整数线性规划
整数线性规划
分枝定界法的理论基础：
1 2 k , i j (1) max cx max (max cx, max cx, , max cx)
x x1 x 2 x k
(2) 若 i j ，则 max cx max cx
xi xi x
分 枝
给定整数规划问题IP max z C T X
若x 的某个分量 xi 不是整数，
0
0
则将 IP分解为两个子问题
max z C X AX b X 0 X为整数向量 xi [ xi0 ]
T max z C X AX b X 0 X为整数向量 xi [ xi0 ] 1
记 z0 z
x1 4, x1 5
将问题B0分解为两个子问题B1和B2(分枝), 分别解B1,B2得 B1: x1=4, x2=2.10, z1=349 B2: x1=5, x2=1.57, z2=341
max z 40 x1 90 x2 max z 40 x1 90 x2 9 x1 7 x2 56 7 x 20 x 70 1 2 x1 4 B1 x1 , x2 0 9 x1 7 x2 56 7 x 20 x 70 1 2 x1 5 B2 x1 , x2 0
4、几点说明 (1)、如果要求目标的最大值
max z cij xij
令
bij M cij
i
j
其中
M max{ cij }
效率矩阵可变为B，将分配问题转换为一个极 小化问题
min z
'
b x
ij i j
ij
(2)、如果分配问题中，人员数 m 不等于工作数 n 时，可以类似于不平衡运输问题建立模型的 方法，增加虚拟人员或虚拟工作。
第5讲 整数规划、非线性规划、多目标规划1
第5讲整数规划、非线性规划、多目标规划一、整数规划1、概念数学规划中的变量（部分或全部）限制为整数时，称为整数规划。
若在线性规划模型中，变量限制为整数，则称为整数线性规划。
整数规划的分类:如不加特殊说明，一般指整数线性规划。
对于整数线性规划模型大致可分为两类：1）变量全限制为整数时，称纯（完全）整数规划。
2）变量部分限制为整数的，称混合整数规划。
2、整数规划特点(i)原线性规划有最优解，当自变量限制为整数后，其整数规划解出现下述情况：①原线性规划最优解全是整数，则整数规划最优解与线性规划最优解一致。
②整数规划无可行解。
例1原线性规划为21min x x z +=s.t.⎩⎨⎧≥≥=+0,05422121x x x x 其最优实数解为：01=x ，452=x ，45min =z ③有可行解（当然就存在最优解），但最优值变差。
例2原线性规划为21min x x Z +=s.t.⎩⎨⎧≥≥=+0,06422121x x x x 其最优实数解为：01=x ，232=x ，23min =z 若限制整数得：11=x ，12=x ，2min =z 。
（ii ）整数规划最优解不能按照实数最优解简单取整而获得。
3、0-1整数规划0−1型整数规划是整数规划中的特殊情形，它的变量j x 仅取值0或1。
这时j x 称为0−1变量，或称二进制变量。
j x 仅取值0或1这个条件可由下述约束条件：10≤≤j x ，且为整数所代替，是和一般整数规划的约束条件形式一致的。
在实际问题中，如果引入0−1变量，就可以把有各种情况需要分别讨论的线性规划问题统一在一个问题中讨论了。
引入10-变量的实际问题：（1）投资场所的选定——相互排斥的计划例3某公司拟在市东、西、南三区建立门市部。
拟议中有7个位置（点）)7,,2,1( =i A i 可供选择。
规定在东区：由321,,A A A 三个点中至多选两个；在西区：由54,A A 两个点中至少选一个；在南区：由76,A A 两个点中至少选一个。
第六章 整数线性规划
（3.1.1 ）
整数规划与线性规划在形式上相差不多 , 但是由于整
数规划的解是离散的正整数 ,实质上它属于非线性规划 .若
去掉整数规划的整数约束 ——— x j 为整数 ,则该规划就变
成了一个线性规划 ,一般称这个线性规划为该整数规划的 松弛问题 .
§6.1 整数线性规划问题的提出 Page 6
一些原则
Page 22
序号 分支问题1
1 无可行解
2 无可行解 3 无可行解
4
整数解
5
整数解，优 于问题2
6
整数解
7 非整数解
分支问题2 无可行解
整数解 非整数解
整数解
非整数解 非整数解， 优于问题1
非整数解
说明 原问题无可行解 此整数解为最优解 对问题2继续分支 较优的为最优解
问题1为最优解 问题1停止分支，继续 对问题2分支 继续分支,较优的先分
解： x1——甲货物的托运箱数； x2——乙货物的托运箱数；
这就是一个(纯)整数线性规划问题，数学模型为：
max2 24
(2)
2
x1
5 x2
13
(3)
x1
,
x2
0
(4)
x1 , x2为整数.
