运用参数方程知识巧解直线与圆锥曲线相切问题

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参数方程巧解圆锥曲线

参数方程巧解圆锥曲线
近期的主要任务是给大家解决高考圆锥曲线这个大题目，很多读者给我留言说，圆锥曲线这个题目拿到手真不知道怎么去操作，当然了我这里主要指的是圆锥曲线后面的2个或者2个小问。

要么计算量很大，要么就是没有思路...
作为老师,我也很担心，也很理解大家，所以我一直在给大家介绍新的方法，补充新的知识点，而我补充的很多知识点在目前的教材上确实是没有或者被删除了（当然了，我既然把这个方法告诉大家，我肯定会告诉大家怎么去用。

方法的难易程度大家一目了然，无论是计算量还是思路都是很简单的），有读者给我留言说，老师你说的方射法在高考中能用吗？老师你说的圆锥曲线的统一极坐标方程在高考中能用吗？老师你说的用待定系数法代替错位相减法在高考中能用吗？and so on...
在这里我明确的告诉大家，不能用！但是可以转换的去用！！什么意思？就是说，你在高考的试卷中，不能白纸黑字的把我那些方法写给阅卷老师看，但是币可以变换的给老师看。

我那个圆锥曲线统一极坐标方程是分为好几个系列的，为了防止大家审美疲劳，我会分成好几期给大家推送，在这中间我也会给大家推送一些别的好的方法给大家学习参考。

对于第一个小问我这里就不在给大家分析了，如果你做不出来，回去好好把教材看看，基本知识点认真总结一下。

我们还是重点分析第二个小问。

大家好好认真领回一下这个方法，用的好的话可以说是事半功倍，很节约大家的时间，所以对于圆锥曲线这一块，大家不管什么样的方法都要涉及一点，这样才考场上才不会担心没有思路或者短路。

巧用直线的参数方程解题方法

巧用直线的参数方程解题摘要：我们都知道解析几何在高考数学中的重要性，解析几何常常让考生感到头痛，特别是关于直线与圆锥曲线的位置关系、求轨迹方程等类型的题目。

这类型的题目所涉与的知识点多、覆盖面广、综合性比较强。

从而考察考生的运算能力和综合解题能力，不少学生常常因缺乏解题策略而导致解答过程繁难、运算量大，甚至半途而废。

而想要比较简单的解决此类问题运用直线的参数方程是较合适的方法，运用直线的参数方程去解决一些解析几何问题会比较简便。

关键词:直线的参数方程；平面；空间；弦长。

1、引言在解决的某一解析几何的问题时，运用直线的参数方程解题是非常合适的。

运用的直线的参数方程解题它的优点在于能化繁为简、减少计算过程，而它的缺点就是它的局限性，不是所有的题目都适合运用直线的参数方程解决的。

在平面几何里，一些关于焦点弦长、某点的坐标、轨迹方程、等式证明等问题的题目我们可以考虑运用直线的参数方程去解决。

在空间几何里用直线的参数方程可以解决的问题有求柱面和锥面的方程、空间中的一些轨迹方程、对称点等相关问题。

在平面中或是空间里的解析几何问题，我们都可以考虑运用直线的参数方程去解决，我们会举相关的例题，运用直线的参数方程去解题。

2.1在平面中运用直线的参数方程解题直线的参数方程的标准式：过点()000,p x y 倾斜角为α的直线l 参数方程为θθsin cos 00t y y t x x +=+=(t 为参数,θ为直线的倾斜角)t 的几何意义是：t 表示有向线段p p 0的数量，()y x p ,为直线上任意一点。

2.1.1 用直线的参数方程求弦长相关问题如果知道过某点的某一直线与一个圆锥曲线相交，要求求直线被截的弦长。

我们把这一直线的参数方程代入圆锥曲线的方程里，然后韦达定理和参数t 的几何意义得出弦长。

例1 过点()2,1P 有一条倾斜角为π43的直线与圆922=+y x 相交，求直线被圆截得的弦的长。

分析: 1、考虑点P 在不在圆上； 2、这个题目如果用一般方法解就要写出直线方程，然后代入圆方程，要想求出弦长过程比较复杂、计算量大；3、适合运用直线的参数方程进行求解。

