4、三角函数的图象和性质(2)
三角函数的图像与性质
三角函数的图像与性质三角函数的图像与性质在数学中，三角函数是一种基本的函数类型，其中的很多图像和性质对理解数学十分重要。
它们有助于理解各种模型的表示和应用，增强数学思维的能力和加深数学知识。
本文就三角函数的图像与性质做一些简单的介绍。
I、三角函数图像1、正弦曲线：正弦曲线是由参数从0到2π（2π是将一个周期跨越两次）形成的空间曲线。
它是圆的切线，有一定的规律性，并且把圆分为一个完整的一个周期，表现的曲线是一个“s”字形，形成有节奏的变化形式。
2、余弦曲线：余弦曲线是一条由参数从0到2π（2π是将一个周期跨越两次）形成的空间曲线，它也是圆的切线，有一定的规律性，但是它把圆分为两个半周期，比较起来更加缓和，表现的曲线是一个“v”字形，形成有节奏的变化形式。
3、正切曲线：正切曲线可以由参数0到π（π是将一个周期跨越一次）形成的曲线。
它也是一个椭圆的切线，有一定的规律性，把椭圆分为一完整周期，表现的曲线是一个“z”字形，形成有节奏的变化形式。
II、三角函数的性质1、周期性：三角函数的周期性就是说其值的变化是有如左图5000式的一个循环周期，在实际应用中可以利用该性质进行参数估计。
2、增减性：三角函数具有明显的增减性，具体表现为当参数逐渐增加时，函数值会自动增大，而当参数逐渐减小时，函数值则会自动减小。
3、几何性：三角函数有一个令人惊讶的性质，即在几何上其值就等于一定参数的弧度，而且参数的变化也不会影响该弧度。
4、极限性：参数π/2处的正切函数的值无穷大，表示非常接近的范围内函数的变化是接近无穷大的，而参数为0处的余弦函数为1，表示函数在某一点的取值趋势没有了变化，变成一个规定值。
总结来说，三角函数可以说是数学之中一个基本的概念，其图形和性质极其重要，可以帮助我们更深入的理解数学，增进数学的应用能力，因此，值得我们认真好好的学习。
三角函数的图像和性质
三角函数的图像和性质三角函数是数学中的一类特殊函数，以其图像的周期性和性质的多样性而被广泛研究和应用。
本文将介绍三角函数的图像特点和基本性质。
一、正弦函数的图像和性质正弦函数是最基本的三角函数之一，用sin(x)表示。
其图像为周期性曲线，其周期为2π。
在一个周期内，正弦函数的值在[-1,1]之间变化。
图像在x轴上的零点是正弦函数的特殊点，记为x=kπ，其中k为整数。
正弦函数的图像在x=kπ时经过极大值或极小值。
正弦函数的性质：1. 周期性：sin(x+2π)=sin(x)，即正弦函数在过一周期后会重复。
2. 奇偶性：sin(-x)=-sin(x)，即正弦函数关于原点对称。
3. 对称性：sin(π-x)=sin(x)，即正弦函数关于y轴对称。
二、余弦函数的图像和性质余弦函数是另一个常见的三角函数，用cos(x)表示。
余弦函数的图像也是周期性曲线，其周期同样为2π。
在一个周期内，余弦函数的值同样在[-1,1]之间变化。
与正弦函数不同的是，余弦函数的图像在x=kπ时经过极大值或极小值。
余弦函数的性质：1. 周期性：cos(x+2π)=cos(x)，即余弦函数在过一周期后会重复。
2. 奇偶性：cos(-x)=cos(x)，即余弦函数关于y轴对称。
3. 对称性：cos(π-x)=-cos(x)，即余弦函数关于原点对称。
三、正切函数的图像和性质正切函数是三角函数中另一个常见的函数，用tan(x)表示。
正切函数的图像为周期性曲线，其周期为π。
正切函数的图像在x=kπ+π/2时会出现无穷大的间断点，即tan(x)在这些点是无界的。
正切函数的性质：1. 周期性：tan(x+π)=tan(x)，即正切函数在过一个周期后会重复。
2. 奇偶性：tan(-x)=-tan(x)，即正切函数关于原点对称。
四、其他三角函数除了正弦函数、余弦函数和正切函数，还有其他与它们密切相关的三角函数。
1. 反正弦函数：用arcsin(x)表示，表示一个角的正弦值等于x，返回值在[-π/2, π/2]之间。
初三三角函数的图像与性质
初三三角函数的图像与性质三角函数是初中数学中重要的概念之一，它在数学、物理、工程等领域中有广泛的应用。
理解三角函数的图像与性质对于解题和应用都具有重要意义。
本文将从图像的周期性、对称性以及性质的变化等方面进行探讨。
1. 正弦函数的图像与性质正弦函数表示为y = sinx，其中x为自变量，y为函数值。
正弦函数的图像是一条连续的波浪线，其特点如下：1.1 周期性正弦函数具有周期性，即在一个周期内，函数值会以波浪形态无限次重复。
它的一个周期为2π，所以正弦函数的图像在0到2π之间会完成一个完整的波浪。
1.2 对称性正弦函数具有轴对称性，即y = sinx在关于原点对称。
这意味着当自变量x的值变为负数时，函数值不变，即sin(-x) = -sinx。
1.3 取值范围正弦函数的取值范围在-1到1之间，即-1 ≤ sinx ≤ 1。
当自变量x为0、π、2π等整数倍的π时，正弦函数取得最大值1或最小值-1。
2. 余弦函数的图像与性质余弦函数表示为y = cosx，其图像与正弦函数有相似之处，但也有一些不同的特点：2.1 周期性余弦函数同样具有周期性，其一个周期也为2π，因此在0到2π之间会完成一个波浪的周期。
与正弦函数不同的是，余弦函数在自变量取得奇数个π倍数时，图像会经过坐标轴。
2.2 对称性余弦函数也具有轴对称性，即y = cosx在关于y轴对称。
这意味着当自变量x的值变为负数时，函数值仍然相等，即cos(-x) = cosx。
2.3 取值范围余弦函数的取值范围也在-1到1之间，即-1 ≤ cosx ≤ 1。
当自变量x 为0、π/2、π等奇数个π倍数时，余弦函数取得最大值1或最小值-1。
3. 正切函数的图像与性质正切函数表示为y = tanx，其图像和性质与正弦函数和余弦函数有明显的不同：3.1 周期性正切函数具有周期性，其一个周期为π，即tan(x+π) = tanx。
在0到π之间，正切函数会呈现一种连续且无穷增大或无穷减小的趋势。
三角函数的图像与性质
三角函数的图像与性质三角函数是数学中的重要概念，它们的图像和性质对于初中数学学习者来说是必须掌握的内容。
在本文中，我将详细介绍三角函数的图像与性质，并给出一些例子和说明，帮助中学生和他们的父母更好地理解和应用这些知识。
一、正弦函数的图像与性质正弦函数是最基本的三角函数之一，它的图像是一条连续的曲线，呈现出周期性变化。
正弦函数的性质包括：1. 周期性：正弦函数的周期是2π，即在每个2π的区间内，正弦函数的图像重复出现。
2. 幅度：正弦函数的幅度表示波峰和波谷的最大差值，通常记为A。
幅度越大，波峰和波谷的差值越大。
3. 对称性：正弦函数的图像关于y轴对称，即f(x) = -f(-x)。
4. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即f(x) = -f(x)。
举例说明：假设有一条正弦函数的图像，周期为2π，幅度为1。
在区间[0, 2π]内，正弦函数的图像先从0逐渐上升到1，然后下降到0，再下降到-1，最后又上升到0。
这样的周期性变化会一直重复下去。
根据正弦函数的性质，可以得出该图像关于y轴对称，且是奇函数。
二、余弦函数的图像与性质余弦函数也是一种常见的三角函数，它的图像和正弦函数有些相似，但也有一些不同之处。
余弦函数的性质包括：1. 周期性：余弦函数的周期也是2π，与正弦函数相同。
2. 幅度：余弦函数的幅度也表示波峰和波谷的最大差值，通常记为A。
与正弦函数不同的是，余弦函数的幅度表示波峰和波谷的绝对值最大差值。
3. 对称性：余弦函数的图像关于y轴对称，即f(x) = f(-x)。
4. 奇偶性：余弦函数是偶函数，即f(x) = f(x)。
举例说明：假设有一条余弦函数的图像，周期为2π，幅度为1。
在区间[0, 2π]内，余弦函数的图像先从1逐渐下降到0，然后下降到-1，再上升到0，最后又上升到1。
这样的周期性变化会一直重复下去。
根据余弦函数的性质，可以得出该图像关于y轴对称，且是偶函数。
三、正切函数的图像与性质正切函数是三角函数中的另一种重要函数，它的图像与正弦函数和余弦函数有很大的不同。
高一数学三角函数的图象与性质(二)
