大学物理07第七章

第七章 静电场中的导体和电介质

一、基本要求

1．掌握导体静电平衡的条件及静电平衡时导体电荷的分布规律； 2．学会计算电容器的电容；

3．了解介质的极化现象及其微观解释； 4．了解各向同性介质中D 和E 的关系和区别； 5．了解介质中电场的高斯定理； 6．理解电场能量密度的概念。

二、基本内容

1．导体静电平衡

（1）静电平衡条件：导体任一点的电场强度为零

（2）导体处于静电平衡时：①导体是等势体，其表面是等势面；②导体表面的场强垂直于导体表面。

（3）导体处于静电平衡时，导体内部处处没有净电荷存在，电荷只能分布在导体的表面上。

2．电容

（1）孤立导体的电容 q C V

=

电容的物理意义是使导体电势升高单位电势所需的电量。电容是导体的重要属性之一，它反映导体本身具有储存电荷和储存电能的能力。它的大小仅由导体的几何形状、大小和周围介质决定，与导体是否带电无关。 （2）电容器的电容

B

A V V q C -=

q

为构成电容器两极板上所带等量异号电荷的绝对值。B A V V -为A 、B 两极间电

势差。电容器电容与电容器形状、大小及两极间介质有关，与电容器是否带电无关。 （3）电容器的串并联

串联的特点：各电容器的极板上所带电量相等，总电势差为各电容器上电势差之和。等效电容由

1

2

1111n

C C C C =+++

进行计算。

并联的特点：电容器两极板间的电势差相等，不同电容器的电量不等，电容大者电量多。等效电容为12n C C C C =+++ 。 （4）计算电容的一般步骤

①设两极带电分别为q +和q -，由电荷分布求出两极间电场分布。 ②由B A B A

V V d -=

⋅⎰

E l 求两极板间的电势差。

③根据电容定义求B

A V V q C -=

3．电位移矢量D

人为引入的辅助物理量，定义0ε=+D E P ，D 既与E 有关，又与P 有关。说明D 不是单纯描述电场，也不是单纯描述电介质的极化，而是同时描述场和电介质的。定义式无论对各向同性介质，还是各向异性介质都适用。

对于各向同性电介质，因为0e χε=P E ，所以0r εεε==D E E 。 4．D ，E ，P 之间的关系

0ε=+D E P

对各向同性电介质ε=D E 。D 的高斯定理：i d q ⋅=∑⎰⎰ D S

D

线起于正自由电荷，止于负自由电荷。

5．电场能量

12

e ω=

⋅D E

1

2e e V

V

W dV dV ω=

=

⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰D E

三、习题选解

7-1 如图所示，在一不带电的金属球旁有一点电荷q +，金属球半径为R ，已知q +与金属球心间距离为r 。试求：（1）金属球上感应电荷在球心处产生的电场强度E 及此时球心处的电势V ；（2）若将金属球接地，球上的净电荷为多少？

题7-1图

解：（1）由于导体内部的电场强度为零，金属球上感应的电荷在球心处产生的电场强度E 与点电荷q +在球心处产生的电场强度'E 大小相等，方向相反。

2

04r

q E E πε=

'= E 的方向由O 指向q +

点电荷q +在球心处的电势为

r

q V q 04πε=

金属球表面感应电荷在球心的电势为R V ，由于球表面感应电荷量总和为零，

⎰⎰==

=

s

s

R dq

R

R dq V 041400

πεπε

故球心电势为q V 和R V 的代数和

r

q V V V R q 04πε=

+=

（2）若将金属球接地，金属球是一个等势体，球心的电势0=V 。设球上净电荷为q '。球面上的电荷在球心处的电势为

⎰⎰'=

=

=

s

s

R R

q dq R R

dq

V 000

4414πεπεπε

点电荷q +在球心的电势为 r

q V q 04πε=

由电势叠加原理 0=+=q R V V V

q

R V V -=

r q R

q 0044πεπε-

='

q

r

R q -

='

7-2 如图所示，把一块原来不带电的金属板

B

移近一块已带有正电荷Q +的金属板A ，平行放置。

设两板面积都是S ，板间距是d ，忽略边缘效应。求：

（1）B 板不接地时，两板间的电势差； （2）B 板接地时，两板间电势差。

Q

σ12σ34

题7-2图

解：（1）如图，设A 、B 两金属板各表面的面电荷密度分别为1σ、2σ、3σ、4σ。由静电平衡条件可知

⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧=-++=---02222022220403020

10403020

1

εσεσεσεσεσεσεσεσ 解得 ⎩⎨⎧-==32

4

1σσσσ

又 430σσ+= Q S S =+21σσ 故 1242Q S

σσσ===

32Q S

σ=-

两板间为匀强电场，电场强度