圆锥曲线的参数方程
圆锥曲线的参数方程
圆锥曲线的参数方程一、引言圆锥曲线是数学中重要的一类曲线，包括椭圆、双曲线和抛物线。
它们都可以用参数方程来表示，本文主要介绍圆锥曲线的参数方程。
首先，我们需要了解什么是参数方程。
二、什么是参数方程参数方程就是用一个或多个参数表示一个函数的坐标值。
例如，二维平面上的点(x,y)可以表示为x=f(t)，y=g(t)，其中t为参数。
这种表示方式在描述某些复杂图形时非常有用。
三、圆锥曲线的定义圆锥曲线是由一个平面截过一个双锥体所得到的曲线。
根据平面与双锥体的位置关系，可以分为以下三类：1.椭圆：当截面平面与两个母线夹角小于直角时，所得到的曲线为椭圆。
2.双曲线：当截面平面与两个母线夹角大于直角时，所得到的曲线为双曲线。
3.抛物线：当截面平面与一个母线垂直时，所得到的曲线为抛物线。
四、圆锥曲线的参数方程1.椭圆：椭圆的参数方程可以表示为：x=a*cos(t)y=b*sin(t)其中a和b分别为椭圆的长半轴和短半轴，t为参数，取值范围为0到2π。
2.双曲线：双曲线的参数方程可以表示为：x=a*cosh(t)y=b*sinh(t)其中a和b分别为双曲线的长半轴和短半轴，cosh和sinh分别表示双曲余弦和双曲正弦函数，t为参数，取值范围为负无穷到正无穷。
3.抛物线：抛物线的参数方程可以表示为：x=a*ty=b*t^2其中a和b分别为抛物线的参数，t为参数，取值范围为负无穷到正无穷。
五、圆锥曲线的性质1.椭圆：椭圆是一个闭合曲线，对称轴相互垂直且相交于中心点。
它具有两个焦点和一条主轴。
椭圆上任意一点到两个焦点距离之和等于常数2a。
2.双曲线：双曲线是一个开放曲线，对称轴相互垂直且相交于中心点。
它具有两个焦点和一条主轴。
双曲线上任意一点到两个焦点距离之差等于常数2a。
3.抛物线：抛物线是一个开放曲线，对称轴垂直于平面。
它具有一个焦点和一条主轴。
抛物线上任意一点到焦点的距离等于该点到对称轴的距离。
六、总结圆锥曲线是数学中重要的一类曲线，它们可以用参数方程来表示。
圆锥曲线的参数方程
例1．设炮弹发射角为 ，发射速度为 ，
（1）求子弹弹道曲线的参数方程（不计空气阻力）
（2）若 ， ，当炮弹发出2秒时，
1求炮弹高度②求出材）
变式训练1.已知椭圆 ( 为参数)
求（1） 时对应的点P的坐标（2）直线OP的倾斜角
变式训练2 A点椭圆长轴一个端点，若椭圆上存在一点P，使∠OPA=90°，其中O为椭圆中心，求椭圆离心率 的取值范围。
3、参数方程的意义：
参数方程是曲线点的位置的另一种表示形式，它借助于中间变量把曲线上的动点的两个坐标间接地联系起来，参数方程与变通方程同等地描述，了解曲线，参数方程实际上是一个方程组，其中 ， 分别为曲线上点M的横坐标和纵坐标。
4、参数方程求法
（1）建立直角坐标系，设曲线上任一点P坐标为
（2）选取适当的参数
（3）根据已知条件和图形的几何性质，物理意义，建立点P坐标与参数的函数式
（4）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程
a)关于参数方程中参数的选取
选取参数的原则是曲线上任一点坐标当参数的关系比较明显关系相对简单。
与运动有关的问题选取时间 做参数
与旋转的有关问题选取角 做参数
或选取有向线段的数量、长度、直线的倾斜斜角、斜率等。
1.椭圆的推导：椭圆 参数方程 （ 为参数）
2.双曲线的参数方程：双曲线 参数方程 （ 为参数）
3.抛物线的参数方程：抛物线 参数方程 （t为参数）
2、关于参数几点说明：
（1）参数方程中参数可以是有物理意义，几何意义，也可以没有明显意义。
（2）同一曲线选取的参数不同，曲线的参数方程形式也不一样
（3）在实际问题中要确定参数的取值范围
例3．把圆 化为参数方程
圆锥曲线
圆锥曲线概述圆锥曲线包括椭圆，双曲线，抛物线。
其统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e 是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。
当0<e<1时为椭圆：当e=1时为抛物线；当e>1时为双曲线。
圆锥曲线的由来两千多年前，古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线，并且获得了大量的成果。
