全国名校高考数学复习40专题精讲精练 二次函数、方程、不等式的关系专题详解

合集下载

二次函数与一元二次方程、不等式知识点总结与例题讲解

二次函数与一元二次方程、不等式知识点总结与例题讲解

二次函数与一元二次方程、不等式知识点总结与例题讲解一、本节知识点(1)一元二次不等式的概念. (2)三个二次的关系. (3)一元二次不等式的解法. 知识点拓展:(4)分式不等式的解法. (5)高次不等式的解法. 二、本节题型(1)解不含参数的一元二次不等式. (2)解含参数的一元二次不等式. (3)三个二次之间的关系.(4)简单高次不等式、分式不等式的解法. (5)不等式恒成立问题. (6)一元二次不等式的应用. 三、知识点讲解.知识点 一元二次不等式的概念我们把只含有1个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式.即形如02>++c bx ax (≥0)或02<++c bx ax (≤0)(其中0≠a )的不等式叫做一元二次不等式.元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的x 的值,叫做这个一元二次不等式的解,其解的集合,叫做这个一元二次不等式的解集.注意 一元二次不等式的解集要写成集合或区间的形式. 知识点 三个二次的关系一元二次不等式的解集、一元二次方程的解以及二次函数的图象之间有着紧密的联系.一元二次方程()002≠=++a c bx ax 与二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的关系是:(1)当ac b 42-=∆≥0时,一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有实数根,二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的图象与x 轴有交点,且方程的解是交点的横坐标,交点的横坐标亦是方程的解;①当0>∆时,一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个不相等的实数根,二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的图象与x 轴有两个不同的交点;②当0=∆时,一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个相等的实数根,二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的图象与x 轴只有一个交点(即抛物线的顶点).(2)当042<-=∆ac b 时,一元二次方程()002≠=++a c bx ax 无实数根,二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的图象与x 轴没有交点.具体关系见下页表(1)所示.一元二次不等式与二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的关系是:(1)一元二次不等式02>++c bx ax (≥0)的解集就是二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的图象位于x 轴上方(包括x 轴)的部分所对应的自变量的取值范围;(2)一元二次不等式02<++c bx ax (≤0)的解集就是二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的图象位于x 轴下方(包括x 轴)的部分所对应的自变量的取值范围.由表可知 一元二次不等式的解集的端点值就是对应的一元二次方程的解. 知识点 一元二次不等式的解法解一元二次不等式的一般步骤是:(1)利用不等式的性质,将二次项系数化为正数; (2)计算ac b 42-=∆的值,并判断∆的符号; (3)当∆≥0时,求出相应的一元二次方程的根; (4)画出对应的二次函数的简图;(5)根据一元二次不等式的形式,结合简图,写出其解集.注意 一元二次不等式的解集结构与二次项系数的符号有着直接的关系.其中,①当0>∆时,一元二次不等式()002>>++a c bx ax 的解集在“两根之外”,即“大于大根或小于小根”;一元二次不等式()002><++a c bx ax 的解集在“两根之内”,即“大于小根且小于大根”,简记为“大于0取两边,小于0取中间”;②当0=∆时,一元二次不等式()002>>++a c bx ax 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2;一元二次不等式()002><++a c bx ax 的解集为∅;③当0<∆时,一元二次不等式()002>>++a c bx ax 的解集为R ;一元二次不等式()002><++a c bx ax 的解集为∅.表(1)一元二次方程、二次函数以及一元二次不等式的关系:一元二次不等式在R 上恒成立的问题(1)02>++c bx ax 在R 上恒成立,则有:⎩⎨⎧<-=∆>0402ac b a 或⎩⎨⎧>==00c b a ; (2)02<++c bx ax 在R 上恒成立,则有:⎩⎨⎧<-=∆<0402ac b a 或⎩⎨⎧<==00c b a ;(3)一元二次不等式c bx ax ++2≥0在R 上恒成立,则有:⎩⎨⎧≤-=∆>0402ac b a ; (4)一元二次不等式c bx ax ++2≤0在R 上恒成立,则有:⎩⎨⎧≤-=∆<0402ac b a . 补充概念 二次函数的零点我们把使一元二次方程02=++c bx ax 的实数x 叫做二次函数c bx ax y ++=2的零点. 对零点的理解(1)二次函数的零点即相应一元二次方程02=++c bx ax 的实数根;(2)根据数形结合,二次函数的零点,即二次函数的图象与x 轴的交点的横坐标,且交点的个数等于零点的个数;(3)并非所有的二次函数都有零点.当ac b 42-=∆≥0时,一元二次方程有实数根,相应二次函数存在零点.知识点 分式不等式的解法 分式不等式的概念分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式.利用不等式的性质,可将分式不等式化为以下标准形式: ①0)()(>x g x f ; ②)()(x g x f ≥0; ③0)()(<x g x f ; ④)()(x g x f ≤0. 分式不等式的解法解分式不等式的思路是把其转化为整式不等式求解.解分式不等式时,要先把分式不等式转化为标准形式. 各标准形式的分式不等式的解法为: (1)0)()(>x g x f 与不等式组⎩⎨⎧>>0)(0)(x g x f 或⎩⎨⎧<<0)(0)(x g x f 同解,与不等式0)()(>⋅x g x f 同解; (2))()(x g x f ≥0与不等式组⎩⎨⎧≠≥⋅0)(0)()(x g x g x f 同解;(3)0)()(<x g x f 与不等式组⎩⎨⎧<>0)(0)(x g x f 或⎩⎨⎧><0)(0)(x g x f 同解,与不等式0)()(<⋅x g x f 同解;(4))()(x g x f ≤0与不等式组⎩⎨⎧≠≤⋅0)(0)()(x g x g x f .由以上解法可以看出:将分式不等式转化为标准形式后,再将其转化为不等式组或同解整式不等式进行求解.知识点 高次不等式的解法解高次不等式,一般用“数轴标根法”,也叫“穿根引线法”,其步骤如下:(1)把高次不等式化为左边是几个因式的乘积,右边是0的形式,注意每个因式最高次项的系数必须为正;(2)把不等号换成等号,求出所得方程的所有实数根; (3)标根: 把各个实数根在数轴上标出;(4)画穿根线: 从“最右根”的右上方穿过根,往左下画线,然后又穿过“次右根”上去,如此一上一下依次穿过各根.但要注意偶次根不穿过,即奇过偶不过;(5)写出解集: 若不等号为“ > ”,则取数轴上方穿根线以内的范围;若不等号为“ < ”,则取数轴下方穿根线以内的范围.四、例题讲解例1. 解不等式0452>-+-x x .分析 先把不等式的二次项系数化为正数,再进行求解.注意不等式的解集要写成区间或集合的形式.解: 原不等式可化为:0452<+-x x .对于方程0452=+-x x ,∵()0941452>=⨯⨯--=∆∴该方程有两个不相等的实数根,解之得:4,121==x x . ∴不等式0452>-+-x x 的解集为{}41<<x x .点评 在求解一元二次不等式时,先观察二次项系数是否为正,若为负,则先把不等式的二次项系数化为正数(利用不等式的基本性质).例2. 已知关于x 的不等式022>++c x ax 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-2131x x ,求不等式022>-+-a x cx 的解集.分析 先根据一元二次不等式与相应一元二次方程之间的关系,利用根与系数的关系定理,求出c a ,的值.注意 一元二次不等式的解集的端点值是对应一元二次方程的根. 解: 由题意可知:0<a .∵关于x 的不等式022>++c x ax 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-2131x x ∴21,3121=-=x x 是方程022=++c x ax 的两个实数根由根与系数的关系定理可得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯-=+-=-213121312a c a ,解之得:⎩⎨⎧=-=212c a . ∴022>-+-a x cx 即012222>++-x x ∴062<--x x ,解之得:32<<-x .∴不等式022>-+-a x cx 的解集为{}32<<-x x .例3. 一元二次不等式()()052>-+x x 的解集为 【 】 (A ){}52>-<x x x 或 (B ){}25>-<x x x 或 (C ){}52<<-x x (D ){}25<<-x x分析 本题可用数轴标根法求解.使用该方法时,要把乘积中所有因式的最高次项的系数化为正数.解: 原不等式可化为:()()052<-+x x .∵方程()()052=-+x x 的根为5,221=-=x x .∴不等式()()052<-+x x 的解集为{}52<<-x x ,即原不等式的解集. ∴选择答案【 C 】.例4. 已知不等式042<++ax x 的解集为空集,则实数a 的取值范围是 【 】 (A ){}44≤≤-a a (B ){}44<<-a a (C ){}44≥-≤a a a 或 (D ){}44>-<a a a 或分析 本题考查一元二次不等式与相应的二次函数之间的关系,同时问题还可以转化为一元二次不等式恒成立的问题.不等式042<++ax x 的解集为空集,即相应的二次函数42++=ax x y 的图象位于x 轴上及其上方,或者不等式42++ax x ≥0在R 上恒成立.解: ∵不等式042<++ax x 的解集为空集∴162-=∆a ≤0,解之得:4-≤a ≤4. ∴实数a 的取值范围是{}44≤≤-a a . ∴选择答案【 A 】.例5. 若关于x 的不等式()()021>--x mx 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<21x m x ,则实数m 的取值范围是 【 】 (A ){}0>m m (B ){}20<<m m(C )⎭⎬⎫⎩⎨⎧>21m m (D ){}0<m m分析 本题由题意可知:0<m . 解: ∵()()021>--x mx∴()02122>++-x m mx .∵其解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<21x m x ∴0<m .∴实数m 的取值范围是{}0>m m . ∴选择答案【 D 】.例6. 已知函数182++=bx ax y 的定义域为[]6,3-,则实数a 的值为_________,实数b 的值为_________.解: ∵函数182++=bx ax y 的定义域为[]6,3-∴一元二次不等式182++bx ax ≥0的解集为[]6,3-. 由根与系数的关系定理可得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯-=+-=-631863aab ,解之得:⎩⎨⎧=-=31b a . ∴实数a 的值为1-,实数b 的值为3. 例7. 已知函数m x x y +-=2.(1)当2-=m 时,求不等式0>y 的解集; (2)若0,0<>y m 的解集为{}b x a x <<,,求ba 41+的最小值. 解:(1)2-=m 时,22--=x x y .∵0>y ,∴()()02122>-+=--x x x x 解之得:1-<x 或2>x .∴不等式0>y 的解集为{}21>-<x x x 或;(2)∵02<+-=m x x y 的解集为{}21>-<x x x 或 ∴m ab b a ==+,1,且041>-=∆m ,解之得:41<m . ∵0>m ,∴0,0>>b a ,410<<m . ∴()a b b a b a b a b a ++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+454141≥9425=⋅+a b b a . 当且仅当a b b a =4,即32,31==b a 时,等号成立.此时41923231<=⨯=m ,符合题意. ∴ba 41+的最小值为9. 例8. 解关于x 的不等式02>-x ax (0≠a ).分析 本题考查含有参数的一元二次不等式的解法.当二次项系数含有参数时,要对二次项系数的正负进行讨论(一元二次不等式解集的结构与二次项系数的符号有关).解: ∵02>-x ax ,∴()01>-ax x∴01>⎪⎭⎫ ⎝⎛-a x ax .∵0≠a ,∴分为两种情况:①当0>a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>01x a x x 或;②当0<a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<01x a x . 综上所述,当当0>a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>01x a x x 或,当0<a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<01x a x .另解: 解方程02=-x ax (0≠a )得:ax x 1,121==. 分为两种情况:①当0>a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>01x a x x 或; ②当0<a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<01x a x . 综上所述,当当0>a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>01x a x x 或,当0<a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<01x a x . 点评 不等式02>-x ax (0≠a )可化为01>⎪⎭⎫⎝⎛-a x ax .当0>a 时,根据不等式的性质可知,原不等式同解于不等式01>⎪⎭⎫⎝⎛-a x x ;当0<a 时,原不等式同解于不等式01<⎪⎭⎫⎝⎛-a x x .例9. 若对于0>∀x ,132++x x x≤a 恒成立,则实数a 的取值范围是 【 】 (A )⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥31a a (B )⎭⎬⎫⎩⎨⎧>31a a (C )⎭⎬⎫⎩⎨⎧>51a a (D )⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥51a a . 解: ∵132++x x x≤a 恒成立 ∴只需a ≥max213⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x x 即可. ∵0>∀x ∴311132++=++x x x x x≤513121=+⋅xx . 当且仅当xx 1=,即1=x 时,等号成立. ∴5113max 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x x . ∴a ≥51,即实数a 的取值范围是⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥51a a .∴选择答案【 D 】.例10.(1)若关于x 的不等式0232>+-x ax (∈a R )的解集为{}b x x x ><或1(∈b R ),求b a ,的值;(2)解关于x 的不等式ax x ax ->+-5232(∈a R ).解:(1)由题意可知:0>a .一元二次方程0232=+-x ax 的根为b x x ==21,1.由根与系数的关系定理可得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯=+=baba1213,解之得:⎩⎨⎧==21b a .∴a 的值为1,b 的值为2;(2)∵ax x ax ->+-5232(∈a R ) ∴()0332>--+x a ax .当0=a 时,原不等式为523>+-x ,解之得:1-<x . ∴原不等式的解集为{}1-<x x ;当0≠a 时,原不等式可化为()031>⎪⎭⎫ ⎝⎛-+a x x a . ①若0>a ,则原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<>13x a x x 或; ②若03<<-a 时,原不等式同解于()031<⎪⎭⎫ ⎝⎛-+a x x ,且13-<a ∴原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<13x a x ; ③若3-=a ,原不等式为()0132<+x ,其解集为∅;④若3-<a ,则13->a ,则原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-a x x 31. 综上所述,当0=a 时, 原不等式的解集为{}1-<x x ;当0>a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<>13x a x x 或;当03<<-a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<13x a x ; 当3-=a 时,原不等式的解集为∅; 当3-<a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-a x x 31. 例11.已知关于x 的不等式08322<-+kx kx . (1)若不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-123x x ,求实数k 的值;(2)若不等式08322<-+kx kx 恒成立,求实数k 的取值范围. 解:(1)由题意可知:0>k .一元二次方程08322=-+kx kx 的根是1,2321=-=x x . 由根与系数的关系定理:123283⨯-=-k ,解之得:81=k .∴实数k 的值为81;(2)当0=k 时,083<-恒成立,符合题意;当0≠k 时,由题意可知:⎪⎩⎪⎨⎧<⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯-=∆<08324022k k k ,解之得:03<<-k . 综上所述,实数k 的取值范围为{}03≤<-k k .例12. 若∀1≤x ≤4,不等式()422++-x a x ≥1--a 恒成立,求实数a 的取值范围.分析 本题考查一元二次不等式在给定闭区间上的恒成立问题,要把问题转化为相应二次函数在闭区间上的最值问题.解: ∵()422++-x a x ≥1--a∴()1-x a ≤522+-x x . ∵1≤x ≤4∴当1=x 时,显然0⨯a ≤4521=+-成立,∴∈a R ; 当x <1≤4时,01>-x∴a ≤1522-+-x x x 恒成立,只需a ≤min2152⎪⎭⎫⎝⎛-+-x x x 即可.∵()14114115222-+-=-+-=-+-x x x x x x x ≥()41412=-⋅-x x . 当且仅当141-=-x x ,即3=x 时,等号成立.此时3=x []4,1∈,符合题意.∴a ≤4.综上所述,实数a 的取值范围是(]4,∞-. 例13. 已知不等式012<--mx mx .(1)当∈x R 时不等式恒成立,求实数m 的取值范围; (2)当∈x {}31≤≤x x 时不等式恒成立,求实数m 的取值范围.解:(1)当0=m 时,01<-恒成立,符合题意;当0≠m 时,则有⎩⎨⎧<+=∆<0402m m m ,解之得:04<<-m . 综上,实数m 的取值范围是(]0,4-;(2)当0=m 时,显然∈x {}31≤≤x x 时,01<-恒成立,符合题意; 当0≠m 时,()11<-x mx .若1=x ,显然10<恒成立,此时∈m R ; 若x <1≤3,则()01>-x x ∴()11-<x x m 恒成立,只需()min11⎥⎦⎤⎢⎣⎡-<x x m 即可. ∵()4121111122-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=-x x x x x ≥614121312=-⎪⎭⎫ ⎝⎛- ∴()6111min=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-<x x m . 综上所述,实数m 的取值范围为⎪⎭⎫⎝⎛∞-61,.例14. 解关于x 的不等式()m x m mx --+122≥0.解: 当0=m 时,x -≥0,解之得:x ≤0.∴原不等式的解集为{}0≤x x ;当0≠m 时,原不等式可化为()()m x mx +-1≥0∴()[]m x m x m --⎪⎭⎫⎝⎛-1≥0.方程()m x m mx --+122的两个实数根分别为m x mx -==21,1. 当0>m 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤≥m x m x x 或1; 当0<m 时,原不等式同解于()[]m x m x --⎪⎭⎫ ⎝⎛-1≤0,且m m -<1. ∴原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤≤m m m x 1. 综上所述,当0=m 时,原不等式的解集为{}0≤x x ;当0>m 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤≥m x m x x 或1;当0<m 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤≤m m m x 1. 例15. 已知关于x 的不等式222->-x kx kx . (1)当2=k 时,解不等式; (2)当∈k R 时,解不等式.解:(1)当2=k 时,2422->-x x x∴02522>+-x x ∴()()0212>--x x . 解之得:2>x 或21<x . ∴原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>212x x x 或;(2)原不等式可化为()02122>++-x k kx . 当0=k 时,02>+-x ,解之得:2<x . ∴原不等式的解集为{}2<x x ;当0≠k 时,原不等式可化为()()012>--kx x∴()012>⎪⎭⎫⎝⎛--k x x k .方程222->-x kx kx 的根为kx x 1,221==. 当0<k 时,原不等式同解于()012<⎪⎭⎫ ⎝⎛--k x x ,且21<k .∴原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<21x k x ; 当0>k 时,原不等式同解于()012>⎪⎭⎫⎝⎛--k x x .①若21>k ,则21<k ,∴原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>k x x x 12或; ②若21=k ,则21=k,∴原不等式的解集为{}2≠x x ; ③若210<<k ,则21>k ,∴原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>21x k x x 或.综上所述,当0=k 时,原不等式的解集为{}2<x x ;当0<k 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<21x k x ; 当210<<k 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>21x k x x 或;当21=k 时,原不等式的解集为{}2≠x x ; 当21>k 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>k x x x 12或.例16. 已知关于x 的不等式0622<+-k x kx .(1)若不等式的解集为{}23->-<x x x 或,求实数k 的取值; (2)若不等式的解集为R ,求实数k 的取值范围.解:(1)由题意可知:0<k .一元二次方程0622=+-k x kx 的两个实数根分别为2,321-=-=x x .由根与系数的关系定理可得:232--=--k ,解之得:52-=k . ∴实数k 的值为52-;(2)当0=k 时,原不等式的解集为{}0>x x ,不符合题意;当0≠k 时,则有:⎩⎨⎧<-=∆<024402k k ,解之得:66-<k . 综上所述,实数k 的取值范围是⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<66k k .例17. 已知122++ax ax ≥0恒成立,解关于x 的不等式022<+--a a x x .解:∵122++ax ax ≥0恒成立∴当0=a 时,1≥0恒成立,符合题意;当0≠a 时,则有:⎩⎨⎧≤-=∆>04402a a a ,解之得:a <0≤1. 综上,实数a 的取值范围是[]1,0. 对于不等式022<+--a a x x当0≤a ≤1时,原不等式可化为()()01<-+-a x a x∴()()[]01<---a x a x ,方程022=+--a a x x 的根为a x a x -==1,21.①若a <21≤1,则a a ->1,∴原不等式的解集为{}a x a x <<-1; ②若21=a ,则a a -=1,∴原不等式的解集为∅;③若210<<a ,则a a -<1,∴原不等式的解集为{}a x a x -<<1.综上所述,对于不等式022<+--a a x x :当a <21≤1时,不等式的解集为{}a x a x <<-1; 当21=a 时,不等式的解集为∅;当0≤21<a 时,不等式的解集为{}a x a x -<<1.例18. 不等式()()xa c xb x -++≤0的解集为{}321≥<≤-x x x 或,则=+c b 【 】(A )5- (B )2- (C )1 (D )3解: 原不等式可化为()()ax c x b x -++≥0,同解于()()()⎩⎨⎧≠-≥++-00a x c xb x a x .方程()()0=-++ax c x b x 的解为c x b x -=-=21,.∵该不等式的解集为{}321≥<≤-x x x 或∴2=a ,⎩⎨⎧=--=-31c b 或⎩⎨⎧-=-=-13c b ,∴⎩⎨⎧-==31c b 或⎩⎨⎧=-=13c b .∴2-=+c b . ∴选择答案【 B 】.例19. 已知函数b ax x y +=2(b a ,为常数),且方程012=+-x y 的两个根为31=x ,42=x .(1)求b a ,的值;(2)设1>k ,解关于x 的不等式()xkx k y --+<21.解:(1)由题意可得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+=+-+0124416012339b a b a ,整理得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=+142131ba ba ,解之得:⎩⎨⎧=-=21b a . ∴a 的值为1-,b 的值为2;(2)由(1)可知:xx y -=22.∵()x kx k y --+<21,∴()xkx k x x --+<-2122. ∴()()()021212<---=-++-xk x x x k x k x . 原不等式同解于()()()021>---k x x x .∵1>k∴当21<<k 时,原不等式的解集为{}21><<x k x x 或; 当2=k 时,()()0212>--x x ,原不等式的解集为{}21≠>x x x 且;当2>k 时,原不等式的解集为{}k x x x ><<或21.综上所述,当21<<k 时,原不等式的解集为{}21><<x k x x 或;当2=k 时,原不等式的解集为{}21≠>x x x 且;当2>k 时,原不等式的解集为{}k x x x ><<或21.例20. 已知集合()()[]{}0132<+--=a x x x A ,()⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+--=012a x a x x B . (1)当2=a 时,求B A ;(2)若A B ⊆,求实数a 的取值范围.解:(1)当2=a 时∵()(){}{}72072<<=<--=x x x x x A ,{}52052<<=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<--=x x x x x B∴{}52<<=x x B A ;(2)∵∈∀a R ,恒有a a >+12,()()()[]{}010122<+--=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+--=a x a x x a x a x x B ∴{}12+<<=a x a x B . 当213>+a ,即31>a 时,{}132+<<=a x x A . ∵A B ⊆,∴⎩⎨⎧+≤+≥13122a a a ,解之得: 2≤a ≤3.∴实数a 的取值范围是[]3,2;当213=+a ,即31=a 时,(){}∅=<-=022x x A ,显然不符合题意; 当213<+a ,即31<a 时,{}213<<+=x a x A .∵A B ⊆,∴⎩⎨⎧≤+≤+21132a aa ,解之得: 1-≤a ≤21-.∴实数a 的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡--21,1. 综上所述,实数a 的取值范围是[]3,221,1 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--. 例21. 已知不等式442-+>+m x mx x .(1)若对任意实数x 不等式恒成立,求实数m 的取值范围; (2)若对于0≤m ≤4不等式恒成立,求实数x 的取值范围.解:(1)∵442-+>+m x mx x∴()0442>-+-+m x m x . ∵对任意实数x 不等式恒成立∴()()04442<---=∆m m ,解之得: 40<<m .∴实数m 的取值范围是()4,0; (2)∵442-+>+m x mx x ∴()04412>+-+-x x m x . ∵对[]4,0∈∀m ,不等式恒成立∴()()⎩⎨⎧>+-+⨯->+-+⨯-044410440122x x x x x x ,解之得:0≠x 且2≠x . ∴实数x 的取值范围是{}2200><<<x x x x 或或.点评 解决恒成立问题时一定要清楚谁是主元,谁是参数.一般情况下,知道谁的范围,就选谁当主元,求谁的范围,谁就是参数,构造以主元为变量的函数,根据主元的取值范围求解.例22. 设()12--=mx mx x f ,求使()0<x f ,且m ≤1恒成立的x 的取值范围.解: ∵()0<x f ,m ≤1,∴012<--mx mx ,[]1,1-∈m .∴()012<--m x x 对[]1,1-∈m 恒成立. 设()()12--=m x x m g ,则有:()()()()()⎩⎨⎧<-⨯-=<--⨯-=-0111011122x x g x x g ,解之得:251251+<<-x .∴实数x 的取值范围是⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-251,251.重要结论 一次函数()b kx x f +=()0≠k 在区间[]n m ,上的恒成立问题:(1)若()0>x f 恒成立,则()()⎩⎨⎧>>00n f m f ;(2)若()0<x f 恒成立,则()()⎩⎨⎧<<0n f m f .例23. 设函数()12--=mx mx x f ()0≠m ,若对于[]3,1∈x ,()5+-<m x f 恒成立,求m 的取值范围.解: ∵()5+-<m x f 在[]3,1∈x 上恒成立∴062<-+-m mx mx 在[]3,1∈x 上恒成立. 令()62-+-=m mx mx x g ,只需()0max <x g 即可. 函数()x g 图象的对称轴为直线212=--=m m x . 当0>m 时,()x g 在[]3,1上单调递增 ∴()()0673max <-==m g x g ,解之得:76<m . ∴760<<m ; 当0<m 时,()x g 在[]3,1上单调递减 ∴()()061max <-==m g x g ,解之得:0<m .综上所述,m 的取值范围是⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<<7600m m m 或.另解: ∵062<-+-m mx mx 在[]3,1∈x 上恒成立∴()612<+-x x m 在[]3,1∈x 上恒成立.∵04321122>+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-x x x ∴162+-<x x m 在[]3,1∈x 上恒成立.只需761336162min 2=+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-<x x m 即可. ∵0≠m∴m 的取值范围是⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<<7600m m m 或. 例24. 已知集合{}042≤-=t t A ,对于任意的A t ∈,使不等式122->-+x t tx x 恒成立的x 的取值范围是_____________.解: {}{}22042≤≤-=≤-=t t t t A .∵当A t ∈时,不等式122->-+x t tx x 恒成立 ∴()01212>+-+-x x t x 恒成立. 设()()1212+-+-=x x t x t f ,则有:()()⎩⎨⎧>-=>+-=-012034222x f x x f ,解之得:1-<x 或3>x . ∴x 的取值范围是{}31>-<x x x 或.例25. 对一切实数x ,不等式12++x a x ≥0恒成立,则实数a 的取值范围是_____________.解: 当0=x 时,显然对∈∀a R 成立;当0≠x 时,a ≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=--=--x x x x x x 1112,只需a ≥max 1⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x 即可.∵⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x 1≤212-=⋅-x x∴21max -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x ,∴a ≥2-.∴实数a 的取值范围是[)+∞-,2.例26. 已知0,0>>y x ,且()()()144152++--+y x m y x ≥0恒成立,则实数m 的取值范围是_____________.解: ∵0,0>>y x ,∴0>+y x .∵()()()144152++--+y x m y x ≥0恒成立∴15-m ≤()y x y x yx y x +++=+++1441442恒成立,只需15-m ≤min144⎪⎭⎫ ⎝⎛+++y x y x 即可. ∵y x y x +++144≥()241442=+⋅+yx y x (当且仅当12=+y x 时,等号成立) ∴24144min =⎪⎭⎫ ⎝⎛+++y x y x ,∴15-m ≤24,解之得:m ≤5.∴实数m 的取值范围是(]5,∞-. 例27. 已知61>k ,对任意正实数y x ,,不等式ky x k +⎪⎭⎫ ⎝⎛-213≥xy 2恒成立,求实数k 的取值范围.解: ∵61>k ,∴0213>-k . ∴ky x k +⎪⎭⎫ ⎝⎛-213≥xy k k ky x k ⎪⎭⎫⎝⎛-=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-213221322.当且仅当ky x k =⎪⎭⎫⎝⎛-213,即x kk y 213-=时,等号成立.∴ky x k +⎪⎭⎫ ⎝⎛-213的最小值为xy k k ⎪⎭⎫⎝⎛-21322∵不等式ky x k +⎪⎭⎫⎝⎛-213≥xy 2恒成立∴xy k k ⎪⎭⎫ ⎝⎛-21322≥xy 2∴xy k k ⎪⎭⎫ ⎝⎛-21342≥xy 2,解之得:k ≥21.∴实数k 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,21.例28. 若关于x 的不等式()()0121122>+++-+-x x x k x k 的解集为R ,则实数k 的取值范围是_____________.解: ∵04321122>+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++x x x 在R 上恒成立 ∴原不等式同解于不等式()()02112>+-+-x k x k ,其解集为R 当1=k 时,02> 在R 上恒成立,符合题意;当1≠k 时,则有:()()⎩⎨⎧<---=∆>-0181012k k k ,解之得:91<<k . 综上所述,实数k 的取值范围是[)9,1.例29.(1)解关于x 的不等式()422++-x a x ≤a 24-(∈a R );(2)若x <1≤4时,不等式()422++-x a x ≥1--a 恒成立,求实数a 的取值范围.解:(1)∵()422++-x a x ≤a 24-∴()()a x x --2≤0.当2>a 时,原不等式的解集为{}a x x ≤≤2; 当2=a 时,()22-x ≤0,原不等式的解集为{}2=x x ;当2<a 时,原不等式的解集为{}2≤≤x a x .综上所述,当当2>a 时,原不等式的解集为{}a x x ≤≤2;当2=a 时,()22-x ≤0,原不等式的解集为{}2=x x ;当2<a 时,原不等式的解集为{}2≤≤x a x . (2)由题意可知,当(]4,1∈x 时,不等式()5212+---x x a x ≥0恒成立.∴当(]4,1∈x 时,a ≤1522-+-x x x 恒成立,只需a ≤min2152⎪⎭⎫⎝⎛-+-x x x 即可.∵(]4,1∈x ,∴()14114115222-+-=-+-=-+-x x x x x x x ≥()41412=-⋅-x x . 当且仅当141-=-x x ,即3=x 时,等号成立.∴4152min 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-x x x .∴a ≤4,即实数a 的取值范围为(]4,∞-.例30.(1)已知命题∈∀x p :R ,a x x +-22≥0,命题∈∃x q :R ,0122=-++a x x ,若p 为真命题,q 为假命题,求实数a 的取值范围;(2)已知a ≥21,二次函数c ax x a y ++-=22,其中c a ,均为实数,证明对任意x (0≤x ≤1),均有y ≤1成立的充要条件是c ≤43.解:(1)∵命题∈∀x p :R ,a x x +-22≥0为真命题∴()a a 44422-=--=∆≤0,解之得: a ≥1.∵命题∈∃x q :R ,0122=-++a x x 为假命题 ∴⌝q :∈∀x R ,0122≠-++a x x 为真命题. ∴()01241<--=∆a ,解之得:85>a . ∴实数a 的取值范围是[)+∞,1;(2)证明: 二次函数c ax x a y ++-=22图象的对称轴为直线aa a x 2122=--=. ∵a ≥21,∴a210<≤1. ∵[]1,0∈∀x ,02<-a∴函数c ax x a y ++-=22的最大值在顶点处取得,即4144222max +=---=c a a c a y . 充分性: ∵c ≤43,∴41+c ≤14143=+,即max y ≤1. ∴y ≤1;必要性: ∵[]1,0∈∀x ,均有y ≤1成立. ∴max y ≤1,即41+c ≤1,解之得: c ≤43. 综上所述, 对任意x (0≤x ≤1),均有y ≤1成立的充要条件是c ≤43.例31.已知关于x 的不等式222++-m mx x ≤0(∈m R )的解集为M . (1)当M 为空集时,求m 的取值范围;(2)在(1)的条件下,求1522+++m m m 的最小值;(3)当M 不为空集,且{}41≤≤⊆x x M 时,求实数m 的取值范围.解:(1)∵不等式222++-m mx x ≤0(∈m R )的解集为M 为空集∴()()084424222<--=+--=∆m m m m ,解之得:21<<-m .∴m 的取值范围是{}21<<-m m ;(2)由(1)可知: 21<<-m ,∴310<+<m .∴()14114115222+++=+++=+++m m m m m m m ≥()41412=+⋅+m m . 当且仅当141+=+m m ,即1=m 时,等号成立. ∴1522+++m m m 的最小值为4;(3)由题意可知,方程0222=++-m mx x 的两个实数根均在[]4,1内 设()222++-=m mx x x f ,则有:()()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤--≤≥++-=≥++-=≥+--=∆42210281640221102422m m m f m m f m m ,解之得: 2≤m ≤718. ∴实数m 的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡718,2. 例32. 当10<<x 时,若关于x 的二次方程m mx x 2122-=++有两个不相等的实数根,求实数m 的取值范围.分析 本题考查的是一元二次方程的K 分布:两根均在()21,k k 内. 解: ∵m mx x 2122-=++∴01222=+++m mx x . 设()1222+++=m mx x x f .∵该方程在()1,0内有两个不相等的实数根∴()()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+++=>+=<-<>+-=∆01221101201220012422m m f m f m m m ,解之得:2121-<<-m . ∴实数m 的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛--21,21.重要结论 一元二次方程的实数根的K 分布:一元二次方程02=++c bx ax (0>a )的两个实数根分别为21,x x ,且21x x <.(1)若k x x <<21,则有:()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><->∆020k f k a b; (2)若21x x k <<,则有:()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>->∆020k f k a b; (3)若21x k x <<,则有:()0<k f ;(4)若2211k x x k <<<,即两根21,x x 在()21,k k 内,则有:()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>><-<>∆00202121k f k f k a b k(5)若11k x <,且22k x >(21k k <),则有:()()⎩⎨⎧<<021k f k f ; (6)()()212211,,,k k x k k x ∈∈中只有一个成立,即方程只有一个实数根在()21,k k 内,则有:()()021<k f k f或⎪⎩⎪⎨⎧<-<=∆2120k ab k . 例33. 已知二次函数1222-+-=t tx x y (∈t R ).(1)若该二次函数有两个互为相反数的零点,解不等式1222-+-t tx x ≥0; (2)若关于x 的方程01222=-+-t tx x 的两个实数根均大于2-且小于4,求实数t 的取值范围.解:(1)∵二次函数1222-+-=t tx x y 有两个互为相反数的零点∴方程01222=-+-t tx x 有两个互为相反数的实数根,设为21,x x ,∴021=+x x . 由根与系数的关系定理可得:0221==+t x x ,解之得:0=t .∵1222-+-t tx x ≥0∴12-x ≥0,解之得:x ≥1或x ≤1-. ∴该不等式的解集为{}11-≤≥x x x 或;(2)∵()()044441422222>=+-=---=∆t t t t∴∈∀t R ,该方程总有两个不相等的实数根. ∵方程的两个实数根均大于2-且小于4∴()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-=>++=-<--<-015840342422222t t f t t f t ,解之得:31<<-t .∴实数t 的取值范围是()3,1-. 例34. 已知二次函数12+-=bx ax y .(1)是否存在实数b a ,,使不等式012>+-bx ax 的解集是{}21<<x x ?若存在,求实数b a ,的值,若不存在,请说明理由;(2)若a 为整数,2+=a b ,且方程012=+-bx ax 在{}12-<<-∈x x x 上恰有一个实数根,求a 的值.解:(1)假设存在这样的实数b a ,.∵不等式012>+-bx ax 的解集是{}21<<x x ∴0<a ,方程012=+-bx ax 的两个实数根分别为2,1. 由根与系数的关系定理可得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯=+=--21121aa b ,解之得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2321b a . ∵021>=a ,与0<a 矛盾 ∴不存在这样的实数b a ,,使不等式012>+-bx ax 的解集是{}21<<x x ; (2)∵2+=a b ∴()0122=++-x a ax .∵()[]()0314242222>+-=+-=-+-=∆a a a a a∴方程()0122=++-x a ax 总有两个不相等的实数根.∵方程()0122=++-x a ax 在{}12-<<-∈x x x 上恰有一个实数根 ∴()()[]()[]0121122222<+++-⨯⨯+++-⨯a a a a整理得:()()03256<++a a ,解之得:6523-<<-a . ∵a 为整数 ∴a 的值为1-.例35. 已知不等式052>+-b ax x 的解集为{}14<>x x x 或. (1)求实数b a ,的值; (2)若10<<x ,()xbx a x f -+=1,求函数()x f 的最小值. 分析 (1)一元二次不等式的解的结构与二次项系数的符号有关,且一元二次不等式解集的端点值就是其对应的一元二次方程的两个实数根;(2)注意到()11=-+x x ,且01,10>-<<x x ,考虑利用基本不等式求函数()x f 的最小值.解:(1)∵不等式052>+-b ax x 的解集为{}14<>x x x 或∴方程052=+-b ax x 的两个实数根分别4和1. 由根与系数的关系定理可得:⎩⎨⎧⨯=+=14145b a ,解之得:⎩⎨⎧==41b a . ∴a 的值为1,b 的值为4; (2)由(1)可知:4,1==b a . ∴()xx x f -+=141. ∵10<<x ,∴01>-x . ∴()()[]x x x x x x x x x x x f -+-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+=-+=11451411141 ≥911425=-⋅-+xxx x . 当且仅当x x x x -=-114,即31=x 时,等号成立. ∴函数()x f 的最小值为9.。