整数线性规划
第三章 整数线性规划【教学内容】整数线性规划问题举例、整数线性规划模型及其求解的困难性、可用线性规划求解的整数线性规划问题、求解整数线性规划问题的Gomory 割平面法、求解整数线性规划问题的分枝定界方法、0－1规划问题举例、0－1规划问题的解法、整数线性规划问题的一些例子、用LINGO 软件包求解整数线性规划问题。
【教学要求】要求学生熟悉整数线性规划模型，能熟练地掌握求解整数线性规划问题的Gomory 割平面法和分枝定界方法；熟悉并会求解0－1规划问题，能够建立整数线性规划模型并用软件求解整数线性规划问题。
【教学重点】整数线性规划模型，Gomory 割平面法，分枝定界方法，0－1规划问题。
【教学难点】Gomory 割平面法，分枝定界方法，0－1规划问题的求解。
【教材内容及教学过程】整数线性规划(Integer Linear Programming ，简记为ILP )问题研究的是要求变量取整数值时，在一组线性约束条件下一个线性函数最优问题，是应用非常广泛的运筹学的一个重要分支。
其中变量只取0或1的整数线性规划问题称为0－1规划。
只要求部分变量取整数值的线性规划称为混合整数线性规划。
整数线性规划与线性规划有着密不可分的关系，它的一些基本算法的设计都是以相应的线性规划的最优解为出发点的。
但是变量取整数值的要求本质上是一种非线性约束，因此解整数线性规划的“困难度”大大超过线性规划，一些著名的“困难”问题都是整数线性规划问题。
本章主要介绍整数线性规划一些基本概念、基本理论、实际背景及常用算法。
第一节 整数线性规划模型§1．1 整数线性规划问题举例例3.1.1[2] 工地上需要长度为m l l l ,,,21 的钢材数分别为m b b b ,,,21 根，取长为l 的原材料进行截取。
已知有n 种截取方案：()12i i i mi A a a a = ，1,2,,i n =其中，ji a 表示一根原料用第i 种方案可截得长为j l 的钢材的根数（1,2,,i n = ，1,2,,j m = ），因此 1122i i m mi l a l a l a l +++≤ ，1,2,,i n =下料问题就是在满足要求：截取长度为m l l l ,,,21 的钢材数分别为m b b b ,,,21 根时，用的原料材根数最少的方案。
整数线性规划(ILP)
总结词
高效、易用
详细描述
Xpress-Optimizer采用了多种先进的算法和技术，能够在较短的时间内找到高质量的解。它还提供了友好的用户界面和易用的API接口，方便用户进行模型构建和求解。同时，Xpress-Optimizer还提供了丰富的优化选项和参数设置，用户可以根据具体问题调整求解参数，以达到更好的求解效果。
整数线性规划简介
整数线性规划简介
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indeed.资深:褂资深1 .资深.这点 child菖点头道 indeed逮捕 all点头道 Santa荸褂 嗥...望着 one款igny rewal受不了 an all这点 st one这点 st!.said the. ch ... . then按键 Crawish stor"央
目标函数
资源限制
约束条件可以包括资源限制，如劳动力、原材料、时间等。
数量限制
约束条件可以包括数量限制，如产品数量、订单数量等。
范围限制
约束条件可以包括范围限制，如温度、压力、时间范围等。
其他限制
约束条件还可以包括一些特定的限制条件，如逻辑关系、顺序关系等。
约束条件
连续变量
整数线性规划中的决策变量可以是连续变量，也可以是离散变量。
Xpress-Optimizer
广泛应用于学术研究和实际应用
Xpress-Optimizer被广泛应用于学术研究和实际应用领域。由于其开源和跨平台的特性，Xpress-Optimizer吸引了大量的用户和开发者社区。它不仅被用于解决各种复杂的优化问题，还被用于研究和开发新的优化算法和技术。Xpress-Optimizer已经成为整数线性规划领域的重要工具之一。
第三章整数线性规划
割平面法
IP LP xl*
Yes xI* = xl*
判别是否整数解
No 加入割平面条件 用对偶单纯型方法继续求解
§3.3 分枝定界方法
分枝定界方法的基本思想 分枝定界方法的实现——例题
1 分枝定界方法的基本思想
如果松弛问题(P0)无解，则(P)无解；
如果(P0)的解为整数向量，则也是(P)的解；
min -(x1 x2 ) s.t.-4x1 2 x2 1 (P1 ) 4x1 2 x2 11 x1 1 x1 , x2 0, Integer
P2