三角函数的图象与性质（二）一、基本知识：了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ)的图象，理解参数A 、ω、φ的物理意义．掌握将函数图象进行对称变换、平移变换、伸缩变换．会根据图象提供的信息，求出函数解析式．二、例题分析：【例1】(2004年某某卷)设)(t f y =是某港口水的深度y （米）关于时间t （时）的函数，其中240≤≤t .下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t 与水深y 的关系：经长期观察，函数)(t f y =的图象可以近似地看成函数)sin(ϕω++=t A k y 的图象.下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是（ A ）A ．]24,0[,6sin 312∈+=t t y πB ．]24,0[),6sin(312∈++=t t y ππC ．]24,0[,12sin312∈+=t t y πD ．]24,0[),212sin(312t t y ππ++=【思路串讲】本题主要考查三角函数的图象与性质以及分析问题与解决问题的能力．“会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型”，此类问题的求解一般是先找出周期，定出A 与是的值，最后确定 的值．【标准答案】A【例2】 函数y=Asin （ωx+φ)(A ＞0，ω＞0，｜φ｜＜π2)的最小值为－2，其图象相邻的最高点和最低点横坐标差3π，又图象过点（0，1），求这个函数的解析式．分析 求函数的解析式，即求A 、ω、φ的值．A 与最大、最小值有关，易知A=2，ω与周期有关，由图象可知，相邻最高点与最低点横坐标差3π，即T 2=3π．得 T=6π，所以ω=13．所以y=2sin(x 3+φ），又图象过点（0，1），所以可得关于φ的等式，从而可将φ求出，易得解析式为y=2sin(x 3 ＋π6）．【例3】 右图为某三角函数图像的一段（1）试用y=Asin （ωx+φ)（2）求这个函数关于直线x=2解：（1）T=13π3－ π3=4π．∴ω=2πT = 12．又A=3，由图象可知所给曲线是由y=3sin x2沿x 轴向右平移 π3而得到的．∴解析式为 y=3sin 12 (x －π3)．(2)设（x ，y)为y=3sin(12 x －π6 ）关于直线x=2π对称的图像上的任意一点，则该点关于直线x=2π的对称点应为（4π－x ，y)，故与y=3sin(12x －π6）关于直线x=2π对称的函数解析式是y=3sin ［12（4π－x)－ π6］=－3sin(12 x ＋π6）．点评 y=sin(ωx+φ)(ω＞0)的图象由y=sin ωx 的图象向左平移（φ＞0）或向右平移（φ＜0）|φ|ω个单位．特别要注意不能搞错平移的方向和平移的单位数量．求一个函数的图象关于一条直线对称图象的函数解析式时，要注意解几知识的运用． 【例4】 已知函数y=12cos 2x+ 32sinxcosx+1 (x ∈R)．(1)当y 取得最大值时，求自变量x 的集合；（2）该函数图象可由y=sinx(x ∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？【思路串讲】本题主要考查三角函数的图象和性质、利用三角公式进行恒等变形的技能以及运算能力.解题突破口：利用三角公式进行恒等变形化简为)sin()(ϕω+=t A x f ,（1）回答图像的变换时，不能省略“纵坐标不变”、“横坐标不变”等术语．（2）周期变换后的左右平移要注意平移单位的变化．必须搞清A 、ω、φ和图象的哪些因素有关；y=sin ωx 和y=sin(ωx+φ)两图象间平移变换的方向和平移的单位数量极易搞错，解题时要倍加小心．解 (1)y= 12·1+cos2x 2 + 32·12 sin2x +1= 12sin(2x+π6)+ 54．当2x+π6 =2k π+π2 ，即x=k π+π6，k ∈Z 时，y max = 74．(2）由y=sinx 图象左移π6个单位，再将图象上各点横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），其次将图象上各点纵坐标缩短到原来的12（横坐标不变），最后把图象向上平移 54个单位即可．点评 （1）回答图像的变换时，不能省略“纵坐标不变”、“横坐标不变”等术语．（2）周期变换后的左右平移要注意平移单位的变化． 【例5】已知函数)cos (sin sin 2)(x x x x f +=.（I ）函数)(x f 的最小正周期和最大值;（II ）在给出的直角坐标系中，画出函数]2,2[)(ππ-=在区间x f y 上的图象.【思路串讲】本题主要考查三角函数的图象和性质、利用三角公式进行恒等变形的技能、“五点”法作图以及运算能力. 解题突破口：要求函数数)(x f 的最小正周期和最值,关键是利用三角公式进行恒等变形化简为y=Asin(ωx+φ)形式. 要画出函数]2,2[)(ππ-=在区间x f y 上的图象.主要用“五点”法作图.【标准答案】（I ）x x x x x x f 2sin 2cos 1cos sin 2sin 2)(2+-=+=)42sin(21)4sin 2cos 4cos2(sin 21πππ-+=-⋅+=x x x所以函数)(x f 的最小正周期为π，最大值为21+.（Ⅱ）由（Ⅰ）知x83π- 8π-8π 83π 85π y1 21- 1 21+ 1故函数)(x f y =在区间]2,2[ππ-上的图象是【例6】(2003年卷)已知函数.sin cos sin 2cos )(44x x x x x f --= （Ⅰ）求)(x f 的最小正周期；（Ⅱ）若]2,0[π∈x ，求)(x f 的最大值、最小值.【思路串讲】本题主要考查三角函数的倍角、和角公式，以及三角函数的性质等基本知识，考查运算能力. 解题突破口：要求函数数)(x f 的最小正周期和最值,关键是利用三角公式进行恒等变形化简为y=Asin(ωx+φ)形式.【标准答案】（Ⅰ）因为x x x x x f 44sin cos sin 2cos )(--=)42cos(22sin 2cos 2sin )sin )(cos sin (cos 2222π+=-=--+=x x x x x x x x所以)(x f 的最小正周期.22ππ==T ……6分（Ⅱ）因为,20π≤≤x 所以.45424πππ≤+≤x 当442ππ=+x 时，)42cos(π+x 取得最大值22；当ππ=+42x 时，)42cos(π+x 取得最小值－1.所以)(x f 在]2,0[π上的最大值为1，最小值为－.2……13分【例7】（2003年春季卷）已知函数)(,2cos 4sin 5cos 6)(24x f xx x x f 求-+=的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域.【思路串讲】本题主要考查三角函数的基本知识，考查逻辑思维能力、分析和解决问题的能力.解题突破口：要求函数数)(x f 的定义域,转化为02cos ≠x ,要求函数数)(x f 的值域,关键是利用三角公式进行恒等变形化简为y=Asin(ωx+φ)形式.【标准答案】由Z k k x k x x ∈+≠+≠≠,42,2202cos ππππ解得得.所以)(x f 的定义域为}.,42|{Z k k x R x x ∈+≠∈ππ且因为)(x f 的定义域关于原点对称，且)2cos(4)(sin 5)(cos 6)(24x x x x f ---+-=-)(),(2cos 4sin 5cos 624x f x f xx x 所以=-+=是偶函数.当xx x x f Z k k x 2cos 4sin 5cos 6)(,,4224-+=∈+≠时ππ1cos 32cos )1cos 3)(1cos 2(222-=--=x xx x ，所以)(x f 的值域为}221211|{≤<<≤-y y y 或. 三、训练反馈：1．将y=cosx 的图象作关于x 轴的对称变换，再将所得的图象向下平移1个单位，所得图象对应的函数是 （ D ）A ．y=cosx+1B ．y=cosx －1C ．y=－cosx+1D ．y=－cosx －12．函数f(x)=sin3x 图象的对称中心的坐标一定是 （ B ） A ． (12k π，0)， k ∈Z B ．（13k π，0）， k ∈ZC ．（14k π，0）， k ∈ZD ．（k π，0），k ∈Z3．函数y=cos(2x+π2)的图象的一个对称轴方程为 （ B ）A ．x=－ π2B ．x=－ π4C ．x= π8 D ．x=π4．为了得到函数y=3sin(3x+π4)，x ∈R 的图象，只需把函数y=3sin(x+π4)的图象上所有点（ B ）A ．横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变B ．横坐标缩短到原来的13倍，纵坐标不变C ．纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变D ．纵坐标缩短到原来的13倍，横坐标不变．5．要得到y=sin(2x －π3)的图象，只需将y=sin2x 的图象 （ D ）A ．向左平移π3个单位B ． 向右平移π3个单位C ．向左平移π6个单位D ． 向右平移π6个单位6．函数y=12sin(2x+θ)的图象关于y 轴对称的充要条件是 （ B ）A ．θ=2k π+π2B ．θ=k π+π2 C ．θ=2k π+πD ．θ=k π+π(k ∈Z)7．先将函数y=sin2x 的图象向右平移π3个单位长度，再将所得图象作关于y 轴的对称变换，则所得函数图象对应的解析式为 （ D ） A ．y=sin(－2x+π3) B ．y=sin(－2x －π3)C ．y=sin(－2x+ 2π3)D ． y=sin(－2x －2π3)8．右图是周期为2π的三角函数y=f(x)的图象，那么f(x)可以写成 （ D ）A ．sin(1+x)B ． sin(－1－x)C ．sin(x －1)D ． sin(1－x)9．y=tan(12x －π3)在一个周期内的图象是 （A ）10．已知函数y=2cosx(0≤x ≤2π)的图象与直线y=2围成一个封闭的平面图形，则该封闭图形面积是．4π-BACD11．将y=sin(3x －π6)的图象向（左、右）平移个单位可得y=sin(3x+π3)的图像．左，π612．已知函数y=Asin(ωx+φ)，在同一个周期内，当x=π9时取得最大值12，当x=4π9时取得最小值－ 12，若A ＞0，ω＞0，｜φ｜＜π2，求该函数的解析表达式． y=12 sin(3x+π6)13．已知函数y=3sinx+cosx ，x ∈R ．(1)当y 取得最大值时，求自变量x 的取值集合； （2）该函数的图象可由y=sinx(x ∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？（1）{x ｜x=π3+2k π，k ∈Z}； （2）将y=sinx 的图象向左平移π6，得到函数y=sin(x+π6)的图象，再将所得图象上各点横坐标不变，纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数y=2sin(x+π6)的图象．word 11 / 11。