二次函数与方程、不等式(知识点串讲)(原卷版)

二次函数与方程、不等式(知识点串讲)(原卷版)

专题03 二次函数与方程、不等式知识网络重难突破知识点一二次函数与一元二次方程二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)1.抛物线与x轴的交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的解.2.若已知二次函数y=ax2+bx+c的函数值为s,求自变量x的值,就是解一元二次方程ax2+bx+c=s.【典例1】(2020•滦州市模拟)二次函数y=﹣x2+mx的图象如图,对称轴为直线x=2,若关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t=0(t为实数)在1<x<5的范围内有解,则t的取值范围是()A.t>﹣5 B.﹣5<t<3 C.3<t≤4 D.﹣5<t≤4【变式训练】1.二次函数y=x2+bx+c的部分对应值如下表:x…﹣2 ﹣1 0 1 2 4 …y… 5 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 5 …则关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的解为()A.x1=﹣1,x2=﹣3 B.x1=﹣1,x2=1C.x1=﹣1,x2=3 D.x1=﹣1,x2=52.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则方程ax2+bx+c﹣2=0的根的情况是()A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.有两个不相等的负实数根D.没有实数根3.“如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点,那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根.”请根据你对这句话的理解,解决下面问题:若m、n(m<n)是关于x的方程1﹣(x﹣a)(x ﹣b)=0的两根,且a<b,则a、b、m、n的大小关系是()A.m<a<b<n B.a<m<n<b C.a<m<b<n D.m<a<n<b知识点二二次函数与x轴交点情况对于二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)△=b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数:①△=b2﹣4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点;②△=b2﹣4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点;③△=b2﹣4ac<0时,抛物线与x轴没有交点.【典例2】若关于x的函数y=kx2+2x﹣1的图象与x轴仅有一个交点,则实数k的值为.【变式训练】1.已知抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为(m,0),则代数式m2﹣m+2019的值为2.函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则函数y=cx2﹣bx+a的图象与x轴的交点分别是()A.(,0)、(1,0)B.(﹣1.0)、(,0)C.(﹣1,0)、(3,0)D.(﹣3,0)、(1,0)3.已知函数y=x2+(m+3)x+2m+2(1)判断该函数的图象与x轴的交点个数.(2)若m=﹣5,求出函数值y在0<x<5时的取值范围.(3)若方程x2﹣2x﹣8=k在0<x<5内有且只有一个解,直接写出k的范围.4.在平面直角坐标系中,已知m≠n,函数y=x2+(m+n)x+mn的图象与x轴有a个交点,函数y=mnx2+(m+n)x+1的图象与x轴有b个交点,则a与b的数量关系是()A.a=b B.a=b﹣1 C.a=b或a=b+1 D.a=b或a=b﹣1知识点三二次函数与不等式(组)1.涉及一元二次不等式的,可以利用二次函数图像图象求解2.两个函数的值的大小比较,上方图象的函数值大于下方图象的函数值.【典例4】已知直线y=mx+n和抛物线y=ax2+bx+c在同一坐标系中的位置如图所示,且抛物线与x轴交于点(﹣1,0)、(2,0),抛物线与直线交点的横坐标为1和﹣,那么不等式mx+n<ax2+bx+c<0的解集是()A.1<x<2 B.x<﹣或x>1 C.﹣<x<2 D.﹣1<x<2【变式训练】1.如图,抛物线y1=﹣x2+4x和直线y2=2x.当y1<y2时,x的取值范围是()A.0<x<2 B.x<0 或x>2 C.x<0 或x>4 D.0<x<42.给出下列命题及函数y=x,y=x2和y=的图象.(如图所示)①如果>a>a2,那么0<a<1;②如果a2>a>,那么a>1;③如果a2>>a,那么a<﹣1.则真命题的个数是()A.0 B.1 C.2 D.33.如图,已知直线y1=﹣x+2与x轴交于点A,与y轴交于点B.过A,B两点的抛物线y2=ax2+bx+c交x轴于点C(﹣1,0).(1)求A,B的坐标;(2)求抛物线的解析式;(3)求出当y1>y2时,自变量x的取值范围.巩固训练1.如图,以(1,﹣4)为顶点的二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴负半轴交于A点,则一元二次方程ax2+bx+c =0的正数解的范围是()A.2<x<3 B.3<x<4 C.4<x<5 D.5<x<62.已知函数y=3﹣(x﹣m)(x﹣n),并且a,b是方程3﹣(x﹣m)(x﹣n)=0的两个根,则实数m,n,a,b的大小关系可能是()A.m<n<b<a B.m<a<n<b C.a<m<b<n D.a<m<n<b3.抛物线y=﹣x2+2kx+2与x轴交点的个数为()A.0个B.1个C.2个D.以上都不对4.二次函数y=kx2﹣6x+3的图象与x轴有交点,则k的取值范围是()A.k<3 B.k<3且k≠0 C.k≤3 D.k≤3且k≠05.如图是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象,其顶点坐标为(1,n),且与x轴的一个交点在点(3,0)和(4,0)之间,则下列结论:①b=2a;②c﹣a=n;③抛物线另一个交点(m,0)在﹣2到﹣1之间;④当x<0时,ax2+(b+2)x<0;⑤一元二次方程ax2+(b﹣)x+c=0有两个不相等的实数根其中正确结论的个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个6.关于x的一元二次方程a(x﹣h+1)2+k+2=0(a>0)的解是x1=﹣5,x2=1,则不等式a(x+h﹣2)2+k <﹣2的解集为.7.如图,直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经过点A(1,0),B,且当x=4时,二次函数的值为6.(1)求m的值和抛物线的解析式;(2)求不等式x2+bx+c>x+m的解集.8.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,根据图象解答下列问题:(1)写出方程ax2+bx+c=0的两个根;(2)写出不等式ax2+bx+c>0的解集;(3)若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根,求k的取值范围.。

高考数学专题《二次函数与一元二次方程、不等式》习题含答案解析

高考数学专题《二次函数与一元二次方程、不等式》习题含答案解析

专题2.3 二次函数与一元二次方程、不等式1.(浙江高考真题)已知a ,b ,c ∈R ,函数f (x )=ax 2+bx +c .若f (0)=f (4)>f (1),则( ) A .a >0,4a +b =0 B .a <0,4a +b =0 C .a >0,2a +b =0 D .a <0,2a +b =0【答案】A 【解析】由已知得f (x )的图象的对称轴为x =2且f (x )先减后增,可得选项. 【详解】由f (0)=f (4),得f (x )=ax 2+bx +c 图象的对称轴为x =-2ba=2,∴4a +b =0, 又f (0)>f (1),f (4)>f (1),∴f (x )先减后增,于是a >0, 故选:A.2.(2021·全国高三专题练习(文))已知函数42()f x x x =-,则错误的是( )A .()f x 的图象关于y 轴对称B .方程()0f x =的解的个数为2C .()f x 在(1,)+∞上单调递增D .()f x 的最小值为14-【答案】B 【解析】结合函数的奇偶性求出函数的对称轴,判断A ,令()0f x =,求出方程的解的个数,判断B ,令2t x =,2211()()24g t t t t =-=--,从而判断C ,D 即可.【详解】42()f x x x =-定义域为R ,显然关于原点对称,又()()4242()f x x x x x -=---=-()f x =,所以()y f x =是偶函数,关于y 轴对称,故选项A 正确. 令()0f x =即2(1)(1)0x x x +-=,解得:0x =,1,1-,函数()f x 有3个零点,故B 错误;练基础令2t x =,2211()()24g t t t t =-=--,1x >时, 函数2t x =,2()g t t t =-都为递增函数,故()f x 在(1,)+∞递增,故C 正确;由12t =时,()g t 取得最小值14-,故()f x 的最小值是14-,故D 正确.故选:B .3.(2021·北京高三其他模拟)设x ∈R ,则“2560x x -+<”是“|2|1x -<”的( ) A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】分别解出两个不等式的解集,比较集合的关系,从而得到两命题的逻辑关系. 【详解】2560x x -+<23x ⇒<<;|2|1x -<13x ⇒<<;易知集合()2,3是()1,3的真子集,故是充分不必要条件. 故选:A.4.(2021·全国高三月考)已知函数2()f x x bx c =-++,则“02b f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”是“方程()0f x =有两个不同实数解且方程(())0f f x =恰有两个不同实数解”的( ) A .充要条件 B .充分不必要条件 C .必要不充分条件 D .既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】根据二次函数的图象与性质,求得(())02bf f >,反之若()0f t =有两个正根12t t <,当12max ()t t f x <<,得到方程(())0f f x =恰有四个不同实数解,结合充分条件、必要条件的判定方法,即可求解. 【详解】由2()f x x bx c =-++表示开口向下的抛物线,对称轴的方程为2b x =,要使得方程()0f x =有两个不同实数,只需()02bf >,要使得方程(())0f f x =恰有两个不同实数解,设两解分别为12,x x ,且12x x <, 则满足1max 2()x f x x <<,因为12(,)x x x ∈时,()0f x >,所以(())02b f f >,所以必要性成立; 反之,设()02b t f =>,即()0f t >,当()0f t =有两个正根,且满足12t t <,若12max ()t t f x <<, 此时方程(())0f f x =恰有四个不同实数解,所以充分性不成立.所以“02b f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”是“方程()0f x =有两个不同实数解且方程(())0f f x =恰有两个不同实数解”的必要不充分条件. 故选:C.5.(2021·全国高三专题练习)若当x ∈(1,2)时,函数y =(x -1)2的图象始终在函数y =log a x 的图象的下方,则实数a 的取值范围是___________. 【答案】1<a ≤2. 【解析】在同一个坐标系中画出两个函数的图象,结合图形,列出不等式组,求得结果. 【详解】如图,在同一平面直角坐标系中画出函数y =(x -1)2和y =log a x 的图象.由于当x ∈(1,2)时,函数y =(x -1)2的图象恒在函数y =log a x 的图象的下方,则1log 21aa >⎧⎨⎩,解得1<a ≤2.故答案为:1<a ≤2.6.(2020·山东省微山县第一中学高一月考)若不等式220ax x a ++<对任意x ∈R 恒成立,则实数a 的取值范围是_________.【答案】(,1)-∞- 【解析】∵不等式220ax x a ++<对任意x ∈R 恒成立, ∴函数22y ax x a =++的图象始终在x 轴下方,∴2440a a <⎧⎨∆=-<⎩,解得1a <-, 故答案为:(,1)-∞-.7.(2021·全国高三专题练习)已知当()0,x ∈+∞时,不等式9x -m ·3x +m +1>0恒成立,则实数m 的取值范围是________.【答案】(,2-∞+ 【解析】先换元3x =t ,()1,t ∈+∞,使f (t )=t 2-mt +m +1>0在()1,t ∈+∞上恒成立,再利用二次函数图象特征列限定条件,计算求得结果即可. 【详解】令3x =t ,当()0,x ∈+∞时,()1,t ∈+∞,则f (t )=t 2-mt +m +1>0在()1,t ∈+∞上恒成立,即函数在()1,t ∈+∞的图象在x 轴的上方,而判别式()()224144m m m m ∆=--+=--,故2440m m ∆=--<或()0121110m f m m ∆≥⎧⎪⎪≤⎨⎪=-++≥⎪⎩,解得2m <+故答案为:(,2-∞+.8.(2021·浙江高一期末)已知函数2()1(0)f x ax x a =-+≠,若任意1x 、2[1,)x ∈+∞且12x x ≠,都有()()12121f x f x x x ->-,则实数a 的取值范围是___________.【答案】[)1,+∞ 【解析】本题首先可令12x x >,将()()12121f x f x x x ->-转化为()()1122f x x f x x ->-,然后令()()g x f x x =-,通过函数单调性的定义得出函数()g x 在[1,)+∞上是增函数,最后分为0a =、0a ≠两种情况进行讨论,结合二次函数性质即可得出结果. 【详解】因为任意1x 、2[1,)x ∈+∞且12x x ≠,都有()()12121f x f x x x ->-,所以令12x x >,()()12121f x f x x x ->-即()()1212f x f x x x ->-,()()1122f x x f x x ->-,令()()221g x f x x ax x =-=-+,则函数()g x 在[1,)+∞上是增函数, 若0a =,则()21g x x =-+,显然不成立;若0a ≠,则0212a a>⎧⎪-⎨-≤⎪⎩,解得1a ≥,综合所述,实数a 的取值范围是[)1,+∞, 故答案为:[)1,+∞.9.(2021·四川成都市·高三三模(理))已知函数21,0()2,0x x f x x x x --≤⎧=⎨-+>⎩,若()()12f x f x =,且12x x ≠,则12x x -的最大值为________. 【答案】134【解析】由()()12f x f x =得,212221x x x =--,把12x x -转化为212212231x x x x x x -=-=-++,利用二次函数求最值. 【详解】()y f x =的图像如图示:不妨令12x x <,由图像可知,10x ≤,20x >由()()22121221221221f x f x x x x x x x =⇒--=-+⇒=--,由212212231x x x x x x -=-=-++ 当232x =时,12max134x x -=. 故答案为:134. 10.(2021·浙江高一期末)已知函数2()24f x kx x k =-+.(Ⅰ)若函数()f x 在区间[2,4]上单调递减,求实数k 的取值范围; (Ⅱ)[2,4]x ∀∈,()0f x ≥恒成立,求实数k 的取值范围. 【答案】(Ⅰ)1(,]4-∞;(Ⅱ)1[,)2+∞ 【解析】(Ⅰ)由题意讨论0k =,0k >与0k <三种情况,求出函数的对称轴,结合区间,列不等式求解;(Ⅱ)利用参变分离法得24k x x≥+在[2,4]上恒成立,令4()f x x x =+,根据单调性,求解出最值,即可得k 的取值范围. 【详解】(Ⅰ)当0k =时,()2f x x =-,在区间[2,4]上单调递减,符合题意;当0k >时,对称轴为1x k,因为()f x 在区间[2,4]上单调递减,所以14k ≥,得14k ≤,所以104k <≤;当0k <时,函数()f x 在区间[2,4]上单调递减,符合题意,综上,k 的取值范围为1(,]4-∞.(Ⅱ)[2,4]x ∀∈,()0f x ≥恒成立,即[2,4]x ∀∈,22244x k x x x≥=++恒成立,令4()f x x x=+,可知函数()f x 在[2,4]上单调递增,所以()4f x ≥,所以max 2142x x ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪+⎝⎭,所以12k ≥,故k 的取值范围为1[,)2+∞1.(2020·山东省高三二模)已知函数()()21f x x m x m =+--,若()()0f f x 恒成立,则实数m 的范围是( )A .3,3⎡--+⎣B .1,3⎡--+⎣C .[]3,1- D .3⎡⎤-+⎣⎦【答案】A 【解析】()()()()211f x x m x m x m x =+--=-+,(1)1m >-,()()0ff x ≥恒成立等价于()f x m ≥或()1f x ≤-恒成立,即()()21f x x m x m m =+--≥或()()211f x x m x m =+--≤-(不合题意,舍去)恒成立;即01m ∆≤⎧⎨>-⎩,解得(1,3m ∈--+, (2)1m =-恒成立,符合题意; (3)1m <-,()()0ff x ≥恒成立等价于()f x m ≤(不合题意,舍去)或()1f x ≥-恒成立,等价于1m ∆≤⎧⎨<-⎩,解得[)3,1m ∈--. 综上所述,3,3m ⎡∈--+⎣,故选:A.2.(2021·浙江高三二模)已知()22f x x x =-,对任意的1x ,[]20,3x ∈.方程练提升()()()()12f x f x f x f x m -+-=在[]0,3上有解,则m 的取值范围是( )A .[]0,3B .[]0,4C .{}3D .{}4【答案】D 【解析】对任意的1x ,[]20,3x ∈.方程()()()()12f x f x f x f x m -+-=在[]0,3上有解,不妨取取()11f x =-,()23f x =,方程有解m 只能取4,则排除其他答案.【详解】2()(1)1f x x =--,[0,3]x ∈,则min ()1f x =-,max ()3f x =.要对任意的1x ,[]20,3x ∈.方程()()()()12f x f x f x f x m -+-=在[]0,3上都有解, 取()11f x =-,()23f x =,此时,任意[0,3]x ∈,都有()()()()124m f x f x f x f x =-+-=, 其他m 的取值,方程均无解,则m 的取值范围是{}4. 故选:D.3.(2020·浙江省高三二模)已知函数()321,020a x x f x x ax x ⎧-≤⎪=⎨-+->⎪⎩的图象经过三个象限,则实数a 的取值范围是________. 【答案】2a <或3a >. 【解析】当0x ≤时,3()||11f x a x =-≤-,此时函数图象经过第三象限,当02x <<时,2()(1)2f x x a x =-++,此时函数图象恒经过第一象限,当2[(1)]40a =--->且10a +>,即3a >时,函数图像经过第一、四象限,当2x ≥时,2()(1)2f x x a x =---,此时函数图象恒经过第一象限,当(2)0f <,即2a >时,函数图像经过第一、四象限, 综上所述:2a <或3a >.4.(2020·陕西省西安中学高三其他(理))记{},max ,,,m m nm n n m n ≥⎧=⎨<⎩函数{}22()max 44(1),ln (1)f x x ax a x a =-+--<有且只有一个零点,则实数a 的取值范围是_________.【答案】12a < 【解析】令()()2244(1)0g x x ax a x =-+-->,因为1a <,则()2(1)651(5)0ln1g a a a a =-+-=---<=,所以(1)ln10f ==,即1是函数()f x 的零点, 因为函数()g x 的对称轴为122a x =<, 所以根据题意,若函数()f x 有且只有一个零点,则二次函数()g x 没有零点,22(4)16(1)0a a ∆=--<,解得12a <. 故答案为:12a <5.(2021·浙江高三专题练习)已知函数()21,()2f x x x a b a b R =+-+∈,若[1,1]x ∈-时,()1f x ≤,则12a b +的最大值是___________. 【答案】12- 【解析】根据函数()21,()2f x x x a b a b R =+-+∈,分1a >,1a <-和11a -≤≤三种情况讨论,分别求得其最大值,即可求解. 【详解】由题意,函数()21,()2f x x x a b a b R =+-+∈, 当1a >时,()211,[1,1]22f x x x a b x =-++∈-,因为() 1f x ≤,可得(1)11()14f f -≤⎧⎪⎨≥-⎪⎩,所以1122115216a b a b ⎧+≤-⎪⎪⎨⎪+≥-⎪⎩,所以15111622a b -≤+≤-; 当1a <-时,()211,[1,1]22f x x x a b x =+-+∈-,因为()1f x ≤,可得()max 11(1)1122f x f a b ==+-+≤, 所以1122b a ≤-,所以113222a b a +=-≤-;当11a -≤≤时,()21,[1,1]2f x x x a b x =+-+∈-,由()1f x ≤知,()max (1)1112f f x a b =+--+=, 因为11a -≤≤,所以10a --≤,所以()max (1)1112f f x a b =+--+=,所以1122a b +≤-,综上可得,12a b +的最大值是12-.故答案为:12-6.(2021·浙江高三期末)已知函数()()21sin sin ,22bf x x x a a b R =+-+∈,若对于任意x ∈R ,均有()1f x ≤,则+a b 的最大值是___________.【答案】1- 【解析】首先讨论1a ≥、1a ≤-时()f x 的最值情况,由不等式恒成立求+a b 的范围,再讨论11a -<<并结合()f x 的单调情况求+a b 的范围,最后取它们的并集即可知+a b 的最大值. 【详解】当sin a x ≥时,211()(sin )4216a b f x x +=-+-, 当sin a x <时,211()(sin )4216b a f x x -=++-,令sin [1,1]t x =∈-,则()()2211,4216{11(),()4216a b t a t g t b a t a t +⎛⎫-+-≥ ⎪⎝⎭=-++-<∴当1a ≥时,14t =有min 1()216a b g t +=-;1t =-有max 3()22a b g t +=+; 由x ∈R 有()1f x ≤,有131121622a b a b ++-≤-<+≤,故1518a b -≤+≤-; 当1a ≤-时,14t =-有min 1()216b a g t -=-;1t =有max 3()22b a g t -=+; 由x ∈R 有()1f x ≤,有131121622b a b a ---≤-<+≤,故1518b a -≤-≤-,即3a b +≤-; 当11a -<<时,()2211(),(1)4216{11,(1)4216a b t t a g t b a t a t +-+--<<=-⎛⎫++-≤< ⎪⎝⎭, ∴1(1,)4a ∈--:()g t 在(1,)a -上递减,1[,)4a -上递减,1[,1]4-上递增; 11[,]44a ∈-:()g t 在(1,)a -上递减,[,1)a 上递增;1(,1)4a ∈:()g t 在1(1,]4-上递减,1[,)4a 上递增,[,1)a 上递增;∴综上,()g t 在(1,1)-上先减后增,则(1)1(1)1g g ≤⎧⎨-≤⎩,可得1a b +≤-∴1a b +≤-恒成立,即+a b 的最大值是-1. 故答案为:1-.7.(2020·武汉外国语学校(武汉实验外国语学校)高一期中)已知函数2()3(,)f x ax bx a b R =++∈,且()0f x ≤的解集为[1,3].(1)求()f x 的解析式;(2)设()()41xh x f x x =+-,在定义域范围内若对于任意的12x x ,,使得()()12h x h x M -≤恒成立,求M 的最小值.【答案】(1)2()43f x x x =-+;(2)2. 【解析】(1)代入方程的根,求得参数值.(2)使不等式恒成立,根据函数单调性求得函数的最值,从而求得参数的值. 【详解】 解:(1)由题意(1)30(3)9330f a b f a b =++=⎧⎨=++=⎩解得14a b =⎧⎨=-⎩2()43f x x x ∴=-+(2)由题意max ()()min M h x h x -2(),2xh x x R x =∈+ 当0()0x h x ==当10()2x h x x x≠=+, 令2()g x x x=+,当0,()22x g x>,当x =当0,()x g x <≤-x =()(,)g x ∴∈-∞-⋃+∞(),00,(0)44h x x ⎡⎫⎛∈-⋃≠⎪ ⎢⎪⎣⎭⎝⎦综上,()44h x ⎡∈-⎢⎣⎦2442M⎛∴--= ⎝⎭min 2M ∴=8.(2021·浙江高一期末)设函数()()2,f x x ax b a b R =-+∈. (1)若()f x 在区间[]0,1上的最大值为b ,求a 的取值范围; (2)若()f x 在区间[]1,2上有零点,求2244a b b +-的最小值. 【答案】(1)[)1,+∞;(2)45. 【解析】(1)对实数a 的取值进行分类讨论,分析函数()f x 在区间[]0,1上的单调性,求得()max f x ,再由()max f x b =可求得实数a 的取值范围;(2)设函数()f x 的两个零点为1x 、2x ,由韦达定理化简()22222221222222241414144a x x x x x x b b x +-=+⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭,设()22224124g x x =⎛⎫+- ⎪⎝⎭,由[]21,2x ∈结合不等式的基本性质求出()2g x 的最小值,即为所求. 【详解】(1)二次函数()2f x x ax b =-+的图象开口向上,对称轴为直线2a x =. ①当02a≤时,即当0a ≤时,函数()f x 在区间[]0,1上单调递增,则()()max 11f x f a b ==-+; ②当012a <<时,即当02a <<时,函数()f x 在0,2a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减,在,12a ⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增, ()0f b =,()11f a b =-+,所以,(){}max 1,01max ,1,12a b a f x b a b b a -+<<⎧=-+=⎨≤<⎩;③当12a≥时,即当2a ≥时,函数()f x 在区间[]0,1上单调递减,则()()max 0f x f b ==.综上所述,()max 1,1,1a b a f x b a -+<⎧=⎨≥⎩.所以,当()f x 在区间[]0,1上的最大值为b ,实数a 的取值范围是[)1,+∞; (2)设函数()f x 的两个零点为1x 、2x ,由韦达定理可得1212x x ax x b+=⎧⎨=⎩,所以,()()22222222222212121211221212122444424142a b b x x x x x x x x x x x x x x x x x +-=++-=-++=+-+()222222222212222222241414141x x x x x x x x x x ⎛⎫=+-+-≥- ⎪+++⎝⎭, 设()242222222222422222444144141124x x g x x x x x x x =-===++⎛⎫++- ⎪⎝⎭, 由212x ≤≤可得221114x ≤≤,所以,()2222445124g x x =≥⎛⎫+- ⎪⎝⎭.此时,21x =,由212241x x x =+可得115x =. 所以,当115x =,21x =时,2244a b b +-取最小值45. 9.(2020·全国高一单元测试)已知函数f (x )=9x ﹣a ⋅3x +1+a 2(x ∈[0,1],a ∈R ),记f (x )的最大值为g (a ).(Ⅰ)求g (a )解析式;(Ⅱ)若对于任意t ∈[﹣2,2],任意a ∈R ,不等式g (a )≥﹣m 2+tm 恒成立,求实数m 的范围.【答案】(Ⅰ)g (a )=22499,3431,3a a a a a a ⎧-+≤⎪⎪⎨⎪-+>⎪⎩;(Ⅱ)m ≤﹣52或m ≥52.【解析】(Ⅰ)令u =3x ∈[1,3],得到f (x )=h (u )=u 2﹣3au +a 2,分类讨论即可求出, (Ⅱ)先求出g (a )min =g (32)=﹣54,再根据题意可得﹣m 2+tm ≤﹣54,利用函数的单调性即可求出.【详解】解:(Ⅰ)令u =3x ∈[1,3],则f (x )=h (u )=u 2﹣3au +a 2. 当32a≤2,即a ≤43时,g (a )=h (u )min =h (3)=a 2﹣9a +9; 当322a>,即a >43时,g (a )=h (u )min =h (1)=a 2﹣3a +1; 故g (a )=22499,3431,3a a a a a a ⎧-+≤⎪⎪⎨⎪-+>⎪⎩;(Ⅱ)当a≤43时,g (a )=a 2﹣9a +9,g (a )min =g (43)=﹣119;当a 43>时,g (a )=a 2﹣3a +1,g (a )min =g (32)=﹣54;因此g (a )min =g (32)=﹣54;对于任意任意a ∈R ,不等式g (a )≥﹣m 2+tm 恒成立等价于﹣m 2+tm ≤﹣54. 令h (t )=mt ﹣m 2,由于h (t )是关于t 的一次函数,故对于任意t ∈[﹣2,2]都有h (t )≤﹣54等价于5(2)45(2)4h h ⎧-≤-⎪⎪⎨⎪≤-⎪⎩,即2248504850m m m m ⎧+-≥⎨--≥⎩, 解得m ≤﹣52或m ≥52. 10.(2021·全国高一课时练习)已知函数()22(0)f x ax ax b a =-+>,在区间[]0,3上有最大值16,最小值0.设()()f xg x x=. (1)求()g x 的解析式;(2)若不等式()22log log 0g x k x -⋅≥在[]4,16上恒成立,求实数k 的取值范围;【答案】(1)()148g x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭(0)x ≠;(2)(,1]-∞. 【解析】(1)由二次函数的性质知()f x 在0,1上为减函数,在()1,3上为增函数,结合其区间的最值,列方程组求,a b ,即可写出()g x 解析式; (2)由题设得222184()4log log k x x≤-+在[]4,16x ∈上恒成立,即k 只需小于等于右边函数式的最小值即可. 【详解】(1)∵()2(1)f x a x b a =-+-(0a >),即()f x 在0,1上为减函数,在()1,3上为增函数.又在[]0,3上有最大值16,最小值0,∴(1)0f b a =-=,(3)316f a b =+=,解得4a b ==, ∴()148g x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭(0)x ≠; (2)∵()22log log 0g x k x -≥∴22214log 8log log x k x x ⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭,由[]4,16x ∈,则[]2log 2,4x ∈, ∴222221814()44(1)log log log k x x x ≤-+=-,设21log t x =,11,42t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦, ∴()24(1)h t t =-在11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数,当12t =时,()h t 最小值为1,∴1k ≤,即(,1]k ∈-∞.1.(浙江省高考真题)若函数()2f x =x ax b ++在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则M m -的值( )A .与a 有关,且与b 有关B .与a 有关,但与b 无关C .与a 无关,且与b 无关D .与a 无关,但与b 有关练真题【答案】B 【解析】因为最值在2(0),(1)1,()24a a fb f a b f b ==++-=-中取,所以最值之差一定与b 无关,选B .2.(2018·浙江高考真题)已知λ∈R,函数f (x )={x −4,x ≥λx 2−4x +3,x <λ,当λ=2时,不等式f (x )<0的解集是___________.若函数f (x )恰有2个零点,则λ的取值范围是___________. 【答案】 (1,4) (1,3]∪(4,+∞) 【解析】由题意得{x ≥2x −4<0 或{x <2x 2−4x +3<0 ,所以2≤x <4或1<x <2,即1<x <4,不等式f (x )<0的解集是(1,4),当λ>4时,f(x)=x −4>0,此时f(x)=x 2−4x +3=0,x =1,3,即在(−∞,λ)上有两个零点;当λ≤4时,f(x)=x −4=0,x =4,由f(x)=x 2−4x +3在(−∞,λ)上只能有一个零点得1<λ≤3.综上,λ的取值范围为(1,3]∪(4,+∞).3.(北京高考真题)已知0x ≥,0y ≥,且1x y +=,则22x y +的取值范围是_____.【答案】1[,1]2【解析】试题分析:22222(1)221,[0,1]x y x x x x x +=+-=-+∈,所以当01x =或时,取最大值1;当12x =时,取最小值12.因此22x y +的取值范围为1[,1]2.4.(2018·天津高考真题(理))已知0a >,函数222,0,()22,0.x ax a x f x x ax a x ⎧++≤=⎨-+->⎩若关于x 的方程()f x ax=恰有2个互异的实数解,则a 的取值范围是______________.【答案】(48),【解析】分析:由题意分类讨论0x ≤和0x >两种情况,然后绘制函数图像,数形结合即可求得最终结果. 详解:分类讨论:当0x ≤时,方程()f x ax =即22x ax a ax ++=, 整理可得:()21x a x =-+,很明显1x =-不是方程的实数解,则21x a x =-+,当0x >时,方程()f x ax =即222x ax a ax -+-=, 整理可得:()22x a x =-,很明显2x =不是方程的实数解,则22x a x =-,令()22,01,02x x x g x x x x ⎧-≤⎪⎪+=⎨⎪>⎪-⎩, 其中211211x x x x ⎛⎫-=-++- ⎪++⎝⎭,242422x x x x =-++-- 原问题等价于函数()g x 与函数y a =有两个不同的交点,求a 的取值范围. 结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数()g x 的图象, 同时绘制函数y a =的图象如图所示,考查临界条件, 结合0a >观察可得,实数a 的取值范围是()4,8.5.(2020·江苏省高考真题)已知关于x 的函数(),()y f x y g x ==与()(,)h x kx b k b =+∈R 在区间D 上恒有()()()f x h x g x ≥≥.(1)若()()222 2()f x x x g x x x D =+=-+=∞-∞+,,,,求h (x )的表达式; 【答案】(1)()2h x x =; 【解析】(1)由题设有2222x x kx b x x -+≤+≤+对任意的x ∈R 恒成立. 令0x =,则00b ≤≤,所以0b =.因此22kx x x ≤+即()220x k x +-≥对任意的x ∈R 恒成立,所以()220k ∆=-≤,因此2k =. 故()2h x x =.6.(浙江省高考真题(文))设函数2(),(,)f x x ax b a b R =++∈.(1)当214a b时,求函数()f x 在[1,1]-上的最小值()g a 的表达式; (2)已知函数()f x 在[1,1]-上存在零点,021b a ≤-≤,求b 的取值范围.【答案】(1)222,2,4(){1,22,2,24a a a g a a a a a ++≤-=-<≤-+>;(2)[3,9--【解析】 (1)当214a b时,2()()12a f x x =++,故其对称轴为2a x =-. 当2a ≤-时,2()(1)24a g a f a ==++.当22a -<≤时,()()12a g a f =-=.当2a >时,2()(1)24a g a f a =-=-+.综上,222,2,4(){1,22,2,24a a a g a a a a a ++≤-=-<≤-+>(2)设,s t 为方程()0f x =的解,且11t -≤≤,则{s t ast b+=-=.由于021b a ≤-≤,因此212(11)22t ts t t t --≤≤-≤≤++. 当01t ≤≤时,222222t t t b t t --≤≤++, 由于222032t t --≤≤+和212932t t t --≤≤-+所以293b -≤≤-当10t -≤≤时,222222t t t b t t --≤≤++, 由于22202t t --≤<+和2302t t t --≤<+,所以30b -≤<.综上可知,b 的取值范围是[3,9--.。