怎样用直线的参数方程解与直线有关的圆锥曲线题

丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹考点透视当且仅当x=时取等号，则3+2x2+xy+y2x+y≥x-x+.利用柯西不等式解题，关键是将目标式配凑为柯西不等式左右两边的积式与平方和式.对于本题，我们将22x2+3变形为∙(2x)2+(3)3，即可配凑出柯西不等式左边的积式，直接根据柯西不等式，就可以求得最值.三、判别式法运用判别式法解答二元二次最值问题，需先引入参数，构造出二元二次方程；然后以其中一个变量为主元，根据一元二次方程有解，建立不等式Δ≥0，通过解不等式，求得参数的取值范围，即可确定目标式的最值.解法5.不妨令3+2x2+xy+y2x+y=m，则2x2+x(y-m)+y2-my+3=0，因为方程有解，则方程的根的判别式Δ=(y-m)2-4∙2∙(y2-my+ 3)≥0，整理得7y2-6my+24-m2≤0.设f()y=7y2-6my+24-m，要使函数的值小于或等于0，需使函数的图象都与x轴有两个交点，即Δ=36m2-4∙7(24-m2)≥0，得16m2≥7∙24，解得m≥.我们将目标式看作关于x的函数式，此时y,m为系数，根据一元二次方程2x2+x(y-m)+y2-my+3=0有解，得出判别式Δ≥0，即可得到关于y的不等式.此时还需再次构造函数f()y=7y2-6my+24-m，根据其函数的图象判定Δ≥0，从而求得m的取值范围.可见，解答二元最值问题，需灵活运用基本不等式、柯西不等式等工具，同时要学会将问题与函数、方程关联起来，根据一元二次方程的根的判别式、函数的性质来建立关系式.（作者单位：江苏省仪征市南京师范大学第二附属高级中学）圆锥曲线问题的显著特点是解题过程中的运算量较大.如何简化运算是同学们需重点思考的问题.事实上，对于一些与直线有关的圆锥曲线问题，可运用直线的参数方程来简化运算.若直线l过点P0(x0,y0)，倾斜角为α，则其参数方程为{x=x0+t cosα,y=y0+t sinα,（t为参数）.若点P(x,y)为直线l上的任意一点，由直线l的参数方程可知t2=(x-x0)2 +(y-y0)2，即|t|=|P0P|，则||t表示直线l上P0与P 两点间的距离.这就是直线的参数方程中t的几何意义.若直线l上任意两点A,B所对应的参数分别为t1,t2，则A(x0+t1cosα,y0+t1sinα)、B(x0+t2cosα,y0+t2sinα).由直线参数方程中参数t的几何意义可知，|t1|=|P0A|，|t2|=|P0B|，显然t1、t2、||t1、||t2的大小均由点P0与点A,B的相对位置决定，那么|P0A|±|P0B|=|t1|±|t2|，|P0A|·|P0B|=|t1t2|，|P0A||P0B|=||||||t1t2.下面结合实例，谈一谈如何运用直线的参数方程解答与直线有关的圆锥曲线问题.例1.如图1，已知点A(2,1)在双曲线C：x22-y2=1上，直线l交C于P,Q两点，直线AP,AQ的斜率之和为0.（1）求l的斜率；（2）若tan∠PAQ=22，求ΔPAQ的面积.图1题陈荣海38考点透视解：（1）设直线AP 的倾斜角为α，则直线AP 的参数方程为{x =2+t cos α,y =1+t sin α,（t 为参数）将其代入双曲线的方程中，化简并整理得：(cos 2α-2sin 2α)t 2+4(cos α-sin α)t =0，解得t 1=0（舍去）或t 1=4(cos α-sin α)cos 2α-2sin 2α.由于直线AP ,AQ 的斜率之和为0，所以直线AP ,AQ 的倾斜角互补，故直线AQ 的参数方程为：{x =2+t cos(π-α)=2-t cos α,y =1+t sin(π-α)=1+t sin α,（t 为参数）同理可得t 2=-4(cos α+sin α)cos 2α-2sin 2α.于是t 2-t 1=-4(cos α+sin α)cos 2α-2sin 2α-4(cos α-sin α)cos 2α-2sin 2α=-8cos αcos 2α-2sin 2α，t 2+t 1=-4(cos α+sin α)cos 2α-2sin 2α+4(cos α-sin α)cos 2α-2sin 2α=-8sin αcos 2α-2sin 2α.故y 2-y 1x 2-x 1=1+t 2sin α-(1+t 1sin α)2-t 2cos α-(2+t 1cos α)=(t 2-t 1)sin α-(t 2+t 1)cos α=-8cos αcos 2α-2sin 2α×sin α--8sin αcos 2α-2sin 2α×cos α=-1.所以直线l 的斜率为-1.（2）设α为锐角，由于直线AP ,AQ 的斜率之和为0，故直线AP ,AQ 的倾斜角互补，所以2α+∠PAQ =π，即∠PAQ =π-2α.由tan ∠PAQ =tan(π-2α)=-tan 2α=-2tan α1-tan 2α=22，解得tan α=2.由ìíîïïtan α=sin αcos α=2,sin 2α+cos 2α=1,得sin α=α=，所以t 1=4(cos α-sin α)cos 2α-2sin 2α=，t 2=-4(cos α+sin α)cos 2α-2sin 2α=.又==2sin αcos α=22313=.所以ΔPAQ 的面积S =12|t 1t 2|sin ∠PAQ=12×.我们先根据题意设出直线AP 、AQ 的参数方程；然后将其代入双曲线的方程中，构造出关于t 的一元二次方程，即可将AP 、AQ 对应的参数t 1、t 2看作方程的两个根，根据韦达定理建立关于两根t 1、t 2的关系式；再根据t 1、t 2的关系，利用直线的斜率公式、三角形的面积公式进行求解即可.运用直线的方程来解答圆锥曲线问题，能有效地减少运算量，降低解题的难度.例2.已知A (0,1)为椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上的一个定点，其焦距为23.（1）求椭圆E 的方程；（2）如图2，过点P (-2,1)作斜率为k 的直线，与椭圆E 交于不同的两点B ,C ，直线AB ,AC 分别与x 轴交于点M ,N .若|MN |=2，求k 的值.图2解：（1）椭圆E 的方程为x 44+y 2=1；（过程略）（2）设α为直线BC 的倾斜角，则直线BC 的参数方程为{x =-2+t cos α,y =1+t sin α,（t 为参数）将其代入椭圆E 的方程，化简并整理得：(4sin 2α+cos 2α)t 2+(8sin α-4cos α)t +4=0.可得t 1+t 2=4cos α-8sin α4sin 2α+cos 2α，t 1t 2=44sin 2α+cos 2α.设B (x 1,y 1),C (x 2,y 2)，则直线AB 的斜率为k AB =y 1-1x 1，AB 的直线方程为y =y 1-1x 1x +1，令y =0，可得点M 的横坐标x M =x 11-y 1=-2+t 1cos α1-(1+t 1sin α)=-2+t 1cos αt 1sin α.同理可得，点N 的横坐标x N =x 21-y 2=-2+t 2cos αt 2sin α.39考点透视于是|MN |=||||||x 11-y 1-x 21-y 2=||||||-2+t 1cos αt 1sin α--2+t 2cos αt 2sin α=||||||2(t 2-t 1)t 1t 2sin α=||12，因为(t 2+t 1)2-4t 1t 2=(4cos α-8sin α4sin 2α+cos 2α)2-4×44sin 2α+cos 2α=-64sin αcos α(4sin 2α+cos 2α)2，所以||MN =||||||4sin α4sin 2α+cos 2α=||=2.化简得-4sin αcos α=sin 2α，且sin α≠0，故tan α=-4.所以k 的值为-4.先设出直线BC 的参数方程，将其与椭圆的方程联立；然后构造出一元二次方程，并将AP 、AQ 所对应的参数t 1、t 2看作方程的两个根，即可根据韦达定理建立关于t 1、t 2的关系式；再用t 1、t 2表示出||MN ，便能将问题转化，快速获得问题的答案.例3.如图3，已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过A (0,-2)，B (32,-1)两点.（1）求E 的方程；（2）设过点P (1,-2)的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT =TH ，证明：直线HN 过定点.图3解：（1）椭圆E 的方程x 23+y24=1；（过程略）（2）设α为直线PN 的倾斜角，则直线PN 的参数方程为{x =1+t cos α,y =-2+t sin α,（t 为参数）将其代入椭圆E 的方程，化简并整理得：(3sin 2α+4cos 2α)t 2-(12sin α-8cos α)t +4=0.可得t 1+t 2=12sin α-8cos α3sin 2α+4cos 2α，t 1t 2=43sin 2α+4cos 2α.设M (1+t 1cos α,-2+t 1sin α)，N (1+t 2cos α,-2+t 2sin α).由A (0,-2)，B (32,-1)可得直线AB 的方程为y =23x -2，由于MH 平行于x 轴，故点T 的横坐标为32t 1sin α.于是 MH =2 MT =(3t 1sin α-2-2t 1cos α,0)， PM =(t 1cos α,t 1sin α)，PN =(t 2cos α,t 2sin α)，则 PH = PM +MH =(3t 1sin α-2-t 1cos α,t 1sin α)，又 PA =(-1,0)，设 PH =λ PA +μ PN ，则PH =λ(-1,0)+μ(t 2cos α,t 2sin α)=(-λ+μt 2cos α,μt 2sin α)，得{3t 1sin α-2-t 1cos α=-λ+μt 2cos α，t 1sin α=μt 2sin α，即{λ=2t 1cos α+2-3t 1sin α，t 1=μt 2.所以λ+μ=2t 1cos α+2-3t 1sin α+t 1t 2=(2cos α-3sin α)t 1t 2+(t 2+t 1)+t 2t 2=(2cos α-3sin α)×43sin 2α+4cos 2α+12sin α-8cos α3sin 2α+4cos 2α+t 2t 2=1，故N ,H ,A 三点共线，所以直线HN 过定点A .我们利用直线的参数方程，根据韦达定理得到t 1、t 2的关系，即可将M 、N 、T 三点的坐标用t 1、t 2以及三角函数表示出来.再根据向量的共线定理判定N 、H 、A 三点共线，就能确定点A 与直线HN 的位置关系.一般来说，对于一些动直线过定点问题、直线与圆锥曲线的位置关系问题、与直线有关的图形面积问题、圆锥曲线中的距离问题，巧用直线的参数方程来求解，不仅能大大地减少运算量，还能化繁为简，达到事半功倍的效果.（作者单位：福建省安溪第一中学）40。

