p2－8mkp ＝4p(p－2mk)＝0．无心的二次曲线x2＝2py与直线y＝kx＋m相切的条件，应为(让学生独立完成．)三、巩固新课(让学生直接对照上述结论，设所求公切线的斜率为k，截距为m，再根据椭解设所求的公切线斜率为k，截距为m，根据相切条件有由②代入①，化简整理，得81k4＋36k2－5＝0，(9k2－1)(9k2＋5)＝0，∵9k2＋5≠0，∴9k2－1＝0，代入②，得m＝±5．因此，所求的公切线方程为即x＋3y＋15=0或x－3y＋15=0．求双曲线的两条互相垂直的切线交点的轨迹方程．(帮助学生分析解题的几个要点，然后由学生上黑板解，教师巡视指点．)y=kx＋m，则由相切条件，可知m2=a2k2－b2．(2)设两切线交点为P(x0，y0)，则切线方程为y－y0=k(x－x0)，即y=kx＋(y0－kx0)．(3)y=kx＋m，y=kx＋(y0－kx0)表示同一直线，就有m=(y0－kx0)，∴(y0－kx0)=ak－b．整理得(4)k1k2=－1，用韦达定理从方程①求得k1k2，即因此，点P的轨迹方程为x＋y=a－b．这里a＞b，点P的轨迹是一个实圆；a=b，点P的轨迹是一个点圆；a＜b，点P无轨迹(虚圆)．解略．法，不难得出轨迹方程为圆方程x＋y=a＋b；这题若改为求抛物线y=2px的两条互相垂直的切线的交点的轨迹方程，方法也类似，不难得出轨迹方程为即点P一定在准线上．[这样改变一下题目，可让学生开拓思路，举一反三．]四、练习1．已知l为椭圆x＋4y=4的切线并与坐标轴交于A、B两点，求|AB|的最小值及取得最小值时切线l的方程．2解如图2，设切线方程为y=kx＋m，根据相切条件有m2=4k2＋1，即①|OA|2=4k2＋1．在y=kx＋m中，令y=0，得即于是得代入m=4k＋1，求得 2因此，所求的切线共有四条(图3)，它们的方程为求四边形ABCD的最大面积．则由相切条件，知m2=a2k2＋b2，故两切线方程为即两切线间的距离∴四边形ABCD的最大面积为五、补充作业轨迹方程．2．求出斜率为k的圆锥曲线的切线方程．教案说明这一节课的指导思想是：根据现代教育理论，强调在教学的过程中培养能力，特别是思维能力．数学思维结构与科学结构十分相似，学习数学的过程，就是从一种思维结构过渡到另一种思维结构的过程，数学知识只是进行思维结构训练的材料．二次曲线与直线相切的条件若从上述结构进行训练，就是使学生形成完整的思维结构，使对数学的认识有新的突破．这一点已成为我在课堂教学中进行探索和研讨的课题．这节课的整个教学过程中，着重于讲解——启导——探究，培养学生的分析能力．讲解时，突出重点：“相切条件”，并以此为中心，达到举一反三、触类旁通．其中也穿插了自学讨论，而不是教师满堂灌．在练习中，注意到了再现性练习、巩固性练习，同时也留有发现性练习，使学生以新带旧，巩固新知，发展智力，反过来从思维结构上形成完整体系，以认识数学本身．第二篇：怎样证明直线与圆相切？怎样证明直线与圆相切？在直线与圆的各种位置关系中，相切是一种重要的位置关系．现介绍以下三种判别直线与圆相切的基本方法：(1)利用切线的定义——在已知条件中有“半径与一条直线交于半径的外端”，于是只需直接证明这条直线垂直于半径的外端．例1：已知：△A BC内接于⊙O，⊙O的直径AE交BC于F点，点P在BC的延长线上，且∠CAP=∠ABC．求证：PA是⊙O的切线．证明：连接EC．∵AE是⊙O的直径，∴∠ACE=90°，∴∠E＋∠EAC=90°．∵∠E=∠B，又∠B=∠CAP，∴∠E=∠CAP，∴∠EAC＋∠CAP=∠EAC ＋∠E=90°，∴∠EAP=90°，∴PA⊥OA，且过A点，则PA是⊙O的切线．