第二章 一元二次函数、方程和不等式 考点与题型解析(解析版)

第二章 一元二次函数、方程和不等式 考点与题型解析(解析版)

第二章一元二次函数、方程和不等式考点与题型解析一、本章知识体系二、考点与题型解读考点一本章考点方法梳理1.不等式的核心性质(1)a>b⇔b<a;(2)a>b,b>c⇒a>c;(3)a>b⇔a+c>b+c;(4)a>b,c>0⇒ac>bc;(5)a>b,c<0⇒ac<bc;(6)a>b,c>d⇒a+c>b+d;(7)a>b>0,c>d>0⇒ac>bd;(8)a>b>0,n∈N,n≥2⇒an>bn.2.不等式的性质是不等式理论的基础,在应用不等式性质进行论证时,要注意每个性质的条件,不要盲目乱用或错用性质,特别是乘法性质容易出错,要在记忆基础上加强训练,提高应用的灵活性.3.一元二次不等式的解法是根据一元二次方程的根与二次函数图像求解的,在求解含参数的一元二次不等式时,要注意相应方程根的情况的讨论.4.二元一次不等式的平面区域的确定,首先是画出直线(有虚实之分),然后用特殊点,一般选择原点去验证,以帮助选择直线的哪一侧.5.简单线性规划问题的解法称为图解法,针对应用题时,一定要正确地找到目标函数和线性约束条件,另外还应注意最优解问题以及移动直线时在y 轴上截距的正负与所求线性目标函数的最值之间的关系.当目标函数的几何意义为截距的正数倍时,截距最大时目标函数取最大值;而几何意义为截距的负数倍时,截距最大时目标函数取最小值.6.应用基本不等式求函数最值时,有三个条件:一是a 、b 为正;二是a +b 与a ·b 有一个为定值;三是等号要取到.这三个条件缺一不可,为了达到使用基本不等式的目的,常常需要对函数式(代数式)进行通分、分解等变形,构造和为定值或积为定值的模型.考点二 基本不等式及应用基本不等式:ab ≤a +b2(a>0,b>0)是每年高考的热点,主要考查命题判断、不等式证明以及求最值问题,特别是求最值问题往往与实际问题相结合,同时在基本不等式的使用条件上设置一些问题,实际上是考查学生恒等变形的技巧,另外,基本不等式的和与积的转化在高考中也经常出现.【例1】设a >0,b >0,2a +b =1,则1a +2b 的最小值为________.解析 ∵a >0,b >0,且2a +b =1,∴1a +2b =⎝ ⎛⎭⎪⎫1a +2b (2a +b )=4+b a +4ab≥4+2b a ·4ab=8, 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2a +b =1,b a =4a b ,即⎩⎪⎨⎪⎧a =14,b =12时等号成立.∴1a +2b 的最小值为8.答案 8【变式训练1】已知关于x 的不等式()224300x ax a a -+<>的解集为()12,x x ,则1212ax x x x ++的最小值是______.【答案】433考点三 一元二次不等式的解法对于一元二次不等式的求解,要善于联想两个方面的问题:①相应的二次函数图象及与x 轴的交点,②相应的一元二次方程的实根;反之对于二次函数(二次方程)的问题的求解,也要善于联想相应的一元二次不等式的解与相应的一元二次方程的实根.【例2】若不等式组⎩⎨⎧x 2-x -2>0,2x 2+2k +5x +5k <0,的整数解只有-2,求k 的取值范围.解:由x 2-x -2>0,得x <-1或x >2. 对于方程2x 2+(2k +5)x +5k =0有两个实数解 x 1=-52,x 2=-k .(1)当-52>-k ,即k >52时,不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪-k <x <-52,显然-2∉⎝ ⎛⎭⎪⎫-k ,-52.(2)当-k =-52时,不等式2x 2+(2k +5)x +5k <0的解集为∅.(3)当-52<-k ,即k <52时,不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪-52<x <-k .∴不等式组的解集由⎩⎪⎨⎪⎧x <-1,-52<x <-k 或⎩⎪⎨⎪⎧x >2,-52<x <-k 确定.∵原不等式组整数解只有-2, ∴-2<-k ≤3,故所求k 的范围是-3≤k <2.【变式训练2】二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示,反比例函数ay x=与正比例函数()y b c x =+在同一坐标系中的大致图象可能是()A .B .C .D .【答案】B考点四 不等式的恒成立问题不等式中的恒成立问题,既是学习中的难点,又是高考中的热点,在求解不等式中的恒成立问题时,要注意转化,利用数形结合的方法,构造不等式或不等式组进行探讨.常见的解决恒成立问题的方法有:(1)判别式法;(2)数形结合法;(3)分离参数法;(4)分类讨论法.【例3】不等式(m 2-2m -3)x 2-(m -3)x -1<0对一切实数x 恒成立,求m 的取值范围. 解:当m 2-2m -3=0时,m =-1或3. 而m =3时,-1<0符合题意,所以m =3; 当m 2-2m -3≠0时,应有⎩⎨⎧m 2-2m -3<0-m +32+4m 2-2m -3<0⇒⎩⎪⎨⎪⎧-1<m <3-15<m <3⇒-15<m <3.综上可得,m的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪-15<m ≤3. 【变式训练3】已知0,0x y >>且191x y+=,求使不等式x y m +≥恒成立的实数m 的取值范围. 【答案】16<m考点五 线性规划问题1.高考中线性规划主要考查平面区域的表示和图解法的具体应用,命题形式以选择题、填空题为主,命题模式是以线性规划为载体,考查区域的划分、区域的面积,涉及区域的最值问题、决策问题、整点问题、参数的取值范围问题等.2.简单线性规划问题的图解法就是利用数形结合的思想,根据线性目标函数的几何意义,求线性目标函数在线性约束条件下的最优解,一般步骤如下: ①作图:画出约束条件(不等式组)所确定的平面区域; ②找初始直线:列目标函数,找初始直线l 0;③平移:将直线l 0平行移动,以确定最优解所对应的点的位置;④求值:解有关的方程组,求出最优解,再代入目标函数,求出目标函数的最值.【例4】设关于x ,y 的不等式组⎩⎨⎧2x -y +1>0,x +m <0,y -m >0表示的平面区域内存在点P (x 0,y 0),满足x 0-2y 0=2,求得m 的取值范围是( ) A .⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞,43B .⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞,13C .⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞,-23D .⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞,-53【解析】当m ≥0时,若平面区域存在,则平面区域内的点在第二象限,平面区域内不可能存在点P (x 0,y 0)满足x 0-2y 0=2, 因此m <0.如图所示的阴影部分为不等式组表示的平面区域.要使可行域内包含y =12x -1上的点,只需可行域边界点(-m ,m )在直线y =12x -1的下方即可,即m <-12m -1,解得m <-23. 选C【变式训练4】若变量x ,y 满足约束条件11y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩,12z x y =+的最大值为m ,212y z x -=+的最小值为n ,则m n +=( ) A .2-B .2C .1D .1-【答案】C考点六 均值不等式的应用均值不等式通常用来求最值问题:一般用a +b ≥2ab (a ≥0,b ≥0)求“定积求和,和最小”问题,用ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a +b 22求“定和求积、积最大”问题.一定要注意适用的范围和条件:“一正、二定、三相等”.特别是利用拆项、添项、配凑、分离变量、减少变元等方法,构造定值条件的方法,及对等号能否成立的验证.若等号不能取到,则应用函数单调性来求最值,还要注意运用均值不等式解决实际问题. 【例5】已知0<x <2,求函数y =x (8-3x )的最大值.解:∵0<x <2,∴0<3x <6,∴8-3x >0,∴y =x (8-3x )=13·3x ·(8-3x )≤13·⎝ ⎛⎭⎪⎫3x +8-3x 22=163, 当且仅当3x =8-3x ,即x =43时,取等号.∴当x =43时,y =x (8-3x )取得最大值,最大值为163.【变式训练5】已知函数()218f x ax bx =++,()0f x >的解集为()3,2-.(1)求()f x 的解析式;(2)当1x >-时,求()211f x y x -=+的最大值.【答案】(1)()23318f x x x =--+;(2)max 3y =-.。

高考数学考点知识专题讲解与练习44---二次函数与一元二次方程、不等式

高考数学考点知识专题讲解与练习44---二次函数与一元二次方程、不等式

高考数学考点知识专题讲解与练习二次函数与一元二次方程、不等式学习目标1.从函数观点看一元二次方程.了解函数的零点与方程根的关系.2.从函数观点看一元二次不等式.经历从实际情景中抽象出一元二次不等式的过程,了解一元二次不等式的现实意义.3.借助一元二次函数的图象,了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.知识点一一元二次不等式的概念定义只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,叫做一元二次不等式一般形式ax2+bx+c>0,ax2+bx+c<0,ax2+bx+c≥0,ax2+bx+c≤0,其中a≠0,a,b,c均为常数知识点二一元二次函数的零点一般地,对于二次函数y=ax2+bx+c,我们把使ax2+bx+c=0的实数x叫做二次函数y =ax2+bx+c的零点.知识点三二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系判别式Δ=b2-4ac Δ>0Δ=0Δ<0二次函数y =ax 2+bx +c (a >0)的图象一元二次方程ax 2+bx +c =0(a >0)的根有两个不相等的实数根x 1,x 2(x 1<x 2)有两个相等的实数根x 1=x 2=-b2a没有实数根ax 2+bx +c >0(a >0)的解集{x |x <x 1,或x >x 2}⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠-b 2a Rax 2+bx +c <0(a >0)的解集{x |x 1<x <x 2}∅ ∅预习小测 自我检验1.下面所给关于x 的几个不等式:①3x +4<0;②x 2+mx -1>0;③ax 2+4x -7>0;④x 2<0.其中一定为一元二次不等式的有________.(填序号) 答案 ②④解析 一定是一元二次不等式的为②④. 2.不等式x (2-x )>0的解集为________. 答案 {x |0<x <2}解析 原不等式可化为x (x -2)<0,∴0<x <2. 3.不等式4x 2-9<0的解集是________. 答案⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪-32<x <32 解析 原不等式可化为x 2<94,即-32<x <32.4.已知一元二次不等式ax 2+2x -1<0的解集为R ,则a 的取值范围是________. 答案 {a |a <-1}解析 由题意知⎩⎨⎧ a <0,Δ<0,∴⎩⎨⎧a <0,4+4a <0,∴a <-1.一、解不含参数的一元二次不等式 例1解下列不等式: (1)-x 2+5x -6>0; (2)3x 2+5x -2≥0; (3)x 2-4x +5>0.解 (1)不等式可化为x 2-5x +6<0.因为Δ=(-5)2-4×1×6=1>0,所以方程x 2-5x +6=0有两个实数根:x 1=2,x 2=3. 由二次函数y =x 2-5x +6的图象(如图①),得原不等式的解集为{x |2<x <3}.(2)因为Δ=25-4×3×(-2)=49>0,所以方程3x 2+5x -2=0的两实根为x 1=-2,x 2=13. 由二次函数y =3x 2+5x -2的图象(图②),得原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤-2或x ≥13. (3)方程x 2-4x +5=0无实数解,函数y =x 2-4x +5的图象是开口向上的抛物线,与x 轴无交点(如图③).观察图象可得,不等式的解集为R .反思感悟 解一元二次不等式的一般步骤第一步:把一元二次不等式化为标准形式(二次项系数为正,右边为0的形式);第二步:求Δ=b 2-4ac ;第三步:若Δ<0,根据二次函数图象直接写出解集;若Δ≥0,求出对应方程的根写出解集. 跟踪训练1解下列不等式: (1)4x 2-4x +1>0; (2)-x 2+6x -10>0.解 (1)∵方程4x 2-4x +1=0有两个相等的实根x 1=x 2=12.作出函数y =4x 2-4x +1的图象如图.由图可得原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠12.(2)原不等式可化为x 2-6x +10<0, ∵Δ=36-40=-4<0, ∴方程x 2-6x +10=0无实根, ∴原不等式的解集为∅.二、三个“二次”间的关系及应用例2已知二次函数y =ax 2+(b -8)x -a -ab ,且y >0的解集为{x |-3<x <2}.(1)求二次函数的解析式;(2)当关于x 的不等式ax 2+bx +c ≤0的解集为R 时,求c 的取值范围. 解 (1)因为y >0的解集为{x |-3<x <2},所以-3,2是方程ax 2+(b -8)x -a -ab =0的两根, 所以⎩⎪⎨⎪⎧-3+2=-b -8a ,-3×2=-a -aba ,解得⎩⎨⎧a =-3,b =5,所以y =-3x 2-3x +18.(2)因为a =-3<0,所以二次函数y =-3x 2+5x +c 的图象开口向下,要使-3x 2+5x +c ≤0的解集为R ,只需Δ≤0,即25+12c ≤0,所以c ≤-2512. 所以当c ≤-2512时,-3x 2+5x +c ≤0的解集为R . 反思感悟 三个“二次”之间的关系(1)三个“二次”中,二次函数是主体,讨论二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究.(2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系,通过二次函数的图象及性质来解决问题,关系如下:特别提醒:由于忽视二次项系数的符号和不等号的开口易写错不等式的解集形式. 跟踪训练2已知关于x 的不等式ax 2+5x +c >0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪13<x <12. (1)求a ,c 的值;(2)解关于x 的不等式ax 2+(ac +2)x +2c ≥0.解 (1)由题意知,不等式对应的方程ax 2+5x +c =0的两个实数根为13和12, 由根与系数的关系,得⎩⎪⎨⎪⎧-5a =13+12,c a =12×13,解得a =-6,c =-1.(2)由a =-6,c =-1知不等式ax 2+(ac +2)x +2c ≥0可化为-6x 2+8x -2≥0,即3x 2-4x +1≤0,解得13≤x ≤1,所以不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪13≤x ≤1.三、含参数的一元二次不等式的解法例3设a ∈R ,解关于x 的不等式ax 2+(1-2a )x -2>0.解 (1)当a =0时,不等式可化为x -2>0,解得x >2,即原不等式的解集为{x |x >2}. (2)当a ≠0时,方程ax 2+(1-2a )x -2=0的两根分别为2和-1a . ①当a <-12时,解不等式得-1a <x <2,即原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪-1a <x <2; ②当a =-12时,不等式无解, 即原不等式的解集为∅;③当-12<a <0时,解不等式得2<x <-1a ,即原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2<x <-1a; ④当a >0时,解不等式得x <-1a 或x >2,即原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <-1a 或x >2. 反思感悟 解含参数的一元二次不等式的步骤特别提醒:对应方程的根优先考虑用因式分解确定,分解不开时再求判别式Δ,用求根公式计算.跟踪训练3(1)当a =12时,求关于x 的不等式x 2-⎝ ⎛⎭⎪⎫a +1a x +1≤0的解集; (2)若a >0,求关于x 的不等式x 2-⎝ ⎛⎭⎪⎫a +1a x +1≤0的解集.解 (1)当a =12时,有x 2-52x +1≤0,即2x 2-5x +2≤0,解得12≤x ≤2,故不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12≤x ≤2. (2)x 2-⎝ ⎛⎭⎪⎫a +1a x +1≤0⇔⎝ ⎛⎭⎪⎫x -1a (x -a )≤0,①当0<a <1时,a <1a ,不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪a ≤x ≤1a ; ②当a =1时,a =1a =1,不等式的解集为{1};③当a >1时,a >1a ,不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1a ≤x ≤a .综上,当0<a <1时,不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪a ≤x ≤1a; 当a =1时,不等式的解集为{1}; 当a >1时,不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1a ≤x ≤a.1.不等式9x 2+6x +1≤0的解集是()A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠-13 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪-13≤x ≤13 C .∅ D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x =-13 答案 D解析 原不等式可化为(3x +1)2≤0, ∴3x +1=0,∴x =-13.2.如果关于x 的不等式x 2<ax +b 的解集是{x |1<x <3},那么b a 等于() A .-81 B .81 C .-64 D .64 答案 B解析 不等式x 2<ax +b 可化为x 2-ax -b <0, 其解集是{x |1<x <3},那么,由根与系数的关系得⎩⎨⎧1+3=a ,1×3=-b ,解得a =4,b =-3;所以b a =(-3)4=81.故选B.3.不等式x2-2x>0的解集是()A.{x|x≥2或x≤0} B.{x|x>2或x<0}C.{x|0≤x≤2} D.{x|0<x<2}答案 B解析解x2-2x>0,即x(x-2)>0,得x>2或x<0,故选B.4.不等式x2-3x-10<0的解集是________.答案{x|-2<x<5}解析由于x2-3x-10=0的两根为-2,5,故x2-3x-10<0的解集为{x|-2<x<5}.5.若方程x2+(m-3)x+m=0有实数解,则m的取值范围是________________.答案{m|m≥9或m≤1}解析由方程x2+(m-3)x+m=0有实数解,∴Δ=(m-3)2-4m≥0,即m2-10m+9≥0,∴(m-9)(m-1)≥0,∴m≥9或m≤1.1.知识清单:解一元二次不等式的常见方法(1)图象法:①化不等式为标准形式:ax2+bx+c>0(a>0)或ax2+bx+c<0(a>0);②求方程ax2+bx+c=0(a>0)的根,并画出对应函数y=ax2+bx+c图象的简图;③由图象得出不等式的解集.(2)代数法:将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解. 2.方法归纳:数形结合,分类讨论.3.常见误区:当二次项系数小于0时,需两边同乘-1,化为正的.1.(2019·全国Ⅰ)已知集合M ={x |-4<x <2},N ={x |x 2-x -6<0},则M ∩N 等于() A .{x |-4<x <3} B .{x |-4<x <-2} C .{x |-2<x <2} D .{x |2<x <3}答案 C解析 ∵N ={x |-2<x <3},M ={x |-4<x <2}, ∴M ∩N ={x |-2<x <2},故选C.2.若0<m <1,则不等式(x -m )⎝ ⎛⎭⎪⎫x -1m <0的解集为()A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1m <x <m B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >1m 或x <m C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >m 或x <1m D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪m <x <1m 答案 D解析 ∵0<m <1,∴1m >1>m ,故原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪m <x <1m,故选D.3.二次方程ax 2+bx +c =0的两根为-2,3,如果a <0,那么ax 2+bx +c >0的解集为() A .{x |x >3或x <-2}B .{x |x >2或x <-3}C.{x|-2<x<3} D.{x|-3<x<2} 答案 C解析由题意知-2+3=-ba,-2×3=ca,∴b=-a,c=-6a,∴不等式ax2+bx+c>0可化为ax2-ax-6a>0,又a<0,∴x2-x-6<0,∴(x-3)(x+2)<0,∴-2<x<3,故选C.4.若不等式5x2-bx+c<0的解集为{x|-1<x<3},则b+c的值是() A.5 B.-5 C.-25 D.10答案 B解析由题意知-1,3为方程5x2-bx+c=0的两根,∴-1+3=b5,-3=c5,∴b=10,c=-15,∴b+c=-5.故选B.5.若关于x的二次不等式x2+mx+1≥0的解集为R,则实数m的取值范围是() A.{m|m≤-2或m≥2} B.{m|-2≤m≤2}C.{m|m<-2或m>2} D.{m|-2<m<2}答案 B解析∵x2+mx+1≥0的解集为R,∴Δ=m2-4≤0,∴-2≤m≤2,故选B.6.不等式x2-4x+4≤0的解集是________.答案{2}解析原不等式可化为(x-2)2≤0,∴x=2.7.不等式x 2+3x -4<0的解集为________.答案 {x |-4<x <1}解析 易得方程x 2+3x -4=0的两根为-4,1,所以不等式x 2+3x -4<0的解集为{x |-4<x <1}.8.关于x 的不等式(mx -1)(x -2)>0,若此不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 1m <x <2,则m 的取值范围是________.答案 {m |m <0}解析 ∵不等式(mx -1)(x -2)>0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 1m <x <2, ∴方程(mx -1)(x -2)=0的两个实数根为1m 和2,且⎩⎪⎨⎪⎧ m <0,1m <2,解得m <0,∴m 的取值范围是m <0.9.已知不等式x 2-2x -3<0的解集为A ,不等式x 2+x -6<0的解集为B .(1)求A ∩B ;(2)若不等式x 2+ax +b <0的解集为A ∩B ,求不等式ax 2+x +b <0的解集.解 (1)由x 2-2x -3<0,得-1<x <3,∴A ={x |-1<x <3}.由x 2+x -6<0,得-3<x <2,∴B ={x |-3<x <2},∴A ∩B ={x |-1<x <2}.(2)由题意,得⎩⎨⎧ 1-a +b =0,4+2a +b =0,解得⎩⎨⎧a =-1,b =-2.∴-x 2+x -2<0,∴x 2-x +2>0,∵Δ=1-8=-7<0,∴不等式x 2-x +2>0的解集为R .10.若不等式(1-a )x 2-4x +6>0的解集是{x |-3<x <1}.(1)解不等式2x 2+(2-a )x -a >0;(2)b 为何值时,ax 2+bx +3≥0的解集为R?解 (1)由题意知1-a <0,且-3和1是方程(1-a )x 2-4x +6=0的两根,∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1-a <0,41-a =-2,61-a =-3,解得a =3.∴不等式2x 2+(2-a )x -a >0,即为2x 2-x -3>0,解得x <-1或x >32.∴所求不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x <-1或x >32. (2)ax 2+bx +3≥0,即为3x 2+bx +3≥0,若此不等式解集为R ,则Δ=b 2-4×3×3≤0,∴-6≤b ≤6.11.下列四个不等式:①-x 2+x +1≥0;②x 2-25x +5>0;③x 2+6x +10>0;④2x 2-3x +4<1.其中解集为R 的是()A .①B .②C .③D .④答案C解析①显然不可能;②中Δ=(-25)2-4×5>0,解集不为R;③中Δ=62-4×10<0.满足条件;④中不等式可化为2x2-3x+3<0,所对应的二次函数开口向上,显然不可能.故选C. 12.在R上定义运算“⊙”:a⊙b=ab+2a+b,则满足x⊙(x-2)<0的实数x的取值范围为()A.{x|0<x<2} B.{x|-2<x<1}C.{x|x<-2或x>1} D.{x|-1<x<2}答案 B解析根据给出的定义得,x⊙(x-2)=x(x-2)+2x+(x-2)=x2+x-2=(x+2)(x-1),又x⊙(x-2)<0,则(x+2)(x-1)<0,故不等式的解集是{x|-2<x<1}.13.若关于x的方程(a-2)x2-2(a-2)x+1=0无实数解,则a的取值范围是________.答案2≤a<3解析若a-2=0,即a=2时,原方程为1=0不合题意,∴a=2满足条件,若a-2≠0,则Δ=4(a-2)2-4(a-2)<0,解得2<a<3,综上有a的取值范围是2≤a<3.14.已知不等式x2-2x+5≥a2-3a对∀x∈R恒成立,则a的取值范围为________.答案{a|-1≤a≤4}解析x2-2x+5=(x-1)2+4≥a2-3a恒成立,∴a 2-3a ≤4,即a 2-3a -4≤0,∴(a -4)(a +1)≤0,∴-1≤a ≤4.15.在R 上定义运算:⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd =ad -bc .若不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x -1a -2a -1x ≥1对任意实数x 恒成立,则实数a 的最大值为________.答案 32解析 原不等式等价于x (x -1)-(a -2)(a +1)≥1,即x 2-x -1≥(a +1)(a -2)对任意x 恒成立,因为x 2-x -1=⎝ ⎛⎭⎪⎫x -122-54≥-54, 所以-54≥a 2-a -2,解得-12≤a ≤32.16.已知不等式ax 2+2ax +1≥0对任意x ∈R 恒成立,解关于x 的不等式x 2-x -a 2+a <0. 解 ∵ax 2+2ax +1≥0对任意x ∈R 恒成立.当a =0时,1≥0,不等式恒成立;当a ≠0时,则⎩⎨⎧a >0,Δ=4a 2-4a ≤0,解得0<a ≤1. 综上,0≤a ≤1.由x 2-x -a 2+a <0,得(x -a )[x -(1-a )]<0.∵0≤a ≤1,∴①当1-a >a ,即0≤a <12时,a <x <1-a ;②当1-a =a ,即a =12时,⎝ ⎛⎭⎪⎫x -122<0,不等式无解;③当1-a <a ,即12<a ≤1时,1-a <x <a .综上,当0≤a <12时,原不等式的解集为{x |a <x <1-a };当a =12时,原不等式的解集为∅;当12<a ≤1时,原不等式的解集为{x |1-a <x <a }.。

人教版高中数学精讲精练必修一2.3 二次函数与一元二次方程、不等式(精讲)(解析版)

人教版高中数学精讲精练必修一2.3 二次函数与一元二次方程、不等式(精讲)(解析版)