三角函数的图像及其性质
三角函数的图像及其性质1、三角函数的图像及性质sin y xsin y A x k图像值域周期对称轴2x k2x k对称中心（零点）令x k 代入求y令x k 代入，求出x 和y 单调增区间2,222x k k2,222x k k单调减区间32,222x k k32,222x k kcos y xcos y A x k图像值域周期对称轴x kx k 对称中心（零点）2x k代入，求y 2x k求出x 和y 单调增区间 2,2x k k 2,2x k k 单调减区间2,2x k k2,2x k k tan y x图像定义域值域周期单调性与对称性性质【考点分类】考点一：图像变换：1．把函数y ＝sin x 的图象向右平移个单位得到y ＝g （x ）的图象，再把y ＝g （x ）图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），所得到图象的解析式为（）A．B．C．D．2．将函数f （x ）＝sin x 图象上所有点的横坐标变为原来的（ω＞0），纵坐标不变，得到函数g （x ）的图象，若g （x ）的最小正周期为6π，则ω＝（）A．B．6C．D．33．将函数y ＝2sin2x 图象上的所有点向右平移个单位，然后把图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，（纵坐标不变）得到y ＝f （x ）的图象，则f （x ）等于（）A．2sin（x ﹣）B．2sin（x ﹣）C．2sin（4x ﹣）D．2sin（4x ﹣）4．已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin（2x +），则下面结论正确的是（）A．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度，得到曲线C 2B．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度，得到曲线C 2C．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度，得到曲线C 2D．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位长度，得到曲线C 25.把函数y ＝cos(3x ＋4)的图象适当变动就可以得到y ＝sin(－3x )的图象，这种变动可以是()A 向右平移4 B 向左平移4 C 向右平移12 D 向左平移126..函数32sin( x y 的图象是由2sin xy 的图象沿x 轴（）得到的。
人教版高中数学必修四1.4三角函数的图象与性质1.4.2二含答案
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二) 课时目标 1.掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域或最值.2.掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 的单调性，并能用单调性比较大小.3.会求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)及y ＝A cos(ωx ＋φ)的单调区间．正弦函数、余弦函数的性质： 函数 y ＝sin xy ＝cos x 图象定义域______ ______ 值域______ ______ 奇偶性______ ______ 周期性最小正周期：______ 最小正周期：______ 单调性在__________________________________ 上单调递增；在__________________________________________________上单调递减 在__________________________________________上单调递增；在______________________________上单调递减 最值 在________________________时，y max ＝1；在________________________________________时，y min ＝－1在______________时，y max ＝1；在__________________________时，y min ＝－1 一、选择题1．若y ＝sin x 是减函数，y ＝cos x 是增函数，那么角x 在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．若α，β都是第一象限的角，且α<β，那么( )A ．sin α>sin βB ．sin β>sin αC ．sin α≥sin βD ．sin α与sin β的大小不定3．函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( )A.[]－1，1B.⎣⎡⎦⎤－54，－1 C.⎣⎡⎦⎤－54，1 D.⎣⎡⎦⎤－1，54 4．函数y ＝|sin x |的一个单调增区间是( )A.⎝⎛⎭⎫－π4，π4B.⎝⎛⎭⎫π4，3π4 C.⎝⎛⎭⎫π，3π2 D.⎝⎛⎭⎫3π2，2π 5．下列关系式中正确的是( )A ．sin 11°<cos 10°<sin 168°B ．sin 168°<sin 11°<cos 10°C ．sin 11°<sin 168°<cos 10°D ．sin 168°<cos 10°<sin 11°6．下列函数中，周期为π，且在⎣⎡⎦⎤π4，π2上为减函数的是( )A ．y ＝sin(2x ＋π2)B ．y ＝cos(2x ＋π2) C ．y ＝sin(x ＋π2) D ．y ＝cos(x ＋π2) 题 号 1 2 3 4 5 6 答 案二、填空题7．函数y ＝sin(π＋x )，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π的单调增区间是____________． 8．函数y ＝2sin(2x ＋π3)(－π6≤x ≤π6)的值域是________． 9．sin 1，sin 2，sin 3按从小到大排列的顺序为__________________．10．设|x |≤π4，函数f (x )＝cos 2x ＋sin x 的最小值是______． 三、解答题11．求下列函数的单调增区间．(1)y ＝1－sin x 2； (2)y ＝log 12(cos 2x )．12．已知函数f (x )＝2a sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋b 的定义域为⎣⎡⎦⎤0，π2，最大值为1，最小值为－5，求a 和b 的值．能力提升13．已知sin α>sin β，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，β∈⎝⎛⎭⎫π，32π，则( ) A ．α＋β>π B ．α＋β<πC ．α－β≥－32πD ．α－β≤－32π 14．已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于( ) A.23 B.32C ．2D ．31．求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)单调区间的方法是：把ωx ＋φ看成一个整体，由2k π－π2≤ωx ＋φ≤2k π＋π2(k ∈Z )解出x 的范围，所得区间即为增区间，由2k π＋π2≤ωx ＋φ≤2k π＋32π (k ∈Z )解出x 的范围，所得区间即为减区间．若ω<0，先利用诱导公式把ω转化为正数后，再利用上述整体思想求出相应的单调区间．2．比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断．3．求三角函数值域或最值的常用求法将y 表示成以sin x (或cos x )为元的一次或二次等复合函数再利用换元或配方、或利用函数的单调性等来确定y 的范围．1．4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二)答案知识梳理 R R [－1,1] [－1,1] 奇函数 偶函数 2π 2π [－π2＋2k π，π2＋2k π](k ∈Z ) [π2＋2k π，3π2＋2k π] (k ∈Z ) [－π＋2k π，2k π] (k ∈Z ) [2k π，π＋2k π] (k ∈Z ) x ＝π2＋2k π (k ∈Z ) x ＝－π2＋2k π (k ∈Z ) x ＝2k π (k ∈Z ) x ＝π＋2k π (k ∈Z ) 作业设计1．C 2.D3．C [y ＝sin 2x ＋sin x －1＝(sin x ＋12)2－54当sin x ＝－12时，y min ＝－54； 当sin x ＝1时，y max ＝1.]4．