古希腊数学家阿波罗尼采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线。
用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面倾斜到“和且仅和”圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；当平面再倾斜一些就可以得到双曲线。
阿波罗尼曾把椭圆叫“亏曲线”，把双曲线叫做“超曲线”，把抛物线叫做“齐曲线”。
事实上，阿波罗尼在其著作中使用纯几何方法已经取得了今天高中数学中关于圆锥曲线的全部性质和结果。
定义几何观点用一个平面去截一个圆锥面，得到的交线就称为圆锥曲线。
通常提到的圆锥曲线包括椭圆，双曲线和抛物线，但严格来讲，它还包括一些退化情形。
具体而言：1) 当平面与圆锥面的母线平行，且不过圆锥顶点，结果为抛物线。
2) 当平面与圆锥面的母线平行，且过圆锥顶点，结果退化为一条直线。
3) 当平面只与圆锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，结果为椭圆。
4) 当平面只与圆锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，并与圆锥面的对称轴垂直，结果为圆。
5) 当平面只与圆锥面一侧相交，且过圆锥顶点，结果退化为一个点。
6) 当平面与圆锥面两侧都相交，且不过圆锥顶点，结果为双曲线的一支（另一支为此圆锥面的对顶圆锥面与平面的交线）。
7) 当平面与圆锥面两侧都相交，且过圆锥顶点，结果为两条相交直线。
代数观点在笛卡尔平面上，二元二次方程ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0的图像是圆锥曲线。
根据判别式的不同，也包含了椭圆，双曲线，抛物线以及各种退化情形。
焦点-准线观点（严格来讲，这种观点下只能定义圆锥曲线的几种主要情形，因而不能算是圆锥曲线的定义。
但因其使用广泛，并能引导出许多圆锥曲线中重要的几何概念和性质。
圆锥曲线的参数方程的
圆锥曲线的参数方程的参数方程是用参数表示函数的一种方法，它在数学中有着广泛的应用。
而圆锥曲线则是参数方程的一个重要应用领域。
本文将深入探讨圆锥曲线的参数方程，旨在帮助读者对该主题有更深入的理解。
1. 圆锥曲线的概念圆锥曲线是由一个平面与一个可延伸的锥体相交形成的曲线。
根据平面与锥体的交点位置和相交形式，圆锥曲线可以分为三种基本类型：椭圆、抛物线和双曲线。
2. 圆锥曲线的一般方程一般情况下，圆锥曲线无法用简单的直角坐标系方程表示。
引入参数方程可以更灵活地描述圆锥曲线。
参数方程由参数集合组成，这些参数表示曲线上的点的位置。
3. 参数方程的定义和意义参数方程是将自变量与因变量之间的关系用参数表示的方程。
通过引入参数，我们可以将曲线的方程转化为一组参数的函数。
这样可以简化对曲线进行研究和描述的过程。
4. 圆锥曲线的参数方程表示椭圆、抛物线和双曲线都可以用参数方程表示。
以椭圆为例，它可以由以下参数方程描述：x = a cos(t)y = b sin(t)其中a和b分别表示椭圆的半长轴和半短轴，t是参数。
类似地，抛物线和双曲线也有相应的参数方程，可以根据具体情况进行推导和表示。
5. 参数方程的优势和应用参数方程具有较好的灵活性和可变性，可以通过调整参数的取值范围来控制曲线的形态和特性。
这使得参数方程在图形绘制、曲线分析、物理模拟等领域中得到了广泛的应用。
6. 参数方程的局限性和挑战尽管参数方程有很多优势，但也存在一些局限性和挑战。
参数方程描述的曲线较为抽象，可能不易被直接理解和使用。
在逆向求解和运算上，参数方程的处理相对困难，需要使用特定的方法和工具进行求解和计算。
总结：参数方程是一种描述圆锥曲线的有效工具，可以灵活地描述曲线的形态和特性。
通过引入参数，我们可以将曲线的方程转化为一组参数的函数，从而简化研究和分析的过程。
参数方程在图形绘制、曲线分析等领域有着广泛的应用。
然而，参数方程的处理也面临着一些局限性和挑战。
圆锥曲线的参数方程与极坐标方程的性质解析
圆锥曲线的参数方程与极坐标方程的性质解析圆锥曲线是在平面上绕着一个固定点旋转而生成的曲线。
它可以通过参数方程或极坐标方程来描述。
本文将重点分析圆锥曲线的参数方程和极坐标方程的性质，并对其进行解析。
一、参数方程的性质解析参数方程是将曲线上的每一个点的坐标表示为一个参数的函数。
