2017年秋季新版北师大版九年级数学上学期4.3、相似多边形素材1

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北师大版初三数学上册4.3 相似多边形

相似比的理解
A
F
B
E
A1 F1
B1
E1
C
D
C1 D1
六边形ABCDEF与六边形A1B1C1D1E1F1
的相似比为 k1= 2 : 1，
对应边 AB：A1B1= 2 : 1 。
相似比的理解 A1
F1
AF
B
E
CD
B1 C1
E1 D1
六边形ABCDEF与六边形A1B1C1D1E1F1 的相似比为 k2= 1 : 2，
宝丰县赵庄初中
张要锋
观察
你从上述几组图片发现了什么？
形状相同
我们把形状相同的图形称为相似图形。
知识要点
两个图形的形状完__全__相__同__，但图形的大小_不__一__定__相__等_，这样的图形叫做相似图形。
在平面内，把边数大于等于3的两个相似图形就叫做相似多边形。
相似多边形的关系
解: ∵ 矩形的每个内角都等于90o.
A
D
∴ ∠A =∠E = 90°，∠B =∠F=90°
E
H
∠C=∠G = 90°，∠D=∠H=90° ∴ 它们的对应角相等.
F
B
G
C
∵ EH:AD=300:(300+2×7.5)=20/21.
EF:AB =150:(150+2×7.5)=10/11.
∴ EH:AD≠EF:AB.
A
3
DE
1.5 H
2
1
F
G
B
C
解；矩形ABCD相似于矩形EFGH 因为它们的对应角相等，对应边成比例。
相似比为: AB 2
EF 1
3、判断下列两个三角形是否相似？简单说明理由，如果相似，写出对应边的比例。

2017年秋季新版北师大版九年级数学上学期4.3、相似多边形素材9

学好相似多边形的性质一．相似多边形的性质1.相似多边形对应角相等．对应边成比例；2.相似三角形对应高的比．对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比.3.相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.温馨提示：（1）对于相似多边形问题，一般是通过添加辅助线（如对角线），将其转化为相似三角形的问题来解决.（2）此三条性质可以简单记做“相似多边形的对应角相等，对应边成比例”，这是揭示相似多边形边．角关系的重要结论，利用这一结论可以解决很多与相似多边形有关的问题，下面结合例题予以分类剖析，供同学们参考：二．相似多边形性质的应用1．已知相似多边形的某些边求相似比例1 四边形ABCD 的四边长分别是3．4．7．9，四边形ABCD ∽四边形A′B′C′D′，其最长边是15，则四边形ABCD 与四边形A′B′C′D′的相似比是 .分析：相似多边形对应边的比称为相似比，要求相似比关键是找出对应边.9是四边形ABCD 的最长边，15是四边形A′B′C′D′的最长边，因此，它们是对应边，所以四边形ABCD 与四边形A′B′C′D′的相似比是9：15，即53. 解：填53. 2．已知相似多边形的某些边求边例2 已知四边形ABCD 与四边形A 1B 1C 1 D 1相似，如图1，求BC ．CD 的长.分析：根据“两个多边形相似，对应边之比相等”列方程求解.解：由于两个四边形相似，它们的对应边之比相等，所以 56436CD BC ==，解得54=BC ，45=CD .3．已知相似多边形的某些角求角例3已知梯形ABCD∽梯形A′B′C′D′，∠A=62°，∠C′=110°，求∠D′．∠B 的图1 36 A B CDA 1B 11D 4 6度数.分析：根据“两个多边形相似，对应角相等”可轻而易举地求到对应角的度数.解：因为梯形ABCD∽梯形A′B′C′D′，所以∠A′=∠A=62°，因为A′B′∥C′D′，所以∠D′＋∠A′=180°，所以∠D′=180°－62°=118°．因为∠C′＋∠B′=180°，所以∠B′=70°，所以∠B=∠B′=70°．。