C [由y ＝|sin x |图象易得函数单调递增区间⎣⎡⎦⎤k π，k π＋π2，k ∈Z ，当k ＝1时，得⎝⎛⎭⎫π，32π为y ＝|sin x |的单调递增区间．]5．C [∵sin 168°＝sin (180°－12°)＝sin 12°，cos 10°＝sin (90°－10°)＝sin 80°由三角函数线得sin 11°<sin 12°<sin 80°，即sin 11°<sin 168°<cos 10°.]6．A [因为函数周期为π，所以排除C 、D.又因为y ＝cos(2x ＋π2)＝－sin 2x 在⎣⎡⎦⎤π4，π2上为增函数，故B 不符合．故选A.]7.⎣⎡⎦⎤π2，π8．[0,2]解析 ∵－π6≤x ≤π6，∴0≤2x ＋π3≤2π3. ∴0≤sin(2x ＋π3)≤1，∴y ∈[0,2] 9．b <c <a解析 ∵1<π2<2<3<π， sin(π－2)＝sin 2，sin(π－3)＝sin 3.y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上递增，且0<π－3<1<π－2<π2， ∴sin(π－3)<sin 1<sin(π－2)，即sin 3<sin 1<sin 2.∵b <c <a . 10.1－22解析 f (x )＝cos 2x ＋sin x ＝1－sin 2x ＋sin x＝－(sin x －12)2＋54∵|x |≤π4，∴－22≤sin x ≤22. ∴当sin x ＝－22时，f (x )min ＝1－22. 11．解 (1)由2k π＋π2≤x 2≤2k π＋32π，k ∈Z ， 得4k π＋π≤x ≤4k π＋3π，k ∈Z .∴y ＝1－sin x 2的增区间为[4k π＋π，4k π＋3π] (k ∈Z )． (2)由题意得cos 2x >0且y ＝cos 2x 递减．∴x 只须满足：2k π<2x <2k π＋π2，k ∈Z . ∴k π<x <k π＋π4，k ∈Z . ∴y ＝log 12(cos 2x )的增区间为⎝⎛⎭⎫k π，k π＋π4，k ∈Z . 12．解 ∵0≤x ≤π2，∴－π3≤2x －x 3≤23π， ∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤1，易知a ≠0. 当a >0时，f (x )max ＝2a ＋b ＝1，f (x )min ＝－3a ＋b ＝－5.由⎩⎨⎧ 2a ＋b ＝1－3a ＋b ＝－5，解得⎩⎨⎧a ＝12－63b ＝－23＋123. 当a <0时，f (x )max ＝－3a ＋b ＝1，f (x )min ＝2a ＋b ＝－5. 由⎩⎨⎧ －3a ＋b ＝12a ＋b ＝－5，解得⎩⎨⎧a ＝－12＋63b ＝19－123. 13．A [∵β∈⎝⎛⎭⎫π，32π， ∴π－β∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，且sin(π－β)＝sin β. ∵y ＝sin x 在x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0上单调递增，∴sin α>sin β⇔sin α>sin(π－β)⇔α>π－β⇔α＋β>π.]14．B [要使函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间[－π3，π4]上的最小值是－2，则应有T 4≤π3或34T ≤π4，即2π4ω≤π3或6πω≤π，解得ω≥32或ω≥6. ∴ω的最小值为32，故选B.]附赠材料答题六注意 ：规范答题不丢分提高考分的另一个有效方法是减少或避免不规范答题等非智力因素造成的失分,具体来说考场答题要注意以下六点:第一,考前做好准备工作。
三角函数的性质和图像
三角函数的性质和图像
三角函数的性质与其连续变化的图像形状之间息息相关，为我们解释物理世界中复杂物理关系提供了重要依据。
五个小标题，相关内容
三角函数的性质和图形
1、定义
三角函数是用变量对正n角形的三种角度和相应角的大小而表达的关系式，主要包括正弦函数sinH，余弦函数 cosH和正切函数 tanH。
2、几何性质：
三角函数在几何中有一些性质，例如正弦函数SinH，余弦函数CosH 和正切函数tanH全部符合三角形的特性，其中的SinH和CosH的图像是三角形的内切圆，而tanH的图像是三角形的外切圆。
3、参数性质：
任意线性变换，三角函数的图像也被重新变换，只要保持原来变量关
系，图像也保持类型不变。
4、增减性质：
在某种范围内，正弦函数SinH和余弦函数CosH都是增函数，正切函数TanH是减函数。
5、图像特点：
三角函数的图像大体上是正弦曲线，在Π/2位置有拐点，有半波长形状，在此基础上可以通过变换做出不同的图形。
三角函数的图像与性质
三角函数的图像与性质引言三角函数在数学中起着非常重要的作用，它们的图像与性质也是数学学习过程中的基础内容。
本文将介绍三角函数的图像和常见性质，包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
正弦函数的图像与性质正弦函数是三角函数中最常见的函数之一，它的图像呈现周期性的波动。
正弦函数的定义域为实数集，值域为[-1, 1]。
正弦函数的图像可以用下面的公式表示：$$y = \\sin(x)$$正弦函数的图像在周期范围内呈现上升和下降的特点，其中最高点和最低点的纵坐标分别为1和-1。
正弦函数的图像以曲线方式连续无间断地进行。
正弦函数的性质包括： - 正弦函数的周期为$2\\pi$，即在每个周期内，正弦函数的图像完整地重复一次。
- 正弦函数的对称轴为x轴。
- 正弦函数的图像在$[\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}] $ 上是增函数，在$[0, \frac{\pi}{2}] $ 和$[\frac{3\pi}{2}, 2\pi] $ 上是减函数。
余弦函数的图像与性质余弦函数也是三角函数中常见的函数，它的图像与正弦函数非常相似，但是相位不同。
余弦函数的定义域为实数集，值域为[-1, 1]。
余弦函数的图像可以用下面的公式表示：$$y = \\cos(x)$$余弦函数的图像在周期范围内呈现上升和下降的特点，其中最高点和最低点的纵坐标分别为1和-1。
余弦函数的图像以曲线方式连续无间断地进行。
余弦函数的性质包括： - 余弦函数的周期为$2\\pi$，即在每个周期内，余弦函数的图像完整地重复一次。
- 余弦函数的对称轴为y轴。
- 余弦函数的图像在$[\pi, 2\pi] $ 上是增函数，在$[0, \pi] $ 上是减函数。
正切函数的图像与性质正切函数是另一个重要的三角函数，它的图像在不同的区间内有不同的特点。
正切函数的定义域是除了$\\frac{\\pi}{2} + k\\pi$（其中k是整数）的所有实数，值域是整个实数集。
三角函数的图像和性质
三角函数的图像和性质三角函数是数学中的重要概念，它们在几何、物理、工程等领域都有广泛的应用。
本文将重点讨论三角函数的图像和性质，并通过具体的例子来说明。
一、正弦函数的图像和性质正弦函数是最基本的三角函数之一，它的图像可以用来描述周期性变化的现象。
正弦函数的图像是一条连续的曲线，它在[-π/2, π/2]区间内单调递增，在[π/2, 3π/2]区间内单调递减。
在整个定义域[-∞, ∞]上，正弦函数的值域为[-1, 1]，且具有奇对称性。
例如，我们考虑正弦函数y = sin(x)在[0, 2π]上的图像。
根据正弦函数的性质，当x=0时，y=0；当x=π/2时，y=1；当x=π时，y=0；当x=3π/2时，y=-1；当x=2π时，y=0。
连接这些点，我们可以得到正弦函数在[0, 2π]上的图像，即一条上下波动的连续曲线。
二、余弦函数的图像和性质余弦函数是另一个基本的三角函数，它也可以用来描述周期性变化的现象。
与正弦函数相比，余弦函数的图像在水平方向上发生了平移，它在[0, 2π]区间内单调递减，在[-π/2, π/2]和[3π/2, 5π/2]区间内单调递增。
在整个定义域[-∞, ∞]上，余弦函数的值域为[-1, 1]，且具有偶对称性。
以余弦函数y = cos(x)在[0, 2π]上的图像为例，当x=0时，y=1；当x=π/2时，y=0；当x=π时，y=-1；当x=3π/2时，y=0；当x=2π时，y=1。
连接这些点，我们可以得到余弦函数在[0, 2π]上的图像，即一条波动的连续曲线。
三、正切函数的图像和性质正切函数是三角函数中的另一个重要概念，它描述了斜率的变化。
正切函数的图像具有周期性，其周期为π。
正切函数在定义域的每个周期内，都有无穷多个渐近线，即x=π/2+kπ，其中k为整数。
正切函数的值域为(-∞, ∞)。
以正切函数y = tan(x)在[-π/2, π/2]上的图像为例，当x=-π/4时，y=-1；当x=0时，y=0；当x=π/4时，y=1。
三角函数的图像与性质详解
三角函数的图像与性质详解在数学领域中，三角函数是一组常见且重要的函数。
它们不仅具有许多实际应用，同时也有着丰富的图像特性和数学性质。
本文将详细介绍三角函数的图像和性质，以帮助读者更好地理解和应用这些函数。
一、正弦函数的图像与性质正弦函数是最基本的三角函数之一，用符号sin表示。
正弦函数的图像是一个连续的波形，具有以下性质：1. 周期性：正弦函数的图像在一个周期内重复。
正弦函数的周期由2π决定。
2. 对称性：正弦函数的图像关于y轴对称，即f(x) = -f(-x)。
3. 范围：正弦函数的值在[-1, 1]的范围内变化。
二、余弦函数的图像与性质余弦函数是另一个常见的三角函数，用符号cos表示。