2.3二次函数与一元二次方程、不等式(精讲)一.一元二次不等式的概念一元二次不等式定义只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式一般形式ax 2+bx +c >0或ax 2+bx +c <0,其中a ,b ,c 均为常数,a ≠0解集ax 2+bx +c >0(a ≠0)解集是使y =ax 2+bx +c 的函数值为正数的自变量x 的取值集合ax 2+bx +c <0(a ≠0)解集是使y =ax 2+bx +c 的函数值为负数的自变量x 的取值集合ax 2+bx +c ≥0(a ≠0)解集是使y =ax 2+bx +c 的函数值大于或等于0的自变量x 的取值集合ax 2+bx +c ≤0(a ≠0)解集是使y =ax 2+bx +c 的函数值小于或等于0的自变量x 的取值集合注意事项:(1)一元二次不等式中的“一元”是指不等式中所要求解的未知数,并且这个未知数是唯一的,但这并不意味着不等式中不能含有其他字母,若含有其他字母,则把其他字母看成常数.(2)一元二次不等式中的“二次”是指所要求解的未知数的最高次数必须是2,且最高次项的系数不为0.二.“三个二次”的关系一元二次不等式,a 为正值来定形;对应方程根求好,心中想想抛物线;大于异根取两边,小于异根夹中间;大于等根根去掉,小于等根空集成;大于无根取全体,小于无根不可能!注意事项:“大于”“小于”指的是当二次项系数转化为正数后的不等号.因此,为了避免出现错误,在求解一元二次不等式时,通常是将二次项系数变为正数(即将不等式两边同时乘以-1,不等号也随之改变方向).四.一元二次不等式恒成立问题1.当未说明不等式为一元二次不等式时,有①不等式ax 2+bx +c >0对任意实数x 恒成立=b =0,>0>0,<0;②不等式ax 2+bx +c <0对任意实数x 恒成立=b =0,<0<0,<0.2.一元二次不等式ax 2+bx +c >0在x ∈{x |m ≤x ≤n }时恒成立,等价于当m ≤x ≤n 时,函数y =ax 2+bx +c 的图象恒在x >0,<0.3.分离参数,将恒成立问题转化为求最值问题.一.解不含参数的一元二次不等式的方法1.若不等式对应的一元二次方程能够分解因式,即能够转化为两个一次因式的乘积形式,则可以直接由因式分解法或不等式的性质得到不等式的解集.2.若不等式对应的一元二次方程不能分解因式,则可对式子进行配方,化为完全平方式,再开根号求解.二.解含参数的一元二次不等式的方法1.讨论二次项系数:二次项系数若含有参数,应讨论是小于0,还是大于0,若小于0,则将不等式转化为二次项系数为正的形式;2.判断方程的个数:判断方程根的个数,讨论判别式Δ与0的关系;3.写出解集:确定无根时可直接写出解集,确定方程有两个根时,要讨论两根的大小关系,从而确定解集形式注意事项:对应方程的根优先考虑用因式分解确定,分解不开时再求判别式Δ,用求根公式计算.考点一解不含参数的一元二次不等式【例1】(2023·湖南)解下列不等式:(1)2362x x -+≤(2)29610x x -+>(3)2610x x <-(4)21212x x -<+-≤【答案】(1)⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎦⎣⎭(2)11,,33⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(3)∅(4)[3,2)(0,1]-- 【解析】(1)2362x x -+≤,即2223620203x x x x -+≥⇔-+≥,配方可得21(1)3x -≥,解得33,,33x ⎛⎡⎫∈-∞+∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭(2)29610x x -+>,即2(31)0x ->,解得11,,33x ⎛⎫⎛⎫∈-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;(3)2610x x <-,即26100x x -+<,而220610(3)11x x x >-+=-+≥,从而不等式无解,即解集为∅;(4)22121220x x x x -<+-≤⇔+>且2230x x +-≤同时成立.由220x x +>解得()(),20,x ∈-∞-⋃+∞,由2230x x +-≤,即(1)(3)0x x -+≤,解得[3,1]x ∈-.于是[3,2)(0,1]x ∈--【一隅三反】(2023·内蒙古赤峰)解下列不等式:(1)22530x x +-<;(2)2362x x -+≤;(3)5132x x +≤-;(4)()()()12253x x x x --<-+(5)2230x x +->(6)24410x x -+-≥(7)2440x x -+>;(8)23520x x +-->;(9)22730x x ++>;(10)221x x <-.【答案】(1)13,2⎛⎫- ⎪⎝⎭(2),11⎛⎡⎫-∞+∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭(3)[)13,3-(4)()(),11,-∞+∞ (5)()3,1,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭(6)12⎧⎫⎨⎬⎩⎭(7)()(),22,-∞+∞ (8)2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭(9)()1,3,2⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎝⎭(10)∅【解析】(1)22530x x +-< ,()()2130x x ∴-+<,132x ∴-<<,即不等式的解集为13,2⎛⎫- ⎪⎝⎭;(2)2362x x -+≤ ,23620x x -∴+≥,解得13x ≤-或13x ≥+;即不等式的解集为33,1133⎛⎡⎫-∞++∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭;(3)5132x x +≤- ,()153230x x x ⎧+≤-⎪∴⎨⎪->⎩或()153230x x x ⎧+≥-⎪⎨⎪-<⎩解得133x -≤<,即不等式的解集为[)13,3-;(4)()()()12253x x x x --<-+ ,整理得2210x x -+>,解得1x ≠,即不等式的解集为()(),11,-∞+∞ .(5)由2230x x +->可得()()2310x x +->,所以1x >或32x <-,即解集为()3,1,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭;(6)由24410x x -+-≥可得()2210x -≤,所以12x =,即解集为12⎧⎫⎨⎬⎩⎭;(7)2440x x -+>可化为()220x ->,解得2x ≠,所以不等式的解集为()(),22,-∞+∞ .(8)23520x x +-->可化为23520x x +<-,即()()3210x x --<,解得213x <<,所以不等式的解集为2,13⎛⎫⎪⎝⎭.(9)22730x x ++>可化为()()2130x x ++>,解得3x <-或12x >-,所以不等式的解集为()1,3,2⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎝⎭.(10)221x x <-可化为2210x x -+<,因为不等式对应的方程的判别式()214270∆=--⨯=-<,所以不等式的解集为∅.考点二解含参数的一元二次不等式【例2-1】(2023·河北)解下列关于x 的不等式()()20x x a --≤【答案】答案见解析【解析】由()()20x x a --=,可得2x =或x a =,则:当2a <时,原不等式解集为{|2}x a x ≤≤;当2a =时,原不等式解集为{2};当2a >时,原不等式解集为{|2}x x a ≤≤;【例2-2】(2023·安徽)解关于x 的不等式2(1)10(R)ax a x a -++<∈.【答案】答案见解析【解析】原不等式变为(1)(1)0ax x --<,①当0a >时,原不等式可化为1(1)0x x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭,所以当1a >时,解得11x a <<;当1a =时,解集为∅;当01a <<时,解得11x a<<②当0a =时,原不等式等价于10x -+<,即1x >.③当0a <时,11a <,原不等式可化为1(1)0x x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭,解得1x >或1x a <.综上,当01a <<时,不等式的解集为11x x a ⎧⎫<<⎨⎩⎭∣,当1a =时,不等式的解集为∅,当1a >时,不等式的解集为11x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭∣,当0a =时,不等式的解集为{1}x x >∣,当a<0时,不等式的解集为{1xx a<∣或1}x >.【例2-3】(2023·广东深圳)解关于x 的不等式2210x mx m -++>.【答案】答案见解析【解析】不等式对应方程2210x mx m -++=的判别式22(24141()())m m m m ∆--=-=+-,(1)当0∆>,即m >m <由于方程2210x mx m -++=的根是x m =,所以不等式的解集是{|x x m <或x m >;(2)当Δ0=,即m ={|R x x ∈且}x m ≠;(3)当Δ0<m <R ,故12m >或12m <时,不等式的解集是{|x x m <x m >;12m ±=时,不等式的解集为{|R x x ∈且}x m ≠;m <<时,不等式的解集为R .【例2-4】(2023·湖南长沙)若关于x 的不等式2242ax x ax -<-只有一个整数解,则实数a 的取值范围是()A .112a <≤B .12a <<C .12a ≤<D .11a -<<【答案】C【解析】不等式2242ax x ax -<-化为()22420ax a x -++<,即()()2120x ax --<,当0a =时,不等式化为()()2120x --<,得12x >,有无数个整数解,不符合题意;当0a >时,由关于x 的不等式2242ax x ax -<-只有一个整数解,可知122a<,不等式()()2120x ax --<的解为122x a <<,由题意,212a<≤,解得12a ≤<;当a<0时,不等式()()2120x ax --<的解为12x >或2x a<,有无数个整数解,不符合题意.综上,实数a 的取值范围是12a ≤<.故选:C 【一隅三反】1.(2022秋·四川阿坝·高一校考期中)关于x 的不等式2(1)0x a x a -++<的解集中恰有2个整数,则实数a 的取值范围()A .(1,0][2,3)-⋃B .[2,1)(3,4]--C .()(]2,13,4--⋃D .[1,0)(2,3]- 【答案】B【解析】不等式2(1)0x a x a -++<化为(1)()0x x a --<,当1a =时,不等式无解,当1a <时,不等式解为1<<a x ,这里有且只有2个整数,则21a -≤<-,当1a >时,不等式解为1x a <<,这里有且只有2个整数,则34a <≤,综上a 的取值范围是[2,1)(3,4]-- .故选:B .2.(2023·江苏·高一假期作业)解关于x 的不等式()()2231220x a x a --+->【答案】答案见解析【解析】原不等式可化为[(1)][2(1)]0x a x a -+-->.当12(1)a a +>-,即3a <时,1x a >+或2(1)x a <-;当12(1)a a +=-,即3a =时,4x ≠;当12(1)a a +<-,即3a >时,2(1)x a >-或1x a <+.综上,当3a <时,解集为{1x x a >+∣或2(1)}x a <-;当3a =时,解集为{4}xx ≠∣;当3a >时,解集为{2(1)xx a >-∣或1}x a <+.3.(2023·全国·高一专题练习)解下列关于x 的不等式()22210ax a x -++>.【答案】答案见解析【解析】当a<0时,原不等式为()2221(21)(1)0ax a x x ax -++-=--+<,解集为11{|}2x x a <<;当0a =时,原不等式为210x -+>,解集为1{|}2x x <;当0a >时,原不等式为()2221(21)(1)0ax a x x ax -++=-->,若112a >,即02a <<时,解集为1{|2x x <或1}x a>;若112a =,即2a =时,解集为1{|}2x x ≠;若112a <,即2a >时,解集为1{|x x a<或1}2x >;综上,a<0解集为11{|}2x x a <<;0a =解集为1{|}2x x <;02a <<解集为1{|2x x <或1}x a>;2a =解集为1{|}2x x ≠;2a >解集为1{|x x a<或1}2x >.4.(2023·上海)解关于x 的不等式210x ax -+≤.【答案】答案见解析【解析】由题意知24a ∆=-,①当240a ->,即2a >或2a <-时,方程210x ax -+=的两根为2a x =,所以解集为x ⎧⎪≤≤⎨⎪⎪⎩⎭;②若240a -=,即2a =±时,当2a =时,原不等式可化为2210x x -+≤,即()210x -≤,所以1x =,当2a =-时,原不等式可化为2210x x ++≤,即()210x +≤,所以=1x -;③当240a -<,即22a -<<时,原不等式的解集为∅;综上,当2a >或2a <-时,原不等式的解集为2a x ⎧⎪≤≤⎨⎪⎪⎩⎭;当2a =时,原不等式的解集为{1};当2a =-时,原不等式的解集为{}1-;当22a -<<时,原不等式的解集为∅.考点三三个“二次”之间的关系【例3-1】(2023春·河南)已知,,a b c ∈R ,且0a ≠,关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为(3,2)-,则关于x 的不等式20cx ax b ++>的解集为()A .11,32⎛⎫- ⎪⎝⎭B .11,23⎛⎫- ⎪⎝⎭C .11,,32∞∞⎛⎫⎛⎫--⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D .11,,23⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】C【解析】因为不等式20ax bx c ++>,0a ≠的解集为(3,2)-,所以a<0且321326bac a⎧-=-+=-⎪⎪⎨⎪=-⨯=-⎪⎩即6b a c a =⎧⎨=-⎩,不等式20cx ax b ++>等价于260ax ax a -++>,即2610x x -->,()()21310x x -+>,解得13x <-或12x >,所以不等式20cx ax b ++>的解集为:11,,32∞∞⎛⎫⎛⎫--⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故选:C .【一隅三反】1.(2023·全国·高一假期作业)若一元二次不等式20ax bx c ++>的解集是{}|12x x -<<,则一元二次不等式20cx bx a ++>的解集是()A .1|12x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或B .1|12x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭C .1|12x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或D .1|12x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭【答案】C【解析】由一元二次不等式20ax bx c ++>的解集是{}|12x x -<<可得1,2-是20ax bx c ++=的两个根,且0,a <所以2,1b c a a -==-,所以20cx bx a ++>可化为210c bx x a a++<,即2210x x --+<,解得1x <-或12x >.故选:C 2.(2023·湖南)若不等式20ax x c -->的解集为{}32x x -<<,则函数2y ax x c =+-的图象与x 轴的交点为()A .()3,0和()2,0-B .()2,0-C .()3,0D .2-和3【答案】A【解析】若不等式20ax x c -->的解集为{}32x x -<<,则方程20ax x c --=的两个根为123,2x x =-=且0a <,13232a c a ⎧-+=⎪⎪∴⎨⎪-⨯=-⎪⎩,解得16a c =-⎧⎨=-⎩,则函数226y ax x c x x =+-=-++,令260y x x =-++=,解得2x =-或3x =,故函数2y ax x c =+-的图象与x 轴的交点为()2,0-和()3,0.故选:A.3.(2022秋·天津)已知不等式897x +<和不等式22ax bx +>的解集相同,则实数a b 、的值分别为()A .810--、B .49--、C .19-、D .12-、【答案】B【解析】8977897x x +<⇒-<+<,解得124x -<<-,因为,不等式897x +<和不等式22ax bx +>的解集相同,故220ax bx +-=的两根为-2或14-,且a<0,由韦达定理得:()1241224b a a ⎧⎛⎫-+-=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-⨯-=- ⎪⎪⎝⎭⎩,解得:49a b =-⎧⎨=-⎩,故选:B.考点四一元二次不等式恒成立【例4-1】(2023贵州省安顺市)若命题“0x ∃∈R ,20020x x a --<”是假命题,则实数a 的取值范围是()A .(],1-∞-B .(],1-∞C .[)1,+∞D .[)1,-+∞【答案】A【解析】命题“0x ∃∈R ,20020x x a --<”的否定为:“x ∀∈R ,220x x a --≥”,该命题为真命题.所以,应有()()2Δ241440a a =--⨯⨯-=+≤,所以1a ≤-.故选:A.【例4-2】(2023·云南红河)不等式210ax ax a -++>对R x ∀∈恒成立,则实数a 的取值范围为()A .()0,∞+B .[)0,∞+C .()4,0,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭D .[4,0,)3∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】①当0a =时,10>成立,②当0a ≠时,只需()2Δ410a a a a >⎧⎨=-+<⎩,解得0a >,综上可得0a ≥,即实数a 的取值范围为[)0,∞+.故选:B .【例4-3】(2023·河南)若不等式2(1)3a x x +≤+对于[0,)x ∈+∞恒成立,则实数a 的取值范围是()A .[0,3]B .[0,2]C .(,2]-∞D .(,3]-∞【答案】C 【解析】原不等式可化为231x a x +≤+,设()231x f x x +=+,则()()212124f x x x x +-=-++412221x x =++-≥=+,当且仅当411x x +=+,且0x ≥,即1x =时,函数()f x 有最小值为2.因为()a f x ≤恒成立,所以2a ≤.故选:C.【一隅三反】1.(2023·广东肇庆·高一广东肇庆中学校考期中)若命题“2(1,1),20x x x a ∀∈--->”为真命题,则实数a 的取值范围是()A .1a ≤-B .1a <-C .3a ≤D .3a <【答案】A【解析】由命题“2(1,1),20x x x a ∀∈--->”为真命题,即不等式22a x x <-在(1,1-上恒成立,设()22,(1,1)f x x x x =-∈-,根据二次函数的性质,可得()min (1)1f x f <=-,所以1a ≤-.故选:A.2.(2023·西藏)命题()0:0,p x ∃∈+∞,使得20010x x λ-+<成立.若p 是假命题,则实数λ的取值范围是()A .(],2-∞B .[)2,+∞C .[]22-,D .(][),22,-∞-+∞U 【答案】A【解析】因为命题()0:0,p x ∃∈+∞,使得20010x x λ-+<成立,所以命题p 的否定为:()0,x ∀∈+∞,210x x λ-+≥成立,而p 是假命题,故命题p 的否定为真命题.所以1x x λ≤+在()0,x ∈+∞上恒成立,因为12x x +≥=,当且仅当11x x x =⇒=时,等号成立,所以2λ≤,即(],2λ∈-∞.故选:A.3.(2022秋·高一校考单元测试)任意[]1,1x ∈-,使得不等式212x x m -+≥恒成立.则实数m 取值范围是()A .14m ≥B .14m ≤C .14⎧⎫⎨⎬⎩⎭D .2m ≤【答案】B【解析】因为对任意[]1,1x ∈-,不等式212x x m -+≥恒成立.所以2min 12x x m ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭,其中[]1,1x ∈-,设212y x x =-+,[]1,1x ∈-,因为22111224y x x x ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭,所以当12x =时,函数212y x x =-+,[]1,1x ∈-取最小值,最小值为14,所以14m ≤,故选:B.4.(2023春·湖南长沙·高一长沙市明德中学校考期中)若[]04x ∃∈,,使得不等式220x x a -+>成立,则实数a 的取值范围()A .1a >-B .1a >C .8a >D .8a >-【答案】D 【解析】因为[]04x ∃∈,,使得不等式220x x a -+>成立,所以[]04x ∃∈,,使得不等式2+2a x x >-成立,令2()2f x x x =-+,[]0,4x ∈,因为对称轴为1x =,[]0,4x ∈,所以min ()(4)8f x f ==-,所以8a >-,所以实数a 的取值范围为()8,-+∞.故选:D.考点五一元二次不等式的实际应用【例5】(2022秋·江苏连云港·高一校考阶段练习)汽车在行驶中,由于惯性的作用,刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住,我们称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析事故的一个重要因素.在一个限速50km/h 的弯道上,甲、乙两辆汽车相向而行,发现情况不对,同时刹车,但还是相撞了.事后现场勘查测得甲车的刹车距离小于12m ,乙车的刹车距离略超过10m ,又知甲、乙两种车的刹车距离s (单位:m )与车速x (单位:km/h )之间分别有如下关系:20.010.1s x x =-甲,20.0050.05s x x =-乙,问:甲、乙两车有无超速现象?【答案】甲车未超过规定限速,乙车超过规定限速.【解析】由题意得,对于甲车,20.010.112x x -<,即21012000x x --<,而0x >,解得040x <<,甲车未超过规定限速,同理对于乙车,20.0050.0510x x ->,21020000x x -->,而0x >,解得50x >,乙车超过规定限速.答:甲车未超过规定限速,乙车超过规定限速.【一隅三反】1.(2023·陕西)某小型服装厂生产一种风衣,日销售量x (件)与单价P (元)之间的关系为1602P x =-,生产x 件所需成本为C (元),其中50030C x =+元,若要求每天获利不少于1300元,则日销量x 的取值范围是()A .20≤x ≤30B .20≤x ≤45C .15≤x ≤30D .15≤x ≤45【答案】B【解析】设该厂每天获得的利润为y 元,则y =(160-2x )x -(500+30x )=-2x 2+130x -500(0<x <80).由题意,知-2x 2+130x -500≥1300,即x 2-65x +900≤0,解得:20≤x ≤45,所以日销量x 的取值范围是20≤x ≤45.故选:B .2.(2023·浙江温州)某种汽车在水泥路面上的刹车距离s (单位:m )和汽车刹车前的车速v (单位:km /h )之间有如下关系:21120160s v v =+,在一次交通事故中,测得这种车刹车距离大于40m ,则这辆汽车刹车前的车速至少为()(精确到1km /h )A .76km /hB .77km /hC .78km /hD .80km /h【答案】B【解析】设这辆汽车刹车前的车速为km /h v ,根据题意,有2114020160s v v =+>,移项整理,得28401600v v -⨯>+,0v >解得476.09v >-+≈.所以这辆汽车刹车前的速度至少为77km /h .故选:B3.(2022秋·天津滨海新·高一校考期中)某文具店购进一批新型台灯,若按每盏台灯15元的价格销售,每天能卖出30盏;若售价每提高1元,日销售量将减少2盏,现决定提价销售,为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入.则这批台灯的销售单价x (单位:元)的取值范围是()A .{1520}xx <<∣B .{1218}x x ≤<∣C .{1020}xx ≤<∣D .{}|1016x x ≤<【答案】A 【解析】结合题意易知,[302(15)]400x x --⋅>,即2302000x x -+<,解得1020x <<,因为15x >,所以1520x <<,这批台灯的销隹单价x 的取值范围是{1520}xx <<∣,故选:A.考点六根的分布【例6】(2023·湖北)关于x 的方程2(3)0x m x m +-+=满足下列条件,求m 的取值范围.(1)有两个正根;(2)一个根大于1,一个根小于1;(3)一个根在(2,0)-内,另一个根在(0,4)内;(4)一个根小于2,一个根大于4;(5)两个根都在(0,2)内.【答案】(1)01m <≤(2)1m <(3)405m -<<(4)45<-m (5)213m <≤【解析】(1)令2()(3)f x x m x m =+-+,设()0f x =的两个根为12,x x .由题得()12122300Δ340x x m x x m m m ⎧+=->⎪⎪=>⎨⎪=--≥⎪⎩,解得01m <≤.(2)若方程2(3)0x m x m +-+=的一个根大于1,一个根小于1,则(1)220f m =-<,解得1m <(3)若方程2(3)0x m x m +-+=一个根在(2,0)-内,另一个根在(0,4)内,则(2)100(0)0(4)540f m f m f m -=->⎧⎪=<⎨⎪=+>⎩,解得405m -<<(4)若方程2(3)0x m x m +-+=的一个根小于2,一个根大于4,则(2)320(4)540f m f m =-<⎧⎨=+<⎩,解得45<-m (5)若方程2(3)0x m x m +-+=的两个根都在(0,2)内,则()()()22320003022Δ340f m f m m m m ⎧=->⎪=>⎪⎪-⎨<-<⎪⎪=--≥⎪⎩,解得213m <≤【一隅三反】1.(2023·江苏南京)(多选)设m 为实数,已知关于x 的方程()2310mx m x +-+=,则下列说法正确的是()A .当3m =时,方程的两个实数根之和为0B .方程无实数根的一个必要条件是1m >C .方程有两个不相等的正根的充要条件是01m <<D .方程有一个正根和一个负根的充要条件是0m <【答案】BCD【解析】对于A 选项,3m =时2310x +=无实根,A 错误;对于B 选项,当0m =时方程有实根,当0m ≠时,方程无实根则2(3)40m m --<,解得19m <<,一个必要条件是1m >,B 正确;对于C 选项,方程有两个不等正根,则0m ≠,0∆>,30m m ->,10m >,解得01m <<;对于D 选项,方程有一个正根和一个负根,则0m ≠,10m<,解得0m <,D 正确;故选:BCD.2.(2022秋·湖北武汉·高一校考期中)已知一元二次方程2210ax x ++=.(1)写出“方程2210(0)ax x a ++=≠有一个正根和一个负根”的充要条件;(2)写出“方程2210(0)ax x a ++=≠有一个正根和一个负根”的一个必要而不充分条件,并给予证明.【答案】(1)a<0(2)方程2210(0)ax x a ++=≠有一个正根和一个负根的一个必要而不充分条件可以是1a <,证明见解析【解析】(1)若方程2210(0)ax x a ++=≠有一个正根和一个负根,则Δ44010a a =->⎧⎪⎨<⎪⎩,即10a a <⎧⎨<⎩,<0a ∴.∴方程2210(0)ax x a ++=≠有一个正根和一个负根的充要条件是a<0.(2)方程2210(0)ax x a ++=≠有一个正根和一个负根的一个必要而不充分条件是1a <,证明:若方程2210(0)ax x a ++=≠有一个正根和一个负根,则由(1)知其充要条件为0<a ,从而1a <,故必要性成立.若01a <<,则方程2210ax x ++=中,440a ∆=->,1210x x a⋅=>,∴方程2210ax x ++=有两个同号根,∴充分性不成立,故1a <是方程2210(0)ax x a ++=≠有一个正根和一个负根的一个必要而不充分条件.3.(2022秋·江西·高一统考阶段练习)若关于x 的不等式240x mx m -+<的解集为()12,x x .(1)当=1m 时,求121144x x +--的值;(2)若10x >,20x >,求1211x x +的值;(3)在(2)的条件下,求124x x +的最小值.【答案】(1)4-;(2)4;(3)94.【解析】(1)由题意,关于x 的方程2410x x -+=有两个根1x ,2x ,所以1212Δ=12>0+=4=1x x x x ⎧⎪⎨⎪⎩,故()12121212811444441611616x x x x x x x x +--+===----++-+.(2)由题意,关于x 方程240x mx m -+=有两个正根,由韦达定理知21212Δ=1640+=4>0=>0m m x x m x x m -≥⎧⎪⎨⎪⎩,解得14m ≥,所以1212121144x x m x x x x m ++===.(3)由(2),12114x x +=,且10x >,20x >,所以()211212121241111441444x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+=++=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,而21x x 、120x x >,所以211244x x x x +=≥,当且仅当122x x =,且12124x x x x +=,即134x =,238x =取等号,此时实数91324m =>符合条件,故12944x x +≥,且当932m =时,取得最小值94.。

高考总复习数学精品课件 第二章 一元二次函数、方程和不等式 第三节 二次函数与一元二次方程、不等式

高考总复习数学精品课件 第二章 一元二次函数、方程和不等式 第三节 二次函数与一元二次方程、不等式
(-a,a).
2.研究不等式ax2+bx+c>0(<0,≥0,≤0)的恒成立问题时,注意对a=0这一情
形的讨论.
对点演练
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)若不等式ax2+bx+c<0的解集为(x1,x2),则必有a>0.( √ )
(2)若方程ax2+bx+c=0没有实数根,则不等式ax2+bx+c>0的解集为R.( × )
()
()() ≥ 0,
()
(2)
≥0⇔
()
() ≠ 0;
()
()
()-()
(3)
>m(m≠0)⇔
-m>0⇔
>0⇔[f(x)-mg(x)]g(x)>0;
()
()
()
()
()
()-()
[()-()]() ≥ 0,
(4)
的实数根
x1,x2(x1<x2)
ax2+bx+c>0(a>0) {x|x<x ,或x>x }
1
2
的解集
ax2+bx+c<0(a>0)
的解集
{x|x1<x<x2}
Δ=0
Δ<0
有两个相等的实数
根x1=x2= ≠

b
2a


2
没有实数根
R

微点拨1.简单分式不等式的解法
()
(1)
>0⇔f(x)g(x)>0;
考点一
一元二次不等式的解法(多考向探究)

考点08 二次函数与方程不等式之间的关系(解析版)

考点08 二次函数与方程不等式之间的关系(解析版)

考点八二次函数与方程不等式之间的关系知识点拓展一、二次函数与一元二次方程的关系1.二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0),当y =0时,就变成了一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0).2.ax 2+bx +c =0(a ≠0)的解是抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象与x 轴交点的横坐标.3.(1)b 2–4ac >0⇔方程有两个不相等的实数根,抛物线与x 轴有两个交点;(2)b 2–4ac =0⇔方程有两个相等的实数根,抛物线与x 轴有且只有一个交点;(3)b 2–4ac <0⇔方程没有实数根,抛物线与x 轴没有交点.考向一二次函数与一元二次方程、不等式的综合抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)与x 轴的交点个数及相应的一元二次方程根的情况都由Δ=b 2–4ac 决定.1.当Δ>0,即抛物线与x 轴有两个交点时,方程ax 2+bx +c =0有两个不相等的实数根,这两个交点的横坐标即为一元二次方程的两个根.2.当Δ=0,即抛物线与x 轴有一个交点(即顶点)时,方程ax 2+bx +c =0有两个相等的实数根,此时一元二次方程的根即为抛物线顶点的横坐标.3.当Δ<0,即抛物线与x 轴无交点时,方程ax 2+bx +c =0无实数根,此时抛物线在x 轴的上方(a >0时)或在x 轴的下方(a <0时).典例引领1.如图,在平面直角坐标系中,抛物线()22y x k =--+(k 是常数)与x 轴交于A 、B 两,其中点A 的坐标为()1,0,点P 在此抛物线上,其横坐标为()1m m >,过点P 作x 轴的垂线,垂足为Q ,(1)求此抛物线的解析式;(2)直接写出点B 的坐标;(3)当点P 在x 轴上方,且PQ AQ +的值随m 的增大而增大时,求m 的取值范围;(4)当抛物线上点A 与点P 之间的部分(包括点P )的最高点到y 轴的距离等于3PQ 时,直(1)若6AB =,5AC =,求(2)若2b a =-,3c =,(ⅰ)当0a >,请判断此时抛物线点的情况;(ⅱ)已知点(),P a y 和点(1)已知一次函数的图象过点(2)当03x ≤≤时,对于x 的每一个值,函数2y x b =-+(b 为常数)的值大于函数256y x x =-+的值,直接写出b 的取值范围.【答案】(1)26y x =-+(2)6b >【分析】(1)令0y =,则2560x x -+=,可求()30B ,,当0x =,则2566y x x =-+=,可求()06C ,,待定系数法求一次函数解析式即可;(2)由题意知,2y x b =-+的图象与直线BC 平行,如图,结合图象求解作答即可.【详解】(1)解:令0y =,则2560x x -+=,解得,2x =或3x =,∴()30B ,,当0x =,则2566y x x =-+=,即()06C ,,设一次函数解析式为y kx b =+,将()30B ,,()06C ,代入得,306k b b +=⎧⎨=⎩,解得,26k b =-⎧⎨=⎩,∴一次函数的解析式为26y x =-+;(2)解:由题意知,2y x b =-+的图象与直线BC 平行,如图,∵当03x ≤≤时,对于x 的每一个值,2625x x b x +>-+-,∴由图可知:6b >.【点睛】本题考查了二次函数与x 轴的交点坐标,一次函数解析式,一次函数图象的平移,二次函数与不等式.熟练掌握二次函数与x 轴的交点坐标,一次函数解析式,一次函数图象的平移,二次函数与不等式是解题的关键.变式拓展5.如图所示,二次函数2y ax bx c =++的图象经过()1,0-、()3,0、()03-,三点.(1)求二次函数的解析式;(2)方程2ax bx c m ++=有两个实数根,m 的取值范围为__________.(3)不等式23ax bx c x ++>-的解集为__________;【答案】(1)2=23y x x --(2)4m ≥-(3)0x <或3x >【分析】本题考查二次函数的图象与性质、待定系数法求函数解析式、二次函数图象与一次函数的交点问题,利用数形结合思想求解是解答的关键.(1)利用待定系数法,设二次函数的解析式为()()13y a x x =+-,进而代值求解a 值即可;(2)先求得二次函数的最小值,再结合图象,求得使直线y m =与二次函数图象有两个交点时的m 值的取值范围即可;(3)先判断出二次函数2y ax bx c =++的图象与直线3y x =-的交点坐标为()0.3-,()3,0,(1)求该抛物线的解析式;(2)若直线y=kx 23+(k≠0=10时,求k的值;(3)当﹣4<x≤m时,y有最大值1(1)求直线AB 的函数表达式及点(2)点P 是第四象限内二次函数图象上的一个动点,过点AB 交于点D ,设点【答案】(1)4y x =-(2)m 的值为2,3或∵2PD =,∴2542m m -+=解得∵01m <<∴5172m -=如图,当点P 在直线∵2PD =,∴2542m m -+=解得∴二次函数表达式为:232y x x =-+,令0y =,得:2320x x -+=,解得:1x =或2x =,∴二次函数图像与x 轴有两个公共点的坐标是:()1,0,()2,0,又 点A 坐标为()1,0,∴点B 坐标为()2,0.。