(2)利用切线的判定定理——在已知条件中，有“一条直线过圆上某一公共点(即为切点)，但没有半径”，于是先连接圆心与这个公共点成为半径，然后再证明这条直线和这条半径垂直．例2：以Rt△ABC的直角边BC为直径作⊙O交斜边AB于P，Q 为AC的中点．求证：PQ必为⊙O的切线．证明连接OP，CP．∵BC为直径，∴∠BPC=90°，即∠APC=90°．又∵Q为AC中点，∴QP=QC，∴∠1=∠2．又OP=OC，∴∠3=∠4．又∠ACB=90°，∴∠2＋∠4=∠1＋∠3=∠ACB＝90°，∴∠OPQ=90°．∵P点在⊙O上，且P为半径OP的端点，则QP为⊙O的切线．说明：要证PQ与半径垂直，即连接OP．这是判别相切中添辅助线的常用方法．(3)证明“d=R”——在已知条件中“没有半径，也没有与圆有公共交点的直线”，于是过圆心作直线的垂线，然后再证明这条垂线的长(d)等于圆的半径(R)．例3：已知：在△ABC中，AD⊥BC与D，且AD=BC，E、F为AB、AC的中点，O为EF2的中点。
直线与圆锥曲线教案
直线与圆锥曲线教学目标：1．熟练掌握直线与圆锥曲线三种位置关系的数与形的一一对应；2．熟练掌握解决直线与圆锥曲线相关问题的常用方法；3．培养学生熟练运用数形结合、方程和转化的数学思想解决数学问题的能力。
教学重点、难点：重点：1．直线与圆锥曲线位置关系的判定；2．点差法的应用。
难点：点差法的综合应用。
教学过程：复习归纳：直线:0l Ax By C ++=与圆锥曲线():,0C f x y =的位置关系有哪些？相离，相切、相交；一般如何判定？考察直线与曲线的公共点个数；如何利用代数方法来判定？联立直线与曲线方程，考察消去y （或x ）后的方程的解的情况。
归纳：()200000,0Ax By C A x B x C f x y ++=⎧⎪⇒++=⎨=⎪⎩ 把研究直线与圆锥曲线的问题转化为研究方程组解的问题当00A ≠时：相离0⇔∆<，相切0⇔∆=；相交0⇔∆>；(1)当 A0=0 时，若一次方程有解，则只有一解，即直线与圆锥曲线只有一个交点此时，若圆锥曲线为双曲线，则直线与渐近线平行若圆锥曲线为抛物线， 则直线与对称轴平行或重合问题探究：已知双曲线22:22C x y -=与点()1,2P ，求过P 点的直线l 的斜率取值范围，使l 与C 分别有一个公共点，两个公共点，没有公共点。
解析：考查直线与双曲线公共点个数问题，实际上是研究联立方程消去y （或x ）后得到的新方程是否有实数解或实数解的个数问题，在解题过程中要注意二次项系数的讨论。
解：设():21l y k x -=-()()()2222222222246012x y k x k k x k k y k x ⎧-=⎪⇒-+--+-=⎨=-+⎪⎩ （＊） ()()()()22224242461632k k k k k k ⇒∆=-+--+=-(1)当220k -=即k =l 与C 有一个交点；当2200k ⎧-≠⎨∆=⎩即32k =时，方程（＊）有一解，则l 与C 有一个交点，∴当k =32时，l 与C 有一个交点。
数学2.5 直线与圆锥曲线教案
2.5 直线与圆锥曲线教案课题 直线与圆锥曲线教 学目 标知识与技能掌握直线与圆锥曲线的位置关系及其判定方法；了解两个动弦的相关性质，领会直线与圆锥曲线的定值定点问题的解决方法。
学会发现问题、分析问题和解决问题。
过程与方法通过层层递进的研究性学习，让学生充分理解直线和圆锥曲线问题的代数和几何的方法，以及对函数与方程思想的把握和应用。
情感态度 与价值观通过本节课的学习，让学生逐渐理解解析几何，更加对解析几何充满了好奇，充满了兴趣，喜欢数学，喜欢研究。
