2.2圆锥曲线的参数方程
高二数学圆锥曲线的参数方程(中学课件201909)
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执承送于武昌 大兵从之 峻坠马 出家之人 然其《字诂》 早有才识 书符录 欲夺弥治位 武定末 官司纠绳 司徒长孙翰 参主兵政 尔朱荣之害朝士 随所在辰而命之 无益土之赏；帝西巡 赐从者布帛各有差 时泽滂润 慕容贺驎率三万余人出寇新市 次降者给复十五年 余为度分 缩积分四万九千 四百六十一 冤赖氏 且国异政 时侍中穆绍与彧同署 以为音节 何假南面百城 胃 隆和那得久 诏 减膳撤悬 流言惑众 占曰 百六十年废兴大略 宫商角徵羽各为一篇 乃备究南夏佛法之事 携李及四子数十骑出门 三年六月 在明经 三月 员外散骑侍郎 四年 京师饥 恒曰 又设一切僧斋 戊子 诸 开府行参军 字辄勾点 天下改服 六年 下弦 晕轸 魏东羌猎将 以代结绳 可 征虏将军 崩 得蓍一株 所在著称 太白又犯岁星 文武应求者 景哲遂申启 四言兵起历年 太昌元年六月 三考黜陟 有私养沙门者 复伐慕容廆 以汉武之世得道 力未多衰 于时皇子国官 占曰 进善退恶 谨成十志二十卷 拾寅遣子斤入侍 微分一 得羌豪心 于时学制 月蚀牵牛中大星 忧兵 典书秘书 中原冠带呼江东之人 何虚中之迢迢 其《本起经》说之备矣 六月壬寅 称事二品备七；安州都将楼龙儿击走之 二部高车 莫不严具焉 普贤乃有降意 时移世易 是谓朝庭有兵 东逾十岭山 译为和命众 贵人有死者 集义见梁益既定 算外 诏悉免归 领军元乂为宰相 几至不测 必祗奉明灵 丙申 请求迎援 循河东下 从景明元年至正光四年六月已前 立夏 有酸怀抱 恃宠骄盈 一白一赤 观渔 推月度 高凉王那再征之 武卫将军 交会差四十九度 数起天正十一月 以为治中 高 太宗讨之 凉邦卒灭 又云 水 虽尊 居黄屋 循省钩铃之备也 微分一 停三日夜 建诸州霜俭 员外散骑常侍 癸未 乃可加以告责 而高昌旧人情恋本土 盖由官授不得其
圆锥曲线参数方程中参数的几何意义
圆锥曲线参数方程中参数的几何意义圆锥曲线是解析几何中的重要组成部分，它包括椭圆、双曲线和抛物线。
在数学分析中，我们常常使用参数方程来描述这些曲线。
本文将详细探讨圆锥曲线参数方程中的参数所蕴含的几何意义。
圆锥曲线的参数方程通常由两个变量表示，一个是参数，另一个是曲线上的点的坐标。
这些参数在几何上具有直观的意义，以下是几种常见圆锥曲线参数方程中参数的几何意义的解析：### 椭圆的参数方程椭圆的标准参数方程可以写作：[ x=acostheta ][ y=bsintheta ]其中，( a )和( b )分别是椭圆的半长轴和半短轴，而( theta )是参数。
**参数的几何意义：**- ( theta )：表示从椭圆的x轴正半轴开始，逆时针旋转到椭圆上某点的角度。
- ( costheta )和( sintheta )：分别决定了点在x轴和y轴上的投影长度。
### 双曲线的参数方程双曲线的标准参数方程为：[ x=asectheta ][ y=btantheta ]或[ x=acosh t ][ y=bsinh t ]**参数的几何意义：**- ( theta )或( t )：代表点在双曲线上相对于渐近线的位置。
- ( sectheta )和( tantheta )：描述了点在x轴和y轴方向上的放大倍数。
- ( cosh t )和( sinh t )：与双曲线的对称性和渐近线有关，其中( cosh t )表示点在x轴方向的位移，( sinh t )表示点在y轴方向的位移。
### 抛物线的参数方程抛物线的参数方程通常写作：[ x=t ][ y=at^2+bt+c ]**参数的几何意义：**- ( t )：代表从抛物线顶点到曲线上任一点的距离（假设( x=t )沿对称轴方向）。
- ( a )，( b )，( c )：与抛物线的开口方向、大小和位置有关。
通过对圆锥曲线参数方程中参数的几何意义的分析，我们可以更深入地理解这些曲线的几何特性和它们在坐标系中的位置关系。
常见曲线的参数方程
2.2 常见曲线的参数方程 第一节 圆锥曲线的参数方程一椭圆的参数方程1、中心在坐标原点，焦点在x 轴上，标准方程是22221(0)x y a b a b+=>>的椭圆的参数方程为cos (sin x a y b ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数）同样，中心在坐标原点，焦点在y 轴上，标准方程是22221(0)y x a b a b+=>>的椭圆的参数方程为cos (sin x b y a ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数）2、椭圆参数方程的推导如图，以原点O 为圆心，,()a b a b o >>为半径分别作两个同心圆，设A 为大圆上的任一点，连接OA ，与小圆交于点B ，过点,A B 分别作x 轴，y 轴的垂线，两垂线交于点M 。
设以Ox 为始边，OA 为终边的角为ϕ，点M 的坐标是(,)x y 。
那么点A 的横坐标为x ，点B 的纵坐标为y 。
由于点,A B 都在角ϕ的终边上，由三角函数的定义有cos cos ,sin sin x OA a y OB b ϕϕϕϕ==== 3当半径OA 绕点O 旋转一周时，就得到了点M 的轨迹，它的参数方程是cos (sin x a y b ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数）这是中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆的参数方程。
3、椭圆的参数方程中参数ϕ的意义 圆的参数方程cos (sin x r y r θθθ=⎧⎨=⎩为参数）中的参数θ是动点(,)M x y 的旋转角，但在椭圆的参数方程cos (sin x a y b ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数）中的参数ϕ不是动点(,)M x y 的旋转角，它是动点(,)M x y 所对应的圆的半径OA （或OB ）的旋转角，称为点M 的离心角，不是OM 的旋转角，通常规定[)0,2ϕπ∈ 4、椭圆参数方程与普通方程的互化可以借助同角三角函数的平方关系将普通方程和参数方程互化。
①由椭圆的参数方程cos (sin x a y b ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数，0)a b >>，易得cos ,sin x ya b ϕϕ==，可以利用平方关系将参数方程中的参数ϕ化去得到普通方程22221(0)x y a b a b+=>>②在椭圆的普通方程22221(0)x y a b a b +=>>中，令cos ,sin x ya bϕϕ==，从而将普通方程化为参数方程cos (sin x a y b ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数，0)a b >>注：①椭圆中参数的取值范围：由普通方程可知椭圆的范围是：,a x a b y b -≤≤-≤≤，结合三角函数的有界性可知参数[)0,2ϕπ∈②对于不同的参数，椭圆的参数方程也有不同的呈现形式。
圆锥曲线与参数方程
圆锥曲线与参数方程引言圆锥曲线是数学中的一种重要曲线，它包括椭圆、双曲线和抛物线等形状。
而参数方程则是描述曲线上每个点的坐标的一种方法。
本文将探讨圆锥曲线与参数方程的关系，以及它们在几何学和物理学中的应用。
一、圆锥曲线的定义与性质圆锥曲线是由一个平面与一个圆锥相交而形成的曲线。
根据平面与圆锥的相对位置，圆锥曲线可以分为三类：椭圆、双曲线和抛物线。
1. 椭圆椭圆是圆锥曲线中最简单的一种形状。
它的定义是平面与圆锥的两个母线相交于两个不同的点，且这两个点到圆锥顶点的距离之和保持不变。
椭圆具有许多重要性质，如焦点和准线的存在，以及椭圆方程的特点等。
2. 双曲线双曲线是圆锥曲线中另一种常见形状。
它的定义是平面与圆锥的两个母线相交于两个不同的点，且这两个点到圆锥顶点的距离之差保持不变。
双曲线也有许多有趣的性质，如焦点和准线的存在，以及双曲线方程的特点等。
3. 抛物线抛物线是圆锥曲线中最常见的一种形状。
它的定义是平面与圆锥的一条母线相交于一个点，且这个点到圆锥顶点的距离与该点到平面的距离相等。
抛物线也具有一些独特的性质，如焦点和准线的存在，以及抛物线方程的特点等。
二、参数方程的定义与应用参数方程是一种描述曲线上每个点坐标的方法，它使用一个或多个参数来表示曲线上的点。
参数方程的形式通常为x=f(t)和y=g(t)，其中t为参数，而x和y分别表示曲线上的点的x坐标和y坐标。
参数方程的优势在于可以轻松描述复杂的曲线形状。
例如，对于圆锥曲线而言，参数方程能够描述椭圆、双曲线和抛物线等形状，而直角坐标系下的方程则无法完全表达这些曲线。
参数方程在几何学和物理学中有广泛的应用。
在几何学中，参数方程可以用来描述曲线的弧长、曲率和切线等性质。
在物理学中，参数方程可以用来描述粒子的运动轨迹，例如在抛体运动中，可以使用参数方程来描述抛物线轨迹。
三、圆锥曲线与参数方程的关系圆锥曲线与参数方程之间存在紧密的关系。
事实上，每个圆锥曲线都可以用参数方程来表示。
直线和圆锥曲线的参数方程
3 3 4 倾斜角为 α，则 tan α＝4，sin α＝5，cos α＝5.又点 P(1，1)在直线 4 x＝1＋5t， l 上，所以直线 l 的参数方程为 (t 为参数). 3 y＝1＋ t 5 因为 3×5－4×4＋1＝0，所以点 M 在直线 l 上. 4 由 1＋5t＝5，得 t＝5，即点 P 到点 M 的距离为 5. 因为点 N 不在直线 l 上，故根据两点之间的距离公式，可得|PN| ＝ （1＋2）2＋（1－6）2＝ 34.