余弦函数的图像也是一个连续的波形，具有以下性质：1. 周期性：余弦函数的图像也在一个周期内重复。
余弦函数的周期同样由2π决定。
2. 对称性：余弦函数的图像关于y轴对称，即f(x) = f(-x)。
3. 范围：余弦函数的值同样在[-1, 1]的范围内变化。
三、正切函数的图像与性质正切函数是三角函数中的另一个重要成员，用符号tan表示。
正切函数的图像具有以下性质：1. 周期性：正切函数的图像在每个π的倍数处出现垂直渐近线。
因此，正切函数没有固定的周期。
2. 对称性：正切函数的图像关于原点对称，即f(x) = -f(-x)。
3. 范围：正切函数在定义域内可以取任何实数值。
四、其他三角函数除了正弦、余弦和正切函数之外，还有许多与三角函数相关的函数，例如反正弦、反余弦和反正切函数。
这些函数的图像和性质相对复杂，超出了本文的范围。
感兴趣的读者可以进一步学习和了解这些函数的性质。
综上所述，三角函数是数学中常见而重要的函数。
它们的图像和性质有助于我们理解和应用这些函数。
通过研究三角函数的性质，我们可以更好地解决与周期性和周期性相关的问题，例如波动、震动和周期性运动。
希望本文的内容能够对读者在学习和应用三角函数时有所帮助。
三角函数的图像和性质
三角函数的图像和性质三角函数是高中数学中的重要概念之一。
它包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
在三角函数中，最基本的一个概念是函数的图像和性质，下面将就三角函数的图像和性质进行探讨。
一、正弦函数的图像和性质正弦函数是三角函数中最基本的函数之一，它表示的是一个周期为2π，振幅为1的波动函数。
在坐标系中，正弦函数的图像是一条标准正弦曲线，左右对称，穿过原点，波形呈现峰值、谷值循环的过程。
正弦函数的性质包括：1. 周期性：正弦函数的周期为2π。
2. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即sin(-x)=-sin(x)。
3. 对称性：正弦函数以y轴为中心对称。
二、余弦函数的图像和性质余弦函数也是三角函数中的一个重要函数，它表示的是一个周期为2π，振幅为1的波动函数。
与正弦函数不同的是，余弦函数的图像是一个横向平移的正弦曲线，左右对称，波形呈现峰值、谷值循环的过程。
余弦函数的性质包括：1. 周期性：余弦函数的周期为2π。
2. 奇偶性：余弦函数是偶函数，即cos(-x)=cos(x)。
3. 对称性：余弦函数以x轴为中心对称。
三、正切函数的图像和性质正切函数是另一种常见的三角函数，它表示的是正弦函数与余弦函数之比。
正切函数的图像呈现周期性，但是与正弦函数、余弦函数不同的是，它有着不连续的特点。
在正切函数上，存在无数个极点，并没有定义值。
正切函数的性质包括：1. 周期性：正切函数的周期为π。
2. 奇偶性：正切函数是奇函数，即tan(-x)=-tan(x)。
3. 对称性：正切函数以原点为中心对称。
四、三角函数的应用三角函数不仅仅是一些抽象的数学概念，同时也涵盖着很多重要的应用。
例如在物理学中，三角函数常用于描述波动现象、声音、光线等的特性。
在力学中，三角函数被广泛地用于描述力的方向、角度等概念。
在设计、建造领域中，三角函数也被应用于各种形式的结构计算。
总结：以上是对三角函数的图像和性质及其在实际应用中的相关探讨。
通过对这些概念的深入了解和掌握，我们可以更好地理解数学、物理等学科中的基本概念和现象。
三角函数的图像与性质详解
三角函数的图像与性质详解三角函数是数学中重要的一个分支，它们在许多领域中都有广泛的应用。
本文将详细解析三角函数的图像与性质，帮助读者更好地理解和运用三角函数。
在介绍三角函数之前，我们首先需要了解什么是角度和弧度。
角度是常用的衡量角的单位，它用度（°）表示。
而弧度则是圆的弧与半径的比值，用弧度符号表示。
角度和弧度之间的相互转换可以通过下面的公式实现：弧度 = 角度× π / 180角度 = 弧度× 180 / π三角函数包括正弦函数（sin）、余弦函数（cos）和正切函数（tan）。
它们的图像可以通过绘制对应的函数图像来表示。
下面我们一一来详细介绍这些三角函数的图像特点和性质。
一、正弦函数（sin）正弦函数是一个周期函数，它的周期是2π。
在一个周期内，正弦函数的取值范围在[-1, 1]之间。
当自变量的取值增大时，正弦函数的图像呈现上升的趋势，而当自变量的取值减小时，正弦函数的图像呈现下降的趋势。
在角度单位下，正弦函数的最小正周期是360°，即相邻两个正弦函数图像重合的最小角度为360°。
二、余弦函数（cos）余弦函数也是一个周期函数，它的周期同样是2π。
在一个周期内，余弦函数的取值范围也在[-1, 1]之间。
与正弦函数相比，余弦函数的图像在横轴上与正弦函数的图像对称。
当自变量的取值增大时，余弦函数的图像呈现下降的趋势，而当自变量的取值减小时，余弦函数的图像呈现上升的趋势。
余弦函数的最小正周期同样也是360°。
三、正切函数（tan）正切函数的周期是π，因此在一个周期内，正切函数的取值范围是无穷的，即正切函数在某些点上没有定义。
正切函数图像在自变量取不同值的时候，会出现若干个奇点，这些奇点对应着正切函数图像的无穷大值和无穷小值。
正切函数的最小正周期是180°。
除了图像外，三角函数还具有以下重要性质：1. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即满足sin(-x) = -sin(x)；余弦函数和正切函数是偶函数，即满足cos(-x) = cos(x)和tan(-x) = tan(x)。
三角函数的图像和性质
三角函数的图像和性质三角函数是高中数学中的重要内容，它在几何图形的变化和数学模型的建立中扮演着重要角色。
本文将探讨三角函数的图像和性质，通过分析正弦函数、余弦函数和正切函数的特点，帮助读者更好地理解和运用三角函数。
正弦函数是一种周期为2π的连续函数，可表示为：y = sin(x)。
它的图像是一个连续的波动曲线，波峰和波谷在x轴上均匀分布。
正弦函数的图像关于y轴对称，且满足以下性质：在区间[0,2π]上，正弦函数的值在[-1,1]之间变化；当x为0、π、2π等整数倍π时，正弦函数的值为0；当x为π/2、3π/2等奇数倍π时，正弦函数的值为1或-1。
图像的振幅表示波动幅度的大小，振幅越大，波动幅度越大；图像的周期反映波动的重复规律，周期越小，波动重复得越快。
余弦函数是一种周期为2π的连续函数，可表示为：y = cos(x)。
它的图像与正弦函数类似，也是一个连续的波动曲线，但相位不同。
余弦函数的图像关于y轴对称，且满足以下性质：在区间[0,2π]上，余弦函数的值在[-1,1]之间变化；当x为0、2π等整数倍π时，余弦函数的值为1；当x为π、3π等奇数倍π时，余弦函数的值为-1；当x为π/2、3π/2等奇数倍π时，余弦函数的值为0。
与正弦函数相比，余弦函数的图像整体上向右平移了π/2。
正切函数是一种周期为π的连续函数，可表示为：y = tan(x)。
它的图像是一系列无穷多的连续曲线，存在垂直于x轴的渐近线。
正切函数的图像关于原点对称，并且在每个周期内有无穷多个渐近线。
正切函数在某些点上没有定义，当x为π/2、3π/2等奇数倍π时，函数值不存在。
正切函数的图像在每个π的间隔中，会有一个垂直渐近线，图像在这些点上出现突变。
除了正弦函数、余弦函数和正切函数外，还有诸如余切函数、正割函数和余割函数等与三角函数相关的函数。
它们在图像和性质上也有一些特点，但本文主要关注正弦函数、余弦函数和正切函数的图像和性质。
综上所述，三角函数的图像和性质在数学中起着重要作用。
第2讲 三角函数的图象及性质
结合正弦函数、余弦函数的图象,同时注意考虑所有可能情况,避免漏解.
(3)若函数g(x)=f(x)+1在区间(a,b)上恰有10个零点,求b-a的最大值.
核心题型突破 栏目索引
解析
(1)由图象可得A=2,
T 4
=
3
-
12
=
2
4ω
,则ω=2,所以f(x)=2sin
2x
3
.
(2)令- +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ,k∈Z,得-5 +kπ≤x≤ +k高π考,k导∈航Z,
即g(x)在
4
,
3
4
上的值域为
3 2
,
3
.
核心题型突破 栏目索引 高考导航
核心题型突破 栏目索引
题型二 由三角函数的局部图象求解析式并研究其性质
例2
(2018江苏扬州中学阶段测试)已知函数f(x)=Asin
ω高x考导3航(A>0,ω>0)的
部分图象如图所示.
(1)求A和ω的值;
(2)求函数y=f(x)在[0,π]的单调增区间;
=cos 2x-
3
sin
2x+2=2cos
2x
3
+2,当2x+
3
=2kπ+π(k∈Z),即x=kπ+
3
(k∈Z)
时,f(x)取得最小值0.
此时,自变量x的取值集合为
x
|
x
k
π 3
,
k
Z.
(2)因为f(x)=2cos
2x
3
+2,
令π+2kπ≤2x+ ≤2π+2kπ(k∈Z),
高中数学学案：三角函数的图象与性质(2)
