2.2圆锥曲线的参数方程

O
A x
【练习1】把下列普通方程化为参数方程.
(1)
x2 y2 1 49
(2)
x2 y2 1 16
(1)
x 2 cos y 3sin
(2)
x cos y 4 sin
把下列参数方程化为普通方程
(3)
x 3cos

y

5
sin

(3)
x2 9

x

y
3sec tan
(为参数)的渐近线方程
例2、如图，设M
为双曲线
x2 a2

y2 b2
1(a
0, b 0)任意一点，O为原点，
过点M 作双曲线两渐近线的平行线，分别与两渐近线交于A，B两点。
探求平行四边形MAOB的面积，由此可以发现什么结论？
解：双曲线的渐近线方程为：y b x.
线AB的方程为
x 3

y 2
1
2x 3y
6

0
d | 6 cos 6 sin 6 | 6 2 sin( )
22 32
13
4
所以当
=

4
时,
d 有最大值,
面积最大
这时点P的坐标为( 3 22 , 2)
练习4
1、动点P(x,y)在曲线 x2 y2 1上变化 ，求2x+3y的最
①
A
M
O B
x
a
所以MAOB的面积为
S YMAOB
=|OA|•|OB|sin2
=
xA
cos
•
xB
cos
sin2
=
a2(sec2 -tan2 4cos2
)
•
sin2
=
a2 2
•
tan

a2 2
•
b a

ab . 2
由此可见，平行四边形MAOB的面积恒为定值，与点M在双曲线上的位置无关。
y
分析1：设P( 8 8y2 , y),
则d | 8 8y2 y 4 | 2
分析2：设P(2 2 cos ,sin),
O
x
P
则d | 2 2 cos sin 4 | 2
分小析结3：：平借移助直椭线圆l的至参首数次方与程椭，圆可相以切将，椭切圆点上即的为任所意求一.
x=2pt2 ,

y

2pt.
(t为参数，t

R)

o
Hx
其中参数t=
1
tan
(

0),当
=0时，t=0.
几何意义为： 抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数。
即P(x,y)为抛物线上任意一点,则有t=
x y
.
1、若曲线x 2 pt2 (t为参数)上异于原点的不同 y 2 pt
思考：
椭圆的参数方程中参数的意义与圆的参数方 程{x r cos (为参数)中参数的意义类似吗？
y r sin
由图可以看出，参数是点M所对应的圆的半
径OA(或OB)的旋转角(称为点M的离心角)，不
是OM的旋转角，参数是半径OM的旋转角。
椭圆参数方程的推导
从几何变换的角度看，通过伸缩变换
椭圆的参数方程:
x y

acos bsin
(为参数)
椭圆的参数方程中参数φ的几何意义:
是∠AOX=φ,不是∠MOX=φ.
圆的标准方程: x2+y2=r2
圆的参数方程:
x r cos y r sin
(为参数)
θ的几何意义是 ∠AOP=θ
y
B O
Aφ
M
Nx
y P
θ
两点M1，M 2所对应的参数分别是t1,t2,则弦
M
1M
所在直线的斜率是
2
(
c
)
A、t1 t2 ,
B、t1 t2
C、 1 , t1 t2
D、 1 t1 t2
解：由于M
1
,
M
两点对应的参数方程分
2
别是t1和t2，则可得点M
1和M
的坐标分别为
2
M1(2 pt12 ,2 pt1 ), M 2 (2 pt22 ,2 pt2 )
3、抛物线的参数方程
y
M(x,y)

o
x
• 抛物线的参数方程
y
M(x，y)
设M（x,y）为抛物线上除顶点外的任意一点，
以射线OM为终边的角记作。

因为点M（x,y）在的终边上，根据三角函数定义o 可得
y x

H tan.
x
解又如出设果x抛设,y物t得=线到ta普1抛n通物,方t线程（(-为不y,包20=)括2Up顶(x0.点,+）)的,则参有数方程：xy=tta2an2pn2p
新课标人教版课件系列
《高中数学》
选修4－4
2.2.1《椭圆的参数方程》
教学目标
• 掌握椭圆的参数方程及其解法；理解方程
x a cos