高考中二次函数及其综合问题知识点归纳1

高考中二次函数及其综合问题知识点归纳1

高考中二次函数及其综合问题知识点归纳二次函数是高中最重要的函数,它与不等式、解析几何、数列、复数等有着广泛的联系 1二次函数的图象及性质:二次函数c bx ax y ++=2的图象的对称轴方程是a b x 2-=,顶点坐标是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a b 4422, 2二次函数的解析式的三种形式:用待定系数法求二次函数的解析式时,解析式的设法有三种形式,即(一般式)c bx ax x f ++=2)(,(零点式))()()(21x x x x a x f -⋅-=和n m x a x f +-=2)()((顶点式) 3 根分布问题: 一般地对于含有字母的一元二次方程ax 2+bx+c=0 的实根分布问题,用图象求解,有如下结论:令f(x)=ax 2+bx+c (a>0)(1)x 1<α,x 2<α ,则⎪⎩⎪⎨⎧><-≥∆0)()2/(0ααaf a b ; (2)x 1>α,x 2>α,则⎪⎩⎪⎨⎧>>-≥∆0)()2/(0ααaf a b(3)α<x 1<β,α<x 2<β,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-<>>≥∆βαβα)2/(0)(0)(0a b f f (4)x 1<α,x 2>β (α<β),则⎪⎩⎪⎨⎧<<≥∆0)(0)(0βαf f(5)若f(x)=0在区间(α,β)内只有一个实根,则有0))(<(βαf f 4 最值问题:二次函数f(x)=ax 2+bx+c 在区间[α,β]上的最值一般分为三种情况讨论,即:(1)对称轴-b/(2a)在区间左边,函数在此区间上具有单调性;;(2)对称轴-b/(2a)在区间之内;(3)对称轴在区间右边要注意系数a 的符号对抛物线开口的影响 1讨论二次函数的区间最值问题:①注意对称轴与区间的相对位置;② 2讨论二次函数的区间根的分布情况一般需从三方面考虑:①判别式;②区间端点的函数值的符号;③对称轴与区间的相对位置 5二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系:①0∆<⇔f(x)=ax 2+bx+c 的图像与x 轴无交点⇔ax 2+bx+c=0无实根⇔ax 2+bx+c>0(<0)的解集为∅或者是R;②0∆=⇔f(x)=ax 2+bx+c 的图像与x 轴相切⇔ax 2+bx+c=0有两个相等的实根⇔ax 2+bx+c>0(<0)的解集为∅或者是R;③0∆>⇔f(x)=ax 2+bx+c 的图像与x 轴有两个不同的交点⇔ax 2+bx+c=0有两个不等的实根⇔ax 2+bx+c>0(<0)的解集为(,)αβ()αβ<或者是(,)(,)αβ-∞+∞。

高中数学复习专题讲座二次函数、二次方程及二次不等式的关系

高中数学复习专题讲座二次函数、二次方程及二次不等式的关系

高中数学复习专题讲座二次函数、二次方程及二次不等式的关系高考要求三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是中学数学的重要内容,具有丰富的内涵和密切的联系,同时也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具高考试题中近一半的试题与这三个“二次”问题有关本节主要是帮助考生理解三者之间的区别及联系,掌握函数、方程及不等式的思想和方法掌握函数、方程及不等式的思想和方法 重难点归纳1 二次函数的基本性质二次函数的基本性质 (1)二次函数的三种表示法二次函数的三种表示法y =ax 2+bx +c ;y =a (x -x 1)(x -x 2);y =a (x -x 0)2+n(2)当a >0,f (x )在区间[p ,q ]上的最大值M ,最小值m ,令x 0=21(p +q )若-ab 2<p ,则f (p )=m ,f (q )=M ; 若p ≤-a b 2<x 0,则f (-a b 2)=m ,f (q )=M ; 若x 0≤-a b 2<q ,则f (p )=M ,f (-a b2)=m ; 若-ab2≥q ,则f (p )=M ,f (q )=m2 二次方程f (x )=ax 2+bx +c =0的实根分布及条件的实根分布及条件(1)方程f (x )=0的两根中一根比r 大,另一根比r 小Ûa ·f (r )<0; (2)二次方程f (x )=0的两根都大于r Ûïïîïïíì>×>->-=D 0)(,2,042r f a r a bac b(3)二次方程f (x )=0在区间(p ,q )内有两根ïïïîïïïíì>×>×<-<>-=D Û;0)(,0)(,2,042p f a q f a q ab p ac b (4)二次方程f (x )=0在区间(p ,q )内只有一根Ûf (p )·f (q )<0,或f (p )=0(检验)或f (q )=0(检验)检验另一根若在(p ,q )内成立(5)方程f (x )=0两根的一根大于p ,另一根小于q (p <q )Ûîíì>×<×0)(0)(q f a p f a3 二次不等式转化策略二次不等式转化策略(1)二次不等式f (x )=ax 2+bx +c ≤0的解集是的解集是+)生可能走入误区,老c)=4)3))4[()]))c13,3115,22或≤∵21-1oyx1oyx925=2-3 解析解析 只需f (1)=-2p 2-3p +9>0或f (-1)=-2p 2+p +1>0即-3<p <23或-21<p <1∴p ∈(-3, 23) 答案答案 (-3,23) 4 解析解析 由f (2+x )=f (2-x )知x =2为对称轴,由于距对称轴较近的点的纵坐标较小,为对称轴,由于距对称轴较近的点的纵坐标较小, ∴|1-2x 2-2|<|1+2x -x 2-2|,∴-2<x <0 答案-2<x <05 解 (1)由log a 33log ay a t t =得log a t -3=log t y -3log t a由t =a x知x =log a t ,代入上式得x -3=xx y a 3log -, ∴log a y =x 2-3x +3,即y =a332+-x x (x ≠0) (2)令u =x 2-3x +3=(x -233)2+433(x ≠0),则y =a u①若0<a <1,要使y =a u有最小值8,则u =(x -23)2+43在(0,2]上应有最大值,但u 在(0,2]上不存在最大值上不存在最大值②若a >1,要使y =a u有最小值8,则u =(x -23)2+43,x ∈(0,2]应有最小值应有最小值∴当x =23时,u mi n =43,y mi n =43a由43a =8得a =16∴所求a =16,x =23 6 解 ∵f (0)=1>0(1)当m <0时,二次函数图象与x 轴有两个交点且分别在y 轴两侧,符合题意轴两侧,符合题意(2)当m >0时,则ïîïíì>-³D 030mm 解得0<m ≤1 综上所述,m 的取值范围是{m |m ≤1且m ≠0} 7 证明证明 (1)])1()1([)1(2r m m q m m p p m mpf ++++=+ ])2()1()1()2([]2)1([]1)1([22222+++-+=+-+=++++=m m m m m m p m p m pm pm m r m q m pm pm)2()1(122++-=m m pm,由于f (x )是二次函数,故p ≠0,又m >0,所以,pf (1+m m )<0 (1(1+m m )(1+m m ,1)-65)。

高考数学专项复习专题二一元二次函数一元二次函数方程和不等式

高考数学专项复习专题二一元二次函数一元二次函数方程和不等式

专题二一元二次函数、方程和不等式06 等式性质与不等式性质题型一由不等式性质比较数(式)大小题型二作差法比较代数式大小题型三作商法比较代数式大小题型四由不等式性质证明不等式题型五利用不等式求值或取值范围07 基本不等式(1)题型一由基本不等式比较大小题型二由基本不等式证明不等关系题型三基本不等式求积的最大值题型四基本不等式求和的最小值题型五二次与二次(或一次)的商式的最值问题07 基本不等式(2)题型一条件等式求最值题型二基本不等式的恒成立问题题型三对勾函数求最值题型四基本不等式的应用08 二次函数与一元二次方程、不等式(1)题型一解含有参数的一元二次不等式题型二由一元二次不等式的解确定参数题型三一元二次方程根的分布问题题型四一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系08 二次函数与一元二次方程、不等式(2)题型一 一元二次不等式在实数集上恒成立问题 题型二 一元二次不等式其他恒成立问题 题型三 一元二次不等式有解问题 题型四 一元二次不等式的应用一元二次函数、方程和不等式讲义§2.1等式性质与不等式性质 1.作差法比较大小0a b a b >⇔->;0a b a b <⇔-<;0a b a b =⇔-=.2.不等式的基本性质(1)(对称性)a b b a >⇔> (2)(传递性),a b b c a c >>⇒> (3)(可加性)a b a c b c >⇔+>+(4)(可乘性),0a b c ac bc >>⇒>;,0a b c ac bc ><⇒< (5)(同向可加性),a b c d a c b d >>⇒+>+ (6)(正数同向可乘性)0,0a b c d ac bd >>>>⇒> (7)(正数乘方法则)0(,1)n n a b a b n N n >>⇒>∈>且 §2.2基本不等式① 重要不等式:()222a b ab a b R +≥∈,,(当且仅当a b =时取""=号).变形公式: ()2222()()a b a b a b R +≥+∈,② 基本不等式:2a b+≥ ()a b R +∈,,(当且仅当a b =时取到等号).变形公式: a b +≥; 2.2a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭用基本不等式求最值时(积定和最小,和定积最大),要满足条件:“一正.二定.三相等”. §2.3二次函数与一元二次方程.不等式b06 等式性质与不等式性质题型一 由不等式性质比较数(式)大小1.若a b <,d c <,且()()0c a c b --<,()()0d a d b -->,则a ,b ,c ,d 的大小关系是( ) A .d a c b <<< B .a c b d <<< C .a d b c <<< D .a d c b <<<【答案】A【解析】因为()()0c a c b --<,a b <,所以a c b <<,因为()()0d a d b -->,a b <,所以d a <或d b >,而a c b <<,d c <,所以d a <. 所以d a c b <<<. 故选:A .2.已知,,R a b c ∈,下列命题为真命题的是( ) A .若a b >,则22ac bc > B .若a b >,c d >,则a d b c ->- C .若a b >,c d >,则ac bd > D .若22a b >,且0ab <则11a b< 【答案】B【解析】:A 若,0a b c >=则220ac bc ==,A 不正确;B :因为a b >,c d >,则c d -<-,所以a d b c ->-,故B 正确;C :当0b c ==时,可得不等式不成立,故C 不正确.D :若3,2a b ==-,满足条件,但11a b>,所以D 不正确. 故选:B .3.已知,,a b c ∈R ,若a b c >>,且230a b c ++=,则下列不等关系正确的是( ) A .ac bc < B .a b c b >C .c c a c b c>-- D .()2a bc abc +>+【答案】ACD【解析】230a b c ++=,a b c >>,0c ∴<,0a >, 对于A ,a b >,0c <,ac bc ∴<,A 正确;对于B ,当0b =时,满足a b c >>,此时0a b c b ==,B 错误; 对于C ,a b c >>,0a c b c ∴->->,11a cbc ∴<--,又0c <,c c a c b c∴>--,C 正确; 对于D ,a b >,0a b ∴->,()()a a b c a b ∴->-,即2a ab ac bc ->-,整理可得:故选:ACD.4.已知g b 糖水中含有g a 糖(0b a >>),若再添加g m 糖完全溶解在其中,则糖水变得更甜了(即糖水中含糖浓度变大),根据这个事实,下列不等式中一定成立的有( ) A .a a m b b m+<+B .22mm a m a b m b ++<++ C .()()()()22a m b m a m b m ++<++ D .121313ba -<- 【答案】ABD【解析】对于A ,由题意可知a a mb b m+<+,正确; 对于B ,因为2mm <,所以2222m mm ma m a m m ab m b m m b +++-+<=+++-+,正确; 对于C ,22a m a m m a mb m b m m b m ++++<=++++即()()()()22a m b m a m b m ++<++,错误; 对于D ,1122131131311333b b b b a --+<==<--+,正确. 故选:ABD5.已知1m n >>,则下列不等式中一定成立的是( ) A .11+>+m n n mB .->-m n m nC .3322+>m n mnD .3322+>m n m n【答案】ABC【解析】对于A 项,11111,,m n m n n m n m>>>∴+>+,故A 正确; 对于B 项,()()22222220m nm nmn n n n ---=->-=,结合0,0m n m n ->->可得->-m n m n ,故B 正确;对于C 项,()()323222222()()m mn n mn m m n n n m m n m mn n -+-=-+-=-+-,222220,0m mn n m n n m n +->+->->,即3322+>m n mn ,故C 正确;对于D 项,当3,2m n ==时,33227835236m n m n +=+=<=,故D 错误; 故选:ABC题型二 作差法比较代数式大小1.已知a ,b 为非零实数,且a <b ,则下列命题成立的是( ) A .a 2<b 2 B .a 2b <ab 2 C .2211ab a b< D .b a a b< 【答案】C【解析】对于A ,取3,2a b =-=-,则a b <,但22a b >,故A 错误.而2332b aa b=->-=,故D 错误. 对于C ,因为2222110a b ab a b a b --=<,故2211ab a b<,故C 正确. 故选:C.2.设2243P a a =-+,()()13Q a a =--,a ∈R ,则有( ) A .P Q ≥ B .P Q > C .P Q < D .P Q ≤【答案】A【解析】解:∵ ()()22214330P a a Q a a a -=-+---=≥,∵ P Q ≥. 故选:A.3.若A =a 2+3ab ,B =4ab -b 2,则A 、B 的大小关系是( ) A .A ≤B B .A ≥B C .A <B 或A >B D .A >B【答案】B 【解析】()2234A B a ab ab b-=+--22a ab b =-+223204b a b ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭≥,A B ∴≥.故选:B4.已知a b c d ,,,均为实数,下列命题正确的有( ) A .若0ab >,0bc ad ->,则0c da b ->B .若0ab >,0c da b ->,则0bc ad ->C .若0bc ad ->,0c da b->,则0ab >D .如果0a b >>,0c d >>,则bc bd > 【答案】ABCD【解析】对于A ,因为0ab >,0bc ad ->,所以0c d bc ada b ab --=>,故A 正确; 对于B ,因为0ab >,又0c d a b ->,即0bc adab ->,所以0bc ad ->,故B 正确; 对于C ,因为0bc ad ->,又0c d a b ->,即0bc adab->,所以0ab >,故C 正确; 对于D ,因为0a b >>,0c d >>,,所以bc bd >,故D 正确. 故选:ABCD5.已知221110,1,1,,a A a B a C D -<<=+=-==,则,,,A B C D 的大小关系是________.(用“>”连【答案】C A B D >>> 【解析】由题意不妨取14a =-,这时171544,,,161635A B C D ====. 由此猜测:C A B D >>>下面给出证明:()()2221324111111a a a a a C A a a a a⎡⎤⎛⎫-++⎢⎥ ⎪-++⎝⎭⎢⎥⎣⎦-=-+==+++, 又21310,0,0,24a a a C A ⎛⎫+>->++>∴> ⎪⎝⎭222(1)(1)20A B a a a A B -=-=>∴>+-,,()2221512411111a a a a a B D a a a a⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪--⎝⎭⎢⎥⎣⎦-=--==---. 又∵102a -<<,10a ∴->,又∵22151150,24224a B D ⎛⎫⎛⎫--<---<∴> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,综上所述,C A B D >>>. 故答案为:C A B D >>>.6.现有A B C D 、、、四个长方体容器,A B 、的底面积均为2x ,高分别为,x y ;C D 、的底面积均为2y ,高也分别为x y 、 (其中x y ≠),现规定一种两人的游戏规则:每人从四种容器中取两个盛水,盛水多者为胜.问先取者在未能确定x 与y 大小的情况下有没有必胜的方案?若有的话,有几种? 【答案】未能确定x 与y 大小的情况下,取,A D 必胜,有1种必胜的方案.【解析】由条件得3223,,,,A B C D V x V x y V xy V y ====,则()()()()()23223A B C D V V V V x x y xy y x y x y +-+=+-+=+-当x y >时, A B C D V V V V +>+,当x y <时, A B C D V V V V +<+()()()()()322322A C B D V V V V x xy x y y x y x y +-+=+-+=+-当x y >时, A C B D V V V V +>+,当x y <时, A C B D V V V V +<+()()()()()233220A D B C V V V V x y x y xy x y x y +-+=+-+=-+>所以未能确定x 与y 大小的情况下,取,A D 必胜,有1种必胜的方案. 题型三 作商法比较代数式大小(2)当0a >,0b >且ab 时,a b a b 与b a a b .【答案】(1)223121x x x x -+>+-;(2)a b b a a b a b >. 【解析】(1)()()()2222312122110xx x x x x x -+-+-=-+=-+>,因此,223121x x x x -+>+-;(2)1a ba ba b a b b a a b b a a b a a b a a b b b -----⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.∵当0a b >>时,即0a b ->,1a b >时,01a ba ab b -⎛⎫⎛⎫>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,a b b a a b a b ∴>; ∵当0b a >>时,即0a b -<,01a b <<时,01a ba ab b -⎛⎫⎛⎫>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,a b b a a b a b ∴>. 综上所述,当0a >,0b >且ab 时,a b b a a b a b >.2.已知0a >,0b >,试比较+a b 与a b b a+的大小; 【答案】a ba bb a++(当且仅当a b =时取等号) 【解析】方法一:由题意()()()a b a b a b a a b b a b b a a b ba ab ab--+--⎛⎫+-+==⎪⋅⎝⎭()()2a ba bab+-=,因为0a >,0b >,所以0a b +>,()20a b-≥,0ab >,所以()()20a ba bab+-≥,当且仅当a b =时等号成立,所以a ba b b a+≤+(当且仅当a b =时取等号). 方法二:由()()()()a b a b a b aba ab b a b ab ba ab ab ab a bab a b +++-++-===+++()2a babab-+==()211a b ab-+,当且仅当a b =时等号成立,所以a ba bb a++(当且仅当a b =时取等号). 3.设,a b R +∈,试比较a b a b 与b a a b 的大小. 【答案】当a b =时两者相等;当a b 时a b b a a b a b >.【解析】依题意,,a b R +∈,当ab 时,a ba b b a a b a a b b -⎛⎫= ⎪⎝⎭:当0a b >>时,1,0a a b b >->,所以1a ba b b a a b a a b b -⎛⎫=> ⎪⎝⎭;当0b a >>时,01,0b a b a <<-<,所以1a ba b b a a b a a b b -⎛⎫=> ⎪⎝⎭.故当ab 时,1a ba b b a a b a a b b -⎛⎫=> ⎪⎝⎭,即a b b a a b a b >.4.(1)设x <y <0,试比较(x 2+y 2)(x -y )与(x 2-y 2)(x +y )的大小;(2)已知a ,b ,c ∵{正实数},且a 2+b 2=c 2,当n ∵N ,n >2时比较c n 与a n +b n 的大小. 【答案】(1)(x 2+y 2)(x -y )>(x 2-y 2)(x +y );(2)a n +b n <c n . 【解析】(1)(x 2+y 2)(x -y )-(x 2-y 2)(x +y )()()()222x y x y x y ⎡⎤=-+-+⎣⎦()()2x y xy =-⨯-因为0x y <<, 则0,20x y xy -<-<, 故()()20x y xy -⨯->, 即(x 2+y 2)(x -y )-(x 2-y 2)(x +y )>0 (x 2+y 2)(x -y )>(x 2-y 2)(x +y ).(2)∵a ,b ,c ∵{正实数},∵a n ,b n ,c n >0.而n n n a b c +=n na b c c ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵a 2+b 2=c 2,则22a b c c ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=1,∵0<a c <1,0<bc<1. ∵n ∵N ,n >2,∵2na a c c ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,2nb bc c ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ∵n n n a b c +=n n a b c c ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<22a b c c ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=1. ∵a n +b n <c n .1.设a ,b 为正实数,则下列命题中是真命题的是( ) A .若221a b -=,则1a b -< B .若111b a-=,则1a b -<C .若1a b -=,则1a b -<D .若1a ,1b ,则1a b ab --【答案】AD【解析】对于A 选项,由a ,b 为正实数,且221a b -=,可得1a b a b-=+,所以0a b ->, 所以0a b >>, 若1a b -≥,则11a b≥+,可得1a b +≤,这与0a b a b +>->矛盾,故1a b -<成立,所以A 中命题为真命题;对于B 选项,取5a =,56b =,则111b a -=,但5516a b -=->,所以B 中命题为假命题;对于C 选项,取4a =,1b =,则1a b -=,但31a b -=>,所以C 中命题为假命题;对于D 选项,由1,1a b ≤≤,则()()()()2222222211110a b ab a b a b a b---=+--=--,即()()221a b ab -≤-,可得1a b ab --,所以D 中命题为真命题.故选AD.2.已知三个不等式:0,0,0c dab bc ad a b>->->(其中a b c d ,,,均为实数),用其中两个不等式作为条件,余下的一个不等式作为结论组成一个命题,可组成正确命题的个数是______. 【答案】3【解析】若0,0ab bc ad >->成立,不等式0bc ab ->两边同除以ab 可得0c da b->,即0,0c dab bc ad a b>->⇒->; 若0,0c d ab a b >->成立,不等式0c da b ->两边同乘ab ,可得0bc ad ->,即0,00c dab bc ad a b>->⇒->;若0c d a b ->,0bc ad ->成立,则0c d bc ada b ab --=>,又0bc ad ->,则0ab >, 即0c da b->,00bc ad ab ->⇒>. 综上可知,以三个不等式中任意两个为条件都可推出第三个不等式成立,故可组成的正确命题有3个.故答案为:3.3.设n N ∈,1n >,1A n n =--,1B n n =+-,试比较A 与B 的大小. 【答案】A B >【解析】()()11111111n n n n n n A n n n n n n --+---=--===+-+-,同理可得11B n n=++,n N ∈,1n >,所以11n n n n +-<++,则1111n n n n>+-++,因此,A B >,故答案为A B >. 3.若0a b >>,0c d <<,||||b c > (1)求证:0b c +>; (2)求证:22()()b c a da cb d ++<--; (3)在(2)中的不等式中,能否找到一个代数式,满足2()bc a c +<-所求式2()a db d +<-?若能,请直接写出该代数式;若不能,请说明理由.【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)能,222()()()b c b c a da cb d b d +++<<---.【解析】(1)因为||||b c >,且0,0b c ><,所以b c >-,所以0b c +>.(2)因为0c d <<,所以0c d ->->.又因为 0a b >>,所以由同向不等式的相加性可将以上两式相加得0a c b d ->->.所以22()()0a c b d ->->. 所以22110()()a c b d <<--,因为,a b d c >>,所以由同向不等式的相加性可将以上两式相加得a d b c +>+. 所以0a d b c +>+>,所以由两边都是正数的同向不等式的相乘可得22()()b c a da cb d ++<--.(3)因为0b c +>,22110()()a c b d <<--, 所以22()()b c b ca cb d ++<--,因为0b c a d <+<+,210()b d >-,所以22()()b c a db d b d ++<--,所以222()()()b c b c a da cb d b d +++<<---. 所以在(2)中的不等式中,能找到一个代数式2()b cb d +-满足题意.4.设绝对值小于1的全体实数构成集合S ,在S 中定义一种运算“*”,使得*1a ba b ab+=+,求证:如果a ,b S ∈,那么*a b S ∈. 【答案】证明见解析【解析】由题意,绝对值小于1的全体实数构成集合S ,因为a S ∈,b S ∈,所以1a <,1b <,可得21a <,21b <, 则210b ->,210a -<,所以()()22110ba--<,即222210a b a b +--<,所以2222212a b ab ab a b ++<++,即()()221a b ab +<+,所以()()2211a b ab +<+,即11a bab+<+,所以*a b S ∈. 5.已知a ,b ,x ,y 都是正数,且1a >1b ,x >y ,求证xx a+>y y b +. 【答案】见解析【解析】,,,a b x y 都是正数,且1a >1b,x >y ,,x y a b a b x y∴>∴<, 故11a b x y +<+,即0x a y b x y ++<<, x yx a y b∴>++. 题型五 利用不等式求值或取值范围1.实数x ,y ,z 满足0x y z ++=,0xyz >,若111T x y z=++,则( ) A .0T > B .0T < C .0T =D .0T ≥【答案】B【解析】因为0x y z ++=且0xyz >,所以不妨设0x >,则0y <,0z <, 则()2y x z xz xy yz xz y xzT xyz xyz xyz++++-+===. 因为0x >,0z <,所以0xz <,又20y -<, 所以20y xz -+<,又0xyz >,所以0T <. 故选:B.2.设实数,x y 满足01xy <<且01x y xy <+<+,那么,x y 的取值范围是 A .1x >且1y > B .01x <<且1y < C .01x <<且01y << D .1x >且01y << 【答案】C【解析】∵1x y xy +<+, ∵10,x xy y -+-< ∵()110,x y y -+-<∵()()110,x y --< ∵()()110,x y -->∵1x >,1y >或1x <,1y <.又∵01xy <<,0x y +>,∵01x <<,01y <<. 故选C.3.设实数x ,y 满足238xy ≤≤,249x y ≤≤,求34x y的最大值. 【答案】27【解析】令()3224mn x x xy y y ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭,则3422m n n m x y x y -+-⋅=⋅,所以2324m n n m +=⎧⎨-=-⎩,解得2,1m n ==-,所以()232124x x xy y y -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭,由题意得2249,38x xy y≤≤≤≤, 所以2221111681,83x y xy ⎛⎫≤≤≤≤ ⎪⎝⎭,所以()[]2321242,27x x xy y y -⎛⎫=⋅∈ ⎪⎝⎭.故34x y 的最大值为27. 故答案为:274.若108a b -<<<,求a b +的取值范围. 【答案】018a b <+<【解析】当0a ≥时有08a ≤<,08b <<,故016a b <+<,即0616a <+<; 当0a <时,100a -<<,故010a <-<,因为108b -<<所以1018a b -<-+< 又a b <,所以018a b <-+<,即018a b <+<. 综上018a b <+<.5.已知11x y -≤+≤,13x y ≤-≤,则3x y -的取值范围是______ 【答案】137x y ≤-≤【解析】令3()()x y s x y t x y -=++- ()()s t x s t y =++-则31s t s t +=⎧⎨-=-⎩, 12s t =⎧∴⎨=⎩, 又11x y -≤+≤∵ 13x y ≤-≤, 22()6x y ∴≤-≤⋯∵∴∵+∵得137x y ≤-≤.07 基本不等式(1)题型一 由基本不等式比较大小 1.设b aM a b=+,其中a ,b 是正实数,且a b ,242N x x =-+-,则M 与N 的大小关系是( ).A .M N ≥B .M N >C .M N <D .M N ≤【答案】B【解析】∵a ,b 都是正实数,且a b ,∵22b a b a M a b a b=+>⋅=,即2M >, 又∵()2242442N x x x x =-+-=--++,()2222x =--+≤,即2N ≤,∵M N >, 故选B.2.已知0a >,0b >,2a b A +=,B ab =,2abC a b=+,则A ,B ,C 的大小关系为( ). A .A B C ≤≤ B .A C B ≤≤ C .B C A ≤≤ D .C B A ≤≤【答案】D【解析】由于0a >,0b >,故2a b ab +≥,则2a bab +≥,即A B ≥, 结合02a b ab +<≤可得:12a bab ≥+,两边乘以ab 可得:2ab ab a b ≥+,即B C ≥.据此可得:C B A ≤≤. 故选D .3.已知0a >,0b >,且4a b +=,则下列结论正确的是( ) A .4ab ≤ B .111a b+≥C .2216a b +≥D .228a b +≥【答案】ABD【解析】A .因为4a b +=,所以24ab ≤,所以4ab ≤,取等号时2a b ==,故正确; B .因为1141a b a b ab ab++==≥,取等号时2a b ==,故正确; C .因为22222228a b a b a b ++≥⋅==,取等号时2a b ==,故错误;D .因为2222a b a b++≥,所以228a b +≥,取等号时2a b ==,故正确. 故选:ABD.4.设0a >,0b >,下列不等式恒成立的是( ). A .21a a +>B .114a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭C .()114a b a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭D .296a a +>E.若111a b+=,则4ab ≤【答案】ABC【解析】解:对于选项A ,由于22131024a a a ⎛⎫+-=-+> ⎪⎝⎭,∴21a a +>,故A 恒成立;对于选项B ,由于12a a+≥,12b b +≥,∴114a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,当且仅当1a b ==时,等号成立,故B 恒成立;对于选项C ,由于2a b ab +≥,1112a b ab+≥,∴()114a b a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭,当且仅当a b =时,等号成立,故C 恒成立;对于选项D ,当3a =时,296a a +=,故D 不恒成立; 对于选项E ,111a b +=,∴111112a b a b=+≥⨯,∴4ab ≥,当且仅当2a b ==时,等号成立.故E 不恒成立,即不等式恒成立的是ABC , 故选ABC.题型二 由基本不等式证明不等关系1.若0x >,0y >,4x y +≤,则下列不等式中成立的是( ) A .114x y ≤+ B .111x y+≥C .2xy ≥D .11xy≥ 【答案】B【解析】对于A ,因为4x y +≤,所以114x y ≥+,所以A 不正确; 对于B ,若0,0x y >>,设,04x y a a +=<≤,得1x ya+=,所以11111114()2(22)1y x x y x y a x y a x y a a ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+=≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当2x y ==时,等号成立,所以B 正确;对于C ,因为0,0x y >>,由4x y +≤,所以42x y xy ≥+≥,即2xy ≤,当且仅当2x y ==时,等号成立,所以C 不正确;对于D ,由上面可知2xy ≤,则4xy ≤,得114xy ≥,所以D 不正确; 故选:B2.已知a,b,c 均为正实数,且a+b+c=1,求证:(1a -1)(1b -1)(1c-1)≥8.【答案】证明见解析【解析】主要考查不等关系与基本不等式.证明:因为a, b, c (0,),∈+∞且a+b+c=1,所以111(1)(1)(1)()()()2)22)8.a b c a a b c b a b c c a b c a b c b c a c b a a a b b c c b c a c b aa ab bc c ++-++-++----=⋅⋅=+++≥⨯⨯⨯⨯⨯=. 3.已知a ,b ,c 是互不相等的正数,且a +b +c =1,求证:1a +1b +1c>9.【答案】证明见解析【解析】∵a ,b ,c ∵R +,且a +b +c =1,∵1a +1b +1c =a b c a b c a b c a b c++++++++ , =3+b a +c a +a b +c b +a c +b c =3+⎛⎫+ ⎪⎝⎭b a a b +⎛⎫+ ⎪⎝⎭c a a c +⎛⎫+ ⎪⎝⎭c b b c ,≥3+2b a a b ⋅+2⋅c aa c +2⋅cb b c=3+2+2+2=9. 当且仅当a =b =c 时取等号, 所以1a +1b +1c>9.4.已知0a >,0b >,1a b +=,求证:11254a b a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 【答案】见解析 【解析】()()()22222211254112541254a b a b ab a b a b ab a b ⎛⎫⎛⎫++⇔++⇔+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 2243380(41)(8)0a b ab ab ab ⇔-+⇔--1a b +=,2212a b ab ∴+=-.104ab<,410ab ∴-,80ab -<. ∵(41)(8)0ab ab --成立,故原不等式成立.5.已知0,0,0a b c >>>,求证:32c a b a b b c a c +++++. 【答案】见解析【解析】设,,a b x b c y c a z +=+=+=,则0,0,0x y z >>>, 且()()22x y z z x ya abc b c y +++-=++-+=-=. 同理,,22x y z y z xb c +-+-==. 所以原不等式的左边222y z x z x y x y zx y z+-+-+-=++ 1322y x zx z y x y x z y z ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++-⎢ ⎪⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦133(222)222≥⨯++-=. 当且仅当,x y z x y x x z ==,且z yy z=,即,x y z a b c ====时,等号成立. 题型三 基本不等式求积的最大值1.如图,在半径为4(单位:cm )的半圆形(O 为圆心)铁皮上截取一块矩形材料ABCD ,其顶点,A B 在直径上,顶点,C D 在圆周上,则矩形ABCD 面积的最大值为( )(单位:cm 2).A .8B .10C .16D .20【答案】C【解析】设BC =x ,连结OC ,得OB =216x -,所以AB =2216x -, 所以矩形ABCD 面积S =2216x x -,x ∵(0,4), S =2()22222162161616x x x x x x -=-≤+-= . 即x 2=16﹣x 2,即x =22时取等号,此时max 16y =故选:C2.已知,a b 为正数,2247a b +=,则21a b +的最大值为( ) A .7B .3C .22D .2【答案】D【解析】222211411212222a b a b a b ⎛⎫+++=⨯+≤= ⎪⎝⎭,当且仅当2241a b =+时,取得最大值.故选:D3.(1)已知x ,y R +∈,求x y x y++的最大值;(2)求满足24a b k a b +≥+对a ,b R +∈有解的实数k 的最大值,并说明理由. 【答案】(1)2 (2)2.见解析【解析】(1)∵x ,y R +∈,∵22212x y x y xy xyx y x y x y ⎛⎫+++==+≤ ⎪ ⎪+++⎝⎭, 当且仅当x y =时,对等号, ∵当x y =时,x y x y++的最大值为2.(2)∵a ,b R +∈,∵设0a m =>,0b n =>,2a m =,2b n =, ∵22222m n mn mn +≥=,∵满足24a b k a b +≥+对a ,b R +∈有解的实数k 的最大值, ∵222224242m n k m n k m n k mn +≥+≥=, ∵222k ≤,解得2k ≤,∵满足24a b k a b +≥+对a ,b R +∈有解的实数k 的最大值为2. 4.我们学习了二元基本不等式:设0a >,0b >,2a bab +≥,当且仅当a b =时,等号成立利用基本不等式可以证明不等式,也可以利用“和定积最大,积定和最小”求最值. (1)对于三元基本不等式请猜想:设0,0,c 0,3a b ca b ≥ 当且仅当a b c ==时,等号成立(把横线补全).(2)利用(1)猜想的三元基本不等式证明:设0,0,0,a b c >>>求证:2229a b ca b c abc(3)利用(1)猜想的三元基本不等式求最值:设0,0,c 0,1,a b a b c 求111a b c 的最大值.【答案】(1)33a b cabc (2)证明见解析(3)827 【解析】(1)通过类比,可以得到当0a >,0b >,0c >时33a b c abc ,当且仅当a b c ==时,等号成立;(2)证明:0a >,0b >,0c >,由(1)可得22232223a b c a b c ++≥,∴22233222333333a b c a b c a b c abca b c abc()()2229a b c a b c abc ∴++++≥(3)解:由(1)可得,33a b c abc ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭,即33a b c abc ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭,由题,已知0a >,0b >,0c >,1a b c ++=,10a b c ∴-=+>,10b a c -=+>,10c a b -=+>,∴33322811133327b ca ca ba b c b c a c a ba b c ∴当且仅当b c a c a b +=+=+,即a b c ==时取等,即111a b c 的最大值为8275.设∵ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且C =3π,a +b =λ,若∵ABC 面积的最大值为93,求λ的值. 【答案】 12 【解析】S ∵ABC =12absin C =34ab , 根据基本不等式2224a b ab λ+⎛⎫≤= ⎪⎝⎭ , 当且仅当a=b 时,等号成立, ∵S ∵ABC =34ab≤34·223216a b λ+⎛⎫= ⎪⎝⎭,令2316λ=93,解得λ=12. 题型四 基本不等式求和的最小值1.设x ,y 均为正数,且xy +x -y -10=0,则x +y 的最小值是_______. 【答案】6【解析】由xy +x -y -10=0,得101y x y +=+=91,111y y ++>+, 故()99121611x y y y y y +=++≥⋅+=++,当且仅当911y y =++,即y =2时,等号成立. 故答案为:6.2.若0a b +≠,则2221()a b a b +++的最小值为________.【答案】2【解析】由于()222222222a b a b a b ab a b +++⎛⎫≤≤⇒+≥ ⎪⎝⎭, 所以()()222222211122()2()2()a b a b a b a b a b a b ++++≥+≥⋅=+++,当且仅当a b =且()2212()a b a b +=+时等号成立, 即()34144222a b a b a b a b a b -=⎧=⎧⎪⎪⇒⇒==⎨⎨+=⎪⎪+=⎩⎩时等号成立. 所以2221()a b a b +++的最小值为2.故答案为:23.已知ab >0,则()()22222424541ab a b ab +++++的最小值为_____.【答案】4.【解析】解:根据题意,ab >0,故22224244a b a b ab +≥⨯=,当且仅当a =2b 时等号成立,则原式()()()22222224245(4)245(41)4414141ab a b ab ab ab ab ab ab ++++++++=≥==+++44141ab ab +++,又由ab >0,则4ab +1>1, 则有44141ab ab ++≥+()424141ab ab +⨯=+4,当且仅当4ab +1=2,即4ab =1时等号成立,综合可得:()()22222424541ab a b ab +++++的最小值为4,当且仅当a =2b 12=时等号成立 故答案为:4.4.设0a b c >>>,则221121025()a ac c ab a a b ++-+-的最小值为__________. 【答案】4【解析】因为0a b c >>>,所以()222221111210251025()a ac c a a ac c ab a a b ab a a b ++-+=+⎡⎤⎢⎥⎣⎦++-+-- ()()()()222222222211445 55204 2a a c a a c a a c a b a b a a b a b ⎡⎤⎢⎥⎛⎫=++-≥++-=++-≥⋅+=-+-⎣⎦⎪⎝⎭,当且仅当252a b c === 时取等号,此时221121025()a ac c ab a a b ++-+-的最小值为4. 故答案为:4.题型五 二次与二次(或一次)的商式的最值问题1.若41x -<<,则当22222x x x -+-取最大值时x 的值为( )A .3-B .2-C .1-D .0【答案】D【解析】变形,可得()()()()222112221111222121221x x x x x x x x x x -+-+-++-===+----,41x -<<,510x ∴-<-<,原式()()()11111121221221221x x x x x x ⎡⎤---=+=-+≤-⋅=-⎢⎥---⎣⎦, 当且仅当()11221x x -=-,即0x =时取等号,因此,22222x x x -+-取最大值时0x =. 故选:D.2.(1)若,0x y >,且280x y xy +-=,求x y +的最小值;(2)若41x -<<,求22222x x x -+-的最大值.【答案】(1)18;(2)-1.【解析】(1)由280x y xy +-=,得821x y+=,()828210y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭8210218y xx y ≥+⋅=,当且仅当212x y ==时取等号故当212x y ==,x y +取最小值18.(2)若41x -<<,则()2221112221x x x x x -+⎡⎤=--+⎢⎥--⎣⎦()1121x x-+≥-当且仅当0x =时取等号 ()111121x x ⎡⎤∴--+≤-⎢⎥-⎣⎦.即若41x -<<,22222x x x -+-的最大值为1-.3.(1)求当0x >时,2342x x y x ++=的最小值;(2)求当1x >时,221x y x +=-的最小值.【答案】(1)72;(2)232+.【解析】(1)当0x >时,234322372222222x x x x x x x ++=++≥⋅+=,当且仅当2x =时等号成立,所以当0x >时,函数2342x x y x++=的最小值为72;(2)()22112312111xxy x x x x -+⎡⎤+⎣⎦===-++---, 当1x >时,10x ->,所以()32122321y x x ≥-⋅+=+-, 当且仅当311x x -=-,即在13x =+时等号成立, 所以,当1x >时,221x y x +=-的最小值为232+.4.若,,x y z 均为正实数,则222xy yzx y z +++的最大值是_______.【答案】22【解析】因为,,x y z 均为正实数,所以2222222()11(2)2xy yz xy yzx y y x z y z ++=+++++ 22222()2222xy yzxy yz xy yz x y y z ++≤==+⋅+⋅⋅, 当且仅当2222x y y z ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,即22x z y ==时等号成立.故答案为:22. 、专题7 基本不等式(2)题型一 条件等式求最值1.已知0<a <1,0<b <1,且44430ab a b --+=,则12a b+的最小值是______.【答案】4243+【解析】已知01,01a b <<<<,由44430ab a b --+=得44441ab a b --+=,即1(1)(1)4a b --=, 令()()10,1,10,1,41x a y b xy =-∈=-∈=, 所以()10,14y x =∈,所以1,14x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭, 故12121218111114114x a b x y xx x x+=+=+=+------()()12421422224441141444134441x x x x x x x x ⎛⎫⎡⎤=++=++=++-+- ⎪⎣⎦------⎝⎭ ()()()()4412444412441242264434441344413x x x x x x x x ⎡⎤----=+++≥+⋅=+⎢⎥----⎣⎦, 当且仅当()()4412444441x x xx --=--即3224x -=时,取等号. 故答案为:4243+. 2.已知正实数x ,y 满足14xy <,且2441y y xy x ++=,则13x y x+-的最小值为______. 【答案】22【解析】解:正实数x ,y 满足14xy <,且2441y y xy x++= 所以21442y y xy x +--=,即()42y x y x y x +-+=,也即()142x y y x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭ 则()1123422x y y x y x y x x x y+-=-++=++≥+ 当且仅当()2142x y x y x y y x ⎧+=⎪+⎪⎨⎛⎫⎪+-= ⎪⎪⎝⎭⎩,即2142x y y x ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩,则5234832348x y ⎧-=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩时取等号,此时1711164xy -=<,所以取得最小值22. 故答案为:22.3.已知0a >,0b >,1c >且1a b +=,则21221a c ab c ⎛⎫+-⋅+ ⎪-⎝⎭的最小值为______. 【答案】422+【解析】因为0a >,0b >,1a b +=,所以222221()22a a a b a b ab ab ab ab +++++==222222ab abab+≥=+,又1c >,则21221a c ab c ⎛⎫+-⋅+ ⎪-⎝⎭2221c c ≥+- =122(c 1)21c ⎡⎤-++≥⎢⎥-⎣⎦1222(1)24221c c ⎡⎤-⋅+=+⎢⎥-⎣⎦,其中等号成立的条件:当且仅当222112(1)1a b a b c c ⎧⎪=⎪+=⎨⎪⎪-=-⎩,解得21a =-,22b =-,212c =+,所以21221a c ab c ⎛⎫+-⋅+ ⎪-⎝⎭的最小值是422+. 故答案为:422+.4.若正实数a ,b 满足()2261a b ab +=+,则21aba b ++的最大值为______.【答案】16【解析】()()()221621216a b ab a b a b ab +-=⇒+++-= ,即21216ab a b a b +-=++又()22236323224a b ab a b a b +⎛⎫=⋅⋅≤=+ ⎪⎝⎭,等号成立的条件为2a b = ,原式整理为()()()2223212244a b a b a b +≤++⇒+≤ ,即022a b <+≤ ,那么2121121666ab a b a b +--=≤=++,所以21ab a b ++ 的最大值是16.5.求下列函数的最值(1)求函数22(1)1x y x x +=>-的最小值.(2)若正数x ,y 满足35x y xy +=,求34x y +的最小值. 【答案】(1)223+;(2)5.【解析】(1)2(1)2(1)33(1)223211x x y x x x -+-+==-+++--,当且仅当2(1)3x -=即31x =+时等号成立,故函数y 的最小值为223+.(2)由35x y xy +=得13155y x+=, 则1331213133634(34)()2555555525x y x y x y y x y x +=++=+++=, 当且仅当12355y x x y =,即12y =,1x =时等号成立, 故34x y +的最小值为5.题型二 基本不等式的恒成立问题1.已知a ,b 为正实数,且23a b ab +=,若0a b c +-≥对于满足条件的a 、b 恒成立,则c 的取值范围为.( ) A .2213c c ⎧⎫⎪⎪≤+⎨⎬⎪⎪⎩⎭B .322c c ⎧⎫≤+⎨⎬⎩⎭C .{}6c c ≤D .{}322c c ≤+【答案】A【解析】将23a b ab +=变形为213a b+=,所以()()11121223322132333a b a a b a b b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 当且仅当2a b =时,即632,333a b =-=-时取等号.0a b c +-≥恒成立等价于c a b ≤+恒成立,即()min c a b ≤+,所以2213c ≤+故选:A .2.已知x 、y 都为正数,且4x y +=,若不等式14m x y +>恒成立,则实数m 的取值范围是________.【答案】94m ∴< 【解析】x 、y 都为正数,且4x y +=,由基本不等式得()14144x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭445259y x y xx y x y=++≥⋅+=,即1494x y +≥,当且仅当2y x =时,等号成立,所以,14x y +的最小值为94,94m ∴<.3.已知正实数x ,y 满足2520x y +=. (1)求xy 的最大值; (2)若不等式21014m m x y+≥+恒成立,求实数m 的取值范围. 【答案】(1)10;(2)9122m -≤≤.【解析】(1)2025225x y x y =+≥⋅,解得10xy ≤, 当且仅当5x =,2y =取等号, ∵xy 最大值为10. (2)101555592104421042101041x y y x y x x x x y x y y y ⎛⎫⎛⎫++=++≥+⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭+=, 当且仅当203x =,43y =取等号, ∵2944m m +≤,解得9122m -≤≤. 4.设a b c >>,且11ma b b c a c+≥---恒成立,求实数m 的取值范围. 【答案】4m ∴≤ 【解析】由a b c >>知0a b ->,0b c ->,0a c ->. ∴原不等式等价于a c a cm a b b c--+≥--.要使原不等式恒成立,只需a c a ca b b c--+--的最小值不小于m 即可. ()()()()2224a b b c a b b c a c a c b c a b b c a ba b b c a b b c a b b c a b b c-+--+-------∴+=+=++≥+⋅=-------- 当且仅当b c a ba b b c--=--,即2b a c =+时,等号成立. 4m ∴≤5.已知16k >,若对任意正数x ,y ,不等式1322k x kyxy ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭恒成立,求实数k 的取值范围.【答案】12k k ⎧⎫⎨⎬⎩⎭【解析】∵0x >,0y >,∵不等式1322k x kyxy ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭恒成立等价于1322x y k ky x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭恒成立.又16k >,∵1132322x y k k k k y x ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(当且仅当132k x ky ⎛⎫-= ⎪⎝⎭时,等号成立),∵12322k k ⎛⎫- ⎪⎝⎭,解得13k -(舍去)或12k ,∵实数k 的取值范围为12k k ⎧⎫⎨⎬⎩⎭.题型三 对勾函数求最值1.设x ,y 均为负数,且1x y +=-,那么1xy xy+有( ). A .最大值174- B .最小值174-C .最大值174D .最小值174【答案】D【解析】设a x =-,b y =-,则0a >,0b >.由12a b ab +=≥得14ab ≤. 由函数1y x x =+的图像得,当104ab <≤时,1ab ab +在14ab =处取得最小值, 11117444xy ab xy ab ∴+=++=≥,当且仅当12x y ==-时取等号成立.综上可得,1xy xy +有最小值174. 故选D .2.已知52x ≥,则24524x x y x -+=-有( )A .最大值52B.最小值54C .最大值1D.最小值1【答案】D【解析】解:由522x≥>得,()()()2221451121242222xx xy xx x x-+-+⎡⎤===-+≥⎢⎥---⎣⎦,当且仅当122xx-=-,即3x=时,等号成立,故选:D.题型四基本不等式的应用1.某工厂第一年年产量为A,第二年的增长率为a,第三年的增长率为b,这两年的平均增长率为x,则()A.2a bx+=B.2a bx+≤C.2a bx+>D.2a bx+≥【答案】B【解析】解:由题意得,2(1)(1)(1)A a b A x++=+,则2(1)(1)(1)a b x++=+,因为211(1)(1)2a ba b+++⎛⎫++≤ ⎪⎝⎭,所以21122a b a bx++++≤=+,所以2a bx+≤,当且仅当a b=时取等号,故选:B2.《几何原本》中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成为了后世数学家处理问题的重要依据.通过这一原理,很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明,也称之为无字证明.如图所示的图形,在AB上取一点C,使得AC a=,BC b=,过点C作CD AB⊥交圆周于D,连接OD.作CE OD⊥交OD于E.由CD DE可以证明的不等式为()A.2(0,0)abab a ba b>>+B.(0,0)2a bab a b+>>C.22(0,0)22a b a ba b++>>D.222(0,0)a b ab a b+>>【答案】A【解析】解:由射影定理可知2CD DE OD=,即222DC ab abDEa bOD a b===++,由DC DE得2ababa b+,故选:A.。