圆锥曲线解题技巧利用参数方程求解

圆锥曲线解题技巧利用参数方程求解解题技巧利用参数方程求解圆锥曲线圆锥曲线是数学中重要的曲线类型之一，在几何学和物理学等领域中有广泛的应用。

解决圆锥曲线的问题时，常常需要利用参数方程来求解。

参数方程可以将曲线上的点的坐标表示为参数的函数形式，进而简化问题的求解过程。

下面将介绍一些常见的圆锥曲线问题，并讲解利用参数方程进行解答的技巧。

1. 圆锥曲线的参数方程表示圆锥曲线的参数方程表示为：x = x(t)y = y(t)其中，x(t)和y(t)分别是x轴和y轴上的坐标，t是参数。

通过参数方程，我们可以得到曲线上各点的坐标，从而对其性质和特点进行研究。

2. 求圆锥曲线上的特定点利用参数方程，我们可以求解圆锥曲线上的特定点坐标。

以椭圆为例，其参数方程为：x = a * cos(t)y = b * sin(t)其中，a和b分别是椭圆的长轴和短轴的长度。

通过选取合适的参数t，我们可以计算出椭圆上的各个点的坐标。

3. 求圆锥曲线的切线和法线参数方程还可以用来求解圆锥曲线上某一点的切线和法线。

对于曲线上任意一点P（x0，y0），其切线的斜率由参数方程导数dy/dx决定：dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt)通过求解dy/dx的值，并代入点P的坐标，可以得到切线的斜率。

进一步地，我们可以利用切线斜率和点P的坐标，得到切线的方程。

法线是与切线垂直的线段，其斜率是切线斜率的倒数的负数。

再利用点P的坐标，我们可以求解法线的方程。

4. 求圆锥曲线的弧长和曲率通过参数方程，我们还可以求解圆锥曲线上两点间的弧长。

弧长的计算公式为：L = ∫sqrt((dx/dt)^2 + (dy/dt)^2) dt其中，dx/dt和dy/dt分别是参数方程x(t)和y(t)的导数。

通过计算弧长，我们可以获得曲线上两点之间的路径长度。

曲率是指圆锥曲线在某一点处的弯曲程度。

其计算公式为：k = |(dy/dt * d^2x/dt^2 - dx/dt * d^2y/dt^2) / ((dx/dt)^2 +(dy/dt)^2)^(3/2)|通过计算曲率，我们可以了解曲线在某一点处的弯曲情况，并作进一步的分析和研究。

参数方程解决圆锥曲线问题

参数方程解决圆锥曲线问题在解决数学问题时，我们常常会遇到各种曲线，其中最典型和常见的是圆锥曲线。

圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线，它们在几何、物理和其他科学领域中都有着广泛的应用。

传统上，我们使用直角坐标系来描述和解决圆锥曲线问题，但近年来，参数方程的方法开始受到越来越多的关注。

这种方法能够更直观地描述曲线的形状和性质，对于解决一些复杂的问题也更为有效。

参数方程与圆锥曲线参数方程是一种通过参数来描述曲线的方法。

对于圆锥曲线，我们通常选择三个参数，这三个参数对应于直角坐标系中的x、y和z坐标。

例如，对于椭圆，我们可以选择中心点为原点，长轴在x轴上，并指定半长轴a和半短轴b。

椭圆的参数方程可以表示为：x = a * cosθ，y = b * sinθ。

类似地，双曲线和抛物线也可以用参数方程来表示。

对于双曲线，参数方程可以是：x = a * secθ，y = b * tanθ；对于抛物线，参数方程可以是：x = 2p * cos θ，y = 2p * sinθ。

参数方程解决圆锥曲线问题使用参数方程解决圆锥曲线问题有很多优点。

首先，通过参数方程，我们可以更直观地理解曲线的形状和性质。

其次，参数方程可以简化计算过程，特别是在处理一些复杂的几何问题时。

最后，参数方程可以扩展我们的数学视野，让我们看到不同类型曲线之间的联系和转化。

例如，当我们需要求解圆锥曲线上的点到原点的距离时，使用参数方程可以简化计算过程。

假设我们有一个椭圆，其参数方程为：x = a * cosθ，y = b * sinθ。

要计算椭圆上一点到原点的距离，我们可以直接使用距离公式：r = sqrt(x^2 + y^2)。

将x和y的参数方程代入此公式，得到：r = sqrt(a^2 * cos^2θ+ b^2 * sin^2θ)。

参数方程是一种有效的解决圆锥曲线问题的方法。

它不仅可以帮助我们更直观地理解曲线的形状和性质，还可以简化计算过程。

通过学习和掌握参数方程的方法，我们可以更好地解决各种圆锥曲线问题，提高我们的数学素养和解决问题的能力。

利用直线和圆锥曲线的交点解题

利用直线和圆锥曲线的交点解题直线和圆锥曲线是解题中常用的数学工具，通过它们的交点可以得到问题的解答。

在本篇文章中，将探讨如何利用直线和圆锥曲线的交点解题，以及一些相关的应用案例。

一、直线和圆锥曲线的基本概念在开始解题之前，我们首先了解一下直线和圆锥曲线的基本概念。

直线是两个点之间的最短路径，由无数个点组成，可以用一条无限延伸的箭头表示。

圆锥曲线是由一个圆锥和一个平面相交而形成的曲线。

常见的圆锥曲线有椭圆、抛物线和双曲线。

椭圆由一个圆锥和一个截去一部分的平面相交而形成；抛物线由一个圆锥和一个平行于其侧面的平面相交；双曲线由一个圆锥和一个斜截面相交而形成。

二、利用直线和圆锥曲线的交点解题的方法当遇到问题需要利用直线和圆锥曲线的交点来解答时，可以采用以下方法：1.方程求解法：通过列出直线和圆锥曲线的方程，求解它们的交点坐标。