y

b
sin
参数是椭圆的离心角，不是旋转角。
由例4我们得到了椭
圆x a
2 2

y2 b2
1(a
b

0)的
一个参数方程为{x a cos (为参数) y b sin
(为参数)
通常规定 [o,2 )且

，

3
。
b
22
说明：
o B A' x
⑴ 这里参数 叫做双曲线的离心角与直线OM的倾斜角不同.
⑵se双c2曲线的1参t数an方2 程相可比以较由而方得程到，ax22所以by22双曲1与线三的角参恒数等方式程
的实质是三角代换.
1.双曲线 为_____.
数方程.
2 .在椭圆的参数方程中，常数a、b分
别是椭圆的长半轴长和短半轴长. a>b
另外, 称为离心角,规定参数 的取值范围是 [0, 2 )
焦点在X
轴

x y

a b
cos, sin .
焦点在Y轴xy

b cos, a sin .
知识归纳
椭圆的标准方程: x2 y2 1 a2 b2


因为OA OB,所以OAOB 0,即
(2 pt1t2 )2 (2 p)2 t1t2 0, 所以t1t2 1...........(8)




因为OM AB, 所以OM AB 0,即
2 px(t 2 t 2 ) 2 py(t t ) 0
y sin
化为普通方程是x2 y2 1 4
例1 在椭圆 x2 y2 1 上求一点M， 94
使点M到直线x＋2y－10＝0的距离最小，
并求出最小距离.
y
M(9 ,8) 55
M
O
x
最小值为 5
例2、如图，在椭圆x2+8y2=8上求一点P，使P到直线
l：x-y+4=0的距离最小.
可以可看出，利用椭圆的参数方 程解最值问题会比较简单．
二、圆锥曲线的参数方程
2、双曲线的参数方程
双曲线的参数方程
设M (x, y)
y

a
B'
A
•M
在OAA'中，x
| OA' | | OA | b b sec,
cos cos
b
o B A' x
在OBB '中，y | BB ' || OB | tan b tan.
x {
y
1
a 1
x 则椭圆的方程x2
y
a2

y2 b2
1可以变成
b
x2＋y2 1.利用圆的参数方程
x {

c
os
(为参数)可以得到椭圆的参数
y sin
方程为{x a cos y b sin
1 .参数方程
x y

ab scions是椭圆的参
kM1M 2

2 pt1 2 pt12
2 pt2 2 pt22

1 t1 t2
例3、如图O是直角坐标原点，A, B是抛物线 y2 2 px( p 0)上异于顶点的两动点，且 OA OB,OM AB并于AB相交于点M，求点 M的轨迹方程。
y A M
o
x B
解：根据条件，设点M , A, B的坐标分别为(x, y)
所以M的轨迹方程是
x

y

a sec b tan
(为参数)
消去参数后，得 x2 - y2 =1, a2 b2
这是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线。
双曲线的参数方程
x2 a2
-
y2 b2
=1(a>0,b>0)的参数方程为：
y
a

A B' • M
x

y

a b
sec tan
已知圆的方程为x2 y2 4x cos 2 y sin 3cos2 0, (为参数)，那么圆心的轨迹的普通
方程为 ____________________
解：方程x2 y2 4x cos 2 y sin 3cos2 0 可以化为(x 2 cos )2 ( y sin )2 1 所以圆心的参数方程为{x 2 cos (为参数)
小结：
圆的参数方程： xy

r r
cos（
sin

为参数）
（以原点为圆心，r为半径， 为旋
转角）
小结：
椭圆的参数方程：xy

a b
cos sin
（ 为参数） a b 0 表明 2a, 2b
分别是椭圆的长轴长与短轴长，
x 且焦点在 轴上，参数是椭圆
的离心角，不是旋转角，由例１
(2 pt12 ,2 pt1),(2 pt22 ,2 pt2 )(t1 t2 ,且t1 t2 0)则