约束 x1 1, x1 2 (它们将x1=3/2排除在外)，得到两个子问题：
min -(x1 x2 ) s.t.-4x1 2 x2 1 (P2 ) 4x1 2 x2 11 x1 2 x1 , x2 0, Integer
运筹 帷幄之中
决胜 千里之外
运 筹 学
主讲教师
赵玉英
62338357(O) yuyingzhao@
北京林业大学理学院
第3章 整数线性规划
整数线性规划问题 Gomory割平面方法(1958) 分枝定界方法(Land doig and Dakin 1960’s) 0-1规划
3
(3/2,10/3)
3
x1
3 整数线性规划问题的求解
思路2：由于纯整数线性规划的可行集合就是一些离散 的格点，可否用穷举的方法寻找最优解？ 当格点个数较少时，这种方法可以； 对一般的ILP问题，穷举方法无能为力。
3 整数线性规划问题的求解
目前，常用的求解整数规划的方法有： 割平面法和分枝定界法； 对于特别的0－1规划问题采用隐枚举法和匈牙利法。
运筹学笔记4、5-特殊线性规划(整数规划、对偶问题)
每个线性规划问题都有一个与之对应的对偶问题。
简单考虑如下的生产分配问题我们有下面的对偶问题：该问题的任意一个可行解对应的目标函数值都不小于原问题的目标函数值，但是两个问题的最优目标函数值（有限）相同。
一般而言：1、每个对偶变量对应原问题的一个约束条件2、原问题是等式约束则对偶变量无不等式约束（非负约束）3、原问题是不等式约束则对偶变量有不等式约束4、原问题变量和对偶问题约束条件同样具有如上规律任何原问题和对偶问题之间都存在下述相互关系：弱对偶性：原对偶问题任何可行解的目标值都是另一问题最优目标值的界（推论：原对偶问题目标值相等的一对可行解是各自的最优解）强对偶性：原对偶问题只要有一个有最优解，另一个就有最优解，并且最优目标值相等互为对偶的线性规划问题解之间关系有如下四种：原问题与对偶问题之间存在互补松弛性：一般形式的线性规划互补松弛定理：经济学中有所谓影子价格的概念：如果增加某些约束条件的数值，原问题的最优目标值应该增加，增加单位约束使得原问题最优值的增加量为该约束条件的影子价格。
影子价格可以由对偶线性规划问题清楚地描述：对偶单纯形法：当线性规划问题中地某个约束条件或价值变量中含有参数时，原问题称之为参数线性规划，它有如下的处理方法：1）固定λ的数值解线性规划问题2）确定保持当前最优基不变的λ的区间3）确定λ在上述区间附近的最优基，回2）如以下问题：在实际问题中，许多变量以及它们的约束条件往往是离散的，或者说限定在整数域上，这便引入了整数线性规划的概念。
具体而言，整数线性规划包含纯整数线性规划（所有变量是整数变量）、混合整数线性规划（同时包含整数和非整数变量）、0-1型整数线性规划（变量等于0或1）去除整数规划的整数约束后的问题称为其松弛问题。
一般情况，原问题的解并不一定是其松弛问题的最优解附近的整数解，例如：通常的解决办法是在松弛问题的基础上出发，不断地引入整数的约束条件，从而求出整数规划的解。
运筹学 第4章 整数规划与分配问题
匈牙利法思路：若能在 [Cij] 中找出 n 个位于
不同行不同列的0元素(称为独立0元素)，则
令解矩阵[xij]中对应这n个独立0元素的元素
取值为 1 ，其他元素取值为 0 ，则它对应目
标函数zb=0是最小的。这就是以[Cij]为系数
矩阵分配问题的最优解，也得原问题的最
优解。
定理1 若从分配问题效率矩阵[cij]的每一行元素中分别减去 (或加上)一个常数ui(称为该行的位势)，从每一列分别减去 (或加上)一个常数vj(称为该列的位势)，得到一个新效率矩阵 [bij]，若其中bij=cij-ui-vj，则[bij]的最优解等价于[cij]的最优解
第1步：找出效率矩阵每行的最小元素，并分别从每行
中减去。
第2步：再找出矩阵每列的最小元素，并分别从各列中 减去。
2 10 9 7 2 15 4 14 8 4 13 14 16 11 11 4 15 13 9 4
0 8 7 5 11 0 10 4 0 3 5 0 0 11 9 5
表明m个约束条件中有(m-k)个的右端项为( bi+M )，不起约 束作用，因而，只有k个约束条件起作用。 ② 约束条件的右端项可能是r个值b1 , b2 ,, br 中的某一个 即： 定义：
n
aij x j b1 或b2或或br
j 1
1 假定约束右端项为 bi yi 否则 0
现用下例来说明： max z=40x1+90x2 9x1+7x2≤56 7x1+20x2≤70 x1，x2≥0 x1，x2整数 ① ② ③ ④ ⑤
解：先不考虑条件⑤，即解相应的线性规划B,①～④(见图5-2)， 得最优解x1=4.81，x2=1.82，z0=356
线性规划-整数规划.