二次函数专题(二次函数与方程、不等式的关系)

二次函数专题(二次函数与方程、不等式的关系)

二次函数专题二次函数、一元二次方程及一元二次不等式的关系问题1:你能快速地求出一元二次方程2230x x --=的根吗?问题2:请你画出函数223y x x =--图象,研究图象上是否有一些特殊的点和一元二次方程2230x x --=的根之间有某种联系,你有什么发现吗?问题3:研究一元二次方程2230x x -+=的根的个数及其判别式与二次函数223y x x =-+的图像和x轴的交点个数,你能得到什么结论?问题4:你能结合问题2、3,得到一般化的结论吗?归纳:(1)对于二次函数c bx ax y ++=2)0(≠a 来说,当0=y 时,就得一元二次方程02=++c bx ax )0(≠a ,因此我们可以利用一元二次方程求二次函数图像与x 轴的交点坐标.进一步我们还可以探讨一元二次方程ac b 42-=∆的取值与二次函数图像与x 轴的交点坐标的情况之间的关系:①当042>-=∆ac b 时,一元二次方程02=++c bx ax 有两个不相等的实数根,抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有两个交点;②当042=-=∆ac b 时,一元二次方程02=++c bx ax 有两个相等的实数根,抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有唯一交点(这个唯一交点就是抛物线的顶点);③当042<-=∆ac b 时,一元二次方程02=++c bx ax 没有实数根,抛物线c bx ax y ++=2与x轴没有交点(抛物线全部在x 轴上方或全部在x 轴下方).(2)当一元二次方程02=++c bx ax 有两个不相等的实数根1x 、2x 时,抛物线c bx ax y ++=2与x 轴交于两点A(1x ,0)、B(2x ,0),此时有a b x x -=+21,1x ·a c x =2.此时抛物线与x 轴两交点的距离为: AB=21x x -=221)(x x -212214)(x x x x -+=224a ac b -=a ∆= 例1 如图,是二次函数y =ax 2+bx+c 图象的一部分,其对称轴为直线x =1,若其与x 轴一交点为A (3,0),则由图象可知,不等式ax 2+bx +c <0的解集是 .例2 二次函数y=c bx ax ++2 (a ≠0,a ,b ,c 为常数)图象如图所示,根据图象解答问题(1)写出方程02=++c bx ax 的两个根(2)写出不等式c bx ax ++2>0的解集 (3)若方程c bx ax ++2=k 有两个不相等的实数根,求k 的取值范围.例3 若关于x 的一元二次方程0522=++ax x 的两根在1与2之间(不含1和2),则a 的取值范围是 .例4 已知函数y 1=x 2与函数y 2=-12 x +3的图象大致如图,若y 1<y 2,则自变量x 的取值范围是( )A .-12 <x <2B .x >2或x <-32C .-2<x <32D .x <-2或x >32例5 已知:y 关于x 的函数y =(k -1)x2-2kx +k +2的图象与x 轴有交点.(1)求k 的取值范围;(2)若x 1,x 2是函数图象与x 轴两个交点的横坐标,且满足k (x 1+x 2)=2x 1x 2. ①求k 的值;②当k ≤x ≤k +2时,请结合函数图象确定y 的最大值和最小值.例6 直线y=2x+3与抛物线y=x 2交于A 、B 两点,求AB 的长。

高考数学复习考点知识专题讲解与训练5---二次函数与一元二次方程、不等式

高考数学复习考点知识专题讲解与训练5---二次函数与一元二次方程、不等式

高考数学复习考点知识专题讲解与训练专题5 二次函数与一元二次方程、不等式【考纲要求】1.一元二次不等式:(1)会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.(2)通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.(3)会解一元二次不等式.2.结合二次函数的图象,了解函数的零点与方程根的联系,判断一元二次方程根的存在性及根的个数.3.培养学生的数学抽象、数学运算、数学建模、逻辑推理、直观想象等核心数学素养.【知识清单】1.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式:一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0).顶点式:f(x)=a(x-m)2+n(a≠0),顶点坐标为(m,n).零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),x1,x2为f(x)的零点.(2)二次函数的图象和性质2.一元二次不等式的概念及形式(1)概念:我们把只含有一个未知数,并且知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式.(2)形式:①ax2+bx+c>0(a≠0);②ax2+bx+c≥0(a≠0);③ax2+bx+c<0(a≠0);④ax2+bx+c≤0(a≠0).(3)一元二次不等式的解集的概念:一般地,使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个不等式的解,一元二次不等式的所有解组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集.3.三个“二次”之间的关系(1)关于x的一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)或ax2+bx+c<0(a≠0)的解集;若二次函数为f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则一元二次不等式f(x)>0或f(x)<0的解集,就是分别使二次函数f(x)的函数值为正值或负值时自变量x的取值的集合.(2)三个“二次”之间的关系:__{x|x<x3.不等式恒成立问题 1.一元二次不等式恒成立问题(1)ax 2+bx +c >0(a ≠0)恒成立(或解集为R )时,满足⎩⎪⎨⎪⎧a >0Δ<0;(2)ax 2+bx +c ≥0(a ≠0)恒成立(或解集为R )时,满足⎩⎪⎨⎪⎧a >0Δ≤0;(3)ax 2+bx +c <0(a ≠0)恒成立(或解集为R )时,满足⎩⎪⎨⎪⎧a <0Δ<0;(4)ax 2+bx +c ≤0(a ≠0)恒成立(或解集为R )时,满足⎩⎪⎨⎪⎧a <0Δ≤0.2.含参数的一元二次不等式恒成立.若能够分离参数成k <f (x )或k >f (x )形式.则可以转化为函数值域求解.设f (x )的最大值为M ,最小值为m .(1)k <f (x )恒成立⇔k <m ,k ≤f (x )恒成立⇔k ≤m .(2)k >f (x )恒成立⇔k >M ,k ≥f (x )恒成立⇔k ≥M .【考点梳理】考点一 :二次函数的解析式【典例1】(2019·黑龙江省哈尔滨三中高三其他(理))已知二次函数()f x 满足()(1)2f x f x x -+=-且(0)1f =.(1)求()f x 的解析式;(2)当[1,1]x ∈-时,不等式()2x m f x >+恒成立,求实数m 的取值范围.【答案】(1)2()1f x x x =-+(2)1m <- 【解析】(1)设2()(0)f x ax bx c a =++≠,则22()(1)(1)(1)2f x f x ax bx a x b x ax a b -+=+-+-+=---, 所以22ax a b x ---=-,解得:1a =,1b =-.又(0)1f c ==,所以2()1f x x x =-+.(2)当[1,1]x ∈-时,()2x m f x >+恒成立,即当[1,1]x ∈-时,231x x m -+>恒成立. 设2()31g x x x =-+,[1,1]x ∈-. 则min ()(1)1g x g ==-,1m ∴<-. 【规律方法】根据已知条件确定二次函数解析式,一般用待定系数法,选择规律如下:【变式探究】1.已知二次函数f (x )满足f (2)=-1,f (-1)=-1,且f (x )的最大值是8,试确定该二次函数的解析式.【答案】f (x )=-4x 2+4x +7【解析】解法一 (利用“一般式”解题)设f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0).由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a +2b +c =-1,a -b +c =-1,4ac -b24a =8,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =-4,b =4,c =7.∴所求二次函数为f (x )=-4x 2+4x +7.解法二 (利用“顶点式”解题)设f (x )=a (x -m )2+n (a ≠0).∵f (2)=f (-1),∴抛物线的对称轴为x =2+-12=12,∴m =12.又根据题意,函数有最大值8,∴n =8,∴y =f (x )=a ⎝⎛⎭⎪⎫x -122+8.∵f (2)=-1,∴a ⎝⎛⎭⎪⎫2-122+8=-1,解得a =-4,∴f (x )=-4⎝⎛⎭⎪⎫x -122+8=-4x 2+4x +7.解法三 (利用“零点式”解题)由已知f (x )+1=0的两根为x 1=2,x 2=-1,故可设f (x )+1=a (x -2)(x +1)(a ≠0),即f (x )=ax 2-ax -2a -1.又函数有最大值8,即4a -2a -1-a 24a=8.解得a =-4或a =0(舍).∴所求函数的解析式为f (x )=-4x 2+4x +7.2.(2019·陕西省咸阳市实验中学高一月考)已知二次函数()f x 满足:任意的x ∈R ,有1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立,且()f x 最小值为34,()f x 与y 轴交点坐标为(0,1)(1)求()f x 的解析式;(2)是否存在实数(,)m n m n <,使()f x 的定义域和值域分别为[,]m n 和33,22m n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,如果存在,求出,m n ;如果不存在,请说明理由. 【答案】(1)2()1f x x x =-+;(2)存在;122m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 【解析】(1)因为1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以12x =是()f x 图象的对称轴,且最小值为34,故可设213()()24f x a x =-+,由13(0)144f a =+=得1a =,所以213()()24f x x =-+,即2()1f x x x =-+;(2)假设存在实数(,)m n m n <满足题意,由(1)()f x 在1(,)2-∞上递减,在1(,)2+∞上递增,若12n ≤,显然不合题意; 若12m n <≤,则3324m =,12m =,不合题意,所以12m ≥,2()33()2f m m f n n⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,即,m n 是方程3()2f x x =的两不等实根,3()2f x x =,即2312x x x -+=,25102x x -+=,112x =,22x =, 所以122m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩. 考点二:二次函数图象的识别【典例2】(2020·山东省微山县第一中学高一月考)对数函数(log 0a y x a =>且)1a ≠与二次函数()21y a x x =--在同一坐标系内的图像不可能是( )A .B .C .D .【答案】A【解析】当01a <<时,函数log a y x =单调递减,()21y a x x =--开口向下,对称轴在y 轴的左侧,排除C ,D ;当1a >时,函数log a y x =单调递增,()21y a x x =--开口向上,对称轴在y轴的右侧,排除B;故选:A【总结提升】识别二次函数图象应学会“三看”【变式训练】(2019·辽宁高考模拟(理))函数y=1−|x−x2|的图象大致是()A. B.C .D .【答案】C【解析】当x =−1时,y =1−|−1−1|=−1,所以舍去A,D,当x =2时,y =1−|2−4|=−1,所以舍去B,综上选C.考点三:二次函数的单调性问题【典例3】(2020·山东省微山县第一中学高一月考)已知函数2()2(1)4f x x k x =+-+.(1)若函数()f x 在区间[]2,4上具有单调性,求实数k 的取值范围;(2)若()0f x >对一切实数x 都成立,求实数k 的取值范围.【答案】(1)(,3][1,)-∞-⋃-+∞(2)()1,3-【解析】(1)由函数2()2(1)4f x x k x =+-+知,函数()f x 图象的对称轴为1x k =-.因为函数()f x 在区间[]2,4上具有单调性,所以12k -≤或14k -≥,解得3k ≤-或1k ≥-,所以实数k 的取值范围为(,3][1,)-∞-⋃-+∞.(2)解法一:若()0f x >对—切实数x 都成立,则∆<0,所以24(1)160k --<,化简得2230k k --<,解得13k -<<,所以实数k 的取值范围为()1,3-.解法二:若()0f x >对一切实数x 都成立,则min ()0f x >, 所以2min164(1)()04k f x --=>, 化简得2230k k --<, 解得13k -<<,所以实数k 的取值范围为()1,3-.【规律方法】研究二次函数单调性的思路(1)二次函数的单调性在其图象对称轴的两侧不同,因此研究二次函数的单调性时要依据其图象的对称轴进行分类讨论.(2)若已知f (x )=ax 2+bx +c (a >0)在区间A 上单调递减(单调递增),则A ⊆⎝ ⎛⎦⎥⎤-∞,-b 2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ⊆⎣⎢⎡⎭⎪⎫-b 2a ,+∞,即区间A 一定在函数对称轴的左侧(右侧).【变式探究】(2019·北京临川学校高二期末(文))若函数f(x)=8x 2-2kx -7在[1,5]上为单调函数,则实数k 的取值范围是( ) A .(-∞,8]B .[40,+∞)C .(-∞,8]∪[40,+∞) D .[8,40] 【答案】C【解析】由题意得,函数()2827f x x kx =--图象的对称轴为8kx =,且抛物线的开口向上,∵函数()2827f x x kx =--在[1,5] 上为单调函数, ∴18k ≤或58k ≥, 解得8k ≤或40k ≥,∴实数k 的取值范围是][(),840,∞∞⋃-+.故选C .考点四:二次函数的最值问题【典例4】(浙江省名校新高考研究联盟(Z20)2019届联考)】设函数f(x)=|x 2+a|+|x +b|(a,b ∈R),当x ∈[−2,2]时,记f(x)的最大值为M(a,b),则M(a,b)的最小值为______.【答案】258【解析】去绝对值,f (x )=±(x 2+a )±(x +b ),利用二次函数的性质可得, f(x)在[−2,2]的最大值为f(−2),f(2),f(−12),f(12)中之一,所以可得M(a,b)≥f(−2)=|4+a|+|−2+b|,M(a,b)≥f(2)=|4+a|+|2+b|,M(a,b)≥f(12)=|14+a|+|12+b|,M(a,b)≥f(−12)=|14+a|+|−12+b|, 上面四个式子相加可得4M(a,b)≥2(|4+a|+|14+a|)+(|2−b|+|b +2|+|b +12|+|12−b|)≥2|4−14|+(|2+2|+|12+12|=252, 即有M(a,b)≥258,可得M(a,b)的最小值为258.故答案为258.【技巧点拨】二次函数最值问题的类型及求解策略 (1)类型:①对称轴、区间都是给定的;②对称轴动、区间固定;③对称轴定、区间变动.(2)解决这类问题的思路:抓住“三点一轴”数形结合,三点是指区间两个端点和中点,一轴指的是对称轴,结合配方法,根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成.【变式探究】(2019·天津高考模拟(文))若不等式213232a x x --++≤对任意实数x 都成立,则实数a 的最大值为________. 【答案】13- 【解析】设2()23,f x x x =-++不等式213232a x x --++≤对任意实数x 都成立,只需满足13max ()2a f x -≤,即可.22max ()23(1)4()4,f x x x x f x =-++=--+⇒=所以有13142,3a a -≤⇒≤-因此实数a 的最大值为13-. 考点五:二次函数的恒成立问题【典例5】(2018·浙江省高三一模)已知2(),|(())|2f x x ax f f x =-在[1,2]上恒成立,则实数a 的最大值为______.【解析】设函数()|(())|([1,2])F x f f x x =∈,则由题设得(1)2(2)2F F ⎧⎨⎩, 所以22231231081a a a a ⎧-+⎪⎨-+⎪⎩,解得3171a +. 易知函数()f x 在[1,2]上单调递增.设()t f x =,其中[1,2]x ∈,则[1,42]t a a ∈--.注意到10,420a a -->,讨论如下:①当422a a -≤时,函数()f t 在[1,42]t a a ∈--上单调递减, 可得max ()max{(1),(2)}F x F F =,从而根据|(())|2f f x 在[1,2]上恒成立知,只需满足(1)2(2)2422F F a a ⎧⎪⎪⎨⎪⎪-⎩, 解得831754a +.②当422a a ->时,函数()f t 在1,2a t a ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭上单调递减,在,422a t a ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦上单调递增, 可得max ()max (1),(2),2a F x F F F ⎧⎫⎛⎫=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭, 从而根据|(())|2f f x 在[1,2]上恒成立知,只需满足(1)2(2)222422F F a F a a ⎧⎪⎪⎪⎛⎫⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪->⎪⎩, 解得815a <.综上所述,a ⎡∈⎢⎣⎦. 故所求实数a的最大值为34+.. 【规律方法】由不等式恒成立求参数的取值范围的思路及关键1.一般有两个解题思路:一是分离参数;二是不分离参数.2.两种思路都是将问题归结为求函数的最值,至于用哪种方法,关键是看参数是否已分离.这两个思路的依据是: (1)a ≥f (x )恒成立⇔a ≥f (x )max ;(2)a ≤f (x )恒成立⇔a ≤f (x )min ..3.有关二次函数的问题,数形结合,密切联系图象是探求解题思路的有效方法.一般从:①开口方向;②对称轴位置;③判别式;④端点函数值符号四个方面分析.【变式探究】(2020·天津市咸水沽第二中学高三一模)已知函数()2,00x x x f x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩.若存在x ∈R 使得关于x 的不等式()1f x ax ≤-成立,则实数a 的取值范围是________.【答案】(][),31,-∞--+∞【解析】由题意,当0x =时,不等式()1f x ax ≤-可化为01≤-显然不成立;当0x <时,不等式()1f x ax ≤-可化为21x x ax -+≤,所以11a x x ≤+-,又当0x <时,11()2x x x x ⎡⎤⎛⎫+=--+-≤- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,当且仅当1x x -=-,即1x =-时,等号成立;当0x >时,不等式()1f x ax ≤-可化为1ax ≤, 即21111ax ⎫≥=+-≥-⎪⎭; 因为存在x ∈R 使得关于x 的不等式()1f x ax ≤-成立,所以,只需213a ≤--=-或1a ≥-.故答案为:(][),31,-∞--+∞.考点六:二次函数与函数零点问题【典例6】(2018·浙江高考真题)已知λ∈R,函数f (x )={x −4,x ≥λx 2−4x +3,x <λ,当λ=2时,不等式f (x )<0的解集是___________.若函数f (x )恰有2个零点,则λ的取值范围是___________.【答案】 (1,4) (1,3]∪(4,+∞)【解析】由题意得{x ≥2x −4<0 或{x <2x 2−4x +3<0 ,所以2≤x <4或1<x <2,即1<x <4,不等式f (x )<0的解集是(1,4),当λ>4时,f(x)=x −4>0,此时f(x)=x 2−4x +3=0,x =1,3,即在(−∞,λ)上有两个零点;当λ≤4时,f(x)=x −4=0,x =4,由f(x)=x 2−4x +3在(−∞,λ)上只能有一个零点得1<λ≤3.综上,λ的取值范围为(1,3]∪(4,+∞).【典例7】(2020·宜宾市叙州区第一中学校高一月考(理))已知函数2()1(0)f x x ax a =++>.(1)若()f x 的值域为[0,)+∞,求关于x 的方程()4f x =的解;(2)当2a =时,函数22()[()]2()1g x f x mf x m =-+-在[2,1]-上有三个零点,求m 的取值范围.【答案】(1)3x =-或1x =.(2)(1,2]【解析】(1)因为()f x 的值域为[)0,+∞,所以()22min 1110242a f x f a a ⎛⎫=-=-+= ⎪⎝⎭. 因为0a >,所以2a =,则()221f x x x =++.因为()4f x =,所以2214x x ++=,即2230x x +-=,解得3x =-或1x =.(2)()()()2221g x f x mf x m ⎡⎤=-+-⎣⎦在[]2,1-上有三个零点等价于方程()()22210f x mf x m ⎡⎤-+-=⎣⎦在[]2,1-上有三个不同的根.因为()()22210f x mf x m ⎡⎤-+-=⎣⎦,所以()1f x m =+或()1f x m =-. 因为2a =,所以()221f x x x =++.结合()f x 在[]2,1-上的图象可知,要使方程()()22210f x mf x m ⎡⎤-+-=⎣⎦在[]2,1-上有三个不同的根,则()1f x m =+在[]2,1-上有一个实数根,()1f x m =-在[]2,1-上有两个不等实数根,即114011m m <+≤⎧⎨<-≤⎩,解得12m <≤. 故m 的取值范围为(]1,2.【规律总结】1.一元二次不等式ax 2+bx +c >0(a ≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax 2+bx +c =0的根,也是函数y =ax 2+bx +c 的图象与x 轴交点的横坐标.2.注意灵活运用根与系数的关系解决问题.【变式探究】1.(2014·湖北省高考真题(文))已知是定义在上的奇函数,当时,,则函数的零点的集合为( )A .{}1,3B .{}3,1,1,3--C .{}2D .{}2-【答案】D【解析】因为是定义在上的奇函数,当时,,所以,所以,由解得或;由解得, 所以函数的零点的集合为{}27,1,3--,故选D.2.(2019·马关县第一中学校高一期末)已知二次函数2()(2)3f x ax b x =+-+,且-1,3是函数()f x 的零点.(1)求()f x 解析式,并解不等式()3f x ≤;(2)若()(sin )g x f x =,求行数()g x 的值域【答案】(1){}02x x x ≤≥或(2)()[0,4]g x ∈【解析】(1)由题意得213313b a a -⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⋅=⎪⎩1 4a b =-⎧∴⎨=⎩∴ ()223f x x x =-++2233x x ∴-++≤即220x x -≥∴ {}02x x x ≤≥或 ,(2)令[]sin 1,1t x =∈- ()()[]2223140,4g t t t t =-++=--+∈ ∴ ()[]0,4g x ∈考点七:一元二次不等式恒成立问题【典例8】(2020·山东省高三二模)已知函数()()21f x x m x m =+--,若()()0f f x 恒成立,则实数m 的范围是( )A.3,3⎡--+⎣ B.1,3⎡--+⎣C .[]3,1-D.3⎡⎤-+⎣⎦ 【答案】A【解析】()()()()211f x x m x m x m x =+--=-+,(1)1m >-,()()0f f x ≥恒成立等价于()f x m ≥或()1f x ≤-恒成立,即()()21f x x m x m m =+--≥或()()211f x x m x m =+--≤-(不合题意,舍去)恒成立;即01m ∆≤⎧⎨>-⎩,解得(1,3m ∈--+, (2)1m =-恒成立,符合题意;(3)1m <-,()()0f f x ≥恒成立等价于()f x m ≤(不合题意,舍去)或()1f x ≥-恒成立,等价于01m ∆≤⎧⎨<-⎩,解得[)3,1m ∈--.综上所述,3,3m ⎡∈--+⎣,故选:A.【规律方法】由不等式恒成立求参数的取值范围的思路及关键1.一般有两个解题思路:一是分离参数;二是不分离参数.2.两种思路都是将问题归结为求函数的最值,至于用哪种方法,关键是看参数是否已分离.这两个思路的依据是: (1)a ≥f (x )恒成立⇔a ≥f (x )max ;(2)a ≤f (x )恒成立⇔a ≤f (x )min ..3.有关二次函数的问题,数形结合,密切联系图象是探求解题思路的有效方法.一般从:①开口方向;②对称轴位置;③判别式;④端点函数值符号四个方面分析.【变式探究】(2020·济源市第六中学高二月考(文))已知函数()21f x x x =-+,若在区间[]1,1-上,不等式()2f x x m >+恒成立,则实数m 的取值范围是___________.【答案】(),1-∞-【解析】要使在区间[]1,1-上,不等式()2f x x m >+恒成立,只需()2231m f x x x x <-=-+恒成立,设()231g x x x =-+,只需m 小于()g x 在区间[]1,1-上的最小值,因为()22353124g x x x x ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭,所以当1x =时,()()2min 113111g x g ==-⨯+=-, 所以1m <-,所以实数m 的取值范围是(),1-∞-.。