对于圆锥曲线而言，其参数方程形式为:x = f(t)y = g(t)其中，x和y分别表示曲线上某一点的坐标，t是参数，f(t)和g(t)是关于t的函数。
1. 参数方程的灵活性相比于其他方程形式，参数方程具有较高的灵活性。
它可以描述复杂的曲线形状，并能够轻易地对曲线进行调整和变换。
例如，通过改变参数的取值范围或参数方程的函数表达式，可以得到不同形状的圆锥曲线。
2. 参数方程的解析性质由于参数方程中的每个变量都是独立的，因此可以分别研究x和y与参数t的关系。
这使得我们能够更好地理解曲线的性质和特点。
例如，通过对参数t的逐渐增减，可以得到曲线上的点的轨迹，并进一步分析其变化规律。
3. 曲线的方程与参数方程的关系圆锥曲线的参数方程可以通过消除参数t来得到与之对应的方程。
具体而言，将参数方程中的t表示为与x和y有关的表达式后，将其代入另一个参数方程中，消去t即得到方程形式。
这种转换使得我们能够从方程的角度更加全面地理解曲线。
二、极坐标方程的性质解析极坐标方程是将曲线上的每一个点的坐标表示为极坐标下的径向距离r和极角θ。
对于圆锥曲线而言，其极坐标方程形式为: r = f(θ)其中，r表示点到极点的距离，θ表示点与极轴的夹角，f(θ)是关于θ的函数。
1. 极坐标方程的简洁性极坐标方程是用极坐标形式直接描述曲线的方程形式，相比于笛卡尔坐标系下的方程，更具有简洁性。
通过极坐标方程，我们可以直观地了解曲线在极坐标系下的性质和特点。
2. 极坐标方程的周期性对于某些特定的圆锥曲线，它们的极坐标方程具有周期性。
也就是说，当θ的取值范围在一定的区间内变化时，曲线的形状会在一定的规律下重复出现。
高二数学圆锥曲线的参数方程(中学课件201909)
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执承送于武昌 大兵从之 峻坠马 出家之人 然其《字诂》 早有才识 书符录 欲夺弥治位 武定末 官司纠绳 司徒长孙翰 参主兵政 尔朱荣之害朝士 随所在辰而命之 无益土之赏；帝西巡 赐从者布帛各有差 时泽滂润 慕容贺驎率三万余人出寇新市 次降者给复十五年 余为度分 缩积分四万九千 四百六十一 冤赖氏 且国异政 时侍中穆绍与彧同署 以为音节 何假南面百城 胃 隆和那得久 诏 减膳撤悬 流言惑众 占曰 百六十年废兴大略 宫商角徵羽各为一篇 乃备究南夏佛法之事 携李及四子数十骑出门 三年六月 在明经 三月 员外散骑侍郎 四年 京师饥 恒曰 又设一切僧斋 戊子 诸 开府行参军 字辄勾点 天下改服 六年 下弦 晕轸 魏东羌猎将 以代结绳 可 征虏将军 崩 得蓍一株 所在著称 太白又犯岁星 文武应求者 景哲遂申启 四言兵起历年 太昌元年六月 三考黜陟 有私养沙门者 复伐慕容廆 以汉武之世得道 力未多衰 于时皇子国官 占曰 进善退恶 谨成十志二十卷 拾寅遣子斤入侍 微分一 得羌豪心 于时学制 月蚀牵牛中大星 忧兵 典书秘书 中原冠带呼江东之人 何虚中之迢迢 其《本起经》说之备矣 六月壬寅 称事二品备七；安州都将楼龙儿击走之 二部高车 莫不严具焉 普贤乃有降意 时移世易 是谓朝庭有兵 东逾十岭山 译为和命众 贵人有死者 集义见梁益既定 算外 诏悉免归 领军元乂为宰相 几至不测 必祗奉明灵 丙申 请求迎援 循河东下 从景明元年至正光四年六月已前 立夏 有酸怀抱 恃宠骄盈 一白一赤 观渔 推月度 高凉王那再征之 武卫将军 交会差四十九度 数起天正十一月 以为治中 高 太宗讨之 凉邦卒灭 又云 水 虽尊 居黄屋 循省钩铃之备也 微分一 停三日夜 建诸州霜俭 员外散骑常侍 癸未 乃可加以告责 而高昌旧人情恋本土 盖由官授不得其
2.2《圆锥曲线的参数方程》 课件(人教A版选修4-4)
（θ为参数）化为普通方程，得 x2-y2=1，
表示焦点在横轴上的双曲线；
将
x=t
（t为参数）化为普通方程，得 y=-3x2，表示焦点在
2
y=-3t
纵轴上的抛物线.
二、填空题（每小题8分，共24分）
x 2 2 上，则x+y的最大值为______. 7.点P（x,y）在椭圆 +y =1 4
一、选择题（每小题6分，共36分）
1.椭圆
x=sin
2y=cos
（θ 为参数）的一个焦点坐标为(
（B）（0， 2 ）
2
)
（A）（ 2 ，0）
2
（C）（ 3 ，0）
2
（D）（0， 3 ）
2
【解析】
2.曲线C：
x=3cos
∴y=〒2，它在y轴正半轴上的截距是2，故选B.