(纯整数规划问题)
解：设xi为第i天开始上班的人数： Min：z=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7 s.t. x1 +x4+x5+x6+x7≥17 x1+x2 +x5+x6+x7≥13 x1+x2+x3 +x6+x7≥15 x1+x2+x3+x4+ +x7≥19 x1+x2+x3+x4+x5 ≥14 x2+x3+x4+x5+x6 ≥16 x3+x4+x5+x6+x7≥11 xi≥0 （ i=1,2,…,7）
20
10 21
例：某市6个区，希望设 置最少消防站以便节省 费用。条件：
必须保证在城区任何地方发 生火警时，消防车能在15分 钟之内赶到现场。各区之间 消防车行驶的时间见右表。
四 区
五 区 六 区
28
27 20
32
17 10
12
27 21
0
15 25
15
0 14
25
14 0
请确定设站方案。
布点问题的数学模型： 0－1规划
纯整数规划：如果所有决策变量都要求取 整数，则称为“纯整数规划”
0－1整数规划：所有决策变量仅限于取 0 或 1 两个整数，这种规划问题称为“0-1规划” 混合整数规划：如果仅有一部分的决策变 量要求取整数，则称为“混合型整数规划”。
整数规划模型应用举例
线性规划整数规划0-1规划
规划模型的应用极其广泛，其作用已为越来 越多的人所重视. 随着计算机的逐渐普及，它越
来越急速地渗透于工农业生产、商业活动、军事
行为核科学研究的各个方面，为社会节省的财富、 创造的价值无法估量. 特别是在数模竞赛过程中，规划模型是最常 见的一类数学模型. 从历年全国大学生数模竞赛 试题的解题方法统计结果来看，每年至少有一道 题涉及到利用规划理论来分析、求解.
代替上述的不等式约束.
n
s 0 i
对于不等式约束
aij x j bi j 1
可引入一个松弛变量 r i ，用
n
a r b 0 ijx j i i, r i j 1
代替上述的不等式约束
这样就把一般形式的LP变换为标准形式 .
n
2.2 线性规划模型的求解 针对标准形式的线性规划问题，其解的理论 分析已经很完备，在此基础上也提出了很好的算 法——单纯形方法及其相应的变化形式（两阶段 法，对偶单纯形法等）. 单纯形方法是线性规划问题的最为基础、也 是最核心的算法。它是一个迭代算法，先从一个 特殊的可行解（极点）出发，通过判别条件去判
般形式的LP中，一个等式约束
aij x j bi j 1
可用下述两个不等式约束去替代
n
aij x j bi j 1
n
( a b ij)xj ( i) j 1
n
对于一个无符号限制变量 x
变量 x 和 ，并设 x 0 j 0 j
x x x j j j
j
，引进两个非负
这样就把一般形式的LP变换为规范形式.
②．为了把一般形式的LP问题变换为标准形式，
必须消除其不等式约束和符号无限制变量. 对符号无限制变量的处理可按上述方法进行.
整数线性规划
×
× 1
195x1+273x2=1365
x1
利 用 图 解 法 ， 得 到 线 性 规 划 的 最 优 解 为 x1=2.44, x2=3.26,目标函数值为14.66。 由图表可看出 , 整数规划的最优解（黄色叉号）为 x1=4, x2=2,目标函数值为14。 7
§1 整数规划的图解法
由于相应的线性规划的可行域包含了其整 数规划的可行点，则对于整数规划，易知 有以下性质： 性质1：任何求最大目标函数值的纯整数规 划或混合整数规划的最大目标函数值小于 或等于相应的线性规划的最大目标函数值； 任何求最小目标函数值的纯整数规划或混 合整数规划的最小目标函数值大于或等于 相应的线性规划的最小目标函数值。
根据变量的取值情况，整数线性规划又可以分 为纯整数规划（所有变量取非负整数），混合整 数规划（部分变量取非负整数）， 0-1 整数规划 （变量只取0或1）等。
3
第六章 整数规划
整数规划是数学规划中一个较弱的分支，目前 有成熟的方法解线性整数规划问题，而非线性整 数规划问题，还没有好的办法。 整数线性规划(Integer Linear Programming， 简记为ILP)问题研究的是要求变量取整数值时， 在一组线性约束条件下一个线性函数最优问题， 是应用非常广泛的运筹学的一个重要分支。
8
§2 整数规划的计算机求解
例2： 纯整数规划问题 Max z = 3x1 + x2 + 3x3 s.t. -x1 + 2x2 + x3 ≤ 4 4x2 -3x3 ≤2 x1 -3x2 + 2x3 ≤3 x1, x2, x3 ≥ 0 , 为整数 用《管理运筹学》软件 求解得： x 1 = 5 x2 = 2 x3 = 2 例 3： Max z = 3x1 + x2 + 3x3 s.t. -x1 + 2x2 + x3 ≤ 4 4x2 -3x3 ≤2 x1 - 3x2 + 2x3 ≤3 x3 ≤1 x1, x2, x3 ≥ 0 x1，x3 为整数，x3 为0-1 变量
最优化理论与方法2(整数线性规划)
最优化理论与方法
c：混合整数线性规划 决策变量中有一部分必须取整数值，另一部分可以不取整数 值的整数线性规划。
min s .t .