第04讲 一元二次函数(方程,不等式)(精讲+精练)(解析版)备战2023年高考数学一轮复习精讲精练

第04讲 一元二次函数(方程,不等式)(精讲+精练)(解析版)备战2023年高考数学一轮复习精讲精练

第04讲一元二次函数(方程,不等式)(精讲+精练)目录第一部分:思维导图(总览全局)第二部分:知识点精准记忆第三部分:课前自我评估测试第四部分:典型例题剖析高频考点一:一元二次(分式)不等式解法(不含参)高频考点二:一元二次不等式解法(含参)高频考点三:一元二次不等式与相应的二次函数(方程)的关系高频考点四:一元二次不等式恒成立问题①x R∀∈上恒成立(优选∆法)②x R∃∈上恒成立(优选∆法)③x D∀∈上恒成立(优选分离变量法)④x D∃∈上恒成立(优选分离变量法)⑤已知参数a D∈,求x取值范围(优选变更主元法)高频考点五:一元二次不等式的应用第五部分:高考真题感悟第六部分:第04讲一元二次函数(方程,不等式)(精练)1、二次函数(1)形式:形如2()(0)f x ax bx c a =++≠的函数叫做二次函数. (2)特点:①函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象与x 轴交点的横坐标是方程20(0)ax bx c a ++=≠的实根. ②当0a >且0∆<(0∆≤)时,恒有()0f x >(()0f x ≥);当0a <且0∆<(0∆≤)时,恒有()0f x <(()0f x ≤). 2、一元二次不等式只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式.3.12()()0x x x x -->或12()()0x x x x --<型不等式的解集4、一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系5、分式不等式解法 (1)()0()()0()f x f xg x g x >⇔> (2)()0()()0()f x f xg x g x <⇔< (3)()()0()0()0()f x g x f x g x g x ≥⎧≥⇔⎨≠⎩ (4)()()0()0()0()f x g x f x g x g x ≤⎧≤⇔⎨≠⎩6、单绝对值不等式(1)||ax b c ax b c ax b c +>⇒+>+<-或 (2)||ax b c c ax b c +<⇒-<+<一、判断题1.(2022·全国·高三专题练习)已知函数2()f x ax bx c =++,关于x 的不等式()0f x <的解集为(1,3)-,则(4)(0)(1)f f f >>.___________(判断对错)【答案】正确 【详解】由不等式()0f x <的解集为(1,3)-, ∴()f x 是二次函数且开口向上,对称轴为x 132-+==1,且|41||01|->-, ∴(4)(0)(1)f f f >>. 故答案为:正确. 二、单选题1.(2022·贵州毕节·高一期末)已知不等式210ax bx ++>的解集为1123x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭,则a ,b 的值是( )A .3-,6-B .6-,1-C .6,3D .3,6【答案】B由题意知得:112x =-和213x =是方程210ax bx ++=的两个根可得:12b x x a +=-,121=x x a ,即16b a -=-,116a =-解得:6a =-,1b =- 故选:B2.(2022·江西南昌·一模(理))已知集合20x A x x -⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭,{}220B x x x =+->,则A B =( ) A .(),2-∞ B .()2,2- C .()1,2 D .(),1-∞【答案】C20x x-<,解得:02x <<,所以()0,2A =,220x x +->,解得:1x >或2x <-,故()(),21,B =-∞-+∞,故A B =()1,2 故选:C3.(2022·陕西西安·高二期末(文))若关于x 的一元二次不等式210x mx ++≤的解集为∅,则实数m 的取值范围是( ) A .(][),22,-∞-+∞ B .()2,2-C .()(),22,∞∞--⋃+D .[]22-,【答案】B由于关于x 的一元二次不等式210x mx ++≤的解集为∅,所以()()24220m m m ∆=-=+-<,解得22m -<<,所以实数m 的取值范围是()2,2-. 故选:B4.(2022·广东珠海·高一期末)已知关于x 的不等式220x mx n -+<的解集是()2,3,则m n +的值是( ) A .2- B .2 C .22 D .22-【答案】C由题意得:2与3是方程220x mx n -+=的两个根,故232m +=,232n⨯=,所以101222m n +=+=. 故选:C5.(2022·宁夏·高三阶段练习(文))已知集合{}{}21,,(1)(6)0A y y k k Z B x x x ==-∈=--≤,则A B =( )A .{}135,, B .{}35, C .[]16,D .∅【答案】A{}16B x x =≤≤,则A B ={}135,,. 故选:A.高频考点一:一元二次(分式)不等式解法(不含参)1.(2022·河北·模拟预测)已知集合{}2230A x x x =-+≥,302x B x x ⎧⎫-=∈≤⎨⎬+⎩⎭Z,则A B =( ) A .{}23x x -<≤ B .{}1,0,1,2,3- C .{}2,1,1,2,3--D .R【答案】B解不等式2230x x -+≥ ,()2223120,x x x x R -+=-+>∈ , 解不等式302x x -≤+ 得23x -<≤,}{1,0,1,2,3B =- , }{1,0,1,2,3A B ∴⋂=- ;故选:B.2.(2022·湖南·高一课时练习)下面四个不等式中解集为空集的是( ) A .237100x x --≤ B .2690x x -+-≤ C .223x x -+<- D .2470x x -+≤【答案】D对于A 选项,解不等式237100x x --≤得1013x -≤≤,A 不满足条件; 对于B 选项,由2690x x -+-≤得()226930x x x -+=-≥,该不等式的解集为R ,B 不满足条件; 对于C 选项,由223x x -+<-可得2230x x -->,解得1x <-或32x >,C 不满足条件; 对于D 选项,因为()2247230x x x -+=-+>,故不等式2470x x -+≤的解集为空集,D 满足条件. 故选:D.3.(2022·河南·信阳高中高一期末(理))设集合11212x M x x ⎧⎫-=≥⎨⎬+⎩⎭,N ={x ∈Z |x 2−12x −5≤0},则MN =( )A .52,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B .52,2⎛⎤- ⎥⎝⎦C .1,0,1,2D .{}2,1,0,1,2--【答案】C11212x x -≥+,即9302xx -≥+,解得:(]2,3x ∈-,故(]2,3M =- 21502x x --≤解得:52,2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,又x ∈Z ,故{}2,1,0,1,2N =--,故{}1,0,1,2M N ⋂=-.故选:C4.(2022·河南南阳·高二期末(文))不等式22530x x --<的一个必要不充分条件是( ) A .132x -<< B .13xC .102x -<<D .132x -<<【答案】B()()22533210x x x x --=-+<,解得132x -<<,所以不等式22530x x --<的一个必要不充分条件是13x . 故选:B5.(2022·河南洛阳·高二期末(文))不等式2230x x -++>的解集为( ) A .(1,3)-B .(3,1)-C .(,1)(3,)-∞-+∞D .(,3)(1,)-∞-⋃+∞【答案】A22+30(1)(3)013x x x x x -+>⇒+-<⇒-<<,故选:A.6.(2022·全国·高三专题练习)设集合{}2|560,{|20}A x x x B x x =-++=-<,则A B =( )A .[1,2)-B .[3,2)-C .[2,2)-D .(2,6]【答案】A{}{}2|560|16,A x x x x x =-++=-≤≤又{|20}B x x =-< 所以{}|12A B x x ⋂=-≤< 故选:A高频考点二:一元二次不等式解法(含参)一元二次不等式解法(含参问题)谈论三原则: ①最高项系数含参,从参数等于0开始讨论;如:222320a x ax -->,最高项系数为22a 讨论时,从220a =开始讨论. ②两根大小不确定,从两根相等开始讨论;如2(1)()(1)0x a x a x a x +--=-+<两根分别为:1x a =,21x =-,讨论时从1a =-开始讨论③根是否在定义域内:如(1)(1)0,(0,1)x x x -+<∈此时两根11x =-,21x =,讨论时注意11(0,1)x =-∉(舍去) 1.(2022·北京·清华附中高一期末)求下列关于x 的不等式的解集:222320a x ax --> 解:当0a =时,原不等式即为20->,该不等式的解集为∅; 当0a ≠时,220a >,原不等式即为()()2120ax ax +->. ①若0a <,则122a a ->,原不等式的解集为2x x a ⎧<⎨⎩或12x a ⎫>-⎬⎭;②若0a >,则122a a -<,原不等式的解集为12x x a ⎧<-⎨⎩或2x a ⎫>⎬⎭. 综上所述,当0a =时,原不等式的解集为∅; 当0a <时,原不等式的解集为2x x a ⎧<⎨⎩或12x a ⎫>-⎬⎭;当0a >时,原不等式的解集为12x x a ⎧<-⎨⎩或2x a ⎫>⎬⎭. 2.(2022·河北唐山·高一期末)已知关于x 的不等式:()23130ax a x -++<.(1)当2a =-时,解此不等式; (2)当0a >时,解此不等式. 【答案】(1)1{|2x x <-或}3x >(2)当13a =时,解集为∅;当103a <<时,解集为1{|3}x x a <<;当13a >时,解集为1{|3}x x a <<(1)当a =-2时,不等式-2x 2+5x +3<0 整理得(2x +1)(x -3)>0,解得x <-12或x >3, 当a =-2时,原不等式解集为{x |x <-12或x >3}. (2)当a >0时,不等式ax 2-(3a +1)x +3<0整理得:(x -3)(x -1a)<0, 当a =13时,1a =3,此时不等式无解;当0<a <13时,1a >3,解得3<x <1a ;当a >13时,1a <3,解得1a <x <3;综上:当a =13时,解集为∅;当0<a <13时,解集为{x |3<x <1a };当a >13时,解集为{x |1a <x <3}.3.(2022·福建·莆田第二十五中学高一期末)解关于x 的不等式2(1)0,(R)x a x a a +--<∈. 由2(1)()(1)0x a x a x a x +--=-+<, ∴当1a <-时,解集为(,1)a -; 当1a =-时,无解; 当1a >-时,解集为(1,)a -;4.(2022·全国·高三专题练习)解关于x 的不等式:()()21100ax a x a +--<<. 由()()21100ax a x a +--<<得()()()1100ax x a +-<<,∵()1110a a a a +--=-<,当10a -<<,即11a ->时,不等式的解为1x <或1x a>-. 当1a <-,即11a -<时,不等式的解为1x a <-或1x >, 当1a =-,即11a-=时,不等式的解1x ≠, 所以当10a -<<时原不等式的解集为()1,1,a ⎛⎫-∞⋃-+∞ ⎪⎝⎭,当1a <-时原不等式的解集为()1,1,a ⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭,当1a =-时不等式的解集为()(),11,-∞+∞.高频考点三:一元二次不等式与相应的二次函数(方程)的关系1.(2021·甘肃·甘南藏族自治州合作第一中学高一期中)若不等式210ax bx ++≥的解集为[-1,2],则-a b =( ) A .-2 B .-1 C .1 D .2【答案】B由题意0a <,210ax bx ++=的解是1,2-, 所以12112b a a⎧-=-+⎪⎪⎨⎪=-⨯⎪⎩,解得1212a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.1a b -=-.故选:B .2.(2021·四川省南充高级中学高二开学考试(理))已知不等式220ax bx ++<的解集为{|12}x x <<,则a b +=___________.【答案】2-解:由题意不等式220ax bx ++<的解集是{|12}x x <<,可知不等式是二次不等式,故1,2是方程220ax bx ++=的两个根,12ba ∴+=-,212a⨯=1a ,3b =-.2a b ∴+=-. 故答案为:2-.3.(2022·天津市红桥区教师发展中心高一期末)若函数()2f x x ax b =--的两个零点是2和3,则不等式2 10bx ax --> 的解集为________ .【答案】11(,)23--根据题意,235236a ab b +==⎧⎧⇒⎨⎨⨯=-=-⎩⎩,则不等式可化为()()22116510651021310,23x x x x x x x ⎛⎫--->⇒++<⇒++<⇒∈-- ⎪⎝⎭.故答案为:11,23⎛⎫-- ⎪⎝⎭.4.(2022·上海闵行·高一期末)已知b 、c ∈R ,关于x 的不等式20x bx c ++<的解集为()2,3-,则bc =___________. 【答案】6由题意可知,关于x 的方程20x bx c ++=的两根分别为2-、3,由韦达定理可得2323b c -=-+⎧⎨=-⨯⎩,可得16b c =-⎧⎨=-⎩,因此,6bc =.故答案为:6.5.(2022·上海·曹杨二中高一期末)已知a 为常数,若关于x 的不等式2260x x a -+<的解集为()m,2,则m =______. 【答案】1因关于x 的不等式2260x x a -+<的解集为()m,2,则m ,2是方程2260x x a -+=的两个根, 因此有2322m a m +=⎧⎪⎨=⎪⎩,解得1,4m a ==,所以1m =. 故答案为:1高频考点四:一元二次不等式恒成立问题①x R ∀∈上恒成立二次型+R (范围)优选∆法(注意最高项系数含参数,从0开始讨论)1.(2022·福建宁德·高一期末),x R ∀∈不等式2410ax x +-<恒成立,则a 的取值范围为( ) A .4aB .4a 或0a =C .4a ≤-D .40a【答案】A,x R ∀∈不等式2410ax x +-<恒成立,当0a =时,显然不恒成立,所以0Δ1640a a <⎧⎨=+<⎩,解得:4a.故选:A.2.(2022·全国·高三专题练习)已知a R ∈,“2210ax ax +-<对x R ∀∈恒成立”的一个充要条件是( ) A .10a -<< B .10a -<≤C .10a -≤<D .10a -≤≤【答案】B当0a =时,221=10ax ax +--<,对x R ∀∈恒成立; 当0a ≠时,若2210ax ax +-<,对x R ∀∈恒成立,则必须有20(2)4(1)0a a a <⎧⎨-⨯-<⎩,解之得10a -<<, 综上,a 的取值范围为10a -<≤.故“2210ax ax +-<对x R ∀∈恒成立”的一个充要条件是10a -<≤, 故选:B3.(2021·吉林·汪清县汪清第四中学高一阶段练习)若不等式2(1)0ax a x a +-+>对任意x ∈R 恒成立,则实数a 的取值范围是( )A .1a <-或13a >B .1a >C .13a >D .113a -<<【答案】C当0a =时,0(01)00,0x x +-⨯+>∴<,不符合题意,所以舍去;当0a ≠时,由题得0a >且22(1)40a a ∆=--<,所以13a >.综上:13a >.故选:C4.(2021·全国·高一课时练习)若不等式222424mx mx x x +-<+对任意x ∈R 均成立,则实数m 的取值范围是( )A .(22]-,B .(2,2)-C .())2[2∞⋃-∞,-,+D .(,2]-∞【答案】A解:原不等式等价于2(2)2(2)40<m x m x -+--, ①当2m =时,40,-<对任意的x 不等式都成立;②当20m <-时,24(2)16(2)0m m ∆=-+-<,所以22m -<<; ③当20m >-时,显然不能成立. 综合①②③,得m 的取值范围是(22]-,. 故选:A5.(2020·河北省尚义县第一中学高一期中)若命题210p x R x ax ∀∈++≥:,为真命题,则实数a 的取值范围是( ) A .2a ≥ B .2a ≤- C .22a -≤≤ D .2a ≤-或2a ≥【答案】C因为命题210p x R x ax ∀∈++≥:,是真命题, 令()21f x x ax =++,则必有240a ∆=-≤,解得:22a -≤≤,所以实数a 的取值范围是22a -≤≤, 故选:C②x R ∃∈上恒成立二次型+R (范围)优选∆法(注意最高项系数含参数,从0开始讨论)1.(2022·河南·新蔡县第一高级中学高二阶段练习(文))如果“x R ∃∈,使210x ax ++<.”是真命题,那么实数a 的取值范围为( ) A .(],2-∞- B .()(),22,-∞-⋃+∞ C .[)2,+∞D .(][),22,-∞-+∞【答案】B“x R ∃∈,使210x ax ++<.”是真命题, ∴240a ∆=->,则2a >或2a <-. 故选:B2.(2020·宁夏·隆德县中学高三阶段练习(理))已知命题“0x R ∃∈,()20014204x a x +-+≤”是真命题,则实数a 的取值范围( ) A .(],0-∞ B .[]0,4 C .[4,+∞)D .(],0-∞[)4⋃+∞,【答案】D由题意,命题“0x R ∃∈,()20014204x a x +-+≤”是真命题 故221(2)44404a a a ∆=--⨯⨯=-≥,解得4a ≥或0a ≤.则实数a 的取值范围是(],0-∞[)4⋃+∞, 故选:D.3.(2022·江苏南通·高一期末)若命题“2,1x R x m ∃∈->”是真命题,则实数m 的取值范围是( ) A .(﹣∞,1) B .(﹣∞,1] C .(1,+∞) D .[1,+∞)【答案】A若命题“2,1x R x m ∃∈->”是真命题, 即210x m +-<有解,则对应的判别式0∆>,即4(1)0m ∆=-->, 解得1m <, 故选:A4.(2021·山西·朔州市平鲁区李林中学高一阶段练习)若命题“2,10x R x x a ∃∈++-<”是真命题,则实数a 的取值范围是( ) A .54a >B .54aC .54aD .54a <【答案】D2,10x R x x a ∃∈++-<,即函数()21f x x x a =++-的最小值小于0即可,()21524f x x a ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭,故504a -<,解得:54a < 故选:D5.(2021·天津·耀华中学高一期中)若命题“R x ∃∈,使得不等式22(3)0mx m x m +-+<”成立,则实数m 的取值集合是( ) A .(3,1)-- B .(,1)(3,)-∞+∞ C .(,0]-∞ D .(3,1)(1,3)--【答案】B命题“R x ∃∈,使得不等式22(3)0mx m x m +-+<”成立, 当0m =时,不等式为30x -<,显然有解,成立;当0m <时,开口向下,必然R x ∃∈,使得不等式22(3)0mx m x m +-+<成立,; 当0m >,0∆>即222(3)40m m -->,解得29m >或21m <,所以01m <<或3m >. 综上可得1m <或3m >. 故选:B .③x D ∀∈上恒成立(优选分离变量法)min ,()()x D a f x a f x ∀∈≤⇔≤ max ,()()x D a f x a f x ∀∈≥⇔≥1.(2022·海南·嘉积中学高一阶段练习)对任意的()0,x ∈+∞,2210x mx -+>恒成立,则m 的取值范围为( ) A .[)1,+∞ B .()1,+∞C .(],1-∞D .(),1-∞【答案】D当()0,x ∈+∞时,由2210x mx -+>得:12m x x<+,12x x+≥(当且仅当1x x =,即1x =时取等号),22m ∴<,解得:1m <,即m 的取值范围为(),1-∞. 故选:D.2.(2021·河北·石家庄市藁城区第一中学高三开学考试)若关于x 的不等式2210x ax ++在[0,)+∞上恒成立,则实数a 的取值范围为( ) A .()0,∞+ B .[)1,-+∞ C .[]1,1- D .[)0,∞+【答案】B解:当0x =时,不等式10恒成立; 当0x >时,由题意可得12a x x-+恒成立, 由11()22f x x x x x=+⋅=,当且仅当1x =时,取得等号. 所以22a -,解得1a -.综上可得,a 的取值范围是[)1,-+∞. 故选:B .3.(2021·福建·泉州市第六中学高一期中)已知关于x 的不等式²4x x m -≥对任意(]0,3x ∈恒成立,则有( ) A .4m ≤- B .3m ≥-C .30m -≤<D .40m -≤<【答案】A因为关于x 的不等式²4x x m -≥对任意(]0,3x ∈恒成立, 所以2min (4)m x x ≤-,令224(2)4y x x x =-=--,(]0,3x ∈, 所以当2x =时,24y x x =-取得最小值4-, 所以4m ≤- 故选:A4.(2021·黑龙江·鸡西市第一中学校高一期中)已知函数()21f x x ax =-+,若()0f x ≥在[]2,4上恒成立,则实数a 的取值范围是( ) A .(],2-∞ B .52⎛⎤-∞ ⎥⎦⎝,C .(]0,2D .(]0,1【答案】B解:因为()0f x ≥在[]2,4上恒成立,即210x ax -+≥在[]2,4上恒成立, 即1a x x≤+在[]2,4上恒成立, 令()[]1,2,4g x x x x=+∈,任取1224x x ≤<≤, 则()()12121211g x g x x x x x ⎛⎫-=+-+ ⎪⎝⎭121212x x x x x x -=--()1212121x x x x x x -=-⋅, 因为1224x x ≤<≤,所以12120,10x x x x -<->, 所以()()120g x g x -<,即()()12g x g x <, 所以函数()g x 在[]2,4上递增, 所以()()min 152222g x g ==+=, 所以52a ≤. 故选:B.5.(2022·全国·高三专题练习)若对任意的2[1,0],2420x x x m ∈--+++≥恒成立,则m 的取值范围是( ) A .[4,)+∞ B .[2,)+∞ C .(,4]-∞ D .(,2]-∞【答案】A解:因为对任意的2[1,0],2420x x x m ∈--+++≥恒成立, 所以对任意的2[1,0],242x m x x ≥-∈--恒成立, 因为当[1,0]x ∈-,()[]22142,4y x =--∈-,所以()2max 2424m x x --≥=,[1,0]x ∈-,即m 的取值范围是[4,)+∞ 故选:A6.(2022·甘肃张掖·高一期末)设函数2()f x x ax b =+-.(1)若不等式()0f x <的解集是{}23x x <<,求不等式210bx ax -+≤的解集; (2)当3a b +=时,()0f x ≥在]0,1x ⎡∈⎣上恒成立,求实数a 的取值范围. 【答案】(1)1{|6x x ≤-或1}x ≥(2)[)3,+∞(1)因为不等式20x ax b +-<的解集是{}|23x x <<,所以122 3x x ==,是方程20x ax b +-=的解 由韦达定理1212x x ax x b +=-⎧⎨=-⎩ 解得 5 6,-=-=a b 故不等式210bx ax -+≤为26510+-+≤x x , 即26510(61)(1)0x x x x --≥⇔+-≥解得16x ≤-或1≥x故不等式26510x x -+>得其解集为1{|6x x ≤-或1}x ≥(2)当3a b +=时3b a =-,()22()+3=++30=---≥f x x ax a x ax a 在]0,1x ⎡∈⎣上恒成立,所以23+1-≥x a x令()]23,0,1+1x g x x x -⎡=∈⎣,则()max a g x ≥令]+1,1,2t x t ⎡=∈⎣,则1x t =-,()22232212++---=+=+-=t t y t t tt t由于2,y t y t=-=均为(0,)+∞的减函数 故22++=-y t t在]1,2⎡⎣上为减函数 所以当1t =时,22++=-y t t取最大值,且最大值为3 所以()max 3g x = 所以3a ≥所以实数a 的取值范围为[)3,+∞.7.(2021·山东·枣庄市第三中学高一阶段练习)已知函数()2()24f x x a x =-++(a ∈R ).(1)若关于x 的不等式()f x <0的解集为(1,b ),求a 和b 的值; (2)若对任意x ∈[]1,4,()1f x a ≥--恒成立,求实数a 的取值范围. 【答案】(1)a =3,b =4(2)(],4∞- (1)解:因为不等式()f x <0的解集为(1,b ),即()2240x a x -++<的解集为(1,b ),所以1,b 为()2240x a x -++=的两根,所以由根与系数的关系知1+b =a +2且1b ⨯=4,所以a =3,b =4; (2)解:∵对任意x ∈[]1,4,()1f x a ≥--恒成立,∴()2125a x x x -≤-+对任意的x ∈[1,4]恒成立,当x =1时,0≤4恒成立,符合题意,所以a ∈R ;当x ∈(]1,4时,问题等价于a ≤2251x x x +--恒成立,即a ≤2min 251x x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭--,∵2254111x x x x x +=--+--,且013x <-≤,∴4141x x -+≥=-,当且仅当411x x -=-,即x =3时取等号,∴a ≤4,综上,a 的取值范围为(],4∞-.④x D ∃∈上恒成立(优选分离变量法)max ,()()x D a f x a f x ∃∈≤⇔≤min ,()()x D a f x a f x ∃∈≥⇔≥1.(2021·河南信阳·高二期中(理))若关于x 的不等式22(1)0x m x m -+-≥在(1,1)-有解,则m 的取值范围为( ) A .(,1][0,)-∞-+∞ B .(,1)(0,)-∞-+∞ C .[0,1] D .(0,1)【答案】B令22()(1)f x x m x m =-+-,其对称轴为202m x =≥, 关于x 的不等式22(1)0x m x m -+-≥在(1,1)-有解, 当(1,1)x ∈-时,有()(1)f x f <-,(1)0f ∴->,即20m m +>,可得0m >或1m <-.故选:B .2.(2021·安徽·池州市第一中学高一期中)若关于x 的不等式22510x x m --->在[1,3]上有解则实数m 的取值范围为( ) A .(,2)-∞ B .33,8⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C .(,4)-∞-D .33,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【答案】A解:依题意,2251x x m -->,令2251y x x =--, 故问题转化为求函数2251y x x =--在[1,3]上的最大值; 因为二次函数2251y x x =--的对称轴为54x =,且551344-<-,故max 295312y =⨯-⨯-=,故2m <, 故选:A.3.(2021·河南·高二期中(理))已知关于x 的不等式220ax x a -+<在()0,∞+上有解,则实数a 的取值范围为( ) A .(),1-∞ B .()1,1- C .()1,+∞D .()0,∞+【答案】A由(0,)x ∈+∞,220ax x a -+<,可得221x a x <+在()0,∞+上有解,令22()1x f x x =+,则2()11f x x x =≤=+,当且仅当1x =时取等号,所以1a <. 故选:A.4.(2021·山西·大同一中高一期中)若关于x 的不等式2830x x a --+≤在15x ≤≤内有解,则实数a 的取值范围是( ) A .10a ≤ B .19a ≥C .10a ≥D .19a ≤【答案】D依题意关于x 的不等式2830x x a --+≤在15x ≤≤内有解,()2max83a x x ≤-++,()228341919y x x x -++=--≤=+,所以19a ≤. 故选:D5.(2021·河北·石家庄市第四十四中学高一期中)若关于x 的不等式210x mx ++≤在区间(0,2]上有解,则实数m 的取值范围是__________. 【答案】(,2]-∞- 因为(]0,2x ∈,所以,由210x mx ++≤得21x m x≤-+,因为关于x 的不等式210x mx ++≤在区间(0,2]上有解,所以只需m 小于等于21x x+-的最大值,又2212x x x x-≤-=-+,当且仅当1x =时,等号成立,所以2m ≤-,即实数m 的取值范围是(,2]-∞-. 故答案为:(,2]-∞-.6.(2021·福建省龙岩第一中学高一期中)已知不等式20kx x k -+<有解,则实数k 的取值范围为__________. 【答案】1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭解:当0k =时,0x -<,符合题意 当0k >时,令2y kx x k =-+, 由不等式20kx x k -+<有解 即2140k ∆=->,得102k <<当0k <时, 2y kx x k =-+开口向下,满足20kx x k -+<有解 符合题意综上,实数k 的取值范围为1,2k ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭故答案为:1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.7.(2021·河北·石家庄市藁城区第一中学高一阶段练习)已知函数2()2(1)4f x x k x =+-+; (1)若关于x 的不等式()0f x <的解集为(1,)m ,求实数,m k 的值; (2)存在[1,4]x ∈使得()0f x <成立,求实数k 的取值范围. 【答案】(1)34,2m k ==-(2)(,1)-∞-(1)由题意知:1和m 是22(1)40x k x +-+=的两根, 故12(1),14m k m +=--⨯= ,即34,2m k ==- ;(2)存在[1,4]x ∈使得()0f x <成立,即存在[1,4]x ∈,使得222(1)40,2(1)4x k x k x x +-+<-<--成立, 即存在[1,4]x ∈,使得42(1)k x x-<--成立,当[1,4]x ∈时,4444x x x x+≥--≤-,,当且仅当x =2时取等号, 故2(1)41k k -<-<-,, 即实数k 的取值范围为(,1)-∞- .⑤已知参数a D ∈,求x 取值范围(变更主元法)1.(2022·全国·高三专题练习)已知[1a ∈-,1],不等式2(4)420x a x a +-+->恒成立,则x 的取值范围为( )A .(-∞,2)(3⋃,)∞+B .(-∞,1)(2⋃,)∞+C .(-∞,1)(3⋃,)∞+D .(1,3)【答案】C解:令()2(2)44f a x a x x =-+-+,则不等式2(4)420x a x a +-+->恒成立转化为()0f a >在[1,1]a ∈-上恒成立.∴有(1)0(1)0f f ->⎧⎨>⎩,即22(2)4402440x x x x x x ⎧--+-+>⎨-+-+>⎩, 整理得:22560320x x x x ⎧-+>⎨-+>⎩,解得:1x <或3x >.x ∴的取值范围为()(),13,-∞⋃+∞.故选:C .2.(2022·全国·高三专题练习)不等式225732ax x a x +->-对一切()1,0a ∈-恒成立,则实数x 的取值范围是( )A .(]1,4,2⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭B .(][),41,-∞-⋃-+∞C .()4,1--D .14,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A令()()227532=-+-+f a a x x x ,对一切()1,0a ∈-均大于0恒成立,所以 ()()22270175320⎧->⎪⎨-=--+-+≥⎪⎩x f x x x ,或()227005320⎧-<⎪⎨=-+≥⎪⎩x f x x , 或22705320⎧-=⎪⎨-+≥⎪⎩x x x , 解得4x ≤-或x >12≤<xx = 综上,实数x 的取值范围是4x ≤-,或12x ≥. 故选:A.3.(2021·全国·高一课时练习)对任意的[1,1]a ∈-,函数2()(4)42f x x a x a =+-+-的值总大于0,则x 的取值范围为( ) A .(1,3) B .(,1)(3,)-∞+∞ C .(,1)-∞ D .(3,)+∞【答案】B对任意[]1,1a ∈-,函数()()2442f x x a x a =+-+-的值恒大于零 设()()2244g a x a x x =-+-+,即()0g a >在[]1,1a ∈-上恒成立.()g a 在[]1,1a ∈-上是关于a 的一次函数或常数函数,其图象为一条线段,则只需线段的两个端点在x 轴上方,即()()2215601320g x x g x x ⎧-=-+>⎪⎨=-+>⎪⎩,解得3x >或1x < 故选:B 【点睛】关键点睛:本题考查不等式在区间上恒成立问题,解答本题的关键是构造函数()()2244g a x a x x =-+-+,将问题转化为()0g a >在[]1,1a ∈-上恒成立,考查学生的逻辑推理与运算能力,属于中档题.4.(2021·江西吉安·高一期中)若不等式21634x ax x a -≥--对任意[]2,4a ∈-成立,则x 的取值范围为( ) A .(][),83,-∞-⋃+∞B .()[),01,-∞+∞C .[]8,6-D .(]0,3【答案】A由题得不等式2(4)3160x a x x ---+≤对任意[]2,4a ∈-成立,所以22(4)(2)3160(4)43160x x x x x x ⎧----+≤⎨---+≤⎩, 即2252400x x x x ⎧--+≤⎨-+≤⎩,解之得3x ≥或8x ≤-. 故选:A高频考点五:一元二次不等式的应用1.(2021·全国·高一课时练习)某文具店购进一批新型台灯,每盏的最低售价为15元,若每盏按最低售价销售,每天能卖出45盏,每盏售价每提高1元,日销售量将减少3盏,为了使这批台灯每天获得600元以上的销售收入,则这批台灯的销售单价x (单位:元)的取值范围是( ) A .()10,20 B .[)15,20 C .()18,20 D .[)15,25【答案】B由题意,得()45315600x x ⎡⎤⎦>⎣--,即2302000x x -+<,∴()()10200x x --<,解得1020x <<.又每盏的最低售价为15元,∴1520x ≤<. 故选:B .2.(2021·河北·石家庄一中高一阶段练习)某城市对一种每件售价为160元的商品征收附加税,税率为%R (即每销售100元征税R 元),若年销售量为5302R ⎛⎫- ⎪⎝⎭万件,要使附加税不少于128万元,则R 的取值范围是( ) A .[]4,8 B .[]6,10 C .[]4%,8% D .[]6%,100%【答案】A根据题意,要使附加税不少于128万元, 则530160%1282R R ⎛⎫-⨯⨯≥ ⎪⎝⎭,整理得:212320R R -+≤, 解得:48R ≤≤.所以R 的取值范围是[]4,8, 故选:A.3.(2021·全国·高一专题练习)某文具店购进一批新型台灯,若按每盏台灯15元的价格销售,每天能卖出30盏;若售价每提高1元,日销售量将减少2盏,现决定提价销售,为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入.则这批台灯的销售单价x (单位:元)的取值范围是( ) A .{}1016x x ≤< B .{}1218x x ≤< C .{}1520x x << D .{}1020x x ≤<【答案】C结合题意易知,()30215400x x --⋅>⎡⎤⎣⎦, 即2302000x x -+<,解得1020x <<, 因为15x >,所以1520x <<,这批台灯的销售单价x 的取值范围是{}1520x x <<, 故选:C.4.(2021·全国·高一课时练习)一服装厂生产某种风衣,日产量为()x x ∈N 件时,售价为p 元/件,每天的总成本为R 元,且1602p x =-,50030R x =+,要使获得的日利润不少于1300元,则x 的取值范围为 A .{}045x x ∈<<N B .{}045x x ∈<N C .{}020x x ∈<N D .{}2045x x ∈N【答案】D设日利润为y 元,则()()21602500302130500y x x x x x =-⋅-+=-+-,由1300y ,解得2045x ,即x 的取值范围为{}2045x x ∈N . 故选D .5.(2021·全国·高一专题练习)某小型服装厂生产一种风衣,日销售量x (件)与单价P (元)之间的关系为1602P x =-,生产x 件所需成本为C (元),其中()50030C x =+元,若要求每天获利不少于1300元,则日销售量x 的取值范围是( ). A .{}2030,N x x x +≤≤∈ B .{}2045,N x x x +≤≤∈ C .{}1530,N x x x +≤≤∈ D .{}1545,N x x x +≤≤∈【答案】B设该厂每天获得的利润为y 元,则()()21602500302130500y x x x x x =-⋅-+=-+-,080x <<,N x +∈,根据题意,可得221305001300x x -+-≥,解得2045x ≤≤, 故当2045x ≤≤,且N x +∈时,每天获得的利润不利于1300元. 故选B.1.(2020·山东·高考真题)已知二次函数2y ax bx c=++的图像如图所示,则不等式20ax bx c++>的解集是()A.()2,1-B.()(),21,-∞-⋃+∞B.C.[]2,1-D.(][),21,-∞-+∞【答案】A结合图像易知,不等式20ax bx c++>的解集()2,1-,故选:A.2.(2019·全国·高考真题(理))设集合A={x|x2-5x+6>0},B={ x|x-1<0},则A∩B=A.(-∞,1) B.(-2,1)C.(-3,-1) D.(3,+∞)【答案】A由题意得,{}{}23,1A x x xB x x==<或,则{}1A B x x⋂=<.故选A.3.(2017·天津·高考真题(理))已知函数23,1,()2, 1.x x xf xx xx⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩设a R∈,若关于x的不等式()||2xf x a≥+在R上恒成立,则a的取值范围是A.47[,2]16-B.4739[,]1616-C.[-D.39[]16-【答案】A不等式()2xf x a≥+为()()2xf x a f x-≤+≤(*),当1x≤时,(*)式即为22332xx x a x x-+-≤+≤-+,2233322xx a x x-+-≤≤-+,又22147473()241616x x x -+-=---≤-(14x =时取等号),223339393()241616x x x -+=-+≥(34x =时取等号),所以47391616a -≤≤, 当1x >时,(*)式为222x x a x x x --≤+≤+,32222x x a x x--≤≤+,又3232()22x x x x --=-+≤-x =222x x +≥=(当2x =时取等号),所以2a -≤, 综上47216a -≤≤.故选A . 4.(2019·天津·高考真题(文)) 设x ∈R ,使不等式2320x x +-<成立的x 的取值范围为__________. 【答案】2(1,)3-2320x x +-<,即(1)(32)0x x +-<, 即213x -<<, 故x 的取值范围是2(1,)3-.5.(2018·天津·高考真题(文))已知a R ∈,函数()22220220x x a x f x x x a x ⎧++-≤=⎨-+->⎩,,,.若对任意x ∈[–3,+∞),f (x )≤x 恒成立,则a 的取值范围是__________. 【答案】1,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦分类讨论:①当0x >时,()f x x ≤即:222x x a x -+-≤,整理可得:21122a x x ≥-+,由恒成立的条件可知:()2max 11022a x x x ⎛⎫≥-+> ⎪⎝⎭,结合二次函数的性质可知: 当12x =时,2max 1111122848x x ⎛⎫-+=-+= ⎪⎝⎭,则18a ≥;②当30x -≤≤时,()f x x ≤即:222x x a x ++-≤-,整理可得:232a x x ≤--+,由恒成立的条件可知:()()2min3230a x x x ≤--+-≤≤,结合二次函数的性质可知:当3x =-或0x =时,()2min322x x --+=,则2a ≤;综合①②可得a 的取值范围是1,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦,故答案为1,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦.一、单选题1.(2022·河南濮阳·高二开学考试(理))若不等式250ax x b -+<的解集为1132x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭,则,a b 的值分别为( ) A .6-,1- B .1,6 C .1-,6 D .6,1【答案】D由不等式解集可知:13和12是方程250ax x b -+=的两根,且0a >,115321132a b a⎧+=⎪⎪∴⎨⎪⨯=⎪⎩,解得:6a =,1b =. 故选:D.2.(2022·江苏南通·高三阶段练习)当x ∈R 时,不等式2210x x a ---≥恒成立,则实数a 的取值范围是( ) A .(],2-∞- B .(),2-∞- C .(],0-∞ D .(),0∞-【答案】A由题意,当x ∈R 时,不等式2210x x a ---≥恒成立, 故2(2)4(1)0a ∆=-++≤ 解得2a ≤-故实数a 的取值范围是(],2-∞-故选:A3.(2022·吉林·农安县教师进修学校高一期末)不等式()()22210a x a x -+--<对一切x ∈R 恒成立,则实数a 的取值范围是( ) A .()2,2-B .(]2,2-C .()(),22,∞∞--⋃+D .()[),22,-∞-⋃+∞【答案】B由题意,不等式2(2)(2)10a x a x -+--<对一切R x ∈恒成立, 当20a -=时,即2a =时,不等式10-<恒成立,符合题意; 当20a -≠时,即2a ≠时,要使得不等式2(2)(2)10a x a x -+--<对一切R x ∈恒成立, 则满足()()220Δ2420a a a -<⎧⎪⎨=-+-<⎪⎩,解得22a -<<, 综上,实数a 的取值范围是(2,2]-. 故选:B.4.(2022·河南焦作·高二期末(理))若存在()2,1x ∈--,使得不等式220x kx -+>成立,则实数k 的取值范围为( )A .()-+∞ B .(,-∞-C .()3,-+∞D .[)3,∞-+【答案】C存在(2,1)x ∈--,不等式220x kx -+>成立, 则22x k x+>,(2,1)x ∈--能成立,即对于(2,1)x ∈--,22x k x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭成立,令222()x f x x x x+==+,(2,1)x ∈--,则22222()1x f x x x-'=-=,令()0f x x '=⇒=所以当(2,x ∈-,()0()f x f x '>,单调递增,当(1)x ∈-,()0()f x f x '<,单调递减, 又(2)(1)3f f -=-=-,所以f(x)>−3, 所以3k >-. 故选:C5.(2022·河南·高一阶段练习)已知关于x 的不等式()()()2233100,0a m x b m x a b +--->>>的解集为1(,1)(,)2-∞-+∞,则下列结论错误的是( )A .21a b +=B .ab 的最大值为18C .12a b+的最小值为4D.11a b+的最小值为3+ 【答案】C由题意,不等式()()223310a m x b m x +--->的解集为(]1,1,2⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭,可得230a m +>,且方程()()223310a m x b m x +---=的两根为1-和12,所以131223111223b m a m a m -⎧-+=⎪⎪+⎨⎪-⨯=-⎪+⎩,所以232a m +=,31b m -=-,所以21a b +=,所以A 正确;因为0a >,0b >,所以21a b +=≥18ab ≤, 当且仅当122a b ==时取等号,所以ab 的最大值为18,所以B 正确;由12124()(2)44448b a a b a b a b a b +=++=++≥++=, 当且仅当4b aa b =时,即122a b ==时取等号,所以12a b+的最小值为8,所以C 错误;由()111122333b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭ 当且仅当2b aa b=时,即b =时,等号成立,所以11a b+的最小值为3+D 正确. 故选:C .6.(2022·浙江·安吉县高级中学高一开学考试)已知关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集为{|1x x <-或4}x >,则下列说法正确的是( )A .0a >B .不等式20ax cx b ++>的解集为{|22x x << C .0a b c ++< D .不等式0ax b +>的解集为{}|3x x >【答案】B解:因为关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集为{|1x x <-或4}x >,所以0a <,所以选项A 错误;由题得014,3,414a b b a c a a c a ⎧⎪<⎪⎪-+=-∴=-=-⎨⎪⎪-⨯=⎪⎩,所以20ax cx b ++>为2430,22x x x --<∴<所以选项B正确;设2()f x ax bx c =++,则(1)0f a b c =++>,所以选项C 错误; 不等式0ax b +>为30,3ax a x ->∴<,所以选项D 错误. 故选:B7.(2022·江苏南京·高一期末)已知,b c ∈R ,关于x 的不等式20x bx c ++<的解集为()2,1-,则关于x 的不等式210cx bx ++>的解集为( )A .1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭B .11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ C .()1,1,2∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭ D .()1,1,2∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭【答案】A因为不等式20x bx c ++<的解集为()2,1-,所以2121-=-+⎧⎨=-⨯⎩b c 即12=⎧⎨=-⎩b c ,不等式210cx bx ++>等价于2210x x -++>, 解得112x -<<.故选:A.8.(2022·重庆八中高一期末)关于x 的不等式()221ax x -<恰有2个整数解,则实数a 的取值范围是( ) A .33,11,22⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B .3443,,2332⎛⎤⎡⎫-- ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭C .33,11,22⎛⎤⎡⎫-- ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ D .3443,,2332⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】B由()221ax x -<恰有2个整数解,即()()11110a x a x +---<⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦恰有2个整数解,所以()()110a a +->,解得1a >或1a <-,①当1a >时,不等式解集为11,11a a ⎛⎫ ⎪+-⎝⎭,因为110,12a ⎛⎫∈ ⎪+⎝⎭,故2个整数解为1和2, 则1231a <≤-,即22133a a -<≤-,解得4332a ≤<; ②当1a <-时,不等式解集为11,11a a ⎛⎫ ⎪+-⎝⎭,因为11,012a ⎛⎫∈- ⎪-⎝⎭,故2个整数解为1-,2-则1321a -≤<-+,即()()21131a a -+<≤-+,解得3423a -<≤-. 综上所述,实数a 的取值范围为3423a -<≤-或4332a ≤<. 故选:B.二、填空题9.(2022·上海金山·高一期末)若关于x 的不等式290x mx -+>的解集为R ,则实数m 的取值范围是______.【答案】()66-,关于x 的不等式290x mx -+> 的解集为R ,则()2490m ∆=--⨯< ,所以66m -<< , 故答案为:()66-,10.(2022·安徽·泾县中学高一开学考试)记关于x 的不等式220x x a a -+-≤的解集为A ,集合{}12B x x =-≤<,若A B ,则实数a 的取值范围为___________.【答案】()1,2-解:原不等式220x x a a -+-≤可变形为()()10x a x a -+-≤,当1a a ,即12a =时,12A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭,满足题意; 当1a a <-,即12a <时,{}1A x a x a =≤≤-,所以112a a ≥-⎧⎨-<⎩,解得1a >-,所以112a -<<; 当1a a ,即12a >时,{}1A x a x a =-≤≤,所以21112a a a ⎧⎪<⎪-≥-⎨⎪⎪>⎩,解得122a <<. 综上可得1a 2-<<,即()1,2a ∈-;故答案为:()1,2-11.(2022·河南驻马店·高一期末)高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家.用其名字命名的“高斯函数”为:[]()y x x =∈R ,[]x 表示不超过x 的最大整数,如[ 1.6]2-=-,[1.6]1=,[2]=2,则关于x 的不等式2[][]120x x +-<的解集为__________.【答案】[3,3)-∵2[][]120x x +-<,∴4[]3x -<<,∴33x -≤<,故答案为:[3,3)-12.(2022·浙江金华第一中学高一期末)已知关于x 的不等式2280ax bx ++>的解集为()4,,m m ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭,其中0m <,则4b a b +的最小值是___________.【答案】3因为关于x 的不等式2280ax bx ++>的解集为()4,,m m ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭, 所以4,m m是方程2280ax bx ++=的两个不相等的实根, 因此有48424,2,b m m a m b m a m a m ⋅=+=-⇒=+=-,因为0m <,所以44b m m =-+≥-,当且仅当4m m -=-时取等号, 即2m =-时取等号, 4)2418(2b b a b b b b +=+=+,设18()()(4)2f b b b b=+≥,因为函数18()()2f b b b =+在)+∞上单调递增,所以当4b ≥时,函数18()()2f b b b =+单调递增,所以min ()(4)3f b f ==,故答案为:3三、解答题13.(2022·河南濮阳·高二开学考试(理))已知关于x 的函数()232f x ax x =-+. (1)当1a =时,求不等式()0f x >的解集.(2)当0a >时,求不等式()5f x ax >-的解集.【答案】(1)()(),12,-∞+∞(2)()3,1,a ⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭(1)当1a =时,()()()23221f x x x x x =-+=--,由()0f x >得:1x <或2x >,()0f x ∴>的解集为{1x x <或}2x >.(2)由()5f x ax >-得:()()()233310ax a x ax x +--=-+>,当0a >时,令()()310ax x -+=,解得:130x a=>,21x =-, 则由()()310ax x -+>得:1x <-或3x a >, ()5f x ax ∴>-的解集为()3,1,a ⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭. 14.(2022·湖南·高一课时练习)若不等式20x ax b --<的解集是{}23x x <<,求不等式210bx ax --≥的。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