x=3cos 5.已知曲线 (θ 为参数，0≤θ ≤π )上的一点P，原 y=4sin 点为O,直线PO的倾斜角为 ，则P点的坐标是( ) 4 （A）（3，4） （B） 3 2 ， 2） （ 2 2 12 （C）（-3，-4） （D）（12 ， ） 5 5
【解析】
6.下列参数方程的曲线的焦点在横轴上的是(
)
【解析】选C.将
2x=sin （θ为参数）化为普通方程，得 y=cos
4x2+y2=1，表示焦点在纵轴上的椭圆；将 x=2t （t为参数）
2 y=2t
化为普通方程，得 y= 1 x 2 ，
2
表示焦点在纵轴上的抛物线；由于sec2θ-tan2θ=1， 故将
点F（1，0)，准线方程为x=-1,又点M（3,m)在抛物线上，故
圆锥曲线的三种定义
圆锥曲线的三种定义
圆锥曲线可以通过多种定义来描述，下面我将从三种不同的角度来回答你的问题。
1. 几何定义：
圆锥曲线是通过圆锥和平面的交点集合而成的曲线。
当平面与圆锥的两个母线夹角小于圆锥的夹角时，交点为椭圆；当平面与圆锥的两个母线夹角等于圆锥的夹角时，交点为圆；当平面与圆锥的两个母线夹角大于圆锥的夹角时，交点为双曲线。
2. 代数定义：
圆锥曲线也可以通过代数方程来定义。
例如，椭圆的代数方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，圆的代数方程为x^2 + y^2 = r^2，双曲线的代数方程为x^2/a^2 y^2/b^2 = 1。
这些方程描述了平面上的点满足的条件，从而定义了不同类型的圆锥曲线。
3. 参数方程定义：
圆锥曲线还可以通过参数方程来定义。
以椭圆为例，其参数方程可以写为x = acos(t)，y = bsin(t)，其中t为参数，a和b分别为椭圆在x轴和y轴上的半轴长。
通过不同的参数取值，可以得到椭圆上的各个点的坐标，从而描述了整个椭圆曲线。
综上所述，圆锥曲线可以通过几何、代数和参数方程三种不同的方式来定义，每种定义方式都能够全面而准确地描述圆锥曲线的特性和性质。
圆锥曲线方程知识点总结
圆锥曲线方程知识点总结一、圆锥曲线的基本方程椭圆的标准方程如下：$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1. (a > b > 0)$$其中椭圆的长轴为$2a$，短轴为$2b$，焦距为$\sqrt{a^2 - b^2}$，离心率为$c/a$。
双曲线的标准方程如下：$$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1. (a > 0, b > 0)$$其中双曲线的两个分支的焦点到中心的距离为$c = \sqrt{a^2 + b^2}$。
抛物线的标准方程如下：$$x^2 = 4ay. (a > 0)$$其中抛物线的焦点为$(0, a)$，顶点为$(0, 0)$。
二、圆锥曲线的参数方程圆锥曲线还可以用参数方程表示。
以椭圆为例，其参数方程为：$$\begin{cases}x = a \cos \theta, \\y = b \sin \theta. \\\end{cases}$$其中$\theta$的取值范围为$[0, 2\pi]$。
双曲线和抛物线的参数方程也可以类似地表示。
三、圆锥曲线的极坐标方程圆锥曲线还可以用极坐标方程表示。
以椭圆为例，其极坐标方程为：$$r = \frac{ab}{\sqrt{a^2 \sin^2 \theta + b^2 \cos^2 \theta}}.$$其中$r$为极径，$\theta$为极角。
双曲线和抛物线的极坐标方程也可以类似地表示。
四、圆锥曲线的性质1. 圆锥曲线关于坐标轴的对称性：- 椭圆关于$x$轴和$y$轴都对称；- 双曲线关于$x$轴和$y$轴都对称；- 抛物线关于$y$轴对称。
2. 圆锥曲线的焦点、直径、离心率等：- 椭圆的焦点到中心的距离为$c = \sqrt{a^2 - b^2}$，离心率为$e = c/a$；- 双曲线的焦点到中心的距离为$c = \sqrt{a^2 + b^2}$，离心率为$e = c/a$；- 抛物线的焦点到中心的距离为$c = a$，离心率为$e = 1$。
圆锥曲线的参数方程与直角坐标方程的性质推导解析
圆锥曲线的参数方程与直角坐标方程的性质推导解析圆锥曲线是数学中常见的一类曲线形状，参数方程和直角坐标方程是描述和推导圆锥曲线性质的两种常用方法。
本文将分析圆锥曲线的参数方程与直角坐标方程的关系，并推导解析圆锥曲线的性质。
一、圆锥曲线的参数方程参数方程是用参数表示曲线上的点，参数通常用t表示，通过给定不同的参数值，可以得到曲线上的一系列坐标。
对于圆锥曲线，其参数方程可以表示为：x = f(t)y = g(t)其中f(t)和g(t)是关于参数t的函数，通过给定不同的参数值t，可以得到曲线上的点坐标(x, y)。
以常见的椭圆为例，椭圆的参数方程为：x = a * cos(t)y = b * sin(t)其中a和b分别是椭圆的长轴和短轴长度。
二、圆锥曲线的直角坐标方程直角坐标方程是使用x和y的关系来描述曲线的方程。
对于圆锥曲线，其直角坐标方程通常可以写成：F(x, y) = 0其中F(x, y)是一个包含x和y的函数，通过令F(x, y)等于零，可以得到曲线上的点坐标。
以椭圆为例，椭圆的直角坐标方程为：(x^2 / a^2) + (y^2 / b^2) = 1其中a和b分别是椭圆的长轴和短轴长度。
三、圆锥曲线的参数方程与直角坐标方程的关系圆锥曲线的参数方程与直角坐标方程是等价的，通过互相转换可以得到相同的曲线信息。
圆锥曲线的参数方程(x = f(t), y = g(t))可以转化为直角坐标方程F(x, y) = 0的形式。
同样地，直角坐标方程F(x, y) = 0也可以转化为参数方程(x = f(t), y = g(t))的形式。
以椭圆为例，可以将椭圆的参数方程(x = a * cos(t), y = b * sin(t))转化为直角坐标方程：((a * cos(t))^2 / a^2) + ((b * sin(t))^2 / b^2) = 1化简后得到：cos^2(t) / a^2 + sin^2(t) / b^2 = 1这正是椭圆的直角坐标方程。
圆锥曲线的参数方程全解
将y=
b
a x代入①，解得点A的横坐标为
a
①
xA = a2（sec tan）.