比如，假设有一条直线的方程为y = ax + b，圆锥曲线的方程为x^2 + y^2 = r^2，我们可以将它们代入方程，求解x和y的值，得到交点的坐标。

2.几何图形法：通过在坐标平面上画出直线和圆锥曲线的图形，找到它们的交点。

这种方法适用于直线和圆锥曲线的方程较为简单的情况。

我们可以通过观察图形的交点位置来求解问题。

3.数学公式法：利用一些数学公式来求解问题。

比如，对于椭圆和抛物线，可以利用其几何性质和参数方程来求解交点。

三、应用案例下面通过一些具体的应用案例来演示如何利用直线和圆锥曲线的交点解题。

案例一：求直线与圆的交点坐标已知一条直线的方程为y = 2x + 1，圆的方程为x^2 + y^2 = 9。

求直线与圆的交点坐标。

利用方程求解法，将直线和圆的方程代入联立求解，得到x和y的值。

将直线的方程代入圆的方程，得到x^2 + (2x + 1)^2 = 9。

化简方程，得到5x^2 + 4x - 4 = 0。

求解该方程，得到x的值为-1和0.8。

将x的值代入直线的方程，得到y的值为-1和2.6。

圆锥曲线定直线问题解题方法与技巧

圆锥曲线定直线问题解题方法与技巧标题：圆锥曲线定直线问题的解题方法与技巧一、引言在解析几何中，圆锥曲线是重要的研究对象，其中涉及到的定直线问题要求我们找出经过特定点或者满足特定条件的直线方程。

这类问题通常需要综合运用直线与圆锥曲线的位置关系、参数方程、极坐标方程以及代数运算等知识。

以下将详细介绍解决此类问题的一些基本方法和实用技巧。

二、基本解题方法1. 利用位置关系确定直线方程：当已知直线过某定点或与圆锥曲线相切、相交于两点等情况时，可以利用圆锥曲线的标准方程（例如椭圆、双曲线、抛物线）与直线的一般方程联立，通过求解方程组得到交点坐标，进而确定直线方程。

2. 参数法：圆锥曲线的参数方程能直观地反映点与曲线的关系，当直线与圆锥曲线有特殊关系（如切线、法线）时，可先将直线写成参数形式，然后与圆锥曲线的参数方程联立求解参数，从而得出直线的方程。

3. 极坐标法：在某些情况下，若圆锥曲线或直线在极坐标下表达更为简便，可直接在极坐标系中建立方程，求解后转换为直角坐标系下的直线方程。

三、解题技巧1. 明确题目条件：解决定直线问题时，首先要明确直线需要满足的条件，如是否过定点、是否为圆锥曲线的切线、斜率是否存在等，这些信息对于选择合适的解题方法至关重要。

2. 判断直线与圆锥曲线的位置关系：通过计算判别式，可以判断直线与圆锥曲线的位置关系，如相离、相切、相交等，进一步决定如何设定直线方程。

3. 巧妙应用韦达定理：在处理直线与圆锥曲线交点问题时，韦达定理是一个非常有力的工具。

它可以快速给出两交点横坐标的乘积和和关系，帮助简化计算过程。

4. 充分利用对称性：圆锥曲线具有良好的对称性，有时可以根据对称性简化问题，比如已知直线过原点或与坐标轴平行的情况。

总结，解决圆锥曲线定直线问题需灵活运用解析几何的基础理论，结合具体情况选择最适宜的解题策略，同时注重培养观察问题的能力和逻辑推理能力，以提升解题效率与准确性。

从高考题谈直线参数方程在圆锥曲线中的运用

角），将ＪＰＱ的方程与圆方程联立，得ｔ一４ｔｓｉｎａ一１２：Ｏ，
’ ．．
程联立，得ｔ一（８ √ ＋２４ｒ２ｐ）ｔ＋３２＋印＝０，
‘
．
．
ｔｌ＋ｔ２＝８ √ 芝＋２画，ｔｌｔ２：３２＋８Ｐ．
一
鱼堡 Βιβλιοθήκη ３ｃｏｓ＋口ｓｉｎｚ ’
高考题，谈谈直线的参数方程在定点、定值问题和线段长度
问题中的运用．
设Ａ Ⅳ 方程｛一 √ 。－ｔｓｍｏｔ，（￡为参数，ａ为ＡＭ倾斜
ｔｙｔｃｏ８￣
【关键词】参数方程；定点；定值；圆锥曲线
即Ｉｔ１一ｔ２Ｉ＝Ｉｔ１ｔ２Ｊ，
②
①②联立，得Ｐ＝１，抛物线方程为ｙ２＝２ｘ．
二、定点、定值问题例４已知抛物线ｙ２＝ｐｘ（Ｐ＞０），Ｆ为其焦点，ＡＢ为
‘ ．
‘ ∈（０，），．．Ｓ∈［１２，８）．
＇
．
，．
ａ＝
① ②
由题意得ｎ＞３， ①②联立，解得＜ｋ＜２．
除了２０１６年的高考题，还有不少这种类型的题目．
解答（１） ÷＋＝ｌ（过程略）．
（２）设ｚ的方程为ｌ
ｔｙｔｓｌｎｏｔ
● ●
．
●
－ ■— ．－
臌离考後线参畿方程鹿键线远励