高中数学学案：三角函数的图象与性质(2)1. 会利用“五点法”熟练画出y ＝A sin (ωx ＋φ)(A>0,ω>0)的简图．2. 能由y ＝sin x 的图象通过平移、伸缩等变换得到y ＝A sin (ωx ＋φ)(A>0,ω>0)的图象．3. 能用y ＝sin x 的图象与性质来研究y ＝A sin (ωx ＋φ)的图象与性质.1. 阅读：必修4第34～39页．2. 解悟：①函数y ＝A sin (ωx ＋φ)的图象与y ＝sin x 的图象有什么关系？②怎样画出y ＝A sin (ωx ＋φ)(A>0,ω>0)的简图？③你能用y ＝sin x 的图象与性质来研究y ＝A sin (ωx ＋φ)的图象与性质吗？④你能领会必修4第35～37页的三个思考的意图吗？例1的作用是什么？3. 践习：在教材空白处,完成必修4第39～40页练习第 2、3、5、7题.基础诊断1. 将函数y ＝sin x 图象上的所有点向右平行移动π10个单位长度,再把所得各点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),所得图象的函数的解析式为__y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π10__．解析：将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平行移动π10个单位长度,得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π10的图象,再把所得图象中各点的横坐标变为原来的2倍,得到函数y ＝sin (x 2－π10)的图象．2. 要得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图象,可以将函数y ＝2sin 3x 的图象向__左__平移__π12__个单位长度．解析：因为函数y ＝sin 3x ＋cos 3x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12,所以将函数y ＝2sin 3x 的图象向左平移π12个单位长度可得函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图象．3. 函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π6，0,k ∈Z__,对称轴为__x ＝k π2＋π12,k ∈Z__．解析：因为2x ＋π3＝k π,k ∈Z,所以x ＝k π2－π6,k ∈Z,所以函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π6，0,k ∈Z.因为2x ＋π3＝k π＋π2,k ∈Z,所以x ＝k π2＋π12,k ∈Z,所以函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象的对称轴方程为x ＝k π2＋π12,k ∈Z.4. 函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为．解析：因为0≤x ≤9,所以πx 6－π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，7π6,所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 6－π3∈[－3,2],所以函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为2－ 3.范例导航考向❶ “五点法”与“变换法”作图例1 某同学用“五点法”画函数y ＝A sin (ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据如下表：(1) 请将上表数据补充完整,并直接写出函数y ＝f(x)的解析式； (2) 说明函数f(x)的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到． 解析：(1) 根据表中已有数据,解得A ＝5,ω＝2,φ＝－π6,数据补全如下表：函数f(x)的表达式为f(x)＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6. (2) 由(1)知f(x)＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6,写出y ＝sin x 的图象到y ＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象的变换过程．变换过程中有两种：A . 先平移,后伸缩；B . 先伸缩,后平移． A . 先平移,后伸缩【注】 “五点法”作图看似简单,却蕴含着三角函数中的整体到个别,再由个别反射到整体的“运算”．已知f(x)＝cos (ωx ＋φ)(ω>0,－π2<φ<0)的最小正周期为π,且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝32.(1) 求ω和φ的值；(2) 在坐标系中作出函数f(x)在[0,π]上的图象； (3) 若f(x)>22,求x 的取值范围．解析：(1) 周期T ＝2πω＝π,所以ω＝2. 因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π4＋φ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝－sin φ＝32.又－π2<φ<0,所以φ＝－π3.(2) 由(1)得f(x)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3,列表如下：图象如图：(3) cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3>22,所以2k π－π4<2x －π3<2k π＋π4,k ∈Z,所以2k π＋π12<2x <2k π＋7π12,k ∈Z,所以k π＋π24<x <k π＋7π24,k ∈Z,所以x 的取值范围是{x |k π＋π24<x <k π＋7π24,k ∈Z}． 【变式题】如图,它是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0,ω>0,|φ|<π)的图象,由图中条件,写出该函数的解析式．【点评】 由三角函数图象确定解析式是前几年命题的一个热点,此类型题要充分挖掘给出图象的信息进行求解,首先根据图象可知A ＝5,函数的周期T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－π＝3π,所以ω＝2πT ＝23.方法一(单调性法)：因为由图象可知点(π,0)在单调递减的那段曲线上, 所以2π3＋φ＝2k π＋π(k ∈Z),所以φ＝2k π＋π3(k ∈Z)．因为|φ|<π,所以φ＝π3.故所求函数的解析式为y ＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋π3.方法二(最值点法)：将最高点坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5代入y ＝5sin 23x ＋φ得5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋φ＝5,所以π6＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z),所以φ＝2k π＋π3(k ∈Z),取k ＝0时得满足|φ|<π的φ＝π3,故所求函数的解析式为y ＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋π3.方法三(零点法)：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象一般由“五点法”作出,一个周期内至少两个零点．根据y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象可知(π,0)是一个周期内的第二个零点,而⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2，0是下一个周期的第一个零点,于是有2π3＋φ＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫或23×5π2＋φ＝2π,解得φ＝π3,故所求函数的解析式为y ＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋π3.方法四(平移法)：由图象可知,起始点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0,则将y ＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 的图象沿x 轴向左平移π2个单位长度,就得到本题图象,故所求函数的解析式为y ＝5sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤23⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2, 即y ＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋π3.【反思】 以上各种方法各有所长,方法三可以推广为关键点法,用此法解题要深刻理解五点作图法的本质,即五点之间的对应关系要明确. 