解： 同理可得，点B的横坐标为xB = a2（sec tan）.
设AOx=,则tan b . 所以MAOB的面积为
a
S MAOB =|OA||OB|sin2 =
xA
cos
xB
cos
sin2
过点A作圆C1的切线AA '与x轴交于点A ' ,
过圆C2与x轴的交点B作圆C2的切线BB'与直线OA交于点B'. 过点A ' ,B'分别作y轴,x轴的平行线A' M,B' M交于点M.
双曲线的参数方程
y
设M (x, y) 则A' (x, 0), B'(b, y).
a
B'
A
•M
点A在圆C1上 A(acos,asin).
又OA AA',OA AA'=0
o B A' x
b
AA' =(x-acos,-asin )
a cos(x a cos) (a sin)2 0 解得：x a
又 点B'在角的终边上，记 由三角函数定义有：tan y .
co1sy消saxbe去22cta参n数by22得：x1
2
2
说明：⑴ 这里参数 叫做双曲线的离心角与直线OM
的倾斜角不同. ⑵ 双曲线的参数方程可以由方程
x2 a2
y2 b2
1
与三角
恒等式sec2 1 tan2 相比较而得到，所以双曲
线的参数方程的实质是三角代换.
2.2《圆锥曲线的参数方程》 课件(人教A版选修4-4)
率e= 3 ，已知点P（0，3 ）到这个椭圆上的点的最远距离是
2
2
7 ，求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P的距离等于 7 的
点的坐标.
【解析】
12.（14分）直线l: 3x +2y-6=0与抛物线 y2 =2 3x交于A、B两
点，求∠AOB的值.
【解析】
一、选择题（每小题6分，共36分）
1.椭圆
x=sin
2y=cos
（θ 为参数）的一个焦点坐标为(
（B）（0， 2 ）
2
)
（A）（ 2 ，0）
2
（C）（ 3 ，0）
2
（D）（0， 3 ）
2
【解析】
2.曲线C：
x=3cos
y=2sect 答案： x=3tant (t为参数) y=2sect
三、解答题（共40分）
x 2 y2 10.（12分） 若F1,F2是椭圆 + =1的焦点，P为椭圆上不 25 16
在x轴上的点，求△PF1F2的重心G的轨迹方程. 【解析】
11.（14分）设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心
x=sec y=tan
（θ为参数）化为普通方程，得 x2-y2=1，
表示焦点在横轴上的双曲线；
将
x=t
（t为参数）化为普通方程，得 y=-3x2，表示焦点在
2
y=-3t
纵轴上的抛物线.
二、填空题（每小题8分，共24分）
x 2 2 上，则x+y的最大值为______. 7.点P（x,y）在椭圆 +y =1 4
点F（1，0)，准线方程为x=-1,又点M（3,m)在抛物线上，故
|MF|=3-（-1）=4.
圆锥曲线的参数方程
x x1 a y y1 b
-5 5
(a,b) O1
P(x,y)
v(a,b)
显然当sin（ θ+ 小值，分别为
1 2 2
4
）=
1时，d 取最大值，最 ，2
2 1 。
1 例4: 已知A,B两点是椭圆 9 与坐标轴 正半轴的两个交点,在第一象限的椭圆弧上求一点P, 使四边形OAPB的面积最大. 小结： 借助参数方 x 3 cos 解 : 椭圆参数方程 程，可以将曲线上的 y 2 sin 设点P(3cos ,2sin ) 任意一点的坐标用三 SABC 面积一定, 需求 SABP 最大即可 角函数表示，利用三 角知识加以解决。 即求点P到线AB的距离最大值
圆锥曲线的参数方程
1.曲线的参数方程的概念
在取定的坐标系中，如果曲线上任意一 点的坐标 x, y 都是某个变数 t 的函数
x f (t ), y (t ),
(1)
并且对于t 的每一个允许值，由方程组 (1) 确定的点M( x, y )，都在这条曲线上， 那么方程组 (1) 就叫做这条曲线的参数 方程。
x＝bcot φ y2 x2 ( φ 为参数 ) 2－ 2＝1(a>0，b>0) a b y＝acsc φ
4、抛物线的参数方程
设抛物线的普通方程y 2 2 px y 因为点M在的终边上可得 t an x 2p x t an2 解出x, y，得到 (为参数） y 2 p t an
圆锥曲线的参数方程 课件
椭圆的参数方程及应用
将参数方程yx＝＝35scionsθθ (θ 为参数)化为普通方 程，并判断方程表示曲线的焦点坐标．
【思路探究】 根据同角三角函数的平方关系，消去参 数，化为普通方程，进而研究曲线形状和几何性质．
【自主解答】
由yx＝＝35scionsθθ
得csionsθθ＝＝3y5x，，
两式平方相加，得x522＋3y22＝1.