北师大版初中数学九年级上册4.3 相似多边形1

养与他人交流、合作的意识和品质.
相信自己，就能走向成功的第一步
教师不光要传授知识，还要告诉学生学会生活。数学思维可以让他们更理性地看待
TB:小初高题库
人生
北师大初中数学
TB:小初高题库
解析：根据相似多边形的对应边成比 AD EF
例，可得到＝，可以求出 EF 的长， EF BC
从而可求 AE：EB 的值.
（6）不一定，如图④，对应边不成比例，对应角不相等；
（7）相似，因为等腰直角三角形的三个角分别是 45°，45°，90°，所以对应角相等，而且每一个三角形的三边的比都是 1： 1： 2，所以对应边成比例；
图①，那么小路四周所围成的矩形 A′B′C′D′
和矩形 ABCD 相似吗？请说明理由；
（2）如果对应着的两条小路的宽均相
等，如图②，试问小路的宽 x 与 y 的比值
是多少时，能使小路四周所围成的矩形
A′B′C′D′和矩形 ABCD 相似？
解析：（1）根据两矩形的对应边是否
成比例来判断两矩形是否相似；
EF 6 3 ∴AB 与 EF 是对应边.∵ ＝＝，
AB 8 4 ∴四边形 EFGH 与四边形 ABCD 的相
3 似比为 .
4 方法总结：找准相似多边形的对应边是解决此类问题的关键，方法类似于找全等三角形对应边和对应角的方法. 探究点三：相似多边形的应用
如图所示，在四边形 ABCD 中， AD∥BC，EF∥BC，EF 将四边形 ABCD 分成两个相似四边形 AEFD 和 EBCF.若 AD＝ 3，BC＝4，求 AE：EB 的值.
（2）根据矩形相似的条件列出等量关
系式，从而求出 x 与 y 的比值.
解：（1）矩形 A′B′C′D′和矩形 ABCD

北师大版九年级上册数学第四章图形的相似第三节相似多边形

. 边框的内边缘所成的
矩形ABCD与边框的外边缘所成的矩形EFGH 相似吗？
为什么？
解题秘方：紧扣“相似多边形的
定义”进行说明.
感悟新知
解：不相似. 理由如下：
知1－练
∵在矩形ABCD 中，AB=1.5m，AD=3m，镶在其外围的
木质边框宽7.5cm=0.075m，
知1－练
感悟新知
知1－练
2-1. 如图，正方形EFGH 的四个顶点分别在正方形ABCD
的四条边上，若正方形EFGH 与正方形ABCD 的相似
比为
35，则ABEE
1 (AE<BE)的值为____2_____
.
感悟新知
知1－练
2-2. 如图是两个相似四边形，求未知边x的长度和角α的大小. 解：∵两个四边形相似， ∴148＝x7，解得 x＝31.5， α＝360°－(77°＋83°＋117°)＝83°.
∴ EF=1.5+2×0.075=1.65(m)，EH=3+2×0.075=3.15(m).
∴AEBF
=
1.5 1.65
=
1101，EAHD
=
3 3.15
=
2201.∵
10 11
≠2201，
∴边框的内边缘所成的矩形ABCD与边框的外边缘所成的
矩形EFGH 不相似.
感悟新知
1-1. 图中的三个矩形相似的是( A ) A．甲和丙 B．甲和乙 C．乙和丙 D．甲、乙和丙
知1－练
感悟新知
知1－练
例2 如图4-3-2，梯形ABCD∽梯形A ′B ′C ′D ′，AD∥BC， A′D′∥B′C′，∠ A= ∠ A′，AD=4，A′D′=6，AB=6， B′C′=12，∠ C=60°.