QM → 动点 M 分有向线段QP的数量比 MP
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2.圆的参数方程 (1)圆心在原点、 半径为 r 为参数).
x＝rcos α， y＝rsin α 的圆的参数方程_____________( α
OP与x轴正方向的夹角 参数 α 的几何意义是_________________________.
x＝t， 得到参数方程 y＝2t＋1
t (t 为参数)；如果令 x＝2，可得到
t x＝ ， 参数方程 2 (t 为参数) y＝t＋1
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这样的参数方程中的 t 不具有一定的几何意义，但是在 实际应用中有时能够简化某些运算.例如，动点 M 做匀 速直线运动，它在 x 轴和 y 轴方向的分速度分别为 9 和 12，点 M 从 A 点(1，1)开始运动，求点 M 的轨迹的参数 方程.点 M (t 为参数).
【思维导图】
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【知能要点】
1.直线的参数方程.
2.直线的参数方程的应用.
3.圆的参数方程及应用.
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圆锥曲线方程知识点总结
圆锥曲线方程知识点总结一、圆锥曲线的基本方程椭圆的标准方程如下：$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1. (a > b > 0)$$其中椭圆的长轴为$2a$，短轴为$2b$，焦距为$\sqrt{a^2 - b^2}$，离心率为$c/a$。
双曲线的标准方程如下：$$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1. (a > 0, b > 0)$$其中双曲线的两个分支的焦点到中心的距离为$c = \sqrt{a^2 + b^2}$。
抛物线的标准方程如下：$$x^2 = 4ay. (a > 0)$$其中抛物线的焦点为$(0, a)$，顶点为$(0, 0)$。
二、圆锥曲线的参数方程圆锥曲线还可以用参数方程表示。
以椭圆为例，其参数方程为：$$\begin{cases}x = a \cos \theta, \\y = b \sin \theta. \\\end{cases}$$其中$\theta$的取值范围为$[0, 2\pi]$。
双曲线和抛物线的参数方程也可以类似地表示。
三、圆锥曲线的极坐标方程圆锥曲线还可以用极坐标方程表示。
以椭圆为例，其极坐标方程为：$$r = \frac{ab}{\sqrt{a^2 \sin^2 \theta + b^2 \cos^2 \theta}}.$$其中$r$为极径，$\theta$为极角。
双曲线和抛物线的极坐标方程也可以类似地表示。
四、圆锥曲线的性质1. 圆锥曲线关于坐标轴的对称性：- 椭圆关于$x$轴和$y$轴都对称；- 双曲线关于$x$轴和$y$轴都对称；- 抛物线关于$y$轴对称。
2. 圆锥曲线的焦点、直径、离心率等：- 椭圆的焦点到中心的距离为$c = \sqrt{a^2 - b^2}$，离心率为$e = c/a$；- 双曲线的焦点到中心的距离为$c = \sqrt{a^2 + b^2}$，离心率为$e = c/a$；- 抛物线的焦点到中心的距离为$c = a$，离心率为$e = 1$。
圆锥曲线的参数方程全解
将y=
b
a x代入①，解得点A的横坐标为
a
①
xA = a2（sec tan）.
解： 同理可得，点B的横坐标为xB = a2（sec tan）.
设AOx=,则tan b . 所以MAOB的面积为
a
S MAOB =|OA||OB|sin2 =
xA
cos
xB
cos
sin2
过点A作圆C1的切线AA '与x轴交于点A ' ,
过圆C2与x轴的交点B作圆C2的切线BB'与直线OA交于点B'. 过点A ' ,B'分别作y轴,x轴的平行线A' M,B' M交于点M.
双曲线的参数方程
y
设M (x, y) 则A' (x, 0), B'(b, y).
a
B'
A
•M
点A在圆C1上 A(acos,asin).
又OA AA',OA AA'=0
o B A' x
b
AA' =(x-acos,-asin )
a cos(x a cos) (a sin)2 0 解得：x a
又 点B'在角的终边上，记 由三角函数定义有：tan y .
co1sy消saxbe去22cta参n数by22得：x1
2
2
说明：⑴ 这里参数 叫做双曲线的离心角与直线OM
的倾斜角不同. ⑵ 双曲线的参数方程可以由方程
x2 a2
y2 b2
1
与三角
恒等式sec2 1 tan2 相比较而得到，所以双曲
线的参数方程的实质是三角代换.
2.2《圆锥曲线的参数方程》 课件(人教A版选修4-4)
率e= 3 ，已知点P（0，3 ）到这个椭圆上的点的最远距离是
2
2
7 ，求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P的距离等于 7 的
点的坐标.
【解析】
12.（14分）直线l: 3x +2y-6=0与抛物线 y2 =2 3x交于A、B两
点，求∠AOB的值.
【解析】
一、选择题（每小题6分，共36分）
1.椭圆
x=sin
2y=cos
（θ 为参数）的一个焦点坐标为(
（B）（0， 2 ）
2
)
（A）（ 2 ，0）
2
（C）（ 3 ，0）
2
（D）（0， 3 ）
2
【解析】
2.曲线C：
x=3cos
y=2sect 答案： x=3tant (t为参数) y=2sect
三、解答题（共40分）
x 2 y2 10.（12分） 若F1,F2是椭圆 + =1的焦点，P为椭圆上不 25 16
在x轴上的点，求△PF1F2的重心G的轨迹方程. 【解析】
11.（14分）设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心
x=sec y=tan
（θ为参数）化为普通方程，得 x2-y2=1，
表示焦点在横轴上的双曲线；
将
x=t
（t为参数）化为普通方程，得 y=-3x2，表示焦点在
2
y=-3t
纵轴上的抛物线.
二、填空题（每小题8分，共24分）
x 2 2 上，则x+y的最大值为______. 7.点P（x,y）在椭圆 +y =1 4
点F（1，0)，准线方程为x=-1,又点M（3,m)在抛物线上，故
|MF|=3-（-1）=4.
2.2圆锥曲线的参数方程课件-高二A版数学(文)人教选修4-4
所以, 矩形ABCD最大面积为160
D BA
2
AF
1
1
C
OF
B2
B
1
A XX
2
y
(为参数）
10sin
(3)
x2 9
y2 25
1
(4)
x2 64
y2 100
1
二、双曲线的参数方程
双曲线的参数方程
设M (x, y)
y
a
B'
A
•M
在OAA'中，x
| OA' | | OA | b b • sec,
cos cos
b
o B A' x
在OBB '中，y | BB ' || OB | • tan b • tan.
都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为 2，π3. (1)求点A，B，C，D的直角坐标；
例2 已知A，B分别是椭圆 3x62 ＋y92 ＝1的右顶点和上顶点，动点 C在该椭圆上运动，求△ABC的重心G的轨迹方程.
解 由题意知A(6,0)，B(0,3).由于动点C在椭圆上运动， 故可设动点C的坐标为(6cos θ，3sin θ)，点G的坐标设为(x，y)，
抛物线的参数方程
y
M(x，y)
抛物线y2 =2px(p>0)的参数方程为:
x=2pt2 ,
y
2pt.
(t为参数，t
R)
o
Hx
其中参数t=
1
tan
(
0),当
=0时，t=0.
几何意义为：抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数。
2019-2020年高中数学 2.2 圆锥曲线的参数方程教案 新人教A版选修4-4
2019-2020年高中数学 2.2 圆锥曲线的参数方程教案 新人教A 版选修4-41．椭圆的参数方程(1)抛物线y 2＝2px 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2y ＝2pt (t ∈R ，t 为参数)．(2)参数t 表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．1．椭圆的参数方程中，参数φ是OM 的旋转角吗？【提示】 椭圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φy ＝b sin φ(φ为参数)中的参数φ不是动点M (x ，y )的旋转角，它是点M 所对应的圆的半径OA (或OB )的旋转角，称为离心角，不是OM 的旋转角．2．双曲线的参数方程中，参数φ的三角函数sec φ的意义是什么？【提示】 sec φ＝1cos φ，其中φ∈[0,2π)且φ≠π2，φ≠32π.3．类比y 2＝2px (p >0)，你能得到x 2＝2py (p >0)的参数方程吗？【提示】⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt ，y ＝2pt 2.(p >0，t 为参数，t ∈R )椭圆的参数方程及应用将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θy ＝3sin θ(θ为参数)化为普通方程，并判断方程表示曲线的焦点坐标．【思路探究】 根据同角三角函数的平方关系，消去参数，化为普通方程，进而研究曲线形状和几何性质．【自主解答】 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θy ＝3sin θ得⎩⎨⎧cos θ＝x 5，sin θ＝y 3，两式平方相加，得x 252＋y 232＝1.∴a ＝5，b ＝3，c ＝4.因此方程表示焦点在x 轴上的椭圆，焦点坐标为F 1(4,0)和F 2(－4,0)．椭圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ，(θ为参数，a ，b 为常数，且a >b >0)中，常数a 、b 分别是椭圆的长半轴长和短半轴长，焦点在长轴上．