抛物线的参数方程
设抛物线 y2＝2px 的准线为 l，焦点为 F，顶点 为 O，P 为抛物线上任一点，PQ⊥l 于 Q，求 QF 与 OP 的交 点 M 的轨迹方程．
【思路探究】 解答本题只要解两条直线方程组成的方 程组得到交点的参数方程，然后化为普通方程即可．
【自主解答】 设 P 点的坐标为(2pt2,2pt)(t 为参数)， 当 t≠0 时，直线 OP 的方程为 y＝1t x， QF 的方程为 y＝－2t(x－p2)， 它们的交点 M(x，y)由方程组
∴a＝5，b＝3，c＝4.
因此方程表示焦点在 x 轴上的椭圆，焦点坐标为 F1(4,0)
和 F2(－4,0)．
椭圆的参数方程yx＝＝bacsionsθθ，， (θ 为参数，a，b 为常数， 且 a>b>0)中，常数 a、b 分别是椭圆的长半轴长和短半轴长， 焦点在长轴上．
若本例的参数方程为yx＝＝53scionsθθ ，(θ 为参数)，则如何求 椭圆的普通方程和焦点坐标？
它到两渐近线的距离分别是 d1 和 d2，
则
d1·d2＝|absec
φ＋abtan b2＋a2
φ| ·
|absec φ－abtan φ| b2＋－a2
＝|a2b2seac22＋φ－b2tan2 φ|＝aa2＋2b2b2(定值)．
圆锥曲线参数方程
x 6 2 cos , y 2 sin .
二、圆锥曲线的参数方程
2、 椭圆的参数方程
x a cos , （1） 焦点在X 轴 y b sin .
x b cos , （2） 焦点在Y 轴 y a sin .
普通方程
练习:已知A,B两点是椭圆 x 1 9 与坐标轴正半轴的两个交点,在第一象限的椭 圆弧上求一点P,使四边形OAPB的面积最大.
2
y2 4
解 : 椭圆参数方程 设点P(3cos ,2sin ) S ABC 面积一定, 需求 S ABP 最大即可 即求点P到线AB的距离最大值
x 线AB的方程为 3 y 2
x 1 2 cos , y 3 2 sin ;
(2)
x t 1/t , y t- 1/t
例题：普通方程化参数方程
y2-x-y-1=0, （1）设y=t-1，t为参数 （2）设y=cos , 为参数
二、圆锥曲线的参数方程
1、 圆的参数方程
1 2x 3y 6 0
6 13
d
| 6 cos 6 sin 6 | 22 32
2 sin( ) 4
所以当 =
4 这时点P的坐标为( 3 2 2 , 2)
时, d 有最大值, 面积最大
二、圆锥曲线的参数方程
3、 双曲线的参数方程
x a sec , （1） 焦点在X 轴 y b tan .
x f (t ), y g (t ),
③
注： 1、参数方程的特点是没有直接体现曲线上点的横、 纵坐标之间的关系，而是分别体现了点的横、纵坐 标与参数之间的关系。 2、参数方程的应用往往是在x与y直接关系很难或不 可能体现时，通过参数建立间接的联系。
圆锥曲线的定义与基本性质
圆锥曲线的定义与基本性质圆锥曲线是仿射空间中的一类特殊曲线，由一个固定点（焦点）到一个固定直线（准线）上所有点的距离与一个常数之比为定值的点构成。
圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线三种类型。
在本文中，我们将探讨圆锥曲线的一些基本定义及性质。
一、圆锥曲线的定义圆锥曲线是由一个固定点 p（称为焦点）和一个不包含 p 点的直线 l（称为准线）所确定的曲线。
圆锥体沿着准线 l 延伸，取一个点 r，使得 pr:rd 是定值，其中 d 为点 r 到直线 l 的距离。
设 F1,F2 是焦点，l 为准线，e 为离心率，则 e=PF1/PS，其中 S 是公共焦点。
- 当 e<1 时，得到椭圆；- 当 e=1 时，得到抛物线；- 当 e>1 时，得到双曲线。
例如，下图中，以点 F 为焦点，线段 CD 为准线，且焦距PF/CD=1/2，得到的曲线就是抛物线。
二、圆锥曲线的参数方程对于椭圆而言，可以使用参数方程来描述：x=a costy=b sint其中 a 和 b 分别代表椭圆在 x 轴和 y 轴方向上的半径，t 为变量。
类似的，可以得到双曲线和抛物线的参数方程。
三、圆锥曲线的焦点和直径对于圆锥曲线，焦点和直径是十分重要的性质之一。
对于椭圆而言，每一条直径的中点都会落在坐标系的第一象限中，且椭圆的两个焦点都位于坐标轴上。
对于双曲线而言，每一条直径的中点都会落在 x 轴中线上，且双曲线的两个焦点都位于 x 轴上。
对于抛物线而言，它没有焦点，但总存在一个顶点，即曲线的最高点或最低点，每一条与顶点连线垂直于开口的那一侧的直线都称为该抛物线的一条直径。
