2016届《创新设计》人教A版高考数学(文)大一轮复习课件 选修4-4 选修 第2讲参数方程

第2讲 参数方程
最新考纲 1.了解参数方程，了解参数的意义；2.能选择适当 的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程；3.掌握直线的参数方
程及参数的几何意义，能用直线的参数方程解决简单的相关问
题．
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考点突破
知识梳理
1．曲线的参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中，如果曲线上任意一点的坐标 x， y 都是某个变量 t
的参数方程为________．
解析 由 ρ＝2cos θ 知，ρ2＝2ρcos θ 所以 x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1，
x＝1＋cos 故其参数方程为 y＝sin θ
θ，
(θ 为参数)．
答案
x＝1＋cos y＝sin θ
θ，
(θ 为参数)
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考点突破
考点一
基础诊断 考点突破
考点二
直线与圆参数方程的应用
【 例 2 】 在 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 直 线 l 的 参 数 方 程 为 2 x＝3－ 2 t， y＝ 5＋ 2t 2
(t 为参数)．在极坐标系(与直角坐标系 xOy
取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为 极轴)中，圆 C 的方程为 ρ＝2 5sin θ. (1)求圆 C 的直角坐标方程； (2)设圆 C 与直线 l 交于点 A，B，若点 P 的坐标为(3， 5)， 求|PA|＋|PB|.
x＝ft， 的函数 y＝gt.
并且对于t的每一个允许值上式所确定的点M(x，y)都在这条 参数方程 ，其中变量 t 称为 曲线上，则称上式为该曲线的 _________ 参数 ． _____
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2．一些常见曲线的参数方程 (1) 过点 P0(x0 ， y0) ，且倾斜角为 α 的直线的参数方程为
π t， － 1 x＝1＋ 6 故直线 AM 的参数方程为 (t 为参数)． 3 π y＝ t 6 规律方法 涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般
方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要 结合题目本身特点，确定选择何种方程．
基础诊断 考点突破
【训练 3】 (2013· 福建卷)在平面直角坐标系中，以坐标原点为 极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点 A 的极坐
线 l 被圆 C 所截得的弦长．
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考点突破
解
x＝1＋t， 由 y＝4－2t
消参数后得普通方程为 2x＋y－6＝0， 消参数后得普通方程为(x－2)2＋y2＝4，显
x＝2cos θ＋2， 由 y＝2sin θ
然圆心坐标为(2,0)，半径为 2.由于圆心到直线 2x＋y－6＝0 的 |2×2＋0－6| 2 5 距离为 d＝ ＝ 5 ， 2 2 2 ＋1 所以所求弦长为 2 2
2
2 5 2 8 5 － ＝ 5 . 5
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考点三
极坐标、参数方程的综合应用
x＝cos θ， C： y＝sin θ
【例 3】 已知 P 为半圆
(θ 为参数，0≤θ≤π)
上的点，点 A 的坐标为(1,0)，O 为坐标原点，点 M 在射线 π OP 上，线段 OM 与 C 的弧AP 的长度均为3.
(t 为参
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考点突破
诊 断 自 测
1．极坐标方程 ρ＝cos θ
x＝－1－t， 和参数方程 y＝2＋t
(t 为参数)所
表示的图形分别是________． ①直线、直线；②直线、圆；③圆、圆；④圆、直线． x x 解析 ∵ρcos θ＝x，∴cos θ＝ρ代入到 ρ＝cos θ，得 ρ＝ρ，
︵
(1)以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 求点 M 的极坐标； (2)求直线 AM 的参数方程．
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解 M
π π (1)由已知，点 M 的极角为3，且点 M 的极径等于3，故点
π π 的极坐标为3，3. π 的直角坐标为 6，
(2)点 M
3π ，A(1,0)． 6
(θ 为参数)．
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acos θ x＝______ x2 y2 (3)椭圆方程a2＋b2＝1(a＞b＞0)的参数方程为 (θ 为 b sin θ y＝______
参数)． (4)抛物线方程 数)．
2 2 pt x ＝ ______ y2＝2px(p＞0)的参数方程为 2pt y＝______
x0＋tcos α x＝_____________ y0＋tsin α y＝_____________