重点 直线和圆锥曲线的代数方法的应用难点 两个动弦的性质—定值定点问题的研究方法研究性学习，小组讨论法教具PPT教 学 过 程教 师 活 动学生活动 设计意图问题引入：由直线与圆的位置关系引入（相切、相交、相离）代数角度来分析问题。
（1）Δ>0⇔相交； （2）Δ=0⇔相切 （3）Δ<0⇔相离 例如：直线y=2x+3与圆x 2+y 2=4的位置关系提出问题：我们采用同样的方法来研究直线与圆锥曲线的位置关系一．直线与圆锥曲线的位置关系 例题1：已知直线l :y=2x+m ，椭圆C ：12422=+yx .试问m 取何值时，直线l 与椭圆C ：（1）有两个不重合的公共点 （2）有且只有一个公共点 （3）没有公共点 变式1：将变式1中的直线l 改为y=kx+3，求k 的取值范围。
变式2：已知直线l :y=kx+m 与焦点在x 轴的椭圆C ：12422=+y x ，无论k 为何值总有公共点，求m 的取值范围。
例题2：已知直线l :y=kx+3与双曲线C ：12422=-y x 有一个公共点，求k 的取值范围。
（代数思想和数形结合思想） 学生总结 学生自主练习 学生思考并用代数方法操作，并思考几何方法由圆引入代数方法体会代数联立方法更改变量的位置体会和椭圆的不同，总结几何方法。
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圆锥曲线与直线相切的条件教案
教学目的
(1)掌握圆锥曲线与直线相切的条件及圆锥曲线切线的定义；
(2)使学生会用初等数学方法求圆锥曲线的切线；
(3)应用相切的公式解题，从而培养学生综合应用能力．
教学过程
一、问题提出
1．有心的二次曲线包括哪些？无心的二次曲线包括哪些？
(答：有心的二次曲线是圆、椭圆及双曲线；无心的二次曲线是抛物线．)
(由教师启发下，让学生共同讨论．)
(1)当α＞0，β＞0且α＝β时，方程表示为圆；
(2)当α＞0，β＞0且α≠β时，方程表示为椭圆；
(3)当α、β为异号时，方程表示为双曲线．
因此，这个方程可以统一表示有心的二次曲线．
3．圆锥曲线与直线的相切的条件是什么？
设直线l′与圆锥曲线相交于P、Q两点(图1)，将直线l′绕点P 旋转，使点Q逐渐靠近点P，当l′转到直线l的位置时，点Q与点P重合，这时，直线l叫做圆锥曲线在点P的切线．也就是圆锥曲线与直线l相切．根据这个定义，于是圆锥曲线方程
f(x，y)＝0
与直线方程
y＝kx＋m
组成的方程组应有两个相同的实数解．实系数一元二次方程有两个相同的实数解的充要条件是判别式Δ＝0，根据条件转化为求Δ＝0．
(启发学生回答，由教师归纳，然后板书课题．)
今天我们要研究“圆锥曲线与直线相切的条件”．
二、讲述新课
根据上面分析，得
由②代入①，化简、整理得
(αk2＋β)x2＋2αkmβ＋α(m2－β)＝0．③
当αk2＋β≠0时(二次项系数)，
Δ＝4α2k2m2－4α(αk2＋β)(m2－β)
＝4α2k2m2－4α2k2m2＋4α2k2β－4αβm2＋4αβ2
＝4αβ(αk2＋β－m2)．
(启发学生讨论．)
由于α、β均不为零，因此当Δ＝0时可知有心二次曲线与直线y＝kx＋m相切的充要条件为
m2＝αk2＋β，(αk2＋β≠0) ④
这里αk2＋β恰是方程③的二次项系数．
(引导学生对结论④，在圆、椭圆、双曲线各种情况下变化规律进行讨论，教师边归纳，边板书．)
(1)对于圆x2＋y2＝γ2，可写成
即有α＝β＝γ2，于是相切条件为m2＝γ2(k2＋1)．
(2)对于椭圆(焦点在x轴上)
即有α＝a2，β＝b2，于是相切条件为m2＝a2k2＋b2．
(3)对于椭圆(焦点在y轴上)
即有α＝b2，β＝a2，于是相切条件为m2＝b2k2＋a2．
(4)对于双曲线(焦点在x轴上)