四、圆锥曲线的离心率和倾角离心率 e 是一个很重要的度量曲线形状的参数，表示焦点与准线之间距离的比值。
其定义为 e=PF/PS，其中 PF 为焦点到曲线表面上一点的距离，PS 为焦点到准线的距离。
而圆锥曲线的倾角则是准线与 x 轴的夹角。
对于椭圆和双曲线而言，倾角的值随着离心率的增大而减小，对于抛物线而言，则为 45 度。
圆锥曲线的参数方程
圆锥曲线的参数方程圆锥曲线是数学中重要的曲线之一，广泛应用于物理、工程等领域。
在本文中，我们将详细介绍圆锥曲线的参数方程及其应用。
一、概述圆锥曲线由一个直角三角形和一个动点P构成，动点P沿着一个固定曲线运动，同时与直角三角形的两条直角边相交，形成的轨迹即为圆锥曲线。
根据动点P的运动规律，圆锥曲线可分为椭圆、双曲线和抛物线三种类型。
二、参数方程1. 椭圆的参数方程椭圆的参数方程表示为：x = a * cos(t)y = b * sin(t)其中，a和b分别表示椭圆在x轴和y轴的半轴长度，参数t的范围为0到2π。
2. 双曲线的参数方程双曲线的参数方程有两种形式，分别表示为：x = a * sec(t)y = b * tan(t)和x = -a * cosh(t)y = b * sinh(t)其中，a和b分别表示双曲线在x轴和y轴的半轴长度，参数t的范围为-∞到+∞。
3. 抛物线的参数方程抛物线的参数方程可以表示为：x = a * t^2y = 2a * t其中，a表示抛物线的焦点到准线的距离，参数t的取值范围为全体实数。
三、应用1. 物理学中的应用圆锥曲线在物理学中有广泛的应用，如天体轨道的描述、光的折射和反射、粒子的运动轨迹等。
例如，行星绕太阳的轨道就是一个椭圆，双曲线则用于描述开放的轨道。
2. 工程学中的应用在工程学中，圆锥曲线常用于电子设备天线的设计、车辆的运动轨迹规划等。
例如，椭圆的性质可以用于设计微波天线的辐射方向，双曲线则用于描述车辆在高速公路上的行驶轨迹。
3. 绘画与设计中的应用圆锥曲线在绘画和设计中也有着重要的应用。
椭圆被广泛运用于绘画中的构图、设计中的元素排布等。
另外，抛物线的特性使得其在建筑设计中被用于设计拱门等结构。
总结：圆锥曲线的参数方程能够准确地描述圆锥曲线的形状和性质，广泛应用于物理、工程等领域。
通过对椭圆、双曲线和抛物线的参数方程的了解，我们可以更好地理解和应用圆锥曲线的特性。
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参数θ是离心角！
例②3点、P①(5c把o椭s4圆5°,xy4sin544cs5o°ins)是(否为在参上数述）椭化圆成上普？通∠方PO程X；=45°？
解：椭圆的普通方程为：x2 y2 1 25 16
点P在椭圆上， ∠POX≠45°
例3、已知点A是椭圆 x2 y2 1上任意一点，点B为圆C： 25 9
① 求证： A恒 B直过 线一个定点；
① ② 求分O别 、 AO以 为 B 直径的 O的 两交 M 圆 的 点 异 轨于 迹方 设 A ( 2 p 2 ,2 p t)B ( t , 2 p 2 ,2 u p )tu ( u 0 ) O O A ,
4 p 2 t2 u 2 4 p 2 t u 0 , t u 1Y
双曲线的参数方程双曲xy线：a bxc2 2 otaa snby22( 1为Φ(a叫参,b离数 c 心）0角1)2 o 。 s si2 axc n 22 Y2 o cbEy联想s2 o 22 s1tM(ax2,yn )1
一般地，离心角φ
A b
btan
不等于旋转角，即 φ≠∠XOM
φ
O
aa X
cos
设 A ( 2 p 2 ,2 p t)B ( t ,2 p 2 ,2 u p )tu ( u 0 ) O O A ,
4 p 2 t2 u 2 4 p 2 t u 0 , t u 1 ①
设AB的中点为P(x,y)，则
xpt2 u2
②
yp(tu) ③
由①②③消去参数t,u得： y2p(x2p)
——圆、椭圆的参数方程
1、圆的参数方程
Y
圆心为C(a,b)半径为R的圆的参数方程：
xaRcos ybRsin
0,2
b
参数θ是旋转角。
O
M(x,y)
Rθ
X a
例1、指出下列圆的圆心坐标和半径（其中θ为参数）：
(1)xy223c3soisn
x34cos (2)y34sin
圆心坐标 (2, – 2 )
B
A :y B 2 p 2 t 2 p p 2 2 2 u u p p 2 ( x t t 2 p 2 )t2 t( u 2 )
整理 x得 2p(t： u)y0
O
（易知t2当u2时也满足）
N
M
X