进行三角函数图象变换若把函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式平移变换、伸缩变换的次序不同,则平移单位就不同,需要特别注意．【总结】 已知三角函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象,欲求其解析式,必须搞清A ,ω,φ与图象的哪些因素有关,在利用图象与x 轴的交点时,要考虑这个点是在增区间上还是在减区间上,否则很容易出错．数形结合的思想方法必须时刻牢记在心,并随时加以运用． 考向❷ 根据图象和性质确定函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式例2 设函数f(x)＝A sin (ωx ＋φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2,x ∈R)的部分图象如图所示．(1) 求函数y ＝f (x )的解析式；(2) 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2时,求f (x )的取值范围．解析：(1) 由图象知A ＝2.又T 4＝5π6－π3＝π2,ω>0,所以T ＝2π＝2πω,得ω＝1,所以f (x )＝2sin(x ＋φ)．将点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2代入,得π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z),即φ＝π6＋2k π(k ∈Z)．又－π2<φ<π2,所以φ＝π6,所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6.(2) 当x ∈[－π2,π2]时,x ＋π6∈[－π3,2π3],所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1,即f (x )∈[－3,2]．已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)－cos(ωx ＋φ)(0<φ<π,ω>0)为偶函数,且函数y ＝f (x )图象的两条相邻对称轴间的距离为π2.(1) 求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8的值；(2) 将函数y ＝f (x )的图象向右平移π6个单位长度后,再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的4倍,纵坐标不变,得到y ＝g (x )的图象,求函数g (x )的单调减区间．解析：(1) 由题可得,f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ－π6.因为f (x )为偶函数,所以φ－π6＝k π＋π2,k ∈Z,解得φ＝k π＋2π3,k ∈Z. 因为0<φ<π,所以φ＝2π3.由题意得2πω＝2×π2,解得ω＝2.故f (x )＝2cos2x ,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2cos π4＝ 2.(2) 将f (x )的图象向右平移π6个单位长度后,得到f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的图象,再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍,纵坐标不变,得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4－π6的图象,所以g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4－π6＝2cos[2(x 4－π6)]＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3,当2k π≤x 2－π3≤2k π＋π,k ∈Z,即4k π＋2π3≤x ≤4k π＋8π3,k ∈Z 时,函数g (x )单调递减．故函数g (x )的单调减区间为[4k π＋2π3,4k π＋8π3](k ∈Z). 考向❸ 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0,ω>0)性质的综合应用 例3 已知函数f(x)＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos 2x －1,x ∈R.(1) 求函数f (x )的最小正周期；(2) 若h (x )＝f (x ＋t )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0对称,且t ∈(0,π),求t 的值；(3) 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2时,不等式||f （x ）－m <3恒成立,求实数m 的取值范围．解析：(1) 函数可化为f (x )＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x －3cos2x ＝sin2x －3cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.故函数f (x )的最小正周期为π.(2) h (x )＝f (x ＋t )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2t －π3. 令2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋2t －π3＝k π,k ∈Z,得t ＝k π2＋π3,k ∈Z.又t ∈(0,π),故t ＝π3或5π6.(3) 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2时,2x －π3∈[π6,2π3], 所以f (x )∈[1,2]．|f (x )－m |<3,即f (x )－3<m <f (x )＋3,所以2－3<m <1＋3,即－1<m <4. 故实数m 的取值范围为(－1,4)．【注】 本题主要是考察三角变换,以及y ＝A sin(ωx ＋φ)的周期性、对称性及最值,涉及恒成立问题的解决．自测反馈1. 已知函数f(x)＝2sin (ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为π,且它的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，－2,则φ的值为__－π12__．解析：由题意得,2πω＝π,则ω＝2.又因为图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，－2,所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋φ＝－2,sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋φ＝－22,因为|φ|<π2,所以φ＝－π12. 2. 函数f(x)＝2sin (ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，π2≤φ≤π的部分图象如图所示. 若A,B 两点之间的距离AB ＝5,则ω的值为__π3__.解析：设AB 之间的水平距离为d,则由题意可得d 2＋[2－(－2)]2＝52,解得d ＝3,故函数的周期为T ＝2πω＝6,解得ω＝π3.3. 已知函数f(x)＝sin (2x ＋φ),其中φ为实数,若f(x)≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对x ∈R 恒成立,且函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2>f (π),则函数f (x )的单调减区间是[k π－π3,k π＋π6](k ∈Z)．解析：若f (x )≤|f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6|对x ∈R 恒成立,则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6为函数的最大值或最小值,即2×π6＋φ＝k π＋π2,k ∈Z,则φ＝k π＋π6,k ∈Z.又因为f⎝ ⎛⎭⎪⎫π2>f (π),即－sin φ>sin φ,sin φ<0,令k ＝－1,此时φ＝－5π6,满足条件sin φ<0,令2x －5π6∈[2k π－3π2,2k π－π2](k ∈Z),解得x ∈[k π－π3,k π＋π6](k ∈Z),所以函数f (x )的单调减区间是[k π－π3,k π＋π6](k ∈Z)．4. 已知函数y ＝cos x 与函数y ＝sin (2x ＋φ)(0≤φ<π)图象有一个横坐标为π3的交点,则φ的值为__π6__.解析：由题意得,sin⎝⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝cosπ3＝12.因为0≤φ<π,所以2π3≤2π3＋φ<5π3,所以2π3＋φ＝5π6,解得φ＝π6.1. 三种题型：①已知三角函数的图象,求函数的解析式；②已知三角函数的解析式,求函数的性质(周期、对称性、单调性、最值)；③三角函数的变换(注意变换的顺序)．2. 两种思想：化归思想,数形结合思想．3. 你还有哪些体悟,写下来：。