圆锥曲线解题技巧之直线与圆锥曲线的交点如何通过直线与圆锥曲线的交点解决问题

圆锥曲线解题技巧之直线与圆锥曲线的交点如何通过直线与圆锥曲线的交点解决问题在解决与圆锥曲线相关的问题时，直线与圆锥曲线的交点是一个关键因素。

本文将介绍一些圆锥曲线解题的技巧，重点探讨如何通过直线与圆锥曲线的交点来解决问题。

一、直线与圆锥曲线的交点在解决圆锥曲线问题时，我们经常需要求解直线与圆锥曲线的交点。

求解这些交点能够帮助我们确定曲线的形状、性质以及其他重要参数。

接下来，我们将介绍两种常见的直线与圆锥曲线交点求解方法。

1. 利用代数方法求解交点一种常见的方法是通过代数方程求解直线与圆锥曲线的交点。

假设我们有一个圆锥曲线方程和一个直线方程，求解这两个方程的交点即可得到交点的坐标。

具体步骤如下：（1）将直线方程代入圆锥曲线方程，列出方程组。

（2）解方程组，求解交点坐标。

这种方法适用于各种类型的圆锥曲线，例如椭圆、双曲线和抛物线等。

2. 利用几何方法求解交点除了代数方法，我们还可以利用几何方法快速求解直线与圆锥曲线的交点。

以下是一些常见的几何方法：（1）切线法：对于一条切线，它与圆锥曲线相切于一个交点。

通过构造一条切线，我们可以找到直线与圆锥曲线的一个交点。

这种方法适用于某些特定的圆锥曲线，例如抛物线。

（2）平行线法：对于一条平行于坐标轴的直线，它与圆锥曲线相交于两个交点。

通过确定直线与圆锥曲线的一个交点，并利用平行线性质，我们可以求解另外一个交点。

这些几何方法能够有效地求解直线与圆锥曲线的交点，帮助我们更好地理解曲线的特点和性质。

二、应用案例分析接下来，我们将通过一些应用案例来展示如何利用直线与圆锥曲线的交点解决问题。

案例一：求解椭圆的焦点坐标已知椭圆的方程为x^2/16+y^2/9=1，要求椭圆的焦点坐标。

解析：椭圆的焦点是直线与椭圆的交点。

我们可以选择一条经过椭圆顶点的切线，找到切点作为一个焦点。

具体步骤如下：（1）求解椭圆的顶点坐标：将x=0代入椭圆方程，得到y=±3。

所以椭圆的顶点坐标为(0,3)和(0,-3)。

利用圆锥曲线的参数方程解题

利用圆锥曲线的参数方程解题圆锥曲线是数学中常见的曲线类型，它可以通过参数方程来进行描述和求解。

利用圆锥曲线的参数方程，我们可以解决各种与这类曲线相关的问题。

本文将介绍圆锥曲线的参数方程及其解题方法。

一、圆锥曲线的参数方程圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线三种类型。

它们的参数方程可以分别表示如下：1. 椭圆的参数方程设椭圆的长半轴为a，短半轴为b，则椭圆的参数方程为：x = a * cos(t)y = b * sin(t)其中，t为参数，范围为[0, 2π)。

2. 双曲线的参数方程双曲线有两种类型：横双曲线和纵双曲线。

它们的参数方程分别为：横双曲线：x = a * sec(t)y = b * tan(t)纵双曲线：x = a * tan(t)y = b * sec(t)其中，t为参数，范围为(-∞, +∞)。

3. 抛物线的参数方程设抛物线的焦点为F，准线为l，焦点到准线的距离为p，则抛物线的参数方程为：x = 2 * p * ty = p * t^2其中，t为参数，范围为(-∞, +∞)。

二、利用圆锥曲线的参数方程解题方法利用圆锥曲线的参数方程解题时，一般需要根据题目给出的条件来确定参数的具体取值范围，并通过参数方程的形式将曲线转化为参数的函数。

然后，可以利用参数方程进行曲线的绘图、求解焦点、顶点、直线与曲线的交点等问题。

下面以一个具体的例子来说明如何利用圆锥曲线的参数方程解题。

例题：已知椭圆的长半轴为2，短半轴为1，求椭圆上与直线y=x+1相交的点的坐标。

解：根据椭圆的参数方程可知：x = 2 * cos(t)y = sin(t)将直线方程代入参数方程中，得：sin(t) = 2 * cos(t) + 1经过一系列的化简与变形，可求得参数t的解。

然后，将参数t的解代入参数方程，即可求得与直线相交的点的坐标。

三、实例分析通过以上的介绍，我们可以看到，利用圆锥曲线的参数方程解题需要对参数方程进行化简、求解方程等操作。

圆锥曲线问题在高考的常见题型及解题技巧

圆锥曲线问题在高考的常见题型及解题技巧圆锥曲线作为高等数学中的重要内容，在高考中常常出现，并且是考察学生数学运算能力和理解能力的重要方面。

圆锥曲线问题在高考中的常见题型有：直线与圆锥曲线的交点问题、圆锥曲线的参数方程问题、圆锥曲线的性质和应用问题等。

下面我们来一一介绍这些常见题型的解题技巧。

一、直线与圆锥曲线的交点问题这是圆锥曲线问题中最常见的一个题型，题目通常要求求出直线与圆锥曲线的交点坐标。

解题技巧如下：1. 分析题目给出的直线和圆锥曲线，确定直线方程和圆锥曲线方程；2. 将直线方程代入圆锥曲线方程中，解方程得出交点坐标；3. 特别要注意，当圆锥曲线为椭圆或双曲线时，有两个交点，需要分别求解；4. 当圆锥曲线为抛物线时，还需要注意直线的位置与抛物线的开口方向。

二、圆锥曲线的参数方程问题圆锥曲线的参数方程问题通常考查学生对参数方程的理解和应用能力，解答这类问题的关键在于用参数代换替换变量。

解题技巧如下：1. 给出的圆锥曲线通常可以用参数方程表示，将已知的参数方程代入题目求解；2. 注意参数方程的参数范围，有时需要根据范围重新调整参数；3. 对于给出的参数方程，需要将参数代换替换变量，进而得出答案。

三、圆锥曲线的性质和应用问题圆锥曲线的性质和应用问题通常要求学生掌握圆锥曲线的基本性质，以及如何应用这些性质解决实际问题。

解题技巧如下：1. 需要牢记圆锥曲线的基本性质，例如椭圆的焦点、双曲线的渐近线等；2. 掌握各种类型圆锥曲线的标准方程和参数方程；3. 对于应用问题，需要在掌握了基本性质的前提下，将问题转化为数学模型，进而解决。

以上就是圆锥曲线问题在高考中的常见题型及解题技巧，希望对大家备战高考有所帮助。

在复习期间，建议大家多做练习题，加深对圆锥曲线知识的理解，提高解题能力。

多思考，灵活运用各种解题技巧，相信大家一定能在高考中取得好成绩！。

圆锥曲线解题技巧之参数方程的运用如何通过参数方程解决圆锥曲线问题

圆锥曲线解题技巧之参数方程的运用如何通过参数方程解决圆锥曲线问题圆锥曲线是数学中的一个重要概念，涉及到许多解题技巧和方法。

其中，参数方程是解决圆锥曲线问题的一种有效途径。

本文将探讨如何通过参数方程来解决圆锥曲线问题，并讨论一些常见的参数方程运用技巧。

一、参数方程的基本概念参数方程是用参数表示自变量和因变量之间的关系的方程。

在圆锥曲线中，我们可以使用参数方程将自变量（通常用参数t表示）与因变量（例如x和y）表示的关系联系起来。

通过引入参数，我们可以简化对曲线的描述和计算，从而更方便地解决问题。

二、参数方程解决圆锥曲线问题的步骤通过参数方程解决圆锥曲线问题，一般需要经过以下几个步骤：1. 确定参数的范围：首先，需要确定参数的取值范围，通常通过题目中给出的条件进行限定。