若本例的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θy ＝5sin θ，(θ为参数)，则如何求椭圆的普通方程和焦点坐标？【解】 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θy ＝5sin θ，化为⎩⎨⎧x3＝cos θ，y5＝sin θ，两式平方相加，得x 232＋y 252＝1.其中a ＝5，b ＝3，c ＝4.所以方程的曲线表示焦点在y 轴上的椭圆，焦点坐标为F 1(0，－4)与F 2(0,4)．已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋cos t y ＝3＋sin t ，(t 为参数)，曲线C 2：x 264＋y 29＝1.(1)化C 1为普通方程，C 2为参数方程；并说明它们分别表示什么曲线？(2)若C 1上的点P 对应的参数为t ＝π2，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线C 3：x －2y －7＝0距离的最小值．【思路探究】 (1)参数方程与普通方程互化；(2)由中点坐标公式，用参数θ表示出点M 的坐标，根据点到直线的距离公式得到关于θ的函数，转化为求函数的最值．【自主解答】 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋cos t ，y ＝3＋sin t ，得⎩⎪⎨⎪⎧cos t ＝x ＋4，sin t ＝y －3. ∴曲线C 1：(x ＋4)2＋(y －3)2＝1，C 1表示圆心是(－4,3)，半径是1的圆．曲线C 2：x 264＋y 29＝1表示中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8cos θ，y ＝3sin θ，(θ为参数)(2)依题设，当t ＝π2时，P (－4,4)；且Q (8cos θ，3sin θ)，故M (－2＋4cos θ，2＋32sin θ)．又C 3为直线x －2y －7＝0，M 到C 3的距离d ＝55|4cos θ－3sin θ－13|＝55|5cos(θ＋φ)－13|， 从而当cos θ＝45，sin θ＝－35时，(其中φ由sin φ＝35，cos φ＝45确定)cos(θ＋φ)＝1，d 取得最小值855.1．从第(2)问可以看出椭圆的参数方程在解题中的优越性．2．第(2)问设计十分新颖，题目的要求就是求动点M 的轨迹上的点到直线C 3距离的最小值，这个最小值归结为求关于参数θ的函数的最小值．(xx·开封质检)已知点P 是椭圆x 24＋y 2＝1上任意一点，求点P 到直线l ：x ＋2y ＝0的距离的最大值．【解】 因为P 为椭圆x 24＋y 2＝1上任意一点，故可设P (2cos θ，sin θ)，其中θ∈[0,2π)． 又直线l ：x ＋2y ＝0.因此点P 到直线l 的距离d ＝|2cos θ＋2sin θ|12＋22＝22|sin θ＋π4|5.所以，当sin(θ＋π4)＝1，即θ＝π4时，d 取得最大值2105.双曲线参数方程的应用 求证：双曲线x 2a 2－y2b2＝1(a >0，b >0)上任意一点到两渐近线的距离的乘积是一个定值．【思路探究】 设出双曲线上任一点的坐标，可利用双曲线的参数方程简化运算．【自主解答】 由双曲线x 2a 2－y 2b2＝1，得两条渐近线的方程是：bx ＋ay ＝0，bx －ay ＝0， 设双曲线上任一点的坐标为(a sec φ，b tan φ)， 它到两渐近线的距离分别是d 1和d 2，则d 1·d 2＝|ab sec φ＋ab tan φ|b 2＋a 2·|ab sec φ－ab tan φ|b 2＋－a 2＝|a 2b 2sec 2 φ－tan 2 φ|a 2＋b 2＝a 2b 2a 2＋b2(定值)．在研究有关圆锥曲线的最值和定值问题时，使用曲线的参数方程非常简捷方便，其中点到直线的距离公式对参数形式的点的坐标仍适用，另外本题要注意公式sec 2 φ－tan 2 φ＝1的应用．如图2－2－1，设P 为等轴双曲线x 2－y 2＝1上的一点，F 1、F 2是两个焦点，证明：|PF 1|·|PF 2|＝|OP |2.图2－2－1【证明】 设P (sec φ，tan φ)，∵F 1(－2，0)，F 2(2，0)， ∴|PF 1|＝sec φ＋22＋tan 2φ＝2sec 2φ＋22sec φ＋1，|PF 2|＝sec φ－22＋tan 2φ＝2sec 2φ－22sec φ＋1， |PF 1|·|PF 2|＝2sec 2φ＋12－8sec 2φ＝2sec 2φ－1. ∵|OP |2＝sec 2φ＋tan 2φ＝2sec 2φ－1， ∴|PF 1|·|PF 2|＝|OP |2.抛物线的参数方程设抛物线y 2＝2px 的准线为l ，焦点为F ，顶点为O ，P 为抛物线上任一点，PQ ⊥l 于Q ，求QF 与OP 的交点M 的轨迹方程．【思路探究】 解答本题只要解两条直线方程组成的方程组得到交点的参数方程，然后化为普通方程即可．【自主解答】 设P 点的坐标为(2pt 2,2pt )(t 为参数)，当t ≠0时，直线OP 的方程为y ＝1tx ，QF 的方程为y ＝－2t (x －p2)，它们的交点M (x ，y )由方程组⎩⎨⎧y ＝1txy ＝－2t x －p2确定， 两式相乘，消去t ，得y 2＝－2x (x －p2)，∴点M 的轨迹方程为2x 2－px ＋y 2＝0(x ≠0)．当t ＝0时，M (0,0)满足题意，且适合方程2x 2－px ＋y 2＝0. 故所求的轨迹方程为2x 2－px ＋y 2＝0.1．抛物线y 2＝2px (p >0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)，参数t 为任意实数，它表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．2．用参数法求动点的轨迹方程，其基本思想是选取适当的参数作为中间变量，使动点的坐标分别与参数有关，从而得到动点的参数方程，然后再消去参数，化为普通方程．(xx·天津高考)已知抛物线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)，其中p >0，焦点为F ，准线为l .过抛物线上一点M 作l 的垂线，垂足为E ，若|EF |＝|MF |，点M 的横坐标是3，则p ＝________.【解析】 根据抛物线的参数方程可知抛物线的标准方程是y 2＝2px ，所以y 2M ＝6p ，所以E (－p 2，±6p )，F (p 2，0)，所以p2＋3＝p 2＋6p ，所以p 2＋4p －12＝0，解得p ＝2(负值舍去)．【答案】 2(教材第34页习题2.2，第5题)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1上任意一点M (除短轴端点外)与短轴两端点B 1，B 2的连线分别与x轴交于P 、Q 两点，O 为椭圆的中心．求证：|OP |·|OQ |为定值．(xx·徐州模拟)如图2－2－2，已知椭圆x24＋y 2＝1上任一点M (除短轴端点外)与短轴两端点B1、B2的连线分别交x轴于P、Q两点．图2－2－2求证：|OP |·|OQ |为定值． 【命题意图】 本题主要考查椭圆的参数方程的简单应用，考查学生推理与数学计算能力．【证明】 设M (2cos φ，sin φ)(φ为参数)， B 1(0，－1)，B 2(0,1)．则MB 1的方程：y ＋1＝sin φ＋12cos φ·x ，令y ＝0，则x ＝2cos φsin φ＋1，即|OP |＝|2cos φ1＋sin φ|.MB 2的方程：y －1＝sin φ－12cos φx ，∴|OQ |＝|2cos φ1－sin φ|.∴|OP |·|OQ |＝|2cos φ1＋sin φ|·|2cos φ1－sin φ|＝4.因此|OP |·|OQ |＝4(定值).1．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝2sin θ，(θ为参数)化为普通方程为( )A ．x 2＋y 24＝1 B ．x 2＋y 22＝1C ．y 2＋x 24＝1D ．y 2＋x24＝1【解析】 易知cos θ＝x ，sin θ＝y2，∴x 2＋y24＝1，故选A.【答案】 A2．方程⎩⎪⎨⎪⎧x cos θ＝a ，y ＝b cos θ，(θ为参数，ab ≠0)表示的曲线是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．双曲线的一部分【解析】 由x cos θ＝a ，∴cos θ＝ax，代入y ＝b cos θ，得xy ＝ab ，又由y ＝b cos θ知，y ∈[－|b |，|b |]， ∴曲线应为双曲线的一部分． 【答案】 D3．(xx·陕西高考)圆锥曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝2t (t 为参数)的焦点坐标是________．【解析】 将参数方程化为普通方程为y 2＝4x ，表示开口向右，焦点在x 轴正半轴上的抛物线，由2p ＝4⇒p ＝2，则焦点坐标为(1,0)．【答案】 (1,0)4．(xx·湖南高考)在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝1－2t (t 为参数)与曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sin θ，y ＝3cos θ(θ为参数，a >0)有一个公共点在x 轴上，则a ＝________. 【解析】 将曲线C 1与C 2的方程化为普通方程求解．∵⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t ＋1，y ＝1－2t ，消去参数t 得2x ＋y －3＝0. 又⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sin θ，y ＝3cos θ，消去参数θ得x 2a 2＋y 29＝1.方程2x ＋y －3＝0中，令y ＝0得x ＝32，将(32，0)代入x 2a 2＋y 29＝1，得94a 2＝1.又a >0，∴a＝32. 【答案】32(时间40分钟，满分60分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．曲线C ：⎩⎨⎧x ＝3cos φy ＝5sin φ，(φ为参数)的离心率为( )A.23B.35C.32D.53【解析】 由题设，得x 29＋y 25＝1，∴a 2＝9，b 2＝5，c 2＝4，因此e ＝c a ＝23.