C
T
X
AX b x j 0 x j 为整数
j 1 , , p , 通常
p n
B1 A1 A2 A3 A4 年需求量 2 8 7 4 350
14 x 1 9 x 2 51 6 x1 3 x 2 1 x , x 0 且为整数 1 2
最优化理论与方法
用图解法求出最优解为：x1＝3/2, x2 = 10/3，且有Z = 9/6
现求整数解(最优解):如用舍 入取整法可得到4个点即(1,3), (2,3), (1,4), (2,4)。显然，它们都 不可能是整数规划的最优解。 按整数规划约束条件，其可行 解肯定在线性规划问题的可行域 内且为整数点。故整数规划问题 的可行解集是一个有限集，如右 图所示。其中(2,2),(3,1)点的目
最优化理论与方法
注意：新得到的约束条件:
3 x3 x 4 3
如用
⑧
x1、 x 2 表示，由⑥、⑦式得
31 x1 x2 4 3x1 x2 3
x2 1
这就是 x 1 , x 2
平面内形成的新的可行域，
即包括平行于x1轴的直线x2 =1和这直线下的可行区域，整数 点也在其中，没有切割掉，见右图。
⑧
这就得到一个切割方程(或称为切割约束)，将它作为增加约束 条件，再解例题。 引入松弛变量X5 ，得到等式
3x3 x4 x5 3
最优化理论与方法
将这新的约束方程加到上述的最终计算表，得下表:
管理运筹学 第三章 整数线性规划
注意在分枝定界求解过程中，为了最优整数解，我们要不断 缩小其最优目标函数值上界与下界的距离，故通过分枝要使得其 上界越来越小，而其下界则越来越大。 在例题中，通过对上下界的修改，上下界距离有所缩小，但 并不相等，所以还要继续分枝。
(5)在线性规划2和线性规划3中选择一个上界最大的线性规划， 即 线 性 规 划 3 ， 进 行 分 枝 。 线 性 规 划 3 的 最 优 解 为 x1=3 ， x2=2.86，把x2分成x2≤2和x2 ≥3两种情况，这样线性规划3分 解为线性规划4和线性规划5，如下： 线性规划4： s.t. 线性规划5： s.t.
分枝定界法是先求解整数规划的线性规划问题。如果其最优 解不符合整数条件，则求出整数规划的上下界，用增加约束条件 的办法，把相应的线性规划的可行域分成子区域（称为分枝）， 再求解这些子区域上的线性规划问题，不断缩小整数规划的上下 界的距离，最后得整数规划的最优解。
“ 分枝”为整数规划最优解的出现创造了条件， 而“定界”则提高了搜索的效率。
(6)进一步修改整数规划最优目标函数值z*的上下界。 由于线性规划 1 分枝为线性规划 2 和线性规划 3 ，线性规 划3又分枝为线性规划4和5，也就是线性规划1分枝为线性规 划 2、 4、 5，故从线性规划 2， 4，5中进一步修改整数规划 最优目标函数值的上下界。 因为线性规划2的最优目标函数值为13.90，线性规划4 的最优目标函数值为 14，而线性规划 5无可行解，可得整数 规划最优目标函数值的上界可修改为14，即 z =14， 取线性 规划2，4，5中的整数可行解的目标函数值的最大值。 又因为在线性规划2中可知存在整数规划可行解x1=2， x2=3，其目标函数值为13，在线性规划4中可知存在整数规 划可行解 x1=4 ， x2=2 ，其目标函数值为 14 ，而线性规划 5 无可行解，可知整数规划最优目标函数值的下界可修改为 14， z=14，也取线性规划2，4，5中的整数可行解的目标函数值 的最大值。
第四章 整数规划
第四章 整数线性规划（Inregre Linear Progemming ）§1 整数规划特点及应用前面讨论的LP 的最优解可能是分数或小数。
但是在经济管理和工程实践中，常常会出现要求变量值取整数的现象。
如决策变量是机器台数、人数或车辆数等。
最初有些人认为：只要对非整数解“舍入取整”即可。
但后来发现这是不行的。
因为舍入取整后的解不见得是可行解，即使是可行解，也不一定是最优整数解。
因此，这里另设一章，研究此问题，并称这种求整数最优解的LP 问题为整数线性规划，简记为“ILP ”。
整数规划分为许多类型：通常把所有变量都要求取整数的整数规划，称其为全（纯）整数规划；把部分变量要求取整数的整数规划，称为混合型ILP 。
把所有变量取值均为0或1的整数规划称为0-1规划。
等等。
求解整数规划的一种简单方法是：先不考虑整数条件，直接求解相应的线性规划问题，当最优解为非整数且数值都较大时，把非整数最优解取整到最接近的整数可行解即可。
但是，当最优解为非整数且数值都较小时，这种舍入化整的办可能导致解的可行性被破坏。
例如，我们来研究下面整数规划问题。