九年级数学上册 4.3 相似多边形教案1 (新版)北师大版

4.3 相似多边形1.了解相似多边形和相似比的概念；2.会根据条件判断两个多边形是否为相似多边形；（重点）3.掌握相似多边形的性质，能根据相似比进行相关的计算.（难点）一、情景导入观察以下三组图形，每一组图形的对应边、对应角有什么关系呢？二、合作探究探究点一：相似多边形的判定下列图形都相似吗？为什么？（1）所有正方形；（2）所有矩形；（3）所有菱形；（4）所有等边三角形；（5）所有等腰三角形；（6）所有等腰梯形；（7）所有等腰直角三角形；（8）所有正五边形.解析：利用定义判断边数相同的多边形是否相似，要从两方面进行判断：（1）对应角相等；（2）对应边成比例，两者缺一不可.解：（1）相似，因为正方形每个角都等于90°，所以对应角相等，而每个正方形的边长都相等，所以对应边成比例；（2）不一定，虽然矩形的每个角都等于90°，对应角相等，但是对应边不一定成比例，如图①；（3）不一定，每个菱形的四条边长都相等，所以两菱形的对应边一定成比例，但是它们的对应角不一定相等，如图②，显然两个菱形的对应角是不相等的；（4）相似，因为每个等边三角形的三条边都相等，所以两个等边三角形的对应边一定成比例，并且对应角都等于60°；（5）不一定，如图③，对应边不成比例，对应角不相等；（6）不一定，如图④，对应边不成比例，对应角不相等；（7）相似，因为等腰直角三角形的三个角分别是45°，45°，90°，所以对应角相等，而且每一个三角形的三边的比都是1：1：2，所以对应边成比例；（8）相似，因为正五边形的各角都等于108°，所以对应角相等，而且正五边形的各边都相等，所以对应边成比例.方法总结：（1）相似多边形的定义也是相似多边形的判定方法，在判定两个多边形相似时，必须同时具备两点：对应角相等，对应边成比例.（2）在说明图形不相似时只需画图举出反例即可.（3）所有边数相等的正多边形都相似.探究点二：相似多边形的性质已知四边形ABCD与四边形EFGH 相似，试根据图中所给出的数据求出四边形EFGH和四边形ABCD的相似比.解：∵四边形ABCD与四边形EFGH相似，且∠A＝∠E＝80°，∠B＝∠F＝75°，∴AB与EF是对应边.∵EFAB＝68＝34，∴四边形EFGH与四边形ABCD的相似比为34.方法总结：找准相似多边形的对应边是解决此类问题的关键，方法类似于找全等三角形对应边和对应角的方法.探究点三：相似多边形的应用如图所示，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，EF ∥BC ，EF 将四边形ABCD 分成两个相似四边形AEFD 和E BCF .若AD ＝3，BC ＝4，求AE ：EB 的值.解析：根据相似多边形的对应边成比例，可得到AD EF ＝EF BC，可以求出EF 的长，从而可求AE ：EB 的值.解：因为四边形AEFD ∽四边形EBCF ，所以AD EF ＝EFBC，所以EF 2＝AD ·BC ＝3×4＝12，所以EF ＝12＝2 3.因为四边形AEFD ∽四边形EBCF ，所以AE ：EB ＝AD ：EF ＝3：23＝3：2.方法总结：若两个多边形相似，则它们对应的边成比例，根据此特性，可列等式或比例式求解.在AB ＝20m ，AD ＝30m 的矩形花坛ABCD 的四周建筑小路.（1）如果四周的小路的宽均相等，如图①，那么小路四周所围成的矩形A ′B ′C ′D ′和矩形ABCD 相似吗？请说明理由；（2）如果对应着的两条小路的宽均相等，如图②，试问小路的宽x 与y 的比值是多少时，能使小路四周所围成的矩形A ′B ′C ′D ′和矩形ABCD 相似？解析：（1）根据两矩形的对应边是否成比例来判断两矩形是否相似；（2）根据矩形相似的条件列出等量关系式，从而求出x 与y 的比值.解：（1）矩形A ′B ′C ′D ′和矩形ABCD 不相似.理由如下：假设两个矩形相似，不妨设小路宽为x m ，则30＋2x 30＝20＋2x 20，解得x ＝0.∵由题意可知，小路宽不可能为0， ∴矩形A ′B ′C ′D ′和矩形ABCD 不相似；（2）当x 与y 的比值为3：2时，小路四周所围成的矩形A ′B ′C ′D ′和矩形ABCD 相似.理由如下：若矩形A ′B ′C ′D ′和矩形ABCD 相似，则30＋2x 30＝20＋2y 20，所以x y ＝32.∴当x 与y 的比值为3：2时，小路四周所围成的矩形A ′B ′C ′D ′和矩形ABCD 相似.方法总结：因为矩形的四个角均是直角，所以在有关矩形相似的问题中，只需看对应边是否成比例，若成比例，则相似，否则不相似.三、板书设计相似多边形⎩⎪⎨⎪⎧相似多边形：各角分别相等、各边成比例的两个多边形相似比：相似多边形对应边的比性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例判定：各角分别相等，各边成比例，二者缺一不可在探索相似多边形本质特征的过程中，让学生运用“观察－比较－猜想”分析问题，进一步发展学生观察、分析、判断、归纳、类比、反思、交流等方面的能力，提高数学思维水平，体会反例的作用，培养与他人交流、合作的意识和品质.。