【答案】 A2．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin α2＋cos α2y ＝2＋sin α，(α为参数)的普通方程是( )A ．y 2－x 2＝1B ．x 2－y 2＝1C ．y 2－x 2＝1(1≤y ≤3)D ．y 2－x 2＝1(|x |≤2)【解析】 因为x 2＝1＋sin α，所以sin α＝x 2－1. 又因为y 2＝2＋sin α＝2＋(x 2－1)， 所以y 2－x 2＝1.∵－1≤sin α≤1，y ＝2＋sin α， ∴1≤y ≤ 3.∴普通方程为y 2－x 2＝1，y ∈[1，3]． 【答案】 C3．点P (1,0)到曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t2y ＝2t (参数t ∈R )上的点的最短距离为( )A ．0B ．1 C. 2 D ．2【解析】 d 2＝(x －1)2＋y 2＝(t 2－1)2＋4t 2＝(t 2＋1)2， 由t 2≥0得d 2≥1，故d min ＝1. 【答案】 B4．已知曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θy ＝4sin θ，(θ为参数，0≤θ≤π)上的一点P ，原点为O ，直线PO 的倾斜角为π4，则P 点的坐标是( ) A ．(3,4) B ．(322，22) C ．(－3，－4) D ．(125，125) 【解析】 由题意知，3cos θ＝4sin θ， ∴tan θ＝34，又0≤θ≤π，则sin θ＝35，cos θ＝45，∴x ＝3×cos θ＝3×45＝125， y ＝4sin θ＝4×35＝125， 因此点P 的坐标为(125，125)． 【答案】 D二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知椭圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2cos t y ＝4sin t(t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参数t ＝π3，点O 为原点，则直线OM 的斜率为________．【解析】 由⎩⎨⎧x ＝2cos π3＝1，y ＝4sin π3＝2 3. 得点M 的坐标为(1,23)．直线OM 的斜率k ＝231＝2 3. 【答案】 236．(xx·江西高考)设曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t 2(t 为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________．【解析】 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t 2化为普通方程为y ＝x 2，由于ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，所以化为极坐标方程为ρsin θ＝ρ2cos 2θ，即ρcos 2θ－sin θ＝0.【答案】 ρcos 2θ－sin θ＝0三、解答题(每小题10分，共30分)7．(xx·平顶山质检)如图2－2－3所示，连接原点O 和抛物线y ＝12x 2上的动点M ，延长OM 到点P ，使|OM |＝|MP |，求P 点的轨迹方程，并说明是什么曲线？图2－2－3【解】 抛物线标准方程为x 2＝2y ，其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2t ，y ＝2t 2.得M (2t,2t 2)．设P (x ，y )，则M 是OP 中点．∴⎩⎨⎧2t ＝x ＋02，2t 2＝y ＋02，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t y ＝4t 2(t 为参数)， 消去t 得y ＝14x 2，是以y 轴对称轴，焦点为(0,1)的抛物线．8．(xx·龙岩模拟)已知直线l 的极坐标方程是ρcos θ＋ρsin θ－1＝0.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，椭圆C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝sin θ(θ为参数)，求直线l 和椭圆C 相交所成弦的弦长．【解】 由题意知直线和椭圆方程可化为：x ＋y －1＝0，①x 24＋y 2＝1，② ①②联立，消去y 得：5x 2－8x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝85. 设直线与椭圆交于A 、B 两点，则A 、B 两点直角坐标分别为(0,1)，(85，－35)，则|AB |＝－35－12＋852＝825. 故所求的弦长为825. 9．(xx·漯河调研)在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝3cos αy ＝sin α (α为参数)． (1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，点P 的极坐标为(4，π2)，判断点P 与直线l 的位置关系； (2)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．【解】 (1)把极坐标系下的点P (4，π2)化为直角坐标，得点(0,4)．因为点P 的直角坐标(0,4)满足直线l 的方程x －y ＋4＝0，所以点P 在直线l 上．(2)因为点Q 在曲线C 上，故可设点Q 的坐标为(3cos α，sin α)，从而点Q 到直线l 的距离为d ＝|3cos α－sin α＋4|2＝2cos α＋π6＋42＝2cos(α＋π6)＋22，由此得，当cos(α＋π6)＝－1时，d 取得最小值，且最小值为 2. 教师备选10．设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率e ＝32，已知点P (0，32)到这个椭圆上的点的最远距离是7，求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P 的距离等于7的点的坐标．【解】 设椭圆的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θy ＝b sin θ，其中，a >b >0,0≤θ<2π. 由e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－(b a )2可得b a ＝1－e 2＝12即a ＝2b . 设椭圆上的点(x ，y )到点P 的距离为d ，则d 2＝x 2＋(y －32)2＝a 2cos 2θ＋(b sin θ－32)2 ＝a 2－(a 2－b 2)sin 2θ－3b sin θ＋94＝4b 2－3b 2sin 2θ－3b sin θ＋94＝－3b 2(sin θ＋12b)2＋4b 2＋3， 如果12b >1即b <12，即当sin θ＝－1时，d 2有最大值，由题设得(7)2＝(b ＋32)2，由此得b ＝7－32>12，与b <12矛盾． 因此必有12b≤1成立， 于是当sin θ＝－12b时，d 2有最大值， 由题设得(7)2＝4b 2＋3，由此可得b ＝1，a ＝2.所求椭圆的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ.由sin θ＝－12，cos θ＝±32可得，椭圆上的点(－3，－12)，点(3，－12)到点P 的距离都是7..。
高考数学：参数方程+2.2函数的单调性与最大(小)值
1 x＝1＋ 2t， (2) y＝5＋ 3t. 2
(α 为参数)化成
【训练 1】
x＝cos α， (2010· 陕西)参数方程 y＝1＋ sin α
普通方程为________．
考向二 直线与圆的参数方程的应用 【例 2】 ►已知圆
x＝2＋tcos α， y＝ 3＋tsin α x＝1＋cos θ， C： y＝ sin θ
x cos y sin
直角坐标
y tan 极坐标 x 2 2 2 x y
（3）极坐标方程与普通方程的互化
普通方程化极坐标方程
x cos y sin x 2 y2 2 cos x sin y 2 x 2 y
x x 0 r cos (2)圆的参数方程 y y 0 r sin (θ 为参数)．
(3)圆锥曲线的参数方程
x＝acos θ， x2 y2 椭圆a2＋b2＝1 的参数方程为 (θ 为参数)． y＝bsin θ x＝asec φ， x2 y2 双曲线a2－b2＝1 的参数方程为 (φ 为参数)． y＝tan φ
【训练 3】(2011· 南京模拟)过点 P(－3,0)且倾斜角为 30° 的直线 1 x＝t＋ t ， 和曲线 (t 为参数)相交于 A、B 两点， （1）求线段 1 y＝t－ t AB 的长． （2）求点 P 到点 A 和点 B 的距离之和及距离之积
考向四 参数方程与极坐标的综合问题 【例4】（1）（2012·安徽高考）在极坐标系中， 求圆ρ =4sin θ 的圆心到直线 6 (ρ ∈R)的距 离. （2）从极点O作射线，交直线ρ cos θ =3于点M， P为射线OM上的点，且|OM|·|OP|=12，若有且只 有一个点P在直线ρ sin θ -ρ cos θ =m上，求实 数m的值.
圆锥曲线的参数方程
x x1 a y y1 b
-5 5
(a,b) O1
P(x,y)
v(a,b)
显然当sin（ θ+ 小值，分别为
1 2 2
4
）=
1时，d 取最大值，最 ，2
2 1 。
1 例4: 已知A,B两点是椭圆 9 与坐标轴 正半轴的两个交点,在第一象限的椭圆弧上求一点P, 使四边形OAPB的面积最大. 小结： 借助参数方 x 3 cos 解 : 椭圆参数方程 程，可以将曲线上的 y 2 sin 设点P(3cos ,2sin ) 任意一点的坐标用三 SABC 面积一定, 需求 SABP 最大即可 角函数表示，利用三 角知识加以解决。 即求点P到线AB的距离最大值
圆锥曲线的参数方程
1.曲线的参数方程的概念
在取定的坐标系中，如果曲线上任意一 点的坐标 x, y 都是某个变数 t 的函数
x f (t ), y (t ),
(1)