例如，要求参数t在区间[0,2π)内取值。

2. 寻找参数与自变量之间的关系：其次，需要确定自变量（例如x 和y）与参数t之间的关系。

这一步可以通过直接给出参数方程或者通过已知条件与参数方程的关系来推导得到。

3. 消去参数得到方程：通过已知条件和参数方程的关系，我们可以消去参数，从而得到只涉及自变量的方程。

消去参数的过程通常是通过代数运算来完成的。

4. 分析并解决问题：最后，根据已经得到的方程，可以进行进一步的分析和解决问题。

这一步可以通过几何和代数方法相结合，根据需要进行计算和推导，得到问题的解答。

三、参数方程的运用技巧在通过参数方程解决圆锥曲线问题时，可以运用一些技巧来简化计算和分析过程。

以下是一些常见的参数方程运用技巧：1. 参数代换：有些圆锥曲线问题中，可以通过适当的参数代换来简化参数方程。

例如，当遇到椭圆或双曲线的参数方程中包含平方项并且系数相等时，可以通过合适的代换将其转化为标准形式。

2. 对称性利用：在分析参数方程时，可以利用曲线的对称性来简化计算和推导。

对称性可以是关于x轴、y轴或原点的对称性。

通过观察曲线的对称性，可以推断出曲线的性质，从而进行进一步的分析。

巧用直线参数方程解圆锥曲线中的常见问题

例２过点Ｂ１１能否作直线ｍ，ｍ与双（，）使
图１
证明设直线ＡＣ的倾Ｂ，Ｄ
曲线：一＝１交于点Ｑ，且点是ＱＱＱ，的
斜角分别为，则直线Ａ，Ｂ的参数方程为
￣ｆ＝Ｘ０＋ｔＯ；ＣＯＳＬ
）为ｔ的原点，时点Ｐ相对于２作轴这。的任意点就是“ 定点 ” ．例１如图１点Ｐ（，ｏ，。Ｙ）为抛物线Ｙ＝２ｘｐ＞）ｐ（０内部的
２巧用ｔ＋＝。决中点问题Ｏ解
圆锥曲线中有许多涉及中点和对称性的问题，特别是存在性问题，件比较开放，条常常使学生很
Ａ．Ｐ：ＰＢ；（）１
｛＋ｃｓ（为参数）ｒ＝ｔ０ｔｏ
．
【ｙ＝Ｙｏ＋ｔｉ０ｓｎ
同理可得
设Ｐ，）（ｙ是直线ｚ的任意一点，上参数ｔ的几何意
义就是有向线段Ｐ的数量，ＩＩＰ户Ｉ当ｔ即ｔ＝Ｉ。．＞０时，０Ｐ户方向向上；ｔ当＜０时，。Ｐ户方向向下；当
０
任意一点，点Ｐ且倾斜角互补过
的２条直线与抛物线分别交于点Ａ，Ｃ，求证：Ｃ＝Ｂ，Ｄ，／ＡＤ
ＡＢＤ．
难人手．用直线参数方程中参数的几何意义来若
解，能顺利切人题目，法也较为简单．则解
而当ｓａ＝ｃｓ时，ｉｎ２ｏａ

参数法巧解直线与圆锥曲线问题

参数法巧解直线与圆锥曲线问题摘要：随着我国教育事业的发展，高中数学课程发挥着越来越重要的作用。

在核心素养视域下，数学教学策略的实效性受到了更多的关注。

直线与圆锥曲线问题是数学的教学难点之一，也是近年来的高考要点，因此，探索参数法巧解直线与圆锥曲线问题的教学路径，重视数学学科对于学生成长与发展的影响具有深远的意义。

直线与圆锥曲线是高中数学教材中的重点板块，推行更加标准的数学教学理念。

探索数学“直线与圆锥曲线”教学的优化策略，可以引导学生不断探索数学问题，学习数学方法。

关键词：直线与圆锥曲线问题；高中数学；参数法；核心素质随着教育改革的深入推进，我国的许多学校在当前的教学体系中寻求着突破和创新。

直线与圆锥曲线问题是高中数学的教学难点，为了使学生熟练掌握直线与圆锥曲线问题的解题方法，需要深入思考参数法教学优化策略，结合前沿的特色教学理念，完善数学教学体系。

一、直线与圆锥曲线问题的教学现状高中数学教学中，直线与圆锥曲线问题需要学生具备一定的空间想象能力以及算数逻辑思想。

直线与圆锥曲线的教学注重通法通解，针对不同的题型，选择不同的解题方法。

高中数学教学也对学生个人发展起到了积极的促进作用，对于处在高中教育阶段的学生来说，培养学生的解题思路，锻炼学生的综合能力十分重要。

而当前数学的教育中，针对直线与圆锥曲线问题，缺乏对学生的系统化练习教育，让学生觉得数学仅仅是书面知识，长此以往，还会让学生对数学知识产生误解。

在直线与圆锥曲线问题的教学中，教育策略直接决定了教学的有效性[1]。

二、参数法巧解直线与圆锥曲线问题为了解决当前直线与圆锥曲线问题教学遇到的难点，使数学核心素质教育得到良好的发展，思考参数法巧解直线与圆锥曲线问题的手段与方法具有深远意义。

解题的优化策略将围绕学生的核心素质开展。

同时，高中数学教学也传达出终身学习的教育理念，不仅仅是为了提高学生的数学涵养，也是为了培养学生的数学逻辑思维和空间想象能力，在直线与圆锥曲线专题单元中建立全面的教学系统，将数学教育从课堂教师主导转化为学生自发性参与。

运用参数方程知识巧解直线与圆锥曲线相切问题.doc

N ④⑤⑥画运用参数方程知识巧解直线与圆锥曲线相切问题江西省高安中学数学教研组章勇生本文“运用参数方程知识巧解直线与圆锥曲线相切问题”是我在运用几何画板作椭圆和双曲线时的一点感悟，运用这种方法解题，使运算量大大减少，学生易接受，并且解题成功率大大提高。

关键词：一一对应、参数方程、三角变换一、再现如何运用参数方程作椭圆和双曲线1、用几何画板作椭%1、以原点为圆心，分别以a, b长为半径作圆。

%1、在以a为半径的圆上任取一点M,连结OM,交以b为半径的圆于点N。

%1、过点M作X轴的垂线,再过点N作前垂线的垂线交于点Ho%1、同时点M和H点，再从菜单选项中选择轨迹便可得所需要的椭圆。

理论根据：设ZAOM= 0 ,则IOCI = IOMIcos（）=a cos 0 , ICHI = INDI= IONIsin 0 =bsin 0 ,根据椭圆的参数方程知，点H的轨迹是一个椭圆。