三角函数的图像与性质
三角函数的图像与性质三角函数是数学中常见的一类函数，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等等。
它们在数学和物理学等领域中具有重要的应用和性质。
本文将讨论三角函数的图像与性质，并通过图像展示它们的特点。
一、正弦函数（sine function）正弦函数是最基本的三角函数之一，由于其周期性的特点，在图像上呈现出波浪形状。
在单位圆上，正弦函数的图像可以用来表示角度和弧度的关系。
正弦函数的图像可以通过以下步骤绘制出来：1. 将横轴分成一定的单位，例如每个单位代表30°或π/6。
2. 在每个单位上确定正弦函数的值，即纵坐标的位置。
3. 将所有的点依次连接起来，得到正弦函数的图像。
正弦函数的图像具有以下性质：1. 周期性：正弦函数的一个周期是360°或2π。
在一个周期中，正弦函数的值从最小值到最大值再返回最小值。
2. 对称性：正弦函数是奇函数，其图像关于原点对称。
即f(x) = -f(-x)。
3. 幅值：正弦函数的幅值为1，即图像的振幅为1。
4. 位置：正弦函数的图像在(x, f(x))的点上经过零点。
二、余弦函数（cosine function）余弦函数是另一个重要的三角函数，其图像也呈现出波浪形状，但与正弦函数有一定的相位差。
余弦函数在数学中的应用广泛，例如表示交流电信号的变化。
余弦函数的图像可以通过类似于正弦函数的步骤绘制出来。
余弦函数的图像具有以下性质：1. 周期性：余弦函数的一个周期也是360°或2π。
在一个周期中，余弦函数的值从最大值到最小值再返回最大值。
2. 对称性：余弦函数是偶函数，其图像关于y轴对称。
即f(x) = f(-x)。
3. 幅值：余弦函数的幅值也为1，即图像的振幅为1。
4. 位置：余弦函数的图像在(x, f(x))的点上经过最大值。
三、正切函数（tangent function）正切函数是三角函数中最特殊的一个，其图像呈现出一系列的尖峰和波谷。
正切函数在解决直角三角形问题时经常使用，也在物理学中广泛应用。
三角函数的图像与性质
三角函数的图像与性质三角函数是数学中的重要概念，涉及到三角比例和角度，广泛应用于几何、物理、工程等领域。
在本文中，我们将讨论三角函数的图像以及其性质。
一、正弦函数（sin）正弦函数是最基本的三角函数之一，用sin表示。
正弦函数的图像为一条连续不断的曲线，其横坐标表示角度（以弧度为单位），纵坐标表示正弦值。
正弦函数的周期是2π，即在区间[0, 2π]内，正弦函数的图像会完整地重复出现。
正弦函数的图像特点如下：1. 在0度（或0弧度）和180度（或π弧度）处，正弦函数的值为0；2. 在90度（或π/2弧度）处，正弦函数的值最大，为1；3. 在270度（或3π/2弧度）处，正弦函数的值最小，为-1；4. 在其他角度处，正弦函数的值位于-1和1之间，根据角度的大小而变化。
二、余弦函数（cos）余弦函数是另一个常见的三角函数，用cos表示。
余弦函数的图像也是一条连续曲线，其横坐标为角度，纵坐标为余弦值。
余弦函数的周期也是2π，即在区间[0, 2π]内，余弦函数的图像会一次完整地重复。
余弦函数的图像特点如下：1. 在0度（或0弧度）和360度（或2π弧度）处，余弦函数的值为1；2. 在180度（或π弧度）处，余弦函数的值最小，为-1；3. 在其他角度处，余弦函数的值位于-1和1之间，根据角度的大小而变化。
三、正切函数（tan）正切函数是三角函数中的第三个重要函数，用tan表示。
正切函数的图像也是一条光滑的曲线，以角度为横坐标，正切值为纵坐标。
正切函数的周期是π，即在区间[0, π]内，正切函数的图像会完整地重复。
正切函数的图像特点如下：1. 在0度（或0弧度）和180度（或π弧度）处，正切函数的值为0；2. 在90度（或π/2弧度）处，正切函数的值不存在，即为无穷大（正无穷或负无穷）；3. 在其他角度处，正切函数的值在正无穷和负无穷之间变化。
四、其他三角函数除了正弦、余弦和正切函数外，还有一些相关的三角函数，如余割函数（cosec）、正割函数（sec）和余切函数（cot）等。
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三角函数的图象和性质（二）
基础知识梳理
1.
sin()y A x ωϕ=+的有关概念
2.用五点法画
一个周期内的简图
骤
1( )
A π D ．x ＝2π
2ϕ⎫
+⎪
⎭π||2ϕ⎛
⎫< ⎪⎝
⎭的图象经过点(0,1)，
则该简谐运动的最小正周期T 和初相分别为( ) A ．T ＝6，＝π
6
B ．T ＝6，＝π3
C ．T ＝6π，＝π
6
D ．T ＝6π，＝π
3
3．要得到函数y ＝cos(2x ＋1)的图象，只要将函数y ＝cos 2x 的图象( )
A ．向左平移1个单位
B ．向右平移1个单位
C ．向左平移12个单位
D ．向右平移1
2
个单位
4．用五点法作函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π
6在一个周期内的图象时，主要确定的五个点是_____、_____、_____、______、_____.
5．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，为常数，A >0，ω>0)在闭区间[－π，0]上的图象如图所示，则ω＝________.
典型例题
1、（2012年高考陕西卷）函数
()sin()16
f x A x π
ω=-
+(0,0A ω>>)的最
大值为3, 其图像相邻两条对称轴之间的距离为2
π
, (1)求函数()f x 的解析式;
(2)设(0,)2πα
∈,则()22
f α
=,求的α
值.
2．已知函数f (x )＝2sin(ωx .若f (x )的最小正周期为6π，且当x ＝π
2
时，f (x A ．f (x )在区间[－2π，0]π]上是增函数 C ．f (x )在区间[3π，5π]]上是减函数
3．若函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)对任意 )
4．(2010·济南二模)已知函数f (x )＝
⎝⎛⎭⎫2，－1
2，则函数f (x )＝________.
5．
⎝⎭⎫＞0，|φ|＜π
2的一段图象如图所示． (1)求函数y ＝f (x )的解析式；
(2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移π
4
个单位，得到y ＝g (x )的图象，求
直线y ＝6与函数y ＝f (x )＋g (x )的图象在(0，π)内所有交点的坐标． .
当堂检测
1.把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍(纵坐标不变)，再将图象向右平移π
3个单位，那么所得图象
的一条对称轴方程为( )
A ．x ＝－π
2
B ．x ＝－π4
C ．x ＝π8
D ．x ＝π
4
2.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋)π0,0,||2A ωϕ⎛
⎫>>< ⎪⎝
⎭的图象与y 轴交于点(0，3)，在y 轴右边到y 轴最近的最高点坐标为
⎝⎛⎭
⎫π12，2，则不等式f (x )>1的解集是( )
A.⎝⎛⎭⎫k π－π6，k π＋56π，k ∈Z
B.⎝⎛⎭⎫k π－π12，k π＋5
6π，k ∈Z
C.⎝⎛⎭⎫k π－π16，k π＋π4，k ∈Z
D.⎝⎛⎭⎫k π－π12，k π＋π
4，k ∈Z
3.函数y ＝cos(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ
分别为最高点、最低点，且AB ＝22A ．x ＝2π B ．x ＝π
2
C ．x 4. (2011高考江苏卷)函数f (x
)＝A 的部分图象如图所示，则f (0)
5.将函数
sin(2)y x ϕ=+ ）
(A) 34
π (B) 4π 60,)2
2
π
π
ϕ>-
<<
的部分图象如图所示,
则,ωϕ
(A)2,
4,6
π
-
(D)
4,
3
π
7
．（sin x x +的图象大致为（ ）
8. 如果 sin α + cos α =
4
3，那么 sin 3 α – cos 3
α 的值为 .
9. 若 a 为常数，且a ＞1，0≤x ≤2π，则函数f (x )= cos 2
x + 2a sin x - 1的最大值为 .
10. 若 cos(75° + α)=3
1，其中α为第三象限角，则cos(105° - α)+ sin(α - 105°)= __ _.
11．已知f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx －β)，其中α，β，a ，b 均为非零实数，若f (2 012)＝－1，则f (2 013)等于________．
12．若sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，则sin(θ－5π)sin ⎝⎛⎭⎫3π2－θ＝________.
13．已知A 、B 、C 的两根． (1)求角A .
(2)若1＋2sin B cos B cos 2B －sin 2B ＝－3，求。