例4-1求解下面ILP 问题： 相应的LP ：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤++=为整数2121212121,0,5.45.0143223max x x x x x x x x x x z ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤++=0,5.45.0143223max 21212121x x x x x x x x z解：若先不考虑整数约束条件求解相应的LP问题，由图解法得可行域如图4-1。
最优解X*=（3.25，2.5）。
所谓整数解，即要求变量取整数值。
而由X*舍入化整得到的解，如（4，3）或（4，2）或（3，3）都不在可行域上，所以都不是可行解，而（3，2）虽是可行解，但它并不是最优整数解，因为该例有一个可行解X=（4，1），其目标值Z=14，大于可行解（3，2）的目标值13。
为了求得该整数规划的最优整数解，我们将经过B点的目标函数等值线向可行域内平行移动，首次碰到的整数点即为所求。
第7章 整数线性规划
7.2 全整数线性规划的图解法
7.2.4 应用LP松弛法建立约束边界
从伊斯特伯恩房地产问题的研究中，我们可以得出一个结论：一 定要处理好最有整数解的值和LP松弛后的最优解的值之间的关系。
在含有最大化问题的整数线性规划中，LP松弛后的最优解的值就 是最优整数解的值的上限。在含有最小化问题的整数线性规划中，LP 松弛后的最优解的值就是最优整数解的值的下限。
7.2
全整数线性规划的图解法
A
6 — 管理者时间约束
公 5— 寓 4— 楼 的 3— 数 量 2—
1— 0
可行域
|| | 12 3
最优解LP松弛 T=2.479,A=3.252
可得资金约束
目标函数=73.574
联体别墅可
| ||
得能力约束
456 T
联体别墅的数量
图7-1
7.2 全整数线性规划的图解法
7.2.2 近似整数解的获得
大多数情况下，可以通过使用本节的方法来求得可接受的整数解。 例如，关于生产进度问题求得的线性规划结果可能要求生产15132.4箱谷 类食品。其近似结果为15132箱，而近似解对目标函数的值及其结果的可 行性只产生极小的影响。因此，近似是一个较好的方法。实际上，只要 对目标函数的约束条件只产生极小的影响，大多数管理者都可以接受。 此时，一个近似解就够了。
7.1 整数线性规划的的分类
如果只有一些变量是整数而非全部都是，则称做混合整数线性规划。 例： max 3x1+4x2
s.t. -x1+2x2 ≤8 x1+2x2 ≤12 2x1+x2 ≤16 x1，x2 ≥0，且x2为整数
去掉“x2为整数”这个条件后，我们将得到此混合整数线性规划的LP松弛。 另外，在某些应用软件中，整数变量只能取0或1，这类规划被称做0-1整数线性规 划。
整数规划主要是指整数线性规划一个线性规划问题汇总
分枝定界法的过程如下：
二、割平面法 割平面法是 1958 年由 Gomory 提出来的
割平面法求解步骤如下：
第一步：不考虑整数约束，求相应线性规划模型 B 的最优 解。若最优解恰为整数，则停止计算；若最优解不为整数， 进入第二步。
第二步：寻找割平面方程。
①令 xi 为相应线性规划最优解中不符合整数条件的一个基 变量，由单纯形表的最终表得到：
B1
：
min z 3 x1 2 x2 2 x1 3 x2 14 x1 0.5 x2 4.5 s .t x2 2 x1 , x2 0
B2
：
min z 3 x1 2 x2
2 x1 3 x2 14 x1 0.5 x2 4.5 s .t x2 3 x1 , x2 0
整数规划问题及其数学模型
例1 某工厂生产甲、乙两种设备，已知生产这两 种设备需要消耗材料A、材料B，有关数据如下， 问这两种设备各生产多少使工厂利润最大？
设备 材 料 材料A（kg） 材料B（kg） 利润（元/件） 甲 2 1 3 乙 3 0.5 2 资源限量 14 4.5
解：设生产甲、乙这两种设备的数量分别为x1、x2， 由于是设备台数，则其变量都要求为整数，建立 模型如下： Maxz=3x1+2x2 2x1+3x2≤14 x1+0.5x2≤4.5 x1、x2≥0,且为整数
② (C)，[(D)]对应的目标值S≥S0
③ (C)，[(D)]对应的目标值Sc<S0
且解为整数解，令ScS0
且解为非整数解，令(C)，[(D)] 取代(B) 返回(4) (6)、全部枝剪完，停
优点： (1)、任何模型均可用；
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整数线性规划中如果所有的变数都限制为(非负)整数，就称为纯