2、用几何画板作双曲线:%1.以坐标原点O为圆心，分别以a=OA、b=OB （a, b>0）为半径画两个圆;%1.圆OB与x轴的正方向交于点C,过C作x轴的垂线,%1.在圆0A上取一点P,连接0P,直线OP与过点C 且和x轴垂直的直线交于点N,过点N作x轴的平行线0;.过点P作PR垂直于OP,交x轴于点R；.过点R在x轴的垂线交直线NM于点M；.分别选中点M和点P,用”作图”菜单中的”轨迹”功能, 理论根据：设ZxOP= 0 ,则IORI = IOPIsec（）=asec（）, IRMI = INCI= lOCItan 0 =btan 0 ,根据双曲线的参数方程知，点M的轨迹是一个双曲线。

二、从作图中得到的启示从作图中我们发现，椭圆中的。

（0° W0V36O。

）与点M的位置，应该是一一对应的关系，即一个。

的值对应一个M的位置，当。

的值有两个，则说明对应着两个M点。

同样，在双曲线中的。

（0° W0V36O。

）与点P的位置，也应该是一一对应的关系，一个。

直线与圆锥曲线相交问题的两种特优解法

直线与圆锥曲线相交问题的两种特优解法直线与圆锥曲线相交问题是数学中的一类经典问题。

其解法一般可分为解析法、几何法等多种方法。

本文将介绍其中两种特优解法，分别是牛顿迭代法与三分法。

一、牛顿迭代法牛顿迭代法是一种求方程零点的常用方法，其基本思想是通过泰勒展开将函数的零点不断逼近，在未知点上选择一个初始值，使用初始值进行迭代，直到满足精度条件或迭代次数足够多，从而得到答案。

具体而言，如果我们要求方程 $f(x)=0$ 的根，那么我们可以通过以下公式进行迭代：$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$其中 $x_n$ 表示第 $n$ 次迭代所得的解，$f(x_n)$ 和 $f'(x_n)$ 分别表示 $x_n$ 处函数值和一阶导数。

回到直线与圆锥曲线相交问题，在已知方程式为$ax^2+by^2=c$ 和 $y=kx+m$ 的情况下，我们可以将其联立，得到以下方程组：$$\begin{cases}ax^2+b(kx+m)^2=c \\y=kx+m\end{cases}$$假设我们想要求解 $x$，则可以将问题转化为求以下函数的零点：$$f(x)=ax^2+b(kx+m)^2-c$$进而，我们可以使用牛顿迭代法求解 $f(x)$ 的零点。

根据链式法则，我们可以得到：$$f'(x)=2ax+2bk(kx+m)$$代入迭代公式，即可得到如下式子：$$x_{n+1}=x_n-\frac{ax_n^2+b(kx_n+m)^2-c}{2ax_n+2bk(kx_n+m)}$$通过重复迭代，我们最终可以得到该方程的根。

需要注意的是，牛顿迭代法需要选取合适的初始值，否则可能会导致迭代不收敛。

此外，由于直线与圆锥曲线相交问题通常需要解出的是两个交点的 $x$ 坐标，因此需要分别取两个不同的初始值并分别进行迭代。

二、三分法三分法是一种计算函数零点的传统方法，其基本思想是在函数在某个区间内的连续性的基础上，将区间分为三段，并分别计算左右两端点的函数值。

高中数学的圆锥曲线部分，怎么利用直线的参数方程解题？

高中数学的圆锥曲线部分，怎么利用直线的参数方程解题？
答：
利用直线的参数方程的几何意义解题是高中数学中的重要方法之一，它主要用来解决过定点的直线与圆锥曲线相交时的弦长或距离问题，可以避免韦达定理的繁琐计算。

一·直线的参数方程
二·直线参数方程的简单应用
三·直线参数方程的综合应用
值得说明的是，四点共圆是高考的常考题型之一，解决四点共圆的方法非常多，诸如直接通过韦达定理转化、通过相交弦定理转化、通过托勒密定理转化、通过直线斜率互为相反数转化等。

以上。

直线的参数方程在圆锥曲线中的应用(一)

直线的参数方程在圆锥曲线中的应用(一)直线的参数方程在圆锥曲线中直线的参数方程在圆锥曲线中有着广泛的应用。

通过使用参数方程，我们可以轻松地描述和研究圆锥曲线上的直线段。

以下是其中一些应用的详细解释：确定直线与圆锥曲线的交点• 通过将直线的参数方程代入圆锥曲线的方程，我们可以求解参数方程的解，从而确定直线与圆锥曲线的交点。

• 例如，对于椭圆E:x 2a2+y 2b 2=1和直线L:{x =x 0+mty =y 0+nt ，将直线的参数方程代入椭圆方程，并解方程组，即可求解交点(x 0+mt,y 0+nt )。

此方法同样适用于其他圆锥曲线，如双曲线和抛物线。

确定直线与圆锥曲线的切线• 在圆锥曲线上的给定点处绘制切线是一个重要的问题。

参数方程使得我们能够轻松确定直线的斜率和截距，从而得到直线的方程。

• 例如，对于抛物线P:y 2=4ax 和给定点Q (x 0,y 0)，通过将直线L:{x =x 0+mty =y 0+nt 的参数方程代入抛物线方程，并解方程组，我们可以找到斜率m 和截距b ，从而得到直线L 的方程y =mx +b 。

这条直线就是抛物线P 在点Q 处的切线。

确定直线与圆锥曲线的法线• 法线是与曲线在给定点处相切且垂直的直线。

使用参数方程，我们可以轻松地确定直线的斜率，并进一步获得法线的斜率。

• 例如，对于椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1和给定点P (x 0,y 0)，我们可以通过将直线L:{x =x 0+mty =y 0+nt 的参数方程代入椭圆方程，并解方程组，找到直线L 的斜率m 。

法线的斜率为−1m ，因此我们可以得到法线的方程y =−1mx +b ，其中b 通过代入给定点P 的坐标得到。

研究直线在圆锥曲线上的投影• 参数方程的一个重要应用是研究直线在圆锥曲线上的投影。

通过将直线的参数方程代入圆锥曲线方程，我们可以得到一个更简洁的方程，描述了直线在曲线上的投影。

• 例如，对于双曲线H:x 2a 2−y 2b 2=1和直线L:{x =x 0+mty =y 0+nt ，将直线的参数方程代入双曲线方程得到(x 0+mt )2a 2−(y 0+nt )2b 2=1。