OM (x, y),OA (2 pt12 ,2 pt1),OB (2 pt22 ,2 pt2 )

AB (2 p(t22 t12 ),2 p(t2 t1))

, .
(
为参数)
x=2pt2 ,

y

2pt.
(t为参数)
思考：参数t的几何意义是什么?
当t 0时，参数方程表示的点正好就是抛物线的顶点（0，0）。
所以，xy=2p2tp2t,.(t为参数，t R)表示整条抛物线。
• 抛物线的参数方程
y
M(x，y)
抛物线y2 =2px(p>0)的参数方程为:
定义有
x OA cos a cos
y OB sin b sin
当半径OA绕点O旋转一周时，就得到了点M 的轨迹，它的参数方程是
x {

a
c
os
(为参数)
y b sin
这是中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆。
在椭圆的参数方程中，通常规定参数的 范围是 [0,2 )
大值和最小值
94
最大值6 2,最小值 6 2.
2、θ取一切实数时，连接A(4sinθ,6cosθ)和B(-4cosθ,
6sinθ)两点的线段的中点轨迹是 B
.
A. 圆 B. 椭圆
设中点M (x, y)
x2 y2 1 8 18
C. 直线
D. 线段
x=2sinθ-2cosθ
y=3cosθ+3sinθ
A1 F1
所以, 矩形ABCD最大面积为160
C
O F2
B
B1
A2 XX
练习3:已知A,B两点是椭圆
x2 9
y2 4
1
与坐标轴正半轴的两个交点,在第一象限的椭
圆弧上求一点P,使四边形OAPB的面积最大.
解 : 椭圆参数方程
设点P(3cos,2sin )
SABO面积一定,需求 SABP最大即可 即求点P到线AB的距离最大值
这是中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆的
参数方程。
思考： 类比圆的参数方程中参数的意义，椭圆的参数
方程中参数的意义是什么？
如下图，以原点为圆心，分别以a，b（a＞b＞0）为半径 作两个圆，点B是大圆半径OA与小圆的交点，过点A作 AN⊥ox，垂足为N，过点B作BM⊥AN，垂足为M，求 当半径OA绕点O旋转时点M的轨迹参数方程.
点的坐标用三角函数表示，利用三角知识加以解决。
例3、已知椭圆 x2 y2 1有一内接矩形ABCD， 100 64
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求矩形ABCD的最大面积。
Yy
解 : 设A10cos,8sin
D
B2 A
AD 20 cos, AB 16sin
S 2016sin cos 160sin 2
a 不妨设M为双曲线右支上一点，其坐标为（asec,btan）,
y
则直线MA的方程为：y b tan b (x a sec).
将y=
b
a x代入①，解得点A的横坐标为
同设理A可aOx得=，,x点 则A =Bta2（ 的 ans横 ec坐b标.为taxnB=）a2（. sec tan）.
分析：点M的横坐标与点A的横坐标相同,
点M的纵坐标与点B的纵坐标相同. y
而A、B的坐标可以通过 引进参数建立联系.
A
B
M
设∠XOA=φ
O
Nx
y
A
M
B

o
x
设以ox为始边，OA为终边的角，点M的坐标
是(x, y)，那么点A的横坐标为x,点B的纵坐标为
y，由点A, B均在角的终边上，由三角函数的
y2 25
1
(4)
x 8 cos

y

10 sin
(4)
x2 64

y2 100
1
练习2：已知椭圆的参数方程为
x 2cos

y

sin
(

是
参数) ，则此椭圆的长轴长为（ 4 ），短轴长为
（ 2 ），焦点坐标是（( 3 , 0)），离心率是
（ 3 ）。 2
练习3：