(t 为参数)．
(2) 圆 的 方 程 (x － a)2 ＋ (y － b)2 ＝ r2 的 参 数 方 程 为
a＋rcos θ x＝_________ b＋rsin θ y＝_________
x＝x0＋tcos α， 标准形式为 y＝y0＋tsin α
的点 P 到点 P0(x0，y0)的数量，即 t＝|PP0|时为距离．使用该式 时直线上任意两点 P1、P2 对应的参数分别为 t1、t2，则|P1P2|＝ 1 |t1－t2|，P1P2 的中点对应的参数为2(t1＋t2)．
x＝x0＋at， (2)对于形如 y＝y0＋bt
(t 为参数)，当 a2＋b2≠1 时，应先化
为标准形式后才能利用 t 的几何意义解题．
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【训练 2】 已知直线 l
x＝1＋t， 的参数方程为 y＝4－2t
(参数 t∈R)，
圆C
x＝2cos θ＋2， 的参数方程为 y＝2sin θ
(参数 θ∈[0,2π] )，求直
的交点个数为________．
解析 直线方程可化为 x＋y－1＝0，曲线方程可化为 x2＋ 1 2 y ＝9，圆心(0,0)到直线 x＋y－1＝0 的距离 d＝ ＝ 2 ＜3. 2
2
∴直线与圆相交有两个交点．
答案 2
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4．直线
x＝1－ l： y＝2＋
2t， (t 为参数)上到点 A(1,2)的距离为 4 2 2t
参数方程与普通方程的互化
【例 1】 把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什 么曲线： 1 x＝1＋2t， (1) y＝2＋ 3t 2 1 x＝t＋ t ， (3) y＝1－t t
2 x ＝ 1 ＋ t ， 为参数)；(2) y＝2＋t
(t
(t 为参数)；
基础诊断 考点突破
① ②
规律方法
参数方程化为普通方程：化参数方程为普通方程的
基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消
去法、恒等式 ( 三角的或代数的 ) 消去法，不要忘了参数的范
围．
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考点突破
【训练 1】 将下列参数方程化为普通方程．
x＝1－sin 2θ， (1) y＝sin θ＋cos θ
∴ρ2＝x，∴x2＋y2＝x ＋y＝1，表示直线． 答案 ④
基础诊断 考点突破
x＝－1－t， 表示圆．又∵ y＝2＋t，
相加得 x
x＝1－2t， 2．若直线 y＝2＋3t
(t 为实数)与直线 4x＋ky＝1 垂直，则常
数 k＝________.
解析
x＝1－2t， 参数方程 y＝2＋3t，
由于 Δ＝(－3 2)2－4×4＝2＞0，故可设 t1，t2 是上述方程的两 实根，
t1＋t2＝3 所以 t2＝4. t1·
2，
又直线 l 过点 P(3， 5)， 故由上式及 t 的几何意义得|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝t1＋t2＝3 2.
基础诊断 考点突破
规律方法
(1)过定点 P0(x0， y0 ) ， 倾斜角为 α 的直线参数方程的 (t 为参数)， t 的几何意义是直线上
标为
π 2，4，直线 l 的极坐标方程为 A 在直线 l(1)求 a 的值及直线 l 的直角坐标方程； (2)圆 C
x＝1＋cos 的参数方程为 y＝sin α
α，
(α 为参数)， 试判断直
线 l 与圆 C 的位置关系．
(t 为参数)．
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解
1 (1)由 x＝1＋2t 得 t＝2x－2.
3 ∴y＝2＋ 2 (2x－2)． ∴ 3x－y＋2－ 3＝0，此方程表示直线． (2)由 y＝2＋t 得 t＝y－2，∴x＝1＋(y－2)2. 即(y－2)2＝x－1，此方程表示抛物线． 1 x ＝t ＋ t (3) y＝1－t t ∴①2－②2 得 x2－y2＝4，此方程表示双曲线．
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的点的坐标为________．
解析 设点 Q(x，y)为直线上的点， 则|QA|＝ 1－1＋ 2t2＋2－2－ 2t2 ＝ 2t2＋－ 2t2＝4 2， 解之得，t＝± 2 2，所以 Q(－3,6)或 Q(5，－2)．
答案 (－3,6)或(5，－2)
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5．(2013·广东卷)已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos θ，以极 点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C
基础诊断 考点突破
解
(1)由点
A
π π 2，4在直线 ρcosθ－4＝a 上，可得 a＝ 2.
所以直线 l 的方程可化为 ρcos θ＋ρsin θ＝2， 从而直线 l 的直角坐标方程为 x＋y－2＝0. (2)由已知得圆 C 的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1， 所以圆 C 的圆心为(1,0)，半径 r＝1， 1 2 因为圆心 C 到直线 l 的距离 d＝ ＝ 2 <1， 2 所以直线 l 与圆 C 相交.
基础诊断 考点突破
解
(1)由 ρ＝2 5sin θ，得 ρ2＝2 5ρsin θ.