高中数学教学论文参数法巧解直线与圆锥曲线问题苏教版

参数法巧解直线与圆锥曲线问题直线与圆锥曲线问题是高中数学的难点，也是高考中的热点问题，同时它广泛地存在于科学研究、工程技术中.下面我们运用参数法来解决直线与圆锥曲线的一些常见问题，本文试图就几类较为常见问题的探究，给读者一些有益的启示.1.弦长问题例1过点)0,3(-P 且倾斜角为30的直线与双曲线422=-y x 相交于B A 、两点,求弦AB 的长.解(一)求出直线方程，并与双曲线方程联立，求出交点坐标，再由坐标求出线段长.该法思路较清晰，但在计算交点的时，计算量往往较大.解(二)求出直线方程，并与双曲线方程联立消元，设两点坐标为),(),,(2211y x y x 再利用韦达定理求出线段长.该法解题中较常用，但要注意变形过程.下面我们用参数法来解：解(三)直线的参数方程为3,2()12x s s y s ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数，将直线的参数方程代入双曲线方程422=-y x，得2100s -+=．设A 、B 对应的参数分别为21,s s ，∴121210s s s s +==,AB 12s s =-=172.∴线段AB 的长为172.2.中点弦问题例2已知直线l 过点)21,3(-P 交椭圆1422=+y x 于B A 、两点, 且点P 平分弦AB 求直线l 的方程.解(一) 可设交点坐标分别为),(),,(2211y x y x 21x x ≠,分别代入椭圆方程，并联立作差，利用中点坐标)21,3(-P ，可以求出直线l 斜率，进而求出直线方程，并检验所求的直线与椭圆是否有两个交点,但该法还不应忽视特殊情况21x x =时.下面我们用参数法来解：解(二) 设直线的倾斜角为θ()πθ≤≤0，则直线的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+=+-=θθsin 21cos 3s y s x ()为参数s ，将直线的参数方程代入椭圆方程1422=+y x ，得0sin cos 23sin cos 41222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+s s θθθθ，设A 、B 对应的参数分别为21,s s ，点P 为AB 中点 ∴021=+s s ，则有0sin cos 41sin cos 2322=++--θθθθ 0sin cos 23=+-∴θθ即23tan ==θAB k ，所以直线l 的方程为223+=x y . 3.直线与圆的位置关系问题例3过圆外一点)1,1(-P 作直线l(1) 若l 与圆22:(1)(2)4C x y -++=相切，求直线的方程.（2）若l 与圆22:(1)(2)4C x y -++=相交，求直线的斜率的范围.(1)解(一)讨论直线斜率不存在时，是否符合，进而讨论斜率存在，设出直线方程，根据圆心到直线距离等于半径，求出斜率. 该法在解题中较常用，但要容易忽视直线斜率不存在的情形.解(二) 设出直线方程，再与圆的方程联立利用0=∆求出斜率. 但仍不能忽视直线斜率不存在的情形.下面我们用参数法来解：解(三) 设过点)1,1(-P 的直线l 的参数方程方程为⎩⎨⎧+=+-=θθsin 1cos 1s y s x ()为参数s ，其中θ 为倾斜角πθ≤≤0. 将直线的参数方程代入圆方程，得09)cos 4sin 6(2=+-+s s θθ直线l 与圆仅有一个交点 ∴上述方程有且仅有一解，所以0=∆∴0cos sin 12cos 52=⋅+θθθ得125tan 0cos -==θθ或当0cos =θ时，直线l 斜率不存在，所以直线的方程为1-=x ，当125tan -=θ时，直线l 斜率为125-，所以直线的方程为127125+-=x y . （2）解(一) 设出直线方程，再与圆的方程联立利用0>∆求出斜率的范围. 但不能忽视直线斜率不存在的情形.下面我们用参数法来解：解(二) 将直线的参数方程代入圆方程，得09)cos 4sin 6(2=+-+s s θθ直线l 与圆相交 ∴上述方程有两解，所以0>∆，即0cos sin 12cos 52>⋅+θθθ 当0cos =θ时，上述不等式不成立;当0cos ≠θ时，0cos sin 12cos 52<⋅+θθθ可化为0tan 125<+θ∴125tan -<θ 所以直线的斜率的范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-125,. 直线与圆锥曲线的位置关系，也可以通过将直线参数化后与圆锥曲线方程联立，通过转化为一元二次方程的∆来解决，能起到化繁为简.上述几类问题的求解，都是将直线方程设为标准的参数式，即：⎩⎨⎧+=+=θθsin cos 00s y y s x x （其中s 为参数，θ为倾斜角），然后求解.。

选用合理参数解直线与圆锥曲线综合题

选用合理参数解直线与圆锥曲线综合题直线与圆锥曲线综合题，一般通过直线方程与圆锥曲线方程的联立得到一个关于x或y的方程，利用判别式和根与系数的关系求解。

但是利用向量或者三角函数有时也很简单，其中利用向量已经成为近年的考查热点。

我们首先通过一个题目的三种解法来了解三种方法的一般过程。

引例：已知椭圆C：＋=1上一动点Q关于x轴的对称点为P，点D的坐标为（4，0），直线PD交椭圆C于点F，求证：直线QF经过定点，并求定点的坐标。

一、三种解法解法一（设k法）：设P（x1，y1），则Q（x1，-y1），设F（x2，y2），显然直线PD有斜率，设直线PD的方程为y=k（x-4），代入C：＋=1，并整理得：（3+4k2）-32k2x+64k2-12=0。

由题意必有△>0，于是由根与系数关系得：x1+x2=，x1x2=，直线QF方程为y-y2=（x-x2），当≠0，令y=0有x=x2-，把y1=k（x1-4），y2=k（x2-4），代入整理得：x=，再将x1+x2=，x1x2=，代入上式化简得：x=1，所以直线QF过定点（1，0）。

当=0时，y2=y1=0，直线QF即x轴，也过定点（1，0）。

综上直线QF过定点（1，0）。

解法二（设法）：设P（x1，y1），则Q（x1，-y1），设F（x2，y2），直线QF与x轴交点为M（m，0），则DP=（x1-4，y1），DF=（x2-4，y2），MQ=（x1-m，-y1），MF=（x2-m，y2）,设DP=λDF，MQ=μMF（由图知λ≠±1），又P（x1，y1），F（x2，y2）在C：+＝1上，×λ2得：－=1-λ2，（2λx2-4λ）（-4λ+4）=（1+λ）（1-λ），注意到λ≠1。

上式化简为2λx2-4λ+4=1+λ，即2λx2-5λ+3=0，由（2），（4）知μ=-λ，于是（3）即x1=-λx2+λm+m，λx2-4λ+4=x1（7）这样我们有-λx2+λm+m=x1（8），2λx2-5λ+3=0（9）（7）-（8）-（9）得（λ+1）-m（λ+1）=0，即（λ+1）（1-m）=0，注意到λ≠-1，所以m=1，即直线QF过定点（1，0）。