并且对于t 的每一个允许值，由方程组 (1) 确定的点M( x, y )，都在这条曲线上， 那么方程组 (1) 就叫做这条曲线的参数 方程。
x＝bcot φ y2 x2 ( φ 为参数 ) 2－ 2＝1(a>0，b>0) a b y＝acsc φ
4、抛物线的参数方程
设抛物线的普通方程y 2 2 px y 因为点M在的终边上可得 t an x 2p x t an2 解出x, y，得到 (为参数） y 2 p t an
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新课标高中数学人教版A 版必修1第一章 集合与函数概念1.1集合 1.2函数及其表示 1.3函数的基本性质第二章 基本初等函数（Ⅰ）2.1指数函数 2.2对数函数 2.3幂函数第三章 函数的应用3.1函数与方程 3.2函数模型及其应用必修2第一章 空间几何体1.1空间几何体的结构 1.2 空间几何体的三视图和直观图 1.3 空间几何体的表面积与体积第二章 点、直线、平面之间的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 2.2直线、平面平行的判定及其性质2.3直线、平面垂直的判定及其性质第三章 直线与方程3.1直线的倾斜角与斜率 3.2直线的方程 3.3直线的交点坐标与距离公式第四章 圆与方程4.1圆的方程 4.2直线、圆的位置关系 4.3空间直角坐标系必修3第一章 算法初步1.1算法与程序框图 1.2基本算法语句 1.3算法案例第二章 统计2.1随机抽样 2.2用样本估计总体 2.3变量间的相关关系第三章 概率3.1随机事件的概率 3.2古典概型 3.3几何概型必修4第一章 三角函数1.1任意角和弧度制 1.2任意角的三角函数 1.3三角函数的诱导公式1.4三角函数的图象与性质 1.5函数sin()y A x ωϕ=+ 1.6三角函数模型的简单应用第二章 平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念 2.2平面向量的线性运算2.3平面向量的基本定理及坐标表示 2.4平面向量的数量积 2.5平面向量应用举例第三章 三角恒等变换3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.2简单的三角恒等变换必修5第一章 解三角形1.1正弦定理和余弦定理 1.2应用举例 1.3实习作业第二章 数列2.1数列的概念与简单表示法 2.2等差数列 2.3等差数列的前n 项和 2.4等比数列2.5等比数列前n 项和第三章 不等式3.1不等关系与不等式 3.2一元二次不等式及其解法3.3二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题 3.42a b +≤ 选修1-1第一章 常用逻辑用语1.1命题及其关系 1.2充分条件与必要条件 1.3简单的逻辑联结词 1.4全称量词与存在量词第二章 圆锥曲线与方程2.1椭圆 2.2双曲线 2.3抛物线第三章 导数及其应用3.1变化率与导数 3.2导数的计算 3.3导数在研究函数中的应用 3.4生活中的优化问题举例选修1-2第一章 统计案例1.1回归分析的基本思想及其初步应用 1.2独立性检验的基本思想及其初步应用第二章推理与证明2.1合情推理与演绎证明 2.2直接证明与间接证明第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充和复数的概念 3.2复数代数形式的四则运算第四章框图4.1流程图 4.2结构图选修2-1第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系 1.2充分条件与必要条件 1.3简单的逻辑联结词 1.4全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程 2.2椭圆 2.3双曲线 2.4抛物线第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算阅读与思考向量概念的推广与应用 3.2立体几何中的向量方法选修2-2第一章导数及其应用1.1变化率与导数 1.2导数的计算 1.3导数在研究函数中的应用 1.4生活中的优化问题举例1.5定积分的概念 1.6微积分基本定理 1.7定积分的简单应用第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理 2.2直接证明与间接证明 2.3数学归纳法第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充和复数的概念 3.2复数代数形式的四则运算选修2-3第一章计数原理1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理 1.2排列与组合 1.3二项式定理第二章随机变量及其分布2.1离散型随机变量及其分布列 2.2二项分布及其应用 2.3离散型随机变量的均值与方差2.4正态分布第三章统计案例3.1回归分析的基本思想及其初步应用 3.2独立性检验的基本思想及其初步应用选修3-1第一讲早期的算术与几何1.1古埃及的数学 1.2两河流域的数学 1.3丰富多彩的记数制度第二讲古希腊数学2.1希腊数学的先行者 2.2毕达哥拉斯学派 2.3欧几里得与《原本》 2.4数学之神──阿基米德第三讲中国古代数学瑰宝3.1《周髀算经》与赵爽弦图 3.2《九章算术》 3.3大衍求一术 3.4中国古代数学家第四讲平面解析几何的产生4.1坐标思想的早期萌芽 4.2笛卡儿坐标系 4.3费马的解析几何思想 4.4解析几何的进一步发展第五讲微积分的诞生5.1微积分产生的历史背景 5.2科学巨人牛顿的工作 5.3莱布尼茨的“微积分”第六讲近代数学两巨星6.1分析的化身──欧拉 6.2数学王子──高斯第七讲千古谜题7.1三次、四次方程求根公式的发现 7.2高次方程可解性问题的解决 7.3伽罗瓦与群论7.4古希腊三大几何问题的解决第八讲对无穷的深入思考8.1古代的无穷观念 8.2无穷集合论的创立 8.3集合论的进一步发展与完善第九讲中国现代数学的开拓与发展9.1中国现代数学发展概观 9.2人民的数学家──华罗庚 9.3当代几何大师──陈省身选修3-3第一讲从欧氏几何看球面1.1平面与球面的位置关系 1.2直线与球面的位置关系和球幂定理 1.3球面的对称性第二讲球面上的距离和角2.1球面上的距离 2.2球面上的角第三讲球面上的基本图形3.1极与赤道 3.2球面二角形 3.3球面三角形①球面三角形②三面角③对顶三角形④球极三角形第四讲球面三角形4.1球面三角形三边之间的关系 4.2球面“等腰”三角形4.3球面三角形的周长 4.4球面三角形的内角和第五讲 球面三角形的全等5.1“边边边”(..s s s )判定定理 5.2“边角边”(..s a s )判定定理5.3“角边角”(..a s a )判定定理 5.4“角角角”(..a a a )判定定理第六讲 球面多边形与欧拉公式6.1球面多边形及其内角和公式 6.2简单多面体的欧拉公式6.3用球面多边形的内角和公式证明欧拉公式第七讲 球面三角形的边角关系7.1球面上的正弦定理和余弦定理 7.2用向量方法证明球面上的余弦定理 ①向量的向量积 ②球面上余弦定理的向量证明7.3从球面上的正弦定理看球面与平面 7.4球面上余弦定理的应用──求地球上两城市间的距离第八讲 欧氏几何与非欧几何8.1平面几何与球面几何的比较 8.2欧氏平行公理与非欧几何模型──庞加莱模型8.3欧氏几何与非欧几何的意义选修3-4第一讲 平面图形的对称群1.1平面刚体运动①平面刚体运动的定义②平面刚体运动的性质 1.2对称变换①对称变换的定义②正多边形的对称变换③对称变换的合成④对称变换的性质⑤对称变换的逆变换1.3平面图形的对称群第二讲 代数学中的对称与抽象群的概念2.1n 元对称群n S 2.2多项式的对称变换 2.3抽象群的概念 ①群的一般概念 ②直积第三讲 对称与群的故事3.1带饰和面饰 3.2分子的对称群 3.3晶体的分类 3.4伽罗瓦理论选修4-1第一讲 相似三角形的判定及有关性质1.1平行线等分线段定理 1.2平行线分线段成比例定理1.3相似三角形的判定及性质 ①相似三角形的判定 ②相似三角形的性质 1.4直角三角形的射影定理第二讲 直线与圆的位置关系2.1圆周角定理 2.2圆内接四边形的性质与判定定理 2.3圆的切线的性质及判定定理2.4弦切角的性质 2.5与圆有关的比例线段第三讲 圆锥曲线性质的探讨3.1平行射影 3.2平面与圆柱面的截线 3.3平面与圆锥面的截线选修4-2第一讲 线性变换与二阶矩阵1.1线性变换与二阶矩阵 ①几类特殊线性变换及其二阶矩阵 ⑴旋转变换 ⑵反射变换 ⑶伸缩变换 ⑷投影变换 ⑸切变变换 ②变换、矩阵的相等 1.2二阶矩阵与平面向量的乘法1.3线性变换的基本性质①线性变换的基本性质 ②一些重要线性变换对单位正方形区域的作用第二讲 变换的复合与二阶矩阵的乘法2.1复合变换与二阶矩阵的乘法 2.2矩阵乘法的性质第三讲 逆变换与逆矩阵3.1逆变换与逆矩阵 ①逆变换与逆矩阵 ②逆矩阵的性质 3.2二阶行列式与逆矩阵3.3逆矩阵与二元一次方程组 ①二元一次方程组的矩阵形式 ②逆矩阵与二元一次方程组第四讲 变换的不变量与矩阵的特征向量4.1变换的不变量──矩阵的特征向量 ①特征值与特征向量 ②特征值与特征向量的计算4.2 特征向量的应用 ①n A 的简单表示 ②特征向量在实际问题中的应用选修4-4第一讲 坐标系1.1平面直角坐标系 1.2极坐标系 1.3简单曲线的极坐标方程 1.4柱坐标与球坐标简介第二讲 参数方程2.1曲线的参数方程 2.2圆锥曲线的参数方程 2.3直线的参数方程 2.4渐开线与摆线选修4-5第一讲 不等式和绝对值不等式1.1不等式 ①不等式的基本性质 ②基本不等式 ③三个正数的算术-几何平均不等式1.2绝对值不等式 ①绝对值三角不等式 ②绝对值不等式的解法第二讲 讲明不等式的基本方法2.1比较法 2.2综合法与分析法 2.3反证法与放缩法第三讲 柯西不等式与排序不等式3.1二维形式柯西不等式 3.2一般形式的柯西不等式 3.3排序不等式第四讲数学归纳法证明不等式4.1数学归纳法 4.2用数学归纳法证明不等式选修4-6第一讲整数的整除1.1整除①整除的概念和性质②带余除法③素数及其判别法1.2最大公因数与最小公倍数①最大公因数②最小公倍数 1.3算术基本定理第二讲同余与同余方程2.1同余①同余的概念②同余的性质 2.2剩余类及其运算 2.3费马小定理和欧拉定理2.4一次同余方程①一次同余方程②大衍求一术 2.5拉格朗日插值法和孙子定理 2.6弃九验算法第三讲一次不定方程3.1二元一次不定方程 3.2二元一次不定方程的特解 3.3多元一次不定方程第四讲数伦在密码中的应用4.1信息的加密与去密 4.2大数分解和公开密钥选修4-7第一讲优选法1.1什么叫优选法 1.2单峰函数 1.3黄金分割法——0.618法①黄金分割常数②黄金分割法——0.618法1.4分数法①分数法②分数法的最优性 1.5其他几种常用的优越法①对分法②盲人爬山法③分批试验法④多峰的情形 1.6多因素方法①纵横对折法和从好点出发法②平行线法③双因素盲人爬山法第二讲试验设计初步2.1正交试验设计法①正交表②正交试验设计③试验结果的分析④正交表的特性2.2正交试验的应用选修4-9第一讲风险与决策的基本概念1.1风险与决策的关系1.2风险与决策的基本概念①风险﹙平均损失﹚②平均收益③损益矩阵④风险型决策第二讲决策树方法第三讲风险型决策的敏感性分析第四讲马尔可夫型决策简介4.1马尔可夫链简介①马尔可夫性与马尔可夫链②转移概率与转移概率矩阵 4.2马尔可夫型决策简介 4.3长期准则下的马尔可夫型决策理论①马尔可夫链的平稳分布②平稳分布与马尔可夫型决策的长期准则③平稳准则的应用案例。