九年级数学上册4.3相似多边形课件(新版)北师大版

A’B‘C’D‘E’
相似比与叙述的顺序有关.
相似(xiānɡ sì)多边形的对应角相等，对应边成
如比果例两. 个多边形不相似，那么它们的各角可能对应相等，它们的各边可能对应成比例.
直观有时候是不可靠的. 判断相似，不能仅靠图形直观 , 一定要依据相似的定义.
第十四页，共15页。
惜时专心苦读是做学问的一个(yī ɡè)好方法。
结论
A BF1
C1
(在jié图lù4n-)1：1中，六边形ABCDEF F 和银六边形A1B1C1D1E1F1 是形状相同(xiānɡ tónɡ)的图形。
C ED
E1 D1 （2）
（1）图3-11
且 ∠A与∠A1， ∠B与∠B1， ∠C与∠C1，对应角
∠D与∠D1， ∠E与∠E1，∠F与∠F1，分别对应相等；
第六页，共15页。
如: 五边形ABCDE∽五边形A1B1C1D1E1 ;
对应(duAìAy1BBìn1 g)边BB1CC1
CD C1D1
DE D1E1
EA E1 A1
4 5
因此五边形ABCDE与五边形A1B1C1D1E1的相似k1=
。4
55
五边形A1B1C1D1E1与五边形ABCDE的相似(xiānɡ sì)比
由于正方形四边相等，所以
E
H
A
D
AB BC CD DA . B C F
G
EF FG GH HE
（2）
• 所以(suǒyǐ)正方形ABCD与正方形EFGH相似
第九页，共15页。
直观有时候是不可靠的.
学习是件很充实的事！
一块(yī kuài)长3m、宽1.5m的矩形黑板
镶在其外围的木质边框宽7.5cm. 边框的内外(nèiwài)边缘所成的矩形相似吗？为什么？

北师大版九年级上册4.3相似多边形课件

∠B1=_14_2_°B1C1=_2._4_cm
∠C1=_90__°C1D1=3_c_m_
∠D1=___°D1E1=___
∠E1=_1_4_0°E1F1=3_.6_c_m
∠F1=___°F1A1=___
7
通过比较，我们得出结论：
A F
AA'
1
B
F1F'
C
BB1' CC1'
E
D
对应顶点
EE1 '
DD1 '
EF FGGHHE H
G
∴正方形ABCD∽正方形EFGH.
12
∠D=___°D讨E=___论：如果两个多边形相似，那么它
（2）正方形ABCD与正方形EFGH.
们的对应角有什么关系？对应边呢？ ∠D1=___°D1E1=___
2、在记两个多边形相似时，要把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上。 ∠B1=___°B1C1=___ 讨论：如果两个多边形相似，那么它们的对应角有什么关系？对应边呢？注意：相似比与叙述的顺序有关系六边形A1B1C1D1E1F1 与六边形ABCDEF的相似比为如:六边形ABCDEF∽六边形A1B1C1D1E1F1，对应
6
2.用量角器和刻度尺度量
A1
B1
AB
F
C
F1
C1
ED
∠A=_1_35_°AB=_2_.5_cm ∠B=_1_4_2°BC=1_._2_cm ∠C=_9_0_°CD=_1_.5_cm ∠D=___°DE=___ ∠E=_1_4_0°EF=_1_.8_cm ∠F=___°FA=___
E1
D1
∠A1=1_3_5_°A1B1=5__cm_

北师版九年级(上册)___43相似多边形

A
F
放大 B1
E B
F1 E1
C
D
C1
D1
AB = BC = CD = DE = EF = FA ，
A1B1 = B1C1 = C1D1 = D1E1 = E1F1 = F1A1
AA1BB1=
BB1CC1=
CC1DD1=
DD1EE1=
EF E1F1
=
FA F1A1
对应边成比例
LOGO
课堂小结
1. 相似图形：
形状相同的图形。
LOGO
2. 相似多边形：
对应角相等，对应边成比例。
3. 相似比：
相似多边形对应边的比。
LOGO
随堂练习
1. 判断：
（1）任意两个矩形都是相似图形（× ）（2）任意两个圆形是相似图形（ √ ）
LOGO
知识要点
两个图形的形状 ___完__全__相_，同但图形的大小位置 ___不__一__定__相_，同这样的图形叫做相似图形。
LOGO
图形的放大
LOGO
图形的放大
解: ∵ 矩形的每个内角都等于90o.
A
D
∴ ∠A =∠E = 90°，∠B =∠F = 90° E
H
∠C =∠G = 90°，∠D =∠H = 90° F
∴ 它们的对应角相等.
B
∵ EH:AD=300:(300+2×7.5)=20/21.
G
C
EF:AB =150:(150+2×7.5)=10/11.
相似多边形的对应角平分线
LOGO
相似多边形的对应中线
LOGO
相似多边形的对应对角线
LOGO

北师大版九年级数学上册课件：4.3 相似多边形 (共20张PPT)