整数线性规划(pure integer linear programming)或称为全整数线 性规划(all integer linear programming)；如果仅一部分变数限 制为整数，则称为混合整数计划(mixed integer linear programming)。整数线性规划的一种特殊情形是0-1规划，它的 变数取值仅限于0或1。本章最后讲到的指派问题就是一个0-1规 划问题。
例3 求解
目标函数 max z=x1+x2
①
约束条件： -x1+x2≤1 3x1+x2≤4 x1，x2≥0 x1，x2 整数
② ③ ④ ⑤
(5-3)
如不考虑条件⑤，容易求得相应的线性 规划的最优解：x1=34，x2=74，max z=104
它就是图5-5中域R
的极点A，但不合 于整数条件。
现设想，如能找到像CD那样的直线去切割域 R(图5-6)，去掉三角形域ACD，那么具有整数 坐标的C点(1，1)就是域R′的一个极点，
如在域R′上求解①～④，
而得到的最优解又恰巧在C 点就得到原问题的整数解， 所以解法的关键就是怎样构 造一个这样的“割平面”CD ，尽管它可能不是唯一的， 也可能不是一步能求到的。 下面仍就本例说明：
从表5-2的最终计算表中，得到非整数的最优解： x1=3/4，x2=7/4，x3=x4=0，max z=5/2
不能满足整数最优解的要求。为此考虑将带有 分数的最优解的可行域中分数部分割去，再求 最优解。就可以得到整数的最优解。
可从最终计算表中得到非整数变量对应的关系式：
x1 x2
1 4 3 4
在例1中，变量只有x1和x2
由条件②，x1所能取的整数值为0、1、2、3、4共5个；由条件③，
x2所能取的整数值为0、1、2共3个，它的组合(不都是可行的)数是 3×5=15个，穷举法还是勉强可用的。对于大型的问题，可行的整 数组合数是很大的。例如在本章第5节的指派问题(这也是整数线 性规划)中，将n项任务指派n个人去完成，不同的指派方案共有n! 种，当n=10，这个数就超过300万；当n=20，这个数就超过 2×1018，如果一一计算，就是用每秒百万次的计算机，也要几万 年的功夫，很明显，解这样的题，穷举法是不可取的。所以我们 的方法一般应是仅检查可行的整数组合的一部分，就能定出最优 的整数解。分支定界解法(branch and bound method)就是其中的 一个.
x3 x3
1 4 1 4
x4 x4
3 4 7 4
为了得到整数最优解。将上式变量的系数和 常数项都分解成整数和非负真分数两部分之 和
(1+0)x1+(-1+3/4)x3+1/4x4=0+3/4
x2+(3/4)x3+(1/4)x4=1+3/4 然后将整数部分与分数部分分开，移到等式左右两边 ，得到：
这时z0是问题A的最优目标函数值z* 的上界，记作z0= z 。 而在x1=0，x2=0时， z 显然是问题A的一个整数可行解， 这时z=0，是z*的一个下界， 记作 z =0，即0≤z*≤356
z z
分支定界法的解法
首先注意其中一个非整数变量的解，如x1，在问题B的解中x1=4.81。
于是对原问题增加两个约束条件x1≤4，x1≥5 可将原问题分解为两个子问题B1和B2(即两支)，
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
但当x1=4，x2=1(这也是可行解)时，
z=90。
本 例 还 可 以 用 图 解 法 来 说 明 。 见 图 5-1
图中画(+)号的点表示可行的整数解。凑整的(5，0)点不
在可行域内，而C点又不合于条件⑤。为了满足题中要求 ，表示目标函数的z的等值线必须向原点平行移动，直到 第一次遇到带“+”号B点(x1=4，x2=1)为止。这样，z的 等值线就由z=96变到z=90，它们的差值 Δ z=96-90=6 表示利润的降低，这是由于变量的不可分性(装箱)所引 起的。
解题的过 程都列在 图5-4中
。
图5-4
从以上解题过程可得到，用分支定界法 求解整数线性规划(最大化)问题的步骤 为：
将要求解的整数线性规划问题称为问题A， 将与它相应的线性规划问题称为问题B。 (1) 解问题B，可能得到以下情况之一。 ① B没有可行解，这时A也没有可行解，则停止。 ② B有最优解，并符合问题A的整数条件，B的最优解即为A 的最优解，则停止。 ③ B有最优解，但不符合问题A的整数条件，记它的目标函 数值为
z0
进行迭代
第一步：分支，在B的最优解中任选一个不符合整数条件的变量
xj，其值为bj，以［bj］表示小于bj的最大整数。构造两个约束 条件 xj≤［bj］和xj≥［bj］+1 将这两个约束条件，分别加入问题B，求两个后继规划问题B1和 B2。不考虑整数条件求解这两个后继问题。 定界，以每个后继问题为一分支标明求解的结果，与其他问题的 解的结果中，找出最优目标函数值最大者作为新的上界。从已符 合整数条件的各分支中，找出目标函数值为最大者作为新的下界 ，若无可行解，