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新课标高中数学人教版A 版必修1第一章 集合与函数概念1.1集合 1.2函数及其表示 1.3函数的基本性质第二章 基本初等函数（Ⅰ）2.1指数函数 2.2对数函数 2.3幂函数 第三章 函数的应用必修2第一章 空间几何体1.1空间几何体的结构 1.2 空间几何体的三视图和直观图 1.3 空间几何体的表面积与体积第二章 点、直线、平面之间的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 2.2直线、平面平行的判定及其性质2.3直线、平面垂直的判定及其性质第三章 直线与方程3.1直线的倾斜角与斜率 3.2直线的方程 3.3直线的交点坐标与距离公式第四章 圆与方程4.1圆的方程 4.2直线、圆的位置关系 4.3空间直角坐标系必修3第一章 算法初步1.1算法与程序框图 1.2基本算法语句 1.3算法案例第二章 统计2.1随机抽样 2.2用样本估计总体 2.3变量间的相关关系第三章 概率3.1随机事件的概率 3.2古典概型 3.3几何概型必修4第一章 三角函数1.1任意角和弧度制 1.2任意角的三角函数 1.3三角函数的诱导公式1.4三角函数的图象与性质 1.5函数sin()y A x ωϕ=+ 1.6三角函数模型的简单应用第二章 平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念 2.2平面向量的线性运算2.3平面向量的基本定理及坐标表示 2.4平面向量的数量积 2.5平面向量应用举例第三章 三角恒等变换第一章 常用逻辑用语1.1命题及其关系 1.2充分条件与必要条件 1.3简单的逻辑联结词 1.4全称量词与存有量词第二章 圆锥曲线与方程2.1椭圆 2.2双曲线 2.3抛物线第三章 导数及其应用3.1变化率与导数 3.2导数的计算 3.3导数在研究函数中的应用 3.4生活中的优化问题举例 选修1-2第一章 统计案例1.1回归分析的基本思想及其初步应用 1.2独立性检验的基本思想及其初步应用第二章 推理与证明2.1合情推理与演绎证明 2.2直接证明与间接证明第三章 数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充和复数的概念 3.2复数代数形式的四则运算第四章 框图4.1流程图 4.2结构图选修2-1第一章 常用逻辑用语1.1命题及其关系 1.2充分条件与必要条件 1.3简单的逻辑联结词 1.4全称量词与存有量词第二章 圆锥曲线与方程2.1曲线与方程 2.2椭圆 2.3双曲线 2.4抛物线第三章 空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算 阅读与思考 向量概念的推广与应用 3.2立体几何中的向量方法选修2-2第一章 导数及其应用1.1变化率与导数 1.2导数的计算 1.3导数在研究函数中的应用 1.4生活中的优化问题举例1.5定积分的概念 1.6微积分基本定理 1.7定积分的简单应用第二章 推理与证明2.1合情推理与演绎推理 2.2直接证明与间接证明 2.3数学归纳法第三章 数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充和复数的概念 3.2复数代数形式的四则运算选修2-3第一章 计数原理1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理 1.2排列与组合 1.3二项式定理第二章 随机变量及其分布2.1离散型随机变量及其分布列 2.2二项分布及其应用 2.3离散型随机变量的均值与方差2.4正态分布第三章 统计案例3.1回归分析的基本思想及其初步应用 3.2独立性检验的基本思想及其初步应用选修3-1第一讲 早期的算术与几何1.1古埃及的数学 1.2两河流域的数学 1.3丰富多彩的记数制度第二讲 古希腊数学2.1希腊数学的先行者 2.2毕达哥拉斯学派 2.3欧几里得与《原本》 2.4数学之神──阿基米德 第三讲 中国古代数学瑰宝3.1《周髀算经》与赵爽弦图 3.2《九章算术》 3.3大衍求一术 3.4中国古代数学家第四讲 平面解析几何的产生4.1坐标思想的早期萌芽 4.2笛卡儿坐标系 4.3费马的解析几何思想 4.4解析几何的进一步发展 第五讲 微积分的诞生5.1微积分产生的历史背景 5.2科学巨人牛顿的工作 5.3莱布尼茨的“微积分”第六讲 近代数学两巨星6.1分析的化身──欧拉 6.2数学王子──高斯第七讲 千古谜题7.1三次、四次方程求根公式的发现 7.2高次方程可解性问题的解决 7.3伽罗瓦与群论7.4古希腊三大几何问题的解决第八讲 对无穷的深入思考8.1古代的无穷观点 8.2无穷集合论的创立 8.3集合论的进一步发展与完善第九讲 中国现代数学的开拓与发展9.1中国现代数学发展概观 9.2人民的数学家──华罗庚 9.3当代几何大师──陈省身 选修3-3第一讲 从欧氏几何看球面1.1平面与球面的位置关系 1.2直线与球面的位置关系和球幂定理 1.3球面的对称性第二讲 球面上的距离和角2.1球面上的距离 2.2球面上的角第三讲 球面上的基本图形3.1极与赤道 3.2球面二角形 3.3球面三角形 ①球面三角形 ②三面角 ③对顶三角形 ④球极三角形 第四讲 球面三角形4.1球面三角形三边之间的关系 4.2球面“等腰”三角形4.3球面三角形的周长 4.4球面三角形的内角和第五讲 球面三角形的全等5.1“边边边”(..s s s )判定定理 5.2“边角边”(..s a s )判定定理5.3“角边角”(..a s a )判定定理 5.4“角角角”(..a a a )判定定理第六讲 球面多边形与欧拉公式6.1球面多边形及其内角和公式 6.2简单多面体的欧拉公式6.3用球面多边形的内角和公式证明欧拉公式第七讲 球面三角形的边角关系7.1球面上的正弦定理和余弦定理 7.2用向量方法证明球面上的余弦定理 ①向量的向量积 ②球面上余弦定理的向量证明7.3从球面上的正弦定理看球面与平面 7.4球面上余弦定理的应用──求地球上两城市间的距离 第八讲 欧氏几何与非欧几何8.1平面几何与球面几何的比较 8.2欧氏平行公理与非欧几何模型──庞加莱模型8.3欧氏几何与非欧几何的意义选修3-4第一讲 平面图形的对称群1.1平面刚体运动①平面刚体运动的定义②平面刚体运动的性质 1.2对称变换①对称变换的定义②正多边形的对称变换③对称变换的合成④对称变换的性质⑤对称变换的逆变换1.3平面图形的对称群 第二讲 代数学中的对称与抽象群的概念2.1n 元对称群n S 2.2多项式的对称变换 2.3抽象群的概念 ①群的一般概念 ②直积 第三讲 对称与群的故事3.1带饰和面饰 3.2分子的对称群 3.3晶体的分类 3.4伽罗瓦理论选修4-1第一讲 相似三角形的判定及相关性质1.1平行线等分线段定理 1.2平行线分线段成比例定理1.3相似三角形的判定及性质 ①相似三角形的判定 ②相似三角形的性质 1.4直角三角形的射影定理 第二讲 直线与圆的位置关系2.1圆周角定理 2.2圆内接四边形的性质与判定定理 2.3圆的切线的性质及判定定理2.4弦切角的性质 2.5与圆相关的比例线段第三讲 圆锥曲线性质的探讨3.1平行射影 3.2平面与圆柱面的截线 3.3平面与圆锥面的截线选修4-2第一讲 线性变换与二阶矩阵1.1线性变换与二阶矩阵 ①几类特殊线性变换及其二阶矩阵 ⑴旋转变换 ⑵反射变换 ⑶伸缩变换 ⑷投影变换 ⑸切变变换 ②变换、矩阵的相等 1.2二阶矩阵与平面向量的乘法1.3线性变换的基本性质①线性变换的基本性质 ②一些重要线性变换对单位正方形区域的作用 第二讲 变换的复合与二阶矩阵的乘法2.1复合变换与二阶矩阵的乘法 2.2矩阵乘法的性质第三讲 逆变换与逆矩阵3.1逆变换与逆矩阵 ①逆变换与逆矩阵 ②逆矩阵的性质 3.2二阶行列式与逆矩阵3.3逆矩阵与二元一次方程组 ①二元一次方程组的矩阵形式 ②逆矩阵与二元一次方程组第四讲 变换的不变量与矩阵的特征向量4.1变换的不变量──矩阵的特征向量 ①特征值与特征向量 ②特征值与特征向量的计算4.2 特征向量的应用 ①n A 的简单表示 ②特征向量在实际问题中的应用选修4-4第一讲 坐标系1.1平面直角坐标系 1.2极坐标系 1.3简单曲线的极坐标方程 1.4柱坐标与球坐标简介 第二讲 参数方程2.1曲线的参数方程 2.2圆锥曲线的参数方程 2.3直线的参数方程 2.4渐开线与摆线 选修4-5第一讲 不等式和绝对值不等式1.1不等式 ①不等式的基本性质 ②基本不等式 ③三个正数的算术-几何平均不等式1.2绝对值不等式 ①绝对值三角不等式 ②绝对值不等式的解法第二讲 讲明不等式的基本方法2.1比较法 2.2综合法与分析法 2.3反证法与放缩法第三讲 柯西不等式与排序不等式3.1二维形式柯西不等式 3.2一般形式的柯西不等式 3.3排序不等式第四讲 数学归纳法证明不等式4.1数学归纳法 4.2用数学归纳法证明不等式选修4-6第一讲整数的整除1.1整除①整除的概念和性质②带余除法③素数及其判别法1.2最大公因数与最小公倍数①最大公因数②最小公倍数 1.3算术基本定理第二讲同余与同余方程2.1同余①同余的概念②同余的性质 2.2剩余类及其运算 2.3费马小定理和欧拉定理2.4一次同余方程①一次同余方程②大衍求一术 2.5拉格朗日插值法和孙子定理 2.6弃九验算法第三讲一次不定方程3.1二元一次不定方程 3.2二元一次不定方程的特解 3.3多元一次不定方程第四讲数伦在密码中的应用4.1信息的加密与去密 4.2大数分解和公开密钥选修4-7第一讲优选法1.1什么叫优选法 1.2单峰函数 1.3黄金分割法——0.618法①黄金分割常数②黄金分割法——0.618法 1.4分数法①分数法②分数法的最优性 1.5其他几种常用的优越法①对分法②盲人爬山法③分批试验法④多峰的情形 1.6多因素方法①纵横对折法和从好点出发法②平行线法③双因素盲人爬山法第二讲试验设计初步2.1正交试验设计法①正交表②正交试验设计③试验结果的分析④正交表的特性2.2正交试验的应用选修4-9第一讲风险与决策的基本概念1.1风险与决策的关系1.2风险与决策的基本概念①风险﹙平均损失﹚②平均收益③损益矩阵④风险型决策第二讲决策树方法第三讲风险型决策的敏感性分析第四讲马尔可夫型决策简介4.1马尔可夫链简介①马尔可夫性与马尔可夫链②转移概率与转移概率矩阵 4.2马尔可夫型决策简介 4.3长期准则下的马尔可夫型决策理论①马尔可夫链的平稳分布②平稳分布与马尔可夫型决策的长期准则③平稳准则的应用案例。