B.等腰梯形的中位线把它分成的两个等腰梯形
C.有一个角对应相等的两个菱形 D.对应边成比例的两个多边形
4.下列说法正确的是 (C )
A.对应边成比例的多边形都相似 B．四个角对应相等的梯形都相似
C.有一个角相等的两个菱形相似 D.有一个锐角相等的两个等腰三角形相似
做一做
比一比看谁能行
5.四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，相似比为2:3，四边形A1B1C1D1与四
解：（2）由于正方形每个角都是直角，所以∠A=∠E= 900， ∠B=∠F= 900， ∠C=∠G= 900， ∠D=∠H= 900；
由于正方形四边相等，所以 A
E D
H
AB BC CD DA . B C F
G
EF FG GH HE
形状相同的图形，它们的对应角有怎样的关系？对应边呢？
相似多边形概念：各角对应相等、各边对应成比例的两个多边形叫
EE
HH
∠C =∠G = 90°，∠D =∠H = 90°
FF
GG
∴ 它们的对应角相等.
B
C
∵ EH:AD=300:(300+2×7.5)=20/21.
EF:AB =150:(150+2×7.5)=10/11.
∴ EH:AD≠EF:AB.
∴ 它们的对应边不成比例.
∴ 矩形ABCD和矩形EFGH不相似.
1.如果两个多边形不相似，它们的对应角可能都相等;如果两个多边形不相似,对应边也可能成比例。
2.如果两个多边形不相似,那么它们不可能各角对应相等且各边对应成比例.
做一做
比一比看谁能行
1.下列各组图形中，有可能不相似的是（ A ）
A．各有一个角是45°的两个等腰三角形

九年级数学上册第四章图形的相似3相似多边形相似多边形的性质的应用素材北师大版

相似多边形的性质的应用1、相似多边形的性质（1）相似多边形中，对应的三角形相似，其相似比等于原相似多边形的相似比．（2）相似多边形中,对应线段的比等于相似比．（3）相似多边形周长的比等于相似比；面积的比等于相似比的平方． 2、重要方法相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，运用这两个性质解决实际问题时，一定要弄清他们的关系，并努力把实际问题与之联系，从而把实际问题简单化. 相似三角形的性质（1）回答了相似三角形中所有对应线段都构成比例的问题，这个性质为我们今后证明线段的比例式提供了极大的方便．性质（2）、（3)揭示了相似三角形的周长、面积与相似比的关系，利用它可以解决相似三角形中有关周长和面积的问题,这里要注意这些性质的灵活运用．如：两个相似三角形的相似比,等于它的周长比；也等于它们的面积比的算术平方根．例1 一个多边形的边长分别为2，3，4，5，6，另一个多边形和这个多边形相似,其最短边长为6，则最长边长为（ )A ．12B ．18C ．24D ．30【思路与技巧由相似多边形对应边成比例，设最长边为x 。

∴x662 ,∴2x=36,x=18. 答案 B点评本题根据相似多边形的对应边成比例的性质,第一个多边形的最短边与第二个多边形的最短边,第一个多边形的最长边与第二个多边形的最长边分别是对应边，切记不可将对应关系弄错．例2 如图在□ABCD中，AB=6，AD=4,EF∥AD,若□ABCD∽□EFDA,求AE的长．思路与技巧(1）图形中有几对相似的平行四边形？为什么？对应边分别是什么？(2）AE的对应边应是哪条线段？为什么?（3）试一试:求S□ABCD∶S□EFDA的值.解∵EF∥AD，四边形ABCD是平行四边形，AD=4 ∴EF=AD=4，∵□ABCD∽□EFDA，∴(相似多边形对应边成比例），又∵AB=6,∴∴.点评由相似的条件，可知AE的对应边是DA，一般的在条件中，若使用的是相似符号,则对应边则是确定的，因此书写相似多边形时，对应的字母要写在对应的位置上.例3 已知:如图，正方形ABCD中，E是AC上一点，EF⊥AB于F，EG⊥AD于G，AB=6,AE∶EC=2∶1，求S四边形AFEG．思路与技巧(1）四边形AFEG是什么图形？为什么?（2）AE∶EC的值与哪两条线段的比相等？为什么？如何求出AF的长？(3）任意的两个正方形都相似吗？为什么？所有的矩形都相似吗?所有的菱形都相似吗？解∵正方形ABCD，EF⊥AB，EG⊥AD∴EF∥CB，EG∥DC∵∠1=∠2=45° ∴EF=AF∵∠FAG=90°，∴AFEG是正方形，∴正方形ABCD∽正方形AFEG,∴S正ABCD∶S正AFEG=AB2∶AF2（相似多边形的面积比等于相似比的平方），在△ABC中，EF∥CB ∴AE∶EC=AF∶FB=2∶1，又AB=6 ∴AF=4 ∴S正ABCD∶S正AFEG=36∶16，∴。