z
(2) 用观察法找问题A的一个整数可行解，一般 可取xj=0，j=1，…，n，试探，求得其目标函数 值，并记作 。 以z*表示问题A的最优目标函数值；这时有
_
z z z
*
第3节 割平面解法
整数线性规划问题的可行域是整数点集（或称格点集），割平面解法
的思路是：首先不考虑变量xi是整数这一条件，仍然是用解线性规划 的方法去解整数线性规划问题，若得到非整数的最优解，然后增加能 割去非整数解的线性约束条件(或称为割平面)使得由原可行域中切割 掉一部分，这部分只包含非整数解，但没有切割掉任何整数可行解。 这个方法就是指出怎样找到适当的割平面(不见得一次就找到)，使切 割后最终得到这样的可行域，它的一个有整数坐标的极点恰好是问题 的最优解。这个方法是R.E.Gomory提出来的，所以又称为Gomory的割 平面法。以下只讨论纯整数线性规划的情形，现举例说明。
分支定界法可用于解纯整数或混合的整数线性规划问题。在20世纪
60年代初由Land Doig和Dakin等人提出。由于这方法灵活且便于用 计算机求解，所以现在它已是解整数线性规划的重要方法。设有最 大化的整数线性规划问题A，与它相应的线性规划为问题B，从解问 题B开始，若其最优解不符合A的整数条件，那么B的最优目标函数必 是A的最优目标函数z* 的上界，记作；而A的任意可行解的目标函数 值将是z* 的一个下界。分支定界法就是将B的可行域分成子区域(称 为分支)的方法，逐步减小和增大，最终求到z*。现用下例来说明：
它和线性规划问题的区别仅在于最后的条件⑤。现 在我们暂不考虑这一条件，即解①～④(以后我们称 这样的问题为与原问题相应的线性规划问题)，
很容易求得最优解为:x1=4.8，x2=0，max z=96
但x1是托运甲种货物的箱数，现在它不是整数，所以不合条件⑤的要 求。
是不是可以把所得的非整数的最优解经过“化整”就可得到合于条
第5章 整数线性规划
第1节 整数线性规划问题的提出 第2节 分支定界解法
第3节 割平面解法
第4节 0-1型整数线性规划 第5节 指 派 问 题
第1节 整数线性规划问题的提出
在前面讨论的线性规划问题中，有些最优解可能是分数或小数，但
对于某些具体问题，常有要求解答必须是整数的情形(称为整数解) 。例如，所求解是机器的台数、完成工作的人数或装货的车数等， 分数或小数的解答就不合要求。为了满足整数解的要求，初看起来 ，似乎只要把已得到的带有分数或小数的解经过“舍入化整”就可 以了。但这常常是不行的，因为化整后不见得是可行解；或虽是可 行解，但不一定是最优解。因此，对求最优整数解的问题，有必要 另行研究。我们称这样的问题为整数线性规划(integer linear programming)，简称ILP，整数线性规划是最近几十年来发展起来 的规划论中的一个分支。
现举例说明用前述单纯形法求得的解不能保证是整数最优
解。例1某厂拟用集装 箱托运甲乙两种货物，每箱的体积、 重量、可获利润以及托运所受限制如表5-1所示。问两种货 物各托运多少箱，可使获得利润为最大?表5-1
货物 甲 乙 托运限制
体 积 (m /箱 ) 5 4 24m
3
3
重 量 ( 1 0 0 k g /箱 ) 2 5 1300kg
利 润 (100 元 /箱 ) 20 10
现在我们解这个问题，设x1，x2分别为甲、乙两种货物的托运箱
数(当然都是非负整数)。这是一个(纯)整数线性规划问题，用 数学式可表示为： max z =20x1+10x2 ① 5x1+4x2≤24 ② 2x1+5x2≤13 ③ (5.1) x1，x2≥0 ④ x1，x2整数 ⑤
改 为 349， 那 么 必存 在 最 优整 数 解 ，得 到 z* ，并 且 0≤z*≤349
继续对问题B1和B2进行分解
因z1＞z2，故先分解B1为两支。增加条件x2≤2者，称为
问题B3；增加条件x2≥3者称为问题B4。在图5-3中再舍 去x2＞2与x3＜3之间的可行域， 再进行第二次迭代。
在原问题的前两个不等式中增加非负松弛变量x3 、x4
，使两式变成等式约束： -x1+x2+x3 =1 ⑥ 3x1+x2 +x4=4 ⑦ 不考虑条件⑤，用单纯形表解题，见表5-2。
表5-2
cj CB 0 初始计算表 0 1 最终计算表 1 c j- z j XB x3 x4 c j- z j x1 x2 b 1 4 0 3/4 7/4 -5/2 1 x1 -1 3 1 1 0 0 1 x2 1 1 1 0 1 0 0 x3 1 0 0 -1/4 3/4 -1/2 0 x4 0 1 0 1/4 1/5 -1/2