难点4 三个“二次”及关系三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是中学数学的重要内容,具有丰富的内涵和密切的联系,同时也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具.高考试题中近一半的试题与这三个“二次”问题有关.本节主要是帮助考生理解三者之间的区别及联系,掌握函数、方程及不等式的思想和方法.●难点磁场已知对于x的所有实数值,二次函数f(x)=x2-4ax+2a+12(a∈R)x=|a-1|+2的根的取值范围. 的值都是非负的,求关于x的方程2a●案例探究[例1]已知二次函数f(x)=ax2+bx+c和一次函数g(x)=-bx,其中a、b、c满足a>b>c,a+b+c=0,(a,b,c∈R).(1)求证:两函数的图象交于不同的两点A、B;(2)求线段AB在x轴上的射影A1B1的长的取值范围.命题意图:本题主要考查考生对函数中函数与方程思想的运用能力.属于★★★★★题目.知识依托:解答本题的闪光点是熟练应用方程的知识来解决问题及数与形的完美结合.错解分析:由于此题表面上重在“形”,因而本题难点就是一些考生可能走入误区,老是想在“形”上找解问题的突破口,而忽略了“数”.技巧与方法:利用方程思想巧妙转化.(1)证明:由⎩⎨⎧-=++=bx y cbx ax y 2消去y 得ax 2+2bx +c =0Δ=4b 2-4ac =4(-a -c )2-4ac =4(a 2+ac +c 2)=4[(a +43)22+c c 2]∵a +b +c =0,a >b >c ,∴a >0,c <0∴43c 2>0,∴Δ>0,即两函数的图象交于不同的两点.(2)解:设方程ax 2+bx +c =0的两根为x 1和x 2,则x 1+x 2=-ab 2,x 1x 2=ac .|A 1B 1|2=(x 1-x 2)2=(x 1+x 2)2-4x 1x 2]43)21[(4]1)[(44)(4444)2(2222222++=++=---=-=--=a c a c a c a acc a a ac b a c a b∵a >b >c ,a +b +c =0,a >0,c <0 ∴a >-a -c >c ,解得ac ∈(-2,-21)∵]1)[(4)(2++=ac ac ac f 的对称轴方程是21-=ac .ac ∈(-2,-21)时,为减函数∴|A 1B 1|2∈(3,12),故|A 1B 1|∈(32,3).[例2]已知关于x 的二次方程x 2+2mx +2m +1=0.(1)若方程有两根,其中一根在区间(-1,0)内,另一根在区间(1,2)内,求m 的范围.(2)若方程两根均在区间(0,1)内,求m 的范围.命题意图:本题重点考查方程的根的分布问题,属★★★★级题目.知识依托:解答本题的闪光点是熟知方程的根对于二次函数性质所具有的意义.错解分析:用二次函数的性质对方程的根进行限制时,条件不严谨是解答本题的难点.技巧与方法:设出二次方程对应的函数,可画出相应的示意图,然后用函数性质加以限制.解:(1)条件说明抛物线f (x )=x 2+2mx +2m +1与x 轴的交点分别在区间(-1,0)和(1,2)内,画出示意图,得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧->-<∈-<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+=<+=>=-<+=65,21,21056)2(,024)1(,02)1(,012)0(m m R m m m f m f f m f ∴2165-<<-m .(2)据抛物线与x轴交点落在区间(0,1)内,列不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-<≥∆>>10,0,0)1(,0)0(m f f ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<--≤+≥->->⇒.01,2121,21,21m m m m m 或 (这里0<-m <1是因为对称轴x =-m 应在区间(0,1)内通过) ●锦囊妙计1.二次函数的基本性质 (1)二次函数的三种表示法:y =ax 2+bx +c ;y =a (x -x 1)(x -x 2);y =a (x -x 0)2+n.(2)当a >0,f (x )在区间[p ,q ]上的最大值M ,最小值m ,令x 0=21 (p +q ).若-ab2<p ,则f (p )=m ,f (q )=M ; 若p ≤-a b 2<x 0,则f (-ab 2)=m ,f (q )=M ;若x 0≤-a b 2<q ,则f (p )=M ,f (-ab 2)=m ;若-ab 2≥q ,则f (p )=M ,f (q )=m .2.二次方程f (x )=ax 2+bx +c =0的实根分布及条件.(1)方程f (x )=0的两根中一根比r 大,另一根比r 小⇔a ·f (r )<0;(2)二次方程f (x )=0的两根都大于r ⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>⋅>->-=∆0)(,2,042r f a r a bac b(3)二次方程f (x )=0在区间(p ,q )内有两根⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>⋅>⋅<-<>-=∆⇔;0)(,0)(,2,042p f a q f a q ab p ac b (4)二次方程f (x )=0在区间(p ,q )内只有一根⇔f (p )·f (q )<0,或f (p )=0(检验)或f (q )=0(检验)检验另一根若在(p ,q )内成立.(5)方程f (x )=0两根的一根大于p ,另一根小于q (p <q )⇔⎩⎨⎧>⋅<⋅0)(0)(q f a p f a .3.二次不等式转化策略(1)二次不等式f (x )=ax 2+bx +c ≤0的解集是:(-∞,α])∪[β,+∞)⇔a <0且f (α)=f (β)=0;(2)当a >0时,f (α)<f (β)⇔ |α+ab 2|<|β+ab2|,当a <0时,f (α)<f (β)⇔|α+ab 2|> |β+ab2|;(3)当a >0时,二次不等式f (x )>0在[p ,q ]恒成立⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔,0)(,2p f p ab或⎪⎩⎪⎨⎧≥≥-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-<-≤;0)(;2,0)2(,2q f p a b a b f q ab p 或 (4)f (x )>0恒成立⎩⎨⎧<==⎩⎨⎧<∆<⇔<⎩⎨⎧>==⎩⎨⎧<∆>⇔.00,0,00)(;0,0,0,0c b a a x f c b a a 或恒成立或 ●歼灭难点训练 一、选择题1.(★★★★)若不等式(a -2)x 2+2(a -2)x -4<0对一切x ∈R 恒成立,则a 的取值范围是( )A.(-∞,2]B.[-2,2]C.(-2,2]D.(-∞,-2)2.(★★★★)设二次函数f (x )=x 2-x +a (a >0),若f (m )<0,则f (m -1)的值为( )A.正数B.负数C.非负数D.正数、负数和零都有可能二、填空题3.(★★★★★)已知二次函数f (x )=4x 2-2(p -2)x -2p 2-p +1,若在区间[-1,1]内至少存在一个实数c ,使f (c )>0,则实数p 的取值范围是_________.4.(★★★★★)二次函数f (x )的二次项系数为正,且对任意实数x恒有f (2+x )=f (2-x ),若f (1-2x 2)<f (1+2x -x 2),则x 的取值范围是_________.三、解答题5.(★★★★★)已知实数t 满足关系式33log log a y a t a a= (a >0且a ≠1)(1)令t=a x ,求y =f (x )的表达式;(2)若x ∈(0,2]时,y 有最小值8,求a 和x 的值.6.(★★★★)如果二次函数y =mx 2+(m -3)x +1的图象与x 轴的交点至少有一个在原点的右侧,试求m 的取值范围.7.(★★★★★)二次函数f (x )=px 2+qx +r 中实数p 、q 、r 满足mrm q m p ++++12=0,其中m >0,求证:(1)pf (1+m m )<0;(2)方程f (x )=0在(0,1)内恒有解.8.(★★★★)一个小服装厂生产某种风衣,月销售量x (件)与售价P (元/件)之间的关系为P =160-2x ,生产x 件的成本R =500+30x 元.(1)该厂的月产量多大时,月获得的利润不少于1300元? (2)当月产量为多少时,可获得最大利润?最大利润是多少元?参考答案难点磁场解:由条件知Δ≤0,即(-4a )2-4(2a +12)≤0,∴-23≤a ≤2(1)当-23≤a <1时,原方程化为:x =-a 2+a +6,∵-a 2+a +6=-(a-21)2+425.∴a =-23时,x mi n =49,a =21时,x max =425.∴49≤x ≤425.(2)当1≤a ≤2时,x =a 2+3a +2=(a +23)2-41∴当a =1时,x mi n =6,当a =2时,x max =12,∴6≤x ≤12. 综上所述,49≤x ≤12.歼灭难点训练一、1.解析:当a -2=0即a =2时,不等式为-4<0,恒成立.∴a =2,当a -2≠0时,则a 满足⎩⎨⎧<∆<-002a ,解得-2<a <2,所以a 的范围是-2<a ≤2.答案:C2.解析:∵f (x )=x 2-x +a 的对称轴为x =21,且f (1)>0,则f (0)>0,而f (m )<0,∴m ∈(0,1),∴m -1<0,∴f (m -1)>0. 答案:A二、3.解析:只需f (1)=-2p 2-3p +9>0或f (-1)=-2p 2+p +1>0即-3<p <23或-21<p <1.∴p ∈(-3, 23).答案:(-3,23)4.解析:由f (2+x )=f (2-x )知x =2为对称轴,由于距对称轴较近的点的纵坐标较小,∴|1-2x 2-2|<|1+2x -x 2-2|,∴-2<x <0.答案:-2<x <0 三、5.解:(1)由log a33log a y a t t =得log a t -3=log t y -3log t a由t =a x 知x =log a t ,代入上式得x -3=xxy a 3log -, ∴log a y =x 2-3x +3,即y =a 332+-x x (x ≠0).(2)令u =x 2-3x +3=(x -23)2+43 (x ≠0),则y =a u①若0<a <1,要使y =a u 有最小值8,则u =(x -23)2+43在(0,2]上应有最大值,但u 在(0,2]上不存在最大值.②若a >1,要使y =a u 有最小值8,则u =(x -23)2+43,x ∈(0,2]应有最小值∴当x =23时,u mi n =43,y mi n =43a 由43a =8得a =16.∴所求a =16,x =23.6.解:∵f (0)=1>0(1)当m <0时,二次函数图象与x 轴有两个交点且分别在y 轴两侧,符合题意.(2)当m >0时,则⎪⎩⎪⎨⎧>-≥∆030mm解得0<m ≤1综上所述,m 的取值范围是{m |m ≤1且m ≠0}. 7.证明:(1)])1()1([)1(2r m mq m m p p m m pf ++++=+。

相关文档
最新文档