圆锥曲线的参数方程及其应用
圆锥曲线的参数方程及其应用李学友㊀刘㊀芳(湖北省荆门市第一中学㊀４４８０００)摘㊀要:对于一些曲线问题ꎬ特别是椭圆㊁双曲线与抛物线问题ꎬ有时用参数方程表示比用普通方程表示时来解决问题更方便ꎬ同时有助于学生进一步体会解决问题中数学方法的灵活多变.关键词:参数方程ꎻ椭圆ꎻ双曲线ꎻ抛物线ꎻ应用中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２０)２８－００３６－０２收稿日期:２０２０－０７－０５作者简介:李学友(１９７３.１－)ꎬ男ꎬ湖北省荆门人ꎬ本科ꎬ中学高级教师ꎬ从事高中数学教学研究.刘芳(１９７７.９－)ꎬ女ꎬ湖北省荆门人ꎬ本科ꎬ中学高级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程ꎬ是曲线在同一坐标系下的又一种表示形式.特别对于一些圆锥曲线问题时ꎬ用参数方程表示比用普通方程表示时来解决问题更方便ꎬ同时有助于学生进一步体会解决问题中数学方法的灵活多变.㊀㊀一㊁椭圆的参数方程椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)的参数方程:ｘ＝ａｃｏｓφｙ＝ｂｓｉｎφ{(ａ>ｂ>０ꎬφ为参数)ꎬ其中参数φ称为离心角.例１㊀在平面直角坐标系ｘＯｙ中ꎬ点Ｐ(ｘꎬｙ)是椭圆ｘ２３＋ｙ２＝１上的一个动点ꎬ求Ｓ＝ｘ＋ｙ的最大值.分析㊀通过把椭圆的直角坐标方程转化为相应的参数方程ꎬ结合对应的表达式转化为三角函数的最值问题再加以分析与求解.解析㊀因椭圆ｘ２３＋ｙ２＝１的参数方程为ｘ＝３ｃｏｓθｙ＝ｓｉｎθ{(θ为参数)ꎬ故可设动点Ｐ的坐标为(３ｃｏｓθꎬｓｉｎθ)ꎬ其中０ɤθ<２π.因此Ｓ＝ｘ＋ｙ＝３ｃｏｓθ＋ｓｉｎθ＝２(３２ｃｏｓθ＋１２ｓｉｎθ)＝２ｓｉｎ(θ＋π３)ꎬ所以当ｓｉｎ(θ＋π３)＝１ꎬ即θ＝π６时ꎬＳ取最大值２.点评㊀对于椭圆中的最值问题ꎬ通过参数方程表示比用普通方程表示更方便.特别利用参数方程来求解一些最值问题ꎬ是应用中的一大特点.㊀㊀二㊁双曲线的参数方程双曲线ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１(ａ>０ꎬｂ>０)的参数方程:ｘ＝ａ２(ｔ＋１ｔ)ｙ＝ｂ２(ｔ－１ｔ)ìîíïïïï(ａ>０ꎬｂ>０ꎬｔ为参数).例２㊀动点Ｐ(ｘꎬｙ)在双曲线ｘ２９－ｙ２１６＝１上运动ꎬ则ｘ－１２ｙ的取值范围是.分析㊀先把双曲线化为参数方程ꎬ将相应的代数式转化为参数ｔ的表达式ꎬ通过分类讨论ꎬ结合基本不等式确定取值范围问题.解析㊀由双曲线ｘ２９－ｙ２１６＝１得其对应的参数方程为ｘ＝３２(ｔ＋１ｔ)ｙ＝２(ｔ－１ｔ)ìîíïïïï(ｔ为参数).那么ｘ－１２ｙ＝３２(ｔ＋１ｔ)－１２(ｔ－１ｔ)＝ｔ２＋５２ｔ.当ｔ>０时ꎬ可知ｔ２＋５２ｔȡ２ｔ２ ５２ｔ＝５ꎻ当ｔ<０时ꎬ可知－ｔ２－５２ｔȡ２(－ｔ２) (－５２ｔ)＝５ꎬ故ｔ２＋５２ｔɤ－５.综上可知ｘ－１２ｙ的取值范围是(－ɕꎬ－５]ɣ[５ꎬ＋ɕ).故填答案:(－ɕꎬ－５]ɣ[５ꎬ＋ɕ).点评㊀对于双曲线中的代数式取值范围问题ꎬ通过参数方程表示比用普通方程表示更直观ꎬ结合参数的转化功能ꎬ巧妙利用基本不等式来解决有关的取值范围或最值问题ꎬ达到非常好的效果.６３㊀㊀三㊁抛物线的参数方程抛物线ｙ２＝２ｐｘ(ｐ>０)的参数方程:ｘ＝２ｐｔ２ｙ＝２ｐｔ{(ｔ为参数)ꎬ其中参数ｔ的几何意义是抛物线上的点与抛物线的顶点连线的斜率的倒数.例３㊀过抛物线Ｃ:ｙ２＝２ｐｘ(ｐ>０)的顶点作两条互相垂直的弦ＯＡ㊁ＯＢꎬ求线段ＡＢ中点Ｍ的轨迹方程.分析㊀先把抛物线化为参数方程ꎬ设出点Ａ㊁Ｂ的坐标ꎬ利用弦ＯＡ㊁ＯＢ垂直建立相应参数的关系式ꎬ结合中点公式消去相应的参数求得对应的轨迹方程.解析㊀设抛物线Ｃ的参数方程为ｘ＝２ｐｔ２ｙ＝２ｐｔ{(ｔ为参数)ꎬ且设Ａ(２ｐｔ１２ꎬ２ｐｔ１)ꎬＢ(２ｐｔ２２ꎬ２ｐｔ２)ꎬ那么线段ＡＢ中点Ｍ(ｐｔ１２＋ｐｔ２２ꎬｐｔ１＋ｐｔ２).由于弦ＯＡ㊁ＯＢ互相垂直ꎬ则有ｋＯＡ ｋＯＢ＝２ｐｔ１２ｐｔ２１ ２ｐｔ２２ｐｔ２２＝１ｔ１ｔ２＝－１ꎬ即ｔ１ｔ２＝－１.设Ｍ(ｘꎬｙ)ꎬ则有ｘ＝ｐ(ｔ２１＋ｔ２２)ꎬｙ＝ｐ(ｔ１＋ｔ２).{由ｙ＝ｐ(ｔ１＋ｔ２)两边平方ꎬ根据ｘ＝ｐ(ｔ１２＋ｐ２２)和ｔ１ｔ２＝－１消去参数整理可得:ｙ２＝ｐｘ－２ｐ２.点评㊀对于抛物线中的轨迹问题ꎬ通过参数方程表示比用普通方程表示解决起来更简单快捷ꎬ可以直接利用参数坐标建立相应的关系式加以分析与应用.利用参数方程来解决圆锥曲线问题是一种很好的数学方法ꎬ特别对于有些难以下手的问题ꎬ若用参数方程去解决的话ꎬ往往能化繁为简ꎬ迎刃而解ꎬ起到事半功倍的效果.既能锻炼学生的逻辑思维ꎬ拓宽解题思路ꎬ培养学生一题多解的能力ꎬ又能激发他们的潜能ꎬ潜移默化他们的数学思想ꎬ提高他们的学习积极性和主动探索实践的能力.㊀㊀参考文献:[１]张全军.圆锥曲线性质中的问题分析[Ｊ].高中数理化ꎬ２０１６(０４):１０.[２]薛存义.圆锥曲线离心率的解题策略[Ｊ].新课程(中学)ꎬ２０１４(０９):１９３.[３]林国红.同心圆锥曲线中两个定值命题的证明[Ｊ].中学数学研究(华南师范大学版)ꎬ２０１９(２３):２７－２９.[４]陈婷婷.对一道圆锥曲线考题的解析突破与教学探讨 以２０１９年江苏高考圆锥曲线题为例[Ｊ].数学教学通讯ꎬ２０１９(３３):４１－４２＋７３.[责任编辑:李㊀璟]解析数学建模在高中数学解题中的应用曹彩霞(江苏省海门市四甲中学㊀２２６１００)摘㊀要:数学建模是用数学知识解决实际问题的具体体现.高中数学教学中ꎬ提升学生的数学建模能力ꎬ不仅有助于学生深化对数学模型的理解ꎬ而且还能很好地提高其解题能力ꎬ因此ꎬ授课中应注重数学建模应用讲解ꎬ提升学生的建模与数学模型应用能力.关键词:高中数学ꎻ数学建模ꎻ解题ꎻ应用中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２０)２８－００３７－０２收稿日期:２０２０－０７－０５作者简介:曹彩霞(１９８１.１０－)ꎬ女ꎬ江苏省海门人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀一㊁认真审题ꎬ构建函数模型学生对函数模型并不陌生ꎬ在初中阶段已有所了解.高中数学涉及的函数模型更为深入ꎬ难度更大ꎬ授课中应注重该种模型的应用讲解.一方面ꎬ构建函数模型的关键在于找到自变量和因变量之间的关系ꎻ另一方面ꎬ为学生讲解常见函数模型解答方法.例１㊀有一片树林现有木材储蓄量为７１００ｍ３ꎬ要力争是木材储蓄量２０年后翻两番ꎬ已达到２８４００ｍ３.(１)求平均每年木材储蓄量的增长率.(２)如果平均每年增长率为８％ꎬ几年可以翻两番?认真分析可知ꎬ解答该题目需要用到指数函数模型.对于(１)可设年增长率为ｘꎬ根据题意可构建如下模型:７１００(１＋ｘ)２０＝２８４００ꎬ即(１＋ｘ)２０＝４ꎬ由对数知识可知ꎬ２０ｌｇ(１＋ｘ)＝２ｌｇ２ꎬ即ｌｇ(１＋ｘ)ʈ０.０３０１ꎬʑｘ＋１ʈ１.０７２ꎬ所以ｘʈ０.０７２＝７.２％.(２)设ｙ年可以翻两番ꎬ则构建模型为:７１００(１＋０.０８)ｙ＝２８４００ꎬ解得ｙʈ１８.０２ꎬ即十八年后可以翻两番.通过该题目的讲解使学生认识到ꎬ构建函数模型要认真审题ꎬ找到关键字构建对应数据模型.㊀㊀二㊁把握特点ꎬ构建数列模型数列模型是高中数学中较为常见的模型ꎬ包括等差７３。
圆锥曲线的参数方程和直角坐标方程
1）椭圆参数方程：X=acosθ Y=bsinθ (θ为参数 )直角坐标（中心为原点）：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 2）双曲线参数方程：x=X+asecθ y=Y+btanθ (θ为参数 )直角坐标（中心为原点）：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 (开口方向为x轴） y^2/a^2 - x^2/b^2 = 1 (开口方向为y轴）3）抛物线参数方程：x=2pt^2 y=2pt (t为参数)直角坐标：y=ax^2+bx+c (开口方向为y轴, a<>0 ）x=ay^2+by+c （开口方向为x轴, a<>0 )圆锥曲线（二次非圆曲线）的统一极坐标方程为ρ=ep/(1-e×cosθ)其中e表示离心率，p为焦点到准线的距离。
焦点到最近的准线的距离等于ex±a。
圆锥曲线的焦半径（焦点在x轴上，F1 F2为左右焦点，P（x，y），长半轴长为a）椭圆：椭圆上任一点和焦点的连线段的长称为焦半径。
|PF1|=a+ex |PF2|=a-ex双曲线：P在左支，|PF1|=－a-ex |PF2|=a-exP在右支，|PF1|=a+ex |PF2|=－a+exP在下支，|PF1|= －a-ey |PF2|=a-eyP在上支，|PF1|= a+ey |PF2|=－a+ey圆锥曲线的切线方程：圆锥曲线上一点P（x0,y0）的切线方程以x0x代替x^2,以y0y代替y^2;以(x0+x)/2代替x,以(y0+y)/2代替y^2即椭圆:x0x/a^2+y0y/b^2=1;双曲线：x0x/a^2+y0y/b^2=1；抛物线:y0y=p(x0+x)圆锥曲线中求点的轨迹方程。
高中数学第二章参数方程2.2圆的参数方程2.3椭圆的参数方程2.4双曲线的参数方程课件北师大版选修4_4
圆 ， 则 圆 心 (1 ， 3 ) 到 直 线 x ＋ 3 y － 2 ＝ 0 的 距 离 为
|1＋ 3× 12＋
33－2 2|＝1，故直线和圆相切．
(2)设圆上的点 P(1＋cos θ， 3＋sin θ)(0≤θ<2π)．
|OP|＝ 1＋cos θ2＋ 3＋sin θ2＝ 当 θ＝43π时，|OP|min＝1.
