圆锥曲线的参数方程

5 55
所以线段|PQ|的长度的最小值为 3 5 1 5
抛物线的参数方程
x
1 2p
t2
tR
y t 除教材给出的抛物线的参数方程外，下面抛物线的另一种
常用的参数方程是：
普 通 方
y22p(xp0)
参 数
x
2pt2(t为参数）
方
y 2pt Y
程
程
M(x,y)
参数t的几何意义是： 抛物线上的点M与原点
决问题能力的好方法！
例 3、过抛 y22 物 p(xp线 0)的顶 O任 点作互相 O、 垂 AO直
① 求证： A恒 B直过 线一个定点； ② 求分O别 、 AO以 为 B 直径的 O的 两交 M 圆 的 点 异 轨于 迹方
②由题设知道：OM⊥AB，即OM⊥MN
O • M M 0 ,( x N ,y ) • ( 2 p x , y ) 0Y B x 2 y 2 2 p x 0 (x 0 )
① 求证： A恒 B直过 线一个定点；
① ② 求分O别 、 AO以 为 B 直径的 O的 两交 M 圆 的 点 异 轨于 迹方 设 A ( 2 p 2 ,2 p t)B ( t , 2 p 2 ,2 u p )tu ( u 0 ) O O A ,
4 p 2 t2 u 2 4 p 2 t u 0 , t u 1Y
——圆、椭圆的参数方程
1、圆的参数方程
Y
圆心为C(a,b)半径为R的圆的参数方程：
xaRcos ybRsin
0,2
b
参数θ是旋转角。
O
M(x,y)
Rθ
X a
例1、指出下列圆的圆心坐标和半径（其中θ为参数）：
(1)xy223c3soisn
x34cos (2)y34sin
圆心坐标 (2, – 2 )
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
例1、P是双曲线 x2 y2 1上任意一点，Q是圆C：x2y221
2 上任意一点，求线段|PQ|的长度的最小值。
解：线段|PQ|的长度的最小值为点P与圆心C的距离的最小值
减去圆的半径。又：
P2 C c1 o s 22tan 22
Y Q P
C
5 ta 2 n 8 ta n 5
X
O
5(ta n4)299
为所求的轨迹方程。
N
在形成曲线的几何条件中，若能直接用一O
M
X
个几何量的等式表示，则将此几何量的等式
坐标化，化简即得到曲线方程。
在坐标化的过程中，充分利用向量工具是
A
提高解题速度和简化解题过程的好方法！
2、已知O是坐标原点，A、B是抛物线 x2pt2(p0,t为参数 y2pt
上不同于顶点的两个动点，且OA⊥OB，求AB中点的轨迹方程。
半径
R=3
圆心坐标 (3, 3 )
半径
R=4
例2、实数x,y满足 x2y22x4y,求2x – y 的取值范围。
解：由已知得：x 1 2 y 2 2 5
所以，圆的参数方程为：x1 5cos
2 x y 25 c o ys 5 2s i5sn in5 co s
所以2x – y 的取值范围是：[ - 5，5]
x2(y4)21上任意一点，求|AB|的取值范围。
解：如图，要使|PQ|最长（短），只须|CP|最长（短）。
设 P (5co ,3 ssin )，则：
Y
C 2 P 2 c5 2 o 3 s si 4 n 2B Q
16sin3250
4
A
C
1CP5 2
X O
0AB 152 P
变接式梯训形练的： 面求积以最椭大圆值。a x2 2b y2 21(ab0) 的长轴为底的内
双曲线的参数方程双曲xy线：a bxc2 2 otaa snby22( 1为Φ(a叫参,b离数 c 心）0角1)2 o 。 s si2 axc n 22 Y2 o cbEy联想s2 o 22 s1tM(ax2,yn )1
一般地，离心角φ
A b
btan
不等于旋转角，即 φ≠∠XOM
φ
O
aa X
cos
2 co 1 c so 1 s
当 co s1 2时ym ， a x343(SABC)m Da x 343ab
随堂训练
在椭圆 x2 y2 1 上到直线3x – 2y – 16 = 0距离 47
最小的点的坐标是：
，最小距离是：
圆锥曲线的参数方程（2）
——双曲线、抛物线的参数方程
双曲线的参数方程
B
A :y B 2 p 2 t 2 p p 2 2 2 u u p p 2 ( x t t 2 p 2 )t2 t( u 2 )
整理 x得 2p(t： u)y0
O
（易知t2当u2时也满足）
N
M
X
由此，可知直线AB恒过定点N（2p,0)
A
充分运用向量工具能使问题化简；充
分利用几何直观，仔细观察是提高解
连线的斜率。
2 pt
O 2 pt2
X
例2、曲线C的方程是
x2p
t2(p0,t为参数）
y2pt
当-1≤t≤2时， ①求曲线C的弧上A、B两端点的直线方程。②
设F是曲线的焦点，且△ABF的面积为14，求p的值。
解：曲线C化成普通方程得 y 2 2 p( x 2 p y 4 p )
A(2p,-2p),B(8P,4P),F(p/2,0) Y
所以， ①直线AB的方程为：y= x –
B
4p
②∵|AB|= 6 2 p
点F到直线AB的距离是：d 7 pO
X
22
S AB 1 2 F A d B 1 2 62 p 2 7 p 2 A 4p 2 2 p
3 3
例 3、过抛 y22 物 p(xp线 0)的顶 O任 点 作互相 O、 垂 AO直
变式训练：已知 x22y21，求y:x的取值范围。
x2cos ysin
kxy2 scinos
Y
si n k co 2 k s
O
1 30° 2
X
sin 2k 2k 1 1k1
1k2
1k2
33
Y
b
θ
O
2、椭圆的参数方程
椭圆 x2 y2 1的参数方程： a2 b2
M (a aco X,bsi)n xy a bc sions 0,2
设 A ( 2 p 2 ,2 p t)B ( t ,2 p 2 ,2 u p )tu ( u 0 ) O O A ,
4 p 2 t2 u 2 4 p 2 t u 0 , t u 1 ①
设AB的中点为P(x,y)，则
xpt2 u2
②
yp(tu) ③
由①②③消去参数t,u得： y2p(x2p)
解：如图，设C(acosθ,bsinθ),则D(-acosθ,bsinθ)，
Y
SAB C 1 2D (2 a2 aco)b sin D
C
a(1 b co )ssin
A
O
BX
显然，0°＜θ＜90°,0<cosθ<1
令：y ( 1 co )ssi n si n 1 s2 in
2
y / co c2 s o 2 c s2 o c so 1s
参数θ是离心角！
例②3点、P①(5c把o椭s4圆5°,xy4sin544cs5o°ins)是(否为在参上数述）椭化圆成上普？通∠方PO程X；=45°？
解：椭圆的普通方程为：x2 y2 1 25 16
点P在椭圆上， ∠POX≠45°
例3、已知点A是椭圆 x2 y2 1上任意一点，点B为圆C： 25 9