由此，可知直线AB恒过定点N（2p,0)
A
充分运用向量工具能使问题化简；充
分利用几何直观，仔细观察是提高解
变式训练：已知 x22y21，求y:x的取值范围。
x2cos ysin
kxy2 scinos
Y
si n k co 2 k s
O
1 30° 2
X
sin 2k 2k 1 1k1
1k2
1k2
33
Y
b
θ
O
2、椭圆的参数方程
椭圆 x2 y2 1的参数方程： a2 b2
M (a aco X,bsi)n xy a bc sions 0,2
2 co 1 c so 1 s
当 co s1 2时ym ， a x343(SABC)m Da x 343ab
随堂训练
在椭圆 x2 y2 1 上到直线3x – 2y – 16 = 0距离 47
最小的点的坐标是：
，最小距离是：
圆锥曲线的参数方程（2）
——双曲线、抛物线的参数方程
双曲线的参数方程
为所求的轨迹方程。
N
在形成曲线的几何条件中，若能直接用一O
M
X
个几何量的等式表示，则将此几何量的等式
坐标化，化简即得到曲线方程。
在坐标化的过程中，充分利用向量工具是
A
提高解题速度和简化解题过程的好方法！
2、已知O是坐标原点，A、B是抛物线 x2pt2(p0,t为参数 y2pt
上不同于顶点的两个动点，且OA⊥OB，求AB中点的轨迹方程。
连线的斜率。
2 pt
O 2 pt2
X
例2、曲线C的方程是
x2p
t2(p0,t为参数）
y2pt
当-1≤t≤2时， ①求曲线C的弧上A、B两端点的直线方程。②
设F是曲线的焦点，且△ABF的面积为14，求p的值。
解：曲线C化成普通方程得 y 2 2 p( x 2 p y 4 p )
A(2p,-2p),B(8P,4P),F(p/2,0) Y
半径
R=3
圆心坐标 (3, 3 )
半径
R=4
例2、实数x,y满足 x2y22x4y,求2x – y 的取值范围。
解：由已知得：x 1 2 y 2 2 5
所以，圆的参数方程为：x1 5cos
2 x y 25 c o ys 5 2s i5sn in5 co s
所以2x – y 的取值范围是：[ - 5，5]
例1、P是双曲线 x2 y2 1上任意一点，Q是圆C：x2y221
2 上任意一点，求线段|PQ|的长度的最小值。
解：线段|PQ|的长度的最小值为点P与圆心C的距离的最小值
减去圆的半径。又：
P2 C c1 o s 22tan 22
Y Q P
C
5 ta 2 n 8 ta n 5
X
O
5(ta n4)299
5 55
所以线段|PQ|的长度的最小值为 3 5 1 5
抛物线的参数方程
x
1 2p
t2
tR
y t 除教材给出的抛物线的参数方程外，下面抛物线的另一种
常用的参数方程是：
普 通 方
y22p(xp0)
参 数
x
2pt2(t为参数）
方
y 2pt Y
程
程
M(x,y)
参数t的几何意义是： 抛物线上的点M与原点
x2(y4)21上任意一点，求|AB|的取值范围。
解：如图，要使|PQ|最长（短），只须|CP|最长（短）。
设 P (5co ,3 ssin )，则：
Y
C 2 P 2 c5 2 o 3 s si 4 n 2B Q
16sin32504AC1CP5 2
X O
0AB 152 P
变接式梯训形练的： 面求积以最椭大圆值。a x2 2b y2 21(ab0) 的长轴为底的内
决问题能力的好方法！
例 3、过抛 y22 物 p(xp线 0)的顶 O任 点作互相 O、 垂 AO直
① 求证： A恒 B直过 线一个定点； ② 求分O别 、 AO以 为 B 直径的 O的 两交 M 圆 的 点 异 轨于 迹方
②由题设知道：OM⊥AB，即OM⊥MN
O • M M 0 ,( x N ,y ) • ( 2 p x , y ) 0Y B x 2 y 2 2 p x 0 (x 0 )
解：如图，设C(acosθ,bsinθ),则D(-acosθ,bsinθ)，
Y
SAB C 1 2D (2 a2 aco)b sin D
C
a(1 b co )ssin
A
O
BX
显然，0°＜θ＜90°,0<cosθ<1
令：y ( 1 co )ssi n si n 1 s2 in
2
y / co c2 s o 2 c s2 o c so 1s
所以， ①直线AB的方程为：y= x –
B
4p
②∵|AB|= 6 2 p
点F到直线AB的距离是：d 7 pO
X
22
S AB 1 2 F A d B 1 2 62 p 2 7 p 2 A 4p 2 2 p
3 3
例 3、过抛 y22 物 p(xp线 0)的顶 O任 点 作互相 O、 垂 AO直