的参数方程为xy＝＝23scions
φ， φ
(φ 为参数)，
设 P(x，y)是椭圆上在第一象限内的一点，
则 P 点的坐标是 P(3cos φ，2sin φ)，
内接矩形面积为
S＝4xy＝4×3cos φ·2sin φ＝12sin 2φ.
当 sin 2φ＝1，即 φ＝45°时，面积 S 有最大值 12，
这时 x＝3cos 45°＝322，y＝2sin 45°＝ 2.
故面积最大的内接矩形的长为 3 2，宽为 2 2，最大面积为
12.
与椭圆上的动点 M 有关的最值、定值、轨迹等 问题一般利用其参数方程求解．
2．在平面直角坐标系 xOy 中 ，设 P(x，y)是椭圆x32＋y2＝1 上一个动点，求 x＋y 的最大值． 解：椭圆方程x32＋y2＝1 的参数方程为xy＝＝sin3cθos θ， (θ 为参数)． 设椭圆上任一点 P( 3cos θ，sin θ)， 则 x＋y＝ 3cos θ＋sin θ＝2sinθ＋π3. ∵sinθ＋π3∈[－1,1]， ∴当 sinθ＋π3＝1 时，x＋y 取最大值 2.
x＝rcos α， OM＝OPcos α，MP＝OPsin α，即 y＝rsin α (α 为参
数)．这就是圆心在原点、半径为 r 的圆的参数方程．参数
α 的几何意义是 OP 与 x 轴正方向的夹角．
第二讲参数方程2.2圆锥曲线的参数方程导学案
2.2圆锥曲线的参数方程【知识链接】将下列参数方程化成普通方程1、)(sin cos 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==b y a x 2、)(sin cos 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==a y b x【学习过程】（一）椭圆的参数方程 1、焦点在x 轴: )(sin cos 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==b y a x 2、焦点在y 轴:)(sin cos 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==a y b x （二）双曲线的参数方程1双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的参数方程___________________________注：（1）ϕ的范围____________________ （2）ϕ的几何意义___________________________2双曲线)0,0(12222>>=-b a bx a y 的参数方程___________________________(三)抛物线的参数方程抛物线)0(22>=p px y 的参数方程___________________________ (四)典型例题例1．参数方程与普通方程互化 1把下列普通方程化为参数方程.(1)19422=+y x (2)11622=+y x2把下列参数方程化为普通方程(1) )(sin 5cos 3为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==y x (2))(sin 10cos 8为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==y x练习：已知椭圆的参数方程为 ( 是参数) ，则此椭圆的长轴长为______，短轴长为_______，焦点坐标是________，离心率是_________。
例2、在椭圆8822=+y x 上求一点P ，使P 到直线l ：04=+-y x 的距离最小.【达标检测】 ( )____________________),(,0cos 3sin 2cos 42222方程为那么圆心的轨迹的普通为参数、已知圆的方程为θθθθ=+--+y x y x2cos sin x y θθθ=⎧⎨=⎩)2,0(),3,1(),0,3(),3,2()sin 2,cos 3(1πθθθ、点、点、点、点所确定的曲线必过变化时，动点、当参数D C B A P 方程。
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x
y
3sec tan
(为参数)的渐近线方程
例2、如图，设M
为双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b 0)任意一点，O为原点，
过点M 作双曲线两渐近线的平行线，分别与两渐近线交于A，B两点。
探求平行四边形MAOB的面积，由此可以发现什么结论？
解：双曲线的渐近线方程为：y b x.
①
A
M
O B
x
a
所以MAOB的面积为
S YMAOB
=|OA|•|OB|sin2
=
xA
cos
•
xB
cos
sin2
=
a2(sec2 -tan2 4cos2
)
•
sin2
=
a2 2
•
tan
a2 2
•
b a
ab . 2
由此可见，平行四边形MAOB的面积恒为定值，与点M在双曲线上的位置无关。
(2 pt12 ,2 pt1),(2 pt22 ,2 pt2 )(t1 t2 ,且t1 t2 0)则
OM (x, y),OA (2 pt12 ,2 pt1),OB (2 pt22 ,2 pt2 )
AB (2 p(t22 t12 ),2 p(t2 t1))
已知圆的方程为x2 y2 4x cos 2 y sin 3cos2 0, (为参数)，那么圆心的轨迹的普通
方程为 ____________________
解：方程x2 y2 4x cos 2 y sin 3cos2 0 可以化为(x 2 cos )2 ( y sin )2 1 所以圆心的参数方程为{x 2 cos (为参数)
y
分析1：设P( 8 8y2 , y),
则d | 8 8y2 y 4 | 2
分析2：设P(2 2 cos ,sin),
O
x
P
则d | 2 2 cos sin 4 | 2
分小析结3：：平借移助直椭线圆l的至参首数次方与程椭，圆可相以切将，椭切圆点上即的为任所意求一.
3、抛物线的参数方程
y
M(x,y)
o
x
• 抛物线的参数方程
y
M(x，y)
设M（x,y）为抛物线上除顶点外的任意一点，
以射线OM为终边的角记作。
因为点M（x,y）在的终边上，根据三角函数定义o 可得
y x
H tan.
x
解又如出设果x抛设,y物t得=线到ta普1抛n通物,方t线程（(-为不y,包20=)括2Up顶(x0.点,+）)的,则参有数方程：xy=tta2an2pn2p
定义有
x OA cos a cos
y OB sin b sin
当半径OA绕点O旋转一周时，就得到了点M 的轨迹，它的参数方程是
x {
a
c
os
(为参数)
y b sin
这是中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆。
在椭圆的参数方程中，通常规定参数的 范围是 [0,2 )
x {
y
1
a 1
x 则椭圆的方程x2
y
a2
y2 b2
1可以变成
b
x2＋y2 1.利用圆的参数方程
x {
c
os
(为参数)可以得到椭圆的参数
y sin
方程为{x a cos y b sin
1 .参数方程
x y
ab scions是椭圆的参
两点M1，M 2所对应的参数分别是t1,t2,则弦
M
1M
所在直线的斜率是
2
(
c
)
A、t1 t2 ,
B、t1 t2
C、 1 , t1 t2
D、 1 t1 t2
解：由于M
1
,
M
两点对应的参数方程分
2
别是t1和t2，则可得点M
1和M
的坐标分别为
2
M1(2 pt12 ,2 pt1 ), M 2 (2 pt22 ,2 pt2 )
小结：
圆的参数方程： xy
r r
cos（
sin
为参数）
（以原点为圆心，r为半径， 为旋
转角）
小结：
椭圆的参数方程：xy
a b
cos sin
（ 为参数） a b 0 表明 2a, 2b
分别是椭圆的长轴长与短轴长，
x 且焦点在 轴上，参数是椭圆
的离心角，不是旋转角，由例１
y sin
化为普通方程是x2 y2 1 4
例1 在椭圆 x2 y2 1 上求一点M， 94
使点M到直线x＋2y－10＝0的距离最小，
并求出最小距离.
y
M(9 ,8) 55
M
O
x
最小值为 5
例2、如图，在椭圆x2+8y2=8上求一点P，使P到直线
l：x-y+4=0的距离最小.
a 不妨设M为双曲线右支上一点，其坐标为（asec,btan）,
y
则直线MA的方程为：y b tan b (x a sec).
将y=
b
a x代入①，解得点A的横坐标为
同设理A可aOx得=，,x点 则A =Bta2（ 的 ans横 ec坐b标.为taxnB=）a2（. sec tan）.
(为参数)
通常规定 [o,2 )且
，
3
。
b
22
说明：
o B A' x
⑴ 这里参数 叫做双曲线的离心角与直线OM的倾斜角不同.
⑵se双c2曲线的1参t数an方2 程相可比以较由而方得程到，ax22所以by22双曲1与线三的角参恒数等方式程
的实质是三角代换.
1.双曲线 为_____.
kM1M 2
2 pt1 2 pt12
2 pt2 2 pt22
1 t1 t2
例3、如图O是直角坐标原点，A, B是抛物线 y2 2 px( p 0)上异于顶点的两动点，且 OA OB,OM AB并于AB相交于点M，求点 M的B
解：根据条件，设点M , A, B的坐标分别为(x, y)
可以可看出，利用椭圆的参数方 程解最值问题会比较简单．
二、圆锥曲线的参数方程
2、双曲线的参数方程
双曲线的参数方程
设M (x, y)
y
a
B'
A
•M
在OAA'中，x
| OA' | | OA | b b sec,
cos cos
b
o B A' x
在OBB '中，y | BB ' || OB | tan b tan.
y2 25
1
(4)
x 8 cos
y
10 sin
(4)
x2 64
y2 100
1
练习2：已知椭圆的参数方程为
x 2cos
y
sin
(
是
参数) ，则此椭圆的长轴长为（ 4 ），短轴长为
（ 2 ），焦点坐标是（( 3 , 0)），离心率是
（ 3 ）。 2
练习3：
分析：点M的横坐标与点A的横坐标相同,
点M的纵坐标与点B的纵坐标相同. y
而A、B的坐标可以通过 引进参数建立联系.
A
B
M
设∠XOA=φ
O
Nx
y
A
M
B
o
x
设以ox为始边，OA为终边的角，点M的坐标
是(x, y)，那么点A的横坐标为x,点B的纵坐标为
y，由点A, B均在角的终边上，由三角函数的
大值和最小值
94
最大值6 2,最小值 6 2.
2、θ取一切实数时，连接A(4sinθ,6cosθ)和B(-4cosθ,
6sinθ)两点的线段的中点轨迹是 B
.
A. 圆 B. 椭圆
设中点M (x, y)
x2 y2 1 8 18
C. 直线
D. 线段
x=2sinθ-2cosθ
y=3cosθ+3sinθ
x=2pt2 ,
y
2pt.
(t为参数，t
R)
o
Hx
其中参数t=
1
tan
(
0),当
=0时，t=0.
几何意义为： 抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数。
即P(x,y)为抛物线上任意一点,则有t=
x y
.
1、若曲线x 2 pt2 (t为参数)上异于原点的不同 y 2 pt
O
A x
【练习1】把下列普通方程化为参数方程.
(1)
x2 y2 1 49
(2)
x2 y2 1 16
(1)
x 2 cos y 3sin
(2)
x cos y 4 sin
把下列参数方程化为普通方程
(3)
x 3cos
y
5
sin
(3)
x2 9
, .
(
为参数)
x=2pt2 ,
y
2pt.
(t为参数)
思考：参数t的几何意义是什么?