即有α＝a2，β＝－b2，于是相切条件为m2＝a2k2－b2．
(5)对于双曲线(焦点在y轴上)
即有α＝－b2，β＝a2，于是相切条件为m2＝a2－b2k2．
[应用有心曲线统一公式，这样就不必从圆、椭圆、双曲线一个一个地去求，可避免一个一个冗长复杂的计算，使问题的解决变得简捷．]
2．无心的二次曲线y2＝2px与直线y＝kx＋m相切的条件
根据上面的分析，得
由②代入①，化简整理，得
(kx＋m)2＝2px，
k2x2＋(2mk－2p)x＋m2＝0．
当二次项系数k2≠0时，
Δ＝(2mk－2p)2－4k2m2＝4p2－8mkp
＝4p(p－2mk)＝0．
无心的二次曲线x2＝2py与直线y＝kx＋m相切的条件，应为
(让学生独立完成．)
三、巩固新课
(让学生直接对照上述结论，设所求公切线的斜率为k，截距为m，再根据椭
解设所求的公切线斜率为k，截距为m，根据相切条件有
由②代入①，化简整理，得
81k4＋36k2－5＝0，
(9k2－1)(9k2＋5)＝0，
∵9k2＋5≠0，∴9k2－1＝0，
代入②，得m＝±5．
因此，所求的公切线方程为
即
x＋3y＋15=0或x－3y＋15=0．
求双曲
线的两条互
相垂直的切
线交点的轨
迹方程．
(帮助学生分析解题的几个要点，然后由学生上黑板解，教师巡视指点．)
y=kx＋m，
则由相切条件，可知m2=a2k2－b2．
(2)设两切线交点为P(x0，y0)，则切线方程为
y－y0=k(x－x0)，
即
y=kx＋(y0－kx0)．
(3)y=kx＋m，y=kx＋(y0－kx0)表示同一直线，就有
m=(y0－kx0)，
∴(y0－kx0)2=a2k2－b2．
整理得
(4)k1k2=－1，用韦达定理从方程①求得k1k2，
即
因此，点P的轨迹方程为
x2＋y2=a2－b2．
这里a＞b，点P的轨迹是一个实圆；
a=b，点P的轨迹是一个点圆；
a＜b，点P无轨迹(虚圆)．
解略．
法，不难得出轨迹方程为圆方程
x2＋y2=a2＋b2；
这题若改为求抛物线y2=2px的两条互相垂直的切线的交点的轨迹方程，方法也类似，不难得出轨迹方程为
即点P一定在准线上．
[这样改变一下题目，可让学生开拓思路，举一反三．]
四、练习
1．已知l为椭圆x2＋4y2=4的切线并与坐标轴交于A、B两点，求|AB|的最小值及取得最小值时切线l的方程．
解如图2，设切线方程为
y=kx＋m，
根据相切条件有m2=4k2＋1，即①
|OA|2=4k2＋1．
在y=kx＋m中，令y=0，得
即
于是得
代入m2=4k2＋1，求得
因此，所求的切线共有四条(图3)，它们的方程为
求四边形ABCD的最大面积．
则由相切条件，知
m2=a2k2＋b2，
故两切线方程为
即
两切线间的距离
∴四边形ABCD的最大面积为
五、补充作业
轨迹方程．
2．求出斜率为k的圆锥曲线的切线方程．
教案说明
这一节课的指导思想是：根据现代教育理论，强调在教学的过程中培养能力，特别是思维能力．数学思维结构与科学结构十分相似，学习数学的过程，就是从一种思维结构过渡到另一种思维结构的过程，数学知识只是进行思维结构训练的材料．二次曲线与直线相切的条件若从上述结构进行训练，就是使学生形成完整的思维结构，使对数学的认识有新的突破．这一点已成为我在课堂教学中进行探索和研讨的课题．
这节课的整个教学过程中，着重于讲解——启导——探究，培养学生的分析能力．讲解时，突出重点：“相切条件”，并以此为中心，达到举一反三、触类旁通．其中也穿插了自学讨论，而不是教师满堂灌．
在练习中，注意到了再现性练习、巩固性练习，同时也留有发现性练习，使学生以新带旧，巩固新知，发展智力，反过来从思维结构上形成完整体系，以认识数学本身．。